N A T Á L I A V E R A SALESSANDRO BATISTAS A R A H C O R R E AM I G U E L F A L C I

6744752489381459152325914892

pef2602

EQ07ex2º 201002

1P R É - D I M E N S I O N A M E N T O

O exercício 02 nos propôs a análise da estrutura do edifício Sainsbury Centre for Visual Arts, projetado pelo arquiteto britânico Norman Foster. Entendida como uma sucessão de pórticos espaciais, com espaçamento de 3 metros, esta estru-tura vence o vão de aproximadamente 26,40 metros graças ao uso de treliças - sistemas reticulados compostos por barras retas, ligadas entre si por articulação em suas extremidades e sujeitos a carregamentos exclusivamente nos nós.

Para facilitar os cálculos, os pórticos foram divididos em 3 trechos, 1 horizontal e 2 verticais. Trabalhamos o trecho horizontal da estrutura como uma viga treliçada, simplesmente apoiada.

Primeiro, determinamos as cargas distribuídas incidentes (peso próprio e carga de neve). No entanto, como estas foram dadas em kN/m2, para chegar à carga linear por nó, foi preciso encontrar a área de influência de cada nó e multiplicá-la por 1,08 kN/m2 (peso próprio mais carga de neve).

área de influênciaplanta da cobertura

É importante lembrar que a área de influência dos nós localizados nas extremi-dades da viga treliçada corresponde à metade da área de um nó “central”.

carga de neve

(n+m) ! 10 ! qn = [0,2 + 0,04 (0 + 7)] ou qn = 0,48 kN/m2

peso próprio

qpp = 0,6 kN/m2

carga total

qt = qpp + qn = 0,48 + 0,6 = 1,08 kN/m2

área de influência de cada nó

S1 = 3 2,20 = 6,6 m2

S2 = 3 2,20/2 = 3,3 m2

carga sobre cada nó

qt S1 = 1,08 6,6 = 7,128 kN

qt S2 = 1,08 3,3 = 3,564 kN

!

Para calcular as reações de apoio, determinamos uma força mecanicamente equivalente, concentrada no meio do vão. Como temos, ao todo, 10 nós com a mesma área de influência (6,6 m2) e 2 com a metade desta (3,3 m2), bastou que multiplicássemos a carga sobre cada nó (7,128 kN) por 11.

Optamos por fazer um corte de ritter (passando pelo maior número de barras cor-tadas que se encontram em um único ponto) no meio da viga. Na página seguinte, podemos visualizar graficamente o corte, as cargas incidentes e as reações de apoio.

força equivalente

QT = 7,128 11 = 78,408 kN

reações de apoio

!H = 0

xA = 0

!V = 0

yA + yB – 78,408 = 0

!MA = 0

26,4 yB – 78,408 13,2 = 0

yB = 39,204 kN

yA = 39,204 kN

!

viga

trel

içad

avi

sta

late

ral

Como as treliças são montadas a partir de combinações geométricas triangulares, suas barras devem ficar sujeitas somente a esforços normais de tração ou de compressão. Por isso, concentramos as cargas verticais nos nós, que as “redis-tribui” para as barras, comprimindo ou tracionando-as.

A seguir, calculamos as normais atuantes nas barras 1, 2 e 3. Notar que N2 pos-sui uma componente horizontal e outra vertical, dadas em função do ângulo θ. Estando a estrutura em equilíbrio, a soma de momentos, forças cortantes e nor-mais deve ser nula.

corte de ritter

sen ! = 0,4

cos ! = 0,91

"MD = 0

7,128 (2,2 + 4,4 + 6,6) + 3,564 11 – yB 12,1 + N3 2,5 = 0

N3 = 111,34 kN tração

"MG = 0

7,128 (2,2 + 4,4 + 6,6) – 7,128 2,2 + 3,564 8,8 – yA 9,9 + N2 cos ! 2,2 = 0

N2 = 139,03 kN tração

"MF = 0

7,128 (1,1 + 3,3 + 5,5 + 7,7 + 9,9) + 3,564 12,1 – yB 13,2 – N1 2,5 = 0

N1 = – 111,34 kN compressão

cortevista e cálculo de θ

Para chegarmos a um pré-dimensionamento das barras do trecho horizontal, cal-culamos a área mínima necessária para atender aos esforços de tração e com-pressão (1ª verificação). Para estes, utilizamos um coeficiente de segurança igual a 1,5 e uma tensão admissível de 280 MPa.

Admitindo que todas as barras do banzo superior estejam sendo comprimidas, verificamos sua resistência à flambagem - possibilidade de a barra vir a fletir (cur-var-se). Neste caso, adotamos um coeficiente de segurança mais conservador, da ordem de 3. Além disso, tivemos que determinar a carga crítica (P), dada em função de π, do módulo de elasticidade (E), do momento de inércia (I) e do com-primento da barra (L).

Sabendo que as barras deveriam ser compostas por tubos de seção circular vaza-da, e consultando o catálogo da empresa tubos Oliveira (www.tubosoliveira.com.br), sugerimos a bitola e a espessura mais apropriadas para cada situação.

tração

1. (N3 / A3) ! ("adm / s")

(111,34 / A3) ! (28 / 1,5)

A3 # 5,96 cm2 bitola de 60,3mm e espessura de 3,4mm

2. (N2 / A2) ! ("adm / s")

(139,03 / A2) ! (28 / 1,5)

A3 # 7,45 cm2 bitola de 60,3mm e espessura de 4,3mm

compressão

1. (N1 / A1) ! ("adm / s")

(111,34 / A1) ! (28 / 1,5)

A3 # 5,96 cm2 bitola de 60,3mm e espessura de 3,4mm

flambagem

1. Pcrít = ($2 E I) / L2

E = 210 GPa

I = [$ (d14 – d2

4)] / 64

L = 2,2 m

N1 ! (Pcrít / sfl)

111,34 ! {($2 210 106) [$ (d14 – d2

4)]} / (2,22 3 64)

(d14 – d2

4) # 1,59 10-5 m

(d14 – d2

4) # 0,00159 cm bitola de 60,3mm e espessura de 3,4mm

Vale ressaltar que, como estamos trabalhando com tubos vazados, o momento de inércia resultante será o momento de inércia da circunferência externa menos o da interna. Por isso utilizamos d1 (bitola ou diâmetro externo) e d2 (bitola menos espessura, diâmetro interno).

Quando a tração é máxima (139,03 kN), a área mínima da seção dos tubos deve ser de 7,45 cm2, a maior dentre todas as forças verificadas. Com isso, recomen-damos para este trecho a mesma bitola de 60,3 mm, que também atende aos demais, uma espessura de 4,3 mm, mais espessa que os 3,4 mm indicados para as outras barras.

Nesta etapa, encontramos muitas dificuldades quanto ao cálculo da flambagem (2ª verificação) e quanto à correta utilização das unidades, principalmente, ao definir a área e os diâmetros das seções.

d1 d2 d1

4 - d2

4área

mm cm mm cm cm cm cm cm2

10.00 1.00 1.50 0.15 1.00 0.70 0.76 0.40

15.87 1.59 2.00 0.20 1.59 1.19 4.36 0.87

19.05 1.91 2.00 0.20 1.91 1.51 8.04 1.07

19.05 1.91 2.25 0.23 1.91 1.46 8.69 1.19

19.05 1.91 2.65 0.27 1.91 1.38 9.60 1.36

19.05 1.91 3.00 0.30 1.91 1.31 10.27 1.51

20.70 2.07 1.20 0.12 2.07 1.83 7.15 0.73

20.70 2.07 1.50 0.15 2.07 1.77 8.55 0.90

20.70 2.07 2.00 0.20 2.07 1.67 10.58 1.17

21.30 2.13 1.20 0.12 2.13 1.89 7.82 0.76

21.30 2.13 1.50 0.15 2.13 1.83 9.37 0.93

21.30 2.13 2.00 0.20 2.13 1.73 11.63 1.21

21.30 2.13 3.75 0.38 2.13 1.38 16.96 2.07

22.20 2.22 0.90 0.09 2.22 2.04 6.97 0.60

22.20 2.22 1.20 0.12 2.22 1.98 8.92 0.79

25.40 2.54 0.75 0.08 2.54 2.39 9.00 0.58

25.40 2.54 1.20 0.12 2.54 2.30 13.64 0.91

25.40 2.54 3.00 0.30 2.54 1.94 27.46 2.11

25.40 2.54 3.75 0.38 2.54 1.79 31.36 2.55

31.75 3.18 2.00 0.20 3.18 2.78 42.32 1.87

33.40 3.34 2.00 0.20 3.34 2.94 49.74 1.97

33.40 3.34 5.30 0.53 3.34 2.28 97.42 4.68

38.10 3.81 0.90 0.09 3.81 3.63 37.09 1.05

47.60 4.76 3.00 0.30 4.76 4.16 213.88 4.20

57.15 5.72 2.65 0.27 5.72 5.19 343.99 4.53

57.15 5.72 1.90 0.19 5.72 5.34 256.66 3.30

60.30 6.03 3.35 0.34 6.03 5.36 496.73 5.99

60.30 6.03 4.25 0.43 6.03 5.18 602.14 7.48

BITOLA ESPESSURA

A simetria da estrutura permite que calculemos apenas um dos trechos verticais. Sendo assim, conforme indicado no enunciado do exercício, consideramos que 2/3 das reações de apoio da viga superior foram transferidas para os banzos in-ternos dos trechos verticais e 1/3 para os banzos externos.

reações de apoio

1/3 39,204 = 13,068 kN banzo externo

2/3 39,204 = 26,136 kN banzo interno

!MH = 0

26,136 2,5 – yI 2,5= 0,

yI = 26,136 kN

!V = 0

–13,068 – 26,136 + yH + yI = 0

yH = 13,068 kN

trecho verticalvista lateral

cortevista lateral

corte de ritter

!H = 0

N5 cos " = 0

N5 = 0 kN

!MJ = 0

N4 2,5 – (–13,068 2,5) = 0,

N4 = –13,068 kN compressão

!MK = 0

N4 2,5 – (–26,136 2,5) = 0,

N4 = –26,136 kN compressão

Passando um corte de ritter logo acima do nó J, descobrimos as forças normais que atuam sobre as barras 4, 5 e 6. Pelos resultados, sabemos que, enquanto as barras verticais (4 e 6) estão sujeitas à compressão, a normal na barra diagonal (5) é nula, o que significa que ela não sofre carregamento, servindo apenas como travamento da estrutura.

De posse dos valores das forças normais aplicadas nos trechos verticais, proce-demos ao pré-dimensionamento de suas barras. Ressaltamos que, neste caso, nem as barras internas nem as externas estão sendo tracionadas, sofrendo apenas compressão e, por isso, sujeitas à flambagem.

BARRAS INTERNAS

compressão

1. (N4 / A4) ! ("adm / s")

(26,136 / A4) ! (28 / 1,5)

A4 # 1,4 cm2 bitola de 60,3mm e espessura de 3,4mm

flambagem

1. Pcrít = ($2 E I) / L2

E = 210 GPa

I = [$ (d14 – d2

4)] / 64

L = 2,5 m

N4 ! (Pcrít / sfl)

26,136 ! {($2 210 106) [$ (d14 – d2

4)]} / (2,52 3 64)

(d14 – d2

4) # 4,82 10-6 m

(d14 – d2

4) # 0,000482 cm bitola de 60,3mm e espessura de 3,4mm

BARRAS EXTERNAS

compressão

1. (N6 / A6) ! ("adm / s")

(13,068 / A4) ! (28 / 1,5)

A4 # 0,7 cm2 bitola de 60,3mm e espessura de 3,4mm

flambagem

1. Pcrít = ($2 E I) / L2

E = 210 GPa

I = [$ (d14 – d2

4)] / 64

L = 2,5 m

N4 ! (Pcrít / sfl)

13,068 ! {($2 210 106) [$ (d14 – d2

4)]} / (2,52 3 64)

(d14 – d2

4) # 2,41 10-6 m

(d14 – d2

4) # 0,000241 cm bitola de 57,15mm e espessura de 1,9mm

Chamou atenção o resultado obtido para a verificação de flambagem das barras externas: bitola e espessura indicadas para os tubos verticais foram as menores dentre todas as barras.

Se considerarmos que a carga crítica é diretamente proporcional ao momento de inércia e inversamente proporcional ao comprimento da barra, temos que uma carga crítica menor (13,068 kN) e um comprimento maior (2,5 metros) certamente nos levam a um menor momento de inércia e, desta maneira, a áreas e bitolas mais reduzidas.

No entanto, se a intenção for utilizar as mesmas barras em toda a estrutura, deve-mos optar pela de 60,3 mm de bitola, com espessura de 4,25 mm, já que esta foi a indicada para a barra submetida à maior solicitação (139,03 kN, barra do banzo inferior da viga treliçada, trecho horizontal superior, sujeita à tração).

2 P R I M E I R A M O D E L A G E M

Observamos, inicialmente, o comportamento da estrutura ao adotarmos nós ar-ticulados. Logo, acrescentamos as barras diagonais faltantes. Mais adiante, analisamos os nós rígidos, com e sem as mesmas diagonais.

Neste caso, as barras do banzo inferior da viga e suas diagonais são tracionadas (“esticam”) e as do banzo superior e as do trecho vertical sofrem compressão. Fica clara a flambagem das barras dos trechos verticais ligadas aos apoios. As demais barras comprimidas, situadas no banzo superior e nos banzos internos e externos dos trechos verticais, pelo desenho, apresentam uma flambagem mais discreta. Em algumas barras, tivemos dúvidas se sofriam flambagem ou apenas se deslocavam.

Com o pré-dimensionamento realizado e adotando, para toda a estrutura, bar-ras de aço, de módulo de elasticidade igual a 210 GPa, com seção transversal, circular vazada, de 60,3 mm de diâmetro e espessura de 4,3 mm, modelamos o pórtico-tipo no Ftool.

O carregagamento utilizado foi de 7,128 kN, em cada nó da viga treliçada, com exceção das extremidades, submetidas a 3,564 kN, de 26,136 kN, nos banzos internos dos trechos verticais, e de 13,068 kN, nos externos.

pórtico-tipocarregamento

pórtico-tipocom nós articulados

Inserindo as diagonais faltantes, o pórtico ganha mais estabilidade. As barras verticais próximas aos apoios tem sua flambagem enormemente reduzida. Outra mudança parece se dar nas extremidades superiores dos trechos verticais, cujas barras dos banzos externos se deslocam sem levar consigo as que estão ime-diatamente abaixo delas.

pórtico-tipocom nós articulados e todas as diagonais

Em princípio, ao transformarmos os nós articulados em rígidos, não notamos diferenças significativas. No entanto, uma análise mais cuidadosa nos deixou a impressão de que, ao enrijecermos os nós, as barras comprimidas ficam mais sujeitas à flambagem. Chegando, inclusive, a apresentarem uma dupla curvatura (caso das barras verticais ligadas aos apoios, quando não travadas por uma di-agonal).

pórtico-tipocom nós rígidos

pórtico-tipocom nós rígidos e todas as diagonais

Pelos desenhos analisados, podemos concluir que as diagonais faltantes confer-em mais estabilidade à estrutura, reduzindo o impacto da flambagem nas bases do pórtico. Além disso, ao permitir que os nós “trabalhem”, se movimentem, as articulações ajudam a reduzir as deformações (flambagem) das barras comprimi-das.

3V E N T O L A T E R A L

Ao considerar a ocorrência de ventos laterais, que submetem a estrutura a car-gas diferenciadas tanto nos trechos verticais quanto no horizontal, tivemos que determinar, primeiro, a área de influência de cada nó para, então, chegarmos às cargas lineares.

trecho verticalvista lateral (esquerda)

trecho verticalvista lateral (direita) co

bertu

ravi

sta

supe

rior

área de influência de cada nó

p/ cargas aplicadas sobre o trecho horizontal

S1 = 3 1,25 = 3,75 m2

S2 = 3 (1,25 + 2,2) = 10,35 m2

S3 = 3 2,2 = 6,6 m2

S4 = (3 1,1) + (3 1,1) = 6,6 m2

S5 = 3 2,2 = 6,6 m2

S6 = (3 1,1) + (3 1,1) = 6,6 m2

S7 = 3 2,2 = 6,6 m2

S8 = 3 (1,25 + 2,2) = 10,35 m2

S9 = 3 1,25 = 3,75 m2

p/ cargas aplicadas sobre o trecho vertical

SA = 3 2,5 = 7,5 m2

SB = SA / 2 = 3,75 m2

SD = 3 2,5 = 7,5 m2

SE = SD / 2 = 3,75 m2

carga sobre cada nó

qv1 S1 = 0,8 3,75 = 3,0 kN

qv1 S2 = 0,8 10,35 = 8,28 kN

qv1 S3 = 0,8 6,6 = 5,28 kN

(qv1 S4 / 2) + (qv2 S4 / 2) = (0,8 3,3) + (0,4 3,3) = 3,96 kN

qv2 S5 = 0,4 6,6 = 2,64 kN

(qv2 S6 / 2) + (qv3 S6 / 2) = (0,4 3,3) + (0,2 3,3) = 1,98 kN

qv3 S7 = 0,2 6,6 = 1,32 kN

qv3 S8 = 0,2 10,35 = 2,07 kN

qv3 S9 = 0,2 3,75 = 0,75 kN

qv4 SA = 0,7 7,5 = 3,0 kN

qv4 SB = 0,7 3,75 = 2,63 kN

qv5 SD = 0,4 7,5 = 3,0 kN

qv5 SE = 0,4 3,75 = 1,50 kN

Na página seguinte, apresentamos uma figura com o carregamento produzido pelo vento sobre cada nó e outra com as forças resultantes [(qpp + qn) - qv].

carregamento produzido pelo ventovista frontal

carregamento resultantevista frontal

Com o carregamento de vento, modificam-se os valores das forças que atuam sobre os nós. Aparecem cargas laterais e, no segundo nó (banzo superior) da esquerda para a direita, altera-se o sentido da força.

Optamos, novamente, por calcular o trecho horizontal separadamente dos ver-ticais. Chegamos, assim, aos seguintes resultados para as reações de apoio.

reações de apoio

!MA = 0

(–0,7 1,1) + (1,8 3,3) + (3,1 5,5) + (4,5 7,7) + (4,5 9,9) + (4,5 7,7) +

(5,1 12,1) + [5,8 (14,3 + 16,5 + 18,7 + 20,9)] – yB 24,2 = 0

yB = 28,86 kN

!V = 0

– 1 + yA + 0,7 – 1,8 – 3,1 – 4,5 – 4,5 – 4,5 – 5,1 – 5,8 – 5,8 – 5,8 – 5,8 – 5,5 –

3,3 + yB = 0

yA = 26,94 kN

Passamos o corte de ritter, mais uma vez, pelo meio da viga. Com isso, encontra-mos novos valores para as forças normais das barras 1, 2 e 3: 40 a 50% inferiores aos iniciais.

corte de ritter

!MD = 0

5,8 (2,2 + 4,4 + 6,6 + + 8,8) + 5,5 11 + 3,3 14,6 – yB 12,1 – N3 2,5 = 0

N3 = 45,17 kN tração

!H = 0

N1 + N2 sen " + N3 = 0

N1 + 29,27 0,4 + 45,17 = 0

N1 = –56,88 kN compressão

!V = 0

N2 cos " – [1,8 + 3,1 + (4,5 3) + 5,1 + (5,8 4) + 5,5 + 3,3] – yB = 0,

N2 = 29,27 kN tração

Normais com valores mais baixos acabaram contribuindo para que chegássemos a barras de dimensões menores.

tração

1. (N3 / A3) ! ("adm / s")

(45,17 / A3) ! (28 / 1,5)

A3 # 2,42 cm2 bitola de 25,4mm e espessura de 3mm

2. (N2 / A2) ! ("adm / s")

(29,27 / A2) ! (28 / 1,5)

A3 # 1,57 cm2 bitola de 31,75mm e espessura de 2mm

compressão

1. (N1 / A1) ! ("adm / s")

(56,88 / A1) ! (28 / 1,5)

A3 # 3,05 cm2 bitola de 57,15mm e espessura de 1,9mm

Não levando em conta nem os resultados para flambagem nem os dos trechos verticais, poderíamos redimensionar a estrutura usando barras de 57,15 mm de bitola e 3 mm de espessura. Ou seja, mais esbelta que aquela sujeita apenas ao seu peso próprio e à neve.

4 S E G U N D A M O D E L A G E M

Para esta segunda modelagem, optamos por manter as condições adotadas an-teriormente para toda a estrutura: barras de aço, de módulo de elasticidade igual a 210 GPa, com seção transversal, circular vazada, de 60,3 mm de diâmetro e espessura de 4,3 mm.

A razão disso foi que, para simular as envoltórias de carregamento sobre as funda-ções da estrutura, nos foi pedido pelo exercício que considerássemos as maiores reações de apoio e os maiores carregamentos, o que necessariamente nos obri-garia a utilizar as dimensões mais conservadoras.

Ao inserirmos valores diferenciados para os trechos verticais e horizontal, per-cebemos que as deformadas pouco diferiam daquelas encontradas para os modelos cujas as barras, em sua totalidade, possuíam as mesmas dimensões.

Outro motivo a reforçar nossa escolha estava no fato de que, desta maneira, ga-rantiríamos que a estrutura se comportaria da mesma forma independentemente do sentido do vento lateral.

vento lateralcom nós articulados e sem qpp e sem qn

A imagem acima nos mostra o pórtico-tipo sujeito apenas à atuação do vento lat-eral. Com isso, o trecho horizontal (viga treliçada) muda o sentido de sua deforma-ção: as barras do banzo superior de comprimidas passam a tracionadas, enquanto que as do inferior, antes sujeitas à tração, sofrem compressão e flambam.

Já o trecho vertical é fortemente deslocado, com acentuada deformação das bar-ras da base do pórtico.

Como veremos a seguir, o efeito do vento parece atenuar o carregamento pro-duzido pelo peso próprio da estrutura e pela sobrecarga de neve.

resultante: (qpp + qn) - vento lateralcom nós articulados

Conforme previsto, o trecho horizontal parece estabilizar-se, enquanto que o verti-cal sofre deslocamento e forte deformação de suas bases.

resultante: (qpp + qn) - vento lateralcom nós rígidos

Ao contrário do ocorrido quando adotamos nós articulados, no caso dos nós rígi-dos, todo o trecho vertical flamba, inclusive as diagonais, cujas normais são nu-las.

resultante: (qpp + qn) - vento lateralcom nós articulados e todas as diagonais

Com a colocação das diagonais da base do pórtico, conseguimos conter o deslo-camento lateral provocado pelo vento. Entretanto, voltamos a observar a deforma-ção vertical do trecho horizontal. Interessante notar que o trecho vertical da direita pouco se deforma e/ou desloca se comparado com o da esquerda.

resultante: (qpp + qn) - vento lateralcom nós rígidos e todas as diagonais

Desta vez, as diferenças entre o uso de nós rígidos e articulados parece mais sutil. Porém, segue valendo nossa observação anterior: os nós rígidos deixam as barras comprimidas mais suscetíveis à flambagem e, com isso, se deformam mais do que quando utilizamos nós articulados.

A conclusão que chegamos é que cada decisão de projeto implica certos desdo-bramentos, muitas vezes, inevitáveis. Portanto, no caso deste edifício, em par-ticular, talvez devêssemos sugerir a ausência das diagonais da base do pórtico e, possivelmente, a adoção de barras mais robustas no trecho vertical, com o intuito de minimizar a ação do vento lateral.

5E R R A T A

Ao final deste relatório, detectamos algumas possíveis falhas que, pela falta de tempo, fomos incapazes de contornar. Dentre estas, podemos citar:

1. o corte de ritter do trecho verticaldeveríamos tê-lo passado também por uma das barras horizontais

2. considerando o carregamento de ventonão fizemos a verificação de flambagem para o trecho horizontal nem redimen-sionamos as barras do trecho vertical

3. modelos no ftoolpoderíamos ter apresentado as simulações para os casos de barras com dimen-sões distintas (atendendo às exigências de cada trecho)

Problemas e dificuldades à parte, julgamos o exercício extremamente proveito-so, interessante e estimulante. Acreditamos que a disciplina PEF 2602 ganharia bastante com a exploração de mais situações como esta, próximas de nossa re-alidade de futuros arquitetos, e capazes de nos fazer experimentar e aplicar os conceitos estudados.