Prob 1 - mat.ufrgs.br viali/exatas/material/apostilas/Prob_1.pdf · ... Joga-se uma moeda 4 vezes e

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  • S R I E : P r o b a b i l i d a d e

    T e x t o 1 : P R O B A B I L I D A D E U N I V A R I A D A I

    P r o f . L o r V i a l i - v i a l i @ m a t . u f r g s . b r - h t t p : / / w w w . m a t . u f r g s . b r / ~ v i a l i / 1

    SSUUMM RRII OO 1. INTRODUO...........................................................................................................................................................3

    1.1. MODELOS...............................................................................................................................................................3 1.1.1. Modelo determnistico ....................................................................................................................................3 1.1.2. Modelo no-determinstico ou probabilstico ..................................................................................................3

    1.2. EXPERIMENTO ALEATRIO (NO-DETERMINSTICO)..................................................................................................4 1.2.1. Caractersticas dos Experimentos Aleatrios ..................................................................................................4

    1.3. O ESPAO AMOSTRAL..............................................................................................................................................4 1.3.1. Classificao de um espao amostra...............................................................................................................5

    1.4. EVENTOS................................................................................................................................................................6 1.5. COMBINAO DE EVENTOS......................................................................................................................................6 1.6. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES ...................................................................................................................7 1.7. PROPRIEDADE DAS COMBINAES DE EVENTOS................................................................................................7

    2. CONCEITOS DE PROBABILIDADE .......................................................................................................................9

    2.1. A DEFINIO CLSSICA ..........................................................................................................................................9 2.1.1. Crtica definio clssica.............................................................................................................................9

    2.2. A DEFINIO FREQNCIAL ....................................................................................................................................9 2.2.1. Freqncia relativa de um evento .................................................................................................................10 2.2.2. Propriedades da freqncia relativa .............................................................................................................10 2.2.3. Crtica definio freqencial......................................................................................................................11

    2.3. DEFINIO AXIOMTICA.......................................................................................................................................11 2.3.1. Conseqncias dos axiomas (propriedades) ..................................................................................................11

    2.4. PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDNCIA...............................................................................................13 2.4.1. Definio......................................................................................................................................................14 2.4.2. Teorema da multiplicao.............................................................................................................................15 2.4.3. Independncia de dois eventos ......................................................................................................................15

    2.5. TEOREMAS DA PROBABILIDADE TOTAL E DE BAYES................................................................................................16 2.5.1. Teorema da probabilidade total ....................................................................................................................17 2.5.2. Teorema de Bayes.........................................................................................................................................18

    3. VARIVEIS ALEATRIAS....................................................................................................................................19

    3.1. INTRODUO........................................................................................................................................................19 3.2. VARIVEL ALEATRIA DISCRETA ..........................................................................................................................20

    3.2.1. A funo de probabilidade............................................................................................................................20 3.2.2. Representao da funo de probabilidade ...................................................................................................21 3.2.3. A funo de distribuio acumulada .............................................................................................................22

    3.3. VARIVEL ALEATRIA DISCRETA (CARACTERIZAO)............................................................................................24

  • S R I E : P r o b a b i l i d a d e

    T e x t o 1 : P R O B A B I L I D A D E U N I V A R I A D A I

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    3.3.1. Expectncia, esperana, mdia ou valor esperado de X.................................................................................24 3.3.2. A varincia de X...........................................................................................................................................24 3.3.3. O desvio padro ...........................................................................................................................................25 3.3.4. A varincia relativa e o coeficiente de variao ............................................................................................25

    3.4. DISTRIBUIES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS ......................................................................................26 3.4.1. A distribuio de Bernoulli ...........................................................................................................................26 3.4.2. A distribuio Binomial ................................................................................................................................28 3.4.3. A distribuio Geomtrica ............................................................................................................................31 3.4.4. A distribuio Binomial Negativa..................................................................................................................33 3.4.5. A distribuio Hipergeomtrica ....................................................................................................................36 3.4.6. A distribuio Uniforme Discreta..................................................................................................................38 3.4.7. A distribuio de Poisson..............................................................................................................................40 3.4.8. Propriedades da distribuio de Poisson ......................................................................................................43 3.4.9. Relao entre as distribuies Binomial, Hipergeomtrica e Poisson ............................................................44

    4. EXERCCIOS ...........................................................................................................................................................46

    5. RESPOSTAS DOS EXERCCIOS............................................................................................................................54

    6. REFERNCIAS ........................................................................................................................................................58

    Agradeo a reviso criteriosa feita por Nilton Marcelo Silveira.

  • S R I E : P r o b a b i l i d a d e

    T e x t o 1 : P R O B A B I L I D A D E U N I V A R I A D A I

    P r o f . L o r V i a l i - v i a l i @ m a t . u f r g s . b r - h t t p : / / w w w . m a t . u f r g s . b r / ~ v i a l i / 3

    1. INTRODUO

    A cincia manteve-se at pouco tempo atrs, firmemente apegada lei da causa e efeito.

    Quando o efeito esperado no se concretizava, atribua-se o fato ou a uma falha na experincia ou a

    uma falha na identificao da causa. No poderia haver quebra da cadeia lgica. Segundo Laplace

    (Pierre Simon) uma vez conhecidas a vizinhana, a velocidade e a direo de cada tomo no universo,

    poder-se-ia, a partir da, predizer com certeza, o futuro at a eternidade.

    Sabe-se hoje, atravs do princpio da incerteza , que no bem assim. Que no existem meios

    que permitam determinar os movimentos dos eltrons individuais se conhecido a sua velocidade, con-

    forme o estabelecido em 1927, pelo fsico alemo W. Heisenberg.

    1.1. MODELOS

    Conforme J. Neyman, toda a vez que se emprega Matemtic