Poster 16o EVINCE - eletrica.ufpr.br · y f x yax = ()= 0 Forma alternativa: y yax y (1 r)x ... Funções FUNÇÕES EXPONENCIAIS x x a a a a a 1 1 1 1 ... y=f(x)=kxp Exemplos

1

FUNÇÕES

TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I


Funções

3818026/02/2009

3818327/02/2009

3823125/02/2009

3871420/02/2009

3973019/02/2009

3967418/02/2009

3984617/02/2009

4184116/02/2009

4167313/02/2009

4050012/02/2009

4084511/02/2009

4120710/02/2009

4210009/02/2009

4275506/02/2009

4110805/02/2009

4012904/02/2009

3974603/02/2009

3866602/02/2009

IBOVESPA (fechamento)DATA

2


Funções

DEFINIÇÃO

Uma grandeza y é uma função de uma outra grandeza x se a cada valor

de x estiver associado um único valor de y.

Neste caso:

• y é o valor da função ou a variável dependente;

• x é o argumento ou a variável independente;

• f é o nome da função.

O domínio de uma função é o conjunto de valores da variável

independente e a imagem é o conjunto correspondente de valores da

variável dependente.

Escrevemos: )(xfy =


Funções

347

316

285

254

223

192

161

BA

Tabelas

Fórmulas

133 += BA

Gráficos

0 1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

35

A

B

FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO

3


Funções

FUNÇÕES LINEARES

Resistor ideal

IIfVB .212)( +==

225

204

183

162

141

120

VBI

0 1 2 3 4 5 610

12

14

16

18

20

22

24

I

Vb


Funções

FUNÇÕES LINEARES

Uma função linear tem a forma:

Seu gráfico é uma reta onde

•m é a inclinação, ou a taxa de variação de y em relação a x;

•b é a interseção vertical, ou o valor de y quando x é zero.

mxbxfy +== )(

Pode-se calcular m da seguinte forma:

21

21 )()(

xx

xfxfm

−−

=

4


Funções

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Escala musical

830,61G#

587,33D

622,25D#

659,26E

698,46F

739,99F#

880,00A (8va)

783,99G

554,37C#

523,25C

493,88B

466,16A#

440,00A (ref)

F0 (Hz)Nota

0595,1440

16,466#==

A

A

0595,116,466

88,493

#==

A

B

0595,188,493

25,523==

B

C

...

1)0595,1(0595,1.# AAA ==

2)0595,1(0595,1#. AAB ==

3)0595,1(0595,1. ABC ==

...

120 2.4400595,1.440)(

n

nnfF ===

Onde n é o número de semi-tons de distância que a

nota está do A de referência


Funções


Escala musical

120 2.4400595,1.440)(

n

nnfF ===

-30 -20 -10 0 10 20 30 400

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Número de semi-tons acima do A de referência

Hz

5


Funções


Decaimento do Pu-238

6,25%325

12,5%264

25%176

50%88

100%0

Quantidade relativa de Pu-238

Anos

88

02

1)(

t

QtfQ

==

-100 0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (tempo em anos)

Quantidade relativa de Pu-238


Funções


y é uma função exponencial de x com base a (a>0 e a≠1) se:

onde y0 é a quantidade inicial (quando x = 0) e a é o fator pelo qual y varia

quando x cresce em 1 unidade.

• a>1 significa crescimento exponencial;

• 0<a<1 significa decaimento exponencial.

xayxfy 0)( ==

Forma alternativa:xx ryayy )1(00 +==

• r > 0 representa crescimento

• -1 < r < 0 representa decaimento

6


Funções


x

x

aa

aa

a

1

1

1

1

0

=

=

=

−

−

xx aa

aa

aa

=

=

=

1

33

1

2

1

( ) txtx

tx

t

x

txtx

aa

aa

a

aaa

.

.

=

=

=

−

+

Definições e regras


Funções

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

a = 1,5

a = 2

a = 3

a = 5

a = 10


0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a = 0,95

a = 0,9

a = 0,8

a = 0,5

a = 0,1

Graficos para diferentes valores de a

7


Funções

POTÊNCIAS

Em geral uma (função) potência tem a forma:

onde k e p são constantes quaisquer.

pkxxfy == )(

Exemplos

•área (A) de um quadrado de lado l:

•Volume (V) de uma esfera de raio r:

( ) 2llfA ==

( ) 3.3

4rrfV π==


Funções

POTÊNCIAS

Potências inteiras e positivas: y = x, y = x2, y = x3, ...

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10

x1

x3

x5

Potências ímpares

-2 -1 0 1 2-5

0

5

10

15

x1

x3

x5

Potências pares

8


Funções

POTÊNCIAS

Potências zero, inteiras negativas e fracionárias positivas

-5 0 5-5

0

5

x0

1/x

1/x2

Potências zero e inteiras

negativas

xxy

11 == −2

2 1

xxy == −

e

Potências fracionárias positivas

xxy == 2

1

e33

1

xxy ==

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

x(1/10)

x(1/3)

x(1/2)

x

x(3/2)

x2

x3


Funções

-50 0 50 100-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

5

x3

50x2

POTÊNCIAS

O efeito dos coeficientesComparação entre uma função

exponencial e uma potência

0 2 4 6 8 10 120

500

1000

1500

2000

2500

3000

x3

2x

9


Funções

FUNÇÕES INVERSAS

550

440

330

220

110

00

f(VR) = IRVR

Resistor ideal

( )RR VfI =

505

404

303

202

101

00

f -1(IR) = VRIR

( )RR IfV 1−=

que é

equivalente a

Para funções que apresentam inversa:

significaxyf =−)(

1 yxf =)(


Funções

FUNÇÕES INVERSAS

Condição necessária para uma função ter inversa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

Uma função admite inversa se, e somente se, seu gráfico corta qualquer

reta horizontal no máximo uma vez.

( ) 210100 axxfy −==

Esta função não

apresenta inversa

10


Funções

LOGARITMOS

População de Curitiba

85,10 =P• População atual é de 1,85 milhões;

• Taxa de crescimento de 2% ao ano;

• Quando Curitiba terá 2,5 milhões de habitantes?

( )tPtfP 02,1)( 0==

5,2=P

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 54,202,1.85,102,1

49,202,1.85,102,1

75,202,1.85,102,1

26,202,1.85,102,1

1616

0

1515

0

2020

0

1010

0

≅==

≅==

≅==

≅==

PP

PP

PP

PP

Daqui pouco mais de

15 anos.


Funções

LOGARITMOS

A função logaritmo, logax, é definida como sendo a inversa da função

exponencial ax. Dizemos que:

Chamamos o a de base do logaritmo.

cxa =log significa xac =

• Bases comuns: 10 (log10x ou log(x)), e (logex ou ln(x)), 2 (log2x)

• O logaritmo não está definido para x ≤ 0;

• log10x em outras palavras: O logaritmo de x na base 10 é a potência

de 10 que se precisa para obter x.

( )

BAB

A

BAAB

logloglog

logloglog

−=

+= ( )( ) x

ApA

x

p

=

=

10log

loglog

01log

10log

=

= xx

Regras:

11


Funções

LOGARITMOS

Logaritmos e exponenciais

-2 0 2 4 6 8 10-2

0

2

4

6

8

10

10x

2x

log2x

log10x

Logaritmos e potências

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x1/3

log(x)


Funções

O NÚMERO e E O LOGARITMO NATURAL

Juros compostos

• 12% de juros ao ano com capitalização anual:

M = C.(1 + 0,12)1 = C.(1,12)1 após um ano;

M = C.(1 + 0,12)2 = C.(1,12)2 após dois anos;

M = C.(1 + 0,12)t = C.(1,12)t após t anos.

• 12% de juros ao ano com capitalização trimestral:

M = C.(1 + 0,12/4)4 = C.(1,03)4 após um ano;

M = C.(1 + 0,12/4)8 = C.(1,12)8 após dois anos;

M = C.(1 + 0,12/4)4t = C.(1,12)t após t anos.

(1,03)4 ≈ 1,1255 > 1,12

12


Funções


Juros compostos

E se a freqüência de capitalização for ainda maior?

• 100 vezes por ano: (1 + 0,12/100)100 ≈ 1,12741574

• 1000 vezes por ano: (1 + 0,12/1000)1000 ≈ 1,127488734

• 10000 vezes por ano: (1 + 0,12/10000)10000 ≈ 1,12749604

E o número e?

• Para um número n muito grande: 12,012,01 e

n

n

→

+

Obs.: e ≈ 2.7182818284590455


Funções


ln(x) é a potência de e necessária para se obter x

cxx e == logln significa xec =

Assumindo que: e portanto:

Podemos escrever:

Logo, qualquer função exponencial pode ser escrita como:

onde y0 é a quantidade inicial, k é uma constante positiva (k>0) para

crescimento exponencial e negativa (k<0) para decaimento exponencial.

Dizemos que y está crescendo (ou decaindo) a uma taxa contínua k.

kea = ( )ak ln=

( ) kxxkx eyeyayy 000 ===

kxeyy 0=

13


Funções

EXPANSÃO, TRANSLAÇÂO E SOMA DE FUNÇÕES

Expansão

-5 0 5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

y = f(x)

y = -2f(x)

y = 3f(x)


Funções


Translação

-10 -5 0 5 100

50

100

150

x

y

y = x2

(y - 50) = x2

-10 -5 0 5 10 150

20

40

60

80

100

x

y

y = x2

y = (x - 5)2

14


Funções

Soma


0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

x

y

y = 1/x

y = x2

y = 1/x + x2


Funções

FUNÇÕES COMPOSTAS

Derramamento de petróleo

• A área (circular) é função do raio:

• O raio é função do tempo:

• A área em função do tempo é dada por substituição:

Dizemos que A é uma função composta ou uma “função de uma

função” que é denotada por:

( ) 2.rrfA π==

( ) )1( +== ttgr

22)1(. +== trA ππ

( )( ) ( )( ) ( )221+=== ttgtgfA ππ

15


Funções

FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

-10 -5 0 5 100

20

40

60

80

100

x

y

y = x2

Função par

-10 -5 0 5 10-1000

-500

0

500

1000

x

y

y = x3

Função ímpar

Em geral, para qualquer função f:

• f é uma função par se f(-x) = f(x) para todo x;

• f é uma função ímpar se f(-x) = -f(x) para todo x.


Funções

FUNÇÕES PERIÓDICAS

Eletrocardiograma de uma pessoa saudável

1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05

x 104

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Nota “lá” de um contrabaixo elétrico

16


Funções

FUNÇÕES PERIÓDICAS

Uma função é dita periódica se ela se repetir em intervalos constantes, ou

seja:

p é o período da função periódica, ou seja, o intervalo necessário para que

a função se repita. Em outras palavras, f(x) se repete de “p em p”.

( ) ( ) ( ) ( ) ...32 ++=+=+== xpfxpfxpfxfy


Funções

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Corrente alternada

Tensão em uma tomada de 127V

e 60Hz

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-180

0

180

tempo(s)

tensão (V)

17


Funções


Círculo unitário e radianos

Um radiano é definido como o ângulo central, no círculo unitário,

correspondente a um arco de comprimento 1, medido no sentido anti-

horário.

Obs.: 180º = π radianos ; π ≈ 3.1415926535897931


Funções


Seno e co-seno

1cossin 22 =+ θθ

-15 -10 -5 0 5 10 15-1

0

1

x

y

y = sen(x)

y = cos(x)

• P é definido pelo ângulo θ;

• Seno é a projeção de P no eixo y;

• Coseno é a projeção de P no eixo x;

18


Funções


Seno e co-seno

A amplitude de uma oscilação é a

metade da distância entre os valores

máximo e mínimo

-3pi -5pi/2 -2pi -3pi/2 -pi -pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 5pi/2 3pi-1

0

1

x

y

y = sen(x)

y = cos(x)

Observe que ambas são

funções periódicas.

Além disso:

( ) ( )2cos π+= xsenx

( ) ( )2cos π−= xxsen


Funções

Para descrever quaisquer períodos e amplitudes, usamos funções da

forma:

A é a amplitude e 2π/B é o período.

Para representar defasamentos (deslocamentos no eixo x) basta substituir

x por (x – d), onde d é o ângulo de defasagem.

d > 0 desloca a função para a direita, enqaunto d < 0 a desloca para a

esquerda.


( ) ( )BxAsenxfy == e ( ) ( )BxAxfy cos==

19


Funções


Tangente

A função tangente é definida como sendo:

( ) ( )( )xxsen

xtgcos

=


Funções


Funções trigonométricas inversas

Para -1 ≤ y ≤ 1 e -π/2 ≤ x ≤ π/2

( ) xyarcsen = ( ) yxsen =significa

Para -1 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ π

Para -π/2 ≤ x ≤ π/2

( ) xy =arccos ( ) yx =cossignifica

( ) xyarctg = ( ) yxtg =significa

20


Funções

Funções trigonométricas inversas


( )xarcseny =

( )xarctgy =

( )xy arccos=


Funções

FUNÇÕES POLINOMIAIS

Funções polinomiais apresentam a seguinte forma:

• an ≠ 0;

• n é um inteiro positivo chamado de grau do polinômio

( ) 01

1

1 ... axaxaxaxpy n

n

n

n ++++== −−

Graus 1, 2 e 3 Grau 4 Grau 5

21


Funções

FUNÇÕES RACIONAIS

Funções racionais apresentam a seguinte forma:

onde p e q são polinômios.

( ) ( )( )xqxp

xfy ==

( ) ( )( ) ∑

∑

=

−

=

−

==Q

j

j

j

P

i

i

i

za

zb

zA

zBzH

0

0

Por exemplo em projetos de filtros digitais:

Documents

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