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alfio-alfini
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elettrotecnica
Metodo dei potenziali nodaliLe correnti incognite di un circuito dipendono dalle differenze di potenziale e non dalleffettivo valore del potenziale di ogni nodo.
A
A
+E
R
I V R V
V ( A B ) I= = R R
V E ( A B ) E I= = BI R R B
Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
Corso di Elettrotecnica I a.a. 2004/2005
Pertanto, possibile fissare a zero il potenziale di un nodo (potenziale di riferimento)
1
2
I1R1+
I2 R3 I3 I4R2+
Ci si indica con il segno grafico
R4
JNel caso del circuito in figura si ha:
E1 4
E2 R5 I5 3
4 = 0
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Risulta possibile esprimere le correnti in ogni lato (controllato in tensione) in funzione dei potenziali dei nodi ai quali i lati sono collegati. Per i lati contenenti solo resistenze
A
Rk Ik
VkB
Vk ( A B ) Ik = = = Gk ( A B ) Rk Rk
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Nei lati contenenti generatori reali di tensione si ha:
VRkA
+Ek
Rk
Ik VkB
VRk A (B + Ek ) Ik = = Rk RkI k = Gk Ek + GkVk = = Gk Ek + Gk ( A B )
termine noto
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Le correnti di lato del circuito possono essere espresse in funzione dei potenziali di nodo e delle conduttanze di lato. 1 2 I1 = G1( 4 + E1 1 )
I1R1+
I2R2+
R3 I3 R4
I4J
I2 = G2( 1 4 E2 ) = G1( E1 1 ) =G ( E ) I = G2( 1 2 )3 3 1 2
I4 = G4 ( 2 3 ) I5 = G5( 4 3 ) = G53
E1 4
E2 R5 I5 3
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Le (n-1) incognite potenziali nodali soddisfano automaticamente le LKT
1
V3
2
V2 V3 V4 +V5 = 0
V2
1R2 4R 1 + 2 2 + 3 + 4 3 = 0 4
I2 R3 I3 I4
+
E2 R5 I5 4
V4 il potenziale di ogni nodo dellamaglia viene contato una volta col segno pi ed una con il segno meno.
V5
3
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Linsieme delle incognite potenziali di nodo deve soddisfare le n-1 LKC indipendenti.
1
2
nodo 1) I1 + I 2 + I 3 = 0nodo 2) I 3 + I 4 = JJ
I1R1+
I2 R3 I3 I4R2+
R4
E1 4
E2 R5 I5 3
nodo 3) I 4 I 5 = J
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1
2
I1R1+
I2R2+
R3 I3 R4
I4J
nodo1) I1 + I 2 + I 3 = 0 nodo 2) I 3 + I 4 = J nodo3) I 4 I 5 = J
E1
G3 (1 2 ) + G4 ( 2 3 ) = J
G1 ( E1 1 ) + G2 (1 E2 ) + G3 (1 2 ) = 0 43
E2 R5 I5
G4 ( 2 3 ) G5 ( 4 3 ) = JProf. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
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G1(E1 1) + G2 (1 E2 ) + G3 (1 2 ) = 0 G3 (1 2 ) + G4 (2 3 ) = J G4 (2 3 ) G5 (4 3 ) = JRiordinando
( G1 + G 2 + G 3 ) 1 G 3 2 = G1 E 1 + G 2 E 2 G 3 1 + ( G 3 + G 4 ) 2 G 4 3 = J G 4 2 + ( G 4 + G 5 ) 3 = JProf. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
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( G1 + G 2 + G 3 ) 1 G 3 2 = G1 E 1 + G 2 E 2 G 3 1 + ( G 3 + G 4 ) 2 G 4 3 = J G 4 2 + (G 4 + G5 ) 3 = Jin forma matriciale
0 1 G1E1 + G2E2 G1 + G2 + G3 G3 G3 + G4 G4 2 = J G3 0 G4 G4 + G5 3 J
G = J*Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
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0 1 G1E1 + G2E2 G1 + G2 + G3 G3 G3 + G4 G4 2 = J G3 0 G4 G4 + G5 3 J
G = J *G - matrice delle conduttanze di nodo; J* - vettore dei termini noti.Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
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I termini:
1
2
Ghh
I1R1+
I2R2+
R3 I3 R4
I4J
sono le somme di tutte conduttanze che incidono nel nodo h.
G11 = ( G1 + G2 + G3 ) G22 = ( G3 + G4 )
E1 4
E2 R5 I5 3
G33 = ( G4 + G5 )
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I termini:
Ghk=Gkh1 2
I1R1+
I2 R3 I3 I4R2+
R4
J
sono le conduttanze cambiate di segno che collegano il nodo h con il nodo k (matrice simmetrica).
E1 4
E2 R5 I5 3
G12 = G21 = G3G13 = G31 = 0
G23 = G32 = G4
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I termini noti si ottengono sulla base della equivalenza del generatore reale di tensione con quello reale di corrente.
IR
IR E/R
V+
V
E
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Le correnti di lato del circuito possono essere calcolate una volta ricavati i potenziali di nodo.
1
2
I1 = G1( 4 + E1 1 ) = G1( E1 1 )J
I1R1+
I2 R3 I3 I4R2+
R4
I2 = G2( 1 4 E2 ) = G2( 1 E2 )
E1 4
E2 R5 I5 3
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1
2
I1R1+
I2 R3 I3 I4R2+
I3 = G3( 1 2 )J
R4
I4 = G4 ( 2 3 ) I5 = G5( 4 3 ) = G53
E1 4
E2 R5 I5 3
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1
2
I1R1+
I2R2+
R3 I3 R4
I4J
Come si pu esprimere la corrente I5?
E1 4
E2 E5 I 5+
Il generatore ideale di tensione un bipolo controllato in corrente, non in tensione.
3
In questo caso si usa il metodo nodale modificato.Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
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1
2
I1R1+
I2 R3 I3 I4R2+
nodo 1) I1 + I 2 + I 3 = 0 nodo 2) I 3 + I 4 = JJ
R4
nodo 3) I 4 I 5 = Jlato 5 ) 4 3 = E5
E1
E2 E5 I 5+
4 3 Insieme all'incognita I5, si aggiunge l'equazione della caratteristica del lato contenente il bipolo non controllato in tensione.Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
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1
2
I1R1+
I2 R3 I3 I4R2+
nodo 1) I1 + I 2 + I 3 = 0 nodo 2) I 3 + I 4 = JJ
R4
nodo 3) I 4 I 5 = Jlato 5 ) 4 3 = E5
E1 4
E2 E5 I 5+
3
Il potenziale 3 non sar pi incognito, ma noto e pari a E5.Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
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Il potenziale 3 non sar pi incognito, ma noto e pari a E5
G1 ( E 1 1 ) + G 2 ( 1 E 2 ) + G 3 ( 1 2 ) = 0
G3 ( 1 2 ) + G4 ( 2 3 ) = J G4 ( 2 3 ) I 5 = J 4 3 = 3 = E5
0 0 1 G1E1 + G2E2 G1 + G2 + G3 G3 J G3 + G4 G4 0 2 G3 = J 0 G4 G4 1 3 I E 0 0 1 0 5 5 Prof. Vincenzo Tucci Dip. di Ing. dellInformazione e Ing. Elettrica - Universit di Salerno
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Formula di MillmannA
I1R1+
I2R2+
InRn+
E1
E2
EnB
Il metodo dei potenziali di nodo consente di calcolare la tensione ai capi del parallelo di n generatori reali di tensione. La formula risultante va sotto il nome di formula di Millmann.
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Per la LKC al nodo A:
A
Ii = 0i =1
n
I1R1+
I2R2+
InRn+
I i = Gi ( B + Ei A )
E1
E2
En nB
Gi ( B + Ei A ) = 0i=1
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A
I1R1+
I2R2+
InRn+
Gi ( B + Ei A ) = 0i=1
n
E1
E2
EnB
La d.d.p. ai morsetti A-B pu essere espressa come:n
A B = V AB = Gi E ii =1Corso di Elettrotecnica I a.a. 2004/2005
Gii =1
n
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RiepilogoConoscenze acquisite: ! Metodo dei potenziali di nodo ! Metodo nodale modificato ! Formula di Millmann
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