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Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005 Metodo dei potenziali nodali Le correnti incognite di un circuito dipendono dalle differenze di potenziale e non dall’effettivo valore del potenziale di ogni nodo. ( ) R R V I B A Φ Φ = = ( ) R E R E V I B A = = Φ Φ R V A B I E R + I V A B

potenziale ai nodi

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elettrotecnica

Text of potenziale ai nodi

Metodo dei potenziali nodaliLe correnti incognite di un circuito dipendono dalle differenze di potenziale e non dalleffettivo valore del potenziale di ogni nodo.

A

A

+E

R

I V R V

V ( A B ) I= = R R

V E ( A B ) E I= = BI R R B

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Pertanto, possibile fissare a zero il potenziale di un nodo (potenziale di riferimento)

1

2

I1R1+

I2 R3 I3 I4R2+

Ci si indica con il segno grafico

R4

JNel caso del circuito in figura si ha:

E1 4

E2 R5 I5 3

4 = 0

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Risulta possibile esprimere le correnti in ogni lato (controllato in tensione) in funzione dei potenziali dei nodi ai quali i lati sono collegati. Per i lati contenenti solo resistenze

A

Rk Ik

VkB

Vk ( A B ) Ik = = = Gk ( A B ) Rk Rk

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Nei lati contenenti generatori reali di tensione si ha:

VRkA

+Ek

Rk

Ik VkB

VRk A (B + Ek ) Ik = = Rk RkI k = Gk Ek + GkVk = = Gk Ek + Gk ( A B )

termine noto

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Le correnti di lato del circuito possono essere espresse in funzione dei potenziali di nodo e delle conduttanze di lato. 1 2 I1 = G1( 4 + E1 1 )

I1R1+

I2R2+

R3 I3 R4

I4J

I2 = G2( 1 4 E2 ) = G1( E1 1 ) =G ( E ) I = G2( 1 2 )3 3 1 2

I4 = G4 ( 2 3 ) I5 = G5( 4 3 ) = G53

E1 4

E2 R5 I5 3

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Le (n-1) incognite potenziali nodali soddisfano automaticamente le LKT

1

V3

2

V2 V3 V4 +V5 = 0

V2

1R2 4R 1 + 2 2 + 3 + 4 3 = 0 4

I2 R3 I3 I4

+

E2 R5 I5 4

V4 il potenziale di ogni nodo dellamaglia viene contato una volta col segno pi ed una con il segno meno.

V5

3

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Linsieme delle incognite potenziali di nodo deve soddisfare le n-1 LKC indipendenti.

1

2

nodo 1) I1 + I 2 + I 3 = 0nodo 2) I 3 + I 4 = JJ

I1R1+

I2 R3 I3 I4R2+

R4

E1 4

E2 R5 I5 3

nodo 3) I 4 I 5 = J

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1

2

I1R1+

I2R2+

R3 I3 R4

I4J

nodo1) I1 + I 2 + I 3 = 0 nodo 2) I 3 + I 4 = J nodo3) I 4 I 5 = J

E1

G3 (1 2 ) + G4 ( 2 3 ) = J

G1 ( E1 1 ) + G2 (1 E2 ) + G3 (1 2 ) = 0 43

E2 R5 I5

G4 ( 2 3 ) G5 ( 4 3 ) = JProf. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno

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G1(E1 1) + G2 (1 E2 ) + G3 (1 2 ) = 0 G3 (1 2 ) + G4 (2 3 ) = J G4 (2 3 ) G5 (4 3 ) = JRiordinando

( G1 + G 2 + G 3 ) 1 G 3 2 = G1 E 1 + G 2 E 2 G 3 1 + ( G 3 + G 4 ) 2 G 4 3 = J G 4 2 + ( G 4 + G 5 ) 3 = JProf. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno

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( G1 + G 2 + G 3 ) 1 G 3 2 = G1 E 1 + G 2 E 2 G 3 1 + ( G 3 + G 4 ) 2 G 4 3 = J G 4 2 + (G 4 + G5 ) 3 = Jin forma matriciale

0 1 G1E1 + G2E2 G1 + G2 + G3 G3 G3 + G4 G4 2 = J G3 0 G4 G4 + G5 3 J

G = J*Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno

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0 1 G1E1 + G2E2 G1 + G2 + G3 G3 G3 + G4 G4 2 = J G3 0 G4 G4 + G5 3 J

G = J *G - matrice delle conduttanze di nodo; J* - vettore dei termini noti.Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno

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I termini:

1

2

Ghh

I1R1+

I2R2+

R3 I3 R4

I4J

sono le somme di tutte conduttanze che incidono nel nodo h.

G11 = ( G1 + G2 + G3 ) G22 = ( G3 + G4 )

E1 4

E2 R5 I5 3

G33 = ( G4 + G5 )

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I termini:

Ghk=Gkh1 2

I1R1+

I2 R3 I3 I4R2+

R4

J

sono le conduttanze cambiate di segno che collegano il nodo h con il nodo k (matrice simmetrica).

E1 4

E2 R5 I5 3

G12 = G21 = G3G13 = G31 = 0

G23 = G32 = G4

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I termini noti si ottengono sulla base della equivalenza del generatore reale di tensione con quello reale di corrente.

IR

IR E/R

V+

V

E

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Le correnti di lato del circuito possono essere calcolate una volta ricavati i potenziali di nodo.

1

2

I1 = G1( 4 + E1 1 ) = G1( E1 1 )J

I1R1+

I2 R3 I3 I4R2+

R4

I2 = G2( 1 4 E2 ) = G2( 1 E2 )

E1 4

E2 R5 I5 3

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1

2

I1R1+

I2 R3 I3 I4R2+

I3 = G3( 1 2 )J

R4

I4 = G4 ( 2 3 ) I5 = G5( 4 3 ) = G53

E1 4

E2 R5 I5 3

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1

2

I1R1+

I2R2+

R3 I3 R4

I4J

Come si pu esprimere la corrente I5?

E1 4

E2 E5 I 5+

Il generatore ideale di tensione un bipolo controllato in corrente, non in tensione.

3

In questo caso si usa il metodo nodale modificato.Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno

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1

2

I1R1+

I2 R3 I3 I4R2+

nodo 1) I1 + I 2 + I 3 = 0 nodo 2) I 3 + I 4 = JJ

R4

nodo 3) I 4 I 5 = Jlato 5 ) 4 3 = E5

E1

E2 E5 I 5+

4 3 Insieme all'incognita I5, si aggiunge l'equazione della caratteristica del lato contenente il bipolo non controllato in tensione.Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno

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1

2

I1R1+

I2 R3 I3 I4R2+

nodo 1) I1 + I 2 + I 3 = 0 nodo 2) I 3 + I 4 = JJ

R4

nodo 3) I 4 I 5 = Jlato 5 ) 4 3 = E5

E1 4

E2 E5 I 5+

3

Il potenziale 3 non sar pi incognito, ma noto e pari a E5.Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno

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Il potenziale 3 non sar pi incognito, ma noto e pari a E5

G1 ( E 1 1 ) + G 2 ( 1 E 2 ) + G 3 ( 1 2 ) = 0

G3 ( 1 2 ) + G4 ( 2 3 ) = J G4 ( 2 3 ) I 5 = J 4 3 = 3 = E5

0 0 1 G1E1 + G2E2 G1 + G2 + G3 G3 J G3 + G4 G4 0 2 G3 = J 0 G4 G4 1 3 I E 0 0 1 0 5 5 Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno

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Formula di MillmannA

I1R1+

I2R2+

InRn+

E1

E2

EnB

Il metodo dei potenziali di nodo consente di calcolare la tensione ai capi del parallelo di n generatori reali di tensione. La formula risultante va sotto il nome di formula di Millmann.

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Per la LKC al nodo A:

A

Ii = 0i =1

n

I1R1+

I2R2+

InRn+

I i = Gi ( B + Ei A )

E1

E2

En nB

Gi ( B + Ei A ) = 0i=1

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A

I1R1+

I2R2+

InRn+

Gi ( B + Ei A ) = 0i=1

n

E1

E2

EnB

La d.d.p. ai morsetti A-B pu essere espressa come:n

A B = V AB = Gi E ii =1Corso di Elettrotecnica I a.a. 2004/2005

Gii =1

n

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RiepilogoConoscenze acquisite: ! Metodo dei potenziali di nodo ! Metodo nodale modificato ! Formula di Millmann

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