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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM
PREDIÇÃO DE PROPRIEDADES MECÂNICAS DE
COMPÓSITOS UNIDIRECIONAIS ATRAVÉS DE REDES
NEURAIS ARTIFICIAIS
Giorgio André Brito Oliveira
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Mecânica como
parte dos requisitos para obtenção do grau em
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Orientador: Prof. Dr. Raimundo Carlos Silverio Freire Junior
Natal
Fevereiro/2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
PREDIÇÃO DE PROPRIEDADES MECÂNICAS DE COMPÓSITOS
UNIDIRECIONAIS ATRAVÉS DE REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
Giorgio André Brito Oliveira
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________
Prof. Dr. Raimundo Carlos Silverio Freire Júnior – PPGEM/UFRN
______________________________________________
Prof. Dr. Wallace Moreira Bessa – PPGEM/UFRN
______________________________________________
Prof. Dr. João Carlos Arantes Costa Júnior – DEM/UFRN
______________________________________________
Prof. Dr. Adriano Silva Belisio – ESTÁCIO
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Oliveira, Giorgio André Brito.
Predição de propriedades mecânicas de compósitos
unidirecionais através de redes neurais artificiais / Giorgio
André Brito Oliveira. - 2018. 106 f.: il.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande
do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica. Natal, RN, 2018.
Orientador: Prof. Dr. Raimundo Carlos Silverio Freire Júnior.
1. Redes neurais artificiais - Dissertação. 2. Propriedades
mecânicas - Dissertação. 3. Compósitos unidirecionais -
Dissertação. I. Freire Júnior, Raimundo Carlos Silverio. II.
Título.
RN/UF/BCZM CDU 004.7
Elaborado por FERNANDA DE MEDEIROS FERREIRA AQUINO - CRB-316
“A oportunidade de elevação moral
que a vida te permite, deve ser
aproveitada com sabedoria e
imediatamente”
Joanna de Ângelis
Dedico este trabalho primeiramente a minha
família, em seguida a todos aqueles que de
alguma maneira contribuíram para a
realização de mais essa etapa da minha vida
profissional.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, ao conhecimento da Doutrina Espírita, pois com ela fui capaz de
compreender melhor o que é Deus, e dessa maneira sentir sua presença constante, em todas as
situações, evolvendo-nos sempre para bem, para o belo, para a evolução. Isso contribuiu para
me dar forças, e seguir em frente.
Ao professor Dr. Raimundo Carlos Silverio Freire Junior, por sua amizade e
companheirismo, sempre me auxiliando nos momentos em que precisei, corrigindo e
exemplificando da melhor maneira possível.
Aos meus pais, Augusta de Cassia Barbosa de Brito e Elidon Oliveira Silva, pela
educação e o exemplo em todos os momentos da minha vida.
A minha irmã Lorenna Sávilla Brito Oliveira, pela amizade e paciência em me apoiar
nos diversos momentos da minha jornada.
Aos meus avós, tios e tias, primos e primas de todos os graus, que reconhecem meu
esforço por ter chegado até aqui.
Ao meu colega Gabriel Fernandes de Souza que sempre esteve presente, me auxiliando
e inspirando, isso contribuiu para a realização de diversas etapas da pesquisa.
Aos meus amigos em geral, que me proporcionaram a descontração necessária, sempre
me passando lições valiosas nos mais variados âmbitos, isso, sem dúvidas, contribuiu bastante
para realização desse trabalho.
RESUMO
Os materiais compósitos são um novo destaque no avanço tecnológico, impondo novas
pesquisas relacionadas ao assunto devido a sua crescente demanda nas mais diversas áreas.
Dentre essas pesquisas surgem as que tem como objetivo facilitar as aplicações desses
materiais, através de uma rápida apuração das suas propriedades mecânicas sem a necessidade
de procedimentos experimentais, sendo essa fator primacial na preparação de projetos. Assim
surgiram os modelos micromecânicos, que ganharam destaque devido a sua praticidade, como
exemplo das equações da Regra das Misturas e das equações de Halpin-Tsai. Recentemente,
novos modelos computacionais vem combinando modelos micromecânicos e aperfeiçoando-os
para se ter a máxima acurácia, como por exemplo as redes neurais artificiais (RNAs). Com base
nisso, este trabalho visa a criação de arquiteturas de RNAs capazes de modelar o módulo de
cisalhamento (G12) e a tensão última de tração longitudinal (Xt) de compósitos unidirecionais.
Com as RNAs treinadas e testadas, essas vão servir como ferramentas computacionais,
semelhante a funções, em que fornecendo as entradas teremos uma saída desejada. Para isso,
fez-se necessário uma coleta de dados da literatura, que foram divididos em um conjunto de
treino e um conjunto de teste, para realização da validação cruzada. Se desenvolveram sete tipos
de arquiteturas diferentes, três para o G12 e quatro para o Xt, na qual essas possuem entre duas,
três e quatro entradas. Dentre esses modelos três deles são considerados modelos mistos, que
combina valores da saída da RNA com os valores obtidos vindos de modelos micromecânicos,
como o modelo de Halpin-Tsai. Após o treinamento das RNAs, foi realizada uma análise
comparativa dos valores vindos da RNA e dos valores experimentais, e ainda análises
quantitativas e qualitativas com base no modelo de comparação (modelo de Halpin-Tsai e
modelo da Regra das Misturas), apresentando maiores valores de coeficiente de correlação e
menores valores de erro quadrático médio.
Palavras Chave: RNAs, Propriedades Mecânicas, Compósitos Unidirecionais.
ABSTRACT
The composite materials are a new highlight in the technological advancement, consequently
leading to the development of new researches due to its growing demand in the most diverse
areas. Among these researches, arise those that have the objective to facilitate the application
of these materials, through a fast estimation of its mechanical properties, without the need for
experimental procedures, with this being the main factor in the projects preparation. Thus the
micromechanical models appeared, which gained importance due to its practicality, such as the
Mix Rule and the Halpin-Tsai equations. Recently, new computational models are combining
micromechanical models and perfecting them to obtain maximum accuracy, as for instance in
the Artifical Neural Networks application. Therefore, this work aims to create an Artificial
Neural Network (ANN) architecture capable of modeling the shear modulus and ultimate
longitudinal stress of unidirectional composites. When the ANN´s are trained and tested, they
will serve as computational tools, similar to functions, where an input is supplied to obtain a
desired output. To achieve this goal, it was necessary a collection of data in literature, which
were divided in a training group and a testing group, with the cross validation between them
being performed. Seven different types of architectures were developed, three for the G12 and
four for the Xt, each of these with two, three and four inputs. Among these models, three of
them are considered mixed models, which combines values from the output of the ANN with
values obtained from the micromechanical models, such as the Halpin-Tsai. After the ANN
training, a comparative analysis was performed between the values from the ANN and the
experimental values, with quantitative and qualitative analysis being performed with the
Halpin-Tsai model as a base for comparison, presenting higher values for the correlation
coefficient and smaller values for the root mean square error.
Keywords: RNAs, Mechanical Properties, Unidirectional Composites.
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 3.1 – Papiro feito de fibras de plantas, aproximadamente 1800 anos. .......................... 21
Figura 3.2 – Exemplo de compósito de múltiplas camadas. .................................................... 22
Figura 3.3 – A resistência direcional dos materiais, indicada pela distância radial da origem para
vários ângulos. .......................................................................................................................... 23
Figura 3.4 – Nave Space Ship Two, feita com material compósito. ........................................ 25
Figura 3.5 – Lâmina unidirecional com as direções principais, representadas pelos eixos 1, 2 e
3. ............................................................................................................................................... 26
Figura 3.6 – Esquema do objeto de estudo da micromecânica e da macromecânica. .............. 32
Figura 3.7 – Modelo de primeira ordem de uma lâmina unidirecional. ................................... 33
Figura 3.8 – Aproximação de Halpin-Tsai para G12. ................................................................ 36
Figura 3.9 – Modelo de um neurônio. ...................................................................................... 40
Figura 3.10 – Função Sigmoide. ............................................................................................... 41
Figura 3.11 – Rede Perceptron de múltiplas camadas. ............................................................. 43
Figura 3.12 – Diagrama esquemático demonstrando o processo de aprendizado de uma rede
neural, tal que (a) é o método de treinamento da RNA e (b) é o modelo obtido pelo treinamento
da RNA. .................................................................................................................................... 45
Figura 3.13 – Rede Perceptron de T camadas. ......................................................................... 46
Figura 4.1 – Arquitetura da RNA de duas entradas – G12. ....................................................... 59
Figura 4.2 – Fluxograma do treinamento da RNA de duas entradas – G12. ............................. 60
Figura 4.3 – Arquitetura da rede de três entradas – G12. .......................................................... 61
Figura 4.4 – Fluxograma de treinamento da RNA de três entradas – G12. ............................... 61
Figura 4.5 – Fluxograma da RNA mista – G12. ........................................................................ 62
Figura 4.6 – Fluxograma do treinamento da RNA mista – G12. ............................................... 63
Figura 4.7 – Arquitetura da RNA de três entradas – Xt. ........................................................... 64
Figura 4.8 – Fluxograma do treinamento da RNA de três entradas – Xt. ................................. 65
Figura 4.9 – Arquitetura da RNA de quatro entradas – Xt. ....................................................... 66
Figura 4.10 – Fluxograma do treinamento da RNA de quatro entradas – Xt. .......................... 67
Figura 4.11 – Fluxograma da RNA mista de três entradas – Xt. .............................................. 68
Figura 4.12 – Fluxograma da RNA de três entradas – Xt. ........................................................ 68
Figura 4.13 – Fluxograma da RNA mista de quatro entradas – Xt. .......................................... 69
Figura 4.14 – Fluxograma da RNA mista de quatro entradas – Xt. .......................................... 69
Figura 5.1 – Gráfico comparativo do modelo de Halpin-Tsai. ................................................. 71
Figura 5.2 – Curvas obtidas pelo modelo de Halpin-Tsai, frente aos valores experimentais. . 72
Figura 5.3 – Erro médio quadrático para a RNA de duas entradas. ......................................... 73
Figura 5.4 – Gráfico comparativo do modelo da RNA de duas entradas. ................................ 74
Figura 5.5 – Curvas obtidas pela RNA de duas entradas, frente aos valores experimentais. ... 75
Figura 5.6: Erro médio quadrático para a RNA de três entradas .............................................. 76
Figura 5.7 – Gráfico comparativo do modelo da RNA de três entradas. ................................. 77
Figura 5.8 – Curvas obtidas pela RNA de três entradas, frente aos valores experimentais ..... 78
Figura 5.9 – Erro médio quadrático para a RNA mista. ........................................................... 79
Figura 5.10 – Gráfico comparativo do modelo da RNA mista. ................................................ 80
Figura 5.11 – Curvas obtidas pela RNA mista, frente aos valores experimentais. .................. 81
Figura 5.12 – Erro médio quadrático para cada modelo analisado – G12. ................................ 82
Figura 5.13 – Gráfico comparativo do modelo teórico vindo da Regra das Misturas. ............. 84
Figura 5.14 – Curvas obtidas pelo modelo teórico, frente aos valores experimentais. ............ 85
Figura 5.15 – Erro médio quadrático para a RNA de três entradas – Xt. ................................. 86
Figura 5.16 – Gráfico comparativo do modelo de RNA de três entradas – Xt. ........................ 87
Figura 5.17 – Curvas obtidas pela RNA de três entradas, frente aos valores experimentais. .. 88
Figura 5.18 – Erro médio quadrático para a RNA de quatro entradas - Xt.. ............................. 89
Figura 5.19 – Gráfico comparativo do modelo de RNA de quatro entradas – Xt. .................... 89
Figura 5.20 – Curvas obtidas pela RNA de quatro entradas, frente aos valores experimentais.
.................................................................................................................................................. 90
Figura 5.21 – Erro médio quadrático para a RNA Mista de três entradas - Xt.. ....................... 91
Figura 5.22 – Gráfico comparativo do modelo de RNA mista de três entradas – Xt. ............... 92
Figura 5.23 – Curvas obtidas pela RNA mista de três entradas frente aos valores experimentais.
.................................................................................................................................................. 93
Figura 5.24 – Erro médio quadrático para a RNA de quatro entradas - Xt.. ............................. 94
Figura 5.25 – Gráfico comparativo do modelo de RNA mista de quatro entradas – Xt. .......... 94
Figura 5.26 – Curvas obtidas pela RNA mista de quatro entradas, frente aos valores
experimentais. ........................................................................................................................... 95
Figura 5.27 – Erro médio quadrático para cada modelo analisado – XT. .................................. 96
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 4.1 – Valores coletados da literatura do módulo de cisalhamento longitudinal, para fibra
e matriz. .................................................................................................................................... 54
Tabela 4.2 – Módulo de cisalhamento longitudinal dos compósitos unidirecionais. ............... 55
Tabela 4.3 – Valores coletados da literatura do módulo de elasticidade para fibra e matriz. .. 57
Tabela 4.4 – Tensão última de fibra e tensão última longitudinal dos compósitos unidirecionais.
.................................................................................................................................................. 57
Tabela 5.1 – Comparação dos modelos das RNAs com o modelo de Halpin-Tsai. ................. 82
Tabela 5.2 – Comparação dos modelos das RNAs com o modelo de Halpin-Tsai. ................. 96
LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS
RNA Rede neural artificial
RNAs Redes neurais artificiais
G12 Módulo de cisalhamento longitudinal
G23 Módulo de cisalhamento transversal
Gm Módulo de cisalhamento da matriz
Gf Módulo de cisalhamento da fibra
EMQ Erro médio quadrático
Vf Fração volumétrica de fibra
Vm Fração volumétrica da matriz
Vv Fração volumétrica de vazios
f Volume de fibra
m Volume da matriz
v Volume de vazios
f Densidade da fibra
m Densidade da matriz
E1 Módulo de elasticidade longitudinal
E2 Módulo de elasticidade transversal
Ef Módulo de elasticidade da fibra
Em Módulo de elasticidade da matriz
v12 Módulo de Poisson maior
v21 Módulo de Poisson menor
Deformação cisalhante
Tensão de cisalhamento
,ult f Tensão última da fibra
tX Resistência a ruptura em tração longitudinal
,ult m Tensão última da matriz
tY Resistência a ruptura transversal à tração
Parâmetro geométrico da equação de Halpin-Tsai
r Coeficiente de correlação
Gf max Módulo de cisalhamento máximo das fibras
Gm max Módulo de cisalhamento máximo das matrizes
,f norG Módulo de cisalhamento da fibra normalizado
,m norG Módulo de cisalhamento da matriz normalizado
12maxG Módulo de cisalhamento máximo do compósito
12,norG Módulo de cisalhamento do compósito normalizado
G12,R Módulo de cisalhamento dos dados experimentais
G12,RNA Módulo de cisalhamento obtido pela RNA
G12,HT Módulo de cisalhamento obtido pelas equações de Halpin-Tsai
SUMÁRIO
1 Introdução ................................................................................................................ 17
2 Objetivos ................................................................................................................. 19
3 Revisão Bibliográfica .............................................................................................. 20
3.1 Introdução ......................................................................................................... 20
3.2 Materiais Compósitos ....................................................................................... 20
3.2.1 Características e Classificações ................................................................. 22
3.2.2 Principais Aplicações ................................................................................ 24
3.2.3 Laminados Compósitos Unidirecionais..................................................... 25
3.2.3.1 Constantes de Engenharia .................................................................. 27
3.2.3.2 Análise do Cisalhamento em Compósitos .......................................... 28
3.2.3.3 Análise da Tensão Última Longitudinal em Compósitos ................... 29
3.2.4 Frações de Massa e Volume de uma Lâmina ............................................ 30
3.2.5 Micromecânica das Lâminas Unidirecionais ............................................ 31
3.2.5.1 Regra das Misturas ............................................................................. 33
3.2.5.2 Modelo de Halpin-Tsai ....................................................................... 35
3.2.5.3 Modelo de Spencer ............................................................................. 36
3.2.5.4 Outros Modelos da Literatura............................................................. 37
3.3 Redes Neurais Artificiais.................................................................................. 38
3.3.1 Neurônio das RNAs................................................................................... 40
3.3.2 Arquitetura das RNAs ............................................................................... 42
3.3.3 Algoritmos de Treinamento....................................................................... 44
3.3.3.1 O algoritmo Backpropagation ............................................................ 45
3.3.4 Aplicações na Engenharia ......................................................................... 49
4 Modelagem Matemática .......................................................................................... 52
4.1 Dados Obtidos na Literatura............................................................................. 53
4.1.1 Dados – Módulo de Cisalhamento Longitudinal (G12) ............................. 53
4.1.2 Dados – Tensão Última Longitudinal (Xt) ................................................. 56
4.2 Descrição dos Modelos .................................................................................... 58
4.2.1 Modelos – Módulo de Cisalhamento Longitudinal (G12) .......................... 58
4.2.1.1 Modelo de Duas Entradas................................................................... 58
4.2.1.2 Modelo de Três Entradas .................................................................... 60
4.2.1.3 Modelo Misto ..................................................................................... 62
4.2.2 Modelos – Tensão Última Longitudinal (Xt) ............................................. 63
4.2.2.1 Modelo de Três Entradas .................................................................... 63
4.2.2.2 Modelo de Quatro Entradas ................................................................ 65
4.2.2.3 Modelo Misto de três entradas ........................................................... 67
4.2.2.4 Modelo Misto de quatro entradas ....................................................... 68
5 Resultados e Discussões .......................................................................................... 70
5.1 Módulo de Cisalhamento Longitudinal (G12) ................................................... 70
5.1.1 Modelo de Halpin-Tsai .............................................................................. 70
5.1.2 RNA de duas entradas ............................................................................... 72
5.1.3 RNA de três entradas ................................................................................. 75
5.1.4 RNA mista ................................................................................................. 78
5.1.5 Análise Comparativa – G12........................................................................ 81
5.2 Tensão Última Longitudinal (Xt) ...................................................................... 82
5.2.1 Modelo da Regra das Misturas .................................................................. 83
5.2.2 RNA de três entradas ................................................................................. 85
5.2.3 RNA de quatro entradas ............................................................................ 88
5.2.4 RNA Mista de três entradas....................................................................... 90
5.2.5 RNA Mista de quatro entradas .................................................................. 93
5.2.6 Análise Comparativa ................................................................................. 95
6 ConclusõES ............................................................................................................. 97
7 Referências .............................................................................................................. 99
17
1 INTRODUÇÃO
Novos estudos sempre surgem com o objetivo de suprir demandas tecnológicas.
Baseado nesse princípio, observa-se no campo da engenharia mecânica a necessidade do
aperfeiçoamento de materiais com propriedades bastantes específicas, sendo, com essas
capazes de atender a estas novas exigências em termos de aplicação industrial. Conquanto, os
compósitos unidirecionais se apresentam como uma classe de materiais que conseguem atender
esses objetivos, e que vem sendo maciçamente utilizado nas indústrias, por satisfazer as
necessidades citadas.
Esses materiais possuem muitas propriedades mecânicas, mais complexas de serem
mensuradas e algumas delas possuem um custo alto para serem obtidas experimentalmente.
Todavia, a apuração dessas propriedades mecânicas é imprescindível na análise de falhas, e
também para os projetos de componentes estruturais.
Com isso, diversos modelos matemáticos foram propostos para descrever o
comportamento mecânico desses materiais com o objetivo de diminuir a quantidade de ensaios
realizados, predizer seus resultados, e, assim, diminuir os custos de projeto. Nesse raciocínio,
os modelos matemáticos que analisam o comportamento mecânico dos compósitos
unidirecionais, a partir de seus elementos constituintes, são chamados de modelos
micromecânicos. Ou seja, busca-se, por meio de fórmulas estabelecidas, as propriedades do
compósito a partir de propriedades individuais dos seus constituintes e das frações volumétricas
de cada um desses elementos.
Existem diversos modelos micromecânicos na literatura, o mais simples é chamado de
regra das misturas. Um dos modelos mais utilizados atualmente é chamado de modelo de
Halpin-Tsai. Recentemente novos métodos estão sendo implementados para desenvolver esses
modelos e deixá-los mais eficientes, dentre esses métodos temos a implementação das redes
neurais artificiais (RNA).
As redes neurais artificiais compreendem-se como uma nova ferramenta computacional
que vem se instalando em todas as áreas da engenharia, inclusive na mecânica. Seu princípio
de funcionamento é baseado no comportamento do cérebro humano, tal que, por meio de uma
modelagem matemática se permite um “aprendizado” computacional assentado em um
conjunto de dados pré-estabelecidos, adquirindo assim conhecimento por meio da experiência
em treinamentos computacionais. Nessas RNAs, nós simples chamados neurônios ou
processadores são interligados, formando uma imensa rede de nós, daí o nome redes neurais.
18
Entre as suas diversas aplicações, as RNAs se saem muito bem como um aproximador de
funções universal e já começaram e ser aplicadas na área dos materiais compósitos.
Portanto esse trabalho visa construir modelos de RNAs, baseados na micromecânica,
para calcular algumas propriedades mecânicas (G12, Xt) dos materiais compósitos
unidirecionais. A ideia é criar arquiteturas neurais simples, que necessitem de poucos
parâmetros de entradas, sendo equivalente ao método da regra das misturas e do modelo de
Halpin-Tsai, mas que apresentem resultados satisfatórios, próximos aos valores experimentais.
Para tanto, é necessário a obtenção de um conjunto de dados para treinamento e teste da rede,
e ainda, com esses dados, fazer uma análise comparativa baseadas em modelos já utilizados em
aplicações industriais, como o de Halpin-Tsai e o da Regra das Misturas. Realizou-se, também,
uma análise quantitativa, por meio do erro médio e do coeficiente de correlação.
19
2 OBJETIVOS
Objetivo Geral
Criar uma Rede Neural que seja treinada e testada para a análise das propriedades das
lâminas de compósitos unidirecionais, sendo assim capaz de fornecer os valores teóricos das
propriedades mecânicas como o módulo de cisalhamento, tensão última de tração longitudinal
e transversal. Ainda, fazer comparações com outros modelos existentes, como o modelo de
Halpin-Tsai, através do coeficiente de correlação e do erro médio quadrático.
Objetivos Específicos
Estudos de modelos analíticos aplicados as propriedades mecânicas (G12, Xt,), com
abordagem principal no modelo de Halpin-Tsai e no modelo teórico vindo da Regra das
Misturas;
Estudos comparativos envolvendo os resultados obtidos pelos modelos analisados e pelas
RNAs, de forma a validar a utilização do algoritmo. A análise comparativa será feita de forma
qualitativa, através de gráficos, e quantitativa, através do erro médio quadrático (EMQ) e
coeficiente de correlação (r);
Uso de outros algoritmos de treinamento e validação cruzada das RNAs aplicadas na análise
destas propriedades.
Uso e teste de várias arquiteturas neurais com o intuito de melhorar o aprendizado e
generalização do comportamento obtido.
20
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 INTRODUÇÃO
Nesta seção se visa fundamentar o conhecimento sobre os materiais compósitos,
principalmente os laminados unidirecionais, e também sobre as redes neurais artificiais. Nesse
sentido, a revisão bibliográfica inicia-se com uma breve revisão de como surgiram os materiais
compósitos, destacando suas características e importância no ramo da engenharia. Além disso,
também serão abordados os principais estudos relacionados à micromecânica, e estudos
desenvolvidos por diversos pesquisadores na área. No campo das redes neurais tem-se uma
revisão dos principais tipos de redes, com destaque para as características da arquitetura que
serão apresentadas posteriormente nessa dissertação. Ressaltam-se ainda nessa revisão, estudos
de pesquisas recentes relacionados à RNA aplicada na engenharia mecânica, com ênfase para
aquelas relacionadas aos materiais compósitos.
3.2 MATERIAIS COMPÓSITOS
De acordo com a norma ASTM D3878 (2016) os materiais compósitos são uma
substância constituída de dois ou mais materiais, insolúveis um no outro, os quais são
combinados de forma que seja útil para a engenharia, possuindo essa combinação certas
propriedades que os seus constituintes não possuem isoladamente.
Os materiais compósitos possuem propriedades específicas e incomuns, e, por isso,
são requisitados para diversas aplicações, como: indústria aeroespacial, subaquático,
bioengenharia, indústria de transporte. Desse modo, temos combinações de propriedades de
maneira engenhosa, podendo esses serem compostos por metais, cerâmicas e polímeros, que
atingem faixas que nenhum material comum poderia alcançar, satisfazendo as aplicações
citadas acima. Essas combinações auxiliam na manipulação de propriedades (dureza,
elasticidade, condutividade térmica, densidade e resistência por exemplo) para se obter um
comportamento adequado nas situações mais adversas de serviço.
Apesar do seu uso crescente nas últimas décadas, pode-se dizer que esses materiais
sempre estiveram presentes em todas as épocas da humanidade. Segundo Herakovich (2012),
consta que o primeiro compósito criado pelo homem, mais precisamente no Egito, foi um papiro
feito de plantas fibrosas com duas camadas, a cerca de 4000 a.C.. Ainda com os Egípcios, a
mesma fibra da planta usada para fazer os papiros foi usada para criar barcos, velas, cestas e
cordas. Representa-se na figura 3.1 uma passagem do novo testamento, feito num papiro há
aproximadamente 1800 anos.
21
Figura 3.1 – Papiro feito de fibras de plantas, aproximadamente 1800 anos.
Fonte: Herakovich (2012).
Os materiais compósitos e principalmente os plásticos reforçados vêm tendo um espaço
significativo nas pesquisas atuais, na busca por combinar alto desempenho e facilidade de fabricação,
já que os mesmos atendem bem a esses requisitos, somando-se ainda a vantagem de possuírem baixo
peso, parâmetro que é imprescindível em muitas aplicações estruturais. Sua durabilidade e
integridade em vários ambientes de serviço podem ser alterados pela resposta de seus
constituintes, isto é, fibra, matriz polimérica, e devido a existência da interface entre a matriz e
a fibra (SETHI; RAY, 2015).
Os laminados compósitos são constituídos de várias lâminas sobrepostas; assim, uma
análise bem detalhada das propriedades dessas lâminas é imprescindível e já abriram vários
campos de estudos na área. Logo, diversas formas de otimização vem sendo propostas, quanto
aos mais diferentes parâmetros que envolvem esses materiais, principalmente o processo de
fabricação (GHIASI; PASINI; LESSARD, 2009). Mostra-se na figura 3.2 mostra um esquema
de empilhamento de um material compósito, com várias camadas de lâminas alinhadas em
direções diversas com relação a direção do esforço principal (longitudinal).
22
Figura 3.2 – Exemplo de compósito de múltiplas camadas.
Fonte: Adaptado de (“Stitch-Bonded Reinforcements - Vectorply”, [s.d.]).
A propriedade mais importante dos novos materiais compósitos é sua relação de alta
resistência em dissonância com a baixa densidade das lâminas unidirecionais. O principal
elemento responsável por essa característica é a fibra utilizada.
Portanto, para a apuração do comportamento mecânico, que é o principal objeto no
estudo desses materiais, diversos métodos vem sendo utilizados, experimentais, analíticos,
computacionais, e outros que combinam várias áreas do conhecimento humano. As lâminas
revelam sua importância na caracterização mecânica dos compósitos, com respeito a suas
propriedades mecânicas que vão servir, muitas vezes, como condições de contorno para
predição das características do laminado.
3.2.1 Características e Classificações
Os materiais compósitos possuem diversas características que os diferenciam dos
outros tipos de materiais, essas estão relacionadas a sua composição, a orientação das fibras de
reforço, e também a geometria do material.
Os reforços são os materiais que apresentam maior resistência nos compósitos.
Geralmente são indicados como a fase dispersa, sendo os principais meios para transportar a
carga nos materiais compostos, apresentando maior resistência e módulo e elasticidade. As
fibras sintéticas são o tipo de reforço mais comum, e em sua grande maioria produzidas a partir
de resinas derivadas do petróleo. Algumas das principais fibras utilizadas como material de
reforço nos compósitos são: náilon, vidro, polipropileno, polietileno, carbono e a aramida.
23
A matriz é o constituinte contínuo, mas nem sempre presente em maior quantidade. O
segundo constituinte, disperso na matriz, é citado como uma fase de reforço, que atua
aprimorando as propriedades mecânicas da matriz.
O material da matriz é o elemento utilizado para aglutinar o reforço ao material
compósito, preenchendo os espaços vazios que ficam entre os elementos reforçantes e
mantendo-os em suas posições relativas, dessa forma, a matriz se liga a esta e age como um
intermediário do qual as tensões são transmitidas e distribuídas ao longo do reforço.
Uma característica importante é que a resposta mecânica dos materiais compósitos
depende de uma gama de fatores, como acerca da natureza de seus constituintes, ou seja, tipos
de reforço e matriz, o percentual de seus constituintes, como também a distribuição e orientação
das fibras (MATTHEWS; RAWLINGS, 1994). Mostra-se na figura 3.3 um gráfico polar que
mede a distância da origem para qualquer direção em termos da resistência mecânica, para um
tecido de vidro bidirecional, um tecido de carbono unidirecional e o alumínio. Nesse caso temos
um comportamento anisotrópico para os tecidos fibrosos e um comportamento isotrópico para
o alumínio, mostrando uma rigidez uniforme em qualquer direção (HASHIN et al., 1997).
Figura 3.3 – A resistência direcional dos materiais, indicada pela distância radial da origem para vários
ângulos.
Fonte: Hashin et al. (1997).
Quanto à classificação dos compósitos Hull (1987) propôs a seguinte divisão: materiais
compósitos naturais (encontrados na natureza) e materiais compósitos sintéticos. Os sintéticos
são aqueles fabricados pelo homem, tais como plásticos reforçados, hélices de helicóptero e
vigas de concreto armado. Como exemplo de compósitos naturais tem-se o corpo humano, a
24
madeira, o bambu, dentre outros. Dentro dessa classificação Hull (1987) subdividem os
compósitos em materiais macrocompósitos (ex: concreto armado e hélices de helicóptero) e
microcompósitos (ex: os plásticos reforçados).
Os compósitos com maior uso prático são os microcompósitos, assim, apenas classifica-
se aqui esse grande grupo. Se classificam os materiais microcompósitos nas seguintes classes:
particulados, fibrosos, estruturais, nanocompósitos (KAXIRAS; CALLISTER; RETHWISCH,
2014) e biocompósitos. Dentro dessas classes, as lâminas de compósitos unidirecionais se
encontram dentro dos compósitos fibrosos, assim esse tipo será melhor detalhado.
De fato, dentro da classe dos materiais microcompósitos, os que mais se destacam,
com relação ao grande número de aplicações estruturais, são os compósitos fibrosos a base de
matriz polimérica. Os materiais compósitos de matriz polimérica podem ser fabricados através
da união de matrizes termofixas ou termoplásticas com diversos tipos de reforços como, por
exemplo, fibras de vidro, fibras de carbono, fibras de aramida, fibras de boro ou fibras vegetais
(ANTEQUERA, 1991). Existe ainda, a classificação que engloba os materiais denominados de
biocompósitos, ou seja, aqueles que apresentam pelo menos um de seus constituintes de origem
natural (madeira, ossos, músculos e etc.).
3.2.2 Principais Aplicações
Os materiais compósitos são aplicados em diversos setores, principalmente devido a
suas altas propriedades mecânicas específicas. Esses podem ser solicitados por diversos
motivos: suas características de leveza, tamanhos diversos, rápida construção, fácil instalação
e relação custo benefício convincente com a demanda do mercado. Suas diversas aplicações
vão desde varas de pescar super-resistentes a aeronaves feitas de compósitos fibrosos. Mostra-
se na figura 3.4 mostra uma nave projetada para atingir grandes altitudes, fabricadas com
material compósito.
As principais aplicações desses materiais estão na indústria aeroespacial, naval e
automotiva. Encontramos, também, os materiais compósitos nas pás dos geradores eólicos.
Outra aplicação muito comum se encontra na construção civil e na indústria esportiva. Podemos
citar, ainda, a aplicação dos materiais compósitos noutro setor muito importante: o da medicina.
Nesse setor são exigidos materiais com grande resistência mecânica, química, térmica e ainda
na maioria das vezes serem biocompatíveis com os pacientes. Além destas, outra aplicação é
na área militar, que na fabricação de coletes a prova de balas, principalmente aqueles feito da
25
fibra de aramida. Esse material com grande resistência, absorve e dissipa a energia do impacto,
reduzindo a velocidade do projétil e impedindo a perfuração.
Figura 3.4 – Nave Space Ship Two, feita com material compósito.
Fonte: Virgin Galactic (2017).
3.2.3 Laminados Compósitos Unidirecionais
Os laminados compósitos unidirecionais são constituídos de várias lâminas
unidirecionais empilhadas umas sobre as outras. Esses materiais são constituídos por dois
elementos, sendo esses a matriz e o reforço, esse que é composto de fibras alinhadas numa única
direção. Seu produto final exige uma enorme complexidade em relação ao seu comportamento
mecânico, quando comparado com os outros materiais usuais. A maior característica desses
materiais é o alinhamento das suas camadas de reforço, de modo que todas devem ser alinhadas
em uma única direção, sendo mais comumente paralelas à direção da carga longitudinal.
A disposição desses materiais segue o padrão da figura 3.5, nela estão indicados os
três eixos principais que definem as características mecânicas do material. Sua fase de reforço
é composta de fios (feixes de fibras), com espessura de camada (cujo mínimo valor é cerca de
0,1 mm para os compósitos modernos) muito maior que o diâmetro da fibra (na faixa de 0,01
mm). Tanto o reforço quanto a matriz tem quantidades que são especificadas por frações de
volume e massa (VASILIEV; MOROZOV, 2001).
26
Figura 3.5 – Lâmina unidirecional com as direções principais, representadas pelos eixos 1, 2 e 3.
Fonte: Marinucci (2011).
Na figura 3.5 temos um esquema de uma lâmina unidirecional sob os três eixos nas
direções principais, cada eixo tem direções denominadas respectivamente (de 1 para 3) de
direção longitudinal, direção transversal e direção normal. Essas direções são ditas principais
pois são definidas como padrões, tal que delas serão retiradas as principais propriedades
mecânicas da lâmina, suas tensões e deformações.
Suas propriedades mecânicas são chamadas propriedades macroscópicas, tais como a
resistência mecânica, módulo de elasticidade, e o coeficiente de Poisson. Essas propriedades
são dependentes das propriedades das lâminas individuais, as quais podem ser adquiridas
através de ensaios mecânicos.
Devido a orientação das fibras nas lâminas do compósito, esses materiais são
considerados ortotrópicos, ou seja, suas propriedades são diferentes e independentes nas três
direções perpendiculares entre si (HERAKOVICH, 1997; MENDONCA, 2005; VASILIEV;
MOROZOV, 2001). Para esses materiais, a equação que relaciona a deformação-tensão é dada
pela equação 1, tal que a matriz com os termos S é chamada matriz de flexibilidade do material,
indicada por [S], sendo ela uma matriz simétrica (MENDONCA, 2005).
27
1 11311 12
2 212 22 23
3 313 23 33
23 2344
5531 31
6612 12
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 00 0 0
0 0 0 0 0
SS S
S S S
S S S
S
S
S
(1)
Na equação 5, os termos com n indicam a deformação normal e o termos com nm
indicam a deformação angular, os temos e são as tensões normais e cisalhantes, nas
respectivas direções 1, 2 e 3.
3.2.3.1 Constantes de Engenharia
Nas suas mais variadas aplicações, os materiais compósitos são submetidos aos mais
diversos tipos de esforços. Esses esforços, por sua vez, chegam a deformar o material elástica
e plasticamente, chegando mesmo a levá-los à ruptura. A maneira como os esforços influenciam
o material vai depender das suas constantes elásticas. Na engenharia damos o nome a essas
constantes de constantes de engenharia do material, que representam suas propriedades
elásticas.
Os ensaios mecânicos são os processos responsáveis pela identificação das
propriedades mecânicas de uma lâmina. Nestes ensaios é necessário que o estado de tensões
aplicado seja simples, preferencialmente uniaxial, de forma que a relação tensão-deformação
envolva apenas um parâmetro, como acontece em uma relação linear (CÂMARA, 2013).
Para averiguar quais são as propriedades elásticas do material, temos os chamados
módulos de engenharia (ou constantes), segundo Nielsen e Landel (1993), para as lâminas
unidirecionais, por ser um materiais ortotrópico, temos apenas 5 módulos. Para o um melhor
entendimento, podemos encontrar essas constantes na equação 2 a partir da equação 1, tal que
os valores antes de S serão substituídos pelos valores das constantes de engenharia. Dessa
maneira, a partir da definição de matérias ortotrópicos (MENDONCA, 2005), é possível chegar
nas seguintes expressões das equações 3 e 4. Logo, para esses materiais, podemos considerar
as seguintes propriedades mecânicas como independentes: E1, E2, v12, v23 e G12. As outras
constantes acabam sendo dependentes, por isso se considera que esses materiais tem 5
constantes de engenharia.
28
3121
31 2
12 32
1 11 2 3
2 213 23
3 31 2 3
23 23
2331 31
12 12
31
12
1
0 0 0
0 0 01
10 0 0
10 0 0 0 0
10 0
0 0 0
0 0 0 10 0
vv
EE E
v v
E E E
v v
E E E
G
G
G
(2)
3 2E E 13 12v v 23 32v v (3)
31 12G G 223
232(1 )
EG
v
(4)
3.2.3.2 Análise do Cisalhamento em Compósitos
O módulo de cisalhamento é uma propriedade mecânica que está relacionada com a
tensão de cisalhamento e a deformação cisalhante. Nos compósitos unidirecionais temos o
módulo de cisalhamento longitudinal (G12) e o módulo de cisalhamento transversal (G23).
Como foi dito no item anterior, a maneira de averiguar qual é o valor de alguma
propriedade mecânica dos materiais é através dos ensaios mecânicos, no caso do módulo de
cisalhamento é necessário realizar experimentos que envolvam um estado puro e uniforme de
esforços cisalhantes, o que não é tão simples quanto os ensaios de tração e compressão, e acaba
envolvendo altos custos. De acordo com Odegard e Kumosa (2000) existem vários tipos
métodos de ensaio de cisalhamento, cada um com suas particularidades e limitações, são eles:
o ensaio de Iosipescu, tubo torcional, slotted tensile, tração a ±45º, two-rail, cross-beam
sandwich, picture-frame panel, Arcan, e o ensaio de cisalhamento a 10º fora do eixo (10º off-
axis shear tests). Dentre eles, os que mais se destacam são o ensaio de Iosipescu e o ensaio de
tração a ±45º.
29
O ensaio de Iosipescu foi inicialmente desenvolvido por Nicolai Iosipescu, aplicado em
metais, posteriormente esse ensaio foi aplicado a materiais compósitos unidirecionais. Em 1993
ele se tornou uma norma da ASTM, a ASTM D5379 (2012). Os fatores dominantes que são
responsáveis pela não-linearidade dos materiais compósitos utilizando os materiais compósitos
são: deslizamento do corpo prova, não linearidade geométrica, plasticidade da matriz, dano
causado por esmagamento, dano intralaminar no seção do galgo depois da formação da divisão
axial (ODEGARD; KUMOSA, 2000).
O ensaio ±45 foi modelado por Rosen (1972), que propôs um simples procedimento
para averiguar o valor do módulo de cisalhamento longitudinal em compósitos unidirecionais.
Através de valores experimentais de tração uniaxial, das deformações longitudinais e
transversais é possível se ter o valor do módulo de G12 pela seguinte expressão:
122( )
x
x y
G
(5)
Na equação 5, G12 é o módulo de cisalhamento longitudinal da lâmina, σx é a tração
uniaxial aplicada. Os termos εx e εy são a deformação longitudinal da lâmina e a deformação
transversal da lâmina, respectivamente. O laminado deve estar com configuração ±45º, sendo
requerido apenas o ensaio de tração uniaxial. O autor sugere que esse método também pode ser
utilizado para obter as curvas não lineares de tensão e deformação cisalhantes. Entretanto, as
curvas resultantes podem refletir uma possível relação entre os módulos cisalhantes,
longitudinal e transversal, por isso infere-se que esse método ainda requer mais estudo.
Ainda no estudo do comportamento cisalhante dos materiais compósitos, Hahn e Tsai
(1973) afirmam que a divergência da linearidade é observada no módulo de elasticidade
transversal, entretanto, vê-se um grau de não-linearidade muito superior do cisalhamento
longitudinal. Isso torna o módulo de cisalhamento uma das propriedades mecânicas mais
difíceis de se predizer com precisão utilizando de equações analíticas e empíricas, quando
comparado as outras propriedades.
3.2.3.3 Análise da Tensão Última Longitudinal em Compósitos
A tensão última longitudinal, também chamada de resistência última do material, é
uma propriedade mecânica que se relaciona com o módulo de elasticidade e com a deformação
longitudinal. Nos materiais compósitos não temos uma relação direta com essas propriedades,
30
como no caso dos metais, e isso acaba dificultando sua predição com exatidão. Para esses
materiais, suas propriedades mecânicas sempre ficam em função da sua fração volumétrica (Vf).
A resistência longitudinal da lamina é tipicamente controlada pela tensão última da
fibra (σult,f). Um método para predizer a tensão última longitudinal foi criado por Kelly e Davies
em 1965, no qual tem-se uma equação em função da fração volumétrica de fibra (Vf), da
resistência da fibra (σult,f) e da resistência da matriz (σm), mostrada na equação 6. Eles também
especificaram valores críticos de fração volumétrica requeridos para que a resistência do
compósito seja maior que a da matriz (Harakovich, 2012).
, , (1 )ult c ult f f m fV V (6)
De acordo com Na et al. (2017), existem dois tipos de métodos utilizados para predizer
a tensão última dos materiais compósitos que são: os estatísticos e os analíticos. Os modelos
estatísticos são baseados na não-homogeneidade do materiais fibrosos, e são considerados
como uma montagem de várias camadas, de forma que cada camada é subdividida em
elementos que contém parte de fibra e parte de matriz. A resistência desses elementos é
calculada, por exemplo, através da distribuição de Weibull. Os métodos analíticos são baseados
na mecânica convencional dos compósitos, em que, recentemente, métodos computacionais
foram incorporados; nesses métodos a distribuição de tensão é baseada na shear-lag theory.
3.2.4 Frações de Massa e Volume de uma Lâmina
Nos materiais compósitos as quantidades de fibra e matriz são expressas em frações
volumétricas e mássicas, sendo expressas pelas seguintes equações:
f
f
C
V
mm
C
V
vv
C
V
(7)
f
f
C
mM
m m
m
C
mM
m (8)
Na equação 7 se tem uma razão que prediz o valor da fração volumétrica dos
componentes da lâmina, sendo o termo o volume, onde os subíndices f, m, v e c, indicam os
valores para fibra, matriz, vazios e do compósito, respectivamente. Da mesma maneira, a
31
equação 8 é uma razão que relaciona as massas (mf e mm) da fibra e matriz com a total (mc), do
material composto, indicando suas frações mássicas (M).
Outra forma de se obter a fração mássica da fibra e matriz é através da densidade dos
seus constituintes, de forma que ficamos com as equações 9 e 10:
f
f f
C
V V
(9)
m
m m
C
V V
(10)
Outro parâmetro que vale a pena ser mencionado é o que para compósitos
unidirecionais com fibras de seção circular existe um volume máximo teórico em fibras. Nessa
análise se considera puramente as configurações geométricas da fibra distribuída na matriz,
levando em conta sua secção transversal e qual tipo de fibra. Considerando a situação onde as
fibras estão dispostas ordenadamente e em fileiras com uma fibra em cima da outra é possível
demonstrar que o valor máximo de volume de fibra que pode ser obtido em um compósito é de
78,5%, e por conta disso se considera para efeitos práticos que o percentual volumétrico de
fibra só pode atingir 70% em uma lâmina unidirecional.
3.2.5 Micromecânica das Lâminas Unidirecionais
Para a obtenção das propriedades mecânicas dos compósitos surgiram os chamados
modelos micromecânicos. Mostra-se na figura 3.6 um esquema indicando o objeto de estudo
da micromecânica, que é o cálculo das propriedades da lâmina através das características dos
seus componentes (matriz e fibra), além da macromecânica que analisa as propriedades do
laminado através de uma análise macroscópica.
32
Figura 3.6 – Esquema do objeto de estudo da micromecânica e da macromecânica.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na análise micromecânica das propriedades mecânicas, algumas hipóteses devem ser
levadas em conta. Essas hipóteses estão relacionadas com a fibra, a matriz e a lâmina de
compósito unidirecional. Dentre as hipóteses pede-se que tanto a fibra quanto a matriz sejam
homogêneas e possuam comportamento linear e elástico. Assim como, pede-se que: a matriz
seja isotrópica; a adesão entre fibra e matriz seja perfeita; a lâmina seja considerada
macroscopicamente homogênea; tenha comportamento linear elástico; seja ortotrópica, e que
não possua tensões residuais ou vazios. Ainda se fazem restrições geométricas, tal que as fibras
sejam perfeitamente alinhadas e com espaçamentos iguais (MENDONCA, 2005;
HERAKOVICH, 1988).
No estudo micromecânicos das propriedades de uma lâmina, além das propriedades
individuais da fibra e matriz é importante se conhecer os percentuais volumétricos de cada um,
determinando-se assim sua influência na lâmina. Também existem fatores, além desses, que
podem influenciar no comportamento das propriedades mecânicas da lâmina, tais como, nível
de aderência entre a fibra e a matriz, tensões residuais, disposição geométrica das fibras, porém
a análise completa de todos esses fatores inviabiliza o cálculo e dificulta sua aplicação
(CÂMARA, 2013; MENDONCA, 2005; HERAKOVICH, 1998).
No tópico que se segue serão citados os principais modelos micromecânicos vigentes
na literatura, mostrando seus principais fundamentos e equações.
33
3.2.5.1 Regra das Misturas
Um dos modelos mais simples é chamado de regra das misturas (MENDONCA, 2005),
também chamado de modelo de primeira ordem (VASILIEV; MOROZOV, 2001), esse modelo
requer as propriedades da fibra e matriz à fração volumétrica de fibras. Mostra-se na figura 3.7
o esquema desse modelo com a lâmina constituída de fibra (região sombreada) e de matriz
(região clara). Assumindo que o modelo está sob carregamento no plano, com as respectivas
tensões σ1, σ2 e τ12, como se mostra na figura 3.7, é possível fazer as seguintes assertivas.
Figura 3.7 – Modelo de primeira ordem de uma lâmina unidirecional.
Fonte: Vasiliev e Morozov (2001).
Primeiramente tem-se que a força resultante, que resulta no produto σ1a, é distribuída
entre as tiras de fibra e matriz, e a deformação longitudinal (direção 1) que é a mesma nessas
tiras e na lâmina como um todo. Outro resultado observado é o de que, sob carregamento
transversal, a tensão sob as tiras é a mesma e é dada por σ2, enquanto que a deformação na
direção transversal é dada pela soma das deformações da fibra e matriz.
Utilizando esse modelamento é possível obter algumas propriedades mecânicas dos
materiais compósitos, como por exemplo os módulo de elasticidade longitudinal (E1) e
transversal (E2), e o coeficiente de Poisson (v12). As equações 11 e 12 mostram os modelos para
os dois módulos de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson, respectivamente:
1 f f m mE E V E V (11)
12 f f m mv v V v V (12)
34
Nas equações 8 e 9, os termos Ef, Em, vf e vm são os módulos de elasticidade da fibra e
matriz, e os coeficientes e Poisson da fibra e matriz, respectivamente. Os termos Vf e Vm
representam as frações volumétricas da fibra e matriz, respectivamente. As equações para o E1
e v12 têm boas correspondências com os valores experimentais. As equações para o módulo de
elasticidade transversal (E2) e para o módulo de cisalhamento longitudinal (G12) são dadas pelas
equações 13 e 14.
2
1 f m
f m
V V
E E E (13)
12
1 f m
f m
V V
G G G (14)
Os termos Gf e Gm representam os módulos de cisalhamentos para a fibra e matriz,
respectivamente. Por mais que as equações 11 e 12 pareçam bem fundamentadas
matematicamente, seu uso em projetos é impraticável. Na prática, para o módulo de
cisalhamento (G12), vemos um comportamento que tende a não linearidade, como foi abordado
no item 3.2.4.2, e isso não condiz com as equações apresentadas. Também, na realidade,
nenhuma secção da lâmina é constituída somente de matriz e fibra como se mostra na figura
3.7. Assim, a hipótese que as tensões distribuídas na fibra e matriz são iguais é incorreta. Ainda
temos o fato da existência das tensões internas, e da desaderência da fibra e matriz que são
desprezadas nesse modelo. Isso faz com que seus valores fiquem bem diferentes dos valores
experimentais (GIBSON, 1994; MENDONCA, 2005).
Outra propriedade importante, também obtida pela regra das misturas, é a tensão
última à tração longitudinal (Xt), essa é definida pela equação 15.
, 1 m mt ult f f
f f
E EX V
E E
(15)
Nesses materiais compósitos a tensão última à tração longitudinal (Xt), equação 15, é
definida considerando que a deformação de ruptura da fibra é inferior à da resina e que todas
35
as fibras falham simultaneamente, nesse caso se considera que o compósito se rompe quando
as fibras atingem sua deformação de ruptura. Os termos ,ult f , Em, Ef, Vf, representam o a tensão
última da fibra, o módulo de elasticidade da matriz, o módulo de elasticidade da fibra e a fração
volumétrica, respectivamente. Essa equação tem uma boa aproximação com os valores
experimentais.
Já na tensão última à tração transversal (Yt) não existe um modelo teórico para avaliá-
la. Para essa propriedade o modelo criado foi formulado empiricamente, se aproximando
razoavelmente dos valores obtidos através de modelos com elementos finitos (NIELSEN;
LANDEL, 1993). Nesse modelo considera-se que a carga é transmitida, principalmente, ao
longo da matriz, logo sua resistência é controlada pela matriz, de acordo com a equação 16.
Nessa equação, ,ult m representa a tensão última da matriz e a tensão última à tração transversal
da lâmina, respectivamente.
1/32, 1t ult m f
m
EY V
E
(16)
3.2.5.2 Modelo de Halpin-Tsai
Um outro modelo bem mais utilizado para aplicação na área de projetos é o modelo
proposto por Halpin e Tsai (1969). Por ser um modelo semi-empirico o modelo se baseia em
resultados experimentais, utilizando de parâmetros ajustados, mas também tem uma base na
mecânica teórica. Esse modelo considera as tensões internas produzidas pela fibra e pode ser
descrito pela equação 17.
(1 )
1
m f
f
P VP
V
(17)
A equação 16 serve para representar as seguintes propriedades mecânicas: E2, G12, v23
através da variável P. O termo Vf representa a fração volumétrica de fibra no compósito
unidirecional. O termo é um parâmetro geométrico que mede o nível de reforço no
compósito. Normalmente se usa = 2 para a análise de E2 e = 1 para a análise de G12, quando
= 0 a equação de Halpin-Tsai se iguala a equação demostrada para a regra das misturas.
Mostra-se na figura 3.8 mostra um gráfico comparativo dos valores das equações de Halpin-
36
Tsai (linhas contínuas) frente aos valores vindo do modelo da regra das misturas (linhas
tracejadas), onde é possível observar uma diferença considerável nos valores, para o módulo de
cisalhamento longitudinal. A equação 18 define o parâmetro da equação 16.
1f m
f m
P P
P P
(18)
Figura 3.8 – Aproximação de Halpin-Tsai para G12.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
1
2
3
4
5
6
20
100
5
10
50
Gf/G
m=100
20
G1
2/G
m
Vf
Regra das Misturas
Halpin-Tsai
Fonte: Mendonca (2005).
3.2.5.3 Modelo de Spencer
Spencer (1986) propôs uma novo modelo quadrático capaz de predizer o E2 e o G12,
esse modelo inclui alguns efeitos de concentração de tensão. A equação de Spencer é dada pela
equação 19.
2 2
1 1 2
2
c
m
M karctg
M k kk
(19)
37
Tal que Mc pode representar as seguintes propriedades mecânicas: E2 e G12,
dependendo de qual propriedade se deseja encontrar. Já o termo Mm representa o termos Em e
Gm. O termo k, dependendo para qual propriedade se deseja encontrar, pode ser dado por: E2 e
G12 ou 1- Gm/Gf2. O parâmetro depende de características geométricas da fibra, Spencer disse
que esse termo pode ser encontrado com o valor da fração volumétrica da fibra (Vf), de acordo
com a equação 20.
2
1
1.1 2.1 2.2f f fV V V
(20)
3.2.5.4 Outros Modelos da Literatura
Dentre os diversos modelos micromecânicos existentes, existem os modelos baseados
na teoria da elasticidade, modelos empíricos e semi-empiricos. Com base na literatura
(GIBSON, 1994; HALPIN; TSAI, 1969; SPENCER, 1986; ABOUDI, 1989; CÂMARA;
FREIRE, 2011; WANG; HUANG, 2017) alguns dos principais modelos na área da
micromecânica dos materiais compósitos serão citados.
Hill (1965) propôs um modelo chamado “modelo auto consistente”, esse foi utilizado
por Whitney e Riley (1966). Halpin e Tsai (1969) aprofundaram esses modelos, desenvolvendo
os seus próprios, os quais tiveram larga aceitação em projetos de engenharia. Aboudi (1989)
desenvolveu modelos que previam as propriedades transversais G23 (módulo de cisalhamento
na direção 23) e v23 (coeficiente de Poisson na direção 23). Hopkins e Chamis (1988)
propuseram um modelo multicelular semelhante ao da regra das misturas. Modelos semelhantes
foram desenvolvidos por Kriz e Stinchcomb (1979), para fibras anisotrópicas.
Com base na teoria da elasticidade, Adams e Doner (1967) utilizaram de diferenças
finitas para obter G12 (Módulo de cisalhamento na direção 12), e o E2 (Módulo de elasticidade
transversal). Esses modelos são mais complexos por envolverem parâmetros de entrada tais
como a geometria do empacotamento das fibras; Entretanto, existem uma enorme quantidade
de modelos elásticos que se basearam nessa teoria (GIBSON, 1994).
Hahn e Tsai (1973), com um novo modelo semi-empírico, propuseram relações
polinomiais entre tensão e deformação. Essas relações possuem o intuito de descrever o
comportamento não-linear inerente do cisalhamento longitudinal nas laminas de compósitos
unidirecionais. Os autores propuseram uma função de densidade de energia de deformação que
38
incluía um termo de quarta ordem, porém, não foi bem sucedido no ensaio de cisalhamento para
os materiais apresentados, pois o modelo indicava colapso antes da falha do material.
Aghdam (2005) também realizaram um estudo para obtenção das propriedades
mecânicas dos compósitos, com base nos seus componentes, entretanto seu modelo envolvia
uma ampla gama de variáveis, sendo possível aplicá-lo apenas em alguns casos particulares.
Torquato (1991) faz uma revisão dos modelos de caracterização quantitativa na
microestrutura de materiais heterogêneos, utilizando de modelos estatísticos, baseado no
melhoramento das arestas das fibras, com a justificativa que esses limites geométricos devem
ser mais realísticos que os idealizados pelas formas de pacotes de fibra.
Szabó (2015) propôs uma modelagem de homogeneização, tal que, através de
simulações numéricas baseadas nos valores dos constituintes do compósito, se era possível
predizer algumas propriedades da lâmina unidirecional.
Com base na mecânica da fratura, Lee e Palley (2012) comparando os valores da
energia elástica antes e depois do dano, foram capazes de determinar o valor do módulo de
cisalhamento de compósitos fibrosos unidirecionais de matriz polimérica. Recentemente, tem-
se a aplicação feita por Dong (2015) utilizando modelos em elementos finitos e abordagens
analíticas para estudar a influência do teor de vazios nos laminados na resposta mecânica final
dos mesmos.
Wang e Huang (2017) fazem um apanhado dos principais modelos micromecânicos
analíticos, incluindo modelos incrementais e não-incrementais, fazendo uma comparação entre
seus valores frente aos resultados experimentais.
Dentre todos os modelos citados, vê-se que modelos na área utilizando de redes neurais
artificiais (RNAs) ainda não foram amplamente exploradas. Câmara e Freire Jr (2011) fizeram
uma estimativa do módulo de elasticidade transversal (E2) utilizando de RNAs, deixando claro
sua eficácia e possibilidade de obtenção de outras propriedades mecânicas através dessa
metodologia.
No próximo tópico faremos uma revisão sobre as redes neurais artificias, definindo,
classificando e mostrando suas principais características e aplicações na área dos materiais
compósitos.
3.3 REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
De acordo com Haykin e Engel (2001) pode-se definir uma rede neural como um
processador massivamente paralelamente distribuído, sendo constituído de unidades de
processamento simples, com uma propensão natural para armazenar conhecimento
39
experimental e torna-lo disponível para o uso. Assim, uma RNA se assemelha ao cérebro sob
dois aspectos: o primeiro em que o conhecimento adquirido pela rede por meio de um processo
de aprendizagem, e o segundo do qual as conexões entre os neurônios (pesos sinápticos) são
utilizadas para armazenar o aprendizado.
Algumas das propriedades características dessas RNAs são: não linearidade,
classificação de padrões, mapeamento de entrada-saída, armazenamento de informação
distribuído, analogia neurobiológica.
Segundo Slotine e Li (1991) as não-linearidades podem ser classificadas como não-
linearidades inerentes (naturais) e não-linearidades intencionais (artificiais). A primeira é um
comportamento que já vem no sistema de uma forma natural, como, por exemplo, temos as
forças centrípetas em movimentos rotacionais e o atrito de Coulomb. Os controladores de
histereses e o controle adaptativo compreendem-se como não-linearidades introduzidas no
sistema artificialmente, para aumentar sua eficácia. Analisando essas classificações, podemos
dizer que as RNAs se enquadram nos dois aspectos. Tanto nas não-linearidades inerentes
provindas do sistema em si, como das não-linearidades artificiais, que seria a introdução de
novas conexões de neurônios de modo a melhorar o comportamento da rede. Ressaltando que
um neurônio pode ter um equacionamento linear ou não linear.
A classificação de padrões é uma habilidade característica das RNAs, essa se
compreende na rede aprender padrões de acordo com as características dos dados de
treinamento. Isso permite que a RNA aprenda sobre um determinado comportamento de um
conjunto de dados (HAYKIN; ENGEL, 2001).
A questão do mapeamento entrada-saída apresenta-se sendo uma rede neural artificial
que pode ser usada como um aproximador universal de funções. Para obter um bom
mapeamento é necessário um bom conjunto de treinamento, e um bom algoritmo de treinamento
junto a uma boa arquitetura de rede (HAYKIN; ENGEL, 2001).
Esses métodos inspirados biologicamente foram pensados para ser o próximo avanço
na indústria da computação. Nesse campo não se utiliza de uma programação tradicional, mas
sim a criação de redes massivamente paralelas junto de um treinamento que é capaz de resolver
problemas bem específicos (ANDERSON; MCNEILL, 1992). Dentro dessa analogia, podem-
se definir dois ramos de pesquisa: o dos engenheiros que pretendem emular o funcionamento
do cérebro, matematicamente falando, em termos de aplicação na engenharia; e os dos
neurobiólogos que tenta compreendê-lo.
A distribuição da informação armazenada entre os neurônios é a caracterizada na
ocasião em que algum neurônio da rede é perdido, e a consequência disso é somente a perda
40
das informações relacionadas apenas aquele neurônio. Pelo fato da rede ser composta de
diversos neurônios, a perda de algum desses vai resultar em uma resposta levemente diferente
da anterior (sem a perda do neurônio), portanto não vê-se uma total desestabilização nessas
situações.
3.3.1 Neurônio das RNAs
Assim como as redes neurais cerebrais, a célula básica da rede neural artificial é
chamada de neurônio. Mostra-se na figura 3.9 o esquema dos elementos presentes dentro de um
neurônio. Portanto, pode-se identificar alguns elementos básicos, tais como as sinápses, um
elemento de combinação linear e uma função ativadora. As sinápses, nas RNAs, são
representadas pelo produto dos sinais de entrada (xn) pelos seus pesos (wnm). O combinador
linear faz a combinação linear das sinápses junto de um outro elemento, chamado bias (bn), com
seu respectivo peso; o bias permite uma maior controle do valor que será entregue a função de
ativação. A função de ativação pode ser de vários tipos, como citaremos mais na frente; ela tem
o objetivo de restringir a amplitude de saída do neurônio a um valor finito, geralmente se
limitam valores entre 0 e 1 ou -1 e 1, sua entrada é a saída do combinador linear.
Figura 3.9 – Modelo de um neurônio.
Fonte: Freire Júnior (2005)
Em termos matemáticos, podemos expressar o modelo da figura 3.9 de acordo com as
equações 21 e 22.
0
M
n nm m n bn
m
v w x b w
(21)
41
( )n ny v (22)
Das equações, vn representa o somatório da combinação linear das sinapses de entrada
junto do bias (bn) multiplicado pelo seu peso (wbn). O termo representa a função de ativação
do neurônio, onde y é a saída do n-ésimo neurônio da rede, sendo M o número de sinais de
entrada.
Como dito anteriormente, as RNAs podem ter vários tipos de funções de ativação,
dentre elas temos a função limiar, a função limiar por partes, função sigmoide e a função
tangente hiperbólica, sendo essas duas últimas as mais comumente usadas nas aplicações das
redes neurais artificiais. A função sigmoide é dada pela equação 23 e seu comportamento
descrito pela figura 3.10, com variação dos valores de a. A função tangente hiperbólica é dada
pela equação 24, e seus parâmetros b e c são constantes relacionadas a amplitude e a inclinação
da curva, respectivamente.
1
( )1 ax
xe
(23)
Figura 3.10 – Função Sigmoide.
Fonte: Elaborada pelo autor.
42
( ) tanh( )x b cx (24)
Salienta-se que esse tipo de neurônio não é o único, existindo outros tipos, como por
exemplo o neurônio utilizado em redes FBR (função de base radial). Esse tipo de neurônio
também é muito utilizado na literatura (CHAKRAVARTHY; GHOSH, 1996, 1997; KADI, H.
E. & AL-ASSAF, 2002; RONCO; RONCO; GAWTHROP, 1995), porém não serão descritos
nesse trabalho.
Vale ressaltar que apesar da modelagem matemática relacionada às RNAs, a maneira
mais simples de compreensão destas é analisando-as como grafo de fluxo de sinal, onde, existe
um sinal de entrada, esse se propaga dentro da RNA e a partir desta propagação tem-se um sinal
de resposta da rede ou sinal de saída (FREIRE JÚNIOR, 2005).
3.3.2 Arquitetura das RNAs
Existem uma grande variedade de arquitetura de RNAs que são usadas no ramo da
engenharia. Neste trabalho daremos ênfase apenas nas chamadas Redes Perceptron de Múltiplas
Camadas, portanto, apenas essa será comentada nessa sessão.
Denominam-se redes Perceptron as RNAs que possuem, como principais
características, a utilização de neurônios não lineares e uma estrutura de neurônios alimentada
adiante. Na figura 3.11 temos um exemplo do modelo da rede Perceptron. Percebe-se, de modo
geral, que a arquitetura da rede é dividida em camadas sendo composta de: camadas de entrada,
saída e ocultas. A quantidade de camadas ocultas é variável, podendo ser uma ou mais. Essas
camadas são compostas de neurônios, que são representados pelos círculos em amarelo. A
camada de entrada possui apenas os dados de entrada, servindo como condição inicial para o
funcionamento dos neurônios da primeira camada oculta.
43
Figura 3.11 – Rede Perceptron de múltiplas camadas.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Vê-se que as redes Perceptron de múltiplas camadas tem sido muito utilizada no ramo
da engenharia, inclusive na engenharia mecânica. Isso acontece, principalmente, devido a
propriedade que esse tipo de rede possui, essa sendo a habilidade de aprender sobre um
problema através do treinamento e generalizar para casos não apresentados a RNA.
Entretanto, a rede Perceptron possui o inconveniente funcionamento como uma “caixa
preta”, pois a não-linearidade distribuída dessa e a sua alta conectividade entre os neurônios
tornam difícil a análise teórica do seu funcionamento interno (HAYKIN; ENGEL, 2001).
Como comentado anteriormente, cada neurônio tem uma função de ativação
específica, sendo uma das suas principais características a suavidade, quando se trata da
sigmoide e da tangente hiperbólica, o que facilita a obtenção de suas derivadas, sendo
fundamental no desenvolvimento do algoritmo de treinamento para esse tipo de arquitetura.
As funções sigmoide e tangente hiperbólica também se destacam pelo fato que suas
derivadas ficam em relação a própria função primária. Isso facilita muito durante o treinamento,
pois diminui o número de cálculos e, consequentemente, o tempo de processamento durante o
treinamento. A derivada que é obtida da função sigmoide é apresentada na equação 25, onde é
possível ver seu resultado em função de ( )x .
2
( )( )(1 ( ))
(1 )
ax
ax
d x aea x x
dx e
(25)
44
3.3.3 Algoritmos de Treinamento
A principal propriedade de uma rede neural é sua habilidade de aprendizado, a partir
de regras pré-estabelecidas e melhorar, ou seja, o seu desempenho através dessa aprendizagem.
Aprendizagem é um processo em que os parâmetros livres de uma rede neural são adaptados
através de um processo de estimulação pelo ambiente onde a rede fica inserida. O tipo de
aprendizado é determinado pela maneira como a modificação dos parâmetros ocorre
(ALEKSANDER; MORTON, 1991; HAYKIN; ENGEL, 2001).
Diz-se que a ideia principal do treinamento de uma rede neural é a modificação gradual
dos seus pesos sinápticos, por meio de uma regra de aprendizado que determina a forma como
esses pesos serão alterados. Para se ter o aprendizado é necessário um conjunto de dados de
treinamento; durante o treinamento, toda vez que esses dados são apresentados a rede, tem-se
uma época de aprendizado.
O algoritmo de treinamento é um conjunto pré-estabelecido de regras bem definidas
para solução de um problema de aprendizagem. Existem vários tipos de algoritmos de
treinamento, podendo-se classificá-los em treinamento supervisionado, treinamento semi-
superviosionado e treinamento não-supervisionado. Nesse trabalho daremos ênfase apenas ao
treinamento supervisionado.
O treinamento supervisionado visa com que a RNA tenha a capacidade de responder
de maneira aproximada ao conjunto de dados apresentados a ela; ainda visando com que a RNA
tenha a capacidade de generalização, gerando resultados aproximados para dados não utilizados
no treinamento. A figura 3.12 apresenta um esquema do treinamento supervisionado; vê-se que
a matriz de pesos sinápticos w, com isso a RNA é atualizada para se modelar aos dados
apresentados no treinamento. O proposito dessas alterações na matriz w é diminuir o erro
existente entre os valores desejados (d) e os valores de saída (z).
45
Figura 3.12 – Diagrama esquemático demonstrando o processo de aprendizado de uma rede neural, tal
que (a) é o método de treinamento da RNA e (b) é o modelo obtido pelo treinamento da RNA.
Fonte: Silva et al. (2001) apud Freire Jr (2005).
Como dito anteriormente, existem vários tipos de algoritmos de treinamento, dentre
eles podemos destacar o algoritmo resilient backpropagation, o RPROP (RIEDMILLER;
BRAUN, 1993), o Quickprop (FAHLMAN, 1988) e o mais popular de todos, chamado
Backpropagation (RUMELHART; HINTON; WILLIAMS, 1986). Esses algoritmos tem suas
peculiaridades e são requisitados de acordo com a aplicação que se deseja fazer, o que se
encaixa melhor com suas características.
As redes que utilizam do algoritmo RPROP são diferentes das redes backpropagation
clássicas, em que para cada interação, tendo tamanho específico de amostra, os pesos são
atualizados na direção mais predisposta (RIEDMILLER; BRAUN, 1993). O RPROP determina
o tamanho do passo da interação de pesos individuais, baseado se o sinal da derivada parcial é
o mesmo ou não do passo anterior. Sua maior vantagem é que suas taxas de aprendizado se
adaptam à topologia do erro (BAILEY, 2015).
3.3.3.1 O algoritmo Backpropagation
O algoritmo Backpropagation exige algumas características de arquitetura, das quais
podemos citar: a função de ativação não linear deve possuir derivada em todos os pontos, a
RNA deve possuir uma ou mais camadas de neurônios ocultos, e que a RNA deva possuir alto
grau de conectividade. Aprovada essas características o objetivo do treinamento fica de reduzir
46
o máximo possível o erro quadrático médio, também chamado de função custo, que é
apresentado na equação 26.
1
1 1
1
2
1 1
1
2
PQ
p p
p
EMQ d zQ
(26)
Na equação 26 o EMQ é o erro quadrático médio, Q é o tamanho do número de dados,
P1 representa o número de neurônios da camada de saída, 1pd e
1pz são as respostas desejadas
e a resposta atual do p-ésimo neurônio de saída, respectivamente.
Com o objetivo de minimizar o EMQ, é necessário a modificação dos pesos sinápticos
e isso é feito com a implementação do algoritmo de treinamento com propagação adiante e
retro-propapagação. Esses passos computacionais podem ser interpretados como sinais, na qual
se tem o sinal funcional ou sinal que percorre o interior da rede e o sinal de erro que é
apresentado pelo algoritmo de treinamento modificando a estrutura interna da rede (pesos
sinápticos).
A modificação dos pesos sinápticos, através do sinal do erro, é realizada obedecendo
a regra que são obtidas através da derivação da função custo em relação à variação dada aos
pesos sinápticos. A partir das regras obtidas e considerando uma rede Perceptron de múltiplas
camadas com T camadas (figura 3.13).
Figura 3.13 – Rede Perceptron de T camadas.
Fonte: Freire Jr e Aquino, 2005.
47
Na figura 3.13, os índices l, m e n, assim como das equações 27 à 34, representam os
neurônios de uma rede que se propaga da esquerda para a direita, tal que l é o neurônio que se
encontra em uma camada a esquerda do neurônio m (camada anterior ao neurônio m) e o
neurônio n se encontra uma camada a direita desse mesmo neurônio (camada posterior). Em
seguida temos as cinco etapas em que o treinamento pode ser dividido.
1 – Início. A princípio devem ser escolhidos os valores dos pesos sinápticos
aleatoriamente, de modo que a média dos seus valores seja zero e a variância se encontre
próximo à saturação da função de ativação utilizada (a função de ativação utilizada pode ser
sigmoide ou tangente hiperbólica).
2 – Apresentação dos dados de treinamento. Apresenta-se uma época de exemplos de
treinamento à rede. Para cada exemplo apresentado, realizam-se as sequencias descritas nos
itens 3 e 4, na qual emite-se o sinal funcional e o sinal de erro.
3 – Propagação adiante (sinal funcional). Suponha que um exemplo de treinamento
seja representado por (x(q), d(q)), sendo x(q) o q-ésimo sinal (vetor) de entrada aplicado à
camada de entrada da rede e d(q) o vetor que se deseja que a rede apresente na sua saída após
o treinamento (resposta desejada) para a entrada x(q) (ver Figura 3.12). Em seguida são obtidos,
os combinadores lineares vm (t)(q) e os sinais funcionais ym (t)(q), nos quais as notações m e t
representam o m-ésimo neurônio na t-ésima camada da RNA. As equações (27) e (28)
representam, respectivamente, o combinador linear e o sinal funcional.
( ) ( ) ( 1)
0
( ) ( ) ( )L
t t t
m ml l
l
v q w q y q
(27)
( ) ( ( ))t
m m m my v q (28)
Nestas equações, L representa o número total de sinais de entrada vindos da camada
anterior t-1 no m-ésimo neurônio da camada t, yl(t-1) representa o sinal funcional obtido do
lésimo sinal de saída da camada anterior a t, ym (t) é o sinal de saída do m-ésimo neurônio da
48
camada t e ϕ(.) é a função de ativação da rede que pode ser a função sigmoide (equação 23) ou
a tangente hiperbólica (equação 24).
Se o neurônio m está na primeira camada oculta (t = 1), use a equação (29) em (27)
(0) ( )m my x q (29)
Quando o neurônio m está na camada de saída (t = T), use a equação (30), para a
obtenção do sinal de saída da rede.
( )( ) T
m mz q y (30)
Com o sinal de saída da rede zm(q) e a reposta desejada dm(q) para o m-ésimo neurônio
de saída calcule o sinal do erro em(q), conforme a equação 31.
( ) ( )m m me d q z q (31)
4 – Retropropagação (sinal do erro). Calcule os gradientes locais da rede δ (equação
32)
( ) ' ( )
( )
' ( ) ( 1) ( 1)
( ) ( ( ))
( )
( ( )) ( ) ( )
T T
m m m
t
m
t t t
m m n nm
n
e q v q
q
v q q w q
Neurônio m na camada de saída T
(32)
Neurônio m na camada oculta t
Na equação acima, ϕ’m(.) é a derivada da função de ativação do m-ésimo neurônio da
camada t, para o caso da função sigmoide a derivada pode ser vista na Equação (25). Com os
valores dos gradientes locais, modifique os pesos sinápticos usando a Equação (33).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)( 1) ( ) [ ( ) ( 1)] ( ) ( )t t t t t t
ml ml ml ml m lw q w q w q w q q y q (33)
Na equação 33, η e α são a taxa de aprendizagem e a constante do momento,
respectivamente. Tanto a taxa de aprendizagem quanto a constante do momento são valores
escolhidos pelo programador e, de preferência, devem ficar entre 0 e 1. Esses valores podem,
49
ou não, variar durante o treinamento da rede, objetivando diminuir o número de iterações e
melhorar o resultado obtido pela mesma.
5 – A apresentação dos dados de treinamento deve ser feita várias vezes, o número de
iterações, ou seja, o número de vezes que o conjunto de treinamento deve ser apresentado, vai
depender do critério de parada escolhido pelo usuário.
3.3.4 Aplicações na Engenharia
Friedrich e Zhang (2003) fizeram um apanhando das principais aplicações das redes
neurais na área dos materiais compósitos, tais como fadiga, propriedades tribológicas,
propriedades dinâmicas, processos de fabricação entre outras. Eles mostraram, como exemplo,
que a identificação de imagens com o auxílio das RNAs pode auxiliar na qualificação e
quantificação dos resultados, tal como a análise de tipo e percentual de microestruturas em
metal.
Lopes, Gomes e Awruch, em 2010, publicaram um artigo envolvendo o uso de redes
neurais artificiais. Esse consiste de uma aplicação das RNAs em analises estruturais de
laminados compósitos, com respeito a reabilitação desses materiais. Nesse trabalho foi utilizado
dois tipos de arquitetura de rede, o Perceptron de múltiplas camadas, e o base radial. Notou-se
uma grande eficiência no cálculo da probabilidade de falha, reduzindo bastante o tempo de
processamento; foram utilizados métodos presentes na literatura para servir de comparação e
validação das RNAs propostas.
Freire Jr, Neto e Aquino, em 2005, fizeram estudo sobre a aplicabilidade das redes
neurais artificias na área de fadiga de materiais compósitos, utilizando de 12 diferentes curvas
S-N obtidas na literatura para o treinamento necessário da rede. Em 2007, foi publicada uma
continuação desse estudo, utilizando, dessa vez, uma menor quantidade de curvas S-N, através
de um novo tipo de arquitetura - as redes modulares; resultados mostraram que essa nova
arquitetura é mais ideal para esse tipo de problema. Em 2009 os mesmos autores fizeram outra
publicação na área de fadiga, dessa vez, mais especificamente nos materiais compósitos de fibra
de vidro, são introduzidos uma análise estatística para ajudar na comparação dos modelos
propostos para validação (FREIRE; NETO; DE AQUINO, 2007; FREIRE; DÓRIA NETO; DE
AQUINO, 2009).
Bezerra et al. (2007) fizeram um estudo das propriedades mecânicas de cisalhamento
de compósitos reforçados com tecidos bidirecionais, dos tipos de fibra de vidro e fibra carbono.
50
Foi usado o algoritmo de treinamento de Levenberg-Marquardt, com a arquitetura de
Perceptron de múltiplas camadas. Resultados foram obtidos e validados se analisando a
variação do número de neurônios.
Recentemente, Suresh Kumar et al. (2017) fizeram um estudo envolvendo RNAs que
utiliza função de base radial, junto de uma de suas variações, uma arquitetura diferenciada que
é chamada rede de regressão generalizada (generalised regression neural network). O material
trabalhado na aplicação das RNAs foram os plásticos reforçados de fibra de vidro, esses, já
envelhecidos no meio ambiente, expostos a água marinha e monitorados através de emissão
acústica. As RNAs foram utilizadas para predizer a tensão última do material analisado.
Ramadas et al. (2012) também fizeram um estudo de RNAs aplicadas a materiais
compósitos, mais especificamente para lâminas transversalmente isotrópicas. Utilizando de
Lamb Waves, que é uma tecnologia que utiliza a propagação de ondas ultrassônicas e traz
informações da integridade da estrutura analisada, foi possível apenas com as velocidades
vindas do experimento treinar uma RNA de forma a se ter várias propriedades mecânicas.
Entretanto, ainda é uma metodologia a se analisar, uma vez que no presente trabalho não foi
indicado um grupo de dados de teste para validação, dificultando a generalização da rede
impedindo o uso seguro do modelo.
Observam-se também aplicações com relação aos modelos matemáticos utilizando
RNA em áreas semelhantes, como, por exemplo, na predição da resistência a flexão e da dureza
mecânica de compósitos particulados com matriz polimérica (KOKER; ALTINKOK; DEMIR,
2007).
Particularmente, a natureza não linear das RNAs, sua capacidade de aprender nos seus
ambientes de uma forma supervisionada, assim como de forma não-supervisionada, servindo
como aproximador universal de funções, faz das RNAs uma ferramenta altamente adequada
para resolver o processamento de sinais, principalmente os complexos (HALL; LLINAS;
CRANE, 2002).
Villarrubia et al. (2017) propuseram um método para otimização de problemas,
envolvendo funções objetivas, aproximando-as através de uma regressão não-linear por meio
de redes neurais artificiais.
No ramo dos motores de combustão interna também vemos a aplicação das RNAs,
recentemente Luján et al. (2017) publicou um trabalho sobre isso. Sob regime permanente,
dados para treinamento e validação foram consolidados para um motor turbo diesel. Foi
analisado um tipo de treinamento adaptativo para sua RNA junto do Backpropagation
convencional; também adotaram a metodologia da validação cruzada. Seu algoritmo de
51
treinamento adaptativo demonstrou melhores resultados, em relação a aceleração de
aprendizado e menor complexidade na rede.
52
4 MODELAGEM MATEMÁTICA
Nesse tópico será abordado sobre a criação dos modelos matemáticos utilizados,
descrevendo-os detalhadamente. Para cada propriedade mecânica em estudo (G12 e Xt) foram
desenvolvidas diferentes tipos de arquiteturas de RNAs, sendo todas elas baseadas em redes
Perceptron de múltiplas de camadas, treinadas pelo algoritmo de treinamento backpropagation.
Esses algoritmos serão diferenciados pela quantidade de dados na sua camada de
entrada, e, também, pelo seu tipo de arquitetura. No caso do módulo de cisalhamento
longitudinal (G12) uma delas terá uma arquitetura mista, na qual a RNA servirá apenas para
aproximar uma equação semi-empírica dos valores experimentais utilizados para treinamento.
Para a tensão última longitudinal (Xt) das laminas unidirecionais também teremos um modelo
misto, que, dessa vez, vai servir para aproximar um modelo teórico baseado na Regra das
Misturas.
A principal escolha desses tipos de modelos matemáticos (que são baseados em RNAs)
provém da sua simplicidade com respeito aos parâmetros de entrada junto de seu resultado final.
Os modelos mais simples, tal como a regra das misturas, apresentam valores discrepantes dos
experimentais, principalmente para algumas específicas propriedades mecânicas (E2, G12). O
modelo de Halpin-Tsai também possui essa simplicidade, apresentando poucos parâmetros de
entrada e, apesar de ser amplamente utilizado para modelagem de propriedades mecânicas, seus
resultados ainda apresentam um certo erro comparados com os valores experimentais. Os
modelos que tem uma precisão maior são mais complexos e necessitam de um grande volume
de variáveis de entrada, tais como coeficiente de Poisson e distribuição de fibras, parâmetros
esses mais difíceis de serem encontrados na literatura. Entretanto RNAs que trabalham com
poucas entradas (Gf, Gm, Vf) podem modelar tanto quanto ou mesmo superior aos dos modelos
mais complexos.
No treinamento dos algoritmos desenvolvidos utilizou-se a validação cruzada como
critério de parada. Os dados de treinamento foram divididos em duas partes: um conjunto de
treinamento (90 % do conjunto de dados) e um conjunto de teste (10 % do conjunto de dados).
Isso foi feito com o objetivo de se obter uma boa capacidade de generalização. Nas arquiteturas
desenvolvidas utilizou-se uma única camada oculta nos três modelos. O número de neurônios
nessas camadas variaram de 10 a 100, de modo que foi realizada uma verificação, em cada
modelo, para saber qual seria quantidade ideal em cada caso. Todos os neurônios ocultos
contém o bias e são ativados pela função sigmoide, já os neurônios da camada de saída tem
53
uma função de ativação linear. Os algoritmos com backpropagation foram baseados na regra
do Momento (HAYKIN; ENGEL, 2001).
Todos os modelos desenvolvidos foram treinados até o máximo de 20000 épocas, para
todas foi adotado uma taxa de aprendizado de 0,1 e uma constante do momento de 0,7. Ressalta-
se que tanto os neurônios de entrada quanto os de saída tiveram seus dados normalizados, pois
isso facilita no processo de aprendizagem da RNA.
Por fim, nessa parte inicial, vale descrever outro ponto fundamental que está
relacionado com a análise quantitativa dos valores vindo das RNAs. Essa análise vem do erro
médio quadrático (EMQ) e do coeficiente de correlação (r). A expressão utilizada para mensurar
o erro médio quadrático, com relação a propriedade mecânica em destaque, G12 ou Xt, é descrita
na equação 27.
21
( )2
real rnaEMQ P Pn
(34)
Tal que Preal é o valor “real” do módulo de cisalhamento ou da tensão última, vindo
dos valores experimentais e Prna é o valor vindo da RNA e pelos modelos de comparação, como
as equações de Halpin-Tsai. O termo n é a quantidade de dados usados.
4.1 DADOS OBTIDOS NA LITERATURA
Para o desenvolvimento desse trabalho foi necessário coletar uma base de dados,
devido a sua natureza baseada na criação de RNAs. Para isso, se pesquisou na literatura os
parâmetros necessários para o treinamento das respectivas redes neurais artificiais,
considerando as propriedades mecânicas em destaque: o módulo de cisalhamento longitudinal
e a tensão última longitudinal.
4.1.1 Dados – Módulo de Cisalhamento Longitudinal (G12)
Para o módulo de cisalhamento longitudinal foi necessário coletar os seguintes
parâmetros mecânicos de compósitos unidirecionais: módulo de cisalhamento da fibra (Gf),
módulo de cisalhamento da matriz (Gm), fração volumétrica da fibra (vf) e módulo de
cisalhamento longitudinal da lâmina (G12). Assim, se pesquisou na literatura especializada tais
como artigos científicos, livros, relatórios técnicos e sites relacionados, propriedades mecânicas
54
para o treinamento das RNAs (HERAKOVICH, 1998; LEVY NETO; PARDINI, 2006;
MENDONCA, 2005; AMERICAN SOCIETY FOR COMPOSITES et al., 2011; ADAMS;
PIPES, 2003; GIBSON, 1994; BERTHELOT; SEFRANI, 2007; BENEDIKT et al., 2001;
BENEDIKT; RUPNOWSKI; KUMOSA, 2003; ZRIDA et al., 2014; MIL HDBK-17-2F, 2002;
UEDA; ISHII; NISHIMURA, 2012; JELF; FLECK, 1992; WANG; BOMARITO, 2016; LO;
CHIM, 1992; www.matweb.com).
Na coleta de dados foram obtidos de 77 compósitos unidirecionais uma serie de valores
de módulo de cisalhamento de fibra, matriz e compósito, como também o valor respectivo de
fração volumétrica. Destes, 67 foram escolhidos para conjunto de treinamento e 10 para
validação. As fibras utilizadas na fabricação das laminas unidirecionais coletadas são de vários
tipos, das quais temos as fibras de carbono (T300, T700, T800, AS, AS-4, HMS, IM6, IM7,
Grafite), fibras de vidro (E-Glass e S2-Glass) e fibras de aramida (KEVLAR). As matrizes
avaliadas foram epóxi, poliéster, plaster of paris , plumbers solder e Peek. A plaster of paris é
uma matriz feita com um tipo de gesso molhado que seca rapidamente. O plumbers solder é
uma matriz feita de material usado na solda. O PEEK é um polímero orgânico termoplástico.
As tabelas 1 e 2 mostram os valores do módulo de cisalhamento que foram obtidos da literatura,
para os compósitos unidirecionais.
Tabela 4.1 – Valores coletados da literatura do módulo de cisalhamento longitudinal, para fibra e
matriz.
Fibra Módulo da Fibra (GPa) Matriz Módulo da Matriz (GPa)
Carbono
Kevlar
Vidro
8 – 27
2,8
30 – 35
Epóxi
Poliéster
Plaster of Paris
Plumbers Solder
Peek
Vinyl Ester (470-36)
1,1 – 2.2
0,7 – 2
2
1,3
1,4
1,3
55
Tabela 4.2 – Módulo de cisalhamento longitudinal dos compósitos unidirecionais.
Compósito G12 (GPa)
Carbono/Epóxi
Carbono/Peek
Carbono/Poliéster
Kevlar/Epóxi
Vidro/Epóxi
Vidro/Plaster of Paris
Vidro/Plumbers Solder
Vidro/470-36
3.6 – 7.26
4.08 – 8.11
4.3 – 4.8
1.82 – 2.3
2.45 – 8.12
2.3
1.91
2.89
Como é possível ver nas tabelas 1 e 2, utilizou-se os valores máximo de fibra, e matriz
e compósito, Gfmax = 35 GPa, Gmmax = 2.2 GPa e G12max = 8.12 GPa, respectivamente; dessa
forma, os seus respectivos valores normalizados são indicados nas equações 28, 29 e 30.
,
max
f
f nor
f
GG
G (35)
,
max
mm nor
m
GG
G (36)
12
12,
12max
nor
GG
G (37)
Vale salientar que devido a fração volumétrica variar entre 0 e 1, esse parâmetro de
entrada, das RNAs, não precisou ser normalizado.
56
4.1.2 Dados – Tensão Última Longitudinal (Xt)
Para a tensão última longitudinal foi necessário coletar os seguintes parâmetros
mecânicos de compósitos unidirecionais: módulo de elasticidade da fibra (Ef), módulo de
elasticidade da matriz (Em), fração volumétrica da fibra (vf), tensão última da fibra (σf) e a tensão
última longitudinal da lâmina (Xt). Logo, pesquisou-se na literatura especializada artigos
científicos, livros, relatórios técnicos e sites relacionados referentes às propriedades mecânicas
para o treinamento das RNAs (ADAMS; PIPES, 2003; GIBSON, 1994; GOODMAN;
DODIUK, 2014; VALERY V. VASILIEV; EVGENY V MOROZOV, 2001; HERAKOVICH,
1998; ZHENG-MING, 2001; NA et al., 2017; HEXCEL, 2016a, 2016b, 2016c, 2016d, 2016e,
2016f, 2016g, 2016h; GRAFIL, 2017; DAUKSYS et al., 1968; GRAFIL, 2017; HASHI et al.,
POLYONE, 2017, TORAYCA, 2017a, 2017b; DAUKSYS; PAGANO; SPAIN, 1968;
HANDBOOK, 2002; NEWBOOK, 2012; QUARTZEL, 2004; TOMBLIN; MCKENNA;
RAJU, 2001a, 2001b, 2001c, 2001d; JPS, 2016).
Na coleta de dados foram obtidos de 98 compósitos unidirecionais uma serie de valores
de módulo de elasticidade de fibra e matriz, tensão última de fibra e compósito, como também
o valor respectivo de fração volumétrica. Destes, 84 foram escolhidos para conjunto de
treinamento e 14 para validação. As fibras utilizadas na fabricação das lâminas unidirecionais
coletadas são de vários tipos, tendo dessas as fibras de carbono (AS4, AS4C, AS7, IM6, IM7,
IM8, IM10, T300, T650, T700, T800, H63, GY-70, M55J), fibras de vidro (E-Glass e S2-Glass,
D-Glass, Quartz®) e fibras de aramida (Kevlar®, Kevlar 49). As matrizes avaliadas foram são
das seguintes resinas: epóxis, PEEK, cianeto éster, vinil éster e bismaleimidas. Possuindo, essa
última resina, um comportamento mecânico parecido com a da resina epóxi, entretanto, com
maior resistência a altas temperaturas. A resina de cianeto éster é uma resina de ótimas
propriedades mecânicas que vem sendo bastante explorada nos últimos anos, tendo maior
ênfase na indústria aeroespacial e de microeletrônicos (GOODMAN; DODIUK, 2014). A
tabela 3 mostra os valores do módulo de elasticidade da fibra e da matriz dos compósitos
unidirecionais, e tabela 4 mostra os valores da tensão última de fibra e da tensão última
longitudinal das laminas.
57
Tabela 4.3 – Valores coletados da literatura do módulo de elasticidade para fibra e matriz.
Fibra Módulo da Fibra (GPa) Matriz Módulo da Matriz (GPa)
Carbono
Aramida
Vidro
200 – 540
100 – 124
70 – 90
Epóxi
Cianeto Éster
Vinil Éster
Bismaleimidas
PEEK
2.5 – 4.67
3.1 – 3.4
3
4.2
3.66
Tabela 4.4 – Tensão última de fibra e tensão última longitudinal dos compósitos unidirecionais.
Fibra Tensão última (GPa) Compósito Xt (GPa)
Carbono
Aramida
Vidro
2500 – 6964
3700 – 3860
2047 – 6000
Carbono/Epóxi
Carbono/Cianeto Éster
Vidro/Vinil Éster
Carbono/Bismaleimidas
Vidro/Epóxi
Carbono/PEEK
Aramida/Epóxi
1620 – 3310
2210
584
2015
930 – 1800
2100 – 2550
1300 – 2500
Como é possível ver nas tabelas 3 e 4, os valores máximos de fibra e matriz, para o
módulo de elasticidade e tensão última de fibra e da lamina, respectivamente, são: Ef,max = 540,
Em,max = 4.67, σf,max = 6964; dessa forma, os seus respectivos valores normalizados são indicados
nas equações 31, 32, 33 e 34.
,
max
f
f nor
f
EE
E (38)
58
,
max
mm nor
m
EE
E (39)
,
max
f
f nor
f
(40)
,
max
tt nor
t
XX
X (41)
Ressalta-se que devido a fração volumétrica variar entre 0 e 1 esse parâmetro de
entrada das RNAs não precisou ser normalizado.
4.2 DESCRIÇÃO DOS MODELOS
As descrições dos modelos de RNA que foram utilizados serão divididas de acordo
com a propriedade mecânica em destaque, sendo nesse caso o módulo de cisalhamento
longitudinal ou a tensão última longitudinal das lâminas. A seguir temos os principais tipos de
modelos que foram adotados para cada situação.
4.2.1 Modelos – Módulo de Cisalhamento Longitudinal (G12)
Nesta seção serão descritos os três modelos de estudo para previsão do módulo de
cisalhamento dos compósitos unidirecionais. As arquiteturas das RNAs serão demonstradas em
esquemas, junto das respectivas funções que se desejam modelar.
4.2.1.1 Modelo de Duas Entradas
O modelo de duas entradas é considerado o modelo mais simples, por ter uma menor
quantidade de entradas ele pode facilitar o processo de aprendizagem da rede. Mostra-se na
59
figura 4.1 a arquitetura da rede, com seus dois (neurônios de entradas, e seu neurônio de saída,
todos acompanhados do bias (-1).
Na equação 35 temos a função que se deseja modelar com a RNA, tal que G12/Gm
representa a razão do módulo de cisalhamento do compósito pelo módulo de cisalhamento da
matriz, o termo Gf/Gm indica a razão do módulo de cisalhamento da fibra pelo da matriz,
respectivamente. O termo Vf é o volume de fibra ou fração volumétrica.
Figura 4.1 – Arquitetura da RNA de duas entradas – G12.
Fonte: Elaborado pelo autor.
12 ,
f
f
m m
GGf V
G G
(42)
A ideia de simplificação proposta pelo modelo foi inspirada em vários modelos
empíricos e semi-empíricos encontrados na literatura (MENDONCA, 2005). A maior vantagem
dessa modelagem é a diminuição do número de pesos sinápticos, em caso de o problema se
mostrar de simples solução uma RNA mais complexa será desnecessária. Vale ressaltar que
esse modelo já foi utilizado para prever outra propriedade mecânica, como o módulo de
elasticidade transversal (CÂMARA; FREIRE, 2011).
Mostra-se na figura 4.2 o fluxograma do treinamento da RNA de duas entradas, tal que
o termo G12,R representa os valores experimentais do módulo de cisalhamento longitudinal,
coletados da literatura, para os materiais compósitos unidirecionais. O termo G12,RNA representa
o valor de G12 adquirido pela RNA, onde e é a diferença do valor que saí da rede para os valores
60
experimentais e W representa a atualização dos pesos sinápticos, vindo do algoritmo de
treinamento.
Figura 4.2 – Fluxograma do treinamento da RNA de duas entradas – G12.
Fonte: Elaborada pelo autor.
4.2.1.2 Modelo de Três Entradas
A RNA de três entradas (figura 4.3) possui sua arquitetura constituída de três neurônios
de entrada (módulo de cisalhamento da fibra, módulo de cisalhamento da matriz e a fração
volumétrica da fibra) e um neurônio de saída (módulo de cisalhamento longitudinal do
compósito unidirecional), de modo a satisfazer a relação da equação 36, em que, semelhante ao
caso anterior, G12 representa o módulo de cisalhamento longitudinal, Gf representa o módulo
de cisalhamento da fibra, Gm é o módulo de cisalhamento da matriz e Vf é a fração volumétrica
da fibra. Mostra-se na figura 4.4 o esquema do fluxograma de treinamento desta RNA, seguindo
pelo mesmo raciocínio do modelo anterior, mudando apenas os tipos de dados que vão servir
de comparação para o funcionamento do algoritmo backpropagation.
12 , ,f m fG f G G V (43)
61
Figura 4.3 – Arquitetura da rede de três entradas – G12.
Fonte: Elaborada pelo autor.
A grande diferença desta arquitetura da anterior é que a mesma, por aumentar o número
de entradas da RNA, se torna mais complexa, isto é uma vantagem no sentido de prever uma
resposta mais precisa ao problema, desde que o mesmo necessite disso, porém faz com que o
número de dados experimentais para o treinamento deva ser aumentado.
Figura 4.4 – Fluxograma de treinamento da RNA de três entradas – G12.
Fonte: Elaborada pelo autor.
62
4.2.1.3 Modelo Misto
O modelo da RNA mista possui uma estrutura mostrada nas figuras 4.5 e 4.6. No caso
desta modelagem, os resultados vindos da RNA serão combinados com os de um modelo
empírico, muito utilizado para o cálculo dessa (G12) e outras propriedades mecânicas mais
complexas (E2, v12), já descrito anteriormente, modelo de Halpin-Tsai. Desse modo, a aplicação
da RNA vai servir para aproximar o valor vindo das equações de Halpin-Tsai, para os valores
retirados da literatura, os experimentais. Ou seja, a saída da RNA vai representar o erro (ed) que
é dado pela diferença entre os valores dos módulos de cisalhamento obtidos experimentalmente
e os valores do módulo de cisalhamento obtidos a partir da equação de Halpin-Tsai.
Figura 4.5 – Fluxograma da RNA mista – G12.
Fonte: Elaborada pelo autor.
63
Figura 4.6 – Fluxograma do treinamento da RNA mista – G12.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como é possível ver nas figuras 4.5 e 4.6 existe uma aproximação analítica para se
obter o valor do G12, de forma que com a ajuda da RNA é possível melhorar os resultados.
4.2.2 Modelos – Tensão Última Longitudinal (Xt)
Nesta seção serão descritos os quatro modelos de estudo para previsão da tensão última
longitudinal dos compósitos unidirecionais. As arquiteturas das RNAs serão demonstradas em
esquemas, junto das respectivas funções que se desejam modelar.
4.2.2.1 Modelo de Três Entradas
O modelo de três entradas foi o modelo mais simples criado para predizer o Xt . Vale
ressaltar que um modelo de duas entradas também foi proposto, entretanto seus resultados
ficaram muito abaixo do esperado e, por isso, não se achou razoável mostrar seus resultados
nessa seção. Mostra-se na figura 4.7 a arquitetura da rede, com seus três neurônios de entradas,
e seu neurônio de saída, todos acompanhados do bias (-1).
64
Figura 4.7 – Arquitetura da RNA de três entradas – Xt.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na equação 37 temos a função que foi modelada com a RNA, tal que Xt representa a
tensão última longitudinal da lâmina, σf a tensão última da fibra, Em/Ef a razão do módulo de
elasticidade da matriz pelo da fibra, respectivamente. O termo Vf é o volume de fibra ou fração
volumétrica.
, ,t f m f fX f E E V (44)
Mostra-se na figura 4.8 o fluxograma do treinamento da RNA de três entradas, tal que
o termo Xt,Experimental representa os valores experimentais da tensão última longitudinal,
coletados da literatura, para os materiais compósitos unidirecionais. O termo Xt,RNA representa
o valor de Xt adquirido pela RNA, na qual e é a diferença do valor que sai da rede para os
valores experimentais e W representa a atualização dos pesos sinápticos, vindo do algoritmo
de treinamento.
65
Figura 4.8 – Fluxograma do treinamento da RNA de três entradas – Xt.
Fonte: Elaborada pelo autor
4.2.2.2 Modelo de Quatro Entradas
A RNA de quatro entradas (figura 4.9) possui sua arquitetura constituída de quatro
neurônios de entrada (fração volumétrica de fibra, módulo de elasticidade da matriz, módulo
de elasticidade da fibra e tensão última da fibra) e um neurônio de saída (tensão última
longitudinal da lâmina), de modo a satisfazer a relação da equação 38, sendo que, semelhante
ao caso anterior, Xt representa a tensão última longitudinal da lâmina, Ef representa o módulo
de elasticidade da fibra, Em é o módulo de elasticidade da matriz e Vf é a fração volumétrica da
fibra.
66
Figura 4.9 – Arquitetura da RNA de quatro entradas – Xt.
Fonte: Elaborada pelo autor.
, , ,t f m f fX f E E V (45)
Mostra-se na figura 4.10 o esquema do fluxograma de treinamento desta RNA,
seguindo pelo mesmo raciocínio do modelo anterior, mudando apenas a quantidade de entradas,
mas possuindo o mesmo tipo de dados que vão servir de comparação para o funcionamento do
algoritmo backpropagation.
67
Figura 4.10 – Fluxograma do treinamento da RNA de quatro entradas – Xt.
Fonte: Elaborada pelo autor.
4.2.2.3 Modelo Misto de três entradas
O modelo da RNA com modelo misto possui uma estrutura mostrada nas figuras 4.11
e 4.12. No caso desta modelagem, os resultados vindos da RNA serão combinados com os de
um modelo teórico, vindo da Regra das Misturas, para o cálculo da tensão última (Xt), modelo
que, segundo a literatura, tem uma aproximação razoável com os valores experimentais
(MENDONCA, 2005). Assim, a aplicação da RNA vai servir para aproximar o valor vindo da
equação teórica para os valores retirados da literatura, os experimentais. Ou seja, da mesma
forma que no cálculo do G12, a saída da RNA vai representar o erro (ed) que é dado pela
diferença entre os valores da tensão última longitudinal obtidas experimentalmente e dos
valores de tensão última da fibra obtidas a partir da equação teórica.
68
Figura 4.11 – Fluxograma da RNA mista de três entradas – Xt.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 4.12 – Fluxograma da RNA de três entradas – Xt.
Fonte: Elaborada pelo autor.
4.2.2.4 Modelo Misto de quatro entradas
O modelo da RNA com modelo misto de quatro entradas possui uma estrutura
mostrada nas figuras 4.13 e 4.14. Muito semelhante ao modelo anterior, com a única diferença
69
que a quantidade de entradas será aumentada para quatro. Assim, nessa modelagem, os
resultados vindos da RNA serão combinados com os de um modelo teórico, vindo da Regra das
Misturas, representado nas figura 4.13 e 4.14 como Eq. Teórica, para o cálculo da tensão última
(Xt). Logo, a aplicação da RNA vai servir para aproximar o valor vindo da equação teórica para
os valores experimentais.
Figura 4.13 – Fluxograma da RNA mista de quatro entradas – Xt.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 4.14 – Fluxograma da RNA mista de quatro entradas – Xt.
Fonte: Elaborada pelo autor.
70
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Nesta seção serão mostrados os principais resultados dos treinamentos das RNAs, para
as duas propriedades mecânicas analisadas, Xt e G12, com seus respectivos modelos propostos
de duas, três, quatro entradas junto dos modelos mistos, como foi dito anteriormente. Será
realizado, também, uma análise comparativa dos valores vindos da RNA com os valores
experimentais. O modelo de Halpin-Tsai será o parâmetro de comparação para validação das
RNAs relacionadas com o módulo de cisalhamento longitudinal (G12), e o modelo teórico,
vindo da Regra das Misturas, para as RNAs que calculam a Tensão Última Longitudinal,
portanto, os primeiros resultados virão dos modelos comparativos para cada propriedade em
destaque.
5.1 MÓDULO DE CISALHAMENTO LONGITUDINAL (G12)
Os resultados relacionados com o módulo de cisalhamento longitudinal foram
divididos da seguinte maneira: para cada modelo proposto serão analisados o erro médio
quadrático em função das épocas de treinamento, ressaltando os valores obtidos da validação
cruzada. Ainda, serão realizadas análises comparativas com os dados experimentais por meio
de uma análise direta dos valores vindos das saídas das RNAs, e, outra análise através de curvas
de Gf/Gm que vão representar faixas em que teremos porções de dados experimentais
correspondentes com os valores indicados em gráficos.
No último item será apresentado uma análise comparativa de todos os valores obtidos
dos modelos, em tabela, com uma discursão dos principais resultados, e, por fim, uma análise
gráfica comparativa do menor erro encontrado em todos os modelos, por meio da validação
cruzada.
Os valores vindos da equação de Halpin-Tsai serão os primeiros a serem apresentados
frente aos valores experimentais retirados da literatura destacada no item 4.1.1.
5.1.1 Modelo de Halpin-Tsai
Como explicitado na figura 5.1, os resultados obtidos pela equação de Halpin-Tsai
frente aos valores experimentais, para o módulo de cisalhamento (G12). Essa análise
comparativa permite uma melhor visualização dos dados, com relação ao quão próximo esses
estão dos valores experimentais. Assim, quanto mais próximos da linha comparativa estiver os
71
dados, melhor é sua aproximação. Nesse modelo, ver-se que a maioria dos dados estão abaixo
da linha comparativa, ou seja, em geral, para esses dados, a equação fornece valores inferiores
aos dos experimentais.
Figura 5.1 – Gráfico comparativo do modelo de Halpin-Tsai.
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
G12 H
alpin
-Tsa
i (G
Pa)
G12
Experimental (GPa)
Dados
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para esse modelo, frente aos dados experimentais, os valores de erro médio quadrático
encontrado foi de 0,00411, com coeficiente de correlação de 0,888, o que é uma forte
correlação.
Representa-se na figura 5.2 os resultados obtidos pela equação de Halpin-Tsai, em uma
análise do módulo da lâmina sobre o módulo da matriz (G12/Gm). O esquema dessa figura divide
o grupo de dados obtidos em quatro, de modo a facilitar a análise comparativa. As formas
geométricas indicam os valores experimentais, já as curvas representam os valores da equação
de Halpin-Tsai.
72
Figura 5.2 – Curvas obtidas pelo modelo de Halpin-Tsai, frente aos valores experimentais.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
1
2
3
4
5
6
7 Gf/G
m
4 2 a 7
10 8 a 15
20 16 a 25
30 26 a 35
G12/G
m
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor.
O esquema de grupos, representado na figura 5.2, será o mesmo para todos os modelos
de RNA. Basicamente, esses grupos foram divididos considerando o valor da razão do módulo
de cisalhamento da fibra pelo módulo de cisalhamento da matriz Gf/Gm, e a quantidade de dados
disponíveis. Os valores escolhidos foram de 2 a 7, 8 a 15, 16 a 25 e 26 a 35. As curvas para
esses modelos foram obtidas para os valores Gf/Gm = 4, 10, 20 e 30.
5.1.2 RNA de duas entradas
Através da validação cruzada, foi realizada uma análise das RNAs por meio do erro
médio quadrático (EMQ) em função das épocas de treinamento da rede, como apresenta-se na
figura 5.3. Para esta arquitetura, os melhores resultados ocorreram nas primeiras épocas de
treinamento. Em trabalhos anteriores (CÂMARA, 2013), o resultado obtido por um modelo de
RNA de duas entradas, que foi utilizada na análise do módulo de elasticidade transversal (E2),
apresentou resultados inferiores aos obtidos pelo modelo de Halpin-Tsai; para a análise do G12
apresentou resultados semelhantes os valores vindos da equação de Halpin-Tsai, com EMQ na
73
mesma ordem de grandeza, de 0,0017 (frente ao obtido por Halpin-Tsai de 0,0041) e um
coeficiente de correlação de 0,885 (e no de Halpin-Tsai de 0,888).
Figura 5.3 – Erro médio quadrático para a RNA de duas entradas.
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
0,005
1E-3
0,01
Err
o M
édio
Quad
ráti
co
Épocas de Treinamento
Dados de Treino
Dados de Teste
Fonte: Elaborada pelo autor
É explicitado na figura 5.4 uma análise comparativa, focando apenas nos valores de
G12 vindos da RNA. Analisaram-se os dados de treinamento e os dados de teste em um gráfico
de valores, sendo perceptível que quanto mais próximos da linha azul esses estão tem-se uma
linearidades dos valores da RNA com os experimentais. Os valores se mostraram bem
distribuídos tanto para baixo quanto para altos valores de G12. Para esse modelo, vê-se um
alinhamento da maioria dos dados com alguns poucos dados distantes da linha comparativa,
que mostra que o modelo foi bem sucedido na modelagem dos dados.
74
Figura 5.4 – Gráfico comparativo do modelo da RNA de duas entradas.
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10 G
12 R
NA
(G
Pa)
G12
Experimental (GPa)
Dados de treino
Dados de teste
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mostra-se na figura 5.5 uma análise completa dos dados, na qual se verifica que apenas
a curva com Gf/Gm = 30 não condiz com os valores experimentais, todas as outras curvas
produziram boas aproximações apesar da dispersão dos valores experimentais. Assim, pode-se
considerar que esse modelo mais simples foi capaz de generalizar bem os valores, não se
recomendando seu uso para valores com uma relação Gf/Gm maior que 25. Essa falta de
confiabilidade, para a curva com Gf/Gm igual 30, é explicável pela quantidade de dados de
treinamento que é muito pequena (5 dados experimentais), assim a rede não foi capaz de
apresentar bons resultados nessa faixa. Vale ressaltar que a curva Gf/Gm = 4, para baixas frações
volumétricas, não conseguiu generalizar bem pois seu comportamento não condiz com as
expectativas, isso ocorreu devido a sua fração volumétrica (G12/Gm) ficar abaixo de 1, entre 0,0
e 0,5 de fração volumétrica.
75
Figura 5.5 – Curvas obtidas pela RNA de duas entradas, frente aos valores experimentais.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
1
2
3
4
5
6
7 Gf/G
m
4 2 a 7
10 8 a 15
20 16 a 25
30 26 a 35
G12/G
m
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como já explicitado, esse mesmo modelo de RNA com duas entradas foi proposto para
modelar o módulo de elasticidade transversal, mas não obteve sucesso. Uma das explicações
do seu melhor comportamento para o módulo de cisalhamento pode estar na equação de Halpin-
Tsai, pois nesse modelo um dos parâmetros usados para o modelar o sistema, o , tem valor
distinto para o G12, no caso 1, e 2 para o E2. Isso pode ser um indicativo que essa propriedade
é mais fácil de ser modelar em RNAs, devido a sua equação se mostrar mais simples.
5.1.3 RNA de três entradas
Na RNA de três entradas foi utilizada a validação cruzada como critério de parada, da
mesma maneira que o modelo anterior. Analisando a curva da figura 5.6, vê-se o erro médio
quadrático em função da épocas de treinamento. Para este caso, os melhores resultados foram
encontrados para uma quantidade de 98 neurônios na camada oculta. O valor adquirido pela
validação cruzada foi de 0,0033, que é maior que o modelo anterior, entretanto seus valores
para os dados de teste ficaram melhores. Para esse modelo, vê-se que as curvas do EMQ para
76
os dados de treino e de teste ficaram praticamente sobrepostas, com a mesma ordem de grandeza
variando na faixa de 0,002 e 0,003. O coeficiente de correlação também apresentou um
resultado inferior ao do modelo de Halpin-Tsai, com valor de 0,8754 e EMQ de 0,0033.
Figura 5.6: Erro médio quadrático para a RNA de três entradas
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
5E-4
0,005
1E-3
0,01
Err
o M
édio
Quad
ráti
co
Épocas de Treinamento
Dados de Treino
Dados de Teste
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mostra-se na figura 5.7 um gráfico comparativo dos valores de teste e treino com
relação aos valores vindos da RNA. A linha comparativa é parâmetro de referência, em que
quanto mais próximo dessa linha mais próximo dos valores experimentais estarão os valores
vindos da RNA. Neste caso, vemos que o modelo não apresenta uma boa distribuição entre os
valores da RNA e os experimentais. Para valores de G12 menores que 5 GPa a RNA encontra
um valor superior ao valor experimental, enquanto que para valores maiores vemos que a RNA
encontra valores inferiores aos experimentais. Nesse modelo vê-se, também, que os dados de
teste, tiveram valores mais próximos dos experimentais.
77
Figura 5.7 – Gráfico comparativo do modelo da RNA de três entradas.
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10 G
12 R
NA
(G
Pa)
G12
Experimental (GPa)
Dados de treino
Dados de teste
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mostra-se na figura 5.8 uma análise das curvas obtidas pelo modelo da RNA de G12/Gm
em função da fração das fibras, e dos dados dos compósitos unidirecionais obtidos na literatura.
O comportamento das curvas não aparentou muitos ganhos, em comparação com a RNA de
duas entradas, e ficou com um comportamento diferente das curvas de Halpin-Tsai, inferindo-
se, com isso, que os valores obtidos na validação cruzada que foram menores.
O uso das RNAs requer um grande número de dados de treinamentos para que se tenha
ótimos resultados com confiabilidade. Na figura 5.8, assim como na figura 5.5 a curva de Gf/Gm
igual a 30 não possui dados suficientes para se ter uma boa generalização, gerando grandes
possibilidades de erro. Por conta disso, modelos de RNAs juntos de equações teóricas,
empíricas e semi-empíricas mostram sua importância, principalmente no quesito de
generalização, com isso é possível se ter resultados satisfatórios mesmo sem a presença de
muitos dados de treinamento em determinada região.
78
Figura 5.8 – Curvas obtidas pela RNA de três entradas, frente aos valores experimentais
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
1
2
3
4
5
6
7 Gf/G
m
4 2 a 7
10 8 a 15
20 16 a 25
30 26 a 35
G12/G
m
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor
5.1.4 RNA mista
Da mesma maneira que nas arquiteturas anteriores, o critério de parada de treinamento
foi a validação cruzada, com o objetivo de se obter a resposta mais apropriada aos dados
experimentais. Nesse modelo se utilizou uma RNA com 58 neurônios ocultos, e o resultado do
EMQ pelas épocas de treinamento é indicado na figura 5.9. O valor de EMQ obtido na análise
da validação cruzada foi de 0,0020, já o valor do coeficiente de correlação de 0,9068 foi o
melhor de todos os modelos.
79
Figura 5.9 – Erro médio quadrático para a RNA mista.
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
0,002
0,004
0,006
0,008
Err
o M
édio
Quad
ráti
co
Épocas de Treinamento
Dados de Treino
Dados de Teste
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como foi comentado anteriormente, o modelo misto se baseia nos valores das
equações semi-empíricas de Halpin-Tsai, para que, junto de uma RNA, um ajuste nessas
equações seja realizado para aproximar seus resultados dos valores experimentais.
Mostra-se na figura 5.10 um gráfico comparativo, semelhante aos das figuras 5.7, 5.4
e 5.1, para o modelo da RNA mista. Nesse modelo vê-se uma maior proximidade dos valores
da RNA mista com os valores reais, principalmente dos dados de treino, quando comparado
com os outros modelos. Observa-se também que os valores ficaram distribuídos mais próximos
da linha comparativa, o que condiz com seu maior valor de coeficiente de correlação (0,9068).
80
Figura 5.10 – Gráfico comparativo do modelo da RNA mista.
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10 G
12 R
NA
(G
Pa)
G12
Experimental (GPa)
Dados de treino
Dados de teste
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mostra-se na figura 5.11 uma curva de comparação com os dados experimentais da
razão de G12/Gm com quatro curvas constantes de Gf/Gm em função da fração volumétrica da
fibra. As curvas desse modelo mostram um comportamento bem semelhante ao do modelo de
Halpin-Tsai, contudo observa-se as curvas se apresentam mais próximas dos dados
experimentais, como era de se esperar para o modelo que busca aperfeiçoar o modelo de Halpin-
Tsai.
81
Figura 5.11 – Curvas obtidas pela RNA mista, frente aos valores experimentais.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
1
2
3
4
5
6
7 Gf/G
m
4 2 a 7
10 8 a 15
20 16 a 25
30 26 a 35
G12/G
m
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor
5.1.5 Análise Comparativa – G12
Fazendo uma comparação dos EMQ, através da tabela 5.1, infere-se que os modelos
com os menores erros foram os modelos de duas entradas e o modelo misto. O modelo de duas
entradas teve uma diminuição de mais 58% do valor do EMQ em relação ao modelo de Halpin-
Tsai e o modelo misto de 51%. O maior valor de coeficiente de correlação pertence ao modelo
misto. Todos os três modelos mostraram resultados satisfatórios em termos de erro médio
quadrático, ou seja, obtiveram valores melhores que os do modelo de Halpin-Tsai. Apesar do
exposto, em termos de coeficiente de correlação apenas a rede mista obteve maior um valor
superior.
82
Tabela 5.1 – Comparação dos modelos das RNAs com o modelo de Halpin-Tsai.
MODELO EMQ r Neurônios Ocultos
RNA mista
RNA de três entradas
RNA de duas entradas
Halpin-Tsai
0,0020
0,0033
0,0017
0,0041
0,9068
0,8740
0,8851
0,8880
58
98
78
––
Ressaltam-se que todos os três modelos foram criados sob as mesmas condições e
esses valores foram encontrados através de uma série de treinamentos, nos quais os melhores
resultados, em relação ao número de neurônios e das épocas de treinamento, foram coletados e
mostrados nesse capítulo. O gráfico na figura 5.12 representa os valores obtidos do EMQ para
cada modelo analisado na tabela 3, no qual é possível ver que RNA mista e a RNA de duas
entradas obtiveram próximos da metade dos de Halpin-Tsai.
Figura 5.12 – Erro médio quadrático para cada modelo analisado – G12.
Fonte: Elaborada pelo autor.
5.2 TENSÃO ÚLTIMA LONGITUDINAL (XT)
Os resultados relacionados com a tensão última longitudinal dos compósitos
unidirecionais foram divididos da seguinte forma: assim como no G12, para cada modelo
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
RNA mista RNA de trêsentradas
RNA de duasentradas
Halpin-Tsai
EM
Q
83
proposto serão analisados o erro médio quadrático em função das épocas de treinamento,
ressaltando os valores obtidos na validação cruzada. Também, serão realizadas análises
comparativas com os dados experimentais, por meio de uma visualização gráfica direta dos
valores vindos das RNAs frente aos valores experimentais, e de uma análise gráfica de curvas
que vão representar regiões de valores de Ef/Em, também frente aos dados experimentais.
No último item será apresentado uma análise comparativa dos cinco modelos em
destaque, com os principais valores obtidos, em tabela, junto de um gráfico comparativo do
EMQ para todos os modelos e uma breve discursão dos principais resultados obtidos.
Os valores vindos do modelo teórico vindo da Regra das Misturas serão os primeiros
a serem apresentados frente aos valores experimentais retirados da literatura destacada no item
4.1.1.
5.2.1 Modelo da Regra das Misturas
Como explicitado na figura 5.13, tem-se os valores obtidos pela equação teórica,
baseada na Regra das Misturas, frente aos valores experimentais, para a tensão última
longitudinal (Xt). Essa análise comparativa permite uma melhor visualização dos dados da
mesma forma que nos modelos para G12, portanto, tal análise diz o quão próximo esses estão
dos valores experimentais. Logo, quanto mais próximos da linha comparativa estiver os dados,
melhor é sua aproximação. Para esse modelo, percebe-se que a maioria dos dados estão acima
da linha comparativa, de forma que, em geral, para os dados obtidos na literatura, a equação
fornece valores superiores aos dos experimentais.
84
Figura 5.13 – Gráfico comparativo do modelo teórico vindo da Regra das Misturas.
0 1000 2000 3000 4000 50000
1000
2000
3000
4000
5000
Xt T
eórico (
MP
a)
Xt Experimental (MPa)
Dados Experimentais
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para esse modelo, frente aos dados experimentais, o valor de erro médio quadrático
encontrado foi de 0,0118, com coeficiente de correlação de 0,7417.
Representa-se na figura 5.14 os resultados obtidos da equação da Regra das Misturas,
em uma análise da razão da tensão última da lamina pela tensão última da fibra (Xt/σf). O
esquema da figura divide o grupo de dados experimentais em dois, de forma a facilitar a análise.
Semelhante aos do modelo de G12, as formas geométricas indicam os valores experimentais, já
as curvas representam os valores da equação teórica.
85
Figura 5.14 – Curvas obtidas pelo modelo teórico, frente aos valores experimentais.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,80,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Em
/Ef
0.0135 0.005 à 0.017
0.0322 0.02 à 0.05
Xt/
f
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor.
O esquema de grupos, representado na figura 5.14, será o mesmo para todos os
modelos de RNA. Sobretudo, esses grupos foram divididos considerando o valor da razão do
módulo de elasticidade da matriz pelo módulo de elasticidade da fibra Em/Ef, e a quantidade de
dados disponíveis. Os valores escolhidos foram de 0,005 a 0,017 e de 0,02 a 0,05. As curvas
para esses modelos foram obtidas para os valores de 0,0135 e 0,0322.
De acordo com os resultados, pode-se inferir que, mesmo com as dispersões dos dados,
as curvas não aparentaram descrever bem o comportamento do sistema, descrevendo duas retas,
praticamente sobrepostas, que não passam sobre a maioria dos dados nem os separa em duas
regiões.
5.2.2 RNA de três entradas
Utilizando-se da validação cruzada, foi realizada uma análise da RNA de três entradas
por meio do erro médio quadrático (EMQ) em função das épocas de treinamento da rede, como
apresenta-se na figura 5.15. Para essa arquitetura os melhores resultados ocorreram nas últimas
épocas de treinamento, como é possível ver no gráfico da figura 5.15, no qual a curva dos dados
de teste vai diminuindo lentamente mesmo na últimas épocas de treinamento.
86
Vale esclarecer que um outro modelo ainda mais simples que o de três entradas, um
modelo de duas entradas, também foi testado para a tensão última longitudinal, entretanto, seus
resultados ficaram muito abaixo do esperado, não sendo valido para servir de análise
comparativa com o modelo teórico.
Fazendo uma análise comparativa com o modelo teórico, ver-se que o modelo de três
entradas apresentou ótimos resultados, principalmente com relação ao erro tirado da validação
cruzada, ficando com uma casa decimal a mais que o modelo teórico, de 0,00398 (frente ao
obtido no modelo teórico de 0,0118) e um coeficiente de correlação de 0,8026 (frente ao de
0,7417 do modelo teórico).
Figura 5.15 – Erro médio quadrático para a RNA de três entradas – Xt.
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
0,005
0,05
1E-3
0,01
Err
o M
édio
Qu
adrá
tico
Épocas de Treinamento
Dados de Treino
Dados de Teste
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mostra-se na figura 5.16 um gráfico de comparação dos valores de teste e treino com
relação aos valores vindos da RNA. Assim como no modelo anterior, a linha comparativa é
parâmetro de referência, em que quanto mais próximo dessa linha mais próximo dos valores
experimentais estarão os valores vindos da RNA. Percebe-se uma dispersão nos valores,
caracterizada também pelo baixo valor de coeficiente de correlação, entretanto, com um
87
comportamento dos dados bem melhor distribuído na linha comparativa, com relação modelo
anterior.
Figura 5.16 – Gráfico comparativo do modelo de RNA de três entradas – Xt.
0 1000 2000 3000 4000 50000
1000
2000
3000
4000
5000
Xt R
NA
(M
Pa)
Xt Experimental (MPa)
Dados de treino
Dados de teste
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor
Mostra-se na figura 5.17 a outra análise comparativa dos dados, na qual, como já foi
explicitado no modelo anterior, tem-se apenas duas curvas separando os dados, de acordo com
a razão de Em/Ef. É possível ver uma enorme dispersão nos dados, principalmente daqueles com
fração volumétrica igual a 0,6, pois grande parte dos dados experimentais tinha esse valor
tabelado, vindos de diversas referencias como um valor normalizado, o que pode não resultar
em algo muito preciso. Logo, o objetivo principal seria dividir os dados em uma região superior
e inferior, mesmo com a dispersão, os dados em triângulo ficariam mais na faixa de cima e os
dados em quadrado na faixa de baixo. Por não ter dados com baixas frações volumétricas para
o treinamento, o início das curvas tiveram um comportamento bem diferente do final que no
começo, se apresentando bem diferentes das retas do modelo teórico. Mesmo assim, não se ver
uma clara separação de regiões, o que deixa esse gráfico com pouca confiabilidade.
88
Figura 5.17 – Curvas obtidas pela RNA de três entradas, frente aos valores experimentais.
0,2 0,4 0,6 0,80,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Em
/Ef
0.0135 0.005 à 0.017
0.0322 0.02 à 0.05
Xt/
f
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor.
5.2.3 RNA de quatro entradas
Assim como na RNA de três entradas, por meio da validação cruzada, foi realizada
uma análise da RNA de quatro entradas por meio do erro médio quadrático (EMQ) em função
das épocas de treinamento da rede, como apresenta-se na figura 5.18. Para essa arquitetura, os
melhores resultados ocorreram nas últimas épocas de treinamento, como é possível ver no
gráfico da figura 5.18, a curva dos dados de teste sob levemente perto da época 8000 e depois
decaí chegando a um valor mínimo próximo das últimas épocas.
Esperava-se que esse modelo tivesse um comportamento inferior ao passado (de três
entradas), entretanto, o modelo apresentou melhores resultados, tendo um dos melhores valores
de coeficiente de correlação e de erro médio quadrático.
Fazendo uma análise comparativa com o modelo teórico, ver-se que o modelo de
quatro entradas apresentou resultados ainda melhores que os do modelo de três entradas, tendo
o erro na casa dos 0,002616 (frente ao obtido no modelo teórico de 0,0118) e um coeficiente de
correlação de 0,8799 (frente ao de 0,7417 do modelo teórico).
Na figura 5.19 mostra-se a análise comparativa dos valores de teste e treino com
relação aos valores vindos da RNA. Nesse modelo, percebe-se uma menor dispersão dos dados
89
quando comparados com os dois modelos anteriores, como era de se esperar devido aos valores
encontrados na validação cruzada.
Figura 5.18 – Erro médio quadrático para a RNA de quatro entradas - Xt..
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
0,005
0,05
1E-3
0,01
Err
o M
édio
Qu
adrá
tico
Épocas de Treinamento
Dados de Treino
Dados de Teste
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 5.19 – Gráfico comparativo do modelo de RNA de quatro entradas – Xt.
0 1000 2000 3000 4000 50000
1000
2000
3000
4000
5000
Xt R
NA
(M
Pa
)
Xt Experimental (MPa)
Dados de treino
Dados de teste
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
90
Mostra-se na figura 5.20 a segunda análise comparativa para o modelo de quatro
entradas, semelhante aos dois casos anteriores. De uma forma teórica, pode-se interpretar que
a tensão última da lâmina está diretamente proporcional com a tensão última da fibra, portanto,
quanto mais forte é a fibra maior tende a ser o seu módulo de elasticidade, logo, curvas de Em/Ef
com as menores faixas de valores significam que possuem também os maiores módulos de fibra
e, portanto, lâminas com maiores resistências. Nesse modelo pode-se ver uma separação mais
clara das curvas na região final, onde estão dispostos os dados experimentais, dividindo-os,
então, em duas faixas, mostrando ser um modelo mais satisfatório, como era de se esperar
considerando os valores obtidos na validação cruzada.
Figura 5.20 – Curvas obtidas pela RNA de quatro entradas, frente aos valores experimentais.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,80,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Em
/Ef
0.0135 0.005 à 0.017
0.0322 0.02 à 0.05
Xt/
f
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor.
5.2.4 RNA Mista de três entradas
Com a validação cruzada, foi realizada uma análise da RNA mista de três entradas,
por meio do EMQ em função das épocas de treinamento da rede, como temos na figura 5.21.
Nessa arquitetura os melhores resultados ocorreram nas últimas épocas de treinamento, como
é possível ver no gráfico, a curva dos dados de teste vai diminuindo até as últimas épocas de
treinamento.
Por ser um modelo que se baseia em uma equação teórica, semelhante ao modelo de
Halpin-Tsai, esperava-se que todos os modelos de RNA mista mostrassem os melhores
91
resultados, porém essa RNA apresentou resultados semelhantes aos da RNA de três entradas,
não apresentando uma melhora significativa. Isso pode ter ocorrido devido aos baixos valores
de coeficiente de correlação encontrados no modelo teórico, não sendo possível que a RNA
melhore mais os resultados, quando comparado com o modelo de três entradas.
Os valores encontrados a partir da validação cruzada mostraram muita similaridade
com os da RNA de três entradas, tendo nesse o erro na casa dos 0,004254 (frente ao obtido no
modelo teórico de 0,0118) e um coeficiente de correlação de 0,7901 (frente ao de 0,7417 do
modelo teórico).
Figura 5.21 – Erro médio quadrático para a RNA Mista de três entradas - Xt..
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
0,005
0,05
1E-3
0,01
Err
o M
édio
Quad
ráti
co
Épocas de Treinamento
Dados de Treino
Dados de Teste
Fonte: Elaborada pelo autor.
Apesar da similaridade dos valores encontrados com os da RNA de três entradas, vale
ressaltar que um modelo que combina valores saídos de uma equação teórica junto dos valores
de uma rede neural é mais interessante pois possui uma maior capacidade de generalização.
Mostra-se na figura 5.22 a análise comparativa dos valores de teste e treino com
relação aos valores vindos da RNA. Como foi esperado, nesse modelo é possível perceber uma
maior dispersão quando comparado com o modelo de quatro entradas, semelhante ao
encontrado no modelo de três entradas.
92
Figura 5.22 – Gráfico comparativo do modelo de RNA mista de três entradas – Xt.
0 1000 2000 3000 4000 50000
1000
2000
3000
4000
5000
Xt R
NA
(M
Pa)
Xt Experimental (MPa)
Dados de treino
Dados de teste
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mostra-se na figura 5.23 a segunda análise comparativa, da mesma maneira que nos
casos anteriores, para Xt, temos as duas curvas da razão do módulo da matriz pelo módulo da
fibra (Em/Ef ). Para esse modelo, assim como no modelo de três entradas, não temos uma clara
separação das duas regiões pretendidas, assim, nesta análise, não se obteve uma boa
aproximação das curvas para com os dados, quando comparado com o modelo de quatro
entradas. Entretanto, quando comparado o modelo teórico, ver-se uma maior tendência das
curvas para os dados, uma vez que no modelo teórico as curvas apresentadas são apenas retas.
93
Figura 5.23 – Curvas obtidas pela RNA mista de três entradas frente aos valores experimentais.
0,2 0,4 0,6 0,80,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Em
/Ef
0.0135 0.005 à 0.017
0.0322 0.02 à 0.05
Xt/
f
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor.
5.2.5 RNA Mista de quatro entradas
Assim como nos modelos anteriores, a validação cruzada foi aplicada para se obter os
melhores valores de erro médio quadrático e coeficiente de correlação obtidos no momento do
treinamento. Mostra-se na figura 5.24 o EMQ em função das épocas de treinamento. Nessa
arquitetura os valores de erro foram encontrados nas últimas épocas, como é possível ver no
gráfico.
Os valores encontrados a partir da validação cruzada foram os melhores, mas
mostraram muita similaridade com os da RNA de quatro entradas. O erro ficou na casa dos
0,002599 (frente ao obtido no modelo teórico de 0,0118) e um coeficiente de correlação de
0,8843 (frente ao de 0,7417 do modelo teórico). Os valores encontrados mostram que as duas
RNAs de quatro entradas foram as que obtiveram os melhores resultados.
Mostra-se na figura 5.25 um gráfico comparativo dos valores de teste e treino com
relação aos valores vindos da RNA. O modelo presente no referido gráfico foi o melhor
sucedido, apresentando a menor dispersão dos dados. Ver-se então que tanto os dados de teste
como os dados de treino estão próximos da linha comparativa.
94
Figura 5.24 – Erro médio quadrático para a RNA de quatro entradas - Xt..
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
0,005
0,05
1E-3
0,01E
rro M
édio
Quad
ráti
co
Épocas de Treinamento
Dados de Treino
Dados de Teste
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 5.25 – Gráfico comparativo do modelo de RNA mista de quatro entradas – Xt.
0 1000 2000 3000 4000 50000
1000
2000
3000
4000
5000
Xt R
NA
(M
Pa
)
Xt Experimental (MPa)
Dados de treino
Dados de teste
Linha comparativa
Fonte: Elaborada pelo autor.
95
Mostra-se na figura 5.26 a segunda análise comparativa, assim como nos casos
anteriores, temos as duas curvas representadas pela seguinte razão: Em/Ef. Nesse modelo, assim
como no modelo simples de quatro entradas, temos uma maior separação das curvas melhor
realçando as duas regiões propostas, apesar da dispersão dos dados.
Figura 5.26 – Curvas obtidas pela RNA mista de quatro entradas, frente aos valores experimentais.
0,2 0,4 0,6 0,80,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Em
/Ef
0.0135 0.005 à 0.017
0.0322 0.02 à 0.05
Xt/
f
Fração Volumétrica de Fibra
Fonte: Elaborada pelo autor.
5.2.6 Análise Comparativa
Por meio da tabela 6 é possível fazer uma análise comparativa de todos os modelos
descritos nos itens anteriores. Os dois modelos que mais se destacaram foram os modelos com
quatro entradas, tanto o misto quanto o modelo simples, possuindo os menores erros e os
melhores coeficientes de correlação. Percebe-se que ambos tiveram valores similares, desses a
RNA de quatro entradas teve diminuição de mais de 77% do valor do EMQ em relação ao
modelo teórico e a RNA mista de quatro entradas de 78%. O melhor valor de coeficiente de
correlação ficou com a RNA mista de quatro entradas. Todos os quatro modelos mostraram
resultados satisfatórios em cima do modelo teórico, tanto em termos de erro médio quadrático
quanto em termos de coeficiente de correlação.
96
Mostra-se na figura 5.27 um gráfico com os valores do EMQ para todos os modelos
em destaque na tabela 6. É possível ver a grande diferença dos valores encontrados pela RNA
em comparação com o do modelo teórico, outra característica que já foi citada, e que é
facilmente percebível pelos valores, é a similaridade dos valores entre as RNAs de três entradas
e também das RNAs de quatro entradas. Essa aproximação dos valores pode ser um indicador
que o modelo misto não serviu para melhorar os valores encontrados na RNA, pelo menos não
significativamente, entretanto é um indicativo de maior generalização da RNA, e, por isso, esses
modelos mistos são superiores aos modelos simples.
Tabela 5.2 – Comparação dos modelos das RNAs com o modelo de Halpin-Tsai.
MODELO EMQ r Neurônios Ocultos
RNA de três entradas
RNA de quatro entradas
RNA mista de 3 entradas
RNA mista de 4 entradas
Eq. Teórica
0,00398
0,002617
0,004254
0,002599
0,0118
0,8026
0,8793
0,7901
0,8843
0,7417
82
82
66
64
––
Figura 5.27 – Erro médio quadrático para cada modelo analisado – XT.
Fonte: Elaborada pelo autor.
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
RNA 3 ent. RNA 4 ent. RNA M. 3 ent. RNA M. 4 ent. M. Teórico
EM
Q
97
6 CONCLUSÕES
Com base no exposto chegou-se nas seguintes conclusões:
Mostrou-se que é possível o uso das RNAs para a previsão do módulo de cisalhamento
longitudinal (G12) e da tensão última longitudinal (Xt) nos compósitos unidirecionais,
uma vez que os valores obtidos foram superiores aos dos modelos de comparação em
destaque no trabalho (Halpin-Tsai e Modelo Teórico).
Nos modelos criados para previsão do G12, o modelo misto foi o mais bem sucedido,
atingindo o melhor valor de coeficiente de correlação, cerca de 0,9068. Esse modelo
atingiu uma diminuição de mais de 51% no erro médio quadrático, em comparação com
o modelo de Halpin-Tsai. Esse modelo é considerado o melhor pois, mesmo com ótimos
valores de coeficiente de correlação e EMQ, esse ainda tem o maior potencial de
generalização, uma vez que combina os resultados da RNA, treinada para certas regiões,
com os de outro modelo que serve para qualquer região de valores.
Dos modelos criados para a previsão do G12, os modelos de duas e três entradas foram
superiores, em termos de EMQ, ao modelo de Halpin-Tsai. Entretanto, para esses
modelos, o coeficiente de correlação (0,8851 e 0,8740 para os modelos de duas e três
entradas, respectivamente) foram inferiores ao do modelo de Halpin-Tsai (0,8880). O
modelo de três entradas não apresentou um bom comportamento, com relação as quatro
(04) regiões em destaque, não sendo um modelo recomendado para o uso. Já o modelo
de duas entradas obteve ótimos resultados, tanto com relação as regiões quanto com
relação ao erro médio quadrático (o melhor, com 58% de diminuição) e coeficiente de
correlação, dessa maneira se recomenda também o uso dessa RNA, porém apenas para
as regiões analisadas nesta dissertação.
Dos modelos criados para a previsão do Xt, o modelo misto de quatro entradas foi o mais
bem sucedido, o qual atingiu os melhores valores de EMQ e coeficiente de correlação.
Com relação ao modelo teórico, esse modelo atingiu uma diminuição, em termos de
EMQ, de mais de 78%. O coeficiente de correlação obtido foi de 0,8843, frente a 0,7417
vindo do modelo teórico. Esse modelo também possui outra vantagem, semelhante ao
modelo misto do G12, por estar associado a um modelo teórico, esse modelo misto de
quatro entradas tem um maior potencial de generalização.
Os outros modelos criados para a previsão do Xt também foram muito bem sucedidos,
todos os três (modelo de três entradas, modelo misto de três entradas, e modelo de quatro
98
entradas) superando em muito o modelo teórico, principalmente com relação ao EMQ.
O modelo de quatro entradas teve valores bem próximos do modelo misto de quatro
entradas (EMQ de 0,002617 e coeficiente de correlação de 0,8793), porém se
recomenda seu uso apenas nas regiões de valores usadas no treinamento. Os modelos
de três entradas tiveram valores inferiores aos das RNAs de quatro entradas, com EMQ
na de 0,00398 e 0,00425, para o modelos simples o modelo misto, respectivamente. Os
coeficientes de correlação ficaram na faixa de 0,8. Conclui-se que os modelos de quatro
entradas tiveram valores bem aproximados, assim como os modelos de três entradas, e
isso pode ser um indicativo que o modelo misto não serviu muito para melhorar os
resultados qualitativamente, entretanto todos os modelos mistos contém um maior
potencial de generalização, sendo, portanto, os mais recomendados para uso.
Ao se observar, para os modelos relacionados ao Xt, nas duas regiões escolhidas para
análise, temos uma efetiva separação das regiões apenas nos modelos de quatro
entradas, não ficando bem claro essa separação para os modelos de três entradas.
Possivelmente isso ocorreu devido a quantidade de dados fornecido, e ou, devido a
simplicidade da arquitetura da RNA de três entradas, sendo essa propriedade (Xt)
correspondente apenas para arquiteturas mais complexas (como a RNA de quatro
entradas). Assim, para a tensão última longitudinal se recomenda o uso das RNAs de
quatro entradas.
99
7 REFERÊNCIAS
ABOUDI, J. Micromechanical analysis of composites by the method of cells. Applied Mechanics
Reviews, v. 42, n. 7, p. 193, 1 jul. 1989.
ADAMS, D. F.; DONER, D. R. Transverse normal loading of a unidirectional composite. Journal
of Composite Materials, v. 1, n. 2, p. 152–164, 1967.
ADAMS, D. F.; PIPES, R. B.; CARLSSON, L. A. Experimental characterization of advanced
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