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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PISOS INDUSTRIAIS EM CONCRETO ARMADO
E PROTENDIDO
FERNANDA BARRETO CARREIRO DE ABREU
2021
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PISOS INDUSTRIAIS EM CONCRETO ARMADO
E PROTENDIDO
FERNANDA BARRETO CARREIRO DE ABREU
Projeto de Graduação apresentado ao curso
de Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro,
como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientadoras: Flávia Moll de Souza Judice e
Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
RIO DE JANEIRO
Julho de 2021
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PISOS INDUSTRIAIS EM CONCRETO ARMADO
E PROTENDIDO
Fernanda Barreto Carreiro de Abreu
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
___________________________________________________
Flávia Moll de Souza Judice (Orientadora)
D.Sc, Prof.ª Associada – Poli/UFRJ
___________________________________________________
Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro (Orientadora)
D.Sc, Prof.ª Associada – UFF
__________________________________________________
Fernando Celso Uchôa Cavalcanti
M.Sc, Prof. Adjunto – Poli/UFRJ
__________________________________________________
Eng. Marcelo Correia Alcântara Silveira
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JULHO DE 2021
Abreu, Fernanda Barreto Carreiro de
Pré-dimensionamento de Pisos Industriais em Concreto
Armado e Protendido/ Fernanda Barreto Carreiro de Abreu –
Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2021.
xii, 102 p.:il.; 29,7 cm.
Orientadora: Flávia Moll de Souza Judice
Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Civil, 2021.
Referências Bibliográficas: p. 76-78
1. Piso Industrial 2. Concreto Armado 3. Concreto
Protendido.
I. Judice, Flávia M. S., et al.; II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III.
Pré-dimensionamento de Pisos Industriais em Concreto
Armado e Protendido.
DEDICATÓRIA
Dedico esta conquista aos meus pais, Rosiane e Marco Antônio e à minha filha, Maya.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por ter me sustentado até aqui me guiando e me ajudando ao
longo de toda trajetória.
Aos meus pais, Rosiane e Marco Antônio, por todo apoio que me foi dado ao
longo da minha vida, pelo cuidado e amor incondicional, por todas as preocupações e
conselhos, por todas as vezes que acreditaram em mim mais do que eu mesma. Agradeço
especialmente à minha mãe, que não mediu esforços para que esses dois últimos anos
fossem mais leves, me ajudando a cuidar da nossa Maya para que eu pudesse finalizar
meu ciclo acadêmico de forma mais tranquila.
Ao meu irmão, pela cumplicidade e fraternidade.
À minha filha por todos os sorrisos e carinhos. Maya é minha força para continuar.
Ao meu marido, por toda paciência comigo durante os anos de faculdade. E, por
todas as palavras e sentimentos compartilhados.
Aos meus amigos de faculdade que tornaram o caminho mais feliz, pela troca
mútua de palavras, choros, risadas, materiais de estudos e ensinamentos técnicos.
Às professoras Flávia Moll e Mayra Perlingeiro, por acreditarem no meu
potencial, e terem aceitado me orientar, me ajudando a realizar este trabalho com tanta
paciência.
Agradeço à UFRJ, que me ofereceu formação gratuita e de qualidade, à qual serei
eternamente grata. Aproveito para agradecer a todos os professores que cruzaram comigo
nesses anos de graduação, e que me inspiram a ser uma engenheira cada vez melhor.
.
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PISOS INDUSTRIAIS EM CONCRETO ARMADO
E PROTENDIDO
Fernanda Barreto Carreiro de Abreu
Julho de 2021
Orientadoras: Flávia Moll de Souza Judice e Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
Pisos industriais são pavimentos de alto desempenho, geralmente adotados em ambientes
de tráfego intenso, com cargas atuantes elevadas e/ou sujeitos a ataques de agentes
agressivos. Para manter um bom estado de serviço é fundamental evitar patologias que
exijam manutenção ou recuperação estrutural e, consequentemente, desmobilização (total
ou localizada) e custos inerentes ao processo. Dessa maneira, o concreto deve ter
características específicas de forma a atender aos critérios de segurança, utilização e
durabilidade das estruturas. Este trabalho pretende avaliar o comportamento estrutural de
pisos industriais em concreto armado e em concreto protendido, comparando desempenho
e longevidade, a fim de direcionar para cada caso a melhor solução. Diferentes tipos de
solo de suporte e cargas atuantes variando entre 25 kN/m² e 100 kN/m² serão analisadas
a fim de se estabelecer ábacos para o pré-dimensionamento dessas estruturas.
Palavras-chave: Piso Industrial; Concreto Armado; Concreto Protendido.
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Civil Engineer.
PRE-SIZING OF INDUSTRIAL FLOORS IN REINFORCED AND PRESTRESSED
CONCRETE
Fernanda Barreto Carreiro de Abreu
July 2021
Advisers: Flávia Moll de Souza Judice and Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
Industrial floors are high-performance floors, usually adopted in heavy traffic
environments, with high working loads and/or subject to attacks by aggressive agents.
Keeping a good state of service is essential to avoid pathologies that require maintenance
or structural recovery and, consequently, demobilization (total or localized) and process-
related costs. Thus, the concrete must have specific characteristics to meet the structures
safety, use, and durability. This work aims to evaluate the structural behavior of industrial
floors in reinforced concrete and prestressed concrete, comparing performance and
longevity to direct the best solution to each case. Different types of support soil and
working loads ranging from 25 kN/m² to 100 kN/m² will be analyzed to establish abacuses
for pre-sizing these structures.
Keywords: Industrial Floor; Reinforced Concrete; Prestressed Concrete.
i
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIGURA 1.1: PISO INDUSTRIAL EM UM GALPÃO DE DEPÓSITO (LPE ENGENHARIA, 2015). ................................................ 1
FIGURA 1.2: EXEMPLO DE PATOLOGIAS NO PISO INDUSTRIAL (ANAPRE, 2006). .......................................................... 2
FIGURA 2.1: PAVIMENTO DE CONCRETO SIMPLES SEM BARRA DE TRANSFERÊNCIA (ADAPTADO DE BALBO, 2009). .............. 6
FIGURA 2.2: PAVIMENTO DE CONCRETO SIMPLES COM BARRA DE TRANSFERÊNCIA (ADAPTADO DE BALBO, 2009). ............. 6
FIGURA 2.3: PAVIMENTO DE CONCRETO ESTRUTURALMENTE ARMADO (ADAPTADO DE BALBO, 2009). ............................ 8
FIGURA 2.4: PAVIMENTO DE CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS (ADAPTADO DE BALBO, 2009). .................................. 9
FIGURA 2.5: PAVIMENTO DE CONCRETO PROTENDIDO (ADAPTADO DE BALBO, 2009). ................................................ 10
FIGURA 3.1: DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES DE CONTATO (VELLOSO E LOPES, 2016). ................................................. 11
FIGURA 3.2: MODELO DE WINKLER (VELLOSO E LOPES, 2016). .......................................................................... 12
FIGURA 3.3: MODELO DO MEIO CONTÍNUO ELÁSTICO E ELASTOPLÁSTICO (VELLOSO E LOPES, 2016). .......................... 13
FIGURA 3.4: COEFICIENTE DE MOLA (𝑘𝑚 = 𝑓𝑜𝑟Ç𝑎 (𝐹)𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑑)); COEFICIENTE DE REAÇÃO VERTICAL (𝑘𝑣 =
𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠Ã𝑜 (𝑝)𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑑)) (ANTONIAZZI, 2011). ................................................................... 14
FIGURA 3.5: CORRELAÇÃO CBR X 𝑘𝑣 (RODRIGUES E PITTA, 1997). .................................................................... 16
FIGURA 3.6: INCREMENTO DO MÓDULO DE REAÇÃO VERTICAL (𝑘𝑣) PARA SUB-BASE GRANULAR (RODRIGUES E PITTA,
1997). ................................................................................................................................................ 17
FIGURA 4.1: IMPLANTAÇÃO DE PROTENSÃO POR PRÉ-TRAÇÃO (ALVES, 2021). .......................................................... 19
FIGURA 4.2: PROTENSÃO POR PÓS-TRAÇÃO ADERENTE (ALVES, 2021). ................................................................... 19
FIGURA 4.3: SEÇÃO DA MONOCORDOALHA ENGRAXADA COM SETE FIOS. (ARCELOR MITTAL, 2021) ........................... 20
FIGURA 4.4: PERDAS DE PROTENSÃO NO CABO DEVIDO AO ATRITO (LINHA AZUL) E DEVIDO À ACOMODAÇÃO DAS ANCORAGENS
(TRIÂNGULO). ....................................................................................................................................... 23
FIGURA 4.5: CARACTERIZAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA DO CONCRETO (ALVES, 2021). ....................................... 26
FIGURA 4.6: CARACTERIZAÇÃO DO FENÔMENO DE RELAXAÇÃO DO AÇO (ALVES, 2021). .............................................. 26
FIGURA 5.1: ESTRUTURA PORTA-PALLETS COM ELEVADA ALTURA DE ESTOCAGEM (ÁGUIA SISTEMAS, 2021). ............... 28
FIGURA 5.2: JUNTA DE CONSTRUÇÃO COM BARRA DE TRANSFERÊNCIA (RODRIGUES, 2015). ...................................... 31
FIGURA 5.3: JUNTA DE CONSTRUÇÃO NO PISO PROTENDIDO COM EXEMPLO DAS MEDIDAS EM CENTÍMETROS (RODRIGUES,
2010). ................................................................................................................................................ 32
FIGURA 5.4: JUNTA SERRADA (RODRIGUES, 2015). ........................................................................................... 33
FIGURA 5.5: JUNTA DE ENCONTRO COM PILAR (RODRIGUES, 2015). ..................................................................... 33
FIGURA 5.6: PADRÃO DE CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA QUE CAUSA O MAIOR MOMENTO POSITIVO (THE CONCRETE
SOCIETY, 2016). ................................................................................................................................. 37
FIGURA 5.7: ESQUEMA DE CARREGAMENTO PARA O MÁXIMO ESFORÇO NEGATIVO GERADO POR UM PAR DE CARGA
DISTRIBUÍDA (THE CONCRETE SOCIETY, 2016). ..................................................................................... 37
FIGURA 5.8: CONFIGURAÇÃO DA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA SOB O PISO PARA O CÁLCULO DO MOMENTO POSITIVO
INDUZIDO (THE CONCRETE SOCIETY, 2016). ......................................................................................... 39
ii
FIGURA 5.9: CONFIGURAÇÃO DA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA SOB O PISO PARA O CÁLCULO DO MOMENTO
NEGATIVO INDUZIDO (THE CONCRETE SOCIETY, 2016). .......................................................................... 39
FIGURA 5.10: COEFICIENTES DE ATRITO PARA DIVERSAS CONDIÇÕES DE APOIO DE PLACA (RODRIGUES, 2006). .............. 41
FIGURA 5.11: DETALHE DE EXECUÇÃO DE UM PISO PROTENDIDO SOB LONA PLÁSTICA (ALPHAPISO, 2021). ................... 49
FIGURA 6.1: PLANO DE CONCRETAGEM DO PISO EM CONCRETO ARMADO (MEDIDAS EM METRO). ................................... 52
FIGURA 6.2: PLANO DE CONCRETAGEM DO PISO EM CONCRETO PROTENDIDO. (MEDIDAS EM METRO). ............................. 52
iii
LISTA DE TABELAS
TABELA 3.1 – VALORES TÍPICOS DO COEFICIENTE DE REAÇÃO VERTICAL PARA AREIAS E ARGILAS, RECOMENDADOS POR
TERZAGHI, 1955 (ADAPTADO DE KOSHIMA ET AL., 1998) .......................................................................... 15
TABELA 4.1 – PENETRAÇÃO DA CUNHA INDIVIDUAL NO SISTEMA FREYSSINET. ............................................................. 23
TABELA 5.1 – DIÂMETRO DAS BARRAS EM FUNÇÃO DA ESPESSURA DE PISOS DE CONCRETO SIMPLES (RODRIGUES, 2010). 36
TABELA 5.2 – ARMADURA DE RETRAÇÃO NO PISO DE CONCRETO ARMADO (𝐴𝑠, 𝑟𝑒𝑡). .................................................. 42
TABELA 5.3 – ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS DAS TELAS SOLDADAS NERVURADA GERDAU DO TIPO Q (GERDAU, 2021). ....... 42
TABELA 5.4 – EXIGÊNCIAS DE DURABILIDADE RELACIONADAS À FISSURAÇÃO E À PROTEÇÃO DA ARMADURA, EM FUNÇÃO DAS
CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (ABNT, 2014). ............................................................................... 43
TABELA 6.1 – FAIXAS DE VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS CONSIDERADOS. ..................................................................... 50
TABELA 6.2 – PROPRIEDADES DOS MATERIAIS. ...................................................................................................... 51
TABELA 6.3 – ORDEM DE EXECUÇÃO DE CONCRETAGEM E PROTENSÃO DO PISO PROTENDIDO. ........................................ 53
TABELA 6.4 – PERDA DE PROTENSÃO POR ATRITO NOS CABOS LONGITUDINAIS NA SEÇÃO DO MEIO DA PLACA. ................... 54
TABELA 6.5 – PERDA DE PROTENSÃO POR ATRITO NOS CABOS TRANSVERSAIS NA SEÇÃO DO MEIO DA PLACA. ..................... 54
TABELA 6.6 – PERDA DE PROTENSÃO POR DEFORMAÇÃO DA ANCORAGEM, EM X = 0 M, PARA OS CABOS LONGITUDINAIS. ... 55
TABELA 6.7 – PERDA DE PROTENSÃO POR DEFORMAÇÃO DA ANCORAGEM, EM X = 0 M, PARA OS CABOS TRANSVERSAIS. ..... 55
TABELA 6.8 – VALOR DO MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO EM T = 4 DIAS, INSTANTE DA PROTENSÃO LONGITUDINAL.
.......................................................................................................................................................... 55
TABELA 6.9 – VALOR DO MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO EM T = 1 DIA, INSTANTE DA PROTENSÃO TRANSVERSAL. 55
TABELA 6.10 – PERDA DE PROTENSÃO POR ENCURTAMENTO ELÁSTICO DO CONCRETO NOS CABOS LONGITUDINAIS NA SEÇÃO
DO MEIO DA PLACA. ................................................................................................................................ 56
TABELA 6.11 – PERDA DE PROTENSÃO POR ENCURTAMENTO ELÁSTICO DO CONCRETO NOS CABOS TRANSVERSAIS NA SEÇÃO DO
MEIO DA PLACA...................................................................................................................................... 57
TABELA 6.12 – RESUMO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS PARA OS CABOS LONGITUDINAIS........................................... 58
TABELA 6.13 – RESUMO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS PARA OS CABOS TRANSVERSAIS. ........................................... 58
TABELA 6.14 – VERIFICAÇÃO DO CONCRETO NO ATO DA PROTENSÃO PARA 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 NOS CABOS LONGITUDINAIS. . 59
TABELA 6.15 – VERIFICAÇÃO DO CONCRETO NO ATO DA PROTENSÃO PARA 𝑓𝑐𝑘 = 35 𝑀𝑃𝑎 NOS CABOS LONGITUDINAIS. . 59
TABELA 6.16 – VERIFICAÇÃO DO CONCRETO NO ATO DA PROTENSÃO PARA 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 NOS CABOS TRANSVERSAIS. .. 59
TABELA 6.17 – VERIFICAÇÃO DO CONCRETO NO ATO DA PROTENSÃO PARA 𝑓𝑐𝑘 = 35 𝑀𝑃𝑎 NOS CABOS TRANSVERSAIS. .. 59
TABELA 6.18 – ALONGAMENTO DOS CABOS LONGITUDINAIS.................................................................................... 60
TABELA 6.19 – ALONGAMENTO DOS CABOS TRANSVERSAIS. .................................................................................... 60
TABELA 6.20 – MOMENTO DE FISSURAÇÃO DO CONCRETO PARA PROTENSÃO LONGITUDINAL. ........................................ 60
TABELA 6.21 – MOMENTO DE FISSURAÇÃO DO CONCRETO PARA PROTENSÃO TRANSVERSAL. ......................................... 60
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES ........................................................................................... I
LISTA DE TABELAS .................................................................................................. III
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1
OBJETIVOS E METODOLOGIA ....................................................................... 3
APRESENTAÇÃO DO TRABALHO ................................................................. 3
2 PISOS INDUSTRIAIS EM CONCRETO ............................................................ 5
PISOS DE CONCRETO SIMPLES ..................................................................... 5
PISOS DE CONCRETO ARMADO .................................................................... 7
PISOS DE CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS .................................... 8
PISOS EM CONCRETO PROTENDIDO ........................................................... 9
3 INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA .................................................................. 11
DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES DE CONTATO NO SOLO ...................... 11
3.1.1 MODELO DE WINKLER ............................................................................. 12
3.1.2 MODELO DO MEIO CONTÍNUO ............................................................... 13
COEFICIENTE OU MÓDULO DE REAÇÃO VERTICAL DO SOLO (𝑘𝑣) .. 14
3.2.1 INCREMENTO DO 𝒌𝒗 ................................................................................. 16
4 PROTENSÃO ....................................................................................................... 18
SISTEMAS DE PROTENSÃO .......................................................................... 18
4.1.1 PRÉ-TRAÇÃO ............................................................................................... 18
4.1.2 PÓS-TRAÇÃO ADERENTE ......................................................................... 19
4.1.3 PÓS-TRAÇÃO NÃO ADERENTE ............................................................... 20
PERDAS DE PROTENSÃO .............................................................................. 21
4.2.1 PERDAS INICIAIS ........................................................................................ 21
4.2.2 PERDAS PROGRESSIVAS .......................................................................... 26
5 CRITÉRIOS DE PROJETO E EXECUÇÃO .................................................... 28
CRITÉRIOS DE PROJETO ............................................................................... 28
5.1.1 RESISTÊNCIA MECÂNICA DO CONCRETO ENDURECIDO ................ 29
5.1.2 JUNTAS ......................................................................................................... 30
5.1.3 PISOS DE CONCRETO ARMADO .............................................................. 36
5.1.4 PISOS DE CONCRETO PROTENDIDO ...................................................... 43
CRITÉRIOS DE EXECUÇÃO .......................................................................... 46
5.2.1 PISOS DE CONCRETO ARMADO .............................................................. 47
5.2.2 PISOS DE CONCRETO PROTENDIDO ...................................................... 48
6 ESTUDOS DE CASOS ......................................................................................... 50
CARACTERÍSTICAS DO PROJETO ............................................................... 50
6.1.1 PARÂMETROS DOS MATERIAIS ............................................................. 51
PISO EM CONCRETO ARMADO ................................................................... 51
PISO EM CONCRETO PROTENDIDO ........................................................... 52
6.3.1 DIMENSIONAMENTO ................................................................................. 53
ANÁLISE DOS RESULTADOS ....................................................................... 61
6.4.1 CARGA ADMISSÍVEL ................................................................................. 61
6.4.2 MOMENTO FLETOR SOLICITANTE ........................................................ 65
7 CONCLUSÃO ....................................................................................................... 75
SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .............................................. 76
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 77
APÊNDICE A ............................................................................................................... 80
APÊNDICE B ................................................................................................................ 84
APÊNDICE C ............................................................................................................. 100
1
1 INTRODUÇÃO
O piso industrial é considerado como elemento de fundamental importância para
logística de operação das empresas, visto que é sobre ele que as atividades produtivas se
realizam, proporcionando movimentação de cargas e equipamentos, além de resistir aos
esforços mecânicos, químicos e biológicos.
Devido ao seu alto desempenho, os pisos industriais passaram a ser valorizados
enquanto solução, tanto por sua funcionalidade como por suas propriedades determinantes ao
longo da vida útil das edificações.
Por ser um pavimento de alta resistência, a infraestrutura constituída pelo terreno de
fundação, sub-base, base, juntas, revestimentos e tratamento superficial precisa ter
características específicas para resistir de maneira satisfatória às solicitações de projeto.
Amplamente utilizado em indústrias, o piso industrial também é adotado em ambientes
diversos, como: shopping centers, estacionamentos, galpões de depósito, laboratórios,
aeroportos, estádios, arenas esportivas, entre outros.
A Figura 1.1 ilustra um piso industrial de 25.230 m² executado pela LPE Engenharia,
em Santa Catarina no ano de 2015.
Figura 1.1: Piso industrial em um galpão de depósito (LPE engenharia, 2015).
2
Os benefícios da utilização deste tipo de piso com o uso de novas tecnologias levam o
mercado do setor a uma franca ascensão, uma vez que o sistema bem executado permite manter
um baixo custo de manutenção, aumentando significativamente o lucro das empresas.
Todavia, é fundamental que se defina adequadamente, durante a fase de projeto, os
quantitativos de materiais, os números de juntas e o procedimento de execução que melhor
atendem ao projeto.
Apesar da expansão do setor de pisos ser algo relevante e promissor, ainda hoje há
escassez de normas nacionais, que orientem o procedimento de projeto e execução dessas
estruturas, o que influencia diretamente na lenta propagação da técnica. Desse modo, somente
uma pequena parcela dos pisos projetados para a indústria e edificações comerciais considera,
de fato, as especificações técnicas e os controles tecnológicos apropriados.
Destaca-se que, sem estudo prévio e projeto de qualidade, não é possível garantir
atuação totalmente eficaz do piso, pois diferentes falhas podem acontecer no processo
ocasionando patologias indesejáveis, tais como fissuras, trincas, infiltração e comprometimento
da resistência do material. Esses efeitos, porém, provocam interrupção no processo produtivo
das indústrias e, consequentemente, enormes prejuízos financeiros.
A Figura 1.2 ilustra um exemplo de patologias na região das juntas de um piso industrial.
Figura 1.2: Exemplo de patologias no piso industrial (ANAPRE, 2006).
Torna-se evidente que a única maneira de manter um crescimento sustentado do setor é
a partir de investimentos em estudos científicos que, aliados ao uso de normas estrangeiras,
possam funcionar como alicerce para o dimensionamento e construção de pisos de concreto,
promovendo a inovação da tecnologia e a disseminação do conhecimento.
3
O desenvolvimento deste estudo foi motivado essencialmente pela lacuna existente no
mercado de trabalho em relação ao processo de escolha da melhor solução de piso industrial
para cada tipo de solo e sua utilização. Alguns fatores que também influenciam a decisão são:
disponibilidade de materiais, de equipamentos e de mão de obra, segurança, durabilidade,
economia e tempo. Para que seja possível escolher a melhor opção é necessário, portanto, amplo
conhecimento sobre as várias tecnologias existentes.
Neste trabalho são apresentados os diferentes tipos de pisos industriais de concreto com
ênfase no dimensionamento do piso estruturalmente armado e em concreto protendido.
OBJETIVOS E METODOLOGIA
Um projeto bem elaborado contribui para garantir as vantagens apresentadas pelos
pavimentos de concreto. O dimensionamento conservador pode inviabilizar a construção por
aumentar demasiadamente o custo. O subdimensionamento pode causar problemas estruturais
e diminuir a vida útil do pavimento, obrigando a execução de reparos e reforços que aumentam
os custos e provocam transtornos aos usuários.
Um projeto deve ser realizado não apenas para garantir a segurança à ruptura, mas para
atender às condições de serviço, por um determinado período de tempo. Por isso, deve-se
incorporar aos projetos estruturais os conceitos de vida útil e estados limites.
O objetivo deste trabalho é justamente auxiliar na escolha do piso industrial em
concreto armado ou concreto protendido, avaliando o comportamento estrutural de cada sistema
e comparando desempenho e longevidade.
Para isso, foram construídos ábacos de pré-dimensionamento dessas estruturas a partir
de análises feitas com distintos carregamentos distribuídos em diversos tipos de solo de suporte,
considerando duas classes de concreto e diferentes espessuras para os pavimentos de concreto.
APRESENTAÇÃO DO TRABALHO
O presente trabalho foi dividido em sete capítulos, cujos conteúdos são apresentados a
seguir:
O capítulo 2 apresenta os sistemas estruturais de pisos industriais em concreto mais
utilizados no Brasil.
4
O capítulo 3 descreve os dois modelos principais de interação solo-estrutura, a fim de
entender o mecanismo de influência recíproca entre a fundação e o solo: Modelo de Winkler e
o Modelo do Meio Contínuo.
O capítulo 4 apresenta os fundamentos da protensão e, com base na NBR 6118:2014,
classifica as perdas de protensão.
O capítulo 5 aborda os critérios e procedimentos de cálculo para dimensionamento do
pavimento industrial.
O capítulo 6 trata dos estudos de casos, apresenta os parâmetros considerados e realiza
a análise dos resultados, apresentando uma comparação entre as soluções propostas; ábacos
para o pré-dimensionamento são desenvolvidos para auxiliar o projetista na definição da melhor
solução estrutural.
O capítulo 7 apresenta as considerações finais e propostas de futuros estudos
complementares a este trabalho.
5
2 PISOS INDUSTRIAIS EM CONCRETO
O piso industrial de concreto pode ser uma estrutura simples ou bastante complexa,
dependendo exclusivamente da sua destinação final. Segundo a ANAPRE (2009), o piso
industrial é definido como um sistema de múltiplas camadas com finalidade de resistir e
distribuir as solicitações verticais provenientes dos carregamentos ao subleito. Além disso,
também é atribuição do piso: resistir aos esforços mecânicos e ataques químicos ou biológicos
e proporcionar conforto e segurança aos usuários.
Escolher o piso industrial que melhor se adequa a cada situação é um trabalho que exige
conhecimento prévio das características das diversas tipologias de pisos. O profissional
envolvido deve considerar aspectos tecnológicos, comportamento dos materiais empregados,
logística de execução dos pavimentos, durabilidade do piso e equacionar às condições
financeiras do cliente.
Para atender às diferentes situações de carregamentos impostos, os pisos em concreto
devem ser executados sob aspectos estruturais e funcionais particulares, o que leva a soluções
distintas de reforço estrutural. As diferentes classificações de pisos são apresentadas a seguir.
PISOS DE CONCRETO SIMPLES
Para o dimensionamento de pisos em concreto simples, deve-se levar em conta que
todos os esforços de tração gerados pela retração, pela variação térmica e pelo carregamento
são resistidos unicamente pelo concreto. Isto ocorre pois não há presença de armadura estrutural
ou de combate à retração. Entretanto, é possível empregar dispositivos de transferência de
carga, tais como barras de transferências ou barras de ligação entre as placas de concreto.
Assim, para fins de dimensionamento da espessura, os fundamentos e os modelos de
análise de tensões nesses pavimentos exigem a hipótese de que o concreto trabalhe em regime
elástico, sendo o único responsável por resistir aos esforços impostos, sem que estes, ao
excederem a resistência do concreto, provoquem fissuração (BALBO, 2009).
Esse sistema de piso é formado por placas de concreto com pequenas dimensões, da
ordem de 1,0 m a 2,5 m (BINA et al., 2002), elevado número de juntas transversais e
longitudinais, geralmente com grandes espessuras. As juntas são igualmente espaçadas e
dimensionadas com a finalidade de controlar a retração hidráulica na massa de concreto fresca,
reduzir a dilatação ocasionada pela variação térmica, além de evitar o empenamento das placas.
6
No entanto, as juntas são o elo mais fraco do piso e, portanto, onde se manifestam as principais
patologias.
Balbo (2009) explica a utilização de elementos de aço para a transferência de carga e a
ligação entre as placas, segundo o autor, nas juntas longitudinais do pavimento de concreto
simples são dispostas as chamadas barras de ligação (BL), cuja função é evitar o deslocamento
horizontal relativo entre as placas lateralmente dispostas, que ocorre pelo engastamento da
armadura em ambas as placas de concreto. Nas juntas transversais são posicionadas as barras
de transferência de carga (BT), que distribuem parte das solicitações das cargas aplicadas sobre
uma placa para a placa subsequente, fazendo com que placas sucessivas trabalhem
solidariamente naquela região.
As Figura 2.1 e Figura 2.2 mostram o sistema de piso em concreto simples sem
utilização de barra de transferência e com utilização de barra de transferência, respectivamente.
Figura 2.1: Pavimento de concreto simples sem barra de transferência (adaptado de BALBO, 2009).
Figura 2.2: Pavimento de concreto simples com barra de transferência (adaptado de BALBO, 2009).
De acordo com Nakamura (2009), o processo executivo deste tipo de pavimento é
bastante simplificado e possui baixo custo de manutenção, porém apresenta menor resistência
7
e durabilidade que os demais pisos de concreto (armado, com fibras e protendido). Além disso,
de maneira geral, as barras de transferência possuem grandes diâmetros e podem levar a alguma
dificuldade na instalação e fixação.
Balbo (2009) acrescenta que o fator limitante mais crítico de projeto para este tipo de
pavimento é a resistência do concreto. Também destaca que o processo de cura adequado é
importante para o combate às fissuras por retração hidráulica.
A utilização de pisos de concreto simples é mais indicada para casos em que a grande
quantidade de juntas não prejudica a estética do espaço e vida útil do pavimento. É mais
comumente visto em pavimentos rodoviários.
PISOS DE CONCRETO ARMADO
Com a intenção de reduzir o número de juntas, os projetos passaram a contemplar
armaduras como vergalhões ou telas eletrosoldadas, passando o sistema a ser chamado de
estruturalmente armado (VIECILI, 2004).
O piso de concreto armado utiliza armaduras com finalidade estrutural, isto é, a amadura
tem a função de controlar as tensões de tração na flexão geradas na placa. De modo geral, o
concreto absorve as tensões de compressão e as tensões de tração são absorvidas pela área
transversal da armadura de aço, a qual é projetada e disposta de modo racional para cumprir tal
função.
Para o dimensionamento desse pavimento, deve-se considerar dois tipos de armaduras:
a negativa (na face superior do piso), que tem como função controlar a fissuração causada
principalmente por retração hidráulica e variações térmicas do concreto, e a positiva (na face
inferior do piso), que visa resistir às tensões de tração. Segundo Balbo (2009), essa
característica permite que as juntas transversais e longitudinais de um pavimento de concreto
armado sejam projetadas de maneira mais espaçada, de tal modo que são definidas placas de
maiores dimensões, geralmente duas a três vezes superiores a uma placa de concreto simples,
sem riscos de fissuras de retração durante a cura, o que não é válido para pavimentos sem
armadura.
A Figura 2.3 apresenta um exemplo da seção transversal desse tipo de piso.
8
Figura 2.3: Pavimento de concreto estruturalmente armado (adaptado de BALBO, 2009).
Balbo (2009) afirma que a resistência de concretos utilizados nesse tipo de pavimento
não é definida em função de sua adequação para enfrentar os esforços atuantes, uma vez que
não é o concreto que controla as reações aos esforços de flexão. Define-se, portanto, a
resistência à compressão do concreto em função da necessidade de durabilidade do mesmo e de
critérios de manutenção.
Em função da sua elevada capacidade resistente, os pisos industriais estruturalmente
armados são usualmente empregados na presença de cargas elevadas, como hangares de
aeronaves, pátio de contêineres, áreas de depósito com cargas pontuais elevadas etc.
PISOS DE CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS
Chodounsky (2007) define o concreto reforçado com fibras como uma mistura de duas
fases, o concreto e a fibra. As fibras de aço são as mais utilizadas, mas também podem ser
empregadas as de vidro, polímeros orgânicos e, com menor frequência, as vegetais, como a juta
e o sisal. As propriedades desses materiais são determinadas pelo comportamento estrutural do
conjunto formado por seus componentes.
Ainda segundo Chodounsky, as fibras são produzidas a partir de materiais trefilados de
alta resistência (alto módulo de deformação) e são misturadas ao concreto pouco antes da
execução do piso.
Ao adicionar fibras metálicas no concreto, por exemplo, ele passa a apresentar ruptura
dúctil e não mais frágil como ocorre no concreto simples (BINA et al., 2002). Assim, devido
ao alto valor do módulo de elasticidade das fibras utilizadas nesse tipo de concreto, é possível
utilizá-las de forma a substituir a armadura convencional, uma vez que conseguem resistir às
tensões de tração, reduzem fissurações e melhoram a ductilidade do material, redistribuindo os
esforços de maneira eficiente.
9
A Figura 2.4 abaixo apresenta um exemplo do perfil de pisos de concreto reforçado com
fibras.
Figura 2.4: Pavimento de concreto reforçado com fibras (adaptado de BALBO, 2009).
De acordo com Viecili (2004), esse tipo de concreto apresenta inúmeras vantagens, tais
como: o número reduzido de juntas (devido às tensões geradas no interior das placas); processo
simplificado de concretagem e redução de riscos patológicos associados à corrosão.
Com o uso das fibras, surge também o conceito de pisos sem juntas (“jointless floor”).
Segundo Bina et al. (2002), o reforço com fibras possibilita a execução de placas de até 2500
m² numa única operação.
No entanto, para que o sistema de piso de concreto reforçado com fibras funcione
adequadamente, é necessário controle tecnológico altamente cuidadoso, uma vez que é
fundamental para o bom desempenho do piso que a distribuição das fibras ocorra de forma
homogênea nas placas de concreto, assegurando, portanto, o comportamento previsto em
projeto.
PISOS EM CONCRETO PROTENDIDO
De acordo com Pfeil (1984), a protensão pode ser descrita pela introdução de um estado
de tensões prévio numa estrutura com o objetivo de melhoria na resistência ou no
comportamento do concreto considerando o efeito de diversas condições de cargas.
O piso protendido consiste, portanto, em um piso de concreto reforçado com armaduras
de alta resistência, tracionado por macacos hidráulicos, cuja força é transferida à placa de
concreto a partir das ancoragens posicionadas nas extremidades, criando tensões que antecedem
a solicitação por cargas externas.
Neste tipo de pavimento, a armadura é usualmente constituída por cordoalhas
engraxadas e plastificadas com resistência à tração até 3,5 vezes superior ao vergalhão, que são
10
dispostas à meia altura do pavimento e são tensionadas e travadas contra o concreto,
transferindo para este tensões compressivas uniformes. A Figura 2.5 apresenta um exemplo do
perfil deste tipo de piso.
Figura 2.5: Pavimento de concreto protendido (adaptado de BALBO, 2009).
A protensão é um meio eficiente de diminuição do número de juntas e,
consequentemente, de redução dos riscos de patologias causadas pelo mau funcionamento
destes elementos. Segundo Bina et al. (2002), é possível trabalhar com juntas construtivas
distantes de 100 m a 150 m. Além disso, o fato de a placa trabalhar totalmente ou parcialmente
comprimida acarreta a sensível redução dos riscos de fissuração e é possível obter reduções
significativas nas espessuras das placas sem comprometer a capacidade de carga, pois ocorre
tração no concreto protendido apenas quando a tensão prévia de compressão é superada
(BALBO, 2009). Assegura-se, portanto, baixo custo de manutenção e maior durabilidade.
A execução de um piso protendido exige, no entanto, maior rigor quanto à preparação
da base, posicionamento dos cabos de protensão e maiores cuidados durante o lançamento do
concreto para manter os cabos e suas ancoragens nas posições de projeto.
11
3 INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA
Chama-se interação solo-estrutura o mecanismo de influência recíproca gerada entre a
fundação e o solo. O processo inicia-se ainda na fase de construção e estende-se até que as
tensões e deformações sejam estabilizadas, tanto da estrutura como do maciço de solos
(COLARES, 2006).
Para uma análise apropriada da interação solo-estrutura é necessária uma escolha
adequada do modelo para representação do solo. Velloso e Lopes (2016) expõem dois modelos
principais: Modelo de Winkler e o Modelo do Meio Contínuo, podendo este último ser dividido
entre elástico e elastoplástico.
Ainda segundo Velloso e Lopes (2016), esse tipo de análise tem por objetivo fornecer
os deslocamentos reais da estrutura e suas solicitações internas, com a finalidade de assegurar
a durabilidade, a estabilidade e a funcionalidade da obra durante sua vida útil. Essas solicitações
podem ser obtidas diretamente pela análise da interação ou, indiretamente, por meio das
pressões de contato.
DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES DE CONTATO NO SOLO
Ao analisar um elemento de fundação é importante considerar as pressões de contato,
que são as pressões na interface solo-estrutura, através das quais as cargas são transmitidas ao
solo. Segundo Velloso e Lopes (2016), alguns fatores afetam estas pressões, principalmente: as
características das cargas aplicadas, a rigidez relativa fundação/solo, as propriedades do solo e
a intensidade das cargas.
A Figura 3.1 ilustra as pressões mobilizadas no contato de placas com o solo.
Figura 3.1: Distribuição de pressões de contato (VELLOSO E LOPES, 2016).
De maneira simples, sabe-se que o pavimento industrial é constituído por terreno de
fundação (subleito), sub-base, placa de concreto, juntas, revestimentos e tratamento superficial.
É necessário que cada parte deste sistema atenda a parâmetros especificados por norma.
12
Para tanto, o terreno de fundação precisa ser preparado de forma que a capacidade de
suporte do solo seja suficientemente boa para absorver os carregamentos aplicados. Esse
preparo é feito por meio de compactação ou adensamento do solo.
Além disso, a sub-base também deve ser executada de forma a uniformizar a capacidade
de suporte da fundação ao longo do piso, evitando variações bruscas de deformações e
funcionando como camada de rigidez intermediária entre o subleito e a placa de concreto.
3.1.1 MODELO DE WINKLER
A hipótese de Winkler, proposta em 1867, admite que as cargas aplicadas na superfície
do solo geram deslocamentos somente na região de aplicação da mesma, ou seja, o efeito da
continuidade do meio não é considerado. Sendo assim, o solo pode ser visto como um sistema
de molas lineares com rigidez equivalente e independentes entre si, como ilustrado na Figura
3.2.
Figura 3.2: Modelo de Winkler (VELLOSO E LOPES, 2016).
Pela hipótese de Winkler, a reação por unidade de comprimento resultante do solo sobre
a viga é função do deslocamento daquele ponto da viga na direção correspondente. Assim, para
uma viga sobre base elástica submetida a carregamentos transversais, o modelo prevê que as
pressões de contato são proporcionais aos deslocamentos verticais, ou seja:
(3.1)
𝑞 = 𝑘𝑣 ∙ 𝑤
sendo:
𝑞: pressão de contato na base da fundação;
𝑘𝑣: coeficiente de reação vertical do solo, também chamado de coeficiente de recalque
ou módulo de reação ou coeficiente de mola;
𝑤: deslocamento vertical.
13
A estimativa dos deslocamentos verticais pode ser feita com base em métodos
conhecidos na literatura para a previsão de recalques, como a teoria da elasticidade, o método
da camada finita, o método de Schmertmann, o método de Aoki-Lopes, o método de propagação
de tensões, entre outros, ou ainda os métodos experimentais (ANTONIAZZI, 2011).
As principais vantagens dessa hipótese consistem na simplicidade do método, na fácil
aplicação e nos resultados mais realistas do que uma mera idealização de estruturas com apoios
indeslocáveis. Em contrapartida, o modelo torna-se pouco representativo quando restringe a
análise ao não considerar o efeito de grupo nos cálculos dos recalques. Dutta e Roy (2002)
registram que a ausência de continuidade do modelo devido à independência das molas é a
maior dificuldade do modelo Winkler. Além disso, esses autores manifestam dificuldades na
determinação do 𝑘𝑣.
No presente trabalho, a escolha desse método para análise da interação solo-estrutura se
justifica por ser um método de fácil aplicação, muito difundido no meio técnico e que apresenta
respostas satisfatórias para os principais tipos de fundação.
3.1.2 MODELO DO MEIO CONTÍNUO
O modelo do meio contínuo permite avaliar a distribuição de tensões ao longo do solo,
por isso é visto como uma maneira mais realista de representar o solo. Segundo esse modelo, o
solo é presumidamente anisotrópico e apresenta camadas distintas, ao passo que, pela hipótese
de Winkler, o solo é sempre considerado homogêneo e isotrópico (PORTO et al., 2012).
De acordo com Koshima et al. (1998), o meio contínuo pode ser elástico ou
elastoplástico. Como ilustrado na Figura 3.3, o primeiro tipo considera um comportamento
linear do solo, sendo representado por dois parâmetros elásticos, o módulo de elasticidade (𝐸𝑠)
e o coeficiente de Poisson (𝜈), enquanto o segundo considera um comportamento não-linear do
solo e é representado pelos dois parâmetros já mencionados e mais dois, coesão (c) e ângulo de
atrito (φ).
Figura 3.3: Modelo do meio contínuo elástico e elastoplástico (VELLOSO E LOPES, 2016).
14
Para o meio contínuo elástico há algumas soluções para vigas e placas pela Teoria da
Elasticidade, além de algumas soluções numéricas pelo Método das Diferenças Finitas e
Método dos Elementos de Contorno. Já o meio contínuo elastoplástico, dificilmente justificado
em projetos correntes, requer solução numérica, pelo Método do Elementos Finitos, por
exemplo (KOSHIMA et al., 1998).
Dutta e Roy (2002) afirmam que uma das principais desvantagens no uso do modelo
contínuo elástico é a imprecisão dos valores para as reações calculadas nas periferias da
fundação. No entanto, para contornar esse problema e obter uma quantidade maior de resultados
mais precisos, o modelo pode ser ampliado e ocupar um domínio maior.
Outra dificuldade no emprego do modelo contínuo reside na dificuldade de se obter o
módulo de elasticidade apropriado do solo em um problema prático, por isso, requer maior
experiência de campo.
No modelo contínuo elastoplástico, o comportamento do solo é modelado até a ruptura
e, no geral, não apresenta caráter prático, pois requer grande quantidade de manipulação de
dados de alto custo de processamento, inviabilizando a aplicação.
COEFICIENTE OU MÓDULO DE REAÇÃO VERTICAL DO SOLO (𝑘𝑣)
O coeficiente de reação vertical é um valor escalar que representa a rigidez que o solo
possui para resistir ao deslocamento mobilizado por uma pressão imposta. Conforme ilustra a
Figura 3.4, Antoniazzi (2011) faz uma analogia do coeficiente de reação vertical 𝑘𝑣 com o
coeficiente de mola 𝑘𝑚, e mostra que o 𝑘𝑣 relaciona-se com pressão, e não a força.
Figura 3.4: Coeficiente de mola (𝑘𝑚 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 (𝐹) 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑑)⁄ ); Coeficiente de reação vertical
(𝑘𝑣 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 (𝑝) 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑑))⁄ (ANTONIAZZI, 2011).
O módulo de reação vertical está associado a diferentes fatores, tais como a forma, as
dimensões da fundação, o tipo de construção e as variações de carregamento, ou seja, não é
uma propriedade do solo (ANTONIAZZI, 2011).
15
Segundo Velloso e Lopes (2016), é possível obter o coeficiente de reação vertical a
partir de tabelas com valores típicos, ou ainda por meio de ensaios de placa, por correlações
com as propriedades elásticas do maciço do solo ou pelo recalque vertical estimado.
A Tabela 3.1 resume os valores típicos do coeficiente vertical apresentados por
Terzaghi, em 1955, e determinados a partir de ensaios de placa quadrada de 1 pé (305 mm) de
lados assente sobre diferentes tipos de solo.
Tabela 3.1 – Valores típicos do coeficiente de reação vertical para areias e argilas, recomendados por
Terzaghi, 1955 (adaptado de KOSHIMA et al., 1998)
Argilas Rija Muito Rija Dura
Faixa de Valores [MPa/m] 15,7 – 31,4 31,4 – 62,8 >62,8
Valor Proposto 23,5 47,1 94,1
Areias Fofa Med. Compacta Compacta
Faixa de Valores [MPa/m] 5,9 – 18,6 18,6 – 94,1 94,1 – 313,8
Areia acima do NA 12,7 41,2 156,9
Areia Submersa 7,8 25,5 94,1
Frente à variabilidade de valores propostos por Terzaghi, alternativamente pode-se
estimar o módulo de reação vertical a partir do Índice de Suporte Califórnia (ISC), também
chamado CBR (California Bearing Ratio). O CBR é bastante conhecido entre os profissionais
envolvidos em obras de terraplenagem e pavimentação, sendo empregado em diversos métodos
de dimensionamento de pavimentos flexíveis e rígidos. A norma nacional que preconiza o
ensaio para determinação do CBR é a ABNT NBR 9.895:1987 (Solo – Índice de Suporte
Califórnia – Método de Ensaio).
Segundo Rodrigues et al. (2006), o CBR pode ser associado ao módulo de reação
vertical por meio da correlação apresentada na Figura 3.5.
16
Figura 3.5: Correlação CBR x 𝑘𝑣 (RODRIGUES E PITTA, 1997).
3.2.1 INCREMENTO DO 𝒌𝒗
Sabe-se que o terreno de suporte do pavimento de concreto é composto por subleito
(solo) e sub-base. As sub-bases são elementos estruturais intermediários entre as placas de
concreto e o subleito, formados pelo terreno natural ou por solo substituído e devidamente
compactado, sendo de importância primordial ao desempenho do piso.
Segundo Chodounsky (2007), o emprego de sub-base incrementa o valor do módulo de
reação vertical da fundação. Esse aumento é tão maior quanto melhor a qualidade da sub-base
adotada e sua espessura. Embora este ganho no coeficiente de reação vertical não seja a
principal função da sub-base, é muito conveniente levá-lo em consideração no
dimensionamento estrutural da fundação.
Diferentes tipos de sub-bases podem ser utilizadas para pavimentos de concreto. As
mais comuns são as britas granulares (BG), o solo-cimento (SC), a brita graduada tratada com
cimento Portland (BGTC) e o concreto compactado com rolo (CCR).
17
Neste trabalho, foi considerada uma sub-base de brita granular (BG). A Figura 3.6
apresenta o incremento do módulo de reação do terreno de fundação em função da presença de
sub-base granular, segundo Rodrigues e Pitta (1997).
Figura 3.6: Incremento do módulo de reação vertical (𝑘𝑣) para sub-base granular (RODRIGUES E
PITTA, 1997).
18
4 PROTENSÃO
Segundo a NBR6118 (ABNT, 2014), definem-se como elementos protendidos “aqueles
nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos especiais de
protensão, com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os
deslocamentos da estrutura, bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta
resistência no estado-limite último (ELU)”.
SISTEMAS DE PROTENSÃO
A protensão introduz no elemento estrutural uma força inicial de compressão 𝑃0 a partir
do pré-alongamento inicial da armadura ativa, caracterizada por elevada tensão de ruptura e
baixa relaxação.
Em geral, os sistemas de protensão são classificados conforme a existência ou não de
aderência entre concreto e armadura ativa e quanto ao procedimento de execução. A protensão
das cordoalhas, portanto, pode ser realizada antes ou depois da concretagem da estrutura, sendo
denominada pré-tração ou pós-tração, respectivamente.
4.1.1 PRÉ-TRAÇÃO
Neste sistema, não são usadas ancoragens mecânicas e a transferência da força de
protensão do aço para o concreto é feita somente por aderência.
A protensão com aderência inicial só é empregada na produção de peças pré-fabricadas.
Nas bancadas ou pistas de protensão, as cordoalhas são mantidas ancoradas nas extremidades
destas, a armadura ativa é posicionada e tracionada no interior da forma, antes da concretagem,
sem o uso de bainhas. Em seguida, a armadura passiva é colocada e o concreto é lançado. Após
a cura do concreto, as formas são retiradas, as ancoragens extremas são liberadas e a protensão
se implanta por aderência. A Figura 4.1 ilustra o processo.
19
Figura 4.1: Implantação de protensão por pré-tração (ALVES, 2021).
4.1.2 PÓS-TRAÇÃO ADERENTE
Neste caso, as bainhas metálicas são posicionadas, as cordoalhas são agrupadas no
interior delas e a protensão é aplicada sobre uma peça de concreto já endurecido. Assim, a
aderência acontece posteriormente por intermédio da injeção de calda de cimento sob pressão
no interior das bainhas, com o auxílio de bombas injetoras.
Em geral, os cabos são pós-tracionados por cilindros hidráulicos específicos que se
apoiam nas próprias peças de concreto já endurecido. Quando a força de protensão atinge o
valor especificado, os cabos são ancorados por meio de dispositivos especiais. A Figura 4.2
apresenta a sequência do procedimento.
Figura 4.2: Protensão por pós-tração aderente (ALVES, 2021).
20
4.1.3 PÓS-TRAÇÃO NÃO ADERENTE
A inexistência de aderência entre aço e concreto refere-se somente à armadura ativa,
já que a armadura passiva sempre deve estar aderente ao concreto.
Geralmente, este método utiliza cordoalhas engraxadas e plastificadas. Segundo o
catálogo técnico da Arcelor Mittal (2021), as cordoalhas engraxadas apresentam as mesmas
características mecânicas que as cordoalhas convencionais, porém recebem adição de
revestimento de PEAD (polietileno de alta densidade) impermeável à água, extremamente
resistente e durável (Figura 4.3). A camada de revestimento plástico e a graxa, além de servirem
para garantir que a armadura possa se movimentar livremente na estrutura, também protegem
contra corrosão.
Nesse sistema, as cordoalhas são protendidas individualmente utilizando-se cilindros
hidráulicos mais leves do que os da pós-tração aderente. Além disso, os cabos podem ser
dispostos internamente, posicionados junto às armaduras, ou externos, ao longo da face externa
da viga tal como ocorre no reforço ou recuperação de estruturas.
Figura 4.3: Seção da monocordoalha engraxada com sete fios. (ARCELOR MITTAL, 2021)
Nesse trabalho, empregou-se o sistema de pós-tração não aderente com o uso de
cordoalhas engraxadas, visto que este é o método comumente aplicado em pisos industriais
protendidos.
De acordo com Veríssimo (1998), dentre as vantagens da protensão não-aderente,
podem-se citar:
• Possibilita o posicionamento dos cabos com excentricidades maiores;
• Contribui com a proteção do aço contra corrosão fora da obra;
• Viabiliza a colocação dos cabos de forma rápida e simples;
• Apresenta baixas perdas por atrito;
• Permite a eliminação da operação de injeção.
21
PERDAS DE PROTENSÃO
Um tema importante a ser avaliado adequadamente nas estruturas protendidas é a perda
de protensão. O processo de protensão, por si só, origina uma série de efeitos que conduzem a
uma diminuição da força de tração inicialmente aplicada na armadura ativa. Dentre os diversos
fatores que influenciam nesta perda, alguns ocorrem durante a operação de protensão e
imediatamente após a ancoragem do cabo (perdas imediatas), e outros se desenvolvem ao longo
da vida útil da estrutura (perdas progressivas).
A NBR6118:2014 classifica as perdas de protensão como perdas iniciais, imediatas e
progressivas ou diferidas ou lentas. As particularidades de cada uma dessas classificações são
descritas nos itens 4.2.1 e 4.2.2 desse trabalho.
4.2.1 PERDAS INICIAIS
Segundo a NBR6118:2014 (item 9.6.3.2), consideram-se iniciais as perdas ocorridas
antes da transferência da protensão ao concreto, sendo um tipo de perda avaliado apenas no
caso da pré-tração. As causas podem ser decorrentes de:
a) Atrito nos pontos de desvio da armadura poligonal;
b) Escorregamento dos fios na ancoragem;
c) Relaxação inicial da armadura, em função do tempo decorrido entre o
alongamento da armadura e a liberação do dispositivo de tração;
d) Retração inicial do concreto, considerado o tempo decorrido entre a concretagem
do elemento estrutural e a liberação do dispositivo de tração.
É importante que essas perdas imediatas sejam medidas e controladas durante a
execução da protensão, para conhecer o valor da força que está sendo efetivamente aplicada no
concreto.
a) Perdas por atrito
Ao longo do comprimento do cabo ocorrem as perdas por atrito no contato entre a
cordoalha e a bainha. Destaca-se que essa perda só ocorre nos sistemas de pós-tração, uma vez
que o sistema de pré-tração não utiliza bainhas e nem há deslizamento entre o cabo e o concreto.
A perda por atrito, segundo a NBR 6118 (item 9.6.3.3.2.2), pode ser determinada pela
expressão 4.1:
22
(4.1)
∆𝑃(𝑥) = 𝑃𝑖[1 − 𝑒−(𝜇𝛴𝛼+𝑘𝑥)]
sendo:
∆𝑃(𝑥): perdas de protensão por atrito, medidas a partir de 𝑃𝑖, na seção da abscissa 𝑥;
𝑃𝑖: força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração;
𝛴𝛼: soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e o ponto de abscissa 𝑥 (rad);
𝑘: coeficiente de perda por metro de cabo provocada por curvaturas não-intencionais do
cabo;
𝑥: abscissa do ponto onde se calcula ∆𝑃, medida a partir da ancoragem (m);
𝜇: coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha, de valor igual a 0,05 para
cordoalhas engraxadas e plastificadas.
b) Perdas por deslizamento da armadura na ancoragem e acomodação da
ancoragem
No momento em que ocorre a transferência da força do macaco hidráulico para o
concreto, após a colocação das cunhas, estas se acomodam na ancoragem deixando que o cabo
sofra um pequeno encurtamento e, consequentemente, um alívio de tensão até o ponto de
repouso (𝑥𝑟), que é o ponto em que as tensões deixam de ser afetadas pelo efeito do recuo da
ancoragem.
Segundo a NBR 6118:2014 (item 9.6.3.3.2.3), essas perdas devem ser determinadas
experimentalmente ou adotados valores indicados pelos fabricantes dos dispositivos de
ancoragem, variando entre 6 mm e 7 mm, aproximadamente.
Para o caso em estudo, de cabos retilíneos passando pelo centroide da seção, o cálculo
do ponto de repouso ou ponto de parada (em metros) pode ser feito de acordo com a expressão
simplificada, dada por Santos (2015):
(4.2)
𝑥𝑟 = √𝐸𝑝 ∙ 𝐴𝑝 ∙ 𝛿 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝛥𝑃𝑎𝑡𝑟
sendo:
𝑥𝑟: ponto de repouso (m);
𝐸𝑝: módulo de elasticidade da cordoalha (Pa);
𝐴𝑝 : área da seção de aço por metro (m²/m);
23
𝛿: retorno do cabo por acomodação da ancoragem (m);
𝐿 : a distância entre as ancoragens, ou seja, o comprimento útil do cabo (m);
∆𝑃𝑎𝑡𝑟: perdas de protensão por atrito (N/m).
Na protensão com cunha individual para cada cordoalha, os valores médios para a
penetração são os seguintes (PFEIL, 1983):
Tabela 4.1 – Penetração da cunha individual no sistema Freyssinet.
Tipo e diâmetro dos cabos Penetração da cunha δ (mm)
Fio φ7 mm 5
Cordoalha φ1/2" 6
Cordoalha φ1/2" (cunha cravada com macaco)
4
O escorregamento das cunhas que fica em torno de 4 mm a 7 mm não gera perdas
consideráveis. No entanto, pode assumir valores expressivos caso haja escorregamento elevado
do cabo em virtude de falhas no mecanismo de acionamento da cunha ou da sua própria
deficiência de ancoragem. O cálculo pode ser feito de acordo com a expressão geométrica, cujo
conceito pode ser compreendido na Figura 4.4.
Figura 4.4: Perdas de protensão no cabo devido ao atrito (linha azul) e devido à acomodação das
ancoragens (triângulo).
A reta inclinada superior do triângulo corresponde à perda linear de protensão no cabo,
devido ao atrito entre ele e a bainha.
Com auxílio da Figura 4.4, entende-se que a perda máxima de protensão por
acomodação das ancoragens ocorre nas extremidades da placa e pode ser calculada como:
(4.3)
𝛥𝑃𝑎𝑛𝑐(0) = 2𝛼 ∙ 𝑥𝑟
24
sendo:
𝛥𝑃𝑎𝑛𝑐(0): perda de protensão por acomodação da ancoragem na extremidade 𝑥 = 0 (m);
𝑥𝑟 : ponto de repouso (m);
𝛼: inclinação da reta (Figura 4.4).
c) Encurtamento imediato do concreto
Nos elementos estruturais com pós-tração, a protensão sucessiva de cada um dos n
grupos de cabos protendidos simultaneamente provoca deformações sucessivas do concreto e,
consequentemente, afrouxamento dos cabos anteriormente protendidos. Isso ocorre porque,
durante o tensionamento dos cabos, o concreto sofre encurtamento devido à introdução da força
de compressão nas ancoragens. Conforme o concreto reduz seu comprimento, os cabos já
protendidos sofrem alívio na força de tração, caracterizando a perda que pode ser calculada,
segundo a NBR6118 (item 9.6.3.3.2.1), pela expressão 4.4:
(4.4)
∆𝜎𝑝 =𝛼𝑝(𝜎𝑐𝑝 + 𝜎𝑐𝑔)(𝑛 − 1)
2𝑛
sendo:
Δσp: perda média de protensão por cabo devida ao encurtamento imediato do concreto;
αp: relação entre Ep e Eci, sendo Ep o módulo de elasticidade do aço de armadura ativa e
Eci o módulo de elasticidade inicial do concreto;
σcp: tensão inicial no concreto ao nível do baricentro da armadura de protensão, devida
à protensão simultânea de n cabos;
σcg: tensão no concreto ao nível do baricentro da armadura de protensão, devida à carga
permanente mobilizada pela protensão ou simultaneamente aplicada com a protensão;
n: quantidade de grupos de cabos protendidos simultaneamente.
Outra maneira de calcular a deformação instantânea do concreto quando submetido a
um carregamento é dado por Aalami (2014), como na Eq. 4.5:
(4.5)
𝛥𝜎𝐸𝐿 = 0,5𝐸𝑝
𝑓𝑐𝑝𝑎
𝐸𝑐𝑖
25
sendo:
𝛥𝜎𝐸𝐿 : a redução da tensão no cabo de protensão (MPa);
𝐸𝑝 : módulo de elasticidade da cordoalha (MPa);
𝐸𝑐𝑖 : módulo de elasticidade do concreto no momento da protensão – normalmente no
4º dia pós concretagem (MPa);
𝑓𝑐𝑝𝑎: tensão média na placa de concreto (MPa).
Segundo a NBR 6118:2014, o módulo de elasticidade do concreto em uma idade menor
que 28 dias deve ser avaliado pela expressão a seguir, para concretos com 𝑓𝑐𝑘 de 20 MPa a 45
MPa:
(4.6)
𝐸𝑐𝑖(𝑡) = √𝑓𝑐𝑘𝑗
𝑓𝑐𝑘∙ 𝐸𝑐𝑖
(4.7)
𝑓𝑐𝑘𝑗 = 𝛽1 ∙ 𝑓𝑐𝑘
(4.8)
𝛽1 = 𝑒{𝑠[1−(28 𝑡)⁄1
2⁄]}
(4.9)
𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 ∙ 5600 ∙ √𝑓𝑐𝑘
sendo:
𝐸𝑐𝑖(𝑡): módulo de elasticidade do concreto no instante considerado (MPa);
𝛽1 : relação entre 𝑓𝑐𝑘𝑗 e 𝑓𝑐𝑘;
𝑠: coeficiente correspondente ao tipo de cimento: 0,25 para cimento CPI e CPII;
𝑡 : idade do concreto para a aplicação da primeira parcela de protensão;
𝐸𝑐𝑖: módulo de elasticidade aos 28 dias de idade, dado em MPa pela equação 4.9;
𝛼𝐸: 1,0 para granito e gnaisse;
𝑓𝑐𝑘: resistência característica à compressão do concreto;
𝑓𝑐𝑘𝑗: resistência característica à compressão do concreto aos j dias.
26
4.2.2 PERDAS PROGRESSIVAS
As perdas progressivas são provocadas por fenômenos físicos dos materiais envolvidos
no processo. No caso do concreto, há dois fenômenos bastante conhecidos na literatura que são
responsáveis pelas perdas lentas: a retração e a fluência.
A retração é o fenômeno de redução de volume, resultante, da perda de água não
consumida na hidratação do cimento. Ocorre mais intensamente durante as primeiras horas de
cura do concreto e pode ser atenuada umedecendo-se a superfície recém concretada com água.
É um processo natural e ocorre mesmo que o material não esteja sob tensão (ALVES, 2021).
O processo conhecido como fluência, ilustrado graficamente na Figura 4.5, é
caracterizado como o aumento das deformações ao longo do tempo sob efeito de tensão
constante. A deformação por fluência do concreto é função da idade do concreto no instante
considerado e da idade no instante do carregamento (ALVES, 2021). Esta característica consiste
no rearranjo das moléculas de concreto devido às tensões impostas.
Figura 4.5: Caracterização do fenômeno da fluência do concreto (ALVES, 2021).
A relaxação do aço de protensão, por sua vez, é um processo semelhante à fluência do
concreto. Porém, sob deformação constante, a armadura de protensão perde tensão ao longo do
tempo e essa perda é tão maior quanto mais tensionado estiver o cabo. A Figura 4.6 ilustra esse
fenômeno.
Figura 4.6: Caracterização do fenômeno de relaxação do aço (ALVES, 2021).
27
Vale ressaltar que os fenômenos de retração e fluência do concreto e de relaxação do
aço têm influência uns sobre os outros. Nesses processos, admite-se que exista aderência entre
a armadura e o concreto e que o elemento estrutural permaneça no estádio I.
Embora não sejam estudados a fundo neste trabalho, é importante ressaltar que os
processos de cálculo, inclusive os da norma brasileira vigente, tratam deste caso com resultados
bastante satisfatórios. Baseado na literatura, considerou-se razoável estimar a ordem de
grandeza para a perda lenta da força de protensão em 15%.
28
5 CRITÉRIOS DE PROJETO E EXECUÇÃO
No setor industrial, a estocagem direta de material sobre o piso é simples e a mais usual.
Segundo Rodrigues et al. (2006), as cargas frequentemente adotadas no dimensionamento dos
pavimentos industriais são uniformemente distribuídas. No entanto, essas cargas não são
comuns. Na verdade, elas representam as cargas pontuais, as cargas lineares e/ou aquelas com
demais configurações, tais como empilhadeiras, montantes de prateleiras etc.
Normalmente, considera-se o layout do carregamento uniformemente distribuído mais
desfavorável para o dimensionamento, podendo ser facilmente modificado. Em geral, distribui-
se o estoque em grandes áreas intercaladas com regiões descarregadas denominadas corredores
de acesso que servem para a movimentação das mercadorias, como ilustrado na Figura 5.1.
Figura 5.1: Estrutura porta-pallets com elevada altura de estocagem (ÁGUIA SISTEMAS, 2021).
Para alcançar o desempenho previsto em projeto é necessário um intenso controle
tecnológico dos processos e materiais de cada etapa executiva. Portanto, é de suma importância
conhecer e aplicar os critérios de projeto e de execução.
CRITÉRIOS DE PROJETO
São descritos, a seguir, os principais critérios de projeto a serem atendidos no
dimensionamento estrutural dos pisos industriais.
29
5.1.1 RESISTÊNCIA MECÂNICA DO CONCRETO ENDURECIDO
A resistência mecânica do concreto é largamente empregada para avaliar e/ou definir o
seu desempenho. Frequentemente, utiliza-se a resistência característica à compressão do
concreto (𝑓𝑐𝑘). No dimensionamento dos pisos industriais de concreto, porém, é comum
empregar a resistência característica à tração na flexão (𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘), sendo denominada por alguns
autores como módulo de ruptura do concreto, pois é o parâmetro mais representativo das
solicitações a que essas estruturas ficam submetidas.
A norma que estabelece o método de ensaio de corpos de prova para determinar a
resistência à tração na flexão do concreto (𝑓𝑐𝑡,𝑓) é a ABNT NBR 12.142:2010 (Concreto –
Determinação da resistência à tração na flexão de corpos de prova prismáticos), a qual
especifica como amostra padrão uma viga simplesmente apoiada com duas forças concentradas
nos terços do vão.
Para fins de compatibilização de notações, emprega-se, para a resistência à tração na
flexão, 𝑓𝑐𝑡,𝑓, a nomenclatura 𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘 utilizada comumente em pisos.
No intuito de facilitar o controle de obras, onde o requisito é a resistência à tração na
flexão, diferentes pesquisadores elaboraram, de forma teórica, correlações estatísticas entre a
resistência à compressão e a resistência à tração na flexão. A prática demonstra que o emprego
dessas correlações tem resultados satisfatórios e devem ser tomados como referência para
efeitos de dosagem do concreto.
Apresenta-se, a seguir, a resistência característica do concreto à tração na flexão
segundo diversos autores.
• NBR 6118:2014 (item 8.2.5)
(5.1)
𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘 =𝑓𝑐𝑡,𝑚
0,7
(5.2)
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,30 ∙ √(𝑓𝑐𝑘)²3
, para 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎
30
• Rodrigues (2006)
(5.3)
𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘 = 𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑗̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ − 0,84𝑠
(5.4)
𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑗̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ =
𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛
𝑛
• Bucher e Rodrigues (1983)
(5.5)
𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘 = 0,56 ∙ (𝑓𝑐𝑗)0,60
• Packard (1976)
(5.6)
𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘 = 0,76 ∙ (𝑓𝑐𝑗)0,50
sendo:
𝑓𝑐𝑡,𝑚: resistência média à tração na flexão (MPa), obtida de ensaios de tração direta;
𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘: resistência à tração na flexão (módulo de ruptura) do concreto (MPa);
𝑓𝑐𝑗: resistência à compressão do concreto da amostra 𝑗 (MPa);
𝑛: número de amostras;
𝑠: desvio padrão da amostra;
5.1.2 JUNTAS
Rodrigues e Gasparetto (1999) afirmam que a função básica das juntas é permitir as
movimentações de contração e expansão do concreto e a adequada transferência de carga entre
as placas contíguas, sem que ocorram danos ao piso sob o ponto de vista estrutural e de
durabilidade, assegurando a qualidade e conforto do rolamento. São, portanto, elementos
fundamentais para o bom funcionamento estrutural do pavimento.
Segundo Rodrigues et al. (2015), as juntas representam os pontos mais frágeis no piso
e, se não forem adequadamente projetadas e executadas, podem provocar deficiência estrutural,
seja pela impossibilidade de transferência adequada das solicitações, seja por movimentações
verticais excessivas que podem ocasionar desde a perda do material de preenchimento das
juntas até a ruptura das bordas, denominado esborcinamento. Por esse motivo, tem-se buscado
cada vez mais reduzir a quantidade e melhorar a qualidade das juntas.
31
Fica evidente, portanto, que o cuidado com as juntas é fundamental, tanto na fase
executiva, permitindo a concretagem em etapas discretas e formando faixas com dimensões
compatíveis com os equipamentos disponíveis, quanto posteriormente, criando pontos frágeis
que permitem a movimentação do concreto. No entanto, ainda hoje, na literatura há uma lacuna
muito grande no que se refere ao projeto de juntas.
5.1.2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS JUNTAS
Rodrigues et al. (2006) classificam as juntas de acordo com o método executivo e sua
função, devendo cada uma delas ser empregada em casos específicos: juntas de construção (JC),
juntas serradas (JS) e juntas de encontro (JE).
Atualmente, as juntas de dilatação são raramente empregadas. Isso se deve ao fato de
que as juntas serrada e de construção trabalham como pequenas juntas de dilatação capazes de
acomodar perfeitamente as variações térmicas ao longo da vida do concreto. Rodrigues (2010)
ilustra essa afirmativa quando ratifica que a retração hidráulica do concreto é sempre superior
à dilatação que ele pode apresentar em condições usuais de temperatura.
• Juntas de Construção (JC)
A junta de construção (Figura 5.2) é utilizada para facilitar a execução do pavimento. O
espaçamento entre essas juntas é ditado pela largura do equipamento utilizado na construção,
pela espessura do pavimento, pela interrupção da jornada de trabalho e pela geometria da área
a ser obtida. Devem ser executadas com dispositivos de transferência de carga, como as barras
de transferência.
Sob o ponto de vista executivo, Rodrigues (2010) afirma que as JC são usualmente
longitudinais à placa, devem ser cortadas em uma profundidade de até 25 mm e devem ficar
situadas fora das trilhas de tráfego. Já as juntas transversais de construção não devem coincidir
com bueiros, drenos ou estruturas que venham a enfraquecer a seção do piso.
Figura 5.2: Junta de Construção com barra de transferência (RODRIGUES, 2015).
32
No caso do piso protendido, de acordo com Rodrigues (2010) é comum o emprego de
armadura de borda, pois a protensão acaba não sendo eficiente nessa região, exigindo armadura
complementar, como pode ser visto na Figura 5.3. A taxa de reforço é função das cargas
atuantes.
Figura 5.3: Junta de Construção no piso protendido com exemplo das medidas em centímetros
(RODRIGUES, 2010).
• Juntas Serradas (JS)
A junta serrada ou de retração (Figura 5.4) corresponde a uma seção enfraquecida na
placa de concreto que é feita por meio de corte ou ranhura da superfície do pavimento.
Rodrigues (2008) afirma que essa junta é realizada para permitir a acomodação das tensões de
tração geradas pela variação de temperatura e pelo atrito entre a interface placa-fundação,
controlando a fissuração. Adicionalmente, registra-se a importância do emprego de barras de
transferência de carga também nessas seções.
Segundo Rodrigues (2015), as JS não são aplicáveis aos pisos protendidos e
normalmente são ortogonais à maior direção da placa. Devem ser cortadas num período de 4 a
12 horas após a concretagem, com uma profundidade mínima de 40 mm ou 1/4 da espessura da
placa e de até 1/3 da espessura do piso, e com abertura da ordem de 3 mm a 4 mm. O seu
espaçamento é função da taxa de armadura empregada. O Instituto Brasileiro de Telas Soldadas
(IBTS) afirma, em seus estudos, que em pavimentos com armadura de retração a distância entre
as juntas serradas pode chegar a 30 metros.
33
Figura 5.4: Junta Serrada (RODRIGUES, 2015).
• Juntas de Encontro (JE) ou Juntas de Expansão
De acordo com Pitta (1998), a junta de encontro (Figura 5.5) deve permitir que o
pavimento se movimente livremente na direção da estrutura confrontante, sem comprimi-la, de
modo a não trazer prejuízos, tanto ao pavimento quanto à estrutura. Sendo assim, a JE propicia
espaço para expansão do pavimento e absorve movimentações da placa, prevenindo o
desenvolvimento de tensões de compressão que podem causar o empenamento do pavimento.
São empregadas nos encontros do piso com peças estruturais ou outros elementos, como
canaletas e bases de máquinas, que impeçam a livre movimentação do piso ou mesmo quando
ocorrer a necessidade de se isolar duas ou mais partes do piso.
A espessura da JE, segundo Chodounsky (2007), é de 5 mm a 20 mm, sendo preenchida
com material compressível com bom índice de resiliência, podendo possuir barras de
transferência (quando há tráfego sobre elas) ou não.
Figura 5.5: Junta de Encontro com pilar (RODRIGUES, 2015).
34
5.1.2.2 PROJETO GEOMÉTRICO DO PISO
O projeto geométrico estabelece o adequado dimensionamento e posicionamento das
juntas e deve ser executado de forma a compatibilizar o processo executivo com os tipos de
equipamentos a serem empregados na construção.
Um fato frequente em projetos de piso é que, muitas vezes, o projetista se preocupa
somente com a determinação da espessura da placa, sendo preterido o projeto geométrico. No
entanto, Rodrigues et al. (2015) lembram que a espessura da placa é apenas uma pequena parte
do projeto e que grande parcela das patologias observadas creditadas ao projeto está ligada à
ausência de detalhes específicos do piso e do projeto geométrico.
As principais recomendações feitas por Rodrigues et al. (2015) para um projeto
adequado são:
• O piso deve trabalhar isolado da estrutura, portanto, no encontro de pilares, de bases de
máquinas etc devem ser previstas juntas de encontro (JE) que permitam que o piso
trabalhe livremente e não seja solicitado pela estrutura;
• As juntas devem ser sempre contínuas, podendo apenas ser interrompidas nas juntas de
encontro. Deve-se evitar fazer junta tipo T, exceto quando se empregar dispositivos
adequados para evitar a propagação da fissura;
• No encontro de duas juntas, o ângulo formado deve ser preferencialmente 90° e não
deve ser inferior a 70°, caso contrário, ocorrerá fissura.
O espaçamento entre as juntas depende de uma série de fatores, tais como: espessura da
placa; coeficiente de atrito da placa com a sub-base; condições de cura do concreto e tipo do
piso (simples, armado, protendido ou reforçado com fibras).
Nos pisos não armados, o espaçamento recomendado pela Portland Cement Association
(1983) varia entre 3 m, para espessuras de placa de 12 cm, até em torno de 8 m, para placas de
25 cm. No Brasil, é comum empregar pisos com espessura da ordem de 15 cm e, nesse caso,
adotam-se placas de até 5 m, desde que sejam tomados os devidos cuidados com os parâmetros
de dosagem e cura.
O uso de placas razoavelmente maiores, requer o reforço do piso. Para tanto, emprega-
se armadura de flexão ou faz-se adição de fibras ao concreto. Assim, há a possibilidade de
execução de placas com comprimento superior a 30 m, podendo chegar a 150 m com o concreto
protendido.
35
Rodrigues (2010) exemplifica que, em pisos reforçados com fibras que empregam o
sistema jointless, tem-se índices de juntas de, aproximadamente, 0,067 m/m² em placas com
área de 900 m², podendo atingir valores ainda mais baixos em pisos protendidos.
Além disso, outro ponto importante do projeto de juntas é sua espessura. Para uma dada
temperatura, a abertura teórica da junta (δ) é diretamente proporcional à retração específica do
concreto (ε) e às dimensões (L) da placa, tal que:
(5.7)
𝛿 = 휀 ∙ 𝐿
Na prática, a abertura da junta acaba sendo um pouco menor do que o valor teórico, mas
não muito longe, pois o fenômeno de fluência tende a dissipar parte das tensões que tracionam
a placa, além de a secagem não ser uniforme.
Tomando como base essa análise, Rodrigues (2010) observou que, nas placas com
dimensões próximas a 12 m, a abertura das juntas é de aproximadamente 6 mm, compatível
com os materiais de preenchimento semirrígidos.
Portanto, a adequação do projeto geométrico à arquitetura e interferências com a
estrutura proporciona liberdade ao projetista e maior funcionalidade e racionalização ao piso.
Uma vez definido o comprimento da placa, basta determinar a armadura necessária em função
dos parâmetros adotados.
5.1.2.3 BARRAS DE TRANSFERÊNCIA DE CARGA
As barras de transferência são necessárias nas juntas e promovem uma conexão
mecânica entre as placas do pavimento, sem restringir o movimento horizontal, e mantêm as
placas em alinhamento horizontal e vertical. Constituídas por barras maciças de seção circular
ou quadradas, geralmente de aço CA-50, são o principal e mais eficiente mecanismo de
transferência de cargas empregado nas juntas.
É importante ressaltar que, para o pleno funcionamento desse sistema, é necessário que,
pelo menos, metade do comprimento da barra seja lubrificada a fim de impedir a aderência ao
concreto e permitir o seu deslizamento quando ocorrer a retração da placa.
Segundo Rodrigues e Gasparetto (1999), as barras de transferência têm o seu
desempenho ditado por dois parâmetros principais: o espaçamento e o diâmetro das barras;
secundariamente, é função também da abertura da junta, uma vez que interferem na magnitude
das tensões desenvolvidas tanto no dispositivo quanto na matriz do concreto circundante.
36
A Tabela 5.1 apresenta recomendações de diâmetros das barras de transferência em
função da espessura de pisos de concreto simples.
Tabela 5.1 – Diâmetro das barras em função da espessura de pisos de concreto simples
(RODRIGUES, 2010).
Espessura
da Placa
(mm)
Tipo de Barra de Transferência
Seção Quadrada (mm) Seção Circular (mm)
Lado Comprimento
mínimo Espaçamento Diâmetro
Comprimento
mínimo Espaçamento
<120 16 350 350 16 350 300
120 a 175 20 350 350 20 350 300
176 a 225 25 400 350 25 400 300
226 a 275 32 450 350 32 450 300
Rodrigues (2010) explica que a barra de seção quadrada apresenta maior capacidade de
transferência de carga do que as circulares, pois, além do maior momento de inércia, a superfície
de contato plana contribui para uniformizar a tensão de contato. Contudo, o dispositivo em
forma de seção quadrada ainda não é utilizado no cenário brasileiro.
5.1.3 PISOS DE CONCRETO ARMADO
Historicamente, os pisos industriais no Brasil, geralmente de concreto simples, foram
dimensionados pelo método da PCA (Portland Cement Association). Nos últimos anos, porém,
o Brasil vem avançando nas técnicas de dimensionamento dos pisos estruturalmente armados,
adotando critérios que conduzem à produção de pavimentos mais esbeltos e placas de maiores
dimensões (The Concrete Society, 1966).
5.1.3.1 DIMENSIONAMENTO
O dimensionamento do pavimento estruturalmente armado (PEA) pode ser realizado
com base na determinação dos momentos fletores de acordo com o modelo simplificado de
cálculo exposto na 4ª edição da Technical Report 34 – Concrete Industrial Ground Floors (The
Concrete Society, 2016), baseado nos estudos de Hetényi (1971) sobre vigas apoiadas em
fundações elásticas.
37
Conforme exposto por Hetényi, o processo para verificação da carga distribuída sobre
pisos incorpora o termo λ (módulo de deformação) às equações, sendo uma característica
conjunta do sistema placa de concreto e fundação, tal que:
(5.8)
𝜆 = √3 ∙ 𝑘
𝐸 ∙ ℎ3
4
sendo:
𝜆: módulo de deformação (m-1);
𝑘: módulo de reação da fundação (MPa/m);
𝐸: módulo de elasticidade do concreto (MPa);
ℎ: espessura da placa (m).
Um exemplo comum de carregamento uniformemente distribuído é o empilhamento de
blocos. Para o caso geral, em que a laje é submetida a um padrão aleatório de carregamento
uniformemente distribuído, verificou-se que o momento máximo positivo na laje é causado por
uma carga de amplitude 𝜋/2𝜆, como mostrado na Figura 5.6.
Figura 5.6: Padrão de carga uniformemente distribuída que causa o maior momento positivo (THE
CONCRETE SOCIETY, 2016).
Para o mesmo exemplo, o momento máximo negativo é induzido entre um par de cargas
distantes de π/2λ e cada um com amplitude igual a π/λ, como ilustrado na Figura 5.7. Este
espaçamento entre cargas é comumente conhecido como largura crítica do corredor.
Figura 5.7: Esquema de carregamento para o máximo esforço negativo gerado por um par de carga
distribuída (THE CONCRETE SOCIETY, 2016).
38
A determinação da carga admissível por unidade de área é feita por:
(5.9)
𝑞𝑎𝑑𝑚 = 5,95 ∙ 𝜆2 ∙ 𝑀𝑟
sendo:
𝑞𝑎𝑑𝑚: carga admissível (kN/m²);
𝜆: módulo de deformação (m-1);
𝑀𝑟: momento de fissuração do concreto simples (kNm/m).
Vale ressaltar que a análise elástica adotada nos cálculos é baseada no trabalho de
Hetényi, que utiliza, tradicionalmente, um fator de segurança global de 1,5. No entanto, como
um fator de minoração 𝛾𝑚 é aplicado às propriedades do concreto, não há necessidade de um
fator adicional aplicado à carga.
O momento resistente ou momento de fissuração do concreto simples é dado por:
(5.10)
𝑀𝑟 = 𝑓𝑐𝑡𝑑,𝑓𝑙 ∙ℎ2
6
(5.11)
𝑓𝑐𝑡𝑑,𝑓𝑙 =𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘
𝛾𝑚
sendo:
𝑀𝑟: momento de fissuração do concreto simples (kNm/m);
𝑓𝑐𝑡𝑑,𝑓𝑙: resistência de cálculo do concreto à tração na flexão (kN/m²);
𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘: resistência característica do concreto à tração na flexão (kN/m²);
ℎ: espessura da placa de concreto (m);
𝛾𝑚: fator de minoração do concreto, igual a 1,4.
Conforme ilustra a Figura 5.8, para uma posição bem definida do carregamento
distribuído, Hetényi mostrou que o momento positivo induzido sob uma carga de largura 2c é
dado por:
(5.12)
𝑀𝑝 =𝑞
𝜆2∙
𝐵𝜆𝑐
2
(5.13)
𝐵𝜆𝑐 = 𝑒−𝜆𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑐)
sendo:
𝑀𝑝: momento positivo solicitante (kNm/m);
39
𝑞: carga de projeto (kN/m²);
𝑐: metade da largura da carga distribuída (m).
Figura 5.8: Configuração da carga uniformemente distribuída sob o piso para o cálculo do momento
positivo induzido (THE CONCRETE SOCIETY, 2016).
O momento negativo induzido, por sua vez, é obtido a partir da distribuição da carga
sob o pavimento. Tal como mostra a Figura 5.9, a uma distância 𝑎1 da face mais próxima e 𝑏1
da face mais distante da área carregada, o momento 𝑀𝑛1 é dado por:
(5.14)
𝑀𝑛1 =1
4𝜆2∙ (𝐵𝜆𝑎1 − 𝐵𝜆𝑏1) ∙ 𝑞
(5.15)
𝐵𝜆𝑎1 = 𝑒−𝜆𝑎1 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑎1)
(5.16)
𝐵𝜆𝑏1 = 𝑒−𝜆𝑏1 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑏1)
sendo:
𝑀𝑛1: momento negativo solicitante (kNm/m);
𝑎1: distância da face próxima da carga até o ponto de cálculo (m);
𝑏1: distância da face mais distante da carga até o ponto de cálculo (m).
The concrete Society (2016) esclarece que, se uma segunda carga estiver localizada
perto da primeira, isso induzirá um momento negativo adicional 𝑀𝑛2, novamente determinado
a partir da Equação 5.14, mas com valores modificados de a e b. Assim, o momento negativo
solicitante é a soma das parcelas 𝑀𝑛1 + 𝑀𝑛2.
Figura 5.9: Configuração da carga uniformemente distribuída sob o piso para o cálculo do momento
negativo induzido (THE CONCRETE SOCIETY, 2016).
Uma vez conhecidos os momentos solicitantes (positivo e negativo) e comparando-os à
capacidade resistente do concreto simples, 𝑀𝑟, a determinação das armaduras necessárias para
resisti-los passa a ser relativamente simples, seguindo os critérios usuais do cálculo do concreto
40
armado. De forma simplificada, há a necessidade de armadura (tela soldada) apenas nos casos
em que o momento solicitante é maior que o momento de fissuração do concreto, sendo
calculada por:
(5.17)
𝐴𝑠 =𝑀
0,95 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
sendo:
𝐴𝑠: área da armadura (cm²/m);
𝑀: momento solicitante (kN.cm/m);
𝑑: altura útil (cm);
𝑓𝑦𝑑: tensão de escoamento de cálculo do aço (kN/cm²).
5.1.3.2 ARMADURA DE RETRAÇÃO (As,ret)
O concreto é um material que apresenta variações volumétricas significativas,
principalmente devido à retração hidráulica que ele experimenta nas primeiras semanas de vida
e, posteriormente, pelas variações térmicas que sofre durante a vida útil.
A armadura de retração, por sua vez, tem como função controlar as tensões de retração
do concreto, permitindo a utilização de placas com grandes dimensões. Há diversos critérios
para este dimensionamento, no entanto, nenhum deles impede a ocorrência de fissuras. O que
acontece é que essas fissuras, de tão fechadas, tornam-se imperceptíveis.
Dentre os diversos procedimentos para o cálculo da área de aço da armadura de retração,
Rodrigues et al. (2015) citam a drag equation, que leva em consideração o atrito gerado entre
a placa de concreto e a sub-base.
No Brasil, este cálculo ganhou muita popularidade em função de sua simplicidade de
aplicação, por ser bastante conceitual e por apresentar ótimos resultados práticos, tal que:
(5.18)
𝐴𝑠,𝑟𝑒𝑡 = 𝑓 ∙ 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 ∙ 𝐿 ∙ 𝑊 ∙ ℎ
2 ∙ 𝜎𝑠
sendo:
𝐴𝑠,𝑟𝑒𝑡: área de aço da armadura de retração (cm²/m);
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜: peso específico do concreto (kN/m³);
𝜎𝑠: tensão admissível do aço, igual 2/3 da tensão de escoamento do aço (𝑓𝑦𝑘) (MPa);
41
𝑓: coeficiente de atrito entre a sub-base e a placa de concreto (no Brasil, geralmente, os
projetistas adotam valores entre 1,50 e 2,00);
𝐿: comprimento da placa de concreto (m);
𝑊: largura da placa de concreto (m);
ℎ: espessura da placa de concreto (cm).
A expressão 5.18 pode ser simplificada, desde que sejam consideradas faixas de largura
de 1 metro, peso específico do concreto igual a 24 kN/m³ e armadura de aço CA-60, tal que:
(5.19)
𝐴𝑠,𝑟𝑒𝑡−𝐶𝐴60 =𝑓 ∙ 𝐿 ∙ ℎ
333
Dessa forma, a armadura de retração é função do comprimento, da espessura da placa e
do coeficiente de atrito (Figura 5.10) e deve ser posicionada no terço superior da placa, a até 5
cm da superfície.
Para as diferentes espessuras e comprimentos de placa, a Tabela 5.2 apresenta as áreas
de aço calculadas para as armaduras de retração (𝐴𝑠,𝑟𝑒𝑡) e as telas de aço CA-60 Tipo Q
(GERDAU) adotadas, considerando coeficiente de atrito de 1,7.
Figura 5.10: Coeficientes de atrito para diversas condições de apoio de placa (RODRIGUES, 2006).
42
Tabela 5.2 – Armadura de retração no piso de concreto armado (𝐴𝑠,𝑟𝑒𝑡).
A adoção de telas soldadas e padronizadas permite o correto posicionamento da
armadura, elimina a necessidade de correções do posicionamento das barras e, gera ganho de
produtividade à obra. As telas são posicionadas somente nas regiões da placa de concreto onde
ocorrem tensões de retração e tração na flexão, permitindo a otimização da espessura do piso e
do consumo de armadura. A Tabela 5.3 descreve as especificações técnicas do produto.
Tabela 5.3 – Especificações técnicas das Telas Soldadas Nervurada Gerdau do tipo Q (GERDAU,
2021).
43
5.1.3.3 CONTROLE DA FISSURAÇÃO E PROTEÇÃO DAS ARMADURAS
De maneira geral, a presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites
estabelecidos pela NBR 6118:2014 (item 13.4.2), em estruturas bem projetadas, construídas e
submetidas às cargas previstas na normalização, não implicam em perda de durabilidade ou
perda de segurança quanto aos estados-limites últimos.
Os estados limites representam as condições a partir das quais a estrutura pode
apresentar desempenho inadequado, de acordo com a sua finalidade de projeto.
Pela Tabela 13.4 da NBR 6118:2014, tem-se a combinação de ações a utilizar para cada
tipo de concreto estrutural e classe de agressividade ambiental, como também os respectivos
limites de fissuração.
Tabela 5.4 – Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em
função das classes de agressividade ambiental (ABNT, 2014).
Tipo de concreto estrutural
Classe de agressividade ambiental (CAA) e tipo de
protensão
Exigências relativas à fissuração
Combinação de ações em serviço a utilizar
Concreto simples CAA I a CAA IV Não há -
Concreto armado
CAA I ELS-W wk ≤ 0,4 mm
Combinação frequente CAA II e CAAIII ELS-W wk ≤ 0,3 mm
CAA IV ELS-W wk ≤ 0,2 mm
Concreto protendido nível 1 (protensão
parcial)
Pré tração com CAA I ou
Pós-tração com CAA I e II ELS-W wk ≤ 0,2 mm Combinação frequente
Concreto protendido nível 2 (protensão
limitada)
Pré tração com CAA II ou
Pós-tração com CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação frequente
ELS-D Combinação quase permanente
Concreto protendido nível 3 (protensão
completa)
Pré tração com CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação rara
ELS-D Combinação frequente
5.1.4 PISOS DE CONCRETO PROTENDIDO
Os pisos de concreto protendido tornaram-se atrativos a partir de fins dos anos 90,
quando teve início a produção nacional de cordoalhas engraxadas e plastificadas. Todavia, seu
emprego ainda é bastante diminuto frente às soluções em concreto simples ou armado, muitas
vezes motivado pelo desconhecimento dos métodos de dimensionamento e da tecnologia da
protensão.
44
5.1.4.1 FORÇA DE PROTENSÃO
Durante as operações de protensão, a força de tração na armadura não pode superar os
valores limites prescritos em norma.
De acordo com a NBR 6118:2014, no seu item 9.6.1.2.1, a tensão transmitida pelo
macaco hidráulico às armaduras ativas constituídas por cordoalhas engraxadas de baixa
relaxação deve respeitar os seguintes limites: 0,80 ∙ 𝑓𝑝𝑡𝑘 ou 0,88 ∙ 𝑓𝑝𝑦𝑘, sendo 𝑓𝑝𝑡𝑘 a tensão de
ruptura do aço de protensão e 𝑓𝑝𝑦𝑘 a tensão de escoamento do aço de protensão.
5.1.4.2 ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE CORDOALHAS
Segundo a NBR 6118:2014, no seu item 20.3.2.1, para que uma faixa de laje seja
tratada como uma região protendida (na direção considerada), o espaçamento entre cordoalhas,
cabos ou feixes de cabos deve ser, no máximo, de valor igual a seis vezes a espessura da laje,
não excedendo 120 𝑐𝑚. Além disso, na seção da laje correspondente ao cabo ou feixe de cabos,
o espaçamento entre eles deve resultar em uma tensão de compressão média igual ou superior
a 1 𝑀𝑃𝑎, considerando-se todas as perdas.
5.1.4.3 VERIFICAÇÃO DO CONCRETO NO ATO DA PROTENSÃO
A retração do concreto pode causar fissuração prematura na placa. Por isso, a protensão
deve ser aplicada o mais cedo possível, desde que o concreto possua resistência para suportar a
compressão. Usualmente, para concretos da classe C35, a protensão é realizada no terceiro ou
quarto dia após a concretagem.
Para evitar o esmagamento do concreto durante a operação da protensão, devem ser
atendidas as tensões limites prescritas em norma.
Conforme o item 17.2.4.3.2 da NBR 6118:2014, a tensão máxima de compressão na
seção do concreto não pode ultrapassar 70% da resistência característica à compressão do
concreto (𝑓𝑐𝑘𝑗) prevista na idade de aplicação da protensão. Além disso, a tensão máxima de
tração do concreto não pode ultrapassar 1,2 vezes a resistência média à tração do concreto
(𝑓𝑐𝑡𝑚) correspondente ao valor de 𝑓𝑐𝑘𝑗.
Sendo assim, considerando cabos sem excentricidade, tem-se:
45
(5.20)
|𝜎𝑐𝑝1| = −𝛾𝑝 ∙ 𝑃0 ∙1
𝐴𝑐< 0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑘𝑗
(5.21)
|𝜎𝑐𝑝2| = −𝛾𝑝 ∙ 𝑃0 ∙1
𝐴𝑐< 1,2 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚
sendo:
𝛾𝑝: coeficiente de ponderação, igual a 1,1 na pós-tração (item 17.2.4.3.2 da NBR 6118);
𝑃0: força final de protensão no instante t = 0 (kN/m);
𝐴𝑐: área da seção transversal do concreto (m²/m).
5.1.4.4 ALONGAMENTO DOS CABOS
Durante a operação de protensão, os cabos sofrem alongamento, o qual é função da força
de tração e do módulo de elasticidade do aço. O valor desse alongamento é uma medida
importante, pois determina quando a força de tração de projeto foi atingida.
Santos (2015) deduz geometricamente a seguinte equação para cálculo do alongamento
dos cabos, tal que:
(5.22)
𝛥𝐿 =(2𝑃𝑖 − 𝛥𝑃𝑎𝑡𝑟) ∙ 𝐿
4 ∙ 𝐸𝑝 ∙ 𝐴𝑝
sendo:
𝛥𝐿: alongamento dos cabos (m);
𝑃𝑖: força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração (kN/m);
𝛥𝑃𝑎𝑡𝑟: perdas de protensão por atrito (N/m);
𝐿: distância entre as ancoragens, ou seja, o comprimento útil do cabo (m);
𝐸𝑝: módulo de elasticidade da cordoalha (MPa);
𝐴𝑝: área da seção de aço por metro (m²/m).
5.1.4.5 CONTROLE DE FISSURAÇÃO
No projeto de pisos protendidos, considera-se nível de protensão completa (nível 3), isto
é, o pavimento é dimensionado para resistir às solicitações de compressão, não havendo
possibilidade de tensões de tração em serviço.
46
Conforme apresentado na Tabela 13.4 da NBR6118 (Tabela 5.4 desse trabalho), a
verificação da formação de fissuras deve ser feita para a combinação rara de ações e o momento
de fissuração correspondente deve ser calculado de acordo com a equação:
(5.23)
𝑀𝑟 =𝛼 ∙ 𝑓𝑐𝑡 ∙ 𝐼𝑐
𝑦𝑡+
𝑁𝑝∞ ∙ 𝐼𝑐
𝐴𝑐 ∙ 𝑦𝑡+ 𝑀𝑝
sendo:
𝑀𝑟: momento de fissuração do concreto protendido (kNm/m);
𝛼: fator que correlaciona, aproximadamente, a resistência à tração do concreto na flexão
com a resistência à tração direta do concreto – igual a 1,5 para seções retangulares (item 17.3.1
da NBR6118:2014);
𝑓𝑐𝑡: resistência à tração na flexão do concreto (kN/m²). No estado limite de formação de
fissuras, deve ser usado 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓. No estudo de caso apresentado, por se tratar de piso, empregou-
se 𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘;
𝐼𝑐: momento de inércia da seção bruta de concreto (m4);
𝑦𝑡: distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada (m);
𝑁𝑝∞: força de protensão após todas as perdas (kN/m);
𝐴𝑐: área da seção transversal do concreto (m²);
𝑀𝑝: soma dos momentos isostáticos e hiperestáticos de protensão. No caso deste estudo,
não há excentricidade dos cabos, que se encontram posicionados à meia-altura da seção, e esta
parcela é nula.
CRITÉRIOS DE EXECUÇÃO
A execução do piso industrial pode ser separada em duas macroetapas: a primeira,
relacionada ao preparo da fundação, com as operações de compactação do subleito, aplicação
de eventual camada de reforço e da sub-base; a segunda, refere-se à execução da placa de
concreto, englobando a colocação das formas, lançamento do concreto, acabamento, cura e
serragem das juntas (RODRIGUES, 2010).
A alta performance de um piso industrial está associada à resistência e estabilidade do
subleito. Nesta etapa, Chodounsky (2007) afirma que o principal é garantir a resistência (CBR),
compactação (grau de compactação) e o nivelamento do subleito, de modo a assegurar as
espessuras corretas de sub-base e placa de concreto.
47
A etapa seguinte é a execução da sub-base, usualmente constituída de material granular,
tal como a brita. As características fundamentais a serem observadas são: controle da espessura,
grau de compactação e nivelamento.
Acima da sub-base, o projetista pode requerer a instalação de uma lona plástica a fim
de reduzir o coeficiente de atrito entre a placa de concreto e a sub-base, além de formar uma
barreira de vapor minimizando os danos causados pela umidade ascendente do solo.
Em seguida, com o solo preparado, deve-se assentar as formas e posicionar as armaduras
(telas, reforços, cordoalhas e barras de transferência).
Após todo esse processo, inicia-se a concretagem, que engloba operações de
lançamento, adensamento, nivelamento e acabamento. Rodrigues et al. (2006) afirmam que a
concretagem do piso industrial apresenta importância, no mínimo equivalente, se não maior,
que o dimensionamento e os materiais empregados. Portanto, é extremamente necessário que
haja controle adequado de qualidade da execução.
A etapa de concretagem possui certas especificidades para o concreto protendido e para
o concreto armado, e encontra-se explanada de forma detalhada nos itens 5.2.1 e 5.2.2.
5.2.1 PISOS DE CONCRETO ARMADO
A concretagem é, geralmente, feita por faixas com o objetivo de evitar o surgimento de
fissuras de retração e a geometria é definida em conformidade com o tipo de equipamento
utilizado para realizar o espalhamento e o adensamento do concreto. O lançamento deve ser
feito sempre em camada única e a velocidade deve ser compatível com a condição de vibração
e acabamento do concreto, não sendo recomendável que, após o lançamento, haja demora nos
trabalhos complementares (RODRIGUES et al., 2006).
Em conjunto ao lançamento, faz-se o espalhamento do concreto, que deve ser uniforme
e em quantidade adequada que assegure, após o adensamento, pouco material em excesso para
ser removido. Isso facilita os trabalhos subsequentes e possibilita o início do acabamento
superficial do piso, que, por vezes, sugere o nível de qualidade da obra, uma vez que o aspecto
final é sempre visível aos usuários, sendo a principal fonte de medida do seu desempenho.
A cura do concreto é um processo importante, visto que visa manter as condições
adequadas para a hidratação do cimento e é o procedimento executivo que mais altera a
qualidade do piso, pois, caso não seja executado de maneira correta, pode afetar o ganho de
resistência e ocasionar patologias relacionadas à retração do concreto.
48
Por fim, faz-se o corte das juntas. As juntas serradas são feitas por meio de corte com
serras diamantadas, algumas horas após a pega do concreto, geralmente de 12 a 18 horas após
o lançamento. A profundidade do corte costuma ser em torno de um terço da espessura da placa
(RODRIGUES, 2010). Já as juntas de construção, oriundas das formas, são função das
condições executivas, principalmente dos equipamentos empregados, e delimitam as dimensões
da placa.
5.2.2 PISOS DE CONCRETO PROTENDIDO
Os cabos de protensão são retilíneos e, geralmente, constituem-se de cordoalhas
engraxadas e plastificas dispostas nas duas direções e posicionadas à meia-altura da espessura
do pavimento (sem excentricidade). Por se tratarem de cabos retilíneos, as perdas por atrito são
devidas, somente, às ondulações parasitas e podem chegar a valores bastante significativos,
tornando problemática a execução de cabos maiores que 150 m.
As ancoragens usualmente são dispostas nas extremidades da placa. Uma alternativa,
que facilita o processo executivo é deixar sem concretar uma faixa de, aproximadamente, 1,0
m para instalação dos macacos. Armaduras de espera garantem o bom acabamento posterior
dessa faixa.
A área a ser pavimentada é dividida em faixas, normalmente de 3 m a 7 m de largura, e
de até 150 m de comprimento. Concretam-se sempre faixas inteiras, alternadamente uma sim e
uma não, dentro do menor tempo possível, a fim de que sejam mantidas condições similares em
toda a faixa.
Ressalta-se a importância do adensamento cuidadoso do concreto nas regiões das formas
onde estão localizadas as ancoragens, de modo que elas permaneçam integralmente envolvidas
pelo concreto.
As etapas de acabamento e cura devem ser executadas conforme projeto, sempre
zelando pela integridade da estrutura, da mesma maneira como foi descrito para o concreto
armado.
A protensão acontece em etapas, visando combater o aparecimento de fissuras de
retração que ocorrem com muita facilidade em placas esbeltas e longas. Preferencialmente,
numa primeira etapa faz-se a protensão transversal, que deve ser aplicada 24 h após a
concretagem da faixa (momento em que o concreto deve ter uma resistência mínima em torno
de 8 MPa a 12 MPa) com 10% da força prevista de protensão. Apenas ao final de toda a
concretagem do piso é que se aplica a totalidade da protensão transversal de projeto.
49
A protensão longitudinal acontece quando o concreto atinge a resistência mínima
prevista em projeto. Isso ocorre por volta do terceiro ou quarto dia após a concretagem, quando
o 𝑓𝑐𝑘𝑗 ≈ 0,60 𝑓𝑐𝑘, podendo ser aplicada a protensão com toda capacidade possível.
Uma vez encerrada a protensão e os resultados dos alongamentos dos cabos forem
aprovados pelo projetista, o excesso do comprimento dos cabos deve ser cortado e o nicho das
cordoalhas adequadamente protegido com grautes apropriados (RODRIGUES, 2010).
Deve-se executar o piso sobre lona plástica para que a protensão se estabeleça. Pode-se
considerar, nessa situação, o coeficiente de atrito entre a placa de concreto e a lona de 0,8.
A Figura 5.11 exibe a extremidade de um piso industrial com destaque ao uso da lona
plástica e ao posicionamento das ancoragens e cordoalhas engraxadas.
Figura 5.11: Detalhe de execução de um piso protendido sobre lona plástica (ALPHAPISO, 2021).
50
6 ESTUDOS DE CASOS
Apresenta-se, nesse capítulo, o estudo de caso de um piso industrial de concreto,
dimensionado em concreto armado e em concreto protendido. Foram aplicados distintos
carregamentos distribuídos em diversos tipos de solo de suporte, e consideradas duas classes de
concreto e diferentes espessuras para os pavimentos.
Com os resultados obtidos do dimensionamento, construíram-se ábacos de pré-
dimensionamento dessas estruturas para auxiliar na escolha do piso industrial a ser projetado.
CARACTERÍSTICAS DO PROJETO
Os pisos aqui estudados consistem em uma placa de concreto 30,0 m de largura por 90,0
m de comprimento, apoiada diretamente sobre o solo (meio elástico), dimensionados em
concreto armado e em concreto protendido. A espessura dos pisos variou de 12,0 cm a 23,0 cm.
No dimensionamento, as cargas foram consideradas atuantes no interior da placa de
concreto, caracterizando as bordas como não sendo livres. Na prática, isso impõe a
obrigatoriedade do emprego de mecanismos de transferência de juntas, tanto nas juntas de
construção como nas serradas.
Os cálculos das tensões devidas às variações térmicas e retrações não foram realizados
neste estudo. No entanto, reconhece-se sua importância e ressalta-se que, no Brasil, em
trabalhos mais aprofundados, tem-se o cuidado de levar em consideração os efeitos térmicos
relacionados ao empenamento dessas longas placas de concreto.
O terreno de fundação que caracteriza o subleito é formado por siltes, argilas ou solos
granulares (areia) e a sub-base por solo granular simples ou solo tratado com cimento.
A Tabela 6.1 apresenta os valores adotados para os módulos de elasticidade do concreto
de acordo com as resistências características do concreto adotadas, as cargas por área, os
módulos de reação do subleito e as espessuras das placas.
Tabela 6.1 – Faixas de variação dos parâmetros considerados.
PISO INDUSTRIAL EM CONCRETO
Variável Unidade Valores
Módulo de elasticidade da placa (E) MPa 27000 29000 - - - - - - - - - -
Carga uniformemente distribuída (q) kN/m² 25 50 75 100 - - - - - - - -
Módulo de reação do subleito (k) MPa/m 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 - -
Espessura da placa (h) cm 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
51
6.1.1 PARÂMETROS DOS MATERIAIS
Os materiais empregados e seus parâmetros são apresentados na Tabela 6.2. Utilizaram-
se dois tipos de concreto de resistência característica de 30 MPa e de 35 MPa. Os aços são o
CA-50 para armadura passiva e o CP 190 RB para a armadura ativa de protensão.
Tabela 6.2 – Propriedades dos materiais.
Concreto 𝒇𝒄𝒌 = 𝟑𝟎 𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄𝒌 = 𝟑𝟓 𝑴𝑷𝒂
Peso específico (γ) [kN/m³] 25 25
Resistência à tração na flexão (𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘
) 1
[MPa] 4,14 4,59
Módulo de deformação secante (𝐸𝑐𝑠) [MPa] 27000 29000
Aço CP 190-RB
Módulo de Elasticidade (𝐸𝑝) [GPa] 200
Resistência na ruptura (𝑓𝑝𝑡𝑘) [MPa] 1900
Cordoalha 7 fios – CP 190
Diâmetro nominal [mm] 12,7
Área aproximada [mm²] 101
Aço CA-50
Resistência ao escoamento (𝑓𝑦𝑘) [MPa] 500
Telas Eletrossoldadas – aço CA-60
Resistência ao escoamento (𝑓𝑦𝑘) [MPa] 600
PISO EM CONCRETO ARMADO
A Figura 6.1 ilustra o piso em concreto armado e o seu plano de concretagem. O piso
de 30 m × 90 m foi dividido em doze faixas de 7,5 m x 30 m a fim de permitir adequada
execução, considerando, principalmente, o volume de concreto por faixa e a necessidade de
juntas.
Para o dimensionamento do concreto armado, optou-se neste trabalho pelo uso de telas
soldadas tipo Q (Tabela 5.3).
Os resultados obtidos a partir do dimensionamento proposto no capítulo 5 estão
apresentados em planilhas no Apêndice A.
1 𝑓𝑐𝑡𝑀,𝑘: resistência do concreto à tração na flexão, tal como definido pela NBR 6118:2014 e descrito no item
5.1.1 deste trabalho.
52
Figura 6.1: Plano de concretagem do piso em concreto armado (medidas em metro).
PISO EM CONCRETO PROTENDIDO
O mesmo piso é dimensionado em concreto protendido. A definição da divisão dos
painéis depende da capacidade de produção de concreto da obra. Tomando como referência
volumes de concreto entre 50 m3 e 100 m3, recomenda-se o plano de concretagem típico
apresentado na Figura 6.2.
Figura 6.2: Plano de concretagem do piso em concreto protendido (medidas em metro).
Os cabos de protensão estão ilustrados na Figura 6.2. Para não sobrecarregar a figura,
encontra-se representado exclusivamente um cabo por painel. Os cabos curtos (transversais)
são protendidos somente por uma das extremidades (ativa-passiva) e os cabos longos
(horizontais) são protendidos nas duas extremidades (ancoragens ativa-ativa). Deve-se observar
que a concretagem das faixas pares somente deve começar após a protensão das faixas ímpares.
53
A Tabela 6.3 apresenta a ordem de execução da concretagem e da protensão dos cabos
transversais e longitudinais, respeitando as resistências mínimas necessárias do concreto para
aplicação da protensão.
Tabela 6.3 – Ordem de execução de concretagem e protensão do piso protendido.
Concretagem Protensão Transversal Protensão Longitudinal
Dia 01 Faixa 1 - -
Dia 02 Faixa 2 Faixa 1 -
Dia 03 Faixa 3 Faixa 2 -
Dia 04 Faixa 4 Faixa 3
Dia 05 Faixa 5 Faixa 4
Dia 06 Faixa 6 Faixa 5
Dia 07 Faixa 6
Dia 10 Faixas 1 a 6
6.3.1 DIMENSIONAMENTO
São apresentados a sequência e os cálculos para o dimensionamento do piso protendido,
conforme apresentado no capítulo 5, no item 5.1.4.
6.3.1.1 PROTENSÃO INICIAL
Como descrito no item 5.1.4.1 deste trabalho, para o caso de armadura pós-tracionada,
a NBR 6118 (ABNT, 2014) exige que o valor máximo para tensão inicial de protensão (𝜎𝑝𝑖)
deve ser o menor entre as duas verificações a seguir:
• Aço CP190-RB:
0,80 × 1900 = 1520 𝑀𝑃𝑎
0,88 × 0,9 × 1900 = 1505 𝑀𝑃𝑎
Portanto, 𝝈𝒑𝒊 = 𝟏𝟓𝟎𝟓 𝑴𝑷𝒂.
Por se tratar de um projeto de pavimento, a área de aço deve ser calculada por metro. A
área da seção transversal de uma cordoalha ou barra deve ser obtida no catálogo do fabricante,
neste trabalho optou-se por usar a cordoalha CP 190 RB 12,7 da Arcelor Mittal (2021), com
área de 101 𝑚𝑚². A equação 6.1 determina a área de aço por metro do pavimento. E os
resultados se encontram nas Tabela 6.12 e Tabela 6.13.
54
(6.1)
𝐴𝑝 =𝑛º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ∙ á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎
A força de protensão inicial (𝑃𝑖) é dada por:
(6.2)
𝑃𝑖 = 𝐴𝑝 ∙ 𝜎𝑝𝑖
sendo:
𝑃𝑖: força de protensão inicial (kN/m)
𝐴𝑝: área da seção de aço por metro (m²/m);
𝜎𝑝𝑖: tensão inicial do aço de protensão (MPa).
6.3.1.2 PERDAS DE PROTENSÃO
A seguir, apresentam-se os resultados, de forma resumida, dos cálculos das perdas de
protensão das monocordoalhas engraxadas nas Tabela 6.4 a Tabela 6.13. As perdas imediatas
são compostas pelas perdas por atrito, por recuo da ancoragem e por encurtamento elástico do
concreto.
a) Perda por atrito no cabo
Tabela 6.4 – Perda de protensão por atrito nos cabos longitudinais na seção do meio da placa.
Tabela 6.5 – Perda de protensão por atrito nos cabos transversais na seção do meio da placa.
55
b) Perdas por cravação
Tabela 6.6 – Perda de protensão por deformação da ancoragem, em x = 0 m, para os cabos
longitudinais.
Tabela 6.7 – Perda de protensão por deformação da ancoragem, em x = 0 m, para os cabos
transversais.
c) Perdas por encurtamento elástico
Tabela 6.8 – Valor do módulo de elasticidade do concreto em t = 4 dias, instante da protensão
longitudinal.
Tabela 6.9 – Valor do módulo de elasticidade do concreto em t = 1 dia, instante da protensão
transversal.
56
Como a placa está apoiada na sub-base, o peso próprio não causa flexão e, portanto, a
tensão média na placa de concreto pode ser dada por Aalami (2014):
(6.3)
𝑓𝑐𝑝𝑎 = −𝑃𝑎(1
𝐴𝑐+
𝑒𝑝2
𝐼𝑐)
(6.4)
𝑃𝑎 = 𝑃𝑖 − 𝛥𝑃𝑎𝑡𝑟 − 𝛥𝑃𝑎𝑛𝑐
sendo:
𝑓𝑐𝑝𝑎: tensão média na placa de concreto (MPa);
𝑃𝑎: força de protensão, após as perdas por atrito e acomodação das ancoragens (kN/m);
𝐴𝑐: área da seção transversal do concreto (m²/m);
𝑒𝑝: excentricidade do cabo resultante em relação ao baricentro da seção de concreto (m).
No caso deste trabalho, considera-se que não há excentricidade;
𝐼𝑐: momento de inércia na seção de concreto (m4).
Assim, tem-se que a perda de protensão por encurtamento elástico do concreto é:
(6.5)
𝛥𝑃𝐸𝐿 = 𝛥𝜎𝐸𝐿 ∙ 𝐴𝑝
sendo:
𝛥𝑃𝐸𝐿: perda de protensão por encurtamento elástico (kN/m);
𝛥𝜎𝐸𝐿 : a redução da tensão no cabo de protensão (MPa);
𝐴𝑝: área da seção de aço por metro (m²/m).
Tabela 6.10 – Perda de protensão por encurtamento elástico do concreto nos cabos longitudinais na
seção do meio da placa.
57
Tabela 6.11 – Perda de protensão por encurtamento elástico do concreto nos cabos transversais na
seção do meio da placa.
d) Força final de protensão na seção do meio da placa no instante t = 0
A força inicial de protensão subtraída da soma de todas as perdas imediatas resulta na
força final de protensão que atuará no cabo, conforme mostra a Equação 6.6.
(6.6)
𝑃0 = 𝑃𝑖 − 𝛥𝑃𝑎𝑡𝑟 − 𝛥𝑃𝑎𝑛𝑐 − 𝛥𝑃𝐸𝐿
e) Perdas lentas
Conforme descrito no item 4.2.2, considerou-se 15% de perdas lentas, portanto, a força
de protensão para um tempo infinito é dado por:
(6.7)
𝑃∞ = 0,85𝑃0
58
Tabela 6.12 – Resumo dos resultados encontrados para os cabos longitudinais.
Tabela 6.13 – Resumo dos resultados encontrados para os cabos transversais.
6.3.1.3 VERIFICAÇÃO DO CONCRETO NO ATO DA PROTENSÃO
No ato da protensão, verificam-se se as tensões máximas na seção de concreto
ultrapassam os limites expostos no item 5.1.4.3. Como nesse exemplo, a tensão 𝜎𝑐𝑝1 é de
compressão, é necessário verificar apenas a condição de compressão excessiva, conforme a Eq.
5.20.
59
As Tabela 6.14 e Tabela 6.15 apresentam os cálculos da verificação de compressão
excessiva da seção de concreto com as resistências características de 30 MPa e 35 MPa sob a
ação dos cabos longitudinais, na idade t = 4 dias e as Tabela 6.16 e Tabela 6.17 sob a ação dos
cabos transversais, na idade t = 1 dia.
Tabela 6.14 – Verificação do concreto no ato da protensão para 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 nos cabos
longitudinais.
Tabela 6.15 – Verificação do concreto no ato da protensão para 𝑓𝑐𝑘 = 35 𝑀𝑃𝑎 nos cabos
longitudinais.
Tabela 6.16 – Verificação do concreto no ato da protensão para 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 nos cabos transversais.
Tabela 6.17 – Verificação do concreto no ato da protensão para 𝑓𝑐𝑘 = 35 𝑀𝑃𝑎 nos cabos transversais.
60
6.3.1.4 CÁLCULO DE ALONGAMENTO DOS CABOS
O cálculo dos alongamentos dos cabos longitudinais e transversais de protensão estão
apesentados nas Tabela 6.18 e Tabela 6.19, conforme a Eq. 5.22.
Tabela 6.18 – Alongamento dos cabos longitudinais.
Tabela 6.19 – Alongamento dos cabos transversais.
6.3.1.5 CÁLCULO DO MOMENTO DE FISSURAÇÃO NO PAVIMENTO
Os momentos de fissuração, no ELS-F, decorrentes da contribuição da protensão junto
ao concreto são calculados e apresentados nas Tabela 6.20 e Tabela 6.21.
Tabela 6.20 – Momento de fissuração do concreto para protensão longitudinal.
Tabela 6.21 – Momento de fissuração do concreto para protensão transversal.
61
Conhecidos os momentos de fissuração, faz-se o dimensionamento da carga admissível
do pavimento com a mesma equação utilizada para o piso em concreto armado (Equação 5.9).
Como visto nas Tabela 6.20 e Tabela 6.21, os valores de 𝑀𝑟 para protensão longitudinal são
menores do que para protensão transversal, então, fez-se o cálculo considerando os resultados
da protensão longitudinal. Os resultados obtidos para carga admissível no piso em concreto
protendido se encontram no Apêndice A.
Os momentos fletores solicitantes (positivo e negativo) são definidos pelas equações
apresentadas no dimensionamento do concreto armado (item 5.1.3.1). Verificou-se que não
houve necessidade de armadura (tela soldada), pois o momento fletor solicitante é menor que o
momento fletor de fissuração do concreto. As armaduras de aço CA-50 são necessárias somente
na região das ancoragens para absorver as tensões elevadas de compressão no ato da protensão.
ANÁLISE DOS RESULTADOS
Como resultado deste trabalho, foram construídos ábacos relacionando o tipo de solo de
fundação, a espessura da placa de concreto e a carga admissível de projeto. Estes ábacos podem
ser usados de diferentes maneiras a fim de permitir o pré-dimensionamento do pavimento.
Em função da carga admissível, define-se a espessura da placa de concreto a partir dos
ábacos propostos nesse trabalho. Em seguida, faz-se a verificação da necessidade de armaduras
de flexão positivas e/ ou negativas, conforme o momento fletor solicitante.
6.4.1 CARGA ADMISSÍVEL
Os ábacos dos Gráfico 1, Gráfico 2, Gráfico 3 e Gráfico 4 mostram como o tipo de solo
de fundação, a espessura da placa de concreto e a carga admissível de projeto se comportam
diante do tipo de piso escolhido e do concreto utilizado. Presumia-se que para solicitações cada
vez maiores, solos melhores fossem exigidos, e essa expectativa foi confirmada.
62
Gráfico 1: Correlação entre espessura de placa, carga admissível e tipo de solo para o piso em concreto
armado para o concreto classe C30.
Gráfico 2: Correlação entre espessura de placa, carga admissível e tipo de solo para o piso em concreto
armado para o concreto classe C35.
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
20,0
21,0
22,0
23,0
24,0
40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 110,0 120,0 130,0
Esp
essu
ra d
a p
laca
de
con
cret
o (c
m)
Carga Admissível (kN/m²)
Piso em concreto armado (classe C30)
k = 15 MPa/m k = 20 MPa/m k = 25 MPa/m k = 30 MPa/m k = 35 MPa/m
k = 40 MPa/m k = 45 MPa/m k = 50 MPa/m k = 55 MPa/m k = 60 MPa/m
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
20,0
21,0
22,0
23,0
24,0
40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 110,0 120,0 130,0
Esp
essu
ra d
a p
laca
de
con
cret
o (
cm)
Carga Admissível (kN/m²)
Piso em concreto armado (classe C35)
k = 15 MPa/m k = 20 MPa/m k = 25 MPa/m k = 30 MPa/m k = 35 MPa/m
k = 40 MPa/m k = 45 MPa/m k = 50 MPa/m k = 55 MPa/m k = 60 MPa/m
63
Gráfico 3: Correlação entre espessura de placa, carga admissível e tipo de solo para o piso em concreto
protendido para o concreto classe C30.
Gráfico 4: Correlação entre espessura de placa, carga admissível e tipo de solo para o piso em concreto
protendido para o concreto classe C35.
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
20,0
21,0
22,0
23,0
24,0
80,0 90,0 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0 150,0 160,0 170,0 180,0 190,0 200,0 210,0
Esp
essu
ra d
a p
laca
de
con
cret
o (c
m)
Carga Admissível (kN/m²)
Piso em concreto protendido (classe C30)
k = 15 MPa/m k = 20 MPa/m k = 25 MPa/m k = 30 MPa/m k = 35 MPa/m
k = 40 MPa/m k = 45 MPa/m k = 50 MPa/m k = 55 MPa/m k = 60 MPa/m
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
20,0
21,0
22,0
23,0
24,0
80,0 90,0 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0 150,0 160,0 170,0 180,0 190,0 200,0 210,0
Esp
essu
ra d
a p
laca
de
con
cret
o (c
m)
Carga Admissível (kN/m²)
Piso em concreto protendido (classe C35)
k = 15 MPa/m k = 20 MPa/m k = 25 MPa/m k = 30 MPa/m k = 35 MPa/m
k = 40 MPa/m k = 45 MPa/m k = 50 MPa/m k = 55 MPa/m k = 60 MPa/m
64
Considerando os tipos de solo, a espessura de placa e a classe de concreto, destaca-se
que o piso em concreto armado pode suportar cargas de até 123 kN/m² (Gráfico 2), enquanto o
concreto protendido, com as mesmas condições iniciais, resiste cargas de até 200 kN/m²
(Gráfico 4).
Observou-se que para solos com coeficiente de recalque muito baixo, qualquer melhora
do material de fundação resulta em significativa melhora estrutural do pavimento. Em
contrapartida, à medida que o coeficiente de recalque aumenta, é importante avaliar, de forma
cautelosa, se a alternativa mais adequada, em busca de maiores cargas admissíveis, é de fato
alterar o solo de toda fundação ou incrementar a espessura da placa de concreto.
Assim, entende-se que a variação da capacidade de suporte do solo tem influência sobre
a espessura do pavimento, porém, é menos expressiva quando o coeficiente vertical do solo é
maior que 45 MPa/m. Há a possibilidade de o piso industrial ser construído em solos de baixa
resistência, desde que a sub-base seja adotada de forma a regularizar e aumentar a resistência
do subleito e reduzir o bombeamento de finos para a superfície.
A mudança no comportamento da linha de tendência dos gráficos do piso em concreto
armado para o piso em concreto protendido também foi analisado. A carga admissível,
calculada pela Eq. 5.9, depende somente do momento fletor de fissuração definido pela equação
5.10, para o piso em concreto armado, e pela equação 5.23 para o piso protendido. No concreto
armado, para uma mesma classe de concreto, o único parâmetro que faz o 𝑀𝑟variar é a espessura
da placa. Já no concreto protendido, além da espessura da placa, existe uma parcela devido à
protensão que influencia diretamente no 𝑀𝑟, considerando a força de protensão no tempo
infinito.
Nota-se que, para um mesmo tipo de piso escolhido, a variação da classe do concreto
melhora o desempenho do piso de concreto armado em 7%, e do piso de concreto protendido
entre 4% e 6%, dependendo da espessura da placa. Ao passo que, para uma mesma classe de
concreto, o piso em concreto protendido tem um desempenho 63% a 97% superior ao piso em
concreto armado, dependendo da espessura da placa. Ressalta-se que apesar desta clara
comparação, que pode ser observada no Apêndice C, outros aspectos como custo de material e
mão de obra, e prazo de entrega da obra, devem ser levados em consideração na decisão final
da escolha do tipo de piso ideal ao projeto.
Para utilização do ábaco, deve-se conhecer a carga máxima de projeto e o tipo de solo
do terreno para definir, de forma rápida, a espessura de placa mais adequada ao piso em
concreto armado ou em concreto protendido, para as classes de concreto (C30 ou C35). Pode-
se, também, a partir da carga máxima de projeto, por meio dos ábacos, definir qual coeficiente
65
de recalque mínimo do solo para que uma determinada espessura de piso atenda às solicitações
de uso.
Todos os resultados encontrados para as diferentes combinações de carga, tipo de solo
e tipo de pavimentação estão no Apêndice A.
6.4.2 MOMENTO FLETOR SOLICITANTE
Em função da carga admissível do solo, define-se a espessura da placa de concreto por
meio dos ábacos apresentados nos Gráfico 1, Gráfico 2, Gráfico 3 e Gráfico 4. Em seguida, faz-
se a verificação da necessidade de armaduras positivas e/ ou negativas a partir do momento
fletor solicitante.
Cabe ressaltar, que o momento fletor solicitante depende exclusivamente do
carregamento, do layout das cargas atuantes no pavimento, das características do solo, da classe
do concreto e da espessura da placa. O momento fletor solicitante é o mesmo
independentemente do tipo de piso escolhido, seja em concreto simples, concreto armado,
reforçado com fibras ou protendido.
Os gráficos de momentos fletores solicitantes foram divididos de acordo com a carga de
projeto (25 kN/m2 a 100 kN/m2), a classe do concreto (30 MPa e 35 MPa) e do tipo de momento
fletor (momentos fletores positivos e negativo), como visto nos Gráfico 5 a Gráfico 20, sempre
relacionando à espessura de placa e tipo de solo.
Deve-se atentar que mesmo o momento fletor de cálculo sendo inferior ao momento
fletor de fissuração (de projeto), esta condição não é suficiente para o correto dimensionamento
do piso, pois a carga admissível continua sendo o principal fator limitante.
De modo geral, observa-se que os momentos fletores solicitantes são significativamente
menores do que os momentos fletores de fissuração do concreto, os quais são tomados como
referência para avaliar a necessidade de armar ou não o piso. Isso se deve ao fato de que, neste
trabalho, são consideradas, exclusivamente, cargas distribuídas sobre o pavimento. Em vista
disso, não foi necessário calcular armadura positiva ou negativa em nenhum dos casos
considerados neste estudo.
Acrescenta-se que, usualmente, a necessidade de armadura inferior ocorre apenas
quando há cargas pontuais. Dessa maneira, na prática do piso industrial estruturalmente armado,
sempre há armadura de retração em todo o piso e armadura positiva apenas de forma localizada
(na região sob a carga concentrada).
66
Percebe-se que a variação do momento fletor, alterando apenas a classe do concreto de
C30 para C35 é quase nula, tanto para o momento fletor positivo quanto para o momento fletor
negativo. Os resultados dos cálculos de momentos fletores estão apresentados no Apêndice B.
a) MOMENTO FLETOR POSITIVO – CONCRETO C30
Gráfico 5: Comportamento do momento fletor positivo em piso industrial (C30) – carga de 25 kN/m².
0,030
0,050
0,070
0,090
0,110
0,130
0,150
0,170
0,190
0,210
0,230
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to p
osi
tivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Positivo Solicitante devido q = 25 kN/m² (fck = 30 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
67
Gráfico 6: Comportamento do momento fletor positivo em piso industrial (C30) – carga de 50 kN/m².
Gráfico 7: Comportamento do momento fletor positivo em piso industrial (C30) – carga de 75 kN/m².
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,450
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to p
osi
tivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Positivo Solicitante devido q = 50 kN/m² (fck = 30 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to p
osi
tivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Positivo Solicitante devido q = 75 kN/m² (fck = 30 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
68
Gráfico 8: Comportamento do momento fletor positivo em piso industrial (C30) – carga de 100 kN/m².
b) MOMENTO FLETOR POSITIVO – CONCRETO C35
Gráfico 9: Comportamento do momento fletor positivo em piso industrial (C35) – carga de 25 kN/m².
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to p
osi
tivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Positivo Solicitante devido q = 100 kN/m² (fck = 30 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
0,030
0,050
0,070
0,090
0,110
0,130
0,150
0,170
0,190
0,210
0,230
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to p
osi
tivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Positivo Solicitante devido q = 25 kN/m² (fck = 35 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
69
Gráfico 10: Comportamento do momento fletor positivo em piso industrial (C35) – carga de 50 kN/m².
Gráfico 11: Comportamento do momento fletor positivo em piso industrial (C35) – carga de 75 kN/m².
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,450
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to p
osi
tivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Positivo Solicitante devido q = 50 kN/m² (fck = 35 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to p
osi
tivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Positivo Solicitante devido q = 75 kN/m² (fck = 35 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
70
Gráfico 12: Comportamento do momento positivo em piso industrial (C35) – carga de 100 kN/m².
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to p
osi
tivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Positivo Solicitante devido q = 100 kN/m² (fck = 35 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
71
c) MOMENTO FLETOR NEGATIVO – CONCRETO C30
Gráfico 13: Comportamento do momento fletor negativo no piso industrial (C30) – carga de 25 kN/m².
Gráfico 14: Comportamento do momento fletor negativo no piso industrial (C30) – carga de 50 kN/m².
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to n
egat
ivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Negativo Solicitante devido q = 25 kN/m² (fck = 30 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to n
egat
ivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Negativo Solicitante devido q = 50 kN/m² (fck = 30 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
72
Gráfico 15: Comportamento do momento fletor negativo no piso industrial (C30) – carga de 75 kN/m².
Gráfico 16: Comportamento do momento fletor negativo piso industrial (C30) – carga de 100 kN/m².
0,050
0,150
0,250
0,350
0,450
0,550
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to n
egat
ivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Negativo Solicitante devido q = 75 kN/m² (fck = 30 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
0,050
0,150
0,250
0,350
0,450
0,550
0,650
0,750
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to n
egat
ivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Negativo Solicitante devido q = 100 kN/m² (fck = 30 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
73
d) MOMENTO FLETOR NEGATIVO – CONCRETO C35
Gráfico 17: Comportamento do momento fletor negativo no piso industrial (C35) – carga de 25 kN/m².
Gráfico 18: Comportamento do momento fletor negativo no piso industrial (C35) – carga de 50 kN/m².
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to n
egat
ivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Negativo Solicitante devido q = 25 kN/m² (fck = 35 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to n
egat
ivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Negativo Solicitante devido q = 50 kN/m² (fck = 35 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
74
Gráfico 19: Comportamento do momento fletor negativo no piso industrial (C35) – carga de 75 kN/m².
Gráfico 20: Comportamento do momento fletor negativo piso industrial (C35) – carga de 100 kN/m².
0,050
0,150
0,250
0,350
0,450
0,550
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to n
egat
ivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Negativo Solicitante devido q = 75 kN/m² (fck = 35 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
0,050
0,150
0,250
0,350
0,450
0,550
0,650
0,750
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Mo
men
to n
egat
ivo
(kN
m/m
)
Módulo de reação da fundação (MPa/m)
Momento Negativo Solicitante devido q = 100 kN/m² (fck = 35 MPa)
h = 12 cm h = 13 cm h = 14 cm h = 15 cm h = 16 cm h = 17 cm
h = 18 cm h = 19 cm h = 20 cm h = 21 cm h = 22 cm h = 23 cm
75
7 CONCLUSÃO
O comportamento das placas de concreto sobre base elástica pode ser estudado com o
uso de programas computacionais baseados em métodos numéricos. Apesar disso, os métodos
de dimensionamento tradicionais ainda são constantemente utilizados por profissionais
especialistas em pavimentos industriais de concreto.
Ao longo do trabalho, constatou-se certa deficiência normativa específica para esse tipo
de pavimento. Há recomendações no meio técnico que são amplamente difundidas e bastante
utilizadas, mas ainda não foram normatizadas. A falta de normas sobre esse assunto pode
comprometer o resultado dos projetos, uma vez que essa é uma área específica da engenharia e
apresenta características particulares de projeto e execução. Por isso, a normatização relativa
aos sistemas construtivos quanto ao dimensionamento e à execução da estrutura deve ser
urgentemente desenvolvida.
Com objetivo de melhor atender à demanda do mercado, alguns profissionais da área,
tais como projetistas, empresas de execução ou fornecedores de materiais, iniciaram uma
movimentação em busca de desenvolver tecnologia e controle de qualidade mais adequado.
Baseado na literatura técnica existente e com o intuito de realizar análise comparativa
entre pisos industriais de concreto armado e de concreto protendido, esse trabalho, de caráter
acadêmico, utilizou os métodos tradicionais de cálculo para investigar e comparar os resultados
de dimensionamento dos pisos quando submetidos à ação de cargas distribuídas.
Os pisos aqui estudados consistem em uma placa de concreto apoiada diretamente sobre
o solo (siltes, argilas ou areias), com espessuras variando entre 12,0 cm a 23,0 cm, para
resistências à compressão do concreto de 30 MPa e 35 MPa e considerando cargas atuantes de
25 kN/m², 50 kN/m², 75 kN/m² e 100 kN/m².
Foram desenvolvidos ábacos para o pré-dimensionamento, considerando a ação de cargas
distribuídas nas posições mais desfavoráveis, com o objetivo de auxiliar o projetista na definição
da melhor solução estrutural. O desenvolvimento dos ábacos permitiu ratificar que o
dimensionamento do piso industrial não depende exclusivamente da intensidade, do tipo do
carregamento e das características elásticas do terreno de fundação, mas, também, da
configuração geométrica da carga atuante.
Com isso, foi possível perceber que, para o piso industrial, vários parâmetros têm
significativa influência na definição da espessura do pavimento de concreto, tais como: a
variação da capacidade de suporte do solo, a carga solicitante e o sistema estrutural do
pavimento.
76
Após a análise comparativa de soluções para pisos industriais, conclui-se que a
utilização do concreto protendido traz vantagens como a redução da espessura da placa e do
número de juntas em detrimento ao piso em concreto armado. Por outro lado, exige mão de
obra mais qualificada e alto controle de qualidade, com ênfase na sistematização e na gestão
eficiente das etapas de projeto e execução.
Por fim, foi possível compreender que a qualidade do pavimento construído depende de
decisões criteriosas de projeto, definidas sob a ótica de equipes envolvendo projetista,
fornecedores e equipe de execução da obra. Somente assim e com intenso controle de execução,
é possível garantir boas condições de operação do piso industrial.
SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
A seguir são apresentadas algumas sugestões visando trabalhos futuros:
• Desenvolvimento de estudo comparativo de solicitações e comportamento estrutural dos
pisos industriais que incorporem os efeitos térmicos relacionados ao empenamento das
longas placas de concreto;
• Consideração das cargas móveis e pontuais que, em geral, ocasionam momentos fletores
negativos e positivos bastante superiores aos produzidos pela carga distribuída;
• Consideração da deformação plástica do terreno de fundação sob ação de cargas
permanentes ou de elevada duração;
• Consideração de outros tipos de piso industrial para as mesmas condições iniciais de
projeto;
• Utilização de modelos computacionais para estudar a influência de diferentes tipos de
solo de fundação no comportamento estrutural do piso industrial;
• Análise semelhante variando os parâmetros considerados e utilizando programa
computacional para analisar o impacto das alterações.
77
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AALAMI, Bijan O., 2014, Post-Tensioned Buildings Design and Construction. USA: PT-
Structures.
AASTHO – American Association of State Highway and Transportation Official, 1993, Guide
for Design of Pavement Structures. Washington, DC.
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas, 2014, NBR 6118: Projeto de estruturas
de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro.
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80
APÊNDICE A
RESULTADOS DO DIMENSIONAMENTO DA CARGA ADMISSÍVEL PARA O
PAVIMENTO EM CONCRETO ARMADO E CONCRETO PROTENDIDO
Tabela A 1 – Carga admissível calculada considerando piso em concreto armado e classe C30.
CARGA ADMISSÍVEL NO PISO EM CONCRETO ARMADO (fck = 30 MPa)
k (MPa/m)
h (cm) Mr (kNm/m) 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
12 7,09 λ (m-1) 0,99 1,065 1,126 1,179 1,225 1,266 1,304 1,339 1,371 1,401
qadm (kN/m²) 41,4 47,9 53,5 58,6 63,3 67,7 71,8 75,7 79,4 82,9
13 8,32 λ (m-1) 0,933 1,003 1,060 1,110 1,153 1,193 1,228 1,261 1,291 1,320
qadm (kN/m²) 43,1 49,8 55,7 61,0 65,9 70,5 74,7 78,8 82,6 86,3
14 9,65 λ (m-1) 0,883 0,949 1,003 1,050 1,091 1,128 1,162 1,193 1,222 1,248
qadm (kN/m²) 44,8 51,7 57,8 63,3 68,4 73,1 77,5 81,7 85,7 89,5
15 11,08 λ (m-1) 0,838 0,901 0,952 0,997 1,036 1,071 1,103 1,133 1,160 1,186
qadm (kN/m²) 46,3 53,5 59,8 65,5 70,8 75,7 80,3 84,6 88,7 92,7
16 12,61 λ (m-1) 0,799 0,858 0,907 0,950 0,987 1,021 1,051 1,079 1,105 1,130
qadm (kN/m²) 47,9 55,3 61,8 67,7 73,1 78,2 82,9 87,4 91,6 95,7
17 14,24 λ (m-1) 0,763 0,820 0,867 0,908 0,943 0,975 1,004 1,031 1,056 1,079
qadm (kN/m²) 49,3 57,0 63,7 69,8 75,4 80,6 85,5 90,1 94,5 98,7
18 15,96 λ (m-1) 0,731 0,786 0,831 0,869 0,904 0,934 0,962 0,988 1,012 1,034
qadm (kN/m²) 50,8 58,6 65,5 71,8 77,5 82,9 87,9 92,7 97,2 101,5
19 17,78 λ (m-1) 0,702 0,754 0,798 0,835 0,868 0,897 0,924 0,949 0,972 0,993
qadm (kN/m²) 52,2 60,2 67,3 73,8 79,7 85,2 90,3 95,2 99,9 104,3
20 19,70 λ (m-1) 0,676 0,726 0,768 0,803 0,835 0,863 0,889 0,913 0,935 0,955
qadm (kN/m²) 53,5 61,8 69,1 75,7 81,7 87,4 92,7 97,7 102,5 107,0
21 21,7 λ (m-1) 0,651 0,700 0,740 0,775 0,805 0,832 0,857 0,880 0,901 0,921
qadm (kN/m²) 54,8 63,3 70,8 77,5 83,8 89,5 95,0 100,1 105,0 109,7
22 23,8 λ (m-1) 0,629 0,676 0,715 0,748 0,777 0,804 0,828 0,850 0,870 0,890
qadm (kN/m²) 56,1 64,8 72,5 79,4 85,7 91,6 97,2 102,5 107,5 112,2
23 26,1 λ (m-1) 0,608 0,654 0,691 0,723 0,752 0,777 0,801 0,822 0,842 0,860
qadm (kN/m²) 57,4 66,3 74,1 81,2 87,7 93,7 99,4 104,8 109,9 114,8
81
Tabela A 2 – Carga admissível calculada considerando piso em concreto armado e classe C35.
CARGA ADMISSÍVEL NO PISO EM CONCRETO ARMADO (fck = 35 MPa)
k (MPa/m)
h (cm) Mr (kNm/m) 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
12 7,86 λ (m-1) 0,973 1,046 1,106 1,158 1,203 1,244 1,281 1,315 1,347 1,377
qadm (kN/m²) 44,3 51,2 57,2 62,7 67,7 72,4 76,8 80,9 84,9 88,6
13 9,23 λ (m-1) 0,917 0,985 1,042 1,090 1,133 1,171 1,206 1,239 1,269 1,296
qadm (kN/m²) 46,1 53,3 59,6 65,2 70,5 75,3 79,9 84,2 88,3 92,3
14 10,70 λ (m-1) 0,867 0,932 0,985 1,031 1,072 1,1082 1,141 1,172 1,200 1,226
qadm (kN/m²) 47,9 55,3 61,8 67,7 73,1 78,2 82,9 87,4 91,7 95,8
15 12,28 λ (m-1) 0,823 0,885 0,936 0,979 1,018 1,052 1,084 1,113 1,139 1,165
qadm (kN/m²) 49,6 57,2 64,0 70,1 75,7 80,9 85,8 90,5 94,9 99,1
16 13,98 λ (m-1) 0,785 0,843 0,891 0,933 0,970 1,003 1,033 1,060 1,086 1,110
qadm (kN/m²) 51,2 59,1 66,1 72,4 78,2 83,6 88,6 93,4 98,0 102,4
17 15,78 λ (m-1) 0,750 0,806 0,852 0,892 0,927 0,958 0,987 1,013 1,037 1,060
qadm (kN/m²) 52,8 60,9 68,1 74,6 80,6 86,2 91,4 96,3 101,0 105,5
18 17,69 λ (m-1) 0,718 0,772 0,816 0,854 0,888 0,918 0,945 0,970 0,994 1,016
qadm (kN/m²) 54,3 62,7 70,1 76,8 82,9 88,6 94,0 99,1 103,9 108,6
19 19,71 λ (m-1) 0,690 0,741 0,784 0,820 0,852 0,881 0,908 0,932 0,954 0,975
qadm (kN/m²) 55,8 64,4 72,0 78,9 85,2 91,1 96,6 101,8 106,8 111,5
20 21,8 λ (m-1) 0,664 0,713 0,754 0,789 0,820 0,848 0,873 0,897 0,918 0,939
qadm (kN/m²) 57,2 66,1 73,9 80,9 87,4 93,4 99,1 104,5 109,6 114,4
21 24,1 λ (m-1) 0,640 0,688 0,727 0,761 0,791 0,818 0,842 0,864 0,885 0,905
qadm (kN/m²) 58,6 67,7 75,7 82,9 89,6 95,8 101,6 107,1 112,3 117,3
22 26,4 λ (m-1) 0,618 0,664 0,702 0,735 0,764 0,790 0,813 0,835 0,855 0,874
qadm (kN/m²) 60,0 69,3 77,5 84,9 91,7 98,0 103,9 109,6 114,9 120,0
23 28,9 λ (m-1) 0,598 0,642 0,679 0,711 0,739 0,764 0,786 0,807 0,827 0,845
qadm (kN/m²) 61,4 70,9 79,2 86,8 93,7 100,2 106,3 112,0 117,5 122,7
82
Tabela A 3 – Carga admissível calculada considerando piso em concreto protendido e classe C30.
CARGA ADMISSÍVEL NO PISO EM CONCRETO PROTENDIDO (fck = 30 MPa)
k (MPa/m)
h (cm) Mr (kNm/m) 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
12 13,97 λ (m-1) 0,991 1,065 1,126 1,179 1,225 1,266 1,304 1,339 1,371 1,401
qadm (kN/m²) 81,7 94,3 105,4 115,5 124,7 133,3 141,4 149,1 156,4 163,3
13 15,82 λ (m-1) 0,933 1,003 1,060 1,110 1,153 1,193 1,228 1,261 1,291 1,320
qadm (kN/m²) 82,0 94,7 105,8 115,9 125,2 133,9 142,0 149,7 157,0 164,0
14 17,82 λ (m-1) 0,883 0,949 1,003 1,050 1,091 1,128 1,162 1,193 1,222 1,248
qadm (kN/m²) 82,6 95,4 106,7 116,8 126,2 134,9 143,1 150,8 158,2 165,2
15 19,96 λ (m-1) 0,838 0,901 0,952 0,997 1,036 1,071 1,103 1,133 1,160 1,186
qadm (kN/m²) 83,5 96,4 107,7 118,0 127,5 136,3 144,5 152,4 159,8 166,9
16 22,2 λ (m-1) 0,799 0,858 0,907 0,950 0,987 1,021 1,051 1,079 1,105 1,130
qadm (kN/m²) 84,4 97,5 109,0 119,4 129,0 137,9 146,3 154,2 161,7 168,9
17 24,7 λ (m-1) 0,763 0,820 0,867 0,908 0,943 0,975 1,004 1,031 1,056 1,079
qadm (kN/m²) 85,6 98,8 110,4 121,0 130,7 139,7 148,2 156,2 163,8 171,1
18 27,3 λ (m-1) 0,731 0,786 0,831 0,869 0,904 0,934 0,962 0,988 1,012 1,034
qadm (kN/m²) 86,8 100,2 112,0 122,7 132,5 141,7 150,3 158,4 166,1 173,5
19 30,0 λ (m-1) 0,702 0,754 0,798 0,835 0,868 0,897 0,924 0,949 0,972 0,993
qadm (kN/m²) 88,0 101,6 113,6 124,5 134,4 143,7 152,4 160,7 168,5 176,0
20 32,9 λ (m-1) 0,676 0,726 0,768 0,803 0,835 0,863 0,889 0,913 0,935 0,955
qadm (kN/m²) 89,3 103,1 115,3 126,3 136,4 145,9 154,7 163,1 171,0 178,6
21 36,1 λ (m-1) 0,651 0,700 0,740 0,775 0,805 0,832 0,857 0,880 0,901 0,921
qadm (kN/m²) 91,1 105,2 117,6 128,8 139,1 148,7 157,8 166,3 174,4 182,2
22 39,4 λ (m-1) 0,629 0,676 0,715 0,748 0,777 0,804 0,828 0,850 0,870 0,890
qadm (kN/m²) 92,8 107,2 119,8 131,3 141,8 151,6 160,8 169,5 177,7 185,6
23 42,9 λ (m-1) 0,608 0,654 0,691 0,723 0,752 0,777 0,801 0,822 0,842 0,860
qadm (kN/m²) 94,5 109,1 122,0 133,7 144,4 154,3 163,7 172,6 181,0 189,0
83
Tabela A 4 – Carga admissível calculada considerando piso em concreto protendido e classe C35.
CARGA ADMISSÍVEL NO PISO EM CONCRETO PROTENDIDO (fck = 35 MPa)
k (MPa/m)
h (cm) Mr (kNm/m) 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
12 15,12 λ (m-1) 0,973 1,046 1,106 1,158 1,203 1,244 1,281 1,315 1,347 1,377
qadm (kN/m²) 85,3 98,5 110,1 120,6 130,3 139,3 147,7 155,7 163,3 170,6
13 17,17 λ (m-1) 0,917 0,985 1,042 1,090 1,133 1,171 1,206 1,239 1,269 1,296
qadm (kN/m²) 85,9 99,2 110,9 121,4 131,2 140,2 148,7 156,8 164,4 171,7
14 19,38 λ (m-1) 0,867 0,932 0,985 1,031 1,072 1,108 1,141 1,172 1,200 1,226
qadm (kN/m²) 86,7 100,1 112,0 122,7 132,5 141,6 150,2 158,3 166,1 173,5
15 21,8 λ (m-1) 0,823 0,885 0,936 0,979 1,018 1,052 1,084 1,113 1,139 1,165
qadm (kN/m²) 87,8 101,4 113,3 124,1 134,1 143,3 152,0 160,3 168,1 175,6
16 24,3 λ (m-1) 0,785 0,843 0,891 0,933 0,970 1,003 1,033 1,060 1,086 1,110
qadm (kN/m²) 89,0 102,7 114,9 125,8 135,9 145,3 154,1 162,5 170,4 178,0
17 27,0 λ (m-1) 0,750 0,806 0,852 0,892 0,927 0,958 0,987 1,013 1,037 1,060
qadm (kN/m²) 90,3 104,2 116,6 127,7 137,9 147,4 156,4 164,8 172,9 180,6
18 29,9 λ (m-1) 0,718 0,772 0,816 0,854 0,888 0,918 0,945 0,970 0,994 1,016
qadm (kN/m²) 91,7 105,8 118,3 129,6 140,0 149,7 158,8 167,3 175,5 183,3
19 32,9 λ (m-1) 0,690 0,741 0,784 0,820 0,852 0,881 0,908 0,932 0,954 0,975
qadm (kN/m²) 93,1 107,5 120,2 131,7 142,2 152,0 161,2 170,0 178,3 186,2
20 36,1 λ (m-1) 0,664 0,713 0,754 0,789 0,820 0,848 0,873 0,897 0,918 0,939
qadm (kN/m²) 94,6 109,2 122,1 133,7 144,5 154,4 163,8 172,7 181,1 189,1
21 39,6 λ (m-1) 0,640 0,688 0,727 0,761 0,791 0,818 0,842 0,864 0,885 0,905
qadm (kN/m²) 96,5 111,4 124,6 136,4 147,4 157,5 167,1 176,1 184,7 193,0
22 43,3 λ (m-1) 0,618 0,664 0,702 0,735 0,764 0,790 0,813 0,835 0,855 0,874
qadm (kN/m²) 98,4 113,6 127,0 139,1 150,2 160,6 170,3 179,6 188,3 196,7
23 47,2 λ (m-1) 0,598 0,642 0,679 0,711 0,739 0,764 0,786 0,807 0,827 0,845
qadm (kN/m²) 100,2 115,7 129,3 141,7 153,0 163,6 173,5 182,9 191,8 200,4
84
APÊNDICE B
RESULTADOS DOS MOMENTOS SOLICITANTES DEVIDO AOS DIFERENTES
CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS PROPOSTOS NO ESTUDO DE CASO
Tabela B 1 – Momento máximo positivo considerando concreto classe C30.
MOMENTO POSITIVO SOLICITANTE (fck = 30 MPa)
Largura da carga (m): π/2λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) π/2λ Bλc Mp (kNm/m)
12
15 0,991 1,585 0,00625 0,0795 0,1591 0,239 0,318
20 1,065 1,475 0,00625 0,0689 0,1378 0,207 0,276
25 1,126 1,395 0,00625 0,0616 0,1232 0,1848 0,246
30 1,179 1,333 0,00625 0,0562 0,1125 0,1687 0,225
35 1,225 1,282 0,00625 0,0521 0,1041 0,1562 0,208
40 1,266 1,240 0,00625 0,0487 0,0974 0,1461 0,1948
45 1,304 1,204 0,00625 0,0459 0,0919 0,1378 0,1837
50 1,339 1,173 0,00625 0,0436 0,0871 0,1307 0,1743
55 1,371 1,145 0,00625 0,0415 0,0831 0,1246 0,1662
60 1,401 1,121 0,00625 0,0398 0,0795 0,1193 0,1591
13
15 0,933 1,683 0,00625 0,0897 0,1794 0,269 0,359
20 1,003 1,566 0,00625 0,0777 0,1554 0,233 0,311
25 1,060 1,481 0,00625 0,0695 0,1390 0,208 0,278
30 1,110 1,415 0,00625 0,0634 0,1268 0,1903 0,254
35 1,153 1,362 0,00625 0,0587 0,1174 0,1762 0,235
40 1,193 1,317 0,00625 0,0549 0,1099 0,1648 0,220
45 1,228 1,279 0,00625 0,0518 0,1036 0,1554 0,207
50 1,261 1,246 0,00625 0,0491 0,0983 0,1474 0,1965
55 1,291 1,216 0,00625 0,0468 0,0937 0,1405 0,1874
60 1,320 1,190 0,00625 0,0448 0,0897 0,1345 0,1794
14
15 0,883 1,779 0,00625 0,1002 0,200 0,301 0,401
20 0,949 1,656 0,00625 0,0868 0,1736 0,260 0,347
25 1,003 1,566 0,00625 0,0776 0,1553 0,233 0,311
30 1,050 1,496 0,00625 0,0709 0,1418 0,213 0,284
35 1,091 1,440 0,00625 0,0656 0,1312 0,1969 0,262
40 1,128 1,392 0,00625 0,0614 0,1228 0,1842 0,246
45 1,162 1,352 0,00625 0,0579 0,1157 0,1736 0,231
50 1,193 1,317 0,00625 0,0549 0,1098 0,1647 0,220
55 1,222 1,286 0,00625 0,0523 0,1047 0,1570 0,209
60 1,248 1,258 0,00625 0,0501 0,1002 0,1504 0,200
85
Largura da carga (m): π/2λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) π/2λ Bλc Mp (kNm/m)
15
15 0,838 1,874 0,00625 0,1112 0,222 0,334 0,445
20 0,901 1,744 0,00625 0,0963 0,1925 0,289 0,385
25 0,952 1,649 0,00625 0,0861 0,1722 0,258 0,344
30 0,997 1,576 0,00625 0,0786 0,1572 0,236 0,314
35 1,036 1,516 0,00625 0,0728 0,1456 0,218 0,291
40 1,071 1,466 0,00625 0,0681 0,1362 0,204 0,272
45 1,103 1,424 0,00625 0,0642 0,1284 0,1925 0,257
50 1,133 1,387 0,00625 0,0609 0,1218 0,1827 0,244
55 1,160 1,354 0,00625 0,0581 0,1161 0,1742 0,232
60 1,186 1,325 0,00625 0,0556 0,1112 0,1668 0,222
16
15 0,799 1,967 0,00625 0,1225 0,245 0,367 0,490
20 0,858 1,830 0,00625 0,1061 0,212 0,318 0,424
25 0,907 1,731 0,00625 0,0949 0,1897 0,285 0,379
30 0,950 1,654 0,00625 0,0866 0,1732 0,260 0,346
35 0,987 1,591 0,00625 0,0802 0,1603 0,241 0,321
40 1,021 1,539 0,00625 0,0750 0,1500 0,225 0,300
45 1,051 1,494 0,00625 0,0707 0,1414 0,212 0,283
50 1,079 1,456 0,00625 0,0671 0,1342 0,201 0,268
55 1,105 1,421 0,00625 0,0640 0,1279 0,1919 0,256
60 1,130 1,391 0,00625 0,0612 0,1225 0,1837 0,245
17
15 0,763 2,058 0,00625 0,1341 0,268 0,402 0,537
20 0,820 1,915 0,00625 0,1162 0,232 0,348 0,465
25 0,867 1,811 0,00625 0,1039 0,208 0,312 0,416
30 0,908 1,731 0,00625 0,0948 0,1897 0,285 0,379
35 0,943 1,665 0,00625 0,0878 0,1756 0,263 0,351
40 0,975 1,611 0,00625 0,0821 0,1643 0,246 0,329
45 1,004 1,564 0,00625 0,0774 0,1549 0,232 0,310
50 1,031 1,523 0,00625 0,0735 0,1469 0,220 0,294
55 1,056 1,487 0,00625 0,0700 0,1401 0,210 0,280
60 1,079 1,455 0,00625 0,0671 0,1341 0,201 0,268
18
15 0,731 2,148 0,00625 0,1461 0,292 0,438 0,585
20 0,786 1,999 0,00625 0,1266 0,253 0,380 0,506
25 0,831 1,891 0,00625 0,1132 0,226 0,340 0,453
30 0,869 1,807 0,00625 0,1033 0,207 0,310 0,413
35 0,904 1,738 0,00625 0,0957 0,1913 0,287 0,383
40 0,934 1,681 0,00625 0,0895 0,1790 0,268 0,358
45 0,962 1,632 0,00625 0,0844 0,1687 0,253 0,337
50 0,988 1,590 0,00625 0,0800 0,1601 0,240 0,320
55 1,012 1,553 0,00625 0,0763 0,1526 0,229 0,305
60 1,034 1,519 0,00625 0,0731 0,1461 0,219 0,292
86
Largura da carga (m): π/2λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) π/2λ Bλc Mp (kNm/m)
19
15 0,702 2,237 0,00625 0,1585 0,317 0,475 0,634
20 0,754 2,082 0,00625 0,1372 0,274 0,412 0,549
25 0,798 1,969 0,00625 0,1228 0,246 0,368 0,491
30 0,835 1,881 0,00625 0,1121 0,224 0,336 0,448
35 0,868 1,810 0,00625 0,1037 0,207 0,311 0,415
40 0,897 1,751 0,00625 0,0970 0,1941 0,291 0,388
45 0,924 1,700 0,00625 0,0915 0,1830 0,274 0,366
50 0,949 1,656 0,00625 0,0868 0,1736 0,260 0,347
55 0,972 1,617 0,00625 0,0828 0,1655 0,248 0,331
60 0,993 1,582 0,00625 0,0792 0,1585 0,238 0,317
20
15 0,676 2,325 0,00625 0,1712 0,342 0,513 0,685
20 0,726 2,164 0,00625 0,1482 0,296 0,445 0,593
25 0,768 2,046 0,00625 0,1326 0,265 0,398 0,530
30 0,803 1,955 0,00625 0,1210 0,242 0,363 0,484
35 0,835 1,881 0,00625 0,1120 0,224 0,336 0,448
40 0,863 1,819 0,00625 0,1048 0,210 0,314 0,419
45 0,889 1,767 0,00625 0,0988 0,1976 0,296 0,395
50 0,913 1,721 0,00625 0,0937 0,1875 0,281 0,375
55 0,935 1,680 0,00625 0,0894 0,1788 0,268 0,358
60 0,955 1,644 0,00625 0,0856 0,1712 0,257 0,342
21
15 0,651 2,412 0,00625 0,1842 0,368 0,552 0,737
20 0,700 2,244 0,00625 0,1595 0,319 0,478 0,638
25 0,740 2,123 0,00625 0,1426 0,285 0,428 0,571
30 0,775 2,028 0,00625 0,1302 0,260 0,391 0,521
35 0,805 1,951 0,00625 0,1206 0,241 0,362 0,482
40 0,832 1,887 0,00625 0,1128 0,226 0,338 0,451
45 0,857 1,832 0,00625 0,1063 0,213 0,319 0,425
50 0,880 1,785 0,00625 0,1009 0,202 0,303 0,403
55 0,901 1,743 0,00625 0,0962 0,1923 0,289 0,385
60 0,921 1,705 0,00625 0,0921 0,1842 0,276 0,368
22
15 0,629 2,497 0,00625 0,1975 0,395 0,592 0,790
20 0,676 2,324 0,00625 0,1710 0,342 0,513 0,684
25 0,715 2,198 0,00625 0,1530 0,306 0,459 0,612
30 0,748 2,100 0,00625 0,1396 0,279 0,419 0,559
35 0,777 2,021 0,00625 0,1293 0,259 0,388 0,517
40 0,804 1,954 0,00625 0,1209 0,242 0,363 0,484
45 0,828 1,898 0,00625 0,1140 0,228 0,342 0,456
50 0,850 1,848 0,00625 0,1082 0,216 0,324 0,433
55 0,870 1,805 0,00625 0,1031 0,206 0,309 0,412
60 0,890 1,766 0,00625 0,0987 0,1975 0,296 0,395
87
Largura da carga (m): π/2λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) π/2λ Bλc Mp (kNm/m)
23
15 0,608 2,582 0,00625 0,211 0,422 0,633 0,844
20 0,654 2,403 0,00625 0,1828 0,366 0,548 0,731
25 0,691 2,272 0,00625 0,1635 0,327 0,490 0,654
30 0,723 2,171 0,00625 0,1493 0,299 0,448 0,597
35 0,752 2,089 0,00625 0,1382 0,276 0,415 0,553
40 0,777 2,021 0,00625 0,1293 0,259 0,388 0,517
45 0,801 1,962 0,00625 0,1219 0,244 0,366 0,487
50 0,822 1,911 0,00625 0,1156 0,231 0,347 0,462
55 0,842 1,866 0,00625 0,1102 0,220 0,331 0,441
60 0,860 1,826 0,00625 0,1055 0,211 0,317 0,422
88
Tabela B 2 – Momento máximo positivo considerando concreto classe C35.
MOMENTO POSITIVO SOLICITANTE (fck = 35 MPa)
Largura da carga (m): π/2λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) π/2λ Bλc Mp (kNm/m)
12
15 0,973 1,614 0,00625 0,0824 0,1649 0,247 0,330
20 1,046 1,502 0,00625 0,0714 0,1428 0,214 0,286
25 1,106 1,420 0,00625 0,0639 0,1277 0,1916 0,255
30 1,158 1,357 0,00625 0,0583 0,1166 0,1749 0,233
35 1,203 1,306 0,00625 0,0540 0,1079 0,1619 0,216
40 1,244 1,263 0,00625 0,0505 0,1010 0,1515 0,202
45 1,281 1,226 0,00625 0,0476 0,0952 0,1428 0,1904
50 1,315 1,194 0,00625 0,0452 0,0903 0,1355 0,1806
55 1,347 1,166 0,00625 0,0431 0,0861 0,1292 0,1722
60 1,377 1,141 0,00625 0,0412 0,0824 0,1237 0,1649
13
15 0,917 1,713 0,00625 0,0930 0,1859 0,279 0,372
20 0,985 1,595 0,00625 0,0805 0,1610 0,242 0,322
25 1,042 1,508 0,00625 0,0720 0,1440 0,216 0,288
30 1,090 1,441 0,00625 0,0657 0,1315 0,1972 0,263
35 1,133 1,386 0,00625 0,0609 0,1217 0,1826 0,243
40 1,171 1,341 0,00625 0,0569 0,1138 0,1708 0,228
45 1,206 1,302 0,00625 0,0537 0,1073 0,1610 0,215
50 1,239 1,268 0,00625 0,0509 0,1018 0,1527 0,204
55 1,269 1,238 0,00625 0,0485 0,0971 0,1456 0,1942
60 1,296 1,212 0,00625 0,0465 0,0930 0,1394 0,1859
14
15 0,867 1,811 0,00625 0,1039 0,208 0,312 0,416
20 0,932 1,686 0,00625 0,0900 0,1799 0,270 0,360
25 0,985 1,594 0,00625 0,0805 0,1609 0,241 0,322
30 1,031 1,523 0,00625 0,0735 0,1469 0,220 0,294
35 1,072 1,466 0,00625 0,0680 0,1360 0,204 0,272
40 1,108 1,417 0,00625 0,0636 0,1272 0,1908 0,254
45 1,141 1,376 0,00625 0,0600 0,1200 0,1799 0,240
50 1,172 1,341 0,00625 0,0569 0,1138 0,1707 0,228
55 1,200 1,309 0,00625 0,0543 0,1085 0,1628 0,217
60 1,226 1,281 0,00625 0,0519 0,1039 0,1558 0,208
89
Largura da carga (m): π/2λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) π/2λ Bλc Mp (kNm/m)
15
15 0,823 1,908 0,00625 0,1152 0,230 0,346 0,461
20 0,885 1,775 0,00625 0,0998 0,1996 0,299 0,399
25 0,936 1,679 0,00625 0,0892 0,1785 0,268 0,357
30 0,979 1,604 0,00625 0,0815 0,1629 0,244 0,326
35 1,018 1,543 0,00625 0,0754 0,1508 0,226 0,302
40 1,052 1,493 0,00625 0,0706 0,1411 0,212 0,282
45 1,084 1,449 0,00625 0,0665 0,1330 0,200 0,266
50 1,113 1,412 0,00625 0,0631 0,1262 0,1893 0,252
55 1,139 1,379 0,00625 0,0602 0,1203 0,1805 0,241
60 1,165 1,349 0,00625 0,0576 0,1152 0,1728 0,230
16
15 0,785 2,002 0,00625 0,1269 0,254 0,381 0,508
20 0,843 1,863 0,00625 0,1099 0,220 0,330 0,440
25 0,891 1,762 0,00625 0,0983 0,1966 0,295 0,393
30 0,933 1,684 0,00625 0,0897 0,1795 0,269 0,359
35 0,970 1,620 0,00625 0,0831 0,1662 0,249 0,332
40 1,003 1,567 0,00625 0,0777 0,1554 0,233 0,311
45 1,033 1,521 0,00625 0,0733 0,1466 0,220 0,293
50 1,060 1,482 0,00625 0,0695 0,1390 0,209 0,278
55 1,086 1,447 0,00625 0,0663 0,1326 0,1989 0,265
60 1,110 1,416 0,00625 0,0635 0,1269 0,1904 0,254
17
15 0,750 2,095 0,00625 0,1390 0,278 0,417 0,556
20 0,806 1,950 0,00625 0,1204 0,241 0,361 0,482
25 0,852 1,844 0,00625 0,1077 0,215 0,323 0,431
30 0,892 1,762 0,00625 0,0983 0,1966 0,295 0,393
35 0,927 1,695 0,00625 0,0910 0,1820 0,273 0,364
40 0,958 1,640 0,00625 0,0851 0,1702 0,255 0,340
45 0,987 1,592 0,00625 0,0803 0,1605 0,241 0,321
50 1,013 1,551 0,00625 0,0761 0,1523 0,228 0,305
55 1,037 1,514 0,00625 0,0726 0,1452 0,218 0,290
60 1,060 1,482 0,00625 0,0695 0,1390 0,209 0,278
18
15 0,718 2,187 0,00625 0,1515 0,303 0,454 0,606
20 0,772 2,035 0,00625 0,1312 0,262 0,393 0,525
25 0,816 1,925 0,00625 0,1173 0,235 0,352 0,469
30 0,854 1,839 0,00625 0,1071 0,214 0,321 0,428
35 0,888 1,770 0,00625 0,0991 0,1983 0,297 0,397
40 0,918 1,712 0,00625 0,0927 0,1855 0,278 0,371
45 0,945 1,662 0,00625 0,0874 0,1749 0,262 0,350
50 0,970 1,619 0,00625 0,0830 0,1659 0,249 0,332
55 0,994 1,581 0,00625 0,0791 0,1582 0,237 0,316
60 1,016 1,547 0,00625 0,0757 0,1515 0,227 0,303
90
Largura da carga (m): π/2λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) π/2λ Bλc Mp (kNm/m)
19
15 0,690 2,278 0,00625 0,1642 0,328 0,493 0,657
20 0,741 2,120 0,00625 0,1422 0,284 0,427 0,569
25 0,784 2,005 0,00625 0,1272 0,254 0,382 0,509
30 0,820 1,915 0,00625 0,1161 0,232 0,348 0,465
35 0,852 1,843 0,00625 0,1075 0,215 0,323 0,430
40 0,881 1,782 0,00625 0,1006 0,201 0,302 0,402
45 0,908 1,731 0,00625 0,0948 0,1897 0,284 0,379
50 0,932 1,686 0,00625 0,0900 0,1799 0,270 0,360
55 0,954 1,646 0,00625 0,0858 0,1715 0,257 0,343
60 0,975 1,611 0,00625 0,0821 0,1642 0,246 0,328
20
15 0,664 2,367 0,00625 0,1774 0,355 0,532 0,710
20 0,713 2,203 0,00625 0,1536 0,307 0,461 0,614
25 0,754 2,083 0,00625 0,1374 0,275 0,412 0,550
30 0,789 1,990 0,00625 0,1254 0,251 0,376 0,502
35 0,820 1,915 0,00625 0,1161 0,232 0,348 0,464
40 0,848 1,852 0,00625 0,1086 0,217 0,326 0,434
45 0,873 1,798 0,00625 0,1024 0,205 0,307 0,410
50 0,897 1,752 0,00625 0,0972 0,1943 0,291 0,389
55 0,918 1,710 0,00625 0,0926 0,1853 0,278 0,371
60 0,939 1,674 0,00625 0,0887 0,1774 0,266 0,355
21
15 0,640 2,455 0,00625 0,1908 0,382 0,573 0,763
20 0,688 2,285 0,00625 0,1653 0,331 0,496 0,661
25 0,727 2,161 0,00625 0,1478 0,296 0,443 0,591
30 0,761 2,065 0,00625 0,1350 0,270 0,405 0,540
35 0,791 1,986 0,00625 0,1249 0,250 0,375 0,500
40 0,818 1,921 0,00625 0,1169 0,234 0,351 0,467
45 0,842 1,866 0,00625 0,1102 0,220 0,331 0,441
50 0,864 1,817 0,00625 0,1045 0,209 0,314 0,418
55 0,885 1,774 0,00625 0,0997 0,1993 0,299 0,399
60 0,905 1,736 0,00625 0,0954 0,1908 0,286 0,382
22
15 0,618 2,542 0,00625 0,205 0,409 0,614 0,819
20 0,664 2,366 0,00625 0,1772 0,354 0,532 0,709
25 0,702 2,238 0,00625 0,1585 0,317 0,476 0,634
30 0,735 2,138 0,00625 0,1447 0,289 0,434 0,579
35 0,764 2,057 0,00625 0,1340 0,268 0,402 0,536
40 0,790 1,989 0,00625 0,1253 0,251 0,376 0,501
45 0,813 1,932 0,00625 0,1182 0,236 0,354 0,473
50 0,835 1,882 0,00625 0,1121 0,224 0,336 0,448
55 0,855 1,837 0,00625 0,1069 0,214 0,321 0,427
60 0,874 1,798 0,00625 0,1023 0,205 0,307 0,409
91
Largura da carga (m): π/2λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) π/2λ Bλc Mp (kNm/m)
23
15 0,598 2,629 0,00625 0,219 0,438 0,656 0,875
20 0,642 2,446 0,00625 0,1894 0,379 0,568 0,758
25 0,679 2,313 0,00625 0,1694 0,339 0,508 0,678
30 0,711 2,210 0,00625 0,1547 0,309 0,464 0,619
35 0,739 2,127 0,00625 0,1432 0,286 0,430 0,573
40 0,764 2,057 0,00625 0,1340 0,268 0,402 0,536
45 0,786 1,997 0,00625 0,1263 0,253 0,379 0,505
50 0,807 1,945 0,00625 0,1198 0,240 0,359 0,479
55 0,827 1,900 0,00625 0,1142 0,228 0,343 0,457
60 0,845 1,859 0,00625 0,1094 0,219 0,328 0,438
92
Tabela B 3 – Momento máximo negativo considerando concreto classe C30.
MOMENTO NEGATIVO SOLICITANTE (fck = 30 MPa)
a1: π/4λ b1: 5π/4λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) Bλa1 Bλb1 Mn1 + Mn2 (kNm/m)
12
15 0,991 0,006 0,001 0,0624 0,1247 0,1871 0,249
20 1,065 0,006 0,001 0,0540 0,1080 0,1620 0,216
25 1,126 0,006 0,001 0,0483 0,0966 0,1449 0,1933
30 1,179 0,006 0,001 0,0441 0,0882 0,1323 0,1764
35 1,225 0,006 0,001 0,0408 0,0817 0,1225 0,1633
40 1,266 0,006 0,001 0,0382 0,0764 0,1146 0,1528
45 1,304 0,006 0,001 0,0360 0,0720 0,1080 0,1440
50 1,339 0,006 0,001 0,0342 0,0683 0,1025 0,1366
55 1,371 0,006 0,001 0,0326 0,0651 0,0977 0,1303
60 1,401 0,006 0,001 0,0312 0,0624 0,0936 0,1247
13
15 0,933 0,006 0,001 0,0703 0,1407 0,211 0,281
20 1,003 0,006 0,001 0,0609 0,1218 0,1827 0,244
25 1,060 0,006 0,001 0,0545 0,1090 0,1634 0,218
30 1,110 0,006 0,001 0,0497 0,0995 0,1492 0,1989
35 1,153 0,006 0,001 0,0460 0,0921 0,1381 0,1842
40 1,193 0,006 0,001 0,0431 0,0861 0,1292 0,1723
45 1,228 0,006 0,001 0,0406 0,0812 0,1218 0,1624
50 1,261 0,006 0,001 0,0385 0,0770 0,1156 0,1541
55 1,291 0,006 0,001 0,0367 0,0735 0,1102 0,1469
60 1,320 0,006 0,001 0,0352 0,0703 0,1055 0,1407
14
15 0,883 0,006 0,001 0,0786 0,1572 0,236 0,314
20 0,949 0,006 0,001 0,0681 0,1361 0,204 0,272
25 1,003 0,006 0,001 0,0609 0,1218 0,1826 0,244
30 1,050 0,006 0,001 0,0556 0,1112 0,1667 0,222
35 1,091 0,006 0,001 0,0515 0,1029 0,1544 0,206
40 1,128 0,006 0,001 0,0481 0,0963 0,1444 0,1925
45 1,162 0,006 0,001 0,0454 0,0908 0,1361 0,1815
50 1,193 0,006 0,001 0,0430 0,0861 0,1291 0,1722
55 1,222 0,006 0,001 0,0410 0,0821 0,1231 0,1642
60 1,248 0,006 0,001 0,0393 0,0786 0,1179 0,1572
93
a1: π/4λ b1: 5π/4λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) Bλa1 Bλb1 Mn1 + Mn2 (kNm/m)
15
15 0,838 0,006 0,001 0,0872 0,1743 0,261 0,349
20 0,901 0,006 0,001 0,0755 0,1510 0,226 0,302
25 0,952 0,006 0,001 0,0675 0,1350 0,203 0,270
30 0,997 0,006 0,001 0,0616 0,1233 0,1849 0,247
35 1,036 0,006 0,001 0,0571 0,1141 0,1712 0,228
40 1,071 0,006 0,001 0,0534 0,1068 0,1601 0,214
45 1,103 0,006 0,001 0,0503 0,1007 0,1510 0,201
50 1,133 0,006 0,001 0,0477 0,0955 0,1432 0,1910
55 1,160 0,006 0,001 0,0455 0,0910 0,1366 0,1821
60 1,186 0,006 0,001 0,0436 0,0872 0,1307 0,1743
16
15 0,799 0,006 0,001 0,0960 0,1921 0,288 0,384
20 0,858 0,006 0,001 0,0832 0,1663 0,249 0,333
25 0,907 0,006 0,001 0,0744 0,1488 0,223 0,298
30 0,950 0,006 0,001 0,0679 0,1358 0,204 0,272
35 0,987 0,006 0,001 0,0629 0,1257 0,1886 0,251
40 1,021 0,006 0,001 0,0588 0,1176 0,1764 0,235
45 1,051 0,006 0,001 0,0554 0,1109 0,1663 0,222
50 1,079 0,006 0,001 0,0526 0,1052 0,1578 0,210
55 1,105 0,006 0,001 0,0501 0,1003 0,1504 0,201
60 1,130 0,006 0,001 0,0480 0,0960 0,1440 0,1921
17
15 0,763 0,006 0,001 0,1052 0,210 0,316 0,421
20 0,820 0,006 0,001 0,0911 0,1822 0,273 0,364
25 0,867 0,006 0,001 0,0815 0,1629 0,244 0,326
30 0,908 0,006 0,001 0,0744 0,1487 0,223 0,297
35 0,943 0,006 0,001 0,0688 0,1377 0,207 0,275
40 0,975 0,006 0,001 0,0644 0,1288 0,1932 0,258
45 1,004 0,006 0,001 0,0607 0,1214 0,1822 0,243
50 1,031 0,006 0,001 0,0576 0,1152 0,1728 0,230
55 1,056 0,006 0,001 0,0549 0,1098 0,1648 0,220
60 1,079 0,006 0,001 0,0526 0,1052 0,1578 0,210
18
15 0,731 0,006 0,001 0,1146 0,229 0,344 0,458
20 0,786 0,006 0,001 0,0992 0,1985 0,298 0,397
25 0,831 0,006 0,001 0,0888 0,1775 0,266 0,355
30 0,869 0,006 0,001 0,0810 0,1620 0,243 0,324
35 0,904 0,006 0,001 0,0750 0,1500 0,225 0,300
40 0,934 0,006 0,001 0,0702 0,1403 0,211 0,281
45 0,962 0,006 0,001 0,0662 0,1323 0,1985 0,265
50 0,988 0,006 0,001 0,0628 0,1255 0,1883 0,251
55 1,012 0,006 0,001 0,0598 0,1197 0,1795 0,239
60 1,034 0,006 0,001 0,0573 0,1146 0,1719 0,229
94
a1: π/4λ b1: 5π/4λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) Bλa1 Bλb1 Mn1 + Mn2 (kNm/m)
19
15 0,702 0,006 0,001 0,1243 0,249 0,373 0,497
20 0,754 0,006 0,001 0,1076 0,215 0,323 0,430
25 0,798 0,006 0,001 0,0963 0,1925 0,289 0,385
30 0,835 0,006 0,001 0,0879 0,1757 0,264 0,351
35 0,868 0,006 0,001 0,0813 0,1627 0,244 0,325
40 0,897 0,006 0,001 0,0761 0,1522 0,228 0,304
45 0,924 0,006 0,001 0,0717 0,1435 0,215 0,287
50 0,949 0,006 0,001 0,0681 0,1361 0,204 0,272
55 0,972 0,006 0,001 0,0649 0,1298 0,1947 0,260
60 0,993 0,006 0,001 0,0621 0,1243 0,1864 0,249
20
15 0,676 0,006 0,001 0,1342 0,268 0,403 0,537
20 0,726 0,006 0,001 0,1162 0,232 0,349 0,465
25 0,768 0,006 0,001 0,1040 0,208 0,312 0,416
30 0,803 0,006 0,001 0,0949 0,1898 0,285 0,380
35 0,835 0,006 0,001 0,0879 0,1757 0,264 0,351
40 0,863 0,006 0,001 0,0822 0,1644 0,247 0,329
45 0,889 0,006 0,001 0,0775 0,1550 0,232 0,310
50 0,913 0,006 0,001 0,0735 0,1470 0,221 0,294
55 0,935 0,006 0,001 0,0701 0,1402 0,210 0,280
60 0,955 0,006 0,001 0,0671 0,1342 0,201 0,268
21
15 0,651 0,006 0,001 0,1444 0,289 0,433 0,578
20 0,700 0,006 0,001 0,1250 0,250 0,375 0,500
25 0,740 0,006 0,001 0,1118 0,224 0,336 0,447
30 0,775 0,006 0,001 0,1021 0,204 0,306 0,408
35 0,805 0,006 0,001 0,0945 0,1891 0,284 0,378
40 0,832 0,006 0,001 0,0884 0,1768 0,265 0,354
45 0,857 0,006 0,001 0,0834 0,1667 0,250 0,333
50 0,880 0,006 0,001 0,0791 0,1582 0,237 0,316
55 0,901 0,006 0,001 0,0754 0,1508 0,226 0,302
60 0,921 0,006 0,001 0,0722 0,1444 0,217 0,289
22
15 0,629 0,006 0,001 0,1548 0,310 0,464 0,619
20 0,676 0,006 0,001 0,1341 0,268 0,402 0,536
25 0,715 0,006 0,001 0,1199 0,240 0,360 0,480
30 0,748 0,006 0,001 0,1095 0,219 0,328 0,438
35 0,777 0,006 0,001 0,1014 0,203 0,304 0,405
40 0,804 0,006 0,001 0,0948 0,1896 0,284 0,379
45 0,828 0,006 0,001 0,0894 0,1788 0,268 0,358
50 0,850 0,006 0,001 0,0848 0,1696 0,254 0,339
55 0,870 0,006 0,001 0,0809 0,1617 0,243 0,323
60 0,890 0,006 0,001 0,0774 0,1548 0,232 0,310
95
a1: π/4λ b1: 5π/4λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) Bλa1 Bλb1 Mn1 + Mn2 (kNm/m)
23
15 0,608 0,006 0,001 0,1655 0,331 0,497 0,662
20 0,654 0,006 0,001 0,1433 0,287 0,430 0,573
25 0,691 0,006 0,001 0,1282 0,256 0,385 0,513
30 0,723 0,006 0,001 0,1170 0,234 0,351 0,468
35 0,752 0,006 0,001 0,1083 0,217 0,325 0,433
40 0,777 0,006 0,001 0,1013 0,203 0,304 0,405
45 0,801 0,006 0,001 0,0956 0,1911 0,287 0,382
50 0,822 0,006 0,001 0,0906 0,1813 0,272 0,363
55 0,842 0,006 0,001 0,0864 0,1729 0,259 0,346
60 0,860 0,006 0,001 0,0828 0,1655 0,248 0,331
96
Tabela B 4 – Momento máximo negativo considerando concreto classe C35.
MOMENTO NEGATIVO SOLICITANTE (fck = 35 MPa)
a1: π/4λ b1: 5π/4λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) Bλa1 Bλb1 Mn1 + Mn2 (kNm/m)
12
15 0,973 0,006 0,001 0,0646 0,1293 0,1939 0,259
20 1,046 0,006 0,001 0,0560 0,1120 0,1679 0,224
25 1,106 0,006 0,001 0,0501 0,1001 0,1502 0,200
30 1,158 0,006 0,001 0,0457 0,0914 0,1371 0,1828
35 1,203 0,006 0,001 0,0423 0,0846 0,1270 0,1693
40 1,244 0,006 0,001 0,0396 0,0792 0,1188 0,1583
45 1,281 0,006 0,001 0,0373 0,0746 0,1120 0,1493
50 1,315 0,006 0,001 0,0354 0,0708 0,1062 0,1416
55 1,347 0,006 0,001 0,0338 0,0675 0,1013 0,1350
60 1,377 0,006 0,001 0,0323 0,0646 0,0970 0,1293
13
15 0,917 0,006 0,001 0,0729 0,1458 0,219 0,292
20 0,985 0,006 0,001 0,0631 0,1262 0,1894 0,252
25 1,042 0,006 0,001 0,0565 0,1129 0,1694 0,226
30 1,090 0,006 0,001 0,0515 0,1031 0,1546 0,206
35 1,133 0,006 0,001 0,0477 0,0954 0,1431 0,1909
40 1,171 0,006 0,001 0,0446 0,0893 0,1339 0,1785
45 1,206 0,006 0,001 0,0421 0,0842 0,1262 0,1683
50 1,239 0,006 0,001 0,0399 0,0798 0,1198 0,1597
55 1,269 0,006 0,001 0,0381 0,0761 0,1142 0,1523
60 1,296 0,006 0,001 0,0364 0,0729 0,1093 0,1458
14
15 0,867 0,006 0,001 0,0815 0,1629 0,244 0,326
20 0,932 0,006 0,001 0,0705 0,1411 0,212 0,282
25 0,985 0,006 0,001 0,0631 0,1262 0,1893 0,252
30 1,031 0,006 0,001 0,0576 0,1152 0,1728 0,230
35 1,072 0,006 0,001 0,0533 0,1067 0,1600 0,213
40 1,108 0,006 0,001 0,0499 0,0998 0,1496 0,200
45 1,141 0,006 0,001 0,0470 0,0941 0,1411 0,1881
50 1,172 0,006 0,001 0,0446 0,0892 0,1338 0,1785
55 1,200 0,006 0,001 0,0425 0,0851 0,1276 0,1702
60 1,226 0,006 0,001 0,0407 0,0815 0,1222 0,1629
97
a1: π/4λ b1: 5π/4λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) Bλa1 Bλb1 Mn1 + Mn2 (kNm/m)
15
15 0,823 0,006 0,001 0,0903 0,1807 0,271 0,361
20 0,885 0,006 0,001 0,0782 0,1565 0,235 0,313
25 0,936 0,006 0,001 0,0700 0,1399 0,210 0,280
30 0,979 0,006 0,001 0,0639 0,1278 0,1916 0,256
35 1,018 0,006 0,001 0,0591 0,1183 0,1774 0,237
40 1,052 0,006 0,001 0,0553 0,1106 0,1660 0,221
45 1,084 0,006 0,001 0,0522 0,1043 0,1565 0,209
50 1,113 0,006 0,001 0,0495 0,0990 0,1484 0,1979
55 1,139 0,006 0,001 0,0472 0,0944 0,1415 0,1887
60 1,165 0,006 0,001 0,0452 0,0903 0,1355 0,1807
16
15 0,785 0,006 0,001 0,0995 0,1990 0,299 0,398
20 0,843 0,006 0,001 0,0862 0,1724 0,259 0,345
25 0,891 0,006 0,001 0,0771 0,1542 0,231 0,308
30 0,933 0,006 0,001 0,0704 0,1407 0,211 0,281
35 0,970 0,006 0,001 0,0652 0,1303 0,1955 0,261
40 1,003 0,006 0,001 0,0609 0,1219 0,1828 0,244
45 1,033 0,006 0,001 0,0575 0,1149 0,1724 0,230
50 1,060 0,006 0,001 0,0545 0,1090 0,1635 0,218
55 1,086 0,006 0,001 0,0520 0,1039 0,1559 0,208
60 1,110 0,006 0,001 0,0498 0,0995 0,1493 0,1990
17
15 0,750 0,006 0,001 0,1090 0,218 0,327 0,436
20 0,806 0,006 0,001 0,0944 0,1888 0,283 0,378
25 0,852 0,006 0,001 0,0844 0,1689 0,253 0,338
30 0,892 0,006 0,001 0,0771 0,1541 0,231 0,308
35 0,927 0,006 0,001 0,0714 0,1427 0,214 0,285
40 0,958 0,006 0,001 0,0667 0,1335 0,200 0,267
45 0,987 0,006 0,001 0,0629 0,1259 0,1888 0,252
50 1,013 0,006 0,001 0,0597 0,1194 0,1791 0,239
55 1,037 0,006 0,001 0,0569 0,1138 0,1708 0,228
60 1,060 0,006 0,001 0,0545 0,1090 0,1635 0,218
18
15 0,718 0,006 0,001 0,1188 0,238 0,356 0,475
20 0,772 0,006 0,001 0,1028 0,206 0,309 0,411
25 0,816 0,006 0,001 0,0920 0,1840 0,276 0,368
30 0,854 0,006 0,001 0,0840 0,1679 0,252 0,336
35 0,888 0,006 0,001 0,0777 0,1555 0,233 0,311
40 0,918 0,006 0,001 0,0727 0,1454 0,218 0,291
45 0,945 0,006 0,001 0,0686 0,1371 0,206 0,274
50 0,970 0,006 0,001 0,0650 0,1301 0,1951 0,260
55 0,994 0,006 0,001 0,0620 0,1240 0,1860 0,248
60 1,016 0,006 0,001 0,0594 0,1188 0,1781 0,238
98
a1: π/4λ b1: 5π/4λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) Bλa1 Bλb1 Mn1 + Mn2 (kNm/m)
19
15 0,690 0,006 0,001 0,1288 0,258 0,386 0,515
20 0,741 0,006 0,001 0,1115 0,223 0,335 0,446
25 0,784 0,006 0,001 0,0998 0,200 0,299 0,399
30 0,820 0,006 0,001 0,0911 0,1821 0,273 0,364
35 0,852 0,006 0,001 0,0843 0,1686 0,253 0,337
40 0,881 0,006 0,001 0,0789 0,1577 0,237 0,315
45 0,908 0,006 0,001 0,0744 0,1487 0,223 0,297
50 0,932 0,006 0,001 0,0705 0,1411 0,212 0,282
55 0,954 0,006 0,001 0,0673 0,1345 0,202 0,269
60 0,975 0,006 0,001 0,0644 0,1288 0,1932 0,258
20
15 0,664 0,006 0,001 0,1391 0,278 0,417 0,556
20 0,713 0,006 0,001 0,1204 0,241 0,361 0,482
25 0,754 0,006 0,001 0,1077 0,215 0,323 0,431
30 0,789 0,006 0,001 0,0983 0,1967 0,295 0,393
35 0,820 0,006 0,001 0,0911 0,1821 0,273 0,364
40 0,848 0,006 0,001 0,0852 0,1703 0,256 0,341
45 0,873 0,006 0,001 0,0803 0,1606 0,241 0,321
50 0,897 0,006 0,001 0,0762 0,1524 0,229 0,305
55 0,918 0,006 0,001 0,0726 0,1453 0,218 0,291
60 0,939 0,006 0,001 0,0695 0,1391 0,209 0,278
21
15 0,640 0,006 0,001 0,1496 0,299 0,449 0,599
20 0,688 0,006 0,001 0,1296 0,259 0,389 0,518
25 0,727 0,006 0,001 0,1159 0,232 0,348 0,464
30 0,761 0,006 0,001 0,1058 0,212 0,317 0,423
35 0,791 0,006 0,001 0,0980 0,1959 0,294 0,392
40 0,818 0,006 0,001 0,0916 0,1833 0,275 0,367
45 0,842 0,006 0,001 0,0864 0,1728 0,259 0,346
50 0,864 0,006 0,001 0,0820 0,1639 0,246 0,328
55 0,885 0,006 0,001 0,0781 0,1563 0,234 0,313
60 0,905 0,006 0,001 0,0748 0,1496 0,224 0,299
22
15 0,618 0,006 0,001 0,1605 0,321 0,481 0,642
20 0,664 0,006 0,001 0,1390 0,278 0,417 0,556
25 0,702 0,006 0,001 0,1243 0,249 0,373 0,497
30 0,735 0,006 0,001 0,1135 0,227 0,340 0,454
35 0,764 0,006 0,001 0,1050 0,210 0,315 0,420
40 0,790 0,006 0,001 0,0983 0,1965 0,295 0,393
45 0,813 0,006 0,001 0,0926 0,1853 0,278 0,371
50 0,835 0,006 0,001 0,0879 0,1758 0,264 0,352
55 0,855 0,006 0,001 0,0838 0,1676 0,251 0,335
60 0,874 0,006 0,001 0,0802 0,1605 0,241 0,321
99
a1: π/4λ b1: 5π/4λ Carregamento q (kN/m²) 25 50 75 100
Espessura da Placa (cm) k (MPa/m) λ (m-1) Bλa1 Bλb1 Mn1 + Mn2 (kNm/m)
23
15 0,598 0,006 0,001 0,1715 0,343 0,515 0,686
20 0,642 0,006 0,001 0,1485 0,297 0,446 0,594
25 0,679 0,006 0,001 0,1329 0,266 0,399 0,531
30 0,711 0,006 0,001 0,1213 0,243 0,364 0,485
35 0,739 0,006 0,001 0,1123 0,225 0,337 0,449
40 0,764 0,006 0,001 0,1050 0,210 0,315 0,420
45 0,786 0,006 0,001 0,0990 0,1981 0,297 0,396
50 0,807 0,006 0,001 0,0939 0,1879 0,282 0,376
55 0,827 0,006 0,001 0,0896 0,1791 0,269 0,358
60 0,845 0,006 0,001 0,0858 0,1715 0,257 0,343
100
APÊNDICE C
COMPARAÇÃO DE DESEMPENHO CONSIDERANDO A CARGA ADMISSÍVEL
101
102
