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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas” 1 Índice Pág Introdução-------------------------------------------------------------- 2 1- A importância da resolução de problemas na aprendizagem da matemática e na construção do conhecimento ---------------------- 4 2- Definição de Problema----------------------------------------------- 6 3 – Resolução de Problemas e comunicação--------------------------- 8 3.1- Construção de guiões/Problemas com várias soluções – Ficheiro----------------------------------------------------------------- 11 3.2 – Descritivo de práticas------------------------------------- 11 4 – Ler e aprender matemática--------------------------------------- 19 4.1 – Ficheiros produzidos – implementação prática---------- 21 5 – Conclusão ---------------------------------------------------------- 22 6- Bibliografia ---------------------------------------------------------- 31 Anexos

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

1

Índice

Pág Introdução-------------------------------------------------------------- 2 1- A importância da resolução de problemas na aprendizagem da

matemática e na construção do conhecimento ---------------------- 4

2- Definição de Problema----------------------------------------------- 6

3 – Resolução de Problemas e comunicação--------------------------- 8

3.1- Construção de guiões/Problemas com várias soluções –

Ficheiro----------------------------------------------------------------- 11

3.2 – Descritivo de práticas------------------------------------- 11

4 – Ler e aprender matemática--------------------------------------- 19

4.1 – Ficheiros produzidos – implementação prática---------- 21

5 – Conclusão ---------------------------------------------------------- 22

6- Bibliografia ---------------------------------------------------------- 31

Anexos

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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INTRODUÇÃO

A Resolução de problemas é uma capacidade matemática

fundamental, na qual os alunos devem adquirir desembaraço para

lidar com problemas matemáticos e também com problemas relativos

a contextos do seu dia-a-dia e de outros domínios de saber. Trata-se

de ser capaz de resolver e de formular problemas, e de analisar

diferentes estratégias e efeitos de alterações no enunciado de um

problema. A resolução de problemas não só é um importante

objectivo de aprendizagem em si mesmo, como constitui uma

actividade fundamental para a aprendizagem dos diversos conceitos,

representações e procedimentos matemáticos.

No entanto, para muitos dos nossos alunos apresenta-se como

uma tarefa difícil. Pois é frequente que perante a resolução de um

enunciado tentem adivinhar a sua solução perguntando:” é de

mais?”, “é de menos?”, “é de vezes?”, “é de dividir?”, esperando

pelos sinais verbais e não verbais do professor. Esta atitude dos

alunos face à resolução do problema deve-se ao facto de durante

muitos anos se ter considerado como única forma de resolução o

recurso ao algoritmo.

Estes comportamentos dos alunos perante a resolução de

problemas constituíam para o nosso grupo do projecto uma

preocupação. É neste sentido que surge este projecto de

aprofundamento, que pretendeu ser um espaço de estudo, partilha de

experiências e reflexão sobre as práticas pedagógicas e

metodológicas de acção.

Delineamos como objectivos que pretendíamos alcançar:

• Reflectir sobre a definição de problema segundo vários

autores.

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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• Reconhecer a importância da resolução de problemas na

construção do conhecimento Matemático.

• Construir uma prática pedagógica mais fundamentada e

adequada ao desenvolvimento das competências previstas no

Currículo Nacional.

• Reconhecer diferentes tipos de problemas e perspectivar

diversas estratégias de resolução.

• Analisar as etapas a seguir na resolução de problemas.

• Reconhecer a importância do raciocínio e da comunicação

matemática.

• Reflectir sobre o erro na aprendizagem.

• Promover a partilha de praticas pedagógicas.

• Contribuir para algumas mudanças na prática pedagógica dos

docentes.

Durante a realização de projecto propusemo-nos construir:

Um Portfólio contende roteiros de construção de conceitos, guiões de

trabalho, ficheiros construídos e os trabalhos feitos pelos alunos.

Para nos ajudar nas nossas reflexões fizemos uma revisão

bibliográfica onde incluímos os livros: Ler, escrever e resolver

problemas; À Descoberta dos Números – Contar, Cantar e Calcular;

Problemas? Mas que problemas? entre outras leituras.

Também nos propusemos difundir o nosso trabalho no sábado

pedagógico, que aconteceu no dia 14 de Junho de 2008 e no XXX

Congresso Nacional do MEM em Julho.

Neste portfolio vou apresentar o trabalho desenvolvido com os

alunos no tempo da matemática colectiva – resolução de problemas,

de uma turma do 1º e 2º ano, na qual prestava apoio educativo, bem

como as reflexões pessoais que incidem quer no trabalho realizado

com os alunos quer nas leituras que realizei individualmente e com o

grupo do projecto.

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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1- A IMPORTÂNCIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA

APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E NA CONSTRUÇÃO DO

CONHECIMENTO

O desenvolvimento da sociedade actual exige, cada vez mais,

que os cidadãos adquiram competências matemáticas que lhes

permitam ter um papel activo e estejam preparados para responder

aos desafios que vão surgindo ao longo da vida. A resolução de

problemas é um dos contextos óptimos para desenvolver

competências essenciais aos alunos do Ensino Básico.

A resolução de um problema requer, por parte do aluno, um

envolvimento e implicação na tarefa, cujo método de resolução não é

conhecido antecipadamente. Para encontrar a resposta, os alunos

terão de explorar os seus conhecimentos e através deste processo

desenvolvem, frequentemente, novos conhecimentos matemáticos. A

resolução de problemas não só constitui um objectivo de

aprendizagem da matemática, como é também um importante meio

pelo qual os alunos aprendem matemática. Deverão ser

proporcionadas muitas oportunidades para formular, discutir e

resolver problemas complexos que requeiram um esforço

significativo, para depois serem encorajados a reflectir sobre os

raciocínios que os levaram a utilizar determinadas estratégias.

Ao aprender a resolver problemas matemáticos, os alunos irão

adquirir modos de pensar, hábitos de persistência e curiosidade, e

confiança perante situações desconhecidas, que lhes serão muito

úteis fora da aula de matemática. Na vida diária e no trabalho, ser

bom na resolução de problemas poderá trazer muitos benefícios.

Na aprendizagem da matemática a resolução de problemas

constitui uma parte integrante e, como tal, deverá ser apresentada e

englobada nos vários conteúdos do programa de matemática. Os

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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contextos dos problemas deverão ser diversificadas, indo desde as

suas experiências familiares até aplicações envolvendo as ciências e o

mundo do trabalho.

Os bons problemas proporcionam ao aluno a oportunidade de

consolidar e ampliar os seus conhecimentos e podem estimular a

aprendizagem e o gosto pela matemática. Com os alunos mais novos,

a maioria dos conceitos matemáticos poderá ser desenvolvida

partindo de problemas que se reportem a ambientes que lhe são

familiares.

Para ilustrar o que anteriormente digo apresento um exemplo que

surgiu, na turma, a partir de um trabalho de projecto.

Alguns alunos do 1º ano queriam saber várias informações sobre a

escola, umas das várias questões registas, na coluna do quero saber

da grelha do projecto, eram: Quantos meninos tem cada turma da

escola? E quantas meninas? Existem mais meninos ou mais meninas?

Para resolver estas questões os alunos tiveram que recolher a

informação, registar os dados e compará-los, em simultâneo. Ao

resolver este problema os alunos aprenderam a construir e a utilizar

tabelas para a recolha dos dados, assim como desenvolveram

estratégias de cálculo para descobrirem quantos eram os meninos,

quantas eram as meninas e para saberem se havia mais meninos ou

meninas. (ver Anexo I)

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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2- DEFINIÇÃO DE PROBLEMA

Arranjar-se uma definição de problema que seja consensual não é

tarefa fácil, já que sobre esta matéria existem vários pontos de vista

entre pesquisadores e professores, que de acordo com os seus

conceitos, experiências e conhecimentos, os percepcionam e

interpretam de forma diferente.

Na concepção de Pólya (1975) referido por Lopes, A. e outros

(1999), estamos perante um problema quando o indivíduo tem de

pesquisar conscientemente uma acção conveniente com a intenção de

atingir um objectivo devidamente definido, mas não imediatamente

atingível.

Na perspectiva de Kantowsky (1977), (idem), “(…)um individuo

está perante um problema quando se confronta com uma questão a que

não pode dar resposta ou com uma situação que não sabe resolver,

usando os conhecimentos imediatamente disponíveis”.

Segundo Krulik e Rudnik (1993), problema é uma situação,

quantitativa ou outra, com a qual se defronta um indivíduo ou grupo, na

busca de uma solução, para a qual não tem imediatamente uma

resposta. Os mesmos autores distinguem questão de exercício e

problema. A questão é uma situação que apela à capacidade de

memória, o exercício é uma situação em que é necessário treinar ou

reforçar algoritmos já aprendidos e o problema é um procedimento

onde é necessário raciocinar e sintetizar o que já foi aprendido

anteriormente.

Observando as definições de problema expostas, poderemos dizer

que existem dois pontos em comum: por um lado a existência de uma

situação para a qual se pretende encontrar uma solução e por outro lado

o não haver um procedimento imediato que leve à solução.

Segundo as leituras efectuadas foi possível verificar também que,

para um problema ser considerado adequado, deve ter essencialmente

três características:

- Ser interessante e desafiador para o aluno, motivando-o a

resolvê-lo;

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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- Proporcionar situações em que o aluno possa interligar o

conhecimento que já possui, adaptando as suas capacidades à resolução

da tarefa proposta;

- Envolver problematização em tarefas que façam sentido para o

aluno mas cuja resolução implique pesquisa, pois a solução não está

visível à partida.

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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3- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E COMUNICAÇÃO

De entre as várias leituras que realizámos, no grupo de

aprofundamento, para investigarmos sobre a resolução de problemas

destaco o capítulo 4 “ Resolução de Problemas e Comunicação” do

livro Ler, escrever e resolver problemas de Smole & Diniz (2001).

Ao analisar aquele capítulo apercebi-me das várias concepções

que a Resolução de Problemas têm tido ao longo dos anos e de como

estas perspectivas têm influenciado as orientações para o ensino, a

organização dos currículos, a elaboração de manuais e as didácticas.

Nos anos oitenta, no artigo de Branca, a Resolução de

Problemas era referida dentro de três concepções: como meta,

processo ou habilidade básica.

A perspectiva que concebe como meta do ensino da

matemática a Resolução de Problemas, orienta e reforça todo o

ensino, quer ao nível dos currículos quer ao nível da prática

pedagógica, para que primeiro o aluno tenha todas as informações e

conceitos matemáticos que necessita para depois poder aplicar esses

conhecimentos na resolução dos problemas. Esta perspectiva, apesar

de ter sido concebida há vários anos ainda orienta muita da prática

pedagógica dos professores e é veiculada em muitos dos manuais

escolares existentes nas escolas.

A concepção como processo foca a Resolução de Problemas

“(…) como o processo de aplicar conhecimentos previamente

adquiridos a situações novas.” Este movimento nasce com os

trabalhos de Polya (1977), ganhando maior importância nos anos 70,

quando os educadores concentram a sua atenção nos procedimentos

utilizados pelos alunos para resolverem um problema. Esta

perspectiva influencia o ensino e encaminha-o para que se concentre

nas estratégias usadas para chegar a uma determinada resposta.

Assim as investigações realizadas incidem sobre a maneira como os

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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indivíduos resolvem os problemas no sentido de as compreender para

depois ensinar aos outros como fazê-lo. Nesta concepção, aparecem

a classificação de tipos de problemas, tipos de estratégias de

resolução e esquemas de passos a serem seguidos para melhor

resolver problemas. Desta forma, o ensino decorre em torno do

ensinar a resolver problemas o que resultaria em aprender

matemática.

Finalmente a concepção da Resolução de Problemas como uma

habilidade básica é entendida como uma competência básica que o

indivíduo deve possuir para que possa inserir-se no mundo

conhecimento e do trabalho. Deste modo os currículos, do final dos

anos setenta e durante os anos oitenta, reforçam a ideia de que os

alunos devem aprender a resolver problemas, e de que é necessário

ter cuidado nas opções de escolha quanto às técnicas e aos

problemas a serem usados no ensino.

Como se pode ver as três concepções descritas não se excluem,

mas antes representam diferentes momentos das investigações sobre

o ensino da matemática, que por sua vez têm reflexo nos currículos,

nos materiais didácticos e nas orientações do ensino.

Na década de noventa a Resolução de Problemas é vista

segundo uma nova óptica como uma metodologia para o ensino da

matemática, englobando um conjunto de estratégias para o ensino e

o desenvolvimento da aprendizagem da matemática. Esta concepção

da Resolução de problemas é visível nas indicações de natureza

metodológica, como por exemplo utilizar um problema que possa

desencadear o ensino e a aprendizagem de conhecimentos

matemáticos, trabalhar com problemas abertos, utilizar a

problematização, etc.

A partir de todas as concepções enumeradas anteriormente e

decorrendo das pesquisas efectuadas, Smole & Diniz concebem a

Resolução de Problemas numa perspectiva metodológica. Isto é,

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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como um modo de organizar o ensino que envolve uma postura

frente ao que é ensinar e aprender que vai para além dos aspectos

metodológicos. Nesta perspectiva a Resolução de problemas baseia-

se na “situação-problema”, ampliando o conceito de problema, ou

seja, trata de situações que não têm solução evidente e que exigem

que quem o está a resolver organize os seus conhecimentos e decida

a melhor maneira de os usar em busca de uma solução.

Esta perspectiva rompe com a visão limitada dos chamados

problemas convencionais ou fechados e que abundam em muitos dos

manuais escolares. Quando se elege os problemas convencionais

como único material para trabalhar a Resolução de Problemas na

escola, os alunos perante a resolução de problemas convencionais

poderão experimentar sentimentos de insegurança e impotência

porque não identificam o modelo a ser seguido e então só lhes resta

desistir ou esperar a resposta de um colega ou do professor.

Precisamente para se romper com as atitudes e sentimentos que os

problemas convencionais geram no aluno, uma das características da

perspectiva metodológica da Resolução de Problemas é considerar

como problema toda a situação que permita alguma problematização.

Essas situações podem ser actividades planeadas, jogos, pesquisa e

selecção de informação, resolução de problemas não convencionais e

mesmo convencionais, desde que estes permitam algum processo de

investigação.

Uma outra característica da perspectiva metodológica é

questionar as respostas obtidas e a própria situação inicial

desenvolvendo uma atitude de “investigação científica” em relação à

aquilo que está pronto. A resposta correcta é tão importante quanto a

ênfase dada ao processo de resolução, permitindo o aparecimento de

diversas estratégias e soluções, comparando-as entre si e tornando

possível que os alunos verbalizem como chegaram à solução.

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Outro ponto importante desse questionamento é o de provocar

uma análise qualitativa da situação-problema quando são discutidas

as soluções, os dados e a pergunta dada.

3.1. CONSTRUÇÃO DE GUIÕES/PROBLEMAS COM VÁRIAS SOLUÇÕES

– FICHEIRO

Após a análise do texto “Resolução de Problemas e

Comunicação”, o grupo reflectiu sobre a importância de utilizar a

perspectiva metodológica na Resolução de Problemas no sentido

de desenvolver nos alunos atitudes e competências de investigação e

de questionamento. 0ra para desenvolver estas atitudes há que

planear cuidadosamente as actividades e as questões a colocar. Esta

problematização inclui o que é chamado de processo metacognitivo,

isto é, pensar sobre o pensado. Este processo pressupõe uma forma

elaborada de raciocínio, conduz ao esclarecimento de dúvidas,

aprofunda a reflexão feita e está ligada à ideia de que a

aprendizagem depende da possibilidade de se estabelecer o maior

número possível de relações entre o que se sabe e o que se está a

aprender.

Deste modo o grupo seleccionou um conjunto de problemas,

organizou um ficheiro e para alguns dos problemas foram elaboradas

varias questões a que dominámos de “guiões”, no sentido de

conduzirem os alunos a alguma aprendizagem pelo facto de lhes

responder, obrigarem à analise, à reflexão, à explicitação de

raciocínios e a pensarem em níveis mais elaborados.(Ver Anexos II e

III – Guiões e Ficheiro de problemas com várias soluções).

3.2. DESCRITIVO DE PRÁTICAS

Na agenda semanal, da turma do 1º e 2º ano onde presto apoio

educativo, está planeado a resolução de problemas, no 1º tempo da

manhã (9:30 – 10:30) de sexta-feira. Pegando numa das situações

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problemas e no guião que tínhamos elaborado para trabalhar a

resolução de problemas, propus aos alunos que se agrupassem a

pares para resolverem o seguinte problema.

Os dois alunos responsáveis pela distribuição das fichas

entregaram a cada par uma ficha. Pedi aos alunos que lessem o

enunciado e perguntei-lhes se havia alguma palavra que não

soubessem o seu significado. Um dos alunos (Francisco R.), do

primeiro ano disse:

- Eu não sei o que é “estacionados”.

Prontamente o António disse:

- Olha, é assim o mesmo que parados, quer dizer que os carros e as

motas estavam parados num parque de estacionamento, assim como

aquele que tem na cidade. Percebeste?

- Ah já sei.

Uma vez que não havia mais dúvidas, foi combinado com os alunos o

tempo limite para a resolução do mesmo. Durante o período de

resolução fui verificando que nem todos os grupos estavam a

trabalhar a pares. Perante esta situação foi-lhes relembrado o que é

trabalho a pares. Após o término do tempo, cada par foi escrever no

quadro a estratégia utilizada para a resolução dos problemas.

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Este par de alunos disse:

- Nós desenhamos de 4 em 4 e contámos e depois, como também

tinha que ter motas, desenhamos de 2 em 2 até fazer 20.

Este grupo era constituído por duas crianças do 2º ano transferidas

de outra escola, habituadas a resolver os problemas obedecendo à

estratégia explicitada na imagem (dados, indicação, operação).

Na identificação dos dados os alunos referiram que 20 eram todas as

rodas, 4 eram o número das rodas de um carro e que o 2 era o

número de rodas da mota. Na indicação juntaram 20 (todas as rodas)

+4 (rodas de um carro) +2 (rodas da mota) dando um total de 28

rodas. Disseram que eram 28 rodas. Perante a resposta questionei

qual era a pergunta do problema “o que é que queremos saber?”.

Eles releram o problema e concluíram que a resposta não podia ser

aquela. Tinham que descobrir quantos carros e motas estavam

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estacionados e não o número de rodas, porque esse já estava no

problema. Eles resolveram no quadro desenhando as 20 rodas e

agrupando-as em grupos de 4 e 2 dando num total de 3 carros e 4

motas. Posto isto perguntei à turma se concordavam com a

resolução. Alguns alunos disseram que não concordavam porque

daquela maneira havia menos carros e mais motas. Outros referiram

que concordavam porque eles tinham usado as 20 rodas para

resolver o problema.

O grupo do Francisco e do André pediu a palavra e disse:

- A gente pensou assim: 2 carros têm 8 rodas, depois contamos de 2

em 2 a partir do 8 até chegar a 20 e deu 6 motas. E também está

certo.

Posto isto perguntei-lhes:

- Há outra forma de resolver?

Os alunos demoraram algum tempo. Depois a Mariana disse:

- Pode ser um carro e oito motas.

O Luís disse:

- Não pode ser, porque no problema dizia carros e motas e tu só tens

um carro.

- Pois, pois- disse a Mariana - mas podia, se não dissesse motas,

porque um carro tem 4 rodas e as 8 motas têm 16, então são 20.

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Voltei a colocar a pergunta. Os alunos foram experimentando e

disseram que não era possível.

Então perguntei o que mudaria no problema se tivéssemos contado

mais quatro rodas e alguns responderam que poderia ser mais um

carro ou mais duas motas.

Voltei a perguntar se poderia ter contado vinte e uma rodas e alguns

dos alunos procuraram resolver a situação através do desenho,

concluindo que não era possível porque restava uma roda. Perguntei

de novo se poderia contar vinte e três e, ainda assim, voltaram a

desenhar, apercebendo-se que também não era possível. Continuei e

perguntei se poderia contar vinte e cinco ao que o Ivan, um aluno do

segundo ano, respondeu:

- Os números vinte e um, vinte e três e vinte e cinco são números

ímpares, por isso vai restar sempre uma roda.

Na semana seguinte propus-lhes outra situação:

À semelhança do trabalho anterior, este também foi realizado a pares

e, a primeira actividade consistiu em analisar o texto do enunciado

verificando se havia palavras que os alunos desconhecessem.

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Por ser uma história engraçada os alunos ficaram extremamente

motivados para a resolução do problema, passando rapidamente à

prática.

Após terminarem a resolução pedi a um grupo de alunos para ir

registar no quadro a sua estratégia.

Não foram pedidas explicações sobre a resolução, apenas perguntei

se alguém tinha feito de forma diferente, tendo surgido esta outra

estratégia:

Perante isso, ambos os grupos explicaram que só poderia haver oito

comprimidos, isto é, quatro para uma cabeça e quatro para outra e

faltavam quatro comprimidos para a terceira cabeça.

Perguntei se não haveria outra solução e os alunos pensaram durante

algum tempo mas ninguém encontrou outra solução.

Então eu lancei a pergunta:

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- E se tivesse nove comprimidos no frasco?

Nisto eles responderam que nove comprimidos também não eram

suficientes para as três cabeças. Então eu perguntei porquê e eles

responderam que uma das cabeças só ficava com um comprimido e

isso não era suficiente para lhe tirar as dores de cabeça.

A partir daqui perguntei-lhes se havia outra solução e eles, através

do desenho ou utilizando a operação, chegaram às soluções de dez e

de onze comprimidos.

Depois também perguntei:

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- Se no frasco houvesse doze comprimidos o monstro continuaria

com dores de cabeça?

Rapidamente eles disseram que não porque havia comprimidos

suficientes para as cabeças todas.

Por último perguntei:

- Se no frasco houvesse dezasseis comprimidos, quantas cabeças

teria o monstro?

Eles desenharam e conseguiram perceber que teria quatro cabeças.

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4- LER E APRENDER MATEMÁTICA

O facto de muitos alunos apresentarem dificuldade em ler e

interpretar um problema ou um exercício é atribuído,

frequentemente, à fraca competência ao nível da leitura. Existe

igualmente a ideia de que se o aluno fosse mais fluente na leitura dos

textos trabalhados na aula de língua portuguesa, também o seria nas

aulas de matemática.

Apesar destas afirmações estarem em parte correctas, Smole &

Diniz (2001) consideram que não basta atribuir as dificuldades dos

alunos em ler textos matemáticos à sua fraca competência em ler nas

aulas de língua materna. Há também que ter em conta a

especificidade da escrita matemática que tem uma característica

própria, combina sinais, letras e palavras que se organizam segundo

certos critérios para expressar ideias.

Além dos termos e sinais específicos, existe na linguagem

matemática uma organização de escrita que não é sempre

semelhante à que encontramos nos textos trabalhados em Língua

Portuguesa, o que requer um processo particular de leitura. Por

exemplo ao lermos um algoritmo podemos fazê-lo na horizontal, na

vertical e também na diagonal.

Face a estas e outras características pensamos que é

importante que os alunos aprendam a ler matemática e ler para

aprender matemática nas aulas desta disciplina pois, para interpretar

um texto, o leitor necessita de se familiarizar com linguagem e

símbolos próprios desta área do conhecimento, encontrando sentido

no que lê, compreendendo o significado das formas escritas que lhe

são inerentes, percebendo como ele se articula e expressa

conhecimento.

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Para que os alunos sejam leitores fluentes e entendam os

textos matemáticos, há que fazer um trabalho que passe pela

discussão de conceitos e procedimentos da matemática. Porém, para

se formar um bom leitor é necessário envolver processos cognitivos,

afectivos e sociais que possibilitarão uma aprendizagem mais ou

menos significativa, dependendo do valor que o professor atribui à

leitura nas aulas de matemática.

Assim, para atingirmos o objectivo de tornar os alunos

autónomos em termos de leitura, na aula de matemática, há que

organizar actividades com diversos propósitos e utilizá-las de uma

forma cuidadosa e sistemática. Existem muitas maneiras de

organizarmos a leitura nas aulas de matemática e de diversificarmos

os seus objectivos como seja: ler para aprender, para obter

informação, para seguir instruções, por prazer e para comunicar a

outras pessoas.

Assume igualmente importância o facto de se criar uma rotina

de leitura que contemple a leitura individual, oral, silenciosa ou

compartilhada, para que os alunos se deparem com situações

efectivas e variadas de leitura. Os textos elegidos, a serem lidos na

aula de matemática, devem ser variados e irem ao encontro dos

objectivos que o professor quer alcançar: problemas, textos de livros

variados, textos de jornais, regras de jogo, de modo a que a leitura

seja significativa e inteligível para os alunos.

A compreensão dos textos matemáticos ou, mais propriamente,

dos enunciados do problema é uma das grandes etapas que Polya,

referido por referido por Lopes, A. e outros (1999), menciona como

sendo fundamentais para uma resolução de problemas bem sucedida.

De acordo com este autor, para que os alunos consigam ler e

interpretar os textos matemáticos, devem ser ensinadas algumas

estratégias base, denominadas heurísticas, como por exemplo: trabalhar

o texto cuidadosamente até à sua compreensão; analisar criticamente

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toda a informação do texto; descobrir sub problemas, desenhar um

esquema, traçar um gráfico, fazer uma tabela ou simular a situação com

material manipulativo; procurar um problema já resolvido que tenha

algo em comum com o que se pretende resolver; trabalhar com

números mais cómodos, ou seja, fazer aproximações e

arredondamentos para números inteiros ou para números terminados

em zero; procurar uma lei de formação do problema sendo, por vezes,

mais fácil começar a resolver o problema do fim para o início.

Estas propostas que têm o objectivo de ajudar o aluno a

interpretar o problema, simultaneamente ajudam-no a conceber o seu

plano de acção, que é a segunda etapa preconizada por Polya. Como

terceira etapa existe a execução do plano, na qual o autor sugere que o

aluno verifique cautelosamente cada passo e, por último, preconiza que

haja reflexão sobre o que foi feito de modo a que haja uma verificação

das implicações da solução.

Polya entende que se deve tentar resolver o mesmo problema de

mais de uma forma, de modo a que o aluno comprove se chegou à

solução correcta. Esta última etapa poderia ser encarada apenas como

um ponto de partida na perspectiva metodológica visto que esta

defende que, quando se alcança uma conclusão, a mesma deve ser

questionada e devem ser levantados novos problemas e novas situações

de investigação.

4.1. FICHEIROS PRODUZIDOS/IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA

Cientes da importância de formar bons leitores que saibam ler e

interpretar textos matemáticos, o nosso grupo resolveu organizar um

ficheiro de problemas que trabalhasse a construção e interpretação

de enunciados. Ele foi sendo construído ao longo sessões em trabalho

presencial e em trabalho autónomo, partindo da análise de alguns

problemas que tínhamos doutros ficheiros, de manuais e outros

inventados por nós. À medida que os aplicávamos nas nossas salas

íamo-nos apercebendo das lacunas que estes continham e trazíamos

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para o grupo essa reflexão. À medida que ia sendo possível fazíamos

as rectificações.

Assim organizámos as seguintes séries de problemas:

Interpretação de Imagens – cujo objectivo era que

os alunos construíssem questões matemáticas que

pudessem ser respondidas pelas imagens.(Anexo IV)

Os alunos, em trabalho a pares, construíram diversas perguntas.

Depois cada grupo comunicou as suas questões e íamos verificando

se na imagem existiam dados que nos permitissem responder.

Algumas dessas perguntas eram as seguintes:

• Quantos meninos estão a comprar lanches?

• Há mais adultos ou mais meninos a comprarem cachorros?

• Quantas pessoas já estão no trem fantasma?

• Quantos cestos tem a roda gigante?

• Quantas pessoas estão na fila para entrar na roda gigante?

• …………

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Durante a comunicação houve alguma discussão entre os alunos a

propósito da resposta que iam dando. Por exemplo em relação à

questão “Quantas pessoas estão na fila para entrar na roda

gigante?” Alguns alunos consideravam que estavam seis pessoas

na fila, pois diziam que o primeiro senhor era o empregado do

parque que controlava as entradas. Outros diziam que era sete,

defendendo que no início estava um senhor e no fim da fila outro.

Depois de alguma discussão e da argumentação de uns e outros

chegámos a um consenso. Penso que o mais importante não era o

facto de se saber se eram seis ou sete pessoas que estavam na

fila à espera de entrar na roda gigante, mas a controvérsia que

surgiu e o que esta desencadeou em termos da argumentação que

cada grupo teve de apresentar.

Completar o enunciado – com diferentes perguntas

e a conta – Neste ficheiro era dada a situação problema,

a operação e as possíveis questões. Para resolver o

problema, o aluno terá de avaliar todas as questões e

verificar qual delas corresponde à operação e seleccionar

a correcta. Neste tipo de problema o aluno terá que julgar

com várias informações ao mesmo tempo, isto é o ter em

conta a pergunta e a operação. (Anexo V)

Não utilizei este conjunto de fichas com a turma com quem

trabalhei por não ter tido tempo. No entanto no próximo ano

quer continuar com este trabalho com a turma que me for

atribuída.

Completar o enunciado – com uma pergunta e

diferentes operações - Nesta proposta, é dado um

problema e abaixo aparecem operações. A tarefa consiste

em ler cada problema a associar a ele a operação

adequada justificando, oralmente ou por escrito, a

escolha feita. (Anexo VI)

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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Completar o enunciado – sem a pergunta - Neste

ficheiro demos a situação inicial do problema e pedíamos

ao aluno para criar a pergunta e resolver. A quando da

comunicação, à turma, os alunos apercebem-se que é

possível existir uma diversidade de perguntas. (Anexo

VII)

Completar o enunciado – diferentes perguntas sem

a operação – Aqui deu-se a situação-problema e as

possíveis questões. A partir da pergunta escolhida, o

aluno resolve o problema, de forma a torná-lo correcto.

Neste tipo de problema, é interessante diversificar as

questões pois quando são colocadas várias questões,

sendo todas possíveis, o aluno perceberá que um

problema pode ter diferentes perguntas, com diferentes

forma de resolução. Também é interessante quando

apenas existe uma possível, pois favorece o trabalho de

análise e selecção. Permite igualmente que o professor

trabalhe o erro de forma construtiva se acaso algum

aluno tenha resolvido de forma errada. (Anexo VIII)

Completar o enunciado – sem situações – (Anexo

XIX) Aqui apresentamos enunciados de problemas

incompletos para o aluno completar com a situação inicial

que se adeqúe tendo em conta a pergunta.

A construção de enunciados revelou-se uma tarefa difícil ao

nível da construção do texto, no explicitar do que pretendiam.

Esta constituiu também um aspecto importante de trabalho de

texto. Pois na aula de língua portuguesa trabalharam-se alguns

dos textos.

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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Completar o enunciado – com diferentes situações e a

operação – O aluno terá que adequar a situação inicial à conta

para completar os problemas. É um trabalho que permite

desenvolver competências de leitura, análise e

interpretação.(AnexoX)

Ao analisar os alunos a resolverem estes dois problemas e

aquando da comunicação à turma, apercebi-me que os alunos

escolhiam a hipótese inicial do problema tendo como referencia os

dados e que não liam o problema. A minha intenção era trabalhar

a análise e interpretação e este problema não estava bem

elaborado, pois olhando unicamente para os números, eles, por

exclusão escolhiam a hipótese. Tendo em conta o que observei

elaborei esta situação:

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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Esta situação requeria uma leitura e análise atenta, tendo em

conta a pergunta, a operação e os dados. Na comunicação à

turma, a maioria dos alunos escolheu a hipótese a) e justificaram-

na dizendo que estava relacionada com a operação; e que a

hipótese c) não podia ser porque a situação não estava

relacionada com a pergunta.

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O aluno que tinha escolhido a hipótese b) disse que não

concordava pois a pergunta que o problema fazia era a de quantos

alunos tem a turma e na hipótese a) já dizia que a turma tinha 24

alunos, então esta também não podia ser, só restava a hipótese b).

Este aluno fez a sua escolha por exclusão.

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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CONCLUSÃO

Ao efectuar este portfolio, fiz uma análise do quanto aprendi

nesta modalidade formação. Verifiquei que tinha contribuído para a

melhoria da minha prática pedagógica na medida em que tomei mais

consciência da importância da leitura e do trabalho de análise que é

necessário desenvolver com o texto matemático. Além disso, a leitura

e análise de vários textos sobre a Resolução de Problemas

proporcionou-me novas aprendizagens e clarificou alguns conceitos

dos quais destaco a diferença entre exercício e problema.

A reflexão teórica que efectivávamos nas sessões presenciais e

no trabalho autónomo, concretizou-se construção de ficheiros, de

guiões, e na nossa prática lectiva com os alunos.

Os problemas produzidos, nomeadamente os do ficheiro de

problemas com várias soluções, foram concebidos como a

preocupação não só de colocar os alunos perante um tipo de

diferente de problema, mas também de provocar pensamento

divergente, impelindo-os a recorrerem a estratégias diferentes.

A exploração destes problemas, na sala de aula, foi orientada

pela perspectiva metodológica, despertando nos alunos atitudes de

investigação perante os problemas, questionando a solução,

introduzindo conjecturas, constituindo, em suma, mais um momento

de comunicação e reflexão.

A comunicação baseada na partilha de ideias matemáticas,

permitiu a interacção de cada aluno com as ideias expostas para se

poder apropriar delas e aprofundar as suas. Nesta perspectiva, a

comunicação permitiu aprender, mas também contribui para uma

melhor compreensão do próprio pensamento.

Um aluno que tinha um modo próprio de abordar e resolver um

problema pode beneficiar da análise da forma como um seu colega

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Projecto de Aprofundamento “ Construir conhecimento matemático através da resolução de problemas”

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resolveu o mesmo problema. Uma resolução diferente revelou

aspectos diferentes. O exercício de compreensão das estratégias e

métodos usados pelos outros e o esforço desenvolvido para avaliar a

sua correcção, validade e utilidade, contribuiu para o alargamento do

conhecimento matemático.

Em remate considero que os alunos fizeram progressos ao

longo do ano, no entanto é meu intuito continuar este trabalho, pois

ele não se esgotou nesta ano lectivo.

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Bibliografia

Carvalho, Mercedes (2005). Problemas? Mas que problemas?! Petropolis: Vozes.

DEB (1990). Programa do 1.º ciclo do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação. DINIZ, M.,SMOLE, K. (2001). Ler, escrever e resolver problemas. Portalegre: Artmed. Institut Nacional de Recherche Pedagogique.(2001). À Descoberta dos Números – Contar, cantar e calcular. Porto: ASA. Lopes, A. e outros (1999). Actividades Matemáticas na sala de aula: Lisboa: Texto Editora.