1

F S

Dis

trib

uiç

ão d

e p

rob

abili

dad

e

1 ,5

1 ,0

0 ,5

0 ,0

0 1 1 ,5

2 ,5

2 ,0

S IT U A Ç Ã O "B "

2 3 4 5

S IT U A Ç Ã O "A "

Probabilidade de ruptura de um talude infinito Wolkartt, G. UFES, Vitória, E.S, Brasil, giliarde.ufes@gmail.com Ribeiro, R.C.H. UFES, Vitória, E.S, Brasil, romulocas@gmail.com Resumo: O presente trabalho aplica o Método do Segundo Momento de Primeira Ordem na previsão de probabilidade de ruptura (P[R]) de um talude infinito de solo residual jovem de Gnaisse, com fator de segurança (FS) obtido para duas situações: solo não-saturado e outra com fluxo paralelo à superfície de ruptura. Nesse estudo são apresentadas duas equações para a estimativa da variância do fator de segurança, que são aplicadas para as previsões da probabilidade de ruptura. Finaliza com a análise da influência da percolação de água na probabilidade de ruptura. Abstract: the present article applies the method of the second moment of the first order to forecasting the failure probability (P[R]) for an infinite slope in residual soil of Gneiss couple, with safety factor (SF), for the following situations: slope with unsaturated soil and with flow parallel to the rupture surface. The study presents two equations for estimate the safety factor variance, it are applied to forecasting the rupture probability. At the end, analysis the influence of water flow percolation on the rupture probability. 1 INTRODUÇÃO Previsão de fatores de segurança (FS) em estudos geotécnicos de estabilidade de taludes é tradicionalmente feito através de métodos determinísticos, com base nos valores médios dos parâmetros do solo ou da rocha. Entretanto, a variabilidade desses parâmetros gera incertezas às estimativas determinísticas, o que leva a uma conseqüente probabilidade ruptura. Para quantificar as probabilidades de ruptura em estudos geotécnicos, faz-se necessário o desenvolvimento de análises de probabilidade e estatística. Tais análises fornecem apenas valores relativos de probabilidade de ruptura, haja vista a infinidade de fontes de incertezas que podem afetar uma previsão determinística, e apenas algumas dessas podem ser contempladas nos cálculos estatísticos e probabilísticos. A relevância da aplicação de métodos estatísticos e probabilísticos é ilustrada na figura 1, com base em duas análises de equilíbrio limite. Nas situações “A” e “B” os valores médios dos fatores de segurança são respectivamente iguais a 1,5 e 2. Em termos determinísticos, a situação “B” se apresenta com uma margem de segurança em relação à ruptura, superior à obtida para a situação “A”. Entretanto, em virtude da magnitude das incertezas na determinação estatística dos parâmetros geotécnicos médios, verifica-se que a distribuição

probabilística de “B” apresenta uma maior dispersão em torno do valor médio do fator de segurança. Uma vez que a probabilidade de ruptura é definida como a área sob a curva de probabilidade para valores de FS inferiores ou iguais a 1, a situação “B” é a que se configura com menor confiabilidade.

Figura 1: Comparação entre Duas Situações com Médias e Distribuições de FS Diferentes.

Portanto, o resultado determinístico não é

suficiente para se inferir a segurança ou desempenho de uma análise geotécnica. É imperativa a análise da influência da variabilidade dos parâmetros na previsão determinística, quantificada por estimativas probabilísticas. Visando avaliar a influência da percolação de água na probabilidade de ruptura de

2

][.][2

1i

i

n

ixV

x

ffV

∂

∂Σ==

τ

sFS =

( ))tan(

)tan()(cos

),tan(,2

α

φαγ

γφ

+

= ntn

h

c

cFS

( )

)(

)'tan()cos(

)(

)cos(

'

),tan(,'

α

γ

φαγ

α

αγγφ

sen

sen

h

c

cFS

sat

sub

sattsat

⋅⋅

+⋅⋅

=′

)()(tan)(cos)()(

)(

)()(tan

1

))().cos(..(

)(][

2442

2

2

2

n

nt

nt

Vh

c

V

senh

cVFSV

γααγ

φα

ααγ

⋅⋅

−

−+

+=

)(

).'tan().().cos(

)().cos(..

'

)'()(tan.)(

)(

))().cos(..(

)'(][

2

2

2

22

2

2

sat

sat

sub

satt

sat

sub

satt

V

sen

senh

c

V

senh

cVFSV

γ

γ

γφαα

ααγ

φαγ

γ

ααγ

⋅

+

+

+⋅⋅

+

+=

um talude infinito, apresenta-se a seguir, análises para o talude descrito na figura 2, com os parâmetros geotécnicos apresentados através das tabelas 1 e 2. Figura 2: Talude Infinito Tabela 1 – Parâmetros Geotécnicos e Estatísticos

Talude com Solo Não-Saturado

Parâmetro Valor Médio Variância Desvio Padrão

c 73,90 KPa 54,61 7,39

Φ 30,40º 1,48 1,22

γ 14,13 KN/m³ 0,18 0,42

Tabela 2 – Parâmetros Geotécnicos e Estatísticos Talude com Fluxo Paralelo à Superfície de Ruptura

Parâmetro Valor Médio Variância Desvio Padrão

c’ 54,90 KPa 30,14 5,49

Φ’ 30,00º 0,81 0,90

γ 14,13 KN/m³ 0,18 0,42

2 ANÁLISES PROBABILÍSTICAS A variância V de uma determinada variável aleatória dependente pode ser obtida através do método do Segundo Momento de Primeira Ordem, que consiste na expansão de uma função em série de Taylor, truncada a partir de sua derivada de primeira ordem. Harr (1987) demonstra que a variância de uma função f (x1, x2,..., xn) pode ser estimada através da função (1):

(1) A função f pode ser representada pelo fator de segurança (FS) referente a ruptura de um talude infinito, tal que FS é definido da seguinte forma: (2)

Em que s é a resistência ao cisalhamento do talude infinito e τ a tensão cisalhante atuante, a partir da equação (2) podem ser desenvolvidas as equações (3) e (4) respectivamente correspondentes ao caso em que se tem o talude com o solo não-saturado e para o caso em que há fluxo paralelo à superfície de ruptura: (3) (4) A variância de FS de acordo com o Método do Segundo Momento de Primeira Ordem pode ser obtida de forma analítica, com o desenvolvimento das derivadas parciais de FS em relação aos parâmetros geotécnicos adotados como variáveis aleatórias. As equações (5) e (6) resultam desse desenvolvimento. (5) (6) As tabelas 3 e 4, mostram as marchas de cálculo da variância de FS calculadas pelos Método das Diferenças Divididas, que consiste em variar separadamente cada parâmetro, observando a variação correspondente em FS, sendo a aproximação da derivada parcial de cada parâmetro obtida através da razão entre a variação observada de FS e a variação estipulada para cada parâmetro.

3

0

20

40

60

80

100

Φ' c' Peso Espífico Saturado

Parâmetros

% d

e infl

uência

na

V[F

S]

0

20

40

60

80

100

Φ' c' Peso Espífico Saturado

Parâmetros

% d

e i

nfl

uên

cia

na

V

[FS

]

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4FS

P[FS

]

Tabela 3 – Variância pelo Método das Diferenças Divididas - Talude com Solo Não-Saturado

Tabela 4 – Variância pelo Método das Diferenças Divididas - Talude com Fluxo

A influência de cada parâmetro geotécnico na composição da variância do fator de segurança (FS) é mostrada abaixo nas figuras 3 e 4. Figura 3 – Influência dos Parâmetros Geotécnicos na Variância do Fator de Segurança (FS) – Talude com o Solo Não-Saturado. Figura 4 – Influência dos Parâmetros Geotécnicos na Variância do Fator de Segurança (FS) – Talude com Fluxo Paralelo à Superfície de Ruptura. Os valores da variâncias de FS obtidos a partir das equações (5) e (6), ficaram muito próximos

daqueles obtidos pelo Método das Diferenças Divididas, tabelas 3 e 4. Os valore médios de FS obtidos com base nos parâmetros médios são 1,89 e 1,14, respectivamente às situações com solo não-saturado e solo com o fluxo de água paralelo a superfície do talude. Os valores de média e variância possibilitam obter os valores de probabilidades de ruptura, para isso adota-se uma distribuição normal de probabilidades, amplamente utilizada na geotecnia. A presença de água no talude causou um acentuado descrécimo no valor médio do fator de segurança, além do aumento significativo da probabilidade de ruptura, abaixo a tabela 5 lista alguns valores de P[R] para o talude. Figura 5 – Distribuições de Probabilidades para o Talude com o Solo Não-Saturado e com Fluxo de Água Paralelo à Superfície de Ruptura. Tabela 5 – Probabilidades de Ruptura Situação P[FS<=1] P[FS<=1,5] Talude Não-Saturado

0,001 3,139

Talude com Fluxo 9,970 99,950

Parâmetro (xi)

Variânci (V[xi])

Variação dos Parâmetros

(δxi)

Variação de FS (δFS) δFS/(δxi) (δFS/(δxi))².

V[xi]

Φ 54,61 0,0010 0,0015 0,0204 0,0228 c 1,48 0,0001 0,0001 1,7321 0,0775 γ 0,18 0,0010 -0,0015 -0,1067 0,0021 Somatório 0,1023

Parâmetro (xi)

Variância (V[xi])

Variação dos Parâmetros

(δxi)

Variação de FS (δFS) δFS/(δxi) (δFS/(δxi))².

V[xi]

Φ’ 30,14 0,1000 0,1122 0,0204 0,0126 c’ 0,81 0,0100 0,0035 0,5063 0,0036

γ 0,18 0,0001 -0,00001 -0,0794 0,0011 Somatório 0,0173

Com Fluxo

Não-Saturado

4

3 CONCLUSÃO O valor médio do fator de segurança (FS) aliado as equações (5) e (6) para cálculo da variância (V) do fator de segurança (FS), possibilitaram a análise da probabilidade de ruptura P[R], figura 5, o que fica incógnito quando a situação é avaliada apenas pelo valor médio de FS; a figura 1 acima deixa claro que a análise de estabilidade é um par da forma: (FS; V), e que negligenciar a componente V pode significar fazer uma análise deficiente e por vezes insegura. As equações analíticas (5) e (6) apresentas para estimar as variâncias de FS podem ser utilizadas na previsão da probabilidade de ruptura de taludes infinitos, substituindo a análise pelo Método das Diferenças Divididas. A quantificação da influência de cada parâmetro geotécnico na probabilidade de ruptura P[R], figuras 3 e 4, mostrou que houve uma troca de magnitude percentual da influência dos parâmetro geotécnicos na variância, ditada pelo estado do talude. A probabilidade de ruptura foi influenciada principalmente pela magnitude do valor médio de FS, haja vista que a magnitude da variância de FS aumenta com a situação de fluxo. A redução do valor médio do FS de 1,89 para 1,14, cerca de 60%, devido à mudança de estado do talude, gerou um aumento de aproximadamente 10% na probabilidade de ruptura P[R], dando um alerta a segurança, tabela 5, o que evidencia a influência do fluxo na estabilidade do talude e a necessidade de um sistema adequado de drenagem. 4 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS Harr, M.E. (1987). Reliability- Based Design in

Civil Engineering, McGraw-Hill, Inc., USA.

Lima, Elon Lages (2000). Álgebra Linear, Impa, Rio. Ribeiro, R.C.H. (2008). Aplicação de Probabilidade e Estatística em Análises Geotécnicas, Tese de Doutorado Apresentada à PUC-RIO, RIO, 161 p.