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LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
LISTA FINAL ESTUDO DE DERIVADAS E INTEGRAIS
GPI Prof. Marcelo FATEC ITAPETININGA [email protected]
Obs. Esta lista de exercícios tem o papel de ESTUDO
DIRIGIDO para que você se organize nos seus estudos
visando um melhor aprendizado e conseqüentemente um resultado satisfatório na próxima avaliação.
Não decore resoluções, aprenda a fazer.
(01) Encontre as seguintes integrais indefinidas:
a) dxxxx 578
b) dxxxx 257 46
c) dxxxx 456 15614
(02) Dê a derivada das seguintes funções:
a) y = x8 + 4x7 – 5x6 + 12x5 + 9x4 + 6x + 11
b) y = ln x
c) f(x) = x4 – 8x3 + 1,5x2 + 3x + 9
d) f(x) = 9x
e) f(x) = ex
f) f(x) = sen x
(03) Dada a função real
49
14728)(
2
2
x
xxxf
Calcule o limite usando fatoração
)(lim7
xfx
(04) Considere o gráfico
a) f(2)
b) f(3) c) Qual o ponto de mínimo do gráfico?
e) Calcule os limites laterais:
)(lim2
xfx
e )(lim2
xfx
f) Calcule )(lim2
xfx
e )(lim4
xfx
(05) Dê o valor das seguintes integrais definidas:
a) ∫ 5𝑥4 𝑑𝑥2
0
b) ∫ 1
𝑥 𝑑𝑥
900
35
c) ∫ 6 𝑑𝑥10
4
d) ∫ 10𝑥9 𝑑𝑥2
1
y
x
1
2
3
4
2 4 6 -1
(06) Um técnico coloca-se à disposição de seus
clientes para manutenção de computadores, instalação de redes e tirar poeirinha do cooler. Ele
estabelece um preço inicial fixo de R$ 60,00 mais um valor variável de mão de obra que depende do
número de horas trabalhadas. Sabemos que, com 10 horas de trabalho, ele cobra R$240,00. A reta
representada no gráfico a seguir nos dá o preço do serviço em função do número de horas (exceto preço
do transporte).
0) Quais os tipos de trabalho que ele oferece? a) Qual a fórmula matemática (função da reta) que
se ajusta a esse gráfico? b) Sem contar com o valor fixo inicial de 60 reais,
quantos reais o técnico cobra por hora ?
(07) Newton e Leibniz foram grandes pensadores e matemáticos. Além de escreverem inúmeros artigos e
atuar em várias áreas da Matemática, eles também
criaram muitos símbolos como f’(x) ou 𝑑𝑦
𝑑𝑥 . A simbologia
matemática é necessária para facilitar as demonstrações
e operações. Assim + significa “mais”, sifnifica
“infinito” e sifnifica “qualquer que seja”. Qual o símbolo que significa “o melhor de todos”?
(08) Faça o esboço do gráfico da função do segundo
grau y = –2t2 + 8t + 42 e aponte seus valores de mínimo OU de máximo.
(09) Calcule a integral definida:
∫ 𝑥2 𝑑𝑥6
3
(10) Faça um esboço do gráfico da função:
y = x3 – 5x2 – 25x + 125 e encontre os valores de x que nos dão máximo e
mínimo locais (raiz da derivada).
(12) Dê a derivada de:
a) y = 15x + x15
b) f(x) = x2 + 6x + 8
c) f(x) = x–5 + x0,7
d) f(x) = lnx + cosx
e) y = log8 x
(13) Encontre as integrais indefinidas:
a) dxx
1
b) dxxx 711
c) dxxx 2100 4
d) dxe x
e) dx9
Obs.: Essa é uma lista curta, com bem menos de 50
questões para estudar. Faça ela TODA, pois só assim
você irá tirar boa nota na P3.
(14) Dê o valor das seguintes integrais definidas.
a) 90
7
1dx
x
b) 10
8
3 dxx
c) 4
2
2 103 dxxx
d) 2
028 dxx
(15) A área sob a curva da função f(x), limitada pelo
eixo x e por x = a e x = b pode ser calculada, segundo Riemann, pela integral:
A = b
adxxf )(
Nestas condições, calcule a área sob a curva
f(x) = x2 + 2 e o eixo x limitada pelos pontos x = 1 e x = 3
(16) Assim como no exercício 15, calcule a área sob
a função f(x) = x
1 limitada por x = 2, x = 20 e o eixo
x.
(17) No projeto de fabricação de um mini HD plus-compact, certa empresa propõe que uma das suas faces
seja arredondada, aproveitando o formato do disco rígido, liberando assim espaço dentro da CPU quando ele
for instalado. A melhor proposta obtida é que o formato
desejado respeite a região sob a curva da parábola
f(x) = 0,5x2 + 7x 12, hachurada no gráfico abaixo, em
cm.
Responda: 0) O que significa a sigla HD, conhecida como disco
rígido no Brasil?
a) Considerando a ocupação de espaço dentro do gabinete em cada nível, qual será a área destinada a este HD?
A = 10
4
2 )1275,0( dxxx
b) Qual o maior comprimento desse HD, isto é, o valor máximo da parábola em cm?
Prof. Marcelo Silvério
(18) Uma grande indústria vinha tenho prejuízos
preocupantes em 2000. Seu faturamento começou a
aumentar significativamente após adotarem políticas de melhoria de qualidade. Apesar dos sobressaltos da crise
provocada pela greve dos portuários e dificuldades em exportação ocorrida em 2004, o faturamento foi bom e
voltou a aumentar no ano seguinte.
O gráfico que se obteve, considerando 2000 como 0, 2001 como 1 e assim por diante foi:
E a função matemática que melhor se ajusta a este
modelo é: f(x) = 4x3 – 48x2 + 180x – 192
Com Y dado em milhões de reais e x em ano. Responda:
0) Segundo o texto, porque em 2004 o faturamento teve
uma pequena queda?
a) Encontre os pontos de máximo e mínimo local
(valores de x). Para isso, faça a derivada igual a zero e calcule as raízes por delta. Veja a solução no
gráfico. b) Pela fórmula ou pelo gráfico, encontre o
faturamento da empresa em 2006. f(6) =
(19) Considere a função T(x) = x3 – 2x2 – 64x + 128 que
modela a variação de temperatura, a cada minuto, de uma
substância química colocada sob choque térmico (aquecida e resfriada) em algumas horas. Horários
negativos (x<0) indicam o dia anterior, sendo x = 0 a
meia noite. 0) O que está acontecendo com a substância?
a) Faça um esboço do gráfico da função.
b) Encontre os horários (valores de x) em que as
temperaturas foram máxima e mínima, limitadas ao intervalo de restrição.
(20) Calcule o limite:
284
492
7lim x
x
x
(21) Dê o valor dos seguintes logaritmos: a) log4 8192 =
b) log 30 =
(22) Resolva a equação do primeiro grau:
6.(2x + 4) = 3.(4x + 5)
(23) Encontre as funções derivadas:
a) y = cos(x)
b) y = x6 + 5x4 – 12x2 + 6x + 4
c) f(x) = 3
d) f(x) = ln(x)
e) f(x) = 70x
f) g(x) = x-70
g) h(x) = 3x
i) h(x) = log x
l) y = 1
𝑥3 (obs.: inverta a fração usando o valor oposto do expoente)
m) f(x) = 1
𝑥8
www.profmarcelo.com.br
(24) Considere s(t) a função horária do movimento
retilíneo uniformemente variado de uma partícula,
observada no caso particular: 2.4,0120640 tts
com unidades de medida no sistema internacional.
Sabemos que a velocidade média de um corpo é dada por
t
sVm
, que considera uma taxa de variação
S = Sfinal – Sinicial.
A velocidade instantânea, dada em cada tempo, pode ser
obtida pela diferencial dt
dsV , em que se substitui no
gráfico a reta secante dada pela taxa de variação por uma reta tangente ao ponto, dada pela derivada neste ponto.
0) Qual era o nome do seu professor de Física do 1º Colegial?
a) Determine a função velocidade instantânea, dada pela
derivada dt
dsV
b) determine a velocidade instantânea dessa partícula após 4 minutos de movimento (use t = 240 s).
240
)240(dt
dsV
(25) A derivada nos dá a taxa de variação instantânea.
Imagine que a taxa de transferência de dados pela
internet, durante um dia foi modelada pela função f(x) = ln(x) + sen(x)., com unidades em 100*kb/s.
Seu gráfico mostra que, apesar do ciclo de taxa de transferência, no geral foi aumentando durante as 24
horas do dia. O gráfico abaixo mostra isso:
Responda:
0) A transferência de dados pela internet também pode
ocorrer por upload ou download. Qual a diferença entre
eles? a) Olhando o gráfico, qual é o valor aproximado da taxa
de transferência às 8 horas? b) Qual a taxa de variação instantânea dos dados às 14
horas?
(26) Esboce o gráfico da função
f(x) = x2 – 12x + 36 e calcule qual a inclinação da reta tangente a esta parábola no ponto x = 5.
(27) Você foi contratado por uma empresa para
resolver o problema de um braço mecânico
que arrasta um container no pátio. É
necessário desenvolver um
software que calcule o
trabalho realizado
pelo braço sabendo que um movimento de subir e descer exige uma força variável que é modelada pela
função f(x) = –0,4x3 + 10 em que x é dado em metros e a força f(x) em Newton.
Para encontrar a força realizada pelo equipamento entre as posições x = 0 m e x = 2,9 m (dois metros
e noventa centímetros), pode-se calcular a área sob o gráfico da função limitada pelo eixo x, como
mostra a figura.
Responda:
0) Como você resolveria um problema de tendinite
em braço mecânico?
a) Todas as unidades, segundo o texto, estão no sistema internacional. Qual a unidade de medida da
Força? Qual a unidade de medida da distância? Qual a unidade de medida do Trabalho?
b) Calcule o trabalho realizado pela força exercida
pelo braço mecânico entre x = 0 m e x = 2,9 m.
b
a
N
dxxfÁrea )(
(28) A construção de um galpão para depósito
abrangera uma área em forma de quadrado no plano cartesiano com coordenadas (em metros):
P = (6;4) Q = (6;10) R(12;10) e S = (12;4) Responda:
0) O que poderia ser guardado neste galpão? a) Desenhe a figura que representa a região.
b) Qual a área ocupada pelo barracão?
(29) Em determinado país, a cotação do feijão sofreu
uma alta e uma queda acentuada. O preço do saco comportou-se segundo a parábola, sendo x em dias e P
em dólares.
Responda:
0) O gráfico refere-se aos preços de qual produto?
a) Encontre a função matemática do segundo grau, P(x),
que se ajusta a esse gráfico.
(não esqueça que o a será negativo na fórmula)
y = a.(x2 – soma.x + produto)
(30) Uma antena de wireless é instalada
numa praça pública, em espaço livre, e seu sinal alcança até 65 metros de raio.
Sabendo que a área de abrangência do sinal ao nível do solo é um círculo, calcule a área
total de cobertura em m2.
(31) Os preços de cada peça que temos em estoque estão
subindo dia a dia conforme o gráfico a seguir:
Assim, quando começamos a calcular os preços, no dia
30 do mês anterior (associado ao ponto x = 0 no gráfico)
o preço era 5 reais. Já no dia 10 o preço subira para 35 reais. Qual a fórmula matemática y = ax + b que ajusta
ao gráfico acima? Qual a previsão de preços para o dia 11?
[email protected] – Lista de Cálculo – Prof. Marcelo Silvério
(32) Encontre a integral indefinida:
∫ 5𝑥 𝑑𝑥
(33) Você já resolveu a questão 27?
(34) Aplicando as propriedades de derivadas, calcule a
derivada de:
a) f(x) = (x3 + 2x).senx
b) y = (x4+5)
lnx
(35) Calcule o valor do seguinte limite:
xx
xxx
x 82
8147lim 2
23
4
(36) Certo vidro de perfume é um recipiente com bases paralelas e iguais, porém irregulares. A lateral
reveste a periferia das bases formando com elas ângulos retos.
Sabemos que a base pode ser descrita como uma região do plano limitada pela curva
f(x) = –x3 + 4x , o eixo x e as retas x = 1 e x = 2. A altura do vidro é de 16 cm.
Para calcularmos seu volume, basta multiplicar a área obtida sob a curva pelo comprimento (altura) do
vidro que é 16 cm. Calcule-o.
f
x -2 0 1 2
(37) Considere um recipiente de vidro com bases
paralelas e idênticas. Cada base é uma região que pode ser descrita como a área sob o gráfico da
função f(x) = 4x3 , limitada pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 4. O recipiente tem uma altura de 15 cm
e as outras unidades também são dadas em cm.
Veja o desenho do recipiente de vidro.
y
x
Volume = Área x comprimento
Para calcular seu volume encontre a área sob o gráfico da função f(x) utilizando integral definida.
Esse valor deve ser multiplicado pela distância entre as faces (15 cm). Calcule o seu volume total.
(38) Estamos empilhando as novas caixas de copiadoras xerox com o formato de cubos de resta 1 m cada uma. A
pilha de caixas que montamos abaixo representa a forma como foram guardadas no depósito de uma
empresa. Qual é o volume total ocupado pela pilha de caixas?
1 m
(39) A porta USB (Universal Serial Bus) foi criada em 1994. Porém, em meados dos anos 2000 foram
criadas as portas USB 2, com taxa de transferência de 480 Mbps e agora, em 2012-2013 o lançamento
das portas USB 3, com taxa de transferência de 4,8 Gbps. Essa escala de crescimento é logarítmica.
Calcule a taxa de evolução de um para outro transformando os 4,8 Gbps em Mbps e fazendo o
cálculo da taxa de aumento-evolução A. A = log (4,8 Gbps) – log (480 Mbps)
16
1 4 15
(40) Calcule o limite
lim𝑥→∞
(23
𝑥+ 4)
(41) Calcule
log17 17
(42) A velocidade instantânea é dada pela derivada
da função. Determinada partícula move-se de acordo com uma função exponencial. Considere que a
integral de uma função exponencial cuja base é o número de Euler, isto é, ex é também a função ex
mais uma constante. E o logaritmo natural de e é igual a 1.
(43) Sendo f(2) =0, dê o conjunto solução da equação:
x3 – 11x2 + 38x – 40 = 0
GABARITO. Caso encontre divergência nos gabaritos, escreva
para [email protected]
(01) a) kxxx
689
689
com k R
b) x7 – x5 + x2 + k com k R
c) 2x7 + x6 – 3x5 + k com k R
(02) a) dx
dy = 8x7 + 28x6 – 30x5 + 60x4 + 36x3 + 6
b) y’ = x
1
c) f’(x) = 4x3 – 24x2 + 3x + 3 d) f’(x) = 9x.2,197
e) f’(x) = ex (pois o valor de ln(e) é 1) f) f’(x) = cosx
(03)
177
217lim
7
xx
xx
x
(04) a) f(2) = 2 b) f(3) = 2 c) (x,y) = (0,1)
d) )(lim2
xfx
= 3 )(lim2
xfx
= 2
e) )(lim2
xfx
não existe
4)(lim4
xfx
(05) a) 32 b) 3,2 c) 36 d) 1023
(06) 0) manutenção e espanador de cooler.
b) y = 18x + 60 c) R$18,00 por hora.
(07)
(08)
tM = 2
yM = 50
(09) = 𝑥3
3|3
6 = 72 – 9 = 63
(10)
Note que x = 5 é uma raiz dupla (multiplicidade 2)
Mínimo local em xmin = 5 e máximo local em xmáx = -1,6 [Somente para as classes que
viram máx. e mín. de cúbicas] (11) Não sei fazer.
-3 7
42
t
-5
y
125
5 x
(12) a) y = 15x.2,708 + 15x14
b) f’(x) = 2x + 6 c) f’(x) = –5x–6 + 0,7x–0,3
d) f’(x) = x
1 – senx
e) y’ = 08,2.
1
x
(13) Encontre as integrais indefinidas:
a) ln x + k com k R
b) 812
812 xx + k com k R
c) xx
x 22
202
5 + k com k R
d) xe + k com k R
e) 9x + k com k R
(14)
a) 90
7
1dx
x= 2,55 (valor definido e aproximado)
b) 10
8
3 dxx = 1476
c) 4
2
2 103 dxxx = 116
d) 2
028 dxx = 20
(15) 12,667 u2 (unidades quadradas)
(16) 2,3
(17) 0) Hard Disk é aquela pecinha que quando queima, f*
tudo.
a) 66 cm2, o menor HD do mundo. b) 12,5 cm de comprimento
(18) 0) greve dos portuários e dificuldades em exportação b) máximo para xmáx = 3 e mínimo para xmín = 5
c) 24 milhões.
(20) 3,5
(21) a) 6,5 b) 1,477
(22) Solução (vazia!)
(19)
b) xmáx = –4 (com 288ºC) e xmín = 5,33 (com –118,5ºC)
(23) Calcule as funções derivadas:
a) y’ = –senx
b) y’ = 6x5 + 20x3 – 24x + 6
c) f’(x) = 0
d) f’(x) = x
1
e) f’(x) = 70x.4,248
f) g’(x) = –70.x–71
g) h’(x) = 3
i) h(x) = 3,2.
1
x
l) y’ = −3
𝑥4
m) f’(x) = −8
𝑥9
(24) 0) Sei lá quem foi o seu professor.
a) dt
dsV = –120 + 0,8.t
b) 240
)240(dt
dsV = 72 m/s
(25) 0) Veja na internet a diferença entre upload e download para poder responder na prova.
a) Pelo gráfico, o ponto mostra mais ou menos f(8) = 3. Então a resposta correta é 3*100 kb/s, isto é, 300 kb/s.
b) f´(x) = 1/x + cos x f’(14) = 0,2. Tx de 0,2/tempo. [email protected]
(26)
O ponto de mínimo é xmin = 6 e ymín = 0 A derivada desta função é f’(x) = 2x – 12 No ponto x = 5, a reta tangente tem inclinação igual à derivada da parábola no ponto 5. f’(5) = 2.5 – 12 f’(5) = -2 (significa inclinação de 2 decrescente)
(27) 0) Você foi contratado por uma empresa para resolver o problema de consumo de combustível exagerado de uma colheitadeira.
É necessário desenvolver um projeto que calcule o trabalho realizado pela máquina sabendo que um movimento de subir e descer pequenos aclives exige uma força variável que é modelada pela função f(x) = –0,4x3 + 10 em que x é dado em metros e a força f(x) em Newton a) Força em newton (N). Distância em metro (m).
Trabalho em jaules (J). b) 21,9 J
c) Você tem professores que são Engenheiros Agrônomos. Mostre a figura a eles e pergunte, assim
você acertará na prova.
(28) 0) Ele é pequeno. Cabe talvez umas 100 mesas para computadores.
a) b) A = 36 m2 (29) 0) feijão
b) P(x) = -x^2 + 22x - 40
(30) 13.266,5 m2
(31) y = 3x + 5 f(11) = 38 reais
(32) 4𝑥
1,6+ 𝑘 , 𝑘𝜖𝑅
(33) Já fiz sim, professor. Essa questão está cheirando
prova.
(34) a) f’(x) = (3x2+2).senx + (x3 + 2x).cosx
b) 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
(4𝑥3).𝑙𝑛𝑥 − (𝑥4+5)∙1
𝑥
(𝑙𝑛𝑥)2
(35) 0,75 (36) Área de 2,25 que multiplicado pela altura 16 resulta em
36 u3 (37) primitiva F(x) = x4 + k variando de 1 a 4
Área da base = 255 com comprimento 15 cm.
Volume V = 3825 cm3 , recipiente com
capacidade para cerca de 3,8 litros.
(38) 17
(39) A = 1 (40) 4
(41) 1 (42) Essa questão não tem pergunta. Por que você
veio olhar resposta aqui, se não tem nada perguntando?
(43) S = 2; 4; 5}
______________________________ Lista final de exercícios de Cálculo GPI –
Prof. Marcelo Silvério Caso discorde do gabarito, escreva para:
Prof. Marcelo Silvério
.
