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elettrotecnica
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
Metodo dei potenziali nodali
Le correnti incognite di un circuito dipendono dalle differenze di potenziale e non dall’effettivo valore del potenziale di ogni nodo.
( )RR
VI BA ΦΦ −==
( )R
ER
EVI BA −−=
−=
ΦΦR V
A
BI
ER+ I
V
A
B
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
Pertanto, è possibile fissare a zero il potenziale di un nodo (potenziale di riferimento)
Ciò si indica con il segno grafico
Nel caso del circuito in figura si ha:
Φ4 = 0E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
J
I3 I4
I5
1 2
34
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
Risulta possibile esprimere le correnti in ogni lato (controllato in tensione) in funzione dei potenziali dei nodi ai quali i lati sono collegati.
Per i lati contenenti solo resistenze
( ) ( )BAkk
BA
k
kk G
RRVI ΦΦ
ΦΦ−=
−==
Rk Vk
A
B
Ik
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
Nei lati contenenti generatori reali di tensione si ha:
)( BAkkk
kkkkk
GEGVGEGI
Φ−Φ+−==+−=
( )k
kBA
k
Rkk R
ERVI +−
==ΦΦ
Ek
Rk+ Ik
Vk
A
B
VRk
termine noto
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
Le correnti di lato del circuito possono essere espresse in funzione dei potenziali di nodo e delle conduttanze di lato.
)E(G)E(GI
111
11411
ΦΦΦ
−=−+=
353455
3244
2133
G)(GI)(GI)(GI
ΦΦΦΦΦΦΦ
−=−=−=−=
E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
J
I3 I4
I5
1 2
34
)E(G)E(GI
212
24122
−=−−=
ΦΦΦ
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
Le (n-1) incognite potenziali nodali soddisfano automaticamente le LKT
0VVVV 5432 =+−−
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
I3 I4
I5
2
34
V2
1
V5
V3
V4
034322141 =−++−+−− ΦΦΦΦΦΦΦΦ
il potenziale di ogni nodo della maglia viene contato una volta col segno più ed una con il segno meno.
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
L’insieme delle incognite potenziali di nodo deve soddisfare le n-1 LKC indipendenti.
E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
J
I3 I4
I5
1 2
34
0III 321 =++− 1) nodo
JII 43 =+− 2) nodo
JII 54 −=−− 3) nodo
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
JIIJII
0III
54
43
321
−=−−=+−
=++−
3) nodo 2) nodo 1) nodo
E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
J
I3 I4
I5
1 2
34
JGGJGG
GEGEG
−=Φ−Φ−Φ−Φ−=Φ−Φ+Φ−Φ−
=Φ−Φ+−Φ+Φ−−
)()()()(
0)()()(
345324
324213
213212111
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
J)GG(GJG)GG(G
EGEGG)GGG(
35424
3424313
2211231321
−=++−=−++−+=−++
ΦΦΦΦΦ
ΦΦ
JGGJGG
GEGEG
−=Φ−Φ−Φ−Φ−=Φ−Φ+Φ−Φ−
=Φ−Φ+−Φ+Φ−−
)()()()(
0)()()(
345324
324213
213212111
Riordinando
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
JGGGJGGGG
EGEGGGGG
−=Φ++Φ−=Φ−Φ++Φ−+=Φ−Φ++
35424
3424313
2211231321
)()(
)(
−
+=
+−−+−
−++
JJ
EGEG
GGG0GGGG0GGGG 2211
3
2
1
544
4433
3321
ΦΦΦ
*JG =Φ⋅
in forma matriciale
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−
+=
+−−+−
−++
JJ
EGEG
GGG0GGGG0GGGG 2211
3
2
1
544
4433
3321
ΦΦΦ
*JG =Φ⋅
G - matrice delle conduttanze di nodo; J* - vettore dei termini noti.
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E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
J
I3 I4
I5
1 2
34
)GGG(G 32111 ++=
I termini:Ghh
sono le somme di tutte conduttanze che incidono nel nodo h.
)GG(G 4322 +=
)GG(G 5433 +=
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E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
J
I3 I4
I5
1 2
340GG 3113 ==
I termini: Ghk=Gkh
sono le conduttanze cambiate di segno che collegano il nodo h con il nodo k (matrice simmetrica).
32112 GGG −==
GGG −== 43223
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I termini noti si ottengono sulla base della equivalenza del generatore reale di tensione con quello reale di corrente.
E/R
I
V R
E
R
+
I
V
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Le correnti di lato del circuito possono essere calcolate una volta ricavati i potenziali di nodo.
)E(G)E(GI
111
11411
ΦΦΦ
−=−+=
E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
J
I3 I4
I5
1 2
34
)E(G)E(GI
212
24122
−=−−=
ΦΦΦ
Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005
353455
3244
2133
G)(GI)(GI)(GI
ΦΦΦΦΦΦΦ
−=−=−=−=
E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
R5
J
I3 I4
I5
1 2
34
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Come si può esprimere la corrente I5?
Il generatore ideale di tensione è un bipolocontrollato in corrente,non in tensione.
E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
E5
J
I3 I4
I5
1 2
34+
In questo caso si usa il metodo nodale modificato.
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JIIJII
0III
54
43
321
−=−−=+−
=++−
3) nodo 2) nodo 1) nodo
E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
E5
J
I3 I4
I5
1 2
34+ 5E)5lato −=− 34 ΦΦ
Insieme all'incognita I5, si aggiunge l'equazione della caratteristica del lato contenente il bipolonon controllato in tensione.
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JIIJII
0III
54
43
321
−=−−=+−
=++−
3) nodo 2) nodo 1) nodo
E1
R1
+
I1
E2
R2
+
I2R3
R4
E5
J
I3 I4
I5
1 2
34+ 5E)5lato −=− 34 ΦΦ
Il potenziale Φ3 non sarà più incognito, ma noto e pari a E5.
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5334
5324
324213
213212111
)()()(
0)()()(
EJIG
JGGGEGEG
−=Φ−=Φ−Φ−=−Φ−Φ−
=Φ−Φ+Φ−Φ−=Φ−Φ+−Φ+Φ−−
Il potenziale Φ3 non sarà più incognito, ma noto e pari a E5
−−
+
=
ΦΦΦ
−−−−
−+−−++
5
2211
5
3
2
1
44
4433
3321
010010
000
EJ
JEGEG
IGGGGGG
GGGG
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Formula di Millmann
E1
R1+
I1
R2
+
I2
A
B
Rn
+
In
E2 En
Il metodo dei potenziali di nodo consente di calcolare la tensione ai capi del parallelo di n generatori reali di tensione.
La formula risultante va sotto il nome di formula di Millmann.
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E1
R1
+
I1
R2
+
I2
A
B
Rn
+
In
E2 En
)E(GI AiBii ΦΦ −+=
0=n
1=i∑ −+ )E(G AiBi ΦΦ
0=n
1=i∑ iI
Per la LKC al nodo A:
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E1
R1+
I1
R2
+
I2
A
B
Rn
+
In
E2 En
0=n
1=i∑ −+ )E(G AiBi ΦΦ
La d.d.p. ai morsetti A-B può essere espressa come:
∑∑==−n
1=i
n
1=iiiiABBA GEGVΦΦ
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Riepilogo
Conoscenze acquisite:
! Metodo dei potenziali di nodo! Metodo nodale modificato! Formula di Millmann