FB

V –

DeV

ry Brasil

Técnicas de P

rimitiva

Funções de U

ma V

ariável

Prof. R

ossini Bezerra

01 de37

A questão posta pela operação derivada, era: dada um

a função f(x), encontrar outra função, digam

os F(x), que é igual à f´(x), ou seja, igual à derivada de f(x).

Com

a nova operação que estudaremos, agora, a questão é, de certa form

a, posta de form

a inversa. Isto é, dada a função f(x), queremos determ

inar outra

()

´()

Fx

fx

=

A N

OÇ

ÃO

DE

PR

IMIT

IVA

´()

()

Fx

fx

=

posta de forma inversa. Isto é, dada a função f(x), querem

os determinar outra

função F(x), cuja derivada é igual à função dada:

Definim

os como p

rimitiva

esta função F(x) obtida com

tal procedimento.

Considerem

os f(x)=senx. D

esejamos encontrar um

outra função F(x), tal que,

F´(x)=

senx. Esta função procurada é F

(x)=-cosx, pois F

´(x)=senx.

Defin

ição 1. D

iz-se que F(x) é um

a prim

itivada função f(x), no intervalo [a,b], se

em todos os pontos deste intervalo, tem

-se F´(x)=

f(x).

Note que, para f(x)=

senx, a função G(x)=

-cosx +5 tam

bém tem

sua derivada igual a f(x); logo tam

bém ela é um

a primitiva de f(x). P

ortanto, uma função

qualquer admite m

ais de uma prim

itiva.

Ou

tros exem

plo

s:

3(

)f

xx

=um

a primitiva é:

4

()

4F

xx

=

()

cos

fx

x=

()

Fx

senx

=

1(

)f

x=

uma prim

itiva é:

()

lnF

xx

=um

a primitiva é:

()

fx

x=

()

lnF

xx

=um

a primitiva é:

Mas as funções:

4

()

54 x

Fx

=+

3(

)4

Fx

senx

=+

()

lnF

xx

a=

+

São, correspondentem

ente, primitivas das funções dadas.

Teorem

a. Se duas funções, F

1(x) e F2(x), são prim

itivas da função f(x), no intervalo [a,b], então, a diferença entre elas é um

a constante.intervalo [a,b], então, a diferença entre elas é um

a constante.

Dem

on

stração. P

ela definição de primitiva, tem

os que as derivadas das F1(x)

e F2(x) são iguais a f(x):

12 ´()

()

(́)

()

Fx

fx

Fx

fx

==

12

()

()

()

Gx

Fx

Fx

=−

Definindo a diferença de F

1(x) e F2(x) com

o uma nova função G

(x), teremos

Calculando agora a derivada de G

(x), temos:

Calculando agora a derivada de G

(x), temos:

12

12

´()

(́)

´()

´()

()

()

0

()

()

()

Co

nstan

te

Gx

Fx

Fx

Gx

fx

fx

Gx

Fx

Fx

=−

=−

=

=−

=

Basta então conhecer um

a primitiva, pois as dem

ais diferem apenas de um

a constante. P

odemos então escrever para a prim

itiva de uma função f(x)

:constante. P

odemos então escrever para a prim

itiva de uma função f(x)

:

()

Fx

C+

Defin

ição 2. D

enomina-se In

tegral in

defin

ida

de uma função f(x) a operação de

determinação da expressão da prim

itiva dessa função, F(x)+

C; esta operação é

simbolicam

ente representa por

()

fx

dx

∫∫P

ortanto, da definição, teremos

()

()

()

()

fx

dx

Fx

C

com

Fx

fx

=+

′=

∫

Pro

pried

ades:

Em

virtud

e da d

efinição

da o

peração

, temo

s qu

e a derivad

a de u

ma

integ

ral ind

efinid

a é igu

al à fun

ção d

ada, o

u in

tegran

do

:

()

()

()

()

()

()

fx

dx

Fx

CF

xf

x′

′′

=+

==

∫

Pro

pried

ades:

A d

iferencial d

e um

a integ

ral ind

efinid

a é igu

al à expressão

no

integ

rand

o

()

()

()

()

()

()

df

xd

xF

xC

dx

Fx

dx

fx

dx

′′

=+

==

∫Lem

brando que a diferencial de uma função é a sua derivada vezes a

diferencial da variável independente e usando o resultado anterior

A in

tegral in

defin

ida d

a diferen

cial de u

ma d

ada fu

nção

é igu

al à pró

pria

fun

ção m

ais um

a con

stante

()

()

dF

xF

xC

=+

∫(

)(

)d

Fx

Fx

C=

+∫

exemp

los:

43

xd

x

xd

x

senx

dx

∫∫∫

54

43

32

Fu

nçao

Deriv

ada

543

xx

xx

xx

54

5 xx

2

cos

senx

dx

xd

x

dxxdxx

∫∫∫∫

322

3

11

cos

cos

1

xx

xx

senx

x

xsen

x

tgx

−−

4cos

ln

1

x

senxxx

−−

2co

s

xe

dx

dx

x

∫∫

2co

s

1ln x

x

tgx

x

ee

xx

x x

etgx

−

Ou

tras pro

pried

ades:

Teorem

a. A integral indefinida da som

a algébrica de duas funções é a soma

algébrica das integrais indefinidas dessas funções:

()

()

()

()

()

fx

gx

dx

fx

dx

gx

dx

+=

+∫

∫∫

Dem

on

stração. C

alculando a derivada dessa integral temos:

Dem

on

stração. C

alculando a derivada dessa integral temos:

()

()

()

()

()

()

fx

gx

dx

fx

gx

′+

=+

∫M

as pela propriedade demonstrada antes

()

((

))

()

((

))

fx

fx

dx

gx

gx

dx

′=

′=

∫∫E

ntão

()

()

()

()

′′

′+

=+

∫∫

∫(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)f

xg

xd

xf

xd

xg

xd

x′

′′

+=

+∫

∫∫

O resultado à direita é o que se obtém

calculando a derivada do mem

bro direito da tese do teorem

a

()

()

()

()

()

()

()

fx

dx

gx

dx

fx

dx

gx

dx

′′

′+

=+

∫∫

∫∫

Teorem

a. Pode-se retirar um

fator constante de dentro do sinal de integração

()

()

cfx

dx

cf

xd

x=

∫∫

Dem

on

stração. C

alculando a derivada dessa integral temos:

Dem

on

stração. C

alculando a derivada dessa integral temos:

()

()

()

cfx

dx

cfx

′=

∫

Mas pela propriedade dem

onstrada antes

()

()

()

cfx

cf

xd

x′

=∫

Então

()

()

()

()

cfx

dx

cf

xd

x′

′=

∫∫

()

()

()

()

cfx

dx

cf

xd

x′

′=

∫∫

O resultado à direita é o que se obtém

calculando a derivada do mem

bro direito da tese do teorem

a

()

()

()

()

cf

xd

xc

fx

dx

′′

=∫

∫

PO

R M

UD

AN

ÇA

DE

VA

RIÁ

VE

L

Nem

sempre tem

os pela frente o cálculo de uma integral de um

a função elem

entar, mas de um

a composição delas. P

or exemplo

2co

ssen

xx

dx

∫2

cos

senx

xd

x∫

Entretanto, fazendo algum

as transformações, por m

udança de variável, podem

os chegar a expressões com funções elem

entares. No exem

plo, se olharm

os com cuidado, vem

os que :

cos

()

xdx

dsen

x=

Podem

os então fazer a transformação

usen

x=

cos

enta

o

du

dx

=

A integral torna-se:

32

3

3 uu

du

senx

C=

=+

∫

TÉ

CN

ICA

S D

E IN

TE

GR

AÇ

ÃO

OB

JET

IVO

:Apresentar técnicas para determ

inar a função F(x)

–conhecida com

o primitiva –

tal que F’(x) =

f(x)ou:

∫=

F(x

)dx

f(x

)∫

=F

(x)

dx

f(x

)

As principais técnicas de prim

itivação, para FU

NÇ

ÕE

S D

E U

MA

V

AR

IÁV

EL são:

–IN

TE

GR

AÇ

ÃO

PO

R S

UB

ST

ITU

IÇÃ

O D

E V

AR

IÁV

EL

–IN

TE

GR

AÇ

ÃO

PO

R P

AR

TE

S

–IN

TE

GR

AÇ

ÃO

PO

R D

EC

OM

PO

SIÇ

ÃO

EM

FR

AÇ

ÕE

SP

AR

CIA

IS

02 de37

Seguem

algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.

PA

RC

IAIS

–IN

TE

GR

AÇ

ÃO

UT

ILIZA

ND

O S

UB

ST

ITU

IÇÕ

ES

(PO

R M

EIO

DE

IDE

NT

IDA

DE

S) T

RIG

ON

OM

ÉT

RIC

AS

EX

ER

CÍC

IO 01

Calcular

∫+

dx

2x

1)

(x5

02

So

lução

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO

Seja u

= x

2+

1

Logo: 2xd

x = d

u

Assim

, a integral dada pode ser escrita como:

∫ INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO2

xd

x

du

=

∫du

(u)

50

C5

1 1)

(xC

51

ud

u(u

)5

12

51

50

++

=+

=∫

03 de37

EX

ER

CÍC

IO 02

Calcular

∫+

dx

9)

sen(x

So

lução

Seja u

= x +

9

Logo: dx =

du

Assim

, a integral dada pode ser escrita como:

∫ INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO1

dx

du

=

∫du

sen(u

)

C9)

cos(x

Cco

s(u)

du

sen(u

)+

+−

=+

−=

∫

04 de37

EX

ER

CÍC

IO 03

Calcular

∫d

xco

s(x)

(x)

sen2

So

lução

Seja u

= sen

(x)

Logo: cos(x)d

x = d

u

Assim

, a integral dada pode ser escrita como:

∫2

cos(x

)dx

du

=

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO

∫d

uu

2

C3

(x)

senC

3 ud

uu

33

2+

=+

=∫

05 de37

EX

ER

CÍC

IO 04

Calcular

∫dx

x

ex

So

lução

So

lução

Então

x2

1

x 1

2 1x

2 1x

dx d

dx

du

2 12 1

2 1

==

=

=

−

Seja u

=x

1

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO

Logo: = d

u

dx

x2

1

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra

forma.

06 de37

Assim

, a integral dada pode ser escrita como:

∫∫

∫=

=d

xx

2

12

ed

xx

2

2

1

ed

xx

ex

xx

Ce

2C

e2

du

e2

du

2e

xu

uu

+=

+=

=∫

∫

∫∫

=du

2e

dx

x2

12e

ux

du

2dx

x 1du

dx

x2

1=

⇒=

outra maneira de chegar aqui

sem m

anipular a função dada é fazendo (página 08):

Ce

2C

e2

du

e2

du

2e

+=

+=

=∫

∫Ou seja:

Ce

2dx

x

ex

x

+=

∫

07 de37

EX

ER

CÍC

IO 05

Calcular

∫−

dx

1x

x2

So

lução

Seja u

= x –

1

Logo: dx =

du

Se u =

x –1

Então x =

u + 1

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO

x2

= (u+

1) 2

x2

= u

2+

2u + 1

Assim

, a integral dada pode ser escrita como:

08 de37

∫+

+d

uu

1)

2u

(u2

ou:

∫∫

++

=+

+du

1u

u2u

uu

du

u1)

2u

(u2 1

2 1

2 1

22 1

2

∫ ∫∫

+

+=

+

+=

++

du

u2u

u

du

1u

u2u

uu

du

u1)

2u

(u

2 1

2 3

2 5

22

22

22

Portanto:

13

5

C

12 1 u

12 3 u

2

12 5 u

du

u2u

u

12 1

12 3

12 5

2 1

2 3

2 5

+

+

+

+

+

+

=

+

+

++

+

∫

09 de37

Cu

3 2u

5 4u

7 2du

u2u

u2 3

2 5

2 7

2 1

2 3

2 5

++

+=

+

+∫ F

inalmente:

Escrevendo em

termos de x:

C)1

(x3 2

)1(x

5 4)1

(x7 2

dx

1x

x2 3

2 5

2 7

2+

−+

−+

−=

−∫

10 de37

EX

ER

CÍC

IO 06

Calcular∫

dx

ex

x

So

lução

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

PA

RT

ES

A integral dada deve ser escrita na form

a .∫

dv

u

Seja, portanto:d

xe

xx

∫

xu

=dx

edv

x=

dx

du

=

xx

xe

dx

ev

dx

ed

v=

=→

=∫

∫∫ E

ntão:

∫Deste m

odo:

Ce

xe

dx

ex

ed

uv

uv

dv

ud

xx

ex

xx

xx

+−

=−

=−

==

∫∫

∫∫

a constante C pode ser

incluída apenas no final.

11 de37

EX

ER

CÍC

IO 07

Calcular∫

−dx

ex

x2

So

lução

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

PA

RT

ES

Seja:

2x

u=

dx

ed

vx

−=

Assim

:

dx

2x

du

=

xx

xe

dx

ev

dx

ed

v−

−−

−=

=→

=∫

∫∫ IN

TE

GR

AÇ

ÃO

PO

R P

AR

TE

S

xx

xe

dx

ev

dx

ed

v−

−−

−=

=→

=∫

∫∫P

ortanto:

2xdx

)e

(e

xdu

vuv

dv

udx

ex

xx

2x

2

∫∫

∫∫

−−

−−

−−

=−

==

12 de37

A últim

a integral é semelhante à original, com

a exceção de

ou:

dx

ex

2e

xd

xe

xx

x2

x2

∫∫

−−

−+

−=

(1)

A últim

a integral é semelhante à original, com

a exceção de que x

2foi substituído por x.

Ou

tra integ

ração p

or p

artesaplicada a

completará o problem

a.

dx

ex

x

∫−

Seja:x

u=

dx

ed

vx

−=

13 de37

Assim

:

dx

du

=

xx

xe

dx

ev

dx

ed

v−

−−

−=

=→

=∫

∫∫P

ortanto:

dx

)e

(e

xd

uv

uv

dv

ud

xe

xx

xx

∫∫

∫∫

−−

−−

−−

=−

==

ou:

xx

xx

xC

ee

xd

xe

ex

dx

ex

+−

−=

+−

=−

−−

−−

∫∫

(2)1

xx

xx

xC

ee

xd

xe

ex

dx

ex

+−

−=

+−

=−

−−

−−

∫∫

(2)

Substituindo (2) em

(1) resulta:

14 de37

[]1

xx

x2

1x

xx

2

xx

2x

2

C2

e2

ex

2e

x

Ce

ex

2e

x

dx

ex

2e

xd

xe

x

+−

−−

=

+−

−+

−=

+−

=

−−

−

−−

−

−−

−

∫∫

1C

2e

2e

x2

ex

+−

−−

=

Portanto:

Ce)

2x

2x(

dx

ex

x2

x2

++

+−

=−

−

∫

15 de37

Determ

inar ∫

++

++

++

dx

3)

2)(x

(x

92

0x

16

x4

x3

x2

2

23

4

EX

ER

CÍC

IO 08

O integrando é um

a fração própria, uma vez que o num

erador possui grau 4 e o denom

inador possui grau 5.

Pela regra do fato

r linear, o fator (x +

2) no denominador introduz

So

lução

INT

EG

RA

ÇÃ

O U

TILIZ

AN

DO

DE

CO

MP

OS

IÇÃ

O E

M

FR

AÇ

ÕE

S P

AR

CIA

IS: F

rações próprias

Pela regra do fato

r linear, o fator (x +

2) no denominador introduz

o termo:

2x

A+

16 de37

Pela regra do fato

r (qu

adrático

) repetid

o,o fator (x

2+

2) 2

presente no denominador introduz os term

os:

22

23

)(x

ED

x

3x

CB

x

+ ++

+ +

Assim

, a decomposição em

frações parciais do integrando é:

22

22

2

23

4

3)

(x

ED

x

3x

CB

x

2x

A

3)

2)(x

(x

92

0x

16

x4

x3

x

+ ++

+ ++

+=

++

++

++

Multiplicar os dois lados da equação por (x +

2)(x2

+ 3) 2

23

4A

92

0x

16

x4

x3

x+

++

+

22

22

2

22

22

22

23

42

2

3)

(x

ED

x3

)2

)(x(x

3x

CB

x3

)2

)(x(x

2x

A3

)2

)(x(x

3)

2)(x

(x

92

0x

16

x4

x3

x3

)2

)(x(x

+ ++

++

+ ++

+

++

++

=+

+

++

++

++

17 de37

que resulta:

E)

2)(D

x(x

C)

3)(B

x2

)(x(x

A3

)(x

92

0x

16

x4

x3

x2

22

23

4

++

++

++

++

=+

++

+

Expandindo o lado direito e reagrupando term

os semelhantes

resulta:

E)

29

A(6

C

xE

)2

D3

C(6

B

xD

)2

C3

B(6

A

xC

)(2

Bx

B)

(A9

20

x1

6x

4x

3x

2

34

23

4

++

++

++

++

++

++

++

=+

++

+

E)

29

A(6

C+

+

Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado,

obtém-se um

sistema de cinco equações algébricas lineares em

5 incógnitas:

18 de37

=+

++

=+

++

=+

=+

20

E2

D3

C6

B

16

D2

C3

B6

A

4C

2B

3B

A

=

++

=+

++

9E

26

C9

A

20

E2

D3

C6

B

A solução deste sistem

a resulta:

0E

4D

0C

2B

1A

==

==

=

Portanto:

Portanto:

22

22

2

23

4

3)

(x

4x

3x

2x

2x

1

3)

2)(x

(x

92

0x

16

x4

x3

x

++

++

+=

++

++

++

19 de37

Logo:

dx

3)

(x

4x

dx

3x

2x

dx

2x

1dx

3)

2)(x

(x

920x

16x

4x

3x

22

22

2

23

4

∫∫

∫∫

++

++

+=

++

++

++

dx

x4

dx

2x

dx

1

∫∫

∫+

+=

C2

xln

Cu

lndu

u 1dx

2x

1

dx

du

1dx

du

2x

u

++

⇒+

=⇒

+

=⇒

=

+=

∫∫

dx

3)

(x

x4

dx

3x

2x

dx

2x

12

22

∫∫

∫+

++

++

=

C3

xln

Cu

lndu

u 1dx

3x

2x

dx

2x

du

2x

dx

du

3x

u

2

2

2

++

⇒+

=⇒

+

=⇒

=

+=

∫∫

20 de37

dx

3)

(x

x4

dx

3x

2x

dx

2x

12

22

∫∫

∫+

++

++

=

C3)

2(x

1

2u 1

12

u

2 1du

u2 1

dx

x3)

(x

dx

x2 du

dx

2x

du

3x

u

dx

3)

(xx

dx

3)

(x

x

2

12

22

2

2

22

22

++

−⇒

−=

+−

⇒⇒

+

=⇒

=⇒

+=

+=

+

+−

−−

−

∫∫

∫∫

E, finalm

ente:

C3

x

23

xln

2x

lndx

3)

2)(x

(x

920x

16x

4x

3x

2

2

22

23

4

++

−+

++

=+

+

++

++

∫

21 de37

Sejam

as iden

tidad

es trigo

no

métricas:

EX

ER

CÍC

IOS

09

INT

EG

RA

ÇÃ

O D

E P

OT

ÊN

CIA

S Q

UA

DR

ÁT

ICA

S D

AS

FU

NÇ

ÕE

S T

RIG

ON

OM

ÉT

RIC

AS

SE

N(X

) E C

OS

(X)

2 cos2

x1

xco

s2 co

s2x

1x

sen2

2+

=−

=

Assim

,

∫∫

∫∫

−=

−=

dx

cos2

x2 1

dx

2 1d

x2 co

s2x

1d

xx

sen2

−

=

+sen

2x

1x

11

0

dx

du

2du

2x

u

dx

cos2

x

=⇒

=

=

∫

−

+

=2

21

02

Cu

sen2 1

du

uco

s2 1

dx

cos2

x

dx

22

dx

+= =

=⇒

=

∫∫

C4 2

xsen

2 xx

sen2

+−

=∫

22 de37

Da m

esma form

a, e utilizando a outra identidade trigonométrica:

C4 2

xsen

2 xx

cos

2+

+=

∫A integral

dx

xco

sx

sen2

2

∫pode ser resolvida fazendo:

()

()

11

dx

2 cos2

x1

2 cos2

x1

dx

xco

sx

sen2

2

∫∫

+

−

=

()

()

dx

cos2

x1

2 1co

s2x

12 1∫

+−

=

()d

x2

xco

s1

4 12

∫−

=

23 de37

()d

x2

xco

s1

4 12

∫−

=

dx

2x

cos

4 1d

x1

4 12

∫∫

−=

8

4x

sen

2 x

8

2u

sen

4 u

4 2u

sen

2 u

2 1du

uco

s2 1

dx

2x

cos

dx

2 du

2x

u

dx

2x

cos

22 2

+=

+=

+=

⇒

=⇒

=

∫∫ ∫

+−

=8

sen4

x

2 x

4 1

4 x

8

24

4

C3

2

sen4

x

8 x+

−=

24 de37

So

lução

EX

ER

CÍC

IO10

Determ

inar∫−

++

dx

6)

4x

sen(x

2)

(x2

So

lução

Seja u =

x2

+ 4x –

6

Então:

42x

du

+=

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO

42x

dx

du

+=

dx

2)

(x

2 dx

4)

(2x

du

+=

+=

25 de37

du

Mas:

∫−

++

dx

6)

4x

sen(x

2)

(x2

Logo, seja: d

x

2)

(x

2 du

+=

Assim

,

∫∫

∫=

=−

++

du

sen

(u)

2 1

2 du

sen(u

)dx

6)

4x

sen(x

2)

(x2

Sabe-se que:

Cco

s(u)

du

sen

(u)

+−

=∫

TAB

ELA

26 de37

Então:

C)

cos(u

)(

2 1dx

6)

4x

sen(x

2)

(x2

+−

=−

++

∫

C6)

4x

cos(x

2 1dx

6)

4x

sen(x

2)

(x2

2+

−+

−=

−+

+∫ Portanto:

27 de37

So

lução

EX

ER

CÍC

IO 11

Determ

inar∫+

+d

x

1x

x

x

2

So

lução

Seja u =

x2

+ x +

1

Então:

12x

dx

du

+=

dx

1)

(2x

du

+=

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO

Na integral original, fazer:

∫∫

∫+

+

−+

=+

+=

++

dx

1

xx

11

2x

2 1d

x

1x

x

2x

2 1d

x

1x

x

x

22

2

28 de37

Mas:

∫∫

∫+

+−

++ +

=+

+

−+

dx

1

xx

1

2 1d

x

1x

x

12

x

2 1d

x

1x

x

11

2x

2 1

22

2

12

uu

1 u

2 1

11

u

2 1du

u

2 1du

u 1

2 12 1

2 11

2 1

2 1

==

=

+−

==

+−

−

∫∫ 1

INT

EG

RA

ÇÃ

O P

OR

SU

BS

TIT

UIÇ

ÃO

∫∫

=+

+ +d

u

u 1

2 1d

x

1x

x

12

x

2 1

2ver detalhes na página an

terior

2 12

12 1

22

u2

+−

∫∫

C1

xx

dx

1

xx

12

x

2 12

2+

++

=+

+ +

∫

29 de37

2TA

BE

LA

Cu

au

lnd

uu

a

12

2

22

++

+=

+∫A

segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na form

a acima:

ua

+

∫∫

∫+

=

+

+

=+

+du

a

u

1

2 1dx

2 3

2 1x

1

2 1dx

1

xx

1

2 1

22

22

2

onde:

2 3a

d

x

du

2 1x

u=

=+

=

30 de37

Portanto:

C2 1

x4 3

2 1x

ln2 1

dx

1

xx

1

2 12

2+

++

++

=+

+∫

24

22

1x

x2

2

+

+∫

Então, finalm

ente:

C2 1

x4 3

2 1x

ln2 1

1x

xdx

1

xx

x2

2

2+

++

++

−+

+=

++

∫

31 de37

So

lução

EX

ER

CÍC

IO 12

Determ

inar∫−

+−

dx

xx

13x

9x

23

3

INT

EG

RA

ÇÃ

O U

TILIZ

AN

DO

DE

CO

MP

OS

IÇÃ

O E

M

FR

AÇ

ÕE

S P

AR

CIA

IS: F

rações impróprias

O prim

eiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer

aparecer frações próprias. 9

9x

9x

xx

13x

x0

9x

23

23

23

−

−+

−+

13x

9x

9

9x

9x

2 23

+−

−

23

2

23

3

xx

13x

9x

9x

x

13x

9x

−

+−

+=

−

+−

fração própria

32 de37

∫∫

−

+−

+=

−

+−

dx

xx

13x

9x

9dx

xx

13x

9x

23

2

23

3

∫∫

−

+−

+=

dx

xx

13x

9x

dx

9

23

2

∫∫

−

+−

+=

dx

)1(x

x

13x

9x

dx

9

2 2

)1(x

C

x B

x A

)1(x

x

13x

9x

22 2

−+

+=

−

+−

DE

CO

MP

OS

IÇÃ

O E

M F

RA

ÇÕ

ES

PA

RC

IAIS

)1(x

xx

)1(x

x−

−

)1(x

C)1

(xx

x B)1

(xx

x A)1

(xx

)1(x

x

13x

9x

)1(x

x2

2

22

2 22

−−

+−

+−

=−

+−

−

Bx

B)

A(

xC

)(A

13x

9x

22

−+

−+

+=

+−

33 de37

=−

−=

+−

=+

1B

3B

A

9

CA

A =

2 B =

–1 C

= 7

∫∫

−+

−+

=dx

)1(x

7

x 1

x 2dx

9

2

∫∫

−

+−

+=

dx

)1(x

x

13x

9x

dx

9

2 2

dx

7dx

1dx

2dx

9

∫∫

∫∫

+−

+=

dx

)1(x

7dx

x 1dx

x 2dx

9

2∫

∫∫

∫−

+−

+=

C1

xln

7x 1

xln

2x

9+

−+

++

=

34 de37

So

lução

EX

ER

CÍC

IO 13

Determ

inar∫−

+dx

2x

xx

12

3

INT

EG

RA

ÇÃ

O U

TILIZ

AN

DO

DE

CO

MP

OS

IÇÃ

O E

M

FR

AÇ

ÕE

S P

AR

CIA

IS: F

atores lineares não repetidos

2)

1)(x

(xx

1

2)

x(x

x

1

2x

xx

12

23

+−

=−

+=

−+

2)

(x

C

1)

(x

B

x A

2)

1)(x

(xx

1

++

−+

=+

−2

)(x

1)

(xx

2)

1)(x

(xx

+−

+−

2A

xC

)2B

(Ax

C)

B(A

12

−−

++

++

= Multiplicando os dois lados da igualdade por x

( x–1 )( x+2 )

e rearranjando resulta:

35 de37

=−

=−

+

=+

+

12A

0C

2B

A

0C

BA

Portanto:

6 1C

3 1B

2 1A

==

−=

2)

6(x

1

1)

3(x 1

2x 1

2)

1)(x

(xx

1

++

−+

−=

+−

E, finalm

ente:

Logo:

dx

11

dx

11

dx

11

dx

1

∫∫

∫∫

++

−=

dx

2x

6d

x1

x3

dx

x2

dx

2x

xx

23

∫∫

∫∫

++

−+

−=

−+

C2

xln

6 11

xln

3 1x

ln2 1

dx

2x

xx

12

3+

++

−+

−=

−+

∫

36 de37