114
Pré-Formare Matemática

Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

Pré-Formare Matemática

Page 2: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência
Page 3: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

1

Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência em educação presencial e a distância. O objetivo dessas aulas é o de revisar conceitos importantes para a fundamentação matemática do aluno. Esperamos que com essa revisão e nivelamento básico os alunos possam acompanhar os cursos que exigirão dele o uso prático (operacional) desses conceitos. Os tópicos escolhidos são fundamentais para essa fundamentação matemática, porém, eles não esgotam o currículo do Ensino Fundamental nem pretendem ser a “melhor escolha” possível de conteúdos a serem revisados. Sendo assim, cabe a você, educador, explorar cada aula conforme a adequação da mesma para o nível da sua turma, bem como substituir uma ou mais dessas aulas por outras que julgar mais apropriadas. Os conceitos e conteúdos são oferecidos de forma bastante sintética, o que demanda de sua parte uma boa e pacienciosa explanação para os alunos. Tenha em mente que para alguns alunos os tópicos abordados podem estar sendo apresentados a eles pela primeira vez, ou podem não ter sido aprendidos quando foram apresentados anteriormente. Os exercícios visam à prática e alguns são indicados para serem feitos como exemplo na aula. Dado que os alunos não dispõem de tempo para fazer tarefas em casa, é prudente que o tempo de aula seja destinado para a realização do maior número possível de exercícios. Em cada aula você encontrará a seguinte estrutura:

1. Breve resumo do que será abordado na aula; 2. Sugestões sobre como conduzir a aula; 3. Resumo da teoria tratada nos exercícios propostos; 4. Exemplos para serem resolvidos em lousa; 5. Exercícios para os alunos praticarem, com resolução e gabarito para o educador; 6. Problemas ou exercícios extras relacionados ao tema da aula.

Conforme a turma e a aula você pode adotar ou não o uso de calculadoras para apoiar os alunos, mas é fundamental que todos tenham proficiência nas operações aritméticas básicas sem o uso de calculadoras. O trabalho em grupo também pode ser uma boa estratégia, principalmente se você tiver turmas heterogêneas. Nesse caso procure sempre formar grupos de alunos onde alguns tenham mais habilidade que outros. Sempre que possível faça a correção de todos os problemas com os alunos, em classe, e, quando isso não for possível, forneça a resposta final (gabarito) para o aluno se orientar na resolução dos problemas que ficarem “para casa”.

Prof. José Carlos Antonio

Equipe FORMARE

Page 4: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência
Page 5: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

2

Programação Total de aulas: 15 Duração de cada aula: 2 horas

Quadro de programação Aula Tema Sub-tema Conteúdos 1 Aritmética

básica Números inteiros • Definição, números

opostos, adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros

• Potenciação com números inteiros

2 Aritmética básica

Números racionais • Definição de fração, simplificação, fração equivalente, simplificação

• MMC, adição, subtração, problemas

3 Aritmética básica

Números racionais • Multiplicação e divisão com números racionais

• Potenciação e precedência de operadores com números racionais

4 Aritmética básica

Números irracionais e reais

• Operações com números irracionais e reais

• Expressões numéricas e precedência de operadores

5 Aritmética básica

Números decimais e potências de 10

• Operações com números decimais

• Potências de dez • Múltiplos e submúltiplos

6 Aritmética básica

Porcentagem • Porcentagem • Problemas com

porcentagens 7 Aritmética

básica Regra de três • Proporcionalidade

• Regra de três simples: direta e inversa

• Problemas com regra de três

8 Tratamento da informação

Análise e construção de gráficos

• Tabelas e gráficos • Gráficos de colunas • Gráficos tipo pizza

Page 6: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

3

9 Geometria Figuras planas regulares e cálculo de áreas

• Quadrado, triângulo, retângulo, losango, trapézio, hexágono

• Área do quadrado, do retângulo, do triângulo, do trapézio e do círculo

10 Geometria Sólidos geométricos regulares e cálculo de volumes

• Cubo, paralelepípedo, esfera, cone e pirâmide

• Área do cubo, do paralelepípedo, da esfera, do cone e da pirâmide

11 Geometria Ângulos planos • Medida de ângulo em graus e radianos

• Operações com ângulos • Soma dos ângulos internos

no triângulo e nos quadriláteros

12 Geometria Triângulo retângulo • Triângulos • Teorema de Pitágoras • Seno, cosseno e tangente

13 Geometria Semelhança de triângulos, razões e proporções

• Semelhança de triângulos; • Razões • Proporções

14 Álgebra Funções e equações do primeiro grau

• Equação do primeiro grau • Plano cartesiano • Função do primeiro grau

15 Revisão geral

Revisão geral • Revisão geral

Page 7: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

4

Aula 1: Aritmética básica – Números inteiros Educador: nessa aula revise com seus alunos os números inteiros e as principais operações aritméticas. É importante que os alunos façam as contas, primeiro SEM CALCULADORA e, depois, COM CALCULADORA. Este procedimento é indicado para todas as operações dessa aula. Também recomendamos que a revisão dos conceitos seja feita em paralelo com a resolução dos exercícios propostos, e não de uma única vez. Dessa forma os alunos apresentam um desempenho melhor. Conjunto dos números inteiros:

{ }..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...= − − −Z *= conjunto dos inteiros sem o zero

conjunto dos inteiros positivos+ = conjunto dos inteiros negativos− =

* conjunto dos inteiros positivos sem o zero+ = * conjunto dos inteiros negativos sem o zero− =

Números opostos ou simétricos: Se a∈Z , então existe um número a− de forma que 0a a− + = (elemento oposto). O oposto de 0 é o próprio 0 .

Exemplos: a) O oposto de – 76 é 76. b) O oposto de 12 é – 12. c) – (– 14) = 14 d) – ( 32) = – 32 1. Escreva os opostos dos números dados: a) 4 → (– 4) b) – 3 → 3 c) – 15 → 15 d) 0 → 0 e) 332 → – 332 Soma algébrica: Somam-se, separadamente, os números positivos e os números negativos (propriedade associativa da adição) e, a seguir, faz-se a subtração resultante.

Page 8: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

5

Exemplo: a) – 4 – 3 + 2 – 4 + 7 = (– 4 – 3 – 4) + (2 + 7) = (– 11) + (9) = – 2 2. Efetue as somas algébricas indicadas: a) 2 + 5 + 12 = 19 b) 2 + 5 – 12 = – 5 c) – 2 + 5 – 12 = – 9 d) – 2 – 5 – 12 = – 19 e) 2 – 5 – 12 = – 15 Produto e divisão com números inteiros: Aplica-se a regra de sinais: 1. Números com mesmo sinal → positivo 2. Números com sinais opostos → negativo Exemplos: a) – 2 x 7 = – 14 b) – 12 ÷ (– 4) = 3 Educador: Importante: lembrar o aluno de não escrever dois sinais juntos sem separá-los por parênteses. – 12 ÷ – 4 = 3 → ERRADO! Educador: uma boa idéia é pedir aos alunos que construam um quadro com as tabuadas do 1 ao 10 antes de dar seguimento aos exercícios.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 9010 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

3. Calcule os produtos indicados: a) 3 x 5 = 15 b) 17 x 49 = 833 c) – 5 x 12 = – 60 d) 8 x (– 22) = – 176 e) – 12 x (– 8) = 96

Page 9: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

6

4. Obtenha os resultados das divisões abaixo, indicando qual é o quociente (Q) e qual é o resto (R):

a) 40 ÷ 12 Q = 3 R = 4

b) – 28 ÷ 7 Q = – 4 R = 0

c) – 122 ÷ (– 5) Q = 24 R = 2

d) 72 ÷ (– 12) Q = – 6 R = 0

e) 400 ÷ 5 ÷ (– 8) Q = – 10 R = 0

Potenciação com números inteiros: Se { }, ,a p n ∈ , então:

0 1a = 1a a=

n vezes

...na a a a= × × ×14243

( ) ( )n pn pa a a ×× =

( ), se n é ímpar

, se n é par

nn

n

aa

a

⎧−⎪− = ⎨⎪⎩

Exemplos: a) – 24 = – 2 x 2 x 2 x 2 = – 16 b) (– 2)4 = (– 2) x (– 2) x (– 2) x (– 2) = 16 5. Calcule as potências indicadas abaixo: a) 23 = 2 x 2 x 2 = 8 b) (– 2)3 = (– 2) x (– 2) x (– 2) = – 8 c) – (– 2)5 = – (– 2) x (– 2) x (– 2) x (– 2) x (– 2) = 32 d) – 24 = – (2 x 2 x 2 x 2) = – 16 e) 33 = 3 x 3 x 3 = 27 f) (– 3)2 = (– 3) x (– 3) = 9 g) (– 1)7 = (– 1) x (– 1) x (– 1) x (– 1) x (– 1) x (– 1) x (– 1) = – 1 h) Desafio!

(– 1)220 = (- 1) x (- 1) x ... x (- 1) = 1 (o produto tem 220 fatores iguais a -1 e, portanto, resultará 1 com sinal positivo.

Page 10: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

7

Expressões numéricas com adições, subtrações, multiplicações e divisões: 1. Efetuam-se as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem e obedecendo-se

as regras de sinal; 2. Efetua-se a soma algébrica dos termos de mesmo sinal; 3. Efetua-se a subtração resultante. Exemplo: a) – 5 x 2 – 4 x (– 3) + 1 =

[– 5 x 2] – [4 x (– 3)] + 1 = – 10 – (– 12) + 1 = – 10 + 12 + 1 = – 10 + 13 = 3

6. Calcule o valor das expressões abaixo: a) – 2 x 3 – 3 = (– 2 x 3) – 3 = – 6 – 3 = – 9 b) – 2 x (– 3) – 3 = 6 – 3 = 3 c) 2 x (– 3) + 3 = – 6 + 3 = – 3 d) 2 x (– 3) – 3 = – 6 – 3 = – 9 e) – 2 x 3 + 3 = – 6 + 3 = – 3 Problemas: 7. Quanto vale o dobro de catorze menos o triplo de quinze?

Resolução: (2 x 14) – (3 x 15) = 28 – 45 = - 17

8. Joãozinho tinha dez figurinhas quando foi jogar bafo com os amigos. Jogando com

Pedrinho ele triplicou suas figurinhas, mas depois perdeu quinze figurinhas para Zezinho e outras sete para Manuzinha. Com quantas figurinhas ele ficou?

Resolução: (10 x 3) – 15 – 7 = 30 – 22 = 8 Resposta: Joãozinho ficou com 8 figurinhas. 9. Exercícios para treinamento de operações aritméticas básicas

Educador: se houver tempo restando nessa aula, passe algumas das operações abaixo (ou todas) para que os alunos treinem e, peça que confiram os resultados com a calculadora, mas certifique-se de que eles montem o algoritmo de cálculo e que usem a tabuada para auxiliar o cálculo mental quando necessário (e não a calculadora).

a) 40 x 82 = 3.280 b) 32 x 15 = 480 c) 120 x 19 = 2280 d) -12 x (– 75) = 900 e) 45 x (-22) = -990

f) 120 ÷ 12 = 10 g) 120 ÷ (- 60) = -2 h) 450 ÷ 15 = 30 i) – 144 ÷ 36 = - 4 j) – 2500 ÷ (-50) = 50

Page 11: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

8

Aula 2: Aritmética básica – Números Racionais Educador: nessa aula vamos revisar com os alunos os números racionais e as operações aritméticas de adição e subtração. Também vamos rever um pouco sobre o tema divisibilidade e sobre a simplificação de frações. Os alunos tendem a usar calculadoras e preferem trabalhar com números decimais, mas é importante que saibam trabalhar diretamente com frações e, por isso, sugerimos que enfatize essa necessidade com eles. Também recomendamos que a revisão dos conceitos seja feita em paralelo com a resolução dos exercícios propostos, e não de uma única vez. Dessa forma os alunos tendem a apresentar um desempenho melhor. Conjunto dos números racionais:

*/ , ,ax x a bb

⎧ ⎫= = ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

Z Z

Pertencem ao conjunto dos racionais todos os números que podem ser escritos na forma de fração com denominador não nulo.

Uma fração também é chamada de razão ou quociente entre dois números. Exemplos: a) 2/5 é um número racional

b) 25

é um número racional

c) 0,4 é um número racional que pode ser escrito como a fração 25

d) -2 é um número racional que pode ser escrito como a fração 21

e) 2 não é um número racional Frações equivalentes: Duas frações são equivalentes quando representam a mesma parte de um todo:

Podemos simplificar uma fração quando tanto o numerador quanto o denominador são múltiplos de um mesmo número (isto é, podem ser divididos por um mesmo número) e, assim, obter uma fração equivalente mais simples.

Page 12: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

9

A forma mais simples de uma fração simplificada é chamada de forma irredutível, ou simplificada, da fração. Observe que quando multiplicamos ou dividimos ao mesmo tempo o numerador e o denominador de uma fração obtemos sempre uma fração equivalente. Exemplo: 8

16=

8 2 416 2 8÷

48=

4 2 28 2 4÷

24=

2 2 14 2 2÷

⇒ 12

é a forma simplificada das frações 24

, 48

e 816

.

Algumas regras simples para encontrar rapidamente os divisores de um número: • Divisível por 2: quando o número é par. Ex. 200 é par, logo, é divisível por 2. • Divisível por 3: quando a soma dos algarismos do número é divisível por 3. Ex.: 81 é

divisível por 3, pois 8 + 1 = 9 e 9 é divisível por 3. • Divisível por 4: quando o número é divisível por 2 e o resultado também é divisível por

2. Ex: 248 é divisível por 4, pois 248 ÷ 2 = 124 e, 124 ÷ 2 = 62. • Divisível por 5: quando o número termina com o algarismo 0 ou 5. Ex.: 155. • Divisível por 6: quando o número é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Ex.: 72 é

divisível por 2 (porque é par) e é divisível por 3 (porque 7 + 2 = 9) e, portanto, é divisível por 6.

• Divisível por 8: quando é divisível por 2 três vezes seguidas. Ex.: 132 ÷ 2 = 64; 64 ÷ 2 = 32; 32÷ 2 = 16. Logo, 64 é divisível por 8.

• Divisível por 9: quando a soma dos seus algarismos resultar em um número divisível por 9. Ex.: 108 é divisível por 9, pois 1 + 0 + 8 = 9.

• Divisível por 10: quando o número terminar em 0. Ex.: 250. 1. Assinale com um X, na tabela abaixo, as colunas em que o número dado na primeira

coluna é divisível pelo número mostrado na primeira linha. Siga o modelo da segunda linha (para o número 405): 2 3 4 5 6 8 9 10

405 X X X 504 X X X X X X 90 X X X X X X 72 X X X X X X

333 X X 144 X X X X X X

2. Simplifique as frações abaixo até encontrar sua forma irredutível. Siga o modelo das

divisões sucessivas mostrado no item “a”:

a) 18 18 2 9 3 312 12 2 6 3 2

÷ ÷= = =

÷ ÷

Page 13: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

10

b) 7530

=75 3 25 5 530 3 10 5 2

÷ ÷= =

÷ ÷

c) 3915

=39 3 1315 3 5

÷=

÷

d) 504144

=504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 7144 2 72 2 36 2 18 3 6 3 2

÷ ÷ ÷ ÷ ÷= = = = =

÷ ÷ ÷ ÷ ÷

e) 42030

=420 10 42 2 21 3 7300 10 30 2 15 3 5

÷ ÷ ÷= = =

÷ ÷ ÷

Adição e subtração de frações com o mesmo denominador: Para adicionar ou subtrair frações com o mesmo denominador, conservamos o denominador e efetuamos a operação apenas com os numeradores. Exemplo:

a) 7 25 5+ =

7 2 95 5+

=

b) 13 194 4− =

13 19 6 64 4−

= − = −2 3

4

÷ =

2 232÷ = = −

(note que simplificamos a fração)

3. Efetue as adições e subtrações abaixo e simplifique o resultado sempre que for

possível:

a) 5 312 12

+ =5 3 8 812 12+

= =4 2

12

÷ =

4 323÷ = =

b) 3 247 7− =

3 24 21 37 7−

= − = −

c) 12 7 215 15 15

− + =12 7 2 7 7

15 15 15− +

= =

Mínimo múltiplo comum (MMC) de 2 ou mais números: É o menor número que é divisível ao mesmo tempo pelos 2 ou mais números dados. Exemplo: a) Determine o MMC dos números 12, 8, e 6:

24 212

= ; 24 38= ; 24 4

6=

Page 14: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

11

4. Encontre o MMC dos números: a) 5 e 15 Resolução:

b) 6, 10, 15 Resolução:

c) 5, 20, 30 Resolução:

d) 3, 5 e 7 Resolução:

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes: Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, devemos primeiro escrevê-las como frações equivalentes com um mesmo denominador. Para isso encontramos o MMC dos denominadores e então escrevemos as frações equivalentes com esse denominador comum. A partir daí a operação segue a mesma regra vista anteriormente para o caso de denominadores iguais. Exemplo:

Page 15: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

12

a) 7 25 15+ =

Resolução: Encontramos o MMC(5, 15):

Agora encontramos a fração equivalente que possui denominador 15: 7 3 2 21 2 21 2 235 3 15 15 15 15 15× +

+ = + = =×

Educador: note que o que estamos fazendo é aplicar a regra de reescrita da fração que geralmente aprendemos como “pegar o MMC, dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador para obter o novo numerador”. Aqui estamos optando por mostrar ao aluno “como isso funciona”.

b) 5 7 312 15 8

− + =

Educador: resolva esse exemplo com bastante calma e procure se certificar de que os alunos conseguem compreendê-lo. Se eles encontrarem muita dificuldade, resolva também os itens “a” e “b” dos exercícios a seguir como exemplos.

Resolução: Encontramos o MMC(12, 15, 8):

5 7 3 5 10 7 8 3 15 50 56 45 50 56 45 39

12 15 8 12 10 15 8 8 15 120 120 120 120 120× × × − +

− + = − + = − + = =× × ×

Note que o resultado pode ser simplificado: 39 39

120=

3 13

120

÷ =

3 401340÷ = =

5. Efetue as adições e subtrações abaixo e simplifique o resultado sempre que for

possível:

a) 1 23 5+ =

1 5 2 3 5 6 5 6 113 5 5 3 15 15 15 15× × +

+ = + = =× ×

b) 5 712 16

+ =5 4 7 3 20 21 20 21 41

12 4 16 3 48 48 48 48× × +

+ = + = =× ×

Page 16: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

13

Educador: note que MMC(12,16) = 48)

c) 7 915 20

− =7 4 9 3 28 27 1

15 4 20 3 60 60 60× ×

− = − =× ×

Educador: note que MMC(15, 20) = 60

d) 1522

− =2 5 2 2 5 4 5 11 2 1 2 2 2 2 2

×− = − = − = −

×

Educador: note que o aluno deve perceber que 2 = 2/1.

e) 4 3 1135 10 6

− + − =

3 30 4 6 3 3 11 5 90 24 9 55 90 24 9 55 201 30 5 6 10 3 6 5 30 30 30 30 30× × × × − + −

− + − = − + − = =× × × ×

10 2

30

÷ =

10 323÷ = =

Educador: note que MMC(1, 5, 10, 6) = 30 e que o resultado final está simplificado. Problemas envolvendo números racionais: 6. As pizzas normalmente são cortadas em 8 pedaços aproximadamente iguais, de

maneira que cada pedaço corresponde a 1/8 da pizza. Se João comeu 3/8 de uma pizza e o restante foi comido por Pedro, quantos pedaços este comeu a mais? Resolução: Se João comeu 3/8 da pizza, então restaram 5/8 para Pedro, pois: 3 5 3 5 8 18 8 8 8

++ = = =

Ou, equivalentemente: 3 8 3 8 3 518 8 8 8 8

−− = − = =

Assim, Pedro comeu 5 pedaços de pizza e, portanto, comeu 2 pedaços a mais que João.

7. Seu José distribuiu os R$ 200,00 da mesada de seus três filhos da seguinte forma: 1 – o filho mais velho recebeu 1/2 do dinheiro; 2 – o filho mais novo recebeu 1/5 do dinheiro; 3 – o filho do meio ficou com o restante do dinheiro. Quanto recebeu o filho do meio? Resolução: o valor recebido pelo filho do meio é o que sobra da mesada quando se subtrai as partes do filho mais velho e do filho mais novo:

1 1 1 10 1 5 1 2 10 5 2 10 5 2 312 5 1 10 2 5 5 2 10 10 10 10 10

× × × − −− − = − − = − − = =

× × ×

Page 17: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

14

Assim, dividindo-se a mesada de R$ 200,00 em 10 partes, o filho do meio recebeu 3 dessas partes, ou seja, 3 x 20 = R$ 60,00. Resposta: O filho do meio recebeu R$ 60,00. Educador: verifique com os alunos outras formas pelas quais eles resolveram o problema e socialize-as com a turma toda.

8. Em determinada indústria, de cada 140 peças, 3 apresentam algum tipo de defeito. Num lote de 560 peças, quantas peças apresentam defeito? Resolução: a fração de peças com defeito é de 3 para cada lote de 140 ou, equivalentemente, 3/140. A fração equivalente a 3/140 com denominador 560 pode ser encontrada descobrindo-se o número que multiplicado por 140 resulta em 560: 560 4140

=

Assim, temos: 3 3 4 12

140 140 4 560×

= =×

Portanto, em um lote de 560 peças, 12 apresentam defeito. Resposta: 12 peças apresentam defeito. Educador: verifique com os alunos outras formas pelas quais eles resolveram o problema e socialize-as com a turma toda.

Page 18: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

15

Aula 3: Aritmética básica – Números Racionais Educador: nessa aula revisaremos as operações de multiplicação, divisão e potenciação com números racionais. Além disso, exploraremos, ao final, expressões que contém todas essas operações e que requerem que o aluno recorde a precedência correta dos operadores. Multiplicação de números racionais Para multiplicarmos dois ou mais números racionais, multiplicamos os numeradores para obter o novo numerador e, multiplicamos os denominadores para obter o novo denominador: a c a cb d b d

×× =

×, com b e d diferentes de zero.

Exemplos: Educador: aproveite esses exemplos para recordar com os alunos as regras de sinal da multiplicação e o princípio básico da simplificação de frações.

a) 2 5.3 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 5 103 7 21×

b) 5 3.8 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1516

− (observe a regra de sinal!)

c) 3 2.4 15

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 1 2 1

2 2

3 2

4 15

÷ = ÷ =

÷ =

×−

×3 5

1 1 12 5 10÷ =

×= − = −

× (observe a simplificação durante a

multiplicação) 1. Efetue as multiplicações indicadas abaixo:

a) 5 32 7× =

5 3 152 7 14×

b) 4 12.3 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 12 483 5 15×

− = −×

c) 2 8.5 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 8 165 3 15×

d) 8 2 7. .3 5 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 7 1123 5 9 135× ×

=× ×

2. Efetue as multiplicações e simplifique os resultados: Educador: resolva esses exercícios com bastante calma e paciência, em conjunto com os alunos. É bastante comum que os alunos tenham dificuldades nas simplificações.

Page 19: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

16

a) 4 915 10

× = 42 2

15

÷ =

3 59

÷ = ×3 3

10

÷ =

2 52 3 65 5 25÷ =

×= =

×

b) 3 20.8 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3−

3 1

8

÷ =

4 220

÷ = ×4 5

9

÷ =

3 31 5 52 3 6÷ =

×= − = −

×

c) 25 12.4 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

255 5

4

÷ =

4 112

÷ = ×4 3

5

÷ =

5 15 3 151 1÷ =

×= =

×

d) 6 3 15. .5 10 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6−

2 3

5

÷ =

5 13

÷ = ×3 1

10

÷ =

2 515

÷ = ×5 3

9

÷ =

3 33 1 3

÷ =

× ×= −

1 5 3× ×35

= −¨

e) ( )1 3. 6 .9 4

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

93 3

6÷ = ×

2 33

1

÷ =

×3 1

4

÷ =

2 21 3

÷ =

×=

13

× 121 2

=× ×

Divisão de números racionais Para dividirmos dois números racionais, multiplicamos o primeiro deles pelo inverso do segundo: a c a d a db d b c b c

×÷ = × =

×, com b, c e d diferentes de zero.

Exemplos: Educador: nesses exemplos procure destacar as diferentes formas de se indicar a operação de divisão de números racionais e trabalhe novamente as multiplicações com simplificação.

a) 2 53 2÷ =

2 2 43 5 15× =

b) 1 53 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

13

− 3 16

÷ = ×3 2

1 2 25 1 5 5

÷ =⎛ ⎞ ×⎜ ⎟ = − = −⎜ ⎟ ×⎝ ⎠

c)

853

10

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

85

− 5 110

÷ = ×5 2

8 2 163 1 3 3

÷ =×

= − = −×

3. Faça as divisões indicadas abaixo e simplifique os resultados sempre que for possível.

a) 16 45 3÷ =

164 4

35 4

÷ =

× 4 14 3 125 1 5÷ =

×= =

×

b) 25 103 9

−⎛ ⎞÷ =⎜ ⎟⎝ ⎠

25−

5 5

3

÷ =

3 19

÷ = ×3 3

10

÷ =

5 25 3 151 2 2÷ =

×= − = −

×

Page 20: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

17

c) 6 105 9÷ = 6

2 39

5 10

÷ =

× 2 53 9 275 5 25÷ =

×= =

×

d)

10923

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

102 5

9

÷ =

3 33

÷ = ×3 1

2

÷ =

2 15 1 53 1 3÷ =

×= =

×

e) 425

−=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

42 2

51 2

÷ =

× 2 12 5 10 101 1 1÷ =

×= = =

×

Potenciação com números racionais: Se { }, , , 0, 0a b n n b∈ ≠ ≠ , então:

n n

n

a ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, a potência de um quociente é o quociente das potências

, se n é par( 1)

, se n é ímpar

n

n n nn

n n

n

aa a bb b a

b

⎧⎪⎪⎛ ⎞− = − × ⇒ ⎨⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪−⎪⎩

, a potência de uma fração negativa é positiva se o

expoente for par e negativa se o expoente for ímpar. n na b

b a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, uma fração elevada a um expoente negativo é igual ao inverso da fração

elevada ao expoente positivo. Educador: as regras acima podem parecer não fazer nenhum sentido para os alunos se não forem acompanhadas por exemplos, por isso sugerimos que, para cada regra, se faça um exemplo correspondente durante a apresentação da regra. Exemplos:

a) 22

3⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

2 2 2 43 3 3 9

×= =

×

b) 33

4⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

33

3

3 3 3 3 27( 1)4 4 4 4 64

⎛ ⎞ × ×− = − = −⎜ ⎟ × ×⎝ ⎠

c) 23

2

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2

2 2 43 3 9

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4. Calcule o valor das expressões abaixo:

a) 23

2⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2

3 3 92 2 4

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 21: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

18

b) 31

3⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

3

1 1 1 1 13 3 3 3 27

× ×= =

× ×

c) 21

5⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2

1 1 1 1( 1)5 5 5 25

×− = =

×

d) 32

5

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3

3

5 5 1252 2 8

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 32

5

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 33

3

5 5 125( 1)2 2 8

− ⎛ ⎞− × = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Precedência de operadores: Em expressões contendo várias operações (+, -, x, ÷ ou potências), a ordem de cálculo que deve ser seguida é: 1º - potenciação; 2º - multiplicação e divisão (em qualquer ordem); 3º - adição e subtração (em qualquer ordem); Quando a expressão contém chaves, parênteses ou colchetes, a ordem de cálculo que deve ser seguida é: 1º - resolver dentro dos parênteses ( ); 2º - resolver dentro dos colchetes [ ]; 3º - resolver dentro das chaves { }. Exemplos: a) 2 – 3 4 – 2× = ( )2 – 3 x 4 – 2 2 – 12 – 2 2 – 14 – 12= = =

b) 7 4 22× − = 7 7 4 7 44 2 2

2 2 1×⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − = × − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

2

÷ =

2 17 22 2 14 2 121 11

÷ =

⎛ ⎞ ×⎛ ⎞⎜ ⎟ − = − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠×⎝ ⎠

c) 8 4 3 1÷ × − = ( ) ( )8 4 3 1 2 3 1 (2 3) 1 6 1 5÷ × − = × − = × − = − = 5. Calcule o valor das expressões abaixo: a) 4 3 2 1− × − = ( ) ( )4 3 2 1 4 6 1 4 7 3− × − = − − = − = −

b) 2 4 33 5 8− × = 2 4 3 2 4

3 5 8 3⎛ ⎞− × = −⎜ ⎟⎝ ⎠

4 13

5 8

÷ =

× 4 22 1 3 2 33 5 2 3 10÷ =

⎛ ⎞ ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 10 3 3 20 9 20 9 113 10 10 3 30 30 30 30

MMC × × −= − = − = =

× ×

c)

452

825

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥− − =⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

42− − −4 1

5

÷ =

5 125

÷ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5 5

8

÷ =

4 21 5 5 52 2 21 2 2 2÷ =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ × ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟ = − − − = − − − = − +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 5 1 4 5 4 5 11 2 2 1 2 2 2 2

MMC × × − += − + = − + = =

× ×

Page 22: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

19

d) 218 2 9

5 3 10⎛ ⎞× ÷ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

18 2 9 18 4 9 185 3 10 5 9 10

⎛ ⎞× ÷ = × ÷ =⎜ ⎟⎝ ⎠

9 24

5 9

÷ =

× 9 19 2 4 9

10 5 1 10÷ =

⎛ ⎞ ×⎛ ⎞⎜ ⎟ ÷ = ÷⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠⎝ ⎠

8 9 85 10 5

= ÷ = 5 110

÷ = ×5 2

8 2 169 1 9 9

÷ =×

= =×

Page 23: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

20

Aula 4: Aritmética básica – Números Irracionais e Reais Educador: nessa aula revisaremos as operações com números irracionais e com números reais. Essa aula é uma aula de fechamento sobre as operações aritméticas básicas, por isso sugerimos que todos os conceitos e técnicas que ainda apresentam problemas para os alunos sejam revisados. Radiciação:

, com 0 se for par.nnb a a b a n= ⇔ = > p

n p na a= , se n p= , então 1n

n n na a a a= = = . .n n na b a b=

nn

n

a ab b=

Educador: mais uma vez recomendamos que todas as regras sejam ilustradas com, pelo menos, um exemplo, de forma que o aluno possa ver com clareza sua aplicação. Exemplos: a) 4 2= , pois 22 4= b) 3 2 5× = 3 32. 5

c) 2

325=

3 225

d) 5 53 = 535 3= 1. Calcule o valor das raízes abaixo e justifique: a) 16 = 4 , pois 24 16= b) 3 27 = 3 , pois 33 27= c) 3 8− = 2− , pois ( )32 8− = −

d) 9− = ?, não pertence ao conjunto dos reais, pois, não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê – 9 ( 2 9 ???a a= − ⇒ = ).

2. Calcule o valor das expressões: Educador: recomendamos fortemente que os exercícios abaixo sejam corrigidos em lousa, pois muitos alunos têm dificuldades com a manipulação de radicais.

a) 4.9 = 4. 9 2.3 6= = ou, 4.9 = 22. 9 2= 2 2. 32 2.3 6= =

b) 3 38 1.3 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

333

3

8 1 2 23 9 3 3×

= =×

Page 24: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

21

c) 2 . 510

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

102 5 2 510 10× ×

= =10

1=

Números irracionais: São todos os números que não podem ser escritos na forma de fração. Os números irracionais podem ser aproximados por números decimais, mas esses decimais têm infinitas casas. Exemplos: a) 3,14159265...π = b) 1, 41421352 6...= c) 3 1,70997595 4...= Números reais: É o conjunto que se obtém juntando os números racionais e irracionais. 3. Usando agora a calculadora, calcule o valor das expressões e dê sua resposta com

aproximação de duas casas decimais.

Educador: nessa atividade o aluno terá a oportunidade de usar a calculadora e verificar que, mesmo de posse dela, ele precisará conhecer a precedência de operadores e realizar as operações na ordem correta. Essa é uma atividade onde o trabalho em grupo pode ser uma boa estratégia, lembrando de misturar nos grupos os alunos com maiores e menores habilidades para lidar com números irracionais.

a) 2 3+ = 1,41 1,73 3,14+ = b) 5 11 = 1,62 c) 25 2 5− × = ( ) ( )25 2 5 25 1, 41 5 25 7,05 17,95− × = − × = − =

d) 23

2 0,665

π− × = ( ) ( )2 23

2 20,66 0,66 3,141,715

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− × = − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )1,17 0,66 9,86 1,17 0,66 9,86 1,17 6,51 5,34= − × = − × = − = − 4. Calcule o valor das expressões abaixo sem o uso da calculadora:

a) 25 9 323 10 2

− × − =25 9 3 52 23 10 2

⎛ ⎞− × − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5 1

3

÷ =

3 19

÷ = ×3 3

10

÷ =

5 232÷ =

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3 3 3 3 2 2 1 3 1 3 4 3 3 22 21 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2

MMC× × × × − − −⎛ ⎞= − − = − − = − − = =⎜ ⎟× × × ×⎝ ⎠

2 3

2

÷ =

2 1

1 11÷ =

−= = −

Page 25: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

22

b) ( )2

2 20 245 5 5

− ÷ − =2 2( ) 2

2045

− ÷5 4

5

÷ =

5 1

2 25 5÷ =

⎛ ⎞⎜ ⎟ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 24 45

− ÷ − 1= −

c) 21 { 2 3 [ 1 2 ( 2) 8]}− − × − − − × − ÷ = ( ) ( )1 { 2 3 [ 1 2 (4) 8]} 1 { 6 [ 1 8 8 ]}− − × − − − × ÷ = − − − − − ÷ 1 { 6 [ 1 1]} 1 { 6 [ 2]} 1 { 6 2} 1 { 4} 1 4 5= − − − − − = − − − − = − − + = − − = + =

d) ( )8

3

13 34 10 8

−− + =

3

3 3 14 10 2− +

3

3 3 14 10 2

= − +

3 5 3 2 1 10 15 6 10 15 10 6 194 5 10 2 2 10 20 20 20 20 20

MMC × × × + −= − + = − + = =

× × ×

5. Calcule as expressões abaixo respeitando a ordem correta das operações:

a) 2

10 123 92

2 1 ( 1)4× − − − = 2⎛ ⎞

×⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )1 1 9 2 7⎡ ⎤

− − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

b) ( )

( )3

1202 2

1 2 12 33

− + − =×

1

3( ) 2

8 1 814 3 3

− + = −×

4 2

4

÷ =

4 11 2 1 313 3 1 33

÷ =

×+ = − +

××

1 2 3 23 3

− += =

c) 5

33 10 4 1115 3

×− + − =

101− +5 2

15

÷ =

35 3

2 1 213 3÷ =

×− = − +

23

− 33 1 1= − = −

Page 26: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

23

Aula 5: Números decimais e potências de 10 Educador: nessa aula revisaremos as operações com números decimais, potências de 10, múltiplos e submúltiplos. É importante que o aluno consiga trabalhar com decimais, múltiplos e submúltiplos usando o conceito de potência de 10 e acreditamos que essa aula poderá ajudá-lo bastante na revisão desses temas. Números decimais: Todo número real pode ser escrito na forma decimal. Nessa forma, os dígitos à esquerda da vírgula representam a parte inteira do número e os dígitos à direita da vírgula representam sua parte fracionária (ou menor do que a unidade). {parte parteinteira fracionária

345, 76025123

Os números decimais podem ser exatos, quando a parte fracionária é finita, ou infinitos, quando a parte fracionária é infinita. 2,75 decimal finito1,3333... decimal infinito

→→

Os números decimais infinitos que possuem uma sequência de dígitos da parte decimal que se repete são chamados dízimas periódicas. 1,333... 1,3 dízima periódica simples

1,2333...=1,23 dízima periódica composta

= →

Os números irracionais são decimais infinitos e não periódicos. 3 1,73205... decimal infinito e não periódico (número irracional)= →

Exemplos:

a) 12

0,5= → decimal exato

b) 3,14159...π = → decimal infinito e não periódico (número irracional)

c) 0,333. ,13

.. 0 3== → decimal infinito e periódico (dízima periódica simples)

d) 0,1666. 116

.. 0, 6== → decimal infinito e periódico (dízima periódica composta)

e) 5 5,0= → decimal exato 1. Usando a calculadora, escreva os números abaixo na forma decimal e classifique-os

em: decimais exatos, decimais infinitos e não periódicos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas. Educador: deixe os alunos resolverem e depois corrija com eles, ajudando-os na classificação dos decimais. No item “e”, enfatize a forma de representação das dízimas periódicas: repetindo três vezes o período ou escrevendo-o apenas uma vez e colocando uma barra sobre ele.

Page 27: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

24

a) 2 → 1,41421...(decimal infinito e não periódico – número irracional)

b) 154→ 3,75 (decimal exato)

c) 56→ 0,8333... 0,83= (dízima periódica composta)

d) 283→ 9,333... 9,3= (dízima periódica simples)

e) 1513

→ 1,153846153846153846... 1,153846= (dízima periódica simples)

Potências de 10: As potências de 10 são muito importantes quando usamos os números decimais.

0

1

2

zeros

10 110 1010 100

10 1000...000n

n

=

=

=

=

M

14243

0

1

2

zeros

10 110 0,110 0,01

10 0,000...001n

n

=

=

=

=

M

14243

Exemplos: a) Observe os números decimais resultantes da divisão de 5 por potências crescentes de

10:

0

1

2

55

5 zeroscasas

decimais

5

510

5100

510000

5 5 51 10

5 0,510

5 0,0510

5 0,00

000510

=

=

=

=

= =

=

=

=

M

123123

Frações decimais: Como todo número real pode ser escrito como um decimal, para dividirmos um número real por uma potência de 10, basta movermos a vírgula para a esquerda um número de casas igual ao expoente da potência de dez pela qual estamos dividindo o número.

4

1357223 1357223 135,722310000 10

= =

4

245,033 245,033 0,02450310000 10

= =

Page 28: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

25

Exemplos:

a) 28731000

2,873=

b) 15100

0,15=

c) 0,031100000

0,00000031=

2. Sem o uso de calculadoras, calcule as frações decimais abaixo:

a) 28731000

2,873=

b) 77100

0,77=

c) 45110000

0,0451=

d) 1288831000

128,883=

e) 0,72110

0,0721=

Múltiplos e submúltiplos: Quando fazemos medições e usamos unidades de medidas, muitas vezes é necessário trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos. Nesses casos nós usamos múltiplos e submúltiplos dessas grandezas. Os múltiplos e submúltiplos correspondem a potências de 10, são indicados por prefixos e representados por símbolos, conforme mostrado na tabela abaixo:

PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR DECA da 101 10

HECTO h 102 100

QUILO k 103 1000

MEGA M 106 1000000

GIGA G 109 1000000000

TERA T 1012 1000000000000

PETA P 1015 1000000000000000

EXA E 1018 1000000000000000000

ZETA Z 1021 1000000000000000000000

IOTA Y 1024 1000000000000000000000000

DECI d 10-1 0,1

Page 29: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

26

CENTI c 10-2 0,01

MILI m 10-3 0,001

MICRO µ 10-6 0,000001

NANO n 10-9 0,000000001

PICO p 10-12 0,000000000001

FEMTO f 10-15 0,000000000000001

ATO a 10-18 0,000000000000000001

ZEPTO z 10-21 0,000000000000000000001

IOCTO y 10-24 0,000000000000000000000001Para usar os prefixos basta colocá-los diante da unidade de medida.

{35.000 5 10 5

k quilo

m m km=

= × =

Exemplos: Educador: vamos tratar das unidades de medida em outra aula, porém, é interessante que nessa aula os alunos já comecem a perceber que usarão os prefixos para indicar múltiplos e submúltiplos de unidades de medida e esta é uma boa oportunidade para verificar se eles conhecem as unidades de medida que aparecem nos exemplos. a) {

350 10 0,05 050m mili

m m mm −

=

× == (m = metro)

b) {612 112 0 12000000

M mega

V VM V=

×= = (V = volt)

c) {315 10 15.00015

k quilo

W W Wk=

= × = (W = watt)

d) {61,2 100,0000012 1,2

micro

g ggμ

μ−

=

× == (g = grama)

e) {9232 10 233.000.000.000

G giga

m m Gm=

× == (m = metro)

f) {91,5 10 1.501,5 0.000.000

G giga

G HzH Hzz=

= × = (Hz = hertz)

3. Escreva as grandezas abaixo usando as potências de 10 e depois com todos os algarismos:

Educador: aproveite esse exercício para apresentar, ou recordar, aos alunos os símbolos das unidades apresentadas nos exercícios. Ainda que esse não seja o foco da aula, temos aqui uma boa oportunidade para sondar qual é o domínio dos alunos sobre as unidades de medida.

a) 1255 10 55.000.000.05 0 005 0. 0mTm m× == (unidade: m = metro) b) 9320 10 320.000.000.0020 03 b bGb == × (unidade: b = bit)

Page 30: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

27

c) 35 10 5.005 0gkg g× == (unidade: g = grama) d) 63 10 0,00 0 33 0 0CC Cμ −× == (unidade: C = Coulomb) e) 372 17 0 0,0722 V VmV −× == (unidade: V = volt) 4. Escreva os números abaixo usando os prefixos apropriados: a) 31313.0 1000 13V V kV× == (V = volt) b) 31 100 1,001 mAA A−× == (A = ampère) c) 90,000.000.015 15 10 15 FF F n−= × = (F = Fahraday) d) 225 10 0 5,2 25 m cmm −× == (m = metro) e) 32,5 12.500 0 2,5W W kW× == (W = watt) 5. A que potência de 10 corresponde o prefixo das unidades representadas abaixo? a) megametro→ 610 b) gigahertz → 910 c) quilobytes → 310 d) micrômetro → 610− e) picofaraday→ 1210− f) centímetro → 210− 6. Calcule mentalmente as divisões abaixo: a) 156 100 1,56÷ = b) 25 1000 0,025÷ = c) 0,15 10 0,015÷ =

d) 3

12 0,5 510

,012=

e) 4 0,0,0 000 50510

000=

7. Calcule mentalmente as divisões a seguir: a) 15 0,1 150÷ = b) 5,41 0, 401 5 1÷ = c) 512, 13 1 0 00 230 0−÷ =

d) 77,20,001

77200=

e) 4

0,00521

50

2− =

f) 4

31,2210

312200−

−−=

g) 0,000150,001

0,15−=

Page 31: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

28

Aula 6: Aritmética básica – Porcentagem Educador: nessa aula revisaremos as operações com porcentagens e regra de três. Esses tópicos são de suma importância e precisam ser bem dominados pelos alunos, por isso fizemos a opção de destinar bastante tempo aos exercícios. Como essa aula demanda muitas contas, sugerimos que o educador oriente os alunos a usarem calculadoras para fazerem as divisões, mas não que sejam usadas para o cálculo direto das porcentagens (exceto nos exercícios em que isso é sugerido explicitamente). Porcentagem (ou Percentagem): Toda razão (fração) centesimal, isto é, que tem como denominador o número 100, é chamada de porcentagem e representa quantas partes de cem o número representa. Usualmente indicamos uma porcentagem pelo símbolo “%”. Exemplos:

a) 0, 25 o25100

u 25%=

b) 0,02 o2100

u 2%=

c) 0,005 o0,5100

u 0,5%=

d) 1,3 o13010

%0

u 130=

6. Qual a porcentagem correspondente a cada fração centesimal abaixo? Educador: se perceber que os alunos têm dificuldades com o conceito de porcentagem, crie mais exercícios até se certificar que todos conseguem entender uma fração centesimal como uma porcentagem e sejam capazes de expressá-la corretamente. Verifique se os alunos compreender que um número sobre 100 é o próprio número em porcentagem (ex.: 17,2/100 é 17,2%).

a) 0,9 o90100

u 90%=

b) 0,17 o17100

u 17%=

c) 0,153 o15,3100

u 15,3%=

d) 1,53 o153100

u 153%=

e) 0,004 o0,4100

u 0,4%=

f) 0,032 o3,2100

u 3,2%=

Page 32: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

29

Calculando porcentagens: Como uma porcentagem corresponde a uma comparação com 100, podemos calcular porcentagens comparando dois números na forma de uma fração e interpretando o resultado decimal obtido como uma porcentagem que indica quanto, por cento, o numerador representa em relação ao denominador. Exemplos:

a) 0,5 ou2550

50%= (25 corresponde a 50% de 50)

b) 0,214 ou 210

%57

1,4≅ (15 corresponde a, aproximadamente, 21,4% de 70)

c) 9,375 ou 938

%75 7,5= (75 corresponde a 937,5% de 8)

1. Calcule as porcentagens correspondentes às frações abaixo:

a) 0,4 ou1230

40%=

b) 0,2 ou525

20%=

c) 0,125 ou 756

%00

12,5=

d) 2,083 ou 2022

%51

8,3≅

e) 8,591 o30,073,

u 855

9,1%≅

Problemas com porcentagens: O cálculo de porcentagens está presente em muitos problemas no dia a dia, como o cálculo de aumentos e descontos. Para calcular a porcentagem de um dado valor, basta multiplicar o valor pela porcentagem. Exemplos: a) Pedro recebe R$ 1.200,00 de salário e ganhou um aumento de 8%. Quanto Pedro

receberá a mais, mensalmente? Resolução: devemos calcular 8% de R$ 1.200,00:

81200 96100

× = ou 1200 0,08 96× =

Resposta: Pedro receberá R$ 96,00 a mais mensalmente.

b) O controle de qualidade de uma empresa descobriu que 1,5% das embalagens de um determinado produto apresentavam defeito. Se diariamente são produzidas 10.000 unidades desse produto, quantas embalagens apresentam defeito?

Page 33: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

30

Resolução: devemos calcular 1,5% de 10.000:

1,510.000 150100

× = ou 10000 0,015 150× =

Resposta: Diariamente, 150 embalagens desse produto apresentam defeito.

2. Resolva os problemas abaixo:

Educador: os alunos podem usar calculadoras para fazerem as contas, mas não para determinar diretamente a porcentagem. Para garantir que eles usarão as calculadoras apenas para fazerem as contas, peça-lhes que deixem indicadas as contas que serão feitas e não aceite apenas o resultado final como resolução. Enfatize também a importância do aluno “escrever a resposta final”.

a) Marcela foi ao shopping e gastou 40% dos R$ 80,00 que levara consigo. Quanto Marcela gastou?

Resolução: 40 80 32

100× =

Resposta: Marcela gastou R$ 32,00.

b) João pagou à vista uma calça que custava R$ 120,00. Por ter pago à vista, João

recebeu um desconto de 12%. Quanto João economizou?

Resolução: 12 120 14,4100

× =

Resposta: João economizou R$ 14,40.

c) Pedro usou 32% de um rolo de fio de 300 m para refazer a instalação elétrica de um

salão. Quantos metros de fio ele utilizou?

Resolução: 32 300 96

100× =

Resposta: Pedro utilizou 96 m de fio.

d) A inflação anual atingiu a casa dos 8%. Se todos os preços tiverem essa correção, o

litro de leite que custava R$ 1,80, doze meses atrás, passará agora a custar quanto a mais?

Page 34: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

31

Resolução: 8 1,80 0,144

100× =

Resposta: O litro de leite passará a custar, aproximadamente, R$ 0,14 (catorze centavos) a mais.

e) 45% dos alunos da classe de Mariana são meninos. Se a classe de Mariana tem 40 alunos, quantas meninas há na sala?

Resolução: se 45% da classe é de meninos, então há 55% de meninas na classe. Assim: 55 40 22

100× =

Resposta: Na classe de Mariana há 22 meninas.

3. Resolva os problemas de porcentagem abaixo:

Educador: nesses problemas o grau de dificuldade é um pouco maior por exigirem que o aluno calcule acréscimos e descontos. Ajude-os a interpretar corretamente o problema quando tiverem dificuldade. Se julgar necessário, escolha alguns problemas para resolver como exemplos.

a) Manoel fez algumas horas extras durante o mês e receberá um salário 15% maior. Se o

salário de Manoel é de R$ 800,00, quanto ele receberá dessa vez?

Resolução: Primeiro calculamos quanto Manoel receberá a mais: 15 800 120

100× =

Agora calculamos o salário final: 800 120 920+ = Resposta: Manoel receberá um salário de R$ 920,00. Educador: se julgar interessante, poderá ensinar aos alunos a “regra prática para dar aumentos percentuais”: basta somar o aumento no total de 100%. Neste caso:

100 15 115800 800 920100 100+⎛ ⎞× = × =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) Juliana comprou uma televisão de 40 polegadas, à vista, e recebeu um desconto de

5%. Se o preço da televisão, sem desconto, era de R$ 2.100,00, quanto Juliana pagou pela televisão?

Resolução: Primeiro calculamos quanto Juliana recebeu de desconto:

Page 35: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

32

5 2100 105100

× =

Agora calculamos o preço final, com o desconto: 2100 105 1995− = Resposta: Juliana pagou R$ 1995,00 pela televisão. Educador: se julgar interessante, poderá ensinar aos alunos a “regra prática para dar descontos percentuais”: basta subtrair a porcentagem de desconto do total de 100%. Nesse caso:

100 5 952100 2100 1995100 100−⎛ ⎞× = × =⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) Uma rede de lanchonetes resolveu fazer uma superpromoção de descontos em seu

lanche mais famoso (veja a figura). Se o preço normal desse lanche é de R$ 15,00, quanto ele custará nessa superpromoção? (observação: descontos em inglês costumam vir indicados pela presença da palavra “off” junto à porcentagem de desconto)

Resolução: 100 90 15 1,5

100−

× =

Resposta: O lanche em promoção custará R$ 1,50.

d) A expectativa de vida do brasileiro em 1960 era de 54,6 anos. De 1960 até 2006 essa

expectativa aumentou 32,4%. Portanto, em 2006, a expectativa de vida do brasileiro passou a ser de quantos anos? Resolução:

100 32,4 54,6 72,29100+⎛ ⎞× =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Resposta: A expectativa de vida do brasileiro passou a ser de 72,29 anos em 2006.

e) A Dow Química com o Programa Viva a Vida, cujo objetivo

inicial em 1991 foi motivar os funcionários a assumirem um estilo de vida saudável, combateu fatores como o sedentarismo, estresse, obesidade, tabagismo e maus hábitos alimentares. A porcentagem de fumantes diminuiu de 24% para 14% e cerca de 25% dos funcionários chegaram a praticar atividade física no local de trabalho. A Dow Química tem cerca de 50.000 funcionários em todo o mundo. Quantos funcionários dessa empresa não são fumantes depois do programa Viva a Vida?

Page 36: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

33

Resolução: se a porcentagem de funcionários fumantes caiu de 24% para 14%, então 10% dos funcionários da empresa que fumavam deixaram de fumar. Os não-fumantes, são, portanto:

100 10 50.000 45.000100−⎛ ⎞× =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Resposta: 45.000 funcionários da Dow Química não são fumantes depois do Projeto Viva a Vida.

4. Mais problemas de porcentagem:

Educador: Nessa sequência de problemas o grau de dificuldade é ainda maior e é fundamental a interpretação correta dos enunciados. Ajude-os nessa interpretação sempre que for necessário. Os alunos podem usar calculadoras para fazer as contas.

a) João Cláudio recebeu um salário de R$ 1550,00, sendo que 20% desse valor

correspondem às horas-extras que ele fez no mês. Qual é o salário normal de João Cláudio e quanto ele recebeu de horas-extras?

Resolução: Primeiro calculamos o valor correspondente às horas-extras que João Cláudio fez no mês: 20 1550 310

100× =

Agora subtraímos esse valor do salário recebido para descobrir o salário normal: 1550 310 1240− = Resposta: João Cláudio tem um salário normal de R$ 1.240,00 e, neste mês, recebeu R$ 310,00 de horas-extras.

b) Pablo pagou R$ 950,00 em um netbook. Ele conseguiu esse preço após pechinchar um

desconto de 5% no preço do aparelho. Quanto custava esse aparelho sem o desconto?

Resolução: Seja P o preço inicial do aparelho, então, aplicando 5% de desconto nesse preço, obtemos 950. Assim: 100 5 100950 950 1000

100 95P P− ⎛ ⎞× = ⇒ = × =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Resposta: O preço inicial do netbook, sem o desconto, era de R$ 1.000,00. Educador: Esse problema requer que o aluno calcule uma porcentagem inversa. Para resolver esse tipo de problema o aluno deverá montar sempre uma equação, como foi feito nesse caso; porém, é possível resolver o problema sem montar a equação se o aluno multiplicar o preço pago pela porcentagem inversa, como é mostrado abaixo:

Page 37: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

34

Note a porcentageminvertida

100 950 1.000100 5⎛ ⎞ × =⎜ ⎟−⎝ ⎠14243

c) O Sr. Omar comprou uma mercadoria por R$ 150,00 e deseja vendê-la por R$ 189,00.

Para atrair os clientes ele pretende ofertar a mercadoria por um preço maior e, depois, dar um desconto de 10% para vendê-la pelo preço final de R$ 189,00. Qual deve ser o preço de venda que o Sr. Omar ofertará aos clientes inicialmente? Quanto ele terá de lucro, percentualmente, após o desconto de 10%?

Resolução: Para descobrimos qual é o preço de venda sem desconto usaremos a porcentagem inversa do desconto que será dado:

100 189 210100 10⎛ ⎞× =⎜ ⎟−⎝ ⎠

Para calcularmos a porcentagem de lucro devemos comparar o preço final de venda com o preço de compra: 189 1,26 ou 26%150

=

Resposta: O Sr. Omar deverá ofertar a mercadoria por R$ 210,00 e, após vendê-la por R$ 189,00 (com os 10% de desconto) ele terá um lucro de 26%.

d) Um gerador elétrico tem rendimento de 80%, ou seja, apenas 80% da energia que ele

recebe é convertida efetivamente em energia elétrica. Esse gerador é utilizado para fazer funcionar um motor elétrico de rendimento 70%. Qual é a porcentagem da energia recebida pelo gerador que é efetivamente utilizada pelo motor para produzir movimento?

Resolução: O motor utiliza 70% dos 80% utilizados pelo gerador, assim, a porcentagem efetiva da energia recebida pelo gerador que é utilizada pelo motor é de: 70 80 0,56 ou 56%

100 100× =

Resposta: a porcentagem da energia recebida pelo gerador que é efetivamente utilizada pelo motor para produzir movimento é de 56%. Educador: esse é um problema característico de porcentagens calculadas em cascata (como no caso dos “juros sobre juros” ou dos impostos em cascata). É interessante que o aluno perceba que, nesses casos, uma porcentagem é aplicada sobre a outra na forma de produto. Se julgar conveniente você pode acrescentar mais um exercício semelhante para os alunos calcularem “juros sobre juros” (como caso das dívidas com cartões de crédito, por exemplo).

Page 38: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

35

e) A cada quinquênio Marisa recebe um aumento automático de 5% em seu salário devido ao seu plano de carreira. Após 20 anos de serviço quanto seu salário terá aumentado, devido aos aumentos automáticos do plano de carreira?

Resolução: como os aumentos são cumulativos, então as porcentagens são aplicadas umas sobre as outras. Em 20 anos teremos 4 quinquênios e, portanto:

4100 5 100 5 100 5 100 5 105 1,215 ou 21,5%100 100 100 100 100+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resposta: Após 20 anos o salário de Marisa terá aumentado 21,5% devido aos aumentos automáticos a cada qüinqüênio.

Page 39: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

36

Aula 7: Aritmética básica – Proporcionalidade e Regra de três Educador: nessa aula revisaremos a aplicação de uma técnica de cálculo conhecida por “regra de três simples”. Nossa ênfase será na aplicação da regra e na resolução de problemas que podem ser tratados por essa técnica. Para tanto, será necessário revisar primeiro o conceito de proporcionalidade e associá-lo diretamente à técnica da regra de três. Proporcionalidade: Sempre que duas grandezas estão ligadas entre si, de maneira que quando uma muda de valor a outra também muda, dizemos que elas são proporcionais. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é uma constante. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto delas é uma constante. Exemplos: a) Considere os deslocamentos de automóvel em uma estrada e os intervalos de tempo

correspondentes a esses deslocamentos, conforme mostrado na tabela abaixo: Deslocamento em km. 50 150 200 550 Intervalo de tempo em h. 0,5 1,5 2 5,5 As grandezas deslocamento e intervalo de tempo tem que tipo de proporcionalidade? Resolução: vamos verificar se são diretamente proporcionais: 50 150 200 550100; 100; 100; 1000,5 1,5 2 5,5

= = = = (como a razão é uma constante, 100, então

as grandezas são diretamente proporcionais). Vamos verificar se são inversamente proporcionais: 50 0,5 25; 150 1,5 225× = × = (como encontramos dois produtos que não são iguais, então as grandezas não são inversamente proporcionais). Resposta: As grandezas são diretamente proporcionais. Educador: Note que duas grandezas não podem ser diretamente e inversamente proporcionais ao mesmo tempo e que, portanto, fizemos a segunda checagem apenas para ilustrar o método, mas não porque fosse necessário nesse caso. É importante que os alunos percebam isso.

b) A tabela abaixo mostra o tempo de percurso de um deslocamento de 60 km em função da velocidade do automóvel: Velocidade (km/h) 30 60 120 Tempo de percurso (h) 2 1 0,5

Page 40: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

37

As grandezas velocidade e tempo de percurso são direta ou inversamente proporcionais? Resolução: vamos verificar se as grandezas são diretamente proporcionais: 30 6015; 602 1= = (como encontramos dois pares de valores cuja razão não é a mesma,

á podemos concluir que as grandezas não são diretamente proporcionais). Vamos verificar se as grandezas são diretamente proporcionais: 30 2 60; 60 1 60; 120 0,5 60× = × = × = (como o produto dos pares de valores correspondentes é constante, então as grandezas são inversamente proporcionais. Resposta: as grandezas são inversamente proporcionais.

c) A tabela abaixo mostra a relação entre duas grandezas A e B: A 100 80 150 B 2 1,5 1 As grandezas A e B são direta ou inversamente proporcionais? Resolução: vamos verificar se as grandezas são diretamente proporcionais: 100 8050; 53,3

2 1,5= = (as grandezas A e B não são diretamente proporcionais)

Vamos verificar se as grandezas são inversamente proporcionais: 100 2 200; 80 1,5 120× = × = (as grandezas A e B não são inversamente proporcionais) Resposta: as grandezas não são nem diretamente nem inversamente proporcionais. Educador: este último exemplo serve para enfatizar que não é sempre que duas grandezas serão direta ou inversamente proporcionais. Porém, daqui por diante, passaremos a trabalhar essencialmente com casos em que exista uma proporcionalidade direta ou inversa.

1. Para cada tabela abaixo, determine se as grandezas são direta ou inversamente

proporcionais (ou se não são proporcionais): a) Tabela 1:

A 8 16 32 B 4 2 1 Resolução: 8 162; 84 2= = (não são diretamente proporcionais)

8 4 32; 16 2 32; 32 1 32× = × = × = (são inversamente proporcionais) Resposta: as grandezas são inversamente proporcionais.

Page 41: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

38

b) Tabela 2:

C 4 6 100 D 8 12 200 Resolução: 4 6 1000,5; 0,5; 0,58 12 200= = = (são diretamente proporcionais)

Resposta: as grandezas são inversamente proporcionais.

c) Tabela 3. E 40 60 400 F 8 12 200 Resolução: 40 60 4005; 5; 28 12 200= = = (não são diretamente proporcionais)

40 8 320; 60 12 720× = × = (não são inversamente proporcionais) Resposta: as grandezas não são nem diretamente nem inversamente proporcionais.

d) Tabela 4:

G 0,5 2 55 H 44 11 0,4 Resolução: 0,5 20,01; 0,1844 11

≅ ≅ (não são diretamente proporcionais)

0,5 44 22; 2 11 22; 55 0,4 22× = × = × = (são inversamente proporcionais) Resposta: as grandezas são inversamente proporcionais.

Regra de três simples: Quando temos grandezas diretamente proporcionais, podemos igualar as razões entre os pares de grandezas correspondentes, já que resultam sempre em uma constante. Isso nos permite resolver uma série de problemas em que conhecemos um par de valores, um segundo valor de uma das grandezas e queremos descobrir o valor correspondente da outra grandeza. Essa técnica chama-se “regra de três simples e direta”. Se as grandezas forem inversamente proporcionais devemos igualar os produtos. Essa técnica chama-se “regra de três simples e inversa”.

Page 42: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

39

Exemplos: a) Um automóvel faz um deslocamento de 50 km em 0,5 h. Mantendo a mesma

velocidade, ele fará um deslocamento de 250 km em quantas horas? Educador: como este é o primeiro exemplo de aplicação da regra de três, sugiro que seja feito com bastante detalhe e bem devagar, até certificar-se de que todos recordaram e compreenderam como é o procedimento. Resolução: Primeiro temos que determinar se as grandezas deslocamento e tempo são direta ou inversamente proporcionais. Para isso basta verificarmos se o aumento do valor de uma grandeza acarreta o aumento ou a diminuição do valor da outra grandeza. Nesse exemplo, quanto maior o deslocamento feito com a mesma velocidade, maior será o tempo gasto. Assim, aumentando-se o deslocamento, aumenta-se o tempo e, portanto, as grandezas são diretamente proporcionais. Podemos montar o problema usando uma tabela e indicando o crescimento ou diminuição do valor de uma grandeza usando setas:

Deslocamento (km) Tempo (h)50 0,5250 x

  Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos igualar as razões: 50 0,5 50 (250).(0,5) 2,5250

x xx

= ⇒ = ⇒ =

Note que “igualar as razões” produz o mesmo efeito que “multiplicar os valores em cruz”:

Deslocamento (km) Tempo (h)50 0,5250 x

  Resposta: mantendo a mesma velocidade o automóvel fará um deslocamento de 250 km em 2,5 h.

b) Se 5 operários levantam um muro em 10 dias, quantos operários serão necessários para levantar o mesmo muro em 2 dias? Resolução: Quanto mais operários trabalhando, menor será o tempo para levantar o mesmo muro. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Nesse caso, ao invés de “multiplicar em cruz”, devemos “multiplicar em linha”:

Page 43: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

40

Operários Dias5 10x 2

 

502 (5).(10) 252

x x= ⇒ = =

Resposta: serão necessários 25 operários. 2. Resolva os problemas abaixo usando regra de três:

Educador: pode ser necessário resolver mais um ou dois problemas dessa série como exemplo para a classe. Caso não seja necessário, corrija os problemas resolvidos pelos alunos na lousa, como se fossem exemplos. É fundamental que o aluno se aproprie de um bom método de resolução.

a) Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada? Resolução: Quando ampliamos uma foto, aumentando-se um dos lados o outro também aumenta na mesma proporção. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

Largua Comprimento3 4

10,5 x 

 423 (4).(10,5) 143

x x= ⇒ = =

Resposta: a foto ampliada terá 14 cm de comprimento.

b) Com 10 pedreiros podemos construir um muro em 2 dias. Quantos dias levarão 5 pedreiros para fazer o mesmo trabalho? Resolução: quanto maior o número de pedreiros, menor será o tempo para fazerem o mesmo trabalho. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais:

Pedreiro Dias10 25 x

  

205 (10).(2) 45

x x= ⇒ = =

Resposta: Os pedreiros levarão 4 dias.

Page 44: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

41

c) Com 4 latas de tinta pinta-se 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados podem ser pintados com 11 latas dessa tinta? Resolução: Quanto mais latas de tinta, maior a área da parede que pode ser pintada. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

Latas Área  pintada4 28011 x

  

(11).( 2804 (11).(280)x x= ⇒ =4 70

)4

÷ =

4 1 770÷ = =

Resposta: poderão ser pintados 770 m2 de parede.

d) Utilizando copos descartáveis de 175 ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de bebida? Resolução: como cada pessoa recebe um copo, então quanto menor o volume do copo, mais copos eu consigo encher e mais pessoas eu consigo servir. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.

Volume Pessoas175 12150 x

  

(175).(12150 (175).(12)x x= ⇒ =3 4

)150

÷ =

3 50(175

÷ = =5 35

).(4)50

÷ =

5 10140 1410÷ = = =

Resposta: Conseguirei servir 14 pessoas.

e) Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos metros de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio? Resolução: como a quantidade de fio é a mesma, então produzindo-se tecidos mais largos o comprimento total diminuirá. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.

Comprimento Largura35 50x 70

  

Page 45: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

42

(35).( 5070 (35).(50)x x= ⇒ =10 5

)70

÷ =

10 7( 35

÷ = =7 5

).(5)7

÷ =

7 1 25÷ = =

Resposta: O tear pode produzir agora 25 m de tecido.

f) Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação? Resolução: quanto maior o número de gotas por minuto, menor será o tempo total para que o medicamento seja ministrado. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. 

Horas Gotas6 12x 18

  

(12).( 618 (12).(6)x x= ⇒ =6 1

)18

÷ =

6 3(12).(1) 4

3÷ = = =

Resposta: A aplicação da medicação teria demorado 4 horas. g) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3

clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes? Resolução: Quanto mais clientes para serem atendidos, maior maior o tempo necessário para atendê-los. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

Tempo Clientes5 3x 36

  

(5).( 363 (5).(36)x x= ⇒ =3 12

)3

÷ =

3 1 60÷ = =

Resposta: o caixa vai levar 60 minutos (1 hora) para atender os 36 clientes.

h) Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias? Resolução: quanto menor a capacidade da vasilha, mais vasilhas são necessárias. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais:

Page 46: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

43

vasilhas litros30 6x 3

  

1803 (6).(30) 603

x x= ⇒ = =

Resposta: serão necessárias 60 vasilhas.

Page 47: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

44

Aula 8: Tratamento da informação – Análise e construção de gráficos e tabelas Educador: nessa aula faremos uma breve revisão da análise e construção de gráficos (usando um software gerador de gráficos). Vamos abordar apenas os tipos de gráficos mais comuns e enfatizar, principalmente, sua interpretação. Nosso objetivo é revisar os fundamentos básicos que o aluno precisará para continuar a aprendendo sobre esse tema no nível de Ensino Médio. Os gráficos de linha serão revisados quando tratarmos das funções do primeiro e do segundo grau. É altamente recomendável que essa aula seja feita, toda ela, em uma sala de informática, onde os alunos disponham de computadores para visualizar os gráficos dos exemplos e para gerarem seus próprios gráficos. Não estamos supondo que os alunos farão os gráficos manualmente (sem computadores). Tabelas: Quando dispomos de muita informação podemos organizá-la da forma de uma tabela. Estas, por sua vez, nos permitem analisar os dados e tirar conclusões de forma mais fácil e rápida. Exemplo: Em uma classe a educadora resolveu com os alunos fazer uma pesquisa sobre os doces preferidos por cada um deles. O resultado foi a listagem abaixo, já organizada na forma de uma tabela:

Alunos O doce preferido de cada um

Ana Carolina sorvete

Ana Maria brigadeiro

Alexandre arroz doce

André sorvete

Benicio arroz doce

Bruno arroz doce

Catarina brigadeiro

Claudio pudim

Diego sorvete

Elena brigadeiro

Fabiana pudim

Fábio sorvete

Gustavo brigadeiro

Page 48: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

45

João Otávio torta de limão

José Carlos torta de limão

Monique sorvete

Maurício pudim

Nuno arroz doce

Rodrigo brigadeiro

Rosa pudim

Vitória sorvete Educador: a organização dos dados acima na tabela abaixo pode e deve ser feita com a participação dos alunos. A idéia central aqui é mostrar que podemos organizar os dados de uma outra maneira que torne mais fácil observar certas propriedades do conjunto de dados. Embora os dados da pesquisa já estejam organizados na forma de uma tabela, pode não ser rápido e nem simples responder a questões como: qual é o doce preferido da turma? Ou, quantos alunos não gostam de brigadeiro? Para responder questões como essas podemos reorganizar os dados e colocá-los em uma nova tabela, como a mostrada abaixo, por exemplo: Doce preferido Número de alunos

pudim 4

brigadeiro 5

arroz doce 4

sorvete 6

torta de limão 2 1. Usando a tabela mostrada no exemplo acima, responda as questões: a) Qual é o doce preferido da turma?

Resposta: sorvete (6 alunos fizeram essa escolha)

b) Quantos alunos não gostam de brigadeiro? Resolução: basta somar todos os alunos que não responderam “brigadeiro”: 4 + 4 + 6 + 2 = 16 Resposta: 16 alunos não gostam de brigadeiro.

Page 49: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

46

c) Quantos alunos participaram da pesquisa? Resolução: basta somar todas as respostas: 4 + 5 + 4 + 6 + 2 = 21 Resposta: 21 alunos.

d) Quantos doces diferentes a turma mencionou em suas respostas?

Resolução: basta contar as linhas da tabela. Resposta: 5 doces.

Gráficos: Outra forma de apresentar os dados de maneira que seja fácil e rápido obter respostas sobre eles consiste em construir gráficos. Educador: para apresentar os gráficos abaixo você pode imprimi-los do seu material e mostrá-los para os alunos ou usar um datashow e projetá-los. A segunda opção é mais rápida, no entanto, se for possível, é mais conveniente já estar com os alunos na sala de informática ou em um ambiente onde eles possam ter acesso aos gráficos a partir dos computadores que usarão para gerar os seus próprios gráficos na atividade proposta logo após esse exemplo. Se os alunos estiverem em uma sala de informática, como sugerido, construa os gráficos de exemplo com eles, ao invés de apenas apresentar os gráficos prontos. Exemplos: a) Com a tabela de dados do exemplo inicial podemos construir um gráfico de colunas:

 

 

Page 50: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

47

b) Ou um gráfico de barras:

c) Ou um gráfico de setores (também chamado de gráfico do tipo “pizza”:

Page 51: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

48

g) Ou, ainda, um gráfico tipo pizza com a indicação das porcentagens de alunos que escolheram cada tipo de doce:

Educador: Todos os gráficos mostrados nos exemplos acima foram feitos com o programa Excel (do pacote Office, da Microsoft).

2. A tabela abaixo lista todos os times que ganharam a Taça Libertadores da América desde sua primeira edição em 1960 até o ano de 2011.

Page 52: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

49

Educador: lembre-se que estamos supondo que esses dados serão trabalhados em um programa de planilhas e, portanto, se possível, leve os alunos para a Sala de Informática (ou o equivalente a uma sala de informática onde os alunos disponham de computadores) e procure auxiliá-los a construírem os gráficos propostos abaixo usando um programa de planilha eletrônica (Excel, Calc., etc.). Se isso não for possível, restará apenas o recurso da régua e compasso para gerar os gráficos e, nesse caso, sugiro que o último gráfico (de setores) seja simplificado, tomando-se apenas os 4 times que mais ganharam a Taça Libertadores.

a) A partir dos dados da tabela inicial, construa uma tabela que mostre em uma coluna os times e, na outra, o número de vitórias. Resposta: Time Vitórias Peñarol 5 Santos 3 Independiente 7 Racing Club 1 Estudiantes 4 Nacional 3 Cruzeiro 2 Boca Juniors 6 Olimpia 3 Flamengo 1 Grêmio 2 Argentinos Juniors 1 River Plate 2 Atlético Nacional 1 Colo Colo 1 São Paulo 3 Vélez Sarsfield 1 Vasco da Gama 1 Palmeiras 1 Once Caldas 1 Internacional 1 LDU Quito 1 Internacional 1

b) Com base na tabela que você construiu, responda: quantos times já ganharam a Taça

Libertadores da América? Resolução: basta contar o número de linhas da tabela.

Page 53: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

50

Resposta: 23 times.

c) Qual foi o time que mais vezes ganhou a Libertadores? Quantas vezes ele ganhou? Resolução: basta consultar diretamente a tabela. Resposta: O Independiente ganhou mais vezes: 7.

d) Quantos times são tricampeões da Libertadores? Resolução: basta consultar diretamente a tabela. Resposta: 4 times.

e) Usando agora um programa de planilhas eletrônicas (Excel ou Calc, por exemplo) construa um gráfico de barras para a tabela acima com o título “Vitórias na Taça Libertadores”. Resposta:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

PeñarolSantos

IndependienteRacing ClubEstudiantes

NacionalCruzeiro

Boca JuniorsOlimpia

FlamengoGrêmio

Argentinos JuniorsRiver Plate

Atlético NacionalColo ColoSão Paulo

Vélez SarsfieldVasco da Gama

PalmeirasOnce CaldasInternacional

LDU QuitoInternacional

Número de vitórias

Times

Vitórias na Taça Libertadores

Page 54: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

51

f) Construa agora um gráfico de barras a partir da tabela.

Resposta:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Núm

ero de

 vitórias

Times

Vitórias na Taça Libertadores

 

Page 55: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

52

g) Construa um gráfico de setores com a indicação do nome do time e da porcentagem de

vitórias de cada um. Resposta:

Peñarol10%

Santos6%

Independiente13%

Racing Club2%

Estudiantes8%

Nacional6%

Cruzeiro4%

Boca Juniors12%

Olimpia6%

Flamengo2%

Grêmio4%

Argentinos Juniors2%

River Plate4%

Atlético Nacional2%

Colo Colo2%

São Paulo6%

Vélez Sarsfield2%

Vasco da Gama2%

Palmeiras2%

Once Caldas2%

Internacional2%

LDU Quito2%

Internacional2%

Vitórias na Taça Libertadores

 

h) Na sua opinião, qual desses gráficos que construímos acima apresenta melhor os dados da tabela? Porque? Resposta: a resposta é opinativa e cada gráfico tem suas virtudes e limitações. Na opinião do autor o gráfico de barras é o que tem uma visualização mais clara dos dados.

Page 56: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

53

Aula 9: Geometria – Figura planas Educador: nessa aula iniciaremos a revisão de alguns conceitos importantes de geometria. Iniciaremos pela revisão breve do cálculo de áreas e perímetros das principais figuras planas. É importante que os alunos não apenas recordem as fórmulas de cálculo como também recuperem uma metodologia de abordagem dos problemas baseada na composição e decomposição das figuras para o cálculo de áreas de figuras mais elaboradas. No final da aula também abordaremos problemas onde o aluno deve compreender o enunciado e construir um esboço da figura em que deverá se basear para os cálculos. Figuras planas: Como o nome diz, são figuras que podem ser traçadas em um único plano. Podem ser poligonais (formada por 3 ou mais segmentos de reta ligados por suas extremidades) ou não. As principais figuras planas que revisaremos são o triângulo, o quadrado, o retângulo, o paralelogramo, o trapézio e o círculo. Perímetro de figuras planas: O perímetro de uma figura plana é a medida da soma dos comprimentos de todos os seus lados. Se a figura for um círculo, o perímetro é o comprimento da circunferência que contém o círculo. Área de figuras planas: A área de uma figura plana é a área do plano contida pela figura. Para cada figura a área pode ser calculada de uma forma, geralmente diferente, em função de seus lados ou, no caso do círculo, em função do seu raio.

Page 57: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

54

Educador: você pode propor os exemplos abaixo diretamente como exercícios para os alunos. Certifique-se que eles não usem calculadoras e enfatize a “compreensão” da fórmula e não apenas sua memorização. Note que os exercícios trazem informações sobre a área e o perímetro de figuras que não foram apresentadas no quadro acima, que complementam essas informações e que utilizam, às vezes, as informações do quadro acima. Exemplos: Resolva os problemas abaixo: a) O triângulo eqüilátero tem os três lados iguais e sua área pode ser

calculada em função do comprimento de seu lado pela fórmula 2 34

lA = , onde l é a medida do lado do triângulo. Calcule a área e

o perímetro de um triângulo eqüilátero de lado 2. Resolução:

2 23 2 3 34 4

lA = = = ⇒ 3A =

3 3 2 6P l l l l= + + = = × = ⇒ 6P =

Page 58: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

55

b) O hexágono regular é um polígono de seis lados de mesma medida.

Ligando seus vértices opostos percebemos que ele é formado pelo agrupamento de seis triângulos equiláteros. Calcule a área e o perímetro de um hexágono regular de lado 2. Resolução: A área total será 6 vezes a área de cada triângulo eqüilátero. Assim:

2 23 2 3 46 6 64 4

lA⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= × = × = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34

6 3⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 6 3A =

Como o hexágono tem 6 lados iguais, então: 6 6 2 12P l= = × = ⇒ 12P =

c) O pentágono regular é uma figura plana de cinco lados de mesma

medida. Sua área é dada de forma aproximada pela expressão 21,72A l= × . Determine a área e o perímetro de um pentágono regular

de lado 3. Resolução:

2 21,72 1,72(3) 15,48A l= = = ⇒ 15,48A = 5. 5 3 15P l= = × = ⇒ 15P =

d) A figura mostra um círculo inscrito em um quadrado de lado 4. Determine a

área hachurada da figura e o perímetro do círculo interno. Use 3,14π = . Resolução: A área hachurada é a diferença entre a área do quadrado e a área do círculo inscrito nele. Assim:

2 24 16qA a= = = 2

2 24. . (3,14).(2) (3,14).(4) 12,562cA rπ π ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

A área hachurada da figura é: 16 12,56 3,44A = − = ⇒ 3,44A =

O perímetro do circulo é o comprimento de sua circunferência, ou seja: 2 (2).(3,14).(2) 12,56cP rπ= = = ⇒ 12,56cP =

Page 59: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

56

1. Resolva os problemas abaixo. a) Calcule a área e o perímetro da figura abaixo:

Resolução: A parte de cima da figura é um triângulo de base 4 e altura 2, logo, sua área é dada por:

14 2 4

2 2b hA × ×

= = =

A parte de baixo é um retângulo de lados 2 e 4. Assim: 2 2 4 8A a b= × = × =

A área total é a soma dessas duas áreas: 1 2 4 8 12tA A A= + = + = ⇒ 12tA =

O perímetro da figura é a soma dos comprimentos dos seus lados. Assim: Educador: pode ser necessário aqui recordar a soma com raízes.

2 4 2 2 2 8 2 2P = + + + + = + ⇒ 8 2 2P = +

b) O perímetro a ser calculado nesse exercício é o perímetro externo da figura.

Educador: há muitas maneiras de resolver esse problema. Abaixo segue a resolução do autor, mas essa não deve ser vista como a única resolução válida. No entanto, nessa resolução há aspectos interessantes que podem ser comentados com os alunos. Resolução: como a figura é simétrica e cada metade simétrica é composta de três quadrados de lado 1, então podemos calcular a área total simplesmente multiplicando a área desse quadrado unitário por 6:

2 26 6 6 1 6 1 6t qA A a= = = × = × = ⇒ 6tA = O perímetro pode ser facilmente obtido como se segue:

2 2 1 1 2 2 1 1 12P = + + + + + + + = ⇒ 12P =

Page 60: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

57

c) A figura abaixo foi obtida recortando-se e colando quadrados de lado 2, ou suas metades. Calcule a área total hachurada e o perímetro da figura.

Resolução: devemos inicialmente notar que os dois triângulos superiores podem ser “juntados” formando novamente um quadrado de lado 2. Com isso a figura passa a ter uma área equivalente à área de três desses quadrados. Assim, a área total vale:

23 3 2 3 4 12t qA A= = × = × = ⇒ 12tA = O perímetro pode ser obtido somando-se os lados da figura:

2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 4 2 1 16 4 2P = + + + + + + + + + + = + ⇒ 16 4 2P = +

d) Calcule a área e o perímetro da figura abaixo:

Resolução: as medidas dos lados que faltam na figura podem ser obtidas por subtração:

A área total pode ser obtida calculando-se a área do retângulo de lados 3 e 7 e subtraindo-se a área do quadrado de lado 1. Assim:

3 7 1 1 21 1 20t ret qA A A= − = × − × = − = ⇒ 20tA = 1 1 6 3 7 2 20P = + + + + + = ⇒ 20P =

Page 61: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

58

e) Calcule a área e o perímetro da figura abaixo:

Educador: uma forma de calcular a área da figura é subdividi-la em um trapézio e um retângulo (ou subdividi-la de outras formas); outra maneira é calcular a área do retângulo que se obtêm ao completar a figura e, então, subtrair daí a área do triângulo que a completa. Essa segunda forma é mais fácil e rápida e é a que adotaremos na resolução. Porém, outras propostas de solução por parte dos alunos podem ser aceitas também (desde que corretas). Resolução: calculando a área do retângulo que se obtêm ao completar a figura e subtraindo a área do triângulo que a completa, temos:

3 3 9 30 2 9 60 9 60 9 516 5 302 2 2 2 2 2 2 2TA × × −

= × − = − = − = − = = ⇒ 512TA =

Para calcular o perímetro basta somar o comprimento dos lados da figura: 2 3 2 3 5 6 16 3 2P = + + + + = + ⇒ 16 3 2P = +

f) Determine a área hachurada da figura abaixo:

Page 62: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

59

Resolução: a área da figura é a soma das áreas do triângulo, do trapézio e do retângulo. Assim:

2 3 (4 2) 6 3 8 3 18 24 452 2total triângulo trapézio retânguloA A A A × + ×

= + + = + + × = + + = ⇒ 45totalA =

Unidade de medida de área: A unidade de medida de área é sempre a unidade de medida de comprimento elevada ao quadrado. Assim: Comprimento em m ⇒área em m2. Comprimento em cm ⇒área em cm2. É importante notar que não podemos misturar unidades de comprimento diferentes para calcular a área. Exemplos: a) Calcule a área de um quadrado de lado 3 m.

Resolução:

23 9A = = Resposta: 9 m2.

b) Calcule a área, em m2, de um retângulo de 50 cm X 1,0 m. Resolução: não podemos multiplicar diretamente as medidas dos lados sem antes converter a unidade cm para m. Assim, usando regra de três para fazer a conversão, temos: 1 100 50100 1 50 0,5

50 100m cm

x x mx cm

→ ⎫⇒ = × ⇒ = =⎬→ ⎭

Finalmente, podemos agora calcular a área em m2: (0,5).(1) 0,5A = =

Resposta: 0,5 m2.

2. Resolva os problemas abaixo:

Educador: nos problemas abaixo o aluno precisa interpretar corretamente o enunciado. Nem sempre isso é fácil e é recomendável que você os auxilie nessas interpretações sempre que necessário.

a) Uma folha de papel tem dimensões 30 cm X 20 cm. Qual é o valor da área do maior quadrado que se pode obter com essa folha, cortando-se parte dela? Resolução: a melhor forma de cortar essa folha para se obter o maior quadrado possível consiste em reduzir o lado maior (30 cm) para que fique com o tamanho da

Page 63: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

60

altura da folha (20 cm). Com isso teremos um quadrado de 20 cm de lado. A área desse quadrado vale:

(20).(20) 400A = =

Resposta: 400 cm2.

b) João deseja fazer um canteiro retangular com área de 4 m2. Ele concluiu que para um

melhor aproveitamento do espaço seu canteiro deve ter 0,5 m de largura. Qual comprimento deve ter o canteiro? Resolução: Como o canteiro será retangular, temos:

( ) 44 0,5 . 80,5

A a b b b= × ⇒ = ⇒ = =

Resposta: o canteiro de João deve ter 8 m de comprimento.

c) Uma pizza tem diâmetro de 40 cm e é cortada em 8 fatias iguais. Use 3,14π = e calcule a área de uma fatia. Resolução: Como o diâmetro da pizza é de 40 cm, então seu raio vale 20 cm.

2 21 1 1. (3,14).(20) 1578 8 8fatia pizzaA A rπ= = = =

Resposta: cada fatia da pizza tem uma área de 157 cm2.

d) Um quarto tem 4 m de largura por 6 m de comprimento e 2,5 m de altura do chão ao teto. Deseja-se pintar as paredes desse quarto com uma tinta que tem rendimento de 10 m2 por litro. Essa tinta é vendida em latas de 3 litros. Quantas latas de tinta são necessárias para pintar esse quarto? (ignore a área da porta e da janela nos seus cálculos) Resolução: devemos pintar as quatro paredes e, como o quarto é retangular, teremos duas paredes de mesma área em posições opostas. Assim:

1 22 2 2.(4 2,5) 2.(6 2,5) 2.(10) 2.(15) 20 30 50quartoA A A= + = × + × = + = + = Como o rendimento da tinta é de 10 m2 para cada litro, então, para uma área de 50 m2 precisaremos de 5 litros. Por fim, como a tinta é vendida em latas de 3 litros, teremos que comprar 2 latas. Resposta: Serão necessárias 2 latas de tinta.

e) Pedro precisa cercar o jardim mostrado na figura e plantar grama em toda sua área. Quantos metros de cerca ele precisa e quantos m2 de grama serão usados? (Use

3π = )

Page 64: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

61

Resolução: Para descobrir a quantidade de metros de cerca necessários vamos calcular o perímetro da figura toda, notando que a parte de cima é uma semicircunferência de raio 1 m e, que a parte de baixo consiste em três dos quatro lados de um trapézio. Vamos começar calculando o perímetro da semicircunferência:

1 12 2sc cP P= = 2( ) (3).(1) 3rπ = =

Agora calculamos o perímetro total: 4 6 4 3 14 17t scP P= + + + = + =

Calculamos agora a área total da figura somando a área do semicírculo superior à área do trapézio da parte de baixo da figura:

2 21 1 ( ). 1 (6 2).4( . ) (3.1 )2 2 2 2 2t círculo trapézio

B b hA A A rπ + += + = + = +

3.1 8.4 3 32 35 17,52 2 2 4tA +

== + = = =

Resposta: serão necessários 17 m de cerca e 17,5 m2 de grama.

Page 65: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

62

Aula 10: Geometria – Sólidos geométricos Educador: nessa aula damos continuidade à revisão de geometria explorando o cálculo de áreas e volumes de alguns sólidos geométricos. Revisaremos apenas os sólidos geométricos mais comuns (cone, esfera, paralelepípedo, cilindro e pirâmide). Se julgar conveniente, e o tempo de aula for suficiente, você pode estender essa revisão para outros sólidos. Alguns sólidos geométricos importantes: Um sólido geométrico é um conjunto contínuo de pontos que não pode estar contido em um único plano. Dentre a infinidade de sólidos geométricos possíveis, 5 deles são muito importantes e estão apresentados abaixo.

Áreas e volumes de sólidos geométricos: A área de um sólido geométrico é a área de sua superfície e, geralmente, pode ser decomposta e calculada pela soma das áreas de todas as suas faces externas. O volume de um sólido geométrico é dado por uma fórmula que depende da geometria do sólido. Veremos essas fórmulas caso-a-caso. Paralelepípedo: O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui lados planos que se unem formando 90° entre si. Os lados opostos de um paralelepípedo são sempre iguais.

Page 66: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

63

At = Área total = soma das áreas de todos os lados

2 2 2tA ab ac bc= + + V = Volume = área de um lado X altura desse lado até o lado oposto

( )bV A h ab c abc= × = × = Educador: você pode propor inicialmente o exemplo abaixo para a classe e, então, corrigir com eles. Enfatize com os alunos que a área total é sempre a soma das áreas de todas as faces e que o volume dos paralelepípedos é sempre o produto das suas três dimensões. Exemplo: Calcule a área e o volume do paralelepípedo abaixo:

Resolução:

2(12 3) 2(12 4) 2(4 3) 2(36) 2(48) 2(12) 72 96 24 192tA = × + × + × = + + = + + = ⇒ 192tA = (12).(3).(4) 144V = = ⇒ 144V =

Resposta: Área total = 192 cm2; volume = 144 cm3.

Page 67: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

64

Cilindro: O cilindro reto possui seu lado perpendicular à base. Sua base é um círculo de raio R. O eixo do cilindro é a reta imaginária que passa pelo centro do círculo que forma sua base.

Área total = 2 x área da base + área lateral

22 2 2 2 ( )t b lA A A r rh r r hπ π π= + = + = + Volume = área da base x altura

2.bV A h r hπ= = Educador: você pode propor inicialmente o exemplo a seguir e, então, corrigir com eles. Além do uso direto da fórmula, procure se certificar que os alunos compreenderam que a área do cilindro é a soma de sua área lateral com as áreas das bases e que o volume é o produto da área da base pela altura. Exemplo: Calcule a área total e o volume do cilindro abaixo (use 3π = ):

Resolução:

2 22 2 2(3)(4) 2(3)(4)(12) 96 288 384tA r rhπ π= + = + = + = ⇒ 384tA =

2 2(3)(4) (12) (3)(16)(12) 576V r hπ= = = = ⇒ 576V =

Resposta: Área total = 384 cm2; volume = 576 cm3.

Page 68: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

65

Pirâmide: A pirâmide regular reta é uma pirâmide que possui sua base perpendicular à reta que passa por seu vértice e que define sua altura. Ela recebe seu nome conforme o tipo de base que possui:

A área e o volume dependem do tipo de base que a pirâmide tem. Área total = área da base + soma das áreas das faces

soma da área das facest baseA A= + Volume = 1/3 x área da base x altura

1 .3 bV A h=

Educador: você pode propor inicialmente o exemplo a seguir para a classe e, então, corrigir com eles. Certifique-se de que os alunos compreenderam que devem somar as áreas de todas as faces para encontrar a área total e enfatize que no cálculo do volume é preciso atentar para o fator “1/3”. Exemplo: Calcule a área total e o volume pirâmide de base retangular mostrada na figura, sabendo que a área de cada face vale, aproximadamente, 47,5 cm2 : Resolução: Como a pirâmide tem base retangular, então ela tem 4 faces laterais. Assim:

4 (10)(6) 4(47,5) 60 190 250t base faceA A A= + = + = + = ⇒ 250tA = 1 1. (10 6).(15) 3003 3bV A h= = × = ⇒ 300V =

Resposta: Área total = 250 cm2; volume = 300 cm3.

Page 69: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

66

Cone: O cone reto possui uma base circular e seu vértice está sobre a linha perpendicular que passa pelo centro de sua base. A linha que vai do vértice à circunferência de sua base é chamada de “geratriz” do cone (representada pela letra g na figura).

A área total do cone é a soma da área de sua base com a sua área lateral:

2 A ( )t base lateralA A r rg r r gπ π π= + = + = + Volume = 1/3 x área da base x altura

21 1.3 3bV A h r hπ= =

Page 70: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

67

Educador: você pode propor inicialmente o exemplo a seguir para a classe e, então, corrigir com eles. Mais uma vez é importante que os alunos percebam a presença do fator “1/3” no cálculo do volume e que compreendam agora que a área lateral é a área de um setor de um círculo de raio igual a geratriz do cone (você não precisa se prender a essa terminologia, mas pode usá-la se quiser). Exemplo: Calcule a área total e o volume de um cone de sorvete de altura 10 cm, raio da base 3 cm e geratriz de, aproximadamente, 10,5 cm (use 3π = ). Resolução:

( ) (3).(3).(3 10,5) 121,5tA r r gπ= + = + = ⇒ 121,5tA = 2 21 1 (3)(3) (10) 90

3 3V r hπ= = = ⇒ 90V =

Resposta: Área total = 121,5 cm2; volume = 90 cm3. Esfera: Tanto a área quanto o volume da esfera podem ser calculados conhecendo-se apenas seu raio.

Área da esfera:

24tA rπ= Volume da esfera:

343

V rπ=

Educador: você pode propor inicialmente o exemplo abaixo para a classe e, então, corrigir com eles. No caso da esfera é importante frisar a existência do fator “4/3” no cálculo do volume.

Page 71: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

68

Exemplo: Dada uma esfera de raio 20 cm, calcule sua área total e seu volume (use 3 ). Resolução:

2 24 4(3)(20) 4800tA r 4800tA

3 34 4 (3)(20) 32.0003 3

V r 32.000V

Resposta: Área total = 4.800 cm2; volume = 32.000 cm3. 1. Resolva os problemas abaixo. a) Deseja-se colocar uma bola de futebol de salão de raio 10 cm totalmente imersa dentro

de uma caixa cúbica de aresta 20 cm completamente cheia de água. Quantos cm3 de água extravasarão? Resolução: o volume de água que extravasará será igual ao volume da bola e não depende das dimensões da caixa desde que a bola caiba nela. Assim:

3 34 4 (3)(10) 4.0003 3

V r

Resposta: extravasarão 4.000 cm3 de água.

b) Sabe-se que 1 ml = 1 cm3. Quantos copos de 200 ml são necessários para encher uma caixa cúbica de 20 cm de lado? Resolução: Primeiro obtemos o volume da caixa cúbica:

3 3(20) 800cuboV a a a a

Agora podemos calcular o número de copos por regra de três simples e direta: 3

3

1copo 200 cm 800200. 1.(800) 4 copos200x copos 800 cm

x x

Resposta: São necessários 4 copos de 200 ml.

c) A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide, tem cerca de 230 m de aresta na base e altura aproximada de 147 m. Qual é o seu volume? Resolução:

2 21 1 1. (230 147) 2.592.1003 3 3bV A h a h

Resposta: O volume da pirâmide de Quéops é de 2.592.100 m3.

Page 72: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

69

d) Joãozinho vai construir um porta-lápis na sua escola usando uma latinha de ervilhas de diâmetro 8 cm e altura 10 cm. Ele precisará recobrir a parte de fora da latinha com papel de seda. Quantos cm2 de papel ele precisará? (use 3π = ) Resolução: A latinha é um cilindro reto e a área que precisará ser recoberta é a soma da área de sua base e de sua área lateral. Logo, a área total recoberta será:

22 8 82 (3) 2(3) (10) 48 240 288

2 2b lA A A r rhπ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resposta: Joãozinho precisará de 288 cm2 de papel.

Page 73: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

70

Aula 11: Geometria – Ângulos planos Educador: nessa aula tratamos dos ângulos planos, suas medidas em graus e radianos e a soma dos ângulos internos do triângulo e dos quadriláteros. Ao final propomos diversos problemas de aplicação. Ângulos: Ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas com origem em um mesmo ponto. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas é o vértice do ângulo. A figura abaixo mostra alguns ângulos e seus nomes:

Exemplo: A figura abaixo mostra duas retas, r e s, que se cruzam no ponto O. Como se chamam os ângulos a , b , c e d ?

Resolução: a = agudo b = obtuso c = agudo d = obtuso Educador: aproveite esse momento para recordar com os alunos alguns elementos de notação: Pontos: são representados normalmente por letras maiúsculas. Retas: são representadas normalmente por letras minúsculas. Ângulos são representados por letras minúsculas com um acento circunflexo sobre elas (também existem outras notações, mas não é necessário apresentar muitas delas nesse momento). Aproveite também para apontar na figura o que são ângulos opostos pelo vértice ( a e c , e b e d ).

Page 74: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

71

Medindo ângulos: A medida de um ângulo é um número real associado ao ângulo e que indica o “tamanho de sua abertura”. Há duas unidades principais de medidas de ângulos: o grau (símbolo: °) e o radiano (símbolo: rad). O grau tem origem remota no tempo e foi definido de maneira que o ângulo que corresponde a uma volta completa em uma circunferência equivale a 360°. Assim, cada 1° corresponde à abertura de um ângulo que equivale a um arco de 1/360 de uma circunferência:

Já o radiano foi escolhido como unidade de medida de ângulo oficial no Sistema Internacional de Unidades (SI) e corresponde ao ângulo cuja abertura equivale a um arco de circunferência de comprimento igual ao raio:

Para calcular o ângulo em radianos que corresponde a um ângulo que compreende um arco de circunferência de comprimento L, fazemos:

radLR

θ =

Como uma circunferência completa tem comprimento 2 Rπ , então o ângulo que corresponde a uma volta toda, em radianos, mede 2 radπ . Assim, podemos escrever a relação: 360 2 radπ°→ ou, equivalentemente, 180radπ → ° . Exemplo 1: Determine a medida em radianos correspondente aos ângulos abaixo, dados em graus: a) 360° b) 180° c) 90° d) 60° e) 45°

Page 75: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

72

f) 30° Resolução: Para converter a medida de um ângulo em graus para radianos (ou vice-versa) podemos sempre usar regra de três e a relação 180radπ → ° . Assim: a)

180 360180 360x 360 180

radx x

radπ ππ

→ °⎫⇒ = ⇒ =⎬→ °⎭

⇒ 2 x radπ=

Também podemos usar uma regra prática obtida a partir da aplicação da regra de três:

180graus

rad

θθ π= ×

b) 180180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒ rad radθ π=

Educador: Vale a pena fazer as resoluções devagar e retomar as técnicas de simplificação de frações, passo a passo.

c) 90180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

2rad radπθ =

d) 60180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

3rad radπθ =

e) 45180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

4rad radπθ =

f) 30180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

6rad radπθ =

Educador: os alunos normalmente têm dificuldade para compreender a definição de ângulo em radianos e sua utilidade. Uma aplicação prática dessa definição consiste em calcular o comprimento de um arco de circunferência sabendo-se seu raio e o ângulo em radianos que corresponde ao arco. Procuraremos explorar isso em alguns exercícios e no exemplo abaixo. Exemplo 2: Um pneu de trator com raio de 1 m gira 90° sobre o solo. Que distância esse pneu andou? (Use 3π = onde for necessário) Resolução: A distância que o pneu andou corresponde ao comprimento do arco da circunferência que equivale em radianos ao ângulo que o pneu girou. Podemos resolver esse problema encontrando primeiro o ângulo de giro em radianos, usando regra de três simples:

Page 76: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

73

180 90180 90x 90 180

radx x

radπ ππ

→ °⎫⇒ = ⇒ =⎬→ ° ⎭

⇒ 2

x radπ=

Pela definição de radiano, temos: 3

2 1 2 2arco arcox arcoraio

π π= ⇒ = ⇒ = = ⇒ 1,5arco m=

Resposta: O pneu andou uma distância de 1,5 m. 1. Na figura abaixo, classifique os ângulos a , b , c e d :

Resolução: a = raso b = agudo c = obtuso d = reto

2. Converta os ângulos de graus para radianos e vive-versa, conforme o caso: a) 120° b) 240°

c) 53π

d) 32π

Resolução:

a) 120180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

23rad radπθ =

b) 240180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

43rad radπθ =

c) 180

grausrad

θθ π= × ⇒ 5π

3 180grausθ

π= × ⇒ 5 1803grausθ ×

= ⇒ 300grausθ = °

d) 180

grausrad

θθ π= × ⇒ 3π

2 180grausθ

π= × ⇒ 3 1802grausθ ×

= ⇒ 270grausθ = °

Page 77: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

74

Operações com ângulos: Ângulos podem ser somados, subtraídos, multiplicados ou divididos por números reais. Exemplo: Determine o ângulo a indicado na figura abaixo e dê seu valor em graus e em radianos:

Resolução: Observando a figura notamos que a soma de 150° com o ângulo â resulta em um ângulo raso (180°). Assim: 150 180 180 150a a+ = ⇒ = − ⇒ 30a = °

30180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

6rad radπθ =

Ângulos internos de triângulos e quadriláteros: Triângulos e quadriláteros têm propriedades importantes referentes aos seus ângulos internos: • A soma dos ângulos internos de um triângulo resulta sempre em 180°; • A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero resulta sempre 360°.

Exemplo: Determine o valor do ângulo â indicado na figura abaixo:

Resolução: A figura é um quadrilátero (trapézio) que tem dois ângulos retos (90°). Assim: 90 90 70 360 360 250a a+ + + = ⇒ = − ⇒ 110a = °

Page 78: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

75

3. Determine os ângulos indicados nas figuras abaixo e dê a resposta em graus e em

radianos: Educador: você pode resolver um ou outro exercício como exemplo e propor os demais para os alunos, mas é importante que confira as resoluções dos alunos e, preferencialmente, as refaça em sala, destacando os erros operacionais mais comuns (principalmente quando os alunos têm que manipular equações). a)

Resolução:

30 90 180 180 120x x+ + = ⇒ = − ⇒ 60x = ° 60

180 180graus

rad

θθ π π= × = × ⇒

3rad radπθ =

b)

Resolução:

65 65 180 180 130x x+ + = ⇒ = − ⇒ 50x = ° 50

180 180graus

rad

θθ π π= × = × ⇒

518rad radπθ =

Page 79: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

76

c)

Resolução:

72 58 180 180 130x x+ + = ⇒ = − ⇒ 50x = ° 50

180 180graus

rad

θθ π π= × = × ⇒

518rad radπθ =

d)

Resolução:

( 30) 60 180 2 180 90x x x+ + + = ⇒ = − ⇒ 45x = ° 45

180 180graus

rad

θθ π π= × = × ⇒

4rad radπθ =

e)

Resolução:

Page 80: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

77

82 54 180 180 136 44a a+ + = ⇒ = − = 44 180 180 44x x+ = ⇒ = − ⇒ 136x = °

Educador: aqui vale lembrar que o ângulo externo x é igual à soma dos ângulos internos dos vértices opostos (54+82).

136180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

3445rad radπθ =

f)

Resolução:

150 180 180 150 30a a+ = ⇒ = − = 90 180 90 30 180 180 120x a x x+ + = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ 60x = °

60180 180

grausrad

θθ π π= × = × ⇒

3rad radπθ =

g)

Resolução: lembrando que x é a soma dos ângulos dos vértices opostos, temos:

60 60x = + ⇒ 120x = ° 120

180 180graus

rad

θθ π π= × = × ⇒

23rad radπθ =

Page 81: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

78

h)

Resolução:

105 98 87 360 360 290x x+ + + = ⇒ = − ⇒ 70x = ° 70

180 180graus

rad

θθ π π= × = × ⇒

718rad radπθ =

i)

Resolução:

( 14) 69 133 360 2 360 188x x x+ − + + = ⇒ = − ⇒ 86x = ° 86

180 180graus

rad

θθ π π= × = × ⇒

4390rad radπθ =

4. Num triângulo isóscele um de seus ângulos mede 100°. Determine o valor dos outros

dois ângulos. Resolução: Se o triângulo é isóscele, então ele tem dois ângulos iguais em sua base. Se o ângulo dado fosse da base, então o outro ângulo da base também mediria 100° e a soma deles já passaria de 180°. Assim, o ângulo dado é o oposto à base e os ângulos procurados são os da base:

100 180x x+ + = ⇒ 2 180 100x = − ⇒ 40x = °

Page 82: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

79

Aula 12: Geometria – Triângulo retângulo Educador: nessa aula faremos uma revisão de algumas propriedades dos triângulos em geral e, em especial, dos triângulos retângulos e suas relações métricas. Triângulos: Triângulos são polígonos regulares com três lados. Eles podem ser classificados em três tipos conforme o comprimento de seus lados:

Também podemos classificá-los com base nos seus ângulos internos:

Para qualquer triângulo: - a soma de seus ângulos internos é sempre 180°. - a soma dos comprimentos de dois de seus lados é sempre maior do que o comprimento do terceiro lado. Exemplo: São dadas as medidas dos três lados de uma figura. Assinale com um “X” aquelas que podem ser triângulos: ( X ) 20, 30, 40 ( ) 10, 50, 20 (10 + 20 < 50, logo, não é triângulo) ( X ) 30, 30, 30 ( ) 5, 3, 1 (3 + 1 < 5, logo, não é triângulo) Educador: a condição de que a soma de dois lados seja sempre maior do que o terceiro lado é conhecida como “condição de existência do triângulo”.

Page 83: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

80

Triângulo retângulo: O triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90°). Nesse triângulo os lados recebem nomes especiais: - lados adjacentes ao ângulo reto: catetos. - lado oposto ao ângulo reto: hipotenusa.

Existe uma relação entre as medidas dos catetos e a medida da hipotenusa conhecida como Teorema de Pitágoras: “O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Em símbolos:

2 2 2c a b= + Onde c é a medida da hipotenusa e a e b são as medidas dos catetos. Exemplo: Determine a medida do lado x nos triângulos abaixo: a)

Resolução: aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 26 8 36 64 100 100x x= + = + = ⇒ = ⇒ 10x = Educador: se julgar necessário, lembre aos alunos que ao extrairmos a raiz quadrada de um número obtemos dois resultados simétricos (um positivo e um negativo), mas, que ao tratarmos de comprimentos, apenas a medida positiva faz sentido. Portanto, estamos omitindo os sinais de + e – que aparecem na frente do radical e, assim, estamos na verdade escolhendo o sinal positivo na resposta.

Page 84: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

81

b)

Resolução: aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 2 2 2 215 9 15 9 225 81 144x x= + ⇒ = − = − = ⇒ 144x = ⇒ 12x = 1. Classifique os triângulos abaixo com relação a seus lados e ângulos:  

Escaleno Retângulo

  

Escaleno Obtusângulo

 

Equilátero Acutângulo

 

Isósceles Acutângulo

2. Calcule a medida x do lado da figura:

Resolução: aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 2 2 2 25 4 5 4 25 16 9x x= + ⇒ = − = − = ⇒ 9x = ⇒ 3x =

Page 85: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

82

3. Calcule a área e o perímetro do retângulo mostrado na figura:

Resolução: para calcularmos a área e perímetro do retângulo precisamos primeiro calcular o valor do lado x que falta:

Usando o Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 2 2 2 220 12 20 12 400 144 256x x= + ⇒ = − = − = ⇒ 256x = ⇒ 16x = Portanto, o perímetro será:

12 16 12 16P = + + + ⇒ 56P = E a área:

12 16A = × ⇒ 192A = Seno, cosseno e tangente: Em triângulos retângulos podemos também estabelecer relações entre os ângulos internos e os lados do triângulo.

Seno de um ângulo: razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa:

asenc

θ = bsenc

φ =

Cosseno de um ângulo: razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa:

cos bc

θ = cos ac

φ =

Page 86: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

83

Tangente de um ângulo: razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo:

tan ab

θ = tan ba

φ =

Note que:

cos asenc

θ φ= = cos bsenc

φ θ= = tan .tan 1θ φ =

Os valores dos senos, cossenos e tangentes de alguns ângulos importantes são dados na tabela abaixo:

Educador: você pode ensinar aos seus alunos como montar essa tabela de valores a partir do procedimento abaixo: 1 – partindo da tabela vazia, escreva os números 0, 1, 2, 3 e 4 na primeira linha; 2 – extraia a raiz quadrada de todos esses números; 3 – divida todos os números por 2. Pronto! A primeira linha está terminada. 4 – copie os valores da primeira linha na segunda linha, começando do último para o primeiro; 5 – na terceira linha, divida o valor da primeira linha (seno) pelo valor da segunda linha (cosseno). Exemplo: Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo θ do triângulo retângulo mostrado na figura:

Page 87: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

84

Resolução: o primeiro passo consiste em obter a hipotenusa do triângulo retângulo dado. Usando o teorema de Pitágoras, temos:

2 2 23 4 9 16 25x = + = + = ⇒ 25x = ⇒ 5x =

Assim:

35

senθ =

4cos5

θ =

3tan4

θ =

4. Determine o valor de x nos problemas abaixo:

Educador: os alunos normalmente têm dificuldade para encontrar a relação correta a ser usada (seno, cosseno ou tangente). Proponha o problema a eles e discuta com a classe como chegaram à conclusão sobre qual a relação utilizada em cada caso; isso lhe permitirá consolidar a aprendizagem dos alunos. Uma boa sugestão é pedir a eles que “coloquem o dedo sobre o ângulo dado” e então procurem o “ângulo que está no lado oposto a ele” (cateto oposto) e o “ângulo que está ao lado dele” (cateto adjacente – “que está nas adjacências, ao lado, próximo...”). a)

Resolução: calculando o seno de x, temos:

2 1 4 2

sen x = =

Verificando os valores da tabelas de senos vemos que o seno que resulta em ½ é o seno do ângulo de 30°. Assim:

30x = °

Page 88: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

85

b)

Resolução: calculando o cosseno de 30°, temos:

3cos302 2 2x x

° = ⇒ = ⇒ 3x =

c)

Resolução: calculando a tangente de 45°, temos:

2 2tan 45 1x x

° = ⇒ = ⇒ 2x =

5. Calcule o comprimento da escada mostrada na figura:

Resolução: usando o teorema de Pitágoras, temos:

2 2 28 15 64 225 289x = + = + = ⇒ 289x = ⇒ 17x = Resposta: A escada mede 17 m.

• • 8 m

15 m

Page 89: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

86

6. Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Quando tiver percorrido 500 3 m, a que altura estará do solo?

Resolução: o problema pode ser ilustrado pela figura abaixo:

Calculando a tangente de 30°, temos:

tan 30500 3

h° = ⇒ 3

3 500 3h

= ⇒ 500h =

Resposta: O avião estará a 500 m do solo.

Page 90: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

87

Aula 13: Geometria – Semelhança de triângulos, razões e proporções Educador: nessa aula retomaremos as razões e proporções no contexto das situações de semelhança entre triângulos. Procuramos dar ênfase à resolução de problemas. Triângulos semelhantes: Duas formas geométricas são semelhantes quando possuem a mesma forma, embora possam ter tamanhos diferentes. Dois quadrados são semelhantes, dois círculos são semelhantes, etc., porém, para que dois triângulos sejam semelhantes é necessário que obedeçam algumas condições: Dois triângulos são semelhantes quando possuem os ângulos correspondentes iguais ou seus lados correspondentes são proporcionais.

Em símbolos podemos dizer que os triângulos acima são semelhantes porque:

A=A' , B=B' e C=C' Ou

' ' ' ' ' 'AB AC BC K

A B A C B C= = =

Onde K é uma constante denominada razão de semelhança entre os triângulos. Educador: pode ser necessário recordar com os alunos a notação utilizada: A = ângulo do vértice A; também pode aparecer como BAC (em função dos lados). AB = segmento AB. Exemplo: Os triângulos abaixo são semelhantes?

Resolução: Sim, são semelhantes, pois os ângulos correspondentes são iguais. O triângulo da esquerda aparece apenas girado na direita (espelhado).

Page 91: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

88

1. Em cada caso, determine se os triângulos são semelhantes e justifique sua resposta: a)

Resolução: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo resulta sempre 180°, então o ângulo não indicado nas figuras tem mesma medida e, sendo assim, temos os três ângulos correspondentes de mesma medida. Portanto, os dois triângulos são semelhantes. b)

Resolução: os ângulos B e E têm mesma medida (90°), o ângulo C é comum aos dois triângulos e, tendo dois ângulos correspondentes de mesma medida, o terceiro ângulo de cada um deles ( A e D ) também terá a mesma medida nos dois triângulos. Logo, os dois triângulos são semelhantes. c)

Resolução: os ângulos C e R têm mesma medida (90°), mas os ângulos A e B não são correspondentes aos ângulos $P e Q . Logo, os dois triângulos não são semelhantes.

Page 92: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

89

Educador: proponha aos alunos que calculem os ângulos que estão faltando na figura para se assegurarem de que não são correspondentes (eles devem lembrar que a soma dos ângulos internos é 180°). d)

Resolução: os ângulos M e S$ têm mesma medida (110°), os ângulos C e $P e os ângulos D e T são correspondentes. Logo, os dois triângulos são semelhantes. Educador: proponha aos alunos que calculem os ângulos que estão faltando na figura para se assegurarem de que os ângulos correspondentes tem a mesma medida. Usando proporções em triângulos semelhantes: Para dois triângulos semelhantes há sempre uma razão de semelhança entre seus lados. Podemos usar esse resultado para calcular a medida de um dos lados de um triângulo se soubermos as medidas de outro lado desse triângulo e as medidas de dois lados correspondentes de outro triângulo semelhante. Exemplo: Dados os triângulos semelhantes abaixo, determine as medidas x e y indicadas nas figuras:

Resolução: para determinar os valores de x e y podemos montar as seguintes proporções:

Page 93: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

90

10 6 3010 (5).(6)5 10

x xx

= ⇒ = ⇒ = ⇒ 3x =

10 40(10).(4) 55 4 5

y y y= ⇒ = ⇒ = ⇒ 8y =

Educador: é importante que os alunos percebam que precisam determinar primeiro quais são os lados correspondentes e terem certeza de que os triângulos são semelhantes para, somente depois, estabelecerem a proporção entre esses lados. 2. As figuras abaixo representam triângulos semelhantes. Determine os valores de x e y

em cada uma delas. Educador: enfatize sempre a necessidade de estabelecer a proporção entre lados correspondentes dos triângulos. a)

Resolução:

3 (10).(3)10 9 9x x= ⇒ = ⇒

103

x =

3 (6).(3)6 9 9y y= ⇒ = ⇒ 2y =

b)

Resolução:

12 (18).(12)18 9 9x x= ⇒ = ⇒ 24x =

Page 94: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

91

9 (18).(9)18 12 12y y= ⇒ = ⇒

272

y =

c)

Resolução:

2 (8).(2)8 4 4x x= ⇒ = ⇒ 4x =

4 (3).(4)3 2 2y y= ⇒ = ⇒ 6y =

d)

Resolução:

1 ( 7).(1) 77 3 3 3x x= ⇒ = = ⇒ 7

3x =

1 2 2 3.2 3 3 3 3y y

⎛ ⎞= ⇒ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒

2 33

y ==

3. Dois triângulos eqüiláteros são semelhantes? Por quê? Resolução: Sim, pois ambos possuem lados de mesma medida e ângulos internos iguais. 4. Dois triângulos isósceles quaisquer são semelhantes? Por quê? Resolução: Não necessariamente, pois os triângulos isósceles possuem dois lados de mesma medida, mas não possuem ângulos internos sempre iguais, como no caso do triângulo equilátero.

Page 95: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

92

5. Calcule a altura da torre de uma igreja que projeta uma sombra de 18 m de comprimento quando, no mesmo instante, uma vara de 1,5 m produz uma sombra de 2,5 m.

Resolução: A situação descria no problema pode ser representada pela figura abaixo:

18 (1,5).(18)1,5 2,5 2,5x x= ⇒ = ⇒ 10,8x m=

6. Se uma haste de um metro projeta uma sombra de 1,5 metro, qual será o comprimento

de uma árvore com uma sombra de 4,5 metros no mesmo instante? Resolução: A situação descria no problema pode ser representada pela figura abaixo:

4,5 (1).(4,5)1 1,5 1,5x x= ⇒ = ⇒ 3x m=

7. Se uma haste de um metro projeta uma sombra de 2 metros, qual será a altura de um

poste de iluminação que no mesmo instante tem uma sombra de 15 metros? Resolução: A situação descria no problema pode ser representada pela figura abaixo:

15 (1).(15)1 2 2x x= ⇒ = ⇒ 7,5x m=

Page 96: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

93

Aula 14: Álgebra – Funções e equações do primeiro grau Educador: nessa aula faremos uma breve revisão sobre a função do primeiro grau, a construção e interpretação de seus gráficos e a resolução de equações do primeiro grau a uma variável. Muitos alunos ainda podem ter dificuldades ao manipular equações e, por isso, estamos propondo que todos os exercícios e problemas sejam resolvidos e corrigidos em lousa, passo a passo, sem a omissão de nenhuma passagem. Função do primeiro grau: Em matemática uma função é um tipo de relação matemática de duas ou mais variáveis. Por exemplo, se uma variável y tem um determinado valor para cada valor diferente de outra variável x, então dizemos que y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Educador: aqui acreditamos que não seja conveniente entrar em detalhes sobre as funções de uma forma mais geral, mas apenas de retomar o conceito e passar diretamente à função do primeiro grau. Um tipo muito comum de função é a função do primeiro grau, também chamada de função afim. Nesse tipo de função a variável y depende apenas da variável x. Matematicamente podemos definir a função do primeiro grau como sendo da forma y ax b= + , onde a e b são constantes (números fixos). Exemplo: Quais das funções abaixo são funções do primeiro grau a uma variável? Educador: aqui é importante que o aluno perceba que as funções do primeiro grau a uma variável devem sempre poder ser escritas na forma y = ax + b, com a e b sendo números reais. Por isso, é importante que eles aprendam a localizar os coeficientes a e b, que verifiquem se o expoente da variável x é 1 e, em expressões mais complexas, se a expressão pode ser reduzida para a forma y = ax + b (nos exemplos abaixo não apresentamos nenhuma expressão mais complexa). ( X ) y = 2x + 3 (a = 2, b = 3) ( X ) y = - x (a = -1, b = 0) ( ) y = x2 (é uma função do segundo grau e não do primeiro grau) ( ) y = 1/x (é uma função de grau -1) ( ) y = xz – 2 (é uma função do primeiro grau a duas variáveis) ( X ) y = ½ + x (a = 1, b = ½) ( ) y= x (é uma função de grau ½) Gráfico da função do primeiro grau: A função do primeiro grau y ax b= + pode ser representada graficamente como uma reta no plano cartesiano:

Page 97: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

94

A constante a é chamada de coeficiente angular da reta, pois corresponde à tangente do ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo x. Se a > 0, então a reta é crescente. Se a < 0, então a reta é decrescente. A constante b é chamada de coeficiente linear da reta e corresponde ao ponto do eixo y por onde a reta passa. Se b > 0, então a reta corta o eixo y acima do eixo x. Se b = 0, então a reta corta o eixo y no ponto (0, 0). Se b < 0, então a reta corta o eixo y abaixo do eixo x. Exemplo: Identifique os coeficientes a e b da função do primeiro grau y = 2x + 4 e construa seu gráfico. Educador: sugerimos que construa o gráfico mostrando o passo a passo da construção e depois aponte, identifique e relacione os coeficientes angular e linear no gráfico e na equação. Resolução: Construímos uma tabela de valores de y para valores arbitrários atribuídos a x. Educador: Como o gráfico resultará em uma reta, podemos construir uma tabela com apenas dois pontos, mas para tornar claro o método utilizado aqui (uso da tabela de valores) e, que servirá para a construção de gráficos de outras funções, vamos escolher 5 pontos. Mais adiante usaremos um método mais abreviado e específico para a construção de gráficos da função do primeiro grau. Obtemos os pontos com o uso da função dada 2 4y x= + :

( 2) 2.( 2) 4 4 4 0y − = − + = − + = ( 1) 2.( 1) 4 2 4 2y − = − + = − + = (0) 2.(0) 4 0 4 4y = + = + = (1) 2.(1) 4 2 4 6y = + = + = (2) 2.(2) 4 4 4 8y = + = + =

Marcamos os pontos em um plano cartesiano e os ligamos, desenhando a reta: Educador: aqui é importante discutir com os alunos a escolha de uma boa escala para cada eixo, de maneira que os dados fiquem bem acomodados no espaço onde o gráfico será desenhado. Nesse exemplo o eixo x está em uma

y x 0 -2 2 -1 4 0 6 1 8 2

Page 98: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

95

escala de 1:1 e o eixo y em uma escala de 1:2. Geralmente os alunos têm dificuldade em escolher uma boa escala e, portanto, esse é um ponto onde você deverá sempre focar durante a construção de gráficos.

Os coeficientes a e b são: a = 2 b = 4. Note que a reta é crescente (a = 2 > 0) e corta o eixo y acima do eixo x (b = 4 > 0). 1. Para cada função do primeiro grau dada abaixo, identifique seus coeficientes a e b e construa o gráfico. a) y = 1 – x Resolução:

1y x= − ( 2) 1 ( 2) 3y − = − − = ( 1) 1 ( 1) 2y − = − − = (0) 1 (0) 1y = − = (1) 1 (1) 0y = − = (2) 1 (2) 1y = − = −

a = -1 (a < 0, reta decrescente). b = 1 (b > 0, a reta corta o eixo y acima do eixo x). b) y = x – 3 Resolução:

3= −y x ( 2) ( 2) 3 5− = − − = −y ( 1) ( 1) 3 4− = − − = −y (0) (0) 3 3= − = −y (1) (1) 3 2= − = −y (2) (2) 3 1= − = −y

a = 1 (a > 0, reta crescente). b = -3 (b < 0, a reta corta o eixo y abaixo do eixo x).

y x 3 -2 2 -1 1 0 0 1 -1 2

y x -5 -2 -4 -1 -3 0 -2 1 -1 2

Page 99: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

96

c) y = – 1 – x Resolução:

1= − −y x ( 2) 1 ( 2) 1− = − − − =y ( 1) 1 ( 1) 0− = − − − =y (0) 1 (0) 1= − − = −y (1) 1 (1) 2= − − = −y (2) 1 (2) 3= − − = −y

a = -1 (a < 0, reta decrescente). b = -1 (b < 0, a reta corta o eixo y abaixo do eixo x). Educador: peça que os alunos observem os quatro gráficos construídos e notem a relação entre os coeficientes a e b e as posições relativas aos eixos x e y das retas obtidas em cada caso. Equações do primeiro grau: Quando em uma função do primeiro grau a uma variável, y ou x possuem valores determinados, podemos calcular o valor da outra variável que está faltando. Nesse caso ficamos com uma equação do primeiro grau. As equações do primeiro grau a uma variável podem se apresentar de muitas maneiras, mas todas elas podem ser reduzidas a uma forma compacta como ax+b=0. Exemplo 1: Determine o valor de x na equação 4 = 2x – 2. Educador: Como esse é um primeiro exemplo é recomendável que todos os passos e as explicações sobre as operações realizadas em cada um deles sejam apresentados e detalhados. O método apresentado abaixo não é o mais curto, mas é o “mais seguro” (e matematicamente correto) para se chegar ao resultado correto. Esse método não faz menção a expressões como: “se está somando passa subtraindo”, “se está multiplicando passa dividindo”, etc. Resolução: Para resolvermos uma equação com uma única incógnita (variável), devemos isolar a variável de forma a obter uma expressão do tipo “x = número”. Assim: 4 2 2= −x 2 2 4− =x (invertemos os lados da equação) 2 2−x 2+ 4 2= + (somamos 2 aos dois membros da equação) 2 6=x (efetuamos as operações de soma) 2 62 2=

x (dividimos os dois membros da equação por 2)

3=x (efetuamos a divisão e encontramos o resultado)

y x 1 -2 0 -1 -1 0 -2 1 -3 2

Page 100: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

97

Exemplo 2: Determine o valor de x na equação 4x – 2 = x + 4. Resolução: 4 2 4− = +x x 4 2 ( )− + − =x x x 4 ( )+ + −x (somamos –x aos dois membros da equação) 3 2 4− =x (efetuamos a operações de soma algébrica) 3 2−x 2+ 4 2= + (somamos 2 aos dois membros da equação) 3 6=x (efetuamos a soma) 3 63 3=

x (dividimos os dois membros por 3)

2=x (efetuamos a divisão e encontramos o resultado) 2. Determine o valor de x nas equações abaixo: e) 10 5 15− =x Resolução: 10 5 15− =x 10 5−x 5+ 15 5= + 10 20=x 10 2010 10

=x

2=x f) 10 8− =x Resolução: 10 8− =x 10 ( 10)− + −x 8 ( 10)= + −

2− = −x ( 1) ( ) ( 1) ( 2)− × − = − × −x

2=x g) 5 3 1= −x Resolução: 5 3 1= −x 3 1 5− =x 3 1−x 1+ 5 1= + 3 6=x 3 63 3=

x

2=x

Page 101: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

98

h) 2 5 3− = −x x Resolução: 2 5 3− = −x x 2 5 ( )− + − =x x x 3 ( )− + −x

5 3− = −x 5−x 5+ 3 5= − + 2=x

i) 2 43

− =x

Resolução:

2 43

− =x

2 ( 2)3

− + −x 4 ( 2)= + −

23

− =x

( 1) ( ) ( 1) (2)3

− × − = − ×x

23= −

x

( 3 )3

×x (3) ( 2)⎛ ⎞

= × −⎜ ⎟⎝ ⎠

6= −x Esboçando gráficos da função do primeiro grau mais rapidamente: Quando queremos esboçar o gráfico de uma função do primeiro grau de forma rápida, não precisamos construir uma tabela com diversos valores para x, pois sabemos que o gráfico é uma reta e que, portanto, bastam dois pontos para traçarmos essa reta. Um método prático consiste em usar os pontos em que a reta corta os eixos x e y. Já sabemos que a reta corta o eixo y em =y b . É fácil mostrar que a reta corta

o eixo x em −=

bxa

. Assim, bastam esses dois pontos para desenharmos a

reta:

Page 102: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

99

Exemplo: Esboce o gráfico da função do primeiro grau y = 2x + 4. Educador: sugerimos que construa o gráfico mostrando o passo a passo da construção e depois aponte, identifique e relacione os coeficientes angular e linear no gráfico e na equação. Resolução: A reta corta os eixos nos pontos:

4 22

− −= = = −

bxa

4=y Assim:

3. Esboce os gráficos das funções abaixo: a) y = 1 – x Resolução: A reta corta os eixos nos pontos:

1 11

− −= = =

−bx

a

1=y

b) y = x – 3

Page 103: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

100

Resolução: A reta corta os eixos nos pontos:

( 3) 31

− − −= = =

bxa

3= −y

c) y = – 1 – x Resolução:

( 1) 1( 1)

− − −= = = −

−bx

a

1= −y

Educador: peça que os alunos comparem os gráficos esboçados nesse exercício com aqueles que desenharam (das mesmas funções) no exercício 1. 4. Um retângulo de perímetro 30 cm tem o lado maior medindo o dobro do lado menor. Determine a área desse retângulo Educador: pode ser necessário recordar rapidamente com os alunos como se calcula o perímetro e a área de um retângulo. Além disso, muitos alunos tentam resolver esse tipo de problema sem desenharem antes o retângulo, e isso torna a solução mais difícil e aumenta a probabilidade de erro. Portanto, sugerimos que você oriente os alunos a iniciarem o problema desenhando o retângulo e indicando suas medidas nos lados. Resolução:

Page 104: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

101

Equacionando o problema a partir do enunciado, temos:

2 2 30+ + + =x x x x 6 30=x 6 306 6=

x

5=x Assim, o retângulo dado tem dimensões conforme mostrado na figura abaixo:

A área desse retângulo vale:

5 10= ×A ⇒ 250=A cm 5. A temperatura medida por um termômetro graduado na escala Fahrenheit em uma noite fria, em Washington (EUA), foi de 14 °F. É possível converter essa temperatura para a escala Celsius (usada no Brasil) aplicando a fórmula de conversão dada abaixo. Determine o valor dessa temperatura em °C (graus Celsius).

Fórmula de conversão: 329 5−

=Fahrenheit CelsiusT T

Educador: é bastante comum que os alunos tenham dificuldade em usar outras letras para representar variáveis além dos comuns x e y. Aproveite para reforçar para a classe que podemos representar as variáveis x e y por outras letras, símbolos, palavras e até por expressões. Resolução: Como temos a temperatura na escala Fahrenheit, basta substituí-la na fórmula de conversão e resolver a equação resultante:

14= °FahrenheitT F 32

9 5−

=Fahrenheit CelsiusT T

14 329 5−

= CelsiusT

189 5−

= CelsiusT

Page 105: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

102

25

− = CelsiusT

25

= −CelsiusT

(5) (5) ( 2)5

⎛ ⎞× = × −⎜ ⎟⎝ ⎠

CelsiusT

10= − °CelsiusT C 6. Um reservatório, com certa quantia inicial de água, tinha seu nível em 10 cm quando uma torneira foi aberta e assim permaneceu por 10 minutos, elevando o nível da água para 60 cm. Sabendo que a torneira fornece água para o reservatório com um fluxo constante, determine: a) o esboço do gráfico da altura do nível de água em função do tempo para esse reservatório; b) de quanto aumentou a altura do nível da água nos 10 minutos considerados; Educador: nesse exercício os alunos deverão interpretar o enunciado e perceber que o gráfico pedido corresponde ao gráfico de uma função do primeiro grau. Se perceber que a turma consegue fazer o gráfico facilmente, proponha como tarefa extra que descubram a função matemática que descreve essa reta. Solução para o desafio:

10=b = +H at b

10= +H at Para t = 10 min, temos H = 60 cm. Então, substituindo na equação acima, temos: 60 (10) 10= +a 10 10 60+ =a 10 10+a ( 10)+ − 60 ( 10)= + − ¨ 10 50=a 10 5010 10

=a

5=a Assim:

10= +H at 5 10= +H t

Resolução: a) O nível inicial de água corresponde à altura da linha d’água no instante inicial (t = 0). Sabemos também que após um tempo t = 10 min o nível da linha d’água passou a ser 60 cm e, além disso, o gráfico é uma reta, pois a torneira fornece água para o reservatório com um fluxo constante. Assim:

Page 106: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

103

A reta do gráfico inicia no valor H = 10 cm, portanto essa era a altura do nível de água no reservatório. b) A altura final do nível da água no reservatório foi de 60 cm, então, a variação da altura durante os 10 minutos foi de:

60 10 50Δ = − =H cm 7. Em um teste de retomada de aceleração para ultrapassagem, a velocidade de um automóvel variou conforme a função 10 5= +v t , onde v é a velocidade do automóvel medida em m/s e t é o tempo de aceleração, medido em segundos. a) esboce o gráfico dessa função; b) determine depois de quantos segundo a velocidade do automóvel atingirá 60 m/s. Educador: se necessário sugira aos alunos que façam primeiro a associação correta entre as letras “v” e “t” e as letras “y” e “x”, respectivamente, usadas em vários problemas (lembrando que essa é uma dificuldade comum deles que exige atenção). Resolução: a) Podemos determinar dois pontos quaisquer e então traçar a reta que passa por eles: Para t = 0, temos:

( 0) 10 5(0) 10= = + =v t Para t = 10, temos:

( 10) 10 5(10) 60= = + =v t Assim:

b) Para v = 60, temos:

10 5= +v t 60 10 5= + t 10 5 60+ =t 10 5 ( 10)+ + −t 60 ( 10)= + − 5 50=t

Page 107: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

104

5 505 5=

t

10=t s

Page 108: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

105

Aula 15: Revisão geral – Tudo junto e misturado Educador: nessa aula faremos uma “revisão da revisão” tratando apenas da resolução de exercícios e problemas. O objetivo é que se possa avaliar até que ponto a revisão contribuiu para a aprendizagem dos alunos e reforçar a aprendizagem onde for necessário. Todos os exercícios e problemas podem ser propostos aos alunos e, se possível, corrigidos em lousa. Essa correção pode ser feita pelos próprios alunos, na lousa, ou, para ganhar tempo e eficiência na aprendizagem, de forma “cruzada” (os alunos trocam seus cadernos, o educador faz a correção na lousa e cada aluno faz a correção do caderno que ele recebeu do colega). Revisões parciais dos assuntos já revisados nas aulas anteriores podem ser necessárias e, nesse caso, sugerimos que “metade da lousa” fique reservada para essas revisões, enquanto a outra metade pode ser usada para as correções. Também pode ser uma boa idéia trabalhar com os alunos em grupos de 2 a 4 alunos onde estejam misturados os alunos com maior desempenho e menor desempenho em matemática. 1. Felisberto Feliz resolveu fazer alguns pães de queijo em sua casa. Pela internet ele obteve a seguinte receita: Pão de queijo – 30 porções

• 1/2 copo de óleo de soja • 1 copo de leite • 4 ovos • 250 g de queijo meia-cura • 1/2 kg de polvilho doce • 1 colher (sobremesa) de sal

a) Curioso como ele só, Felisberto resolveu calcular o custo dessa receita. Pesquisando novamente na internet ele encontrou os seguintes preços para os ingredientes:

• óleo de soja: R$ 3,00 (embalagem de 900 ml) • leite: R$ 2,30 (litro) • ovos: R$ 2,00 (dúzia) • queijo meia-cura: R$ 20,00 (embalagem com 600 g) • polvilho doce: R$ 3,00 (1 kg) • sal: R$ 1,40 (1 kg)

Supondo que o copo usado como medida tenha capacidade de 200 ml e, que uma colher de sobremesa de sal tenha massa de 10 g, qual é o custo aproximado da receita de pão de queijo para 30 porções? Educador: Esse item da atividade trabalha bastante com a aplicação de regra de três, mas também envolve o uso de unidades de medida e retoma operações com frações e resolução de equações do primeiro grau simples. Resolução: • 1/2 copo de óleo de soja

Page 109: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

106

900 3,009 00

100mlml x

→ ⎫⇒⎬→ ⎭

(100x = 3).(3) x⇒ =3 1

9

÷ =

3 313÷ = = ⇒ 0,33x =

• 1 copo de leite 1000 2,30

10 00200

mlml x

→ ⎫⇒⎬→ ⎭

(2 00x = 4,3).(2,3)10

x⇒ = ⇒ 0,43x =

• 4 ovos 12 2,00 812 (4).(2)4

ovosx x

ovos x→ ⎫

⇒ = ⇒ =⎬→ ⎭

4 2

12

÷ =

4 323÷ = = ⇒ 0,67x =

• 250 g de queijo meia-cura 600 20,00

6 00250

gx

→ ⎫⇒⎬→ ⎭

(25 0x = ).(2 0 50) x⇒ =2 25

6

÷ =

2 3253÷ = = ⇒ 8,33x =

• 1/2 kg de polvilho doce 1 3,00

(0,5).(3,00)0,5kg

xkg x→ ⎫

⇒ =⎬→ ⎭ ⇒ 1,5x =

• 1 colher (sobremesa) de sal

2 7

2 500

1000 1,40 14 71000 (10).(1,4)10 1000 500

gx x

x

÷ =

÷ =

→ ⎫⇒ = ⇒ = =⎬→ ⎭

⇒ 0,002x =

Note que o custo do sal nessa receita é desprezível. Custo da receita = 0,33 + 0,43 + 0,67 + 8,33 + 1,5 + 0 ⇒ R$ 11,26 b) Se Felisberto decidir fazer apenas “meia receita”, como você escreveria essa nova receita? Resolução: Pão de queijo – 15 porções

• 1/4 copo de óleo de soja • 1/2 copo de leite • 2 ovos • 125 g de queijo meia-cura • 1/4 kg de polvilho doce • 1/2 colher (sobremesa) de sal

c) Se Felisberto tiver todos os ingredientes em quantidades abundantes, mas apenas meia dúzia de ovos, quantos pães de queijo ele poderia fazer? Resolução: Para cada receita de 30 pães ele precisa de 4 ovos, assim:

Page 110: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

107

4 30 1804 (6).(30)6 4ovos pães

x xovos x

→ ⎫⇒ = ⇒ =⎬→ ⎭

⇒ 45x =

Resposta: Com meia dúzia de ovos Felisberto poderia fazer 45 pães de queijo (uma receita e meia). d) Felisberto teve a idéia de fazer pães de queijo para vender. Por quanto Felisberto deve vender a dúzia de pães de queijo se ele quiser trabalhar com uma margem de lucro de 50%? Educador: nesse item os alunos vão trabalhar com regra de três e porcentagem. Se necessário recorde com eles o método prático de “dar aumentos ou descontos”. Resolução: no item “a” descobrimos que cada receita de 30 pães de queijo custa R$ 11,26, portanto, o custo da dúzia de pães de queijo é: 30 $11,26 135,1230 (12).(11,26)12 30

pães Rx x

pães x→ ⎫

⇒ = ⇒ =⎬→ ⎭⇒ $4,50x R=

Para ter um lucro de 50% Felisberto deve vender cada dúzia a: 100 50 4,5 6,75

100+⎛ ⎞× =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒R$ 6,75

e) Ainda pensando em vender seus pães de queijo, Felisberto teve a idéia de embalá-los em caixas retangulares com uma dúzia cada. Medindo o diâmetro de um pão de queijo (que é aproximadamente esférico) ele encontrou o valor de 6 cm. Qual deve ser o volume mínimo do interior de uma caixa retangular que acomode corretamente uma dúzia de pães de queijo de Felisberto? Educador: nesse item pode ser necessário recordar com os alunos o conceito de diâmetro de um círculo/esfera e o volume de um paralelepípedo. Oriente-os também a construir uma figura que os ajude a interpretar o problema. Resolução: Com os pães de queijo tendo um diâmetro de 6 cm, a caixa retangular de menor área da base deve acomodar 3 fileiras de 4 pães em cada uma:

Como os pães são aproximadamente esféricos, então a altura da caixa deve ser de 6 cm e seu volume total (volume de um paralelepípedo) será, portanto:

(6).(18).(24)V = ⇒ 32592V cm= 2. Calcule o valor das expressões abaixo:

Page 111: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

108

Educador: Reveja com os alunos os passos da resolução e depois faça a correção do maior número de exercícios possível, sempre passo a passo.

a) 1 2 3 42 3 4 5− + − =

Resolução: calculamos o mmc(2, 3, 4, 5):

2 3 4 5 2 1 3 2 5 2 1 3 1 5 3 1 1 1 5 5 1 1 1 1 2x2x3x5=60

Agora escrevemos a expressão passando as frações para um denominador comum: 1 2 3 4 1 30 2 20 3 15 4 122 3 4 5 2 30 3 20 4 15 5 12

× × × ×− + − = − + − =

× × × ×

30 40 45 48 30 40 45 4860 60 60 60 60

− + −− + − =

1360−

=

b) 3

3 21 21 12 3 12 8 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resolução:

33 21 21 12 3 1

2 8 3−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

33

3

1 212 9 12

= − + − −3 7

18 3

÷ =⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1÷ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

31 7 12 88 8 1

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

31 2 28

= − + 3 78

+

1 28

= − 2+78

+

1 7 88+

= =8

1= c) A soma da metade de um quinto de uma dúzia com o triplo do quadrado de um terço da metade de meia dúzia.

Page 112: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

109

Resolução:

21 1 1 112 3 62 5 3 2

⎛ ⎞= × × + × × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

12

= 2 11 125÷ = × ×

2 6 133

÷ =+ × 3 1

1 62÷ = × ×

23 2÷ =⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6 235

= + ×2

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

¨

6 3 15

= + ×

6 3 55 5

×= +

6 155 5

= +

215

=

3. Para medir a largura de um rio de margens paralelas, sem atravessá-lo, um observador no ponto A visa um ponto fixo B na margem oposta, perpendicularmente às margens. De A, ele traça uma perpendicular à linha AB e marca sobre ela um ponto C, distando 30 m de A. Em seguida, ele se desloca para C, visa os pontos B e A, e mede o ângulo 70BCA = ° . Sabendo que a distância, sobre AB, de A à margem do rio é de 3 m e, que tg70° = 2,75 , calcule a largura x do rio.

Resolução: tomando a tangente de 70°, temos:

37030

xtg +° =

32,7530

x +=

Page 113: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

110

(2,75).(30) 3x= + 3 82,5x + = 82,5 3x = − 79,5x m=

4. As figuras abaixo apresentam dados referentes aos consumos de energia elétrica e de água relativos a cinco máquinas industriais de lavar roupa comercializadas no Brasil. A máquina ideal, quanto a rendimento econômico e ambiental, é aquela que gasta, simultaneamente, menos energia e água. Com base nessas informações, responda:

a) qual a máquina com menor consumo de energia? Resolução: a máquina III. b) qual a máquina com menor consumo de água? Resolução: a máquina I. c) qual a máquina que pode ser considerada ideal? Resolução: a máquina com menor consumo de energia e água, simultaneamente, é aquela cujo produto dos dois itens resulta o menor: Máquina E = Energia A = Água Produto E x A I 1,24 76,38 94,71 II 0,94 99,35 93,39 III 0,93 109,31 101,66

Page 114: Pré-Formare · 1 Prezado educador, Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e autor de Matemática e Física, com grande experiência

111

IV 1,53 215,80 330,17 V 1,83 325,80 596,21 Portanto, a máquina ideal é a máquina II. d) qual a diferença, em porcentagem, entre o consumo de energia elétrica da máquina mais econômica e da máquina que mais gasta esse tipo de energia? Resolução: comparando (calculando a razão entre) a máquina de maior consumo de energia elétrica (V) coma máquina de menor consumo (máquina III), temos:

1,83100 196,8%0,93

× =

Portanto, a máquina de maior consumo consome 196,8% mais energia que a máquina de menor consumo (quase o dobro). e) supondo que a quantidade de tecido lavado pelas máquinas representadas nos gráficos seja proporcional à quantidade de água utilizada em cada lavagem, e que todas elas efetuem a mesma quantidade de lavagens por dia, qual máquina você escolheria para lavar mais roupa durante um dia? Resolução: a máquina com maior consumo de água: máquina V. 5. A velocidade com que um tanque de óleo é esvaziado quando suas válvulas são abertas é dada pela equação v = 5.000 – 10t, onde v é a velocidade de escoamento do óleo, medida em litros por segundo, e t é o tempo, medido em segundos. a) qual é o tempo, em minutos e segundos, necessário para esvaziar totalmente esse tanque? Resolução: substituindo v = 0 na equação de esvaziamento, temos:

5000 5v t= − ⇒ 0 5000 5t= − ⇒ 5 5000t = ⇒ 1000 16 min 40t s s= = b) Faça um esboço do gráfico que representa a curva de esvaziamento desse tanque. Resolução: o gráfico será uma reta, pois a função é do primeiro grau a uma variável. O coeficiente linear dessa reta vale 5.000 e já sabemos, do item anterior, que v = 0 para t = 1000 s. Assim: