Princpios Aritmticos
O conjunto dos nmeros Inteiros ()
= { , 3,2, 1,0,1,2,3, }
Em esto definidas operaes + e . tais que
A) + = + (propriedade comutativa da adio)
B) ( + ) + = + ( + ) (propriedade associativa da adio)
C) Todo elemento em possui um oposto
D) 0 o elemento neutro da adio e 1 o elemento neutro da multiplicao
E) . = . (propriedade comutativa da multiplicao)
F) (. ). = . (. ) (propriedade associativa da multiplicao)
G) ( + ) = + (propriedade distributiva)
Soma algbrica
Para efetuarmos a soma algbrica de dois nmeros inteiros, se os dois tiverem o mesmo
sinal, somamos os mdulos e conservamos o sinal. Se os sinais foram contrrios subtramos
os mdulos e conservamos o sinal do inteiro de maior mdulo.
Exemplos: -3 1 = 4; 2 + 5 = +3; +3 10 = 7
Regra de Sinais
Sejam e dois nmeros inteiros, ento
() = +
(). () = (. )
(). () = (. )
(). () = .
O conjunto dos nmeros racionais
Definimos um nmero racional como aquele que pode ser expresso como o quociente entre
dois nmeros inteiros, onde o divisor no nulo.
Por exemplo: 2
7
(Desenhar a reta numrica).
Para os nmeros racionais valem as propriedades (de A a G) dos nmeros inteiros, e ainda
temos que em , qualquer elemento no nulo possui um inverso multiplicativo. Isto
, 0, , . = 1 ( =1
).
Exemplo: o inverso de 2
3
3
2
A representao de nmeros racionais (frao , decimal )
Como vimos um nmero racional pode ser expresso na forma fracionria. H vrias fraes
equivalentes que expressam um mesmo nmero racional, mas s uma frao irredutvel.
Ex: 2
7=
10
35=
4
14=
Toda frao representa uma diviso, portanto para obtermos a forma decimal de um nmero
racional expresso por uma frao basta dividirmos o numerador pelo denominador:
2
5= 0,4 ;
2
7= 0,285714285714 ( )
Operaes com fraes
Soma Algbrica de Nmeros Racionais na forma de frao
+
=
.
, + .
,
(, )=
+
Exemplo:7
30+
3
8=
7.4+3.15
120=
73
120 ou
7
30+
3
8=
56+90
240=
146
240=
73
120
Multiplicao de Nmeros Racionais na forma de frao
.
=
=
.
Potenciao em e em
Definimos: = . . . ,
Propriedades das potncias
1 =
0 = 1
Se , , ento . = +
Se , , ento
= , com 0
= 1
=1
. = .
=
= .
Radiciao em e em
Definio: Sejam , ,
= =
Usamos tambm a notao
= 1
e
=
com , 0
Note que, quando trabalhamos com expoente racional, continuam vlidas todas as
propriedades das potncias no caso de expoentes inteiros.
Um nmero chamado de quadrado perfeito quando sua raiz quadrada um nmero natural.
Clculo da Raiz n-sima por fatorao
Podemos extrair a raiz n-sima de um nmero usando fatorao em fatores primos e as
propriedades das potncias:
Exemplo
3242
= 22 . 342
= 22 . 34 12 = 22
12 . 34
12 = 2
22 . 3
42 = 21 . 32 = 18
Soluo de expresses numricas ordem das operaes
Numa expresso numrica convenciona-se resolver primeiro as potncias e razes, depois as
multiplicaes e divises e , por ltimo as somas algbricas. Deve-se respeitar tambm os
smbolos de parnteses, colchetes e chaves , efetuando-se inicialmente as operaes internas
estes smbolos, nessa ordem.
Relao de Ordem nos Conjuntos Numricos
Usamos a notao > para indicar que o nmero sucede o nmero na reta numrica.
Para a relao > valem as seguintes propriedades:
a) > < b menor do que a
b) > <
c) Para quaisquer , , , se > , ento + > +
d) Se > 0 > , > .
e) < 0 > , < .
f) Suponhamos que > 0 > 0, ento > 2 > 2
g) Suponhamos que > 0 > 0, ento > 2 >
2
Exemplo:
2 > 1 22
> 12
22
> 1
E,
4 > 2 22
> 22
2 > 22
Portanto 1 < 22
< 2
Expresses Algbricas
Para trabalhar com expresses algbricas onde letras simbolizam nmeros reais, usamos as
propriedades das operaes algbricas que conhecemos.
Exemplos:
5 + 2 = 7
3 10 = 7
2 3 + 2 = 62 + 4
2
3
8
6=
4 8
6=
4
6=
2
3
4 .22
= 2 .
4.
3=
2
12
33
6=
2
2
Polinmios
So expresses algbricas formadas por nmeros e letras que representam nmeros.
Exemplo:
3 o coeficiente do termo 32
2 a parte literal do termo 32
Termos
O grau do termo 32 3, que a soma dos expoentes das variveis.
O grau do polinmio 32 543 + 2 + 5 7, que igual maior entre os graus de todos os
termos do polinmio.
Soma Algbrica de Polinmios
Fazemos a soma algbrica de polinmios, somando os termos semelhantes.
Exemplo: 22 73 + 52 3 + 2 = 32 83 + 2
Produto de Polinmios
Fazemos a multiplicao de polinmios aplicando a propriedade distributiva.
Exemplo: 5 + 2 . 2 2 + 1 = 53 102 + 5 22 4 + 2 =
53 122 + + 2
A diviso de polinmios
Procedemos a diviso de polinmios da mesma forma que procedemos a diviso de dois
nmeros reais, sendo que, para a procura do quociente devemos nos orientar pelo termos de
maior graus do polinmio que est sendo dividido.
Exemplo :3+3273
2 = 2 + 5 + 3, = 3
O resto sempre um polinmio de grau menor do que o divisor
Produtos Notveis
Sejam , . Ento:
+ 2 = 2 + 2 + 2
2 = 2 2 + 2
+ = 2 2
+ 3 = 3 + 32 + 32 + 3
3 = 3 32 + 32 3
