Introdução: Conceitos Primitivos

Algumas definições sobre retas foram sistematizadas por Euclides, por volta de

300a.C.

A partir dessas definições estabeleceram-se os termos geométricos fundamentais e

conceitos primitivos:

Ponto: Representado por uma marca feita com a ponta do lápis sobre o papel. É

algo sem dimensão, sem massa, sem volume e é indicado por uma letra maiúscula

do alfabeto.

Reta: Representada por uma linha, é algo sem espessura, sem começo e sem fim.

Indicada por uma letra minúscula do nosso alfabeto

Plano: Representado por uma superfície plana, sem espessura e que se estende

infinitamente em todas as direções. Representado por uma letra minúscula do

alfabeto grego.

Na Figura 1 podem-se observar esses três elementos.

Figura 1

- Os pontos A, B, C e D representam os vértices do retângulo.

- A reta r contém a diagonal ̅̅ ̅̅ do retângulo.

PONTO – RETA – PLANO

Posições de Retas

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Na Figura 2 o plano α contém o triângulo M,N e P.

Figura 2

Figura 3 – Plano, reta e pontos no R3

A partir da análise da Figura 3 conclui-se:

- O plano β contém os vértices E, F, G e H e a face FEGH do cubo.

- A reta s contém a aresta ̅̅ ̅ do cubo.

- Os pontos E, F, G, H, I, J, K e L são os vértices do cubo.

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Postulados

Postulados, ao contrário das proposições, são afirmações verdadeiras sem

necessidade de demonstração.

Vejamos alguns postulados:

1. Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

Figura 4 - Reta e pontos

Dessa forma, conclui-se que uma reta é formada a partir da união de infinitos

pontos, alinhados em uma determinada direção.

2. Por um ponto passam infinitas retas.

Figura 5

Na figura 5 tem-se o ponto A, passando por ele algumas retas. Por este único ponto

podem-se passar infinitas retas.

3. Dois pontos distintos determinam uma reta.

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Figura 6

APENAS uma reta passa por dois pontos distintos.

4. Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

Figura 7

Na Figura 7 pode-se observar o plano β e alguns pontos. Destaca-se que alguns

desses pontos estão no plano e outros não.

Os pontos que estão no plano são: Q; R; V; U; T e S.

Os demais pontos, Z e W, estão fora do plano.

5. Toda reta que tem dois pontos distintos em um plano está inteiramente contida

nesse plano.

Figura 8

10

Como os pontos U e V estão no plano, e a reta r passa por estes pontos, pode-se

afirmar que esta reta também está contida no plano.

TIPOS DE RETAS

Retas coplanares

Considerando duas restas, r e s. Se existir um plano que contenha r e s, dizemos

que essas retas são coplanares.

Figura 9

Na figura 9 observa-se que as retas r e s pertencem ao plano , logo, são

coplanares.

Retas Concorrentes

As retas são concorrentes quando possuem um único ponto em comum.

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Figura 10

Na figura 10, este ponto está destacado na cor vermelha.

Retas paralelas

São retas não tem nenhum ponto em comum, jamais se tocam. Conforme a Figura

11, as retas r, s, t e u são paralelas.

Figura 11

Retas coincidentes

Esse tipo de reta ocorre quando TODOS os pontos de uma reta coincidem com os

pontos da outra.

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Figura 12

Na figura 12 pode-se observar que a reta r sobrepõe a reta s. Se elas se sobrepõem,

elas se coincidem.

Retas Transversais

Uma reta t é dita transversal quando concorre com r e s, ao mesmo tempo.

Figura 13

Quatro desses oito ângulos estão situados na região de plano limitada pelas retas r

e s e são chamados de ângulos internos. Os outros quatro são chamados de

ângulos externos.

13

Na sequência tem se as representações gráficas dos ângulos.

Figura 14

Na figura 14 observam-se os ângulos internos formados pela reta transversal.

Figura 15

Considerando a relação entre esses ângulos, podemos nomeá-los da seguinte

maneira:

Ângulos Internos

Ângulos Externos

14

Ângulos correspondentes: um deles é interno, o outro é externo, ambos estão do

mesmo lado em relação à reta transversal t e com vértices diferentes.

Figura 16

Ângulos Alternos Internos: Ambos são internos, estão em lados opostos em

relação à reta transversal t e com vértices diferentes.

Figura 17

Ângulos Alternos Externos: Ambos são externos, estão em lados opostos em

relação à reta transversal t e com vértices diferentes.

𝛼 𝑒 𝛽

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Figura 18

Ângulos Colaterais Internos: Ambos são internos, estão do mesmo lado em

relação à reta t e com vértices diferentes.

Figura 19

Ângulos Colaterais Externos: Ambos são externos, estão no mesmo lado, em

relação à reta t e com vértices diferentes.

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Figura 20

RETAS PARALELAS

Retas paralelas são retas que JAMAIS se cruzam. Na Figura 20 tem-se dois ares de

reta. Essas retas são paralelela? Interaja com o aplicativo e descubra !

Figura 21

Para verificar o paralelismo de duas retas, podemos traçar uma transversal t às retas

r e s e observarmos os ângulos formados.

r

s 17

Se os dois ângulos correspondentes são congruentes, então as duas retas cortadas

pela transversal são paralelas e vice-versa.

Figura 22

Usando a simbologia, podemos escrever:

Se ̂ ̂, então r // s

A congruência entre dois ângulos correspondentes é uma condição suficiente para

que as retas sejam paralelas. Logo, podemos afirmar que essa condição trata-se de

um critério de paralelismo.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática: Fazendo a

diferença. São Paulo: FTD, 2006.

DANTE, L. R. Matemática. Vol. Único. São Paulo: Ática, 2005.

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