Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005

Metodo dei potenziali nodali

Le correnti incognite di un circuito dipendono dalle differenze di potenziale e non dall’effettivo valore del potenziale di ogni nodo.

( )RR

VI BA ΦΦ −==

( )R

ER

EVI BA −−=

−=

ΦΦR V

A

BI

ER+ I

V

A

B

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Pertanto, è possibile fissare a zero il potenziale di un nodo (potenziale di riferimento)

Ciò si indica con il segno grafico

Nel caso del circuito in figura si ha:

Φ4 = 0E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

J

I3 I4

I5

1 2

34

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Risulta possibile esprimere le correnti in ogni lato (controllato in tensione) in funzione dei potenziali dei nodi ai quali i lati sono collegati.

Per i lati contenenti solo resistenze

( ) ( )BAkk

BA

k

kk G

RRVI ΦΦ

ΦΦ−=

−==

Rk Vk

A

B

Ik

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Nei lati contenenti generatori reali di tensione si ha:

)( BAkkk

kkkkk

GEGVGEGI

Φ−Φ+−==+−=

( )k

kBA

k

Rkk R

ERVI +−

==ΦΦ

Ek

Rk+ Ik

Vk

A

B

VRk

termine noto

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Le correnti di lato del circuito possono essere espresse in funzione dei potenziali di nodo e delle conduttanze di lato.

)E(G)E(GI

111

11411

ΦΦΦ

−=−+=

353455

3244

2133

G)(GI)(GI)(GI

ΦΦΦΦΦΦΦ

−=−=−=−=

E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

J

I3 I4

I5

1 2

34

)E(G)E(GI

212

24122

−=−−=

ΦΦΦ

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Le (n-1) incognite potenziali nodali soddisfano automaticamente le LKT

0VVVV 5432 =+−−

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

I3 I4

I5

2

34

V2

1

V5

V3

V4

034322141 =−++−+−− ΦΦΦΦΦΦΦΦ

il potenziale di ogni nodo della maglia viene contato una volta col segno più ed una con il segno meno.

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L’insieme delle incognite potenziali di nodo deve soddisfare le n-1 LKC indipendenti.

E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

J

I3 I4

I5

1 2

34

0III 321 =++− 1) nodo

JII 43 =+− 2) nodo

JII 54 −=−− 3) nodo

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JIIJII

0III

54

43

321

−=−−=+−

=++−

3) nodo 2) nodo 1) nodo

E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

J

I3 I4

I5

1 2

34

JGGJGG

GEGEG

−=Φ−Φ−Φ−Φ−=Φ−Φ+Φ−Φ−

=Φ−Φ+−Φ+Φ−−

)()()()(

0)()()(

345324

324213

213212111

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J)GG(GJG)GG(G

EGEGG)GGG(

35424

3424313

2211231321

−=++−=−++−+=−++

ΦΦΦΦΦ

ΦΦ

JGGJGG

GEGEG

−=Φ−Φ−Φ−Φ−=Φ−Φ+Φ−Φ−

=Φ−Φ+−Φ+Φ−−

)()()()(

0)()()(

345324

324213

213212111

Riordinando

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JGGGJGGGG

EGEGGGGG

−=Φ++Φ−=Φ−Φ++Φ−+=Φ−Φ++

35424

3424313

2211231321

)()(

)(

−

+=

+−−+−

−++

JJ

EGEG

GGG0GGGG0GGGG 2211

3

2

1

544

4433

3321

ΦΦΦ

*JG =Φ⋅

in forma matriciale

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−

+=

+−−+−

−++

JJ

EGEG

GGG0GGGG0GGGG 2211

3

2

1

544

4433

3321

ΦΦΦ

*JG =Φ⋅

G - matrice delle conduttanze di nodo; J* - vettore dei termini noti.

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E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

J

I3 I4

I5

1 2

34

)GGG(G 32111 ++=

I termini:Ghh

sono le somme di tutte conduttanze che incidono nel nodo h.

)GG(G 4322 +=

)GG(G 5433 +=

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E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

J

I3 I4

I5

1 2

340GG 3113 ==

I termini: Ghk=Gkh

sono le conduttanze cambiate di segno che collegano il nodo h con il nodo k (matrice simmetrica).

32112 GGG −==

GGG −== 43223

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I termini noti si ottengono sulla base della equivalenza del generatore reale di tensione con quello reale di corrente.

E/R

I

V R

E

R

+

I

V

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Le correnti di lato del circuito possono essere calcolate una volta ricavati i potenziali di nodo.

)E(G)E(GI

111

11411

ΦΦΦ

−=−+=

E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

J

I3 I4

I5

1 2

34

)E(G)E(GI

212

24122

−=−−=

ΦΦΦ

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353455

3244

2133

G)(GI)(GI)(GI

ΦΦΦΦΦΦΦ

−=−=−=−=

E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

R5

J

I3 I4

I5

1 2

34

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Come si può esprimere la corrente I5?

Il generatore ideale di tensione è un bipolocontrollato in corrente,non in tensione.

E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

E5

J

I3 I4

I5

1 2

34+

In questo caso si usa il metodo nodale modificato.

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JIIJII

0III

54

43

321

−=−−=+−

=++−

3) nodo 2) nodo 1) nodo

E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

E5

J

I3 I4

I5

1 2

34+ 5E)5lato −=− 34 ΦΦ

Insieme all'incognita I5, si aggiunge l'equazione della caratteristica del lato contenente il bipolonon controllato in tensione.

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JIIJII

0III

54

43

321

−=−−=+−

=++−

3) nodo 2) nodo 1) nodo

E1

R1

+

I1

E2

R2

+

I2R3

R4

E5

J

I3 I4

I5

1 2

34+ 5E)5lato −=− 34 ΦΦ

Il potenziale Φ3 non sarà più incognito, ma noto e pari a E5.

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5334

5324

324213

213212111

)()()(

0)()()(

EJIG

JGGGEGEG

−=Φ−=Φ−Φ−=−Φ−Φ−

=Φ−Φ+Φ−Φ−=Φ−Φ+−Φ+Φ−−

Il potenziale Φ3 non sarà più incognito, ma noto e pari a E5

−−

+

=

ΦΦΦ

−−−−

−+−−++

5

2211

5

3

2

1

44

4433

3321

010010

000

EJ

JEGEG

IGGGGGG

GGGG

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Formula di Millmann

E1

R1+

I1

R2

+

I2

A

B

Rn

+

In

E2 En

Il metodo dei potenziali di nodo consente di calcolare la tensione ai capi del parallelo di n generatori reali di tensione.

La formula risultante va sotto il nome di formula di Millmann.

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E1

R1

+

I1

R2

+

I2

A

B

Rn

+

In

E2 En

)E(GI AiBii ΦΦ −+=

0=n

1=i∑ −+ )E(G AiBi ΦΦ

0=n

1=i∑ iI

Per la LKC al nodo A:

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E1

R1+

I1

R2

+

I2

A

B

Rn

+

In

E2 En

0=n

1=i∑ −+ )E(G AiBi ΦΦ

La d.d.p. ai morsetti A-B può essere espressa come:

∑∑==−n

1=i

n

1=iiiiABBA GEGVΦΦ

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Riepilogo

Conoscenze acquisite:

! Metodo dei potenziali di nodo! Metodo nodale modificato! Formula di Millmann