Probabilidade e Distribuicao de Probabilidade Completo 2010 Da Prof Isabel

PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

ISABEL C. C. LEITE

SALVADOR – BA

2010

Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 1

Probabilidades

Introdução

De modo geral ao estudarmos qualquer fenômeno devemos procurar um modelo

matemático que nos ajude a descrever de forma satisfatória o fenômeno apresentado. Assim,

necessitamos materializar uma forma matemática para os fenômenos de observação, tais modelos

matemáticos são de dois tipos: Determinístico e Não-Determinístico.

O Modelo determinístico é relativo aos experimentos que apresentam um resultado com um padrão

matemático, ou seja, quaisquer desvios ou erros se apresentaram pequenos o suficiente para jamais

alterar o modelo que com isto se torna suficiente. São exemplos: As leis da Física (Gravitacional e

as de Kepler)

O Modelo Não-Determinístico (probabilístico ou estatístico) se apresenta como resultados

irregulares quando analisados individualmente, ou seja, existiram desvios suficientes que podem

alterar um dado comportamento de um fenômeno qualquer, mesmo que saibamos todas as

possíveis respostas do experimento. São exemplos quaisquer experimentos com resultados

aleatórios (jogar um dado comum, tirar uma carta de um baralho de 52 cartas, etc.).

Experimentos Aleatórios

O experimento aleatório tem sua formação num conjunto circunstancial com respostas

observáveis e incertas, com três características fundamentais:

O experimento pode ser repetido quantas vezes desejarmos;

A cada resultado individual observa-se total irregularidade dos resultados tornando-os

sem previsão exata;

Após uma grande repetição do experimento observamos impressionante regularidade

estatística quando da análise dos dados em conjunto.

Exemplos de experimentos aleatórios:

Observar o naipe sorteado de um baralho comum com 52 cartas;

Observar o resultado da face voltada para cima de um dado ao arremessá-lo uma vez.

Contar o número de parafusos defeituosos produzidos diariamente por uma dada máquina.

Espaço Amostral ()

Ao realizarmos um experimento aleatório, o conjunto de todos os resultados possíveis do

experimento será chamado de espaço amostral.

Indicaremos o número de elementos do espaço amostral por N

Exemplos: Construa o espaço amostral () dos seguintes experimentos aleatórios:

a) Jogar um dado e observar a face voltada para cima.

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e N = 6


b) Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.

= {K, C}, onde K = cara e C = coroa e N = 2

c) Lançar uma moeda e um dado ao mesmo tempo.

= {1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C} e N = 12

O espaço amostral () poderá ser finito ou infinito. Aqui veremos apenas experimentos com espaço amostral finito.

O resultado obtido quando se realiza um experimento aleatório pode ser formado por um

número ou um grupo de números, um atributo ou grupo de atributos, ou, ainda, por uma

combinação de aspectos quantitativos e/ou qualitativos. Assim, as características de interesses

associadas a um experimento, aleatório será chamado de espaço amostral.

Na teoria das probabilidades o espaço amostral () é um termo primitivo, logo sem definição a

partir de outros termos, alguns autores consideram-no mesmo inserido no conceito de experimentos

aleatórios.

Eventos

Os subconjuntos de são chamados eventos. Ao realizarmos um experimento aleatório diz-se

que o evento A, A (A está contido em ômega), se realiza se o resultado é um elemento

pertencente a A. A importância do espaço amostral provém sobretudo de ser o meio empregado

para a definição do evento. Há, em regra, muito mais interesse nos eventos e nas famílias de

eventos do que nos elementos daquele espaço.

Através das operações dos conjuntos matemáticos por todos conhecidas, poderemos sempre criar novos eventos:

11.. AB = o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem;

22.. AB = o evento que ocorre se A e B ocorrem;

33.. AC = o evento que ocorre se A não ocorre.

Exemplo1: No lançamento de duas moedas honestas, sejam os eventos:

A = {sair exatamente uma cara e uma coroa}

B = {sair uma cara na primeira moeda}

C = {sair pelo menos uma coroa}

= {KK, KC, CK, CC}

A = {KC, CK}

B = {KK, KC}

C = {KC, CK, CC}

AB = {KC, CK, KK}

BC = {KC}

AC

= {KK, CC}


Exemplo2: No lançamento de dois dados ordinários, seja o evento

A = {(i, j): i + j = 5; i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Assim, seu espaço amostral () será:

A = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)}

Definição de Probabilidade

Clássica: “A probabilidade de um evento ocorrer é o quociente entre o número de casos favoráveis

ao evento e o número de casos possíveis, supondo todos os casos igualmente possíveis”.

N

AnAP

Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa: “A probabilidade é determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado

favorável em um certo número de observações ou experimentos”.

totalfrequência

evento do frequência AAP

Dado um espaço amostral, , a função probabilidade associa a cada evento um número real, onde:

11.. 0 P(A) 1;

22.. Se P(A) = 1, A é dito evento certo;

33.. Se P(A) = 0, A é dito evento impossível.

44.. Se AC é o complemento do evento A, então P(A

C) = 1 – P(A)

55.. Se A B, então P(A) P(B).

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não ocorrem simultaneamente,

isto é, AB = Ø.

Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então, P(AB) = P(A) + P(B).

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)

(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)


Teorema da Soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Obs.:

Quando associamos a cada ponto do espaço amostral a mesma probabilidade, o espaço amostral

será denominado equiprovável.

Podemos representar a probabilidade como fração própria, número decimal ou percentual.

Exemplo3: Qual é a probabilidade de um número ímpar aparecer quando jogamos um dado ?

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {aparecer um número ímpar} = {1, 3, 5}

P{aparecer um número ímpar} = N

An

P{aparecer um número ímpar} = 2

1

6

3

Exemplo4: Qual é a probabilidade de uma “cara” aparecer ao jogarmos uma moeda não viciada?

= {K, C} A = {uma “cara” aparece} = {K}

P{uma “cara” aparece} = 2

1

Exemplo5: Ao retirar uma carta do baralho, os eventos “ás” e “espadas” não são mutuamente

exclusivos. A probabilidade de retirar um ás (A) ou uma espada (E), ou ambos, em só uma

tentativa, pelo teorema da soma, é

P(AE) = 13

4

52

16

52

1

52

13

52

4

Diagramas de Venn

B

AC

A A A B

A e B não exclusivos A e B mutuamente exclusivos A AC =


Probabilidade Condicional e Independência

Probabilidade Condicional

Seja B um evento arbitrário compondo um espaço amostral , onde P(B) > 0 por já ter ocorrido. Uma vez que B já ocorreu, a probabilidade de um outro evento A ocorrer dado que o

evento B tenha ocorrido será dada pela seguinte probabilidade condicional, definido por:

BP

BAPBAP

/

Analogamente, a probabilidade de ocorrer o evento B tendo já ocorrido o evento A:

AP

BAPABP

/ ; (neste caso P(A) > 0, pois o evento A já ocorreu)

Teorema: Seja um espaço finito equiprovável composto pelos eventos A e B. Assim,

Número de elementos em (A B) P(A / B) =

Número de elementos em B

Exemplo6: Dois dados não viciados são lançados.

a)Se a soma dos resultados apresentados pelos dados foi 5, qual é a probabilidade de ter ocorrido a

face 2 em um deles ?

b) Se uma face 2 ocorreu, qual é a probabilidade da soma dos dados ser 5 ?

Solução: O espaço amostral é o mesmo do exemplo2, onde N = 36.

Sejam B = {soma 5} = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)} e

A = {ocorre a face 2} = {(1,2); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 2); (4, 2); (5, 2);

(6, 2)}

AB = {(2, 3); (3, 2)}

P(AB) = 2/36, P(B) = 4/36, P(A) = 11/36

a) Desejamos saber a probabilidade de A tendo ocorrido B:

P(A/B) = 2

1

364

362

b) Neste caso desejamos saber a probabilidade de B tendo ocorrido A:

P(B/A) = 11

2

3611

362


Teorema do Produto

Este teorema pode ser dado a partir do enunciado de probabilidade Condicional:

“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B do mesmo espaço

amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro,

dado o primeiro”. Assim:

BAPBPBAPBP

BAPBAP //

ABPAPBAPAP

BAPABP //

Independência Estatística

Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é

igual à probabilidade condicional de A dado B, isto é,

P(A) = P(A/B)

e, é evidente que, se A é independente de B, B também o é em relação a A, assim:

P(B) = P(B/A)

Considerando o teorema do produto, podemos afirmar que sempre que A e B são

independentes, teremos como relação:

BPAPBAP

Assim, dados n eventos, diremos que eles serão independentes, se o forem 2 a 2, 3 a 3, ...., n a n.

Exemplo7: Dois diferentes departamentos de produção de uma grande empresa são: Produtos

Marítimos (M) e Equipamentos para Oficinas (O). A probabilidade de que a divisão de Produtos

Marítimos tenha, no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mínimo 10% é estimada em

0,30; a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros

de pelo menos 10% é 0,20; e a probabilidade de que ambas as divisões tenham uma margem de

lucro de no mínimo 10% é 0,06.

a) Determinar a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma

margem de lucro no mínimo de 10% dado que a divisão de Produtos Marítimos tenha

alcançado tal nível de lucro.

b) Aplicar um teste apropriado para determinar se a consecução das metas de lucro nas duas

divisões é estatisticamente independente.

Solução: a) 20,030,0

06,0

)(

)()/(

MP

MOPMOP

b) )./()(?

MOPOP Uma vez que 0,20 = 0,20, os dois eventos são independentes.


Análise Combinatória

Pelo enfoque clássico para determinar as probabilidades devemos conhecer o número de

resultados igualmente prováveis que são favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis.

Quando os problemas são simples, estes números podem ser diretamente contados. Contudo, para

problemas mais complexos é necessária a teoria da análise combinatória para determinar o número

de tais resultados possíveis.

Princípio fundamental da contagem (multiplicativo)

Se algum procedimento pode ser efetuado de n1 formas diferentes e se, seguindo este, um

segundo procedimento pode ser efetuado de n2 formas diferentes, e assim sucessivamente, então o

número de formas que o conjunto de procedimentos pode ser efetuado é indicado pelo produto

21 nn

Exemplo8: Escolher duas pessoas para compor uma comissão, sendo que uma delas deve ser

homem, escolhido entre 4 homens e a outra deve ser mulher, escolhida entre 6 mulheres. O número

de formas diferentes de escolher estas duas pessoas é 4·6 = 24.

Permutações

O número de permutações de n objetos é o número de maneiras pelas quais os objetos

podem ser arrumados em termos de ordem:

Permutações de n objetos = 121! nnn

O símbolo n! é lido “n fatorial”. Em problemas de permutações e combinações n é sempre positivo.

Matematicamente, 0! = 1, por definição.

Exemplo9: Três membros de uma organização social se oferecem como voluntários para comporem

a diretoria para o próximo ano, assumindo as funções de Presidente, Secretário e Tesoureiro. O

número de maneiras (permutações) pelas quais os três podem assumir tais cargos é:

6123!3! n

Arranjos

Geralmente estamos interessados no número de permutações de algum subgrupo dos n

objetos, e não em todos os n objetos. Isto é, dizemos que estamos interessados no número de

arranjos de n objetos tomados r de cada vez, onde r < n:

!!

,rn

nA rn

Exemplo10: No exemplo9, suponha que existem 10 membros na organização social e que nenhuma

indicação haja sido feita para os cargos de Presidente, Secretário e Tesoureiro. O número de

diferentes disposições de três diretores eleitos entre os 10 membros do clube é:

7208910!7

!78910

!7

!10

)!310(

!103,10

A


Combinações

No caso das permutações e arranjos é importante a ordem na qual estão dispostos os

objetos. No caso das combinações interessa-nos o número de diferentes agrupamentos que se

podem formar com os n objetos sem levar em consideração a ordem. Por conseguinte, o número de

combinações de n objetos tomados r de cada vez é:

!!

!,

rnr

nC rn

A combinação de n objetos tomados r de cada vez é também representada por

r

n.

Observe que !

,,

r

AC

rnrn , o que nos sugere que estamos eliminando a ordem dos r objetos

agrupados no arranjo.

Exemplo11: Suponhamos que três membros de uma pequena organização social de 10 membros vão

ser escolhidos para formar uma comissão. O número de diferentes grupos de três pessoas que

podem ser formados, sem ter em conta as diferentes ordens em que cada indivíduo poderia ser

escolhido, é:

120

123

8910

!7!3

!78910

!310!3

!103,10

C

Tendo concluído esta revisão dos conceitos básicos da análise combinatória, vejamos a sua

aplicação no cálculo de probabilidades.

Exemplo12: Continuando o exemplo11, se o grupo contém seis mulheres e quatro homens, qual a

probabilidade de que uma comissão escolhida aleatoriamente seja composta de duas mulheres e um

homem?

A abordagem fundamental é determinar o número de combinações de resultados que contêm

exatamente duas mulheres (das seis mulheres) e um homem (dos quatro homens), e então tomar a

razão deste número para o total de combinações.

Número de comissões com 2M e 1H = 1,42,6 CC

= 60415!3!1

!4

!4!2

!6

Número total de comissões possíveis =

120123

8910

!310!3

!103,10

C

P(2M e 1H) = 5,0120

60

3,10

1,42,6

C

CC

No exemplo12 foi usado o princípio multiplicativo para resultados sequenciais.

Exemplo13: Num lote de 6 peças 4 são perfeitas; duas são retiradas aleatoriamente. Calcule:

a) A probabilidade de ambas serem defeituosas;

b) A probabilidade de pelo menos uma peça ser perfeita.

a) P(ambas defeituosas) = 15

1

!4!2

!6!0!2

!2

2,6

2,2

C

C

b) P(pelo menos uma perfeita) = 1 – P(ambas defeituosas) = 15

14

15

11


Exercícios

1. Qual é a probabilidade de tirarmos a carta de número 3 de um grupo de 10 cartas numeradas de 1 até 10?

Resp: 1/10

2. Com relação ao problema anterior, qual é a probabilidade de sacarmos uma carta de número par?

Resp: 1/2

3. Dois dados não viciados são jogados. Qual é a probabilidade de que o primeiro resultado seja maior do

que o do segundo dado? Resp: 5/12

4. Três Cavalos A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes mais provável de ganhar do que B e B é duas

vezes mais provável do que C. Responda: Quais são as probabilidades de vitória de cada um? Qual é a

probabilidade de que B ou C ganhe a corrida?

Resp: P(A) = 4/7, P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7; P(B ou C) = 3/7

5. Três gatinhos caçam um pobre ratinho acuado em uma sala. Considere que o infeliz ratinho não escapará

em hipótese nenhuma e que apenas um dos gatinhos irá devorá-lo, sabendo que o gatinho mais velho é

três vezes mais provável de levar o quitute ao estômago em relação ao gatinho intermediário, e este

quatro vezes mais provável de levá-lo ao estômago que o gatinho mais novo. Responda: a) Quais são as

probabilidades de caçar o ratinho de cada gatinho? b) Qual é a probabilidade do gatinho intermediário

ou do gatinho mais novo caçar o ratinho? c) Qual é a probabilidade de qualquer um dos gatinhos sair-se

bem sucedido da empreitada? Justifique este último resultado.

Resp: a) P(Velho) = 12/17, P(Int.) = 4/17, P(Novo) = 1/17; b) 5/17; c) 1 ou 100%

6. Dada uma urna contendo 2 bolas brancas, 4 vermelhas e 6 amarelas e retirando apenas uma bola desta

urna, encontre a probabilidade de: a) Escolhermos uma bola qualquer da urna? b) Escolhermos uma

bola branca? c) Escolhermos uma bola vermelha? d) Escolhermos uma bola amarela da urna?

Resp: a) 1; b) 1/6; c) 1/3; d) 1/2

7. Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Encontre

a probabilidade de que: a) nenhuma seja defeituosa; b) exatamente uma seja defeituosa; c) pelo menos

uma seja defeituosa.

Resp: a) 24/91; b) 45/91; c) 67/91

8. Duas cartas são selecionadas aleatoriamente dentre 10 cartas numeradas de 1 a 10. Encontre a

probabilidade de que a soma seja ímpar: a) se as duas cartas são retiradas juntas; b) se as duas cartas são

retiradas uma após a outra sem reposição; c) se as duas cartas são retiradas uma após a outra com

reposição. Resp: a)5/9; b) 5/9; c) 1/2

9. Numa classe há 10 homens e 20 mulheres; a metade dos homens e a metade das mulheres têm olhos

castanhos. Ache a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter olhos castanhos ou ser homem.

Resp.: 2/3

10. Das 10 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a

probabilidade de (a) ambas terem olhos azuis; (b) nenhuma ter olhos azuis; (c) Pelo menos uma ter olhos

azuis. Resp.: a) 1/15; b) 7/15; c) 8/15

11. Dez estudantes A, B, C, ..., estão numa classe. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente,

encontre a probabilidade de:

a) “A” pertencer à comissão;

b) “B” pertencer à comissão;

c) “A e B” pertencerem à comissão;

d) “A ou B” pertencerem à comissão.

Resp.: a) 3/10; b) 3/10; c) 1/15; d) 8/15


12. Lança-se um par de dados não viciados. Ache a probabilidade de a soma das faces dos dados ser maior

ou igual a 10, se a) ocorrer 5 no primeiro dado; b) ocorrer 5 em pelo menos um dos dados.

Resp.: a) 1/3 ; b) 3/11

13. Lançam-se três moedas não viciadas. Encontre a probabilidade de ocorrer cara em todas elas, se a)

ocorre cara na primeira moeda; b) ocorre cara numa das moedas. Resp.: a) 1/4; b) 1/7.

14. Em certo colégio 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% e química e 10% em

matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é selecionado aleatoriamente.

a) Se ele foi reprovado em química, qual é a probabilidade dele Ter sido reprovado em matemática ?

b) Se ele foi reprovado em matemática, qual é a probabilidade dele ter sido reprovado em química ?

c) Qual é a probabilidade dele ter sido reprovado em matemática ou química ?

d) Qual é a probabilidade dele não ter sido reprovado nem em matemática nem em química ?

Resp.: a) 2/3; b) 2/5; c) 3/10; d) 7/10

15. Uma urna possui 8 objetos dos quais 3 são defeituosos. São escolhidos aleatoriamente 4 objetos.

Pergunta-se: a) Qual é a probabilidade dos 4 serem perfeitos; b) pelo menos um ser defeituoso; c) pelo

menos dois serem defeituosos; d) Se é sabido que um objeto defeituoso foi sorteado, qual é a

probabilidade de sairem mais dois defeituosos?

Resp.: a) 1/14; b)13/14; c)1/2; d)1/7

16. Lança-se um par de dados não viciados. Se ocorrem dois números diferentes, encontre a probabilidade

de: a) a soma ser 6; b) de ocorrer um 1; c) a soma ser menor ou igual a 4.

Resp.: a) 2/15; b) 1/3 ; c) 2/15.

17. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas e 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. a)

Qual a probabilidade de que ambas sejam boas? b) Qual a probabilidade de que ambas sejam

defeituosas?

Resp: a) 14/33, b) 1/11

18. Lança-se uma moeda viciada de modo que P(cara) = 2/3 e a P(coroa) = 1/3. Se aparecer cara, então se

seleciona aleatoriamente um número dentre os de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-se aleatoriamente

um número dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de um número par ser selecionado. Resp: 58/135

19. A probabilidade de dois competidores em um torneio de tiro ao alvo é dada da seguinte maneira: o

atirador A acerta o alvo com probabilidade de 1/4, enquanto o atirador B, com 2/5. a) Qual é a

probabilidade de ambos acertarem o alvo? b) Qual é a probabilidade de pelo menos um errar o alvo? c)

Qual é a probabilidade A errar e B acertar o alvo? d) Qual é a probabilidade A errar ou B acertar o alvo?

Resp: a) 1/10; b)9/10; c)3/10; d)17/20.

20. A probabilidade de um homem viver mais dez anos é 1/4 e a probabilidade de sua esposa viver mais dez

anos é 1/3. Encontre a probabilidade de a) ambos estarem vivos dentro de dez anos; b) ao menos um

estar vivo dentro de dez anos; c) nenhum estar vivo dentro de dez anos; d) somente a esposa estar viva

dentro de dez anos. Resp.: a) 1/12; b) ½; c) ½; d) ¼.

21. Sendo o espaço amostra = {1, 2, 3, 4 } equiprovável e A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4} três

eventos de . Verificar se os eventos A, B e C são independentes.

Resp.: Não, pois são independentes dois a dois, mas não os três juntos. CPBPAPCBAP )(


VARIÁVEL ALEATÓRIA

Na primeira parte deste curso conceituamos variáveis como características observadas,

medidas ou contadas nos elementos da população ou da amostra e que apresentam variabilidade de

elemento para elemento. Agora, com a ajuda da Teoria da Probabilidade, estaremos interessados no

comportamento destas variáveis na população, e sendo este aleatório, associamos a cada possível

valor sua probabilidade de ocorrência.

Definição: Uma variável aleatória é uma função real (isto é, que assume valores em R) que associa

a cada evento do espaço amostral Ω um número real.

Para simplificar a notação, a expressão variável aleatória será muitas vezes abreviada por

v.a. A convenção usual para representar uma v.a. consiste em usar letras maiúsculas como X, Y, etc.

Um valor específico, mas genérico, dessa variável será representado pela letra minúscula

correspondente: x, y, etc.

Exemplos:

Consideremos o lançamento de dois dados equilibrados. Como já visto, o espaço amostral

desse experimento é formado pelos pares ordenados (i, j), sendo i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esse é um

experimento em que o espaço amostral não é formado por números. Suponhamos que nosso

interesse esteja na soma das faces dos dois dados. Nesse caso, a v.a. X = “soma das duas faces”

pode assumir os valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 conforme ilustrado na tabela abaixo.

Eventos de Ω X

(1,1) 2

(1,2), (2,1) 3

(1,3), (2,2), (3,1) 4

(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 5

(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 6

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 7

(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 8

(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 9

(4,6), (5,5), (6,4) 10

(5,6), (6,5) 11

(6,6) 12

Podemos ver que o valor X = 4 corresponde ao evento A = {(1,3), (2,2), (3,1)}.

Neste caso temos uma variável aleatória discreta, pois a sua imagem (conjunto de valores

que ela assume) é um conjunto enumerável.

Suponhamos, agora, que o experimento consista em sortear uma pessoa de um grupo de 20

adultos e a esse experimento associemos a v.a. X = “altura (em cm) da pessoa sorteada”. Nesse

caso, os possíveis valores de X estariam em um intervalo, por exemplo, [120, 210].

Temos aí uma variável aleatória contínua, pois o conjunto de valores que ela assume é

qualquer intervalo dos números reais, ou seja, um conjunto não enumerável.


FUNÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE

É a função que atribui a cada valor possível x da variável aleatória discreta X sua

probabilidade de ocorrência p(x). Pode ser denominada simplesmente por função de probabilidade.

Ou seja, sendo X uma v.a. discreta e x1, x2, x3,... seus diferentes valores, temos que

p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, 3,...

Exemplo: Consideremos o lançamento de dois dados equilibrados e a v.a. X = “soma das duas

faces”. Para cada valor de X podemos determinar a sua probabilidade.

Eventos de Ω X p(x)

(1,1) 2 361

= 0,0278

(1,2), (2,1) 3 362

= 0,0556

(1,3), (2,2), (3,1) 4 363

= 0,0833

(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 5 364

= 0,1111

(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 6 365

= 0,1389

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 7 366

= 0,1667

(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 8 365

= 0,1389

(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 9 364

= 0,1111

(4,6), (5,5), (6,4) 10 363

= 0,0833

(5,6), (6,5) 11 362

= 0,0556

(6,6) 12 361

= 0,0278

Propriedades

Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive: 10 ixp

A soma de todas as probabilidades é 1: 1i

ixp

Representação gráfica da função de probabilidade


ESPERANÇA, VALOR ESPERADO OU MÉDIA

É o valor médio que resulta das inúmeras observações de uma variável aleatória,

representado por ou XE .

É uma média ponderada de todos os valores possíveis de X. O peso, ou ponderação, de cada

valor é igual à probabilidade de X assumir esse valor.

i

ii xpxXE

Exemplo: Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos

em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória Y com a seguinte distribuição de

probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo):

Nº de produtos (Y) 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidade de venda p(y) 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05

Cada vendedor recebe comissões de venda distribuídas da seguinte forma: se ele vende até

2 produtos em um dia, ganha uma comissão de R$10,00 por produto vendido. A partir da terceira

venda, a comissão passa para R$50,00 por produto. Qual é o número médio de produtos vendidos

por cada vendedor e qual a comissão média de cada um deles?

Solução:

O número médio de vendas por funcionário é

E(Y) = 0 × 0,1 + 1 × 0,4 + 2 × 0,2 + 3 × 0,1 + 4 × 0,1 + 5 × 0,05 + 6 × 0,05

= 2, 05

Com relação à comissão, vamos construir sua função de probabilidade:

Nº de produtos (Y) 0 1 2 3 4 5 6

Comissão (C) 0 10 20 70 120 170 220


E(C) = 0 × 0,1 + 10 × 0,4 + 20 × 0,2 + 70 × 0,1 + 120 × 0,1 + 170 × 0,05 + 220 × 0,05

= 46, 5

ou seja, a comissão média diária de cada vendedor é R$46,50.

VARIÂNCIA

É a medida de dispersão de uma variável aleatória X calculada em relação a E(X), representada por

Var(X) ou 2 e definida por

2i

2

22

i

2

2

ou

)(

XExpx

XEXEXVar

xpXEx

XEXEXVar

ii

ii


DESVIO PADRÃO: DP(X) ou )(XVar

No exemplo anterior, a variância e o desvio padrão da comissão dos vendedores são obtidos

fazendo-se

Comissão (C) 0 10 20 70 120 170 220


c² p(y) 0 40 80 490 1440 1445 2420

reais25,6175,3752

75,3752

²5,4624201445144049080400

2

i

2

22

CExpc

CECECVar

ii

Propriedades

Sejam X e Y variáveis aleatórias e a, b constantes reais quaisquer.

YXCovYVarXVarYXVarYEXEYXEiii

XVaraaXVarXaEaXEii

aVaraaEi

,2)

)

0)

2

OBS: Cov(X,Y) é a covariância entre X e Y, grandeza que mede o grau de dependência entre estas

duas variáveis e definido por

YEYEXEXEYXCov ),(

Exercício:

Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. O quadro a seguir dá a

distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. Se o lucro por

unidade vendida é de R$500,00, qual o lucro esperado em uma semana? Qual é o desvio padrão do

lucro? Resp: E(L) = R$ 1350,00 e σ(L) = R$ 708,87

Nº de aparelhos (X) 0 1 2 3 4 5

Probabilidade de venda p(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1


ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA V.A. DISCRETAS

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Consideremos

n tentativas de um mesmo experimento aleatório;

cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso com probabilidade p e fracasso com

probabilidade q = 1 – p;

os resultados das tentativas são independentes, ou seja, as probabilidades de sucesso e

fracasso são as mesmas em cada tentativa.

Um experimento aleatório com as três características descritas acima é dito um experimento

binomial.

Seja a v.a. X: número de sucessos em n tentativas.

A função de probabilidade da variável X é dada por

,!!

!

)( ,

xnx

xnxxn

qpxnx

nxp

qpCxXPxp

em que X = 0, 1, 2, ..., n.

Dizemos que a v.a. X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, que se denota por

),(~ pnBX .

Ex1: Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes, ou equivalentemente, seis moedas são lançadas;

chamemos de sucesso o evento “ocorrência da face cara”.

a) Qual é a probabilidade de exatamente duas caras ocorrerem?

b) Qual é a probabilidade de ocorrerem pelo menos 4 caras?

c) Qual é a probabilidade de não ocorrerem caras?

d) Qual é a probabilidade de ocorrer pelos menos uma cara?

a)64

15

2

1

2

1

!4!2

!6)2(

262

XP

b) )6()5()4()4( XPXPXPXP

061524

2

1

2

1

!0!6

!6

2

1

2

1

!1!5

!6

2

1

2

1

!2!4

!6

64

22

64

1

64

6

64

15

c)

64

1

2

1

2

1

2

1

!6!0

!6)0(

6060

XP

d)64

63

64

11)0(1)1( XPXP


Construindo uma tabela de distribuição binomial para o número de caras em seis

lançamentos de uma moeda não viciada:

Número de caras X 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidade p(x) 64

1

64

6

64

15

64

20

64

15

64

6

64

1

Ex2: Um dado não viciado é lançado 7 vezes; chamemos de sucesso a ocorrência de um 5 ou um 6.

Então, determine a probabilidade de:

a) Ocorrer 5 ou 6 exatamente 3 vezes;

b) Um 5 ou um 6 nunca ocorrer;

c) Um 5 ou um 6 ocorrer pelo menos uma vez:

a) 2187

560

3

2

3

1

!4!3

!73,65

43

XouP c)

2187

2059011,65 PXouP

b) 2187

128

3

2

3

1

!7!0

!70,65

70

XouP

Cada tentativa de uma distribuição binomial é chamada de distribuição de Bernoulli.

O valor esperado (média) e a variância para uma dada distribuição binomial poderiam ser

determinados listando-se a distribuição de probabilidade em uma tabela e aplicando as fórmulas já

apresentadas anteriormente. Contudo, a distribuição binominal apresenta as seguintes propriedades:

Ex3: A probabilidade de que um possível cliente realize uma compra é 0,20. O valor esperado de

vendas e o desvio padrão associado com a visita de 15 possíveis clientes são:

320,015 XE vendas

55,180,020,015

Observações importantes:

Uma distribuição binomial fica caracterizada pelos parâmetros n e p.

Se n for pequeno, os cálculos serão relativamente fáceis. Contudo, se n for relativamente grande, os cálculos tornam-se cansativos. Felizmente dispomos de calculadoras, tabelas

apropriadas, e também poderemos aproximar a distribuição binomial pela de Poisson, como

veremos a seguir.

Para qualquer n, a distribuição será o simétrica: se p = q = 0,5

o assimétrica à direita, se p > q

o assimétrica à esquerda, se p < q.

Valor esperado ou média pnXE

Variância qpnXVar

Desvio padrão npq


DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

A distribuição de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um dado

número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou de espaço, ao invés

de ocorrerem em tentativas ou observações fixadas como na distribuição binomial.

Exemplos:

Chamadas telefônicas por unidade de tempo.

Defeitos por unidade de área.

Acidentes por unidade de tempo.

Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo.

Número de glóbulos vermelhos visíveis ao microscópio por unidade de área.

A expressão que dá a probabilidade de x sucessos em um intervalo (tempo, área,...) é:

!x

expxXP

x

sendo:

= frequência média ou esperada de ocorrências num determinado intervalo;

e = base dos logaritmos naturais (2,71828);

x = número de ocorrências (sucessos).

Temos para a distribuição de Poisson

Ex1: Um departamento de consertos de máquinas recebe uma média de duas chamadas por hora.

Vamos calcular as probabilidades de, em uma hora, este departamento receber: nenhuma chamada,

uma, duas, três, ...

Temos: 2

Nenhuma chamada:

1353,0!0

20

20

e

XP

Uma chamada: 2706,0!1

21

21

e

XP

Duas chamadas: 2706,0!2

22

22

e

XP

Três chamadas: 1804,0!3

23

23

e

XP

Quatro chamadas: 0902,0!4

24

24

e

XP

Cinco chamadas: 0361,0!5

25

25

e

XP

Seis chamadas: 0120,0!6

26

26

e

XP

Sete chamadas: 0034,0!7

27

27

e

XP

Oito chamadas: 0009,0!8

28

28

e

XP

Nove chamadas: 0002,0!9

29

29

e

XP

Valor esperado ou média ou XE

Variância XVar

Desvio padrão


Observe que 19997,09

0

i

ixp . Este resultado é explicado, pois X, número de sucessos,

teoricamente, tende ao infinito. Neste caso, x = 9 já é considerado um número muito grande de

sucessos.

Temos ainda as medidas:

2)( XE

Var(X) = 2

4142,12

Ex2: O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média,

uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuição do número de emendas é dada pela

Poisson, vamos calcular as probabilidades de:

a) nenhuma emenda em um rolo de 125 metros:

dado que λ = 1 emenda a cada 50 m,

para 125 m temos 5,212550

1

%21,80821,0!0

5,20

5,20

oue

XP

b) ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros:

%40,545440,02566,02053,00821,0

!2

5,2

!1

5,20821,02102

5,225,21

ou

eepppXP

c) de ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros:

para 100 m temos 210050

1

...3211 PPPXP

= 1 0P

= 1 %47,868647,02 oue


APROXIMAÇÃO DAS PROBABILIDADES BINOMIAIS COM AS PROBABILIDADES

DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Na aplicação do modelo de distribuição binomial, quando n for grande (n > 50) e np < 5, é

possível obter as probabilidades binomiais por meio do modelo de Poisson.

A média da distribuição de probabilidade de Poisson utilizada como aproximação das

probabilidades binomiais é:

np

Ex3: Em um cruzamento de duas avenidas de tráfego intenso, a probabilidade de um carro sofrer

acidente é de 0,0001. Se entre as 17 h e 19 h passam 1000 veículos nesse cruzamento, qual é a

probabilidade de que dois ou mais acidentes ocorram durante esse período?

Solução pela distribuição binomial:

p = 0,0001, n = 1.000, q = 0,9999

9991100009999,00001,0

!999!1

!10009999,00001,0

!1000!0

!10001

1012 PPXP

= 0,00467

É evidente que o cálculo deste resultado é muito trabalhoso.

Como n > 50 e np = 0,1 < 5, podemos obter este resultado (aproximado) pelo modelo de Poisson.

Assim, 1,00001,01000

%468,000468,0

!1

1,0

!0

1,01

1012

1,011,00

ouee

PPXP


EXERCÍCIOS

1. O número de caminhões que chegam, por hora, a um depósito segue a distribuição de

probabilidade da tabela abaixo. Calcule (a) o número esperado de chegadas por hora e (b) a

variância e desvio padrão desta distribuição de probabilidade.

Nº de caminhões X 0 1 2 3 4 5 6

2. Probabilidade P(X) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05

2. Construa a tabela e o gráfico da distribuição de probabilidade para a variável aleatória: número

de coroas obtidas no lançamento de duas moedas.

3. Um homem de vendas calcula que cada contato resulta em venda com probabilidade de 20%.

Certo dia, ele contata dois possíveis clientes. a) Construa a tabela de distribuição de

probabilidade para a variável X: número de clientes que assinam um contrato de vendas. b)

Calcule a número esperado de clientes que assinam um contrato de vendas, a variância e o

desvio padrão desta distribuição.

4. O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades

para um intervalo de um minuto são:

a) Determine P(1 4 X ) e 1XP .

b) Qual é o número esperado de chamadas em 1 minuto?

c) Sendo o coeficiente de variação o quociente entre o desvio padrão e a média, avalie o

coeficiente de variação para esta distribuição.

5. Em uma sala, temos cinco rapazes e quatro moças. São escolhidas aleatoriamente três pessoas.

Considere X a variável aleatória: número de rapazes. a) Construa a tabela de distribuição de

probabilidade da variável X. b) Determine a probabilidade do grupo escolhido ter no máximo

dois rapazes.

6. Admitindo que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcule a probabilidade de

um casal com seis filhos ter quatro filhos homens e duas mulheres.

7. Em 320 famílias com quatro crianças cada uma, em quantas famílias espera-se que haja: a)

nenhuma menina? b) três meninos? c) quatro meninos?

8. Um time Y tem 3

2 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se Y jogar cinco partidas,

calcule a probabilidade de Y vencer: a) exatamente três partidas; b) ao menos uma partida; c)

mais da metade das partidas.

9. Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras

firmas comerciais se encontram vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente uma amostra

de cinco contas, determine a probabilidade de: a) nenhuma das contas estar vencida; b) a

maioria das contas estarem vencidas; c) exatamente 20% das contas estarem vencidas.

10. Uma fábrica de pneus verificou que, ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um

estouro de pneu a cada 5.000 km. Qual a probabilidade de que

a. num teste de 3.000 km haja no máximo um pneu estourado?

b. um carro ande 8.000 km sem estourar nenhum pneu?

Número de chamadas (X) 0 1 2 3 4 5

Probabilidades P(X) 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02


11. Certo posto de bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcule a probabilidade de:

a. receber quatro chamadas num dia;

b. receber três ou mais chamadas num dia.

12. Suponha que haja em média dois suicídios por ano numa população de 50.000 habitantes. Em

cada cidade de 100.000 habitantes, determine a probabilidade de que em dado ano tenha

havido: a) nenhum; b) um; c) dois; d) dois ou mais suicídios.

13. Certa loja recebe em média cinco clientes por hora. Qual a probabilidade de receber: a) dois

clientes em 24 minutos? b) pelo menos três clientes em 18 minutos?

14. Uma amostra aleatória de 230 pessoas é selecionada. Cada indivíduo da amostra responde se

prefere um desktop ou um notebook. Assumindo que 3% do público prefere um desktop,

determine, aproximadamente, a probabilidade de um grupo de 10 pessoas preferir desktop.

15. Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção de um

determinado soro, é 0,001, determine a probabilidade de, entre 2000 indivíduos: a) exatamente

três; b) mais do que dois, sofrerem aquela reação.

16. Uma companhia de seguros está considerando a cobertura de uma doença relativamente rara na

área geral de seguros médicos. A probabilidade de que um indivíduo selecionado

aleatoriamente venha a contrair a doença é 0,001, sendo que 3.000 pessoas são incluídas no

grupo segurado.

a. Qual o número esperado de pessoas, no grupo, que terão a doença?

b. Qual a probabilidade de que nenhuma das 3.000 pessoas do grupo contraia a doença?

17. Um jogador A paga R$5,00 a B e lança um dado. Se sair face 3, ganha R$20,00. Se sair face 4,

5, ou 6, perde. Se sair face 1 ou 2, tem o direito de jogar novamente. Ao jogar novamente, lança

dois dados. Se saírem duas faces 6, ganha R$50,00. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro de

volta. Não saindo nenhuma face 6, perde. Sabemos que o dado é honesto e que os lançamentos

são independentes. Seja L o lucro líquido do jogador A nesse jogo. Calcule a função de

distribuição de probabilidade de L e o lucro esperado do jogador A.

18. As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que se dirige ao shopping

em um sábado são, respectivamente, 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de

pessoas por carro?

Respostas.

1. a) 3,15 b) Var(X) 2,13 e 46,1

2. 3. a)

X 0 1 2

p(x) 0,25 0,50 0,25

3. b) E(X) = 0,40 c) Var(X) = 0,32 e 56,0 4. a) 0,43 e 0,20 b) 0,83 c) 145,8%

5. a)

b) 37/42 6. 15/64 7. a) 20 b) 80 c) 20

8. a) 80/243 b) 242/243 c) 64/81 9. A) 1681,00 p b) 1631,03 XP c) 3602,01 p

10. a) 0,8784 b) 0,2020 11. a) 0,1680 b) 0,5767 12. a) 0,0183 b) 0,0732 c) 0,1464 d) 0,9085

13. a) 0,2707 b) 0,1912 14. 0,0679 15. a) 0,180 b) 0,323 16. a) 3 pessoas b) 0,0498

17.

E(L) = – 0,74 reais 18. 3,15 pessoas por carro

X 0 1 2

p(x) 0,64 0,32 0,04

x 0 1 2 3

p(x) 1/21 5/14 10/21 5/42

Lucro l -5 0 15 45

p(l) 79/108 10/108 18/108 1/108


DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE

Seja X uma variável aleatória contínua e por isso não é possível enumerar todos os seus

possíveis valores. Os valores de uma v.a. contínua são definidos a partir do espaço amostral de um

experimento aleatório. O comportamento probabilístico de uma variável aleatória contínua será

descrito pela sua função de densidade de probabilidade.

Uma função de densidade de probabilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes

propriedades:

f(x) ≥ 0

A área total sob o gráfico de f(x) é igual a 1. Dada uma função f(x) satisfazendo as propriedades acima, então f(x) representa alguma v. a.

contínua X, de modo que a área compreendida entre as verticais X = a e X = b (sombreada na

figura) dá a probabilidade de X ser um valor entre a e b. BXaP

A definição anterior usa argumentos geométricos; no entanto, uma definição mais precisa

envolve o conceito de integral de uma função de uma variável. A definição é apresentada a seguir,

mas neste curso usaremos basicamente a interpretação geométrica da integral definida, que está

associada à área sob uma curva.

Uma função de densidade de probabilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes

propriedades:

f(x) ≥ 0

Dada uma função f(x) satisfazendo as propriedades acima, então f(x) representa alguma v. a.

contínua X, de modo que

OBS: Se X é uma v.a. contínua, então P(X = a) = 0, ou seja, a probabilidade de X ser exatamente

igual a um valor específico é nula. Isso pode ser visto na figura anterior: o evento X = a

corresponde a um segmento de reta, e tal segmento tem área nula.

a b


Como consequência, temos as seguintes igualdades:

P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b)

ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE V.A. CONTÍNUA

Os conceitos são análogos ao visto para a v.a. discreta, porém os somatórios são

substituídos por integrais e a função de probabilidade é substituída pela função densidade de

probabilidade.

Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f(x).

A esperança (ou média ou valor esperado) de X é definida como

e a variância de X é definida como

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Uma v.a. X tem distribuição normal se sua função densidade de probabilidade é dada por

2)(2

1

2

1)(

x

exf ,

sendo: X

= média da distribuição

= desvio padrão da distribuição

...1416,3 .

...71828,2e

Esta função é certamente um dos exemplos mais importantes de distribuição de

probabilidade contínua. Cada distribuição normal fica determinada pelos parâmetros (média) e

(desvio padrão).

Notação: 2~ ,X N

Principais características da distribuição normal:

é simétrica em torno do valor x = μ;

o ponto x = μ é o ponto de máximo e nesse ponto 2

1)( xf ;

os pontos de inflexão da curva são x = µ - e x = µ + ;

E(X) = µ e Var(X) = ²;

f(x) tende a zero quando x tende a .


As duas curvas abaixo mostram as mudanças na função onde e variam.

VARIÁVEL NORMAL PADRONIZADA

Sendo X uma variável aleatória com distribuição 2,N , quando 0 e 2 1 temos

uma distribuição padrão ou reduzida, ou brevemente N(0,1).

Assim a função densidade reduz-se a

21

21

( ) ,2

z

f z e z

sendo a variável Z obtida pela transformação linear:

i

i

XZ

A notação usada é Z ~ N(0,1) que tem distribuição normal de média zero e variância 1.


TABELA DE CURVA NORMAL

Há vários tipos de tabelas que nos oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal. O

tipo mais frequente é a tabela da faixa central. A tabela da faixa central dá a área sob a curva

normal padrão entre z = 0 e qualquer valor positivo de z.

Exemplo: As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com

média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:

a) entre 1,60 m e 1,75m;

b) mais de 1,75 m;

c) menos de 1,75 m;

d) menos de 1,48 m;

e) entre 1,50 m e 1,80 m;

f) qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos?

= 1,60 m

= 0,30 m

a) 030,0

60,160,11

z e 5,0

30,0

60,175,12

z

%15,19ou1915,0)5,00()75,160,1( ZPXP

b) %85,30ou3085,01915,05,0)5,0(5,0)5,0()75,1( ZPZPXP

1,60 1,75 0 0,5

1,60 1,75 0 0,5


c) %15,69ou6915,01915,05,0)5,00(5,0)5,0()75,1( ZPZPXP

ou = 1 – P(Z > 0,5) = 1 – 0,3085 = 0,6915

d) 4,030,0

60,148,1

z %46,343446,01554,05,0)4,0()48,1( ZPXP

e) 33,030,0

60,150,11

z e 66,0

30,0

60,180,12

z

)66,033,0()80,150,1( ZPXP

%47,373747,02454,01293,0

f) Na tabela z40%=1,28 030

60,1%40

xz 98,160,1)30,0)(28,1( x m

1,48 1,60 – 0,4 0

40% = 0,40

0 1,28

10%

1,60 1,98

1,60 1,75 0 0,5


Tabela da Distribuição Normal Padronizada: Z ~N (0,1)

Valores de α tais que P(0 < Z < z) =

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,1

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,2

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,3

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,4

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,5

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,6

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,7

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,8

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,9

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,0

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,1

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,2

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,3

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,4

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,5

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,6

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,7

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,8

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 1,9

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,0

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,1

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,2

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,3

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,4

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,5

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,6

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,7

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,8

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,9

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,0


EXERCÍCIOS

1) Considere Z uma v.a. com distribuição normal padronizada e, com auxílio da tabela, determine:

a) P(0 ≤ Z ≤ 1,44)

b) P(− 0,85 ≤ Z ≤ 0)

c) P(− 1,48 ≤ Z ≤ 2,05)

d) P(0,72 ≤ Z ≤ 1,89)

e) P( Z ≥ 1,08)

f) P( Z ≥ − 0,66)

g) P( |Z| ≤ 0,5)

2) A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente distribuída com

média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcule a probabilidade de um componente

durar:

a) Entre 700 e 1.000 dias;

b) Mais que 800 dias;

c) Menos que 750 dias;

d) Exatamente 1.000 dias.

3) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65,3 kg e desvio

padrão de 5,5 kg. Encontre o número de alunos que pesam:

a) Entre 60 e 70 kg;

b) Mais que 63,2 kg.

4) Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desvio

padrão 15. Quinze por cento dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais

atrasados recebem nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar, ou seja,

não receber F.

5) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que

eles seguiam uma distribuição normal de média 48.000 km e desvio padrão de 2.000 km.

Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:

a) Durar mais que 46.000 km;

b) Durar entre 45.000 e 50.000 km.

6) Certo produto tem peso médio de 10 g e desvio padrão de 0,5 g. É embalado em caixas de 120

unidades que pesam em média 150 g e têm desvio padrão de 8 g. Qual a probabilidade de que

uma caixa cheia pese mais de 1.370g, supondo que os pesos são normalmente distribuídos?

7) Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19.

Encontre a média e a variância desta distribuição.

8) Suponha que a duração de vida de dois equipamentos, E1 e E2, tenha, respectivamente,

distribuições N(45;9) e N(40;36). Se o equipamento tiver que ser usado por um período de 45

horas, qual deles deve ser preferido?

9) Certa máquina de empacotar café oferece variações de peso com desvio padrão de 20 g. Em

quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos que 400

g?


10) Em uma grande empresa a avaliação de desempenho profissional dos funcionários acusou

média 70 e desvio padrão 10. Se desejarmos atribuir aos 15% superiores o grau A, aos 20%

seguintes o grau B, aos 30% médios o grau C, aos próximos 25% o grau D e aos últimos 10% o

grau E, quais os intervalos de notas que serão abrangidos por essas classificações?

11) Entre os 4.000 empregados de uma grande empresa, o QI (quociente de inteligência) é

normalmente distribuído com uma média de 104 e desvio padrão de 15. Sabendo que uma

tarefa específica requer um QI mínimo de 98 e que aborrece aqueles com QI acima de 110,

quantos empregados estarão adaptados para exercer esta tarefa, com base apenas no QI?

12) Constatou-se que o tempo médio para se fazer um teste-padrão de Matemática é

aproximadamente normal, com média de 80 minutos e desvio padrão de 20 minutos.

a) Que porcentagem de candidatos levará menos de 80 minutos?

b) Que porcentagem não terminará o teste, se o tempo máximo concedido é de duas horas?

c) Se 200 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora?

RESPOSTAS

1) a) 0,4251 b) 0,3023 c) 0,9104 d) 0,2064 e) 0,1401 f) 0,7454 g) 0,3830

2) a) 1 b) 0,8665 c) 0,0132 d) 0

3) a) 380 b) 389 4) 88,5 e 55 5)a) 0,8413 b) 0,7745

6) 0,0197 7) µ = 29,03 e ² = 73,44 8) E1 9) 425,60 g 10) E: de 0 a 57,2 11) 1.243 12) a) 50% b) 2,28% c) 32 candidatos

D: de 57,2 a 66,1

C: de 66,1 a 73,9

B: de 73,9 a 80,4

A: de 80,4 a 100

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BUSSAB, Wilton de O. MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 6ª edição. São Paulo:

Saraiva, 2010.

FARIAS, Ana Maria Lima de. Probabilidade e Estatística. Volume único. Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2009.

MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6ª edição. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2005.

MARTINS, Gilberto de A. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2005.

MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – Volume 1 – Probabilidade – 7ª edição. São Paulo: Pearson Makron Books, 1999.

SPEIGEL, Murray R. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1993.

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Probabilidade e Distribuicao de Probabilidade Completo 2010 Da Prof Isabel