36
Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática LINGUAGEM BÁSICA DE CONJUNTO Conjuntos E qualquer agrupamento de elementos 1 - Relação de Pertinência Os símbolos s e « são usados para relacionar elemento e conjunto. 2 - Representação: 2.1 - Enumeração (Forma Tabular) : Ex.: Conjunto dos nos pares positivos menores que 10 é: A = {2,4,6,8} B ={0,1,2,3,4} C ={a,e,i,o,u} 2.2 - Propriedades : Ex.: A={x N* |x é par e x<9} B={x z| 0 x 4} C={x alfabeto latino |x é vogal} 2.3 - Diagrama de Venn : Ex.: 3 - Tipos de Conjuntos: 3.1 - Conjunto unitário: Todo conjunto formado por um único elemento. Ex.: A={5} B={x nosso sistema solar | x é estrela} 3.2 - Conjunto Vazio: É o conjunto que não possui nenhum elemento. Indica-se por ou { }. 3.3 - Conjunto finito: Ex.: A = {a, b, c, d, e} 3.4 - Conjunto infinito : Ex.: A = {X N | x é par} = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 4 - Subconjunto: Sejam A e B dois conjuntos, se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é subconjunto de B e indicamos por A B. Temos: -Contém - Está contido -Não está contido 5 - Igualdade: Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A. 6 - Conjunto das Partes: Chama-se "Conjunto das partes de um conjunto A" e indica-se por P (A) , o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Se um conjunto A possui n elementos, então P (A) possui 2 n elementos. Seja: A={a, b, c} , os subconjuntos de A são: A 1 = , A 3 = {b}, A 5 = {a, b}, A 7 ={b, c} A 2 = {a}, A 4 = {c}, A 6 = {a, c}, A 8 ={a,b,c} Ou seja, o Conjunto A tem 2 n subconjuntos, sendo n = 3, logo temos 2 3 = 8 subconjuntos. P ( A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} 7 - Complementar: Sejam A e B dois conjuntos tais que A B, chamamos de "Complementar de A em relação a B" e indicamos por , o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a B e não pertencem a A. 8 - Operações com conjuntos: = União = Intersecção (A - B) - Diferença de conjuntos a figura mostra dois conjuntos A e B. 1

Pré-vestibular 3.1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

LINGUAGEM BÁSICA DE CONJUNTOConjuntos

E qualquer agrupamento de elementos1 - Relação de PertinênciaOs símbolos s e « são usados para relacionar elemento e conjunto.2 - Representação:2.1 - Enumeração (Forma Tabular):Ex.: Conjunto dos nos pares positivos menores que 10 é: A = {2,4,6,8} B ={0,1,2,3,4} C ={a,e,i,o,u}2.2 - Propriedades:Ex.: A={x N* |x é par e x<9}B={x z| 0 x 4}C={x alfabeto latino |x é vogal}

2.3 - Diagrama de Venn: Ex.:

3 - Tipos de Conjuntos:3.1 - Conjunto unitário: Todo conjunto formado por um único elemento.

Ex.: A={5} B={x nosso sistema solar | x é estrela}

3.2 - Conjunto Vazio: É o conjunto que não

possui nenhum elemento. Indica-se por ou { }.

3.3 - Conjunto finito:Ex.: A = {a, b, c, d, e}

3.4 - Conjunto infinito:Ex.: A = {X N | x é par} = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

4 - Subconjunto:Sejam A e B dois conjuntos, se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é subconjunto de B e indicamos por A B. Temos: -Contém -Está contido

-Não está contido

5 - Igualdade:Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.

6 - Conjunto das Partes:Chama-se "Conjunto das partes de um conjunto A" e indica-se por P(A), o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Se um conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos.Seja: A={a, b, c} , os subconjuntos de A são:

A1 = , A3 = {b}, A5 = {a, b}, A7={b, c}

A2 = {a}, A4 = {c}, A6 = {a, c}, A8={a,b,c}

Ou seja, o Conjunto A tem 2n subconjuntos, sendo n = 3, logo temos 23 = 8 subconjuntos.P(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}7 - Complementar:Sejam A e B dois conjuntos tais que A B, chamamos de "Complementar de A em

relação a B" e indicamos por , o conjunto

cujos elementos são todos aqueles que pertencem a B e não pertencem a A.

8 - Operações com conjuntos:= União = Intersecção

(A - B) - Diferença de conjuntos

a figura mostra dois conjuntos A e B.

A B

A B = Conjunto de elementos de A ou BA B = {a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k}

A B = Conjunto de elementos de A e BA B = {e, f, g}

A - B = Conjunto de elementos de A e não de BA - B = {a, b, c, d} (“Retirar de A os elementos de B")

9 - Símbolos

-Existe | -Tal que-Se somente, se -Para qualquer

valor-Infinito -Deste que (implica

que)-Diferença > -Maior que

< -Menor que -Maior ou igual-Menor ou igual * -Asterisco-Mais ou menos -Somatório

-Conectivo lógico ou

-Conectivo lógico e

-Portanto

10 - Problemas envolvendo conjuntos: Para resolvê-los devemos representar os conjuntos por meio de diagramas e iniciar a resolução sempre pela intersecção de todos os conjuntos. n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)Ex.:

A = 12B = 10A B = 5

Exercícios

1

Page 2: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

1) Classificar em falsa (F) ou verdadeira (V) cada ama das seguintes afirmações:a) 0 { 0 }

b) { 5 } { , { 1 }, { 5 }, { 1,5 } }c) { x } { x, { x, y } }

d) = { }

2) São dados os conjuntos; A = {x /x é

primo} e B = {x / x < 5}. É correto afirmar que:a) A B tem dois elementosb) A B tem dez elementosc) B A Bd) B Ae) A B

3) (Fatec - SP) O conjunto A tem 20

elementos, A B tem 12 elementos e A B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é:a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52

4) A e B são dois conjuntos tais que 13 elementos pertencem a A e não pertencem a B; 13 elementos pertencem a B e não pertencem a A e 39 elementos pertencem a A ou B. O número de elementos que pertencem a A e B é:a) 0 b) 13 c) 39 d) 26 e) 23

5) Coloque V ou F e marque a letra que faz a associação correta. Dados os conjuntos A = {1,2,3,4} ; B={1, 5} e C={2,4, 5}:( ) I) 1 C( ) II) 2 B( ) III) 3 A( ) IV) 1 A, 1 B( ) V) 4 C, 4 B e 1 B

a) V,V,F,F,Vb) V,F,F,F,Vc) V,F,V,F,Fd) V,V,V,F,V

RESPOSTAS:1) a) V b)F c)F d)F

2) A B = { 2, 3 }, logo

A B tem dois elementos.

3)E 4)B 5)B

EXERCÍCIOS : CONJUNTOS 1) Por extensão o conjunto A = {x / x² - 9} equivale a:a) f b) {3} c) {-3} d) {-3,3}

2) Se A = {a}, B = {a,b}. C={c,d), D={a,b,c) e E = {b, c, d}, a afirmação correta é:a) B E b) B = A c)A D d) D = E

3) Num grupo de 60 jogadores, 25 chutam com o pé esquerdo, 17 com os dois pés. Quantos jogadores chutam com o pé direito?a) 35 b) 18 c) 17 d) 43

RESPOSTAS;1)D 2)C 3)A

CONJUNTOS NUMÉRICOSNúmeros naturais:N= {0,1, 2, 3...}.

Números inteiros:Z = { ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Números racionais:

Q = {x / x = com p Z, q Z*}

Observemos que Z* = Z - {0}; Z+ é o conjunto dos números inteiros não negativos e Z - o conjunto dos números inteiros não positivos. Esta notação é válida, também, para outros "conjuntos numéricos.

Note que podemos representar o conjunto dos números irracionais por R - Q

Exercícios1) (Fuvest - SP) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:

a) b) c) 8 d) 12,5 e)80

2) (Utbra-RS) Uma estrada está marcada em 5 partes iguais conforme a figura abaixo. Se o carro x está na posição 170,3 e o y na posição 231,8, a localização do carro Z é:a) 207,2 b) 36,9 c) 194,9 d)182,6 e) impossível determinar.

RESPOSTAS;1)E 2) A

FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA

Todo número racional (Conjunto ), resulta da divisão de dois números inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal.Convém lembrar que temos decimais exatos. Exemplo:

2

Page 3: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689.

Temos também decimais não exatos (dízima periódica). Exemplo: 2,5555... ; 45,2525...; 0,123123...

Portanto, em uma dízima periódica a parte decimal que repete, recebe o nome de período, a parte que não repete é chamada de anti-período, a parte não decimal é a parte inteira. Exemplo:

Observe a dízima periódica composta: 2,4555... 2 é a parte inteira, 4 é o anti-período e 5 é o período.

Observe a dízima periódica simples: 2,555... 2 é a parte inteira e 5 é o período.

Encontrando a fração geratriz de uma Dízima PeriódicaDízima periódica simples.Devemos adicionar a parte decimal à parte inteira. Deve-se lembrar que a parte decimal será transformada em uma fração cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número formado por tantos noves quantos são os algarismos do período.Exemplos:

0,222... = 0 + = = ;

1,444... = 1 + =

Dízima periódica compostaDevemos adicionar à parte inteira, uma fração cujo numerador é formado pelo anti-período, seguindo de um período, menos o anti-período, e cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos do anti-período. Exemplo:

Parte inteira = 0, Período = 7 (implica que temos um nove), Anti-período = 1 (implica em um 0).

0,1777... = 0 + = 0 + =

Operações com os números decimais. As operações elementares com números decimais obedecem a regras simples, conforme veremos a seguir.Adição e subtração de decimais.Colocamos vírgula debaixo de vírgula e efetuamos a operação normalmente. Exemplos: 31,48 + 2,137 33,617Multiplicação de decimaisEfetuamos normalmente a multiplicação e separamos, no produto, um número de casas decimais igual à soma do número de casas

decimais de cada um dos dois fatores. Exemplo: 2,3 x 0,138 0,138 => 3 casas decimaisX 2,3 => 1 casa decimal 0 4140 276 0,3174 => 4 casas decimais.Divisão de decimaisTransformamos o divisor em inteiro, multiplicando dividendo e divisor por uma potência de dez adequada, efetuamos a divisão normalmente e separamos, no quociente, um número de casas decimais igual ao número de casas decimais utilizadas no dividendo (incluindo os zeros que tenham sido acrescentados). Exemplos:

32,4 (x 1000) : 0,008 (x 1000) = 32400 : 8 = 4050

DIVISIBILIDADEDivisão Euclidiana

Sejam a e b números naturais com b 0. Então existe um único par de números naturais (q, r) tal que: a) a = b x q + r b) r < b Representamos a divisão por:

O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q o quociente e r é o resto. Se r'= 0, dizemos que a divisão é exata e teremos a = b * q. Nesse caso, diz-se também que a e múltiplo de b, ou a é divisível por b ou ainda b é divisor de a.Ex: Se 15 : 3 = 5, dizemos que:

15 é divisível por 315 é múltiplo de 3 3 é divisor de 15

Regras de DivisibilidadeRegras:a) Se as parcelas de uma soma são divisíveis por um número, a soma também será divisível por esse número.Ex.: 8, 4 e 6 são divisíveis por 2, logo 8 + 4 + 6 = 18 também é.

b) Se a + b = c e a é divisível por n, então o resto da divisão de b por n é igual ao resto da divisão da soma (a + b) por n.Ex.: 12 + 9 = 21 e 12 é divisível por 6. Observe que o resto da divisão de 9 por 6 (que é 3), coincide com o resto da divisão da soma (21) por 6.

3

Page 4: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

c) Em um produto, se um dos fatores for divisível por um número, o produto também será divisível por esse número.Ex.: No produto 3 x 8 x 5 = 120, o fator 8 é divisível por 4 Logo o produto também será.Obs.: De modo geral, se c é divisível por a e b, com a e b primos entre si, c é divisível por a x b.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE São regras, que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número é divisível por outro.

- DIVISIBILIDADE POR 2 Um n° é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8; isto é, quando for par.Ex.: a) 540 é divisível por 2, pois termina em zero. b) 231 não é divisível por 2, pois termina em 1.

- DIVISIBILIDADE POR 3 Um n° é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. Ex: a)351 é divisível por 3, pois 3+5+1 = 9 (divisível por 3). b)245 não é divisível por 3, pois 2+4+5=11 (não divisível por 3).

- DIVISIBILIDADE POR 4 Um n" é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por 4.Ex.: a) 100 é divisível por 4, pois termina em 00. b) 324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. c) 517 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 17 não é divisível por 4.

- DIVISIBILIDADE POR 5 Um n° é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.Ex.: a) 615 é divisível por 5, pois termina em 5. b) 210 é divisível por 5, pois termina em 0. c) 4213 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5.

- DIVISIBILIDADE POR 6 Um n° é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.Ex.: a) 612 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3. b) 214 não é divisível por 6, pois é divisível por 2, mas não é por 3.

- DIVISIBILIDADE POR 7

Um n° é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7.Ex.: a) 182 é divisível por 7, pois 18 – 2 x 2= 14(divisível por 7). b) 2240 é divisível por 7, pois 224 – 2 x 0 = 224, e 224 é divisível por 7, pois 22 – 2 x 4 = 14 (divisível por 7).

- DIVISIBILIDADE POR 8 Um n° é divisível por 8 quando os três últimos algarismos da direita formarem um no divisível por 8. Ex.: a) 612216 é divisível por 8, pois 216 é divisível por 8. b) 2542 não é divisível por 8, pois 542 não é divisível por 8.

- DIVISIBILIDADE POR 9 Um n° é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.Ex.: a) 4536 é divisível por 9, pois 4+5+3+6=18 (divisível por 9). b) 2154 não é divisível por 9, pois 2+1+5+4=12 (não é divisível por 9).

- DIVISIBILIDADE POR 10 Um n° é divisível por 10 quando termina em zero.

- DIVISIBILIDADE POR 11 Um n° é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordens ímpares menos a soma dos algarismos de ordens pares é divisível por 11.Ex.: a) 35838 é divisível por 11, pois (8+8+3)-(3+5) = 19-8=11 (divisível por 11) b) 12765 não é divisível por 11, pois (5+7+1)- (6+2)=13-8 =5 (não é divisível por 11)

- DIVISIBILIDADE POR 12 Um n° é divisível por 12 se for divisível por 4 e por 3 ao mesmo tempo.

- DIVISIBILIDADE POR 13 Um n° é divisível por 13 quando a soma das suas dezenas com o quádruplo do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 13.

- DIVISIBILIDADE POR 15 Um n° é divisível por 15 se for divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo.

Números Primos e Compostos• Um n° natural n é primo, se ele tiver apenas dois divisores (o número 1 e o próprio n).• Um n° natural n é composto, se n 0 e possuir mais de dois divisores.

4

Page 5: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

Os números primos formam a sucessão:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41...Obs.: - O n° 1 e 0 não são primo nem composto. - O n° 2 é o único par que é primo.

EXERCÍCIO BÁSICO1) Efetue:a) 12,1 + 0,0039 + 1,98 + 6 =b) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 =c) 8,13 - 5,035 =d) 14,685 - 11 =e) 1 - 0,34781 =f) 0,312 x 1,2 =g) 62,8 x 12,4=h) 47,005 x 10 =i) 100 x 0,38 = j) 0,18 : 0,002 =k) 3,27 : 0,3 = l) 0,24 : 10 =

2) Transformar em números decimais: .

a) b) c) d)

3) Transformar em frações: a) 1,2 b) 1,065 c) 48,013 d) 0,314

4) Efetue:

a) 5,2 + 0,3 x 11 b) 0,5222 x + 0,09

c)

5) Faça o arredondamento, em centésimos (2 casas decimais):a) 0,456 b) 7,8853 c) 0,64355 d) 0,085 e) 0,04567 f) 0,007

6) Seja o número 5.210.45a. O maior valor de a para que esse número seja divisível por 6 é:a) 1b) 4c) 7d) 9

7) Seja o número m= 488a9b, onde b é o algarismo das unidades e a, o algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, então a + b é igual a:a) 1b) 7c) 9d) 16

8) Se no número m498n, m é o algarismo da dezena de milhar e n o algarismo das unidades e m498n é divisível por 45, então m + n, vale:a) 6b) 7c) 8d) 9

RESPOSTAS:

l) a) 20,0839 e) 0,65219 i) 38 b) 462,791 f) 0,3744 j) 90 c) 3,095 g) 778,72 k) 10,9 d) 3,685 h) 470,05 l) 0,024

2) a) 0.25 b) 3,5 c) 5,2 d) 0,003

3) a) b) c) d)

4) a) 8,5 b) 1,0899574 c) 9,87579

5) a) 0,46 b) 7,89 c) 0,64 d) 0,09e) 0,05 f) 0,016) b 7) b 8) a

PROBLEMAS: FRAÇÕES

1) Se do percurso de minha casa ao colégio

equivalem a 3 km, qual é, em km, o percurso total?

2) Um vasilhame de 32 litros de capacidade

contém leite somente até os seus . Tirando-se

do leite contido, quantos litros restam?

3) Ao comprar um aparelho de som, dei de entrada a quarta parte do valor, e o restante, em duas prestações de R$ 450,00 cada. Qual era o preço do aparelho?

4) João ficou de sua vida solteiro, casado,

e ainda viveu mais 20 anos viúvo. Com que idade faleceu?

5) Numa caixa, das frutas estavam verdes.

Se havia 20 frutas verdes, quantas havia na caixa?

6) Os dos de 600,00 são iguais a:

a) 200,00 b) 100,00 c) 150,00 d) 250,00

7) O valor da expressão é:

a) b) c) d)

8) Calcule:

a)

b)

5

Page 6: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA

Todo número composto é igual a um produto de números primos.

Ex.: Decompor em fatores primos os números 72 e 1800.

Logo: 1800

= 2³ x 3² x 5²

Logo: 72 = 2³ x 3³

como achar os divisores de um númeroRegra:a) Decomponha o número em seus fatores primos.b) Coloque à direita e acima do primeiro fator primo o número 1.c) Multiplique os fatores primos obtidos por todos os números à direita e acima deles {valores repetidos não precisam ser colocados).

Ex.: Ache os divisores do número 72.

QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERORegra:a) Decomponha o número dado em fatores primos.b) Acrescente uma unidade aos expoentes.c) Multiplique as somas obtidas em b.Ex.: Determine quantos divisores tem o número 60.

60 = 22. 31. 51

Logo o n° de divisores de 60 é n = (2 + 1) * (1 + l) * (1 + l) = 12

Exercícios

1) O número 2ª x 3 x 6 x 20 tem 48 divisores. O valor de a é:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

2) Dados os números naturais a e b, onde a = 2m x 5 e b = 2 x 3 x 5m , sabe-se que a x b possui 18 divisores. A soma de a + b vale:a) 24b) 32c) 35d) 38e) 40

3) O número 2² x 3k x 5 x 6² x 10³ tem 240 divisores. O valor de k é:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

Respostas1) e - transformando em fatores primos2a x 3 x 2 x 3 x 2² x 5=> 2a+3 x 3² x 5 => (a+3+1)(2+1)(1+1)=48 =>(a+4)6=48=> a+4 =48/6=>a=8-4=>a=42)e3)c - transformando em fatores primos2²x3kx5x2²x3²x2³x5³ => 22+2+3x3k+2x51+3 => 27x3k+2x54 => (7+1)(k+2+1)(4+1) = 240 => 40(k+3) = 240 => k+3 = 240/40 => k+3 = 6 => k =3

MÁXIMO DIVISOR COMUMSe a e b são dois n° naturais, tal que um deles pelo menos é diferente de zero, chama-se maior divisor comum de a e b, e representa-se por m.d.c. (a,b), ao maior n° que divide simultaneamente a e b.Ex.: Se D(n) representa o conjunto dos divisores do n° n, teremos:D(8) = {1, 2, 4, 8}D(12) = {l, 2, 3, 4, 6, 12}Daí temos que : D(8) D(l2)= {1, 2, 4}, e então m.d.c.(8,12) = 4

É importante observar que:a) Se um dos nos é divisível pelo outro, o menor deles será o m.d.c.Ex.: 36 é divisível por 12; então mdc (36, 12) = 12.b) Pode acontecer do mdc (a,b)=l. Nesse caso dizemos que a e b são primos entre si.Ex.: mdc (4, 9) = 1, logo 4 e 9 são primos entre si.c) Os divisores comuns a dois nos são divisores do seu mdc.

RESPOSTAS:1)4 km 2)8 litros 3) 1200 4)75 5)306) A 7) A 8)a) ou b)

6

Page 7: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

Ex.: O mdc (54, 72)=18. Logo os divisores comuns a 54 e 72, são os divisores de 18 ou seja 1,2,3,6,9,18.

CÁLCULO DO M.D.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

• Fatore os nos.• Forme o produto com os fatores comuns aos nos, tomados com o menor expoente

Ex.: Calcule o m.d.c. (72,90).Solução:Fatorando os nos, teremos: 72 = 23. 32

90 = 2. 32. 5Logo: m.d.c. (72,90) = 2. 32 = 18 Cálculo do M.D.C. PELO ALGORITMO de Euclides

Ex.: Calcular o m.d.c. (228, 180).

Resp.: m.d.c. (228, 180) = 12

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUMSejam a e b dois nos naturais não nulos. Chama-se mínimo múltiplo comum de a e b e representa-se por mmc (a, b), ao menor dos múltiplos, não nulos, comuns aos nos a e b.

Ex.: Se M(n) representa o conjunto dos múltiplos do n° natural n, então:

M(4)= {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,64,...}M(6)= {0,6,12,18,24,30,36,42,...}

M(4) M(6)={0,12,24,36,...}Portanto m.m.c.(a,b) = 12 Observe que:a) Se um dos nM for divisível pelo outro, o maior deles será o m.m.c.Ex.: 18 é divisível por 6. Logo m.m.c.(18,6) = 18b) Se dois nos são primos entre si, o m.m.c. entre eles é igual ao seu produto.Ex.: 4 e 9 são primos entre si; então m.m.c. (4,9) = 36c) m.m.c. (ap, bp) = p. m.m.c.(a, b)d) m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b) = a x b Ex.: m.d.c.(4,6)= 2 e m.m.c. (4,6) = 12 Observe que m.d.c. (4,6) x m.m.c. (4,6) = 4 x 6e) Os múltiplos comuns a dois nos a e b, são múltiplos do seus m.m.c.Ex.: Como vimos m.m.c. (4,6) = 12. Logo os múltiplos comuns a 4 e 6 são múltiplos de 12 ou 12, 24, 36, 48, (múltiplos positivos)

CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Fatore os n°*.

Forme o produto com os fatores comuns e não comuns aos nos, tomados com o maior expoente.

Ex.: Calcule o m.m.c.(12, 15)Solução:

Fatorando os nos, obtemos:12 = 2² x 315 = 3 x 5

Logo, aplicando a regra, achamos: m.m.c.(12, 15) = 22 x 3 x 5 = 60

M.D.C. e M.M.C.1. MDC e MMC: Métodos de Obtenção Decomposição Isolada Exemplo: A = 360 e B = 84

A = 23 x 32 x 5 B = 22 x 3 x 7MDC (A, B) = 22 x 3 = 12 (produtos dos fatores comuns com os menores expoentes).MMC (A, B) = 23 x 32 x 5 x 7 = 2 520 (produtos de todos os fatores com os maiores expoentes).

Decomposição SimultâneaExemplo: A = 360 e B = 84* Fator comum

MDC (A, B) = 22 x 3 (produtos dos divisores comuns). MMC (A, B) = 23 x 32 x 5 x 7 (produtos dos divisores comuns).

2. MDC e MMC: Propriedades• MDC (A, B) x MMC (A, B) = A x B• MDC (k x A, k x B) = k x MDC (A, B)• MMC (k x A, k x B) = k x MMC (A, B)• Divisores comuns de A e B são os divisores do MDC (A, B).• Múltiplos comuns de A e B são os múltiplos do MMC (A, B).• MDC (A, B) = 1, A e B são primos entre si.• A e B são consecutivos, então A e B são primos entre si.• A e B são primos entre si, então MMC (A, B) = A x B.

7

Page 8: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

Exercícios1) Duas composições de metrô partem simultaneamente de um mesmo terminal fazendo itinerários diferentes. Uma torna a partir do terminal a cada 80 minutos; a outra a cada hora e meia. Determine o tempo percorrido entre duas partidas simultâneas consecutivas do terminal.

2) Sejam A e B o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. Então o produto AB vale

a) 24 x 3 x 53

b) 25 x 32 x 52 c) 25 x 33 x 53

d) 26 x 33 x 52 e) 26 x 34 x 52

3) (UFMG) De uma praça partem, às 6 horas da manhã, dois ônibus A e B. Sabe-se que o ônibus A volta ao ponto de partida a cada 50 minutos, e o ônibus B, a cada 45 minutos. O primeiro horário, após as 6 horas, em que os ônibus partirão juntos é:a ) 7 horas e 35 minutosb ) 11 horas e 35 minutosc) 11 horas e 50 minutosd) 13 horas e 30 minutos e) 13 horas e 50 minutos

4) Uma chapa de aço de 444 metros por 259 metros será cortada em pedaços quadrados, cujos lados têm por medida um número inteiro de metros. O menor número de quadrados obtidos é:a) 56 b) 19 c) 37 d) 84 e) 108

Respostas:1) 12 horas 2) C 3) D 4)D

PRODUTOS NOTÁVEIS1. IntroduçãoOs produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.

A. Quadrado da Soma de Dois Termos(a+b)² = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

(a + b)² = a² + 2ab + b2

B. Quadrado da Diferença de Dois Termos(a – b)² = (a – b)(a - b) = a² - 2ab + b²

(a – b)² = a² - 2ab + b²

C. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

(a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2

(a + b)(a - b) = a2 - b2

D. Cubo da Soma de Dois Termos(a + b)³ = (a + b)(a + b²) = (a + b)(a2 +2ab + b2)

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b +2lab2 + b3

(a + b)³ = a3 + 2a2b + ab2 + a2b +2lab2 + b3

E. Cubo da Diferença de Dois Termos(a – b)³ = (a - b)( a² - 2ab + b²) = a³ - 2a²b +

ab² - a²b + 2ab2 - b3

(a – b)³ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab2 - b3

Exercícios ResolvidosDesenvolver os produtos notáveis abaixo:1) (3x + 2)2 = (3x)² + 2(3x)(2) + (2)² = 9x² + 12x + 4

2) =

=

3) (3x - 2y)² = (3x)² - 2(3x)(2y) + (2y)² = 9x2-12xy + 4y²

4) =

Observe que, quando desenvolvemos o quadrado da soma ou da diferença de um binômio, produzimos um trinômio chamado trinômio quadrado perfeito.

5) (3xy + 5)(3xy - 5)= (3xy)² - (5)² = 9x²y² - 25

8

Page 9: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

6)

45 - 4 = 41

7) (x + 2)³ = (x)³ + 3(x)² (2) + 3(x)(2)² + (2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

8) (2x – 2)³= (2x)³ - 3(2x)²(2) + 3(2x)(2)² - (2)³ = 8x3 – 24x2 + 24x – 8

FATORAÇÃOIntroduçãoFatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que:

a) seja equivalente à expressão dada;b) esteja na forma de produto. Na maioria

dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável.Há diversas técnicas de fatoração que estudaremos em seguida, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis.

A. Fator ComumDevemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou ele misto; em seguida colocamos em evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica.Observe os exemplos abaixo.

1) ax + ay = a(x + y)2) 12x²y + 4xy³ =4xy(3x + y²)

B. AgrupamentoDevemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência. Observe:

ax + ay + bx +by = a ( x + y) + b ( x + y) = (a + b)( x + y)

C. Diferença de QuadradosUtilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos:

1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio;

2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;

3°) Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos.

Por exemplo, a expressão a2 - b2 seria fatorada da seguinte forma:

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

D. Trinômio Quadrado PerfeitoUma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios.Por exemplo, o trinômio x4 + 4xz + 4é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2 ) 2 . São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes:

a2 + 2ab + b² =(a + b)²e

a2 - 2ab + b2 = (a – b)²

Exercícios ResolvidosFatore as expressões abaixo.1) 2ax² + x² + 6ay + 3y =

x²(2a + 1) + 3y(2a +1)=(x² + 3y) (2a +1)

2) a² - 2ac + 3abc – 6bc²=a(a – 2c) + 3bc(a – 2c)=(a + 3bc) (a – 2c)

3) 4x² - 16y8 =(2x + 4y4) (2x – 4y4)

4) x³ - 3x² - 4x + 12=x² (x – 3) – 4 (x – 3)=(x² - 4) (x – 3) =(x +2) (x – 2) (x – 3)

5) x² + 2xy + y² =(x + y) (x + y) =(x + y)²

6) -a6 – 6a³b – 9b² =-(a6 + 6a³b + 9b²)=-(a³ + 3b)²

E. Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + cSupondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio, ax2 + bx + c, (a 0), dizemos que:

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara:

2. Soma e Diferença de CubosSe efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a2 - ab + b2, obtemos o seguinte desenvolvimento:(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2

+ b3 =>(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

9

Page 10: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

Analogamente, se calcularmos o produto de a - b por a2 + ab + b2 , obtemos a3 - b3.O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado. Assim, dizemos que:

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Exercícios ResolvidosFatorar as expressões seguintes:1) 2x² - 10x + 12=

2(x² - 5x +6)=2(x – 3)(x – 2)

2) x² - 4x – 21=(x + 3)(x – 7)

3) x³ +8 =(x + 2)(x² - 2x 4)

4) a³ - 8b³ =(a - 2b)(a² +2ab + 4b²)

POTENCIAÇÃO1) DefiniçãoPara n inteiro

a) a e n > l => an = a x a x a x ..... x a n vezesb) a e n = 1 => an = ac) a e n = 0 => an = 1

d) a e n < 0 => an =

2) PropriedadesPara a, b , m, n

P1)

P2)

P3)

P4) , b 0

P5)

P6)

P7)

Exercícios

1) Calcular o valor de A = 40 + (0,25) -2 - (0,5) -2

2) Sendo x = (22)3; y = e z = ,calcule o produto .3) Simplifique as expressões:

a) b)

Respostas

1) A= 13 2) 223 3) a)27 b)

RADICIAÇ AO Sejam a e b números reais não-negativos e n inteiro e positivo.

n índice; n expoentea radicando; b base b raiz; a potência

Exercícios1) Efetue as operações indicadas reduzindo a um único radical e simplificando quando possível:

a) b)

2) Calcule:

a) b)

3) Calcule as potências:

a) b)

4) Calcule o valor de:

RESPOSTAS: l)a)12 b) 2)a)9 b)3)a)6 b)4 4)7

Racionalização de Denominadores1º Caso

2º Caso

Exercícios

1)Racionalizar o denominador:

a) b) c) d)

2) Calcule:

RESPOSTAS:

1) a) b) c) d)

2)

10

Page 11: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

a) UNIDADES DE MEDIDAS PADRÃO O grama, o litro e o metro. Metro quadrado e metro cúbico.

b) MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOS: Quilo => mil vezes a unidade. Hecto => Cem vezes a unidade. Deca => Dez vezes a unidade.SUBMÚLTIPLOS: Deci => Décimo parte da unidade. Centi => Centésimo parte da unidade. Mili => Milésima parte da unidade.

UTILIZAÇÃO DAS UNIDADES DE MEDIDA:

CAPACIDADE => É o volume interno de um recipiente. Unidade de medida é o litro. ÁREA => Metros quadrados. VOLUME => Metro cúbico. COMPRIMENTO => Metro. MASSA (PESO) => Grama.

OUTRAS MEDIDAS 1 are = 10mx10m = 100m 1 ha = 1 hectare = 100 are = 100m x 100m = 10.000m² 1 ca = 1 centiare = 0,01 are = 1m²

MEDIDA DE VOLUME (LITRO) 1 Litro = 1dm³= 1000 cm³ 1 cm³ = 1 ml Volume = cm³ / 1000 => Resultado em litro.

DENSIDADE:D = m(g) / V(cm³)

DENSIDADE DEMOGRÁFICA:D = População/ Área

VELOCIDADE MÉDIA:V = Distância total / Tempo Gasto

ESCALAS:E = Tamanho do objeto / Tamanho Real

Exemplo:Transformar 4,8 kg em gramas. kg hag dag g dg cg mg

4, 8 A vírgula ficará na casa da unidade de medida inicial (Kg).kg hag dag g dg cg mg

4 8 0 0,4,8kg = 4800g (A vírgula desloca do kg para g).

RAZÃO E PROPORÇÃORazão: é o quociente de duas grandezas.Proporção: é a igualdade entre duas razões.

a x d = b x c

(propriedade fundamental)Propriedades:

ou

Exercícios1) Na minha classe há 40 alunos, dos quais 25 são meninas. Qual é a razão do número de meninas para o de alunos da classe?

2)Qual é a razão igual a , cujo antecedente

igual a 6?

3)A razão entre 10 minutos e 1 hora é:

4) Divida 40 em partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.

5) Reparta 36 em partes inversamente proporcionais aos números 3 e 6.

6) Um prêmio, no valor de $ 4.650,00, deve ser dividido entre três funcionários de uma empresa, na razão direta de seus tempos de trabalho na mesma. Se um trabalha há 4 anos, outro há 5 anos e o terceiro há 6 anos e meio, a maior das partes a ser distribuída será no valor de :a) $ 2.000,00 b) $ 1.950,00c) $ 1.750,00 d) $ 1.600,00

11

Page 12: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.

Números Diretamente Proporcionais

Duas sequências de números diferentes de zero são diretamente proporcionais quando a razão de cada número da primeira sequência pelo correspondente da segunda sequência for sempre a mesma.(a;b;c) diretamente proporcional a (d;e;f). Assim:

= = = = fator de

proporcionalidade.

Exemplo: Dividir o número 160 em partes diretamente proporcionais aos números 5, 2 e 3.

Números Inversamente Proporcionais

Duas sequências de números diferentes de zero são inversamente proporcionais quando o produto de cada número da primeira sequência pelo correspondente da segunda sequência for sempre o mesmo.

(a; b; c) inversamente proporcional a (d; e; f).

= = a.d = b.e = c.f = Fator de

proporcionalidade.

Exemplo:

a) Dividir o número 45 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 6.b) Vamos representar os números procurados por x, y e z. Como as sucessões x, y, z e 3, 4, 6 são inversamente proporcionais, temos:

GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.

Grandezas Diretamente Proporcionais:

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se (ou diminuindo-se) uma delas um certo número de vezes, a outra aumenta (ou diminui) o mesmo número de vezes. Consequentemente, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão de dois valores quaisquer de uma delas é igual à razão de dois valores correspondentes da outra. Exemplo:

Pedro compra livros que custam R$50,00 cada. Quando compra dois livros, ele pagará?Grandezas Inversamente Proporcionais.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se (ou diminuindo-se) uma delas certo número de vezes, a outra diminui (ou aumenta) o mesmo número de vezes.Consequentemente, se duas grandezas são inversamente proporcionais, a razão de dois valores quaisquer de uma delas é igual ao inverso da razão dos dois valores correspondentes da outra. Exemplo:

A distância entre Barra do Piraí e Rio de Janeiro é de 100km. Um veículo pode percorrer essa distância com diferentes velocidades.

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

Regra de Três SimplesRegra de Três Simples Direta

As duas grandezas são diretamente proporcionais. Exemplo: Uma pessoa ganha R$1620,00 por 18 dias de trabalho. Quanto ganhará por 7 dias do mesmo trabalho diário?

Regra de Três Simples Inversa.

As duas grandezas são inversamente proporcionais.Exemplo: Uma pessoa dando 36 passos por minuto percorre em 30 minutos uma certa distância. Que tempo essa pessoa levará para percorrer essa mesma distância se 45 passos por minuto?

Regra de Três Composta

Os problemas envolvendo mais de duas grandezas proporcionais são resolvidos por meio de uma regra prática chamada regra de três composta.Exemplos:a) Se 45 pedreiros executam uma obra em 16 dias, trabalhando 7 horas por dia, quantos pedreiros serão precisos para executar a mesma obra em 12 dias, trabalhando 10 horas por dia?b) Cinco máquinas funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produzem 9000 parafusos. Em quantos dias 6 dessas mesmas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão 4800 parafusos?

12

Page 13: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

Exercícios1) Se 18 cadernos custam 900,00, quanto pagarei por 26 desses cadernos?

2) Se 3 pedreiros levam 90 dias para construir uma casa, quanto tempo levariam 5 pedreiros, trabalhando tanto quanto os primeiros, para fazer uma casa Igual?

3) Nossa perua percorreu 240 km em 3 horas. Quanto tempo levará para percorrer 400 km, empregando a mesma velocidade média?

4) Se um vestido é feito com 2,S0m de um certo tecido, quantos metros desse tecido são necessários para se fazer meia dúzia de vestidos iguais?

5) O revestimento de um muro de 16m de comprimento e 2,5m de altura consome 84kg de reboco preparado. Quantos quilos de reboco serão necessários para revestir um muro de 30m de comprimento e 1,8m de altura?

6) Se 35 operários fazem uma casa em 24 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma casa, em 14 dias, trabalhando 10 horas por dia?

7) 15 teares, trabalhando 6 horas por dia, durante 20 dias, produzem 600m de pano. Quantos teares são necessários para fazer 1.200m do mesmo pano, em 30 dias, com 8 horas de trabalho por dia?

Respostas1) R$1.300,00

2) 54 dias3) 5 horas

4) 16,80m

5) 113,4kg6) 48 operários

7) 15 teares

FUNÇÃO DO 1º GRAUDefinição: Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Exemplos:

f(x) = 6x - 3, onde a = 6 e b = - 3f(x) = 5x, onde a = 5 e b = 0 GráficoO gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.Exemplo:Construir o gráfico da função y = 3x - 1:a) Para x = 0, temosy = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

x y0 -1

0

Zero e Equação do 1º Grau   Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que  f(x) = 0.Sendo:f(x) = 0 =>ax + b = 0 =>

Exemplo, zero da função f(x) = x - 4:f(x) = 0 =>x - 4 = 0 =>x = 4

Crescimento e decrescimento Sendo a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:x aumenta

x -3 -2 -1 0 1 2 3y -

10-7 -4 -1 2 5 8

y aumenta

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:

A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

Estudo do sinalEstudar o sinal de qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é

13

13

-1

y

x

13

-1

y

x

Page 14: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.Uma função afim y = f(x) = ax + b.

1º) a > 0 (a função é crescente)

y> 0 => ax + b > 0 =>x >

y < 0 =>ax + b < 0=>x <

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

FUNÇÃO DO 2º GRAUA função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: 

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Coordenadas do vértice A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por:

Exemplo:Determine as coordenada do vértice da parábola y = x² - 4x + 3:

Temos: a = 1, b = - 4 e c = 3

A coordenada x será igual a 2,

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y = x² - 4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)² - 4 x (2) + 3 = 4 – 8 + 3 = - 1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula: y = f(x) = 0Exemplo, na função y = x² - 4x + 3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.Vejamos o gráfico:

Quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.Exemplo, determine a raiz da função y = x² + 5x +6:Fazendo y = f(x) = 0, temos x² + 5x + 6 = 0

Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábola

a>0 a<0

Exemplos:

y = f(x) = x² - 4

14

Page 15: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

a = 1 >0

y = f(x) = -x² + 4

a = -1 < 0

Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero. Exemplo: y = f(x) = x² + 2x + 1 => x² + 2x + 1 = 0

x = x` = -b/2a = -1As coordenadas do vértice serão V = (-1,0). Gráfico:

Quando o discriminante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).Exemplo: y = f(x) = x² - 4x + 3 => x² - 4x + 3 = 0

x = 1, x`= 3. Gráfico:

Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.Exemplo: y = f(x) = x² - x + 2 => x² - x + 2 = 0

Gráfico:

Resumindo:

a>0 a>0 a>0

a<0 a<0 a<0

INEQUAÇÕESInequações de primeiro grau

 Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , ,

,Com a e b reais (a ≠ 0). Exemplos:

ESTUDO DO SINALO estudo do sinal da função do 2.º grau é feito determinando-se os seus zeros (caso existam) e analisando o esboço do gráfico.

15

Page 16: Pré-vestibular 3.1

y

x0

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

Exemplo: Estude a variação de sinal da função 3x2

- 4x + 1. Zeros da função: 1/3 e 1. A parábola corta o eixo x nos pontos de abscissas 1/3 e 1. Como a = 3 > 0, sua concavidade está voltada para cima.

Examinando a figura, temos: y > 0, para x > 1/3 ou x > 1; y = 0, para x = 1/3 ou x = 1; y < 0, para 1/3 < x < 1.

INEQUAÇÕES DO 2.º GRAUResolver a inequação (-x2 + 3x +4).(x – 2) < 0É uma inequação produto em que um dos fatores é um trinômio de 2.º grau e o outro é um binômio de 1.º grau.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) (Assembleia leg. SP – Ag. Téc. 2010). O gráfico a seguir representa a função f, de domínio real, dada pela lei f(x) = ax² + bx + c.

Sabendo que a, b e c são constantes, é correto afirmar que:a) a < 0, b < 0 e c < 0b) a < 0, b < 0 e c > 0c) a < 0, b > 0 e c < 0d) a < 0, b > 0 e c > 0e) a > 0, b < 0 e c < 0

2) Determine o valor de m de modo que o trinômio (m-2) x² - (m – 1) x + m – 1 seja sempre positivo:a) m = 7/3b) m = 1c) m < 7/3d) m < 1e) m >2

3) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = -x² + 30x – 5, onde x é a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível?a) 15b) 200c) 880d) 220

16

Page 17: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

e) 230

4) A

temperatura, em grau centigrado, no interior de uma câmara, é dada por f(t) = t² - 8t + 10, onde t é medido em minutos. Qual é a temperatura mínima da câmara?a) 12b) 4c) 8d) - 8e) – 4

5) O proprietário de uma lanchonete estima que se ele tem x clientes num mês, as despesas serão dadas por C(x) = 1,55x + 2.800 reais e seu faturamento será de aproximadamente R(x) = 3x reais. O lucro de lanchonete no mês em que o número x de clientes for 4.000 será?a) 3000b) 2000c) 9000d) 12000e) 1000

6) Uma função polinomial f do 1º grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é:a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20

7) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1,-2) e B(4,2). Podemos então afirmar que:a) m + n = -2b) m – n = -2c) m = ¾d) n = 5/2e) m.n = -1

8) Seja f: IR é IR uma função definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos pontos A(0,4) e B(3,0), então passa pelo ponto:a) (8, -2)b) (8,3)c) (8,-3)d) (8,2)e) (8,1)

9) O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax + b. a lei dessa função é:a) f(x) = 2x – 3

b) f(x) = -2x + 3

c) f(x) =

d) f(x) = x + 2

e) f(x) =

Respostas:1)a 2)a 3)d 4)a 5)a6)e 7)a 8)c 9)c

Exercícios - Unimontes1. PAES – UNIMONTES – 2010 Uma função f: é dita par quando f (-x) = f (x), para todo x do seu domínio. Das equações a seguir, a única que representa uma função par éa) f (x) = 2(x +1).

b) f (x) = x2 - 4x.c) f (x) = x2 - 4.d) f (x) = x2 + 4x + 2.

2. PAES – UNIMONTES – 2010 Considere os esboços de gráfico abaixo e as sentenças (a): y = 2 x, (b): y = x + 5, (c): y = 1 e (d): x = 1. A associação correta de cada sentença com seu gráfico éa) a - II ; b - IV, c - I; d - III.b) a - II ; b - IV, c - III; d - I.c) a - IV ; b - II, c - I; d - III.d) a - II ; b - I, c - III; d - IV.

3. PAES – UNIMONTES – 2010 Em relação

à função f: , dada por f (x) = ax2 + bx

+ c, com a, b,c , cujo esboço do gráfico é dado abaixo, todas as afirmações abaixo são verdadeiras, EXCETO

a) O discriminante A é maior do que zero.b) Os números a, b e c são todos não nulos.c) Os números a e b são negativos, mas c = 0.d) A função f admite um valor máximo.

4. (UNIMONTES 2011) Considere apenas funções de IR em IR. Uma função f é par se f

17

3

-2

Page 18: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

(-x) = f (x), para todo elemento x de seu domínio. Uma função f é ímpar se f (-x) = -f (x), para todo elemento x de seu domínio. Com base nessa definição, todas as afirmações abaixo são verdadeiras, EXCETOa) A função f, dada por f(x) = x, é uma função ímpar.b) A função f dada por f(x) = x2 - 3, é uma função par.c) A função f, dada por f(x) = 2x + 1, não é uma função par nem ímpar.d) A função f, dada por f(x) = 2x, é uma função par.

5. (UNIMONTES 2011) Considere as funções

de f : e g: , dadas por f (x) = a

+1, , e g(x) = 2x + 5. O valor de a para que (g o f)(x) = a é a) 6.b) - 6.c) - 7.d) 3

6. (UNIMONTES – 2012)Um mergulhador quer resgatar a caixa preta de um avião que caiu em um rio. Como havia um pouco de correnteza, a trajetória descrita pelo mergulhador foi como na figura abaixo. Sabendo-se que a distância, na horizontal, do bote de resgate ao local onde está a caixa é de 6m e que a trajetória do mergulhador é descrita pela função dada por f(x) =

, a profundidade que o

mergulhador terá de alcançar será:

a) 9m.b) 12m.c) 10m.d) 11 m.

Respostas:1)c 2)a 3)c 4)d 5)a6)c

PORCENTAGEMDefiniçãoPorcentagem de um número a sobre um número

b, b 0, é a razão em que = , que

representamos x %.

Cálculo de uma Porcentagemp% de V = p% - V

Exercícios1) Escrever sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens:a) 23% b) 130%

2) (Fuvest-SP) (10%)2 a) 100% b) 20% c) 5% d) 1% e) 0,1%

3) Quatro é quantos por cento de cinco?

4) Quanto é 23% de 200 000?

5) Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem

ao tal programa?

6) Quanto é 20% de 70%?

7) (Vunesp-SP) O gráfico publicado pela revista Veja, de 28/7/99, mostra como são divididos os 188 bilhões de reais do orçamento da União entre os setores de Saúde, Educação, Previdência e outros.

Se os 46 bilhões de reais gastos com a Previdência fossem totalmente repassados aos demais setores de modo que 50% fossem destinados à saúde, 40% à educação e os 10% aos outros, determine o aumento que o setor de Saúde teria:a) em reais;b) em porcentagem, em relação à sua dotação inicial, aproximadamente.

8) (Unicamp-SP) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam pelos oceanos. Suponha que a parte submersa

de um iceberg corresponda a do seu volume

18

Page 19: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

total e que o volume da parte não submersa é de 135.000m³.a) Calcule o volume total do iceberg.b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que: 2% de seu volume total é constituído de "impurezas", como matéria orgânica, ar e minerais.

Respostas1) a) 0,23 b) 1,3

2) D 3) 80% 4) 46.000

5) 37.520 pessoas

6) 14%

7) a) 23 bilhões b) 121%

8) a)1.215.000m³ b)1.190.700m³

TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Relações trigonométricas importantes:

Sen (a + b) = sen a. cos b + senb .cos aSen (a – b) = sena. Cos b – sen b. cos aCos (a + b) = Cos a. cos b – sen a. sen bCos (a – b) = Cosa. Cos b + sen a. sem b

Sen 2a = 2 sen a. cos aCos 2a = Cos² a – sen² a

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) (FCC) Sendo f(x) = , o valor de f é

a)

b)

c)

d) 2

e)

2) (FCC) Se tg x + cotg x = 7, o valor numérico de E = 21 sen 2x é?a) 6b) 12c) 2/7d) 5e) 2

3) (Cesgranrio) Se senx – cosx = ½ o valor de senx.cosx é?a) -3/16 b) -3/8 c) 3/8 d) ¾e) -2/3

4) Um veículo percorre uma estrada reta com inclinação de 15º. Se o ponto de chegada situa-se

150 ( ) metros mais alto que o ponto de

partida, a distância, em metros, percorrida pelo veículo é:

a) 600

b) 500c) 700

d) 500

e) 600

GEOMETRIA PLANA

Segmento Áureo:

Elementos de um polígono:

Si = (n-2). 180ºSe = 360º

ai =

ae =

Polígono regular

ai = ae =

19

A BP

x a-x

a

A

E

D

B

C

Page 20: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

Diagonais: D =

Regulares Pares: D =

TRIÂNGULOS1) Acutângulo: três ângulos agudos < 90º =>a²< b² + c²

Obtusângulo: um ângulo obtuso 90º < ß < 180º =>a²> b² + c²

2) Retângulo: um ângulo reto (90º) =>a² = b² + c²

*A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.TRIÂNGULO EQUILÁTERO:

Soma dos ângulos internos é igual a 180º e cada ângulo mede 60º.

ALTURA:l² = h² +

=> l² = h² + => h=

ÁREA=

A = =>

TEOREMA DE PITÁGORAS: Aplicado apenas aos triângulos retângulos. BISSETRIZ: Reta que divide o ângulo em duas

partes.

INCENTRO = Encontro das bissetrizes. Corresponde ao centro de um círculo inscrito no triângulo.

RELAÇÃO DE PROPORCIONALIDADE: Bissetriz interna.

MEDIANA: É o segmento da reta que parte do vértice do triângulo, e segue até o ponto que divide o lado oposto do triângulo em duas partes iguais.

BARICENTRO = Encontro das medianas. (G) = Baricentro. A parte maior é o dobro da menor.

MEDIATRIZ: É uma reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio deste lado. Esse ponto é chamado de circuncentro.

CIRCUNCENTRO = Encontro das mediatrizes.

ALTURA: Reta que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto. Encontro das alturas é um ortocentro.

CIRCUNFERÊNCIA:1) Teorema das tangentes: PA = PBOP = Bissetriz.

20

A

I

B CA

CB S

G

x

2x

y

A

CB

2y

m

A

CB

S

h

A

CB

60°60°

60°

O

B

A

P

B

A

V α

B

A

O α

A

B

r

S

r

Page 21: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

2) Todo ângulo inscrito é igual à metade do arco que ele contém.3) Todos os ângulos que contêm o mesmo arco são congruentes.4) Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência e que tem o diâmetro como lado é um triângulo retângulo.5) Ângulo de segmento: é todo ângulo formado por uma corda e uma reta que tangência a circunferência em um dos extremos dessa corda.6) Ângulo do vértice interior:7) Ângulo de vértice exterior

POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA.

1) Quadrado Inscrito:

Lado :

Apótema:

2) Quadriláteros: possui todos os vértices pertencentes à circunferência. 3) Quadrado Circunscrito: quatro lados tangentes.

4) Hexágono regular inscrito:Lado: L6 = r

Apótema:

5) Triângulo equilátero inscrito:

Lado:

Apótema:

ÁREASTriangulos

Triangulo equilátero:

Triangulo inscrito:

Hexagono:

Circulo:

ou

Segmento de circulo:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) (Comp. Metro. SP. Téc. Adm. 2009). A figura seguinte apresenta: O triângulo ABC, em que o ângulo interno do vértice A mede 75º e cada um dos ângulos internos de vértices B e C foram divididos em três ângulos de medidas iguais a u e v graus respectivamente; Os triângulos BDC e BEC, obtidos a partir das trissecções feitas e nos quais as medidas, em graus, dos ângulos dos vértices D e E são alfa e beta, respectivamente.

Com base nessas informações, a soma de alfa mais beta é igual a:a) 225º b) 235º c) 245º d) 255º e) 265º

2) (FCC – DNOCS/2010). No triângulo ABC representado na figura abaixo, os segmentos e

dividem os respectivos ângulos internos dos

vértices B e C em partes iguais. Se o ângulo do

vértice A mede 80º, a medida, , do ângulo assinalado é igual a:

a) 110º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º

3) Calcule o ângulo x na figura abaixo, sabendo que BH e BI são, respectivamente, a altura e a bissetriz relativas ao vértice B do triângulo ABC.a) 6ºb) 11ºc) 12º

21

r

c

a b

l ll

r

b

ac

b

ac

αh

R

O lα

A

C

B

α

R

ll

l

ll

l

75º

E

α

β

D

A

CB

vvv u

u

u

Page 22: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

d) 13º

4) O triângulo ABC da figura abaixo tem perímetro igual a 35 cm. O segmento AP é a bissetriz de  e as medidas dos segmentos AB e PB são, respectivamente, 12 cm e 9 cm. Calcule a medida do segmento AC.a) 8b) 7c) 3d) 11

5) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A + X e A + Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A + X é igual a 45º, segue-se que:

a) Y = -2xb) Y = c) Y = x

d) Y = x e) Y = 2x

6) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a:a) 2y (x + 1)

b) Y (2 + 2 )

c) X (2 + )

d) 2 (x + y)e) X² + Y²

7) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede:

a) 45º b) 60º c) 90º d) 120º e) 150º

8) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede 76º. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale:

a) 50º b) 52º c) 56º d) 64º e) 128º

9) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede

cm e outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por

esses dois lados mede 45º, então a área do triângulo é igual a:

a)

b)

c)

d)e) 1

10) Na figura abaixo, o ângulo ACB é congruente ao ângulo BPQ, AB = 16cm, BC = 12cm, AC = 16cm e BP = 6cm. Calcule as medidas dos segmentos PQ e QBa) 4 e 8b) 2 e 3c) 5 e 8d) 8 e 5

11) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do segundo triângulo será igual a:a) 6m²b) 12m²c) 24m²d) 48m²e) 60m²

GEOMETRIA ESPACIALPOLIEDROS DE PLATÃO:

- Quando possui faces com mesmo número de lados.- Possui o mesmo número de arestas por vértice.a) PRISMA: são sólidos em que o volume depende do formato da base.

AL = n. Af (número de faces x área lateral).At = Al + 2. Ab

V = Abx h

a) PARALELEPÍPEDO: è a designação dada a um prisma cujas faces são paralelogramos.

Exemplo: Uma piscina possui o formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: 10 metros de comprimento, 6 metros de largura e 1,8 metros de profundidade. Determine o volume e a capacidade da piscina.

V = a * b * cV = 10 * 6 * 1,8

22

Page 23: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

V = 108 m³ ou 108 000 litros

Atotal= 2 (ab + ac + bc)Volume: a*b*c

b) CUBO: é um paralelepípedo retângulo que possui as 12 arestas congruentes e possui as 6 faces quadradas iguais.

V = a³At = 6a²

c) CILINDRO: O cilindro é um sólido geométrico classificado como corpo redondo por conter uma de suas faces arredondadas. V = (área da base) × (altura)

Como a base do cilindro é uma circunferência de raio r, temos que:

(área da base) = r²V = π∙r2∙h

Sendo

r → o raio da base.h → a altura do cilindro.

Exemplo: Calcular o volume de um cilindro circular com raio da base medindo 8 cm e altura igual a 20 cm.

V = 3,14 * 8² * 20V = 3,14 * 64 * 20V = 4 019,20 cm³

f) CONE REVOLUÇÃO:Rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

g) ESFERA:A esfera é um corpo circular maciço, formado pala rotação de um semicírculo.

Exemplo: Determine o volume da esfera que possui raio igual a 3 metros.

A = 4 r²

h) PIRÂMIDE: As pirâmides podem possuir em sua base um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, um hexágono entre outros.

Determine o volume de uma pirâmide quadrangular medindo 6 metros de comprimento e altura igual a 20 metros.

a) TRONCO DA PIRÂMIDE: Quando um plano intercepta uma pirâmide a uma determinada altura, paralelamente à sua base, obtém-se uma nova forma geométrica, denominada tronco de pirâmide. O tronco de pirâmide apresenta duas bases (base

23

Page 24: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

maior e base menor) e sua superfície lateral é composta de trapézios.

O volume do tronco de pirâmide é obtido fazendo a diferença entre o volume da pirâmide original e o volume da pequena pirâmide formada após a intersecção do plano.

Volume do tronco de pirâmide:

Onde:h → é a altura do tronco de pirâmide.AB → é a área da base maior.Ab → é a área da base menor.Exemplo 1. Calcule o volume do tronco de pirâmide abaixo.

Teremos:

AB = 102 = 100 cm²Ab = 42 = 16 cm²h=6cm

Portanto, o volume do tronco da pirâmide é:

b) CONE: A base de um cone possui o formato circular.

Para determinar o volume de um cone aplicamos a fórmula:

Exemplo: Um reservatório tem o formato de um cone circular reto invertido, com raio da base medindo 5 metros e altura igual a 10 metros. Determine o volume do reservatório.

c) TRONCO DO CONE: Quando um plano intercepta um cone a uma determinada altura, paralelamente à sua base, obtém-se uma nova forma geométrica, denominada tronco de cone.

h → é a altura do tronco de cone.R → é o raio da base maior.r → é o raio da base menor.

Exemplo 1. Calcule o volume de um tronco de cone de 15 cm de altura sabendo que o raio da base menor mede 10 cm e o raio da base maior mede 20 cm.Assim, teremos:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) (Trib. Reg. Trab. Téc. Jud. 2009). Num dado momento, observou-se que o volume de água no interior da caixa d’ água de um edifício ocupava 1/3 de sua capacidade e que, se lá fossem colocados mais 0,24 m³ de água, o volume de água na caixa passaria a ocupar os 2/5 de sua capacidade. Considerando que não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da observação, o número de litros de água que seriam necessários para enchê-las era:a) 1800b) 2400c) 2500d) 3200e) 3600.

2) Na figura ao lado, temos R = 12 cm e = 60º. O valor de r é:6cm

a) b) 4 cm

c)

24

R

α

r

Page 25: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

d) 2 cm

3) A base média de um trapézio isósceles, cujos ângulos agudos são de 45º, vale 23 cm, e a base maior é 15/8 da base menor. Nessas condições, a altura do trapézio é:a) 14cmb) 7cmc) 11,5cm

d)e) 6cm

4) A figura a seguir mostra dois cones C e C1, em que as medidas estão nela expressas. Sabe-se que o volume

total é V1 = e que o volume de C1 equivale a 75% do volume de C. Sendo assim, pode-se afirmar que:a) r1². h1 = 77/24

b) r1². h1 = 99/14

c) r1². h1 = 7/66

d) r1². h1 = 24/77

e) r1². h1 = 72/24

MATEMÁTICA FINANCEIRA

JUROS SIMPLES: CIT/100

MONTANTE: É o capital acrescido dos seus juros.

M = c.(1 + i.n)

DESCONTO SIMPLES: Abatimento. Aplicação financeira é resgatada antes de seu vencimento.

VALOR NOMINAL: Valor no dia do seu vencimento.

DESCONTO COMERCIAL: Desconto bancário. Calculado sobre o valor nominal de um título.Dc = N x i x n(Dc= desc. Comercial; N = valor nominal; i = taxa de juros; n = período considerado).

VALOR ATUAL: É o valor pago na data do seu resgate. Vc = N. DcEx. Um título de crédito no valor de R$2000,00 com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de 130% a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título.

JUROS COMPOSTOS: Os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. A taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados até o período anterior.M = C ( 1 + i)n

Ex: Um investidor quer aplicar a quantia de R$800,00 por 3 meses, a uma taxa de 8% a.m, para retirar no final desse período. Quanto irá retirar?

EXERCÍCOSPROPOSTOS

1) Você fez um empréstimo de R$5.000,00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano a ser pago em dois anos. O valor a ser pago é próximo de:a) R$6.200,00b) R$6.270,00c) R$4.030,00d)R$4.070,00

2) Qual o valor presente de uma aplicação em juros simples de cinco anos, taxa de juro de 14% ao ano e valor de resgate, único, igual a R$100.000,00?a) R$58.823,00b) R$51.936,00c) R$52.854,00d) R$59.325,00

3) Uma empresa toma empréstimo de R$150.000,00 à taxa de 1,8% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita seis meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no final deste período.a) R$166.946,73b) R$312.000,00c) R$151.620,00d) R$166.200,00

4) Um agente financeiro aplica R$85.000,00 por cinco meses à taxa de 0,9% ao mês. Qual foi o juro obtido nesta aplicação, considerando um regime de capitalização simples?a) R$3.825,00b) R$3.894,47c) R$38.250,00d) R$45.783,04

5) Um investidor faz empréstimo de R$140.000,00 à taxa de 1,95% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita cinco meses após a contratação do empréstimo, qual o valor a ser pago no final deste período?a) R$153.650,00b) R$140.546,00c) R$152.635,00d) R$126.350,00

6) Se aplicarmos a quantia de R$50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos como remuneração desse capital a quantia de R$4.350,00. Qual é a taxa de juro simples ao mês dessa operação?a) 2,11% ao mêsb) 2,18% ao mêsc) 8,7% ao mêsd) 1,09% ao mês

7) Um agente financeiro aplicou R$85.000,00 em um período de 173 dias. Foi totalizada uma quantia de R$15.500,00 de juro. Qual é a taxa de juro

25

c

r

h

c1

h1

r1

Page 26: Pré-vestibular 3.1

Otoni Caribé Neves da Cunha Matemática

mensal desta aplicação, considerando o regime de capitalização simples? Admita que um mês tenha 30 dias corridos.a) 2,95% ao mêsb) 3,16% ao mêsc) 25,71% ao mêsd) 19,48% ao mês

8) Em quantos meses um capital quintuplica na capitalização simples à taxa de 7,5% ao mês?a) 66,67 mesesb) 4,65 mesesc) 80 mesesd) 53,33 meses

9) Uma empresa toma empréstimo de R$80.000,00 à taxa de 14,5% ao ano no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita quatro meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no final deste período.a) R$80.966,67b) R$126.400,00c) R$87.733,33d) R$83.865,60

10) Você aplicou R$5.000,00 à taxa de juro simples de 13% ao ano. Quantos anos aproximadamente serão necessários para triplicar o valor?a) 31 anosb) 25 anosc) 15 anosd) 22 anos

11) Uma empresa tomou um empréstimo de dois anos, taxa de juro compostos de 12% ao ano. Sabendo que o valor devolvido após dois anos foi R$500.000,00, então, o empréstimo inicial é mais próximo do valor de:a) R$398.597,00b) R$403.226,00c) R$446.429,00d) R$423.550,00

12) Um agente financeiro emprestou R$25.000,00 a serem pagos após sete meses à taxa de 3,5% ao mês. Qual é o juro recebido nesta operação, considerando o regime de capitalização composto?a) R$6.125,00b) R$875,00c) R$6.806,98d)R$31.806,98

13) Um agente de mercado aplicou em título de renda fixa. O valor de resgate é R$95.000,00, sendo que tal resgate será feito daqui a nove meses. Sabe-se que o rendimento deste título é 1,86% ao mês. Qual é o valor aplicado?a) R$92.694,09b) R$80.481,19c) R$93.695,96d) R$76.151,69

14) A qual taxa de juro (ao mês) um capital quintuplica de valor no regime de capitalização composto no final de 12 meses?a) 60% ao mêsb) 1,12% ao mêsc) 41,67% ao mêsd) 14,35% ao mês

15) Um agente de mercado toma financiamento de R$15.000,00 sem entrada para pagamento em uma única prestação daqui a três meses por R$16.250,00. Qual é a taxa anual de juro desta operação, considerando o regime de capitalização composto?a) 36% ao anob) 2,7% ao anoc) 33,33% ao anod) 2,78% ao ano

26