Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
6 Primitivas e cálculo integral
Atividade de diagnóstico
Pág. 70
1.1. ( ) ( ) ( ) ( )0 0
2 2 ln 2 ln 22 lim lim
→ →
+ − + −′ = = =
h h
f h f hf
h h
0
0
0
2ln
2limh
h
h
→
+ = =
0
ln 112
lim2
2
h
h
h→
+ = × =
0
0
1 1 1lim
e 12 e 1 2lim
1 1 1
2 1 2
yyy
y
y
y
→
→
= × = × =−−
= × =
1.2.
0
0
0 0
sin sincos 12 2
lim lim2 h h
hh
fh h
→ →
π π + − π − ′ = = =
( )( )
( ) ( )
2
0 0
1 cos 1 cos 1 coslim lim
1 cos 1 cosh h
h h h
h h h h→ →
− + −= − = − =
+ +
( )
2
0 0 0
sin sin sinlim lim lim
1 cos 1 cosh h h
h h h
h h h h→ → →= − = − × =
+ +
0
1 01 1
= − × =+
1.3. ( ) ( ) ( )0 0
3 3 3 2 43 lim lim
→ →
+ − + + −′ = = =
h h
f h f hf
h h
( )( )
( )0 04 2 4 24 2
lim lim4 2→ →
+ − + ++ −= = =
+ +h h
h hh
h h h
( ) ( )0 0
4 4lim lim
4 2 4 2h h
h h
h h h h→ →
+ −= = =
+ + + +
0
1lim
4 2
1 1
40 4 2
h h→= =
+ +
= =+ +
2.1. ( )1
33
0 0
1 1e e , , e
3 3
× = = → =
g x y
( ) ( ) ( )3 3 3e 3 e 3e′ ′′ = = =x x xg x x
1
33
13e 3e
3
× ′= = =
m g
( )0 0− = −y y m x x
1
e 3e 3e e e 3e3
− = − ⇔ = − + ⇔ =
y x y x y x
A equação da reta tangente pedida é 3ey x= .
2.2. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 0 01 1 2 1 3 1 1 , 1, 1= × − × = − → = −g x y
( ) ( ) ( )3 2 5 4 4 32 3 2 3 10 12′ ′ ′ = − = − = − g x x x x x x x x ( ) 41 10 1 12 1 2′= = × − × = −m g ( )0 0− = −y y m x x ( )1 2 1 2 2 1 2 1+ = − − ⇔ = − + − ⇔ = − +y x y x y x A equação da reta tangente pedida é 2 1y x= − + .
2.3. ( )0 0
12 5
1 4 122 , , 2
12 2 24
2
× − + − = = = − → = − − − × −
g x y
( ) ( ) ( ) ( )( )2
2 5 4 2 5 42 5
4 4
′ ′′ + × − + ×+ ′ = = =
x x x xxg x
x x
2 2
8 8 20 5
16 4
− −= = −
x x
x x
1 5
4 52 4
m g ′= = − × = −
y – y0 = m(x – x0)
1 5 9
2 5 5 2 52 2 2
+ = − + ⇔ = − − − ⇔ = − −
y x y x y x
A equação da reta tangente pedida é 9
52
y x= − −
2.4. ( ) ( ) ( ) ( )2 0 00 ln 0 1 ln1 0 , 0, 0= + = = → =g x y
( ) ( ) ( )2
2
2 2
1 2ln 1
1 1
′+′ ′ = + = = + +
x xg x x
x x
( )2
2 00 0
0 1
×′= = =+
m g
y – y0 = m(x – x0)
( )0 0 0 0− = × − ⇔ =y x y A equação da reta tangente pedida é y = 0.
3.1. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 122
′ ′′′ = + = + = +f x x x x x xx
3.2. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3cos cos cos′ ′ ′′ = = + =f x x x x x x x ( )2 33 cos sin= + − =x x x x ( )2 3cos sinx x x x−
3.3. ( ) 2 2 2ln5 5 5
′ ′ = =
x x
f x
3.4. ( ) ( ) ( )3 1 3 1 3 1e 3 1 e 3e− − −′ ′′ = = − =x x xf x x
3.5. ( )2
1 1 1 1 1sin cos cosf x
x x x x x
′ ′ ′ = = = −
3.6. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2cos 1 3cos 1 cos 1′ ′ ′ = − = − − = f x x x x
( ) ( ) ( )2 2 2 23cos 1 1 sin 1 ′= − − − − =
x x x
( ) ( )2 2 23 2 cos 1 sin 1= − × − − =x x x ( ) ( )2 2 26 sin 1 cos 1= − − −x x x
3.7. ( ) ( ) ( )( )( )2
1 sin 1 sin1
sin sin
′ ′′ + − ++ ′ = = =
x x x x x xxf x
x x x x
( ) ( )2 2
sin 1 sin sin
sin
x x x x x x x
x x
′′− + + = =
( )( )
2 2
sin 1 sin cos
sin
− + += =
x x x x x x
x x
2
2 2
sin sin sin cos cos
sin
x x x x x x x x x
x x
− − − −= =
2
2 2
sin cos cos
sin
− − −=
x x x x x
x x
Mudança de variável
ln 12
e 12
e 12
Se 0, 0
y
y
hy
h
h
h y
= + ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ →
6. Primitivas e cálculo integral
3.8. ( ) ( ) ( )2
2
1tan coscosln tan
sintan sin cos
cos
′′′ = = = = =
x xxf x xxx x x
x
1
sin cos=
x x
3.9. ( ) ( ) ( ) ( )sin sin2 2log 3 e log 3 e′ ′′′ = + = + = x xf x x x
( ) ( ) sin sin3 1
sin e cos e3 ln 2 ln 2
′′= + = +x x
xx x
x x
3.10. ( ) ( ) ( )2 2 2 2tan 2 tan tanf x x x x′ ′′ = = × =
( )22 2
2 2 2 2
22 tan 2 tan
cos cos
x xx x
x x
′= × = × =
2
2 22
2 2 2 2 3 2
sin4
4 tan 4 sincos
cos cos cos
xx
x x x xx
x x x
×= = =
Pág. 71
4. trapézio2
+= ×
B bA a
( )2 2 2 4= = + =B f , ( )0 0 2 2= = + =b f , 2=a
4 2
2 62
+= × =A . A área pedida é 6 u.a.
5. Em 0
+ℝ , o gráfico de f é simétrico ao gráfico de
( )1 2− =f x x relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta de equação y = x).
O gráfico de g é parte de uma parábola de vértice na
origem do referencial.
( ) ( )0
2 4 4 0≥
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔x
f x g x x x x x x x
( )3 31 0 0 1⇔ − = ⇔ = ∨ = ⇔x x x x 0 1x x⇔ = ∨ = Os gráficos de f e g intersetam-se no
ponto de coordenadas (0, 0) e (1, 1).
6. Da representação das retas num mesmo
referencial, conclui-se que as coordenadas dos vértices do
quadrilátero são (1, – 1), (– 2, 2), (– 2, – 2) e (0, – 2).
7. ( )( )( )
2 3 se 22 3
2 3 se 2
x xf x x
x x
− − + + ≤= − − + =
− − + >
( )1 se 2
5 se 2
x xf x
x x
+ ≤=
− + >
f (0) = – |0 – 2| + 3 = – 2 + 3 = 1 A(0, 1)
f (x) = 0 ∧ x > 2 ⇔ – x + 5 = 0 ⇔ x = 5 B(5, 0)
f (2) = 2 + 1 = 3; C(2, 3)
Como as retas AC e BC são perpendiculares, a área do
triângulo [ABC] é dada por:
[ ]
2 2 2 22 2 3 3 2 2 3 26
2 2 2ABC
AC BCA
× + × + ×= = = =
A área pedida é 6 u.a..
Pág. 72
Atividade inicial
1. Por exemplo:
1.1. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3, 1 e 1F x x F x x F x x= = + = − , pois
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2′ ′ ′= = = =F x F x F x x f x .
1.2. ( ) ( ) ( )3 3 3
1 2 3, 2 e 43 3 3
x x xF x F x F x= = + = − , pois
( ) ( ) ( ) ( )21 2 3′ ′ ′= = = =F x F x F x x f x . 1.3. ( ) ( ) ( )1 2 3ln , ln 2 e ln 5F x x F x x F x x= = − = + , pois
( ) ( ) ( ) ( )1 2 31′ ′ ′= = = =F x F x F x f xx
.
1.4. ( ) ( ) ( )1 2 3e , e 1 e e 1x x xF x F x F x= = − = + , pois
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 e′ ′ ′= = = =xF x F x F x f x . 1.5. ( ) ( ) ( )1 2 3cos , 3 cos e cosF x x F x x F x x= − = − = π − , pois
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 sin′ ′ ′= = = =F x F x F x x f x .
1.6. ( ) ( ) ( )1 2 31
sin , sin e sin 32
F x x F x x F x x= = + = − , pois
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 cos′ ′ ′= = = =F x F x F x x f x .
1.7. ( ) ( ) ( )1 2 31, 0 e 2F x F x F x= = = , pois
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0′ ′ ′= = = =F x F x F x f x . 1.8. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3, 1 e 1F x x x F x x x F x x x= + = + + = + − ,
pois ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1′ ′ ′= = = + =F x F x F x x f x .
2. ( ) ( )e e e e e′ ′′= + = +x x x x xx x x x
( ) ( ) ( ) ( )e 1 e 1 e 1′ ′ ′ − = − + − = x x xx x x ( )e 1 e ex x xx x− + =
( ) ( ) ( )( )2 e 2 2 e 2 e 2x x xx x x x′ ′′ − + = − + − + = e e 2e 2= + − + =x x xx e e 2x xx − +
( ) ( ) ( )( )2 e 2 e 2 ex x xx x x′ ′′ − = − + − = ( )e 2 e e e= + − = −x x x xx x
A opção correta é (C).
Pág. 73
1.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin 4 4 cos 4 4cos 4′ ′′ = = = = F x x x x x f x Logo, F é uma primitiva de f.
1.2. ( ) ( ) ( )2
2
2
3 9ln 3 9
3 9
′+ +′ ′ = + + = = + +
t tF t t t
t t( )
2
2 3
3 9
tf t
t t
+=
+ +
Logo, F é uma primitiva de f.
1.3. ( )( ) ( ) ( )
( )21 1
1 1
′ ′′ + − × + ′ = = = + +
x x x xxF x
x x
( )
( ) ( )2 2
1 1 21 1
2 2
1 1
+ −× + − ×
= = =+ +
x xx x
x x
x x ( )( )2
1
2 1
xf x
x x
−=
+
Logo, F é uma primitiva de f.
6. Primitivas e cálculo integral
2. Por exemplo:
2.1. F1(x) = – cos x, F2(x) = 1 – cos x, F3(x) = 3 – cos x
2.2. G1(x) = ex, G2(x) = ex – 2, G3(x) = ex + 1
2.3. H1(x) = 3x, H2(x) = 3x + 1, H3(x) = 3x – 1
Pág. 75
3.1. 3 1 4
3 d , 3 1 4
+
= + = + ∈+∫ ℝ
x xx x c c c
3.2. 5 1 4
5
4
1d ,
5 1 4 4
− + −− = + = + = − + ∈
− + −∫ ℝx x
x x c c c cx
3.3.
1 3 31
1 32 2 22
2 2d ,
1 3 3 31
2 2
+
= + = + = + = + ∈+
∫ ℝx x x x
x x c c c c c
3.4.
1 21
1 3 33
3
1d d
1 21
3 3
− +−
= = + = + =− +
∫ ∫x x
x x x c cx
3 23,
2
xc c+ ∈ℝ
3.5.
1 7 51
72 2 22
4 4d d d
7 51
2 2
− + −−
= = = + = + =− + −
∫ ∫ ∫x x x x
x x x x c cx x
5
2,
5= − + ∈ℝc c
x
3.6.
1 31
32 22
2 2
1d d d
31
2
− +−
= = = + =− +
∫ ∫ ∫x x
x x x x x cx x
31
2
31
2
xc
− +
+− +
2
, c cx
= − + ∈ℝ
3.7.
51
2 5 33 2 3 3d d d
51
3
+
= × = = + =+
∫ ∫ ∫x
x x x x x x x x c
8
3
8
3
xc+ =
3 83
, 8
xc c= + ∈ℝ
3.8.
51
52 2 33
23
3
d d d5
13
+
= = = + =+
∫ ∫ ∫x x x
x x x x cx
x
8
3
8
3
xc+ =
3 83
, 8
xc c= + ∈ℝ
3.9.
1 71
72 2 2 44
34 34
d d d7
14
+×
= = = + =+
∫ ∫ ∫x x x x x
x x x x cx x
11
4
11
4
xc+ =
1144
, 11
xc c= + ∈ℝ
3.10.
1 11
13 1 3 66
1
2
d d d1
16
− +− ×= = = + =
+∫ ∫ ∫
x x x x xx x x x c
xx
7
6
7
6
xc+ =
6 76
, 7
xc c= + ∈ℝ
Pág. 76
4.1.
31 2
322
d d3 3
2
= = + = +∫ ∫x
x x x x c x c
( ) 32 21 1 1 1 13 3
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔F c c2 1
13 3
c c= − ⇔ =
Logo, ( ) 32 13 3
F x x= + .
4.2. 1
d ln= +∫ x x cx ; ( ) 1 ln 1 2F c c c c= − ⇔ + = − ⇔ = −
Logo, ( ) ln 2= −F x x .
4.3. cos d sin= +∫ x x x c
1 3
2 sin 2 26 6 2 2
π π = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
F c c c
Logo, ( ) 3sin2
= +F x x .
4.4. e d ex xx c= +∫ ( ) 00 0 e 0 1 0 1F c c c= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − Logo, ( ) e 1xF x = − .
Pág. 77
5.1. ( )3 2
2 d , 2 2
+ = + + ∈∫ ℝx x
x x x c c
5.2. 4 3
3 21 14 5 d 4 53 3 4 3
− − = × − × − + = ∫
x xx x x x c
4 345 ,
12 3
x xx c c= − − + ∈ℝ
5.3. 8 7
7 6 1 17 d 72 8 7 2
x xx x x x c
− − = − × − + = ∫
87 ,
8 2
x xx c c= − − + ∈ℝ
5.4. 5 9 6 5
8 4 19 1 d 96 9 6 6 5
x x x xx x x x c
− − + + = − × − × + + + =
∫
6 59 ,
36 5
x xx x c c= − − + + + ∈ℝ
Pág. 78
6.1.
2311 3232
3
2d 2 d 2
3 2
2 3
x xx x x x x c
x
− − = − = − × + =
∫ ∫
33 22 3 ,
3
xx c c= − + ∈ℝ
6.2. ( ) ( ) ( )2 2 3 21 d 2 1 d 2 dx x x x x x x x x x x− = − + = − + =∫ ∫ ∫ 4 3 2 4 3 22
2 , 4 3 2 4 3 2
x x x x x xc c c= − × + + = − + + ∈ℝ
6.3. 1 11
1 13 323 d 3 dx x x x x x x x− −
− = − =
∫ ∫5 1
6 23 dx x x−
−
∫ = 11 1
6 2
311 1
6 2
x xc= − × + = 6 11
66 ,
11x x c c− + ∈ℝ
6.4. ( )2sin 7cos d 2cos 7sin , x x x x x c c+ = − + + ∈∫ ℝ
6.5. 3 1
d 3 d 3ln , = = + ∈∫ ∫ ℝx x x c cx x
6.6. 1
e d e ln , x xx x c cx
+ = + + ∈ ∫
ℝ
6.7. 3 6 3 6
6 6 6 6
5 4 2 5 4 2d d
x x x xx x
x x x x
− += − + =
∫ ∫
( )6 35 4 2 dx x x− −= − + =∫5 25 4
25 2
x xx c
− −
− + + =− −
5 2
1 22 , x c c
x x= − + + + ∈ℝ
6. Primitivas e cálculo integral
6.8.
2 21
4 45 521 1d d
x x x x x xx x
x x x x x
− − + = − − + =
∫ ∫
31
3 521
dx x x xx
−− = − − + =
∫
21
4 52
ln1 24
2 5
x x xx c− − + +
54 252 ln ,
4 2
x xx x c c= − − + + ∈ℝ
6.9.
11516 6262
6 6d d 6 d
x x x xx x x x x
x x x
−−
− = − = − =
∫ ∫ ∫
11
626
1 1
2 6
x xc= − + = 612 6 , x x c c− + ∈ℝ
7. ( ) ( )1f x x x′ = −
( ) ( ) ( )3 2
21 d d3 2
x xf x x x x x x x c= − = − = − +∫ ∫
( )3 21 1 1 1
1 0 0 03 2 3 2
f c c= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔
1 1 1
3 2 6c c⇔ = − + ⇔ =
Logo, ( )3 2 1
3 2 6
x xf x = − +
Pág. 80
8.1. 1 1 2
d d2 3 2 2 3
x xx x
= =+ +∫ ∫
1
ln 2 3 , 2
x c c= + + ∈ℝ
8.2. ( )22 21 2 1
d d ln 3 , 3 2 3 2
x xx x x c c
x x= = + + ∈
+ +∫ ∫ ℝ
8.3. 2 3 2 31
e d 2e d2
x xx x+ += =∫ ∫ 2 31
e , 2
x c x+ + ∈ℝ
8.4. sin sine cos d e , x xx x c c= + ∈∫ ℝ
8.5. 2 2
3 3
2 3d d
31 2 1
x xx x
x x= =
+ +∫ ∫
32 1 ,
3x c c= + + ∈ℝ
8.6. ( )1
23 ln 1
d 3 ln dx
x x xx x
+= + =∫ ∫
( ) ( )3
2 2 3 ln3 ln,
3 3
2
xxc c c
++= + = + ∈ℝ
8.7. ( ) ( )6 62 211 d 2 1 d2
x x x x x x+ = + =∫ ∫
( ) ( )7 72 21 11,
2 7 14
x xc c c
+ += × + = + ∈ℝ
8.8. e d e de
x x
x
dxx x− −= = − − =∫ ∫ ∫
1e ,
e
x
xc c c−− + = − + ∈ℝ
8.9. ( ) ( ) ( ) ( )2 21cos 3 sin 3 d 3cos 3 sin 3 d3
= =∫ ∫x x x x x x
( ) ( )3 3sin 3 sin 31
, 3 3 9
x xc c c= × + = + ∈ℝ
Pág. 81
9.1. ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1
x x
x x x x x x
− +− = =
− − −
( )
1 1 1 1 1d d d d
1 1 1
− = + = − + = − − − ∫ ∫ ∫ ∫x x x x
x x x x x x
1
ln ln 1 ln , x
x x c c cx
−= − + − + = + ∈ℝ
9.2. ( )( )2
3 3
1 1 1
+ +=
− − +x x
x x x
( )( )
3
1 1 1 1
+= + ⇔
− + − +x A B
x x x x
( ) ( )1 1 3⇔ + + − = + ⇔A x B x x
1 3 1
3 3
+ = + + = ⇔ ⇔ ⇔
− = = +
A B B B
A B A B
2 2 1
2
B B
A
= − = − ⇔
= www
2
3 2 1 1 1d d 2 d d
1 1 1 1 1
+ = − = − − − + − + ∫ ∫ ∫ ∫x
x x x xx x x x x
=
2 ln 1 ln 1x x c= − − + + = ( )2ln 1 ln 1x x c− − + + =
( )21
ln , 1
xc c
x
−= + ∈
+ℝ
Pág. 82
10. cos d sin sin d= − =∫ ∫x x x x x x x ( )sin cos sin cos , = − − + = + + ∈ℝx x x c x x x c c
Pág. 83
11. ( ) ( )2
2
1
30d 30 d 15
2= = = + = +∫ ∫
tv t a t t t t c t c
( ) ( ) ( )3
2
1 1 2
15d 15 d
3= = + = + + =∫ ∫
tp t v t t t c t c t c
31 2
5= + +t c t c
( )( )
3
1 2 1 2
31 21 2
1 25 5 1 1 25 20
2 402 80 5 2 2 80
= × + × + = + = ⇔ ⇔
+ == × + × + =
p c c c c
c cp c c
2 1 2
1 1 1
20 0
2 20 40 20
= − = ⇔ ⇔
+ − = =
c c c
c c c
Logo, ( ) 35 20= +p t t t . 12.1. a(t) = v’(t) = (2 – 0,8t)’ = – 0,8
A aceleração é constante. Logo, no instante inicial, a
aceleração foi de – 0,8 m/s2.
12.2. ( ) ( ) ( )20,8
d 2 0,8 d 22
= = − = − + =∫ ∫t
P t v t t t t t c
22 0,4= − +t t c P(0) = 2 × 0 – 0,4 × 02 + c = c
P(10) = 2 × 10 – 0,4 × 102 + c = 20 – 40 + c = – 20 + c
( ) ( )10 0 20 20 20− = − + − = − =P P c c O skate percorreu uma distância de 20 m.
Pág. 86
13.1. 22 1 4 3 5− ≤ − ∧ ≤ ≤ ⇔x x x
2 2 3 0 3 5⇔ − + + ≤ ∧ ≤ ≤ ⇔x x x 3 5⇔ ≤ ≤x
Logo, [ ] 23, 5 , 2 1 4x x x∀ ∈ − ≤ − e, portanto,
( ) ( )5 5 23 3
2 1 d 4 d− ≤ −∫ ∫x x x x .
d lnu
x u cu
′= +∫
e d eu uu x c′ = +∫
e d eu uu x c′ = +∫
d2
ux u c
u
′= +∫
31 22d
3
2
uu u x c′ = +∫
76d
7
uu u x c′ = +∫
e d eu uu x c′ = +∫
2 2 3 0
2 4 12
21 3
x x
x
x x
− + + = ⇔
− ± +⇔ =
−⇔ = − ∨ =
6. Primitivas e cálculo integral
13.2. ( )e e 0 1 e 0n x n n x n n xx x x x x≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ 1 e 0 e 1 0x x x− ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥
No intervalo [0, 1], tem-se que 0 e 0n xx ≥ ∧ − ≤ pelo que,
neste intervalo, en n nx x≤ e, portanto,
1 1
0 0d e d≤∫ ∫n n xx x x x .
Pág. 89
14.1.
24
2 23 4
111
1d
4 4
xx x x
= = =
∫ ( ) ( )4 4
1 1 152 1 16 1
4 4 4− = − =
Significa que a medida da área delimitada pelo gráfico da
função definida por f (x) = x3 pelo eixo Ox e pelas retas de
equações x = 1 e x = 2 é igual a 15
4 u.a..
14.2. ( )1
3 21 1 1
2 3 2
2 222
2 12 d
3 2 3
−− − −
− −−−
− = − = − =
∫
x xx x x x x
( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3 2 21 1 2 1 23
= − − − − − − − =
( ) ( )1 7 161 8 1 4 33 3 3
= − + − − = + =
Significa que a medida da área delimitada pelo gráfico da
função definida por f (x) = x2 – 2x, pelo eixo Ox e pelas
retas de equações x = – 2 e x = – 1 é igual a 16
3 u.a.
14.3. ( ) [ ]ln 2 ln 2 ln 2 ln 200 00
e 1 d e e + = + = + = ∫ x x xx x x ln 2 0e e ln 2 0 2 1 ln 2 1 ln 2= − + − = − + = +
Significa que a medida da área delimitada pelo gráfico da
função definida por f (x) = ex + 1, pelo eixo Ox e pelas
retas de equações x = 0 e x = ln 2 é igual a 1 + ln 2 u.a..
15.1. ( ) ( )1
31 1
2
0 00
d 4 d 43
= = − + = − + =
∫ ∫
xA f x x x x x
[ ] [ ]1 10 0
14
3x x= − + = ( ) ( )1 1 111 0 4 1 0 4
3 3 3− − + − = − + =
A área da parte colorida da figura é igual a 11
3 u.a..
15.2. ( )2
2 2 2e
2e e e
e e e
e
lnln 1d d ln d
2
= = = = =
∫ ∫ ∫
xxA f x x x x x
x x
( )2 2 2 2 2ln e ln e 2 1 1 3
22 2 2 2 2 2
= − = − = − =
A área da parte colorida da figura é igual a 3 u.a..
16. ( )4 4 40 0 0
sind tan d d
cos
π π π
= = = =∫ ∫ ∫x
A f x x x x xx
( )4 400
sind ln cos
cos
xx x
x
π π−= − = − = ∫
( )ln cos ln cos04
2 2ln ln1 ln
2 2
π = − − =
= − − = − =
( )1
22 ln 2
ln ln 2 ln 222
= = = =
A área da parte colorida da figura é igual a ln 2
2 u.a..
Pág. 90
17. ( )1 2
2 21 2
0 10 1
d 2 d 22 2
= + − + = + − + =
∫ ∫
x xA x x x x x
[ ]1 2 22 2
10 1
1 12
2 2 = − + = x x x
( ) ( ) ( )1 11 0 4 1 2 2 12 2
1 32 1 2 1
2 2
= − − − + − =
= − + = − + =
A área da parte colorida da figura é igual a 1 u.a..
Pág. 91
18.1. ( ) ( )4
24 4
3 33
2d 2 4 d 4
2
= − + = − + =
∫ ∫
xf x x x x x
[ ] ( ) ( )4 42
334 16 9 4 4 3 7 4 3 = − + = − − + − = − + = − x x
18.2. O resultado obtido é o simétrico da medida da área
delimitada pelo gráfico de f, o eixo Ox e as retas verticais
de equações x = 3 e x = 4.
Pág. 93
19.1. ( ) ( )1
41 1 1
3 4
11 11
1 1d d 1 1 0
4 4 4−− −−
= = = = − =
∫ ∫
xf x x x x x
19.2.
0 14 4
0 13 3
1 01 0
d d4 4−
−
= − + = − + =
∫ ∫
x xA x x x x
( )1 04 40 114 x x − = − = ( ) ( ) ( )1 1 1
1 0 0 1 1 14 4 2
− − − = + =
A medida da área da parte colorida da figura é igual
a1
2u.a..
Pág. 94
20.1. ( )0
3 20 0 0
2 3 2
1 111
2 12 d
3 2 3 − −−−
− = − = − =
∫
x xx x x x x
( ) ( )1 1 40 1 0 1 13 3 3
= + − − = + =
20.2. [ ]e e
11
1d ln ln e ln1 1 0 1x x
x= = − = − =∫
20.3.
81
2 3 88 833
31 12 1
1
2d 2 d 2 6
1
3
−
= = × = =
∫ ∫x
x x x xx
( )6 2 1 6− =
20.4. ( )14 42
0 0
12 1 d 2 1 d
2x x x x+ = + =∫ ∫
( ) ( )
4
342
3
0
0
2 11 12 1
32 3
2
xx
+ = × = + =
( )3 31 1 269 1 93 3 3
= − = − =
31
22
3
2
uu u′ →
d lnu
x u cu
′= +∫
6. Primitivas e cálculo integral
20.5. ( )
( )1 1 3
32 2
1 1d 5 11 5 d
511 5t t t
t
− − −
− −= + =
+∫ ∫( )
12
2
11 51
5 2
t−−
−
+×
−
( )
1
2
2
1 1
10 11 5t
−
−
= − × =
+
1 1 1 35 1 7 71
10 36 10 36 2 36 72
− − = − × − = × =
20.6. ( )2 22 20 0
14 d 2 4 d
2x x x x x x− = − − − =∫ ∫
( ) ( )
23
2 223
2
0
0
41 14
32 3
2
− = − = − − =
xx ( )31 80 2
3 3− − =
20.7. 3 1 3
4 4 42 2 2
1 1 1
3 15 d 3 2 d 5 d d
2
− − − − = × − −
∫ ∫ ∫ ∫x x x x x x x x
x x
4 43 1
2 24
1
1 1
6 53 1
2 2
−
= − × − = −
x xx
444
3
1 11
10 16 2
3x x
x
− +
( ) ( )10 16 2 1 8 1 2 13 2
= − − − + − =
70 70 15 706 1 5
3 3 3
−− − = − =
55
3= −
20.8. ( ) ( )
e e
1 1
sin ln 1d sin ln d
xx x x
x x= =∫ ∫
( ) ( ) ( )( )e1
cos ln cos ln e cos ln1x= − = − − =
( )cos1 cos0 1 cos1= − − = −
20.9. 2
12 2
t t++ =
( ) 2 22 2cos 2 cos sin2 2
t tt
+ + + = − ⇔
( ) 2 2cos 2 1 sin 1 sin 12 2
⇔ + = − + − + ⇔
t tt
( ) 2cos 2 1 2sin 12
⇔ + = − + ⇔
tt
( )2 1 cos 2sin 1
2 2
− + ⇔ + =
tt
Assim, tem-se:
( )2
0 0
1 cos 2sin 1 d d
2 2
π π − + + = = ∫ ∫
ttt t
( )0 0
1 1d cos 2 d
2 2
π π= − + =∫ ∫t t t [ ] ( )0 0
1 1sin 2
2 2t t
ππ− +
( ) ( )( )1 10 sin 2 sin 22 2
= π − − + π − =
( )1 sin 2cos sin cos 2 sin 22 2
π= − π + π − =
( ) ( )1 1sin 2 sin 2 2sin 22 2 2 2
π π= − − − = − × − = sin 2
2
π+
20.10. 2
12 3 dx x− =∫
( ) ( )3
22
31
2
2 3 d 2 3 dx x x x= − + + − =∫ ∫ 3
22 22
31
2
2 3 2 32 2
= − × + + × − =
x xx x
9 3 9 31 3 1 4 3 2
4 2 4 2
= − − + − + − − − =
5 3 7 3 2 1
4 2 4 2 4 2= − + + − = =
20.11. 22
6
cosd
sin
xx x
x
π
π + = ∫
( ) 22 26 6
d cos sin dx x x x xπ π
−
π π= + =∫ ∫
2
2 2
66
1 1
2 sinx
x
ππ
ππ
= − =
2 21 1 1
2 4 36 sin sin2 6
π π − − − π π
=
2 2 24 1 9
1 1136 9 9
2
π π π + = − − = + =
20.12. ( )0 0 0
44 4
sintan d d ln cos
cosππ π −− −
−= = − = ∫ ∫
xx x x x
x
2 2ln1 ln ln
2 2
= − − =
Pág. 95
21. ( ) 2=a t
( ) ( ) d 2 d 2= = = +∫ ∫v t a t t t t c ( )2 5 2 2 5 1= ⇔ × + = ⇔ =v c c Logo, ( ) 2 1= +v t t .
( ) ( ) ( ) 2d 2 1 d= = + = + +∫ ∫p t v t t t t t t c ( )0 1 1= ⇔ =p c Logo, ( ) 2 1= + +p t t t . 22.1. ( ) 6=a t t ; ( )0 0=s ; ( )2 4= −v
( ) ( ) ( )2 2 200
0 6 d 3 3 0 3 − = = = − = ∫t t
v t v x x x t t
Logo, ( ) 2 03= +v t t v . ( ) 2 0 02 4 3 2 4 16= − ⇔ × + = − ⇔ = −v v v Assim, v(t) = 3t2 – 16.
v(4) = 3 × 42 – 16 = 32
A velocidade instantânea no instante t = 4 foi de 32 m/s.
22.2. ( ) ( ) ( ) [ ]2 3 3000
0 3 16 d 16 16 − = − = − = − ∫t t t
s t s x x x x t t
Logo, s(t) = t3 – 16t + s(0).
Como s(0) = 0, s(t) = t3 – 16t.
[ ]( ) ( )
1, 3
3 1 21 15v.m. 3
3 1 2
s s− − += = = −
−
A velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 3 foi de
– 3 m/s.
22.3. ( ) 2 2 160 3 16 03
= ⇔ − = ⇔ = ⇔v t t t4 4 3
33t t= ± ⇔ = ±
Como 4 3
0, 3
≥ =t t .
O ponto imobilizou-se no instante 4 3
3=t segundos.
22.4. ( ) ( )3 20 16 0 16 0= ⇔ − = ⇔ − = ⇔s t t t t t 20 16 0t t= ∨ − = 20 16t t⇔ = ∨ = ⇔ 0 4 4t t t= ∨ = − ∨ =
Como { }0, 0, 4t t≥ ∈ . No instante inicial o ponto encontrava-se na origem, logo o ponto volta a passar na
origem passados 4 segundos.
31 22d
3
2
uu u x c′ = +∫
sin d cosu u x u c′ = − +∫
2 3
32 3 se
2
32 3 se
2
x
x x
x x
− =
− ≥=
− + <
12d
1
uu u x c
−−′ = +
−∫
[ ] [ ]3 3 2 22 22 2 3311
22
3 3x x x x = − + + − =
6. Primitivas e cálculo integral
Pág. 96
23. ( ) ( ) [ ] ( ) ( )00
0 8 d 8 8 8 0− = = = → = +∫t t
A A A As t s x x t s t t s
Como num determinado instante o automóvel A se
encontra 9 metros à frente do automóvel B, vamos
considerar que sA (0) = 9 e sB (0) = 0. Assim, sA (t) = 8t + 9.
( ) ( ) [ ]00
0 2 d 2 2− = = =∫t t
B Bv t v x x t
Como o automóvel B inicia o seu movimento no instante
t = 0, vB (0) = 0. Assim, vB (t) = 2t.
( ) ( ) 2 200
0 2 d − = = = ∫t t
B Bs t s x x x t
Como sB (0) = 0, sB (t) = t2.
Agora, vamos averiguar ao fim de quanto tempo o
automóvel B alcança o automóvel A.
( ) ( ) 2 28 9 8 9 0= ⇔ = + ⇔ − − = ⇔B As t s t t t t t
8 64 36 8 10 8 10
2 2 2
± + − +⇔ = ⇔ = ∨ = ⇔t t t
1 9⇔ = − ∨ =t t . Como 0, 9t t≥ = .
O automóvel B alcança o automóvel A, 9 s após arrancar.
24.1. ( ) 21 6 1 6 0= × − =a No instante t = 1 , a aceleração da partícula foi de 0 m/s2.
24.2. ( ) ( ) ( )2 3 300
0 6 6 d 2 6 2 6 − = − = − = − ∫t t
v t v x x x x t t
Como no instante t = 0 a partícula se encontra imobilizada,
v(0) = 0. Assim, v(t) = 2t3 – 6t.
( ) 31 2 1 6 1 4= × − × = −v No instante t = 1 , a velocidade da partícula foi de – 4 m/s.
24.3. ( ) ( ) ( )3 4 2 4 20
0
1 10 2 6 d 3 3
2 2
− = − = − = − ∫t
t
s t s x x x x x t t
Como ( ) ( ) 4 210 0, 32
= = −s s t t t .
( ) 4 21 11 1 3 1 3 2,52 2
= × − × = − = −s .
No instante t = 1, a partícula encontrava-se na parte
negativa do eixo onde se desloca, a 2,5 m da origem.
Pág. 97
25.1. ( ) ( ) ( )212 6 12 12′′= = − = −a t v t t t t A função pedida é a(t) = 12 – 12t.
25.2. Nos instantes em que o móvel parou a velocidade era nula.
( ) ( )20 12 6 0 6 2 0= ⇔ − = ⇔ − = ⇔v t t t t t 0 2 0 0 2⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ =t t t t Dado que no instante inicial (t = 0) o móvel estava parado,
vamos considerar que o móvel parou no instante t = 2.
( ) ( ) ( )2 2 3d 12 6 d 6 2= = − = − +∫ ∫s t v t t t t t t t c Como s(0) = – 8: 2 36 0 2 0 8 8× − × + = − ⇔ = −c c A função que define a posição do móvel relativamente à
origem é dado por ( ) 2 36 2 8= − −s t t t ( ) 2 32 6 2 2 2 8 24 16 8 0= × − × − = − − =s O móvel parou 2 segundos após iniciar o movimento,
encontrando-se na origem.
25.3. s(0) = – 8; ( ) 2 34 6 4 2 4 8 96 128 8 40s = × − × − = − − = −
( ) ( ) ( )4 0 40 8 32 32d s s= − = − − − = − = A distância entre os dois pontos é de 32 m.
26.1. ( )2 21
d1 1
x t xF x t
t x
′ ′ = = + + ∫
26.2. ( )2
2
1 1 1d d
′ ′ ′ = = − = − ∫ ∫
x
xG x t t
t t x
Pág. 99
27. ( ) ( )( ) ( )( )1 1 20 0
d 1 d= − = − − =∫ ∫A f x g x x x x x
1
1 1 122
0 0 0d d 1 dx x x x x= − + =∫ ∫ ∫
[ ]1
31 132
00
0
2 1
3 3x x x
= − + =
2 1 41
3 3 3− + =
A medida da área pedida é4
3 u.a.
28. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 1
1 0d d
−= − + − =∫ ∫A f x g x x g x f x x
( ) ( )2 20 11 0
e e d e e d−
= − + − =∫ ∫x x xx x x x x
20 0 1 1 2
1 1 0 0
1 12 e d e d e d 2 e d
2 2− −= − + − =∫ ∫ ∫ ∫xx x x x x x x x x
2 10 0 12 2 2
1 1 0 0
1 e e 1e e
2 2 2 2− − = − + − =
xx x x
( ) ( ) ( ) ( )0 01 e e 1e e 0 1 1 0 e e2 2 2 2
= − − − + − − − =
( ) ( )1 e1 e e 1 1 1 1 e e 12 2
= − − + + + = − + =
A medida da área pedida é 1 u.a..
Pág. 100 29.1. Pontos de interseção dos gráficos de f e g:
( )2 22 5 3 0 3 0= − ⇔ − = ⇔ − = ⇔x x x x x x x 0 3x x= ∨ =
( ) ( )( ) ( )( )3 3 20 0
d 5 2 d= − = − − =∫ ∫A f x g x x x x x x
( )3 3 32 2 30 00
3 13 d
2 3 = − = − = ∫ x x x x x
( ) ( )3 19 0 27 02 3
= − − − =27 27 27 9
92 3 2 2
− = − =
A medida da área pedida é 9
2 u.a..
29.2. ( ) ( )( ) ( )2 2 30 0
d e e d= − = − =∫ ∫ xA g x f x x x
[ ]223
0 0e exx = − = ( )3 2 0 3 22e e e 2e e 1− − = − +
A medida da área pedida é 3 22e e 1− + u.a..
Pág. 101 30. Ponto de interseção dos gráficos de f e g :
( ) ( ) 22 2 3 23
= ⇔ = − + ⇔ = ⇔ =f x g x x x x x
Ponto de interseção dos gráficos de f e h :
( ) ( ) 4 10 5 10 2= ⇔ = − + ⇔ = ⇔ =f x h x x x x x Ponto de interseção dos gráficos de g e h:
( ) ( ) 2 2 4 10 2 8 4= ⇔ − + = − + ⇔ = ⇔ =g x h x x x x x
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 4
22
3
d d= − + − =∫ ∫A f x g x x h x g x x
( )( ) ( )( )2 4
22
3
2 2 d 4 10 2 2 dx x x x x x= − − + + − + − − + =∫ ∫
( ) ( )2 4
32
2
22
42
22
3
3 2 d 2 8 d
32 8
2
x x x x
xx x x
= − + − + =
= − + − + =
∫ ∫
( ) ( )3 4 2 4 204 16 32 4 162 2 3 3
× = − − − + − + − − + =
A medida da área pedida é 20
3 u.a..
6. Primitivas e cálculo integral
Pág. 102
31.1.
23
22
00
8d
3 3
= = =
∫
xA x x . A medida da área é
8
3 u.a.
31.2.
( ) ( )1 12 21 1
4 1 d 3 d− −
= − + − = − + =∫ ∫A x x x x
13
1
1 1 2 163 3 3 6
3 3 3 3 3−
= − + = − + − − = − =
xx
A medida da área é 16
3 u.a..
31.3.
( ) ( )4 52 20 4
3 4 d 3 4 d= − − − + − − =∫ ∫A x x x x x x
4 53 2 3 2
0 4
3 34 4
3 2 3 2
− − − + − − =
x x x xx x
3 2 3 24 3 4 5 3 5
4 4 4 53 2 3 2
× ×= − − − × + − − × −
3 24 3 4
4 43 2
×− − − × =
56 95 56 43
3 6 3 2= − + =
A medida da área é 43
2 u.a. .
31.4. ( )25 0 5 0 0 5− = ⇔ − = ⇔ = ∨ =x x x x x x
25 25 24 3
2 5 3 0 14 2
x x x x x± −
− + = ⇔ = ⇔ = ∨ =
2 2 22 5 3 5 3 10 3 0− + = − ⇔ − + = ⇔x x x x x x
10 100 36 1
36 3
x x x± −
⇔ = ⇔ = ∨ =
( )( )3 2 213
5 2 5 3 d= − − − + =∫A x x x x x
( )3 32 3 2 1133
3 10 3 d 5 3 = − + − = − + − = ∫ x x x x x x
1 5 256
27 45 9 127 9 27
= − + − + − + =
Pág.103
32. ( ) 20 5 0f x x x= ⇔ − = ⇔ ( )5 0 0 5x x x x− = ⇔ = ∨ =
( ) ( )2 5 2 5′′ = − = −f x x x x ( )
10 5′ = − = tf m
( )2
5 5′ = = tf m
( )1 2: 5 ; : 0 5 5 5 25t y x t y x y x= − − = − ⇔ = − Interseção das retas t1 e t2 :
5
5 25 5 10 252
− = − ⇔ = ⇔ =x x x x
( )( ) ( )( )5
52 22
50
2
5 5 d 5 5 25 d= − − − + − − − =∫ ∫A x x x x x x x x
( )5
52 22
50
2
d 10 25 d= + − + =∫ ∫x x x x x5
53 32
2
50
2
5 253 3
x xx x
+ − +
125 125
12524 3
= + − 125+125 125 125 125
24 4 2 12− + − =
Atividades complementares
Pág. 106
33.1. ( ) 22 4
1 2 12
xF x x x
x x
′ − × ′ = + = + =
4
3 3
2 2 22
xx
x x
−= − = =
( )
( )4
3
2 1−= =
xf x
x
Logo, F é uma primitiva de f.
2 3 4 0
3 9 16
21 4
x x
x
x x
− − = ⇔
± +⇔ = ⇔
⇔ = − ∨ =
6. Primitivas e cálculo integral
33.2. ( ) ( )( ) ( )1 e e
ln 1 e 1 11 e 1 e
′+′′ = − + = − = − =+ +
x xx
x xF x x
( )1 e e 11 e 1 e
+ −= = =
+ +
x x
x xf x
Logo, F é uma primitiva de f.
33.3. ( ) ( )( ) ( ) ( )1
ln 1ln ln
ln ln ln
′′′ = = = = =
x xF x x f xx x x x
Logo, F é uma primitiva de f.
33.4. ( ) ( ) ( )cos 1 cos sin′′ = = × + × − =F x x x x x x ( )cos sin= − =x x x f x Logo, F é uma primitiva de f.
34. ( )( )( ) ( )
( )
22
2
2 3 1 1 3 13 1
1 1
′ + − − × + − + −′ = = =
− −
x x x xx xF x
x x
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 3 1 2 2
1 1
+ − − − + − −= =
− −
x x x x x x
x x
( )( )( ) ( )
( )
22
2
2 7 1 1 7 57 5
1 1
+ − − × + −+ −′ = = =
− −
x x x xx xG x
x x
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 5 7 7 5 2 2
1 1
+ − − − + − −= =
− −
x x x x x x
x x
Como F’(x) = G’(x) , F e G são primitivas de uma mesma
função.
35.1. 10 1 11
10 d , 10 1 11
+
= + = + ∈+∫ ℝ
x xx x c c c
35.2.
1 21
1 3 33
3d ,
1 21
3
− +−
= + = + ∈− +
∫ ℝx x
x x c c c
35.3. 3 1
3
3 2
1 1d d ,
3 1 2
− +−= = + = − + ∈
− +∫ ∫ ℝx
x x x c c cx x
35.4.
2 51
2 3 33 2 3
3d d ,
2 51
3
+
= = + = + ∈+
∫ ∫ ℝx x
x x x x c c c
35.5.
5 71
53 2 22
2d d ,
5 71
2
+
= = + = + ∈+
∫ ∫ ℝx x x
x x x c c cx
35.6.
11 131
113 2 22
2
2d d ,
11 131
2
+
−= = + = + ∈
+∫ ∫ ℝ
x x x xx x x c c c
x
36.1. ( ) ( )4 3 2d 4 4 3 df x x x x x x x= − + − + =∫ ∫ 4 3 2d 4 d d 4 d 3 d= − + − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫x x x x x x x x x
5 3
4 22 3 , 5 3
= − + − + + ∈ℝx x
x x x c c
36.2. ( ) ( )2
22 1 1d d 2 1 d2 2
x xf x x x x x x
− += = − + =∫ ∫ ∫
( )21 d 2 d 1d2
= − + =∫ ∫ ∫x x x x x3
21
2 3
xx x c
− + +
3 2
, 6 2 2
= − + + ∈ℝx x x
c c
36.3. ( )2
3
3
1d 1 d 1 d d
2
−− = − = − = − + = − ∫ ∫ ∫ ∫
xf x x x x x x x c
x
36.4. ( ) ( )d 2sin 3cos d= − =∫ ∫f x x x x x ( )2 sin d 3 cos d 2 cos 3sin= − = × − − + =∫ ∫x x x x x x c 3sin 2cos , = − − + ∈ℝx x c c
36.5. ( ) 4 4d 2e d d 2e dx xf x x x x xx x
= + = + = ∫ ∫ ∫ ∫
1
4 d 2 e d 4ln 2e , x xx x x c cx
= + = + + ∈∫ ∫ ℝ
36.6. ( ) 33 2d 4 d = − + =
∫ ∫f x x x xx x
1
3 21
3 d 4 d 2 d−
= − + =∫ ∫ ∫x x x x xx
1
4 2
3ln 4 214
2
x xx c= − × + + =
43ln 4 , x x x c c= − + + ∈ℝ
36.7. ( ) ( )5 1
2 2 2d 1 d df x x x x x x x x
= − = − =
∫ ∫ ∫
7 35 1 2 22 2d d
7 3
2 2
= − = − + =∫ ∫x x
x x x x c
7 32 2
, 7 3
x xc c= − + ∈ℝ
36.8. ( )3 3
2 2 2d d d d
x x x xf x x x x x
x x x
−= = − =∫ ∫ ∫ ∫
51
5 33
1d d ln
51
3
xx x x x c
x
− +−
= − = − + =− +
∫ ∫
2 3 23
3 3ln ln ,
22
x c x c cx
x
= − − + = − − + ∈ℝ
37. ( ) ( ) ( ) ( )sin 2cos d sin d 2cos d− = − =∫ ∫ ∫x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( )sin d 2 cos d cos 2sin= − = − − +∫ ∫x x x x x x c ( ) ( ) ( )cos 2sin= − − +F x x x c 37.1. ( ) ( ) ( )0 1 1 cos 0 2sin 0F c= ⇔ = − − + ⇔ 1 1 0 2c c⇔ = − − + ⇔ =
( ) cos 2sin 2= − − +F x x x
37.2. 0 0 cos 2sin2 2 2
F cπ π π − = ⇔ = − − − − + ⇔
( )0 0 2 1⇔ = − × − + ⇔c 2c = − ( ) cos 2sin 2= − − −F x x x
38.1. ( ) ( )
( ) 3 13 3
32 1d 2 d 2
3 13 3
− ++
= = + =− ++ +
∫ ∫x
x x cx x
( )2
1,
3= − + ∈
+ℝc c
x
38.2.
( )421
d2 1
xx
x x
−=
− −∫
( )( ) 421 2 1 2 12
x x x dx−
= − − − =∫
34d
3
uu u x c
−−′ = +∫
−
2
1,
2x c c
x= + + ∈ℝ
( )( )
32
32
2 11 1,
2 3 6 2 1
x xc c c
x x
−− −
= × + = − + ∈− − −
ℝ
6. Primitivas e cálculo integral
38.3. ( )
( ) 221 1
d 2 2 1 d22 1
x x xx
−−= − + =
+∫ ∫
( )
( )
12 11 1
2 1 2 2 1
−+
= − × + = + =− +
xc c
x
1,
4 2c c
x+ ∈
+ℝ
38.4. ( )
1 ln1
d dln ln ln
xxx x dxx x x x
′= = =∫ ∫ ∫
( )ln ln , x c c= + ∈ℝ
38.5. ln 1
d ln dx
x x xx x
= =∫ ∫
( )2ln
ln ln d , 2
xx x x c c′= = + ∈∫ ℝ
38.6. ( )2 2cos sin d sin sin dx x x x x x′ =∫ ∫
3sin
, 3
xc c= + ∈ℝ
38.7. ( )1
2 2
2
1d 2 1 d
21
−= − =
−∫ ∫
xx x x x
x
( ) ( )1
2 2 21
1 1 d2
x x x−′= − − =∫
( )
12 2
211
1 , 12
2
−= × + = − + ∈ℝ
xc x c c
38.8. 2 2
3 3
1 3d d
1 3 1
x xx x
x x= =
− −∫ ∫
( )3 3
3
1 ln 11d ,
3 1 3
x xx c c
x
′− −= = + ∈
−∫ ℝ
38.9. ( )sincos
d dsin sin
xxx x
x x
′= =∫ ∫ ln sin , x c c+ ∈ℝ
38.10. 2 2
2 2
1 1 2e d e d
2x xx x
x x
− −= =∫ ∫
21
e , 2
x c c−
= + ∈ℝ
38.11. ( ) cossin e dxx x =∫ ( ) cossin e dxx x− −∫
( ) coscos e dxx x′= =∫ cose , x c c− + ∈ℝ
38.12. ( )
( )( ) ( )( )
1
2exp
d exp 1 exp d1 exp
−= − − × − =
−∫ ∫
xx x x x
x
( )( ) ( )( )1
21 exp 1 exp dx x x−′= − − − =∫
( )( )
( )
1
21 exp2 1 exp ,
1
2
−= − + = − − + ∈ℝ
xc x c c
39.1. ( ) 4 5 322 1 2 1
+= = +
+ +x
f xx x
( ) 4 5 3d d 2 d2 1 2 1
xf x x x x
x x
+ = = + = + + ∫ ∫ ∫
3 2
2 d d2 2 1
x xx
= + =+∫ ∫
3ln 2 1
2 , 2
xx c c
+= + + ∈ℝ
39.2. ( )( )( )2
2 2
9 3 3f x
x x x= =
− − +
( )( )
2
3 3 3 3
A B
x x x x= + ⇔
− + − +
⇔ A(x + 3) + B(x – 3) = 2 ⇔
⇔ (A + B)x + (3A – 3B) = 0x + 2 ⇔
0
3 3 2
A B
A B
+ =⇔
− =
1
3
6 2 1
3
== − ⇔ ⇔
− = = −
AA B
bB
( )1 1
1 1 13 3d d d3 3 3 3 3
f x x x xx x x x
− = + = − = − + − +
∫ ∫ ∫
( )1 ln 3 ln 33
x x c= − − + + =1 3
ln3 3
xc
x
−+ =
+
33
ln , 3
xc c
x
−= + ∈
+ℝ 3
3ln ,
3
xc c
x
−= + ∈
+ℝ
Pág. 107
40. ( ) ( ) ( )e e d e e e e 1 d+ = + − + =∫ ∫x x x x x xx x x x ( )( )2e e e e 1 e e d= + − + − =∫x x x x x xx x 2 2 2
1e e e e 2e d
2
x x x x xx x= + − − + =∫
21
e e e2
= − + + =x x xx c ( )1 e 2 e 2 , 2
x xx c c+ − + ∈ℝ
41.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 2 2e e et t ta t v t t t t− − −′ ′′′= = × = + = ( )3 3 3 32 2 42 e 3 e 2 e 3 et t t tt t t t t− − − −= + × − × = − = ( )3 3e 2 3−= −tt t
( ) ( )1 11 1e 2 3e
−= − = −a
A aceleração da partícula no instante t = 1 foi de 1
e− 2m/s .
41.2. v(t) > 0, ∀t∈]0, 2[
3 3 3 22 22 2
0 0 0
1 1e d 3 e d e
3 3
− − − = = − − = − = ∫ ∫t t t
s t t t t
( )8 01 e e3
−= − − =8
1 11
3 e
− −
8
8
e 1
3e
−=
42.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 d 5 4 d− = ⇔ − = + ⇔∫ ∫t t
v t v a x x v t x x
( ) ( )2 2
0
4 5 4 52 2
⇔ = + + ⇔ = + +
t
x tv t x v t t
A velocidade no instante t é ( )2
4 52
= + +t
v t t
A função posição do ponto é dada por ( ) ( )s t v t dt= ∫ O deslocamento do ponto entre os instantes t1 = 0 e t2 = 10 é
dado por s(10) – s(0).
( ) ( ) ( )10
010 0 dts s v t− = =∫
102
0
14 5 d
2t t t
+ + ∫
=
103
2
0
2 56
tt t
= + +
1 12501000 2 100 5 10 0
6 3
= × + × + × − =
4 5 2 1
4 2 2
3
x x
x
+ +− −
d lnu
x u cu
′= +∫
2
d2
uu u x c′ = +∫
32 d
3
uu u x c′ = +∫
12d
1
uu u x c
−−′ = +∫
−
11 22d
1
2
uu u x
−′ =∫
d lnu
x u cu
′= +∫
2
d2
uu u x c′ = +∫
d lnu
x u cu
′= +∫
e d eu uu x c′ = +∫
11 22d
1
2
uu u x
−′ =∫
d lnu
x u cu
′= +∫
O deslocamento do ponto entre os instantes t1 = 0 e t2 = 10
é de 1250
3 m.
6. Primitivas e cálculo integral
42.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 d 4 2 3 d− = ⇔ + = + ⇔∫ ∫t t
v t v a x x v t x x
( ) ( )2 20
3 4 3 4 ⇔ = + − ⇔ = + − t
v t x x v t t t
A velocidade no instante t é v(t) = t2 + 3t – 4
A função posição do ponto é dada por ( ) ( )ds t v t t= ∫ O deslocamento do ponto entre os instantes t1 = 0 e t2 = 3 é
dado por s (3) – s (0).
( ) ( ) ( )3
03 0 ds s v t t− = =∫ ( )
32
03 4 dt t t+ − =∫
33 2
0
34
3 2
t tt
= + − =
1 327 9 4 3 0 10,5
3 2
× + × − × − =
O deslocamento do ponto entre os instantes t1 = 0 e t2 = 3 é
igual a 10,5 m.
43.1. ( ) 29,8 m/s= −a t
( ) ( ) d 9,8 d 9,8= = − = − +∫ ∫v t a t t t t c v(0) = 64 ⇔ c = 64
v(t) = – 9,8t + 64
( ) ( ) ( ) 2d 9,8 64 d 4,9 64= = − + = − + +∫ ∫h t v t t t t t t c h(0) = 80 ⇔ c = 0
A função posição da bola é h(t) = – 4,9t2 + 64t + 80, t ≥ 0.
43.2. ( ) 20 4,9 64 80 0= ⇔ − + + = ⇔h t t t
( )
( )
264 64 4 4,9 80 64 5664
2 4,9 9,8t t
− ± − × − × − ±⇔ = ⇔ =
× − −
14,2 1,15t t⇒ ≈ ∨ ≈ − A bola atingiu o solo cerca de 14,2 segundos após ter sido
lançada.
44.1. ( )0 cos d cosx
t t x′=∫
44.2. ( ) ( )0 2 2 201 d 1 d 1′ ′
+ = − + = − +∫ ∫x
xt t t t x
44.3. 1
21d 0
4
tt
t−
′ = + ∫
45.1. Como t∈[0, 1] , tem-se 3
1 11
2 1≤ ≤
+ t.
Pela monotonia da primitivação:
1 1 1
30 0 0
1 1d d 1 d
2 1≤ ≤ ⇔
+∫ ∫ ∫t t tt [ ] [ ]11 1
30 00
1 1d
2 1t t t
t≤ ≤
+∫
Logo, 1
30
1 1d 1
2 1t
t≤ ≤
+∫ .
45.2. Como x ∈ [0, 2] , tem-se 22 0
1 1 1 1e 1
e e e e
−≤ ≤ ⇔ ≤ ≤x x
Pela monotonia da primitivação:
2 2 2
2
0 0 0
1e d d 1 d
e
− ≤ ≤ ⇔∫ ∫ ∫xx x x
[ ] [ ]22 22
0 00
1e d
exx x x
−⇔ ≤ ≤∫
Logo, 2
2
0
12e d 2
e
− ≤ ≤∫ x x .
45.3. Como [ ]2, 4∈x , tem-se ( )2ln 3 ln 1 ln15≤ − ≤x . Pela monotonia da primitivação:
( )4 4 422 2 2
ln 3 d ln 1 d ln15 d≤ − ≤ ⇔∫ ∫ ∫x x x x
[ ] ( ) [ ]44 422 22
ln 3 ln 1 d ln15x x x x⇔ × ≤ − ≤ ×∫
Logo, ( )4 22
2ln 3 ln 1 d 2ln15≤ − ≤∫ x x .
46.1. ( ) [ ]2 2 2 22 3 200 00
6 4 5 d 2 2 5x x x x x x − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( )3 2 2 22 2 0 2 2 0 5 2 0= − − − + − = 2 8 2 4 5 2 16 8 10 18= × − × + × = − + =
46.2. ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2 31 1 1
1 d 1 2 d 2 d− − −
− = − + = − + =∫ ∫ ∫t t t t t t t t t t t
1 1 1
2 3 4
1 1 1
1 2 1
2 3 4− − − = − + = t t t
( )( ) ( )( ) ( )( )2 3 42 3 41 2 11 1 1 1 1 12 3 4
= − − − − − + − − =
( ) ( ) ( )1 2 1 41 1 1 1 1 12 3 4 3
= − − + + − = −
46.3. 2 2 2
2 3
2 31 1 1
1 4d d 4 d− −
− = − = ∫ ∫ ∫
x x x x xx x
2 2 2 21 2
2
1 11 1
1 14 2
1 2
− − = − = − + = − −
x x
x x
2 2
1 1 1 1 1 12 2 1
2 1 2 1 2 4
= − − + − = − − + − =
1 3 1 3 2
2 12 4 2 2 2
= + × − = − = − = −
46.4. ( )3 3
2 2
0 0sin d sin d sin d
π ππ
π= + − =∫ ∫ ∫x x x x x x
[ ] [ ]3
20
cos cosπ
π
π= − + =x x
( ) 3cos cos0 cos cos2
π = − π − + − π =
( ) ( )( )1 1 0 1 2 1 3= − − − + − − = + =
46.5. [ ]2 22 2
sin d cos cos cos2 2
θ θ θπ π
π π− −
π π = − = − − − =
∫
( )0 0 0= − − =
46.6. ( ) ( ) ( )1
51 14 4
0 0
0
2 11 12 1 d 2 2 1 d
2 2 5
−− = − = × =
∫ ∫
xx x x x
( ) ( )( ) ( )15 550
1 1 1 12 1 1 1 1 1
10 10 10 5 = − = − − = + = x
46.7. ( )2 20 0
3cos sin d 3 sin cos dπ π
= − − =∫ ∫x x x x x x
( ) ( )3 3 30
3cos cos cos 0 1 1 2
3
π− = = − π − = − − − =
46.8. 33 3
2
0 02 2 0
4 2d 4 d 4 1
1 2 1
= = + = + +
∫ ∫x x
x x xx x
( )4 2 1 4= − =
46.9. ( )1
8 82 2 2
0 0
11 d 2 1 d
2+ = + =∫ ∫x x x x x x
( )8
32 2
0
11
32
2
x
+ ×
( )8
32
0
11
3x
= + = ( )1 2627 1
3 3− =
46.10. ( )( ) ( )ln ln2 2ln ln
6 6
2e cos e d 2 e cos e dπ π
π π= =∫ ∫x x x xx x
( ) ( ) ( )( )ln lnln2 62ln
6
2 sin e 2 sin e sin e
π ππ
π = = − =
x
1
2 sin sin 2 1 12 6 2
π π = − = − =
[ ] ( )
[ ]
1
0
1
0
1 1 11 0
2 2 2
1 0 1
t
t
= − =
= − =
[ ]20
2 0 2x = − =
[ ]42
4 2 2x = − =
6. Primitivas e cálculo integral
46.11. ( )4 43 34 4
sin cos d sin sin dx x x x x xπ π
π π− −
′= =∫ ∫
3
2 2 243
4
1 1 3sin sin sin
2 2 4 4
π
π−
π π = = − − = x
2 23
2 43
4
1 1 2 2sin
2 2 2 2
π
π−
= = − − =
x
1 2 2
02 4 4
= − =
46.12. ( ) ( )
ln 2ln 2 ln 2
0 0 0
e 1ed d ln e 1
e 1 e 1
′+ = = + = + +∫ ∫
xxx
x xx x
( ) ( ) ( ) ( )ln 2 0ln e 1 ln e 1 ln 2 1 ln 2= + − + = + − =
( ) ( ) 3ln 3 ln 2 ln2
= − =
47.1. ( )3 3
2
0 0
1 1d e d
3 0 3
−= = =− ∫ ∫
xm f x x x
3 3
2 2
00
1 1 12e d e
3 2 6
x xx− − = × − × − = − = ∫ ( )
6 01e e
6
−− −
6
1 11
6 e
= − − =
6 6
6 6 6
1 1 1 e 1 e 11
6 e 6 e 6e
− − − = =
47.2. ( ) ( )1 1 20 0
1d 3 1 d
1 0= = + − =
− ∫ ∫m f x x x x x
13 2
0
3 1 3 51
3 2 3 2 6
= + − = + − =
x xx
47.3. ( )e 1 e 1
21 1
1d d
1e 1 1
− −= = =
+− − ∫ ∫x
m f x x xx
e 1
21
1 1 2d
2 1e 1 1
−= × =
+− − ∫x
xx
( ) ( )
e 12
1
ln 1 ln e ln 2
2 e 1 2 2 e 1 2
− + − = = =
− − − −
x
( )( )
( )( )1 ln 2 2 e 1 21 ln 2
2 e 1 2 2 e 1 2 2 e 1 2
− − +−= = =
− − − − − +
( )( ) ( )( )2 1 ln 2 e 1 1 1 ln 2 e 1 1
4e 4 4 2e 4
− − + − − += =
− − −
Pág. 108 48. Interseção do gráfico de f com a reta de equação y = x + 1.
3 23 4 1x x x− + = + ⇔
3 23 3 0x x x⇔ − − + = ⇔
( )( )( )1 1 3 0x x x⇔ + − − = ⇔ 1 1 3x x x⇔ = − ∨ = ∨ =
A área pedida é dada por:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 33 2 3 21 1
3 4 1 d 1 3 4 dA x x x x x x x x−
= − + − + + + − − +∫ ∫
( ) ( )1 33 2 3 21 1
3 3 d 3 3 d−
= − − + + − + + − =∫ ∫x x x x x x x x
1 34 2 4 2
3 3
1 1
3 34 2 4 2
−
= − − + + − + + − =
x x x xx x x x
1 1 1 1 81 9 1 1
1 3 1 3 27 9 1 34 2 4 2 4 2 4 2
= − − + − + − − − + + − − − + + −
8=
49. Interseção do gráfico de f com o eixo Ox:
( ) 2 1 1 80 2 02
± += ⇔ − − = ⇔ = ⇔f x x x x 2 1x x= ∨ = −
A área pedida é dada por:
( ) ( ) ( )1 2 3
2 1 2d d d
−
− −= − + =∫ ∫ ∫A f x x f x x f x x
( ) ( ) ( )1 2 32 2 22 1 2
2 d 2 d 2 dx x x x x x x x x−
− −= − − − − − + − −∫ ∫ ∫
1 2 33 2 3 2 3 2
2 1 2
2 2 23 2 3 2 3 2
x x x x x xx x x
−
− −
= − − − − − + − −
1 1 8 4 8 4
2 4 43 2 3 2 3 2
= − − + − − − + − − − +
1 1 9 8 49
2 9 6 2 43 2 2 3 6
+ − + + + − − − − − =
50.1. ( )4 4 4 44 4 4 4
sin sintan d d ln cos
cos cos
x xx x x x
x x
π π π π
π π π π− − − −
−= = − = − ∫ ∫ ∫
ln cos ln cos4 4
π π = − + − =
2 2ln ln 0
2 2
− + =
50.2. A área pedida é dada por:
( ) ( )4 400
2 tan d 2 ln cos 2ln cos 2ln cos04
A x x xπ π π = = − = − +
∫
22 2
2ln 2ln1 ln 0 ln 22 2
= − + = + =
A área pedida é igual a ln 2 u.a..
51.1. ( ) ( )2 2ln ln ln ln
0−
= ⇔ = ⇔ = ⇔x x x x
f x g xx x x
2ln ln 0 0x x x⇔ − = ∧ > ⇔ ( )ln 1 ln 0 0x x x− = ∧ > ( )ln 0 ln 1 0x x x⇔ = ∨ = ∧ > ⇔ 1 ex x= ∨ =
( ) ( ) ln11 1 01
= = =f g e ( ) ( ) ln e 1e ee e
= = =f g
Os gráficos de f e g intersetam-se nos pontos de
coordenadas ( ) 11, 0 e e, e
.
51.2. += = ℝf gD D
( ) ( ) ( )2ln ln ln 1 ln− = − = −f x g x x x x x x 0 1 e
ln x – 0 + + +
1 – ln x + + + 0 –
f – g – 0 + 0 –
O gráfico de f está “acima” do gráfico de g em ]1, e[ e o gráfico
de g está “acima” do gráfico de f em ]0, 1[ e em ]e, +∞[.
51.3. A medida da área pedida é dada por:
( ) ( )( )2
e e
1 1
ln lnd d
= − = − =
∫ ∫
x xA f x g x x x
x x
e e2 3
e e2
1 11 1
1 1 ln lnln d ln d
2 3
x xx x x x
x x
= − = − =
∫ ∫
2 2 3 3ln e ln 1 ln e ln 1
2 2 3 3
= − − − =
1 1 1
2 3 6− =
A medida da área pedida é 1
6 u.a..
52.1. ( ) 2 2= −f x x ; ( ) 20 2 0 2= ⇔ − = ⇔ = ±f x x x O gráfico de f é uma parábola com a concavidade voltada
para cima que interseta o eixo Ox em 2= −x e 2=x .
( ) 2 22 2 2 4 2= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±f x x x x
1 – 3 – 1 3
– 1 – 1 4 – 3
1 – 4 3 0
1 1 – 3
1 – 3 0
( )( )
3 23 3
( 1) 1 0
P x x x x
P P
= − − +
− = =
6. Primitivas e cálculo integral
O gráfico de f e a reta de equação y = 2 intersetam-se nos
pontos de abcissa – 2 e 2.
( )2 22
2 2 dA x x−
= − − ∫ ( )2
2
24 dx x
−= − =∫
[ ]2
32
2
2
8 8 16 324 8 8 16
3 3 3 3 3
xx
−−
= − = + − + = − =
u.a.
52.2. Gráfico de f : é uma parábola com vértice na origem e
concavidade voltada para cima.
Gráfico de g: é uma parábola com a concavidade voltada
para baixo
Interseção dos gráficos de f e g :
( ) ( ) 2 2 24 2 4 0= ⇔ = − + ⇔ − = ⇔f x g x x x x x x ( )2 2 0 0 2⇔ − = ⇔ = ∨ =x x x x Os gráficos de f e g intersetam-se nos pontos de abcissas 0
e 2.
( ) ( )( )2
0dA g x f x x= −∫ ( )
22 2
04 dx x x x= − + −∫ =
( )2 20
4 2 dx x= −∫2
3
0
24
3
xx
= − =
( )16 88 0 03 3
= − − − =
u.a.
52.3. Interseção dos gráficos de f e g :
( ) ( ) ( )2sin sin 2= ⇔ = ⇔f x g x x x ( )2sin sin 2 0x x− = ( )2sin 2sin cos 2sin 1 cos⇔ − ⇔ − ⇔x x x x x sin 0 cos 1⇔ = ∨ =x x
Como [ ]0, , 0∈ π = ∨ = πx x x
( ) ( )( ) ( )( )0 0
d 2sin sin 2 dπ π
= − = − =∫ ∫A f x g x x x x x x
( )0
12cos cos 2
2
π = − + =
x x
( )1 12cos cos 2 2cos0 cos02 2
= − π + π − − + =
1 1
2 2 42 2
= + − − + =
u.a.
52.4. Interseção dos gráficos de f e g :
( ) ( ) 22 1 2= ⇔ + + = ⇔f x g x x x
2
2
2 1 2 1
2 1 2 1
x x x
x x x
+ + = ∧ ≥ −⇔ ⇔
− − = ∧
6. Primitivas e cálculo integral
55.1. Para 0x > : g(x) = 0,08x2 + k ; g’(x) = 0,16x
f (x) = x ; f ’(x) = 1
O gráfico de f é tangente ao gráfico de f no ponto (x0, x0),
pois f (x0) = x0. Assim:
( )( ) ( )
0 0
2
0 00 0
1 0,16 1
0,08
g x x
x k xg x f x
′ = = ⇔ ⇔
+ ==
0 0
2
25 25
4 4
2525 250,08
84 4
x x
kk
= = ⇔ ⇔
== − ×
Portanto, 25
8k = .
55.2. f e g são funções pares. Logo, se para x > 0 os seus
gráficos se intersetam no ponto 25 25
,4 4
então, para
0x < , intersetam-se no ponto 25 25
,4 4
−
.
( )25
02 24
250
4
25 250,08 d 0,08 d
8 8− = + − − + + − = ∫ ∫
A x x x x x x
2503 2 3 2 4
250
4
0,08 25 0,08 25
3 8 2 3 8 2
x x x xx x
−
= + + + + − =
3 2 325 25 25
0,08 0,084 4 4
03 2 3
− × − × = − + + +
225
25 25 62540
8 4 2 48
+ × − − =
56.1. ( )2 2
3 3
1 3d d d
1 3 1= = =
− −∫ ∫ ∫x x
f x x x xx x
31
ln 1 , 3
x c c= − + ∈ℝ
56.2. ( ) ( )cosd d ln sin , sin
= = + ∈∫ ∫ ℝx
f x x x x c cx
56.3. ( )2
2
ed d
x
f x x xx
−
= =∫ ∫
22
2
1 2 ee d ,
2 2
xx x c c
x
−−
= = + ∈∫ ℝ
56.4. ( ) e ed de e
x x
x xf x x x
−
−
+= =
−∫ ∫ = ln |ex – e–x| + c =
21 e 1
ln e lne e
−= − + = + =
xx
x xc c 2ln e 1 ln ex x c− − +
= ln |22x – 1| – x + c, c ∈ℝ
57. ( )5
4 2 3 23 4 1 d 2 , 5
+ − + = + − + + ∈∫ ℝx
x x x x x x x c c
( )5
3 22 452 0 2 2 2 2 05 2
= ⇔ + − × + + = ⇔ = −F c c
Logo, ( )5
3 2 4225 5
xF x x x x= + − + − .
58.1. ( )( )
( ) 221 1
d d 2 2 1 d22 1
−= = + =
+∫ ∫ ∫f x x x x x
x
( ) 11 12 1 , 2 4 2
−= + + = − + ∈
+ℝx c c c
x
58.2. 1 1
d d3 3
− = =− −∫ ∫x xx x ln 3 , x c c− + ∈ℝ
58.3. ( )( )
( ) 2222
1d d 2 1 d
21
−= = − =
−∫ ∫ ∫
xf x x x x x x
x
( ) 12 21 1
1 , 2 2 2
−= − + = + ∈
−ℝx c c c
x
58.4. ( ) 3 1 3 11d e d 3e d3
+ += = =∫ ∫ ∫x xf x x x x 3 11
e , 3
x c c+ + ∈ℝ
58.5. ( )2 21
d e d 2 e d2
− −= = − − =∫ ∫ ∫x xf x x x x x x2
e,
2
x
c c−
− + ∈ℝ
58.6. ( ) 1 1d d1 1
= + = − + ∫ ∫f x x x
x xln 1 ln 1x x c− + + +
( )( )ln 1 1x x c= − + + = 2ln 1 , x c c− + ∈ℝ
58.7. ( ) 1d sin 2 d 2sin 2 d4 2 4
π π = − = − = ∫ ∫ ∫
f x x x x x x
1cos 2 ,
2 4
π = − − + ∈
ℝx c c
58.8. ( )3
2 sind cos sin d , 3
= = + ∈∫ ∫ ℝx
f x x x x x c c
58.9. ( ) d 2cos 3sin d2 2
x xf x x x
= − = ∫ ∫
1 14 cos d 6 sin d
2 2 2 2
x xx x= − =∫ ∫
4sin 6cos , 2 2
x xc c= + + ∈ℝ
59.1. ( )2 2 21 1 11 1d e d 2 e d e
2 2
− − −= = − − = − +∫ ∫ ∫x x xf x x x x x x c
Uma primitiva de f é, por exemplo, 211 e ,
2
x c c−− + ∈ℝ .
59.2. 2
1, 0 e 0xx x+ −∀ ∈ > ∧ >ℝ . Logo, 2
1, e 0xx x+ −∀ ∈ >ℝ
pelo que, ∀x∈ℝ+, f (x) > 0
59.3. ( )2 2 211 1
1 1 1 0 1
0 0 0
1 1 1e d 2 e e e e
2 2 2
− − − = − − = − = − − = ∫ ∫x x xx x x
( )1 e 12
= −
Como 21, e 0+ −∀ ∈ >ℝ xx x , significa que a medida da
área da região do plano delimitada pelo gráfico de f , pelo
eixo das abcissas e pelas retas verticais de equações x = 0
e x = 1 é igual a ( )1 e 12
− u.a. .
60.1. ( ) ( )1 e−′ = − − =xH x x ( ) ( )( )1 e 1 ex xx x− − ′′− − + − − = ( ) ( ) ( ) ( )e 1 e e 1 1 ex x x xx x x h x− − − −= − + − − × − = − + + = =
Logo, H é uma primitiva em ℝ de h.
60.2. No intervalo [1, 2], h(x) > 0, pois, neste intervalo, x > 0 e 21e 0x− > .
Assim, a medida da área pedida é dada por:
( ) ( ) ( )2 22
1 11d 1 e− = = = − − = ∫ xA h x x H x x
( )2 1 1 23e 2e 2e 3e− − − −= − − − = − = 2 22 3 2e 3
e e e
−− = u.a.
61.1. ( ) ( ) ( ) ( )( )e e e′ ′′′ = + = + + + = x x xF x ax b ax b ax b ( ) ( )e e e= + + = + +x x xa ax b a ax b
( ) ( ) ( )e e′ = ⇔ + + = ⇔x xF x f x ax a b x 1 0 1 1a a b a b⇔ = ∧ + = ⇔ = ∧ = −
1 25
0,16 4=
2 2
2 2 2 2x x
x x x
′ ′ ′− − = =
( )( )
e e
=e e
e e
x x
x x
x x
−
−
−
′− =
− − =
= +
2
2 e 3
e
−
6. Primitivas e cálculo integral
61.2. ( ) ( )1 11
0 00e d 1 e = = − = ∫ x xx x F x x ( )1 00 e e 1× − − =
Avaliação
Pág. 110
1. ( ) ( ) ( )1d sin 3 2 d 2sin 3 2 d2
= − = − − − =∫ ∫ ∫f x x x x x x
( )( ) ( )1 1cos 3 2 cos 3 2 , 2 2
= − × − − + = − + ∈ℝx c x c c
Resposta: (B)
2. 11 1
2
0 02 2 0
2d d 4
4 2 4
− = − = − − = − −
∫ ∫x x
x x xx x
3 4 2 3= − + = − Resposta: (D)
3. • ( )2 0 1 0 0 1+ = ⇔ + = ⇔ = ∨ = −x x x x x x • 3 31 0 1 1+ = ⇔ = − ⇔ = −x x x Interseção dos gráficos de f e g
3 2 3 21 1 0x x x x x x+ = + ⇔ − − + = ⇔
( )( )21 1 0x x⇔ − − = ⇔ 1 1x x= − ∨ =
( ) ( )( ) ( )( )1 1 3 21 1
d 1 d− −
= − = + − + =∫ ∫A f x g x x x x x x
( )1
4 3 21
3 2
11
1 d4 3 2−
−
= − − + = − − + =
∫
x x xx x x x x
1 1 1 1 1 1
1 14 3 2 4 3 2
= − − + − + − − =
2 42
3 3− + =
Resposta: (A)
4. ( ) ( ) ( )d 0,5 0,02 d= = + =∫ ∫v t a t t t t 2 10,5 0,01t t c+ + v(0) = 0 ⇔ c1 = 0
Logo, ( ) 20,5 0,01= +v t t t . ( ) 220 0,5 20 0,01 20 10 4 14= × + × = + =v
( ) ( ) ( )2d 0,5 0,01 d= = + =∫ ∫s t v t t t t t2 30,5 0,01
2 3
t tc+ +
s(0) = 0 ⇔ c = 0
Logo, ( ) 2 31 14 300
= +s t t t .
( ) 2 31 1 38020 20 204 300 3
= × + × =s
Resposta: (A)
5. •
( )( )2 2 2220 02
1d 2 1 d
21
−= + =
+∫ ∫
xx x x x
x
( )
( )
2 212
2
00
11 1 1 1 2
2 1 10 2 52 1
− + = = − = − + = − +
x
x
Verdadeira
• 3 3
1 12 2
2 2d 2 d
2 2 2= =
+ +∫ ∫
x xx x
x x
( )3
2
1
2 2 2 11 3 = + = −
x Verdadeira
• 2 22 20 0
sin cos d sin cosπ π
= − − =∫ ∫x x x x x
( )
333 2
0
cos cos 0cos 12
3 3 3 3
xπ π
= − = − =
Verdadeira
• 2 20 0
1sin 2 d 2sin 2 d
4 2 4
π ππ π + = + = ∫ ∫
x x x x
2
0
1 1 5cos 2 cos cos
2 4 2 4 4x
π
π π π = − + = − − =
1 2 2 2
2 2 2 2
= − − − =
Falsa
Resposta: (D)
6. ( )2
1 2 32
d−
= − + =∫ f x x A A A5 1
1 11 1 2 21
2 2 2
+ ××− × + =
1 7 1 1 3
12 4 4 2 2
= − + = − = −
Resposta: (D)
7. • ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2
10 1 0
d d d∆ = − ≠∫ ∫ ∫A f x x f x x f x x Falsa
• Sendo F uma primitiva de f :
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2
1 0 1 0A F x F x F x∆ = − ≠
Falsa
• ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 121 1
d e d− +∆ = − − = − + + =∫ ∫ xA f x x x x x x
( )2 21 11 1
e d e d− + − += ≠ −∫ ∫x xx x Falsa
• ( ) ( ) ( )( )2 2
1
21 1
d e d− +∆ = − − = =∫ ∫ xA f x x x x
( )2 1 1 01
1e d e e 1
e
x x− + −= − − = − + = −∫ Resposta: (D)
Pág. 111
8.1. 22 2
cos cos 1d d cos sin d ,
1 cos sin sin
x xx x x x x c c
x x x
−= = = − + ∈−∫ ∫ ∫ ℝ
8.2. 22
1tan d 1 d tan ,
cos
= − = − + ∈ ∫ ∫
ℝx x x x x c cx
8.3. ( ) ( )5 5 30 0
2 5 d 5 2 5 d+ = + =∫ ∫x x x x x x
5 55 3
3 1 2 25 52 2
0 0
0 0
5 d 2 5 d 5 2 55 3
2 2
x xx x x x
= + = +
∫ ∫
5 5
5 3
0 0
2 5 4 5
5 3x x = + =
=
5 3 3 22 5 4 5 2 45 5 5 52 3 5 3
100 25050
3 3
= + = × + × =
= + =
1 – 1 – 1 1
1 1 0 – 1
1 0 – 1 0
6. Primitivas e cálculo integral
8.4. ln 2 ln 2 ln 2
3 3 3
00 0
5 55e d 3e d e
3 3 = = = ∫ ∫x x xx x
( ) ( )3
ln3ln 0 2
5 5 5e e e 1 8 1
3 3 3
= − = − = − =
x 35
3
9.1. ( )2
4 4
1 1
1 1
′ ′ = = − + + ∫xf x
t x, ( ) 1 11
1 1 2′ = − = −
+f
9.2. Equação da reta tangente:
( ) ( )2
41
1 11 ; 1 d 0,2
2 1′= = − = =
+∫m f f tt
( )1 1 1 10,2 12 2 2 5
− = − − ⇔ = − + + ⇔y x y x1 7
2 10y x= − +
7 7
495 10
2 100A
×= =
A medida da área pedida é igual a 49
100 u.a..
10.1. a) ( ) 24 m/s= −a t , ( )0 1=s , ( )0 1v =
( ) ( ) d 4 d 4= = − = − +∫ ∫v t a t t t t c ( )0 1 1v c= ⇔ = Logo, ( ) 4 1v t t= − +
b) ( ) ( ) ( ) 2d 4 1 d 2= = − + = − + +∫ ∫s t v t t t t t t c ( )0 1 1= ⇔ =s c Logo, ( ) 22 1s t t t= − + +
10.2. a) ( ) 2 1 1 80 2 1 04
s t t t t− ± +
= ⇔ − + + = ⇔ = ⇔−
1
12
t t⇔ = ∨ = −
( )1 4 1 3 3= − × + = −v O ponto material passa na origem do referencial no
instante t = 1 s com uma velocidade de – 3 m/s.
b) ( ) ( )22 1 4 1′′ = − + + = − +s t t t t
( ) 10 4 1 0 0,254
′ = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ =s t t t t
O ponto muda o sentido do deslocamento no instante
t = 0,25 s.
c) ( ) 20,25 2 0,25 0,25 1 1,125= − × + + =s t 0 0,25 +∞s' + 0 –
s ր ց Máx.
A distância máxima à origem foi de 1,125 m e foi
atingida no instante t = 0,25 s.
11.1. ( )ln 5
1085 100 75e 85−
> ⇔ − > ⇔t
T tln 5
1015
e75
t−<
ln5 1
ln10 5
t ⇔ − < ⇔
ln 5ln 5
10t− < − ⇔ 10t >
O processo de esterilização inicia-se 10 minutos após a
embalagem ser colocada no forno.
11.2. a) ( )ln 5
10
10 1085 d 100 75 e 85 d
tx x
A T t x t−
= − = − × − =
∫ ∫
ln5
e10
10 1015 d 75 e d
−= − =∫ ∫
tx
x t [ ]ln5
10
10 1015 75 e d
txxt t
−− ∫
ln 5
10
1015 150 75 e
tx
x−
= − − =∫ ( )ln 5
10
1015 10 75 e
tx
x−
− − ∫ f é crescente em [ [0, + ∞ .
b) ( ) ( )ln 5
2010
1020 15 20 10 75 e d
−= − − =∫A t
20ln 5
2 ln 5 ln 510
10
e e e150 75 150 75
ln 5 ln 5
10 10
t−− −
−
= − = − × ≈ − −
75,4≈ Como A(20) < 85, o processo de esterilização não fica
concluído passados 20 minutos.
12. ( )( )
( )( )
( )
2 2
2 22 2
3 1 e 3 2 e0
1 e 1 e
x x
x xf x
− −
− −
′− + − × −′ = − = − =
+ +
( )
2
2
6e0,
1 e
x
xx
−
−= − < ∀ ∈
+ℝ
Como ( ) 0,f x x′ < ∀ ∈ℝ , f é estritamente decrescente.
( )4
32 3 0,05
1 ef
−= − ≈
+
( )ln 2 0,35≈ f é estritamente decrescente e ( ) ( )2 ln 2f < . Logo:
( ) [ ]ln 2 , 2,4f x x≤ ∀ ∈
( )( )42
ln 2 d= − =∫A f x x ( )4 4
2 2ln 2 d dx f x x− =∫ ∫
[ ] ( ) 442 2
ln 2= − = x F x ( ) ( )( )2ln 2 4 2F F− − =
( ) ( )8 43 32ln 2 ln 1 e ln 1 e2 2
− − = − − + + + =
( ) ( )8 43 32ln 2 ln 1 e ln 1 e 0,72 2
− −= + + − + ≈
A medida da área pedida é aproximadamente igual a 0,7 u.a..
Avaliação global
Pág. 112
1. • ( )e
2e e e
1 1 11
ln 1 lnd ln d ln d
2
′= = = =
∫ ∫ ∫x x
x x x x xx x
e2 2 2
1
ln ln e ln 1 1
2 2 2 2
= = − =
xFalsa
• ( )2 2 2e e e
ee e
1
1d d ln ln
ln ln= = = ∫ ∫ xx x xx x x
( ) ( )2ln ln e ln ln e= − = ln 2 ln1 ln 2− = Verdadeira
• [ ]3 324 4
1d tan tan tan 3 1
cos 3 4
π π
π π
π π = = − = − ∫
x xx
Falsa
• ( ) ( ) ( )ln ln lnF x x x x x x x′ ′′ ′= = + =
1
ln ln 1x x xx
= + × = + Falsa
Resposta: (B)
6. Primitivas e cálculo integral
2. • ( ) ( )2 1 2
0 0 11 d 1 d 1 d− = − + + − =∫ ∫ ∫x x x x x x
1 22 2
0 12 2
= − + + − =
x xx x
( )1 11 0 2 2 1 12 2
= − + − + − − − =
Falsa
• No intervalo [– 4, – 1], tem-se que x3 < 0 e ex > 0.
Logo, [ ] 34, 1 , e 0∀ ∈ − −
= − + − − + ∈ℝ
Resposta: (C)
8. • ( )2
0d 0>∫ f x x , pois ( ) 0f x ≥ em [ ]0, 2 .
Ficam excluídas as hipóteses (A) e (D)
• Como se pode observar no gráfico seguinte. a medida
da área delimitada pelo gráfico de f , pelo eixo das
abcissas e pelas vertas verticais x = 0 e x = 1 é inferior
a 2 u.a. .
Logo, fica excluída a resposta (C).
Resposta: (B)
9. Resposta: (B)
10. ( ) 1: 1 lnA xx
′− = −
( )2 2 2 1: ln 2 2 ln ′− = − + × =
B x x x x x x xx
2 2 ln 2 ln= − − = −x x x x x x x
2 2 25 1 5 1 1
: ln 2 2 ln4 2 4 2
′ − = × − + × =
C x x x x x x xx
5
ln 2 ln2 2
= − − = −x
x x x x x x
( )2 1: ln 2 1ln 2 1 ln ′− = − + × = − −
D x x x x x x x xx
Resposta: (C)
11. ( )1
0d∫ f x x é igual à medida da área da região do plano
delimitada pelo gráfico de f , pelo eixo das abcissas e pelas
retas verticais de equação x = 0 e x = 1.
A medida dessa área é maior do que 0,25 e menor que 2.
Como:
• e – 2 ≈ 0,72
• 1
0,254
=
• 1
ln 0,692
≈ −
De entre os valores
apresentados, a medida da área
pedida apenas pode ser –2.
Resposta: (A)
Pág. 114
12.1. 2 2e 3e e e
d d 3 de e e
−= − =∫ ∫ ∫
x x x x
x x xx x x
e d 3 1d e 3 , = − = − + ∈∫ ∫ ℝx xx x x c c
12.2. ( )22 4 2
1
2
3 6 9d d
− − += =∫ ∫
x x xx x
xx
4 2
1 1 1
2 2 2
6 9d
x xx
x x x
− +
∫
9 5 17 3 1 2 2 22 2 2
6 96 9 d
9 5 1
2 2 2
x x xx x x x c
− = − + = − + + =
∫
9 52 1218 ,
9 5
x xx c c= − + + ∈ℝ
6. Primitivas e cálculo integral
12.3. 0 0
1cos sin d 2cos sin d
2 2 2 2 2
x x x xx x
π π = = ∫ ∫
[ ]π00
1 1sin d cos
2 2x x x
π= = − =∫ ( )
1cos π cos0
2− −
( )1 1 1 12
= − − − =
12.4. ( )2 2 2
33 3
e e e
ee e
1
1d d ln ln
ln ln= = = ∫ ∫ xx x xx x x
( ) ( )2 3 2ln ln e ln ln e ln 2 ln 3 ln3
= − = − =
13.1. ( ) ( )26 6 2′′ = − = −f x x x x ( )4 6 2 4 6 8 2f ′ = − × = − = − ( )4 6 4 16 8f = × − = ( )8 2 4 2 8 8 2 16− = − − ⇔ = − + + ⇔ = − +y x y x y x Logo, a reta r é tangente ao gráfico de f no ponto P(4, 8).
13.2. Interseção da reta com o eixo das abcissas
2 16 0 2 16 8− + = ⇔ − = − ⇔ =x x x
Interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas
( )26 0 6 0 0 6− = ⇔ − = ⇔ = ∨ =x x x x x x
( )( ) ( )6 820 6
2 16 6 d 2 16 d= − + − − + − + =∫ ∫A x x x x x x
( ) ( )6 820 6
8 16 d 2 8 d= − + + − + =∫ ∫x x x x x
6 83 2
2
0 6
4 16 2 83 2
= − + + − + =
x xx x x
( )216 144 96 2 32 64 18 48 283
= − + + − + + − =
A medida da área pedida é igual a 28 u.a. .
14. [ ]2sin 1 0 , 2πx x= − ∧ ∈ ⇔
[ ]1sin 0 , 2π2
x x⇔ = − ∧ ∈ ⇔
π π
π 2π6 6
x x⇔ = + ∨ = − ⇔7π 11π
6 6x x= ∨ =
( ) ( )7π
2π6
11π0
6
2sin ( 1) d 2sin ( 1) dA x x x x= − − + − − =∫ ∫
( ) ( )7π
2π6
11π0
6
1 2sin d 1 2sin dx x x x= + + +∫ ∫
[ ] [ ]7π
2π6 11π
06
2cos 2cosx x x x= − + − =
7π 11π3 0 2 2π 2 3
6 6
= + − + − − − + =
4π 4π 6 32 3
3 3
+= + =
A medida da área pedida é igual a 4 6 3
3
π + u.a.
15.1. 1 1
0 10 0
1 ed d
1 e 1 e
−
− −+ = + =
+ +∫ ∫x
x xu u x x
1
0
1 ed
1 e 1 e
x
x xx
−
− −
= + =
+ + ∫
1 1
0 0
1 ed 1d
1 e
x
xx x
−
−
+= =
+∫ ∫
[ ]10
1 0 1= = − =x
15.2. ( )1 1
10 0
1 eed d
1 e 1 e
xx
x xu x x
−−
− −
′+ = = − − = + +
∫ ∫ ( )1
0ln 1 e x− − +
( ) ( )1 0ln 1 e ln 1 e−= − + + + = 1ln 2 ln 1e
− +
e 1
ln 2 lne
+ = − =
( )( )ln 2 ln e 1 ln e− + −
( ) 2ln 2 1 ln e 1 1 lne 1
= + − + = + +
Como u0 + u1 = 1 , tem-se:
0 12 2 e 1
1 1 1 ln ln lne 1 e 1 2
u u + = − = − + = − = + +
15.3. a) Seja n∈ℕ . Para todo o real [ ] e0, 1 , 01 e
−
−∈ ≥
+
nx
xx
Logo, 1
0
ed 0
1 e
−
−≥
+∫nx
xx .
b) ( )1
1 1
10 0
e ed d
1 e 1 e
− + −
+ − −+ = + =
+ +∫ ∫n x nx
n n x xu u x x
( )11
0
e ed
1 e 1 e
− + −
− −
= + = + + ∫
n x nx
x xx
( )10
e e 1d
1 e
nx x
xx
− −
−
+=
+∫
1 1
0 0
1e d e d− −= = − − =∫ ∫nx nxx n xn
1
0
1 e 1e
nnx
n n n
−− − = − +
=
1 e−−=
n
n
c) Seja n∈ℕ .
Vimos em b) que 11 e−
+
−+ =
n
n nu un
e, por outro lado
que, 1 0nu + ≥ .
Logo, 11 e 1 en n
n n n n nu u u u un n
− −
+
− −+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤
15.4. Para n∈ℕ , tem-se 1 e
0−−
≤ ≤n
nun
.
Então, 1 e 1 0
lim0 0 ; lim 0−− −
= = =+∞
n
n
Pelo teorema das sucessões enquadradas, lim un = 0.
16.1. ( )( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1
+ −= − = =
+ + +x x
f xx x x x x x
16.2. ( ) 1 1d d ln ln 11
= − = − + + = + ∫ ∫f x x x x x c
x x
ln , 1
= + ∈+
ℝx
c cx
Pág. 115
17.
2e
2 2e e
1 11
e ee
1ln
ln 1 ln ln e ed d
2 2 2
x
x x
x x
x
x xt tt t
t t
= = = −
∫ ∫ =
( ) ( ) ( )
2 2 22 2 2ln e ln e0
2 2 2
x xx x x x
−− − − −= = = =
6. Primitivas e cálculo integral
18.1. • ( ) 100 100100 100 100e 100 e 1+ += ⇔ = ⇔ = ⇔a b a bf 100 ln1 100 0⇔ + = ⇔ + =a b a b
• ( )1
50 50 250 50
50 50e e ee e
−+ += ⇔ = ⇔ = ⇔a b a bf
150
2⇔ + = −a b
A solução do sistema é:
100 0 100
1 150 50 100
2 2
+ = = −
⇔ ⇔ + = − − = −
a b b a
a b a a
11
110,0150
1002
= − = − ⇔ ⇔ ⇔
==− = −
bb
aaa
wwww
Logo, ( ) 0,01 1, e −∀ ∈ =ℝ xx f x x
18.2. Para 100 0x− ≤ < :
• e0,01x – 1 > 0
• x < 0
Logo, [ [100, 0x∀ ∈ − , xe0,01x – 1 < 0 , pelo que
( )0
1000
− ⇔ > ⇔ >xf x x x x Logo, f (x) > x se x > 0 . Portanto, a medida da área
pedida é dada por:
( )( ) ( )200 200 200
100 100 100d d d= − = − =∫ ∫ ∫A f x x x f x x x x
( )200
2200
0,01 1
100100
100 10 000 e 12 1832
− = − − ≈
x xx
A medida da área pedida é aproximadamente igual a
12 183 u.a..
19.1. 2 2 21 1 11 1e d 2 e d e
2 2
− − −= − − = − + =∫ ∫x x xx x x x c21e
, 2
x
c c−
− + ∈ℝ
19.2. ( )21e −= xf x x .
Para x∈]0, 1] , tem-se:
( )2
2
11 1 1
1
ee e e
e
−− − −
−≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔
xx x x
xf x x x
21 1e x xx − − +≤
2
ex xx −⇔ ≤ ⇔ 2 2ln ln 0x x x x x x≤ − ⇔ − + ≤ Seja g(x) = ln x – x2 + x.
( )21 2 1
2 1− + +
′ = − + =x x
g x xx x
21 1 8
2 1 02
x x x− ± +
− + + = ⇔ = ⇔
2 1x x⇔ =− ∨ = No intervalo ]0, 1[, g’(x) > 0 e, portanto, g é estritamente
crescente em ]0, 1].
( ) 21 ln1 1 1 0g = − + =
Se g é estritamente crescente em ]0, 1] e g(1) = 0 , então
( ) ] ]0, 0, 1g x x≤ ∀ ∈ .
Logo, ] ] ( ) 10, 1 , e −∀ ∈ ≤ xx f x
19.3. ( )21 1 10
e e d− −= − =∫ x xI x x ( ) ( )21 1
1 1
0 0
12 e d e d
2
x xx x x− −− − + −∫ ∫ =
1 1
1 1
0 0
1e e
2
− − = − + = x x ( ) ( )0 1 0 11 e e e e
2− − + − =
( )1 1 e 1 e2
= − − + − = ( )1 2 1 2e e2
− − + =1 e
2
−
Significa que o simétrico da medida da área delimitada pelo
gráfico de f, pelo gráfico da função definida por g(x) = e1 – x
e pelas retas de equações x = 0 e x = 1 é igual a 1 e
2
−.