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Probabilidade e Estatística
Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva
Teste de Hipótese
Hipóteses Estatísticas São suposições quanto ao valor de um
parâmetro populacional ou quanto à natureza
da distribuição de probabilidade.
Exemplos:
a) O tempo médio de vida do brasileiro é de 78
anos.
b) A proporção dos alunos da UTFPR-CT que
serão aprovados na disciplina de
Probabilidade e Estatística é 80%.
A hipótese pode ser verdadeira ou falsa
Intr
od
uçã
o
Tipos de Hipóteses
Existem dois tipos de hipóteses:
a) Hipótese nula, indicada por Ho. É a hipótese
estatística a ser testada que é expressa por
uma igualdade. Esta hipótese afirma que não
há diferença entre o estimador e o parâmetro
populacional.
b) Hipótese alternativa, indicada por H1, é
expressa por uma desigualdade. Esta hipótese
contradiz a hipótese nula.
Exemplo: Ho: = 78 anos
H1: 78 anos
Intr
od
uçã
o
Teste de Hipótese É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar
uma hipótese estatística com base nos dados
amostrais.
Supondo que a média μ populacional seja o
parâmetro a ser testado, as hipóteses podem
ser:
a) Bicaudal ou bilateral:
Ho: μ = μo e H1: μ μo
b) Unicaudal ou unilateral à direita
Ho: μ = μo e H1: μ > μo
c) Unicaudal ou unilateral à esquerda
Ho: μ = μo e H1: μ < μo
Intr
od
uçã
o
Nível de significância
Quando um decisão é tomada a partir da
verificação das hipóteses estatísticas, existe a
probabilidade de se cometer um erro,
representado pela rejeição de uma hipótese
verdadeira.
Esta probabilidade é denominada nível de
significância (α).
Teste
de
Hip
óte
se
Tipos de erros
• Erro do Tipo I
É o erro que se comete ao rejeitar a hipótese
Ho quando ela é verdadeira. A probabilidade
de cometer um erro do tipo I é α (nível de
significância).
• Erro do Tipo II
É o erro que se comete ao aceitar a hipótese
Ho quando ela é falsa. A probabilidade de
cometer um erro do tipo II é 1 – α.
Rejeitar Ho implica em aceitar H1 e vice-versa.
Teste
de
Hip
óte
se
Regiões de aceitação e rejeição
• Região de aceitação (RA) A região de aceitação da hipótese nula (Ho) é a
região representada pelo nível de confiança (1 – α).
• Região de rejeição (RR) ou região crítica (RC) A região de rejeição da hipótese nula (Ho) é a
região representada pelo nível de significância (α). Teste
de
Hip
óte
se
Aceita Ho
Rejeita Ho Rejeita Ho
Regiões de aceitação e rejeição
Bicaudal ou bilateral
Ho: μ = μo
H1: μ μo
Teste
de
Hip
óte
se
Regiões de aceitação e rejeição
Aceita Ho
Rejeita Ho
Unicaudal ou unilateral à direita
Ho: μ = μo
H1: μ > μo
Teste
de
Hip
óte
se
Valores críticos da distribuição normal
Teste
de
Hip
óte
se
Etapas para realizar um teste de hipótese
1a) Definir a hipótese nula Ho
2a) Definir a hipótese alternativa H1
3a) Fixar o nível de significância α
4a) Determinar a região de aceitação de Ho
5a) Extrair a amostra e calcular o valor da
estatística pré-estabelecida
6a) Aceitar Ho se valor da estatística calculada
está na região de aceitação (RA), caso
contrário, rejeitar
Teste
de
Hip
óte
se
As hipóteses podem ser:
a) Bilateral: Ho: µ = µo e H1: µ µo
b) Unilateral à direita: Ho: µ = µo e H1: µ > µo
c) Unilateral à esquerda: Ho: µ = µo e H1: µ < µo
Teste
de
Hip
óte
se
Teste de hipótese para a média
populacional (μ)
Teste de hipótese para a média
populacional (μ)
• Variância da população desconhecida:
Onde:
• Variância da população conhecida:
Teste
de
Hip
óte
se
A estatística é calculada através da expressão:
Exemplos
1) Um fabricante de material esportivo
desenvolve uma nova linha de pescar sintética
sobre a qual afirma que tem resistência média
à ruptura de 8 kg com desvio padrão de 0,5 kg.
Uma amostra de 50 linhas foi testada e
apresentou uma média de resistência à ruptura
de 7,8 kg. Ao nível de significância de 1% é
correta a afirmação do fabricante?
Teste
de
Hip
óte
se
pa
ra a
Mé
dia
2) Um fabricante de cigarro anuncia que o
índice de nicotina de uma determinada marca
tem média de 26 mg por cigarro. Para a
redução do índice de nicotina foi adicionado
um novo produto na fabricação do cigarro.
Para testar a eficiência da nova fórmula foi
realizada análises em 30 amostras obtendo
média de 25,3 mg de nicotina por cigarro e
variância de 5,18 mg2. Pode-se aceitar que
realmente reduziu o índice de nicotina, ao nível
de 5% de significância?
Exemplos
Teste
de
Hip
óte
se
pa
ra a
Mé
dia
3) Uma indústria de lajotas utilizou adição de
sílica ativa no concreto e acredita que aumentará
a resistência à compressão média que é de 20
MPa. Realizou-se o ensaio de resistência à
compressão em 10 lajotas com a adição de sílica
ativa, obtendo as seguintes resistências (em
MPa): 20, 21, 22, 19, 23, 21, 20, 18, 24, 22
Ao nível de confiança de 95%, é correto afirmar
que a resistência média das lajotas realmente
aumentou com a adição de sílica ativa?
Exemplos
Teste
de
Hip
óte
se
pa
ra a
Mé
dia
Tabela t de Student
Teste de hipótese para a proporção
populacional (p)
As hipóteses podem ser:
a) Bilateral: Ho: p = po e H1: p po
b) Unilateral à direita: Ho: p = po e H1: p > po
c) Unilateral à esquerda: Ho: p = po e H1: p < po
A estatística é calculada através da expressão:
Teste
de
Hip
óte
se
Exemplos
1) Um arqueiro afirma que, em média, acerta 80%
das flechas que atira. Num certo dia atirou 45
flechas e acertou 27. Você concorda com a
afirmação do arqueiro, ao nível de 5% de
significância?
2) Um candidato a vereador afirma que terá acima
de 60% dos votos dos eleitores de uma
determinada cidade. Um instituto de pesquisa
realizou entrevistas com 300 eleitores dessa
cidade, constando que 200 votarão no candidato.
Com base na pesquisa realizada, pode-se aceitar
que a afirmação do candidato é verdadeira, o nível
de 90% de confiança?
Teste
de
Hip
óte
se
pa
ra a
Pro
po
rçã
o
Teste de hipótese para a diferença entre duas
médias populacionais (variâncias conhecidas)
Teste
de
Hip
óte
se
As hipóteses podem ser:
a) Bilateral: Ho: µ1 = µ2 e H1: µ1 µ2
b) Unilateral à direita: Ho: µ1 = µ2 e H1: µ1 > µ2
c) Unilateral à esquerda: Ho: µ1 = µ2 e H1: µ1 < µ2
A estatística é calculada através da expressão:
Exemplo
Teste
de
hip
óte
se
pa
ra a
dif
ere
nça
en
tre
du
as m
éd
ias
Um experimento foi realizado para comparar o
desgaste de duas diferentes peças. As variâncias da
medida do desgaste é igual a 26 mm² para a peça 1
e 18 mm² para a peça 2. Foram selecionadas
aleatoriamente 40 amostras da peça 1 e 32
amostras da peça 2 para serem submetidas ao
mesmo ensaio para a medida do desgaste. Os
resultados apontaram um desgaste médio de 84
mm para a peça 1 e 82 mm para a peça 2. Ao nível
de confiança de 90%, é possível afirmar que há
diferença significativa entre as médias de desgastes
das duas peças?
Teste de hipótese para a diferença entre
duas proporções populacionais
Teste
de
Hip
óte
se
As hipóteses podem ser:
a) Bilateral: Ho: p1 = p2 e H1: p1 p2
b) Unilateral à direita: Ho: p1 = p2 e H1: p1 > p2
c) Unilateral à esquerda: Ho: p1 = p2 e H1: p1 < p2
A estatística é calculada através da expressão:
Exemplo
Teste
de
hip
óte
se
pa
ra a
dif
ere
nça
en
tre
du
as p
rop
orç
õe
s
Foi realizado um plebiscito entre os moradores de
um município para avaliar a viabilidade de
construção de uma hidroelétrica. Foi decidido que
a hidroelétrica será construída se houver uma
diferença significativa entre as proporções de
eleitores da região rural e urbana que são
favoráveis a construção. A apuração demonstrou
que de 600 eleitores da região urbana, 240 são
favoráveis a construção da hidroelétrica, enquanto
que de 700 eleitores da região rural, 250 são
favoráveis. Ao nível de significância de 95%, a
hidroelétrica será construída?
