91
Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes)

Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

  • Upload
    others

  • View
    29

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes)

Page 2: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil
Page 3: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

Publicações Matemáticas

Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes)

3a edição

Carlos Gustavo Moreira IMPA

Nicolau Saldanha

PUC-RJ

impa

Page 4: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

Copyright © 2008 by Carlos Gustavo Moreira e Nicolau Saldanha Direitos reservados, 2008 pela Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger

Publicações Matemáticas

• Introdução à Análise Funcional – César R. de Oliveira • Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima • Les Équations Différentielles Algébriques et les Singularités Mobiles –

Ivan Pan e Marcos Sebastiani • Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos • Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo • Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira • Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa • Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo • Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo • The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima • Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva • Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) –

Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau Saldanha • The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano • Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca • Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet • Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella • Introduction to Nonlinear Dispersive Equations – Felipe Linares e Gustavo Ponce • Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez • Teoria dos Corpos – Otto Endler • Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J.

Dias Carneiro e Salvador Addas Zanata • Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito –

Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto • Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J.

Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho • Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges • Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto C. Ponce • Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima • O Método do Referncial Móvel – Manfredo P. do Carmo Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ E-mail: [email protected] - http://www.impa.br ISBN: 978-85-244-0192-3

Page 5: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� �����

��

��

��

y2z*{}|�~�� � ����� ~

�x� ��� �g����� ������ � ����W����������� ���������������������� � � � � ������� �0� ��������� � � � � � � � ���� � ���� � � � �� � � � ����l �� ����� � � � ���� � �<� � ���������� � �� ¢¡P�2� � ��£� � ��� ��������¤ � �<������¢� � � � ���� � ����� � �� � �� ������� � �=��¥� � � �0¦ � ��� ��§(¨ª©(« ¨�¬®­ � � � ��¯S© ����������°���±�¤²����³�����³���±�¤²����´�°�³�´�� � ¤��³�����°������ ¤P����´�´�°�� ��� ¤ � ��³�°�°�´ � ±  µ¡P������ª��¥� �®� � �� ���� � � � ����� � �ª� � ��������� � �¶� � �� � ������� ³������������ ��� � � ��� ������ � �� · ���� � �n� �$¦ � ��� �$« ¨¸¬µ­ ¤ � � � ¯®� ����� � ¤ ��¹���º����� � ����� � � � � � �»� �� � ���� � � � �P�¸��¥� �� � �� ������� � �^� � � ��¼¾½¿�ÀªÁ�Â$Ã�Ä8ÅSÄƽÆÂÆÄGÇ�ÇÈÄ�É a¥� �]������ ¦ �Ê �����=����� � ���� � �gË � � « ¨ ¬p­ � ��� � ���$���� � ���� � Ë � � � � ¯ �� � ����� �   · � �����¸� � ����������������¸��� � ����� � �N���$Ì����Æ���������������ÍÎ��¸Ï� � � � ������������ � ��� ��� £��¥� � � � �Ð �� ����� � � � ��� ¦ ����� � �� <ÑN�Ò �� ����� � � ��� ¦ ���Ó� �Ô�� � ���������� � � � ������� � Ë � � ��»� � � � �¾Ï� � � � � ������� � �<��������� � ���� � � �� � �� � �»ÕÖ� � � �/× © ­�Ø « Ø�Ù� «�Ú$© ­�Ø « Ø^Û�Ø/Ü�ض­�Û�Ý É�� �¢ �� ����� � � � ��� ¦ ���Ó� � � � � �����a��¥� � � �������� � ������� � �a �� ����� � �� �$¦ � �� �8« ¨�Þ<ß�à « ¨8¬]­�á � ��� « ¨$¬]­ �� � ����� � Õ � � � ����� � ���/Ì����Æ������� Ý  â � ������� � � ����������� � ���� � �Ó� � � � a¥� � �������� � ��� ��� �� � ���� � �l���PÌ.���Æ������Y��� � � ��������� ��.ã � � � ������� � �$äN� � � � �/Ë � �ª���"� ����° � � �W��� ��� Ë � � « ¨ª¬,­ a¥� � � ��������� � ����� � ����� ����� � ���¶Ë � � ¯[¦ � � � ����� ��å « ß�ß�¬p­ ©Ð«�æ Û�Ü ©Ð« Ù�ç Ú�è  é¡P�6� °���� ¤ · ������� ��ê � � � ��������� � � � � ������� � �������ë�������ì�� � � � �S� ���� � ����� � ���.��� « ßí/¬î­ � « ßï/¬î­ � � ì ��� ���ÕÖ���� � ������� � ������� Ý Ë � � « ¨ ¬ð­ � � � �n����ñ��� ��� ����� � ��� � �/¯ò© ��� ¤È��´ ¤ � �¸� ��±  �¡P�� °�³���¤�ó ����� � �Y� � �W��� ��� Ë � � «�ô�õ ¬ö­ � «�õ í=¬e­ ��¥� � � � � � � ��� � �� <¡C�@� °�³�³ ¤ � � � � �Ì � ����$Ì����Æ�������xÕ�� ����� ÍÆ� °�³�� Ý � ì �� ��� � � �H� � � �����0Õ÷� � � �n����p���� � ������� � ������� Ý Ë � �« ¨$¬]­ ��� �8� ���� � ��� � �¯S©(«�ø Ù øúùÈø Ü ø ­GÙ ø ­�Ü ø ­ è�ø Ù ­ ø × Ü ø ­ « Ü � «�ù Ü

��� � � � � ��� � � � � � � �ª����� � ���¶� � � � �����¶��� ¯üûs«�ù Ü  2¡Y�W� �®� ì ��� � £��¥� � ����� � � � ��� �� ���� � � � � � � � � �����N� � � � ����� � ��������¸� � ����� � ��� �  ¡P�ý� ±�����¤ ¡ � �����0� � ���� ��� Ë � � «�ô ïN¬þ­ ��8� � � � � �W� � �8���ý� ±�����¤ �������ì�� ��� Ë � �«�õ ßa¬ö­ �� � ����� �  <ÿ � � � �P���������� � ����� �¶� � � � � � ����� � � � � � ������ � � �$� ����� � ����� � ���^���

Page 6: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ���

��

��

��

� �� ����� � �0����Ì.���Æ������������i� ��±�° ��������ì�� ��� Ë � � « ß ô í^¬ð­ �� � ���� � É ���W���8 �� ����� �� ���� � ���������� ��� � �^� � ��� � ���� � � � � � �¶� � � � � � � ���� � � � ���������� � Õ ���������������� Ý  � �� ��� � ´�³�± � ������� � � � � � ���� � � � � �� ����± ¦ � �H� � ������ � å»� �x� � � � �����N��� ¯ ������ �é¦Ö� ��� �� � � � � ��Ë � � ��� « ¨ ¬]­ �� � ����� � ��¥� �

¯S©e«�ø Ù øúùÈø Ü ø ­GÙ ø ­�Ü ø ­ è�ø Ù ­ ø × ­ øÚ�è�ø ­ æ Ü � ­ « Ü��� � � � � ����� � ���ëÿ � � � � ¦ � � � � �������� � ���������ª������� � � � � � � � �¶ÿl��������� ��� � � � � � ���� � � �����������Ó� ������ � å �� � � ����� © Û ¤ � ß�© Û ô ¬ «A© ­ÆÛ ¤  � �  ¤ ����� ß8© � ô � ¬ « É � � � �¯�� « ¤ « ¨Y¬Ô­ �� � ����� � ��»�^� � ������������� ¨�Þ ô ��n� �� ���� � � � ��� « ¨Y¬Ô­  =¡P��� � ����Ë �� ¹������ ������������¸� � �Ó� � � ���� ��� � ¤ � � � � � ��� ��¦Ö� ����� � �^� � �� � ��� �� � � � � « ¨8¬þ­ å ���� � � � ������� ��Æ� � � � � � ������ ������ � ���/ÿ � � � ��ÍÎÿl���������gÕÖ�����!����"$#�%&"(') Ý  ¡C� � ´�� � ¤ � � � � � � � � � ����/���������²¹� ���� � ��� � ����£� � � � � � ����� � � � � � � � � � �.� � � � � Í� � � � � � �����ë �� ����� � � � ����� � �� +*^�������ò�����¥� � ¦ � � � � �� � � ���� � � � � � �.�� � � ��������� � � � �����¶��� ¯î� � � � � �éË � � ��� §(¨ �� � ����� ��å ��� � ¤n°���±�¤ � ��±�´�¤n��������¤������ � ¤»��� � ±�¤³�������¤»³�³���� ¤»´�°���´ ¤�´�´�³ � ¤ ��� � � � ¤ � ´�´���±�¤�� � ±�� � ¤���������´ ¤P³�³�³�´�±�¤n��°���³�� ¤ ��� ������� ¤� ������³�´�¤²� � °���´ � ¤²±���°�����´ ¤�����´�³���� ¤ � ����±�±���±�¤ � ��´�����°�´�¤²��´�±�°���� � ¤������ � ��±�±�¤�°�´�±�����´�� ¤� ��³�°�°�´ � ±�¤ ����´�´�°�� ��� ¤���³�����°������ ¤ ����´�°�³�´�� � ¤ ����³�����³���± � ����������°���±  N¡P� � � � � � � �� � � � � ¦ � � � � � � �.� ������ ����� � ���ªÿ � � � �WÍúÿa����������  � � �� �Ó����� � �$����� ¦ � � � � �� � � ��� � Í� � ��� � � ��� �W� � � ���/� � � � � � � � � ���� � ���� � � ��� å ���¸� � ��¹�^���� � � � � � � � � � � � ��� � ��¹�� � � �n���� � � ��� � � ��������� ��� �8� � ��� ��� � � � � � �� ����� � �� ����� � ���ªÌ����Æ�������SÕÖ��� � ��� �����W��� � £��¥� ���Y���-,$,$,/.103254762�8$8�2�.:94$; Ý  �N� ���^Ë � � � �} �� ����� � ���^Ì.������� �� §(¨ ������������Ó� � � � � ��� � � � � � ­�­�­<���=��­�­�­ ¤� � � ¯�� � ��� ������ � �� lÑN� �g� ������ � ����� � £��¥� � � � � � � �������� � � � �< �� ����� � �=��������� � �=� � � �­�­�­<�=����­�­�­ ��� ��� �� � � � ��� ¤ ���W� �µ�� ¤ �� ����� � �x� ��¦ � �� � à?>¢¨�¬ ­�á?@Èà?>.¬ð­�á ¤ � ��� >�� � � � ���  �¡ ¦ �� �����»������Ë � � � � � � �n �� ����� � � �� � � ���:���� � ����� � ��� ¯þ¦ � � � ���� �  �N� � � � � > © ­ æ ���W�����¶ �� ����� � ����¥� � � � ��������� � ��� � � �ò½�ÄW¼BA�Ç ¿DC    � ¥� � ���.� � �Í������� � � �����Ó� ������ � � �� � � � � � � ���Ôÿ � � � ��Íúÿa��� ����� � � � � ����W� � � �ò� ���� � ����� � ������� �� ����� � �8��������é�� � � Ë � � � � > �î«   � � � � � � � ����� � � � �� ������� � ������� �A¦ � �� � ��à «�Ú�Ú Ù èEÆõ ßíl¬Ô­�á?@ «�Ú�Ú Ù Ú ¤ Ë � �n���� ��±���´�� � � ��� ����� � ��  � � �� ���� � �<��� � � ������NÕ � � � � � � Í� � � � ������� Ý � ����� � �n� � ��������� � ����¥� � ��� � �0¯®©(«�ø ­ è�øú« Ù ø Ù ­�Ü ø ­ æ Ù�­  Nä������������������Õ �������¶� ´�´�´ � ������± Ý ¤ ¦ � � � �ñ������� ��� ����� � � � ����� � � �������n� � � � �������� �.� � � � � ��Ë � � ���� ����� � � ������0� � ������� � � �������������¥� �GF3HJILKLMLKLNPORQGN�S�TUN � ���� � � ¤ �   ��  ¤ � � �� � � � � �^����������Í� � �<����W����� � � ��� � � ��� �Ê ������ � �=��� � ����� � ����� � ���/Õ ��� � � ��ê ��� �Ê � � � � � � � � � � � � ������ � ����¥� �� ��� ���¶����W�������������������� �Ê ������ � �$� � � ��� � � ��� �Ê �W����� � �/��� � ����� � ����� � ��� Ý å ³�´���� � ¤=��°�³���� ¤� ��´���´�± � ��±�����³��  V*x� � � � ��� � � � � � �<����W����� ���� ��� � ����� � � � � ¤ Ë � � ��Ë � ��� ��� ��� � ��� � � �Ó�� ����� � �������0������ � ������� ³���������� � �Ê�� ��� � �� �N� � ����������� � � ��� �Ê � � � � �������� � � � � � � � � �<��� ���� � � �N�� ���� � �<���n��� � �� � � � �< �� ����� � �� W ������ � ��������� ��� ��������� � ����� � � � ����ì ��£��¥� � � � � � � � � ������ � �����¢� � ���P��� � � �� � ������C� �

Page 7: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ���

��

��

��

X�¶���ë�A����� � �W��� � ���� � � � ��� � ����� �Ô¦ � � � ������ � �N� �S� ����� ������� �  Y*x� � � ��� ��� ����Í����� � ����� � � � ���� � � ��� ���º���¸� � � � � ¹�� ��� � � ¤ � �� � ����� � �Æ����a¹���»� � �n������� � �»� � �Y�� � Í����� � �N��� ó ����� � � ¤ ¡ � �����N�[Z]����� � a n¡P��� � � � ���� � � ��¦ � C£��¥� �]\ ���$¡ � ����� ¤ ¦ �� ��� � � ����^��������Æ��¥� � ���gÌ&���� � � �P� � � ����n���0 � ����� � £��¥� �  _^=������� � � � �� � ���� � � � �P �� ����� � �� ���� � �gÕÖ� � �º����� � ���� � £��¥� � ��� � � � ��������¥� � ¦ � � � � Ý �¸� � ������ � ����� � �C� �� ��� � �P����� � ��Í� � � � �n� � � ��� ����� � �n��� � � ���� � ¦Ö� � � � � �»� ��� �� � ����� � �� � ��� � � �� � � ��� �Ê � � � � ¤ � � � ��� � � � � ��� � � � =£� � � � Ë � � � � ���������� � ¤ � � ��� £� � � � �� � � ��� � � ��� �� � � � � � � å ¦Ö� � � � � �¶� ��� ���.� � � � � ��� � � ����¢¹� ��� � ��  ¡P��� � ���� � ����� � ��Í��� � ����������^����������� � � � �P���ñ� � � � � �Yì �Ó� � �n�¸����� � �W��� � ���� � �»Ë � �0���c� � � � � � � � �ì���Ó� � ���������� � � � � � ��� � ������Ó����� �  `*^� � � ���g������ � ������� � � � ����������¹�� ��� � ����� � � � £��¥� ������ � �8� � � � � � ¹�� ��� �`aCô`bdc à � � �fe á �¸������� � � � ����� � ���gË � � ��� �� ���� �  � �����Æ������� � � ��� �Ê � � � �S��x���0������ �¸¦ � ��� � � � � ���C��� � � �� � ���x� � ������� ��å ������0������ � Í��������� � �=� � � � � ��� � � � � � ����� � ����� � � ��� ������ � � �g� ����� � ����� � ������� � � � �����¢��������� � �� ó � ����� � �<�������� � ��������� � � � � � � �<� � ��������� � £��¥� ��� � ��� � ���H�N��� � � ���C������� � ��������� � �=������������ � ����� � ����� � ��� ��� � � eeË � � � �®��N� � ��������� � � � �g¦Ö� � � � � £��¥� � ���ge ¬ò­ ��� ���he Øò­  · ���� � �:���SÌ.������� ��S��¥� �ö� � � � � � � � �Ó� � � � ������� � � � �:�����W� � �� � � � � ����� � � £��¥� �  * � ����� � �Y ������/� ��� �Ê � � � � � � � ������� � ���� � £��¥� ��� ��� � � � ������� ����� � ���/ÿ � � � ��ÍÎÿl���������� �x� Ë � � �� � � ��� �Ê � � � � ������ � ������� � � � � � ���G� � �a� � � � � � � ��� � � ���¾���=��� � ���������� � £��¥� ������<���������l��� � ���� � ����� � ��� ¤ ��� � ����� � ���������C� � �������C���Pÿ � � � ��ÍÎÿl���������� aÑx� � Ë � ���W��¥� ���� � � ��� � �� �Ê ������� � � � � �e��� � � ������ � � ��� �������S��� � � � ��� � ���������� � £��¥� �c�� � � � �����Í� ����� � £��¥� � � ���� ��� � �������������� � � � � � ����� É ������� � ��������� � � � ����������������� � ��� � � � � ����� � � å� ���`i � � � ��� ��� � � óHó â Õ ¦Ö� �W� ó ��� �������»�� � � ¦ � ��� Ý  * � � �C�� ¦ ����¹�� ��� � �<Ë � � ¦ � � � �Ð� � �Ó� �¸� � � � � �¢ �������������� � ��¥� �g� ���������������n������� � ���· � � � � ä�� � �� �È� ��� ¤5j Á²Àfk�½GÄ�Âȼr½�ÄÆÀ�¿ ÄƽÆÂPl�À`m�Â=C�nÄƽ�ÄGÂ=Ä)CȽGÄ)oGÁ²½�Ã� � � � � � �n����,�P�������������� � ��� � ��� �g� ��� �� � ����� � ����� ê ������� ê � ����p»������q � ��� ¤ ������� ��� ��� � �»� � ��� � � ¤ � � ���������N���� � ���g�� � � ��� � � � � � �n������� � � � � � � ����� � � � �»� � �n� � � � ����� � ����� � ��� � ��������� � �� ê � �� � �gr � ��� � � ��â  ����ts/  Ì � ������ �W Ì · s ¤ ¡P����� <*$  ê � ��� � ��� � ��� �äN� � ���`u � ������ � ¤ ähu ����³�°�� Í �����;(v�;(v�w�xP0�y�z�.|{�4�}�~��$�(y/�:�$��,$,$,�.�xP0�y�z�.|{�4����;5v�;(v� ��� � � � ��ê   � � ��� � �� �*^� � � �  C���/Ì � ����� �� ����� � ¤ · Ñ ê ÍÎäN� �ä/  Ì�ËÈ =��� �  �^^��������� �����äN� � ���`u � ������ � ¤ ähu ����³���� Í ´����8�x(�9��5zv�w)03z��.�y$v3���43x)9�.|{�4�}�~$�$�(y/�J�(��,$,$,/.103z5��.�y5v3���43xL9�.D{�4�����87x(�9(�(z�v�U�P�������1���J���������P�:�3�������=���P���������=�:�=���P�) |�)���

Page 8: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil
Page 9: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ���

��

��

��

¡ ¢¤£¦¥§3¨ª©¬« ­ ®

¯ °h± °³²´°¶µ °t·t°g� � � ¸ ¸

� ~ z ¹ |ñ� º¸"z � ° � ²

� ������ � ���������� � � ��� �Ê � � � � ��������� � � � �N� �� � ��� � � �x�� ���� � �x���/�� � ��� � � � �x �� ����� � � ¤� � � � ���������� � ������� � ��� ¤ � � � � � ¹�� ��� � �P� � ����� ������� � � �� � � � � eN »!¼�» ½ BP¾:B�>g¿K¸5 4^7ÁÀhÂ�B�M�B�K/LAK 4c5s9<4N5$;=4^D KÄÃ�7.LAM.K/DE4xL�9<K`Â

M.K K¸;CBÆ9<D Å4n9<B�À�Ksþ����������¥� � � � ��������� � � ¤ ��� ����������¥� � � � �Ò������� � ¤ �� � � � � � �YË � � ��� �¸� � ��� � £��¥� ���CË � �� � � � ����� � =£� �0��� ��� ���� � ���� � � �   � � �0¦ � ��� � � � £��¥� � � ��������� � �� å � � � � � cÇÆÁÈ ¤=É ÆÊÈÌË������������ÎÍ øUÏÐÆ&È � � � æ.ûÑÏ�Ò-Ó É Ó � c®© É Í Ø Ï   â � ����ÍÔ� Ï ���W��¥� �ë� ���� � ������������������� � � � �¸�é��¥� � �Æ� � � � � � � ��Ô$A�Á�o�¿÷ÄGÇ3CÎÄ � ½�ÄGÂ=CÎÁ � � ����������¥� � ��� c � � � É   � �É �Ðæë� � ����� � �¸����ì �����Í ©�ÕUc @ É×Ö �¶�� É ÒÒæ ¤ Í ©�ØUc @ É×Ù É ��� Ë � � ��Ë � ���/� � � � ¤Ï^©Ñc ¬ É Í¾  � ������� � Ï ��¸Ï� �H���������=���� � � � � � � � � c � � � É É ����ì ���� � � c � � � æ$©Úc  ÿl��� � � � � � �¸Ë � � ÕÜÛ Ö ���� � � � �}�� ���� � ���������� �ÊÝ � � �nË � � Ý û´ÛÞÒ Ý Ø2­ � Ø�Û Ù ��� ���� � ��������� �GÝ � � �aË � � Ý ¬ð­ ÒßÛëû Ý  * � � � �n� � ���n���������� � � c � É Õ ��� � ��� � �È� � � ÉYੵæ Ý ��������� � ��Ë � � É Ã�¿DᲿ Ã�Ä c ¤ ���Ë � � c �� � � ÀãâAäDC ¿ ¼3ä Á ��� ÉH¤ �/��������������� � � É Ó c ¤ ��¸�P�����W�����!Í Æ]È � � � cë© Í É   � �

c à©pæ ¤ � � � �n����ü��������� � �0Ë � � É �� � � Ã�¿DᲿ�ÂÆÁ�½ ��� c  Ìs^����� ¤7É Ó c ��/��� � �������8��c � � � É ©µæ  

Page 10: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � °��

��

��

��

å æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ðû 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü������� * � � � � clø É Æ È ���������� � � �� ��� �� Æ � � � �»Ë � � Ó c ¤ Ó É� ¤ ��� � � � � � ��� Æ�� ¤ ��� � Ó c � � Ó É �����¥� ��� Ó  �sN� ���� ������� � �P�����W����� Ûlø��ÑÆ&È � � � ©Úc$Û Ø É �  ¡P�����ë � � � � � � c��A�Æ� � � � � �®�òÀ â��� ¿�ÀªÁöÃ�¿|Ჿ�ÂGÁ²½ÇoGÁ�ÀÐA�À ¤ ��� ��� � ¤ ������� c �É  ö¡P������������� � � © ��� � à c¢ø É á ��� Õ ���ëa¥� � � ��� ����� � � ����� � ������� � ���:���A� � ¦ � ��¥� � Ý © à clø É á  � "$%� � � � � � c]© É © æ ��¶�������� � �gÕ÷����� � � © æ Ý   �x� � ��� ��� � �$� � � � � ¤ �� � �� à clø É á ©���c$Û Ø É ���|Ûlø�� ÆªÈ � ���� � � ©ãc�Û � Ø É � � � ���� � �0������������ � � � �������� ���� � à clø É á   êY� � �! Æ"��Ë ¤ �P�����W����� Í øUÏ�ÆÚÈ � � � c]© Í Ø Ï � æ(û-Ï Ò  â ��� � � Ï�©+c ¬ Í © c àú­�¬ Í Û � álØ É àÖ¬ Í � � á Æ � à clø É á É � � � � ÏÊÒ � Ò�� ����� � �������������� � � � ������� � ��� � à clø É á ¤ Ï0©]æ � Ó c  �sx � � � ��� ������� ¤ Ó É   � � � � �� ���� � � � Ë � � � Ó c � � Ó É É ���� � � � Ó c$Û Ø É ����� � � Ë � � ���Ë � ���C� � � � �����C��� Û � � � � ��� ¤ ���� � ����� � � � � ¤ � Ó   #

� � ä%$�Á�½¿|CÖÀªÁSÃ�Ä'&hA�oJä�¿ÖÃ�Ä� � � � � � � ��� � � � � � �¶��� � � ���� � Íú��é � ���� � � �������� ��� Í������ � £��¥� ���é���� � ������  � � cÒ© É Í Ø Ï ¤ æ,û Ï&Ò É<¤ ���� � �SÕ � � � � � � � £��¥� � � ������ � �W��� � £��¥� � � ����� � Ý � à c¢ø É á © � à É øUÏ á ¤ � � ��� à clø É á © à É øUÏ á  B*x��ì ��� � � c � ©Ñc ¤c ß © É � c)(S© c)( � ß Í ( � ô Ø c)( � ô ¤ æéû c*( � ô Ò´c)( � ß Õ ��� ��� � � ¤ c*( � ô �� � ������� �� � ����������¥� � ��� c ( � � � c ( � ß Ý ���� � � à clø É á © à c � øPclß á © à clß�øPc ô á © à c ô øPc õ á ©ç�ç�ç © à c ( øPc ( � ß á � � � � Ë � � ��Ë � ���=� � � � �C���/eN  � � � �,+ � ���� � �P � � � � � � � � � � � Ë � � �c�- � ßn©]æ å ���� � � à clø É á © à c�-/ø�æ á ©Ñc�-  ��"$%&!�*� � /. Ä à clø É á © ­ Ä c Ó É ��ÄÆÇ3C�0� Á cVÓ �21� "$%� êY� � � à clø É á © ­ ¤ ������������ Ûlø�� ÆdÈ � � � c$Û Ø É �}© ­ ¤ � � � � c Ó � ©c � Û Ø É � �   #3 � � � � à clø É á © ­ ��������� � �=Ë � � c � É ��¥� �n¼¾½¿�ÀªÁ�ÂPÄÆÇ3C ½GÄY¿  <ÑN�Ò � � � � � � ¯�� ­��8�Æ� � � � � �8¼¾½¿�ÀªÁ �� � � �� ���� � �^��������� � ���� � � ��Ó����� � �x��� ¯ ��¥� � ­ � ¯  gÑN�s � � � � � �e � ­ ��0�Æ� � � � � �ÇoGÁ�À/¼HÁ�Â�CúÁ �� � �������� ��� �� � ����������� � ����� � � ����º���¶�g�³eN ê � � � � ������� ¤ �� ¯ �� � ����� � � ¯54�c ����� � � à ¯»øPc á © ­  PÑx� � � ��� ����� ��� ������ � ��g�� � � £��¥� � ����� � � � �� � � ������g���� � ��� � � � å6!ü�'Lü�798�'Lþ?ü:�*� X . Ä<; � À ¯ A�À"Ç âA�ÀªÄG½GÁ.¼¾½¿�ÀªÁöÄ.ÂGÄ<; � À clß�ø ���=� c*= Æ¤È 1 . įôÓ clß ç�ç�ç c*= ÄGÇ3C�0� Á ¯ôÓ c�> ¼ � ½ �?� ä@$7A�ÀBA�l ­ û A û e 1¡P��� � � � � ��� � � �8� � � �� � � � � � � �� � ��� � �N� � � � � � � � �� � ����� � Ë � �$�����/Ë � �¸� � � ����������� � � �������� ¦Ö� � � � � £��¥� �]�� ���� � � � � � � � � � � � � ��� � ����� � �� C "$ü×'L"(%YD���%EF�Õ â � � ����� �/¦ � � � ������ � �l� �¶� ���Ó��� ������� � Ý � � � � e�G « � �ñ �� ����� � � � � � � �   ·<� ����� � �»���������������ôeµ��� � � � �� ���� �8¦ � ��� � � � � �8� � � � � � � � �e ©ö¯ ß ç�ç�ç ¯ =

Page 11: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ±��

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê ëJì¶í�î ï$î ðIHèõGó�ùç)ò�î í�î è(öè³ó�õ,J�ó�õ×øLó�K3èML�ùö$íLè�KVó=ö9J�è(òBí�è�è(øLî J�KONóPJ�î ç=è Q� ���MRSG ­ �� � � � � � � � �r� ¯»ßxû ���=� ûò¯�= ��¥� � � ����� � �� � "$%�cÌ � ���� � � � � � ����������� ��� � � �0¦Ö� � � � � £��¥� � � � �=�� � � £��¥� �   � �/e �� � ����� � l¥� � � ��� Ë � � � � � � � �¸Õ ������������� � �TR © ­ ¤ ¯ ß © e Ý   � �³e ��/� � � � � �W� � � � ����� � �n���������������e ©+c É<¤ clø É Æ�� ¤ ­ ÒÄcYÒ e ¤ ­ Ò É Ò eN  ·<� �/��� � �� ������ª���é�� � � £��¥� � ¤ c � É��¶����� � � � ¥� ��� � � � � � � � � � � � ��� � ����� � ��  u � �� � � � � � ¦Ö� � � � � £��¥� ���0��� c � É ÕÖ���� � ������ � � �$� � ¦Ö� � � ����� Ý ��� ���� � � � � �8¦Ö� � � � � £��¥� � ���ÌeN ^ � � � � ��� � � � � � ���� � � � � �������� � ��� ¤ � � � �n���� � � ���� � � £��¥� �   � � � � �� � Ë � �

e ©ò¯ ß ç�ç�ç ¯ = © Í ß ç�ç�ç Í =VU ø� � � ¯ ß û ���=� ûp¯ = ¤ Í ß û ���=� û Í =VU   êY� � � ¯ ß Ó Í ß ç�ç�ç Í =VU ���� � � ¯ ß Ó Í > � � � �� � � � �ñ� � � � �x��� A ¤ � � ��� ¤ � � � � Í > �� � ���� � ¤ ¯ ß © Í > � ¯ ß G Í ß  gsN � � � ��� ������������ � �³Í ß0û ¯»ß ¤ � � ���� ¯YßN© Í ß  CÌ � � � � ����� � �� ������/���g���� � £��¥� �

e @ ¯ ß ©ò¯ ô ç�ç�ç ¯ = © Í ô ç�ç�ç Í =VU� �����Ó��� � � � �� ���� �8¦Ö� � � � � £��¥� � ¤ � � ���MR © R�W¾� ¯ > © Í > ��� � � � � � �?A   #� � ��� �8¦ � �� � ���g��������������� �8¦Ö� � � � � £��¥� � ��

e ©ò¯YX[Zß ç�ç�ç ¯ X�\= ø� � � ¯ ß Ò ç�ç�ç Òö¯ = ¤^] > �eæ  �sx���� � ��� ��� �$¦ � ��� � � � £��¥� � ��g���������������

e ©[« X�_ Ù X�` ù XPa ç�ç�ç ¯ Xcb ç�ç�ç� ��� � � � � � � � �ö��0� � � � � � � ��� �� CÎÁ�Ã�Á�ÂY� � � ���� � �n� � � ��� �� � � � � �� ����� � ì���Ó� ����0��� � � �������� ��g� � � � �N� � Ë � �¸����� �  � � � � �¸�����W���x��� � ���� � ����� ��� � � � � � ����� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � �¶���g���¸� � ��� �� ����� � � å ¦Ö� � � � � � � � � �é� � ���ª �� ����� � �¶��� � � � � � � � � ¦Ö� � � �����é� � � � �é� � � � ����� � �����=��� � � ��������� <¡Y�W��� � � � � ����� �®�� � �������� � �C��ì����������^� � Ë � � � ���x¡ � �������������� � � ���������� � � � � � �����PÕÖË � �»��� � ��� � ��a¥� � � � � ��� � � ¦Ö� � � � � � Ý � � � ��P�� ���� � ���� � � � � ���Ë � � � ��� � ��� � � � � ����� � �n�¾¥� ��� ������� � ���� � �Ó� � � �  6!ü×'Lü*798�'Lþ?üd�*�fe^/. Ä à c¢ø e á © à É ø e á © ­ ÄÆÇ3Cg0� Á à c É ø e á © ­ 1� "$%�s¡C����������� ��� � �������N� � � � � � ���Ó��� � ����������� � � ����� �   #C "$ü�'L"$%&!�*� å �ÕÖ¡ � ����������� Ý & � ¿�Â�CúÄÆÀº¿�Ç�h�Ç ¿DCúÁ�Â�Ç âA�ÀéÄG½GÁ�ÂC¼r½�¿�ÀªÁ�Âi1� "$%� � � � � �� �.� � � � � � � ��� � Ë � � ¯ ß ø ¯ ô ø ����� ø ¯ = ¦ � ������� CúÁ�Ã�Á�Â/� � � ����� � ��  � �� ����� � +Ò© ¯ ß ç ¯ ô ç�ç�ç ¯ = Øe­ � ­ a¥� � ������ � ��������� �Ê ����� � � �»����� � � � ���� � ¤ � Ë � �� � ��� � ����� � �� � ���� �$¦ � � � ������ � �a� �¶� ����� ������� �   #

Page 12: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ���

��

��

��

j æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ð� � ��������CË � � Çk0� Á � � � � � � � �aË � � ¯»ß ç ¯ ô ç�ç�ç ¯�= Ø�­ �� � ����� � � � � ��� � � � �,� � �W� �� �ì ���� � ��� � ����� � �/Õ � � �^�P����� � � � ¤ � � R � ���������� � � � ����� � � Ý  /sx��� �� � ¤ « ç�Ù8ç ù ç�Ügç�­�­�ç­GÙ0Øþ­ © Ù æ�æ Ù ­ ©pù�è ç ù�æ�è ¤ « ç²Ù$ç ù ç�Ü^¬ð­ ©þ«�æ�誩 ­�­xç�­ è ¤ Û*l�Øþ­ ©þ«�ù.©þù�ô �Ú lW¬�­ © Û æ Ù ­ è$©(« Ù=ç­�Ü ù Ù a¥� � ��¥� � � ����� � ��  � ¥� � �P��������� ���� � � �^¦ �� ��� � � � ����� � ������ � ���������� � Ë � � � �����0���� � ���¸ �� ����� � � � ����� � �� B^=� � �¶� ���£��¥� � �  ��� 

»[¼nm o 5�LAI$;C7�p4xLÁÀNB�K¸>� � � � � clø É ø e ÆÇÈ  3*^������� � �YË � � c âÄ�oGÁ�Çq$�½ÿA�ÄÆÇ3CúÄ � É À âÁ�Ã�Aä÷Á e ¤ ����������������� � �

c b É à � � �fe á ¤ �� e Ó É ¬ c   êY� � � � � � � � � ¹�� ��� � � �� � � � � � �� � � � � � ��� � ���¶�Ë � � ���Ë � ���/���������� � �/��¥� � ��¹� � � ��� �g� �� � � � � � ¤ ��� � ��� � �P����� � � � �/�������������� � � � �g���e � ­  û 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü���� Q sr � ½ � Ô�A � ¿�Â�Ô�A�Äƽ c¢øPc W ø É ø É W ø � ø e ÆÊÈ CúÄÆÀªÁ�ÂitÕ � Ý cÐbÚc à � � �fe ávuÕ � Ý ÂGÄ c�b É à � � �fe á ÄÆÇ3Cg0� Á É bdc à � � �fe ávuÕÖ� Ý ÂGÄ c�b É à � � �fe á Ä É b � à � � �fe á ÄÆÇ3Cg0� Á cÐb � à � � �Ðe áwuÕÖ� Ý ÂGÄ c�bdc W à � � �Ðe á Ä É b É W à � � �Ðe á ÄGÇ3C�0� Á c Ø É b c W Ø É W à � � �Ðe áwuÕ � Ý ÂGÄ c�bdc W à � � �Ðe á ÄGÇ3C�0� Á ¬ c�b ¬ c W à � � �fe ávuÕ ¦ Ý ÂGÄ c�bdc W à � � �Ðe á Ä É b É W à � � �Ðe á ÄGÇ3C�0� Á c ç É b c W ç É W à � � �fe á 1� "$%� · � � � � �Ó�����cÕ � Ý � � �W� � ��� ������ � �¢Ë � ��e Ó c ¬ c¶©µæ  H¡P�}Õ � Ý ¤ ��<e Ó É ¬ c �����¥� �e Ó c ¬ É © ¬�à É ¬ c á  <¡C�ñÕ � Ý ¤ ����e Ó É ¬ c �ôe Ó � ¬ É �����¥� � e Ó � ¬ cé© à � ¬ É áGØ�à É ¬ c á  ¡C�@ÕÖ� Ý ¤ ����e Ó c W ¬ c ��e Ó É W ¬ É �����¥� � e Ó à c W Ø É W á�¬eà c Ø É á © à c W ¬ c á�Øeà É W ¬ É á  ¡C� Õ � Ý ¤ ��³e Ó c W ¬ c �����¥� � e Ó àÖ¬ c W á ¬þàÖ¬ c á © ¬�à c W ¬ c á  »¡P� Õ ¦ Ý ¤ ���te Ó c W ¬ c �e Ó É W ¬ É �����¥� � e Ó c W É W ¬ c É ©Úc W à É W ¬ É á Ø É à c W ¬ c á   #

Page 13: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ´��

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê x�ìÌçÿõ×ö(÷øLù�úó�ö(çLî èð y� �l�Ó���� �»Õ � Ý ¤ Õ � Ý �^Õ � Ý � �N� � � � � ��£��¥� � � ����� � ��������� ¤ ����W� � � �Æ����� ¤ Ë � � � ����� � £��¥� �b à � � �fe á Õ��������ª��¹� � � ��� � �� � � � � eP� Ý �� � � � ����� � £��¥� � ��{z �P����� � ¤ ����� ��������� � ���� � ��Ó����� �  Hä���� � £��¥� ���=� � ���� ¦Ö� ������ � ����� � �H����¹��� � � � � ������� � �����<��¥� � �Æ� � � � � � � ½GÄ�ä �)|oq0Á�ÄGÂÃ�Ä�Ä)Ô�A�¿Dá � ä~}ÄGÇ�o¿ �  G* � � � � � � ���� � £��¥� � ������Ë � ��� � � ¹�� ��� � �ò� ��� ��� � � � � �W� �� � a �� �ñ������������ � ÛÇÆÇa ����ì ���� � � � oJä � Â�ÂGÄgÃ�ĸÄ)Ô�A�¿Dá � ä~}ÄGÇ�o¿ � Û ��� Û � � � �

Ûé©D�f�&ÆÁagÓ � � Û������� ��������8Ë � � Û � � ������ � ����������� ÛS© �  �s^�¸��� � �������^������Ë � ��� � � ¹�� ��� �¶¦ � �� � �� � �$� � ���£��¥� � ��� a ¤ �   ��  ¤ � � � � � ��� £��¥� � ���^� ��� � � �W� �� � �Yl¥� � � � ��� � �P�0����� �W� �� � �»���a � ��� � � �� ¥� �[�� a   � � � �W� �� � � Û3Ó ÛÁÆÊa�� � � �N��� � �����N���¸��Ë � ��� � � ¹�� ��� � ��/�Æ� � � � � ��ÇÔ�A�Á�o¿ ÄÆÇ3CúÄ ��� a(� ��� � ���� � £��¥� � ���¸��Ë � ��� � � ¹�� ��� � �ë� ��¸���� � � � � � � � � a @ �a s � ����� � � � ����� � � � �W��� � £��¥� � � ��� � � � � � ��� � � � � � ¤ ����ì ���� � � � Ë � � ��������� È @Èà bà � � �fe áá ¤ �Æ� � � � � � � � �g���� � ��������� � �������8 � � � £��¥� � ��� È @�à e á ¤ È @ e È ��� Ï� �x���������È�(  /* � � � c Æ]È ¤ � ����ì����£��¥� � ��� c � � � �¶� �@� ��� � � �W� �� � ��� È � � � � ��������¸����� ����� � � ��� � ��� å�� ��� � � �� � ��� ���� � � ����� � �¶Ë � � c,© c W ���Ô��� � ���������� cÑb¬c Wà � � �fe á   � ��e �(æ ¤ � ����������¥� � � � ��������� � � �����gË � �^� � � � ��������� � c ��^��¹� � � ��� � � ��� ���� � ��������� � c Wl� � � æAû c W Ò e É � � ����� � �^�������������������N���W��� ¦Ö� � � � � �� � � � ����� � � ��� ���º� � � � È @Èà e á ©D� æ ø ­ ø �=��� ø e ¬]­ � �3 � � � � l¥� � � ��� ����� � � ����� � ������� � ���x���^� � ¦ � ��¥� �¸� ���Ó��������� � � � � � � ��� � �=�x�Æ� � � � ����Í� � � � �n������������ � ����� È @�à e á ���� � ������������¸��� æ ø ­ ø ����� ø e ¬]­  � �ë������� ÕÖ� Ý ¤ ÕÖ� Ý �µÕ ¦ Ý � �(� � � � � ���£��¥� � ����������Ë � � � � � � ��� � £��¥� ���ë���ò� � � � ¤��� ¦ �����=£� � � � � � � � � � ��¥� � � � � � � � �Ê �������¶� � � � ����� � £��¥� � ���S� � � � � ¹������ �   �¡º����� �� � � � ������ � ����Ë � �8� � �� � � � � � � ¹������ � ����¥� �Ð�� ������� ¤ � � � � ��� � ������� � �� � ¦Ö� �����/� � �� � �� �� � � � � eN  ·<� ����� � � � � ���P����� � � � ���������������­ è × Ú�Ú Ù © ­nç�­ æI� Ø è ç�­ æg� Ø × ç�­ æ õ Ø Ú ç�­ æ ô Ø Ú ç�­ æ ß ØòÙ¸ç�­ æ �

b ­nç�­ � Ø è ç�­ � Ø × ç�­ õ Ø Ú ç�­ ô Ø Ú ç�­ ß ØòÙ¸ç�­ �© ­CØ è Ø × Ø Ú Ø Ú ØòÙ© Ù ùb Ú à � � � è á ø

���� Ë � � ­ æ[b ­ à � � � è á Õ � � ���� � �� � � ����� � � ��Ë � � ¦ � ���� � � � � � ���������� � �����Ó� ������ ����x���������� � ������� � ��� � � � ´ Ý  =ÑN� �g¦ � �� � � � £��¥� � � � ��� � � ���� � � � � � ������� � ��� ���� � ��N���������Ë � � � � � � ��� � £��¥� ��� Ø � ç ¼ �  � À � Á Ô$A�Á�o�¿÷ÄGÇ3CÎÄ ¤ �   ��  ¤ Ë � � � � ����� � �N����ì ����Ø�� È @Èà e á�� È @rà e á)� È @rà e á ø ç�� È @Èà e á�� È @rà e á�� È @Èà e á

Page 14: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� ��� ���

��

��

��

�2� æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ð� � � c Ø É © c Ø É � c ç É © c ç É  Bs]� �� ����� � Ï�0� ����������� � �����W� � ������ � �� � ����� � ��� � ���c � É a¥� � ��¦ ��� ��� ���� � � ��� � å � ì � �È������������º���ì ���� � �n��������� � � c WÈ� É W¾� � � cª© c W� É © É W   � �0����� ��ÕÖ� Ý �.Õ ¦ Ý � �:� � � � � ���£��¥� � ��¥� � �P� � � � �������� � Ë � � � �������� � � � � å�������n � �����������üË � �g������ � ��� � �����£��¥� ��� c Ø É © c W Ø É W � c ç É © c W ç É W  û 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü���� j �. Ä<; � À clø e Æ&È l e �,æ 1?&PÇ7Cg0� ÁëÄ � ¿�Â�CúÄ É ÆYÈ oGÁ²À c É b ­à � � �fe á ÂÆÄgÄ0ÂGÁ²ÀªÄÆÇ3CÎÄ^ÂGÄ à clø e á © ­ 1� "$%� � � c É b ­öà � � �fe á ���� � � e Ý © ­�¬ c É � � � �N� � � � � Ý ¤ � � ��� à clø e á Ó c É Øe Ý © ­ � à clø e á © ­   � � à clø e á © ­ ���� � � c$Û Ø e �ö© ­ ��� � � ������ � �n���������� � � Û �� ¤ � � ���� c$Û�b ­òà � � �Çe á   #

*x������� � � � � �� � �� � Ë � � c �� ¿�Ç7á�ÄƽÿCLâ� á²Ä�ä[q � �� � � � � esË � � � � à c¢ø e á © ­ ��Æ� � � � � � � É � � � c É b ­ à � � �fe á ��� ¿�Ç3á²ÄG½�ÂGÁ ��� c � �� � � � � eN  � ���������� �®��x�����Í� ��� �� ���� � � �� � � � � e å �� c É b c É W b ­öà � � �fe á ���� � � É b c É ô�b-c É3É W b É Wà � � �fe á  6!ü�'Lü�798�'Lþ?üd��� y �. Ä à clø e á © ­ Ä c É b c É W à � � �fe á ÄÆÇ3Cg0� Á É b É W à � � �fe á 1� "$%��� � ��� � ��������������� É bdc É � bdc É W � b É W à � � �Ðe á � ��� �®�� � ���������� � ��� c� �� � � � � eN  #*x��ì ���� � � à È @�à e áá Ëk� È @rà e á � � �à È @rà e áá Ë ©!� c)� à clø e á © ­ � �

� � ��������ªË � � � � � � � � � � ���:������������ � ����� à È @Èà e á�á Ë ��ë���� � ��� � �6������������ � ���à È @rà e áá Ë Õ � � � � � �� ��� � ��  � Ý  C "$ü×'L"(%Y��*���2���Õ â � � ����� � ê ����a¹���»� � �n������� � � Ý . Ä à R ø e á © ­ ÄÆÇ3C�0� Á� � È @Èà R e áq� È @�à R á^� È @Èà e ácV��Eà clø c á

âÄYA�À � k�¿ ;�Ä |oq0� Á�1:��ä(âÄGÀ Ã�¿�ÂÂGÁ(l � ¿�À � $�ÄÆÀ6¼<Á²½ � Ã�Ä à È @rà RÊe áá Ë âÄ à È @Èà R á�á Ë �à È @rà e áá Ë 1�N� ���®Ë � �ò� � � � c � ����ì ��£��¥� � ��� � ���� � � � � � ��� ����� � £��¥� � � � � � �� � � � ���� ¦ ����������  s ¦ � =£��¥� � ����� �� � ��� ����ì ���� �A� � ��� c � � ��RÊe2�������������� ��c � � �?R �c � � �!eN � "$%� êY� � � È @Èà RÊe á � È @Èà R á*� È @Èà e á ��¹����RÊe[������������ � �n� � � � ¤ � � � �/� � � � � �Ë � � � �� � � � ������ � � � ��� � �������ì�� � ��Ë � � � ��g�� � ������ �  C¡ ¤ ��� ¦Ö� � � ¤ ��� cÐbdc W à � � ��R á�w�����n���i T¡P�i¢�£n¤�¥w T¦�¤�¥v§¨¥w¤�¥w©"¥w �ªc¤�¥v«~¥c¤k¬�­9®°¯�±�²[³´ ®°¯�µ·¶¹¸� Yº��{¢�¥w¤�¥w � �¡P»�£n  ¥w©"»�º� �ªc�[¢�º�¤Y¥c �¢�¡,¼{��¥w �¢c½¡P££n¤�¢�£n�n¤�¾¡�¿gªc¡À»i¥w«~¥w©�¥w �ªw¤�¥w«~¥w¤�¦�¡P¤�¡�£�Á�¤�£P§�¶)ÂI£n¤�£~¡P �¢�¤�£Ã�FÄc¡P©kÅ��PÆ�¡iÇ~È<ÉMÁ9�YÇ~Ê� �¢�¤c¶)ËY¶{Ì^¡P �¢�£n¤�º���¡ ÍnÍcÎiÇÏ º�£k»�¥ÀÐ~¡P��¥wº�¤�£�Ç Ï Ð

Page 15: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� �������

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê Ñ�ìhè/L�ùö(ç Ò~Hèõ!í�óôó�ù5ò�ó=øhó�õ!é)ónÓ×ù5ó�ö5õ/J$óPõ×øLóiK�è¶í�ókL�ó�ø9K�è~J ���� cÐbdc W à � � �fe á �����¥� � R Ó à c ¬ c W á �³e Ó à c ¬ c W á ¤ � � ���MRÊe Ó à c ¬ c W á � c bdc Wà � � ��RÊe á  �s,��� ��� ��� ��� à È @rà RÊe áá Ë �� à È @�à R á�á Ë �òà È @rà e á�á ËY� � ��� à clø RÊe á © ­��g�/� � �������¸�� à clø R á © à clø e á © ­   #

* � � � �»��������� � �YR ß ø R ô ø �=��� ø RÕÔ ¤ ��������� � �»Ë � �^���W�����»���������� � �Y��¥� �g¼r½¿�ÀªÁ�Â�ÄÆÇ3CÖ½�Ä¿ �� à R > ø RÕÖ á © ­ � � � � Ë � � ��Ë � ��� A à©�×  6!ü×'Lü*798�'Lþ?üd�*���*��s. Ä R ß�ø R ô ø �=��� ø R Ô0Â20� Á$¿�Ç3CÎÄG¿�½�Á�Â=¼r½�¿�ÀéÁ�ÂxÄÆÇ3CÖ½�Ä^Â�¿�1�&CÇ3Cg0� Á� � È @Èà R ß R ô ç�ç�ç RØÔ áF� È @rà R ß á�� È @Èà R ô á�ç�ç�ç È @Èà RÕÔ ác'�� à clø caø ����� ø c áâÄ[A�À � k�¿ ;�Ä |o�0� Á�1� "$%��� � ��� ����� ����� � � � �� � ����� ��� ������ � � Ï ����������  #

s ��� ����� � £��¥� � � � ���/� � � � � ������������ � ���� � �� � � � �:��� � � �����gË � �¶���������� c � � �c bdc > à � � ��R > á � ��� c > ��¥� � ���������� � �n� � � � ��Ë � � ���Ë � ���� »!¼�Ù Ú Ã�7.L�ÛÀ[¿K¸5�M.4ÝÜ,7ÊÂ�4N; 465J?®4ßÞª7A4^LA5 9H4x5$;=4xDEKEM.4à 4x;CD K09

*^��ì ��� � � \ à e á ©+Ó à È @�à e á�á ËPÓ Õ � ��� Ó agÓ ���� � � � � �� ����� � ���ª������������ � �$���a Ý  �s ¦ � =£��¥� �Ç\ ��¸� � ��������� � � � � � ��á A�Ç |o�0� ÁéÃ�ÄO&hAä÷ÄG½   â ��� � � \ àú­�á © \ à « á © ­ ¤� ¤ � � � � e �ð« ¤ ­ Ò \ à e á Ò eN  � � ¯ �� � ����� � ¤ \ à ¯ á © ¯ ¬p­ É � � ��� � ��� � ���������\ à ¯ � á ©ð¯ � ¬ ¯ � Þ<ß � � ��� à clø ¯ � á © ­ ��8��� � ����������� c l¥� �]��$� �� ���� � � � ��� ¯ �� ��g¯ � Þ<ß � �� ���� � � � �N��� ¯ � �������� � � � æ�û c Òö¯ �  *^������� � �YË � � � �Beò �� ����� � �=���������� � � c ß øPc ô ø ���=� øPc*(ª¦ � �� � � � � Â�¿�Â=CÎÄÆÀ � o�Á²À5â¼�ä÷ÄLCÎÁªÃ�Ä0½�ÄGÂ�â� Ã�A�Á�Â Õ ��� ��  ��  ��  Ý � �� � � � � e �� � c ß ø c ô ø �=��� c*(^�H© È @Èà e á ¤ ���W� �(�� ¤ ��� � �c > �� � ��������� � �ñ� � � � � � �^��� � �������N����� � � � � ¹������ � � �� � � � � eN  ·<� �N������� � � � ¤�� ¤ � ¤��¤  � � :e ¬e­ ¦ � ��� � � � �c��  ��  �� H� �� � � � � eN =¡PË � ��� � ��������������� ¤ � � ����� � �»���������nË � �c ß øPc ô ø ����� øPc)(e¦ � ��� � � � � ��  ��  �� �� �� � � � � ep����¶� � ����������� c > b c Ö à � � �fe á��� � ����� � � A ©�×   � � \ à e á �� ����� � �C��������� � � É ß�ø É ô ø ���=� ø É�ã�ä (æå ¦ � �� � � � � Â�¿�Â�CúÄÆÀ �o�Á²À/¼3ä Ä)CúÁ¶Ã�Ä^¿�Ç3á²ÄG½=C�â� á²ÄÆ¿� ÕÖ��  ��  �   Ý � �� � � � � e]���� É ß�ø É ô ø ���=� É�ã�ä (�å �l© à È @�à e áá Ë ø����� �®�� ¤ �� � � É > �� � ��������� � �Ð� � � � � � �Y��� � �������C���x� � � � � ¹�� ��� � �¢���������� �Ê �������<� �� � � � �eN  â � � �»����î��Ë � ��� � ���������������� ¤5É ß ø É ô ø �=��� ø É�ã�ä (æå ¦ � �� � � � ����  ��  �  ¢� �� � � � � e ���¸� � ��������g�� à É > ø e á © ­ � � � � � � � ��A � c > bdc Ö à � � �fe á ��� � ����� � � A ©d×  

Page 16: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� ��� ���

��

��

��

� � æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ðû 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü��*��� � . Ä�; � À Í ø Ï�ø e Æ È l e �@æ l Í ¿�Ç7á�ÄƽÿCLâ� á²Ä�äYÀ âÁ�Ã�A�ä Á e l clß lc ô ø �=��� ø�c ( A�À@Âi1 o�1 ½�1nÀ âÁ�Ã�A�ä Á e Ä É ß�ø É ô ø ���=� ø É�ã�ä (æå A�ÀsÂi1 o�1 ¿�1nÀ âÁ�Ã�Aä÷Á e 1�&CÇ3C�0� ÁÍ clß Ø Ï�ø Í c ô Ø Ï�ø ���=� ø Í c ( Ø ÏOá Á�½À � À A�À�Âi1Roi1 ½i1HÀ âÁ�Ã�Aä÷Á e Ä Í É ß�ø Í É ô ø ����� Í É�ã�ä (æåá Á²½�À � ÀÄA�ÀüÂ[1Roi1 ¿�1¢À âÁ�Ã�A�ä Á8Ç�1� "$%� � ��Í c > Ø ÏÌb Í c Ö Ø Ï à � � �fe á �����¥� � e Ó Í à c > ¬ c Ö á � c > b c Ö à � � �fe á ¤� � ���� A ©d× É � � �ñ����� � � � � � � � � �nË � ��Í c ß Ø Ï�ø Í c ô Ø Ï�ø ����� ø Í c)( Ø Ïg¦ � �� � � � ���  ��  �� � êY� � � à Í ø e á © à É >�ø e á © ­ ¤ ���� � � à Í É >�ø e á © ­   ·<� � ��� �� � � � � � ¤ ���ÇÍ É >¶bÍ É Ö à � � �fe á ����� � � É > b É Ö à � � �Çe á Õ � � � � � ��� � ���� � ��¦ � � ������� � � Ý � A ©:×  W �W� � � � ���� � � � ����� � ��W��� � £��¥� �   #C "$ü×'L"(%Y��*��� X ÔÕ ¡ � ����� Ý . Ä<; � À clø e Æ&È l e �,æ l�C � ¿�Â[Ô�A�Ä à clø e á © ­ 1?&CÇ3C�0� Ác ã�ä (�å b ­ à � � �fe á 1� "$%� � � � � É ß�ø É ô ø �=���P� É�ã�ä (æå� � ��  ��  �  <� �� � � � � eN  · ��� �8� � � � � ���£��¥� � � ������ � � ¤

c É ß�øPc É ô ø ����� c É�ã�ä (æå� � � �n���� ¦ � ��� � � � �ü��  ��  �  =� �� � � � � eN �sx������� ¤É ß ç É ô ç�ç�ç É�ã�ä (�å b c É ß ç c É ô ç�ç�ç c É�ã�ä (�å à � � �Ðe á

� � ���g� �� � � � � e � �¸� � ���g� � � � �0��¹��� � �g������ � � ¦Ö� � � ����� � ���� � �/��� � ����� � � � £��¥� �  Ì � �n����� � � � ���/������������������ � � � � �c ã�ä (æå à É ß ç É ô ç�ç�ç É�ã�ä (æå á b ­nç�à É ß ç É ô ç�ç�ç É�ã�ä (æå á à � � �Ðe á

� � ��� � � � � � � �� ��� � ��  ´ ���W� � ��� � ����� �Çc ã�ä (�å b ­ à � � �Çe á   #6!ü�'Lü�798�'Lþ?üç�����2E�ðÕ · ��Ë � �� �Sâ � � ���� � ��� ó ����� � � Ý . Ä ¯ âÄ/¼¾½¿�ÀªÁÔÄÆÇ3Cg0� Á(l¢¼ � ½ �CÎÁ�Ã�Á$¿�Ç7CúÄÆ¿�½GÁ c l c ¨ bdc à � � � ¯ á 1� "$%� � � ¯�Ó c ¤ �����¥� � c ¨ b+c&bºæ à � � � ¯ á   ê � � � � � ���� �� �� � ¤ \ à ¯ á ©2¯ ¬,­ ¤c ¨�Þ=ß b ­òà � � � ¯ á �g � � � �������� c ¨ bdc à � � � ¯ á   #

Page 17: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� ��� ���

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê Ñ�ìhè/L�ùö(ç Ò~Hèõ!í�óôó�ù5ò�ó=øhó�õ!é)ónÓ×ù5ó�ö5õ/J$óPõ×øLóiK�è¶í�ókL�ó�ø9K�è~J � X� � ��� � ����� � ���� � £��¥� � � � � ��Ë � �� � ��� � ����� � ��� ó ����� � � �� � � �$�� � � £��¥� � ��� c� � � � �A�.� ��¢¹� ��� � ��� � �=pn� � ®� � � � � � � � � � � � ������ � �����¸���¶ �� ����� � � � �� � ��� � ���� � � æ`Ò A Òö¯ ���� � � è ¯ Agé © ¯ lA l à ¯ ¬ A ácl bðæ à � � � ¯ á

� � ���g� �� � � ¦Ö� � � � ¯ � � ����� � � � �gË � ��a¥� � � � ���é����¸� � ����� � � � � � � � � � Ë � ���� � ����£� � � ���� � ���� � � � ��  � ��� � � � � c ©üæ � cð© ­ � � ��� � ���� � ��¥� � �������� � ���� � � � � � � � �� ����� ��� ��� � ����� ��� � � �fc ¤ ���� � �à c Ø ­�á ¨ ©Ñc ¨ Ø è ¯ ­ é c ¨�Þ<ß Øµç�ç�ç�Ø è ¯¯ ¬ ­ é c Ø ­

bÚc ¨ Ø]­bÚc Ø ­ à � � � ¯ á� � �� � � £��¥� � ����� �� � � � � ����� �  6!ü×'Lü*798�'Lþ?üd�*���qeæs. Ä à R ø e á © ­ ÄGÇ7Cg0� Á \ à RÊe á © \ à R á \ à e á 1� "$%� êY� ��W��� � ��� � � � � � � � � ��£��¥� � ������� à È @rà RÊe áá Ë � à È @Èà R á�á Ë �(à È @Èà e á�á Ë ¤ �Ë � � ��� � � ���gË � �g��������x� � �W� �� � �»��¹��� � ������� � �� ����� � ���¸������������ � ��  #6!ü×'Lü*798�'Lþ?üd�*��� å s. Ä e © ¯YX[Zß ¯YX�_ô ç�ç�ç ¯ X \=o�Á²À ¯ ß Ò ¯ ô Ò ���=� Ò ¯ = Ä ] > �(æ ¼ � ½ � CÎÁ�Ã�Á,AxÄÆÇ3C�0� Á

\ à e á © à ¯ X[Zß ¬ ¯ X[Z Þ<ßß á�à ¯ X�_ô ¬ ¯ XP_ Þ<ßô á�ç�ç�ç�à ¯ X�\= ¬ ¯ XP\ Þ<ß= á© e è ­C¬ ­

¯»ß é è ­C¬ ­¯ ô é ç�ç�ç è ­C¬ ­

¯�= é �

� "$%� W ��� � �� � � �^� �/¦ �� ��� � � � Ë � � ���� ����� � � ��� � � \ à ¯ X á �0� � � � � � � �� �� � � ������ � �� #¡P� � � ������� � � � � ¤ ��¶e � « �����¥� �Ç\ à e á �� � � �� Ì � ��� � ��� � ���ë����� � � � ����� � �8��Ë � � £��¥� ����� � ��� � � � � � � � � ��� È @�à ¯ á É ��� � � � � ���������� ���� � � � ��Ë � �� � ���� � �Ó� � � � ��������^�� � � Ë � � ��� � � ���xË � � � � �� ���� � � c Ë � �¸��¥� ��� � � � � �� � ��� � �Y���������� � �Y� �� � � � � ¯ ��¥� � �¸� ¬$­  �ô"$%&ê�*��� Q �. Ä ¯ âÄC¼r½�¿�ÀéÁ�ÄÆÇ3Cg0� Á �  âA�Ç�¿Do � ÂnÂGÁ)ä|A |oq0Á�ÄGÂNÃ�Ä Û�ô¸© ­ ÄÆÀ È @rà ¯ á Â20� ÁVëÄ ¬8­ 1À&PÀÒ¼ � ½ÿCÖ¿Do=Aä � ½�l ÂÆÄ ÛÇÆ à È @�à ¯ áá Ë ¬ � ­ ø ¬$­ � ÄGÇ7Cg0� Á Û Þ<ß à©YÛ ÄÆÀ È @�à ¯ á 1� "$%� ·<� ����� � �»������������������ � ��Ë � � £��¥� � � � � � à Û ¬ ­�á�à Û Ø ­�á ©]æ ¤ � Ë � �g� � �� � ������ � ��� � � � �������� � �   #

Page 18: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� ��� ³��

��

��

��

��E æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ðC "$ü×'L"(%Y �*��� j .Õ1Z]����� � Ý . Ä�; � e � Û 1M&CÇ3C�0� Á à e ¬þ­�ácl b ¬$­ à � � �fe á ÂGÄ e âļr½�¿�ÀªÁ�Ä à e ¬]­�ácl b æ à � � �Ðe á ÂGÄ e âÄto�Á²À/¼<Á�Â=CÎÁq1� "$%� � �ge ��N� � � � � ��� � � � �=a¥� �®�� � Ë � � ��� � � � ��� � � � ���� � � � ����� � �=�������������e ©Úc É � � � ­ ÒÚc Ò É Ò e å ����W���x� � � � � � �� � c Ë � � �� � É ��� � ��������î��� à e ¬ò­�ácl� à e ¬µ­�áwl b]æ à � � �fe á   � �Ìe © ¯Hô ¤ ¯Þ�ö« ¤ �����¥� � ¯ � «�¯ ��� � ���������c��� à e ¬µ­�ácl�x � � � ������� à e ¬e­�áwl b æ à � � �fe á É ���W� � ����� � ���� � Ë � � � � � � � � � � e(� � � � � �W� � ¤e � Û ¤ ���� � � à e ¬]­�áwl b]æ à � � �fe á  

� �`e �� � ���� � � � ����� � �x������������� à e ¬ ­�áwl b ¬�à « ç�Ù�ç�ç�ç e ¬ « áªà � � �fe á É � � �� ��� � ����� �.� ������� � � � � ����� � � �W� �� � � � �¸���������� � � � � � � � ����¸ � � � � � � � � � � � � � ���������Ó� � ¤ � � ��� à e ¬]­�ácl b ¬8­ à � � �fe á   #»[¼cì Ú Ã�7.L�ÛÀ[¿K¸5�M.4îí ï5?ð.B�7A>

^=� � � � � �n�������� � ��������� � � ��� � � � ������ � ���¸� �8¦ � =£��¥� �Á\  C "$ü×'L"(%Y��*��� y sr � ½ � CúÁ�Ã�Á8Ç � CJA�½ � ä e lñ ò�ó ( \ à á © e �

¡P����»�� � ����� � �� � � � ¦Ö� ��������������� �x¦ �� ��� � � � Ë � � � � � � � � � � � � � � \ à e á � ��� £��¥� �� ������ � �� B* � ���� � �»��������� � �� ��� � � ����� � �W��� � £��¥� �Çk�¿ ;�Ä)C ¿Dá �  � "$%� êY� ���������� � �ôe ¦ � � £��¥� ���æe ø ­e ø �=��� ø e ¬ ­e

�^���� � ����ì�Ë � �^� � � � � � � ����� � � åH��� ����� � � � ������� ¤ � � � � � � � � Ó e ¤ \ à á ¦ � � £��¥� ���P� � ����� � ���� � � � � ¤ � � ���g�� � � � � ����������� � ���/� � �� � ��� � � �  Ì � ��� ¦ � ��� � ��������� ¤ � � � � cYÆ È @Èà e á ¤ �� � � � © e @Èà e øPc á � c W © c @rà e ø�c á  ê � � � � ������� c W Æ à È @Èà á�á Ë �®����ì ��� � � � ������ � � � ¦ � =£��¥� � ��� È @Èà e á � � � �ö�� �� ¥� � ����� �W� �� � � � �»� � �W� �� � � à È @Èà á�á Ë ¤ � ���� � � �� � � ��� ��� � �»��������� � �����Y����eN <s��������Æ� � ������� �:¦ � =£��¥� � ����� � c W Æ à È @rà áá Ë ��� c ¤ c © e c W @ ¤ � � ��� �:¦ � C£��¥� �þ��� � � � � � � £��¥� �   #

Page 19: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

ô ÀªÄG½�ÂGÄÆÇ�ÇrÄ9õö2÷ø÷gùgú2û�ú2ö2ü¼ � $�Ä?ë ü��

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê ý�ìhè/L�ùö(ç Ò~Hèõ!í�óTKßþõ×ñ�î ù�ð ��e� � � � ������� � ���/� � ���� � ���/ÿ ��� � ����������� � � � � �ÿ à e á © ñ ò�ó ( � à á

�� � � ��� � ���ª� � � � � ��� �� � �� � � � �/ �� ����� � ��  � ����� � ����������� � ���� � � �����8�����������������W� � ������������ � ��� � � � � ������������� � �é��� �����0����ÿ   � �� � ���� �ª� �������� � �x � �^� � �W��� �Ë � ���� ¦Ö� ����� � � � © \ � ��Ë � � £��¥� � � ����� � ����� � �Õÿ à e á © e É ������������� � � ����� ������������� � ���ª���� �Ê�� � � � � � �.¦ �� ��� � � �.��� � � \   � ����� ������ � ������� � ���£��¥� �,��é� � ���� � �� � � � ¦Ö� �����n������g��� � � ���¸��������Æ��¥� �  *^��ì ��� � � �?á A�Ç |oq0� Á¶Ã�Ä0Å��Á�k�¿|A� � � ��Ë � Èe� � �� à e á © � àÖ¬$­�á�= ø ���¶e © ¯ ß ¯ ô ç�ç�ç ¯ = ¤ � � � ¯ ß ø ¯ ô ø ç�ç�ç ø ¯ = � ����� � ������������� � � ¤æ�ø ���¶e[���� � � � � � ¦Ö� � � � � ����� � ��� � ������ � ���ñ� � �$¦Ö� � � � � £��¥� �  

s^����� ¤ � àú­�á © � à × á © � àú­ æ á © ­ ¤ � à « á © � à�Ù�á © � à ù á © � àÖÜ�á © ¬8­ � � à�ÛÈá ©� à Ú á © � à è á ©µæ  �ô"$%&D��� � �æ�r � ½ � CÎÁ�Ã�Á$¿�Ç7CúÄÆ¿�½GÁ0¼<Á�¿DC ¿Dá�Á e CúÄÆÀªÁ�Â

ñ ò�ó ( � à á © � ­ ø ÂÆÄ e © ­ læ�ø ÂÆÄ e � ­ 1� "$%� � � � � � e © ­ ��0�������� � �   � �³e � ­ ¤ �� � �/¯ � � ��������� � � � ���� � ���teµ�$�� � �e © ¯ X e/Wa� � � ¯54 e/W   â ��� � �ñ ò�ó ( � à á © ñòøó (�� ¨�� ò � à á Ø ñòøó (�� ¨ ó ò � ¨ _ � ò � à áÈØ ñòøó (�� ¨ _ ó ò � à á© ñòøó ( U � à áÈØ ñò U ó ( U � à ¯ W á�Ø æ

© ñòøó ( U � à áȬ ñò U ó ( U � à W á©]æ � #

Page 20: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� ��� °��

��

��

��

� å æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ðC "$ü×'L"(%Y��*� � ���Õ ó �� ��� � � � ���¸��������Æ��¥� � ���/ÌY���� � � � Ý . Än¼ � ½ � CÎÁ�Ã�Á e �eæ CÎÄGÀªÁ�Âÿ à e á © ñ òøó ( � à áÄÆÇ3C�0� Á � à e á © ñ òøó ( � à e @ á ÿ à áJ�

� � ��������ªË � � ��¦ �� �� � � � � � � � � � � �� ��� � �� �� ° � � � � \ à e á ��� � � � ¦Ö� �������������A� � �� � ���»�� � ����� � � � ����� �  � "$%��� � ��� ��� � � � � �nË � �� à e á © ñ òøó ( � à e @ á� ñò U ó ò � à W á�� ´�

Ì � � ¤ �������������� � � W W © e @ �/R © e @ WÈ���� � �ñ ò�ó ( � à e @ á � ñò U ó ò � à W á � © ñ= ó ( � ñò U U ó = � à W W á � � à e @ R á © � à e áJ� #C "$ü×'L"(%Y��*� �×� ¸Õ � � � � � �x¦ �� �� � � � ���n��������Æ��¥� � ����Ì&���� � � � Ý . Ä<; � À � Ä ÿ á A�Ç |oq0Á�ÄG½GÄ � ¿�ÂÌoGÁ²À Ã�Á²À â� Ç�¿ Á à æ�ø Ø��ðá C � ¿�¶Ô�A�Ä � à���á © ÿ à���á ©]æ ¼ � ½ � CúÁ�Ã�Á � Ò ­ 1 . Ä

ÿ à Û á ©��ñ��� ß ��� Û Ý�� ©������ñ ß �7� ��� ÛÝ �¼ � ½ � CÎÁ�Ã�Á Û ÄGÇ7Cg0� Á�ÄÆÇ3C�0� Á� à Û á ©��ñ��� ß � à Ý á ÿ � Û Ý � © ñß �7� Õ�Û Ö � à Ý á ÿ � ÛÝ � �� "$%��� � ��� ��� � � � � �nË � �� à Û á ©!�ñ��� ß � à Ý á " �ñÔ � ß � � ÛÝ Ï �$# ø

Page 21: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

ô ÀªÄG½�ÂGÄÆÇ�ÇrÄ9õö2÷ø÷gùgú2û�ú2ö2ü¼ � $�Ä?ë&%��

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê '�ì¶ñ)èðPó�ð � Q� � � ¤ � � � � � � R © Ý Ïg� �� ������ � � � � � ��g� � � � � ��ñ= � ß � � ñ� ó = � à Ý á � �(� ÛR � � Ë � � � ��� � ����� � ��0� � � � � � � à Û á   #

s � ��� � �l���Ca¥� � ����� � �l���� � ��� � � � � � � � � ����W� � � � � ��� � ������� � ����¥� � ¤ a¥� � � � ����� � �������� � �����¸���� ��� � � � � �� � � �����¸� � � ���G� � � �  6!ü*),+ÿ"$�.-ÿ�V'Ld��� �×X �Õ ã � � �� �����/���/ä������ � � Ý . Ä0/ � ­�@ « ÄÆÇ3C�0� Á�����(21 � ­

e3 (ñß54�= � à R á ©µæ �¡Y�W� � �� � � � � � � ¦ � ��� � � � £��¥� ���Y� �¸¦Ö� � � � � ��� � �� ������0���0ä������ � � ¤ � �º� � � � � ��� Í����� � �n��� � � ����� � � � ������� � � ��� � ������� � � � ���� �� ���� �  ·<� ����� � �0����� � ��� � �^���W� � � � � ���G� � � �ë� ������ å ��� � � � �=à æ�ø Ø�� á �76 ����ì ���� �� � � � à8��á ©µæ ��� � Ò ­ � �ñ��� ß � à8��@ Ý á © ­ ø ��� � G ­

�����¥� � ¤ � � � � � � � �9/ � ­P@ « ¤ �����: 1 � � à���á� 3 ©µæ �*^� ¦Ö� � � ¤ � ��� � ��� � � �� �/¦ �� �� � � � ���¸�����������¥� � ���/Ì&���� � � �»���� � �

� à���á ©;� : �ñ= � ß � à R á:�»!¼5< = K¸>¢4x>

se � � � £��¥� �N� � � � � � � � � � � � � � ��� �� � �Æ� � � � � � � � ���N� ��¤ � � � � � ��� ������ � � æ�ø ���=� øè  W ��� � �� � ���ì�� � ¤ � � ���P����� � � � ¤ Ë � �­ è × Ú�Ú Ù © ­nç�­ æI� Ø è ç�­ æg� Ø × ç�­ æ õ Ø Ú ç�­ æ ô Ø Ú ç�­ æ ß ØòÙ¸ç�­ æ � �

Page 22: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

ô ÀªÄG½�ÂGÄÆÇ�ÇrÄ9õö2÷ø÷gùgú2û�ú2ö2ü¼ � $�Ä?ë ù��

��

��

��

� j æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ð� �� � ����� �$� � � ��� � � � ���� � � � � � �������������YË � � ��Ë � ���» � � � � � �È���ºË � � ��Ë � ��� � � ��  C "$ü×'L"(%Y���� � E� . Ä�; � e�G æ ÄÕ � ­ 1d&CÇ3Cg0� ÁÔÄ � ¿�Â=CÎÄ]A�À � âA�Ç�¿Do � ÂÆÄ)Ô��A�}ÄÆÇ o¿ �c � ø �=��� ø�c � ø �=��� oGÁ�À � »ÂGÄ�$7A�¿�Ç7CúÄGÂC¼r½�Á�¼¾½¿ Ä�à � Ã�ÄGÂitÕ � Ý ¼ � ½ � CúÁ�Ã�Á`Ý l æ�û c � Ò 3lÕ � Ý Ä � ¿�Â=CÎÄ R C � ä�Ô$A�ÄxÂGÄÌÝ G�R ÄÆÇ3Cg0� Á c � ©]æ lÕÖ� Ý e ©?> � c � � 1� "$%� ¡Y����������� � �[e © e � © e ß Ø c � ¤ æpû c � Ò ¤ e ß © e ô Ø c ß ¤æ]ûÎclß Ò ¤ �.��� � ��� � �/eô� © eô��� ß Ø c � ¤ æ û c � Ò   �N� �� �S� ���������� �� ì ��� � £��¥� � ��éË � ��eô� ©�æA� � � �.� � � � � � � � � �$��� Ý  Ê*x� ¦Ö� � � ¤ ��Ge�� Ò = �����¥� �e ß�Ò =gÞ=ß �x� � ��� � ��� � ��������� ¤ � � �P�� � � £��¥� � ¤ eô� Ò =¸Þ � É ¦Ö� ������ �tÝ G�R@����� � �eô� Ò ­ � � ���Geô� ©Òæ   � � � � ��� � �Ê Ë � � c � ©Òæë� � � � Ý G�Re Gs������������� � ���é� ��Ó����� ÕÖ� Ý �� ¦Ö� ��������������/����� � ��W��� � � �$� � ���� � � £��¥� �  · � � �/� � ������� � ��� ¤ � � � � �� � > � c � � © > � É � �   � � � �»����Ë �� ¹������ � � c � � É ���¥� � �����W������ � �P���������� � �}���� � � �Ê �������� ¤ ��� ��� � � � × ¤ � � � � � Ë � � � c Ö à© É ÖÆ  ·<� ����� � ���������������� c Ö Ø > �,@ Ö c � � Þ Ö © É Ö Ø > �,@ Ö É � � Þ Ö � � ��� c Ö b É Ö à � � � á ¤ � Ë � ��� � � � � � ���� � ����£��¥� �   #Ïsx�/��������� ��¶����������� � ���é� � �������� � �¸��� ��� ��¥� ���ga¥� � ��� �� � �¸��� ��� ��� � � � � ����� � �P� � � ��� ��� � �P� � �W� �� � �P��� � � ��� ����� � ��Õ ��������� � � � �}������� � � � ������ � �[�� �Ó����� �� ��� �Ê � � � � Ý   ·<� �ª�P����� � � � ¤ � � ����� � � � ��� ¦ ������� � � ��� ����� � �é�� ��� ���� � � � ��Ë � �� � � �� � ��� ������ � � � � �������� � � � � � �������� � ������� � � ��� � � � �W� �� � ��� � � ��� ������ � �n � � � ���� � ������ � ¬�Û ø ¬xÙ ø ¬ «�ø ¬$­ øæ�ø ­ øú«�ø Ù ø Û øWù �*x���W� �ò¦ � ��� � ¤ ������������� � � ­GÙ © ­$ça­ æ ØpÙ � � �é������������� � � è]© ­$ça­ æ ¬}­ �× Û © ­gç ­ æ�ô ¬(Ûªç�­ æ Ø[Û  �r0������ � ����� � �� � ¤ � � � � ��� ������� � �/ � � � ��� ������ � � � ����������� � � c � � � ¬ @ «[ÒÚcëû @ « ¤ ��� �� � � ¤

cª© ¬ Õ à ¬]­�áD@ « Ö ø ¬ Õ à ¬ ­�á?@ « Ö Ø]­ ø ���=� ø ¬8­ øæ�ø ­ ø ���=� ø(Õ @ « Ö ¬]­ ø5Õ @ « Ö �¡P����¸� � �W� �� � ��� � � ��� ������ � �Y � � � ����������$�� � ��� � � � �ñ��� � ���� ��� �� � � � � � � � �Í����� � � ¤ � � � � ��� ¦ ������C£� � Ë � � ��� � � � �� ����� � �Y�� ��� ����� � �=a¥� � � ��������� � ������Y�� � � � � � ����ñ�� ��� � � � �  C "$ü×'L"(%Y���� � e^ . Ä<; � e ÆÑÈ ÄÕ �º« 1�&PÇ7Cg0� ÁSÄ � ¿�Â=CÎÄ A�À � âA�Ç�¿Do � ÂÆÄ)Ô��A�}ÄÆÇ o¿ �c � ø �=��� ø�c � ø �=��� oGÁ�À � »ÂGÄ�$7A�¿�Ç7CúÄGÂC¼r½�Á�¼¾½¿ Ä�à � Ã�ÄGÂitÕ � Ý ¼ � ½ � CúÁ�Ã�Á`Ý l ¬ @ «[ÒÚc � û @ « l

Page 23: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

ô ÀªÄG½�ÂGÄÆÇ�ÇrÄ9õö2÷ø÷gùgú2û�ú2ö2ü¼ � $�Ä?ë�A��

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê B�ì�ð�õ×ñøLó<ètí�î ð�J$øLî ñ�ùî ç Ò~Hèõ�í(õ�ð�öYNù�K_ó=øÿõ�ð�éÿøLî K õ�ð � yÕ � Ý Ä � ¿�Â�CúÄ R C � ä<Ô�A�Ä^ÂGÄÌÝ GdR ÄÆÇ3C�0� Á c � ©µæ lÕ � Ý e © > � c � � 1� "$%�E¡Y����������� � �/e © e�� © e ß Ø c � ¤ ¬ @ «ÐÒãc � û @ « ¤ e ßg© e ô Ø c¢ß ¤¬ @ «[ÒÚc ß û @ « ¤ �C��� � ��� � �Le � © e ��� ß Ø c � ¤ ¬ @ «[ÒÚc � û @ «   �x� � � ������� ¤ � ��� �8� ����������� ��� ì ��� � £��¥� � ��¸Ë � �¶e � ©[æ���� � �8� � � � �º� � � � ����� Ý  �*^� ¦Ö� � � ¤ ��¬ = @ «[Ò e � û = @ «�����¥� � ¤ � � �N���� � £��¥� � ¤ ¬ =¸Þ � @ «[Ò eô� û =¸Þ � @ «2�¦Ö� ���� � �`Ý GdRs���� � �<eô� ©µæ   � � � � �0� � �Ê Ë � � c � ©µæ¸� � � � Ý G�Rö <s ����������� � ���� � ������ Õ � Ý � � � �������� � ���/��¥� � ����� � ���� � � � �n� � � � � �� � ����� ��� ������ � ��  #·<� ����ÍÎ��N����� � � � �»�� � ��������� � £��¥� ���= � � � �� � � � ��� �� � �P� � �W� �� � � a ��� � � ��� ��Í���� � �� BsN� � � � � �C� � ���£��¥� ���=� �Ê ���� � � � � � � Ë � � a �� � � � ��� � �W� �� � ��� � � ��� ������ � ������������ � ���¸��¥� � Ë � � æ�ÆÊa ¤ Ë � � a ��� � � � �@�����W����� � � � � � ����� � ���¸���� �Ê � ��� �n�$Ë � �� �¶���¸� � �n������������ � ����� a ��� � � �� »!¼DC E 5?ðA;=4iK M�B�>a9<;CB{ð.7.B�ÛÀ[¿K¸5JM.5$>@L�Å7.D 4x;=5$>@?A;CB�D 58>

u �� ����� � �¸Ë � �¶������������ ���ì ���� � � � ���� � � Él� ��� � ����� � � � �g �� ����� � � � ����� � �¸� ��� � � ���W����� � ���� � ���$Ë � � �� � � � ����� � ���P�����W����� � � �� � � ��������� � Û ¤ ��� �� � � ¤ �������������� �����W���� ��� �£��¥� � � � � � ���� � �� <*x��ì �GF à Û á � � � � ��� � ��� �� ����� � ��� � ���� � � ¯ � � �«¶û ¯ ûYÛ  C "$ü�'L"$%&!�*� ��å 8Õ â � � ����� � � � �n �� ����� � � � ����� � � Ý������ 1 � F à Û áÛ @ � � ��Û © ­��

� � ���������Ë � � � Ë � �=�¶���s� � � �.� ������� � � � � ���� � � � � � � ��� ���Ó��� � � � � � � �  ¶¡P��������� � ��� � � � ¦ � �N� � � ���G� � � � � � � � �¶� �� �� � �$� � ���� �� ���� � � ¤ ������ � ������� � � �¶ÿa� � �������:�r � � ��� ¤ � � � � ����� � ��W��� � £��¥� � � � � � ����� � � �� ¦ � �x�� � � ��� � � � ����� ��´�°�¤ � � �¶���.� �^ � ��� ���� ·<��� ������S� ãx� � � � � �Æ�(ÕÖ������ � �� ��������� � ��� Ý   � ¥� � ����� � ���� � ����� � �g��������� � ���� � å � �x����� � ��W��� � £��¥� ���n������������ � �����N� � ���������� � �x��¥� � � � � � � � � ��� � ����/��� ¦ �Ê �������ÕÖ����� � � � � � �=Ë � � � � � ����� � ��W��� � £��¥� �Ô�������� � Ä�ä÷ÄGÀªÄÆÇ3C � ½ Ë � � � � l¥� �g� � �0¦ ����� � �����Í� � � � � � =£� � � � � å � � �Ó� � ������� � ���� � £��¥� ���$������������ � ����$��¥� � � � ��� �$�A� � ì������� � � � � Ý  

Page 24: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

� � æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ð* � ���� � � � � � ����� � ���� � £��¥� � � � �� � � ������ � � � � � ���£��¥� � ÕÖ��������� �e� â �Æ��� �IH �Æ���KJ ÝË � � ��¸��� � � � ������� � � � ��������¥� � ¦ � � � � � � �� � ����� � � � �n �� ����� � � � ����� � �� û 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü���� ��Q & � ¿�Â=CÎÄGÀ+oGÁ�Ç Â=C � Ç3CúÄGÂ=¼HÁ�Â�¿|CÖ¿|á � Âß� ÒML C � ¿�¶Ô�A�Ä� Û� � �<Û ÒNF à Û á ÒML Û� � �BÛ¼ � ½ � CÎÁ�Ã�Á Û G « 1� "$%� � � ���������� � �a�������� � ���������nË � �GO ô ((QP © ä ô (æåSR(�R (TR ��P� �� ���� � � � ���Y� � � � � � � � ���� � �¯ Ë � �/� � ���� ¦Ö� ����� e Òö¯ ûe« eN  êY� � �è « ee é Ò ñ� 4 � 4 ô ( è « eÝ5é ©e« ô ( ø��� � � ��Ë � � � � � � � � � � � � � � ���� � �^�������[eþ� « e ������� � �g� � Ë � � «�ô (   êY� � � � ��F à « e á�¬ F à e á � ����� � �C� � � � �������P��� � � �NË � �ge U ä ô (æå Þ U ä (æå Ò(«�ô ( Õ � � ���=� � � � �=�������� ����� � �n��¥� � � � � � �����nË � �³e Ý ¤ � � ��� à F à « e á�¬ F à e á�á � � � e Ò[« e�� � �P« �F à « e á�¬ F à e á Ò « e¶� � �C«� � � e �W �� � ��� � ����� ��¦Ö� ������������� ¤ � � ������ � £��¥� � ¤ Ë � �F à « ��� ß á û ù ç « �ÝÕÖ� � ����£� � � � � � � Ý ©Òù É � � �� Ý ©Òù �� � � �é��� F à e á û e @ « Ý   * � �Ê �� � � �éË � �ª���« � ÒßÛëû(« ��� ß �����¥� � F à Û á û ù ç « �Ý û ùLÛ � � �=«� � �<Û� � ��� � à Û á ©YÛ � � �C« @ � � �BÛ �� � � �8¦ � C£��¥� � ������������� � � � �`Û G Ù  

^ � � � � ��� � � �é� � � � � � � ��� �� � ������ � � � ��� � ����  � �P� � � �����¶� � � ����� � ¯ �:¦Ö� Í� � � � £��¥� � ���³e l �� V¨ à e á ©XW e ¯ZY Ø W e¯ ô Y Ø ç�ç�ç

©��ñ��� ß W e¯ � Y

Page 25: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

ô ÀªÄG½�ÂGÄÆÇ�ÇrÄ9õö2÷ø÷gùgú2û�ú2ö2ü¼ � $�Ä ö ë��

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê B�ì�ð�õ×ñøLó<ètí�î ð�J$øLî ñ�ùî ç Ò~Hèõ�í(õ�ð�öYNù�K_ó=øÿõ�ð�éÿøLî K õ�ð � �ÕÖ����� � �� � � � � � � � ì �Ó� �¶� � ���x��� Ý � � � � ¨ e © � � � e @ � � �l¯ �����¥� � Õ (¨I[ Ö ©ðæ Ý  g*^�¦Ö� � � ¤ Õ ( � ߨI\ Ö ¬ Õ (¨ [ Ö ��8���� � ��� � ��� � ¤ � ���� � � � � � �¶�����¶� �� ��� ¯ Ö �����������!e Øþ­  s^����� ¤

V¨ à e Øþ­�ár¬

V¨ à e á ��/� � � � � � � �P� � � ������8��� ¯ ��¦Ö� � � � � £��¥� � ���`e Øþ­ ¤ �Ë � � ¦ � ������� � � ��� � � � �$� � ���� � � £��¥� � � � ¦Ö� � � � ����� �  

s^����� ¤ � ��� � � �����/��� ¯ ��� O ô (( P © à « e áwl @ e l ô ���ñ��� ß è W « e¯ � Y ¬ « W e¯ � Y é �

â ��� � � ��� � � � Ë � � Õ ô (¨ [ Ö ¬ «�Õ (¨ [ Ö ��¶���� � ��� � ��� ��Õ � � ��� æ®û Û ¬ Õ�Û Ö Ò ­ � � � �� � � � Û Ý ¤ � � ��� � ��� � � ������é��� ¯ ��� O ô ¨¨P ��� � � �� ����� � �¸� � � ¨ e © � � � e @ � � �l¯��� � � � � � � � ���� � ¯   ·<� � ��� �� � � � � � ¤ ��Ìe Òö¯öûe« e ¤ � ��� � � ������g��� ¯ ��� O ô ¨¨P ���� <sx������� ¤ ��� O ô (( P ©^] ¨`_ ô ( ¯ 3 b �� �$¦Ö� � � � � £��¥� � ��� O ô (( P �����¥� �� � � è « ee é © ñ¨I_ ô ( / ¨ � � �¢¯© ñ¨&4 ( / ¨ � � �H¯ Ø ñ( _a¨&4 ô ( � � �¢¯ûaF à e á � � � e Øðà F à « e áȬ F à e áá � � � à « e áûaF à « e á � � � à « e á

� � ��� F à « e á Ge� � � è « ee é @ � � � à « e á G e¶� � �=« @ � � � à « e á� � ��� è « ee é © « ee ç « e ¬]­e ¬]­ ç�ç�ç e Ø]­­ G « ( ø� � ��� F à Û á G Û � � �<«� � �BÛ��� � � � � � � Û.� � � ¤ � Ë � �8��� � ����� � � ������� � ���W����� � ���� �é� � � � � � � � Û ���������� � ¤ � � ���F à « Ý ¬]­�á ©bF à « Ý á   #

Page 26: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

�×� æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ð6!ü�'Lü�798�'Lþ?üd��� �*j s. Ä�; � � � � �dc æ�ø Øe�ðá A�À � á A�Ç |o�0� ÁéÃ�Äÿo�½GÄ�ÂPo�ÄÆÇ3CÎÄI1��2Â_âÄG½¿ Äñ¨(fKg8h ikj � à ¯ áoGÁ�Ç7á�Äƽ°$�ÄNÂÆÄgÄ0ÂGÁ²ÀªÄÆÇ3CÎÄ^ÂGÄ � Â�âÄG½¿ Ä �ñ( � ô � à e á� � � eoGÁ�Ç7á�Äƽ°$�ÄI1�&CÀ�¼ � ½ÿCÖ¿Do=Aä � ½�l ñ¨flg8h ikj ­¯ © Øe� �

*x���R� � � � � � ����� � ���� � £��¥� � ��������¸� � � � � �� ��� � � � � � �P������� �Ê ��� �  ÑN� �¶��� � � ����� � £��¥� � � � ��� � �������� ��� � � �0F à Û á ��¸� � � ��� � �ÿa� à Û á ©nm �� �� � � � ø

� ���^� � � � � � � � � � � � � � ��� ��� � � �a������� � ����� � � � � ¤ ��� �� � � ¤ÿa� à Û á © �����o 1 � m ß�Þ oo �� � � � Ø m �ß � o �� � � � �

��� � � � �������� ������ 1 � ÿa� à Û á� � � à Û á?@ Û © ­��� � � ��Íú��0��������� � �� � Ë � �

Ó F à Û á�¬ ÿl� à Û á Ó�ûpLVÛ ] Þrq äts uwv � å `5xca äts uwv`s uDv � åSy Zzxwa� � � �A� � � � � � � � � �$� � �/� � ��� � ������ c � L ÕÖ�� ��� � �� �������:��� Û Ý  .¡C� � � ������� � � � � ¤� � � � Ë � � ��Ë � ��� Ý �(æ �P�����W��� LY�(æ � � �lË � � ¤ � � � � � � � � � ¤Ó F à Û á�¬ ÿa� à Û á Ó�û^L Ûà � � �<Û á �»ø

� Ë � �é� � ���� � Ë � �éÿl� à Û á Õ �é������ � Û @Èà � � ��Û ¬,­�á Ý �� � � �.��� � � ����� � £��¥� � ��� F à Û á� ���ñ������� � �N� � Ë � � Û @ � � ��Û  

Page 27: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê {�ì�õ7ù�J$øÿõ�ð�øLó�ðPùò�J�è$í(õ�ð�ó�çÿõ×ö�| óPç[J$ù5ø=èð�ð�õ×ñ�øLóôé)øLî K õ�ð �×Xs(��� � �� ������»���nä������ � ¤ ���� ���� ��� � � � � ¤ ��Ë � ��� � ��� � ���������HË � � � � � � � � � �0} �(æ���������� L � � � Ó F à Û á�¬ ÿl� à Û á Ó�ûpLVÛ ß�~ ô � o � �� � �n����@� � � �8����� � ���� � �gË � ������� � ���W����� � ���� � �� � � � � ������ � ���Ë � ��� ��� � �ª� � � � �� � � � �n��� } Ò ­�@ «  �s,� � � �� ������¸���/ä������ � �ª� � � �»����ñ��� � ����� � Ë � �g�P�������� L � � �

Ó F à Û á�¬ ÿl� à Û á Ó�ûpL_Û ßw~ ô � � �BÛlø� Ë � �é� � ��� � � � � �������� � ����� �A� � � � � � � � � �� � ��������¶����� � � � ��� � ������� � �8���ªË � �� �xË � �����$� � � �8����� � ���� � ��  ·<� � ��� ��� � � � � � ¤ � � � ��Íú��$����� � �W��� � �xË � �$l¥� � � � ���������������=��� � � � � ���W����� � ���� � � � ��� � ������� � �C� � Ë � ������� �g� � � �!Ó F à Û á�¬ ÿl� à Û á Ó å ����������� � � � � ��� � ���� L&�(æ �¸���������� � � Ûlß � Û ô � � � �Ó��� � �� � �������� � � � ������n� � �F à Ûlß á ¬ ÿl� à Ûlß á Ò ¬ LQ� Û ß � � � � � � � � �BÛ ß� � �<Û ß øF à Û ô á ¬ ÿl� à Û ô á ��L�� Û ô � � � � � � � � �BÛ ô� � �BÛ ô �

»!¼5� � 7:9H;=58> ;=4N>H7ÊÂG9HK¸M.58> 4 À�5�Le�l4hÀ»9<7A;=K¸> >H5?ðA;=4 ?A;CBD�D 5$>

� ����� � ���£��¥� � ��������� � � � �� � ��� � � � ��� � � � � �¾����� � �Ó� � � � �¾��� �� ������� � �r� ��� ��< �� ����� � �� ���� � ��  â � � �n����c��������� � �Y� �� �� � � � � ��� ����� � �Y��� � � ����� � ¦Ö� � � � � �� C "$ü�'L"$%&���� �*y SÕ?*^������Æ������� Ýe� � Ã�Á�Â0Ç � CJA�½ � ¿� clø ÞoGÁ�À ��� � à clø á © ­ l<Ä � ¿�Â=CÎÄÆÀ¿�Ç�h�Ç ¿DCúÁ�ÂC¼r½�¿�ÀªÁ�Â0à � á Á²½�À � c Ø e�� o�Á²À e Ç � C:A�½ � ä��i1s������ � ���� � £��¥� �é� � � � �=�����W���$��� � ���� � � � � � � ��� �� �������^� � � � ����� � �� /Ì � �Ó� � �g� � Í� � � ��� ����� � � � ����� � �����Ó����� ����� � ���� � £��¥� ���g������������ � ����g� � ��� ��� ���� � �¸����� � ������ � �����Ó� � �¶a¥� � �������:����é���ÓìÈ� � ��� � ���ë���6����� � ���� � � ¤ � � �¶�P����� � � � ¤ Ë � �:���������������ì �Ó� � � � ����� � ��� ��¦ � ��� � Û e ØöÙ ���A× e Ø ù  ¡�����������î� �� �� � �H����ì � ������ � �=� � ���������� � �<� � �� � ����� � ���h*x�������Æ�������� �*^��ì����� � �F ò � q à Û á � � � � ��� � �ë� �� ����� � ��� � ����� � �g� �é¦ � �� � c Ø eþ � ���������� � � � c «�ø�ÛI�  *^�¸� � ^ � ��� ���� ·<��� ���� � � � � ��� Ë � ���A R � 1 � � F ò � q à Û áF à Û á © ­\ à á ø

����� �}�� ¤ � � � � � � � � � ��� �Ê �������¶��� � �������¶� �� � � � �� ��¹��� ��� � � ����� � � � ������� � ������� �� � � � � ��£��¥� � ��� � ���� � �� 

Page 28: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ��³��

��

��

��

� E æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ð·<� � ��� �� � � � � � ¤ â �Æ��� �IH �Æ���KJ ��� ������ ��� Ë � � � � � � � � � � ����� � ��Ë � �� � �a��� ÛeF õ � ô à Û á ¬F õ � ß à Û á � F � � õ à Û áa¬ F � � ß à Û á ��¥� � � � �������� � �� AÑN� ��� � ����� � ���:ÿa���������p ��� � ¤ ��������Í� � �� � ¤ ����� � ��W��� � Ë � �$����� � � ¦ � =£��¥� ���x� � � � �s���$��� � �l���ì �Ó� � �^���������� N¡C� � ´���±�¤ÿa�����Æ�.����� � �W��� ��� Ë � � � ���� � �x� � � � �N��� ÛA� � � � � Ë � � � F � � õ à Û á�¬ F � � ß à Û á © ¬$­�� ��°���° �^�0��� � ´�±�� � � H �»� ã � ��� � A����� � ��W��� � � � �ºË � � � ���� � ��� � � � ����� Ûë��� � �� Ë � � � F õ � ô à Û á ¬ F õ � ß à Û á © ¬$­ �� °�����´�� � � � ������´  � � � �/¯ à ø�c á � ���� � � � ���� � � �8¦ � ��� �Çc Ø e ¤ eµ���������� � �

¯ à á © � � � �÷¯ à ø�c á Ó�ætÒÚc Ò ø �¶��� à clø á © ­ � �ÿa�������(Õ�� ´�³�³ Ý � � � � ��� Ë � �¶������������ � ­ � � � ¯ à á Ò $� ��� � � � � � �� � � ìÈ�������Í���������� � � � ���� Çsc������� � �$�������� � ���� � � � ���������� �A� � � � � ���� ûîùÈøúù ¤ ��������� ���ã � � ���Í��»� � p�SÕW� ´�´�� Ý ¤ Ë � �g� � � �n����º� � � ���G� � � ��� Ë � �

¯ à á ûpL à � � � á ô �·<� � ��� ��� � � � � � ¤ a¥� � ��.� � � �.����� � ���� � �¶Ë � �A�P������� � �i���ì ���� � � � ���� � �¶� �¦ � ��� � e ô Øî­ É � ��� �� � ¤ l¥� � �P�����W��������� � � � � ����¢¹� ��� ��� ��� � � � � � �� �� ������������ � � � � � � � �nË � �$� � � � � � Ë � � �¾��^� � � � � ����� � ���� � �»Ë � �^����������������ì ���� � � � ���� � �� �A¦ � �� � � à e á ¤ e Æ È   ·<� � ��� ��� � � � � � ¤ �P�����W����� � � ��� � � � � ����H¹� ��� � �/��� � � ������ � � � � � ��� �� �����¢Ë � � � ��� � �����@���ì ���� � �^� � � � ����� � ���� � � å � � �^������� � � � ¤ � � � � � Íú��¦Ö� �������������¸Ë � �0� � � � � ����� � � �8¦ � ��� � Û e ص­ � � ���¸����n����������� � � � � �n����c �8¦ � ��� �c ô Ø É ô ¤ clø É ÆÊÈ   ·<� � ��� ��� � � � � � ¤�ó �������� � ������H� W p � ����� � � � � � � � �p�������������������� �î����� � ��� � � � � � ��� � � � ���C��� ¦ �Ê ����� å Ë � ���P�����W�����î���ì �Ó� � � � ����� � �=� �0¦ � ��� ��c ô Ø É �  ÑN� � � � � � ��� ����� � �N��� � � ����� � � � ��� ¦Ö� � � � � �x� � � � ���� �� ���� � �� � � � � ���G� � � ����Ðr � ��� � � �Æ� å � � � � �� ����� � � � �¸� � � � � ��� � � � � � � ³ �� � � � � � ���é� � ��� � ����� � �� ê ����(����� � ��W��� ��� Ë � �ª� � � � �� ����� � � � ��� � ì������������������� � � � ���� �� � � � � � ���� � � ����� � � � � � � �� ����� � � � � � � �� ����� � � � ��� ¦Ö� � � ����� � ����� � �� G^^�� � � � � � � ������ � �W��� ��� Ë � �ë� � � �]�Ê � � � ��� � ì������������������� � � � ���òÕ � � ���P����� � � � ¤ � � � � �¶� �Ë � � Ù õ Z�a Ý �� � � � � � � � ���^����¹��� � ����� � �� 3 � � � � ¯ � ¯ Ø « ��¥� � � � �È� � � ����� � � ¤ ��������� � �NË � �¸�������^��¥� �¸¼¾½¿�ÀªÁ�ÂT$À}ÄÆÀªÄ�Á�  êY� � ���G� � � � ÍÎ�� ¤ � � �¾a¥� � ���C� � � �C����� � �W��� � � ¤ Ë � �=�P�����W�����p���ì���Ó� � � � ���� � � � ¹����� � �� �»� � ¤ � � � ��� ��� � � � � � ¤ � � � � ��� Ë � � � ����� � � � ¹����� � �»��¥� � ����� � ��� � �» � ��� � � �����¸����Í���� � å �� F ô à Û á �� � �� ����� � ��� � � �������� � ���� � � � ¹����� � � � � �� Û �����¥� �F ô à Û á Ò ­ æ�æÿÛà � � �<Û á ô

Page 29: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê {�ì�õ7ù�J$øÿõ�ð�øLó�ðPùò�J�è$í(õ�ð�ó�çÿõ×ö�| óPç[J$ù5ø=èð�ð�õ×ñ�øLóôé)øLî K õ�ð � e��� � �tÛ � � ì �������������� � � � ���� =¡C� ��� ����� � � � � ¤ñ¨Z����� � ukv��� � � u ­¯ Ò Øe� �

s^����������� � ÍÎ���Ë � � F ô à Û á �� � �ö� ������ �� ����� � �nL_Û @rà � � �BÛ á ôò� � � �ö� � � � � � � � ��� � ���� � ������� �QL  B*^����� � � � �l� � � � �P������� �Ê ��� � � � � � � � � ��� � � �����P� � � � �G��������� � £��¥� � ��� � ����� � �� ¹����� � �»��������� �¶� ê �����������  � � � � edG « É�� �n��������� � ��eµ�³e Ø « ��¥� � � � �È� � � ����� � ���g�/� � �������¸��Û¾à�à e ¬ ­�áwl�Ø]­�áÈØ e b æ à � � �fe à e Ø « á�á:�

� � � �¸¯F( � e=Í ������� � �� ����� � � ���� �   � ��� � ����� � � � �» �� ����� � � � ����� � �»��Ë � ��� � ���� ���������NË � � �����(21 � ¯F(e¶� � � e © ­��·<� � ��� �� � � � � � ¤ � � � ��Íú��$� � �Ó� � � ��� � � � ��� ��� � � � � � � �� � ������ � � �é¦ � C£��¥� �Ø ( ©¯ ( � ß ¬ ¯ (   ·<� �Y������� � � � ¤ � � � � ���G� � � � ���¸Ë � �g�P�����W�����º���ì �Ó� � � � ����� � � � ¹����� � ���Ë � ��� � ��� � ���������<Ë � �P�����(�� ¦ (�©(«   � ¥� � ��P� � � � � � � � � �l ���2Ë � �P�����[�� ¦ (ÊÒ �  � � � � � © �����[�� ¦ (� � �¢¯�( �¡P���V�� � � � � � ��� Ë � ��� Ò ­ ��Ì � �����ªË � ��� û æ�øW« Û Ú   s � �� � �¶��� ��������¤ *8 ôs$ r � ��� �W� � ¤ u   · �����^� ê  ,�8 �� Ê ��� Ê � Ê � � � � � � � � �}Ë � �e� ©µæ Õ �����e� r · ���K� Ý  <*^� ¦Ö� � �������� � � � � � � � � � ��� � � ���¸Õ �����Q� r · � � � Ý å � � ���P����� � � � ¤ ���� � ������[�� ¦ (� � � �¢¯ ( à � � � � � �H¯ ( á ô Ò � �

¡P���V�� �<� � � �n���� � � � � ��� Ë � � � � � �W� �� � � � � � � �� � �»��� � � � � � � � £��¥� � ��� ( @ � � �l¯�(�����s��������� �ª� � �������� �   ·<� � ��� ��� � � � � � ¤ �� � � ��� � ���� � ��� �� ������� � ¤ � � �� ������� � � � � �� � ��� � � � � � �����»������� � � ¤ Ë � �x����� � ��x�P�������� � ��� � ���� � � � � � ����� � ��������R � « R ¤��� �� � � ¤ ( Òö¯ (  C¡C� � ´�� � ¤ Z®������ H ��� � � � � � � � ��� Ë � ������[� � � (� � �¢¯�( © � ø�g��� � ´�°�� ä � 2���� ¤ � � � � ����� � � ��� �ñ�� � � � ��� � ���/¡P��� �� � ¤ � � ���� ��� Ë � �

�����µ� � � ( à � � � � � � � � �¢¯ ( á ô� � �H¯F( � � � � � �¢¯�( � � � � � � � � � � � �H¯F( G ]K 9¡ ­ ø Ü Ú ­ æ Ü

Page 30: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ��°��

��

��

��

��å æ ç=è(éPê=ëJì¶í�î ï$î ðPî ñ�î ò�î íLè$í�óôó�ç=õ7ö5÷5øLù�úó�ö(çLî è5ð� ���£¢ �� � � � �W� � ���¸���¸¡ � ������ÍúÌ � ��Æ����� � �� ¤¢ © �����(21 � è ­CØ ­« Ø]ç�ç�ç�Ø ­

e ¬ � � � e é ¡ æ øúù Ü�Ü « ­ ù ×�× Û èI�������Y���� � ��� � � � ¦ � ��������� � � � � � � � ������� � ��������� � � � ·<� ����� � ���=� · ����� ¤ Ë � � � � � � ���Ë � � � � � � � ���Ë � ����� �ö��g� � � � � ��� � � � � � �8« ]   Õ�� û þ¤)$-�¥� Ý   êY� � ����� � � � Íú��0Ë � �

�����µ� � � (à � � �¢¯ ( á ô ©ML� � � �é� � � � � � � � �W� � ��� � � �������� �¦L   � � �� � � � � ���G� � � �¶¦Ö� � � � � ��8Ë � ������ � ���$� ��� ��� � ���� � � � � � ���� � ��������e ô � à e Øe­�á ô   � � ������ � � � �PË � � �8� ����������� � �����^Ë � � ( � ­ æ�æ�æ � � � ���� � � � �/¯ ( © ­ × è Ù ­ Ú²« Ù�­ Ú Ü�Û × Ù�Ü�­ ¤ Ë � � � �� ( © ­�­GÙ « ¤ � Ë � � ¦ � �������� ��� ����� � ������������������� � � � â   � ������� H �t*$  ��H � � a �Y�� r0������ð� â ������ ��� â � � � � � � � � � �F�������������������S����� r â �gË � �S�P����������� � � � ��������¥� ��� � ����� ������� � � � � � ���� � ��� � ������� � � � ����� ¦ � �� � � � �N������� � ����� � �������� � � � �� ����� � � � ����� � �8Õ ��� � � � sxÌ�̧� ��� � � � �ü��P��� � �P� � � ��Ó� �� ��� � � ��� ��/���W���/��� � ����� � ���� ��� � �n���� � �Ó� � � � ������ � ��� � � � � � Ý  ôs2� � � � � � � � � ������¥� � � ���Ó��� �������� � � � �� ������� ��¦ � ��Í� � � � ������� � ����� � ������� � � �¢ �� ����� � � � ���� � � �� Û × Ú Ù è²ù ×�× «�ù�æ Û Ú²« Ù�Ø «�æ�ù × ­ è ç « ÙI¨:ç Ý ©Û × Ú Ù è�ù ×�× «�ù�æ Û Ú²« ÙªØeÛ ù�Ú Ü « ­GÙ «�Ú Ù × ù Ù æ ç Ý øæ®û Ý ûЫ Ù ¤ Ë � ������� ��³ ����� � �g� ¦ � �������� ��� ����� � ��� ������± � � �hu � � � �� � ��ZS� ��� ���=pN�����  � ����� � �� �w��� � � � � ��� Ë � � �P���������� ���ì ���� � �A �� ����� � �A � � � � � ��� �Ê � ��� ����� Ý Õ � ��Æ� � � � � � � Sª©« QGN�HJI�¬£­N£®°¯?N�H|F*¯�S&¬w±.¯ Ý � � ���HË � � Ý ç « ( Øé­ ��Y� � � � � �W� � � � � � � � � � ���������� �� � �������� � eò�näN��������� � � � � ��� Ë � �»������������Ð���ì ���� � �C �� ����� � �H � � � � � ��� �Ê � ��� ����� Ý Õ � ��Æ� � � � � � � Sª©« Q�N�HJI²¬Q­N�³´¯?Nl¬�N�O Ý � � ����Ë � � Ý ç « ( ¬]­ ��g� � � � � ��� � � � � � � � � � ���������� �� � �������� � eN  êY� � ���G� � � � ÍÎ��ªË � � � �$���� � �����8� � � � �����$��� Ý � � � � � � � � � ������ � ������ ����� � ��¥� � ���� � �������� � ������� ±�������± � ����´������   ã �� � � � � ��� ��� � � ��� � ��� � ����� � ¤ Ë � �� � ��������g��� � � � � � � � � � ���� � � � � � ����� ¤ � � � � ����� � ���� � �n����� � �N� � � ����� � � � �¸ÕÖ��� � �~��(�(y/�J�$�.µ�z)0×43x_.·¶$4�z¹¸�.|v&º$��.:2¹»5v���y(4�95�~36� Ý  â � � �n����E������������J���ì ���� � �Ô � � � � � ��� �Ê � � � ����� Ý Ë � �e��¥� � ����� � �Ó� � �� � ������� �� ����� � �¸��� � ����� � �� �w���C�¶���éä��������� ¤ � �¸�Æ� � � � � � � SG©« Q�NPHJI�¬¼­5NG½hHl¯?N�H   � ���� � � �� ����� � ��� �»��������� � ���������� � �� ��±�������� � ������±²³�´��²³ � � � ����°���´��²³�°�´   ^=� � �~��(�(y/�J�$�L,$,$,/.U4�2�62(z47�ÿ~/.Uz5�$��.���9)07���8&¾$z�6��6L2,¿5v�2�87�2�65�¹À`Á,Â,ÃIÄIÄ�Å<� � � � ���� �� � �r�C����ͦ ����¹������ � �Y� �� �������� � � � � � � � � � � � ���n�� ¦ � �� � £��¥� ���� � ������� � �=����������� � � � ��� ��� ��� �����=� � ���=� ��� ��� � � ��� ����� � �H��� � � ���� � ���Ð�� � ��� �� � �n �� ����� � � � � ���/� � � � ��� � �!�tÆÇ�ÈÇ� � É ü2-ÿ^[* � � � ��� � ����������¥� � � � � �:� �����Æ������� � ������£��¥� � ¤ ��� ¦ ������������� � ��� ��������¤ �������ì�Í� � � � �lË � � �N� ���� �� � ~��$�(y/�:�$�¹µ�z)0�43x�.·¶$4�z¹¸�.�vIº��<. 2,»v×�)y�4�9��(~765�=�������� � � � �x� ����� �

Page 31: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ��±��

��

��

��

æ ðPóPçê�ëJê {�ì�õ7ù�J$øÿõ�ð�øLó�ðPùò�J�è$í(õ�ð�ó�çÿõ×ö�| óPç[J$ù5ø=èð�ð�õ×ñ�øLóôé)øLî K õ�ð ��Q��� �������»�� � ����� �  <ÑN�}� � � �� �� � ���n� �� �� � � � � ��� ��� � �H� ��� � ��� � ���� � � ��� � � �� � � ���� � � � ���Í� � � � � � ����� � � ��� ����� �� � � ��� � � � ��� ~��$�(y��J�$��,$,(,/.�y�4�9�(~36�2(z54×�)~ô.�8�2����� · � ��� ��� � � � ���� � �.Ë � � � ������� ����� � � � � � �.Ë � � ±�������± � ����´������ ��¥� �[� �A���� � ���� �� ����� � �A��� � ����� � ��������g� ä���������� � � ����������A���� � ���� � � � �:���� � �������� � �������®���~��$�(y/�:�$��,$,$,�.�62�µ�2�8$��2528�9545{(v36ÿ��.���9ÿ03�0�¶~��$�5y/�J�$��,(,$,/.U43xL2�62��$6�xL2�µ$2�.��L9)03�  

� � � ��� ��� � � ������������ � � � � �W�$���� ��� ���� � ����� � �Ó� � � � � � � ����� � � � ��������� ��� � � � �� ������ � � � � ��  � ¦Ö� � � ���PË � � ±�������± �� � �þ �� ����� � ��� � ����� � �� ����� ¦ � � � � � � � � � ���� ´�°�� � � ��u � �� � ��� ¦ ����� � �¶Õ ��� � � � �P�����Æ� �Ê ��� � � � � �R� � Ý   3 � � � ��� � � ��� ��� � � � ��� £� ��� ¤��� ��������¤ � � ��� � � ± �� ����� � �N���� � ����xË � � ±�������± � ��� ��� � �xË � � ���^a¥� � ��8� � � � � ����� � �s �� ����� � �g��� � ����� � �� �w��� ��� l¥� � å ³���³�±�¤¾������´�¤ � ������� ¤ � ´���³�´ ¤¾� ��� � � ¤a����°�´�´�¤��³�±���±�¤���±�°���� ¤�����³�����¤�����°�° � ¤�³�³ � � � ¤�³�° � ��±�¤���³�±�°�±�¤�����³���´�¤�°�����°�±�¤�°�±�°���± � °�´ � ��´  *^�������������¥� � ¤ � � � � ��������� ��� �����^� � � � ��� ��� � �� � � ��� � � � � � �g��� � � ������� � ����� � �ÕÖ�� ¦ � ��� � � � � ��� �� �(� � � �Ò� ����� �}� � ��� ��� � ��Ë � � � �2���p�� � ������ ��� ����� � � Ý åÛ × ­ ù Ü<ç «IÊ ï EÆô � í=ØS­ Õ �  $r0� � � � Ý ¤ × ù�ù × Ü<ç « ß � ß õÿE � õ ØS­ Õ?u� ø� � �� Ý ¤ Û�Ûr­GÙ ­¾ç « ï�ï � ï�í ô ØS­ÕÖ��Ë � � � � ­N�K�¯�Ë�N5­ Ý ¤ × è ­ æ�è ç « ß�ß � í �~� Ê Ø ­ Õ �  7*x��Ì.���Æ������� Ý � ù Û�Ü × Ü/ç « ß õ�õ í ô=E íNØ ­ Õ ·  êY� ����� Ý ��� ��������¤ ù Ù ù�è ç « � � �n�{� � ô ØS­ Õ ä¸  � � ��Ë � ���W� Ý ��� ������� ¤ «�Ú Û�Ù�ÙPç « í EÆõ � �{� í=Ø®­ÕÖ��Ë � � � �¦Ì N�M�QZÍ/Hl¯�QGND³´¯�Î Ý ¤ « Ü × ù Ù0ç « ï�ß Ê í � õ�õ Ø(­ ÕD*$ �r � ��� � Ý � Û Ú Û�Ü^ç «�õ�õ�ô ß � ÊGõ Ø(­Õ 丠 ãx� �������� Ý ��� ��������¤ ­ 貫 Û è ç « ß õ � ß E � EKÊ Øò­ Õ?i� (s ����¦ � � � Ý � Ù�Ù ×�× ­¢ç « í � õ ß ô�õ�ô Øò­Õ �   � � ��� Ý ��� ������±   � ��� � � � � � � � ��� � �� �.� � ° �� ����� � �é� ��������¤<� ��� � � ¤H����°�´�´�¤��³�±���±�¤P����³���´ � °�±�°���±  Þ^=� � � ~$�$�(y/�J�(��,$,$,/.�62�µ�28(��2(2�8�954({5v36)�ô.���9)07� � � � � � � ����� ¦ � �� � £��¥� ���0ÕÖ��� � � ����� � � � ��� ��� ���¸� � � � � � ��������� � � �N� � � � ��� ��� � Ý  ¡�������� �Ê ��� � åx· � � ���$Ë � � ±�������± �� � � �� ����� � ��� � ����� � �� �w��� ¤ ��Ë � ���P���������� ���Íì���Ó� � �n �� ����� � ����� � ����� � �� ����� ��� � �������N� � ��� � � � � ¹�� ��� � �Ü Ú²ù�ù Ü¸ç « � Ø]­ b æ à � � � Ù á

Ü Ú²ù�ù Ü¸ç « ß Ø]­ b æ à � � � ù áÜ Ú²ù�ù Ü¸ç « í Ø]­ b æ à � � � Ü�áÜ Ú�ù�ù Ü¸ç « ß�ß Ø]­ b æ à � � � ­�Ù áÜ Ú²ù�ù Ü¸ç « õ Ø]­ b Ü Ú�ù�ù Ü¸ç « õ ï Ø]­ bðæ à � � � ܲ٠áÜ Ú�ù�ù Ü¸ç « ß � Ø]­ b æ à � � � ­ è áÜ Ú²ù�ù Ü¸ç « ô í Ø]­ b æ à � � � Ù�Ü�áJ�

Page 32: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

¡ ¢¤£¦¥§�¨ª© « ­ ÏÐ ~*|ÒÑ ~ ² Ó z °�{Ò~ ² ¸|¤¸ � °eÑ |�~ � °g� � � ¸ Ô�� � � | Õ� { ° � �

^=������� � �0����W����� ��� �Ê � � � � � � � � ��x����� � ��� � � � �g��� �� � � � � � � �8��� � �� � � � �0 �� ����� � �� � � ��� � � � � ��� � � �W��� � � � �n� � � � =£� � � � �»� � Ë � �/ � � ��� �Ê � � � � ��  � ������� � �^Ë � �/� � �Í��������� � � � ��� � � ��� �� � � � � � � ����� �� � � ��� ¦Ö� ��������� � ���g��� � � � � � � �� � �»� � �Y����� � � � ������ � � � � Íú� � ����� � � ¤ � ��� � ���� � � � � � � � Ë � � ��N �������� �� ��� � ��� � �/� � � � � � � � � � ������� �� � ������� �  mG¼=» o 58;C?®5$>ü46?®5!Â�B�L�p58D�B�5$>ÑN� $�½=A�¼HÁ®�� � � � � �W� �� �9Ö � � ��� � ��� � � � � � ��� � £��¥� �Ø× � Ö � Ö � Ö � � ������������� � ] Æ Ö � � � � ����� � � ������� � � � � ������ � ����� åÙ � � � � Ë � � ����Ë � ��� clø É ø � Æ Ö ¤ c × à É ×T� á © à c × É á ×T�  Ù � � � � Ë � � ��Ë � ��� cÁÆ Ö ¤ c × ] © ] × c¶©Ñc ¤Ù � � � � Ë � � ��Ë � ��� cÁÆ Ö �P�����W��� É Æ Ö � � � c × É © É × cé© ]  

� � � � ���� ������� � ��������� � � c × É © É × cS��� � � Ë � � ����Ë � ��� clø É Æ Ö ��������� � �¸Ë � � �� � � � ���� oGÁ�ÀÐA�C � C ¿Dá�Á���� � k�Ä�ä�¿ � ÇÈÁ   3 � � � � � � � ��� � £��¥� �Z× ��n�Æ� � � � Ø ��������� � �<Ë � �Ö �� � � � � � � � � �������� � �¸�Æ� � � � � � � � ������������ � �� � �� � ] ��� �   � � � � � ��� � £��¥� � ���

Page 33: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ��´��

��

��

��

æ ðPóPçênx�ê ëJìÌçÿõ×øLé=õ�ð�ó�é=õ×ò�î ö úõ�K_î õ�ð �*y�Æ� � � � ç �Æ� � � � � � � Ö ��� � � � � � � � ���� � ����� � ���� � �8���� � � � � � � � ������������ � �� � �� �] � � �ª�� ªsx������� ¤ È @�à e á �� � � � � � � � � � ����� � � � �������� � � à È @�à e áá Ë �� � � � � � � �� � ����� � � � � ���� � ����� � ���� �  Ñx� � ÇÈÄ�ä�oGÁ²ÀfA�C � CÖ¿|á²ÁÁoGÁ²À A�Ç�¿ à � Ã�Äò�� � � � � � � � � � ����� � � � ���Ó����� �ÛÚ � � ���� ���� � � � �� � � � � � � ��� � £��¥� � ç^� Ú � Ú � Ú � � ���� ¦Ö� ������ � c ç�à É ç � á © à c ç É á¢ç � ¤c ç�à É Ø � á © à c ç É á�ØÔà c ç � á ¤ c ç É © É ç c�� � � � Ë � � ���Ë � ��� c¢ø É ø � Æ Ú � � �î������������ �­ Æ Ú � � � ­¢ç c:©Ñc¶� � � � � � � � cÇÆ Ú  <sx������� ¤ È @rà e á �� � � � ������ � � � � � ����� � � � �� ���� � ���� Ñx� oGÁ�½Î¼<Á(�� � � � ����=� � � � � � ����� � � � � � ���� � ��� � ��� � � � � � � � � cÞÆaÜ � � �c à©@æ �P�����W��� É Æ�Ü � � � c ç É © ­  µä�� � ����� � � �����¥� � ¤ Ü ��ë� � ���� � ���.� � � �� � ��� � £��¥� ��� Ø � Ü � Ü � Ü � ç � Ü � Ü � Ü ¤ ��� � � � ¦ � =£��¥� � ¬Ý� Ü � Ü�é� � ���¸������������ � �¸��� � ����� � ���/����������� � �8�Æ� � � � � � � � ���é� � ����� ¦Ö� ���� � � � �/�� � � �������� � � � ������ � ����� å

c Øðà É Ø � á © à c Ø É á Ø �c Ø æ$©Ñc

c ØþàÖ¬ c á ©µæc Ø É © É Ø c

c à É Ø � á ©Ñc É Ø c �c à É � á © à c É á �

c ­ ©Ñcc É © É c� � ��� � � � � � � � � cÁÆ9Ü ¤ c à©]æ ���������� É Æ9Ü � � �c É © ­��

� �é�P����� � � � �ª� � ���:� � ���������� � �é���S� � � � � �é��¥� ��Ý ¤ 6 ��Þ» -^^��� � �ª � � ��� �Ê � � � �� ������� � �NË � � È @Èà ¯ á � � � �n���� �� � �ü� � � � � �� ¯ �� � ���� � É ��������� � � � ��� � � ��� ��� �� � �������� � � � �����¸� � � � � �»ì���Ó� � �� * � � � � �F� � � � � Ü ¤ ����ì ��� � � � � ����^� � � � � � ���� � � � � � ���� � ��� Ü c Û,� � � � ������ �¶� � � �W� �� � � � ���P� � ��������¥� ����� ��¦ � ��� � � © c � Ø c ß Û Ø c ô Û ô Ø ç�ç�ç�Ø c)(3Û ( ¤�Æ� � � � � � �N��� ¼HÁLä�¿�Çß}Á�À�¿ Á� � � �@� � ��ì�������������^��� Ü   � � ��������/Ë � � Û �� � �s� �Ê � ��� � �¦ � �� � ���»a¥� �^� �2������������ � ��� Ü É ��� ��� � �¢������� � ¤ � � � �N� � ����¢¹� ��� � ����ì � � � �Oá A�Ç |o�0� Á¼<Á)ä�¿�ÇÈÁ²À�¿ � ä � � Ü � Ü� �� � à � á ©Ñc � Ø c ß � Ø c ô � ô صç�ç�ç�Ø c)( � (

Page 34: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

X � æ ç=è(éPê~x�ìÌçÿõ×øLé=õ�ðÃL�î ö$î J(õ�ð�óôøLó�çLî é)øÿõ�çLî í�è(í�óÃÓ×ù)è(í�øFNè9J$î ç=è� � � �n����º�Æ� � � � � � ��� �  Bs2���������=£��¥� � ������� � � � � ����¢¹� ��� � � � � ��¦ � =£��¥� � � � ���� � Í��� � � �� � ���º��� � �W��� � � �/� ��� � � � ����¢¹� ��� �ª� ©YÛ ¨g¬ ÛÁÆ à È @rà ¯ á�á5c ÛI� å ���W��� � � ����¢¹� ��� �ö��a¥� � � � � � � ���g�� � �0� � ��ì������������^��¥� � a¥� � � � � �x� � � � � � � � � � � Û�Æ�È @�à ¯ á ����� � �� à Û á ©µæ�� ��� � � ��Ë � �� � �� � ����� � ��� ó ���� � �� 

� � � © > c > Û > �Ûß © > É > Û > ��¥� � � � ����¢¹� ��� � �g����ì����� � � � Ø ß © > à c > ØÉ > á Û > � � ß © > � >UÛ > � ��� � � © > > � Ö �3� c)> É Ö  t*^��ì ��� � � �5$�½ � A ��� � � ��� � �� � ����¢¹� ��� �¦� © c � Ø clßJÛ Ø c ô Û ô Ø,ç�ç�ç�Ø c ( Û ( � � � � ���� � � eÐ��� c ( à©�æ � � �c*=Щµæ�� � � � R � e É ����ì ���� � � � �� � � � � � � � � � � � ����¢¹� ��� � � � � � � ��� � � ¬��  ��"$%& � ���* r � ½ � Ô$A � ¿�ÂPÔ�A�ÄG½g¼<Á)ä�¿�Ç�}Á²À�¿÷Á�ª�þÄ ß CÎÄÆÀªÁ� ��� � à � ß á © ��� � à � á¾Ø��� � à ß á Ä ��� � à � Ø ß á û � � � � ��� � à � á ø ��� � à ß á � 1� "$%� ó �� �����   #

� � ���������Ë � �¶����ì ���� � � ¬�� Ò ep� à ¬�� á¾Ø2à ¬��ðá © ¬�� Ø e © ¬e� ��� � �� � � � eN  â ��� � � � � ��¦ � �� � ���/����������¥� � � � �º����W� � ��� Ü c ÛI�  C "$ü×'L"(%Y � � � . Ä<; � ÀàÚ ø > ÆáÜ c ÛI� l > à©,æ 1M&CÇ3C�0� ÁéÄ � ¿�Â�CúÄÆÀ âA�Ç ¿?o�Á�Ân¼HÁLä�¿�Çß}Á²À�¿ Á�Âß øwâ]Æ9Ü c ÛI� oGÁ�ÀãÚ © ß >ëØ â Ä ��� �£âfÒ ��� � > 1� "$%�ãs(����� � ���� � £��¥� �A�� ¦ ����� �^� � �<���� � £��¥� � � � � � � ��� Ú   � �»��� � à Ú á Ò ��� � à?>Yá ¤� � � � � � � ß ©[æ ¤ â.© Ú   ê � � � � � ���� �� �� � ¤ �� � � � eS�TR � � � � � � �¢��� Ú � > �N��� � � �c � É � �/� � ��ìÈ�����������/���é� � ��� � �Ó� � � � � � ���������� � � ����¢¹� ��� � ��  ·<� ����� � �g�������������Ú © à c @ É á Û ( Þ^=[>®Ø Ú ß ¤ � � � ��� � à Ú ß á Ò ��� � à Ú á   · ��� � ��� � �� ������:���:���� � £��¥� � ¤���� � � Ú ß © ß ß >8Ø â ¤ � � �c��� � à â á Ò ��� � à?>Yá   ó � ������ � ß © à c @ É á�Ø Û ( Þæ= Ø ß ß���� � � Ú © ß >:Ø â  <s � �������� � ���/��� � � � ¦Ö� ��������������g� � ����� ��� �������� � ��  #s ����� � ���� � £��¥� � � ����� � � � � � � ��� ��:� � Ë � � � � � � � ����� ��� � � � �»���ë����������¥� �� � � � �  ¸ÑN� � � ����¢¹� ��� �ä� ���� ½ � ¿�å c Õ �   ��  ¤ � à c á ©,æ Ý ��$��� � ����������� à Û ¬ c á Ó �  Ì � ��� � ��� � ���������� ¤ � à c á �� � ������� � � � ����������¥� � ��� � � � � Û ¬ c  

û 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü � � X æ À ¼<Á)ä�¿�Çß}Á²À�¿ Á9�]Çk0� ÁëÇ3A�ä÷Á®Ã�Ĺ$�½ � A e CÎÄGÀ ÇrÁAÀ â��� ¿�ÀéÁ e½ � â� å²ÄGÂi1� "$%�¦sc����� � ���� � £��¥� �µ�� ¦ ����� �ë� � �g�� � � £��¥� � ���+e © ��� � à � á Éa� �g� � � � �Ìe ©îæ�[e © ­ ��¥� � �������� � ����  � � � ����������[e Øþ­ � � �Ê �����x�����W������ � � c ß ø �=��� øPc)( � ß �����¥� �ä������� � � �� ���� � � � ��� à Û ¬ c)( � ß á ÉI� @Èà Û ¬ c)( � ß á ������ �¸� � � � e ¬ò­ �x� � �Ê ����� c ß ø �=��� ø�c)( ¤� � ���� � ���������� � � ��� � �� �����¸���¸�� � � £��¥� �   #

Page 35: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � � ���

��

��

��

æ ðPóPçênx�ê ëJìÌçÿõ×øLé=õ�ð�ó�é=õ×ò�î ö úõ�K_î õ�ð X �s ��� �����Ô� � ����������¥� � � � ��������� � � � ����� � �Ô�� � �������� � �Ó� � ��� � ��� � ���� � £��¥� ���¦ ���Ó� � � � � � �&È � � ��� �Ê � � � � � ������� � � É ��������� � �ªË � � Ü c ÛI� Õ � ������� � � � � È Ý �� � �Ã�Á²À â� Ç�¿÷Á ÄLA�oJä�¿ Ã�¿ � ÇÈÁ  ´* � ���� � � � � ��� �È� £� � ������� � �� � �� � É ��������ª����� � ��� � � � �¶l¥� ������¥� � ���������� �� ��� � � � � � ��� � � � � � �� � � � ������� � � � ������� �  *^��ì ��� � � Ú Ó > ��ë���������� L � � � Ú Lc© > �.��������� � ��Ë � � � � � � ����¢¹� ��� �ç���� � � � � � � � � �NË � �³e �[æ �� ¿�½½�Ä�Ã×A�CLâ� á²Ä�ä ���/�� � �x��������� � ����»� � � � �n��¹��� � � � � � ��� eÕ � ������� � ������ � ����� � � �x� � � ������� � ���� �� ����� � � ����� � Ý   � � � �����Ó� � �����¶���Y� � � �n������ � ������ � ����� � ¤ � � � � �� ����� � � � ��� � � � � ���£��¥� � � � � ��� �  

û 'Lü×ý�ü7�=þP�����ü � �%EF � � Ã�Á�ÂN¼<Á)ä�¿�Çß}Á²À�¿ Á�ÂgÇk0� Á¶Ç3A�ä Á�Â�Ú ø > ÆNÜ c Û,� Ä � ¿�Â=CÎÄÐA�À âA�Ç�¿DoGÁè ÆaÜ c ÛI� � � ÀéÄGÇÈÁ�Â8Ã�Ä$ÀfA�äDC ¿ ¼�ä�¿Do �)|oq0� Á$¼HÁ�½�oGÁ²Ç�Â�C � Ç3CÎÄ5��C � ä/Ô�A�Ä�è Ó Ú�lÈè Ó > Ä)lȼ � ½ �CúÁ�Ã�Á L ÆpÜ c ÛI� l»ÂÆÄ L/Ó Ú Ä L/Ó > ÄÆÇ3C�0� Á L/Ó è�1D��ä(âÄÆÀ"Ã�¿�ÂÂGÁSÄ � ¿�Â=CÎÄGÀ�é ø�êßÆÑÈ oGÁ�Àè © ÚQé ØY> ê 1� "$%� *^��ì ��� � � � à Ú ø >»á © � ÚQé ØÑ> ê9� é øwêÑÆëÜ c Û,�f� �.� � � � � � � è ��� � � � �� �Ê ���� � ��������� � �g������������ � �0a¥� � � � � �g��� � à Ú ø >»á É¢� ������� � � � ����� � ��W��� � £��¥� �]��� �� � � ��� Ï� � ��� � � � � ��£��¥� � �� ���  #·<� ����¢¹� ��� � �r�������� � � �Ê �������r��¥� � � � � � �� ����� � � � ����� � � å¾� � � � � � � � � ��� � � ����¢¹� ��� � �� ��ö��g� �� �Ó��� � � � ��� � � � � ����¢¹� ��� � ��������� � � �Ê �����¾�� � � � � � ¦Ö� � � ����� � ¦ � �� 

û 'Lü×ý�ü7�=þP�����ü � �fe^ . Ä<; � Àì�ÚA�À ¼HÁLä�¿�Çß}Á²À�¿ Áë¿�½½�Ä�Ã�A�CLâ� á²Ä�ä»Ä¶ÂGÄ<; � ÀíÚ ß�ø ����� Ú = ÆÜ c ÛI� 1 . Äe� Ó à Ú ß ç�ç�ç Ú = á ÄÆÇ3C�0� ÁQ� Ó Ú > ¼ � ½ �?� ä@$7A�ÀBA�l ­ û A û e 1� "$%�+sN �� � � ��� Ï� � � � � � � � �� �� � ��  �   #â ��� � �»� � � �»���� � �º��� � ����� � ��� ¦Ö� � � � � £��¥� �]�� ���� �  C "$ü�'L"$%& � � å î Á�Ã�ÁS¼<Á)ä�¿�Çß}Á²À�¿ ÁS¼<Á�Ã�ÄSÂÆÄG½ á � CúÁ²½ � Ã�Á oGÁ²ÀªÁ A�À ¼r½GÁ�Ã�A�CÎÁ]Ã�ļ<Á)ä�¿�Çß}Á²À�¿ Á�Ân¿�½½�Ä�Ã�A�CLâ� á²ÄG¿� u Ä�Â�C � á � CÎÁ�½ �)|oq0� Á âÄ âA�Ç�¿Do �V� ÀªÄÆÇrÁ�Â0à � Á²½�Ã�ÄGÀsÃ�Á� á � CÎÁ�½GÄ�Â[1� "$%� sN �� � � ��� Ï� � � �� � ����� �^¦ � � � ������ � ��� �g� ���Ó��� ������� � ¤ � � � � � �g� � � � � ��£��¥� �� ����� � � ¦Ö� ������ � �� � � £��¥� � � � � � � � � � � ����¢¹� ��� �   #� �¢�P����� � � � �¢� � ���l���������������H��� � � ����¢¹� ��� � �¢�������� � � �Ê �������a��¥� �^� �H� ��¦ � �� �gÛ ¬ c ¤cÇÆ¦Ü   3 � � � � ��������Y��¥� �¸� � âA�Ç�¿DoGÁ� � � ����¢¹� ��� � �=�������� � � �Ê �������=��������� � �YË � � � � � � � ��� � ä%$�Ä�k�½¿Do � ÀªÄÆÇ3CÎÄ á Ä)ozï � Ã�Á   ·<� ����¢¹� ��� � �a��� � � � � � � � ��¥� � ��������� � � �Ê �������a��P�»� � ���������ga¥� � ��¹���º� � �Ê ������ � � ��Ë � �� � �� � ����� � ��� ó ����� � �Y� � � �»���� � �����Ó��� � � �$¦ � ��� � � � £��¥� � ����������� � ���� � � ����¢¹� ��� � �� C "$ü�'L"$%& � � Q s. Ä�; � ¯ ¼r½�¿�ÀªÁ u ÄÆÀ à È @Èà ¯ á�áDc ÛI� CÎÄGÀéÁ�Â

Û ¨ ¬ Ûª©YÛ à Û ¬ ­�á�à Û ¬ « á�ç�ç�ç²à Û ¬þà ¯ ¬]­�á�á:�

Page 36: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

X7� æ ç=è(éPê~x�ìÌçÿõ×øLé=õ�ðÃL�î ö$î J(õ�ð�óôøLó�çLî é)øÿõ�çLî í�è(í�óÃÓ×ù)è(í�øFNè9J$î ç=è� "$%� � �<� � ��� � � ����¢¹� ��� � �<� � �<� � ���H� � � � �<� � ��Ë � � £��¥� � ��¹��� � � � � ¯ � � � � ��ì������������� Û ¨ ��¶�¸ � �N� � ���N� � � � �� �sx������� ¤ � ��� ¦ ������C£� � ���� � � � � ���� � �x� � Ë � � ¯ � � �N���� � � � ��� ¯ö� � �� � � å � ¤ � ¤  � �  ¯ ¬ ­   · ��� � � � � � � �� �� � � �������� � � ¤ ���W� � ��� ¦ �����=£� � ������������ � � � ����¢¹� ��� � ����� �   #

s ��� �����g� � ��� � ����� �:� ����� � ����� � � � � � � � �ª� � � � � � � ��� � ����� � ����Z]����� � åÛ ¨�Þ<ß�¬Ð­ © à Û ¬î­�á�à Û ¬ « á�ç�ç�ç²à Û ¬}à ¯ ¬2­�áá ��� à È @�à ¯ ááDc ÛI� ¤ � � � � � � ��ì���������������� � �� ������� �� ¬8­ � � � � � � ����Ë � ���Æ� � � à ¯ ¬]­�áwl � � � � � � ��������Ó� �  ·<� ����� � �n����ì ����x� � � � � ¹�� ��� � �P��� Ü c ÛI� åÚ b > à � � � � á§ð0ñ � Ó à1>é¬ Ú áJ�sx� � � � � ������ � ����� �N�� ���� � �n���$� � � � � ¹�� ��� � � � � �����@����n�� � � � ����� � � � � � � ������¸ � � �� � ����P��� � � � � ����� � �=����ì����� � �ÒË � � ��������� Ü c Û,� @Èà � á � � ������ �^¦ � ��� � � � � � ����ì �Í��� � � È @�à e á É ����� � ���� � Íú��ªË � � Ü c ÛI� @Èà � á �� � �6� � � � � ��� � � � �������AË � � � �ò�ü����������� � � �Ê �����  · � � ��������� � �=Ë � ������� �Ê�� � � � ��� ��� � �<�P����� � � � �=���^� � � � � �¢ì ���� � � � � ����Ð��� È @rà ¯ á å� � � � ���� � ��¦ � � ����� � �� ��� � Ë � � � � ����� � �a� � �W��� � ���r� � ���a� � � � � �¾� � � � à È @�à ¯ á�á5c ÛI� @Èà � á� ��� � Æ à È @rà ¯ á�á5c ÛI� ��¸�������� � � �Ê �����   ·<� ���P����� � � � ¤ � � � ����¢¹� ��� � Û ô Ø Û Øð­ ��¸�������Í� � � �Ê �����È��� à È @Èà « á�á5c ÛI� � Ë � �0 � � � �������Ó���0� � ���� � ��� � � � � � � � ��� ³ ������������ � � å ��¤� ¤ Û � Û Ø®­  Bsx� � � ��� � £��¥� ���<��� È @rà « á � � ���� � £��¥� � Û ôg© Û ØS­ ����ì ���� � � � � ��� � £��¥� ����������¸� � � � � ÕÖ���� � � � � � � Û Ø]­ � � � Û W Ý å

0 1 X X’

0

1

X

X’

0 1 X X’

1 0 X’ X

X X’ 0 1

X’ X 1 0

+ * 0 1 X X’

0

1

X

X’

0 0 0 0

0

0

0

1 X X’

X

X’

X’ 1

1 X

*x� ¦Ö� � � �P�����W����� ��� à È @rà ¯ á�á5c ÛI�l� � ����¢¹� ��� � �¸��������� � � �Ê �������g���éË � � ��Ë � ��� � � � � �� � � � � � � � � ì ���� � � � ���/�����N� � �W��� � ��� � �����W� ��¦ � ��� �  =¡C � ��� � ���� � �n����� ����� � �Í�W��� � £��¥� �$� �ñ�� � ���� � Ë � �¸��� � ���ÓìÈ� � � ��� � � � � �»ì���Ó� � �� C "$ü×'L"(%Y � � j & � ¿�Â�CúÄfA�À¬oGÁ²½ú¼<Á h�Ç�¿|CÎÁªo�Á²À Í Ä�ä ÄÆÀªÄÆÇ3CÎÁ�Â$ÂGÄéÄ�ÂGÁ²ÀªÄÆÇ3CúÄ�ÂÆÄ ÍâÄ:à � á Á²½�À � ¯ ( ¼ � ½ � � ä%$×A�Às¼r½�¿�ÀªÁ ¯ Ä � ä%$×A�À ¿�Ç3CúÄÆ¿�½GÁ¶¼<Á�¿|CÖ¿|á²Á e 1Ø�hä(âÄÆÀFÃ�¿�ÂÂGÁ(là � Ã�Á�Â�Ã�Á�¿� oGÁ�½Î¼<Á�Â/h Ç�¿DCúÁ�Â Ü ß Ä Ü ô oGÁ�À ÁëÀªÄ�Â�ÀªÁëÇ âA�ÀéÄG½GÁ®Ã�ÄéÄ�ä ÄÆÀªÄGÇ7CúÁ�Â�Ä � ¿�Â=CÎÄ

Page 37: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

æ ðPóPçênx�ê x�ì�õ7øLí�ó�ö5ð�óôø=è2Nî ó)óPð�éÿøLî K_î J$î ï�èð X7XA�À � âA�Ç�¿Do � k�¿ ;�Ä |o�0� Á � � ÜNß � Ü ô oGÁ�À � à c Ø É á © � à c á�Ø � à É á Ä � à c É á © � à c á � à É á¼ � ½ � Ô�A � ¿�Â�Ô�A�Äƽ clø É Æ§Ü�ß 1Ñx� � � � � � £��¥� � � � � � � �����������Ó� �g� ����� � ��N�Æ� � � � � � ��� ¿�ÂGÁ²ÀªÁ²½�h ÂÀªÁ �N� � ���P� � � � � ���¥� � ����� � � ¿�ÂÆÁ�ÀéÁ�½ á Á� ���¶����������¶�������¶������� � � ��� � � � ��ì��� � É � ��� ���� � ���Ë � �:� � � � � ���� � � � � ¦ � �¸��¥� � � � � � ��� � ���� � �$� � �¸ � �����$� � �¸������������ � �� Ç^=������ � �¸� � ���¸� � �Æ������ �� � � ¦ � �� � �n� � ����� � ������ � �n���/� � ���� � ����� � � � � �Yì ���� � �� m�¼Pm � ;=M.4xLA>ü4i;=KÁÅôKõ 4N>s?A;CB�DEBÆ9=B�¾¸K¸>

* � � � �¶e øPc&ÆßÈ � � �+e �Ðæ � à clø e á © ­ ¤ ����ì����� � � � Á�½�Ã�ÄÆÀýÃ�Ä c À âÁ�Ã�A�ä Áe ¤ ���� � � � � �A� � � � ��� (Gc ¤ � � � � ��� � �S� ���� � �$��������� � � � �������� � � � � � c : b ­à � � �fe á  �sx � � � ��� ������� ¤ ��� Üö¦ � � � �@� � � � � ì ���� � � cÊÆ�Ü ¤ c à©]æ ¤ ����ì ���� � � �Á�½�Ã�ÄÆÀüÃ�Ä c ÄÆÀ Ü ¤ ���� � � � � �$� � � � �Æ�*ö c ¤ � � � � ���� � �8� ���� � �n��������� � � � ������� � �� � � c : © ­ Æ§Ü É ����� � � � ��� ¨ cª© � ���I÷ ~ ä ¨ å c  ê � � � � �������� c X bãc X U à � � �fe á ��$�$� � ��������$��� ] b ] W à � � � � �Æ� (Gc á É � ��� ���� � ���� � ���/¡ � ����� ¤ � ��� (GcVÓ \ à e á  *^������� � ��Ë � � c �� � � � ½ � ¿�å�¼r½�¿�À�¿|CÖ¿|á � À âÁ�Ã�A�ä Á e(�� � �Æ� (Gcª© \ à e á  �sx � � � ��� Í�������� ¤ ��������� � �<Ë � � c �� � � � ½ � ¿�å=¼r½¿�À�¿DC ¿Dá � ÄÆÀ Ü ��� � ���*ö cª© Í ¬ë­ ¤ � ���ÌÍ © Ó Ü/Ó�� � �� ����� � ���^������������ � �C��� Ü   ·<� �=�P����� � � � ¤�� ��N� � ��� � ������������ � � �� � � � � � � � � �l¥� �e��¸� � ��� � ������Ó����� � � �� � � � � ± Õ «�õ!b ­òà � � � Ü�á Ý   â � � �n���� �� ¦ �� �����a�������ì�� � �NË � �l¥� � �P�����W���é� � ��� � ������Ó����� � � �� � � � � � � � ���$�� Û �� �Ê � � � �/�����¥� � Û ô b ­öà � � � Ú á  ·<� ����� � �Y� � � �n����º���������^Ë � � c ��g� � ��� � ������Ó����� � ��� �8¦ � C£��¥� �È @�à \ à e áá*� à È @Èà e á�á Ë

ÏO�� c Ô���

È @�à Í ¬]­�áF� Ü ËÏ��� c Ô

��»�� � ��� � � �   êY� � �^� � � � �Ê �� � �n� � ��� � � � � �Ê �� � ��¥� � � � �W� �� � �¢ì �Ó� � �=� � � � ������� � �� ����� � ���ë������������ � � ¤ �Ô¦ � =£��¥� �Ð��:�� � ��� � � � ��A�ë� � ��������ë��:��� � ��ë� ��� �� � ��� � � �  ·<� ����� � � � �������Ò���������CË � � c �� � � � � � ��� � ������������ � � �� � � � � e �����N� � ��������n�� � � � �� � � � É Æ à È @rà e áá Ë Õ ��� � � � � � � � � É Æ§Ü�Ë Ý �P�������� Ï � � � c Ô © É  Ñx�"� � � � � �� ��� � ������� � � � � � �G��������� � £��¥� � ���.� � �Ê ����� � ������������ � � ���Ë � ���� c ��ë� � ���� ������Ó����� � � �� � � � � ec� R Ó eÒ�����¥� � c ��A� � ��� � ������������ � � �� � � � � Rö  � ����� ������ �

Page 38: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ��³��

��

��

��

X E æ ç=è(éPê~x�ìÌçÿõ×øLé=õ�ðÃL�î ö$î J(õ�ð�óôøLó�çLî é)øÿõ�çLî í�è(í�óÃÓ×ù)è(í�øFNè9J$î ç=è� �¶� � �� ����� � ��� £��¥� �(��$� � � � �G��������� � � � �x� � � � �����N���[e � � � � � �xË � � ���N���������� � � � � � ���� ������������ � � �� � � � � eN  � ���W� � ���£��¥� � � � ���� � ����� � �lË � �C� � � � � � � � � ì �Ó� � � ��������Y� � ���� ������������ � É ��� � � ����� � � � �Y�P�����W���N� � ��� � ������Ó����� � � �� � � � � ¯S� � � � Ë � � ��Ë � ��� � ����� � ¯  · ��������� � � � � � ���������� � ��� � � � �����Æ��¥� � � � � ��Ë � �� � ��� � ���� � ��� ó ����� � � ��� � �� � � � � �Yì ���� � � åC "$ü×'L"(%Y � � y î. Ä Ü âÄ!A�À�oGÁ²½ú¼<Á,h Ç�¿DCúÁéÄ Í © Ó Ü/Ó ÄÆÇ3C�0� Á cÈø ¬ cë© æ ¼ � ½ � CÎÁ�Ã�ÁcfÆ¦Ü 1� "$%� � � cª©]æ � �� � ����� � � � ��� É � � � � ��� � � � � ����� �����N��� ��� � � � c à©µæ   � � � � �É ß ø ���=� É ø Þ<ß � �¾������������ � �la¥� � � � � �l��� Ü   � �¾������������ � � c É ß ø ����� c É ø Þ=ß ��¥� � � � � � �a¥� � � � � ���.�����W������ � � ¤ � � � � ��¥� �S� � ¼r½�âÁ�¼r½�¿÷Á�Â É ß�ø ���=� É ø Þ<ß ¤ ��� �� � � � ����� � � � � � �� sx�������

É ß ç É ô ç�ç�ç É ø Þ=ß�© à c É ß á�à c É ô á�ç�ç�ç²à c É ø Þ<ß á©Úc ø Þ=ß à É ß ç É ô ç�ç�ç É ø Þ<ß á� c ø Þ=ß © ­   #� � � � �:�����W���é��� � ����� � Ë � � � �Æ� ö c Ó Í ¬2­ ¤ � � � � ��� ������� � � Ë � � ���� � � � � � � � �� � � ��È @Èà e á   s � � ��������� � Ë � �g����� � ��� ��� �� � � ����H¹� ��� � �Y���� � �n� � � �n����ºË � �

Û ø ¬ Ûé©YÛ à Û ¬ É ß á�ç�ç�ç²à Û ¬ É ø Þ=ß á��� Ü c ÛI�  C "$ü×'L"(%Y � ���2���. Ä Ü âÄ[A�À+o�Á²½ú¼HÁ h�Ç�¿|CÎÁ¶ÄGÇ3C�0� Á�Ä � ¿�Â=CÎÄx½ � ¿�åN¼r½�¿�À�¿|CÖ¿|á � ÄÆÀ Ü 1� "$%� � � � � ¸� �Ð��������� � �l���ÌÍ ¬¶­ å ����ì����� � � + à á � � � �x� �� ����� � ���P������������ � ���� Ü�Ë ��� � �������   ê � � � � ������� > òøó ø Þ=ß + à á © Í ¬]­  � � + à á �îæ ¤ �� � ��c

ò � � ������������ � ��� Ü � � � � �Æ� ö c ò © ¾å/� �¸������������ � �­ øPc ò øPc ô ò ø �=��� c ò Þ<ßò ��¥� � � � �Ê �����0� � � � ����¢¹� ��� � Ûò ¬,­ ©}æ   êY� � � ������ � � ����H¹� ��� �����î � � �� ����� �� � � �Ê ����� ¤ ���W� � �=��¥� � � � � � � � �<� � �Ê ������ Vsx������� ¤ � �=������������ � �=��� Ü ���� �Æ����� ��¥� � � ��������� � �������� c Ô ò ¤ Ï`Æ à È @rà á�á Ë  �sx������� � � �� ���� � ��� � � � ����� � � ��� �Ê �������� � � �Õ+ à á ��¥� � � � \ à á   Ì � �8� � � � > òøó ø Þ=ß + à á © > ò�ó ø Þ<ß \ à á © Í ¬î­ ¤���� � � + à á © \ à á ��� � � � � � � Ó Í ¬ð­  »¡P� � � ������� � � � � + à Í ¬]­�á �µæ �¸�P����������� � �Ê ����� � ������������ � ��  #

Page 39: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

æ ðPóPçênx�ê Ñ�ì¶ø=è2Nî óLó�ð�é)øLî K_î J�î ï�è5ðôóiK ÷ ~ ä - å X es � ��� � �ë���S�P�����W��������� � � �Ê ����� � ������������ � �ª� �� � � � � ¯Ò� � � � � � � � � ����� � ¯ l¥� ����������� � � �S¦ �� ��� � � � ����� � ����� � � � � ��� ����� � � � � � ��� � ������������ �   ·<� � ��� �� � � � � � ¤� � � ���G� � � � ÍÎ��ªË � �ª� � � � ��������� � Ë � �ëa¥� �,�� � �iË � � ��� � � �,��é� � ��� � ������������ �S� � � ����ì �Ó� � �n� � � � ��������� ¯ ÕÖ� � � ����� � � � ���`sN���� Ý  6!ü×'Lü*798�'Lþ?ü � �����* � � Ã�Á�Â Û ÆNÜ�Ë ÄfA�À ¿�Ç3CÎÄG¿�½�Á�¼HÁ�Â�¿|CÖ¿|á²ÁÐÝeÄ � ¿�Â�CúÄ �ÚÆbÜôË oGÁ�À� � ©YÛ ÂGĸÄxÂGÁ²ÀªÄGÇ7CúÄ^ÂÆÄ Û ä ø Þ<ß å ~&�rùûú ä�� � ø Þ=ß å © ­ laÁ²Ç¾Ã�Ä Í ©ÑÓ Ü/Ó 1� "$%� � � Û(© � � �����¥� � Û ä ø Þ<ß å ~`�rù�ú ä�� � ø Þ<ß å © à � ø Þ<ß�á � ~°�rùûú ä�� � ø Þ=ß å © ­ � � ���� ø Þ<ß © ­   � � � � �� �e��� � � � Ë � � Û ä ø Þ<ß å ~2�rùûú ä�� � ø Þ<ß å © ­   � � � � � c � � � � � ���� ������Ó����� � ��� Ü � ÏfÆßÈ � � � Ûö©-c Ô   â ��� � � à c Ô á ä ø Þ<ß å ~&�rù�ú ä�� � ø Þ<ß å © ­ � � ����¶��� à Ý ø Í ¬ö­�á ÓPÏ � � � �� � �� � ������������c��������� � �rü ø¤ý � � � Ý ü Ø[à Í ¬ ­�á ýª© Ï  <s^�����Ûé©Ñc Ô ©Ñc ��þ7�Àä ø Þ<ß å�ÿ © à c þ á � ç�à c ø Þ<ß á ÿ ©�� � � ��� �ò© c þ   #

m�¼�Ù � KÁÅôKõ 4N>s?A;CB�D�BÆ9=B�¾¸K¸>@4xD �������� ����� � ���£��¥� � � � � � ���������� � ����� � � � �l��������� � � e � � � � � �¢Ë � � ���a����������P� � ��� � ������������ �� �� � � � � eN 

�ô"$%& � ��� � Ý. Ä<; � À ¯ A�ÀüÇ�âA�ÀªÄƽ�Ág¼r½�¿�ÀªÁ¶Ä c Æ È A�À � ½ � ¿�åx¼r½�¿�À�¿|CÖ¿|á � À âÁ�Ã�A�ä Á¯ 1�&PÇ7Cg0� Á c Á�A c W ©Úc Ø ¯ âÄx½ � ¿�åN¼r½�¿�À�¿|CÖ¿|á � À âÁ�Ã�A�ä Á ¯Hô 1� "$%� · ��� ��� ��¢¹� ��� � ��� � ��pn� � ¤ c W ¨ © à c Ø ¯ á ¨ b c ¨ à � � � ¯ ô á   � ��� � ���Æ� ���� � ������ � ����� � ��� ¤ � � ����� � �¶� � � � � c ¨ àb c à � � � ¯Hô á ��� c ¨�Þ<ß àb ­öà � � � ¯Hô á ¤� � ��� � ��� ¨ _ c à©ö¯ ¬ð­   êY� � � ¯ ¬]­ © � �Æ� ¨ cÇÓ � �Æ� ¨ _ cÊÓ \ à ¯Hô á ©ö¯ à ¯ ¬ ­�á ����� ���� � ����� � ��� � ��� ¨ _ c¶©ö¯ à ¯ ¬ ­�á   #�ô"$%& � ��� X . Ä ¯ âÄ[A�ÀüÇ�âA�ÀªÄƽ�Ág¼r½�¿�ÀªÁ&â� À/¼ � ½^Ä c âÄx½ � ¿�åx¼r½¿�À�¿DC ¿Dá � À âÁ�Ã×A�ä÷Á ¯HôÄGÇ3C�0� Á c âÄx½ � ¿�åN¼r½�¿�À�¿|CÖ¿|á � ÀdâÁ�Ã�A�ä Á ¯ � ¼ � ½ � CÎÁ�Ã�Á[Ý � « l×Ý ÆÁÈ 1� "$%� â ��� � � c ¨�Þ<ß b ­ à � � � ¯ á ¤ � � � c ¨�Þ<ß àb ­ à � � � ¯Hô á ¤ � � ��� c ¨�Þ<ß ©­NØ É � ¯ � � � É � àbüæ à � � � ¯ á   ^ � � � �8� � �W��� � � � � ���� � � £��¥� � Ë � � c ¨ \ ä ¨�Þ<ß å ©

Page 40: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ��°��

��

��

��

X×å æ ç=è(éPê~x�ìÌçÿõ×øLé=õ�ðÃL�î ö$î J(õ�ð�óôøLó�çLî é)øÿõ�çLî í�è(í�óÃÓ×ù)è(í�øFNè9J$î ç=è­CØ É Ö ¯ Ö � ß � � � É Ö b É � à � � � ¯ á   ·<� ����� � �n���������������

c ¨ \�� Z ä ¨�Þ<ß å © à c ¨ \ ä ¨�Þ<ß å á ¨© àW­CØ É Ö ¯ Ö � ß á ¨© ­CØ ¯ É Ö ¯ Ö � ß Ø è ¯ « é É ôÖ ¯ ô Ö � ô Ø]ç�ç�ç²Ø É ¨ Ö ¯ ¨ Ö � ¨© ­CØ É Ö àW­CØ è ¯ « é É Ö ¯ Ö Ø]ç�ç�ç É ¨�Þ<ßÖ ¯ ä ¨�Þ<ß å Ö � ¨�Þ ô á ¯ Ö � ô© ­CØ É Ö � ß ¯ Ö � ô

� � � É Ö � ß b É Ö à � � � ¯ á � � ��� � � � ��¹�����������^ �ë� �� �� ������ � ������ � ��¶� �:¦ � �� � ­�Ø� �ñ� �� ���� � � � ��� ¯  C¡P��� � �� ������ ��� ì ��� � £��¥� � �� � � �¸� ��� � ������������ � ���/� � �n�P� � � ����������� ¯ Ä � o�Ä)CÎÁ � � � � � ×<©[æ É ������¸� � � ��� ��� � � ������g� � � ���������� � ������ � a¥� � �������� � ���$����� � � � �x���� � �9O ¨ ô P bÐæ à � � � ¯ á � � ��� ¯ � « Õ ��8������� � � �� � Ë � � � ��������� � � � �� � ��� � �� ���������� ¯ ���� �Ê � � � � Ý   � ����� � �� � � �8��� c ä ¨�Þ=ß å ¨ [ y _ àb ­öà � � � ¯ � á � � ����� � £��¥� � ¤ � � ���H������� � � à ¯ ¬A­�á ¯ � Þ ô$© � �Æ� ¨I[ y Z cfÓ � �Æ� ¨I[ cÇÓ \ à ¯ � á © à ¯ ¬A­�á ¯ � Þ<ß ¤� � ���� � �Æ� ¨ [ cé© à ¯ ¬ð­�á ¯ � Þ<ß   #��"$%& � ���2EF . Ä<; � e � ­ 1� 2Ç�âA�ÀªÄƽ�ÁAÃ�Ä/ÂGÁ)ä|A |oq0Á�ÄGÂn¼ � ½ �'� oGÁ�Çq$�½ÿA�}ÄGÇ�o¿ � Û ô b ­à � � �fe á âÄgtÕ � Ý ëgÂGÄ e ©(« lÕ � Ý ö ÂGÄ e © Û lÕÖ� Ý�� ÂGÄ e ©(« � l×Ý �e« lÕÖ� Ý ö ÂGÄ e © ¯ � l ¯ A�À}¼r½�¿�ÀªÁÞâ� À/¼ � ½=lÕ � Ý « = � > ÂÆÄ e ©µ« � ¯ X[Zß ç�ç�ç ¯ X \= llÁ²Ç¾Ã�Ä A ©ðæ ÂÆÄÌÝ û ­ l�A © ­ ÂÆÄ¶Ý ©]« ÄOA © « ÂÆÄÝ �ö« 1� "$%� � �x�Ó���� �8Õ � Ý �éÕ � Ý ��¥� � ��������ì�� �� �������n�������� � ��������� gsx�^Ë � � ��� � � � � � £��¥� ���� ��Ó����� ÕÖ� Ý ��¥� � � ¤ « � Þ=ßC¬ ­ ¤ « � Þ<ßCØ]­ � « � ¬ð­  �*^� ¦Ö� � � ¤ �� ¦ �� �����a�������ÓìÈ� � ��Ë � �/���W�����Ë � � ��� � � � � � �����/��¥� � � � � � £��¥� ���¸� � � � � � � ¹������ �   ·<� � ��� ��� � � � � � ¤ � � � � Ë � � c �� � �� � � � £��¥� � � � � � � � � ¹�� ��� � ��������� � �H���� « � Ó à c ØS­�á�à c ¬Ô­�á ©Ñc ô ¬S­ É � � �� � �� � c ������������ �Ê � � � �� :Ñx� ��������� c ¬Ð­ � c ØЭ �������é�����8� �ë¦ � �� �ë« É<¤BÉ �Ê � � � �� Çsx������������ �� � �������:����8� �� �Ó��� � � � ��� « � Þ=ß ¤ � Ë � �:�����AË � � c �������ª���� � �ý� � �8Ë � � �� �� � � � ����� � ����� �  <sN � � � ��� ������� � � � � � ������ ÕÖ� Ý ¤ ��� �� � � � �ñ��������� c ¬µ­ � c ص­��g� �� �Ó��� � � � ��� ¯ ¤ � Ë � �¸� �� � �������Ó��� � ��� � � � £��¥� ���0�¸�¶e ¬ ­  

Page 41: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

ô ÀªÄG½�ÂGÄÆÇ�ÇrÄ9õö2÷ø÷gùgú2û�ú2ö2ü¼ � $�Ä û %��

��

��

��

æ ðPóPçênx�ê ý�ìhètò�ó�î�í�è³øLó�çLî é)øÿõ�çLî í�è(í�óÃÓ×ù)è(í�øFNè9J$î ç=è X�Q· � � � � �Ó����� Õ � Ý � � � � � � � �/�Ó���� � � ������� � �����0� � �� � ����� � �Æ����a¹���¸� � �¸������� � � åc ��/� � � � £��¥� � � � � � � � � ¹�� ��� ��� ����� � ��/�$� � �������/�� c � � ���� ¦Ö� � c ô[b ­ à � � � « � á� c ô b ­ à � � � ¯ X��> á � � � � � � � � A   s^����� ¤ � �� ����� � ���ë� � � � £��¥� ���/� �� � � � � e ��� � � � � � � � � � �� ����� � ���:� � � � £��¥� ���/� �� � � � � « � ¤ ¯ X Zß ¤  � �  ¤ ¯ X�\= ¤ � Ë � �ª � �8� ����¦ �� �� � � � � � ������ ÕÖ� Ý   #C "$ü�'L"$%& � ���qeæ æ ÀF¿�Ç3CÎÄG¿�½�Á e � ­ � Ã�À�¿DCúĪ½ � ¿�嶼r½�¿�À�¿|CÖ¿|á � ÂGÄ:Ä:ÂGÁ²ÀªÄÆÇ3CúĪÂGÄe ©þ« l e © Û Á$A e âÄ�à � á Á²½�À � ¯ � Á$A «�¯ � lHÁ�ǾÃ�Ä ¯ âÄGA�Àñ¼¾½¿�ÀªÁ â� À/¼ � ½=l � Ã�À�¿DCúĽ � ¿�å�¼r½¿�À�¿DC ¿Dá � 1� "$%� � �¢� � � � � e ©[« ��e © Û � � �����Ð����¢��������ì�� � � � �a��������� � �������� _se�P��������¹�� ��� ���� � � � � � ��� � ������������ � � �� � � � � ¯ � Õ ¯ � � � ����� �:�Ê � � � � Ý �� � � �x� � �P� � ��� � ����������� � ������ � ��������� � ��� £��¥� �   · � � � � � � � � «�¯ � ¤ �� � �ßc � � � � � ��� � ������Ó����� � � �� � � � � ¯ � åc ��� c Ø ¯ � ¤ � Ë � �����¶Ë � � ¦ � � �Ê � � � � ¤ ���� �� � � � � � ��� � ������Ó����� � � �� � � � � «�¯ � � � ���\ à «²¯ � á © \ à ¯ � á  � �Áe�a¥� � ¦ � �é��� � � � ������� � � ¦ � ��� � � ¤ � ����� �ò� �������� � � ��� � � ����ëË � � � � � �Í� � � ¹�� ��� �ÁÛ ô b ­öà � � �Ðe á � �����Ó���ë� � ���¶���.� � � �¶� � � � £��¥� ����  ·<� � ��� ��� � � � � � ¤ �����������¹�� ��� � ��� � � � � � ��� � ������������ �Ðc � �� � � � � e ��� � � ���NË � � � � � � � � ¹�� ��� ��Û ô³b ­à � � �fe á � �� ����� � �=� � � � £��¥� ���P�»��e ¬A­  B*x� ¦Ö� � � ¤ Ë � � ��Ë � ���=� � � � £��¥� � � � ��������<����������� �� �¶¦ � ��� � c � � � � �ª� � � � � Ý �� � �� � � � � � � ¹�� ��� � � � � � Íú��� c�ô � b ­ à � � �fe á ���« Ý b�æ à � � � \ à e á�á ¤ Ë � �é� �� ���� � �$� � � � £��¥� ��� Ý ©Òæ Õ c � © ­�Ý � Ý © à \ à e á�á?@ «Õ c � b e ¬]­öà � � �Ðe á Ý  � � ��� � ����� � ���� � £��¥� � ¤ ����� � � � � � ����� ��� ������ � � ¤ � � ����W���¶��� ��� ������ � �/Ë � ���Ge,a¥� � ¦ � �8��� � � � ������� � �/� � � � ¦ � ��� � �g�����¥� � e © e ß e ô ¤ � � �+e ß�ø e ô G Ù ��¶��� à e ß�ø e ô á © ­   â ��� � �������¥� � c ã�ä (æå ~ ô[b ­öà � � �fe á � � � � � � � � c ��������� � � � ��¶��� à clø e á © ­ ¤ � � ��� \ à e ß á Ó \ à e á?@ « � \ à e ô á Ó \ à e á?@ «   #

m�¼wì Ú Â�4xB(M.K ;=4hÀNB�?A;=5 ÀNB�M.K¸M.4 Þª7AK¸M.;ªÅK09<B�À�Ks,�����l���[r � � �������¸������� � � � ����� � ���gË � � ��� �� ���� ��� ì ��� � Ë � �/�� ¯ ��ÍA��¥� � � ����� � �� �� � � � ���� � £��¥� � ��������� � ������� ¯ �����YË � � ��� � � � � �� � � � � Í��`Ͷ�����YË � � ��� � � � � �� � � � �¯  =¡P����N�� � ���� �g¦ � �������� � ��� ���� ��� � � � � � ���Ó��� � ��� � � �������������� � �Y�� c ��xË � � ��� � � �� �� � � � � ¯ � ��� c �� � � ��������� � � ¯ � � �� ����� � � ���� �  

Page 42: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

X*j æ ç=è(éPê~x�ìÌçÿõ×øLé=õ�ðÃL�î ö$î J(õ�ð�óôøLó�çLî é)øÿõ�çLî í�è(í�óÃÓ×ù)è(í�øFNè9J$î ç=è� "�� )_þP�����ü � ��� å . Ä�; � ¯ A�Àü¼¾½¿�ÀªÁ:Ä c A�À ¿�Ç7CúÄÆ¿�½GÁ�1 � ÄPh�Ç ¿�ÀªÁ�Â$Á:Â�â� Àfk�Á)ä ÁëÃ�Ä� � $�½ � Çq$�Ä à q¨ á ¼<Á²½è c¯ é © ��� �� æ ÂGÄ ¯ Ã�¿|á�¿ Ã�Ä c¬8­ ÂGÄ c Çk0� Á âÄtÔ�A � Ã�½ � Ã�Á/À âÁ�Ã�A�ä Á ¯­ ÂGÄ ¯'4<c Ä c âÄ`Ô�A � Ã�½ � Ã�Á/ÀdâÁ�Ã�A�ä Á ¯ �

û 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü � ��� Q . Ä�; � ¯ A�À ¼r½�¿�ÀªÁ â� À/¼ � ½¶Ä c Æ È C � äÌÔ$A�Ä ¯d4[c 1Õ&CÇ3C�0� Á� q¨ � b c b y Z_ à � � � ¯ á 1� "$%� � � � ��� � �.Ë � � �� ¯B4Þc �����¥� � c ¨�Þ<ß b ­ à � � � ¯ á ¤ ��� ��� � � ¤ a ¨�Þ<߸¬­ ����� � � � � � � �Ê ����� ­ øú«�ø ����� ø ¯ ¬�­ ��� È @Èà ¯ á   ·<� � ��� �� � � � � � ¤ a ¨�Þ<ß ¬�­ ©à a b y Z_ ¬]­�áÆà a b y Z_ Øð­�á   � �/���������� É ÆªÈ � � �HË � � cÁb É ô à � � � ¯ á �����¥� � c y Z_ bÉ ¨�Þ<ß b ­òà � � � ¯ á ɸ��� ��� � � ¤ � q¨ � © ­ b c b y Z_ à � � � ¯ á   êY� � � aCô b��»ôà � � � ¯ á�� aÞb���� à � � � ¯ á ¤ � ��g� ��� � ���� � � ¨�Þ<ßô Ë � � ��� � � � �H��� à È @Èà ¯ áá Ë ¤ � � � �� �¸Ë � � ��� � � � �0��¥� � �P� � � � �������� � �0� � �Ê �����g��� a b y Z_ ¬þ­ ��� È @Èà ¯ á ¤ � � ��� � �ga¥� �Ë � � ��� � � � �x��¥� � �P� � � � ������� � �^� � �Ê �����N��� a b y Z_ Øþ­ ¤ ��� ��� � � ¤ ��� à! ¨ á © ¬8­ �����¥� �É b y Z_ b ¬$­ à � � � ¯ á   #6!ü�'Lü�798�'Lþ?ü � ��� j s. Ä ¯ âÄ»¼r½¿�ÀªÁÞâ� À/¼ � ½xÄÆÇ3C�0� Á à Þ<ߨ á © à ¬8­�á b y Z_ 1^ � � � � ��� � � � ������������ � ����� � � � · � � � � ��£��¥� � ��  � � � �`cÇÆ à È @Èà ¯ áá Ë   · � � � � � � �k×H©­ øú«Èø ���=� ø ¨�Þ<ßô ��������������� � � c ç × � � � �0} Ö�RØÖa� � � } Ö Æ � ¬8­ ø ­ � �YRÕÖ Æ'� ­ øW«�ø �=��� ø ¨�Þ<ßô �  � ��R > à© RÕÖ¸����� � � c ç A © c ç × ��� c ç A © ¬ c ç × É �®� ����������� �®� � ��� � ������� � ������ � ����� � A ©�× � � �� � � � � ��$��� � � ��� �Ê �����  �sx������� ¤ �� A à©�× ���� � � R > à© RØÖY� � ���� R ß ø R ô ø �=��� ø R b y Z_ �l©!� ­ øú«�ø ���=� ø ¨�Þ<ßô �  �sx�������è c¯ é bÚc b y Z_

© à c ç�­�á�à c ç « á�ç�ç�ç�à c ç ¨�Þ<ßô á­nç « ç�ç�ç ¨�Þ=ßôb } ß } ô ç�ç�ç } b y Z_ R ß ø R ô ø ���=� ø R b y Z_­nç « ç�ç�ç ¨�Þ<ßô© } ß } ô ç�ç�ç } b y Z_ à � � � ¯ á Õ �  �� Ý

Page 43: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ��´��

��

��

��

æ ðPóPçênx�ê ý�ìhètò�ó�î�í�è³øLó�çLî é)øÿõ�çLî í�è(í�óÃÓ×ù)è(í�øFNè9J$î ç=è X�y� � ��� à q¨ á © } ß } ô �=��� } b y Z_ ¤ � � ��� � � �È� � � ������ ����� �Õ� ¬8­ ø ­ �   sx������� ¤ à q¨ á ©àÖ¬$­�á�= � ���/R �� � �� ����� � ���$������������ � � × ��� � ­ øW«�ø �=��� ø ¨�Þ=ßô � � � ���^Ë � � } Ö © ¬$­  êY� � � � ���������� � � � ����Ë �� ¹������ � �����W��� ¦Ö� � � ����� � � � �� � � ������0����� � ��� � � �  û 'Lü×ý�ü7�=þP�����ü � ��� y �. Ä ¯ âÄ[A�À}¼r½�¿�ÀéÁ�â� À/¼ � ½^ÄGÇ7Cg0� Á

à «¯ á © à ¬8­�á b _ y Z" © � ­ ø ÂGÄ ¯ b#� ­ à � � � Ú á ø¬8­ ø ÂGÄ ¯ b#� Ù à � � � Ú áJ�� "$%� � � ¯ãb ­ à � � � ÛÈá ¤ ��� ��� � � � ¯}© Û Ý ØЭ ¤ ����� � � ¨�Þ=ßô © « Ý   êY� � �­ û(«I×Pû ¨�Þ<ßô � � � � ×Pû Ý � ¨�Þ<ßô Ò[«I×Pû ¯ ¬ð­ � � � � Ý Ø ­ û�×Pûe« Ý ¤ ����� � �

à c¯ á © à ¬8­�á � ©� ­ ø �� ¯ b ­ à � � � Ú á ø¬8­ ø �� ¯ b]ù à � � � Ú á:�

� � ¯ªb Ù à � � � ÛÈá ¤ ��� ��� � � � ¯S© Û Ý Ø¶Ù ¤ ���� � � ¨�Þ=ßô ©[« Ý Ø�­   · � � � ­ û!×Yû Ý����� � � ­ ûe«I×Pû ¨�Þ<ßô � � � � � Ý Ø]­ û�×Pûö« Ý Øð­ ���� � � ¨�Þ<ßô Ò(«I×»û®¯ ¬]­ ¤ � � ���à c¯ á © à ¬8­�á ��� ß ©

� ¬8­ ø �� ¯ b Ù à � � � Ú á ø­ ø �� ¯ b Ü à � � � Ú áJ� #C "$ü�'L"$%& � � � ��¸ÕÖÿl�������P������� � � � ����� � ���PË � � ��� �� ���� � Ý . Ä<; � À ¯ Ä Í ¼r½�¿�ÀéÁ�Â`â� À/¼ � ½GÄ�Â[1&PÇ3C�0� Á à ¨ ø á © àÖ¬$­�á ä ¨�Þ<ß å ä ø Þ<ß å ~ � à ø¨ á 1� "$%� � � � � � £��¥� � � ����� � ¤ � � � c¶© Í ¤ � � � � � � � �,×�Æ � ¤ � ���� ©D� ­ øW«�ø �=��� ø à ¯ ¬]­�áD@ «9��ø����� � �^Ë � � } Ö © ¬8­ ��/��� �� ��$���������� � Æ È � � �<Ë � � ¬�à ¯ ¬ ­�áD@ «.û Í × ¬ ¯��&Ò,æ  â � � � ������� � �������� ����� � ß ¤ � ���ß ©�� ­ øW«�ø �=��� ø à Í ¬]­�áD@ «9� �s^����� ¤ ����� � �xË � � à ø¨ á © à ¬8­�á�= � ���/R ©ÑÓ agÓ �

a ©!� à Ûlø�� á Æ � � ß Ó ¬�à ¯ ¬]­�á?@ «éû Í Û ¬ ¯��ªÒ]æg�9�

Page 44: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³����

��

��

��

E�� æ ç=è(éPê~x�ìÌçÿõ×øLé=õ�ðÃL�î ö$î J(õ�ð�óôøLó�çLî é)øÿõ�çLî í�è(í�óÃÓ×ù)è(í�øFNè9J$î ç=è � ���$Ë � � Í Û ¬ ¯�� � � �¶� �� � ��� � � � � � � �  gsN � � � ��� ������� ¤ à ¨ ø á © à ¬8­�á ( ¤ � ���e ©ÚÓ ��Ó � �S©!� à Ûaø�� á Æ � � ß Ó�æ`Ò Í Û ¬ ¯��öû à Í ¬]­�áD@ «9� �* � �Ê ��� � � �¸Ë � � à ¨ ø áÆà ø¨ á © à ¬8­�á � � ��� Ý © R Ø e ©ÑÓ $�Ó � ���$ò©!� à Ûlø�� á Æ � � ß Ó ¬�à ¯ ¬]­�áD@ «éû Í Û ¬ ¯��öû à Í ¬ð­�á?@ «9�� � ���hÍ Û ¬ ¯�� � � �¸� �� � ��� � � � � � � �   â ��� � � Ý ©ÚÓ L/Ó ¬ Ó Ú Ó ¬ Ó > Ó � ��� Lò© � � ß ¤Ú ©!� à Ûaø�� á ÆçL Ó Í Û ¬ ¯��ªÒ ¬�à ¯ ¬]­�á?@ «9�ø> ©!� à Ûaø�� á ÆçL Ó Í Û ¬ ¯��&� à Í ¬ð­�á?@ «9� �êY� � � Ó L�Óa© à ¯ ¬Ð­�á�à Í ¬Ð­�á?@�Û ¤ � � �W� � � � �W��� � �$Ë � � Ó Ú Ór©ÄÓ > Ó  ÔÌ � � � � L � L����ì����� �¸� � � � à Ûlø�� á © à�à�à ¯ Ø®­�á?@ « á�¬ Ûlø àà Í Ø®­�áD@ « Წ � á ����ì � � � � � � � ��£��¥� � �������Ú � >   #mG¼l< Ü#%é9H4xLA>h¿5$4x> Þ:7AK¸M.; ÅK09<BPÀ�K¸>@M.4 À�58;C?®5$>'&ÔL.BG9H58>

� � � � � ¯Ò� ����� � � µ� � ���������� � Ë � �Sa¥� � ��� � � Ë � � ��� � � � � ��� ¦ ���Ó� �   � � ����à È @rà ¯ á�á5c � � �� � � � �W� �� � ��c Ø É � ø¶clø É ÆÇÈ @rà ¯ á �� ��� à c Ø É � á Øðà ¥c Øp¥É � á © à c Ø ¥c á�Øðà É Øp¥É á � à c Ø É � á�à ¥c Øp¥É � á © à c ¥c Ø É ¥É á Øðà c ¥É Ø ¥c É á � �·<� ������ì ��£��¥� � ¤ c Ø É � © ¥c Ø ¥É � � cª© ¥caø É © ¥É �êY� � � � � � � � � �������� � ¤ à È @Èà ¯ á�áDc � �a© È @Èà ¯ á�� È @�à ¯ á   ^ � � � �n����������� ��� � � ������ � Í� � � � � � ���� � ����� � ����� � ��� à È @Èà ¯ ááDc � �   � � ���������� � �x�������� � ���������¶Ë � � ¤ ��� 2�� � �Ë � � ��� � � � � �� � � � � ¯ �����¥� � à È @Èà ¯ ááDc � � a¥� � � � ���¸����� � � � � � � � ¤ � � ������ c ôg© ��� È @rà ¯ á �����¥� � à c Ø � áÆà c ¬ � á ©µæ ��� à È @Èà ¯ á�á5c � �  <s � � �� ����� �g� � � � � ���£��¥� ��� � � � ���� �Ê�� � � � � �����W��� ¦Ö� � ��åû 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü � � � ���. Ä à ò¨ á © ¬8­ ÄGÇ3C�0� Á à È @Èà ¯ ááDc � � âÄ[A�ÀÄo�Á²½ú¼HÁ�1� "$%� *x� ¦Ö� � � ¤ ��� à clø É á à© à æ�øæ á ¤ à c Ø É � á Þ<ß © à c ¬ É � áD@Èà c ô ¬ É ô á  â ��� � �PË � � c ô ¬ É ô!Æ à È @rà ¯ á�á Ë ¤ � � ��� a¥� � ��^Ë � � ��� � � � � � � ¯ ¤ � � � � ¤ �� ÉYà©µæ ¤c ô ¬ É ô�©Ðæ ¤ Ë � �$��Ë � ��� � ��� � © à c @ É á ô ������ � � � � � � ��� � ����£��¥� � � ¤ �� É ©,æ ¤c ô ¬ É ô¸©Úc ô à©]æ8� � ��� à c¢ø É á à© à æ ø�æ á ñ c à©]æ ñ c ô à©µæ   #

Page 45: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³ ���

��

��

��

¡ ¢¤£¦¥§3¨ª©¬« ­ () | °+* ~ ² � ¸ ¸6|-²d¸"z z ¸ ¸{´¸¬²þ{´¸ ² � ¸ Ñ | °+* � ·t°g� � � ¸

^ �� ��� � � ¦ �� ��� � � � � ����¶¦ � � � � � � � � � ��� � � � � � ��� ��� � �N �� ����� � � � ���� � � � � � �Ó��� � �� � Í�������� � � � ������ å ó ����� � � ¤ � � �x������� � � � ¤ � � � ���G� � � ��� Ë � �¸� � � � �� ����� � � ��¦ � �� �«�ô-, Ø®­ ¦ � ���� � ���� � ¤ � Ë � � ¦ � �È�������������� � � � �Y¡ � �����0Õ «�ô a Ø®­ ��N� � � � � �W� � Ý  �s � ��Í� � �¸� � �g��� ¦ � ��£� � � ¤ l¥� � ���¶� � �������������� � � �ë¦ �� ��� � � � ���� � ����� � � � �ë� ��� � � � ����� � �� � � �Ó��� � �� � �������� � � � ����� ¤ � � � � � � �� � � � ��� � ���� �� ���� � � � ���������Ó� � Ë � �$a¥� � ����������� � �8¦ �� �� � � � �����W���g�� � �  ¡����������� ��������� � �� � � � � � � � � ¦ �� ��� � � � �/Ë � � � ��� � � á � À â� ä�¿ �  ����������� � �����g���� ���� � �� Vs ¦ �� ��� � � � ��������=��� � � Ë � �C� � ���a � �¾������������� � �� §(¨ª©(« ¨¾¬�­ ¤ � �l�Æ� � � � � � �Ç âA�ÀªÄƽ�Á�ÂgÃ�ĸÅSÄƽÆÂÆÄGÇ�ÇÈÄ   3 � � � � §(¨ �� � ����� � ¤ ��������� � �NË � � §(¨ �� � � ¼¾½¿�ÀªÁªÃ�ÄÅ®ÄƽÆÂÆÄGÇ�ÇÈÄ   · � ����� � � � ��¥� � � ��� � Ë � � �< �� ����� � �g������� �:¦ � ��� � ��¥� � �������������� � ������ ��Ë � � ��� ��� � �x��� §[¨ ����@���� � ���/����� � ����� �[��¸����� � ����� � �������� ¦ �� ����� CÎÄGÂ=C � ½ � � � � � �� � � � �P� � � ����� ¯ ¤ ������ �ë� � ��� � ���� � � � ��� ¤ �� § ¨ �� � ���� �A��� � � � � � ��� �  �¡P�� � � ��� � � ��� � � �<������n� � ����� �^� �=�������H� � � � ����� � ����� � �H� � �� ������� � �¢� ��� �n��¥� � � ����� � ����/Ì.���Æ�������¸� � � � � � � � � � ����� �� �� � � � � � � � � ����� � � � ���������� � Ë � � ��/����� � �� ¦ � �� � � ����� � ���¸Ì.�������� ��Õ �����n� � � ��� � � Ý  s � ��£��¥� � �  �� �� � � � ¦ � �� � �������� ��¦ ��� � � �µ� ��� � ������� ��� ���� � � � � � � � ������ � ���s � � � p � �ÓÍUi � H � �ÓÍ � � ���� �   � � � � � � � � � ��� � ������ ��¦ � �� � � ��� � �� � �»� � ���£��¥� � ÕÖ���Í��� � �������¶� � � � � � � � � � ¦ � � �����¸Ë � ������ � � � � � � ��� � � ����� � � Ý � � �������������� � � � � � ��� �� � � ������� ��� ¹����������0�� � � � � � ���������������� � �Ó� � � � �»�������������� 

Page 46: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³����

��

��

��

E � æ ç=è(éPênÑ�ì¶éÿøLî K õ�ð�í�ókK_ó�øÿðPó=ö(ö$óôó�J$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�óÙ�¼=» à Å5$;CD"7ÊÂ�K¸> ?AK¸;=K ?A;CB�DE5$>"4 9H4x>a9<4N> M.4 ?A;CB�DEK`Â�BD�M.K¸M.4

Ì.�� ��� � � � � �8 � ����� � � � £��¥� � �����W���A� ��� �Ê � � � � Ë � �Aa¥� � ���A� � ��������ë����� � � �¦ �� ��� � � � ���� � ����� � � � ��� ��� � � � ���� � � � � � �Ó��� � �� � �������� � � � ������ nÑN� �¶� � � � ��� � ����Í� ��������� � � � �^��� � � �� � ����$����W� �é¦ � � �� ��S����� � �������� g¡<�����W����� ¦ �� ��� � � � �^Ë � � � ��� � � �� ����� � � � ����� � � ¤ � � �¸Ë � ����¥� � ��¥� � � � � � ����� � � � �0Ë � ��l¥� � � �W� � � �s� � �Ó� � ��� �� ��� � �¢ �� ����� � � � ����� � �<��� � ��������� � �������n���� � ���� � � ������ � ��� � � �� � �¢�� �� ���� � �<� ��� ��� ���������� ��� �£��¥� � � � � � ����� � �� =ÑN� �P����� � � � ��� ¦ �� ��� � � ��� � � �g¯ ( ¤ � e=Í ������� � � ���� � ¤��¯�(.©/...0 ­C¬

­� � �=« � � � �H¬ ­« Ø ñòøó 1, y Z � à á«

ò ¬ ­ � 32224 ø� ��� � ( Þ<ß ©ò¯ ß ¯ ô ç�ç�ç ¯�( Þ<ß É ������� � � � � � ����� � ���� � £��¥� � � � � � � � � � �����Ó� � ��  � � ��� �¦ �� ��� � � � ��

¯ ( ©-Õ ­ æ ô5, � Ö ¬]­ æ ô-, y Z Õ ­ æ ô5, y Z � Ö ø� ��� � © �ñ( � ß ¯�(­ æ ô , ©µæ � 沫�æ Ù æ�æ�æ²ù�æ�æ�æ�æ�æ�æ�æ Üg�=���5�s��� � ��������� � ���é������� � �� ������ �ë¦ �� �� � � � ����� � � ¦Ö� � � Ë � � � � � � � � ��� � � � � � ��������� � ��� � � ��� � �»� � � � � � � � ����� � � É ��¦ �� �� � � � ���g� � �� � ��� � � � ����������������� � ���/��¸�P�����W������������ ��� � �������� � ���� � £��¥� � � � � � � �� ����� � ��� � � � ¤ � Ë � � � � �������^� � ��� � ��� � � � � �� �����   ·<� ���� ��� � � � � � ¤ �P���Ó��� � �ñ �� ����� � ��� � � cÐ� ­ � � �lË � � Õ c õ-, Ö ��¸����� � �� � ����� �  ÑN�2��� � � ��� ¦ �� ��� � � �x��� � �N� ����� � � ¤ ���������� �x¦ � ��� � � � ���<������� ��� ���� ¤ ��¥� � � � ����¢¹� Í��� � �^����� � ��ìÈ�����������x��������� � �N��� �.� � ��� �� �������x� � � � ��� � � ����� � � � � ������ � ���$Ë � � ���� ���� ��� � å � �����������£��¥� � � � ��� ��� ��� ��� �76 � � � � ��é�P� � � � �������� � � � �W� �� � � � � �� ����� � � � ����� � ��  �N� ���Ë � ����$� � � � ��� � � � � � � �� � ��� � 6 � � � � � � � � � ¤ � � � � � �� � � � ����¢¹� ��� � ����W��� � � �� � Ë � � ��¸������� � �������/���� �� �� ��� ����� � É � ������ ¤ ��¸��� ¦ �Ê ����� � � � �� � � ����¢¹� ��� � � � � �¶� ��� � � � ����� � �� �sî� �Ê � � � � ���8� � �� � ���� � ��� ¤ ��� � � � � � � �s������� � � ���� � � ����¢¹� ��� � � � �ü���W� � � � � � � ������� � ����� É � Ë � � +ñ©ð« × ¤ � � � � � �0� � � � ����¢¹� ��� �]�� � ¤

Page 47: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³����

��

��

��

æ ðPóPçênÑ�ê ëJì L^Nõ7ø9KVù5ò:èð�é:è(ø=è³é)øLî K õ�ð�óÀJ$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�ó E X� �n� � ��� �� �������»�Æ� � � � ��Íú��� clø É ø ���=� ø98 � Ú ø > ø ���=� ø°+ ��¥� � ��� � ������¥� ��� � � ������� � ����� å� © à Ý Ø « á�àW­P¬ Ú ô ¬&> ô ¬ L ô ¬ ç�ç�ç�¬ + ô á øÚ © V 8 Ø;:ªØ × ¬ Í ø> © à ÿ Ý Ø « ÿ Ø Ý Ø ­�áÆà<::Ø × á�Ø;:ª¬ 8�øL © ­ × à Ý Ø]­�á õ à Ý Ø « á�à e Ø]­�á ô Ø ­C¬ � ô øè ©(« e Ø ¯ Ø Í Ø 8 ¬ ] øé © ] õ à ] Ø « áÆà c Ø ­�á ô Ø ­C¬>= ô øê/© à c ô ¬ ­�á � ô Ø]­C¬ Û ô øÖ © ­ × Ï ô �F� à c ô ¬]­�á Ø ­C¬ ü ô ø? © à�à c Ø ü ô à ü ô ¬ c á�á ô ¬ ­�áÆà e Ø®Û � á ô Ø]­C¬ðà Û Ø � ü á ô ø� © à c ô ¬ ­�á � ô Ø]­C¬ R ô ø@ ©Ñc A Ø Ý Ø]­C¬ � ¬ A øÜò© e Ø � Ø ý ¬ �»ø� © ¯ Ø � à c ¬ e ¬]­�áÈØ É à «�c e Ø «�c ¬ e ô ¬ « e ¬ « á�¬ R ø§"© Í Ø � à c ¬ ¯ ¬]­�áÈØBA�à «�c�¯ Ø «�c ¬ ¯ ô ¬ «�¯ ¬ « á�¬ Ûlø+}©C8 Ø ¯ � à c ¬ ¯ á�Øç��à «�c�¯ ¬ ¯ ô ¬ ­�á ¬ ¯ R �sx� � � � � � ��� ������ � £��¥� ���^���� � ����� å � �� ���� �ª¦ � ��� � ��� � ���� � � ��Ó����� � ����� Ú © > ©ç�ç�ç ©"+ü©pæ É ��������� � � � �� � � � � � �^���� �� Ý Ø «  ¶^=��� � � � ������sË � � ��� � �¶� � � � � ������ � �� ����� � � ���� �¦� � � � ������ � � ����¢¹� ��� � ��������� � � � �����$���é� � ���¸ � � � � � � � �Ý © � ¬ «  -sx�ë�P� � ��������¥� ��� � � ������� � �����é����� � � ��Ë � � £��¥� ��� å � � � �aÚ ©iæ ���� � �Í ©

V8 ØD:�Ø ×  <sx������� ¤ � � � �!Ý � � � � � Ë � � � Ý Ø « �� � ���� � ¤ � ��������� � � � � � � � � � � � �� � � � ���� ��� � �ë� � ��� ��� � �g������ � �¸Ë � �é� � ����� ¦Ö� £� � � ���W� � �¸��Ë � � £��¥� ���� ¶¡P������/� � � � ����g��������� �8¦ � ��� � ÄGÇ�oGÁ�Ã�¿¨h�o � Àñ� � � ����� � ���� � £��¥� � ���¸Ë � � � © Ý Ø « �� � ����� �  Ñx� � Ë � ������¥� � ����� � ��� � � � � � � � � ��� $�ÄG½ � ½ �� ����� � � � ����� � � �� � ��� CúÄGÂ=C � ½ ��� �ü������������ � � � �� ����� �[�� � ����� �  »¡��������� � � � � � � ����� �¶� � �W� � ���/���� � ����� � � � �������� � �g���Ë � � ��Ë � ���g���������� � � � �������� � e �� � ����� ��å � � ��� � ��� � ������� � � � ����������¥� � ����e� � �¸� � � � ��������� � R"� � � «Ôû R û � eN  � � � ����W� � ¦ � � � ��� � � � � � � � � � �����¥� �e ��$� � � � � ��� � �$�� � � ���� � � � � � � ��������� � � É ���8����� � � � � � � � ������� ¤ e �� � ���� �   ��� � � �������������¸�������� � � � � ���Ó��� �ö��¸Ë � �¸����� ��g� � �Ó� � ������ � å ������� � � � � � � � ��������� ���� ����� � � ��� ������ � � ¤ ����� �Ê�� � � �0Ë � � ¦Ö� ����� ��� � � ����� � � � ������� ­ æ ß ��� ����������¥� ��� � Ë � �l¥� � � �� ���W� ��0¦ � � � � � � ��� � ���N� � ������ � � � � � �g� � � � ��� � � ¦ � � � � � � ��� � �������^Ë � � ��Ë � ��������� � � � � � �8� � � � � �Ê �����¾��� � � � �Æ� � � � � � Ë � �/���¸� � ��������¸��� ¦ �Ê ����� � q  �FE ¥w©MÇn¥w �¢�¡�§¨¤�¡P �¥^¦g¡P¤�¥wªcº ¡�«~¥w¤�»g¡P»�¥wº�¤�¡HG澡����i �»�¥wÄF¡P��£n �¡�¢�¤g¾¡P *©ß¡P IG�£�Æ�¥æ ��i �¦I¥wº ¢�¡�Jf �¥æ¼[��¥F¡P���n���� 

Page 48: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³�³��

��

��

��

E*E æ ç=è(éPênÑ�ì¶éÿøLî K õ�ð�í�ókK_ó�øÿðPó=ö(ö$óôó�J$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�ósN� � � �¶�� � ���� � �¶���A��� � ��� � � � �� �� ����� � � � � �����F���� � � � � � � � � � � ����W� � � �� ����� � ����� � ������� � � ��������� � � � ��Ó����� � eN  · ��� � �� � ����� � ���!Z]����� � ¤ � � �g�P����� � � � ¤� � ����� � �¸������� � � �.� ����� � ����� � ���ª���Ðeî� � ��� � � � � � à e ¬2­�áwl � � �!e É �� ¦ ���������������� ¤����� � � � �� �Ô� � ������ë�����$��¥� � ��� ¦ �Ê ���������ë� ¦ ��� � � ��Ë � � �� � � ��� ��� � ���.��������� � ����� � ��� �� � � � ����� � � ������ � ��  � � ��������ëË � ����������� � � ��� �� � �¶Ë � � � � � �� � ¼ � ½GÄ)oGÄ ��� ¦ �Ê ����� åa¥� � ���W� �� �P����� �¢�Ê � �¸�/� � ��� � ������� � ���N��� � � � �n����Ð��������� � � � � � � � � ���Ó��� � � ���� ��� � ��� � �� � ��� � � � � à e ¬]­�ácl � � ��eN ÑN� � ��� ���� � � � ��� � ��� � � ��������� � �� � ��� � � � � � � ��Ë � �� � ��� � ���� � ��� ó ����� � � å� � � � � � � c ¤ ­ Ò cYÒ e ¤ �ª� � ��� � � � � � � c ( Þ<ß � � �!eN  � � e ¦ � � � ����� � ��������� � �c ( Þ=ß b ­ à � � �fe á É Ë � � ��Ë � ��� ��� ��� � ����� � ��� � � � �� ����� � Ë � �³e ��¸� � � � � �W� � ������ ������}������ � �Y�� � � ��� � � �¸� � ¦Ö� � � �n���heN  � � ��������xË � � � � � � � � ��� � � � � c ( Þ=ß � � �!ea¥� � � �������� � � � �é� � ��� � � � � c ç c ç�ç�ç c ¤ e ¬�­ ����������  ·<� ����� � � ¦Ö� �����:����� � � � �� �� � � ���� � �/��� Û � � � ô e � � ��� � £��¥� ���g���� � ������ � � ��������� � �/���� � �����/� � Ë � ��e ô å ���e ¬ ­ © > � 4�> _�- É > « > ¤ +Ò©-Õ � � � ô à e ¬]­�á Ö�¤ �����¥� � ����ì ���� � �

¯ � ©ÑcLKNM�O ��P [ RQ y [ � � ô � � � ��e������ � � ¯ � © ­ ¤ ¯�-î© c ( Þ=ß � � �!e ¤ � � � ����� � �¸� � ��� � � � � ¯ ��� ß8�ë� � �������¸��� ¯ �� � � � � � � � ��� � £��¥� � ���.������� � � � � Ë � � ��� � � � ¤ � � � � � � ������� � � � ����������¥� � � � �Ge ¤� � �����������������0� � �Ó��� � ����� � � � � � c �¸ � � � �������^� � � � � � ������� � � � ����������¥� � � � �/eN � � c ( Þ=ß b ­òà � � �fe á ¤ � � � ��� �� � � � � � ¤ a¥� � ����� � ���� � � � �HË � �/e �� � ����� � É ���e ¦ � �n� � � � � ��� � � � ���� ¦Ö� ������ � c ( Þ<ß b ­öà � � �fe á ��������� � ��Ë � ��e �� � � ¼¾ÂGÄ)A�Ã�Á�¼æ⽿�ÀªÁ � � � �� c   · �� � � � � ����� � �H������������}� � �=��¥� � � � � � �nÕ ������S°6!þ?ý�ü*7�7?� Ý åa� ���� � �� �� � � � � ����� � � � � �� � �� Ù�ÛÈ­ © ­�­Nç�Ù ­ �$������������ ��� �� � � « ­�� Ú²ù Ù � �� � � � � ����� � � � � � �� � ���� � �����Y� � Ë � � «�øúù ç²­ æ ß � ÕÖ� � ��� � ­�� æ�è ­� è�Ú Ü�� Û æ²ù:� ����� � � Ý   ·<� ����� � ���Õ ������� � � � � �0� �î����� � ��� � � � � ������� � �<���N¡C�Æ� �� � Ý � � � � ��� Ë � �N��� � F�q à Û á �� � �� ����� ���� � �� � � � � ����� � � � � �� Û � � � �� c ���� � �� F q à Û á û&Û ç ] Þ � � �<Û � � � � � � � � �<Û« � � � � � �BÛ¡P �¦9¥wªv¢�£n �»g¡k§�¾T  �º�ªc¡k¼{�RU¡P�{¢�º�ªc¡ ¦9£n � �¡P©  �¥w¤F¥WV[¦���£n¤�¡P»�£n F¦g¡P¤�¡Tªw£n��£{ªc¡P¤���© ªw£n© ¦��[¢�¡P»�£n¤F¥w �¦I¥wªcº ¡P�q¥w©��©!¥w �¢�¡P»�£T»�¥� ���¦I¥w¤�¦I£n �ºYXªn½¡P£T¥w©!¼[�i¥�¥c��¥F§·¡PÄ�«�¾¡P¤�º ¡P ^ªw£n�~¢�¡P F»�º §¨¥w¤�¥c�~¢�¥c æ¥w©!¦g¡P¤�¡P��¥w��£�¶*Ë�¥w �¢�¡Y§%£n¤�©ß¡ �¥c¤�º ¡�¦I£n � c¾T «~¥w�~��½¡P£F¡P¦I¥c��¡P �¢�¥w �¢�¡P¤q¦�¤�º�©ß¡P��º�»�¡P»�¥q¤�¡P¦�º�»�¡P© ¥c�~¢�¥�©ß¡P 2¡�¢[¾¥*§¨¡�¢�£n¤�¡P¤2¤�¡P¦�º�»g¡P© ¥w�{¢�¥)º��{¢�¥wº�¤�£n ©Y��º ¢�£Ã�n¤�¡P�i»�¥w °¶*�����n���� [Z9\�]_^a`5b<cedf\�±�¯v²hgi`ajc�­kb%¬lZ9\�²nm°¾¥À¡P � �º�©�¼{��¥� °½¡P£kªoGg¡P©ß¡P»g¡P æ¥w �¢�¡P F©'¾¡P¼{��º��g¡P op¥WV{¢�¤�¥c©ß¡P© ¥w�~¢�¥À¤���»�º�© ¥w�{¢�¡P¤�¥w 7m¨ªw£n©����i �¦I£n��ªw£n rq-JfÅiº ¢� F»�¥À© ¥c©'¾£n¤�º ¡!p�Æ�¾¡k§%£n¤�¡P©dªc£n�i �¢�¤���º�»�£n F©ß¡P ��½¡P£� �¥) �¡PÅI¥*ªc£n© ªw¥w¤�¢�¥wÄc¡F �¥Y¾¥*¤�¥c¡P��© ¥c�~¢�¥*¦I£n � c¾T «~¥w�[ªw£n�� �¢�¤���º�¤2ªw£n© ¦��i¢�¡P»�£n¤�¥w q¼{�RU¡P�~¢�º�ªw£n qªc¡P¦g¡PÄw¥w °Çn¦I£n¤¥WV[¥c© ¦i��£�Çg»�¥�§·¡�¢�£n¤�¡P¤F¤�¡P¦�º�»�¡P© ¥c�~¢�¥Ãº��~¢�¥cº�¤�£n F�n¤�¡P��»�¥w tsI �¥Àº� �¢�£T§¨£n¤�¦I£n � c¾T «~¥w�·Çg£ º�© ¦�¡Pªw¢�£ ªwº�¥w�{¢c¾T ¿gªw£ß¥¢�¥wªc�i£n�c¾£n�nº�ªc£Ã �¥w¤�¾¡�º�© ¥c�i �£�¶2Á�£n¤*£n�i¢�¤�£À� ¡P»�£�Ç~��½¡P£À �¥æ �¡PÅI¥�¥WV�¡�¢�¡P© ¥w�{¢�¥�¼{�g¡Pº� *¢�¡P¤�¥v§¨¡P � �¥c¤�º ¡P© ¤�¾¡P¦�º�»g¡P ¦g¡P¤�¡k��©!ªw£n© ¦��i¢�¡P»�£n¤F¼{�RU¡P�~¢�º�ªw£fsI ��� �¦I¥wº ¢�¡�J· �¥�¼{��¥Ã¡P���n���� �¦�¤�£nÅ���¥w©ß¡P cÇiªw£n© £T£T»i¥�«~¥c¤�º ¿gªc¡P¤æ �¥���©�n¤�¡�§¨£ß¦I£[»i¥Y �¥c¤�¦�º��{¢�¡P»�£�ªw£n©�¢�¤FU¥w �ªw£n¤�¥c �»�¥k© £{»�£ ¼{��¥k��½¡P£�Gg¡�Æ�¡T«*¾¥w¤�¢�º�ªw¥w À¡P»PÆ�¡Pªc¥w�~¢�¥w À»�¥Ã© ¥w �©ß¡ªw£n¤°Çi �¥w¤�º ¡P©!»�º §�¾T ªw¥cº� ^© ¥w �© £Y¦g¡P¤�¡k¥w �¢�¥���£°«~£T¢�º�¦I£T»�¥�¥w¼{��º�¦g¡P© ¥w�{¢�£�¶

Page 49: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³����

��

��

��

æ ðPóPçênÑ�ê ëJì L^Nõ7ø9KVù5ò:èð�é:è(ø=è³é)øLî K õ�ð�óÀJ$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�ó E^e��� � �¶Û � � ì������������������ � � � ���� Bs � � � � � ���£��¥� � � � � �R� � ����� � � � � �$¦Ö� � �Ê ��� � ���ì���Ó� ���� � �� � � � � ����� � �N � � � ��� c Õ � � � � Ë � � ��Ë � ��� c � ­ � � � � Ý É � ������� � ���� � �����N�������ÍìÈ� � £��¥� � c ( Þ=ß b ­òà � � �fe á a¥� �ëÃ�ÄÆÀªÁ²Ç�Â�C ½ � ��� ����� � ����� � ���¸���¶eN û 'Lü×ý�ü7�=þP�����ü X �����. Ä<; � cÇ� ­ Ä ¯ ¼r½�¿�ÀªÁ$l ¯��ö« 1Ã&CÇ3C�0� Á

e © c ô ¨$¬]­c ô ¬ ­ © c ¨/¬]­c ¬ ­ ç c¨/Ø]­c Ø]­

âÄ[A�À�¼¾ÂGÄ)A�Ã�Á�¼r½�¿�ÀªÁ$Ç � k � ÂGÄ c 1� "$%� · ��� � � ��Ë � �� �éâ � � ����� � ��� ó ���� � � ¤c ¨/¬ ­c ¬]­ b c ¨¸Ø ­c Ø]­ b ­ à � � � ¯ á

�x��������ì�� � ÍÎ�� ¦Ö� �������������xË � �^��������C �� ����� � �P��¥� �é�Ê � � � ����� ¤ � � ���ge b ­ à � � � «�¯ á ¤��� e ©î« Ý ¯ Ø,­ � � � � Ý ���������� �  fs^����� ¤ � � � � c ô ¨ b ­ à � � �Ðe á ���� � � c ( ©c ô � ¨ � ß © à c ô ¨ á � ç c bdc à � � �fe á   #Ñx� � ��� ���� � � � � � � � �� � ���n������� � �=� �� �� � �H� � � � �����<��� c   ê � � � � �������� ¤ �� à clø e á �­ ¤ ������� � � c ( Þ<ß àb ­òà � � �fe á É ��������� � �� � ¤ ��¶e ¦ � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � �� ���� � � � � � ����� � ��� � � � ��������� ce� � � � � ��Ë � � ��� à clø e á � ­ ��¥� � � � � � �$�.��� ¦ � �Í� � � ��� ��� ��� � � � � �� � � ���� � � � � � � �=� � � � �/��� c �������� � � ¦ ����� � � � ��� � � ��� � � � � � Í� ����� � ���ü���� � £��¥� � � � � � ����������� � � � � � � ���Ó��� � �� ôsN��� �� � ¤ � � � �����¸�� � � ��� � � � c � � �à clø e á � ­ �� ¦ �� �����n�� � � ���� � � à clø e á � ��� � � � � � ����� � ���A¡ � ����������� ¤ � Ë � �ë � ��� ��� � �/¦Ö� � � � � £��¥� � Õ � � ����� � � Ý ���heN  �¡ � � ¦Ö� � � ������������� � ���xË � �^�P�����W� � � � � � � ��P� � � � � �� ����� � �0� � � � � ��� � �he ¤ �Æ� � � � � � � Ç âA�ÀéÄG½GÁ�Â/Ã�Ävu � ½À�¿Dozï � Ä�ä ¤ � � � �ª� � � � ������ � ���Ë � �/�� æ[Ò cÐÒ eµ� à clø e á © ­ �����¥� � c ( Þ<ß b ­öà � � �fe á   ó � � � � ��/����� � ���� � � �������������������� � � �¶sN� ¦ � �Æ� ¤ r0� � ����������¸� ·<� ����� � ���gË � �8�� LÀ+ à Û á �� � �� ����� � ��� �� ����� � ����� ê � �������Æ� � ���r���� � ������� � Ë � � Û �����¥� �LÀ+ à Û á G Û ô ~�í��� � �hÛ � � ì������������������ � � � ��� ¤ � Ë � ����� � ����� � � �P�����W��¹�� ��� � �������ì �Ó� � �= �� ����� � ���� ê � �������Æ� � ���   ã ��é��� �� � � � � °�� �� ����� � �N��� ê � �������Æ� � ���a���� � �����N� � Ë � � «�øúù ç­ æ ß � � � � � ���������� � ����¥� � ��° � ¤ ��� ����¤ � ±���´ ¤���³�°���¤ ����� � ¤�°�°�� � ¤���´ ��� ¤ � ��������¤ � ����³ � ¤��´���³ � ¤�³ � ��³ � ¤�³�°�°���±�¤�����°�����¤�°���±²³���¤�°���´�±�� � ±�����° �xw� ·<� ����� � �a����ì � � � � � �������� � ��� � �� � � � � ����� � � � � � ����ì ���� ¼¾ÂGÄ)A�Ã�Á�¼r½�¿�ÀªÁ� á Á²½ÿCÎÄ� � � � �� c   · � � � ����ì ����¢Ë � � � � e �� � � � �� � � � � ����� � ¦ � ���P � � � ��� c �������� � ���������ytz ¥<Æ�¡|{ �����1��� { �����Ü���J�����(�?��� �3�����(���!}=�J�P�e~=�������:�( ��:���P�!� ¦g¡P¤�¡ ¡ ��º� �¢�¡�»�£n  �F¾��© ¥w¤�£n �»�¥Ìæ¡P¤�© º�ªoGg¡P¥w�9© ¥c�i£n¤�¥w æ»�£T¼{��¥��F���F�[¶

Page 50: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³�°��

��

��

��

E å æ ç=è(éPênÑ�ì¶éÿøLî K õ�ð�í�ókK_ó�øÿðPó=ö(ö$óôó�J$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�ó��������������� � � e ¬ª­ ©(« � ç É<¤ � � � É �Ê � � � ��  � �ôe �e« �� � ����� � �������»�P�����W����� � �2���� � �� � � � �C��� ×¢� � � � � Ë � � � à c á ô \ b ­öà � � �fe á Õ ��� ���������Ë � � � � � ó ����� � � à c á ô [ b ­à � � �fe á Ý   � � ×0©}æ ����� � �� � ���ì�� � Ë � � c b ­öà � � �fe á É � � � � � � ��� �� ��� � ����� � �à c á ô \ y Z b ¬$­ à � � �fe á ���� Ë � � ¬8­ �� �ð�� ��� � � � � � �n��� Û ��� ¦ ��������¸���¶��Õ � �� � � � �e Ý � � � � � Ë � � � Û ô b ­öà � � � ¯ á   s^����� ¤ ��������� � �¶Ë � �Áeº� � � � � ��� �]�Ê � � � � ��� � � �� � � � � ����� � ¦ � ���Ô � � � ��� c �� Á$A c b ­öà � � �fe á Á�A �P�����W��� × W Ò Ý� � � à c á ô \ U b ¬8­òà � � �fe á   ê � � � � ��������é� � � � � �� � � � � ����� � ¦ � �����ª � � � ��� c�� � � � �� � � � � ����� � � � � ��� c � � � � �� � � � � ����� � � ¦ � �������g��¥� � � � ���0� � � � �x� � Ë � �� �� � � � � ����� � �� 

� � ��������¸Ë � �/���¶e ¦ � � � �� � � � � ����� ��� � ��� c � � ��l¥� � � �� � � � � ����� � ¦ � ��� � � ���c ¤ �����¥� �A� ����W��� � ����� � a¥� � ��� �� � �¸����� � ���� � Ë � ��e ��¶� � � � � ��� � � � � � � � � � �� � �®¦Ö� � � � � £��¥� � ��� �Æ��� � �N���ÁeN Ú*x� ¦Ö� � � ¤ �� � � � © à c á ô \ y Z É ���� � � � ¬}­ àb æà � � �fe á ¤ � Ø[­ àbðæ à � � �fe á � � � à � ¬[­�á�à � ص­�á © � ô ¬µ­ b æ à � � �fe á  �sx������ ¤e © à e ø � ¬]­�á�à e ø � Ø]­�á  ¡<����������º���ì ���� � � � �� � � � � ����� � � ¦ � �������n��� Ë � � ��Ë � ��� � � ��� cÇ� ­ åY·<� ����� � ���� � � � ��� Ë � � ¤ ���t� � F q à Û á �� � �� ����� � ��� � ��� � � � � ���� � � ¦ � �����Y � � � ��� c ���� � �������� � � � � ��� �[Û �����¥� � � � F q à Û á G ] ä�s uDv � å a5x9�� � � � � � � � Û � � ì�������������������� � � � ����NÕ ������� û ü7%&"(')2)_�5"5 Ý   � ¥� � ������������ü� �� ����� � ���� ê � �������Æ� � ��� ¦ � ��������� å � � � � � � � � �� ����� � � � � � � ��� ���Ê � � � �/eµ�P�����W��� æ[Ò c Ò e� � � à clø e á © ­ �¶� � �nË � ��e Çk0� Á �� � � � ��� � � � � ���� � ¦ � ���ª � � � ��� c  �Ì������ � �� �� � � ¤ � �n� � � � �����»��� c Ë � �¸����������º���^���������� � �� �8��� � �8� a¥� � Í � ���� � ����� � ���0���¶e��¥� � ���� � ���g���� � ���� � ������� ¦ ����Ë �� �������� ¤ � � � � ����� � �» ��� � � � � ��£��¥� � � � � �R� �  û 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü X � � . Ä<; � e � ­ l e o�Á²À/¼HÁ�Â�CúÁ]â� À/¼ � ½�1�&PÇ7Cg0� Á/ÁgÇ�âA�ÀªÄƽ�Á8Ã�Ä»¿�Ç3CÎÄG¿�½�Á�Âc l æfÒ-c Ò e lȼ � ½ � Á�Â!Ô$A � ¿� e âÄ A�À ¼¾ÂGÄ)A�Ã�Á�¼r½�¿�ÀªÁéÇ � k � ÂGÄ c âÄ/ÀªÄÆÇÈÁ�½8Ã�ÁÁÔ�A�Äe @ « 1� "$%� � � � � e © ¯ X[Zß ����� ¯ XP\= ��¦Ö� � � � � £��¥� � � � � � ����� � ���³eN  · ��� �¶â � � ����� � �Æ����¾¹���� � �»������� � �Y� � ��� � �P�����W��¹�� ��� � ���¸� � �Ê ����� � ������������ � �n� �� � � � � ¯ X �> ¤ � � ����� � �n�������������Ö © à È @�à e á�á ËY©ßÈ @ \ à ¯ X[Zß á��(ç�ç�ç!� È @ \ à ¯ X�\= á   � �0����������� � � � � \ à ¯ X �> á ©(« � � ç É > ¤� � � É > �Ê � � � � ¤ � � ����� � �»� � � �n����c��������������� Ö © Ö ô � Ö�� ¤ � ��� Ö ô © È @�à « � Z á��ç�ç�ç�� È @Èà « � \ á � Öx� ���� � �Æ����� �Ê � ��� ��  � ¥� �Ô��n��� ¦ �Ê �����������=Ë � �ôe �� � � � �� � � � � ����� �¦ � ���� � � � �� c ��Ô�Ô� � ��������Ô�� � � �Æ�����"� � �ª� � � � � ���������ª��� c ���"� � � �� � � � � ����� È @rà « � � á �� � ������ � Õ � ���Êe ¬}­ © « � ç É � � � É �Ê � � � � Ý  þÌ � �� � � � � � � � ������� Õ ��� ��� � � � ¤ � � �������Ò��� c ��� È @Èà « � Z á Ý � �� ����� � ���������������� � ���� È @rà « � _ á � � � � Ë � ��� � � �Æ����� � ���������� � ��� � � �� ����� � � ����� � ���é� � � ������� � �� � � � �   #

Page 51: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³�±��

��

��

��

æ ðPóPçênÑ�ê ëJì L^Nõ7ø9KVù5ò:èð�é:è(ø=è³é)øLî K õ�ð�óÀJ$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�ó E Q� � ������� � ��� � � ����Íú��x����� � �W��� � � � ������� � ��� � � � � � ��� ¦ � ����ÕÖË � � ���x������ � �������� ������� � � � � �� �Ê ����� Ý åC "$ü�'L"$%& X � X . Ä<; � e � ­ l e o�Á²À/¼<Á�Â=CÎÁ â� À/¼ � ½�1�&PÇ7Cg0� Á/ÁgÇ�âA�ÀªÄƽ�Á8Ã�Ä»¿�Ç3CÎÄG¿�½�Á� c lætÒÚc Ò e l�¼ � ½ � Á�¶Ô�A � ¿� e âÄ[A�À�¼¾ÂGÄ)A�Ã�Á�¼r½�¿�ÀªÁ$Ç � k � ÂGÄ c âÄNÀªÄGÇÈÁ²½gÃ�Á Ô�A�Ä e @²Û 1sc����� � ���� � £��¥� � ����������� � ����� � ���� �� � ���Ó����� � Él� ������� � � � � ���é� � �������� � �^����� �� � � �/� �c�������Æ� �Ê ��� �   � � � � � ���ºË � �heö���������¹��� ��� � � ��� ¦Ö� � � ����� � ���� � �»�����W������ � �� � ���/����n�� � � � � � � � � � � ����� � ���� � £��¥� � � ��� � � � � ���£��¥� �  � ��� � ����� �N� ����� � ��������P��� � � �� ��� � � � �l����W�����H��� � ����� � ����� � ��� ¼r½�Á�k � k�¿�ä�â� Â=CÖ¿DoGÁ�  * � � � e ¤ � � � � � � � + � � � � �����/��� cö� � � � � � � � �������� � � � ­ Ò cYÒ eÐ�:�������ì�Í� � � � � � � � � � � � �Þc ���Ðe � � ��� � � ��������:��� � ����� � ����� � ���ª � � � �� c   � �Ðe ¦ � ��Ê � � � �0� � � � � �W� � ¤ �:� � ��� � � ������� � �������¶Ë � � � � � � � � cS� � � �� � a¥� � Í � ���� � ����� � ������ c ��8� � � � �0� � Ë � � Ù@�Û Õ � ��� � �� � ����� � Ý É � ������� ¤ �ª� � ��� � � ������� � ���8����Ë � �!eð����Í� ��� � ��+ ���������� ��¶���� � �$� � Ë � � Û�Þæ-  AÌ.����� � � � � � � � � � �����¸� � ����� � � � �¸��� +� � ����� � �^��������� ¤ ��`e � � �� � �^ � �������� ¤ Ë � �[e �� ¼r½�Á5á � á²Ä�ä�ÀªÄÆÇ3CÎÄ � ���� �  ^¡Y�W���/��� � ����g������� ��0���������� � �������� �� ����a��� ��� ����� � £��¥� ���¸ÕÖ� � � � ���ü���� � � � � � � ì � Ý � ��� ��g����Í� � �� � ��������� � � � ���� � �=����� � ����� � ������� � � � �����H� � �=a¥� � �P�������� �g� ��� � � � � � £��¥� � � � ������ � ���� � £��¥� ��� ��� � � � � ��� ¦ ���£��¥� � � � � � � � � �   �x� ��� � � � �� � ���������W� � �������������� � ¤ ���Í������ � �� � ¤ �� � ��� � �ñ� � ���� �� ���� ��å Ë � ������ � �»a¥� � ��� �� � � � �c����W��� � � ��� � � ��� �Ê ������ �� � � � � � ����� � ���� � £��¥� � � ��� ����� � ����� � ���0���ÌeN  · � � � ����� � � �� � ��������ga¥� � � � ��������¥� �é�È� � å ��� � � ����� � �W��� � �� � �NË � �[e �� � ����� � � ���� � � � � � � ��� ��� ��� � � � � ������ � ���� � � ����� � � � ��������e @²Û � � � � �����n��� c ¤ � Ë � � ��0������ � ����� � ���� ¡��������� � � � � � ��� � £��¥� � � � � � ������� � ��� � �� � � � � ����� � ����� � ��� ¦ � ������  � � � � �� � � � �Ë � ��e ¬ö­ © ¯ � ç É<¤ ¯54 É   � � � �Ðc � �c���������� � ¤ ætÒÚc Ò eN  � � ��Ë � �� � ��� � ���� � ���ó ����� � �0������Ë � ����!e �� � ���� � ��������� � �N����� à c áÖ¨ [ b ­öà � � �fe á   � � � � �� � � � �Ë � ������� �¸� � � �� � å � ��� � ����W���N����ì � � � � � ������������}� � ��������� � � �e�� �Ó����� � ������� � l¥� ���¹� � � � � � ��� �� � � � � eþ� � ���ËV�� ¹�� ��� �Êc ø à c á ¨ ø à c á ¨ _ ø ����� ø à c á ¨ [ å �Æ� � ����� � ����W���ë������ � ��� � Õ ��� � � � ������ c b ­öà � � �fe á a¥� � � � ����� � � ��� ����� � � � ����W��� Ý  â ��� � �P��� � � � �������� � ¨x¬ ­ © à � ¨�Þ<ßaØ ç�ç�ç�Ø � Øö­�á�à � ¬ ­�á b]æ à � � �fe á � � ¬ ­ àbðæà � � �fe á É ��³e ¦ � � � ���� � ��������� � � ��� ��� ��� � � �� � ��������x����� � ¨�Þ<ßCØ ç�ç�ç�Ø � Øð­ bpæà � � �fe á  H¡P� ��� ��� � � � � � � ��� � � ¤ �� � ¨�Þ<ß�ØAç�ç�çÖØ � Ø.­ àbðæ à � � �Ðe á � � � ��� � �HË � ��e��N� � � � � ��� �  Bsx������}� � � � � � � � � ��� � �� � � � � ����� � � ¦ � ������� ¤ ��/e ¦ � � � �� � � � � ����� � � � � �� c � � � ¦Ö� ��� � �0���W����������� � � � �ë� � � � � � ����� � ¯ � � � � � � � �0��� ��� ����� � � �¦Ö� � � � � £��¥� � � � � � e å e © à e ø � ¬]­�á�à e ø � ¨�Þ<ß Øµç�ç�ç�Ø � Ø]­�á  u �� �� � ��� � � � � � � � � �� ������ë���ëäN����� � �ö � � ��� �Ê � � � � �� ®¡��������� � � �S� ������Í� ����� � £��¥� � ��� � � ��� � ���:� � ��� � �� ������ª���ªäN����� � � ¤ �Æ� � � � � � ��� � �� ������ª���ªäN����� � �� ������ � ����� � � �  ]Ñx� � ������������£��¥� � � �������� � � � �� � ��� � � � � � � � � �� �����������äN����� � �

Page 52: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³����

��

��

��

E j æ ç=è(éPênÑ�ì¶éÿøLî K õ�ð�í�ókK_ó�øÿðPó=ö(ö$óôó�J$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�ó� ������ � ����� � � � ����� ��ë¦ � � � � � �¸ � �� � � ����� ������� � �g� � �¸��� � ����� � � ����Ë �� ¹������ � �^� � ��� ���� � � �� � ������ � � � � ����W��������� � ���� � ����� � ���� C "$ü×'L"(%Y X �%EFcÕ â ������Ô����Ì.��������� Ý . Ä � ï�¿ ¼ÐâÁ�CÎÄGÂGÄÔÃ�Ä��N¿÷ÄGÀ � Ç�Ç $�ÄGÇÈÄƽ � ä�¿�å � à � âÄá²ÄG½�à � Ã�ÄÆ¿�½ � ÄÆÇ3C�0� Á/¼ � ½ � CÎÁ�Ã�Á e â� À/¼ � ½!oGÁ�À¸¼<Á�Â=CÎÁ:Ä � ¿�Â�CúÄ c]Ò2« à � � � e á ô C � ä�Ô�A�Ä ea¥� �ÚâÄ[A�À�¼¾ÂÆÄLA�Ã�Á�¼r½¿�ÀªÁ á Á²½ÿCÎÄxÇ � k � ÂGÄ c 1� ¥� � � � ���� � � � ����� � ���� � £��¥� � � � �� � ����� �ª� ����� � Éa� �����Ó� � �g�������������� � � � �������� � � � �Ó� � �[������)#V  ÑN� � ����� � ���� � £��¥� � � � ��� � �� ����������8äN����� � � � ������ � ����� � � � ��� � ����� � ��� �é� ������� � �P�����W��¹������ � ��� � � ����W���$��� � ����� � ����� � ���¸� ���� ��� � � � ��� � � å a¥� �[��8��� ¦ �Ê �����a�������ÓìÈ� � �Ë � � � ���� � � ���������� �� �� � � � � � �������ÓìÈ� � � � ����� � ����� � �������!e � ��� � ����W��������Ì.��������� ���������Ó� � � � � � � ���� � ��������� � � � � � � � ����¢¹� ��� � ���2� � � eN H¡<�������� � � ��� �� � � � � � ����� � ¤� ����� � ���»� � ì������� � � � ¤ ��������� � � sx������� � ¤ ·<� ����� � �����^ä � ����� H ¤ Ë � �0����� � �W��� �ÕÖ���� � ����������� � ���S���S���� � � � �ª� � � ����� � � � �:� � � � � ��� � �� �����S���Sä������ � Ý �� ����� � ����� � ���^��� � � � ����� � eö��� � �}���� � � �������Ó� � � � � � � à � � � e á�� s uwv`s uDv`s uDv ( ��� � �� � � ������ � � � ��� � ���� � � �������� � �� ¡<����������ð� � �Ó� � �l� � � � ����¾���<e � � � � � �lË � � ��� �� � � ��� �Ê ����������� � �W��� � � � ����� � ����� � ������ � ������� � � � � �Ó� � ���� � �Y� � Ë � � � ��� � ����W���^���gÌ.���������� B^=������� � �»� � � � � � � �������� � �������ª���Ô����W�����:��� � ����� � ��� å Ë � � � � � � �� ������� � � � � �ö¦Ö� � � � � £��¥� � Õ � ��� � ���� � �� � �Æ��� � � Ý � � � � e ¬ ­ �/Ë � � � � � � ���������� � � � � �8¦Ö� � � � � £��¥� � Õ � � � �n���� � ��� � ���� � �� � �Æ��� � � Ý � � � � e Ø]­  

Ú ?�p4xLAM�B�À�4�� � K`Â�I85$;CBG9<D [email protected] Ú I$;=Kr��K`ÂD�I�ýK��8K`ÂD� E Kx%ë4xLAKN�¡C� ��� � �W� � ��� ������� � �é� � ����� �� ����� � �ª�� ��� � � �éÌ � ��� ��� � s � � � p � � ¤ � ����� � �i � H � ��� � �Ó���� � � ���� � � � � � ������ ����� � � � � � � � ���� � ���P� � ���� �� ���� �^� � � � ��� � � � �� � � � ����� � � � ���� � ��� � �¾�¸�������������� �Ê ������ � � � ��� � ���� � ����� � � � � ����W� � � ��� ����� � ����� � ������ � �ñ �� ����� � � � � �Ó��� �� �� �  

Page 53: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � ³�´��

��

��

��

æ ðPóPçênÑ�ê ëJì L^Nõ7ø9KVù5ò:èð�é:è(ø=è³é)øLî K õ�ð�óÀJ$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�ó E y� � � � � ����� � �� � �� � � ������ å

¡C���� � � � åH� �ñ��������� � e � ­  ��  � � à e © c � � � �Ðc¢ø É Æ�� � É � ­�Ý ¤ ����� � � � ê � Ì · �³� â �  �  =¡P � � ����� � ���� � � Ï � � �lË � � � ����Ô�e � Û � � � ô eN �   � � ­ Ò ��� � à c¢ø e á Ò e � � � ��� � � � � cAûYÏ ¤ ����� � � � ê � Ì · �³� â �  ³   � �³e û Ï ¤ ����� � � � · ä W Ì �  �   · � � �fc¶© ­ � � �� Õ÷«I� \ à Ï á � � � e Ö ¦Ö� £� ���� à�à a Ø c á ( àb a ( Ø c à � � � a Ô ¬¶­ ø e áá ¤ ���� � �� � ê � Ì · �³� â � É°  =ä���� � � � · ä W Ì � É� � ����� � � � � � � � � � �����PÕw� sÌi � � Ý ¤ ���� �� � � � � � � � � � � � � � �l������� � � � ������ � �a� � � �����Í� � � � � � ��� ��� � �H��� � ����� � ������� � �¢ � �� �� � ¤ ��� ��������� � � � � ����� � ���� � £��¥� � ������������ � �=���Ë � � � � � � � ������ � ¦ � ��� � � Õ � ��� ��� � � � ���� � � � � � � �a��������� � � � � � � � � � � ����¢¹� ��� ���� � � � e Ý   � ¥� � ��� � ����������� � �$����� ��� � � � ��� Ë � � ¤ ��������� � � � Í � � �S��� ��������� � � � ���� � � ��� � ���$���� � ��� � � � ����� � ��� � � � � ¤ Ë � �$� � ���� � � � � � � ����� �  g^=� � � � � � �n����ì� êY� ���� � � � � � ��� � � ��£��¥� � � ��� ��� � � �� � �� �  

û 'Lü×ý�ü7�=þP�����üFT. Ä<; � À clø e ¿�Ç3CúÄÆ¿�½GÁ�ÂC¼HÁ�Â�¿|CÖ¿|á²Á�Â�o�Á²À e � ­ Ä �¶��� à clø e á © ­ 1À&PÇ7Cg0� Áà a Ø c á�( b a (éØ c à � � �fe á ÂGÄ0Ä0ÂGÁ²ÀªÄGÇ7CúÄ^ÂÆÄ e âÄP¼¾½¿�ÀªÁ  � � ��������ëË � �A � �� � ��� � � � � ����� � Õ �A � � � � � ���Ó��� � Ý � � � � � � ¹�� ��� � ��ë�������� � ����¢¹� ��� � �� 

� "$%� � �¶e �� � ���� � ¤ à a Ø c á ( b a ( Ø c �� � � �g� � � ��Ë � �� � �� � ����� � ��� ó ����� � ��¶� � ¦Ö� � � ���¶Ë � � O (=�P ���� �� �Ó��� � � � ����e ��� � � � � � � R � � � æfÒ R Ò e ¤ Ë � � � �e �� � ����� � Õ ��� � ��� · � � � � ��£��¥� � �  �� ± Ý   ·<� � ��� �� � � � � � ¤ ��³e ��¸� � � � � �W� � ��Í �� � �� ���� � Ë � �g�����������¶e ¤ �����¥� ��� � � ��ì�����������0��� a ø � ���������� � ������������ � ��� à a Ø c á (�� O ( ø P ç c ( Þ ø ¤ Ë � �/a¥� �e��¸� �� �Ó��� � � � ���te å ��� ¦Ö� � � ¤ �� Í � �� � � � � � � � � ��¹�� ��� � ��� ÍË � �¸�����������³e[�����¥� � � � � � � � � � ��¹�� ��� � ���GÍëË � �/����������� O ( ø P ��GÍ � Þ<ß   #¡Y�� �é� � � � � ��£��¥� � ¦ � �������� � � � � � � ���Ó��� � � � � � ������ � � � ���� � ����� � ��� ¤ � Ë � � �<���Í������ � �� �þ��é� � �Ó� � �����ì���������� ¤ � � ��� � � � � � ��� à a Ø c á�( ��é� � ��� � � �Ó� �   � Ë � � �� � � � ���Ó��� � ���Z� sÌi � � ¦Ö� � ��Y������ � � � � � � � � ¹�� ��� � � �^� � � � � ���£��¥� � � �� � � � � a Ô ¬:­ � � � �� �}������ � � � � � �Y��� Ï Õ �������������� � � � � ��� � � � � � ����� � Ý � � � � � � � � ������ � Ë � � ������ � ������¶� � � � ����g��� c   s�� � ����� � ���¶������ � �¸� � � � � ¹�� ��� � � ���� ��¶� � ì����������� � � � �ë��� � � ������Ë � �¶e �� � ����� �  

Page 54: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

������������ ��������������������� ��� � �����

��

��

��

e)� æ ç=è(éPênÑ�ì¶éÿøLî K õ�ð�í�ókK_ó�øÿðPó=ö(ö$óôó�J$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�óÙ�¼nm � 4N>a9<4N> ðAK¸>¢4NK¸M.58>@4xD Ã�K09<5$;=KØÛÀ!¿584N>sM.4������û 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü X �fe^ . Ä�; � e � ­ 1 . Äg¼ � ½ � o � à � á � CúÁ²½x¼r½�¿�ÀªÁ Í Ã�Ä e ¬,­ Ä � ¿�Â=CÎÄA�Às¿�Ç7CúÄÆ¿�½GÁ c ø C � äôÔ�A�Ä c ( Þ<ßø b ­ à<� � �fe á Ä c ä ( Þ<ß å ~ øø àb ­ à<� � �fe á ÄÆÇ3C�0� Á e âļr½�¿�ÀªÁq1� "$%� �¡  �F¢ Í �¡£ ¢ � ¢ � �k¤¦¥�� ��¹ -§ ��� ¢ �   ÍöË �   ���������   e ¬2­  �s �¨¤ �   � �   c ø  � à È @rà e á�á Ë �  � �©� �� ���� ¥ � � �   Í �¡£ ¤ � � § �   \ à e á �  � �©� �� ���� ¥ � � �   Í �¡£   êY� � ��«ª�� � � ¢ �   ¥�¢�¤�¢ � � � � ¦ ¢ � �¨¤_¥�¤ � � � Íë�   e ¬µ­ ¤ \ à e á �  � �¬� �� �Ó��� ¥ � � �   e ¬µ­   e � ¥a¤ � � �   #û 'Lü�ý�ü7�ÿþ������ü X � å ªÕ ·<� �5����� §a­ � � § Ý . Ä e ¬ð­ © Í � â Á�ǾÃ�Ä Í âÄn¼r½�¿�ÀéÁªÄ¸Ä � ¿�Â=CÎÄGA�À¿�Ç3CúÄÆ¿�½GÁ c C � ä Ô�A�Ä c ( Þ<ß b ­ à<� � �Ðe á Ä � � � à c ä ( Þ<ß å ~ ø ¬S­ ø e á © ­ ÄÆÇ3Cg0� Á`Ô�A � äDÔ�A�Äƽá � CúÁ²½C¼r½�¿�ÀªÁªÃ�Ä e âÄ`oGÁ²Ç�$�½ÿA�Á � ë0À âÁ�Ã�Aä÷Á Í � 1� "$%� �¡  ¯ �  � � ¦ ¢ � �¨¤�¥�¤ � � � �   e  ®§ ��¥¢�� c ( Þ<ß b ­òà¯� � � ¯ á   ¯ § ¥¢�� ���������  c ä ( Þ<ß å ~ ø ¬Ð­ ¤ � � § �   �¨¤ � ¨ c ¤ ¢Ô�k¤ �   � �   c � �� � � � � ¯ ¤ ���������   e ¬2­N� ¢ ª § ¥¢�����������   à e ¬]­�á?@ ; ôs�ª�ª�� � ¤ Í � Ó �k¤ � ¨ c Ó ¯ ¬]­ ¤ � � § �   ¯ b ­òà¯� � �ªÍ á �   #6!ü�'Lü�798�'Lþ?ü X � Q . Ä e ¬þ­ © ê�â l�oGÁ�À êÁ� â Ä0¼ � ½ � CÎÁ�Ã�Á á � CúÁ²½N¼r½�¿�ÀªÁ Í Ã�Ä êÄ � ¿�Â�CúÄ cÁ� ­ C � ä�Ô�A�Ä c ( Þ<ß b ­öà<� � �fe á Ä � ��� à c ä ( Þ<ß å ~ ø ¬ ­ ø e á © ­ ÄÆÇ3C�0� Á e âļr½�¿�ÀªÁq1� "$%� �¡  �F¢ Í � � ¦ ¢ � �k¤�¥a¤ � � � �   ê   Í � ¢ � ¢ � �k¤�¥È� ��¹ ®§ ��� ¢ �   Í.Ë �   ���������   ê É¥   � ¢v¥a¤��k¥È� ª��£��¥¢��N¢ § �   ¤ � �¨¤ ¤ � � � � ¦ ¢ � �k¤x¥a¤ � � � �   ep�   �   ª   ¤ ��¹� §a­ ¤�����¢±° � �� � � � �Í �   êY� � � �<ªW� � � ¢ �   ¥�¢�¤�¢ Ë ��¢ ��Ë �   ¤ ¦ ¢ � �k¤x¥a¤ � � � �   ê ¤ ª  -­ �   Ë �   Ë ��¢ ��Ë �   ¤ ¦ ¢ � �k¤¥a¤ � � � �   e �   �   ª   ¤ ��¹� §a­ ¤����²¢�° � �� � � � � ê   êY� � � êG� � e ¤ �«ª�� � � � ¥ ����� ¢ Ë �   e�  ¥a¤ � � �   #

*   ¦ ¢ � � ¤ ��¢ ª�� ¢ � � § �   �   ¤¸� � � � § �W� § � � �   ¦ ¢ � �k¤   ª ¥a¤ � � � ª¸� ���W��¥a¤�� � � � � ª   �F¢� ¢ � �k¤ � � Ë �   à e ¬é­�áß�~ õ ¥�¢k¤�¢ ¤ � ª ¢ § � �x��¤   ª � ��� ¢ � � �   ·<� �5����� §a­ � � § ¤ �  ®§ � ¢k¤ �   � � § ͪW� ¤�¢k¤³¢r¥a¤ � � ¢ ����� ¢ �   �   eöÕ � Ë �   �   �R� ¢ � � ªa� � � �   �   ¤ � �Ê ��� � Ý   � ª�ª  ®­ � � § �   ªl� ¤ ��� �  ¤ � � ª��� �¢ ª�ª���� � ªnª�¥¢�� � � § ª   Ë �� ¹ -§ ��� ¢ ª»��� ¤   � ¢ ª�� ¢ ª ¥a¤��k¥È� ª�£��¥�   ª ¢ ��� � ¢  ó   ¤ � ¢ �x� � § �   �G� ��¤��� Ë �   � � � � § �� �   ¤�� � ¢ ¦ �k¤ � ¢ ê ( ©[«�ô-, Ø ­ ¦ � ª�ª   ¥a¤ � � �  �   ¤ ��ì�� ����¢ � � § �   ��� �a¤�¢�¥I¢�¤�¢ e û Û   � � ª   ¤ �   Ë �   « ( ص­ Õ  ´  � ­¨  ¤�¢ � c ( Ø(­ � � �c G « Ý Çk0� Á��  ¥a¤ � � � ª   e § ¥¢��ò�  � � ¢µ¥È� ��¹ ®§ ��� ¢ �  x¶ å ª   ¯ �  � � ¦ ¢ � �k¤n¥a¤ � � �ª�Ê � ¥�¢�¤�   e ¤ ¥È� �   � � ª   ª� ¤   �   ¤ c (nØA­ © É ¨ ØA­ © à É ØA­�áÆà É ¨�Þ=ß ¬ É ¨�Þ ô Øëç�ç�çÖØ É ô ¬ É ØA­�á� § �   É ©ãc ( ~G¨  /¡ � �   ¤ � � ª�� ¤�¢�¤ � ¢ � ¢ �<ªN� ¢�¤ �   Ë �   ê � § ¥¢��]�  ¥a¤ � � � Õ÷�   � � ª ê � ©Û «�è Û è × Ü «�è Ü © × ÛÈ­aç × Ü æ�æ ÛÈ­�Ü�Ý   ���¢ ª   �   � � § ª�� ¤���� Ë �   êI( �  � � � ¥È� ª�� �+¥I¢�¤�¢ � �¢k¤ � � ª��� � ¤� ªn� ¢ � �k¤   ª��   e É §a -§ � � � ��� � ¤��²¥a¤ � � � � ¢ ¦ �¨¤ � ¢ êI(®©µ«�ô5, Øð­ �  � � § �   ����� � ¤� ¢ ª�ª   � � § �   �   �·� � ��� � ª ¥a¤ � � � ª8Õ ¢ � ­ � § ª ��¢ ª�� ¢ § �  �­ ¤�¢ § �   ª Ý � ¢ ¦ �k¤ � ¢ c ô-, Øþ­ ¤

Page 55: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

¸ �   ¤ ª  ®§a§� -¹¶�º¨ºk»¡¼i½�¼k¶k¾¥�¢ ­k µ¾ °¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

æ ðPóPçênÑ�ê Ñ�ì¶é)øLî K�õ�ð�í�ókK_ó�øÿðPó�ö$ö$ó eæ�Ë �   ª�¥¢�� � � § �   ����� � ª�� � � �À¥a¤ � � � ª��   ó   ¤ � ¢ � ­k ®§�  ¤�¢ ����� ¢ � � ª�  � �   ª��   ¢ ª  -­ � � ¤� � ªW� ¤�¢ � � � � �   ª�� ¢�¤   ì����  ®§ �   �  ®§ �   ¢Á¥a¤ � � ¢ ����� ¢ �   �   ê (  6!ü×'Lü*798�'Lþ?ü X � j �Õ â   ª��   �   ·��  ¥ � § Ý . Ä<; � ê ( ©(«�ô5, Ø[­�u ê ( âÄY¼r½�¿�ÀªÁ$ÂÆÄ0Ä^ÂÆÁ�ÀéÄGÇ3CÎÄÂGÄ Ù ä< , Þ<ß å ~ ô b ¬$­ à<� � � ê ( á 1� "$%� �¡  Ù ä< , Þ<ß å ~ ô b ¬$­öà¯� � � êI( á  ®§ ��¥¢��;¢;¥�¤ � � ¢ ����� ¢ �   �   êI( ª  ®­ �   � ¢·Ã¤�¨¥�� ª��£��¥¢�� ½   ¾   ·<�¨¤é��� � ¤� � ¢ � � ¤ ª   êI( �  ¥a¤ � � �  ®§ ��¥¢�� Ù ä< , Þ<ß å ~ ô b à õ , á ©à  ,õ á © à ôõ á © ¬8­öà<� � � ê9( á   #6!ü×'Lü*798�'Lþ?ü X � y ÔÕ â   �k¤   � ¢ �   ·Ã¤� �� ÉH° » ± » Ý . Ä�; � e © :Ôç « � Øþ­ o�Á²À « � � : 1&PÇ3C�0� Á e âĶ¼r½�¿�ÀªÁ ÂGÄ�Ä�ÂÆÁ�ÀéÄGÇ3CÎÄAÂGÄÔÄ � ¿�Â=CÎĪA�À ¿�Ç3CÎÄG¿�½�Á c oGÁ�À c ä ( Þ<ß å ~ ô b ¬8­à¯� � �fe á 1� "$%� �¡  e �  ¥a¤ � � � ¤ ¥�� �   � � ª8� � � ¢k¤ c Ë ��¢ ��Ë �   ¤ � � �Eà q( á © ¬8­ É»��� ª   �F¢ ¤�   � ¢ �   � � ªA� § �   � ¤� ª  ®§ � ¤   °   e ¬c­ ª   ¤ �   � � � � c  +s ¤   � �Ê ¥a¤�� � ¢ ª  ®­ �   � ¢·Ã¤�¨¥�� ª��£��¥¢�� ½   ± � � � ê/©(« �   #6!ü×'Lü*798�'Lþ?ü X ���q�æ�. Ä e © :xç Í � Øé­ oGÁ�À Í ¼r½¿�ÀªÁxÄ Í � � : 1�&PÇ7Cg0� Á e âÄa¼r½�¿�ÀéÁNÂÆÄYÄÂGÁ²ÀªÄGÇ7CúÄHÂÆÄPÄ � ¿�Â=CÎÄ/A�Àþ¿�Ç3CÎÄG¿�½�Á c oGÁ�À c ( Þ<ß b ­öà<� � �fe á Ä � ��� à c ä ( Þ<ß å ~ ø ¬�­ ø e á ©­ 1� "$%� �¡  e �  ¥a¤ � � � ¤ ¥È� �   � � ª0� � � ¢�¤ c Ë �I¢ ��Ë �   ¤ Ë �  ²§ ¥¢�� ª   �F¢ � ¢ ¦ �k¤ � ¢ Û ø� �� � � � � e É���� ª   �F¢ ¤ � � ¢Á¥a¤��k¥È�k¤ £��¥¢�� �   à Í ¬[­�á?@ Í:�  -§ � ¤   � § �   � ¤� ª  ®§ � ¤   °   e ¬[­ª   ¤ �   � � � � c  Bs ¤   � �Ê ¥a¤� � ¢ ª  ®­ �   � ¢�·Ã¤�¨¥�� ª��£��¥¢�� ½   ± � � � ê$© Í �   #Ñ � ¢   � ¥a¤   ª�ª���� ¢ � ¢ � �k¤ � ¢  ®§ � ¤   � ª ° º¨º � ¢ � �k¤   ª ¥�¤ � � � ª0� � § �   ����� � ª   ªW��¥¢�� § ¢ ª� � § ����£��¥�   ªg� � �   �¨¤   � ¢ �   ·Ã¤� ��µÕ �   ¤ � ¢��   � ¢ ª Ý   W ªW� � ª   �   �   ¢�� ¦ ¢ � � �   ¥a¤ � � � ª�   ª�� ¢ ¦ �k¤ � ¢ ª   ¤   � ¦ ¤   Ë ��  ®§ �   ª:Õ � ¢ �<ª ¦ ¤   ËV��  -§ �   ª�� � Ë �   ¤ ¥��¨¤   �   � ¥ � � ¤ ¥a¤ � � � ª�   Ì   ¤ ª  ®§a§a  Ý   Ë �   ª �I¢Ä¥a¤ � � ¢ ����� ¢ �   �  ¦ ¢ ����� �  ®§ �   �   � � § ªW� ¤�¢ � ¢ò� ª ¢ § � �   ª��  ¤   ª � ��� ¢ � �  

Ù ¼�Ù ÅÇÆ7È®ÉËÊ�ÌÎÍ�Ï í Ï�ÆHÌ[Ï�Ð�Ð�ÏÑ   ��Ò ¤�¢ �ÁÓ ª�Ô�Õ   Õ � §xÖÕ �   ¤ ÓÀ×  ÙØD  ¤ ª  -§a§a ÚÖ  Õ � §xÖÕ �   ¤ ÓÀ× ¢±Û Ó ¤ � ¢BÜÞÝàßá ÝxâÞãiäæå  9ç ¢ �²Ó ª ¥�¤tè �   諤�¢ �  -§�ét  Ô�Õ  �á Ý´âBã ª ÖÓ ét  �¬ê�ë ¢ § ê   ×   ª   ¤_¥a¤tè �²Ó Ô�Õ ¢ § ×RÓì Ö  ¥a¤tè �²Ó ä

û´í ü×ý�üLî=þP�ï �ð üÄñ��YòLò*�.�ó á ( âÚã âó_ôöõt÷«ø�ù²ó�úöû 0� ù´ü âó_ôöõ�÷ýø�ù 1�Ùþ¡ÿ ��   ü ß�� É ê!Ók� ��� É G áµ -§¨é��¢ Ó ã Ò á q â�ã Ò á ( â�ã   á ( â�ã ß á q â�ã ß� á q âÚã��Çã âÚã ß� � �²ÓR× á q âàã  ´á ( âÚã Ö  ê!Ó¨� ¥ Ó ª é Ó ä #

Page 56: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

¸ �   ¤ ª  ®§a§� -¹¶�º¨ºk»¡¼i½�¼k¶k¾¥�¢ ­k µ¾k¶¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

e�� æ ç=è(éPênÑ�ì¶éÿøLî K õ�ð�í�ókK_ó�øÿðPó=ö(ö$óôó�J$óPð�J$ó�ð�í�ó�é)øLî K�è(ò�î í�è(í�ó� Ó ¤ Ó Õ é ¤ Ó�� ¢ ×RÓ�� §��¢ Ó ª   ª ¢ Ò   ×   �²Ó § ª é ¤�¢k¤ §�  � Ô�Õ  Á �� è ª é ¢ � è §���§ è é Ó ªrôöõt÷«ø�ù���¡ó���óeõ �eó�úaúöó §a  � Ô�Õ  � �� è ª é�  � è §��I§ è é Ó ª ¥a¤tè �²Ó ª ì ¥�¢k¤�¢ Ó ªÃÔ¨Õ ¢�è ª ÜÞÝ Ö  ê®Ók� ¥ Ó ª é Ó ä! Ó §iç9  ê é Õ ¤�¢#" ª   �  ®§�é ¤  !é ¢ §�é Ó�� Ô�Õ  ¦ �� è ª é ¢ � è §$��§ è é Ó ª ¥a¤�è �²Ó ª ì ¥�¢�¤�¢ Ó ª�Ô�Õ ¢kè ª ÜÞÝ Ö ¥a¤�è �²Ó   Ô¨Õ   � ª   ì&% Ö  Ó ü " Ö  ª è �²Ó ¥a¤�è �²Ó�×   ª ét xé èý¥ Ó�� ét  �²Ó ª

('NÚ�' �ýÓ ­ ì %ü '*)+'-, �¥�¢�¤�¢ ê!Ó § ª é ¢ §�é�  ª Ú   ) ä�. � è ª ét  � ¢ � ­ Õ � ¢ ª ê!Ó §iç9  ê é Õ ¤�¢ ª � ¢�è ª ¥a¤   ê è ª ¢ ª�Ô�Õ ¢ §�é Ó ¢ Ó/ ¢ �«Ó ¤ ×   � è �% 1 � ,� ì0%�1. Ò   ¤ ë ¢�¤ é ê®Ó §iç9  ê é Õ ¤�¢ Ô�Õ  n  ª é�  � è � è ét   2� è ª é ¢   ª  9ç ¢�è ­ Õ ¢ � ¢�354 á�657 ¢ ­ ª é ¢ J ¥ Ó ¤ Ó Õ é ¤ Ó� ¢ ×RÓ�ê!Ó §iç9  ê é Õ ¤�¢ Ô�Õ   Ó8� è � è ét  ª  9ç ¢á�9 y;: ¡ ã �=<?>�@A>#B ã 35C#> ãÓ § ×   ¢ Ö  ¢ çaÖ¢ �  -§ ê è Ó § ¢ × ¢ ê!Ó § ª é ¢ §�é�  ×   . Õ �   ¤D" Ø ¢ ª ê�ë   ¤ Ó § è ä�7¤�è �²Ó ª ×  ²Ø�  ¤ ª  -§a§a  ª �¢ Ó è §�é�  ¤   ª�ª ¢ §¨é�  ª é ¢ �¦Ò Ö  � ¥ Ó ¤ ê ¢ Õ�ª ¢ ×   úFEG ø�ó�õ!ù�� ôhóeõIHJ ó�÷�ûoù#� äLK ¢ ×RÓ ü�MONQP ��×  2��§ è �²Ó ª

R � ü ßTS U5V %FW �¢ ª Ó¨� ¢ ×RÓ ª × è / è ª Ó ¤   ªYX ¥ Ó ª è é è / Ó ªIZ ×   ü ä �   �ýÓ é�  Ó ¤   � ¢xÛ Õ § × ¢ �  ®§�é ¢ �I× ¢µ¢�¤�è é � Ö !é è ê ¢×   �²Ó § ª é ¤�¢ �²Ó ª ÛY¢ ê è �«�  ®§�ét  Ô�Õ   ª  ü ß ì 9\[] ì 9 ^_a`\`2` ì 9 bc �ê!Ó¨� ì ] ' ì _ ' `\`2` ' ì c  -§¨é��¢ Ó

R � ü ß � ã , ì ] , `2`\` , ì 9 [] `2`2` � ã , ì c , `2`\` , ì 9 bc ß ì 9 [Id ]] âàãì ] âÚã `2`\` ì 9 b d ]c âÚãì c âÚãfe

. � ¥�¢k¤ é è ê Õ � ¢�¤ � ª   � ���hg ß ã  -§�é\�¢ Ó R � ��g ß R � � R � g äji � è §�ét  èý¤ Ó ¥ Ó ª è é è / Ó üÖ  × è é Ó ôhóeõ J óe÷ ûWù�ª   R � ü ß á ü 6 Ó ª ¥�¤tè �   諤 Ó ª §xÖÕ �   ¤ Ó ª ¥   ¤FÛ   è é Ó ª+ª �¢ Ólk$� ¶k»� 8mAn k äo Ó ªtª Ó ¥�¤ ÖÓ � è �²Ó ¤   ªtÕ � é ¢ ×RÓ�ê ¢�¤�¢ ê ét  ¤tèqp-¢ Ó ª §xÖÕ �   ¤ Ó ª ¥   ¤FÛ   è é Ó ª ¥�¢k¤   ª är´í�s�tus î�v wï$xð s ñ�yYò$��za{Ió Ü Ý|Eó G øôöõt÷«ø�ù}�¡ó���óeõ �eó�úaúöóró�úöû�~� ù á Ý?� ] Ü Ý�Eóhôhóeõ J óe÷ ûWù���Y� Eó�ø��k÷�� ��ù?�æûWù$�¡ù�úFEG ø�ó�õ!ùµôæó�õ J ó�÷�ûoù¦ô � õ�Eó�� � J ùiõtø � á Ý?� ] Ü ÝÙô � õ ��� ��� G ø'ôöõ�÷«øNùì ����óeú��¡ù Ü Ý G ø ôöõt÷«ø�ùF�¡ó���ó�õI�eó�úaúLó#�

Page 57: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

¸ �   ¤ ª  ®§a§� -¹¶�º¨ºk»¡¼i½�¼k¶k¾¥�¢ ­k µ¾�½¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

� �����;���I� �I������� �����u�����&�2�����2�?�?� � ñ�Ùþ¡ÿ z �   ÜÞÝ Ö  ¥a¤�è �²Ó  ®§�é��¢ Ó

R � á Ý?� ] ÜÞÝ ß � á Ý âàã � ÜÞÝ}, ã ß á ` á Ý�� ] ÜCÝ e� Ó ¤ Ó Õ é ¤ Ó¡� ¢ ×RÓ ª  Fç ¢ ü ß áA¢ g ��ê®Ók�¤£¦¥   g Ö§ � ¥�¢k¤ � Õ � §xÖÕ �   ¤ Ó ¥   ¤tÛ   è é Ó ¥�¢�¤ ä¨   �²Ó ª R � ü ß á ü ß R � áA¢ R � g H×RÓ § ×  �á?¢ d ] gÙß � áA¢ d ] â ã R � g ä ! Ó¨�²Ó � áA¢ d ] âã ª© áA¢ d ] g   � áA¢ d ] âàã � áA¢ d ] ß ã � ét  �²Ó ª � á?¢ d ] âàã h© g ��×aÓ § ×   gDß � áA¢ d ] âÚã `#« �¥I¢�¤�¢ Õ �Îê   ¤ é Ó §xÖÕ �   ¤ Ó Ö§ � ¥�¢k¤ « ä ! ¢ ª Ó « ¥ ã � é�  ¤   �²Ó ª

R � ü ß � á ¢ d ] âÚã R � g Q¬ � á ¢ d ] âÚã ` � ã , « ,­g ßß á ¢ d ] gj, � á ¢ d ] âÚã « â g�, á ¢ d ] âÚã ß á ¢ d ] g�, á ¢ d ] âàã ¥ á ¢ d ] g�ß á ü �¢ Ò ªtÕ ¤ ×aÓ ä�® ª�ª è � gÇß á ¢ d ] âÇã   � á ¢ d ] â3ã R � g ß R � ü ß á ü ß á ¢ d ] gÇß� áA¢ d ] â;ã � g¯, ã h��×RÓ § ×   R � g ß � g¯, ã h�   ¥ Ó ¤ é ¢ §�é Ó g Ö  ¥a¤�è �²Ó ä �   � ¢+¥a¤ Ó ¥ Ó ª èD°ê �¢ Ó½ ä n � ì ß £ , ã Ö  ¥a¤�è �ÁÓ�� g�ß ÜCÝ   ü ß á Ý�� ] ÜCÝ ä ±� Ó ¤ Ó Õ é ¤ Ó}� ¢ ×RÓ�� Õ �|×RÓ ª ¥a¤ Ó¨Ò$�   � ¢ ª   � ¢ Ò   ¤ é Óµ� ¢�è ª ¢ §�é è ­ Ó ª × ¢ � ¢ é�  � Ö¢ é è ê ¢ Ö Ó�× ¢  2� è ª é\² -§ ê è<¢ ×  +§�ÖÕ �   ¤ Ó ª ¥   ¤tÛ   è é Ó ª Ö§ � ¥�¢�¤   ª ä � ¢ Ò   " ª   ¢k¥  -§ ¢ ªrÔ�Õ   Õ � §�ÖÕ �   ¤ Ó¥   ¤tÛ   è é Ó Ö§ � ¥I¢�¤ � ª  v �� è ª é 諤 �7×   /   ª   ¤ � Õ è é Ó ­ ¤�¢ § ×   X � ¢�è ª ×  Ù½¨ºkº ¢ � ­ ¢�¤�è ª �²Ó ªIZ  ª ¢ é è ª ÛY¢#p   ¤ ª è � Õ � é ¢ §a  ¢ �  ®§�é�  / Ö¢k¤tè<¢ ª ê!Ó § × èD°ê �Ó   ª ê!Ó¨� ¥ � è ê ¢ × ¢ ª ä³ s´Aµ5þ ï#¶�· í ð ñ�yYòRñ�z¤¸O~� ù²ó ¹R÷q�-ûoó�úLóeú$º G ø©úFEG ø�ó�õ!ù�ôæó�õ J ó�÷�ûoù»E¼ øµô � õ��o Ó ª�ª Ó ¥�¤ ÖÓ � è �²Ó ¤   ªFÕ � é ¢ ×RÓ Ö  Ó�ê ¤�è éaÖ  ¤�è Ó ×   Ñ Õ ê ¢ ª "WÑ   ë��   ¤ � ¢ Ò ¢ ª   ×aÓ ª ¢ � ­ Ó ¤�è é �²Ó ªÔ�Õ  xé�  ª é ¢ � ¥�¢�¤�¢ ­ ¤�¢ § ×   ª / ¢ �ýÓ ¤   ª ×   ì ª  xá Ý�âàã Ö  Ó Õ §��¢ Ó ¥a¤�è �ÁÓ�½¾ þ?s�íiþ¡ÿ ð ñ�yYò?¿�z({�óÁÀ ��Â+� �eó�ÃuÄGÆÅóeú�Çt÷ � �¡ó�Èaúa÷É� � ôæùfõ Â�Ê ß*< �  ¢ d ] ß Â _ ¢ â á ô � õ �ûWù$�¡ùÙú � û G õ � � £ �+{�óÁÀ � ü ¥ á$Ë Ü % ß á % â ã Eóµôöõt÷«ø�ùÌ�eóNój�eùfø�óeúLûWó8�eó  % � _ EóøÍEG � ûY÷�ô � ù¡�¡ó Ü % ��Ùþ¡ÿ zÏÎ Ò ª   ¤ /   �²Ó ª è § è ê è<¢ �«�  ®§�ét  Ô�Õ  

 % ß � á ,»Ð 3 _\Ñ , � á â Ð 3 _\Ñ¥I¢�¤�¢ é ÓR×RÓ § ¢ é Õ ¤�¢ � ü äQ® ×   �²Ó § ª é ¤�¢�°ê �¢ Ó ¥ Ó ¤ è § × Õ °ê �¢ Ó Ö  ª è � ¥ �   ª ½7ê�� ¢�¤�¢ �  ®§�ét  Â Ê ß<Áß � á , Ð 3 _�Ò , � á â Ð 3 _�Ò  Â ¢ d ] ß Â _ ¢ â áß �h� á , Ð 3 _\Ó , � á â Ð 3 _\Ó _ â áß �h� á , Ð 3 _\Ó _ , á ` � á , Ð 3 _�Ó ` � á â Ð 3 _\Ó , �h� á â Ð 3 _�Ó _ â áß � á ,»Ð 3 _\Ó�Ô [ , � á â Ð 3 _\Ó�Ô [ e

Page 58: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

¸ �   ¤ ª  ®§a§� -¹¶�º¨ºk»¡¼i½�¼k¶k¾¥�¢ ­k µ¾�m¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

� ¿ � �\ÕA������������� ���$�u�����&�2�����\�A�?�Ö�Æ×?��� ×?�������u����� ��ÕAØI� �#ÕA����¡Õ ¥ Ó § ë ¢Á¥ Ó ¤r¢ Ò ªFÕ ¤ ×RÓ Ô�Õ   Ü % © � á , Ð 3 _\ÑAÙ ^ , � á â Ð 3 _\ÑAÙ ^   Ô¨Õ   Ü % ª  9ç ¢ê!Ó¨� ¥ Ó ª é Ó��7ê!Ó¨� Õ � ÛY¢ é Ó ¤Á¥a¤tè �²Ó»Ú>ê®Ók�fÚ _ ' Ü % ä ¨   ¤   �²Ó ª � á , Ð 3 _�ÑAÙ ^ ,� á â Ð 3 _�ÑAÙ ^ � � �²ÓRצÚ�7×RÓ § ×   � § Ó ­ ¤ Õ ¥ ÓN� Õ � é è«¥ � è ê ¢ é è / ÓÌÛ ß �ÝÜ 4 � Ú�IÞ Ð 3�ß P �ét  �ÁÓ ª � á , Ð 3 _\ÑAÙ ^ ß â � á â Ð 3 _\Ñ?Ù ^ e ! Ó¨�ÁÓ á â Ð 3¦ß � á , Ð 3 � ] �   ª é ¢   Ô�Õ ¢�°ê �¢ Ó¥ ÓR×   ª   ¤�¤  -  ª ê ¤�è é ¢ ê!Ó¨�ÁÓ � á , Ð 3 _\ÑAÙ [ ß â�ã X ¢�è § × ¢   �àÛ Z �LÓ Ô�Õ   ª è ­¨§ è � ê ¢ Ô�Õ  ¢ Ó ¤ ×   �Î×  ´á , Ð 3   ��Û Ö + 2� ¢ é ¢ �  ®§�ét xá % äuá ª é Ó Ö  Õ � ¢ Ò ªtÕ ¤ ×RÓ�� ¥ Ó è ª Ó §xÖÕ �   ¤ Ó×  +  �   �  -§¨é Ó ª ×   Û Ö ´§ Ó�� Ö¢ � è �²ÓlÚ _ âÚã ' á % äuâ è ê ¢²¥ Ó ¤ é ¢ §�é Ó²×   �²Ó § ª é ¤�¢ ×aÓ Ô�Õ  ª    % � _ Ö  � ÖÕ � é èý¥ �«ÓN×   Ü %  -§�é\�¢ Ó Ü % Ö  ¥a¤�è �²Ó ä�¡Õ ¥ Ó § ë ¢�¢ ­ Ó ¤�¢�Ü % ¥a¤tè �²Ó�� ü ¥ á ä Ñ   �¦Ò ¤�¢ �²Ó ª´Ô�Õ   ü Ö  Õ � ¥a¤tè �²Ó Ö§ � ¥�¢k¤ ä� Ó ¤_¤   ê è«¥a¤ Ó¡ê è × ¢ ×   Ô�Õ ¢ × ¤ Ö¢ é è ê ¢ é�  �²Ó ª �äãå Ñ ß â � å Ñã ß â¦ã � ¥ Ó è ª 3 � Ü % � â�ã� �²ÓR× <   Ü % �|ã � �ÁÓR× 3 ä�® ª�ª è �l� ½�§��¢ Ó Ö  Õ � Ô�Õ ¢ × ¤�¢ ×aÓ   � Ü 4 � ÜÞÝ  8æ ßÜ 4 � ÜÞÝ IÞ Ð 3�ß Ö  Õ �Îê!Ó ¤t¥ ÓÁ×   Ó ¤ ×   � Ü _% äÖç Õ   ¤   �²Ó ª ¥a¤ Ó / ¢�¤ Ô�Õ   � á , Ð 3 _\ÑAÙ ^ ,� á â Ð 3 _\Ñ?Ù ^ � � �ÁÓR× Ü Ý ��Ó ÕĪ  Fç ¢ � Ô�Õ  ÞÖ  è ­ Õ ¢ � ¢ ºÙ  � æ äjá ª é Ó   Ô�Õ è / ¢ �   ¢×   �²Ó § ª é ¤�¢k¤ �²Ó ª�Ô�Õ  Áét  �ÁÓ ª � á , Ð 3 _\ÑAÙ ^ ß â � á â Ð 3 _\Ñ?Ù ^   � æ � Ó Ô�Õ   ¥ ÓR×  ª   ¤�¤  ®  ª ê ¤�è é ÓNê!Ó¨�²Ó � á , Ð 3 _ ÑAÙ [ ß â�ã 6 ×   /   �ÁÓ ª ¥ Ó ¤ é ¢ §�é Ó ¥a¤ Ó / ¢k¤ Ô�Õ   ¢ Ó ¤ ×   �×  Ùá , Ð 3 Ö Ù �� ¢ é ¢ �  ®§�é� �á % ä o Ó é�  Ô�Õ  Ùá % ß Ü % , ã ×RÓ § ×   � á , Ð 3 _\Ñ ß� á , Ð 3 å Ñ � á , Ð 3 ß � á å Ñ , Ð 3 å Ñ � á , Ð 3 ß � á ,è3ué Ñ Ù [^ Ð 3 � á , Ð 3 ß� á , �äãå Ñ Ð 3 � á â Ð 3 ß � á â Ð 3 � á , Ð 3 ß ã 6 ¢ ªtª è � Ö  ê�� ¢�¤ Ó Ô�Õ   ¢ Ó ¤ ×   �©×  á , Ð 3 Ö  Õ �¬× è / è ª Ó ¤ ×  ´á % ä! Ók�²Ó æ P é�  � Ü _% âã ß á % d ] � á % � ] âã   �   �  ®§�é Ó ª �h×   /   �²Ó ª ¥�¤ Ó / ¢�¤ Ô�Õ  á , Ð 3 §��¢ Ó Ö  Õ � ¢ Ô¨Õ ¢�¤ é ¢¦¥ Ó é\² -§ ê è<¢   � æ ä o Ó ét  Ô�Õ   � á , Ð 3 _\Ñ ß ã ×   �²Ó § ª é ¤�¢Ô�Õ  Há , Ð 3 Ö  Õ � Ô�Õ ¢ × ¤�¢ ×aÓ��5Ó Ô�Õ   ¢ � è Ö¢ ª ¥ ÓR×   ª   ¤ / è ª é Ó�� ¢�è ª × è«¤  !é ¢ �  ®§�ét  ½ á , Ð 3�ß� ã , Ð 3 _ 4 áD ²á ß á % d ] ß áê % d ]�ë ^ Ö  Õ � ¢ Ô�Õ ¢k¤ é ¢�¥ Ó é\² -§ ê è<¢   � æ ä�ì   ª é ¢�" § Ó ª¢ ª�ª è � ×   �²Ó § ª é ¤�¢�¤ Ô�Õ  îí � ã , Ð 3 §��¢ Ó ª �¢ Ó Ô�Õ ¢ × ¤�¢ ×RÓ ª   � æ ä �¡Õ ¥ Ó § ë ¢r¥ Ó ¤[¢ Ò ªtÕ ¤ ×aÓÔ�Õ  Ìï � ã , Ð 3 ß � �F,�g Ð 3 _ �Hê®Ók� ï ß í ã 6æét  �ÁÓ ª ï � ã â Ð 3 ß � � â g Ð 3 _  �7� Õ � é è«¥ � è ê ¢ § ×RÓ�� â á ß � � _ â 3#g _ _ �ÃÓ Ô�Õ   ª è ­k§ è � ê ¢ Ô�Õ   â áÇÖ  Õ � Ô�Õ ¢ × ¤�¢ ×aÓ� ÖÓ¨× Õ �«Ó Ü % X ¥ Ó è ª �   g ª �¢ Ó è §�ét  諤 Ó ªIZ ä*á ª é Ó��  ®§�é ¤  !é ¢ §�é Ó�� Ö  ê�� ¢�¤�¢ �  ®§�ét  ÛY¢ � ª Ó�½� � _å Ñ ß � � ]å Ñ � _å Ñ ß â¦ã ` ã ß â�ã � ¥ Ó è ª Ü % � 3 � �²ÓR× <  �çaÖ¢ / è �ÁÓ ª�Ô�Õ  ²¶CÖ Õ � Ô�Õ ¢ × ¤�¢ ×RÓÁ� ÖÓ¨× Õ �«Ó Ü Ý äLá ª é Ó�ê®Ó § ê2� Õ è�¢ ×   �²Ó § ª é ¤�¢�°ê �¢ Ó ä ±Ø�  ª �²Ó Ô�Õ ¢ § ×RÓ ÜCÝ §��¢ Ó Ö  ¥�¤tè �²Ó�� ¥ ÓR×   �²Ó ª ­ ¢�¤�¢ §�é èý¤ Ô¨Õ   ª   Õ�ª ÛY¢ é Ó ¤   ª ¥a¤tè �²Ó ªª   ¤ �¢ ÓÀ×   ê   ¤ é ¢ ª Û Ó ¤ � ¢ ª   ª ¥   ê è<¢�è ª äTá ª é Ó Ö  � Õ è é Ó ÖÕ é è � Ô�Õ ¢ § ×aÓ ¥a¤ ÓRê Õ ¤�¢ �²Ó ª ¥a¤�èð"�²Ó ª ×  �Ø�  ¤ ª  ®§�§a  ¥ Ó è ª ¥ ÓR×   �²Ó ª   � è � è § ¢k¤_¢ � ­ Õ § ª  �� ¥ Ó  -§�ét  ª  ®§ ê!Ó §�é ¤�¢ § ×RÓ ÛY¢ é Ó ¤   ª¥a¤�è �²Ó ª ×   Ü Ý ä&á ª é Ó é ¢ ��Ò Ö  � ¥ ÓR×   ª   ¤ ÖÕ é è � ¥�¢k¤�¢ ê!Ó §iç9  ê é Õ ¤�¢�¤ �²Ó ªhÔ¨Õ ¢ §�é Ó Ï¢ ¸ ¥a¤ ÓkÒ "¢ Ò è � è × ¢ ×  -¹ ×   Ü Ý�ª   ¤r¥�¤tè �²Ó��aÓ Õ �R� ¢�è ª ¥a¤   ê è ª ¢ �  ®§�ét  � Ô�Õ ¢ §�é Ó Ï¢ × è ª é ¤tè Ò Õ èD°ê �¢ Ó�×RÓ ª¥a¤�è �²Ó ª ×  µØD  ¤ ª  -§a§a  ä

Page 59: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

¸ �   ¤ ª  ®§a§� -¹¶�º¨ºk»¡¼i½�¼k¶k¾¥�¢ ­k µ¾k¾¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

� �����;���I� �I������� �����u�����&�2�����2�?�?� ��r´í�s�tus î\vIwï$xð s ñ�yYò � z {�óÁÀ � ø ì ¥ á ó Ú ôöõ�÷ýø�ù#��Ç!ùfø Ú G ø¤�¨÷Éñf÷���ùiõ¯�Ró ÜÞÝ �LòÃúLû�~� ùÚ �Çã � �ÁÓR× ì ó Ú � í ã � �²ÓR×Oó� ��Ùþ¡ÿ zô�   Úv× è / è ×   ÜÞÝ  -§�é\�¢ Ó á Ý�� ã � �²Ó¡×õÚ�h�RÓ Ô�Õ   ª è ­k§ è � ê ¢ Ô�Õ   ¢ Ó ¤ ×   �|×  ¶ � ÖÓ¨× Õ �ýÓõÚ Ö  ì X ¥ Ó è ª ì Ö  ¥a¤�è �²Ó Z äöá ª é Ó ª è ­¨§ è � ê ¢ Ô�Õ   ì Ö  Õ � × è / è ª Ó ¤ ×   Ú â ã �Ó Õvª  9ç ¢ � Ô�Õ   Ú � ã � �²ÓR× ì ä � Ó ¤ Ó Õ é ¤ Ó÷� ¢ ×RÓ�� á � á Ý d ] ß � áê Ý d ]�ëÝø�_ _ � �²Ó¡×õÚ�h�×aÓ § ×   � _ ù ß ã �aÓ Ô�Õ   ª è ­k§ è � ê ¢ Ô�Õ   Ú � í ã � �ÁÓR×ló$ ä ±

Îxª / Ö¢k¤tè Ó ª / ¢ �«Ó ¤   ª ×   ì ¥�¢k¤�¢ Ó ª�Ô�Õ ¢�è ª ¢ ¥a¤�è � ¢ � è × ¢ ×   ×   Ü Ý Û Ó è ét  ª é ¢ × ¢ ªtÕ ­k  ¤   �Ô�Õ   ¥I¢�¤�¢�¢�¢ � ¥ � ¢ � ¢kè Ó ¤tè<¢ ×RÓ ª / ¢ �«Ó ¤   ª ×   ì � Ü Ý-úüûý;þ Ö  ¥�¤tè �²Ó äOá ª é Ó Ö  ¢�¥  ®§ ¢ ªÕ � ¢ ê!Ó §iç9  ê é Õ ¤�¢ ½ §��¢ Ó ª   ª ¢ Ò   ×   �ÁÓ § ª é ¤�¢�¤ ª   Ô�Õ   ¤ Ô�Õ  � �� è ª é�  � è §���§ è é Ó ª ¥�¤tè �²Ó ª ì¥I¢�¤�¢ Ó ªxÔ¨Õ ¢�è ª Ü Ý�ª  Fç ¢ ê!Ó¨� ¥ Ó ª é Ó ä�å ¢ �ÁÓ ª ¢ ­ Ó ¤�¢ /   ¤ Õ � ¢�¥a¤ Ó ¥ Ó ª èD°ê �¢ Ó Ô�Õ   ª   ¤ /  ¥I¢�¤�¢ ­ ¢�¤�¢ §�é èý¤ Ô�Õ   ¥I¢�¤�¢ ê   ¤ é Ó ª / ¢ �«Ó ¤   ª   ª ¥   ê è«¢kè ª ×   ì � ¢ � ­ Õ § ª � Õ è é Ó ­ ¤�¢ § ×   ª � Ü Ýúüûý;þ Ö  ¥a¤�è �ÁÓ är´í�s�tus î\vIwï$xð s ñ�yYò�ÿ�z {�óÁÀ � ì ô õt÷«ø�ùA� ì � 3 � �²ÓR× < �îò7úöû�~� ù á ì , ã Eó ôöõ�÷ýø�ù��eó+ó�eùfø�óeúLûWó¯��ó á ì , ã �k÷ ñ5÷É�¡ó Ü Ý���Ùþ¡ÿ zf�   Ú Ö  ¥�¤tè �²Ó  ®§�é��¢ Ó Ü Ý ß á ÝÁâ ã ß á ê ù � ]�ëÝø�_ â ã � � _ ù â#ã � �²Ó¡×õÚ� äØ ¢ ª ì � 3 � �ÁÓR× < ª è ­k§ è � ê ¢ Ô¨Õ   Ú � > � �ÁÓR×ló$h��×RÓ § ×   � _ ù ß ãiä|® ª�ª è �l�Ü Ý � � �²ÓR×õÚ�ª�aÓ Ô�Õ   ×   �ÁÓ § ª é ¤�¢ Õ � ¢ × ¢ ª è � ¥ � è ê ¢�°ê �Ó   ª × ¢Á¥a¤ Ó ¥ Ó ª èD°ê �¢ Ó ä

� Ó ¤ Ó Õ é ¤ Óõ� ¢ ×RÓ�� ª  Ùá ì , ã §��¢ Ó Ö  ¥a¤�è �²Ó ét  � ÛY¢ é Ó ¤   ª ¥a¤�è �²Ó ª � ê®Ók� ���� ã� �²Ó¡× ì X ¥ Ó è ª � ' ì Z ä �  ´á ì , ã × è / è × è ª�ª   Ü Ý � � ª   ¤�è<¢ Õ � ÛY¢ é Ó ¤�¥a¤tè �²ÓN×   Ü Ý �ê®Ó §�é ¤�¢�¤�è<¢ § ×RÓ ¢Á¥a¤ Ó ¥ Ó ª èD°ê �¢ Ó ¢ §¨é�  ¤�è Ó ¤ ä ±Îxª ¥a¤�è �ÁÓ ª ì ¥�¢k¤�¢ Ó ªHÔ�Õ ¢kè ª á ì , ã Ö  ¥a¤�è �²Ó ª �¢ Óxê�ë ¢ � ¢ ×RÓ ª ×   ôöõt÷«ø�ù����¡óî{Iù!ô ºa÷�ó� óeõtø � ÷ýú äL® � ­ Õ § ª ¥a¤�è �²Ó ª ×   � Ó ¥ ë è  ��x  ¤ � ¢kè § Ò ¢ ª é ¢ §�ét x­ ¤�¢ § ×   ª ª �¢ Ó¦ê!Ó § ë   ê è ×RÓ ª �ê®Ók�²Ó ìLÊ ßa< ó �<?>�3; �@A> á @ ` á ]��I_ Ê ã â ã 6 ¢ ª�ª è �l� ¥   � ¢D¥a¤ Ó ¥ Ó ª èh°ê �¢ Ó ¢ §�ét  ¤�è Ó ¤ � Ü Ý ÒÖ  ê!Ó¨� ¥ Ó ª é Ó ä � ¢ Ò   " ª  �é ¢ �¦Ò Ö  � Ô�Õ   ª  ��� �� ��� x×  -§ Ó é ¢ Ó §xÖÕ �   ¤ ÓÀ×   ¥a¤tè �²Ó ª ×  � Ó ¥ ë è  ��x  ¤ � ¢�è § �  ®§ Ó ¤   ª ×RÓ Ô�Õ   �  -§¨é��¢ Ó  �� è ª é� ��Bé ¢ � Ô�Õ   ¥�¢�¤�¢ é ÓR×RÓ �

�� �� ��� ' � �� �ýÓ ­ � _ e® ê ¤   × è é ¢#" ª   Ô¨Õ  ��� �� ��� ª  9ç ¢´¢ ª�ª è §�éIÖÓ é è ê!Ó ¢�� � 4 � �«Ó ­ � _ ¥�¢k¤�¢x¢ � ­ Õ � � ¥ � ¢ ª §��¢ Óª   ª ¢ Ò   ×   �²Ó § ª é ¤�¢�¤ ª   Ô�Õ   ¤ Ô�Õ  + 2� è ª ét  � è §$��§ è é Ó ª ¥a¤tè �²Ó ª ×   � Ó ¥ ë è  ��x  ¤ � ¢�è § ä

Page 60: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

¸ �   ¤ ª  ®§a§� -¹¶�º¨ºk»¡¼i½�¼k¶k¾¥�¢ ­k µ¾ k¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

� ÿ � �\ÕA������������� ���$�u�����&�2�����\�A�?�Ö�Æ×?��� ×?�������u����� ��ÕAØI� �#ÕA�������� ÞÏ�Ì"!æÏ�Ì$#&%+Ì[Ï'%+Í�ʦ̷Ï�É ()%*!æÊ�Æ+%-,.0/ʦÏ�Ì Í�Ï214365

�¡Õ ¥ Ó § ë ¢ × ¢ ×RÓ ª è §�é�7 諤 Ó ª¦ü ¥ ã �98 7-: é<; è�= Ô�Õ 7?> ß 8 _ â < :A@��; Ó Ö7 ÕCBÔ�Õ ; ×ED ; ×aÓ B ÖÓ¨× Õ �ýÓ ü ä � 7Fç�; F ß 8 , Ð >á �D ; è�p × ;�7 Ô¨Õ ; °ê �; Ó0G _ â 8HG , : ß- ä Ö. Û Ö; ê è �"ICD�Ó / ; D�IIÓJD è @ × Õ °ê �; Ó Ô�Õ 7F c ßLK c ,NM c Ð WáI ; D ;�é ÓR×RÓ @O;ié Õ D ; �QP�Ó @ × 7 M c 7 K c = �; Ó²× 7��R@ è ×aÓ = D 7 ê Õ D =tè / ; B 7�@�é�7 IIÓJDM Ê ß� �� M ] ß ã � M c d _ ß 8 M c d ] â : M c �K Ê ß á � K ] ß 8 � K c d _ ß 8 K c d ] â : K c e

� 7 F ß 8 â Ð >áÖ7S; = 7�T Õ @ × ; D ; èqp × ;U7 Ô�Õ ; °ê �; ÓUG _ â 8HG , : ß� �CILÓR× 7 B Ó = é<; B Ò Ö7 B 7 = êVD 7 / 7 DM c ß F c â F cÐ > � K c ß F c , F c �

ê!Ó B Ó = 7 × 7 B Ó @ = é D ; Û ; ê è � B 7�@�é�7 ILÓWD è @ × Õ °ê �; Ó ä � 7�T Õ 7 × 7 = é<; =_Û ÖÓWD B�Õ � ; = Ô�Õ 7M % d ] ß 8 M % , K %á � K % d ] ß > M % , 8 K %á7 M _ c ßXM c K c � K _ c ß K _c â áC: c e. = é<; =öÛ ÖÓWD B�Õ � ; = @ Ó = I 7 D B è é�7 B ê ; �<ê Õ � ; D M c 7 K c B ÖÓ¨× Õ �ýÓ ü 7 B � �«Ó T P'ÓWI 7 D ; °ê �Ó 7 =X I ; D ;�; � T ÕCB ; ê®Ó @ = é<;W@¨é<7 ILÓ =tè é è / ;Y� Z ½ 7 = êVD 7 / 7 B Ó = P ß�Z Ê\[R]_^ å � ] á ] ��× 72�O@ è B Ó =P ¢ ß SÊ`[R]a^ ¢ � ] d�b � ¢ á ]

7 ê ; �<ê Õ � ; B Ó =�= Õ ê 7 =<=Fè / ; B 7�@�é<7 M c [ � K c [ � ä!ä-ä � M c Ó � K c Ó � ä-ä®ä � M c é ßcM c �K c é ß K c äÑ 7 B ÒCD ; B Ó = Ô�Õ 7 / è B Ó = @ Ó�ê ; I Ö§ é Õ �«Ó ;)@�é�7 D è ÓWD Ô�Õ 7 = 7 ì ¥ á Ö7 ICD è B Ó 7 W @��; Ó Ö7ÕCB©Ô�Õ ; ×ED ; ×RÓ B ÖÓ�× Õ �«Ó ì 7\@�é\�; Ó æ ß �ÝÜ 4 � ì D Þ Ð W ß Ö7 ÕCB ê!ÓWD<ILÓÁê®Ó B ì _ 7 � 7 B 7�@�é Ó = ä

Page 61: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 nJopp

pp

pp

pp

� �����;���I� q��Y×���� ×?���sr�Õ;����ÕA�A�$�u����tÉÕ�×A���\Õ5� u`v�����Q��� bOd ] �xwr´í�s�tus î\vIwï$xð s ñ�yYò w z {�ó¦ü Eó´ôöõ�÷ýø�ù�ó > ú�~� ù Eó G ø à G � �kõ � �¡ù�ø EùA� G � ù�ü3ó�úöû�~� ùF % ß F ó�ø æ ß � Ü 4 � ü hIÞ Ð > ß ��Ùþ¡ÿ z��RÕ IIÓ @ ë ; B Ó = Ô�Õ 7 ü = 7Fç�; ICD è B Ó äÖ. B æÄé<7 B Ó = ; è × 7\@¨é è × ; × 7 � G ,zy % ßG % ,zy % ½ 7 � ; = 7\T Õ 7 ×RÓ²Ò è @&²Ó B è ÓN× 7 o 7\{ é Ó @|7 ×aÓ Û ;�é Ó Ô�Õ 7} üP�~ ß ü'�P � � ü â P» �Ö7 B ÖÕ � é è I$�«ÓN× 7 ü = 7 ö' P ' ü äQ® I�� è ê ;W@ ×RÓ 7 = é<; è × 7�@�é è × ; × 7�; F é�7 B Ó =

F % ß 8 % , >Ìê % � ]�ëÝø�_ Ð >á % ß 8 â Ð >á ß F �ILÓ è�= 8 % � 8 � B ÓR× ü ª� á % � á � B ÓR× ü 7�>Ìê % � ]�ë�ø�_ � â�ã � B ÓR× ü ä ±® @O; �«Ó Tm; B 7�@�é�7 � = 7 ü Ö7 ICD è B Ó�� é�7 B Ó = F % ß F 7 B æ ä+® =�=tè B � ; è @ × ;?7 B æ �F % d ] ß F % d ] ß F F ä � 7�T Õ 7 × ; Û ÖÓJD B¦Õ � ; I ; D ; M c Ô�Õ 7 M % d ] � � B Ó¡× ü ä� DtÓRê2� ; B ; B Ó = 7 = é�7 D 7 = Õ � é�; ×RÓ�ê!Ó B Ó ÕOB ; ICD�ÓWILÓ =tèD°ê �; Ó�½r´í�s�tus î\vIwï$xð s ñ�yYòE��z�{�ó�ü Eó ôöõt÷«ø�ùèE¼ øµô � õ2� ��� % ß â¦ã ó � �Y�eó�ÃuÄGÆÅóeú�Çt÷ � � M c ó K c��~� ùj�¡ó�Èaúa÷É� � �Ãôæó � � � õ!ó�Ç!ùfõ�õ Åó�ú�Ç�÷ � �M Ê ß� $� M ] ß ã � M c d _ ß 8 M c d ] â : M c �K Ê ß á � K ] ß 8 � K c d _ ß 8 K c d ] â : K c eóeúöû�~� ù M % d ] � � B Ó¡× ü ��Ùþ¡ÿ z ® ê è B ; ä ±. = é�; ICD�ÓWILÓ =tèD°ê �; Ó @ Ó = × Ö; B ; è�= ÕCB ; � T ÓWD è é B Ó�I ; D ;µé�7 = é<; D ; IOD è B ; � è × ; × 7 × 7 ü är´í�s�tus î\vIwï$xð s ñ�y òj��z {�ó�ü �ß á Eó_ôöõ�÷«øNù?�¡ü?� : �Rü?� > ó > Eó(à G � �¨õ � �¡ù+ø Eù?� G � ù´üóeúöû�~� ù M % � ] � � B Ó¡× ü ��Ùþ¡ÿ z o Ó ;)@C7 � æ ß Ü 4 � ü Þ Ð > ß � f Ö7 è @ / 7 D éfÖ§ / 7 � � ; =�=tè B ê®Ó B Ó >$7 Ð > ä}. B æé<7 B Ó = �EILÓWD é<;)@�é Ó��F % ß 8 % , > ÑAÙ [^ Ð >á % ß 8 , Ð >á ß F×aÓ @ × 7 F % � ] ß ã 7 B æ X ILÓ è�= F Ö7 è @ / 7 D éfÖ§ / 7 � 7 B æ ½Ù× 7 Û ;�é Ó�� F F ß : � Ô�Õ 7àÖ7è @ / 7 D éfÖ§ / 7 � 7 B æ Z äQK Ó B 7 = B Ó B ÓR×RÓ�� F % � ] ß ã 7 B æ�7 ILÓWD é<;)@�é Ó é<7 B Ó = � 7 B æ �M % � ] ß ã

Ð > � F % � ] â F % � ] ß� $�Ó Õ = 79ç�; � M % � ] � � B ÓR× ü ä ±

Page 62: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 n)hpp

pp

pp

pp

� � � �\ÕA������������� ���$�u�����&�2�����\�A�?�Ö�Æ×?��� ×?�������u����� ��ÕAØI� �#ÕA���. B = ÕOB ; � = 7 ü �ß áÖ7 ICD è B Ó�� ü�� : � ü�� >27\@¨é��; Ó M % � ê� Ñ ë Ö7 B ÖÕ � é è I$�«Ó�× 7ü ��Ó Ô�Õ 7 = 7 × 7 / 7�; Ó Û ;�é ÓC× 7 F c�= 7 D è T Õ ; � ; F c = 7 P ß ü â � � % @ Ó ;W@C7 �æ ß Ü 4 � ü IÞ Ð > ß ä Î Ò = 7 D / 7 B Ó = ;)T ÓWD ; Ô�Õ 7 = 7 F c ß F c 7 B æ�7�@�é��; Ó 7�� è�= é<7 ÕCBè @�é<7 è DtÓ � é<; � Ô¨Õ 7 F c ß F % , ü � Ð >IIÓ è�=z� b � � b� � M Ü ärå ; B Ó = Õ = ; D 7 = é<7 Û ;�é Ó|I ; D ; B Ó = é D ; D�ILÓWD è @ × Õ °ê �; ÓvÓ = 7�T Õ è @�é�7D 7 = Õ � é�; ×RÓ är´í�s�tus î�v wï$xð s ñ�y��R��zÏ{�ó�ü �ß á Eónô õt÷«ø�ùA�Rü�� : ó�ü�� > óeúöû�~� ù?�¨ô � õ � ûoù$�¡ù�ú � û G õ � �£l¬ ã � M c�� % Ó�Ù [ Eó�ø EG � û ÷ ô � ù¡�¡ó�ü ¢ �öùiú��¡ó P ß ü â � � % �

�vþ¡ÿ z å ; B Ó =�= Õ IIÓJD\�+ILÓWD²ë è I ÖÓ é�7 = 7 × 7 è @ × Õ °ê �; Ó�� Ô�Õ 7 F c�� % Ó�Ù [ ß F c�� % Ó�Ù [ ,ü ¢ � ¢ Ð > � � ¢ M Ü ä . � 7 / ;W@ ×RÓ+Ó = ×RÓ è�= � ; ×RÓ = × ;�7 Ô¨Õ ; °ê �; Ó Ï; ü " Ö7 =tè B ; ILÓ é\²7�@ ê è ;xé<7 B Ó =F c�� % Ó ß � F c�� % Ó�Ù [ , ü ¢ � ¢ Ð > % ß F c�� % Ó , ü ¢ d ] � ¢ d ] Ð >Ó @ × 7 � ¢ d ] I 7 D é�7\@ ê 7�; Ü Þ Ð > ß ILÓWD ÕCB � ; ×RÓ�� 7 ILÓWD+Ó Õ é D�Ó ü ¢ d ] � ¢ d ] ß�M c�� % Ó Ö7ÕCB è @�é�7 è D�Ó�� Ó Ô¨Õ 7 è B I$� è ê ; Ô�Õ 7 � ¢ d ] MN��� Ü Þ Ð > ß � 7 ILÓWD é<;)@�é Ó Ö7 è @�é<7 è DtÓ�� Ó Ô�Õ 7ê!Ó @ ê�� Õ è ; ICD�Ó / ; × ;�;#� D B ; °ê �; Ó�� Ô�Õ 7S7 Ô�Õ è / ; � 7S; Ó 7\@ Õ @ ê è ; ×RÓ ä ±

r´í�s�tus î�v wï$xð s ñ�y���òz {�óÁÀ � ø � ¬ ã ÇeùiøcB ×aê � � � : ß ã �æó � M ¢ G ø � ��ó�ÃuÄG0Åó�ú�Çt÷ ��¡óS� G Ç � ���ÉÇeùfø M Ê ß� � M ] ß ã ó M ¢ d _ ß 8 M ¢ d ] â : M ¢)� ��{Ió��S� ß�� £ M¦NQP ©M ¢ Eó�ø EG � û ÷ ô � ù¡�¡ó �\� Eó_ú�~� ù�ñ �l� ÷¯ùµóeúöû�~� ù+óI¹R÷q�-ûoó � MlN P û � � à G ó � © M ¢ ��ó�óü�eùfø�ó�úöûoó��ó � ©�£ �'  � � � �eó�õQE� �¡óeúLù¡û � �¡ùxôæùfõ ÓJD�× � M ��vþ¡ÿ z Î Ò = 7 D / 7 B Ó =Nè @ è ê è ; � B 7\@¨é<7 Ô�Õ 7 I ; D ;;é ÓR×RÓ¡P � ü M�N � ü �ß é<7 B Ó =M c d % ß�M c M % d ] â : M c � ] M % ä¯K 7 Û ;ié Ó�� ê!Ó @ =tè × 7 D ;W@ ×RÓ�P ��� Ó 7 ü / ; D è Ö; / 7 �É�Ó = ×RÓ è�= � ; ×RÓ = × ; è T Õ ; �<× ; × 7 = ;�é è�=9Û ; p 7 B ; B 7 = B ; D 7 ê!ÓJD�D ²7�@ ê è ; × 7 = 7�T Õ @ × ; ÓJD�× 7 BG ¢ d _ ß 8HG ¢ d ] â : G ¢ �\¢£ MÌN � 7Hé�7 B Ó = �`I ; D ; ü ß� � M c d Ê ß£M cO` M ] â : M c � ] `M Ê X ILÓ è�=�M ] ß ã 7 M Ê ß� Z � 7 �QI ; D ; P ß ã � M c d ] ߤM c ` M _ â : M c � ] ` M ]X ILÓ è�=�M _ ß 8Q� M ] ß ã 7 M c d ] ß 8 M c â : M % � ] Z � Ó Ô�Õ 7 è B I�� è ê ;&; è T Õ ; �<× ; × 7I ; D ;�é ÓR×RÓ ü-MON ä! Ó B Ó�ê!Ó @ = 7 Ô"¥Õ ²7�@ ê è ; � = 7 � © M�¦ 7 � © M % 7�@�é\�; Ó � © M c d % ä � ÓWD´Ó Õ é D�Ól� ; ×RÓ��= 7 � © M�¦ 7 � © M�§ �³ê®Ó Bc¨ 'L© 7\@¨é��; Ó���ê!Ó B Ó X Û ; p 7�@ ×RÓ&P ß ¨ � ü ßL© â ¨IZ MS§ÁßM�¦ªM�§ �"¦ d ] â : M�¦ � ] M�§D��¦ é�7 B Ó = Ô�Õ 7 � × è / è × 7�: M�¦ � ] M�§ �"¦ � B ; = B ×aê � : � � ß ã 7B ×aê � MS¦ � ] ��M�¦ Ã× è / è × 7�: ¦ � ] X Ó Ô�Õ 7 ILÓ¡× 7 = 7 D Û ; ê è � B 7�@�é�7 IODtÓ / ; ×aÓ0ILÓWD è @ × Õ °ê �; Ó ;I ; D é è Dn× 7 M ¦ d ] ß 8 M ¦ â : M ¦ � ] Z �R×RÓ @ × 7 B ×aê � � ��M ¦ � ] é�; B Ò Ö7 B Ö7 è T Õ ; � ;¬« �?�«Ó T Ó� © M §D�"¦ äQ® =<=Fè B �CP � ü-M|� �®­ P , ü-M�� � � 7 ¨ �<© M|� � � ¨ '�© ­ © â ¨YM�� � �Ó Ô�Õ 7 è B I$� è ê ; Ô�Õ 7 � �ÀÖ7 × ; Û ÓWD B ; × 7 = êVD è é<; �Lê!Ó B ��ß B è @ � � X × 7 Û ;ié Ó�� = 707�� è�= é�7£ M�� � Ô�Õ 7�@��; Ó = 7Fç�; B ÖÕ � é è I��ýÓÙ× 7 � � 7�� è�= é è D è ; B g 7 � @O;ié Õ D ; è�= ê!Ó B £ ß �$gj,�� �

Page 63: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 n npp

pp

pp

pp

� �����;���I� q��Y×���� ×?���sr�Õ;����ÕA�A�$�u����tÉÕ�×A���\Õ5� u`v�����Q��� bOd ] � � ('�� '�� � B ; = £ M&��� 7 �Rê!Ó B Ó � M��S� � �$g M��S� �A�«Ó T Ó �+ß £ â ��g I 7 D é�7\@ ê 7 D è ;; �S� �aê!Ó @¨é D ; × èqp 7�@ ×RÓ ; × 7��O@ èD°ê �; ÓÁ× 7 � ä ±¾ þ?s�íiþ¡ÿ ð ñ�y����zf{�ó À � ü ¥ ã G ø·÷«úöûoó�÷«õ!ù»E¼ ø+ô � õ��Y{�ó�óI¹¡÷��-ûoó G ø·÷«úöûoó�÷«õ!ù W ôöõ�÷ýø�ùÇ!ùfø üÎû � � à G óÁô � õ � ûWù$�¡ù J � ûoùiõ�ôöõ�÷ýø�ù � �Ró�ü , ã ó ¹R÷��®ûWó�ø 8 ê � ë � :¡ê � ë ó P ê � ë÷«úöûoóe÷ýõ!ù��}Çeùiø¯B ×aê � P ê � ë � ü ß ã ó >Ìê � ë ß � 8 ê � ë _ â < :¡ê � ë �

W � P ê � ë _ � B ÓR× ü û � ÷���à G ó � �eó�ÃÖÄGÆÅó�ú�Ç�÷ � �¡ó0� G Ç � � � � �eù�Ç�÷ � � � � M ê � ë¢ � � ûY÷�� J �l� M ê � ë% d ] � � B ÓR× ü óM ê � ëÑAÔ [° �� � B ÓR× ü ó�úöû�~� ù+ü�Eó_ôöõ�÷ýø�ù���Ùþ¡ÿ z � 7Fç�; ü , ã ß � ��[] � �A^_ e2e\e � � Ó¢ ; Û ;�é ÓJD ; °ê �; Ó�ICD è B ; × 7 ü , ã�ä�® = ë è I ÖÓ é�7 = 7 =è B I$� è ê ; B Ô�Õ 7 � �J±] × è / è × 7 ÓWD�× % M ê � ± ë I ; D ;?² ß ã � á � e2e\e � £ ä � ÓJD¦Ó Õ é D�Óä� ; ×aÓ�� = 7ü ß ¨`³ [] ¨`³ ^_ e2e2e ¨`³C´§ Ö7&; Û ;ié ÓJD ; °ê �; Ó�ICD è B ; × 7 ü � = 7\T Õ 7 × ; � DtÓJIIÓ =FèD°ê �; Ó k ä f)g Ô�Õ 7ÓJD�× ¦�µ¶¶ M ê � ± ë × è / è × 7 ¨ ³ ¶ � ]· � ¨ · â � U¦ ¶ h X ® ë è I ÖÓ é�7 = 7 ¨ · � : ê � ± ë Ö7 = ;ié è�=FÛ 7 è é<; äQK 7 Û ;ié Ó��ê®Ó B Ó B ×aê � ü � W ß ã � ¨ · @��; Óx× è / è × 79>Ìê � ± ë � 7 � = 7 ¨ · × è / è × è�=<= 7�:¡ê � ± ë � ¨ · @��; Ó´× è / è × è D è ;8 ê � ± ë � 77é�7 D Ö§ ; B Ó =QM ê � ± ë¢ � � 8 ê � ± ë ¢ � ] � B ÓR× ¨ · OI ; D ;_é ÓR×RÓ¯£l¬ ã � 7 ¨ · @��; Ó�× è / è × è D è ;M ê � ± ë¢ I ; D ;&@O7�@ ë ÕCB £�¬ ã �Hê!Ó @�é D ; × èqp 7\@ ×RÓ�Ó Û ;ié ÓD× 7 ü × è / è × è D M ê � ± ë% d ] Z äl® =<=Fè B �= 7 Ü ß B�B ê � ¨ ³ ¶ � ]· � ¨ · â � U¦ ¶ Dª� ã�¸º¹U¸ W � é�7 B Ó = Ô�Õ 7 ¨ ³ ¶· × è / è × 7 M ê � ± ëå �+I ; D ;ãz¸¯¹Y¸

W �ãz¸ ² ¸ £ ä�á =<= Ó è B I$� è ê ; Ô�Õ 7 ü ß ¨`³ [] e2e\e ¨`³C´§ × è / è × 7 M ê � ± ëå I ; D ;ã*¸ ² ¸ £�� 7 IIÓJD é�;)@�é Ó � �J±] © ÓWD�× % M ê � ± ë © Ü I ; D ; ã�¸ ² ¸ £��a×RÓ @ × 7 ü , ã × è / è × 7 Ü ä¨ 7 B Ó = ;)T ÓJD ; × Õ ; = IIÓ =�=tè Ò è � è × ; × 7 = ½» v½¼ ©Ùß ãiä o 7 =<= 7 ê ; = Ó é<7 B Ó = Ô�Õ 7 ü , ã × è / è × 7 Ü ß ¨ ³ [] � ¨ ] â � U¦ [ D�Ó Ô�Õ 7ÚÖ7; Ò = Õ D�×aÓ = 7 � U¦ [ ß ã ��ILÓ è�= é�7 D Ö§ ; B Ó =�Ü ' ¨�³ [] ß ü � 7 = 7 � U¦ [ ß â�ã é�7 B Ó = Ô�Õ 7¨�³ [] , ã × è / è × 7 ¨`³ [ � ]] � ¨ ] , ã h��Ó Ô�Õ 7 è B I$� è ê ;�¾ ] ß ã ��Ó Õ = 79ç�; � ü Ö7 ICD è B Ó ä» vÁva¼ © ¬ á ä o 7 =<= 7 ê ; = ÓÜ/ß BUB ê � ¨ ³ ¶ � ]· � ¨ · â � W 4 ¨ · h �ß á BUB ê � ¨ ³ ¶ � ]· � ¨ · â � W 4 ¨ · h 4 á � ã�¸�¹¿¸ © �¸ á §À·½Á ] � ¨ ³ ¶ � ]· � ¨ · â � W 4 ¨ · h 4 á ¸ á ü §À·½Á ] ¨ · ,

ãá ¨ · �Ô�Õ 7ÄÖ7 = 7 B ICD 7 B 7\@ ÓWD Ô�Õ 7 ü X ILÓ è�= á ` Ê ` Ê] Ê ' ã Z 7 IIÓJD é�;)@�é Ó Ö7 ÕCB ; Ò = Õ D�×aÓ Ô�Õ 7ü , ã × è / è × ; Ü ä ±

Page 64: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k gpp

pp

pp

pp

ÿR� � �\ÕA������������� ���$�u�����&�2�����\�A�?�Ö�Æ×?��� ×?�������u����� ��ÕAØI� �#ÕA���® = 7\T Õ è @�é�7 ICDtÓJIIÓ =FèD°ê �; Ó��R× 7 / è × ;�;ÁØ ÓWD<D è�= Ó @ � Ö7�;)@�Ö; �ýÓ TJ;0; Ó�D 7 = Õ � é�; ×RÓ²× 7 � ÓRê� "� è @CTké Ó @ ½

r´í�s�tus î�v wï$xð s ñ�yÝ��ñ�z {�ó À �?à ¥ ã G ø�÷«úöûoó�÷«õ!ùTE¼ øµô � õ¦ó à , ã ߺÄWÅ �Ì{�óvó ¹R÷q�-ûoóG ø�÷ýúöûoóe÷ýõ!ù W ôöõ�÷ýø�ù+Ç!ùfø à û � � à G óµô � õ � ûWù��Rù J � ûWùfõ�ôöõ�÷«øNù � �¡ó Ä óI¹¡÷��-ûoó G ø ���ó�ÃuÄG0Åó�ú�Çt÷ � �Ró9� G Ç � � M ê � ë% � � ��ù$Çt÷ � � ��� ÷«úöûoóe÷ýõ!ù�� 8 ê � ë � :¡ê � ë ó G ø ÷«úöûoóe÷ýõ!ù P ê � ë ôöõ�÷«øNùÇeùiø à ó >lê � ë ß � 8 ê � ë _ â < :¡ê � ë �W � P ê � ë _ � B Ó¡× Ã û � � à G ó à © M ê � ëb�d ] óB ×aê � M ê � ëÆ Ô [° � Ã ß ã ó�úöû�~� ùFÇ � � � J � ûoùiõÃôöõ�÷ýø�ù�¨ �¡ó à � � û ÷q� J �l� ¨ � � U ¦ � B Ó¡× Ä �

�vþ¡ÿ z�� 7 Ä�ß � � [] � � ^_ e\e2e � � Ó¢ Ö7'; Û ;ié ÓWD ; °ê �; Ó�ICD è B ; × 7 Ä 7\@�é\�; Ó+ÓJD�× b M ê � ± ë © à , ãI ; D ; ã�¸ ² ¸ £ ä � 7 ¨ Ö7 ÕCB Û ;ié ÓWD9ICD è B Ó²× 7 à � é<; B Ò Ö7 B é<7 B Ó = ÓJD�× ¦ M ê � ± ë © à , ãiä! Ó B Ó B ×aê � à ��M ê � ± ëÆ Ô [° ± ß ã = 7�T Õ 7 Ô�Õ 7 ¨*� M ê � ± ëÆ Ô [° ± �7×RÓ @ × 7 ÓWD�× ¦ M ê � ± ë � å d ]� ± � 7IIÓJD é�;)@�é Ó � �m±] × è / è × 7 ÓJD�× ¦CM ê � ± ë I ; D ; ã*¸ ² ¸ £ ä � ÓWDhÓ Õ é DtÓ � ; ×RÓ��iÓWD�× ¦EM ê � ± ë × è / è × 7¨ â � U ¦ ª�¨×RÓ @ × 7 � �m±] × è / è × 7 ¨ â � U ¦ RI ; D ; ã�¸ ² ¸ £ ­ Ä × è / è × 7 ¨ â � U ¦ �Ç ­ ¨ � � U ¦ � B ÓR× Ä ä ±³ s�í�sxÈWÉð í v s ñ�y���¿�z¤¸ � ��Çeùiú��k÷aÊÇ�~ù¨ó���� � ôöõ!ù!ôæù��t÷½ÊÇ$~� ù?���eó Ä ¥ Å ó�úöû�~� ù à Eó_ôöõt÷«ø�ù���vþ¡ÿ z ç Õ ; � Ô�Õ 7 D Û ;�é ÓWD*ICD è B Ó�× 7 Ã × 7 / 7 = 7 D´ê!Ó @OT D Õ 7�@�é�7U;�« Ó Õ ; â¦ã B ÖÓ¨× Õ �ýÓÄ � B ; = � = 7 à Ö7 ê®Ó B IIÓ = é Ó���× 7 / 7¦é�7 D ÕCB Û ;ié ÓWD�ICD è B Ó B 7�@ ÓJDxÓ Õ è T Õ ; �'Ë; = Õ ; D ; è�pÔ�Õ ; ×ED ; × ; � Ô�Õ 7 × 7 / 7 �"ILÓ è�= � = 7 D è T Õ ; � ; Ä â�ãiä ! Ó B Ó Ä ¥ Ð Ã , ã � Ä _ â ã ¥ à ��ýÓ T Ó bÌ � ] 'ÍÄ(, ã �H×RÓ @ × 7 Ó�Ó Õ é D�Ó Û ;ié ÓWD�ICD è B ÓD× 7 à é�; B Ò Ö7 B × 7 / 7 = 7 D è T Õ ; � ;Ä âÞã � 7�é�7 D Ö§ ; B Ó = Ã ß � Ä âCã _ ­ à , ã ß�Ä _ â á Äî, á � Ô¨Õ 7 = ÖÓ = 7 D è ; B ÖÕ � é è I��ýÓ�× 7Ä�= 7 Ä¦Û Ó =<= 7 è T Õ ; � ; f � 7 Ä âÚã è T Õ ; � ;&« � ; Ò = Õ D�×RÓ ä ±r´í�s�tus î�v wï$xð s ñ�y�� � z {�ó À � ü ¥ ã G ø ÷ýúöûoóe÷ýõ!ù�E¼ øµô � õ��÷{�ó�ô � õ � ûWù��Rù J � ûoùfõ�ôöõ�÷«øNù� �¡ó�ü , ã ó ¹R÷��®ûWó�ø 8 ê � ë � : ê � ë ÷«úöûoó�÷«õ!ù��äÇeùføÎB ×aê � > ê � ë � ü ß ã ùfú��¡ó > ê � ë ß� 8 ê � ë _ â < :¡ê � ë û � ÷��Là G ó � �eó�ÃuÄGÆÅóeú�Çt÷ � �¡ó+� G Ç � � � �D�eù$Çt÷ � � � � M ê � ë¢ � � û ÷q� J �l� M ê � ë% d ] � � B ÓR× ü ó'B ×aê � M ê � ëÑAÔ [° � ü ß ã óeúöû�~� ùµü�Eó_ôöõt÷«ø�ù���vþ¡ÿ z � 79ç�; ¨�ÕCB Û ;�é ÓWD�ICD è B Ó�× 7 ü ä � ; D ; ê ; × ; Û ;ié ÓWDÏIOD è B Ó � × 7 ü , ã é<7 B Ó =Ô�Õ 7 M ê � ë% d ] � � B ÓR× ¨ 7 M ê � ëÑAÔ [° �� � B ÓR× ¨ äQ® =<=Fè B � = 7 � � ° Ö7Ï; B ; è ÓJDsILÓ é\²7�@ ê è ;× 7 � Ô�Õ 7 × è / è × 7 ü , ã � 7\@�é\�; Ó � � ° × è / è × 7 ¨ â � �ÏÐ °�Ѧ h�¡ê®Ó B Ó ; ê è B ; äÆ. B I ; D é è ê Õ � ; D\�� � ° × è / è × 7 ¨ _ â�ã ß � ¨ â�ã � ¨ , ã ª�k×aÓ @ × 7 ü , ã × è / è × 7 ¨ _ â�ãiäÆ® =<=tè B � ¨ _ â�ã ¬ ü , ã×RÓ @ × 7 ¨ ¥ Ð ü �kÓ Ô¨Õ 7 è B I$� è ê ;*@O; ICD è B ; � è × ; × 7 × 7 ü ILÓ è�= ü @��; Ó é�7 B @C7\@ ë ÕCB Û ;ié ÓWDICD è B Ó B 7�@ ÓJDrÓ Õ è T Õ ; �¿Ë; = Õ ; D ; è�p Ô�Õ ; ×CD ; × ; ä ±

Page 65: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k «pp

pp

pp

pp

� �����;���I� q��Y×���� ×?���sr�Õ;����ÕA�A�$�u����tÉÕ�×A���\Õ5� u`v�����Q��� bOd ] ÿ³òå ; B Ó = ;)T ÓJD ; × ; D Ó Õ é D ; ICD�Ó / ; ×RÓ²êVD è éaÖ7 D è Ó¦× 7 Ñ Õ ê ; =h"oÑ 7 ë B 7 D Õ = ;)@ ×RÓ¦Ó = D 7 = Õ � "é�; ×RÓ = ;)@�é�7 D è ÓWD 7 = ä�Ùþ¡ÿ z ® = 7 Ô"¥Õ ²7\@ ê è ; × 7 Ñ Õ ê ; = ; =<= Ó¡ê è ; × ;�; 8 ß á � : ß â á � Ö7 × ; × ; I 7 � ; Û ÖÓWD B�Õ � ;M ¢ ß ]_ � ã �h� ã , Ð 3 ¢ â � ã�â Ð 3 ¢ ä ¨ 7 B Ó = � ã , Ð 3 ¢ ßÓÒ Ó_ ,�M ¢ Ð 3 �7Ó @ × 7

K ¢ ß � ã , Ð 3 ¢ , � ã7â Ð 3 ¢ äQ® � Ö7 B × è�=<= Ó�� M _ ¢ ßXM ¢ K ¢ I ; D ;µé ÓR×RÓj£ MON ä� ; D ; � ¬ ã é�7 B Ó =K _ ° ß � ã , Ð 3 _ ° , � ãÃâ Ð 3 _ ° ß � <�, á Ð 3 _ ° Ù [ , � < â á Ð 3 _ ° Ù [ß á _ ° Ù [ �D� á , Ð 3 _ ° Ù [ , � á â Ð 3 _ ° Ù [ ß á _ ° Ù [  � � ]

X Ó @ × 7 Â Ê ß­< �  c d ] ß Â _ c â á �m¢HP MlNLZ ä � 7 ü ¥ á07 Ü % ß á % âÞã × è / è × 7  % � _7\@�é\�; Ó Ü % × è / è × 7 K _ ÑAÙ [ �?�«Ó T Ó é<; B Ò Ö7 B × è / è × 7 M å Ñ d ] ߣM _ Ñ ßXM _ ÑAÙ [ K _ ÑAÙ [ � 7 �ê®Ó B Ó M éuÑ?Ô [^ ßXM _ ÑAÙ [ � 7 K _¢ âÚã á M _ ¢ ß»< � â á ¢ � = 7�T Õ 7 Ô�Õ 7 K __ ÑAÙ [ âÚã á M __ ÑAÙ [ ßá _\ÑAÙ [ d _ � 7 � = 7 Ü % × è / è × è�=�= 7 M éuÑAÔ [^ �´× è / è × è D è ;Bé�; B Ò Ö7 B á _�ÑAÙ [ d _ � ; Ò = Õ D�×aÓ ä® =�=tè B �EI 7 �«Ó ¨ 7 ÓWD 7 B ; k ä fWf � Ü % Ö7 ICD è B Ó ä� ÓJD[Ó Õ é D�Ó¯� ; ×aÓ�� = 7 Ü % Ö7 ICD è B Ó���ê!Ó B Ó > ß ã á � � ]ª_å Ñ ß � ãå Ñ ß â � å Ñã ß ã ��«Ó T Ó Ü % × è / è × 7 M å Ñ d ] ߣM _ Ñ � 7 ��ê!Ó B ÓK __ Ñ?Ù [ ß K _ Ñ , á � â á _\Ñ?Ù [ ß K _ Ñ , á ` á é Ñ Ô [^ß K _ Ñ ,+< ` á é Ñ Ù [^ ß K _ Ñ ,+< � áÜ % � K _ Ñ ,+< � B ÓR× Ü % �

ILÓ è�= á � á % d ] � � á Ñ?Ô [^ _ � B Ó¡× Ü % X çaÖ; = ; Ò 7 B Ó = Ô�Õ 7 ü × 7 / 7 = 7 D ÕCB ICD è B ÓÖ§ B I ; D Z ä ¨ 7 B Ó = K _ Ñ ß � ã , Ð 3 _�Ñ , � ãkâ Ð 3 _�Ñ ß � ã , Ð 3 å Ñ d ] , � ãkâ Ð 3 å Ñ d ] �Ô�Õ 7²Ö7 è T Õ ; � ; � ãfâ Ð 3 � ã , Ð 3 , � ã , Ð 3 � ã5â Ð 3 ß â < 7 B æ ß Ü 4 � Ü % Þ Ð 3�ß X ILÓ è�=� ãå Ñ ß â¦ã Z ×RÓ @ × 7 K __ ÑAÙ [ ß K _ Ñ , < � � B ÓR× Ü % 7 ILÓWD é<;)@�é Ó Ü % © K _ ÑAÙ [ ßá _\ÑAÙ ^  % � _ ä÷® =<=Fè B � Ü % × è / è × 7  % � _ � Ó Ô�Õ 7 ê!Ó @ ê�� Õ è @ Ó =<= ;¬@ Ó / ; × 7 B Ó @ = é D ; °ê �; Ó×aÓ²ê�D è éaÖ7 D è ÓÁ× 7 Ñ Õ ê ; =h"oÑ 7 ë B 7 D ä ±� 7 à Ö7 ÕCB ICD è B Ó Ö§ B I ; D 7 W @��; Ó Ö7 Ô�Õ ; ×ED ; ×RÓ B ÖÓ¨× Õ �ýÓ Ã � 7\@¨é��; Ó æ ß Ü 4 � Ã Þ Ð W ßÖ7 ÕCB ê®ÓWD<IIÓ �O@ è é Ó�ê!Ó B à _ 7 � 7 B 7\@¨é Ó = 7 IIÓJD é�;)@�é Ó 7�� è�= é<7 B è @¨é<7 è DtÓ =�� 7 g é<; è�= Ô�Õ 7� ß �},»g Ð W Ö7 ÕCB ; D ; èqp ICD è B è é è / ; × 78æ ä � 7Fç�; B � ß � â g Ð W 7 �xI ; D ; P MõN �M c ß ��� c â � c 4 á g Ð W

ä ¨ 7 B Ó =ÏM Ê ß* � M ] ß ã 7 M c d _ ß á �OM c d ] â � � _ âW g _ M c I ; D ;Né ÓR×RÓ&P M N ä ¨ 7 B Ó = ; è @ × ; g �ß 7 B æ � = 7�@��; Ó � I 7 D é<7�@ ê 7 D è ;&;Ü 4 � Ü ÕÔ æ�7 ÓWD�×xÖ � × è / è × è D è ; à â�ãiäF® =�=tè B � g 7 Ð W = �; Ó è @ / 7 D é5Ö§ / 7 è�= 7 B æ�7 �= 7 8 ß á � � : ßÏ� _ â W g _ 7�@�é\�; Ó > ß 8 _ â < : ß < W g _ = ;�é è�=9Û ; p ���b ß â�ã�ä� 7 � ; IODtÓJIIÓ =FèD°ê �; Ó k ä « h � M % d ] � � B ÓR× Ã ä � ÓJD�Ó Õ é D�ÓF� ; ×RÓ�� = 7 P Ö7 B 7\@ ÓWD Ô�Õ 7

Page 66: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k fpp

pp

pp

pp

ÿ� � �\ÕA������������� ���$�u�����&�2�����\�A�?�Ö�Æ×?��� ×?�������u����� ��ÕAØI� �#ÕA���à , ã � ê ; = Ó Ã × è / è × ; M c é<7 D Ö§ ; B Ó = � c ß � c 7 B æ �Ã×aÓ @ × 7Ùé<7 D Ö§ ; B Ó = 7 B æ �� � 4 � c¬ß ãiä � 7 � ; ICD�ÓWILÓ =tèh°ê �; Ó k ä « o � � ß � b ���ýÓ T Ó � ê b � ]�ë c·ß ã � ; Ò = Õ D�×RÓ��QIIÓ è�=ÓWD�× Ö � ß Ã _ âÞã ß � à âÞã � à , ã 0¥ � à â>ã ×P äuá = é Ó Û ÓWD @C7 ê 7 D 7 ê Ö§ ICDtÓRê ; = I ; D ; Ó =D 7 = Õ � é�; ×RÓ = × 7 = é<; = 7 °ê �; Ó ä

Page 67: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k kpp

pp

pp

pp

Ø ÙºÚÜÛÝHÞàßÓá"â ãä å�æ çéè$êLëìå ècëÜí æ îïêñðòè2ó�ëõô ðöó�å

oÏ÷�ø ; I�ù§ûú<üCý ÷ ;W@ ú 7 D<þ ÷ DSÿ 7 B ÷ @ = ú D ; B ÷J= / ù; D<þ ÷m=�ø D<þ ú ù7 D<þ ÷m= ÿ 7 ICD<þ B ; ý þ�ÿ ; ÿ 7�� o 7 = ú 7ø ; I�ù§ûú<üCý ÷�� ; D 7 B ÷J= / ù; D<þ ; =UøV÷ @ = þ�ÿ 7 D ; °ø �÷ 7 =�� ü ;W@ ú ÷ ; ÷ / ; ý ÷ DUIODRù; ú þ øV÷ ÿ 7 = ú 7 ø D<þ ú ù7 D�þ ÷ �= 7�@ ÿ ÷ @ ÷m=�=�÷�÷��� 7 ú þ / ÷ ÿ ; D ü B ; þ�ÿsù7 þ ;STJ7 D ; ý ÿ ÷� ü @ ø þ ÷ @O; B 7�@ ú ÷ ÿ ÷m= ICD ÷ T D ; B ; =�� ü 77\@ øV÷ @ ú D ; D ; B ÷m= B ; þ ÷ D 7 = @ ùü B 7 D ÷J= ICD�þ B ÷J=0øV÷ @ �C7 ø þ�ÿ ÷m=�� ® ÷ þ @ / ù7 = ÿ 7 ú 7\@ ú ; D B ÷J=; øV÷ B I ;)@�O; D ; =��×÷ @ ú 7 = ÿ ; ùüOýûú þ B ; / 7 D = �; ÷ ÿ ÷ IOD ÷ T D ; B ;� ÷ I ú ; D 7 B ÷J= þ @ þ ø þ ; ý B 7\@ ú 7I ÷ D @ ÷J=*øV÷ ý ÷Eø ; D B ÷m= @O; I ÷m= þ °ø �; ÷ ÿ 7 ü B IOD ÷ T D ; B ; ÿ ÷ D ÷ ü B ; ú 7 B ù; ú þ øV÷ ü B I ÷ ü øV÷þ @CT�²7�@ ü ÷�� ü 7�; ø ; � ; ÿ 7�; ICD 7\@ ÿ 7 D � ü 7S7�� þ = ú 7S7 = ú 7 ø D<þ ú ù7 D<þ ÷ 7 D 7 =�÷ ý / 7 ü ø�÷ ý ÷jø ù; " ý ÷ 7 BIODRù; ú þ ø ;$6 / 7 D 7 B ÷J= ; =�= þ B ICD ÷ T D ; B ; =0= þ B I ý 7 =�� ü 7 ÿ 7 � ; ú ÷ þ B I ý 7 B 7\@ ú ; B ÷ ú 7 = ú 7B ; = @O; = @ ÷m=�= ; = ICD<þ B 7 þ�D ; = ú 7�@ ú ; ú þ / ; = ú 7 D 7 B ÷J= ü B = ü ø 7 =<=�÷�� ; = ú ;)@ ú 7 D 7 ý ; ú þ / ÷�� ® ÷ø �O7�TJ; D B ÷m= ; ÷�� @O; ý ÿ ÷&ø ; I�ù§�ú�üCý ÷ �x7�@ ú D 7 ú ;)@ ú ÷ �R7 = I 7 D ; B ÷m= ú 7 D*ÿCþ =<ø üEú þ�ÿ ÷�÷m= ICD<þ @ ø þ "I ; þ = ; = I 7 ø ú ÷J= B ; ú 7 B ù; ú þ øV÷J= ÿ 7 ü B ; �x÷ ; þ B I ý 7 B 7�@ ú ; °ø �; ÷ ÿ ÷ ú 7 = ú 7 ��� 7 D 7 B ÷m=�� ü 7ü B ; ÿ ; = @ ÷m=�= ; = ICD<þ @ ø þ�I ; þ = ICD 7 ÷Eø ü I ; °ø �÷ 7 =�= 7 Dxù;-; ÿ 7 = ; � 7 D B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D�þ @ ú 7 þ�D ÷m=D ; IOþ�ÿ ; B 7�@ ú 797 ÷J= B 7 ý � ÷ D 7 = ; ý T ÷ D�þ ú B ÷m= I ; D ;�7 = ú ; ú ; D 7 � ;�7 = ú �; ÷�� ; = 7`; ÿ ÷m= @O; ú D ;)@ =h"�×÷ D B ; ÿ ; ÿ 7 â ÷ ü D�þ 7 D'ÿEþ =<ø D 7 ú ; � ® I ; D ú 7 ÿ 7 = ú 7 ø ; I�ù§�ú�üCý ÷ D 7 � 7 D 7\@ ú 7S;U7 = ú 7 ú 7 B ;�7 = ú ù;�×÷ D ú 7 B 7�@ ú 7 � ; = 7`; ÿ ;Ï@ ÷ ý þ / D ÷ ÿ 7�� � ! ý ; ü = 7\@�7 i ��� ; ü B �� ��!#" %$ G�&('*)+&   & �-,�! J.$ &(/ !X+0ð³�1�2 Z �oÏ÷J=<=�÷m= ICD ÷ T D ; B ; =x= �; ÷ 7 =�ø D�þ ú ÷m= 7 B !�7 �×÷ D ; B ú 7 = ú ; ÿ ÷J= 7 B ü B43 7\@ ú þ ü B "65 þ @ ü �7�ø�÷ B ÷?ø�÷ B ICþ ý ; ÿ ÷ D�8%9:9 � Î = ICD ÷ T D ; B ; =�� ü 7¬; ICD 7 = 7�@ ú ; D 7 B ÷m=�= �; ÷ I 7 ÿ ;WT ù÷ T þ ø�÷J= 7þ ý�ü = ú D ; ú þ / ÷m= � B ü þ ú ÷ ; � ü ù7 B ÿ ÷ þ�ÿ 7\; ý ICD<þ @ ø þ�I ; ý B 7\@ ú 7|7 B ú 7 D B ÷m= ÿ 7 / 7 ý ÷Eø þ�ÿ ; ÿ 7 �¨�÷ ÿ ÷J=¿÷J= ICD ÷ T D ; B ; = I ÷ ÿ 7 B = 7 D ÷�� ú þ�ÿ ÷J= I 7 ý ; D 7 ÿ 7;6 ÷J= ÿ 7Ï@ ÷J=<= ;�; üEú ÷ D�þ ;�7 = ú �; ÷ 7 B;=<:<?>�@BA:A�C:C:CEDGFIH�<EDJ>?K 9�L�M%N�O DJP M A�Q=R N?9�O?S H�K A->:K:P S A->H�>T M U A#F%T M�U T-R:R TVD6<=H M D 8=W �

Page 68: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k mpp

pp

pp

pp

ÿ�¿ � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� ����#Z []\�^#_a`�^�\+%b !c`�dU! %*!e^�f�%b

i B ; ICD<þ B 7 þ�D ; ú 7�@ ú ; ú þ / ; I ÷ ÿ 7 D<þ ; = 7 D�½® ÷ ú 7\@ ú ; D B ÷J= 7��E7 ø üEú ; D ÷ ICD ÷ T D ; B ;� / þ B ÷J=�� ü 7�7 ý 7 øV÷ D<D 7 ú ; B 7�@ ú 7 ÿEþ =<= 7 � ü 7g _h 3 � g ã h > 7 gji h 3 k¿= �; ÷ IOD�þ B ÷J= B ; = þ @ øV÷ D<D 7 ú ; B 7�@ ú 7 ÿEþ =<= 7 � ü 7 g �lh k+mA>ù7 øV÷ B I ÷m= ú ÷ n Î � ü 7Ï; ø�÷ @ ú 7 ø 7 ü%o ® ÷ B ;)@ ÿ ; D B ÷J=+÷ IOD ÷ T D ; B ; þ B ICD<þ B þ�D ÷m= / ; ý ÷ D 7 =ÿ 7  % � / þ B ÷m=0<�#k <��k\C\<�ª3A>#B�3�<�#k <%k2B�3�k2>5C�@#<�qp�m?B�<#<?m#@#<?>�r$�(p�k <5<53#@A>5> ó @#< � e\e2e 7 �Rø ;7 / þ�ÿ 7�@ ú 7 � ü 7�; ý T ÷ 7 = ú ù; B ü þ ú ÷ 7 D<D ; ÿ ÷ � K 7 � ; ú ÷ � ÷s� ü 7 ÷J=®øV÷ B I üEú ; ÿ ÷ D 7 =9ø �O; B ; Bÿ 7 N R=< ù7 ü B 7 ý 7 B 7\@ ú ÷ ÿ 7 Ü 4 � m b OI ; D ;Ï; ý T ü B / ; ý ÷ D ÿ 7 à 6)@ ÷ @ ÷m=�=�÷�ø ; =�÷ � à h 3�m �! ÷ B ÷  % ø D 7 =�ø 7 B ü þ ú ÷ Dxù; IOþ�ÿ ÷ �j7 B I ÷ ü ø�÷J= I ; =<=�÷J= üCýûú D ; I ; =<= ; B ÷J=¿÷ ý þ B þ ú 7 ÿ 7 m b7 ÷J= / ; ý ÷ D 7 = ÿ 7 ©�ø ; ý ø üCý ; ÿ ÷m= I ; =<= ; B ;U7 = ú ; D 7 D<D ; ÿ ÷J=#�® =�÷ ý�ü °ø �; ÷ I ; D ; ÷ ICD ÷�� ý 7 B ; ù7 � ; p 7 D ú ÷ ÿ ; = ; =¬øV÷ @ ú ; = B ÷ ÿ üCý ÷tgju � � ù; � ü 7= ù÷ ICD 7 ø þ = ; B ÷m=*= ; � 7 D @ ÷v� @O; ý = 7  u�� _ ù7 ÷ ü @��; ÷ B ùüCý�ú þ�I ý ÷ ÿ 7 gjuw� i B ; / 7 D = �; ÷ý 7 / 7 B 7\@ ú 7 B 7 ý � ÷ D ; ÿ ; ÿ ÷ @ ÷J=<=�÷ ICD ÷ T D ; B ; = 7 D<þ ; S:S�x D 9 6J7 = ú ; / 7 D = �; ÷ ÿ ÷ IOD ÷ T D ; B ;;)T ÷ D ; / 7 D<þ �Rø ; øV÷ D<D 7 ú ; B 7�@ ú 7 � ü 7 g _ h 3 � g ã h > � g i h 3 k � g � h k+mA>?= �; ÷ICD<þ B ÷J= � � ü 7 g ]�] h m?r�<?> h m;3 ` ó C ù7 øV÷ B I ÷m= ú ÷ 7 � ü 7 g ] ã h ó k2Ck ù7 ICD<þ B ÷B ; = ; � D B ; þ @ øV÷ D�D 7 ú ; B 7�@ ú 7 � ü 7 g ]��yh k�3�k�r;>=k ù7 øV÷ B I ÷J= ú ÷�� Î � ü 7 ÷EøV÷ D�D 7 ù7� ü 70; I 7 = ; D�ÿ 7 g ]�� ; þ @ ÿ ; = 7 D � 7 B B 7�@ ÷ D�ÿ ÷v� ü 7 m ã _ � ÷ ý þ B þ ú 7 ÿ 7 ú ; B ;)@ � ÷ ÿ 7N R:< = ��7 B ø�÷ @ ú ; = þ @ ú 7 D B 7 ÿEþ`ù; D<þ ; = 7 ý 7 / ; B ÷J= @ ùü B 7 D ÷J= @O; � ; þ �C; ÿ 7 g ; « k « gmolg ; ÷� ü ; ÿED ; ÿ ÷ �j7 þ = ú ÷ @ ÷m=e�ª÷ Tm; �×÷ D ; ÿ ; B ; D TW7 B ÿ 7 �R÷ B � ü @ ø þ ÷ @O; B 7\@ ú ÷ ÿ 7 N R=< =#����{z |~}�����d�b���\V����\+%�_ %b���b�%�d���� %4#�^�#�}�^��S!e` . %a�����

á = ú ÷ ÿ 7 / 7 øV÷ @ / 7�@ ø 7 D ; ÷ ý 7 þ ú ÷ D � ü 7�@ ü @ ø ; þ�D 7 B ÷m= B ü þ ú ÷ ý ÷ @CTW7U7�@ � ü ;)@ ú ÷ @��; ÷@ ÷J= ý þ / D ; D B ÷J= ÿ 7 ý þ B þ ú 7 = ú �; ÷s� ; þ � ÷J=®=�÷�� D 7 ú ; B ;)@� ÷J= ÿ 7 þ @ ú 7 þ�D ÷J=#� i B ; þ�ÿ�ù7 þ ; = 7 "D�þ ; ü = ; D ü B ; � þ � ý þ ÷ ú 7 ø ; I ; D ; þ @ ú 7 þ�D ÷J= ÿ 7 IOD 7 ø þ = �; ÷ ; D � þ ú DRù; D�þ ;� ø�÷ B ÷ 8 F > X � o i� üCý�ú þ 3 D 7 ø þ = þ ÷ @w� ø ü � ; =��×÷ @ ú 7 = I ÷ ÿ 7 B = 7 D ÷�� ú þ�ÿ ; = 7 B C:C:C�D 8 R:K�D O�M:8 Z ÷ ü 8IN H�R=< N R=<X �×÷ @ ú 7 = 7 B ;=<?<?>�@(A:A-C:C:C�D�>T M=��U�9=N D 9�O F7A ��M T?T:A 8IN H-R=< N R=< Z � i B ; 7�� I ý þ ø ; °ø �; ÷ ÿ 7øV÷ B ÷�� ü @ ø þ ÷ @O; B 7 = ú ; =�� þ � ý þ ÷ ú 7 ø ; = 7 = ú ù; �×÷ D ; ÿ ÷J= @ ÷m=�=�÷J=�÷��� 7 ú þ / ÷m= 6 ÷ ý 7 þ ú ÷ D®þ @ ú 7 D "7 =<= ; ÿ ÷ ÿ 7 / 7 øV÷ @ = üCý�ú ; D = ü ; ÿ ÷jø ü B 7�@ ú ; °ø �; ÷ ��� ; = ú ; " @ ÷J= @ ÷ ú ; D � ü 7�7 ý ; = I 7 D B þ ú 7 Bü = ; D ü B ú þ�I ÷ ÿ 7 / ; D<þ`ù; / 7 ý @ ÷ / ÷ � ø �O; B ; ÿ ÷ F > W < @ ÷ 8 F > 7 8%N H�R=< @ ÷ 8IN H�R=< N R=< �� ü 7 � ü @ ø þ ÷ @R; ø�÷ B ÷ ü B þ @ ú 7 þ�D ÷ X 7S@��; ÷ ü B 7 ý 7 B 7�@ ú ÷ ÿ 7 Ü 4 � à xI ; D ;0; ý T ü B / ; ý ÷ D� � ÷ ÿ 7 à Z = 7 B ý þ B þ ú ; °ø �÷ 7 = ÿ 7 ú ; B ;)@� ÷ 7�� ø 7 ú ÷ ; = þ B I ÷J= ú ; = I 7 ý ; B 7 B ù÷ D<þ ; ÿ ÷*øV÷ B "I üEú ; ÿ ÷ D ��o'÷ ú 7 � ü 7 I ; D ; ú 7 = ú ; D = 7 g u ù7 ICD<þ B ÷ I 7 ý ÷�ø D�þ ú ù7 D<þ ÷ ÿ 7 5 ü ø ; =h"65 7�� B 7 D �ú 7 D 7 B ÷m=V� ü 7 � ; p 7 D ø�÷ B ú ; = B ÷ ÿ üCý ÷�g u 6 ü B @ ùü B 7 D ÷ B ù÷ ÿ üOý ÷�g u ÷Eø ü I ;�� � þ ú = ÿ 7B 7 B ù÷ D<þ ;07�� ý 7 / ;W@ ÿ ÷ 7 B øV÷ @ ú ; � ü 7 ú ; ý / 7 p ICD 7 ø þ = 7 B ÷J= T ü ; D<ÿ ; D ; ý T ü @ = D 7 = üCý�ú ; ÿ ÷J=

Page 69: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k npp

pp

pp

pp

� �����;��q�� �I�YÕ?Ø(��X;�5�u����� �;�\Õ���Õ;��X#�DÕ?�A�A�}Õ*r#� r#ØI� ��×����\Õ������ ÿ �þ @ ú 7 D B 7 ÿCþ\ù; D�þ ÷J= � I ÷ ÿ 7 B ÷J= 7 = ú þ B ; D � ü 7�; B 7 B ù÷ D<þ ;S@C7 ø 7 =<= ù; D�þ ; = 7�� ù7*; ICD ÷ � þ B ; ÿ ; "B 7\@ ú 7 þ T ü ; ý ;�« g B þ ý ���÷ 7 = ÿ 7 / 7 = 7 Dsÿ 7 ü @ = « g � �E� ú 7 = � ÷�� ü 7'@��; ÷ ù7 B ü þ ú ÷ I ; D ; ÷m=I ; ÿED �÷ 7 = ; ú<ü ; þ =#� oÏ÷ ú 7 I ÷ D ÷ üEú D ÷ ý ; ÿ ÷�� ü 7 = 7 ú 7\@ ú ù; =<= 7 B ÷J=*ø ; ý ø üCý ; D  u�� _ X 70@��; ÷ u?� _ B ÷ ÿ üOý ÷�g�u Z þ = ú ÷ 7�� ø 7 ÿ 7 D�þ ;'7 B B ü þ ú ÷ ; B 7 B ù÷ D�þ ; ÿ 7 � ü ; ý � ü 7 D øV÷ B I üEú ; ÿ ÷ D �� 7 � ; B ÷J= ü B IOD ÷ T D ; B ; = þ B I ý 7 =�� ü 7 þ B I ý 7 B 7�@ ú ; ÷ ú 7 = ú 7 ÿ 7 5 ü ø ; =ª"65 7#� B 7 Dü = ;W@ ÿ ÷ ; � þ � ý þ ÷ ú 7 ø ; 8 F > ½� 7 B �x7 = ú 7 ICD ÷ T D ; B ; � @O; ý B 7�@ ú 7 � ü @ ø þ ÷ @O; n . ý 7 / 7 D<þ �Rø ; ø�÷ D<D 7 ú ; B 7\@ ú 7 = 7 g uù7 ICD<þ B ÷&÷ ü øV÷ B I ÷J= ú ÷ B 7 = B ÷ I ; D ; / ; ý ÷ D 7 = ; ý�ú ÷m= ÿ 7� � 3 ÷ D 7��E7 B I ý ÷ � ú 7 = ú ; B ÷m=ø�÷ B 7 ý 7S; ICD<þ B ; ý þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7 g ]�]ª_#] ã ü = ;)@ ÿ ÷ ü B�3 7�@ ú þ ü B « k;k "�5 þ @ ü �7�j7S; D 7 = I ÷J= ú ;ø 7 D ú ; / 7 þ ÷ ; I'ù÷m= I ÷ ü øV÷ B 7�@ ÷m= ÿ 7 k B þ @ üEú ÷m=�� ��; =+= 7 ù7 / 7 D�ÿ ; ÿ 7 � ü 797 = ú 7 ICD ÷ T D ; B ;7 = ú ù; øV÷ D<D 7 ú ÷ �J7 ý 7 I ÷ ÿ 7 = 7 D ú ÷ D @O; ÿ ÷�� 7 B B ; þ = DRù; ICþ�ÿ ÷ � ® =®ø�÷ @ ú ; = @ ÷�øV÷ B I üCú ; ÿ ÷ D= �; ÷�� 7 þ ú ; = @O; � ; = 7 f B ; = ; D 7 ÿ ü °ø �; ÷ B ù÷ ÿ üCý ÷�g�u ù7 � 7 þ ú ; = 7 B ý 7 / ; D 7 B ø�÷ @ ú ; ÷� ; ú ÷ ÿ 7 � ü 7 gju ú 7 B ü B ;�7�� I ;)@ = �; ÷ @O; � ; = 7 f ú �; ÷¬= þ B I ý 7 =#� Î ICD ÷ T D ; B ; S?S�� D 9ù7 ü B ; I 7 � ü 7�@R; B ÷ ÿEþ �Rø ; °ø �; ÷ ÿ ÷ ;W@ ú 7 D<þ ÷ D � ü 7*7�� I ý ÷ D ;07 = ú 7 =E� ; ú ÷J=#� ® ICD ÷ / 7 þ ú ; B ÷J=; ÷Eø ; = þ �; ÷ I ; D ; B ÷ ÿEþ �xø ; D ÷ ICD ÷ T D ; B ; ÿ 7 ú ; ý �×÷ D B ; � ü 7�7 ý 7 ú 7 = ú 7�@��; ÷ ; I 7\@O; = ;IOD�þ B ; ý þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7��= ¡@ ùü B 7 D ÷ ÿ 7��?7 D = 7\@C@C7Õ7 = þ B ÿ 7 ú ÷ ÿ ÷J=�÷J= @ ùü B 7 D ÷J= ÿ 7���7 D = 7\@C@C77 B ü B ; � ; þ �C; ÿ ; ÿ ; �® ICD<þ @ ø þ�I ; ý ÿEþ � 7 D 7\@ °ø ;�7 = ú ù;S@R; I ; D ú 7Ï7 B � ü 7 D 7 ÿ ü p þ B ÷J= B ù÷ ÿ üCý ÷¡g u ½�ù7 B ü þ ú ÷� ù; ø þ ý � ; p 7 D ü B ; ÿEþ / þ = �; ÷¡øV÷ B D 7 = ú ÷ ÿ 7 ü B þ @ ú 7 þ�D ÷£¢ I ÷ D m u � I ÷ þ =�÷ D 7 = ú ÷£¢ ]ø�÷ D<D 7 = I ÷ @ ÿ 7S; ÷J= ùüCý�ú þ B ÷m= �¡; ý TJ; D�þ = B ÷m= @O; � ; = 7 f 7\@ � ü ;)@ ú ÷¬÷�� ü ÷Eø þ 7�@ ú 7 ¢ _ øV÷ D "D 7 = I ÷ @ ÿ 7|; ÷m= ÿ 7 B ; þ = ; ý Tm; D<þ = B ÷J=#� ! ÷ B ÷¤m u � k � B ÷ ÿ g u � I ÷ ÿ 7 B ÷m= ú D ÷Eø ; D¢ h m u ` ¢ ] ,£¢ _ I ÷ D ¢ ] ,£¢ _ = 7 B ; ý�ú 7 D ; D = 7 ü / ; ý ÷ D B ù÷ ÿ üCý ÷�g�u 7 = 7 B = 7 � ü 7 Dø ; ý ø üCý ; D ÷ ICDxù÷ ICD<þ ÷�g�uw� . = ú ;�@ ÷ / ; / 7 D = �; ÷ ÿ ÷ ICD ÷ T D ; B ; ÿ 7 B ÷ D ÷ ü ; ICD ÷ � þ B ; ÿ ; "B 7\@ ú 7�« B þ @ üEú ÷ 7öm g = 7�T ü @ ÿ ÷J= I ; D ; / 7 D<þ �xø ; D ; IOD�þ B ; ý þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7 g ]�]ª_#] ã ��«� ÷ D ;I ; D ; / 7 D�þ �Rø ; D ; IOD�þ B ; ý þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7 g VVY¥V� 7 o � ÷ D ; = I ; D ; ú 7 = ú ; D ú ÷ ÿ ÷J= ÷J= 7�� I ÷ 7�@ ú 7 =IOD�þ B ÷J= ; ú ù7U« f)gJgWg �i B I 7 � ü 7\@ ÷ ICD ÷ T D ; B ; ø ; I ; p ÿ 7�7�@ ø�÷ @ ú D ; D @ ùü B 7 D ÷m= ICD<þ B ÷J= D 7 ý ; ú þ / ; B 7\@ ú 7T D ;W@ ÿ 7 = ù7�@ ÷J=<=�÷ 7��E7 B I ý ÷ > MO <?;§¦§D 9 � � ü 7 ü = ; ÷¡ø D<þ ú ù7 D�þ ÷ ÿ 7 3 D ÷ ú � X ! ÷ D ÷ ý ù; D<þ ÷k � n Z I ; D ; IOD ÷Eø ü D ; D�ICD<þ B ÷J= ÿ ; �×÷ D B ;�¨ ` m ¢ ,©k 6 ÷ ICD ÷ T D ; B ;&7�@ øV÷ @ ú D ; ICD<þ B ÷m=ø�÷ B ø 7�@ ú 7\@O; = ÿ 7?; ý Tm; D<þ = B ÷J= 7 B I ÷ ü ø�÷J=�= 7�T ü @ ÿ ÷m=���ª / 7 = ��; ý�ý ÷ ú 7 =<ø D 7 / 7 ü�ü BIOD ÷ T D ; B ; = ù7 D<þ ÷ I ; D ;U7�@ øV÷ @ ú D ; DsICD<þ B ÷m= B ü þ ú ÷ T D ;W@ ÿ 7 = ÿ 7 = ú 7 ú þ�I ÷=«-�!��C7\TJ; B ÷m= @ ÷ I ÷ @ ú ÷-÷ @ ÿ 7 � ù; ú 7 B ÷m= ICD ÷ T D ; B ; =�� ü 7 � ü @ ø þ ÷ @O; B 7 ÿ 7 / 7 B ÷J=ÿCþ =<ø üEú þ�D ø�÷ B ÷ ú ÷ D @ ù; " ý ÷J= B ; þ = Dxù; ICþ�ÿ ÷J=#�e�+÷ ý�ú ;W@ ÿ ÷ ; ÷ 7��E7 B I ý ÷ ÿ ÷ ú 7 = ú 7 ÿ 7 5 ü ø ; =h"5 7�� B 7 D ��; I ; D ú 7 � ü 7 �Rø ; �×÷ D ; ÿ ÷ �=O�M�ù7 ø ý ; D ; B 7�@ ú 7 � 7 B = þ B I ý 7 =#��¨ ü ÿ ÷&÷�� ü 7/ 7 B ÿ 7�@ ú D ÷ ÿ ÷ �=O�M � I ÷ D ÷ üCú D ÷ ý ; ÿ ÷ � ù7�7��j7 ø üEú ; ÿ ÷ � / 7 p 7 = 7 I ÷ D ú ;)@ ú ÷ ù7 øV÷ B7 = ú ; I ; D ú 7 � ü 7 ÿ 7 / 7 B ÷J= @ ÷m= ICD 7 ÷Eø ü I ; D�½ ü B ; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; °ø �; ÷ X ÷ ü?ü B � ü ; ÿED ; ÿ ÷ Z �¬6­�®�¯7°�±{±+² ³*´{´(²�µ+¶#·+¸:¹»º�¼q½�¼+¾�¸{¸:¹À¿�¶�´qÁ�Â�µ�·?¹ÄÃ�¼�Å�Å{¸q±�´

Page 70: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k;kpp

pp

pp

pp

ÿ�ÿ � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� �; ý T ü B ; = ; ÿEþ °ø �÷ 7 = � = ü � ú D ; °ø �÷ 7 = 7 ÿEþ / þ = �÷ 7 = I ÷ D m u ��Æ ù; / þ B ÷J=�� ü 7Y; = ÿCþ / þ = �÷ 7 = I ÷ Dm u = �; ÷ = þ B I ý 7 = 6Ï; ÿEþ °ø �÷ 7 = 7 = ü � ú D ; °ø �÷ 7 =�= �; ÷ ú ; B � ù7 B DRù; ICþ�ÿ ; = � B 7 = B ÷ ü = ;)@ ÿ ÷ ÷B ù7 ú ÷ ÿ ÷ 7�@ = þ @R; ÿ ÷ @R;�7 =<øV÷ ý ; � ì 7 = ú ;¬; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; °ø �; ÷ �x7 ù7�; ù§ � ü 70@ ÷J=<=�÷ IOD ÷ T D ; B ;TJ; = ú ; � ü ; = 7 ú ÷ ÿ ÷ = 7 ü¡ú 7 B I ÷ � K þ =<ø üEú þ�D 7 B ÷m= @ ÷ D 7 = ú ;)@ ú 7 ÿ 7 = ú 7 ø ; I�ù§�ú�üOý ÷zøV÷ B ÷B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D®D ; ICþ�ÿ ; B 7\@ ú 7 þ @ ú 7 þ�D ÷J=®ø�÷ B B ü þ ú ÷J= ; ý TJ; D<þ = B ÷J=#������ Ç %�}�����\�^�!e_È�É��`Ê_Ë��}�!V^���}#^ . %-,.�/%�É��`~Ì %\+%*!ebc�?#&%

® �×÷ D B ; ÿ 7 B üCýûú þ�I ý þ ø ; DÏþ @ ú 7 þ�D ÷m= 7\@ = þ @O; ÿ ;�@O;�7 =�ø�÷ ý ; ù7 = þ B I ý 7 = 7 øV÷ @?ÍJ7�@ þ 7�@ ú 7I ; D ; þ @ ú 7 þ�D ÷m= D 7 ý ; ú þ Íl; B 7\@ ú 7 I 7 � ü 7\@ ÷J= � B ; = ÍW7 � ; B ÷J=s= 7 ü ø ü = ú ÷ � 3 ; D ; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; Dÿ ÷ þ = þ @ ú 7 þ�D ÷J= ÿ 7 ¢ ; ý TJ; D<þ = B ÷J= @R; � ; = 7 W ICD ÷Eø 7 ÿ 7 B ÷J=� ; = þ ø ; B 7�@ ú 7¬; I ; D ú þ�D0ÿ ;� ù÷ D B üCý ; ½ � S ] � ] W ] � S · g · W · h S ]qÎ · � ] g · W ] d ·eÏø ; ý ø üCý ; B ÷J= X ÷ ü ÷ ý �R; B ÷J= @O; ú ; � ü ; ÿ ; Z ú ÷ ÿ ÷J= ÷m= ICD ÷ ÿ üEú ÷m= ÿ 7 ü B ; ý Tm; D<þ = B ÷ ÿ 7 ü Bÿ ÷J= þ @ ú 7 þ�D ÷m=�ø�÷ B ü B ; ý Tm; D<þ = B ÷ ÿ ÷Ï÷ üEú D ÷ � B üOýûú þ�I ý þ ø ; B ÷m= I 7 ý ; I ÷ ú ²7�@ ø þ ; ÿ 7 W ; ICD ÷�ÐICD<þ ; ÿ ; X ÷�� ü 7�7 � ü þ Íl; ý 7�;U; ø D 7 =<ø 7\@ ú ; D p 7 D ÷J= Ë; ÿEþ�D 7 þ ú ; Z 7 =�÷ B ; B ÷J= ; =�¢ _ I ; D ø 7 ý ; =÷�� ú þ�ÿ ; =#�cÑ�� 7 ú�ü ; B ÷J= @ ÷ ICD ÷Eø 7 =<=�÷�¢ _ B üOýûú þ�I ý þ ø ; °ø �÷ 7 = 7 ü B @ ùü B 7 D ÷�ø�÷ B I ; Dxù;�ÍJ7 ý ÿ 7=�÷ B ; =#Ò ; =<= þ B � ÷ ú 7 B I ÷ TJ; = ú ÷0øV÷ B 7 = ú 7�; ý T ÷ D�þ ú B ÷ ù7�; ICD ÷ � þ B ; ÿ ; B 7�@ ú 7 � ¢ _ I ; D ;; ý T ü B ; øV÷ @ = ú ;)@ ú 7 I ÷m= þ ú þ Íl; � ��Ó 7 þ = ú ÷v�×÷m=�= 7 ÷ B 7 ý � ÷ D � ü 7 I ü ÿ�ù7 =<= 7 B ÷J=�� ; p 7 D � ÷ú 7 B I ÷ I ; D ; ø �C7 ø ; D ; ICD�þ B ; ý þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7 g u = 7 D�þ ;�; ICD ÷ � þ B ; ÿ ; B 7�@ ú 7 � � ã �VÑ � þ = ú 7 B7�@ ú D 7 ú ;)@ ú ÷U÷ üCú D ÷J= ; ý T ÷ D�þ ú B ÷m= ÿ 7 B üCý�ú þ�I ý þ ø ; °ø �; ÷ ½ 7��C; B þ @C7 B ÷m= IOD�þ B 7 þ�D ÷ ü B ; ý T ÷�ÐD�þ ú B ÷ D 7 ý ; ú þ Í�; B 7�@ ú 7 = þ B I ý 7 = � ÷ ; ý T ÷ D�þ ú B ÷ ÿ 7�ÔS; D ; ú = ü � ;� ü = ; ÿ ÷ I 7 ý ; � þ � ý þ ÷ ú 7 ø ;8 F> X 7 I ÷ D ú ;)@ ú ÷ I ÷ D @ ÷m=�=�÷J= ICD ÷ T D ; B ; = ; ø þ B ; Z �Ó 7 � ; Bé� 7yÕ ÿ ÷ þ = þ @ ú 7 þ�D ÷J=¬ø�÷ B ¢ ; ý Tm; D<þ = B ÷J=�ø ; ÿ ; ü B �©Ó 7 P h×Ö ¢�Ø-m�Ù �I ÷ ÿ 7 B ÷J= 7 =�ø D 7#ÍW7 D � h � ] W cÛÚ � Ê ��Õ h Õ ] W cÜÚ Õ Ê 7 � Õ h � ] Õ ] W _ cÜÚ� � ] Õ Ê Ú � Ê Õ ] W cÝÚ � Ê Õ Ê � 3 7 ý ÷ ; ý T ÷ D�þ ú B ÷ ;)@ ú 7 D�þ ÷ D � ø ; ý ø üOý ; D`ù§ ; B ÷m=®÷J=� ü ; ú D ÷ICD ÷ ÿ üEú ÷m= ÿ 7 þ @ ú 7 þ�D ÷m=¿øV÷ B P ; ý TJ; D�þ = B ÷m=��cÑ @ ú D 7 ú ;)@ ú ÷ � ÷J= ICD ÷ ÿ üEú ÷m= � ] Õ Ê 7 � Ê Õ ]@��; ÷�= �; ÷ @O7 ø 7 =�= ù; D<þ ÷J= þ @ ÿCþ Í þ�ÿ ü ; ý B 7�@ ú 7��E7 I ÷ ÿ 7 B ÷m=9ø ; ý ø üOý ; D = ü ; =�÷ B ; ÿ ; = 7�T ü þ @ ú 7�×÷ D B ; ½ � ] Õ Ê Ú � Ê Õ ] h � � ] p � Ê � Õ Ê p Õ ] Ú � ] Õ ] Ú � Ê Õ Ê eÑ B ÷ üEú D ; = I ; ý ;YÍ D ; = � I ÷ ÿ 7 B ÷m= 7 =<ø D 7�ÍJ7 D� Õ h � ] Õ ] � W _ c Ú W c Ú � � ] p � Ê � Õ Ê p Õ ] W c Ú � Ê Õ Ê � W c ÚÞk e® =<= þ B � I ÷ ÿ 7 B ÷J=+ø ; ý ø üCý ; D ÷J= ú D ²7 =�ø�÷ 7 �Rø þ 7\@ ú 7 = øV÷ B ; I 7�@R; = ú D ²7 = B üCýûú þ�I ý þ ø ; °ø �÷ 7 = X ; ÷þ @:Í ù7 = ÿ 7 � ü ; ú D ÷ Z 7*; ý T ü B ; =¿=�÷ B ; =�� �?7 = B ÷�� ü 7 ÷ @ ùü B 7 D ÷ ÿ 7 =�÷ B ; = ; ü B 7�@ ú 7�� � ù;

Page 71: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k opp

pp

pp

pp

� �����;��q�� q��(�ßX5Ø ×�� ��ØI� �\Õ5� u�vÕ5�÷���u�\��ØI� �§à� �&� �$��X�� ÕA�?�A�0ttD× ÿ w= ; � 7 B ÷m=�� ü 7 =�÷ B ; =Õ= �; ÷ Dxù; ICþ�ÿ ; = 7 I ÷ D ú ;)@ ú ÷ I ÷ ÿ 7 B ÷m= 7 = I 7 D ; D � ü 7'7 = ú 7Ï; ý T ÷ D�þ ú B ÷D 7 IOD 7 = 7\@ ú 7 ü B ; B 7 ý � ÷ D ; = ü �O= ú ;)@ ø þ ; ý 7 B D 7 ý ; °ø �; ÷ ; ÷ ;W@ ú 7 D<þ ÷ D ���; þ = ICD 7 ø þ = ; B 7�@ ú 7�� D 7 I 7 ú þ B ÷m= 7 = ú 7 ICD ÷Eø 7 =<=�÷ I ; D ; ÿCþ B þ @ ü þ�D B ÷J=�÷ ú ; B ;W@� ÷ÿ ÷J= þ @ ú 7 þ�D ÷J=#� ® =<= þ B � = 7 ÿ 7�@ ÷ ú ; D B ÷J= I ÷ Dcá � ¢ ÷ ú 7 B I ÷ @C7 ø 7 =�= ù; D<þ ÷ I ; D ; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; Dþ @ ú 7 þ�D ÷J= ÿ 7 ¢ ; ý Tm; D<þ = B ÷J= ú 7 B ÷J= á � ¢ �âäã�á � Ö ¢�Ø-m�Ù Ú � ¢ 7 ICD ÷ Íl; B ÷J=�� ; ø þ ý B 7\@ ú 7� ü 7 á � ¢ §â � ¢ � �÷ @ ÿ 7 F h � ý ÷ T ã� Ø � ý ÷ T m ��|�ª� å ��}!e^���}#^ . %-,.�/%�æ��`ç����}#^�dÞè��_é^���bê��b %�d����ÈëÞë� Ó ü I ÷ @�O; � ü 7 � ü 7 þ�D ; B ÷J= B üCýûú þ�I ý þ ø ; DUÿ ÷ þ = I ÷ ý þ @&²÷ B þ ÷J= 8 � :~ìîí Þ � ß � ÿ 7YT D ; üB 7\@ ÷ D'ÿ ÷s� ü 7 ¢ � D 7 ICD 7 = 7�@ ú ; ÿ ÷m= I 7 ý ÷J=®= 7 ü =®øV÷ 7 �Rø þ 7\@ ú 7 = ½8 ��� h SÊ\[ · ^§ï � · � · h � Ê Ú-� ] � Ú `2`\` Ú-� ï � ] � ï � ] �

: ��� h SÊ\[ · ^§ï g · � · h g Ê Ú¦g ] � Ú `\`2` Úèg ï � ] � ï � ] eÎ�B ù7 ú ÷ ÿ ÷ ; ICD 7�@ ÿCþ�ÿ ÷ @R;�7 =<øV÷ ý ;*7�� þ TW7 ¢ _ B üCý�ú þ�I ý þ ø ; °ø �÷ 7 =#ÒW÷ B ù7 ú ÷ ÿ 7 ÿ 7�ÔS; D ; ú = ü � ;I ÷ ÿ 7 = 7 D ; ÿ ; I ú ; ÿ ÷ I ; D ; 7 = ú 7 ICD ÷�� ý 7 B ;z7�7�� þ TJ7�; ICD ÷ � þ B ; ÿ ; B 7�@ ú 7 ¢ � B üCý�ú þ ÐI ý þ ø ; °ø �÷ 7 = � øV÷ B F h � ý ÷ T ã� Ø � ý ÷ T m �j� 7 D 7 B ÷m= ;WT ÷ D ; ø�÷ B ÷ 7 � 7 ú<ü ; D 7 = ú ; B üCý�ú þ ÐI ý þ ø ; °ø �; ÷�øV÷ B ü B @ ùü B 7 D ÷ B ü þ ú ÷ B 7�@ ÷ D'ÿ 7 ÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 =��i B ; þ�ÿ�ù7 þ ; ù7Y; ÿ 7 øV÷ @ = þ�ÿ 7 D ; D ÷m= I ÷ ý þ @0²÷ B þ ÷m=�øV÷ B ÷ D 7 ICD 7 = 7\@ ú ; ÿ ÷J= @��; ÷ I 7 ý ÷m== 7 ü =*ø�÷ 7 �Rø þ 7\@ ú 7 = 7 = þ B I 7 ý ÷J=S= 7 ü = Íl; ý ÷ D 7 = 7 B ¢ I ÷ @ ú ÷m= ÿEþ = ú þ @ ú ÷m=�ð Ê � e\e2e ��ð ï � ] �¨ 7 B ÷m= 7#Í þ�ÿ 7\@ ú 7 B 7\@ ú 7 � 8 ` : � ð · h 8 � ð · ` : � ð · h½ = 7 ÷ ICD ÷ ÿ üEú ÷ 8 : ú 7 B T D ; üB 7\@ ÷ DÏÿ ÷�� ü 7 ¢ 7�@ ú �; ÷ 8 : ù7 ÷ ùü @ þ øV÷ I ÷ ý þ @0²÷ B þ ÷¡� ü 70; =<= ü B 7�7 = ú 7 =�¢ Íl; ý ÷ D 7 =�� ®ÿCþ �Rø üCý ÿ ; ÿ 7Y7 B ü = ; D 7 = ú 7 B ù7 ú ÷ ÿ ÷ 7 = ú ù;&7 B ø ; ý ø üOý ; D ÷J= Íl; ý ÷ D 7 = ÿ 7 8 7&:¯@ ÷J=�¢I ÷ @ ú ÷J=�ð Ê � e2e\e �{ð ï � ] 7¬7 B D 7 ø ü I 7 D ; D�8 : ; I ; D ú þ�DUÿ 7 = 7 ü Íl; ý ÷ D @O7 = ú 7 = B 7 = B ÷m=I ÷ @ ú ÷J=#�eÓ 7 ÷J= Íl; ý ÷ D 7 =�ð · �×÷ D 7 B 7 =<øV÷ ý � þ�ÿ ÷J=¿= 7 B ø D�þ ú ù7 D�þ ÷ 7 = ú 7 B ù7 ú ÷ ÿ ÷ I ÷ ÿ 7Ï; ø ; � ; D= 7�@ ÿ ÷ B ; þ = ý 7\@ ú ÷ ÿ ÷¤� ü 7 ÷m=S÷ üEú D ÷m=� ü 7 � ù;�; IOD 7 = 7\@ ú ; B ÷J=#�s� 7 D 7 B ÷m=� ü 7 ø 7 D ú ; =7 =�ø�÷ ý �O; = ÿ 7 ¢ 7 ð · ú ÷ D @O; B ÷ ; ý T ÷ D<þ ú B ÷ Dxù; IOþ�ÿ ÷ ½ ü B ; ÿ ; = B ; þ =�= þ B I ý 7 = ù7 ú ÷ B ; D¢ ü B ; I ÷ ú ²7\@ ø þ ; ÿ 7 f 7 ð · hÛñ · � ÷ @ ÿ 7 ñ�hóò _�ô ] ø ï ù7 ü B ; D ; þ p ÿ ; ü @ þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7÷ D<ÿ 7 B ¢��Ó ü I ÷ @�O; � ü 7 ð ¢ h p�ð · �h r 7�@ ú �; ÷ ; = I ÷ ú ²7�@ ø þ ; = I ; D 7 = ÿ 7 ð · 7 ð ¢ øV÷ þ @ ø þ�ÿ 7 B �7\@ � ü ;)@ ú ÷ ; = I ÷ ú ²7�@ ø þ ; = ù§ B I ; D 7 = ÿCþ � 7 D 7 B I 7 ý ÷0= þ @R; ý � á = ú ÷ @ ÷J= I 7 D B þ ú 7'7 ø�÷ @ ÷ B þ p ; D

Page 72: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k hpp

pp

pp

pp

ÿR� � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� �B üCý�ú þ�I ý þ ø ; °ø �÷ 7 =�� ü ;)@ ÿ ÷-ø ; ý ø üCý ; B ÷J= 8 � ð · 7 8 � ð ¢ h 8 � p�ð · = þ B üCý�ú ;)@O7\; B 7\@ ú 7 �Ó 7 ¢ ù7 I ; D � I ÷ ÿ 7 B ÷m= 7 =<ø D 7�ÍJ7 D8 � ð · h 8 d � ð _· Újð · 8 � � ð _· �8 � p�ð · h 8 d � ð _· pjð · 8 � � ð _· �÷ @ ÿ 7 8 d ��� h SÊ`[ · ^§ï ø�_ � _ · � · �

8 � ��� h SÊ`[ · ^§ï ø�_ � _ · d ] � · � eÎ ü = 7 � ;� D 7 ÿ ü p þ B ÷J="÷ ICD ÷�� ý 7 B ; ÿ 7 ø ; ý ø üCý ; D ü B I ÷ ý þ @&²÷ B þ ÷ ÿ 7ÕT D ; ü ¢ 7 B ÿ ÷ þ = I ÷ @ Ðú ÷m= ; ÷ ICD ÷�� ý 7 B ; = ÿ 7 ø ; ý ø üCý ; D+ÿ ÷ þ = I ÷ ý þ @0²÷ B þ ÷m= ÿ 79T D ; ü ¢�Ø-m 7 B ü B�B 7 = B ÷ I ÷ @ ú ÷ �= 7\T ü þ�ÿ ÷ ÿ 7 ü B ; B üCýûú þ�I ý þ ø ; °ø �; ÷ � ü B ; =�÷ B ; 7 ü B ; = ü � ú D ; °ø �; ÷ �Ó 7 ÷m=�ð · = 7 B ICD 7 ÷Eø�÷ D<D 7 D 7 B ; ÷m= I ; D 7 = � øV÷ B I ÷ D 7��E7 B I ý ÷õð · d ê ï ø�_#ë h pð · � ÷ø ù; ý ø üCý ÷ ÿ 7 8 � ð Ê � e\e2e � 8 � ð ï ÏD 7 ÿ ü p�Ð_= 7|; ÷-ø ù; ý ø üCý ÷ ÿ 7 8 d � ð _ Ê � e\e2e � 8 d � ð _ ê ï ø�_#ë � ] �8 � � ð _ Ê � e2e\e � 8 � � ð _ ê ï ø�_�ë � ] = 7�T ü þ�ÿ ÷ ÿ 7 ã ¢�Ø�m¬÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 =#�Î þ�ÿ 7\; ý ù7 � ü 7 I ü ÿ�ù7 =<= 7 B ÷J= D 7 I 7 ú þ�D ÷ ICD ÷Eø 7 =<=�÷ ; ø þ B ; � ÷ ü = 7 � ;� � ü 7 ¢Í= 7 � ;B ùüCýûú þ�I ý ÷ ÿ 7Om-7 � ü 7 ú ; B � ù7 B @ ÷zøV÷ @ � ü @ ú ÷�ð _ Ê � e\e2e ��ð _ ê ï ø�_�ë � ] ÷J= @ ùü B 7 D ÷J=U÷EøV÷ D ÐD 7 =�= 7 B 7 B I ; D 7 = ÿCþ � 7 D�þ @ ÿ ÷ ; I 7�@O; = I ÷ D = þ @O; ý � ì 7 ÷ D<ÿ 7�@O;W@ ÿ ÷U÷J= ú 7 D B ÷J= � I ÷ ÿ 7 B ÷J=D 7 �×÷ D B üCý ; D 7 = ú ; ø�÷ @ ÿCþ °ø �; ÷zøV÷ B ÷jð _· d ê ï ø#ë h p�ð _· � ÷ ü � = 7 B I 7 D�ÿ ; ÿ 7?TW7\@C7 D ; ý þ Ðÿ ; ÿ 7�� øV÷ B ÷�ð · d ê ï ø�#ë h ² ð · � 3 ; D ; I ÷ ÿ 7 D B ÷m= D 7 I 7 ú þ�D 7 = ú 7 ICD ÷jø 7 =<=�÷ ü B @ ùü B 7 D ÷B ù;-� þ B ÷ ÿ 7�ÍJ7 p 7 = � ÿ 7#ÍW7 B ÷m= ú ÷ B ; D ¢�øV÷ B ÷ ü B ; I ÷ ú ²7�@ ø þ ; ÿ 7 f 7 ð · d ¢ h©ñ ¢ ð · �÷ @ ÿ 7 ñöh4ò _#ô ] ø ï �E÷ 7�ÍJ7 B ÷J= ; =�= þ B ú ÷ B ; D ð · h4ñ · ð Ê 7�;�7 =<øV÷ ý �R; ð Ê h k I ; D 7 ø 7I ; D ú þ ø üOý ; D B 7�@ ú 7 = þ B I ý 7 =#�â ; °ø ; B ÷J= ;)T ÷ D ; ü B ;'7 = ú þ B ; ú þ Íl; ÿ 7�ø � ¢ � ÷ @ ùü B 7 D ÷ ÿ 7 ÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 = ü = ; ÿ ; = @C7 = ú 7; ý T ÷ D�þ ú B ÷ I ; D ; ø ; ý ø üCý ; D 8 � ð Ê � e\e2e � 8 � ð ï �eÆ ù;�Í þ B ÷J=ß� ü 7�ø � ¢ h m ø � ¢�Ø-m Ú ã ¢�Ø�m Òø ý ; D ; B 7�@ ú 7�ø � k h r=�t÷ ; ù§9ú 7 B ÷J= ø � m h ã �Eø �úù h k{m 7�� I ÷ D ü B ; þ @ ÿ ü °ø �; ÷= þ B I ý 7 = ��ø � m ¢ h ã#£ ` m ¢ � ] � ® =�= þ B � ù7 I ÷J=<= ù§ ÍJ7 ý ø ; ý ø üCý ; D�8 � k � e2e2e � 8 � ñ ï � ] B ü þ ú ÷DRù; ICþ�ÿ ; B 7�@ ú 7 �ì 7 �×÷ D B üCý 7 B ÷J= 7 = ú 7 ICD ÷�� ý 7 B ;U@O; ý þ @OT ü ;WTW7 B ÿ 7 ù; ý TW7 � D ; ý þ @C7`; D �ƨ 7 B ÷m=ûüüüüü

ý

8 � k 8 � ñ 8 � ñ _ ���8 � ñ ï � ]

þ�ÿÿÿÿÿ� h

ûüüüüüý

k k k e2e\e kk ñ ñ _ e2e\e ñ ï � ]k ñ _ ñ e2e\e ñ _ ê ï � ]�ë��� ��� ��� ���k ñ ï � ] ñ _ ê ï � ]�ë e2e\e ñ ê ï � ]�ë ^

þ�ÿÿÿÿÿ�

ûüüüüüý

� Ê� ]� _���� ï � ]

þ�ÿÿÿÿÿ���

Page 73: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 k npp

pp

pp

pp

� �����;��q�� q��(�ßX5Ø ×�� ��ØI� �\Õ5� u�vÕ5�÷���u�\��ØI� �§à� �&� �$��X�� ÕA�?�A�0ttD× ÿx�; B ; ú D�þ p ÿ 7 ÷ D�ÿ 7 B ¢ 7 øV÷ 7 �Rø þ 7�@ ú 7 = ñ ] · � r ¸ ² � ¹�� ¢ � ù7 ø �R; B ; ÿ ; ÿ 7¬> Ä ø ï ��;" & ��, !�� $ &q/ ���A�� ) I$� &q'*)+& � ' ! Ç &{) " � � Î � ü 7S; ICD 7�@ ÿ 7 B ÷J= @ ÷m= I ; Dxù;)T D ; �×÷J= ; ø þ B ; �×÷ þ; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D > Ä ø ï I ÷ D ü B ÍW7 ú ÷ DSD ; ICþ�ÿ ; B 7�@ ú 7 X I 7 ý ÷ B 7\@ ÷J=�� ü ;W@ ÿ ÷�¢ ù7 ü B ;I ÷ ú ²7�@ ø þ ; ÿ 7 f Z ��Ñ B ú 7 D B ÷J= ; ý T ù7 � D�þ øV÷m= �C; ICD 7\@ ÿ 7 B ÷m= ;�7 =<ø D 7�ÍJ7 D > Ä ø ï øV÷ B ÷ ü BIOD ÷ ÿ üEú ÷ ÿ 7 ý ÷ T _ ¢ B ; ú D�þ p 7 = 7 = I ; D = ; =9ø ü �ª÷m='øV÷ 7 �Rø þ 7�@ ú 7 = @��; ÷ @ üCý ÷J=Ï= �; ÷ I ÷ ú ²7�@ ø þ ; =ÿ 7 ñ ÒOø ; ÿ ; B ; ú D<þ p 7 = I ; D = ; ø�÷ D<D 7 = I ÷ @ ÿ 7�@ ÿ ÷ ; ü B ;�7 ú ; I ; ÿ ÷ ; ý T ÷ D<þ ú B ÷ âÆâ ¨��â ; ý�ú ;�; IOD 7\@ ÿ 7 D ; D 7 ø ü I 7 D ; D ÷m=®øV÷ 7 �xø þ 7�@ ú 7 = ÿ 7 ü B I ÷ ý þ @&²÷ B þ ÷ 8 ; I ; D ú þ�D'ÿ 78 � k � e2e\e � 8 � ñ ï � ] �÷ ü = 7 � ; ��; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D � > Ä ø ï � ] I ÷ D ü B ÍW7 ú ÷ D � ��; = I ; D ; þ = ú ÷v� ; = ú ; ÷��O= 7 D Íl; D� ü 7

� > Ä ø ï _ h ¢ `ûüüüüüüüý

k r r e2e\e r rr r r e2e\e r kr r r e2e\e k r��� ��� ��� ��� ���r r k e2e\e r rr k r e2e\e r r

þ�ÿÿÿÿÿÿÿ�

I ÷ þ =9÷�øV÷ 7 �xø þ 7�@ ú 7 � ² � £�+ÿ 7 � > Ä ø ï _ ù7S · ñ ] · ñ · ¢ h S · ñ ê ] d ¢ ë ·

� ü 7 ù7 þ T ü ; ý ; ¢X= 7*² Ú £ � r � B ÷ ÿ ¢ 7 g ø ; =�÷Uø�÷ @ ú Dxù; D<þ ÷ I ÷ þ =ñ ¦ ï ptk h � ñ ¦ ptk S · ñ ¦ · e® =�= þ B � ÷UøV÷ 7 �Rø þ 7\@ ú 7 � ² � ¹ �ÿ 7 � > Ä ø ï � ] ù7 � k�Ø-¢ ñ � ] · 7�7 = ú 7 ICD ÷jø 7 =<=�÷ ÿ 7 âÆâ ¨ þ @ ÐÍJ7 D = ; X ÷ ü þ @ ú 7 D�I ÷ ý ; °ø �; ÷ Z ù7 ú �; ÷� ù; ø þ ý 7 Dxù; ICþ�ÿ ÷�� ü ;W@ ú ÷ âÆâ ¨ X ÷ ü 7�Íl; ý�ü ; °ø �; ÷ Z �ƨ 7 B ÷m=I ÷ D ú ;W@ ú ÷ ü B ; ý T ÷ D<þ ú B ÷ I ; D ; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D'I ÷ ý þ @0²÷ B þ ÷m= ÿ 7�T D ; ü ¢õ� ; p 7�@ ÿ ÷ ; ICD ÷ � þ ÐB ; ÿ ; B 7�@ ú 7U� ¢ ý ÷ T ¢X÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 = X ÷ @ ÿ 7�� ù7 ü B ; ø�÷ @ = ú ;W@ ú 7 I ÷m= þ ú þ Íl; Z �ì 7 ICD ÷ ÿ ü p þ B ÷J= ; � ; þ � ÷U÷ I = 7 ü ÿ ÷�Ðaø ù÷ ÿEþ T ÷ ÿ 7 � ³�1�� I ; D ;U7 = ú 7�; ý T ÷ D<þ ú B ÷ ½�2´�t ·�¶ z Î øV÷ B ICD�þ B 7�@ ú ÷�¢ X ü B ; I ÷ ú ²7�@ ø þ ; ÿ 7 f Z Ò ü B ; D ; þ p ICD<þ B þ ú þ Í�; ÿ ; ü @ þ�ÿ ; ÿ 7ñ ÿ 7 ÷ D<ÿ 7 B ¢�Ò ü B ÍW7 ú ÷ D � � Ê � e\e2e �2� ï � ] +ÿ 7 øV÷ 7 �xø þ 7�@ ú 7 =®øV÷ B I ý 7�� ÷m=��� ·�¶ t ·&¶ z Î ÍW7 ú ÷ D � � Ê � e\e2e � � ï � ] �� h � > Ä ø ï � � Ê � e2e\e ��� ï � ] �� �> MO 9 T���K M T ÄWÄ ø � ¢�� ñ �2� Ê ��� ] � e2e2e ��� ï � ] �

� Ê � � ] � e2e\e � � ï � ] ÒP T 8IN R

Page 74: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 olgpp

pp

pp

pp

w � � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� �N-� ¢ h k <�; T�R� Ê h � Ê ÒT SU TÄ)Ä ø � ¢�Ø-m�� ñ _ ��� Ê �2� _ � e\e2e ��� ï � _ ��� Ê

� e2e2e �� ï ø�_

� ] ÒÄ)Ä ø � ¢�Ø-m�� ñ _ ��� ] �2� ã � e\e2e ��� ï � ] ��� Ê � e2e\e �� ï ø�_

� ] Ò�:O�Mj£ h r < O ¢�Ø-m�ptk ÿ ÷� ¢ h � ¢Ú ñ ¢

� ¢ Ò� ¢ d ï ø�_ h � ¢p ñ ¢

� ¢ ÒT�R�� ® ú ù7z;)T ÷ D ; øV÷ @ = þ�ÿ 7 D ; B ÷m= I ÷ ý þ @&²÷ B þ ÷J=&øV÷ B øV÷ 7 �Rø þ 7\@ ú 7 = 7 B í B ; =|÷ ý 7 þ ú ÷ D; ú 7�@ ú ÷�� ù; ÿ 7#ÍW7 ú 7 D9I 7 D ø 7 � þ�ÿ ÷�� ü 7 I ÷ ÿ 7 B ÷m= ü = ; D ÷ B 7 = B ÷ ; ý T ÷ D�þ ú B ÷ I ; D ; B üCý�ú þ ÐI ý þ ø ; D'I ÷ ý þ @0²÷ B þ ÷m='=�÷�� D 7 � ü ; ý � ü 7 D ø�÷ D<I ÷ æ ÿ 7 = ÿ 7 � ü 7�7�� þ = ú ;�7 B æ ü B 7 ý 7 B 7�@ ú ÷ñ � ü 7 = 7 � ; ü B ; D ; þ p ÿ ; ü @ þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7 ÷ D�ÿ 7 B ¢�� i B 7��E7 B I ý ÷ ÿ 7 øV÷ D�I ÷�÷ @ ÿ 7®7�� þ = ú 7ü B ú ; ý ñ ù7 Ü Ø � � = 7�� � k � B ÷ ÿ ¢ �Yo ;sÍJ7 D�ÿ ; ÿ 7S@��; ÷ ù7 = 7 � ü 7 D @C7 ø 7 =�= ù; D<þ ÷s� ü 7÷J=*øV÷ 7 �xø þ 7�@ ú 7 = 7 = ú 7 � ; B 7 B ü B ø�÷ D<I ÷ ½ÏI ÷ ÿ 7 B ÷J= ú D ; � ; ý �O; D =�÷�� D 7 � ü ; ý � ü 7 D ;W@C7 ý� ÷ @ ÿ 7S7�� þ = ú ; ñ øV÷ B ; =®= 7�T ü þ @ ú 7 = ICD ÷ IOD�þ 7 ÿ ; ÿ 7 = ½« � ñ ï h k �f �E¢ ù7 þ @:ÍJ7 D = ù§ ÍW7 ý 7 B � �k �®= 7 r � ¨ � ¢ 7�@ ú �; ÷ ñ ¦ pÞk ù7 þ @:ÍJ7 D = ù§ ÍW7 ý 7 B � �o ; ICDxù÷ � þ B ; = 7 °ø �; ÷ ÍJ7 D 7 B ÷J= ü B ; = þ ú<ü ; °ø �; ÷�÷ @ ÿ 7 = 7 Dxù; þ @ ú 7 D 7 =�= ;)@ ú 7 ú D ; � ; ý �O; D ø�÷ B� h Ü Ø � m Ö Úîk �5 7 B � D ; B ÷J=7� ü 7+7 = ú 7Õ; ý T ÷ D<þ ú B ÷®ø ; ý ø üOý ; ø�÷ D<D 7 ú ; B 7\@ ú 7 ÷ IOD ÷ ÿ üEú ÷ ÿ ÷J= I ÷ ý þ @&²÷ B þ ÷J=8 7�: ÿ 7 = ÿ 7 � ü 7�7 = ú 7 ICD ÷ ÿ üEú ÷ ú 7\@�O;�T D ; ü B 7\@ ÷ D�ÿ ÷�� ü 7 ¢�� ��; þ = TJ7 D ; ý B 7\@ ú 7��7 = ú ; D 7 B ÷m= 7�@ ø�÷ @ ú D ;)@ ÿ ÷&÷ ùü @ þ øV÷ I ÷ ý þ @&²÷ B þ ÷ ÿ 7YT D ; ü B 7\@ ÷ D � ü 7 ¢ä� ü 7 øV÷ þ @ ø þ�ÿ 7øV÷ B 8 :£7 B ð Ê �{ð ] � e2e\e ��ð ï � ] ���s÷ B ÷ 7 = ú ; B ÷m= ú ÷ B ;)@ ÿ ÷*= 7 B ICD 7 ð · hîñ · ð Ê ú 7 B ÷J=��� põð Ê ��� pÞð ] `2`\` ��� põð ï � ] h � ï pjð ï Ê7�@ ÷J=<=�÷ ; ý T ÷ D<þ ú B ÷Uø ; ý ø üCý ; 8 : B ÷ ÿ ��� ï pjð ï Ê ������ å ��}�!e^#��}�^ . %-,.�/%�é��`ç^#dU!c`�^�\V��b���b %�d����ÈëÞë�

ç ü ;)@ ÿ ÷ 7 =�ø D 7#ÍW7 B ÷m= ü B þ @ ú 7 þ�D ÷l� @O; � ; = 7 W �� h S ¢ � ¢ W ¢ �

Page 75: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 o «pp

pp

pp

pp

� �����;��q�� ���(�ßX5Ø ×�� ��ØI� �\Õ5� u�vÕ5�÷���u� �#×��2� ���$��X�� ÕA�?�A�0ttD× w �I ÷ ÿ 7 B ÷m= I 7\@ = ; D � ü 7S7 = ú ; B ÷m= 7 =<ø D 7�ÍW7\@ ÿ ÷

� h 8 � W � 8 ��� h S ¢ � ¢ � ¢ eÓ 7 ÿ 7 = 7 � ; D B ÷J=®ø ; ý ø üCý ; D �$g�÷ @ ÿ 7

g h : � W � : ��� h S ¢ g ¢ � ¢I ÷ ÿ 7 B ÷m= ü = ; D ÷ ; ý T ÷ D�þ ú B ÷ ÿ ; = 7 °ø �; ÷ ;W@ ú 7 D<þ ÷ D�I ; D ; ø ; ý ø üCý ; D ÷J=9øV÷ 7 �Rø þ 7�@ ú 7 =®� ¢ ÿ ÷IOD ÷ ÿ üEú ÷ � 8 : ��� h S ¢ � ¢ � ¢ � � ¢ h S · � · g ¢ � ·7 ú 7 B ÷J=8�$g h � 8 : � W � Î =�� ¢ 7 B TJ7 D ; ý @��; ÷|= 7 D �; ÷ ; ý TJ; D�þ = B ÷m= ; ø 7 þ ú ù;�ÍW7 þ = I ; D ;ü B ;�7�� I ;)@ = �; ÷ @O; � ; = 7 W ÿ ÷ þ @ ú 7 þ�D ÷l�$g B ; = þ = ú ÷ I ÷ ÿ 7 � ; ø þ ý B 7�@ ú 7 = 7 D øV÷ D�D<þ T þ�ÿ ÷ ½7 =�ø D 7#ÍW7 B ÷m=��"!Ê h � Ê Ú W ò Ê � �#!] h � ] p ò Ê Ú W ò5] � ����� � �"!¢ h � ¢ p ò ¢ � ] Ú W ò ¢ � ����� �÷ @ ÿ 7�; ø ; ÿ ; I ; =�=�÷ ú ÷ B ; B ÷J=*� !¢ ø�÷ B ÷�= 7�@ ÿ ÷ ü B ; ý TJ; D�þ = B ÷ ; ø 7 þ ú ù;�ÍW7 ý � ® ÷s� @R; ý �ú 7 D 7 B ÷J= ��g h S ¢ � !¢ W ¢ �;U7�� I ;)@ = �; ÷ ÿ 7 �$g @R; � ; = 7 W �® ÿEþ �Rø üCý ÿ ; ÿ 7 B ; þ ÷ D�D 7 = þ�ÿ 7Ï@ ÷�� ; ú ÷�� ü 7�; =�øV÷ @ ú ; = ÿ 7 =<ø D<þ ú ; = @O; = 7 °ø �; ÷ ;W@ ú 7 D<þ ÷ D7\@:Í ÷ ý ÍW7 B @ ùü B 7 D ÷m=¬øV÷ B I ý 7�� ÷m= ��7�; = I ; D ú 7 = D 7\; ý 7 þ B ;)T þ @ ù; D<þ ; ÿ 7 = ú 7 = @ ùü B 7 D ÷m=ø�÷ B I ý 7�� ÷J=Ï= �; ÷ þ�D<D ; ø þ ÷ @O; þ =#� i B ;¬; ý�ú 7 D @R; ú þ Íl; ù7 � ; p 7 D ; =�øV÷ @ ú ; = ü = ;)@ ÿ ÷ Íl; D<þ\ù;�ÍW7 þ =ÿ ÷ ú þ�I ÷ ÿ ÷ ü � ý 7 Ò ú 7 D 7 B ÷m= þ @O7�Í þ ú ;YÍW7 ý B 7�@ ú 7U7 D�D ÷J= ÿ 7 ú D ü @ ø ; B 7\@ ú ÷ B ; =�÷�� ; ú ÷ ÿ 7= ; � 7 D B ÷J=e� ü 7'; D 7 = I ÷J= ú ; � @O; ý ù7 ü B þ @ ú 7 þ�D ÷ @ ÷J= ÿ'ù; ü B ; ÷ I ÷ D ú<ü @ þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7 øV÷ D<D<þ T þ�D7 = ú 7 = 7 D<D ÷J=#� ùÑñø ý ; D ÷y� ü 7 ICD 7 ø þ = ; B ÷J= ú 7 D ÷zø ü þ�ÿ ; ÿ ÷ ÿ 7�7#Í þ ú ; D � ü 7 ÷J= 7 D�D ÷J= ÿ 7ú D ü @ ø ; B 7\@ ú ÷�=�÷ B 7 BAB ; þ = ÿ ÷¤� ü 7 r$�%$ ½ @C7 = ú 7 ø ; =�÷ ; ø ; � ; D�ù§ ; B ÷J= ; D<D 7 ÿ ÷ @ ÿ ;)@ ÿ ÷; D 7 = I ÷m= ú ; � @R; ý I ; D ; ÷ þ @ ú 7 þ�D ÷ 7 D<D ; ÿ ÷ ��Ñs= ú ; I ÷J=<= þ � þ ý þ�ÿ ; ÿ 7 ÿ 7 = ; = ú D ÷J= ; I ÷ ÿ 7 = 7 D7#Í þ ú ; ÿ ; ú ÷ B ;)@ ÿ ÷ W I 7 � ü 7�@ ÷ X 7 I ÷ D ú ;)@ ú ÷ T D ; ü T D ;)@ ÿ 7�� ÷�� ü 7 þ B I ý þ ø ;&7 B ü B ;ú D ;W@ =B�×÷ D B ; ÿ ; ÿ 7 â ÷ ü D<þ 7 D�ÿ 7 øV÷ B ICD<þ B 7\@ ú ÷ B ; þ ÷ D Z Ò ú ; B � ù7 B ; � ü ÿ ; B ü þ ú ÷ ú ÷ B ; D÷&øV÷ @ � ü @ ú ÷ ÿ ÷m= ; ý Tm; D<þ = B ÷J= ; ø 7 þ ú ù;�ÍW7 þ =*= þ B ù7 ú D<þ ø�÷ 7 B D 7 ý ; °ø �; ÷ ; ÷�p 7 D ÷ � I ÷ þ = ; =�= þ B÷m= ICD ÷ ÿ üCú ÷J=O� · g ¢ � · = 7 D �; ÷ B 7�@ ÷ D 7 = 7 ú 7 D �; ÷z= þ @O; þ = ÿEþ � 7 D 7�@ ú 7 = � ÷�� ü 7&7�Í þ ú ; � ü 7÷m=�øV÷ 7 �Rø þ 7\@ ú 7 =�� ¢ = 7 � ; B T D ;W@ ÿ 7 = ÿ 7 B ; þ =#� ��7 = B ÷ I ; D ; þ @ ú 7 þ�D ÷m=�� 7 BéB ; þ ÷ D 7 =ÿ ÷�� ü 7 ÷ B ; þ ÷ D�ICD<þ B ÷zøV÷ @ �C7 ø þ�ÿ ÷ 7�� þ = ú 7 B Íl; ý ÷ D 7 = ÿ 7 W � ü 7�Tm; D ;)@ ú 7 B ÷y�x÷ B� ü @ ø þ ÷ @O; B 7�@ ú ÷ ÿ 7 = ú 7 B ù7 ú ÷ ÿ ÷ � ü B ÿ ÷J= B ; þ = DRù; ICþ�ÿ ÷J= I ; D ; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D�þ @ ú 7 þ�D ÷m=T D ;W@ ÿ 7 = X 7 B I ; D ú 7 I ÷ D � ü 7�; B ; þ ÷ D<þ ; ÿ ÷J=Ïø�÷ B I üEú ; ÿ ÷ D 7 = ù7 ø ; I ; p ÿ 7 B üCý�ú þ�I ý þ ø ; Dÿ ÷ ü � ý 7 =�ø�÷ B T D ;)@ ÿ 7 D ; ICþ�ÿ 7 p Z � 3 ÷ D0þ =�=�÷ �+7 ý 7 ù7 ü = ; ÿ ÷ I 7 ý ÷ ICD ÷ T D ; B ; B ICD<þ B 7 ÐIOD�þ B 7\n n � � ü 7�7�@ ø�÷ @ ú D ÷ ü ÷J= ùüCýûú þ B ÷m= m ICD<þ B ÷m= ÿ 7���7 D = 7\@C@C7 �ÝÑ¿=<ø D 7�ÍJ7 B ÷J= ü B

Page 76: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 o)fpp

pp

pp

pp

w"& � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� �I 7 � ü 7�@ ÷ IOD ÷ T D ; B ; � ü 7 ü = ; ÷�ø D<þ ú ù7 D<þ ÷ ÿ 7 5 ü ø ; =�Ð65 7#� B 7 DQI ; D ; ú 7 = ú ; D ; ICD<þ B ; ý þ�ÿ ; ÿ 7ÿ 7 gju 7 � ü 7 B üCýûú þ�I ý þ ø ; ü = ;W@ ÿ ÷ âÆâ ¨ ½ ; =s� ü @ °ø �÷ 7 = âÆâ ¨ 7 = ú �; ÷ 7 B �?� <ED 9 7 ÷ICD ÷ T D ; B ; ICD�þ @ ø þ�I ; ý 7 B �?� <T U < x D 9 �i B ; = 7\T ü @ ÿ ;�; ý�ú 7 D @O; ú þ Íl; ù7*7 =�ø�÷ ý �C7 D ü B ICD<þ B ÷ ��7 � ; p 7 D ; B üOýûú þ�I ý þ ø ; °ø �; ÷ ÿ 7I ÷ ý þ @&²÷ B þ ÷J=�øV÷ @ = þ�ÿ 7 D ;W@ ÿ ÷�÷J=�øV÷ 7 �xø þ 7�@ ú 7 =�ø�÷ B ÷ 7 ý 7 B 7\@ ú ÷J= ÿ 7 Ü Ø � � � 3 ; D ; D 7 ø ü ÐI 7 D ; D B ÷m=¿÷m= ÍJ7 D�ÿ ; ÿ 7 þ�D ÷m=¿øV÷ 7 �Rø þ 7�@ ú 7 = ÿ ÷ ICD ÷ ÿ üCú ÷ X � ü 7 = �; ÷ þ @ ú 7 þ�D ÷J= Z � ICD 7 ø þ = ; B ÷J=ú 7 D ÷�ø ü þ�ÿ ; ÿ ÷ ÿ 79Tm; D ;)@ ú þ�D � ü 7 © � ¢ © � � Ø-mS÷ @ ÿ 7 � ¢ h Z � · g ¢ � · � i B ICD<þ B ÷ ü = ; ÿ ÷7 B ; ý T ü @ = IOD ÷ T D ; B ; =(' ù7�� h m Ê p�m ã _ ÚÞk � � ü 7 ú 7 B ; ý þ\ù; = Í ù; D�þ ; = ICD ÷ IOD�þ 7 ÿ ; ÿ 7 =7 = I 7 ø þ ; þ =�� ü 7 ÷ ú ÷ D @O; B I ; D ú þ ø üCý ; D B 7\@ ú 7&; ICD ÷ ICD<þ ; ÿ ÷ I ; D ;�@ ÷J=<= ; ú ; D 7 � ; �)�s÷ B7 = ú 7lÍl; ý ÷ D9ÿ 7���� ø�÷ B ÷�m ã _ © � pjk � I ÷ ÿ 7 B ÷J=�� ; p 7 D âÆâ ¨®= ÿ 7 ø�÷ B ICD<þ B 7\@ ú ÷�m ã _ ø�÷ BW h m ] Ê � ÷¤� ü 7 I 7 D B þ ú 7 X 7 B ICD<þ @ ø ù§ ICþ ÷ Z*B üCýûú þ�I ý þ ø ; D�þ @ ú 7 þ�D ÷m= ÿ 7 B ù÷ ÿ üCý ÷ B 7\@ ÷ Dÿ ÷s� ü 7 m ] Ê � _+* ^ � ] � ÷ ü = 7 � ; � þ @ ú 7 þ�D ÷m=®øV÷ B ; ý T ü @ =-, ' � º�~$ ) ! ÿ 7�; ý TJ; D�þ = B ÷m=�Òm÷�= þ B I ý 7 =; D B ; p 7\@O; B 7\@ ú ÷ ÿ 7 ü B ú ; ý þ @ ú 7 þ�D ÷ 7�� þ TJ7 B 7 B ù÷ D�þ ; B ; þ ÷ D�ÿ ÷ � ü 7|; � ü 7 ú 7 B ;B ; þ ÷ D<þ ; ÿ ÷J=®ø�÷ B I üEú ; ÿ ÷ D 7 = ; ú�ü ; þ =����; = 7 = ú ; = ; ý�ú 7 D @O; ú þ Íl; = �"; I 7 = ; DSÿ 7 øV÷ B I üEú ; ø þ ÷ @O; ý B 7�@ ú 7U; ú D ;)7�@ ú 7 = �Q@��; ÷&= ; ú Ðþ =B� ; p 7 B ; ÷ B ; ú 7 B ù; ú þ ø�÷ I ü D ÷ I ÷ þ =�� ü @ ø þ ÷ @O; B I ; D ; þ @ ú 7 þ�D ÷m= B 7�@ ÷ D 7 = ÿ ÷�� ü 7 ü Bø 7 D ú ÷ ú ; B ;)@ � ÷ � � ÷ X ; I 7 = ; DYÿ 7 B ü þ ú ÷ T D ;)@ ÿ 7 Z � ® = 7�T ü @ ÿ ; ; ý�ú 7 D @R; ú þ Íl; ; ICD 7 Ð= 7\@ ú ; ÿ ;�; ø þ B ; I ÷ ÿ 7 = 7 D ý 7#Í�; ÿ ;�; ÿEþ ;)@ ú 7 ú ÷ B ;W@ ÿ ÷ ICD�þ B ÷J=�ø ; ÿ ;�ÍJ7 p B ; þ ÷ D 7 = � B ; =@��; ÷*= 7 DRù; � ù; ø þ ý ICD ÷ Íl; D � ü 7�7�� þ = ú 7 B = 7 B ICD 7 IOD�þ B ÷J= øV÷ B ; = IOD ÷ ICD�þ 7 ÿ ; ÿ 7 = ÿ 7 = 7 � ; ÿ ; =��� 7 D 7 B ÷J= ;)T ÷ D ; øV÷ B ÷ B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D�þ @ ú 7 þ�D ÷J= ÿ 7 ú ; B ;)@ � ÷ ; D � þ ú Dxù; D<þ ÷ 7 B ú 7 B I ÷�� ; þ � ÷� ; p 7�@ ÿ ÷ ; =�øV÷ @ ú ; = @��; ÷ 7 B Ü Ø � � � B ; = 7 B Ü Ø � m Ö Ú k X×B 7 = B ÷�m Ö Ú�k @��; ÷0= 7�@ ÿ ÷ICD<þ B ÷ Z 7®; =<= þ B 7#Í þ ú ; D 7 B ÷J= 7 = ú ; ÿEþ �Rø üCý ÿ ; ÿ 7 � i B ; ÷ üEú D ;lÍ�;W@ ú ;)TJ7 B ÿ 7 = ú 7 B ù7 ú ÷ ÿ ÷ù7 � ü 7 = 7 DRù; B ü þ ú ÷�� ù; ø þ ý B üOýûú þ�I ý þ ø ; DÏI ÷ D®I ÷ ú ²7\@ ø þ ; = ÿ 7 ñ X ; =�= þ B ú ÷ D @O;W@ ÿ ÷ Dxù; ICþ�ÿ ; =; = âÆâ ¨®= Z ���; þ = ICD 7 ø þ = ; B 7�@ ú 7�� B ÷m= ú D ; D 7 B ÷J=¿ø�÷ B ÷ B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D9þ @ ú 7 þ�D ÷m= X ÿ ; ÿ ÷J= I ÷ D = ü ; =7�� I ;W@ = �÷ 7 =7� þ @ ù; D�þ ; = ZQB ù÷ ÿ üCý ÷�m b Ú�k-Ò 7 = ú ; ù7¿;�ÍW7 D = �; ÷'= þ B I ý þ �Rø ; ÿ ; ÿ 7 ÓEø � ¥÷ @�O;)TJ7 ÿ 7ü B ; ý T ÷ D<þ ú B ÷ ÿ 7�Í þ�ÿ ÷ ; ÓEø � ¥÷ @�O;WTW797 Ó ú D ; =�= 7�@ �VÓ 7 à �×÷ D ú ÷ B ; ÿ ÷�= ü �Rø þ 7�@ ú 7 B 7�@ ú 7T D ;)@ ÿ 7�7 = ú 7�; ý T ÷ D<þ ú B ÷ B üCý�ú þ�I ý þ ø ; þ @ ú 7 þ�D ÷m=��.�s÷ @ = þ�ÿ 7 D ; D 7 B ÷J= ; I 7\@O; = Í�; ý ÷ D 7 = ÿ 7à ¬�ã m�r ÿ ; �×÷ D B ;

à h0/ ` m ï �æ¢�pÞk ¸ / ¸ m�¢��æ¢ ¬ ù�7 = ú 7 = Í�; ý ÷ D 7 = ÿ 7 à = 7 D �; ÷ ø �O; B ; ÿ ÷m= ÿ 7 � Ç ){' "21� ñ )+' ! �îÓ ü I ÷ B ÷m=¡� ü 7 � ù; = ; � 7 B ÷J=B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D B ù÷ ÿ üCý ÷sm Ö Úîk � ÷ @ ÿ 7÷æ h43 ` m ¢ � à ú ; B � ù7 B ù7 ü B Í�; ý ÷ D ; ø 7 þ ú ù;�ÍW7 ýX ; = 7 D 7 =<øV÷ ý � þ�ÿ ÷ Z �

57698;:=<+¯�>�?A@%BDCE<+¯ FDGIHJ>.¯KG�FDL�MONQPSR#­�®UTK<�°�±{±+² ³*´{´(º{º{º ¹Ä¼�VDWq·?¹À¾�µ%X-¸(½ ¹ZY{¸:¹\[�] ´+¼+¶�X#²�¶DWKXYµ�´

Page 77: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 olkpp

pp

pp

pp

� �����;��q�� ���(�ßX5Ø ×�� ��ØI� �\Õ5� u�vÕ5�÷���u� �#×��2� ���$��X�� ÕA�?�A�0ttD× w"^3 ; D ; ü = ; D ; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; °ø �; ÷ ÿ 7 I ÷ ý þ @&²÷ B þ ÷J= �¿7 =�ø D 7#ÍW7 B ÷m=�÷m= þ @ ú 7 þ�D ÷J=O� 7 g ;= 7 D 7 B B üCý�ú þ�I ý þ ø ; ÿ ÷m= @O; � ; = 7 W � þ � 7 � �� h SÊ\[x]a^ _ b � ] � ] W ] � g h SÊ\[ · ^ _ b � ] g · W · �×r ¸ � ] �ªg · � W �

÷ @ ÿ 7 P h`_ ¢�Ø�mba�Úäk 7 W h m b ø�_ b �ä¨ 7 B ÷J= W _ b h m b � p�k � B ÷ ÿ m b Úäk �® =�= þ B � I ÷ ÿ 7 B ÷m= 7 =<ø D 7�ÍJ7 D � � �$g � B ÷ ÿ m b Útk øV÷ B� h SÊ\[dc�^ _ b � ] g c W c � � c h S] d ·½Á c � ] g · p S] d ·½Á c d _ b � ] g · e3 7 ý ; = 7 °ø �; ÷ ;)@ ú 7 D�þ ÷ D 7 I ÷ D9þ @ ÿ ü °ø �; ÷ � = ; � 7 B ÷J= 7 � 7 ú�ü ; D 7 = ú ; =�øV÷ @ ú ; = B ù÷ ÿ üOý ÷�m Ö Ú�kB ; = @ ÷ Íl; B 7�@ ú 7 ICD 7 ø þ = ; B ÷J= ÿ ÷ Íl; ý ÷ DYÿ 7 ø ; ÿ ; � c øV÷ B ÷ þ @ ú 7 þ�D ÷ � ÷ ü = 7 � ; � ICD 7 Ðø þ = ; B ÷m= 7 =<øV÷ ý �C7 D æ ÿ 7 ú ; ý �×÷ D B ; � ü 7 I ÷J=<= ; B ÷m= TJ; D ;W@ ú þ�D � ü 7 © � c © ¸ m Ö � ] � ùÑ�� ù; ø þ ýÍJ7 D<þ �xø ; D � ü 7 I ÷ ÿ 7 B ÷m= 7 =�ø�÷ ý �C7 D 3¡h�Ö � / Ú k Ø�m�Ù 7 £ h�Ö ¢�Ø-m�Ù�Ú k-Ò"÷��R= 7 D ÍJ7 � ü 7æ he3 ` m ¢ ù7 ÿ 7 � ; ú ÷ ; ø 7 þ ú ù;�ÍJ7 ý �Ó 7 � ; B �ñÜh m Ö ø�_ b 7 ñÜh �ñ _ �f�s÷ B ÷ ñ _ b Ù [ � p�k � B ÷ ÿ m Ö Úõk ú 7 B ÷m=�� ü 7ñ ù7 ü B ; D ; þ p ÿ ; ü @ þ�ÿ ; ÿ 707 B Ü Ø � m Ö Ú k �ÿ 7 ÷ D<ÿ 7 B mAc ½ 7 = ú 7�Í�; ý ÷ D�ÿ 7 ñ I ÷ ÿ 7= 7 D ü = ; ÿ ÷ I ; D ; � ; p 7 D âÆâ ¨�øV÷ B ÷ @O; = 7 °ø �; ÷ ;)@ ú 7 D�þ ÷ D Ò ú 7 B ÷m=� c � �ñ � c S] d ·Ug c êEhdi�j _ b ë ���ñ ] � ] ���ñ · g · � B ÷ ÿ m Ö Útk eoÏ÷ ú 7 � ü 7 I ÷ ÿ 7 B ÷m= 7 � 7 ú�ü ; D ú ;)@ ú ÷ âÆâ ¨Ü� ü ;)@ ú ÷ âÆâ ¨ þ @:ÍW7 D = ; I ÷ þ =�mAc 7 ñ ] pÝk= �; ÷ þ @?ÍJ7 D = ù§ ÍJ7 þ = B ù÷ ÿ üCý ÷�m Ö Úîk X ÷s� ü 7 ÿ 7 þ �C; B ÷J=9ø�÷ B ÷ 7��E7 D ø ù§ ø þ ÷ Z �â ; ý�ú ;U; I 7�@O; = 7 = ú þ B ; D ÷ @ ùü B 7 D ÷ ÿ 7 ÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 = TJ; = ú ÷ I ÷ D 7 = ú 7�; ý T ÷ D�þ ú B ÷ Ò @ ÷ ú 7� ü 7 I ÷ D ÷ I 7 D ; °ø �; ÷ ; � ü þ � ü 7 D 7 B ÷m= ÿEþ p 7 D ü B ; ÷ I 7 D ; °ø �; ÷?=�÷�� D 7 � þ ú =#��Ñ B ú ÷ ÿ ÷�÷; ý T ÷ D<þ ú B ÷ �+7 � 7 ú�ü ; B ÷J= ÿ ü ; = âÆâ ¨®= ÿ 7 ø�÷ B ICD<þ B 7\@ ú ÷�mAc =�÷�� D 7 Ü Ø � m Ö Ú]k � m?cB üCý�ú þ�I ý þ ø ; °ø �÷ 7 = I ÷ @ ú ÷ ; I ÷ @ ú ÷ X ú ; B � ù7 B =�÷�� D 7 Ü Ø � m Ö Ú4k Z 7 ü B ; âÆâ ¨ þ @:ÍJ7 D = ;ÿ 7 ø�÷ B ICD<þ B 7�@ ú ÷ mAc�� Î �R= 7 D ÍJ7 � ü 7 øV÷ B ÷ ñ ù7 ü B ; I ÷ ú ²7\@ ø þ ; ÿ 7 f �*; = B üCý Ðú þ�I ý þ ø ; °ø �÷ 7 = I ÷ D¬I ÷ ú ²7�@ ø þ ; = ÿ 7 ñ � ü 7 ÷EøV÷ D<D 7 B @O; = âÆâ ¨®=Y= �; ÷ DRù; ICþ�ÿ ; = I ÷ þ =Y= �; ÷; I 7\@O; = ú D ;)@ = ý ; °ø �÷ 7 = ÿ ÷m= ; ý TJ; D�þ = B ÷m=�Ò B ; þ = ICD 7 ø þ = ; B 7�@ ú 7��O7�� þ TW7 B @ ÷ B ù;-� þ B ÷ �Qæ÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 =�ø ; ÿ ; ü B ; X I ; D ;�; ý T ü B ; øV÷ @ = ú ;)@ ú 7 I ÷J= þ ú þ Íl;¡� Z � ® =<= þ B � ø ; ÿ ; â0â ¨7�� þ TJ7|@ ÷ B ù;�� þ B ÷ � P ` m?c æ ÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 =�� Î @ ùü B 7 D ÷ ú ÷ ú ; ý ø � à ®ÿ 7 ÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 == ; ú þ =B� ; p ; =�= þ B ; D 7 ø�÷ D<D ²7�@ ø þ ;ø � à ¸ m c ø � æ Ú � P ` m c æÿ ÷ @ ÿ 7 I ÷ ÿ 7 B ÷J= ÿ 7 B ÷ @ = ú D ; D � ü 7�� I ; D ;�; ý T ü B ; øV÷ @ = ú ;)@ ú 7 I ÷J= þ ú þ Íl;|���ø � ¢ ¸ � à ý ÷ T à ý ÷ T ý ÷ T à e

Page 78: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 o mpp

pp

pp

pp

w ¿ � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� �����k | . ��_È��}�`mlv^��?%��` �?%b ���y`�\+%-,.0/��`�b$%\�^�!V_ n`9!V^ . %b� þ B ÷m= @R; = 7 °ø �; ÷ ;)@ ú 7 D<þ ÷ D � ü 7 ÷ @ ùü B 7 D ÷ ÿ 7 ÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 = X 7 I ÷ D ú ;W@ ú ÷¬÷ ú 7 B I ÷ Z@C7 ø 7 =<= ù; D�þ ÷ I ; D ; B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D|þ @ ú 7 þ�D ÷J= ÿ 7 à ; ý TJ; D<þ = B ÷J= ù7-; IOD ÷ � þ B ; ÿ ; B 7\@ ú 7 X ;B 7�@ ÷m= ÿ 7 ü B � ; ú ÷ D øV÷ @ = ú ;)@ ú 7 Z à ý ÷ T à ý ÷ T ý ÷ T à = 7 üEú þ ý þ p ; D B ÷J= ü B ÿ ÷m= ; ý T ÷ D�þ ú ÐB ÷J= ÿ 7 =<ø D<þ ú ÷J=#�»o �; ÷z= 7 øV÷ @�C7 ø 7|@C7�@� ü B ; ý T ÷ D<þ ú B ÷y� ü 7 = 7 � ;z; =<= þ @ ú ù÷ ú þ ø ; B 7�@ ú 7B ; þ = Dxù; ICþ�ÿ ÷ B ; = ú ; B � ù7 B @��; ÷¬= 7 = ; � 7 ÿ 7 B ÷ @ = ú D ; D � ü 7�@��; ÷ 7�� þ = ú 7 ü B ú ; ý ; ý T ÷�ÐD�þ ú B ÷�� � ÷m= ú D ; D 7 B ÷J= @C7 = ú ; = 7 °ø �; ÷�� ü 7 ÷ ú 7 B I ÷ @C7 ø 7 =<= ù; D�þ ÷ I ; D ; D 7\; ý þ p ; D � ü ; ý � ü 7 Dü B ; ÿ ; ='÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 = ; � ; þ � ÷ ù7�; =�= þ @ ú ÷ ú þ ø ; B 7�@ ú 7 ÷ B 7 = B ÷ X þ = ú ÷ ù7�� ÿEþ � 7 D 7 I ÷ D ü B ;øV÷ @ = ú ;)@ ú 7 B üCý�ú þ�I ý þ ø ; ú þ Íl; Z �¦oÏ÷ ú 7 � ü 7&; ÿEþ °ø �÷ 7 = 7 = ü � ú D ; °ø �÷ 7 =0= �; ÷ B ; þ = Dxù; IOþ�ÿ ; = 7ÿ 7 = ICD 7 p ; D 7 B ÷J=s÷ ú 7 B I ÷ 7�� þ T þ�ÿ ÷ I ÷ D 7 =<= ; =s÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 =#�« � � üOýûú þ�I ý þ ø ; DÏþ @ ú 7 þ�D ÷J= ÿ 7 à ; ý TJ; D<þ = B ÷J=#�f ��Ñ ý 7#Í�; D ; ÷�� ü ; ÿED ; ÿ ÷ ü B þ @ ú 7 þ�D ÷ ÿ 7 à ; ý Tm; D<þ = B ÷J=#�k � á @:ÍW7 D ú 7 D � ÷ ü = 7 � ;�m7�@ øV÷ @ ú D ; D ÷J= ICD<þ B 7 þ�D ÷J=�m à ; ý TJ; D�þ = B ÷m= ÿ 7 I ÷ þ = ÿ ;�Í ù§ D T üCý ;ÿ 7 k�Ø�¢ � ÷ @ ÿ 7 ¢ ú 7 B à ; ý TJ; D�þ = B ÷m= � ÷ ü ; þ @ ÿ ; � ø ; ý ø üOý ; D _ : _ b Ø-¢da X = 7 ú D ; Ð� ; ý �R; D B ÷m= @O; � ; = 7U: Z �m � â ; p 7 D ; ÿEþ Í þ = �; ÷�ø�÷ B D 7 = ú ÷ ÿ 7 ÿ ÷ þ = þ @ ú 7 þ�D ÷J= ÿ 7 à ; ý Tm; D<þ = B ÷J= � þ � 7 � � ÿ ; ÿ ÷J=�¢7 P 7�@ ø�÷ @ ú D ; D Ú 7 � ø�÷ B ¢ h ÚEP Ú � � r ¸ � � P �

Ñ¿= ú ; =�÷ I 7 D ; °ø �÷ 7 = I ÷ ÿ 7 B = 7 DSD 7 ÿ ü p þ�ÿ ; = ü B ; Ë; =�÷ üEú D ; =�øV÷ B ; B 7 = B ; ÷ D<ÿ 7 B ÿ 7T D ;)@ ÿ 7 p ; ÿ 7 ú 7 B I ÷ � þ � 7 � � B üOýûú þ�I ý þ ø ;)@ ÿ ÷�÷ ú 7 B I ÷ @C7 ø 7 =<= ù; D�þ ÷ I ÷ D ü B ; ø�÷ @ = ú ;W@ ú 7 �â ; D 7 B ÷m= þ = ú ÷ ÿ ; = 7�T ü þ @ ú 7 �×÷ D B ; ½X ; Z ç ü 7 B = ; � 7 B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D = ; � 7*7 ý 7#Íl; D ; ÷s� ü ; ÿED ; ÿ ÷ �X � Z ç ü 7 B = ; � 7�7 ý 7�Íl; D ; ÷�� ü ; ÿED ; ÿ ÷�= ; � 7 B üCýûú þ�I ý þ ø ; D �X ø Z ç ü 7 B = ; � 7 B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D = ; � 7 þ @:ÍW7 D ú 7 D �X ÿ Z ç ü 7 B = ; � 7 þ @:ÍW7 D ú 7 D = ; � 7*7 ý 7#Íl; D ; ÷s� ü ; ÿED ; ÿ ÷ �X 7 Z ç ü 7 B = ; � 7 B üCý�ú þ�I ý þ ø ; D 7 þ @?ÍJ7 D ú 7 D = ; � 7 ÿEþ Í þ�ÿEþ�D øV÷ B D 7 = ú ÷ �X � Z ç ü 7 B = ; � 7 ÿEþ Í þ�ÿEþ�D øV÷ B D 7 = ú ÷U= ; � 7 þ @?ÍJ7 D ú 7 D �

Page 79: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 o)npp

pp

pp

pp

� �����;��q�� oI�YÕ ��� �&��ØI��p?� �#ÕA������Õ;�L����\�\Õ5� u\v�����ÆÕ?��� ×$�rq��×?� �\Õ;� w�Î = þ ú 7\@ = X ; Z � X 7 Z 7 X � Z = �; ÷ ú D<þ Í þ ; þ =�� Î þ ú 7 B X � Z = 7\T ü 7 ÿ 7 P ¢ h �D� P Ú ¢ _ p� P p�¢ _ Ø ù � Î þ ú 7 B X ÿ Z = 7�T ü 7 ÿ 7 � _ h ��� � ] p ��� Ú�k � ] � ] p � � Î þ ú 7 B�X ø Z = 7�T ü 7ÿ ÷¡� ; ú ÷�� ü 7 = 7 � h ¢�Ø : b ì � k�Ø : ��k ß X � ü B @ ùü B 7 D ÷ D 7\; ý ÿ ; ÿ ÷�ø�÷ B ü B ; ø 7 D ú ;IOD 7 ø þ = �; ÷ Z 7 = 7Is£ì Þ k#� : 0ù7 ü B ;�; ICD ÷ � þ B ; °ø �; ÷ I ; D ; k�Ø � øV÷ B £ ø ; = ; = ÿ 7 ICD 7 ø þ = �; ÷7\@ ú �; ÷ s ! h s � m�p � s �ù7 ü B ;Y; ICD ÷ � þ B ; °ø �; ÷ I ; D ; k�Ø � ø�÷ B ; IOD ÷ � þ B ; ÿ ; B 7\@ ú 7 m £ø ; = ; = ÿ 7 IOD 7 ø þ = �; ÷ ��÷ 7 � ; ú ÷ ú 7 B ÷J= s ! ptk�Ø � h p �0� s ptk�Ø � _ ÿ ÷ @ ÿ 7 © s ! pîk�Ø � © ¸© s p4k�Ø � © _ �¡Ñ¿= ú 7�; ý T ÷ D<þ ú B ÷ I ÷ ÿ 7 = 7 D Í þ = ú ÷?øV÷ B ÷ ü B ;?; I ý þ ø ; °ø �; ÷ ÿ ÷ B ù7 ú ÷ ÿ ÷ ÿ 7o 7�{ ú ÷ @ I ; D ;�; � ü @ °ø �; ÷ á �\t h p � Ú4k�Ø t ��oÏ÷ ú 7 � ü 7�; = IOD�þ B 7 þ�D ; = ; ICD ÷ � þ B ; °ø �÷ 7 =I ; D ; k�Ø � I ÷ ÿ 7 B = 7 D ø ; ý ø üCý ; ÿ ; =SøV÷ B I ÷ ü øV÷m= ; ý TJ; D�þ = B ÷m= ÿ 7 ICD 7 ø þ = �; ÷ � ÿ ÷ @ ÿ 7¬; =IOD�þ B 7 þ�D ; = B üCý�ú þ�I ý þ ø ; °ø �÷ 7 = I ÷ ÿ 7 B = 7 D � 7 þ ú ; =ÏøV÷ B I ÷ ü øV÷m= ; ý TJ; D<þ = B ÷J=#Ò þ = ú ÷ Tm; D ;)@ ú 7� ü 7 ÷ ú 7 B I ÷ ú ÷ ú ; ý I ; D ; ÷�� ú 7 D à ; ý Tm; D<þ = B ÷J= ÿ 7 k�Ø � ù7 ø�÷ B I ; DRù;�ÍW7 ý ; ÷ ú 7 B I ÷ ÿ 7ü B ; B üCýûú þ�I ý þ ø ; °ø �; ÷ ÿ 7 þ @ ú 7 þ�D ÷J=9øV÷ B à ; ý Tm; D<þ = B ÷J=#�

Page 80: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 o kpp

pp

pp

pp

w ÿ � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� �����u ¡%�#y`�}V%b

o 7 = ú ; ùüCýûú þ B ; = 7 °ø �; ÷ ; ICD 7 = 7�@ ú ; D 7 B ÷J= ; ý T ü B ; = ú ; � 7 ý ; = þ @ ÿEþ ø ;)@ ÿ ÷?÷J= B ; þ ÷ D 7 =ICD<þ B ÷J=9ø�÷ @�C7 ø þ�ÿ ÷J= 7 B B ; D °øV÷ ÿ 7 fWgWgWh ��wvxOy{z}|�~�v s"� y�v tQ� v�| s vSxOy���y � v�y ´0´ y}� s´O� y��;v�x s v

r�� v�| s É0� xOy�x É�Z� v ¶ s v � y�v�� s#�O� vZx s#� y�v � ~ ¶ ~m ã _ i�� _ Ê i � pÞk n hWgJhWkmn)h �s÷j÷ I 7 D � ��÷j÷ @O7��J� á � 3 Ó 7 ú ; ý � fWgWg km ã Ê Ê _ i � pÞk nC« nJf)gmnWf �s÷j÷ I 7 D � ��÷j÷ @O7��J� á � 3 Ó 7 ú ; ý � fWgWgmnm _ i ¥ Ê ¥ i ] pÞk olh « k fWkWg oÏ÷ {�;  �C� á � 3 Ó 7 ú � ; ý � fWgWgmnm _ Ê ã Ê i�� ã pÞk o)f)kmnJo)kWk â þ @ ÿ ý 7 � �x� á � 3 Ó 7 ú ; ý � fWgWg mm _ Ê ¥�¥ Ê Ê ]�] pÞk k kJfWg m kWg Ó �R; � 7 D �O� á � 3 Ó 7 ú ; ý � fWgWgJkm ] ã ÊûÊ ¥�]�� pÞk m gJnWk n;m k � ; B 7 D ÷ @w� � ÷ ýûú B ;)@w�Ô ü D ÷ { = Âmþ X � á � 3 Ó Z fWgWg «m Ê ¥V�I_ i ¥ ã pÞk f)g n h n k g � ; � D ; ú {9; ý ;� � ÷ ýûú B ;)@w�Ô ü D ÷ { = Âmþ X � á � 3 Ó Z «�n;n5nm ã Ê _#] ã ��� pÞk n g n nWf k � ý ; D< =�÷ @w� � ÷ ýûú B ;)@w�Ô ü D ÷ { = Âmþ X � á � 3 Ó Z «�n;n hm _ ¥V� Ê _�_;] pÞk h n n n kmf Ó I 7�@ ø 7��#� ÷ ýûú B ;W@ X � á � 3 Ó Z «�n;n om ] ã ¥ � _ Ê ¥ pÞk m fWg n f « ® D B 7�@OTJ; ü ÿ � � ÷ ý�ú B ;W@X � á � 3 Ó Z «�n;n k

Page 81: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 oWopp

pp

pp

pp

� �����;��q�� �I�Y×\Õmr#�\تÕ5� wxw5 7 B � D ; B ÷m=�� ü 7 � ü ;)@ ÿ ÷ �N7l� Ú£m�= �; ÷ ; B �x÷J= ICD�þ B ÷J= � ÿEþ p 7 B ÷J=�� ü 7�7 ý 7 =Ï= �; ÷�7&('»/ $ ! � Å)+/�) $ ! �

�wvxOy{z}|�~�v s"� y�v t ~ � y�vwxOy tQ� v�| s v ���y{|;y s v�� s�´O� y{�5vZx s vr�� v�| s �-É�Z� v ¶ s v � y�v�� s#�O� vZx s#� y�v � ~ ¶ ~

m�r�r ã��b�Yã�� k ã ` m ](¥ i Ê�Ê�Ê í k n)hjo «J« � ; üEú þ 7 D � � ø Ô þ ��x÷ @§�� D<þ � 7�@  ÷ � o 7�{ 3 �*7�@w�3 D�þ B 7`� D<þ�ÿ � ¨ 3 Ó � 5§5 ì f)gJgmok�� ù��b� m%k�r � r � ù ã k�$ ` m ]���]q¥ Ê Ê í k n « olhJg Æ ; D ; þ � � â ; D� ; = � ��= ; ���R÷  �ÔS; =hp ;� Æ ; D ; þ f)gJgmok�r�r ã k ù $�k+mb$ ù�ù rk�$ ` m ]���]q¥ Ê Ê í k n « olhJg Æ ; D ; þ � � â ; D� ; = � ��= ; ���R÷  �ÔS; =hp ;� Æ ; D ; þ f)gJg kk ��ó�� �b� ó � ã�ã ��� � $ ` m ]���](¥ Ê Ê í k n « oWo n Æ ; D ; þ � � â ; D� ; = � ��= ; ���R÷  �ÔS; =hp ;� Æ ; D ; þ f)gJgJnã�ã m�k ó �Ymb$ ` m ] Ê ¥ Ê ¥ Ê í k n « g n g 3 ; ICI �3 D ÷ ú � � 7��E7 f)gJgJf� rkJ� ù r � k ` m ]�]_ Ê � ¥ í k k m n)kJk i @ ÿ 7 D � ; Âm 7�� ¨ { þ @R�*7�@§�3 ì 3 � 3 D ÷ ú � � 7��E7 f)gJgJfk � � $�kJ�b� ã � ã ` m ] Ê � i _ Ê í k kJfWkmo k � ø#Ñ ý �O; ú�ú ÷ @w�3 D ÷ ú � � 7��E7 f)gJgJfã k ó r ã m ã{� k ` m ] Ê � Ê�Ê ] í k kJfJfWfWg i @ ÿ 7 D � ; Âm 7�� � ; D B ÷ ÿ � �3 D�þ B 7 â ÷ D B f)gJg «k�r ù �b� kJ�=k�k � ` m ] Ê2Ê�Ê�Ê�Ê í k kWg «W« k � ; D @C7 = �o 7�{ 3 �*7\@w� 5ß5 ì f)gJgmok ó r � ã k ó $ � $ ` m ¥ � ã Ê i í k f n k gJk i @ ÿ 7 D � ; Âm 7�� � ; D B ÷ ÿ � ���; ý�ý ÷ ú f)gJg «

Page 82: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 olhpp

pp

pp

pp

w � � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� �Ó 7 � ; ¢(� � ø �O; B ; ÿ ÷S÷ �7&('»/ $ &q' � � ÿ 7 ¢ � ÷ IOD ÷ ÿ üEú ÷ ÿ 7 ú ÷ ÿ ÷J=¿÷J= @ ùü B 7 D ÷J= ICD�þ B ÷J=B 7�@ ÷ D 7 =�÷ ü þ T ü ; þ = ; ¢�� i = ; B ÷m= ú ; B � ù7 B ;z@ ÷ ú ; °ø �; ÷ ¢ � ¢ h ¢ � � e\e2e � � � ø�÷ B £I ÷ @ ú ÷J= ÿ 797�� ø ý ; B ; °ø �; ÷ � I ; D ; ÷ ICD ÷ ÿ üEú ÷�¢ � ¢lp £� � ¢lp�m £& e2e\e ÿ ÷J= þ @ ú 7 þ�D ÷m= I ÷J= þ ú þ Í ÷J=B 7�@ ÷ D 7 =Õ÷ ü þ T ü ; þ = ; ¢ 7 ø ²÷ @CT D ü ÷J= ; ¢ B ù÷ ÿ üOý ÷ £ � i B ICD<þ B ÷ ÿ ; �×÷ D B ; ¢(� í k ù7ø �O; B ; ÿ ÷ �I&q'»/ $ &(' � � 7 ü B ICD<þ B ÷ ÿ ; �×÷ D B ; ¢ � � e\e2e � � í k ù7 ø �O; B ; ÿ ÷ / � " ' �Á�=" $ &q' � � �� vwxQy�z}|�~$v s#� y�v tQ� vZ| s v�| · È ¶ vZ��~ ¶ s"� vZ~$v�v�y tQ� vZ| s#� vZ~�vZv�� s�´O� y{�5vZx s v

r�� vZ| s É ��xOy�x É��� v ¶ s v � y{v+� s"�O� v�x s"� y�v � ~ ¶ ~ã � m�k�k ã �äÚÞk « k n5n k5k � Ñ i Ñ ì � 3 D<þ B 7 â ÷ D B fWgWg «ã��b� ù ã ���äÚÞk « n)h n k k � Ñ i Ñ ì � 3 D<þ B 7 â ÷ D B fWgWg «�D$ ù � ã � ã ÚÞk «2m;m k n o � ; D ÍJ7 � ��� üOýûú þ Ó þ 7�ÍJ7��s� üCý�ú þ â �Î I 7�@ 3 â �r� fWgWg kã ù�� �-r � pÞk «2m fWh nO« ��; D ø �O; ý � � ; D B ÷ ÿ � �ÝÔ ü ÷J= ;�3 D<þ B 7 â ÷ D B fWgWgJfó r�r � � � ã ÚÞk «W«\n f)h m � ; D ÍJ7 � ��� üOýûú þ Ó þ 7�ÍJ7��s� üCý�ú þ â �Î I 7�@ 3 â �r� fWgWg k$�m � r ó � _ ÚÞk «W« fmo k f ÷ ;YÍ þ = Ô���� üCýûú þ Ó þ 7#ÍW7���� üCý�ú þ â �Î I 7�@ 3 â �r� fWgWgWkm ù m ó � ã � ]�] ptk « g n kWkJg ÷ ;YÍ þ = Ô���� üCýûú þ Ó þ 7#ÍW7���� üCý�ú þ â �Î I 7�@ 3 â �r� fWgWg mm � �+$�k � ÚÞk « gmoJolgjo ÷ ;YÍ þ = Ô��:Ô ü ÷J= ;� 3 D<þ B 7 â ÷ D B fWgWgJfm�mb$b$ � m � ]�] Útk « gWgJhmo)g � ; D ÍJ7 � ��� üOýûú þ Ó þ 7�ÍJ7��s� üCý�ú þ â �Î I 7�@ 3 â �r� fWgWg km%k ù ó r � pÞk hWkmoWfJo ÷ ;YÍ þ = Ô��:Ô ü ÷J= ;� 3 D<þ B 7 â ÷ D B fWgWg «

Page 83: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 o npp

pp

pp

pp

� �����;��q�� �I�Y×\Õmr#�\تÕ5� w �5 7 B � D ; B ÷m=�� ü 7� ù7 ÿCþ ú ÷ ü B IOD�þ B ÷ ÿ 7 Ój÷ I � þ 7��*7 D B ; þ @ = 7 m � Úîk ú ; B � ù7 Bù7 IOD�þ B ÷ 7 � ü 7 g�u ù7 ø�÷ B I ÷m= ú ÷ I ; D ;�7 = ú 7 = Íl; ý ÷ D 7 = ÿ 7�� = 7�� � ã � B ÷ ÿ ù ��Ñ¿= ú 7@ ÷ B 7 ù7 ü = ; ÿ ÷ I ÷ D � ü 7 ÓE÷ I � þ 7s�*7 D B ; þ @ ICD ÷ Í ÷ ü ÷ ICD�þ B 7 þ�D ÷'ø ; =�÷ ÿ ÷ ùüCý�ú þ B ÷ ú 7 ÷ D 7 B ;ÿ 7 â 7 D B ; ú X D 7 ø 7\@ ú 7 B 7�@ ú 7 ÿ 7 B ÷ @ = ú D ; ÿ ÷UøV÷ B I ý 7 ú ; B 7�@ ú 7 I ÷ D � þ ý 7 = Z I ; D ; ICD<þ B ÷m=� ÿ 7 = ú ; �×÷ D B ; �

�wvwxOy{z}|�~�v s"� y�v tQ� v�| s v�xQy0� s�tO� vZy �¡y � |�~$v ´ � s�´O� y{�5vZx s vr�� vZ| s �-É��� v ¶ s v � y�v+� s"�Q� v�x s"� y{v � ~ ¶ ~

ù ó r ù�� ã rD$ � mb$ ` m ]<�I_ Ê ã pÞk n «\nO« g i @ ÿ 7 D � ; Âj 7�� ¨ { þ @x�*7�@w�5§5 ì f)gWgjok ã � m�k�k�� ù k+m{�Ym�kJ�+$ ` m ]���]q¥ Ê Ê pÞk n « o)hWg Æ ; D ; þ � � â ; D� ; = � ��= ; ���R÷  �ÔS; =Dp ; � Æ ; D ; þ f)gWg k

� r ��ó $b$�$ ` m ]ª_#] ã Ê ] pÞk k k nJf)k � þ @ ÷ Í þ ø � ¨ { þ @R�*7\@w� 5ß5 ì f)gWgmnmb$ ù r�r ù k�k ó $ ` m ]�]ª`�I_#¥ ptk k m n m o i @ ÿ 7 D � ; Âj 7�� ¨ { þ @x�*7�@w�3 ì 3 � 3 D ÷ ú � � 7��E7 f)gWgJkk�k+m ù r ù�ù m{� m ã mb$ ` m ] Ê ��¥�¥�¥ ptk kJfWnJf)k i @ ÿ 7 D � ; Âj 7�� ¨ { þ @x�*7�@w�5§5 ì f)gWg kk�k+m ó;ó�� r ã m�m ù $ ` m ] Ê � Ê�Ê2Ê pÞk kJfWnJf)k i @ ÿ 7 D � ; Âj 7�� ¨ { þ @x�*7�@w�5§5 ì f)gWg kk ó �k+m ó � � ` m ¥ � ã ¥ i pÞk f n k f)h ® @CTJ7 ý � ÆW÷�� ý þ @CT�� ® ü T ü = ú þ @w�o 7\{ 3 �*7�@§� Î I 7\@ 3 â �r� f)gWgmfk�r ù �+$ �#ù r�r ó k ` m � ã ]h_ i pÞk fWn)gJk m i @ ÿ 7 D � ; Âj 7�� ¨ { þ @x�*7�@w�5§5 ì f)gWg k� k�r � ó k�$b$ ` m � _ Ê�Ê _ pÞk f m k n k i @ ÿ 7 D � ; Âj 7�� ¨ { þ @x�*7�@w�5§5 ì f)gWg kk+m�k ã;ó m�m ã;ó � ` m � ]�] ã ] pÞk f m;m kJf ® @CTJ7 ý � ÆW÷�� ý þ @CT�� ® ü T ü = ú þ @w�o 7\{ 3 �*7�@§� 3 D ÷ ú � � 7��E7 f)gWgmf

Page 84: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 hWgpp

pp

pp

pp

�R� � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� ��¢|�~$v s#�jtO� vZ| s � s´Q� y��;v�x s ~ s ÈÉs�´ � s xO~ � vZv ¶ És"� vZ~

r�� vZ| s É0� xQy�x É�Z� v ¶ s v � ~ ¶ ~ � y{v+� s"�O� v�x s"� y�vm ]<� pîk k « n)hWh � ; ú ; ý ÿEþm ]q¥ pîk k « n)hWh � ; ú ; ý ÿEþm ã ] pîk « g « oWo)f Ñ üOý 7 D�b���b�b�b�-r�r�r�r�rk « f « hJn « 5"÷j÷��� m i ¥ ptk Ø�k � �b�+$%k « k « h k o 5 ;W@ ÿED �� m i ã Úîk Ø � ã ` k�r � «2m « h k o 5 ;W@ ÿED �m ]ª_\� pÞk k n « hmo k 5 ü ø ; =� m ]_ � ÚÞk Ø�k � m;m «�n n « â 7 D�D<þ 7 Dk ó r � m ]ª_\� ptk _ ÚÞk o n «�n n « � þ ý�ý 7 D¤£ �Þ�C7\7 ý 7 Dm i _#] pÞk « nJo «�n nWf ì ÷�� þ @ =�÷ @m Ê Ê � pÞk « hWk «�n nWf ì ÷�� þ @ =�÷ @m ]ª_\��¥ pÞk kWh k «�n nWf ì ÷�� þ @ =�÷ @m _�_ Ê ã pÞk k;k m «�n nWf ì ÷�� þ @ =�÷ @m _�_ � ] pÞk k hmo «�n nWf ì ÷�� þ @ =�÷ @m ã _#]<� pÞk n k n «�n nJo ì þ 7 = 7 ým V2_ ã pÞk « kWkmf «�n k « � ü D { þ ú pm ¥ Ê � ¥ pÞk f nC« o «�n k k � þ ý�ý þ 7 =m ¥�¥<5] pÞk f n;n k «�n k k � þ ý�ý þ 7 =m ]2]ª_#] ã ptk kJkmo k «�n k k � þ ý�ý þ 7 =m ]q¥�¥ ã � ptk k gWgmf «�n o « ¨ ü ø  7 D B ;)@m _;]�� Ê ] ptk k n)kJk «�n olh o'÷ ý�ý £ o þ ø  7 ým _ ã _ Ê ¥ ptk k n hjo «�n o n o'÷ ý�ým �V ¥V� ptk « kWk n n «�n o n o 7 ý =�÷ @ £ Ó ý ÷ { þ @ = Âjþm � Ê _ ã ptk fJn n k f «�n hJf Ó ý ÷ { þ @ = Âjþm ] ã _ Ê ¥ pÞk k n o)n « «�n hWk Ó ý ÷ { þ @ = Âjþm _#] Ê Ê ¥�] pÞk k n)gJnWg «�n hJn Ó ý ÷ { þ @ = Âjþã �=k�$ ó k ` m _#] Ê ](¥ ã pÞk k n)gWhjo «�n h n ® B ÿ ;�� ý Ó þ �m � i Ê � ã ¥ pÞk fWfmolhJkJf «�n;n f Ó ý ÷ { þ @ = Âjþ £ ��;)TW7m �+i ¥< ã�ã pÞk fWnWhmo « k «�n;n#m Ó ý ÷ { þ @ = Âjþ £ ��;)TW7m ]ª_ i �V� � � pÞk kmo)h k kJf «�n;n k Ó ý ÷ { þ @ = Âjþ £ ��;)TW7m ] ã ¥ � _ Ê ¥ pÞk m fWg n f « «�n;n k ® D B 7�@CTm; ü ÿ �¥� ÷ ý�ú B ;W@w� 7 ú ; ý �� � á � 3 Ó �

Page 85: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 h «pp

pp

pp

pp

� �����;��q�� �I�Y×\Õmr#�\تÕ5� � ��¦|�~�v s"��tO� vZ| s � s´O� y��;v�x s ~ s ÈÁs´ � s xO~ � v�v ¶ És#� vZ~ » ³ s´ ¶ v ´ · ~&w� x~ s ¼r�� vZ| s É0� xOy�x É��� v ¶ s v � ~ ¶ ~ � y�v�� s#�O� vZx s#� y�v

m _#¥�� Ê _�_#] ptk h n n n kJf «\n;n o Ó I 7\@ ø 7��b� ÷ ýûú B ;)@w�l7 ú ; ý � � � á � 3 Ó �m ã Ê _#] ã �V� ptk n g n nWf k «\n;n h � ý ; D< =�÷ @w��� ÷ ýûú B ;)@w�Ô ü D ÷ { = Âjþ �7 ú ; ý � � � á � 3 Ó � 3 D�þ B 7 o 7 ú �m Ê ¥��I_ i ¥ ã ptk fWg n h n k g «\n;n5n � ; � D ; ú {9; ý ;�§� ÷ ý�ú B ;W@w�%Ô ü D ÷ { = Âjþ �7 ú ; ý � � � á � 3 Ó � 3 D�þ B 7 o 7 ú �m ] ã ÊKÊ ¥�]�� pîk m gJnWk n#m k f)gWg « � ; B 7 D ÷ @w�¤� ÷ ýûú B ;W@w��Ô ü D ÷ { = Âjþ �7 ú ; ý � � � á � 3 Ó � 3 D�þ B 7 o 7 ú �m _ Ê ¥�¥ Ê Ê ]�] pîk k kJfWg m kJg f)gWgJk Ó �O; � 7 D �R� á � 3 Ó 7 ú ; ý �m _ Ê ã Ê i�� ã pîk oWf)kmnJolkJk f)gWg m â þ @ ÿ ý 7 � �x� á � 3 Ó 7 ú ; ý �m _ i ¥ Ê Y¥ i ] pîk o)h « k f)kJg f)gWgmn oÏ÷ {�;  �O� á � 3 Ó 7 ú � ; ý �m ã Ê Ê _V i � pîk nO« nJf)gJnJf f)gWgmn �s÷j÷ I 7 D � ��÷j÷ @C7��O� á � 3 Ó 7 ú ; ý �m ã _ i�� _ Ê i � pîk n hWgJhWkJnWh f)gWg k �s÷j÷ I 7 D � ��÷j÷ @C7��O� á � 3 Ó 7 ú ; ý �

Page 86: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 hJfpp

pp

pp

pp

� & � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� ��wv��y{|¨|�~$v s"� y�v tO� vZ| s v�� s�´O� y{�5vZx s v » y{|¨|�~ � w� s xOy & �x�x�x¼

r�� v�| s �àÉ�Z� v ¶ s v � ~ ¶ ~ ³ s |�y ´ ¶ É~ � v s« m ã _ i�� _ Ê i � pÞk n hJgWhJkJn)h fWgWg k �?7 D = 7�@O@C7 m;mf m ã Ê Ê _ i � pÞk nC« nWfWgJnWf fWgWgmn �?7 D = 7�@O@C7 m kk m _ i ¥ Ê ¥ i ] pÞk olh « k f)kWg fWgWgmn �?7 D = 7�@O@C7 m fm m _ Ê ã Ê i�� ã pÞk o)fWkJnmolkWk fWgWg m �?7 D = 7�@O@C7 mO«n m _ Ê ¥�¥ Ê Ê ]�] pÞk k kmf)g m kWg fWgWgJk �?7 D = 7�@O@C7 m gk m ] ã ÊûÊ ¥�]�� pÞk m gmn)k n#m k fWgWg « �?7 D = 7�@O@C7 k no kJ� m ù � ` m ] ã Ê ] �{i�� Ê Útk k nO« h n;n g fWgWgjo Ó 7#ÍW7\@ ú 7�7\@ ÷ D � ü = ú « gh m � � $ ã ` m ¥�] Ê �< ã�ã ÚÞk fJoWn n k oWo fWgWgmn Ó 7#ÍW7\@ ú 7�7\@ ÷ D � ü = ú hn m ó ù ã�ã ` m � � ã Ê i � ÚÞk f)kmnJoWf)gmo fWgWg m Ó 7#ÍW7\@ ú 7�7\@ ÷ D � ü = ú o« g ã�ã��b� k ` m � Ê ã ]ª_ ã _ ÚÞk f «J« k5k « o fWgWgjo Ó 7#ÍW7\@ ú 7�7\@ ÷ D � ü = ú «J««W« m Ê ¥V�I_ i ¥ ã pÞk f)g n h n k g «�n;n5n �?7 D = 7�@O@C7 kWh« f $ ã ${� ` m i Ê i i Ê _ ÚÞk « nJf « n k « fWgWgJk Ó 7#ÍW7\@ ú 7�7\@ ÷ D � ü = ú k« k m ù $�k ó _ Ê _#]_V ÚÞk «W« n)g k olh fWgWgJh â 7 D B ; ú �*7�@C7 D ; ý þ p ; ÿ ÷«2m � ã;ó m ã � ` m ã � i _#¥ i Ê pÞk «W« f n o)nJo fWgWgjo � ÷j÷ ÿ ; ý�ý« n ã k ã � ` m ã�ã _;](¥ Ê i pÞk n5n;n;n5n o fWgWgJh« k ù ó ù�� ` m ã�ã _;] Ê Ê ã ÚÞk n5n;n o m;m fWgWgmn Ó 7#ÍW7\@ ú 7�7\@ ÷ D � ü = ú n« o ã ` m ã ] ã Ê _ i�i pÞk n;m;mO« gWh fWgWgjo« h m ã Ê _#] ã ��� pÞk n g n nJf k «�n;n h �?7 D = 7�@O@C7 kmo«\n � ` m ã Ê ] i � Ê _ ÚÞk n gmolhJk k fWgWgJhf)g m _ ¥V� Ê _�_;] pÞk h n n n kJf «�n;n o �?7 D = 7�@O@C7 k kf « m�m�m ã�� k ` m _ �+i � Ê ÚÞk hmn n k n h fWgWg kfWf k ã � m{� ã r ] ã ] Ê �I_ ÚÞk hJg m;m o m fWgWgJk â 7 D B ; ú �*7�@C7 D ; ý þ p ; ÿ ÷f)k k ã�� k+m ù�ù ] ã ] Ê �I_ ÚÞk hJgWk n hWh fWgWg m â 7 D B ; ú �*7�@C7 D ; ý þ p ; ÿ ÷f m k�k � �b� � ù ] ã ] Ê �I_ ÚÞk o n n k n n fWgWgJk â 7 D B ; ú �*7�@C7 D ; ý þ p ; ÿ ÷fWn ã ù m � � ã ` m _ Ê ã ¥< ã ¥ pÞk o n#m nJn k fWgWgjof k $ � m�k ó�� ] ã ] Ê �I_ Útk oWn m k nWf fWgWg m â 7 D B ; ú �*7�@C7 D ; ý þ p ; ÿ ÷fJo ã ` m _`� � � �+i ÚÞk o m k «�n g fWgWgJkf)h m � �b� ã ` m _ Ê i ã ã pÞk o m f «\m o fWgWg kf n � ã � ` m _ ã � _ � Ê ptk o « o)f n;n fWgWgjokWg k�k ó-ã �+$ ã ` m _ ã Ê ��¥ Ê � pÞk o « f)h « h fWgWgjo � ÷j÷ ÿ ; ý�ýk « m � $�m{� ã ` m _ ã�ã i Ê�Ê � pÞk o)gJf nO« k fWgWg kkJf ã ` m _ ã ]ª_\� ã pÞk k n k fWgWk fWgWgmnkWk ù $�r ù $ � ` m _ ã Ê ��¥ Ê i pÞk k n#m oWnWn fWgWg kk m k ã r ó k � ] ã ] Ê �I_ Útk k olg k n « fWgWgJk â 7 D B ; ú �*7�@C7 D ; ý þ p ; ÿ ÷kJn kJ� ` m _�_ Ê Ê _ ÊKÊ Úîk k5k mO« n m fWgWg kk k k�k ù�ù ó � ` m _;](¥ � ã � ¥ pÞk k5k « o)hmo fWgWg kkmo k�� � ${� � ` m _;]�� � ] Ê ¥ pÞk k nWn k hJf fWgWg k

Page 87: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 hWkpp

pp

pp

pp

� �����;��q�� �I�Y×\Õmr#�\تÕ5� � ^�wv��y{|©|�~$v s#� y�v tO� vZ| s v�� s�´O� y{�5vZx s v » ³ s�´ ¶ v ´ · ~&w� x~ s ¼

r�� vZ| s �-É��� v ¶ s v � ~ ¶ ~ ³ s |�y ´ ¶ É~ � v skJh � ` m _#] Ê � � Ê�Ê ÚÞk k nWfJnJo m f)gJgmok n ã ` m _#]_ i ã i ã ÚÞk k m nWh « o f)gJgWkm g � ` m _#] ã ¥�¥�]ª_ ÚÞk k m;mR« o n f)gJgmomR« � m � m�m ] ã ] Ê �I_ Útk k f)hJhWgJh f)gJgWk â 7 D B ; ú �*7�@O7 D ; ý þ p ; ÿ ÷m f k+m%k ` m _ Ê ã�ã ¥<5] ptk k « fJf)hJg f)gJg km k mb$�k � ù � ` m _ Ê ] ã ¥�¥ i ptk k g k fJo n f)gJgmo � ÷j÷ ÿ ; ý�ým5m ù � � �k � ` m ](¥�¥ ã 2_#¥ ptk k gWgJgWhJh f)gJgJnm n k ã � k ã � ` m ](¥�¥ ã _ Ê ] ptk k gWgJg «�n f)gJgmom k k � ` m ](¥�¥ Ê _#¥�¥ ÚÞk n n;nO«2mR« f)gJg km o k+m%k ` m ]q¥ i 2_ ã ptk n)hWhmf)hJh f)gJg km h m�k ù $%kJ� ` m ](¥I_#¥�]�]_ Útk n)hWgjo)fmo f)gJg kmAn ã ù $�r � � ` m ] � � Ê i � ã ptk n k mAnC«J« f)gJgJnnWg k ã ` m ] � Ê ]�� ã _ ÚÞk n k g m k n f)gJgJnn « k ã � ` m ] � ¥I_ ã � ptk nWn k5k o n f)gJgmonJf ã ` m ] � ã _ ¥ Ê ÚÞk nWn « k kjo f)gJgmonWk m%k ` m ] � ã Ê ¥�](¥ ÚÞk nWn «J« k k f)gJg mn m ù k � � ù ã ` m ] � Ê�Ê � � � ptk n m fWg n o f)gJgJnnJn ã $ � � ${� ` m ]��V��¥��< � ptk n)kJnmo k m f)gJgJnn k $ ` m ]��V��� i ] i ÚÞk n)kJnWgWhjo f)gJgJnnmo mb$ ã ` m ]<�I_�_ Ê _ ã ptk n « hmn k m f)gJgmonWh k+m%k ` m ] Ê ¥ i ¥�¥ ptk n « gJk n5n f)gJgJnn n k�$ ` m ] ÊûÊ �V�<V ÚÞk n)gJfWg m k f)gJgmok g k ù �=k ó-ã ` m ] ÊKÊKÊ ¥ i � Útk n)g « h « g f)gJgJnk « ù � �b� ù � ` m ] Ê ¥�_�_ � ptk m5n k m o)k f)gJgmok f ó k ` m ] Ê Ê Ê � � ÚÞk m hWkjo « f f)gJgmo â 7 D B ; ú �*7�@O7 D ; ý þ p ; ÿ ÷k k k�$ ` m ] i ¥V� i ] Ê ÚÞk m hWg n gJg f)gJg kk m $ ó � $ ã ` m ] i ¥< ã _ ã pÞk m o n5n#m5m f)gJg kk n � ã � ` m ] i ¥I_\�I_V ptk m o n;m k « f)gJg kk5k k�k�r ù k ã ` m ] i ¥�]q¥�¥�¥ ptk m o n f m n f)gJgJnk o k�k � � ` m ] i ¥�] ã Ê _ ÚÞk m o n gJn « f)gJg kk h k+m%k ` m ] i�� ¥�] i � ptk m olhJkWhjo f)gJgJnk n kJ�+$?rYm�m�k+m Ê i�i ã Ê ÚÞk m oWoJo k k f)gJgJn â 7 D B ; ú �*7�@O7 D ; ý þ p ; ÿ ÷o)g k � �#ó ù ó m ó Ê i�i ã Ê ÚÞk m o mAn o n f)gJgmo â 7 D B ; ú �*7�@O7 D ; ý þ p ; ÿ ÷

Page 88: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 h mpp

pp

pp

pp

��¿ � �\ÕA���<q���Õ;�������\×5�$�Ö�\�����YX�×2Õ#��� ���;ÕA� �� v��y�|¨|�~�v s"� y�v tQ� v�| s v�� s´Q� y��;v�x s v » ³ s�´ ¶ v ´ · ~&w� x~ s ¼

r�� vZ| s �-É��� v ¶ s v � ~ ¶ ~ ³ s |�y ´ ¶ É~ � v so « k � � $�$ ù�ù�ù Ê i�i ã Ê ÚÞk m o mAn kmf f)gJgmo â 7 D B ; ú �*7�@O7 D ; ý þ p ; ÿ ÷o)f k � � m�� ã � ó Ê i�i ã Ê ÚÞk m o m h n g f)gJgmo â 7 D B ; ú �*7�@O7 D ; ý þ p ; ÿ ÷olk m{� ` m ] i ��`� i ã ÚÞk m o m gJnWg f)gJgWho m k ã � ` m ] i Ê � � �< ÚÞk m o «�n hJg f)gJg ko)n ó k ` m ] i � i i ÚÞk m k mAn nmo f)gJgmoo k m ã ù ó ù�� ` m ] i ã i�i+� ¥ pÞk m k fJf k m f)gJgJnoWo k+m%k ` m ] i _ Ê Ê ¥V� pÞk m n n;m g m f)gJgJnolh k ã ` m ]_ ¥�¥ � � Ê ÚÞk m n « n)g n f)gJg mo n � ` m ]_ ¥�] �+i _ Útk m;m5n g n;m f)gJgJnhWg m�m ã m�r�r � ` m ]_ ¥ Ê Ê Ê i ptk m;m hjo)f m f)gJgWkh « m{� ` m ]_`� � ã V pÞk m;m nWgJfWh f)gJgJnhJf m � ` m ]_`� Ê ã `� ÚÞk m;m;m5m fmo f)gJgJnhWk ã mb$ � m � ` m ]_`�I_#]2]�� pÞk m;m k « nmo f)gJgJnh m k ù � �b� �Yã ` m ]_ Ê ��� Ê ã ptk m;mO« h m o f)gJgmo � ÷j÷ ÿ ; ý�ýhJn �b� ` m ]_ Ê � i�i pÞk m;mO« olhJg f)gJg kh k m ã ` m ]_V � Ê ] ÚÞk m k k gWkmf f)gJgWhhmo m�k ` m ]_2_;]��<;] ÚÞk m fJo n h n f)gJgJnhWh k�$ ` m ]_;] � Ê Ê i ÚÞk m fJo)g m5m f)gJg kh n m{� ` m ]_;] Ê � � ã ÚÞk m f k nWfWk f)gJgmon g k ù � � � � ` m ]_;]_;] ã � pÞk m fWnmolgJk f)gJgJnnC« k+m � ` m ] ã ¥ �ª�ª� ¥ pÞk m f «J«W« g f)gJgWhn f k�$ � ù ã ù�� ` m ] ã ¥ � _ Ê ¥ ptk m f)g n fWh f)gJgWhn k m ] ã ¥ � _ Ê ¥ pîk m f)g n f « «\n5n k �?7 D = 7\@C@C7 kJnn#m kJ� m�r ó � ` m ] ã ¥ i Ê �ª� pÞk m f)g « nWg f)gJg mn n k � ` m ] ã �J� ã i�i ÚÞk mO« o n kJh f)gJgJnn k k�$ ` m ] ã Ê � 2_ � ÚÞk mO«W«�n#m g f)gJg kn o m ù k ù ó � ` m ] ã Ê i Ê Ê _ ÚÞk mO« g n kJg f)gJgJnn h k ó m ó $�rYm Ê i�i ã Ê Útk mO« gJk n k f)gJgJn â 7 D B ; ú �*7�@O7 D ; ý þ p ; ÿ ÷n;n ã $ ` m ] ã i � �ª� ] ÚÞk m gWhjo k n f)gJg k« gWg ã�ã;ó � r � ` m ] ã i � ã Ê ÚÞk m gmo)hJnWg f)gJgJn � üCý�ý 7�@� � v;z ü B IOD�þ B ÷ ù7 ÿEþ ú ÷ ÿ 7�«( �q� ) , = 7 ù7 ÿ ; �×÷ D B ; ¢ ` m ï Ú4k � ÿ 7­¬¡$:$ �A� �q� = 7 ù7ÿ ; �×÷ D B ; ¢ ` m ï pjk 7l )+&q/ �=" � ) , )+& � � ' ����� $ = 7 ù7 ÿ ; �×÷ D B ; � _\Ñ Ú k��®�s÷ B 7�@ ú ù; D�þ ÷J=ÿ ÷ ú þ�I ÷ d Ó 7#ÍW7�@ ú 7�7�@ ÷ D � ü = ú P e D 7 � 7 D 7 B Ð_= 7S; ÷ P Ð ù7 = þ B ÷ ICD<þ B ÷ 7\@ øV÷ @ ú D ; ÿ ÷ I 7 ý ÷ICD ÷�� 7 ú ÷�Ó 7�ÍW7\@ ú 7�7\@ ÷ D � ü = ú X ÍW7 D ; I ²7\@ ÿEþ ø 7 f ÿ ÷�ø ; I�ù§ûú<üCý ÷ k Z �

Page 89: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 hJnpp

pp

pp

pp

¯ ç±°�ç³²µ´çÓô è2ó*ðòå

0E¶ � r 2 � � ì � ® ý �×÷ D�ÿ � ® � � D ;)@:Í þ ý�ý 7�7 ��� 3 ÷ B 7 D ;)@ ø 7��  0º )+&�) � &{)�' , È , ' " ) �E· / ��, ·« � &(/�' Ǫº � ) � , / , )+& ! � ® @C@ �+÷�� ��; ú � � �"«J¸ g�¹ «�º�ºb¸{» olgJk Ð o)fJf �0E¶½¼ �w2 � � ® T D ;�{9; ý �{¾ � ÔS; � ; ý 7-¾ � Ó ;-�E7�@O; ��¿fÀmÁ% ò�{ ' ! ' , 8 � ® @C@O; ý =9÷�� ��; ú � � �«+à g �m@ ÷ � f¡¹ fWgWg ¸�»{� ICI � o)h « Ð o º k½¹ ÍW7 D ú ; B � ù7 B;=<:<?>�@BA:A�C:C:CED 9:U T�D N?N <�ÄED�H 9 D N RA�K U T M�U AJÅIH�R N R�� M H?A?H S�8 T�P M H=A-> MIN ÅIH S N <�Æ Ç§È�D�>�� � » �0E¶½���©2 ® � ® D � þ 7 ú ÷ � ��� ��; ú �O7 ü = � ��� � � � ÷ D 7 þ�D ;� � ! �e) Ç " $ ! ò & � 1$ � ' Ç $ !��?�   ) $ &q' �� $ ! ¸ 1 /¡){& $ ! � m � � �s÷ ý ù÷?� ü þ ÷�� D ; = þ ý 7 þ�D ÷ ÿ 7��; ú 7 B ù; ú þ ø ;� á � 3 ® � f)gJgmo �0E¶ r-É 2 5�� � � ® ÿ ý 7 B ;)@§� ��� 3 ÷ B 7 D ;)@ ø 7Õ7 ì ��ÓI� ì ü B 7 ý � �"Ê ,½� ' !#" ' , � ' ! º ' , � �I&q'ú/�), / , ){& !Ë� & $ / Ç $ /�� $ ! ' " ) , / , )+& ! � ® @C@ � ��; ú � � ¹½f »*«J« o½¹ «�º hWk »'« olk Ð f)g à �0 1�~#� � 2 Ñ D<þ øl� ; ø �w� òL¹ � � ' Ç ' " , $� , ��!(� $ &��I&q'ú/ � � ' " · " ) !#" ' , � �-,2� &{) � �" ) � �I& $ , � )+/ ! ���; ú � �+÷��d�s÷ B I � nWn �Q«�º�º g � ICI � kmnWn Ð kJhWg �0 18³ É 2 ì � 3 �I� D 7\@ ú �x� �I5�� �s÷ �O7�@�7 � �%Æ��IÆ � ú 7 ì þ 7 ý 7��"Á /��I& $ ñ ) ��" ) Ǫº , ' à ) !I� $ &� $�Ì )+& , $� ,2�?!m� $ & $ �#� �e)+& � ) Ç "�, / , )+& ! ����; ú � ���s÷ B I � � nJo¡¹ «�º�ºC«+» hmnJo Ð h à h�¹ � ìº f ø ½ «J« gWg ¸{» �0 1�ÍË�72 Æ��� D�þ ý�ý �O; D ú � ÷�� � � 5 7#� B 7 D 7 Æ��5���Ó 7 ý � D�þ�ÿ TW7�� ¸ ) Ì �I&q'»/ � � ' " · Ç &(' " ){&(' �8�-,2��Á� Ç " $ &q' ���=" ' $ ,�! $ � m P í k � ��; ú � �®�s÷ B I � � f º ¹ «+º oWn »®Ã f)g Ð Ã�¸ o �0 1 � · ��y?2 Æ � � �w� D ü ø 7�� � &�) � ���η " &q' ñ ' � � �I& $?$ � $ ��" º ) � Ç ��!7Ï � ) º /�)+& " ) !#" � ® B 7 D ���; ú � � � ÷ @ ú � ý � � ® ICD<þ ý ¹ «�º�º k » kjolg Ð kmo « �0�³÷v tusxÈ È ~=2 � �2� þ�I ÷ ý�ý ; � { ' , /�){&(' Ç $ /�� $ !#" ' 8 �&Ǫº ) ñ ){&(' È�Ç �-, $ � � Ç $ , � & ) ,C����� ' )+&q/ �=" �2Ð ��ÑÖ� k � B ÷ ÿ|8Ö � ® @O@O; ý þ�ÿEþ ��; ú 7 B ; ú þ ø ; � ¹ k »{�#º �Q«�º g ¸ �H« k º Ð «�à g �0�³�1�2 � �9� ý ; ü = 7�@|7�Ò ��� ; ü B � ��!�" I$� &q'Ä){&   & �-, !�� $ &q/ ! � � á Ð � þ =<=�� Ð�� 7 D ý � �Q«�º�º k �

Page 90: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 h Ãpp

pp

pp

pp

��ÿ ���\t��2�?à�2�A��� Õ5�0ð³�Ó�2 ì �O� D ;)@ ÿ ; ý�ý 7 �l� â ;)T þ @w�QÔ ' ! Ç &{) " ) Ì )+' � º " ) ��" & ��, !�� $ &q/ !(��,2� � � & � ) Ï ' ,I" ) � ){&� &q' " º /�) " ' Ç ���; ú � �®�s÷ B I � �#à f ½ fWgJn½¹ «�º�ºb¸�» kJgJn Ð kJf ¸ �0ð³ s 2 ÓI�Õ���9�s÷ üEú þ @ � ÷ �§¿ &('»/ � � ' �A��� )l)+/   )+/�� $S¿�$ � ' , $ /�' � � � Ó=� �£� f)gWg ¸ �0AÖ � x®×s v�2�3 ; üCý Ñ D�ÿ ¥÷J= �ËÊ ,���, ) Ì /¡) " º $ � ' , ) � )+/�) ,I" � & · , / , )+& " º ) $ & · Ì º ' Ǫº� ) ����!�" $ �-, ) � )+/�) ,%" � & · �I& $:$ � $ ��" º )Ë�7&('»/�) , / , )+& " º ) $ &{){/ � 3 D ÷Eø�� ¾Ï; ú � ® ø ; ÿ �ÓEø þ � ¹ �z; = � þ @CT ú ÷ @"» kmn�¹ «�º�¸�º�» kmo ¸ Ð kWh ¸ �0AÖ r 2�3 ; üOý Ñ D<ÿ ¥÷m= 7 � ; D ý 3 ÷ B 7 D ;W@ ø 7��ËÊ , " º ) , / , )+& $ �m�Á� � ! ) Ì ' "., ) !q! ) !�� $ & �Ç $ /-� $ ! ' " ) , / , )+& ���; ú � �®�s÷ B I � �§¸{à ¹ «�º h Ã�» fWn º Ð fJo º �0Î�¡¼�2 ÓI� � ÷ ý ÿ {�; =�= 7 D 7 Æ�� Ô þ ý þ ;W@w� ��� / $ !#"(� �q� �7&('»/�) ! Ç �-, , ) à ' Ç%Ø �η Ç ){& " ' È ) � �3 D ÷Eø�� « h ú � Ó�¨ Î � ¹ � 7 D< 7 ý 7 � �w��; � fWh Ð kWg � «+º h Ã�»{� ® � � � ¾'7�{ ªÕ÷ D< �Õ«�º h Ã� k «�à ÐkJf º �0Î� r�Ù � 2 ÷�� ® � � ÷ ý ÿ = ú ÷ @w� Æ�� 3 þ @ ú�Ú � ���:ª��=ª §�ý ÿ § D § B �#¿ &q'ú/�) ! ' ,   � � ) ! Á{�;=<?<?>�@(A:A�H M�ÛIN Ç�D O�M?8 A?H�P U A+ÅIH�<?;EDÝÜ�Þ A{ß�à�ß{áI¦+á{à ¹ ; = 7 D"I ü � ý þ ø ; ÿ ÷ 7 B ® @C@O; ý ="÷�� ��; ú � � » �0Î�¡â Ù & 2 ÷�� ® � � ÷ ý ÿ = ú ÷ @w� Æ�� 3 þ @ ú�Ú � ���:ª��=ª §�ý ÿ § D § B �#¿ &q'ú/�) ! ' ,   � � ) ! Á�Á{�;=<?<?>�@(A:A�H M�ÛIN Ç�D O�M?8 A?H�P U A{ß�ã�¦Dß�D x ã x á0Î� ¾ 2 � 7�@?� D 7\7�@w� ¨ 7 D 7�@ ø 7 ¨ ; ÷ � ¨ �C7 ICD<þ B 7 =9øV÷ @ ú ; þ @|; D�þ � ú D ; D<þ ý � ý ÷ @CT�; D<þ ú � B 7 ú þ øICD ÷ T D 7 =<= þ ÷ @ = � ® @C@R; ý =�÷�� ��; ú � � �VÍ ÷ ý � «�à o � @ ÷ � f�¹ fWgWgJh »r¸ h « Ð n ¸ h0¹ ÍW7 D ú ; B � ù7 B;=<?<?>�@(A:A�H M�ÛIN Ç�D O�M?8 A?H�P U A+ÅIH�<?;EDÝÜ�Þ A{ß � ß � ¦+á{á » �0Î� ·Qä 2 ì þ ø �O; D�ÿ Ô � � ü � �0å , ! $ � ñ ) � ¿ & $ , � )+/ ! ' , ¸ / , )+&  0º ) $ & · � Ó IOD�þ @CTW7 D Ð� 7 D ý ;WT ��¾'7\{ ªÕ÷ D� �Q«+º�ºb¸ ¹ ç�® f ¸R« � � hmo � á Ó=� ¾ k Ð n ¸ g Ð ºb¸ f)h º Ð g » �0Aæ}çê2 � � � � � ; D<ÿ � 7 Ñ�� � � � D�þ T�� ú � � , Á ,I" & $ � Ç " ' $ ,�" $ " º )  0º ) $ & · $ � ¸ / , )+& !è ) � Î � �×÷ D<ÿ Ò'@ þ ÍW7 D = þ ú � 3 D 7 =<= �H«+º o º �0A¼éâ�2 Ó ü � 7�7Ô þ B 7 � ; D ý 3 ÷ B 7 D ;W@ ø 7��  0º )®�I& $ ,�ê#, ' � ' " · " º ê " ê & ê ,2� $ /��I& $ ,�ê#, � )�I&q'ú/�)�' ! Ç $ /�� $ ! ' " ) ���; ú � �®�s÷ B I � � nWk ½ « hJh�¹ «�º h º�» o)f « Ð o ¸O« �0AÍ®y � |�y � 2 ÷ 7 D<D�þ ø  � �w5 7�� B 7 D � � , ) ¹ " ) ,2� ) ��" º ) $ & · $ � � Ç ê !{ë�� , Ç " ' $ , ! � ® @C@ ���; ú � � k « ¹ «�º kJg »I¸O«+º Ð ¸�¸ h � ì 7 ICD<þ @ ú 7 ÿ�þ @�ì ) � ) Ç " ) � ¿ ê �c){& ! ¹ 7 ÿ ��÷�� � øD� ; D ú � � »{��+÷ ý «�� � � ��� ; �� ;)TW7 ì 7 =��f� 7�@ ú 7 D � Ó ú � 3 þ 7 D�D 7��=��;W@ þ ú ÷�� ; � ;W@O; ÿ ;�H«W« Ð ¸ h �H«�º h « �0AÍ · ��~§v�2 Ñ��w5 ü ø ; = �  0º 1) $ &('*) � ) !r� $ , Ç " ' $ , !�, / 1){&(' à ) !l! '»/�� � )+/�) ,I" � 1){&(' $ � ' à ) ! �® B 7 D �VÆ � ��; ú � � ��«��Q« hjolh �x« h ¸ Ð f ¸ g 7 fWh º Ð kJf « �0A��~#íZy � 2 � � ��; þ 7 D �f¿ &q'ú/�) ! ' ,j! º $ & " ' ,I" )+& ñ ê � ! ��� þ ø � þ TJ;W@ B ; ú � � Æ�� � kJfî¹ «�º hJn »fWf « Ð fWfWn �

Page 91: Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) · Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil

d�B 7 D = 7�@C@O7\ef)gJgWhjilkmiWfWnI ;WTW7 hmopp

pp

pp

pp

���\t��2�?à�\�5��� Õ;� � w0E��í È È v#2 � � � � � þ ý�ý = �9ï �I&q'»/¡)�&�)%�7&{) ! ) ,%" ' ,§ð � , Ç " ' $ , � � üOý�ý � ® B 7 D � ��; ú � ��Ój÷Eø�� �nWk à g ¸ �0E��ñ È È í ´ 2 ì � ® � � ÷ ý�ý þ @w�9¿ &('»/�) Ï �I& $ � Ç ' ,�ð � $Dò · , $ /�' ê ò ! � ® B 7 D � ��; ú � � � ÷ @ ú � ý �« g ¸ ¹ Æ ü @C7 Ð�Æ üCý � «�º�º o » nWf º Ð n ¸�¸ �0Eâ-í ´ ¶ z�2 Æ ù;)@ ÷J= 3 þ @ ú7Ú �(ó )+& · ò ê & ð ) ð ê � ! , ) " Ì )�) , Ç $ , ! ) Ç " ' ñ )��7&('»/�) ! � Æ�� ¾ ü B � 7 Dô �O7 ÷ D � à k}¹ «�º�º o »��m@ ÷ � f � fWh à РkJg « �0Eâ��2çê2 ��� 3 ÷ B 7 D ;W@ ø 7�� Æ��%5��IÓ 7 ý � D<þ�ÿ TW707 ÓI�wÓI� �à;WT = ú ;bõ Æ D � �  0º )�� ! ) � $ �I&q'»/¡) !" $Sö è{÷\ø=ù�ú �=��; ú � �®�s÷ B I � � kmn�¹ «�º hWg »Ï« gJgWk Ð « gJf à �0EâIñ9|�y � ~ ´ ��y?2 ��� 3 ÷ B 7 D ;)@ ø 7���ï , ) Ì;òÄ$�Ì )+& , $� ,2�� $ & " º )®� ! ) � $ �7&('»/�) ! Ç $� ,%"�Ï' ,�ðw� , Ç " ' $ , � á ý�ý þ @ ÷ þ =�Æ � ��; ú �§� f à �Q«�º hmf �{¸ Ð º �0 É í � y ´Õ� ñ"í�|��Õû=2�3 � ì þ � 7\@ �x÷ þ B �  0º ) ¸ ) Ìýü�$:$ Ø $ � ¿ &q'»/¡) ¸ / , ){& À ) Ç $ & ��! �k 7 ÿ � � Ó ICD<þ @CTW7 D Ð�� 7 D ý ;WT�¾Ï7�{ ªÕ÷ D< �Q«+º�º n½¹ ç�® f ¸{à � ì ¸ o á Ó� ¾ g Ð kJhmo Ð º�¸�¸ nmo Ð n » �0 É í � y ´Õ� ñ"í�|�� w 2�3 � ì þ � 7\@ �x÷ þ B �ró ) ,2� ) ,2� $ �I&('»/ $ ! � ì 7�Í � ��; ú � Ò'@ þ Í � � fJfJi)fWk �«+º�º o �H« Ð « k�¹ ú D ; ÿ ü °ø �; ÷ ÿ 7�ì ) ò\ò ' ,�ð �I&q'ú/�) ! ���; ú � � ��;)T � �§Ã h}¹ «�º�º n »Ï« oWn Ð « hJf » �0 É í�y{v+y È û�ÿ2 � � ì þ 7 = 7 ý � ¸ ê�ê ð & ê !#" $ & ê �I&q'»/ " ê ò ¹ Ó ü 7 øV÷ ½ ï�ò ð , ! �I&q'ú/ $ !�ð & ê ,2� ) ! »{�Ñ ý 7 B 7�@ ú ; k º ¹ «+º n Ã�» fWnWh Ð f à g �0 É í�y{v+y È ��¿ 2 � � ì þ 7 = 7 ý �Q¿ &('»/�) ¸ / , ){& ! ê ,2� «�$ /�� " )+&  ) " º $ ��!�� $ & ê Ç " $ &q' � ê Ï" ' $ , � 3 D ÷ T D 7 =<= þ @���; ú �C7 B ; ú þ ø\= � � þ�D< �O; ü = 7 D �s÷m= ú ÷ @w�?Í ÷ ý � nJo �O«+º hJn Ò ;W@ ÿ Í ÷ ý � « f Ã�«+º�º�¸ �0þ� y ÈZ� y � � 2 ® �Ó 7 ý � 7 D T ��ï , ) ò )+/�) ,%" ê & · �I& $:$ � $ ��" º )f�7&('»/�) , / , )+& " º ) $ &{){/ � ® @ Ð@R; ý =9÷�� ��; ú � � n)g}¹ «+ºb¸�º{» kJgJn Ð « k �0þ� í�y �+ÿ í ´ v�� í*2 � �?Ó þ 7 D<ICþ @ = Âjþ �{ìÕ & , �I& $ , ò��){/¡) Ç $ , Ç )+& , ê ,I" ò ) !�, $ / , &�) !���� m�¢�Úyk �Ñ ý 7 B � ��; ú � � �"« n¡¹ «�º�à g » o)k Ð o ¸ ���s÷ D<D<þ TJ7�@ ÿ ü B ½ Ñ ý 7 B � ��; ú � � �"« o ¹ «�º�à k » hJn �0Aç4y�v ¶ z ä ´ ¶ � í · v#2 Ñ�� �-7 = ú7Ú � @ ú � þ ü = � Äå , ){& � '*) ó ){& " )+' ò� ,�ð�� ){&�� ê º ò ) ,.� '*) � � ) ,¢ ){& !#" ) , ¿ &q'ú/ � ê º ò ) ,Þ" ){' ò )+& � &�)+/ ��! ' ,2� � �s÷ BUB � 3 � �E=#� B ; ú � � � 7 ý = þ @CT �×÷ D = � n ½ n¹ «�º k «+»Ï« Ð kmo �0Aç í È �#2 � � � þ ý � �d¬ º ê " ' ! ê , ê , ! Ì )+& ® B � ��; ú � � � ÷ @ ú � ý � � h º ¹ «+º hmf »{� fWh º Ð f º f �0Aç���2 � �"��� � þ ý�ý þ ; B = 7 � �=÷ ü � @C7 D �  0º )f�7&('»/ ê ò ' " · $ � À ø=ù� �ø �?��; ú � �f�s÷ B I � ��¸ o¹ «�º h Ã�» olgJk Ð o «J« �0 Ù â�2 Æ��ªÕ÷ ü @CT¬7 ® � 3 ÷ ú�ý 7 D � '»& !#" $ Ç2Ç &�) , Ç ) $ � �I&q'ú/�) !�ð ê � ! �%��; ú � �r�s÷ B I � � nWf¹ «�º h º�» fWf « Ð fWf ¸ �