Probabi 2 [Modo de Compatibilidade] - mat.ufrgs.br viali/estatistica/mat2246/material/laminaspi/... ·

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  • 1

    Prof. Lor Viali, Dr.

    viali@mat.ufrgs.br

    http://www.mat.ufrgs.br/~viali/Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Seja X uma varivel aleatria com

    conjunto de valores X(S). Se o conjunto

    de valores for infinito no enumervel

    ento a varivel dita contnua.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    a funo que associa a cada

    x X(S) um nmero f(x) que deve

    satisfazer as seguintes propriedades:

    f(x) 0

    1dx).x(f =

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A coleo dos pares

    (x, f(x)) denominada de distribuio

    de probabilidade da VAC X.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Seja X uma VAC. Determine o valor

    de c para que f(x) seja uma funo

    densidade de probabilidade (fdp).

    c. c.

    x se x.c)x(f

    =0

    112

  • 2

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Para determinar o valor de c,

    devemos igualar a rea total a um, isto ,

    devemos fazer:

    1 f(x)dx 11- =

    1 dx xc.11-

    2 =

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Tem-se:

    2

    31

    3

    2===

    =

    =

    =

    = =

    cc

    31-

    31c

    3xc

    dx xc dx xc.

    333 1

    1-

    1

    1-

    11-

    211-

    2

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    0,0

    0,5

    1,0

    1,5

    -1,5 -1,3 -1,0 -0,8 -0,5 -0,2 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5

    2

    )x(f x32

    =

    1X-1 Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    ====

  • 3

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Seja X uma VAC. Determine a

    probabilidade de X assumir valores no

    intervalo [-0,5; 0,5].

    c. c. 0

    1 x 1 se 2x3

    )x(f

    2

    =

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A probabilidade solicitada dada por:

    %,](-0,5)(0,5)[2

    1

    3x

    2

    3 dx x

    2

    3

    dx 2x3),X,(P

    33

    0,5

    05-

    0,50,5-

    2

    0,50,5-

    2

    3

    5012

    5050

    ==

    =

    ==

    ==

  • 4

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A F(x) uma funo definida em

    todo o intervalo real da seguinte forma:

    1 x se

    x se duu

    1- x se 0

    )x(F x

    >

    +

  • 6

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Utilizar integrao numrica.

    Como no possvel fazer isto com

    todas as curvas, escolheu-se uma

    para ser tabelada (integrada

    numericamente).

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    =

    XZ

    A curva escolhida aN(0, 1), isto , com = 0 e = 1.

    Se X uma N(, ), ento:Se X uma N(, ), ento:

    Ser uma N(0; 1)

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    =

    z ,e.2

    1)z(

    .2z2

    A fdp da varivel Z dada por:

    uma vez que = 0 e = 1.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    0,0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    O que tabelado a FDA davarivel Z, isto :

    )z( due.2

    1

    du)u()zZ(P

    z-

    .2

    u2

    z-

    =

    =

    ==

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    0,0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

    z

    )z(

  • 7

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    direta Leitura)z( z) P(Z ==

    )z()z(-1z) P(Z-1 z) P(Z ===>

    )z()z( )z ZzP( 1221 = 65)

    (c) P(45 < X < 62)

  • 8

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    %56,10)25,1Z(P

    )8

    5040X(P)40X(P

    ==

    =

    =

    (a) P(X 40)

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    %01,3)88,1()88,1(1

    )88,1Z(P1)88,1Z(P

    )8

    5065X(P)65X(P

    ===

    ==

    =

    >

    =>

    (b) P(X > 65)

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    %65,65%67,27%32,93

    )62,0()50,1(

    )50,162,0(

    )8

    5062

    8

    5045(

    )6245(

    ==

    ==

    =

  • 9

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    0,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    26 34 42 50 58 66 74

    5%

    x

    P(X x) = 5%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    8

    50

    5

    8

    50

    =

    ===

    =

    =

    xz onde

    %)z()zZ(P

    )xX

    (P)xX(P

    Em (a) temos P(X x) = 5%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    ),(z

    %)()]z([

    ento%,)z( Se

    050

    5

    5

    1

    11

    =

    =

    =

    Procurando na tabela, o valor (z)

    mais prximo de 5% = 0,05, tem-se:

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    z 0 1 2 3 4 5

    -3 0,0013 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606

    z 0 1 2 3 4 5

    -3 0,0013 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606

    z = -1,65z = -

    1,64

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    Como os dois valores esto a

    mesma distncia, isto , apresentam

    o mesmo erro (0,0005), pega-se a

    mdia entre eles.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    645,12

    65,164,1z

    Assim

    =+

    =

    84,368.645,1508

    50645,1

    : ,8

    50

    ==

    ==

    =

    x

    xz

    setemx

    zComo

  • 10

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    )01,0(zLogo

    )z()z(1 Mas

    01,0%1)z(1)zZ(P

    )8

    50xX(P)xX(P

    1

    =

    =

    ===>=

    =

    >

    =>

    Em (b) temos P(X > x) = 1%

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    0,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    26 34 42 50 58 66 74

    0,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    1%

    x

    P(X > x) = 1%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Procurando na tabela, o valor (z)

    mais prximo de 1% = 0,01, tem-se:

    z = -2,33

    Conforme pode ser visto na

    prxima lmina!

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    z 0 1 2 3

    -3 0,0013 0,0010 0,0007 0,0005-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212

    z = -

    2,33

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    64,68508.33,2x

    8

    50x)33,2(

    :setem ),01,0(z

    Como

    1

    =+=

    =

    =

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    0k para ,dxex)k( x01k >=

    Para se definir as Distribuies t,

    2 e F necessrio definir inicialmente

    a Funo Gama.