ANÁLISE COMBINATÓRIAO que você deve saber sobre

A análise combinatória fornece ferramentas fundamentais para determinar a quantidade de elementos em um dado conjunto. Nesse sentido, tendo como objetivo o conhecimento do todo, ela precede a probabilidade e a estatística.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Árvore de possibilidades: uma escolha, ou evento, abre duas ou mais possibilidades para outra escolha, ou evento, subsequente.Princípio multiplicativoConsidere um fenômeno que seja resultado de dois eventos (ou duas escolhas) A e B, que ocorrem sucessivamente e de modo independente. Se o evento A pode ocorrer de n maneiras diferentes e se, para cada uma dessas possibilidades, o evento B pode ocorrer de m maneiras diferentes, então, a quantidade de maneiras diferentes que o fenômeno pode ocorrer é igual ao produto m . n.

I. Contagem

II. Permutação

Simples: sequência ordenada e formada pelos n elementos de um conjunto em que não há elementos repetidos. Exemplos: • A geração de anagramas com as letras de uma palavra formada por letras distintas, duas a duas. • As configurações de pessoas em filas ou mesas.

Para um conjunto de n elementos distintos, o número Pn de permutações simples e possível de fazer com os n elementos:

Pn = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) .... . 3 . 2 . 1 Pn = n!

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Com repetiçãoO número total de permutações é inferior àquele que se poderia fazer, caso todos os elementos fossem diferentes.Os elementos repetidos geram sequências idênticas, o que reduz o número total de possibilidades distintas. O número de permutações em um conjunto com n elementos, sendo n1 a quantidade de elementos repetidos de um tipo 1, n2 a quantidade de elementos repetidos de um tipo 2, ... e nk a quantidade de elementos repetidos de um tipo k, é:

II. Permutações

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Os n elementos do conjunto são dispostos numa determinada ordem em torno de um círculo ou em uma tal configuração que, uma vez percorridos todos os elementos do conjunto, retorna-se ao início. Ex.: a disposição de convidados em torno de uma mesa. Não há nem primeira nem última posição. Observe a disposição de 5 letras em um círculo:

Circulares

II. Permutações

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Mantendo-se a sequência ABCDE, podemos gerar mais duas posições por rotação.

Nas permutações circulares de n elementos de um conjunto, o número de possibilidades diferentes, indicado por PCn, é dado por:

Representação das figuras geradas pelo traçado das diagonais de diversos polígonos, um problema clássico de geometria plana. Os vértices desses polígonos servem de elementos em permutações circulares.

II. PermutaçõesCirculares

ANÁLISE COMBINATÓRIA

São configurações ordenadas de alguns elementos de um conjunto em que a quantidade de elementos é menor que a quantidade de elementos do conjunto original ou igual a ela. Num conjunto com n elementos, se fizermos arranjos de p elementos, estaremos arranjando n elementos tomados p a p.

Número total de elementos:

III. Arranjos

Possibilidades de arranjos circulares com quatro elementos

ANÁLISE COMBINATÓRIA

São subconjuntos formados por elementos de um conjunto em que a ordem dos elementos não importa. Por isso devemos descontar do total aquelas combinações que possuem os mesmos elementos, em ordens diferentes.Como nos arranjos, dos n elementos de um conjunto fazemos combinações com p elementos; dizemos então que fazemos combinações de n elementos, tomados p a p:

IV. Combinações simples

Número de combinações possíveis nessas condições:

ANÁLISE COMBINATÓRIA

O desenvolvimento das potências da soma de duas parcelas, tais como (a + b)n, leva a expressões que são somas de parcelas de produtos da forma ak . bn - k acompanhadas de coeficientes inteiros. Por ex., se fizermos (a + b)5, teremos parcelas com todas as combinações possíveis de expoentes no produto entre a e b, de 0 a 5, com soma sempre igual a 5:

Os coeficientes de cada parcela correspondem às combinações possíveis de fazer com os valores dos expoentes das duas parcelas. Ex.: as possibilidades para o coeficiente de a2b3 são, entre outras:

V. O binômio de Newton

ANÁLISE COMBINATÓRIA

a0b5, a1b4, a2b3, a3b2, a4b1, a5b0

a a b b b a b a b b a b b a b

• 5 é n, o expoente da potência da soma que queremos efetuar. • 2 é o expoente de a. • A quantidade de parcelas iguais em a2b3 é 10.• Os chamados coeficientes do binômio de cada um dos termos de ak . bn - k no desenvolvimento de (a + b)n são dados por:

V. O binômio de Newton

Número de combinações possíveis:

ANÁLISE COMBINATÓRIA

V. O binômio de NewtonPodemos encontrar os coeficientes do binômio nas linhas do chamado triângulo de Pascal. A linha de ordem n guarda os coeficientes do binômio de grau n, n 0 e n .

ANÁLISE COMBINATÓRIA

(Ufal) Determine o valor da soma a seguir:

2

ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR

EXER

CÍCI

OS

ESSE

NCI

AIS

RESPOSTA:

(UFC-CE) Uma comissão de 5 membros será formada escolhendo-se parlamentares de um conjunto com 5 senadores e 3 deputados. Determine o número de comissões distintas que podem ser formadas obedecendo à regra: a presidência da comissão deve ser ocupada por um senador, e a vice-presidência, por um deputado (duas comissões com as mesmas pessoas, mas em que a presidência ou a vice-presidência sejam ocupadas por pessoas diferentes, são consideradas distintas).

3EX

ERCÍ

CIO

S ES

SEN

CIAI

S

RESPOSTA:

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(Fuvest-SP) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a:a) 928. b) 1.152. c) 1.828. d) 2.412.e) 3.456.

6EX

ERCÍ

CIO

S ES

SEN

CIAI

S

RESPOSTA: E

ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR

(Ufla-MG, adaptado) Um problema clássico em combinatória é calcular o número de maneiras de colocar bolas iguais em caixas diferentes. Calcule o número de maneiras de colocar 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes, sem que nenhuma caixa fique vazia.Sugestão:

Na figura acima, a título de exemplo, aparece uma distribuição possível, com 2 bolas na caixa 1, 3 bolas na caixa 2 e 2 bolas na caixa 3.

8EX

ERCÍ

CIO

S ES

SEN

CIAI

S

RESPOSTA:

ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR

(Unesp) Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor.

Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa, se:a) os países P e S forem coloridos com cores distintas?b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor?

9EX

ERCÍ

CIO

S ES

SEN

CIAI

S

RESPOSTA:

ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR

(Uerj) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:• um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;• um dentre os tamanhos: pequeno e grande;• de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.Calcule:a) quantos sanduíches distintos podem ser montados;b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.

1EX

ERCÍ

CIO

S ES

SEN

CIAI

S 11

RESPOSTA:

ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR

(UFC-CE) Considere o conjunto de dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.a) Dentre todos os números naturais com 4 dígitos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4.b) Dentre todos os números naturais com 3 dígitos distintos que se pode formar utilizando somente elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 3.

1EX

ERCÍ

CIO

S ES

SEN

CIAI

S 12

ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR

RESPOSTA:

(UFBA) Numa disputa entre três times, estabeleceu-se que:• cada time jogaria duas vezes contra cada um dos outros dois, sendo uma partida no seu próprio estádio e outra no estádio do adversário;• cada time ganharia dois pontos por vitória e um ponto por empate, não marcando ponto em caso de derrota;• ao final das seis partidas, em que estará em disputa um total de 12 pontos, o campeão seria o time que acumulasse o maior número de pontos.Um dos times somou três pontos nas partidas realizadas no próprio estádio, e outro empatou todas as partidas que disputou.Sabendo que, ao final de todas as partidas, os times ficaram com pontuações distintas e que a pontuação do campeão foi um número par, determine o produto das pontuações finais dos três times.

1EX

ERCÍ

CIO

S ES

SEN

CIAI

S 16

RESPOSTA: Sejam A, B e C os times em questão. O time A somou 3 pontos em 2 partidas realizadas no próprio estádio; logo, ganhou uma e empatou outra. O time C empatou todas as partidas que disputou (2 com A e 2 com B); logo, somou 4 pontos. O time B perdeu para A a partida que disputou no estádio deste. Não ganhou nem empatou a outra, pois nesses casos haveria empates de pontuação; logo, perdeu e somou apenas 2 pontos nos empates com C. Portanto, 6 . 4 . 2 = 48.

ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR