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Princípios de Instrumentação
Biomédica
Filtros
Freqüência (rad/seg)
Fas
e (g
raus
);
Mag
nitu
de (
dB)
Diagrama de Bode
-40
-20
0
20T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10
10-1 100 101-200
-150
-100
-50
0
Amin
Amáx
wp ws
Amin
Amáx
ws wp
Amin
Amáx
w1 w3 w4 w2
Amin
Amáx
w3 w1 w2 w4
(A)
(C)(B)
(D)
Controle de Versões
2015 Versão 1 – Com base em outros textos
Última alteração: 28/08/15
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 0
Índice
1 Filtros seletores de frequência...........................................................................................................................4
1.1 Introdução......................................................................................................................................................4
1.2 Unidades e nomenclatura...........................................................................................................................5
1.3 Diagramas de Módulo e Fase da resposta em frequência..................................................................6
1.3.1 Fator Constante....................................................................................................................................7
1.3.2 Fator S.....................................................................................................................................................8
1.3.3 Fator (S + a)............................................................................................................................................9
1.3.4 Fator (S2 + a S + b) ..............................................................................................................................11
1.4 Funções de 1ª e 2ª ordens.........................................................................................................................14
1.5 Gabaritos.......................................................................................................................................................15
1.6 Normalização e Desnormalização em Frequência.............................................................................17
1.6.1 Transformação Passa Baixa para Passa Baixa Normalizado...................................................17
1.6.1.1 Exemplo 1....................................................................................................................................17
1.6.1.2 Exemplo 2....................................................................................................................................18
1.6.2 Transformação Passa Alta para Passa Baixa Normalizado.....................................................18
1.6.2.1 Exemplo 1....................................................................................................................................19
1.6.2.2 Exemplo 2....................................................................................................................................19
1.6.3 Transformação Passa Faixa para Passa Baixa Normalizado...................................................20
1.6.3.1 Exemplo 1....................................................................................................................................21
1.6.3.2 Exemplo 2....................................................................................................................................21
1.6.4 Transformação Rejeita Faixa para Passa Baixa Normalizado.................................................22
1.6.4.1 Exemplo 1....................................................................................................................................23
1.6.4.2 Exemplo 2....................................................................................................................................23
1.7 Escolha das frequências e atenuações...................................................................................................23
1.7.1.1 Exemplo 1....................................................................................................................................25
1.8 Aproximações..............................................................................................................................................25
1.9 Cálculo das aproximações........................................................................................................................29
1.9.1 Para aproximação de Butterworth................................................................................................29
1.9.1.1 Exemplo 1....................................................................................................................................30
1.9.1.2 Exemplo 2....................................................................................................................................32
1.9.2 Outras aproximações........................................................................................................................33
1.9.3 Gráficos de resposta normalizados................................................................................................33
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 1
1.9.4 Soluções tabeladas.............................................................................................................................34
1.9.4.1 Exemplo 1....................................................................................................................................36
1.9.4.2 Exemplo 2....................................................................................................................................37
1.9.4.3 Exemplo 3....................................................................................................................................39
1.10 Etapas da Síntese......................................................................................................................................40
1.11 Síntese de filtros.......................................................................................................................................41
1.12 Filtros de primeira ordem RC................................................................................................................41
1.12.1 Filtro passa baixas RC de primeira ordem.................................................................................41
1.12.2 Filtros passa altas RC de primeira ordem..................................................................................43
1.13 Filtros de segunda ordem RC................................................................................................................44
1.13.1 Filtros a capacitor chaveado.........................................................................................................44
1.13.2 Filtros variáveis de estado.............................................................................................................44
1.13.3 Configurações de um único amplificador operacional..........................................................46
1.13.4 Filtro Notch duplo T........................................................................................................................47
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 2
1 Filtros seletores de frequência
1.1 Introdução
Todos os sinais podem ser representados por um gráfico no domínio do tempo (função do
tempo) ou por um gráfico no domínio da frequência (função da frequência). Quando falamos de
frequência estamos nos referindo aos infinitos cossenos que somados com amplitude, fase e
frequência apropriados são capazes reproduzir o sinal original. Este é o conceito por detrás da
série e transformada de Fourier e também de Laplace. Nesta representação, um seno ou um
cosseno são desenhados pelos gráficos de amplitude e fase em função da frequência (a frequência
do seno ou do cosseno). O desenho, portanto, corresponde a uma raia espectral indicando o
módulo (amplitude) e outra indicando a fase deste sinal na frequência deste seno ou cosseno. Para
sinais mais complexos, como ondas quadradas, triangulares e outras, uma soma de infinitos
cossenos são necessários. Cada sinal possui uma representação única que o distingue dos demais.
Sinais ainda mais complexos, não periódicos, como sinais de EEG, ECG ou EMG, por
exemplo, também podem ser decompostos por somas de senos e cossenos (soma de cossenos com
módulo e fase diferentes). Assim como para as ondas periódicas, normalmente estes sinais
apresentam amplitudes menores para as frequências maiores.
Também os ruídos podem ser decompostos por soma de senos e cossenos. Um ruído
brando, por exemplo, assim como um impulso, possui todas as infinitas frequências com a mesma
amplitude. A diferença entre eles está apenas no gráfico da fase. O termo ruído brando é uma
alusão a luz branca que é composta de todos os comprimentos de onda do espectro visível. Outros
ruídos coloridos também existem, em função da faixa de frequência que eles ocupam.
Sinais reais são uma mistura (soma) de informações com ruídos, offsets e drifts (variações
lentas com a temperatura, ou tempo, por exemplo). Uma análise em frequência destes sinais
contaminados provavelmente mostrará amplitudes elevadas para a frequência zero (offset) e
próximas (drifts) além das frequências que compõe o sinal e o ruído. Apesar de varições locais da
amplitude a tendência mais comum é que as amplitudes decaiam com a frequência até a
amplitude do ruído.
Para lidar com estes sinais existem os filtros seletores de frequência. Estes filtros são
circuitos que amplificam de forma diferente sinais de diferentes frequências. Estes filtros estão
presentes em quase todos os circuitos, nem que seja para minimizar ruídos de alta frequência em
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 3
sinais de ECG (filtro passa baixas), retirar o nível CC (corrente contínua, offset, nível DC)de sinais
de EMG (passa altas) ou selecionar faixas de frequências para os diferentes ondas do EEG (filtro
passa faixa), retirar a interferência de 60 Hz de células de cargas (filtro notch) ou para evitar o
aliasing em sinais amostrados (processamento digital de sinais).
Hoje em dia muitos programas de computador estão disponíveis para auxiliar no projeto
de filtros. Alguns, como o MATLAB (ou OCTAVE), permitem o cálculo dos polinômios
(aproximações) para diferentes graus e frequências de corte, bem como o desenho da resposta em
frequência destes filtros. Outros, como o FilterCAD, da Linear Technology, o FilterPRO ou o
Webench Filter Design, da Texas Instruments, o Filter Wizard da Analog Devices, o FilterLAB da
Microchip, o Mr. Filter ou o Op Amp Filter Design permitem o projeto de filtros com
amplificadores operacionais (AO). Mesmo assim, a especificação dos filtros continua sendo uma
escolha do projetista e não há software que defina o melhor filtro para cada aplicação.
Conhecer os tipos de filtro, as formas de especificar e implementar um filtro, os desenhos
de módulo e fase, assim como a aplicação de cada filtro é o alvo desta matéria
1.2 Unidades e nomenclatura
O estudo clássico dos filtros passa pela análise de suas funções de transferência, ou seja, da
relação entre saída e entrada (razão entre as duas), analisadas pelo domínio da frequência. Em
circuitos são os capacitores e indutores, com seus fasores, que nos permitirão criar filtros. Nestes
circuitos as funções de transferência serão frações com polinômios no numerador e denominador.
Estas funções de transferência podem ser funções de ganho ou funções de atenuação (perdas).
Quando o módulo da função de ganho for maior que a unidade (1) a saída do filtro é maior que
sua entrada. Quando o módulo da função de ganho for menor que a unidade (1) a saída do filtro é
menor que sua entrada. Do ponto de vista da atenuação ocorre exatamente o oposto, uma vez que
a atenuação pode ser escrita como uma função do ganho, tal que
Atenuação=1
Ganho.
A escolha pelo termo atenuação se deve ao fato de que os primeiros filtros apresentavam
ganho máximo igual à unidade (1) e, portanto, era mais sensato falar em atenuação. Além disto a
função de atenuação da maioria dos filtros era polinomial, o que tornava a análise da atenuação
mais simples (o ganho era uma constante dividida por um polinômio e a atenuação era um
polinômio dividido por uma constante).
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 4
Também é comum utilizar a unidade dB (uma escala logarítmica) para o módulo da função
de ganho ou atenuação. Este procedimento é comum, pois facilita a análise gráfica do módulo da
função de transferência como veremos mais adiante. O dB é uma escala que relaciona razão entre
potências tal que
|PP(ω)|dB=10⋅log|PP(ω)|
onde PP(ω) é uma razão entre potências.
Como a potência é proporcional ao quadrado da tensão e o quadrado da corrente as
funções de ganho T(w) ou de atenuação H(w) que relacionam tensão ou corrente na entrada e
saída são expressas como
|T (ω)|dB=20⋅log|T (ω)| e
|H (ω)|dB=20⋅log|H (ω)| .
Para determinar o módulo da T(w) ou da H(w) usamos
|T (ω)|=10|T (ω)|dB
20 ou
|H (ω)|=10|H (ω)|dB
20 .
A tabela a seguir mostra as relações existentes entre ganho e atenuação.
Relação Ganho Atenuação Unidade Relação Ganho Atenuação Unidade
vO
v I
>1>1
=G
<1
=G–1V/V ou A/A
vO
v I
>1>0
=G
<0
=–GdB
vO
v I
<1<1
=G
>1
=G–1V/V ou A/A
vO
v I
<1<0
=G
>0
=–GdB
Os termos Ganho e Atenuação, nesta tabela, são usados com o sentido de módulo da T(w) ou da H(w) respectivamente.
1.3 Diagramas de Módulo e Fase da resposta em frequência
Filtros seletores de frequência podem ser bem representados pelo gráfio da resposta em
frequência, ou seja, pelo chamado diagrama de Bode. Para não trabalhar o tempo todo com
números complexos podemos substituir jω por S e definir a T(jw) como T(S). Para facilitar ainda
mais a análise é possível escrever a T(S) com seus polinômios fatorados tal que
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 5
T (S )=Saída (S )
Entrada(S )=
N (S )D(S )
=K⋅∏
i
(S−z i)
∏j
(S−p j),
onde N(S) é o polinômio do numerador da função de transferência, D(S) é o polinômio do
denominador, K é o ganho em frequência zero, zi são zeros e pj são polos.
O módulo e a fase da função de transferência podem ser obtidos por
|T ( jω)|dB=20⋅log10|T ( j ω)| e
θ(ω)= tan−1(ℑT ( jω)ℜT ( jω))=∑ tan−1[ ℑ( jω−zi)
ℜ( jω−zi)]− tan−1[ ℑ( jω−p j)
ℜ( j ω−p j)] ,
onde ℑ(.) denota a parte imaginária do argumento e ℜ(.) a parte real.
O uso da escala logarítmica facilita o desenho do gráfico de módulo porque os produtos e
divisões de polinômios se transformam em somas e subtrações
|T ( jω)|dB=20⋅log10 K+[20⋅log10∑ (S−zi)−20 log10∑ (S−p j)] .
A fatoração dos polinômios também facilita o desenho da função pois com ela é necessário
conhecer apenas o gráfico de quatro componentes básicos: constante; fator S; fator (S + a); fator
(S2 + aS + b). A análise de cada um desses fatores separadamente permite analisar todas as funções
de filtros estudados nesta disciplina, uma vez que elas cobrem os casos de ganhos e raízes nulas,
reais e complexo conjugadas para polos ou zeros.
1.3.1 Fator Constante
O fator constante K corresponde a um ganho de baixa frequência (ω=0), se aquilo que está
sendo analisado é um amplificador, mas poderia ser a sensibilidade estática de um sensor ou
equipamento de medida.
T (S )=K , |T ( jω)|dB>20⋅log10 K
Se |K|>1 então |T ( jω)|dB>0 e θ( jω)=0°
Se |K|<1 então |T ( jω)|dB<0 e θ( jω)=180°
Este gráfico corresponde a uma constante.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 6
1.3.2 Fator S
Se o fator S ocorre no numerador, diz-se que existe um zero da função de transferência em
S= 0. Se o fator S ocorre no denominador, dize-se que existe um polo da função de transferência
em S= 0. Uma análise mais cuidadosa do fator S revela que no domínio do tempo ele pode
representar uma derivada ou uma integral. Para chegar a esta conclusão podemos comparar as
equações que regem o funcionamento do capacitor nos dois domínios. Para o caso do fator S ser
um zero podemos usar o seguinte equacionamento
iC(t)=C⋅[ dvC(t)dt ] e iC(ω)=
vC(ω)
1j⋅ω⋅C
=C⋅[ j⋅ω⋅vC(ω)]=C⋅[S⋅vC(ω)] .
Para o caso do fator S ser um polo podemos fazer as seguintes comparações
vC (t)=1C⋅[∫ iC (t)⋅dt ] e vC(ω)=
1j⋅ω⋅C
⋅iC(ω)=1C⋅[ 1j⋅ω⋅iC(ω)]= 1
C⋅[ 1S⋅iC(ω)] .
Observe que comparando as equações do domínio tempo com as equações do domínio
frequência acima o fator S multiplicando vC é equivalente a derivada de vC, e que o fator S-1
multiplicando iC é equivalente a integral de iC.
A pegunta ainda é a mesma, qual o gráfico de um fator S no numerador da T(S)
T (S)=S ,
|T ( jω)|dB=20⋅log ( jω) e
θ(ω)= tan−1
(ω0° )=90° .
Observe que em um gráfico onde a escala do eixo X é logarítmica e a escala do eixo Y está
em dB, a equação de módulo da T(S) corresponde a uma reta com inclinação de 20dB/déc ou
6dB/oit. Uma década corresponde a uma frequência 10x maior que outra. Uma oitava é uma
diferença de 2x na frequência. Para calcular o número de décadas entre duas frequências
diferentes basta calcular log10(ω1/ω2) e para calcular o número de oitavas que separam duas
frequências basta calcular log2(ω1/ω2) . A fase da T(S) é constante e vale 90o.
Analisando o fator S como um polo da T(S) temos que
T (S)=1S,
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 7
|T ( jω)|dB=20⋅log| 1jω| ,
|T ( jω)|dB=−20⋅log|jω| e
θ(ω)= tan−1(0°)−tan−1
(ω0° )=−90° .
O módulo da T(S) varia como uma reta com inclinação de –20dB/déc ou -6dB/oit. e fase fixa
em -90o.
O gráfico do fator S como um polo (integrador) pode ser visto na figura a seguir.
Figura 1: Resposta em frequência para um polo na origem. No OCTAVE: bode([1],[1 0])
1.3.3 Fator (S + a)
Se o fator (S+a) ocorre no numerador, dize-se que existe um zero da função de
transferência em S= –a. Se o fator (S+a) ocorre no denominador, dize-se que existe um polo da
função de transferência em S= –a.
Para o caso do fator estar no numerador da função de transferência.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 8
Freqüência (rad/seg)
Fas
e (
grau
s);
M
agni
tude
(dB
)
Diagrama de Bode
-40
-20
0
20
10-1 100 101 102-91
-90.5
-90
-89.5
-89
T(S) = 1/S
T (S)=S+a ;
|T ( jω)|dB, ω=0=+20⋅log| j⋅ω+a|=20⋅log√ (ω2+a2) ;
Para frequência zero
|T ( jω)|dB , ω=0=+20⋅log(a) (comportamento semelhante ao do fator K);
Para frequência infinita
|T ( jω)|dB , ω≫a=+20⋅log(ω) (comportamento semelhante ao do fator S);
Na frequência do zero (frequência positiva com mesmo valor, em módulo, que o zero)
|T ( jω)|dB , ω=a=+20⋅log (a)+3dB (variação de 3dB na magnitude da função);
A fase também é uma função da frequência e vale 45o na frequência do zero.
θ(ω)= tan−1
(ωa ) ; inclinação de 45º/déc.
Para o caso do fator estar no denominador da função de transferência.
T (S)=1S+a
;
|T ( jω)|dB=−20⋅log|jω+a|=−20⋅log (ω2+a2)12
Para frequência zero
|T ( jω)|dB , ω=0=−20⋅log(a) (comportamento semelhante ao do fator K);
Para frequência infinita
|T ( jω)|dB, ω≫a=−20⋅log(ω) (comportamento semelhante ao do fator S);
Na frequência do polo
|T ( jω)|dB , ω=a=−20⋅log (a)−3dB (variação de 3dB na magnitude da função);
A fase também é função da frequência e vale 45o na frequência do polo.
θ(ω)=tan−1
(ωa ) ; inclinação de –45º/déc.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 9
O gráfico de assíntotas é constante até ω=a, e se torna uma reta com inclinação de
±20dB/déc (dependendo de ser zero ou polo) a partir desta frequência. A constante “a” corresponde
ao ponto de união das assíntotas.
Esta parcela é obtida por um circuito RC ou RL, mas é mais comum que elas sejam
produzidas por circuitos RC. Está parcela corresponde a solução de uma equação diferencial de
primeira ordem, com entrada impulsiva, pelo domínio da frequência.
Figura 2: Resposta em frequência para um polo simples. No OCTAVE: bode([1],[1 1])
1.3.4 Fator (S2 + aS + b)
Se o fator (S2 + aS + b) ocorre no numerador suas raízes serão zeros e se o fator ocorre no
denominador suas raízes serão polos. As raízes deste fator podem ser, imaginárias ou complexo
conjugadas. Se as raízes forem reais recaímos nos fatores anteriores. Esta parcela corresponde, no
domínio da frequência, a solução de uma equação diferencial de segunda ordem com entrada
impulsiva. Na maioria das vezes usaremos um circuito RC com dois capacitores independentes
para produzir esta equação.
Analisando este fator, como polos da T(S)
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 10
Freqüência (rad/seg)
Fas
e (
grau
s);
M
agni
tude
(dB
)
Diagrama de Bode
-20
-15
-10
-5
0T(S) = 1 / (S + 1)
10-1 100 101-100
-80
-60
-40
-20
0
T (S)=1
S2+a⋅S+b
.
Para a frequência zero
|T ( j⋅ω)|dB ,ω=0=−20⋅log (b) (comportamento igual ao do fator K);
Para a frequência infinita
|T ( j⋅ω)|dB ,ω→0=−40⋅log| jω| (o que representa uma reta com inclinação de –40 dB/déc);
O gráfico é constante até ω≃√b e depois se torna uma reta com inclinação -40dB/déc
(+40dB/déc no caso de zeros). Não é possível determinar se haverá variação de 3dB nesta
frequência, como nos fatores de primeira ordem, sem analisar a parcela “aS” deste fator. Esta
parcela é responsável por modificar o comportamento do fator em frequências intermediarias. Uma
análise mais detalhada da função revela que ela pode diminuir ou aumentar (figura seguinte)
próximo desta frequência.
Se investigarmos o máximo da amplitude de T(jω) será possível responder a estas
perguntas. O máximo da função pode ser obtido igualando sua derivada a zero.
dd ω | 1
−ω2+a⋅jω+b |=0 .
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 11
Duas soluções são possíveis neste caso. A primeira se a2
2⋅b⩾1 , então a função de
transferência decai monotonicamente e o máximo da função ocorre para ω=0. A segunda ocorre
quando a2
2⋅b<1 . Neste caso existe um máximo para a função de transferência que ocorre em
ωp=√b⋅√1−a2
2⋅b.
Para o caso extremo, quando a2
2⋅b=0 , temos que o máximo da função ocorre para
ωp=√b . O valor do máximo pode ser obtido avaliando a função de transferência neste ponto.
|T ( jω)|dB ,ω=√b=20⋅log| 1
( j⋅√b)2+a⋅ j√b+b|=20⋅log( 1
a⋅√b)=−20⋅log (b)+20⋅log√ba
Isto significa que o máximo da função tem amplitude 20⋅log √ba
acima da magnitude em
frequência zero (figura anterior). Pontos de quebra, 3dB abaixo do máximo, ocorrem para as
frequências ω1=ω p⋅(1 – 12⋅Qp) e ω2=ωp⋅(1+ 1
2⋅Q p) , onde Q p=√ba≫1 (figura anterior).
Para facilitar a análise desta e de outras funções que apresentam ganhos elevado em uma
estreita faixa de frequências, os fatores de segunda ordem costumam ser escritos como
S 2+ω p
Q p
⋅S+ω p2
.
Com esta representação o gráfico de assíntotas é constante até ω=ωp e depois cai com
inclinação de 40dB/déc. O gráfico real pode ser obtido analisando o Qp ou, simplesmente, Q. A
constante Q é chamada de fator de mérito. Quanto mais alto mais seletivo é o filtro (mais estreita a
faixa de frequências com ganho ou atenuação elevados – dependendo o fator quadrático estar no
denominador ou numerador da função de transferência respectivamente). Se 0Q0,5 a função de
transferência fica com polos reais (Q=0,5 corresponde a dois polos iguais). Para Q=0,707 a
amplitude em ω=ωp é de –3dB. A medida que o Q aumenta é possível produzir picos na resposta
em frequência. A figura a seguir mostra a influência de Q na resposta em frequência. Para filtros
om Q>>1, ω1 e ω2 podem ser estimados pela equação
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 12
B=ω2−ω1=ω p
Q p.
Figura 3: Resposta em frequência para polos complexos. No OCTAVE: bode([1],[1 1/Q 1])
1.4 Funções de 1ª e 2ª ordens
A próxima tabela mostra as funções de ganho que podem ser obtidas com os fatores de
primeira e segunda ordem apresentados anteriormente. Na tabela vale a pena observar o nome e o
tipo cada filtro. Observa-se nomes relacionados as frequências que são amplificadas ou atenuadas.
Os quatro principais tipos são o passa baixa (PB), o passa alta (PA), o passa faixa (PF) e o rejeita
faixa (RF ou notch, no seu caso mais conhecido).
Tipo de filtro Função de transferência
IntegradorKS
Passa baixa 1ª ordem Kσ0
S+σ0
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 13
Freqüência (rad/seg)
Fas
e (g
raus
);
Mag
nitu
de (
dB)
Diagrama de Bode
-40
-20
0
20T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10
10-1 100 101-200
-150
-100
-50
0
Tipo de filtro Função de transferência
Passa alta 1ª ordem KS
S+σ0
Passa baixa de 2ª ordem Kω0
2
S 2+ω0
QS +ω0
2
Passa alta de 2ª ordem KS 2
S 2+ω0
QS +ω0
2
Passa faixa (2ª ordem) K
ω0
QS
S 2+ω0
QS +ω0
2
Rejeita faixa (2ª ordem) KS2+ω0
2
S 2+ω0
QS +ω0
2
Funções de maior ordem são obtidas pelo produto destas funções.
Filtros de ordem mais elevada são formados pela ligação em cascata de filtros de primeira e
segunda ordem (a saída de um filtro está ligada na entada do próximo), mas o projeto deve ser
feito todo de uma só vez. Ligar vários filtros iguais, em cascata e com a mesma frequência de
corte, por exemplo, faz com que a atenuação na frequência de corte seja diferente da atenuação
especificada para um só filtro (em dB as atenuações de cada filtro se somam). Por esta razão foi
preciso desenvolver uma metodologia para o projeto de filtros de qualquer ordem. Esta
metodologia passa pelo desenho do gabarito de cada filtro. A partir deste gabarito determina-se a
ordem dos filtros necessária para atender os requisitos de cada projeto.
1.5 Gabaritos
Os filtros seletores de frequência cujas funções de transferência de primeira e segunda
ordem foram apresentados na tabela anterior são calculados a partir de gabaritos padronizados.
(próxima figura). Costuma ser especificado, no projeto, a atenuação mínima (para região de
frequências a atenuar – região de atenuação), atenuação máxima (para região de frequências que
não devem ser atenuadas – região de passagem), frequências que delimitam a região de passagem
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 14
(banda ou faixa de passagem) e frequências que delimitam a região de atenuação (banda ou faixa
de atenuação). Estas especificações podem ser utilizadas diretamente por programas de
computador para o cálculo dos filtros (funções de transferência ou projeto dos circuitos), mas para
o projeto auxiliado por tabelas e gráficos os filtros devem ser convertidos em um filtro passa baixa
normalizado. Caso o filtro não seja um passa baixa também é necessário uma transformação em
frequência. Esta metodologia foi desenvolvida para facilitar o projeto antes dos computadores
terem se tornado populares. A normalização leva em conta a relação entre as frequências limites
da banda e passagem e rejeição bem como a diferença de atenuação entre elas. Estas relações
permitem o projeto de um filtro passa baixa normalizado (frequência de corte unitária) cujas
soluções podem ser tabeladas. A partir deste filtro e de desnormalizações apropriadas é possível
projetar qualquer um dos demais filtros.
Nesta normalização a frequência limite da banda de passagem é ω p=1 , a frequência
limite da banda de rejeição é ωs , a atenuação permitida na banda de passagem é Amáx e a mínima
atenuação exigida para a banda de rejeição Amin.
Amin
Amáx
wp ws
Amin
Amáx
ws wp
Amin
Amáx
w1 w3 w4 w2
Amin
Amáx
w3 w1 w2 w4
(A)
(C)(B)
(D)
Figura 4: Gabaritos dos filtros seletores em termos de atenuação. (A) passa baixa, (B) passa alta, (C) passa faixa,
(D) rejeita faixa
Uma vez determinado o gabarito do filtro e do filtro normalizado escolhe-se a aproximação
(o tipo de polinômio que se pretende empregar). Para filtros com ordem maior do que 2 cada
aproximação apresenta características distintas pois aloca os polos em locais diferentes. Esta
alocação de polos confere a aproximação características especiais amplitude, fase e resposta
temporal. Só depois da escolha da aproximação o filtro pode ser implementado em circuito e
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 15
normalmente isto é feito em secções de primeira e segunda ordem ligadas em cascata. A exceção
são os filtros que já vem prontos em circuitos integrados.
1.6 Normalização e Desnormalização em Frequência
1.6.1 Transformação Passa Baixa para Passa Baixa Normalizado
O filtro passa baixas é aquele que atenua as altas frequências (em comparação com as
frequências baixas) e, por isso, é muitas vezes utilizado para remover ou minimizar os efeitos de
ruído de alta frequência, assim como para produzir os filtros anti aliasing. Observando um sinal
no domínio do tempo percebe-se que ele apresenta componentes de alta frequência quando há
variações rápidas do sinal, como em transições abruptas ou em variações aleatórias. O gabarito
para o passa baixas é apresentado na próxima figura.
Amin
Amáx
wp ws
Para normalizar
ω p=1
ωs=ωsω p
Para desnormalizar basta substituir S por Sω p
na equação do filtro passa-baixa
normalizado ou fatorar o filtro em seções de primeira e segunda ordem e substituir σ0 ou ω0 por
ωp..
1.6.1.1 Exemplo 1
Desnormalizar filtro T ( S̄)=1S̄+1
em um passa baixas com frequência de corte ωp.
Solução 1: Substituir S por Sω p
em T ( S̄)=1S̄+1
.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 16
T (S)=1
S/ωp+1=ωpS+ωp
.
Solução 2: Sabendo que um filtro passa baixa de primeira ordem tem função de
transferência T (S )=σ0
S+σ0 basta substituir σ0
por ωp.
T (S)=ωpS+ωp
1.6.1.2 Exemplo 2
Desnormalizar o filtro T (S̄)=1
S̄2+0,707 S̄+1
em um passa baixa com frequência de corte
ωp.
Solução: Na função de transferência do passa baixa normalizado 1/Q=0,707 . A função de
transferência de um filtro passa baixa de segunda ordem é T (S )=ω0
2
S2+ω0
QS+ω0
2 . Substituindo os
valores de Q e fazendo ω0=ωp resulta em
T (S)=ω p
2
S2+0,707ωp S+ω p
2 .
1.6.2 Transformação Passa Alta para Passa Baixa Normalizado
O filtro passa altas é aquele onde as baixas frequências são mais atenuados que as altas
frequências. Por esta razão este tipo de filtro é muito utilizado para a remoção de níveis de CC,
offsets e drifts. Como visto na tabela anterior, estes filtros apresentam a parcela S no numerador, o
que garante ganho 0 para ω=0 independentemente da ordem do filtro. Se um sinal não possui
componentes de CC e apresenta algum offset, este offset pode ser removido com um filtro passa
altas. Se o sinal possui componentes de CC e offset, este offset não pode ser removido com um
filtro passa baixas, caso contrário a componente CC do sinal será eliminada. Nestes casos é
necessário eliminar o offset com um somador ou subtrator. O gabarito para um passa altas padrão
é apresentado na figura seguinte.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 17
Amin
Amáx
ws wp
Para normalizar
ω p=1
ωs=ω pωs
Para desnormalizar basta substituir S por ω p/S na equação do filtro passa baixa
normalizado ou fatorar o filtro em seções de primeira e segunda ordem e substituir σ0 ou ω0 por
ωp.
1.6.2.1 Exemplo 1
Desnormalizar o filtro T ( S̄)=1S̄+1
Solução 1: Substitiuindo S por ω p/S em T (S̄)=1S̄+1
temos
T (S)=1
ωp /S+1=
SS+ωp
.
Solução 2: Sabendo que este filtro é um passa alta de primeira ordem ele tem equação
T (S )=S
S+σ0
. Substituindo σ0 por ωp temos
T (S )=S
S+ω p
1.6.2.2 Exemplo 2
Desnormalizar o filtro T (S̄)=1
S̄2+0,707 S̄+1
.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 18
Solução: Como o filtro é um passa alta de segunda ordem T (S )=S 2
S2+ω0
QS+ω0
2 , então
1Q=0,707 e ω0 deve ser substituído por ωp. Assim,
T (S)=S2
S2+0,707ωp S+ω p
2 .
1.6.3 Transformação Passa Faixa para Passa Baixa Normalizado
O filtro passa faixa é aquele onde as frequências centrais (uma faixa de frequência) é
menos atenuada do que as frequências baixas ou altas. Este filtro normalmente é empregado para
selecionar apenas uma faixa das componentes em frequência do sinal, como ocorre quando
desejamos estudar apenas as ondas β do EEG. Quando desejamos selecionar uma faixa de
frequências muito elevada, tipicamente bem maior que uma década, este filtro é implementado
como um filtro passa altas em cascata com um filtro passa baixas. A ligação em cascata é aquele
onde a saída de um filtro é entrada do próximo (uma ligação em série de blocos, num diagrama).
Um exemplo deste tipo de implementação ocorre quando filtramos um sinal de ECG, por exemplo.
Um filtro passa altas em 0,04 Hz pode ser utilizado para remover níveis CC e drifts, enquanto que
um filtro passa baixas em 100 Hz pode ser utilizado para remover ruídos de alta frequência. O
gabarito clássico do filtro passa altas é apresentado a seguir.
Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amín sejam iguais nas
duas bandas de rejeição e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição
ω0=√ω1⋅ω2 =√ω3⋅ω4
, com banda de passagem entre 1 e 2.
Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo
ω p=1
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 19
Amin
Amáx
w3 w1 w2 w4
ωs=ω4−ω3ω2−ω1
Para desnormalizar basta substituir S porS 2+ω0
2
B⋅S na equação do filtro passa baixas
normalizado. Nesta equação B=ω2−ω1=ω0
Q.
1.6.3.1 Exemplo 1
Desnormalizar o filtro T (S̄)=1S̄+1
.
Solução: Substituindo S por S 2+ω0
2
B⋅S e B por
ω0
Q
T (S)=1
S2+ωp2
BS+1
=BS
S2+BS+ωp2=
ωpQS
S2+ωpQS+ωp
2
1.6.3.2 Exemplo 2
Devemos captar sinais na faixa de 300 Hz a 3,4 kHz. Uma interferência de 60 Hz está
presente no sistema prejudicando o experimento. Deseja-se projetar um filtro passa faixa tal que
esta interferência seja atenuada em 15 vezes. Desenhe o gabarito do filtro desejado e do passa
baixas normalizado.
Solução:
w3 w1 w2 w4wp ws
Amin
Amáx
Atenuação Atenuação
1=300 Hz, 2=3,4 kHz, 3=60 Hz, 4= (12)/3 = 17 kHz,
p=1 rad/s, s= (4 – 3)/(1 – 2)=5,46 rad/s.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 20
Amáx = 3dB, Amín = 20log(15) dB
1.6.4 Transformação Rejeita Faixa para Passa Baixa Normalizado
O filtro rejeita faixa é aquele que atenua mais uma faixa central de frequências do que as
baixas ou altas frequências. Este tipo de filtro não é muito comum com exceção do seu caso
particular o filtro notch. O filtro notch é um rejeita faixa muito seletivo, ou seja, com elevado Q.
Em outras palavras o filtro notch é aquele em que a faixa de frequências atenuadas é muito
estreita e a atenuação é muito grande. Este tipo de filtro é muito comum para retirar interferência
de 60 Hz oriunda da rede elétrica. Apesar da sua aplicação corriqueira e eficiente, o filtro notch
distorce muito a fase do sinal e por esta razão deve ser utilizado com cautela. Como já foi dito,
modificações de fase alteram o formato do sinal, o que pode ser inaceitável caso a interpretação
do sinal dependa do seu formato.
Amin
Amáx
w1 w3 w4 w2
Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amáx sejam iguais nas
duas bandas de passagem e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição
ω0=√ω1⋅ω2 =√ω3⋅ω4
, com banda de passagem entre 1 e 2
Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo
ω p=1
ωs=ω2−ω1ω4−ω3
Para desnormalizar basta substituir S porB⋅S
S 2+ω0
2 na equação do filtro passa baixas
normalizado. Nesta equação B=ω2−ω1=ω0
Q .
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 21
1.6.4.1 Exemplo 1
Desnormalizar o filtro T (S̄)=1S̄+1
Solução: Substituindo S por B⋅S
S 2+ω0
2 e B por ω0
Q
T (S)=1
B⋅SS2+ωp
2 +1=
S2+ωp
2
S2+BS+ωp
2=S2+ωp
2
S2+ωpQS+ωp
2 .
1.6.4.2 Exemplo 2
Projetar um filtro capaz de eliminar a frequência de 60 Hz, mantendo o ganho
aproximadamente unitário para DC e 2kHz. Faça o projeto para uma banda de rejeição de ±10 Hz.
Solução 1: Podemos usar um filtro de segunda ordem então T ( s̄ )=1
s̄+1
A desnormalização é feita substituindo S por B⋅S
S 2+ω0
2 , onde B=ω2−ω1=20Hz e
ω0=2⋅π⋅60Hz , logo S̄=(2⋅π⋅20)2
s2+(2⋅π⋅60)2
e T (s)=s2+(2⋅π⋅60)2
s2+(2⋅π⋅20⋅s)+(2⋅π⋅60)2
Solução 2: A função do filtro rejeita faixa de segunda ordem é T (S )=S 2+ω0
2
S2+ω0
QS+ω0
2 sendo
que, neste caso, B=ω2−ω1=ω0 /Q=20Hz e ω0=2⋅π⋅60Hz . Logo
T (s)=s2+ω0
2
s2+B⋅s+ω0
2=s2+(2⋅π⋅60)2
s2+(2⋅π⋅20⋅s)+(2⋅π⋅60)2
1.7 Escolha das frequências e atenuações
A determinação das frequências que definem as bandas de passagem e atenuação, assim
como as atenuações máxima e mínima corresponde a parte mais subjetiva do projeto de filtros.
Normalmente não há uma resposta única para cada problema e a determinação de todos estes
parâmetros vai depender do que cada projetista julga necessário ou razoável. Apesar disto existem
muitas respostas erradas para um mesmo problema. Saber o que pode e o que não pode ser feito é
fundamental e para isso e, por essa razão, existem alguns balizadores que auxiliam na escolha e
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 22
tomada de decisão. A primeira coisa para a qual devemos atentar é o fato de que filtros não
possuem apenas duas bandas, a de passagem e a de rejeição, e sim três, o que inclui uma região de
transição. Isto significa que os sinais fora da banda de passagem são atenuados em diferentes
níveis dependendo da sua frequência. Com isso em mente é mais fácil aceitar que nem a
frequência de corte será perfeitamente definida.
É necessário escolher sempre os piores casos. A frequência de corte é, no mínimo, aquela
que deixa a banda do sinal passar, isto é claro, o problema é definir exatamente quem é a banda de
passagem. Mesmo para sinais que estão bem estudados e relatados na literatura, como o EMG, por
exemplo, a banda de passagem depende do tipo de eletrodo e do músculo que está sendo
investigado. Um sinal vindo de uma célula de carga, por outro lado, nem sempre é um sinal bem
caracterizado na literatura. Nestes momentos é difícil ser preciso ou exato na determinação da
frequência de corte. Para piorar ainda mais as coisas suponha que você meça este sinal e estime
sua composição espectral usando técnicas de processamento de sinais. Você descobrirá que todos
os sinais possuem infinitas componentes de frequência com amplitude não nula, principalmente
se o seu gráfico estiver em dB (isto fica muito visível), então não é possível usar isto como critério.
O que ocorre, na verdade, é que em algum momento o nível de ruído se confunde com o nível das
componentes mais altas do sinal. O que devemos estabelecer é a partir de onde as componentes de
frequência tem amplitudes irrelevantes ou que se confundam com o ruído. Depois disto devemos
definir qual maior atenuação que aceitaremos na banda de passagem. Conservadoramente adota-
se o critério de meia potência (onde a potência do sinal cai pela metade) o que equivale ao ponto
de -3dB. Neste ponto as componentes de frequência já estão sendo multiplicadas por 0,707 (há
uma atenuação de 30% no sinal). Quando as componentes de frequência já tem baixa amplitude na
frequência de corte, este critério pode ser adotado sem muitos problemas, caso contrário talvez
seja mais interessante aumentar a faixa de passagem ou reduzir a atenuação máxima aceita.
Tão difícil quanto a escolha da frequência de corte e sua atenuação máxima é a definição
de onde inicia a banda de atenuação e qual a atenuação mínima desejada para esta frequência. Em
alguns poucos casos, como para o filtro notch, estes valores são bem determinados. Para o restante
é necessário alguma ponderação. O segundo caso mais simples é o caso do filtro anti aliasing, já
que a amplitude do sinal na metade da frequência de amostragem deve, ao menos, atender a
algum critério de razão sinal ruído (e o AD disponível ajuda a definir um ruído aceitável para a
instrumentação, como será estudado mais a frente no curso). Para os demais casos é possível,
também, adotar critérios de razão sinal ruído. A razão sinal ruído (SNR) é formalmente definida
para sinais com aparência aleatória e média zero. Nestes casos a SNR é definida como a razão
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 23
entre a potência do sinal e a potência do ruído. Novamente aqui é difícil definir qual é a potência
do ruído e qual é a potência do sinal uma vez que os dois estão misturados. A razão entre valores
RMS (valor eficaz) também é usada para a mesma definição e sofre dos mesmos problemas. Como
estas estimativas são complexas e requerem processamento de sinais nós, nesta disciplina,
usaremos a amplitude dos sinais quando a informação de potência ou valor RMS não estiverem
disponíveis. Complicando ainda mais as coisas a SNR pode ser calculada para toda a faixa de
frequências ou para bandas mais estreitas (caso da potência), ou para trechos específicos do sinal
(caso das amplitudes). Por exemplo, num sinal de ECG pode ser que as ondas P e T tenham
amplitude muito menor do que o complexo QRS, neste caso um ruído com valor fixo de amplitude,
pode parecer pequeno no complexo QRS e grande quando estiver nas ondas P e T.
1.7.1.1 Exemplo 1
Minimizar o efeito de uma interferência de 60 Hz e tensão eficaz de 1 V sobre um sinal com
banda passante até 10 Hz e amplitude de 0,1 V. Admite-se 11% de atenuação máxima do sinal na
banda passante. Deseja-se uma relação sinal ruído de 100 vezes.
Solução: Filtro passa baixas (a opção mais simples)
Ganho Mínimo na Banda Passante: 20 log (100% – 11%) = – 1dB
Diferença de amplitude entre Sinal e Ruído: 20 log (0,1 / 1) = – 20dB
Relação sinal ruído de 100 vezes: 20 log (100) = 40dB
Amáx = 1dB
Amin = 40dB + 20dB + 1dB = 61dB
Frequência de corte 10 Hz, frequência da banda de atenuação 60 Hz
1.8 Aproximações
Uma vez que os gabaritos tenham sido determinados é necessário encontrar um polinômio
que atenda as especificações do projeto. Existem vários tipos de funções de transferência, algumas
são polinomiais (Butterworth, Chebyshev I e Bessel) outras não polinomiais (Cauer e Chebyshev
II). Nos filtros não polinomiais, zeros sobre o eixo jω ajudam a obter uma atenuação mais rápida
na banda e transição, mas pioram as características de fase e de resposta temporal. Os filtros
polinomiais são aqueles em que o passa baixa normalizado apresenta ganho definido por uma
constante no numerador e um polinômio no denominador (apenas um polinômio de atenuação).
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 24
A seguir são apresentados alguns polinômios que podem ser empregados para o projeto de
filtros e algumas características de cada um destes polinômios. Nem todos são comuns, mas todos
podem ser utilizados para este fim. Ao final são apresentadas os principais critérios empregados
para a escolha das aproximações, uma tabela com os principais filtros e indicações sobre os mais
comuns em biomédica.
Bessel – BS
• Função monotônica na banda passante;
• Quanto maior o grau do filtro mais linear a fase na banda de passagem;
• Pior resposta em magnitude dentre os listados aqui;
• Não preserva característica de fase quando se fazem desnormalizações emfrequência;
• Ordem muito alta, característica de fase muita boa.
Gauss – GS
• Monotônico na banda de passagem;
• Melhor resposta temporal (overshoot e atraso ao degrau) dentre os filtrospolinomiais, para um dado grau e Amáx;
• Semelhante ao filtro de Bessel;
• Ordem muito alta, característica de fase muito boa.
Multiplicidade “n”
• Monotônico na banda de passagem;
• Polos reais;
• Ótimas características temporais (menor tempo de atraso e sem overshoot) e de fase;
• Pobre característica de atenuação;
• Ordem muito alta, característica de fase muito boa.
Butterworth – BT
• Função monotônica mais planas possível;
• Ordem alta, característica de fase boa.
Halpern – HA
• Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante é o decorte mais abrupto dado um grau e Amáx;
• Ordem média, característica de fase média.
Legendre – LG
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 25
• Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passanteapresenta a maior inclinação na característica de magnitude em torno da frequêncialimite da banda de passagem;
• Ordem média característica de fase média.
Chebyshev (I) – CB
• Equiripple na banda passante, função monotônica na atenuação;
• Corte mais abrupto entre os polinomiais, para um dado grau e Amáx;
• A fase, entretanto, vai piorando a medida que o grau aumenta;
• Ordem baixa, característica de fase ruim.
Chebyshev (II) Inverso – CI (filtro não polinomial)
• Monotônica na banda passante, portanto melhor característica de fase;
• Equiripple na banda de rejeição;
• Não polinomial, apresenta zeros sobre o eixo j;
• Ordem baixa, característica de fase boa.
Cauer ou Elíptico – CE (filtro não polinomial)
• Equiripple na banda de passagem e de atenuação;
• Menor ordem – zeros sobre o eixo j ajudam;
• Característica de fase pior que Chebyshev Inverso;
• Ordem muito baixa.
Transicionais – FT
• Melhor conjunto de características temporal, fase, e atenuação.
Pelo exposto acima, observa-se que, via de regra, melhores características de fase estão
associadas a melhores características temporais. Assim, os principais critérios (os mais comuns)
de escolha para estas aproximações são:
• Ordem do filtro (Cauer, Chebyshev, Halpern, Legendre.);
• Dificuldade de implementação (Cauer e Chebyshev II);
• Sensibilidade – desvio na magnitude e fase;
• Regularidade na curva de resposta (Butterworth);
• Resposta temporal (Gauss, Bessel);
• Característica de fase (Bessel e Gauss para PB, Multiplicidade n e Transicional. sefor utilizado um equalizador);
Uma síntese das principais características para os filtros mais comuns são listadas na
tabela a seguir.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 26
Polinômios Faixa de Passagem Faixa de Rejeição Fase Grau do Filtro
Butterworth Máxima planura Monotônico Boa Médio+
Chebyshev I Ondulado Monotônico Regular Médio–
Chebyshev II Monotônico Ondulado Regular Médio–
Bessel Plano Monotônico Ótima Grande
Elíptico (Cauer) Ondulado Ondulado Ruim Pequeno
Em biomédica os filtros mais comuns são os de Butterworth e os de Bessel.
Exemplos de gráficos de resposta em frequência para os filtros Bessel, Butterworth e
Chebysehev de oitava ordem, são apresentados a seguir.
Para os mesmos filtros também são apresentadas as respostas ao degrau e ao impulso
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 27
1.9 Cálculo das aproximações
As aproximações apresentadas anteriormente configuram algumas das possíveis
aproximações empregadas para os filtros. Existe um grande número de funções que satisfazem os
requisitos de um dado gabarito sendo que algumas são obtidas por métodos de otimização
puramente numéricos e outras por funções analíticas consagradas.
Antes de apresentar a solução para o cálculo de alguns filtros considere que a função de
atenuação H(ω) possa ser escrita como
|H (ω)|2=1+|K (ω)|2
onde K( ω) é a função característica
A(ω)=10⋅log (1+|K (ω)|2)
Definindo como a máxima distorção (variação de ganho ou atenuação – em alguns casos
é o ripple na banda de passagem) na banda de passagem da função característica K(), tem-se
K (ω p)=ε
A (ω p)=Amáx=10⋅log (1+ε2) [dB]
ε=[10Amáx
10 −1]12 , Amáx em dB
1.9.1 Para aproximação de Butterworth
K (ω)=ε( ωωp )n
|H (ω)|=[1+ε2⋅( ωωp )
2⋅n
]12
A (ω)10⋅log[1+ε2⋅( ωωp )
2⋅n
] [dB]
A normalização de funções Butterworth pode ser feita para a frequência p e, diferente de
outras aproximações também para a atenuação com auxílio da equação
ω=ε1n⋅(ωω p ) ou seja ω=ε
1n⋅(ωω p )
assim A(ω)=10⋅log [1+ω2⋅n ] [dB] , solução normalizada para =1 e =1.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 28
A determinação do grau do polinômio pode ser obtida
Amin⩽A(ωs)=10⋅log [1+ε2⋅ωs2⋅n ]
n⩾
log[(100,1⋅Amin−1)
(100,1⋅Amáx−1) ]
2⋅logωs
onde Amáx e Amin estão em dB; ωs é calculado de 4 formas diferentes dependendo do tipo
de filtro que se esteja calculando (veja normalização dos filtros PB, PA, PF e RF).
A determinação da função de Butterworth pode ser obtida
|H (ω)|2=1+|K (ω)|2
H (S )⋅H (−S )=1+K (S )⋅K (−S )
H (S̄ )⋅H (−S̄)=1+(− S̄2)n , solução normalizada para =1 e =1 ( S̄ ) apresenta todas as
raízes sobre o círculo de raio unitário.
H (S )=H 0+H 1⋅S+H 2⋅S2+...+H n⋅S
n
para construir o polinômio: H k=
cos[(k−1)⋅π2⋅n ]
sen( k⋅π2⋅n )
para obter as raízes: S k=ej π
2⋅(2⋅k+n−1
n ) , k = 1, 2, ...
Para desnormalizar a atenuação máxima basta substituir S porn√ε S ' no filtro passa
baixa normalizado. Para desnormalizar em frequência basta substituir S̄ ' porSω p
1.9.1.1 Exemplo 1
Calcule o filtro Butterworth com p=10kHz, s=15kHz, Amáx=1dB, Amin=25dB
ε=[10Amáx10 −1]
12 = 0,50888
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 29
n⩾
log[(100,1⋅Amin−1)
(100,1⋅Amáx−1) ]
2⋅logωs
= 8,76 com (ωs=1500010000 ) . Usar n=9
k=1, S k=−0.1736±0.9848 i , S̄ 2+0,3472⋅̄S+1
k=2, S k=−0.5000±0.8660 i , S̄ 2+ S̄+1
k=3, S̄ k=−0.7660±0.6428 i , S̄ 2+1,532⋅̄S+1
k=4, S k=−0.9397±0.3420 i , S 2+1,8794⋅S+1
k=5, S k=−1 , S +1
H (S̄ )=( S̄+1)⋅( S̄2+1,8749⋅S̄+1)⋅(S̄2
+1,532⋅̄S+1)⋅(S̄2+S̄+1)⋅(S̄2
+0,3472⋅S̄+1)
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 30
Freqüência (rad/seg)
Fas
e (g
raus
);
Mag
nitu
de (
dB)
Diagrama de Bode
-50
-40
-30
-20
-10
0Exemplo: w p=10kHz (Amáx=1dB), w s=15kHz (Amin=25dB)
104 105-600
-400
-200
0
To:
Y(1
)
T ( S̄)=1 /H ( S̄) . A desnormalização pode ser feita substituindo S̄ por S⋅(n√ε
ωp ) , ou seja
S=S⋅1,4764⋅10−5 ou, utilizando as formas padrões de primeira e segunda ordem do filtro passa
baixa.
T (S )=ω0
(S+ω0)⋅
ω02
(S 2+1,8794⋅ω0⋅S+ω0
2)⋅
ω02
(S2+1,5321⋅ω0⋅S+ω0
2)
x
ω02
(S 2+ω0⋅S+ω0
2)⋅
ω02
(S 2+0,3472⋅ω0⋅S +ω0
2)
onde ω0=ωpn√ε =6,773⋅104 rad / s
1.9.1.2 Exemplo 2
Projetar um filtro Butterworth passa altas, com ordem não menor do que três e que atenda
as seguintes especificações: ganho máximo da banda de passagem igual a 0dB; ganho mínimo na
banda de passagem igual a -3dB; ganho máximo na banda de atenuação igual a -20dB; frequência
de passagem de 10kHz; frequência de atenuação de 5kHz.
p=1rad/s, s= (10/5)rad/s.
Amáx = 3dB, Amín = 20dB
ε=[10Amáx10 −1]
12 1
n≥
log[ 100,1⋅Amin−1
100,1⋅Amáx−1 ]
2⋅log ω̄S≥3,31
S k=ej π
2⋅(2⋅k+n−1
n )
S1,2 = 0,38287 + j0,92389 ( S̄2+0,7654⋅̄S+1 )
S3,4 = 0,92389 + j0,38287 ( S̄2+1,8478⋅̄S+1 )
T (S )=S 2
S2+0,7654⋅ω0⋅S+ω0
2⋅
S 2
S2+1,84878⋅ω0⋅S +ω0
2 , onde 0=210000Hz.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 31
1.9.2 Outras aproximações
Existem algoritmos para o cálculo de cada uma das aproximações. Alguns são deduzidos de
forma analítica, como no caso do Butterworth, enquanto outros são obtidos por programas de
computador e soluções iterativas ou numéricas. O processo de cálculos dos filtros é sempre
complicado e por esta razão usaremos sempre soluções tabeladas e programas de computador que
fazem este cálculo. Isto, entretanto, não nos exime da responsabilidade de especificar o filtro e
definir a aproximação que será usada.
Para estimar o grau do filtro é muito comum o uso de gráficos e para a determinação dos
polinômios costuma se utilizar tabelas. Em programas como o MATLAB ou o OCTAVE, por
exemplo, existem funções específicas que estimam a ordem de filtros (buttord, cheb1ord, cheb2ord
e ellipord) ou calculam seus coeficientes (besself, butter, cheby1, cheby2, ellip). Outros programas,
como o Filter Wizard da Analog Devices, fazem o projeto da parte eletrônica com base nas
informações dos gabaritos de ganho ou atenuação. Na sequência são apresentadas as soluções
tabeladas para alguns filtros e exemplos de gráficos utilizados para a determinação do grau dos
filtros.
1.9.3 Gráficos de resposta normalizados
Para determinar o grau de um filtro, sem usar as equações deste filtro, é muito comum o
uso de gráficos como o apresentado a seguir. A resposta de filtros Butterworth, passa baixa
normalizados, de graus 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, são apresentados neste exemplo. Para determinar o
grau apropriado basta desenhar sobre este gráfico as atenuações máximas e mínimas e a
frequência de início da banda de rejeição.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 32
O mesmo pode ser feito para todas as outras aproximações. Nos próximos dois gráficos são
apresentadas as respostas para filtros Chebyshev com 1dB de ripple na banda de passagem e
Bessel.
1.9.4 Soluções tabeladas
Apesar de existirem algoritmos para o cálculo dos filtros é muito comum encontrarmos
tabelas com os polinômios normalizados. A seguir são apresentados algumas tabelas com os
polinômios mais comuns. Nelas a função de transferência é separada em seções de primeira e
segunda ordem. Estão indicados os graus dos filtros (N), o valor de w e Q de cada seção. Para os
filtros de grau ímpar, uma das seções é de primeira ordem e não apresenta Q. Neste caso w
corresponde a s nas soluções padronizadas.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 33
Parâmetros para filtros de Butterworth (3dB de ganho na frequência de corte)
N w1 Q1 w2 Q2 w3 Q3 w4 Q4
2 1,000800 0,7078107
3 1,000800 1,000800 1,000800 -
4 1,000800 1,306856 1,000800 0,5418196
5 1,000800 1,618803 1,000800 0,6188034 1,000800 -
6 1,000800 1,931885 1,000800 0,7078107 1,000800 0,5178638
7 1,000800 2,246898 1,000800 0,8018938 1,000800 0,5548958 1,000800 -
8 1,000800 2,562891 1,000800 0,8998977 1,000800 0,6018345 1,000800 0,505899
*Ganho unitário
Parâmetros para filtros de Bessel (desvio de fase de N / 4 rad na frequência de corte)
N w1 Q1 w2 Q2 w3 Q3 w4 Q4
2 1,000800 0,5778350
3 1,078869 0,6918047 0,9858560 -
4 1,078890 0,8058538 0,9628319 0,55281935
5 1,085804 0,9168478 0,9628003 0,5638536 0,9288640 -
6 1,092870 1,023831 0,9698010 0,6118195 0,9208141 0,5108318
7 1,100834 1,126826 0,9788443 0,6608821 0,9218478 0,5228356 0,9048336 -
8 1,100846 1,225867 0,9828040 0,7108853 0,9218150 0,5598609 0,8948187 0,5058991
Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 0,5 dB na faixa de passagem)
N w1 Q1 w2 Q2 w3 Q3 w4 Q4
2 1,231834 0,8638721
3 1,068885 1,706819 0,6268456 -
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 34
N w1 Q1 w2 Q2 w3 Q3 w4 Q4
4 1,031827 2,940855 0,59787002 0,705811
5 1,017874 4,544896 0,6908483 1,177881 0,3628320 -
6 1,011845 6,512883 0,7688121 1,810838 0,3968229 0,6838639
7 1,008802 8,841881 0,8228729 2,575855 0,5038863 1,091855 0,2568170 -
8 1,005895 11,53088 0,8618007 3,465868 0,5988874 1,610868 0,2968736 0,6768575
Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 2 dB na faixa de passagem)
N w1 Q1 w2 Q2 w3 Q3 w4 Q4
2 0,9778227 1,128865
3 0,9418326 2,551864 0,3688911 -
4 0,9638678 4,593888 0,4708711 0,9298449
5 0,9758790 7,232828 0,6278071 1,775809 0,2188308 -
6 0,9828828 10,46186 0,7308027 2,844826 0,3168111 0,9018595
7 0,9878226 14,28082 0,7978114 4,115807 0,4608853 1,646842 0,1558340 -
8 0,9998141 18,68783 0,8428486 5,583854 0,5718925 2,5328267 0,2378699 0,8928354
1.9.4.1 Exemplo 1
Calcule o filtro passa baixa, Chebyshev, com n=5, p=10kHz, s=15kHz, Amáx=1dB,
Amin=25dB
T (S)=0,12283⋅ω p
5
( S̄+0,2895⋅ωp)⋅( S̄2+0,4684⋅ω p⋅̄S+0,4293⋅ωp
2)⋅( S̄2
+0,1790⋅ωp⋅̄S+0,9883⋅ωp2)
onde ωp=2⋅π⋅104
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 35
1.9.4.2 Exemplo 2
Projete um filtro que atenda as seguintes especificações: Tenha ganho de -1dB nas
frequências de 1000 e 5000Hz; Tenha ganho de aproximadamente 2dB na frequência de 2000Hz;
Atenue 20dB em 8kHz; Tenha ganho nulo em DC.
Encontrar o gabarito do filtro:
Filtro passa faixas com f1= 1000Hz, f2= 5000Hz, f4= 8000Hz. Este filtro é um passa faixa
onde f3 não foi informada. Então podemos ajustá-la de forma a deixar o filtro simétrico.
f0= (f1f2)0,5 = 2236Hz
f3 = (f2f1) / f4 = 625Hz.
Este filtro apresenta ganho de 2dB, mas os gabaritos de filtros normalizados são para
ganho de 0dB. A forma de resolver isto é com um amplificador após o filtro, assim, o ganho pode
ser implementado no final pois ele não influencia no formato da curva, porém, devemos ter
atenção. Se o ganho deve ser de +2dB na faixa de passagem e de -1dB em f1, há uma variação
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 36
Freqüência (rad/seg)
Fas
e (g
raus
);
Mag
nitu
de (
dB)
Diagrama de Bode
-50
-40
-30
-20
-10
0Exemplo: w p=10kHz (Amáx=1dB), w s=15kHz (Amin=25dB)
104 105-600
-400
-200
0
permitida de 3dB na faixa de passagem! Então, podemos alterar o ganho para 0dB e a Amáx para
3dB. Após o projeto, inserimos um ganho de 2dB para ajustar os valores do projeto.
K = 0dB
Amáx = 3dB
Amín = 20dB
Determinar o passa baixas normalizado equivalente
Wp = 1 rad/s
Ws = (w4 – w3) / (w2 – w1) = 1,84 rad/s
Determinar a aproximação
Como não há especificações que impeçam o uso de qualquer aproximação, podemos usar
um Butterworth. As curvas para filtros Butterworth de grau 2 até 10 são apresentadas na próxima
figura.
Observa-se pelo gráfico que um filtro Butterworth de quarta ordem é necessário. Pela
tabela determinamos o polinômio.
T (S̄)=1
( S̄+1
1,30656⋅S̄+1)
⋅1
( S̄+1
0,541196⋅S̄+1)
Aplicar a desnormalização adequada
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 37
T (S̄) fazer S̄=(S2+ω0
2)/(ω2 –ω1)⋅S=(S
2+140492
)/(2⋅π⋅4000⋅S) .
1.9.4.3 Exemplo 3
Um filtro deve atender, aproximadamente, as seguintes especificações: Atenuação de 35dB
na frequência de 1000Hz; Atenuação de 3dB na frequência de3500Hz; A oscilação máxima na
banda de passagem não deve ultrapassar 3dB; O filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na
banda de passagem. Escolher entre as aproximações de Butterworth e Chebyshev. Identifique o
tipo de filtro, desenhe o seu gabarito e identifique os pontos do gráfico.
Amin = 35dB, fs = 3500Hz
Amáx = 3dB, fp = 1000Hz
É um filtro passa altas.
Se o ripple máximo é 3dB e a máxima atenuação na banda de passagem é 3dB então a
menor atenuação da banda de passagem é 0dB. Assim, o ganho na banda de passagem é 0dB.
Se o filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem, e só podemos
escolher entre Butterworth e Chebyshev, devemos escolher Butterworth.
Projetar o filtro
Pelo gráfico a seguir o grau do filtro é 4 e pela tabela
T PB( S̄)=1
S̄2+0,7653⋅̄S+1
⋅1
S̄2+1,8477⋅̄S+1
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 38
Desnormalizar
Usando as formas padrões de segunda ordem basta ajustar a frequência.
T PB(S)=S2
S2+0,7653⋅ω0⋅S+ω0
2⋅S2
S2+1,8477⋅ω0⋅S+ω0
2 , onde
ω0=2⋅π⋅3500 rad/s
Suponha que após o projeto do filtro você percebeu que era necessário um ganho de x5.
Para fazer isto você adicionou um amplificador não inversor após o filtro. Nesta condição, diga
quanto será a atenuação na frequência de 3500Hz?
Ganho x5 corresponde a ganho de 13,97dB. Então o ganho em 3500Hz será
aproximadamente 13,97dB-3dB=10,97dB.
Outra forma de calcular é multiplicar o ganho em 3500Hz (0,707) por 5. O resultado é 3,53,
ou seja, 10,97dB.
Também poderíamos ter calculado multiplicando a TPA(S) por 5 e substituindo “S” por
j(2π3500). O resultado seria 3,53 que corresponde a 10,97dB!
1.10 Etapas da Síntese
Uma vez colocada as principais etapas para o projeto dos filtros seletores de frequência é
possível descrever em detalhes o mecanismo para o projeto de um filtro deste tipo. São
necessárias pelo menos 9 etapas descritas na sequência:
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 39
(1) Examinar o problema físico e determinar os requisitos necessários;
(2) Estipular as atenuações máximas e mínimas, determinar as frequências características;
(3) Normalizar as frequências do filtro (em alguns casos não precisa ser feito);
(4) Escolher aproximação e determinar o grau do filtro;
(5) Determinar a T(S) ou H(S);
(6) Escolher a técnica de implementação (um tipo de circuito);
(7) Desnormalizar as frequências do filtro (em alguns casos pode ser feito antes da etapa 6);
(8) Analisar o circuito com valores nominais;
(9) Testar o filtro.
1.11 Síntese de filtros
Filtros analógicos seletores de frequência podem ser implementas em diversas tecnologias
como os filtros passivos RLC (particularmente as redes ladder LC), filtros a capacitor chaveado
(anos 70), filtros MOSFET-C (anos 80), filtros OTA-C e filtros ativos RC (os mais simples e
comuns). Os filtros ativos RC podem, por sua vez, ser implementados em cascata com redes de 1
ou vários AO, redes multirealimentadas; redes ladder RLC com simulação de indutores; redes
ladder RLC com escalamento de impedância para uso com FDNR; redes ladder LC simuladas entre
outras. Como podemos observar o assunto é tão complexo quanto o estudo das aproximações e
não é foco deste curso. Aqui nos limitaremos aos filtros de primeira ordem e aos filtros de segunda
ordem mais populares. Neste último caso aprenderemos apenas alguns nomes e programas que
podem ser utilizados para ajudar na síntese.
1.12 Filtros de primeira ordem RC
1.12.1 Filtro passa baixas RC de primeira ordem
Um filtro passa baixas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência
T (S )=Kσ0
S+σ0
onde s0 é chamada de frequência de corte do filtro, pois corresponde ao ponto onde o
ganho na faixa de passagem diminui 3dB (0,707 vezes menor). Este ponto é conhecido como ponto
de meia potência e costuma ser utilizado genericamente como frequência de corte. A próxima
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 40
figura mostra a resposta em frequência para um filtro deste tipo mostrando claramente o
comportamento das assíntotas, da curva real e da fase.
Os dois principais circuitos que implementam esta função estão apresentados na figura
seguinte. Os dois circuitos são muito comum, mas o da direita, apesar de ter a mesma função de
transferência, pode ser utilizada em altas frequências, pois sofrem menos influência das
características dinâmicas do AO. O da esquerda, por outro lado, permite ganho maior que 1.
Para o circuito da esquerda
vov i=−
R fRi⋅
1R f⋅C⋅S
S+1
R f⋅C⋅S
e para o circuito da direita
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 41
vov i=
1R⋅C⋅S
S+1
R⋅C⋅S
.
Exercício: Calcule a função de transferência do circuito da esquerda sem o resistor Rf. Qual
a função deste circuito no domínio do tempo?
1.12.2 Filtros passa altas RC de primeira ordem
Um filtro passa altas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência
T (S )=KS
S+σ0
onde s0 é a frequência de corte do filtro. A figura a seguir mostra em detalhes o gráfico da
resposta em frequência deste filtro. São apresentadas as assíntotas, a curva real e a fase.
Para implementar este filtro podemos utilizar os dois principais circuitos a seguir. O da
esquerda pode apresentar ganho e o da direita pode ser utilizado em frequências altas pois não
sofre com as limitações dinâmicas do AO.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 42
Para o circuito da esquerda
vov i=−
R fRi⋅R i⋅C⋅S
Ri⋅C⋅S+1
e para o circuito da direita
vov i=
R⋅C⋅SR⋅C⋅S+1
Exercício: Calcule a função de transferência do circuito da esquerda considerando que o
resistor Ri não existe (é um curto circuito). Qual a função deste circuito no domínio do tempo?
1.13 Filtros de segunda ordem RC
1.13.1 Filtros a capacitor chaveado
O chamado filtro a capacitor chaveado, é comercializado em circuitos integrados e não
requer que o usuário faça nenhum tipo de projeto de eletrônica. Por esta razão são filtros muito
fáceis de serem utilizados. Muitas vezes o filtro vem pronto dentro do circuito integrado e
nenhum componente externo é necessário. Nestes casos a aproximação e a ordem do filtro devem
ser escolhidos quando o circuito integrado é comprado. Cada modelo vem com um filtro específico
que não pode ser modificado. Nestes circuitos a frequência de corte depende apenas da frequência
de um clock (uma onda quadrada) que pode ser facilmente criada usando as atuais placas de
aquisição de sinais. Estes integrados costuma ser pequenos, com 1 entrada, 1 saída, 1 entrada para
o clock e 1 ou 2 entradas para as fontes de alimentação. Também existem modelos mais
sofisticados onde todos os tipos de filtro estão disponíveis (PB, PA, PF e RF) e as aproximações
podem ser escolhidas (são os chamados filtros universais). Uma busca pela Internet vai revelar
muitas possibilidades. Alguns exemplos são o MAX7401/MAX7405 que são filtros Bessel de 8a
ordem PB, o TLC04 que é um PB Butterworth de 4a ordem.
1.13.2 Filtros variáveis de estado
Os filtros variáveis de estado apesar de necessitarem de no mínimo três AO apresentam
muitas vantagens que tornam atrativa a sua integração. Estes filtros podem ser utilizados em
funções de transferências com Q elevado (10<Q<500) e frequências de corte mais altas que aquelas
possíveis para as topologias de um só amplificador. Além do mais, uma mesma topologia de
circuito permite a implementação de filtros passa baixas, passa altas e passa faixa. O ajuste do Q e
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 43
de w0 são simples e relativamente independentes além de permitirem sintonia (ajuste da
frequência de corte) controlada por tensão.
Por todas estas razões é muito comum encontrarmos esta topologia integrada em circuitos
como o UAF42 da Texas Instruments, o LTC1563 e o LTC1568 da Linear Technology e os MAX270
e MAX271, MAX274 e MAX275 da Maxim (estes últimos implementam em um só integrado filtros
de até oitava ordem – com seções de segunda ordem em cascata).
O desenho básico do filtro de variáveis de estado esta representado no diagrama em blocos
abaixo. O mesmo circuito, pode ser um passa altas, um passa baixa, ou um passa faixa,
dependendo apenas de onde é retirado o sinal de saída do filtro.
Equacionamento da saída passa altas
v PA=v i−A⋅ω0⋅v PA
s−
B⋅ω02⋅vPA
s2
vPA
v i
=s2
s2+A⋅ω0 s+B⋅ω02
Equacionamento da saída passa faixa
v PF=−v i⋅ω0
s−
A⋅ω0⋅vPF
s−
B⋅ω02⋅vPF
s2
vPF
v i
=s⋅ω0
s2+A⋅ω0⋅s+B⋅ω0
2
Equacionamento da saída passa baixas
v PB⋅s2=v i⋅0
2−B⋅0
2⋅vPB−A⋅0⋅s⋅v PB
v PB
v i
=0
2
s2A⋅0⋅sB⋅02
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 44
1.13.3 Configurações de um único amplificador operacional
Filtros com um único AO normalmente não estão disponíveis em integrados mas podem
ser facilmente implementados de forma discreta. As duas configurações de filtros mais utilizadas
são a MFB e a Sallen Key. A topologia dos dois filtros é mostrada na figura a seguir.
Note que no desenho das topologias MFB e Sallen-Key estão representadas as impedâncias
de cada configuração. O filtro Sallen Key pode apresentar ganho se o buffer for trocado por um
amplificador não inversor. A medida que as impedâncias são trocadas por resistências ou
capacitores a função do filtro muda (próxima tabela).
Sallen Key MFB
PB PA PF PB PA PF
Z1 R C R R C R
Z2 R C C C R -
Z3 C R R R C C
Z4 C R R R C C
Z5 - - C C R R
Par fazer o projeto destes filtros use um programa de computador como o FilterPRO ou o
Webench Filter Design, da Texas Instruments, o Filter Wizard da Analog Devices, o FilterLAB da
Microchip, o Mr. Filter ou o Op Amp Filter Design permitem o projeto de filtros com AO.
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 45
1.13.4 Filtro Notch duplo T
Filtros Notch podem ser implementados com uma rede chamada duplo T como mostrado
no circuito a seguir. Com esta rede realimentada, muito parecida com um filtro Sallen Key, é
possível selecionar o Q. O preço deste ajuste é que o ganho do filtro também é alterado (fica
próximo de 2), mas isto pode ser compensado em outros estágios amplificadores ou com um
divisor de tensão e um buffer.
0=1
R⋅C
Q=1
4−2⋅m, Q>=0,25
K=m , m<2
Princípios de Instrumentação Biomédica – UFRJ, 2015/2 46
