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Processosde UmPasso

R. Alvarez

Processos de Um Passo

Robinson Franco Alvarez

Universidade Federal do ABC

[email protected]

December 3, 2014

Processosde UmPasso

R. Alvarez

Conteudo

1 Processo de Poisson

2 Passeio aleatorio com tempo continuo

3 Processo de um passo linear

4 Prop. Gerais do Processo de um passo

5 Fronteiras Naturais

6 Fronteiras Artificiais

Processosde UmPasso

R. Alvarez

Processo dePoisson

Passeioaleatorio

P1P linear

Prop.Gerais P1P

F. Naturais

F.Artificiais

Processo de Poisson

Processo de um passo: processo de Markov contnuo notempo cujo intervalo e composta de numeros inteiros n ecuja matriz de transicao W so permite saltos entre stiosadjacentes.

Matriz de Transicao:

Wnn = rnn,n1 + gnn,n+1(n 6= n)

com: Wnn = (rn + gn)(1)

Cuja ecuacao mestra e:

Ecuacao Mestra:

pn = rn+1pn+1 + gn1pn1 (rn + gn)pn (2)

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Processo dePoisson

Passeioaleatorio

P1P linear

Prop.Gerais P1P

F. Naturais

F.Artificiais

Processo de Poisson

rn [ pn

t

]nn1

gn [ pn

t

]nn+1

1 + 1 + 2

1 +1

+2 +1

W =

(r0 + g0) g0 0 0

r1 (r1 + g1) g1 0 0 r2 (r2 + g2) g2 ...

......

...

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Processo dePoisson

Passeioaleatorio

P1P linear

Prop.Gerais P1P

F. Naturais

F.Artificiais

Processo de Poisson

0 1 2

0 1

2 1

l

0

2

W =

(r0 + g0) g0 0r1 (r1 + g1) g10 r2 (g2 + r2)

Intuitivamente no estado (1):

p1 = Chega1 Sai1 = r2p2 + g0p0 (r1 + g1)p1

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Processo dePoisson

Passeioaleatorio

P1P linear

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Processo de Poisson

As chances de saltos de um estado para outro sao:

pij =

ri

ri+gi, si j = i 1;

giri+gi

, si j = i+ 1;

0, em outro caso.

Assim, um processo de nascimento e morte permanece emcada um dos seus estados um tempo exponencial, depois semove uma unidade para cima ou para baixo de acordo comas probabilidades acima.

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Processo dePoisson

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P1P linear

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Processo de Poisson

O processo de um passo pode ser subdividido em classes deacordo com seu intervalo:

1 n = (,)2 n = 0, 1, 2, 3, ...

3 n = 0, 1, 2, .., N

se o intervalo consiste em varios sub-intervalos separados porbrechas e nao pode haver quaisquer transicoes atraves dasbrechas, entao, o processo se decompoe em varios processosindependentes da classe (2) ou (3).

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Processo de Poisson

Outra divisao baseada em rn e gn:

1 : Coeficientes constantes independentes de n exceto,talvez, nas fronteiras (passeio aleatorio)

2 : Os coeficientes sao funcoes lineares de n (processo deum passo linear)

3 : Qualquer outro caso e chamado nao linear

Exemplo: Processo de um passo com probabilidade de transicaoconstate e um Processo de Poisson definido assim: ri = 0; gi = ;pi(0) = i,0 com um parametro constante. A equacao mestrae: p = (pn1 pn) que e um passeio aleatorio nos enteiros n =1, 2, 3...

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Processo de Poisson

Em outras palavras, um processo de Poisson e uma cadeiade nascimento e morte, onde as taxas de morte instantanear0, r1, . . . sao zero, e as taxas de natalidade instantaneosg0, g1, . . . sao todos iguais a uma constante :

pn = 0pn+1 + pn1 (0 + )pn = (pn1 pn) (3)

Portanto; seja: qn = etpn, entao:

pn = qnet pn = etqn pn

etqn qnet = qn1et qnet qn = qn1 qn =

ntn

n!

pn =et(t)n

n!

(4)

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Passeio aleatorio com tempo continuo

Considere um passeio aleatorio que nao tem limites: rn e gn ctes. e iguais. Elas podem ser absorvida em uma unidade detempo. A Ec. Mestra fica:


pn = pn+1 + pn1 2pn (5)

contem as caractersticas de um sistema de difusao. A solucaoda equacao de acima e:

Funcao de geracao de probabilidade

F (z, t) =

znpn(t) (6)

z variavel auxiliar. n pn(t) = 1, pn(t) 0 |z| = 1.

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F. Naturais

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tF (z, t) =

znpn(t) =

zn(pn+1 + pn1 2pn)

=

znpn+1 +

znpn1 2

znpn

=

zn1pn +

zn+1pn 2

znpn

=z1

znpn + z

znpn 2

znpn

=(z1 + z 2)

znpn = (z1 + z 2)F (z, t)

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F (z, t)

F (z, t)= (z1 + z 2)t F (z, t) = (z)e(z1+z2)t

Se nossas condicoes iniciais sao: F (z, 0) = 1 = (z), entao:

F (z, t) = e(z1+z2)t (7)

Note-se que:

F (z, t) = e2te(zt)ez1t = e2t

k=0

(zt)k

k!

l=0

(z1t)l

l!

= e2t

k,l=0

(zt)k

k!

(z1t)l

l!= e2t

k,l=0

tk+l

k!l!zkl

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Se k = n+ l:

F (z, t) = e2t

n+l,l=0

t2l+n

(l + n)!l!zn

=

n+l

zn

(e2t

l=0

t2l+n

(l + n)!l!

)

Em que:

pn(t) = e2t

l=0

t2l+n

(l + n)!l!(8)

Em que a soma e para tudo inteiro l > 0 e l + n > 0.

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Propriedades:

F (1, t) = 1;F (1, t)

z= n(t)

2F (1, t)

z2=n(t)2

n(t) (9)

Alternativamente:[ logF

z

]z=1

= n(t)[2 logF

z2

]z=1

=n(t)2

n(t)2 n(t) (10)

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Processo de um passo linear

Seja um processo cuja Ec. Mestra e:

Ec. Mestra processo de um passo linear

pn = (n+ 1)pn+1 + (n 1)pn1 (+ )npnCom n N; pi(0) = i,0; , > 0.

tF =

n=0

zn [(n+ 1)pn+1 + (n 1)pn1 (+ )npn]

=

n=0

(n+ 1)znpn+1 +

n=0

(n 1)znpn1

(+ )n=0

nznpn

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P1P linear

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tF =

n=1

nzn1pn + n=1

nzn+1pn (+ )n=1

nznpn

=

n=1

nzn1pn + z2n=1

nzn1pn z(+ )n=1

nzn1pn

=[z2 (+ )z + ]

n=0

nzn1pn

F

t=[z2 (+ )z + ] F

z(11)

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tF =[z2 (+ )z + ] zF

A solucao e:

F (z, t) =(1 e()t) ( e()t) z

e()t (1 e()t) z (12)Em que:

pn = (1 )(1 )n1 (13)

Com: =(e()t1)e()t e =

(e()t1)e()t

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Prop. Gerais do Processo de um passo

Propriedades:

Ef(n) = f(n+ 1) E1f(n) = f(n 1)

N1n=0

g(n)Ef(n) =Nn=1

f(n)E1g(n)

Utilizando estas propriedades a equacao mestra pode serescrita como:

Ec. Mestra

pn = (E 1) rnpn +(E1 1) gnpn (14)

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Note-se que o primeiro momento e definido como n =n npn de modo que:

t n =

npn

=

n[(E 1) rnpn +

(E1 1) gnpn]

=

n (E 1) rnpn +

n(E1 1) gnpn

Pelas propriedades anteriormente vistas:

t n =

rnpn(E1 1)n+ gnpn (E 1)n

=

rnpn(n 1 n) +

gnpn(n+ 1 n)=

rnpn +

gnpn = rn+ gn

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Exemplo: Seja a Eq. Mestra:

pn = a(E 1)(r + n)pn + b(E1 1)(g + n)pnNeste caso: rn = a(r + n) e b(g + n), portanto:

rn = a n+ ar e gn = b n+ bg

Entao: t n = a n ar + b n+ bg n[

n+(bgarba

)] = (b a)t n = e(ba)t (bg arb a

)

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Solucoes estacionarias de Processos de um passo:Seja a seguinte Ec. Mestra:

p = 0 = (E 1)rnpsn + (E1 1)gnpsnNote-se que: EE1f(n) = f(n), Entao:

0 = (E 1)rnpsn + (E1 EE1)gnpsn= (E 1)rnpsn (E 1)E1gnpsn= (E 1){rnpsn E1gnpsn}

Devido ao fato de ser um estado estacionario a equacao:

Jd = J = rnpsn E1gnpsne independente de n e e chamada de fluxo de probabilidade(Jd ou J) de n n 1 n 0.

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Tome-se a subclase 3, es decir, aquela em que n =0, 1, 2, 3, ..., N e J = 0, entao:

rnpsn = gn1p

sn1

rn1psn1 = gn2psn2

rn2psn2 = gn3psn3

... =...

r1ps1 = g0p

s0

Entao:

psn0 =gn1gn2 g1g0rnrn1 r2r1 p

s0 (15)

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Seja Novamente:

p = 0 = (E 1)rnpsn + (E1 1)gnpsnAgora tome-se: E1Ef(n) = f(n), Entao:

0 = (E E1E)rnpsn + (E1 1)gnpsn= (E1 1)Ernpsn (E1 1)gnpsn= (E1 1) {gnpsn Ernpsn}

Devido ao fato de ser um estado estacionario a equacao:

Ju = J = gnpsn Ernpsn

e independente de n e e chamada de fluxo de probabilidade(Ju ou J) de n n+ 1 n 0.

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Tome-se n 0 e J = 0, entao:gnp

sn = rn+1p

sn+1

gn+1psn+1 = rn+2p

sn+2

... =...

r2ps2 = g1ps1

r1ps1 = g0ps0

Entao:

psn0 =rn+1rn+2 r1r0gngn+1 g2g1 p

s0 (16)

0 1 2 .. .. n-1 n n+1 -1 -2 n

2 1 0 1 1

+1 1 0 1 2

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Para n 0, da propriedade de Normalizacao, N0 psn = 1 eobtido que:

ps0 +

Nn=1

(gn1gn2 g1g0rnrn1 r2r1 p

s0

)= 1

1 +

Nn=1

(n10 gnn1 rn

)=

1

ps0

Ou tambem:

ps0 =1

1 +N

n=1

(n10 gnn

1 rn

) (17)

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Exemplo: Encontrar a distribuicao estacionaria para rn =n2 e gn = (n+ 1). Note-se que:

psnps0

=12 n

1222 n2 =1

n!

(

)nExemplo: Encontrar a distribuicao estacionaria para rn =n2 e gn = .

psnps0

=

1222 n2 =1

(n!)2

(

)nExemplo: Encontrar a distribuicao estacionaria para rn =n e gn = (N n).

psnps0

=N(N 1) (N n+ 1)

12 n =(N

n

)(

)n

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Exemplo: Seja um Oscilador harmonico quantizado queinterage com um campo de radiacao. Seja n = 0, 1, 2, ... osestados do oscilador, tendo energias n = h

(n+ 12

). As

probabilidades de transicao sao proporcionais aos elementosda matriz do momento de dipolo, que desaparecem, excetoentre os estados adjacentes; entao o problema pode serconsiderado como processo de um passo. Seja gn = (n + 1)e rn = n. A Eq. Mestra e:

pn = (E 1)npn + (E1 1)(n+ 1)pnA solucao estacionaria e:

psnps0

=

n10 gnn1 rn

=12 . . . n

12 . . . n=

(

)n

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Alem, da Eq. para ps0 e obtido que:

ps0 =1

1 +

1

(

)n = 10

(

)n = 1 Note-se que da M.E. e sabido que:

pen =en

z p

en

pe0=en

e0=eh(n+1/2)

eh/2= ehn

Comparando os resultados:

penpe0 p

sn

ps0(eh

)n (

)n y =

= eh

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Note-se que:

=0

npsn =

0

h

(n+

1

2

)psn = h

(n+ 1

2

)O primeiro momento de n e definida como: n = n npsn,mas psn =

(

)nps0 = y

nps0. Entao:

n = ps00

nyn = ps0{

0y0 + 1y1 + 2y2 + 3y3 + }= ps0

{0 +

n=1

yn +

n=2

yn +

n=3

yn + }

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Se y < 1, entao:

n = ps0{

0 +

n=0

yn+1 +

n=0

yn+2 +

n=0

yn+3 + }

= ps0

{0 +

y

1 y +y2

1 y +y3

1 y + }

= ps0

(n=1 y

n

1 y)

= ps0

(n=0 y

n+1

1 y)

= ps0

(y

(1 y)2)

Como ps0 = 1 y, entao:

n = (1 y) y(1 y)2 =

y

1 y =eh

1 eh =1

eh 1

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A energia meia fica:

= h(

1

eh 1 +1

2

)= h

(1

eh/kT 1 +1

2

)

= 0 = heh/kT 1 (18)

Esta e a derivacao de Einstein da lei de Planck para a radiacaode corpo negro.

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Fronteiras Naturais

A equacao mestra tem fronteiras naturais, quando rn = r(n)e gn = g(n) sao funcoes analticas de n.Exemplo: suponha a seguinte Eq. mestra: Para tudo n =1, 2, 3, . . . , N 1, temos:

pn = r(n+ 1)pn+1 + g(n 1)pn1 {r(n) + g(n)} pnAlem:

p0 = r(1)p1 + g(1)p1 {r(0) + g(0)} p0pN = r(N + 1)pN+1 + g(N 1)pN1 {r(N) + g(N)} pN

-1 0 1 N N-1 N+1

(1) (0) ( 1) = 0

(1) 0 = 0 ( + 1) ()

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Fronteiras Artificiais

A equacao mestra tem fronteiras artificiais, quando pelomenos um estado e descrito por uma funcao especial que naoinclui as expressoes analaticas para rn e gn que rege os outrosestados. Ex: fronteiras refletoras, fronteiras de absorcao,fronteiras puras. Exemplo: Seja o conjunto de equacoespara pn com n = 0, 1, 2, ...

pN = pN+1 + pN1 2pN n = 1, 2, ...p0 = p1 + 0p1 2p0 n = 0

O estado n = 0 e uma fronteira artificial pura. As equacoes pode ser interpretado comoum passeio aleatorio com < n < em que as transicoes de 1 0 sao impossveis:caminhada de um bebado sem limite de um lado. a probabilidade total nao e conservada.

-1 0 1

0 1

1 1

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Obrigado!!!

Parte IProcesso de PoissonPasseio aleatrio com tempo continuoProcesso de um passo linearProp. Gerais do Processo de um passoFronteiras NaturaisFronteiras Artificiais

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