PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - marcelosucena.com.br Probabilidade e Estatistica... · 1.6 Representação decimal das frações q Tome um número racional p, tal que p não é múltiplo

PROBABILIDADE E

ESTATÍSTICA

Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994

0

500

1000

1500

2000

2500

84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

(1000 ton)

Luiz Roberto M. Bastos 2005

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto

SUMÁRIO

1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................... 5

5

5

6

7

8

11

12

12

13

14

17

17

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19

23

23

25

27

28

33

34

34

35

1.1 Introdução .......................................

1.2 Símbolos .........................................

1.3 Noções sobre Conjuntos ...........................

1.4 Conjunto dos Números Naturais (N) ................

1.5 Conjunto dos Números Inteiros (Z) ................

1.6 Representação decimal das frações ................

1.7 Conjunto dos Números Irracionais .................

1.8 Conjunto dos Números Reais (R) ...................

1.9 Intervalos .......................................

1.10 Problemas com número finito de elementos .........

2 ANÁLISE COMBINATÓRIA ...............................

2.1 Introdução .......................................

2.2 Fatorial de um número natural ....................

2.3 Princípio fundamental da contagem - PFC ..........

2.4 Arranjos simples .................................

2.5 Cálculo do número de arranjos ....................

2.6 Permutações simples ..............................

2.7 Permutações com elementos repetidos ..............

2.8 Combinações simples ..............................

2.9 Exercícios .......................................

3 PROBABILIDADE .......................................

3.1 Experimento aleatório ............................

3.2 Espaço amostral ..................................

2


36

36

38

38

43

45

46

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48

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50

52

52

52

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56

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58

59

59

60

61

3.3 Evento ...........................................

3.4 Probabilidade de um Evento .......................

3.5 Evento complementar ..............................

3.6 Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis

3.7 Probabilidade da união de dois eventos ...........

3.8 Experiência Composta .............................

3.9 Probabilidade condicional ........................

4 ESTATÍSTICA BÁSICA ..................................

4.1 Conceitos fundamentais ...........................

4.2 Divisão da estatística ...........................

4.3 População ........................................

4.4 Amostragem .......................................

4.5 Amostra ..........................................

4.6 Censo ............................................

4.7 Tipos de variáveis ...............................

4.8 Definição do problema ............................

4.9 Definição dos objetivos (geral e específico) .....

4.10 Planejamento ......................................

4.11 Coleta dos dados ..................................

4.12 Crítica dos dados .................................

4.13 Apuração (armazenamento) dos dados ................

4.14 Exposição ou apresentação dos dados ...............

4.15 Análise e interpretação dos dados .................

4.16 Regras de arredondamento ..........................

4.17 Série temporal, histórica ou cronológica ..........

4.18 Gráficos estatísticos .............................

3


62

62

63

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74

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79

81

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84

88

88

88

91

4.19 Principais tipos de gráficos ......................

4.19.1 Gráficos em curvas ou em linhas ...................

4.19.2 Gráficos em colunas ...............................

4.19.3 Gráficos em barras ...............................

4.19.4 Gráfico em colunas múltiplas (agrupadas) .........

4.19.5 Gráfico em barras múltiplas (agrupadas) ..........

4.19.6 Gráfico em setores ...............................

4.20 Distribuição de freqüências ......................

4.21 Distribuições cumulativas ........................

4.22 Medidas de posição (ou de tendência central) .....

4.22.1 Média aritmética .................................

4.22.2 Esperança matemática ............................

4.22.3 Moda (mo) .......................................

4.22.4 Mediana (md) ....................................

4.22.5 Medidas de dispersão (medidas de variabilidade) .

4.22.6 Variância .......................................

4.22.7 Desvio-padrão ...................................

4.23 Distribuições discretas de probabilidade ........

4.23.1 Distribuição de “bernoulli” .....................

4.23.2 Distribuição binomial ...........................

BIBLIOGRAFIA ...........................................

4


1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Introdução

Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais. O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. 1.2 Símbolos

: pertence : existe

: não pertence : não existe

: está contido : para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido : conjunto vazio N

: contém N: conjunto dos números naturais

: não contém Z : conjunto dos números inteiros

I : tal que Q: conjunto dos números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais

: se, e somente se R: conjunto dos números reais

: pertence : existe

∨ : ou : e ∧

Símbolos sobre Operações

: A intersecção B a > b: a maior que b

: A união B : a maior ou igual a b

a - b: diferença de a com b : a e b

a < b: a menor que b : a ou b

: a menor ou igual a b ≠ : Diferente

5


1.3 Noções sobre Conjuntos

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto

vazio é representado por ou .

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer

pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B,

ou seja A B.

Obs.: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;

- O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto,

ou seja

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos

conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os

elementos pertencentes a A ou B, ou seja: .

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como

intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado

por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como

diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado

por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja

6


1.4 Conjunto dos Números Naturais (N)

N é o conjunto dos números naturais:

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...

Onde n representa o elemento genérico do conjunto.

Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do

conjunto em questão.

Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de

um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N.

O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta

numerada; escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao

número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a

direita).

unidade

O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:

1° O conjunto dos números naturais não nulos

N* =1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...

N* = N - 0 Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se

quer suprimir o elemento zero.

2° O conjunto dos números naturais pares:

Np=0, 2, 4, 6, ..., 2n, ... n ∈ N

3° O conjunto dos números naturais ímpares:

Ni=1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ... n ∈ N

7


4° O conjunto dos números primos:

Pi=2, 3, 5, 7, 11, 13 ...

No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição

e multiplicação. Note que adicionando ou multiplicando dois elementos

quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos,

temos:

m,n N, m + n N e m * n N Essa característica pode ser sintetizada na frase:

“N é fechado em relação à adição e à multiplicação”.

1.5 Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Z=..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é

subconjunto de Z:

N Z ou Z N

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z - 0 Z* = ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...

Z+ = 0,1,2,3,4,5,... conjunto dos inteiros não negativos

Z *+ = 1,2,3,4,5,... conjunto dos inteiros positivos

Z_ = ..., -4, -3, -2, -1, 0 conjunto dos inteiros não positivos

Z * = ..., -4, -3, -2, -1 conjunto dos inteiros negativos __

Observe que Z+ = N.

8


Números Opostos

Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam

soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem

(zero).

Considerando os números inteiros ordenados sobre uma reta, podemos

tomar como exemplo o número 2.

O oposto de 2 é –2, e o oposto de –2 é 2, pois:

2 + (-2) = -2 + 2 = 0

2 unidades 2 unidades

No geral, dizemos que o oposto (ou simétrico) de a é -a., e vice-versa;

particularmente, o oposto de zero é o próprio zero.

Módulo de um número inteiro

Damos o nome de módulo, ou valor absoluto de a, à distância da origem

ao ponto que representa o número a.

Conjunto dos Números Racionais (Q)

O conjunto Z é fechado em relação às operações adição, multiplicação e

subtração, mas o mesmo não acontece à divisão: embora

(-12):(+4) = -3 Z,

não existe número inteiro x para o qual se tenha x = (+4) : (-12). Por esse

motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos

números racionais.

O conjunto dos números racionais é inicialmente descrito como o

conjunto dos quocientes entre dois números inteiros.

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma

de fração (com o numerador e denominador Z), ou seja, o conjunto dos

números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações

positivas e negativas.

9


,...,...,52,

32,2,....

31 ,

21,1 0, Q

qp

±±±±±±±= I p e q inteiros e q ≠ 0

Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que:

qp Q = I p Z e q Z*

Desta forma, podemos definir Q como o conjunto das frações qp; assim,

um número é racional quando pode ser escrito como uma fração qp, com p e q

inteiros e q ≠ 0.

Quando q = 1, temos qp =

1p = p Z, de onde se conclui que Z é

subconjunto de Q.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

No conjunto Q destacamos os seguintes sub-conjuntos:

Q * : conjunto dos racionais não nulos

Q+ : conjunto dos racionais não negativos

Q * : conjunto dos racionais positivos +

Q : conjunto dos racionais não positivos _

Q * : conjunto dos racionais negativos _

O conjunto Q é fechado para as operações adição, subtração,

multiplicação e divisão.

10


Exemplos:

33

22

111 )

39

26

133)

===

−=

−=

−=−

b

a

Assim, podemos escrever:

p

1.6

Para

denom

1°) O

algar

21

Tais

2°) O

todos

31=

221=

0 e , com , | ≠∈∈== qZqZpq

xxQ

Representação decimal das frações

qpTome um número racional , tal que p não é múltiplo de q.

escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo

inador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de

ismos (não nulos):

75,32075 25,1

45 5,0 =−=−=

números racionais são chamados decimais exatos.

número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem

nulos), que se repetem periodicamente:

0,333... = 0,3 79= 0,777... = 0,7

0,0454545... = 0,045 66

167= 2,5303030... = 0,530

11


Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de

número racional.

1.7 Conjunto dos Números Irracionais (I)

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja,

os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois

inteiros).

Vejamos alguns exemplos:

1. O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos

após a vírgula não se repetem periodicamente.

2. O número 0,203040... também não comporta representação

fracionária, pois não é dízima periódica.

3. Os números

= 1,7320508… 3 = 1,4142136… e 2 π=3,1415926535... ,

por não apresentarem representação infinita periódica, também não são números

racionais.

1.8 Conjunto dos Números Reais (R)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I),

definimos o conjunto dos números reais como:

R = Q ∪ I = x | x é racional ou x é irracional

O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

R

I

12


Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta

noutros subconjuntos importantes:

R* = x R I x ≠ 0 conjunto dos números reais não nulos

R+ = x R I x ≥ 0 conjunto dos números reais não negativos

R = x *+ R I x > 0 conjunto dos números reais positivos

R- = x R I x ≤ 0 conjunto dos números reais não positivos

R = x *− R I x < 0 conjunto dos números reais negativos

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais

são todos números reais. Como subconjuntos importantes de “I” temos: I* = I - 0

I+ = conjunto dos números reais não negativos

I_ = conjunto dos números reais não positivos

Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Ex:

Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

1.9 Intervalos

a) Intervalo Aberto:

]a,b[ = x R I a < x < b 3 5

b) Intervalo Fechado:

[a,b] = x R I a ≤ x ≤ b 3 5

c) Intervalo aberto à direita:

[a,b[ = x R I a ≤ x < b 3 5

d) Intervalo aberto à esquerda:

]a,b] = x R I a < x ≤ b 3 5

13


Existem ainda os intervalos infinitos:

e) ]-∞,a] = x R I x ≤ a

3

3

3

f) ]-∞,a[ = x R I x < a

g) [a, +∞[ = x R I x ≥ a

h) ]a, +∞[ = x R I x > a 3

1.10 Problemas com número finito de elementos

Exemplo 1

O Instituto de Meteorologia de Curitiba quis fazer um estudo de variação da

temperatura à sombra e mediu-a de hora em hora, conforme a tabela abaixo:

Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Temperatura 7° 6° 5° 4° 3° 2° 2° 3° 5° 7° 12° 15°

Hora 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Temperatura 18° 18° 20° 20° 20° 18° 15° 13° 11° 9° 8° 7°

Nesse exemplo, são medidas duas grandezas: a hora do dia e a correspondente

temperatura. A cada hora corresponde uma única temperatura. Dizemos, por

isso, que a temperatura é função da hora. Como à mesma temperatura podem

corresponder várias horas, a hora não é função da temperatura.

Exemplo 2

Uma barraca na praia da Barra da Tijuca vende cocos e exibe a seguinte

tabela:

Números de cocos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Preço (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60 10,80 12,00

14


Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: o número de cocos e o

respectivo preço. A cada quantidade de cocos corresponde um único preço.

Dizemos, por isso, que o preço é função do número de cocos comprados. Aqui é

possível até achar a fórmula que estabelece a relação de interdependência

entre o preço (y) e o número de cocos (x): y = 1,20 x.

Exemplo 3

Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3 x 3 metros. Com ladrilhos quadrados,

todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados 10 cm, 12 cm,

15 cm, 20 cm, 25 cm e 30 cm, qual é o número de ladrilhos que usará em cada

caso?

Para achar o número de ladrilhos (y), basta dividir a área da sala (9m2) pela

área do ladrilho (em m2). Se o lado mede x m2, então a fórmula que relaciona y

com x é: y = 9/x2.

Medida do lado do ladrilho (x) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30

Número de ladrilhos (y) 900 625 400 225 144 100

Exercícios

1. A tabela abaixo indica o deslocamento de um móvel num dado intervalo

de tempo:

Intervalo de tempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Deslocamento (cm) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

a) Qual é o deslocamento do móvel num intervalo de 4 segundos?

b) Qual é o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 21 cm?

c) O deslocamento é função do intervalo de tempo?

d) Qual é o deslocamento d num intervalo de tempo t? (supor velocidade do

móvel constante).

2. A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de

automóvel:

Número de peças 1 2 3 4 5 6

Custo (R$) 1 4 9 16 25 36

15


a) Qual é o custo da produção de três peças?

b) Qual é o número de peças produzidas com R$25,00?

c) Qual é o custo c da produção de n peças?

d) Com relação ao item anterior, qual é o numero máximo de peças

produzidas com R$1.000,00?

3. O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa,

que é de R$250,00, e mais uma quantia que depende da área pintada. A

tabela seguinte mostra alguns orçamentos apresentados pelo pintor:

Área pintada (m2) 5 10 15 20 30 40 80

Total a pagar (R$) 350 550 700 850 1.150 1.450 2.050

a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de x

m2?

b) Qual é o preço cobrado pela pintura de uma área de 150 m2?

c) Qual é a área máxima que pode ser pintada dispondo-se de R$6.250,00?

4. O num erro de y pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do

resultado de um jogo de futebol, após x horas de sua realização é dado

por xy 10= . Responda:

a) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após 4 horas?

b) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após um dia?

c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam

conhecimento do resultado do jogo?

5. A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90 Km/h.

Responda:

a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em uma hora?

b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 Km?

c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância

percorrida (d) em função do tempo (t)?

6. Um professor propõe a sua turma um exercício-desafio, comprometendo-se

a dividir um prêmio de R$120,00 entre os acertadores. Seja x o número

de acertadores (x = 1, 2, ..., 40) e y a quantia recebida por cada

acertador (R$). Responda:

a) y é função de x? Por quê?

b) Quais os valores de y para x=2, x=8, x=20 e x=25?

c) Qual é o valor máximo que y assume?

d) Qual é a lei de correspondência entre x e y?

16


2 ANÁLISE COMBINATÓRIA

2.1 Introdução:

A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos

chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória.

Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses

estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo

Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os

franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

Pascal

Fermat

Tartaglia

A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses

elementos agrupados sob certas condições.

Consideremos o seguinte problema:

Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches:

hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada

de frutas.

Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição

incluindo um sanduíche e uma sobremesa?

Podemos ter as seguintes refeições:

a) hot dog e sorvete

b) hot dog e torta

17


c) hot dog e salada de frutas

d) hambúrger e sorvete

e) hambúrger e torta

f) hambúrger e salada de frutas

A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um

diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha

do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa.

1ª coluna 2ª coluna

sorvete Refeição 1

hot dog torta Refeição 2

salada de frutas Refeição 3

sorvete Refeição 4

hambúrger torta Refeição 5

salada de frutas Refeição 6

Este esquema é conhecido como diagrama de árvore. Fazendo a leitura de todas

as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições.

Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de

duas etapas sucessivas:

1ª escolha do tipo de sanduíche: há duas possibilidades de fazer tal

escolha.

2ª escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há

três maneiras de escolher a sobremesa.

Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 x 3

= 6 maneiras distintas que foram anteriormente indicadas.

2.2 Fatorial de um número natural

Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma

ferramenta matemática chamada Fatorial.

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado

pelo símbolo n!) como sendo:

n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 4 . 3 . 2 . 1 para n ≥ 2.

Se n = 1, então 1! = 1.

Se n = 0, então 0! = 1.

18


Exemplos:

a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

b) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que

6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente.

Relação de correspondência: N! = n . (n – 1)! , n N* e n ≥ 2 Exercícios:

1) efetuar: !6!8

2) efetuar: !6

)!7!8( +

3) efetuar: )!1()!1(

−+nn

4) efetuar: )!3()!4(

−−nn

5) efetuar: !5

)!5!6( − + 0!

6) efetuar: )!1()!2(

++nn

7) efetuar: !11

)!9!10( +

8) efetuar: !6!7 +

!7!6 +

!6!8

9) efetuar: 6! - 20

10) Resolva a equação: (n+2)! = 6n!

11) Resolva a equação: )!22(

)!2(−nn

= 12

2.3 Princípio fundamental da contagem - PFC

Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A

primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma

19


dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas.

Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por

p x q.

Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de

duas etapas sucessivas.

Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a

primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2

maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de

maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por:

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo 1

No Brasil as placas dos veículos são confeccionadas usando-se 3 letras do

alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser

licenciado?

Imaginemos a seguinte situação: Placa ACD – 2172.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10

algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26

alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26

alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10

alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número

total de veículos que podem ser licenciados será igual a:

26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000.

Exemplo 2

No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as

placas dos veículos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4

algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado neste

sistema?

Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10

algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26

alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, também teremos 26

alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10

alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número

total de veículos que podem ser licenciados será igual a:

26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000.

20


Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados,

aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos.

Exemplo 3

Há quatro estradas ligando as cidades e A e B, e três estradas ligando as

cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando

por B?

Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma ação constituída de duas

etapas sucessivas:

1ª ir de A até B: teremos quatro possibilidades

2ª ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três

maneiras de chegar a C, a partir de B.

Assim, o resultado procurado é 4 x 3 =12.

Exemplo 4

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos

distintos podemos formar?

Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída

de três etapas sucessivas:

1ª escolha do algarismo das centenas: são seis possibilidades.

2ª escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de

algarismo, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a

centena. Assim, há cinco possibilidades.

3ª escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos

dois algarismos escolhidos para a centena e para a dezena. Assim, há quatro

possibilidades.

Pelo PFC, o resultado é: 6 x 5 x 6 = 120 números.

Exemplo 5

Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas

ela pode ser resolvida?

Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que

correspondem à resolução das 10 questões propostas.

Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F.

Logo, pelo PFC, o resultado é: 2 x 2 x 2 ... x 2 = 210 = 1.024

possibilidades. 10 vezes

21


Exemplo 6

Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6 e 7?

Algarismo das centenas: com exceção do zero, qualquer um dos algarismos dados

pode ser escolhido, havendo, portanto, sete possibilidades.

Algarismo das dezenas: não há restrição alguma, pois pode haver repetição de

algarismos. Assim, há oito possibilidades.

Algarismo das unidades: analogamente ao anterior, há oito possibilidades.

Logo, pelo PFC: 7 x 8 x 8 = 448.

Exemplo 7

Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os

algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

Algarismo das unidades: há quatro possibilidades (1, 3, 5 e 7).

Algarismo das centenas: há seis possibilidades – devemos excluir o zero e o

algarismo escolhido para a unidade.

Algarismo das dezenas: há seis possibilidades – devemos escolher algarismos

diferentes dos algarismos escolhidos para a centena e unidade.

Assim, pelo PFC, temos: 6 x 6 x 4 = 144 números.

Todo problema de contagem pode, pelo menos teoricamente, ser resolvido pelo

PFC. Porém, na prática, a resolução de alguns desses problemas pode se tornar

muito complicada.

Dessa forma, estudaremos técnicas de contagem de determinados agrupamentos –

baseados no PFC – as quais simplificarão a resolução de muitos problemas.

Consideraremos sempre os agrupamentos simples: arranjos, permutações e

combinações.

Exemplo 8

Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o

acento).

Solução:

Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas

vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos:

n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151.200 anagramas

22


2.4 Arranjos simples

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos,

tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos

escolhidos entre os n existentes.

Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se

inverter a posição dos seus elementos.

Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas

os 5 primeiros algarismos ímpares (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes

centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente.

Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas

conseguiremos outra centena diferente: 135 • 351.

Temos então um ARRANJO de cinco elementos tomados de três em três.

Exemplo 1

Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses

quatro elementos tomados dois a dois.

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4,

1); (4, 2); (4, 3)

Notamos que (2, 3) (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um

possível agrupamento gera um agrupamento diferente.

≠

Exemplo 2

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do

cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa

tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para

conseguir abri-lo?

As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10

alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Aplicando a fórmula de

arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

2.5 Cálculo do número de arranjos

Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para

o número de arranjos dos n elementos tomados k a k (An,k).

Escrever um arranjo de n elementos formados k a k significa escrever uma

seqüência ordenada de k elementos distintos (k n), escolhidos entre os n ≤

23


disponíveis. Assim, pelo PFC, a ação pedida consta de k etapas sucessivas,

que correspondem às escolhas dos k elementos.

1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa ... k-ésima etapa (há n elementos (como os elementos para serem escolhidos) devem ser distintos, há n-1 possibilidades)

n n – 1 n – 2 n – (k – 1)

Desta forma, o número total de arranjos dos n elementos tomados k a k é:

An,k = n . (n – 1) . (n – 2) ... (n - k +1)

Multiplicando e dividindo a expressão acima por

(n – k)! = (n – k) (n – k – 1) ... 3 . 2 . 1 vem:

An,k = n (n – 1) (n – 2) ... (n - k +1) . 1.2.3)...1)((1.2.3)...1)((

−−−−−−knknknkn

,

Isto é:

)!(!knn−

≥An,k = n k

Exemplo 3

Obter o valor de A4,2 + A7,3.

Temos A4,2 = )!24(

!4−

= !2!4 =

!2!2.3.4 = 12

A7,3 = )!37(

!7−

= !4!7 =

!4!4.5.6.7 = 210

Exemplo 4

O quadrangular de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro

seleções: Brasil, China, Holanda e Itália. De quantas maneiras distintas

podemos ter os três primeiros colocados?

Um possível resultado do torneio é Holanda (campeã), Brasil (2°) e Itália

(3°). Se trocarmos a ordem desses elementos, obtemos, entre outras, Brasil

24


(campeão), Itália (2°) e Holanda (3°), que é um resultado diferente do

anterior. Dessa forma, cada resultado do torneio é um arranjo das quatro

equipes tomadas três a três.

Assim, o número de possibilidades é :

An,k = )!(

!knn−

A4,3 = )!34(

!4−

= !1!4 = 24

Exemplo 5

A senha de um cartão de banco é formada por duas letras distintas seguidas

por uma seqüência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser

confeccionadas?

Como importa a ordem que são escolhidas as letras, o número de maneiras de

escolhê-las é dado por A26,2.

Analogamente, a seqüência de três algarismos distintos pode ser escolhida de

A10,3.

Pelo PFC, o número de senhas que podem ser confeccionas é:

A26,2 x A10,3 = 650 x 720 = 468.000.

Exemplo 6

Usando-se as 26 letras do alfabeto (A,B,C,D,...,Z), quantos arranjos

distintos com 3 letras podem ser montados?

An,k = )!(

!knn−

, n=26, k=3

Resposta: A = !23!26 =

!2323! . 24 . 25 . 26

= 26.25.24 = 15600

2.6 Permutações simples

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus

elementos.

De outro modo, podemos entender permutação simples como um caso especial de

arranjo, onde n = k, ou seja:

An,k = )!(

!knn−

= !0!n =

1!n = n!

Chega-se então à relação: Pn = n!

25


Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um

conjunto de n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para

forma a seqüência ordenada.

Exemplo 1

Escrever todos os anagramas da palavra SOL.

Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo

que se forme uma palavra com ou sem sentido.

Assim, temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.

Exemplo 2

De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E podem ser dispostas em

fila indiana?

Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois

qualquer fila obtida é uma seqüência ordenada na qual comparecem sempre as

cinco pessoas.

Assim, o resultado esperado é: P5 = 5! = 120

Exemplo 3

Baseado no exemplo anterior, quantas filas podem ser compostas começando por

A ou B?

A 1ª posição da fila pode ser escolhidas de duas maneiras (pois tanto A como

B pode iniciá-la).

Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem

preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de P4 = 4! = 24

possibilidades.

Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48.

Exemplo 4

Oito pessoas, entre elas, Antonio e Pedro, vão posar para uma foto. De

quantas maneiras elas podem ser dispostas se Antonio e Pedro se recusarem-se

a ficar lado a lado?

Caso não houvesse a restrição mencionada, o número total de possibilidades

seria:

P8 = 8! = 40.320.

Para determinar o número de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem

juntos, vamos considerá-los uma só pessoa, que irá permutar com as seis

restantes, num total de:

26


P7 = 7! = 5.040 maneiras.

Porém, para cada uma das possibilidades acima, Antonio e Pedro podem trocar

de lugar entre si, num total de:

P2 = 2! = 2.

Desta forma, o número de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem

juntos é: 2x 5.040 = 10.080.

A diferença 40.320 – 10.080 = 30.240 fornece o número de situações em que

Antonio e Pedro não aparecem lado a lado.

Exemplo 5

Quantas possibilidades de agrupamentos há com os elementos A,B,C?

São possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

De forma matemática: P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Exemplo 6

Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um

banco retangular de cinco lugares.

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Exemplo 7

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que

podem ter ou não significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da

palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o número de anagramas

da palavra MUNDIAL.

P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

2.7 Permutações com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b

elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número

total de permutações que podemos formar é dado por:

Pn (a,b,c) = !!!

!cba

n

Exemplo 1

Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o

acento)

Temos 10 elementos, com repetições. A letra M está repetida duas vezes, a

27


letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2,

b=3 e c=2.

P = 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Exemplo 2

Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA?

Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas

vezes)

P = 5!/2! = 5.4.3 = 60

Exemplo 3

Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?

Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas

vezes) e b = 3 (a letra A se repete três vezes).

P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10

2.8 Combinações simples

Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n

elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k

elementos, isto é, temos uma combinação quando os agrupamentos conseguidos

permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos.

Perceba que se houver cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de

três, o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por

Luís, Pedro e João. Temos, então, uma COMBINAÇÃO de cinco elementos em grupos

de três.

Cálculo do número de combinações

Considere o seguinte problema:

Uma turma é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três

alunos para representação discente na universidade. De quantas maneiras

podemos fazer tal escolha?

Calculemos inicialmente o número de triplas ordenadas de alunos:

A10,3 = !7!10 = 720 seqüências ordenadas.

Suponhamos que A, B, C estejam entre os 10 alunos da turma. Essas 720

possibilidades incluem, entre outras, os seguintes arranjos:

28


(A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B) e (C,B,,A)

Em cada um desses casos – que diferem entre si apenas pela ordem – os alunos

A, B e C farão parte da comissão. Assim, os seis arranjos acima passam a ser

equivalentes entre si, correspondendo a uma única combinação , pois

determinam sempre a mesma comissão.

CBA ,,

Desta forma, aos seis arranjos corresponde uma combinação; então, para os 720

arranjos, teremos x combinações:

Logo, x = 6

720 = 120 comissões

Número de permutações da tripla (A,B,C)

Número de arranjos dos 10 alunos tomados três a três

6 arranjos 1 combinação 720 arranjos x combinações

De modo geral, qualquer permutação de uma determinada seqüência ordenada dá

origem e uma única combinação.

Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k), temos:

)!(!

!knk

n−

k

k n,

PA ≥ou , n k Cn,k = Cn,k =

Exemplo 1

Escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto

M = tomados dois a dois.

uoiea ,,,,Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos.

Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos: = , por

exemplo.

ea, ae,

Assim, as combinações pedidas são:

ea, , , , , , , , , , ia, oa, ua, ie, oe, ue, oi, ui, uo,

29


Exemplo 2

Cinco alunos – Pedro, Luís, José, Abel e Márcio – participam de um concurso

que serão sorteadas três bicicletas. Quais os possíveis resultados do

concurso?

Sortear é o mesmo que sortear , pois nas duas situações, esses alunos ganharão as bicicletas.

MárcioJoséPedro ,, PedroMárcioJosé ,,

Desta forma, cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos

tomados três a três.

Os possíveis resultados do concurso são:

MJP ,,

MAJ ,,

, , , , , , , ,

,

AJP ,,

MAL ,,

AMP ,, JLP ,, MLP ,, ALP ,, AJL ,, MJL ,,

Exemplo 3

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De

quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que

trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! /

5.4.3.2.1.10! = 3003

Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de k elementosescolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que,no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento,obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem doselementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento.

Exemplo 3

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De

quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que

trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

C15,10 = !10)!.1015(

15!−

= !10!.5

15! =

10!5.4.3.2.1. 2.11.10!15.14.13.1 = 3003

30


Exemplo 4

Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas

distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?

C7,3 = !3)!.37(

7!−

= !3!.4

7! =

1.2.3!.4 7.6.5.4! = 35

Exemplo 5

Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos.

Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos?

C9,2 = !2)!.29(

9!−

= !2!.7

9! =

1.2!.7 9.8.7! = 36

Exemplo 6

Uma pizzaria oferece 15 sabores de pizzas diferentes.

a) De quantas maneiras se pode escolher três desses sabores?

b) Suponha que uma família sempre opte por mussarela. Como poderão ser

escolhidos os outros dois sabores?

Resp. a)

Escolher as pizzas é o mesmo que escolher as pizzas . Assim, cada possível escolha é uma combinação das 15 pizzas tomadas três a

três:

3,2,1 PPP 1,2,3 PPP

C15,3 = !12!3

15! =

3.2.1.12! 2!15.14.13.1 = 455

Resp. b)

Como um dos sabores já foi definido, os outros dois sabores serão escolhidos

entre os 14 restantes.

C14,2 = !2!

14!12

= 12!.2.1

14.13.12! = 91

Exemplo 7

Uma turma tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas.

a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas?

O número de escolher os meninos é C9,2.

O número de escolher as meninas é C6,2.

Pelo PFC, temos: C9,2 x C6,2 = 36 x 15 = 540

31


b) Quantas comissões de quatro pessoas têm pelo menos um menino?

O número total de comissões de quatro pessoas, sem nenhuma restrição, é

C15,4.

O número de comissões onde não aparecem meninos é C6,4, pois as vagas serão

preenchidas pelas meninas.

Assim, o número de comissões onde há pelo menos um menino é:

C15,4 – C6,4 = 1.365 – 15 = 1.350

Exemplo 8

Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r,

marcam-se quatro pontos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices

em três quaisquer desses pontos?

Observando a figura, vemos que para construir um triângulo não importa a

ordem dos pontos escolhidos, pois, por exemplo, e determinam

o mesmo triângulo.

CBA ,, ACB ,,

C

B

A

Por outro lado, podemos construir um triângulo se escolhermos:

1° caso: dois pontos de r e um ponto de s

Pelo PFC, há 10 x 4 = 40 possibilidades.

2° caso: um ponto de r e dois pontos de s

C4,1 = 4 possibilidades C5,2 = 10 possibilidades

C5,1 = 5 possibilidades C4,2 = 6 possibilidades

Pelo PFC, há 5 x 6 = 430 possibilidades.

Dessa forma, o número total de triângulos que podem ser construídos é:

40 + 30 = 70.

32


Exemplo 9

Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar

aberto?

Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada

Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.

Para as seis portas, teremos então, pelo PFC:

N = 2.2.2.2.2.2 = 64

Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas,

teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

2.9 Exercícios

01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7

bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?

Resp: 120

02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos

triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?

Resp: 84

03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que

somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para

uma viagem?

Resp: 48

33


3 PROBABILIDADE

Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se

distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique.

Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujos resultados,

mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para

outra.

Para a explicação desses fenômenos – fenômenos aleatórios –

adota-se um modelo matemático probabilístico. Nesse caso, o modelo

utilizado será o CÁLCULO DAS PROBABILIDADES.

3.1 Experimento aleatório

Todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar

diferentes resultados, recebe o nome de experimento aleatório. A

variabilidade de resultados deve-se ao acaso.

A fim de se entender melhor a caracterização desses experimentos,

convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos:

E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe.

E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas.

E3: Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas

brancas e seis pretas.

E4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima.

E5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A.

A análise desses experimentos revela:

a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas

condições.

b) Não se conhece um particular valor do experimento “a priori” , porém

pode-se descrever todos os possíveis resultados – as possibilidades.

34


c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma

regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fração f = r/n

(freqüência relativa), onde n é o número de repetições e r o número de

sucessos.

3.2 Espaço amostral

Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral o conjunto

de todos os resultados possíveis desse experimento.

Consideremos um experimento aleatório. O conjunto de todos os possíveis

resultados desse experimento é chamado espaço amostral e indicado por Ω (letra grega que se lê: “omega”).

Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(Ω).

Exemplo 1

a) E = Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 b) E = jogar duas moedas e observar os resultados.

Ω = (C,C), (C,K), (K,C), (K,K) onde C = cara e K = coroa.

Exemplo 2

Lançamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima:

Temos:

Ω = K,C, onde K: cara; e C: coroa; n(Ω) = 2. Chamamos cada um dos resultados possíveis de ponto amostral.

Exemplo 3

Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas são

extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Observamos a seqüência

de cores das bolas sorteadas.

Para determinar Ω , vamos construir um diagrama de árvore:

1ª extração 2ª extração

vermelha vermelha

branca

Vermelha

branca branca

35


Indicando vermelha por V e branca por B, temos:

Ω = n(Ω) = 4. ),(),,(),,(),,( BBVBBVVV Cada par acima é um dos pontos amostrais de Ω. 3.3 Evento

Evento é um conjunto de resultados do experimento, em termos de

conjuntos, é um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) são

eventos. Ω é dito o evento certo e Ø o evento impossível.

Usando as operações em conjunto, podemos formar novos eventos:

A U B é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem. A I B é o evento que ocorre se A e B ocorrem. Ā é o evento que ocorre se A não ocorre. Exemplo 1

a) Seja o experimento E: jogar três moedas e observar os resultados: Ω = (c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k) Seja E1 o evento: ocorrer pelo menos duas caras. Então, E1 = (c,c,c),(c,c,k), (c,k,c), (k,c,c) b) Seja o evento E2: lançar um dado e observar o número de cima.

Então,

E2 = Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 é um evento certo.

E3: ocorrência de número maior que 8.

E3 = Ø é um evento impossível.

Seja E4: ocorrer múltiplo de 2.

Então E4 = 2, 4, 6; observe que E4 Ω. ⊂Seja E5: ocorrer número ímpar.

Então E5 = 1, 3, 5; observe que E5 Ω. ⊂

3.4 Probabilidade de um Evento

Agora podemos quantificar o grau de confiança de qualquer evento.

36


Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada

um de seus elementos na relação de freqüência. Este número chama-se

probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso.

Exemplo:

O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e

observar sua cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três

vermelhas e quatro pretas.

Qual será a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta?

Para solucionar esta questão, preparamos o esquema da figura acima:

O espaço amostral da figura acima é:

Elemento Imagem

(B) branca 2/9

(V) vermelha 3/9

(P) preta 4/9

= branca, vermelha, preta

O evento “tirar uma bola de cor diferente do preto”, A = B,V, consta

de dois elementos.

Como foi dito na definição de probabilidade, atribuímos a cada evento

um número obtido da soma das imagens de cada elemento na relação de

freqüência.

Portanto, se somarmos as imagens da bola branca, 2/9, e da vermelha,

3/9, que aparecem na relação de freqüência deste exemplo, vamos conhecer o

valor da probabilidade do evento A, indicado por P(A).

Assim,

p(A) = 92 +

93 =

95

Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos

elementares) tem a mesma freqüência relativa esperada.

37


Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado.

Dizemos, então, que o espaço amostral é equiprovável, e que sua

probabilidade é uniforme.

3.5 Evento complementar

Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Ω. Chamamos

evento complementar de – indicado por E – ao evento que ocorre quando se,

e somente se, E não ocorre.

Observe o seguinte diagrama: Ω

Notemos que E I E = Ø e E U E = Ω Exemplo 1

Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso,

uma bola. Se E é o evento “ocorre múltiplo de 3”, então E será:

Temos: Ω = 1, 2, 3, ..., 10 e E = 3, 6, 9; logo:

E = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 é o evento “não ocorre múltiplo de 3”.

Notemos que E U E = Ω.

3.6 Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis

Consideremos o espaço amostral Ω formado por k pontos amostrais (ou eventos

elementares): Ω = a1, a2, a3, ..., ak

Vamos associar cada um desses pontos amostrais um número real, pai, ou

simplesmente pi, chamado probabilidade do evento ai, ou seja, probabilidade

de ocorrência do ponto amostral ai, tal que:

(I) 0 ≤ pi ≤ 1

(II) = 1 , isto é, p∑=

k

1

i

ip 1 + p2 + ... + pk = 1

38


Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos

pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos

por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos amostrais de Ω,

temos, em (II):

p + p + p + ... + p = 1 k . p = 1 p = k1

K vezes

A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais

E = a1, a2, a3, ..., ar , com r k, é dada por: ≤

P (E) = p1 + p2 + ... + pr p(E) = k1 +

k1 +

k1 + …

k1

p(E) = kr = = Número de elementos de E n(E)

Número de elementos de Ω n(Ω) Como E Ω, temos que n(E) ≤ n(Ω). Assim: ⊂

n(E) ≤ ≤ tal que 0 p(E) 1

n(Ω)

P(E) =

Essa definição de probabilidade é intuitiva, isto é, a probabilidade de

ocorrer determinado evento é dada pala razão entre o número de casos

favoráveis (ou número de caos que nos interessam) e o número de casos

possíveis (ou número total de casos).

Assim:

= Número de casos favoráveis

Número de casos possíveis n(Ω)

n(E) p(E) =

Uma vez que o número de casos favoráveis coincide com o número de

elementos do evento, e o número de casos possíveis corresponde ao número de

elementos do espaço amostral, podemos escrever:

p(A) = kf , onde o evento A tem f elementos e k o número possível de

elementos. Para ocorrer o evento A, o resultado deve ser algum desses f

elementos, que são os casos favoráveis.

Assim, no exemplo do lançamento de um dado, se o evento A consiste em

obter um “5”, o número de casos favoráveis será 1, pois num dado não-viciado

39


só existe um “5”, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço

amostral é: = 1,2,3,4,5,6

Assim, a probabilidade do evento A será: P (A) = 1/6

Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto não

significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá, com toda a

certeza, o número “5”. Pode ser que o número “5” não saia nenhuma vez, ou ele

pode sair mais de uma vez.

A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento

um número muito grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente

1/6 do total de jogadas.

Exemplo 1

Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso.

Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?

Temos: Ω = 1, 2, 3, ..., 15 Seja o evento E: “o número da bola sorteada é maior ou igual a 11”. Logo: E = 11, 12, 13, 14, 15.

Assim, p(E) = = 15

= 5

31 = 33,3%

n(E)

n(Ω)

Exemplo 2

Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a

probabilidade desse número ser:

a) menor que 3? b) Maior ou igual a 3?

a) Temos Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

E = 1, 2. Então, p(E) = 62 =

31

b) basta considerar o evento complementar: Ec = 3, 4, 5, 6.

Assim, p(Ec) = = 64 =

32.

n(Ec)

n(Ω)

p(E) + p(Ec) = 1 Note que

Exemplo 3

Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de

observarmos: a) exatamente uma cara?; b) No máximo duas caras?

40


Vamos construir um diagrama de árvore onde na 1ª, 2ª e 3ª colunas,

respectivamente, representaremos os possíveis resultados para o 1°, 2° e 3°

lançamentos.

K (K,K,K) K C (K,K,C) K K (K,C,K) C C (K,C,C) K (C,K,K) K C (C,K,C) C K (C,C,K) C C (C,C,C)

K: cara C: coroa

O espaço amostral é formado pelas oito seqüências indicadas.

a) O evento E1 = (K,C,C), (C,C,K), (C,K,C)

Assim, p(E1) = = 83 = 37,5%

n(E1)

n(Ω) b) As seqüências que nos interessam são aquelas que apresentam nenhuma,

uma ou duas caras. Assim, o evento pedido é:

E2 = (C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)

Logo, p(e2) = 87 = 87,5%.

Exemplo 4

Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco

alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade de essa comissão

vir a ser formada exclusivamente por meninos?

O número de elementos de Ω é igual ao número de maneiras de se escolher uma

comissão qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. Como vimos, n(Ω)

= C45,5 .

O evento que interessa é aquele em que “todos os alunos da comissão são

meninos”. O número de comissões assim existentes é C20,5 .

Assim, a probabilidade pedida é:

P(E) = = 0,0126 = 1,26% C20,5

C45,5

41


Exemplo 5

Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a

probabilidade da palavra escolhida começar por XA?

O número de elementos de Ω é o número de permutações da palavra XADREZ.

Então, n(Ω) = P6 = 6! = 720.

O evento E = “palavra começa por XA”:

X A __ __ __ __ Definidas as duas primeiras letras, há P = 4! 4

maneiras de se preencherem as lacunas restantes. Assim, n(E) = 4! = 24.

Logo, a probabilidade pedida é p(E) = = 72024

= 3,33% n(E)

n(Ω) Exemplo 6

Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos

alimentares dessa comunidade revelou que:

• 25 pessoas consomem carnes e verduras

• 83 pessoas consomem verduras

• 39 pessoas consomem carnes

Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de ela:

a) consumir exclusivamente carne?

b) Ter o hábito alimentar de não comer nem carne nem verdura?

Vamos construir um diagrama representando carne por C e verdura por V.

comunidade

V 25

C

58 14 3

1°) Há 25 pessoas na integração de C e V.

2°) Pessoas que consomem exclusivamente verduras: 83 – 25 = 58

3°) Pessoas que consomem exclusivamente carnes: 39 – 25 = 14

4°) Como 25 + 58 + 14 = 97, há 3 pessoas que não comem carnes nem verduras.

Assim, as probabilidades pedidas são:

a) 10014

= 0,14 = 14% b) 100

3 = 0,03 = 3%

42


3.7 Probabilidade da união de dois eventos

Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Vamos encontrar uma

expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a

probabilidade da ocorrência do evento A U B.

Consideremos dois casos:

1°) eventos mutuamente exclusivos A I B = Ø

≠

Temos: n(A U B) = n(A) + n(B) Como n(Ω) 0, podemos escrever: n(A U B) n(A) n(B)

n(Ω) n(Ω) n(Ω) +

=

Ω

BA

Da definição de probabilidade, segue:

P(A U B) = p(A) + p(B) Nesse caso, A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos. 2°) eventos com ocorrências simultâneas: A I B Ø ≠

A B

A I B

O evento A I B representa a ocorrê Exemplo 1

Uma urna contém 25 bolas numerada

dessa urna.

a) Qual é a probabilidade de o

ou de 3?

Consideremos os eventos A, “o n

múltiplo de 3”. Queremos encontrar

Da teoria dos conjuntos, temos:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A I B) De modo análogo ao primeiro caso:

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A I B)

ncia simultânea dos eventos A e B.

s de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso

número da bola sorteada ser múltiplo de 2

úmero é múltiplo de 2” e B, “o número é

p(A U B). Temos:

43


A = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 p(A) = = 2512

n(A)

n(Ω)

B = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 p(B) = = 258

n(B)

n(Ω)

A I B = 6, 12, 18, 24: é o evento formado pelos múltiplos de 2 e 3 ao mesmo

tempo, isto é, pelos múltiplos de 6. Temos: p(A I B) = 254

.

Como p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A I B)

Temos: p(A U B) = 2512

+ 258

– 254

= 2516

= 0,64 = 64%.

b) Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 5

ou de 7?

A = 5, 10, 15, 20, 25 p(A) = 255

B = 7, 14, 21 p(B) = 253

Como A I B = Ø, temos:

p(A U B) = p(A) + p(B) p(A U B) = 255

+ 253

= 258

= 0,32 = 32%.

Exemplo 2

A probabilidade de um guarda rodoviário aplicar quatro ou mais multas em um

dia é de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia

é de 56%. Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro

multas?

Consideremos os eventos:

A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63

B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56

Temos:

1°) A B é o evento “guarda aplica exatamente quatro multas”. Queremos

determinar p(A I B).

I

2°) A B = (em um dia o guarda aplica menos de quatro multas, ou quatro

multas, ou mais de quatro multas).

U

44


Assim, p(A U B) = p(Ω) = 1 (pois A U B é o evento certo). Daí:

P(A U B) = p(A) + p(B) – p(A I B)

1 = 0,63 + 0,56 - p(A I B) p(A I B) = 0,19 = 19%

Exemplo 3

Observe a roleta da figura abaixo e pense na probabilidade existente de saída

para cada número.

a) Qual a probabilidade de cada evento elementar?

P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 P(3) = 2/8

b) Qual a probabilidade de o número ser par? P(2,4,6) = 3/8

c) Qual a probabilidade de dar o número 3? P(3) = 2/8 = 1/4

3.8 Experiência Composta

Também pode nos interessar o cálculo da probabilidade de uma

experiência composta, ou seja, a realização de dois ou mais experimentos

aleatórios simples.

Nesses casos, a freqüência relativa esperada para cada resultado

possível do experimento é obtida a partir do produto das freqüências

relativas esperadas de cada elemento que compõe o referido resultado.

Exemplo:

Temos uma moeda e duas caixas cheias de bolas coloridas. Na caixa A

temos duas bolas vermelhas e cinco pretas, enquanto na B há quatro bolas

vermelhas e uma bola azul.

Imagine a seguinte experiência composta: lançamos uma moeda; se der

"cara", extraímos uma bola da caixa A; e se der "coroa", uma bola da caixa B.

Em seguida, vamos representar por um diagrama em árvore os resultados

possíveis da experiência composta.

Vamos Indicar também as freqüências relativas esperadas para cada

experiência parcial.

Como observamos no esquema da figura anterior, o espaço amostral é:

= (cara, vermelha), (cara, preta), (coroa, vermelha), (coroa, azul)

45


cara

coroa

51

54

75

72 vermelha

21

21

preta

vermelha

azul

O objetivo é definir uma probabilidade para o conjunto , que

representa os resultados possíveis da experiência composta.

A relação de freqüência é obtida atribuindo-se a cada resultado o

produto das freqüências relativas esperadas, que aparecem em cada ramo

completo do diagrama em árvore da figura.

Desta maneira, comprovamos que a relação de freqüência, neste caso, é a

seguinte:

Elemento Imagem

cara, vermelha 1/2 x 2/7 = 2/14

cara, preta 1/2 x 5/7 = 5/14

coroa, vermelha 1/2 x 4/7 = 4/14

coroa, azul 1/2 x 1/7 = 1/10

Agora podemos calcular a probabilidade de qualquer evento dessa

experiência composta.

3.9 Probabilidade condicional

Seja E: lançar um dado e o evento A = sair o n° 3. Então, P(A) = 61

Considere agora o evento B = sair um número ímpar = 1, 3, 6.

É de grande importância para o cálculo das probabilidades se calcular

a probabilidade condicional. No exemplo, pode-se querer avaliar a

probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B. Em símbolos,

46


designa-se por P(A/B) e lê-se: “probabilidade do evento A condicionada à

ocorrência de B”, ou melhor, “probabilidade de A dado B”.

Assim: P(A/B) = 1/3.

Obs: dada a ocorrência de um evento, teremos a redução do espaço-amostra; no

caso, = 1, 2, 3, 4, 5, 6 foi reduzido para `= 1, 3, 5 e é neste

espaço-amostra reduzido que se avalia a probabilidade do vento.

Definição: Dados dois eventos, A e B, denota-se P(A/B) a probabilidade

condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido, por:

com P(B) 0, pois B já ocorreu

≠P(A B) IP(B)

P(A/B) =

Vamos encontrar uma fórmula para o cálculo da probabilidade condicional:

P(A I B)

I

I

NCF (B)

NCF(A B) =

NTC

NCF(B) =

NCF(A B)

NTC

P(B)

NTC = Número total de casos

P(A/B) =

Desta maneira, para calcular a probabilidade de A dado B, basta contar o

número de casos favoráveis ao evento A I B: [NCF(A I B)] e dividir pela

quantidade de casos favoráveis ao evento B: [NCF(B)].

Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos:

A = (X1, X2)/ X1 + X2 = 10 e B = (X1, X2)/ X1 > X2

Onde X1 é o resultado do dado 1 e X2 é o resultado do dado 2.

Calcular P(A); P(B); P(A/B); P(B/A)

Solução

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Ω =

NCF ao evento A

363

121= P(A) = =

NTC

Obs: apenas o par (6,4) é favorável

ao evento (A B). I

1

3

NCF a (A I B) P(A/B) = =

NTC a B

47


4 ESTATÍSTICA BÁSICA

4.4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS

A Estatística pode ser encarada como uma ciência ou como um método de

estudo. Duas concepções para a palavra ESTATÍSTICA:

a) no plural (estatísticas), indica qualquer coleção consistente de dados

numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma

atividade qualquer. Por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se

aos dados numéricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimônios,

desquites, etc.

b) no singular (estatística), indica um corpo de técnicas, ou ainda uma

metodologia técnica desenvolvida para a coleta, a classificação, a

apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a

utilização desses dados para a tomada de decisões.

Qualquer ciência experimental não pode prescindir das técnicas proporcionadas

pela Estatística, como por exemplo, a Física, a Biologia, a Administração, a

Economia, etc. Todos esses ramos de atividade profissional tem necessidade de

um instrumental que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenômenos

de massa ou coletivos, cuja mensuração e análise requerem um conjunto de

observações de fenômeno ou particulares.

DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA

Estatística é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização,

descrição (apresentação), análise e interpretação de dados experimentais e

tem como objetivo fundamental o estudo de uma população.

Este estudo pode ser feito de duas maneiras:

• Investigando todos os elementos da população ou

• Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população.

48


Modelagem

Planejamento

Experimentação

ex

Exp

e

r

P

C

Conclusão 4.5 DIV Estatísti

classific

fenômeno

descrever

Estatísti

uma amost

origem e

A estatís

O

margem de

obter par

caracterí

Formulação e análise do Problema

lanejamento do

projeto

Formulação do modelo

conceitual

oleta de macro informações

ISÃO DA ESTATÍSTICA

EstatíDescr

ca Descritiva: é aq

ação,apresentação,

através de gráficos

o fenômeno.

ca Indutiva (Amostr

ra, estabelece hi

que formula previsõ

tica indutiva cuida

processo de gener

incerteza. Isto se

a o conjunto de tod

sticas comuns basei

Coleta de dados

Tradução do

modelo

Verificação e validação do modelo

stica itiva

MétodosEstatístic

uela que se preoc

interpretação e a

e tabelas além d

al ou Inferencial)

póteses, tira con

es fundamentando-se

da análise e inter

alização do método

deve ao fato de q

os os indivíduos an

a-se em uma parcela

49

Projeto perimental

erimentação

Análise statística

dos esultados

EstatístiInferenci

os

upa com a coleta

nalise de dados

e calcular medid

: é a aquela q

clusões sobre a

na teoria das

pretação dos dad

indutivo está a

ue a conclusão q

alisados quanto

do total de obs

Comparação e identificação das melhores

soluções

Documentação Apresentação

dos resultados Implementação

ca al

, organização,

referentes ao

as que permita

ue partindo de

população de

probabilidades.

os.

ssociado a uma

ue se pretende

a determinadas

ervações.


PPooppuullaaççããoo?? Envolve: • Estimação • Teste de Hipótese

Propósito:

• Tomar Decisões sobre as características da População

PPooppuullaaççããoo

AAmmoossttrraa

EEssttaattííssttiiccaa AAmmoossttrraall

(( XX ))

EEssttiimmaattiivvaass && tteesstteess

4.6 POPULAÇÃO

É o conjunto, finito ou infinito, de indivíduos ou objetos que

apresentam em comum determinadas características definidas, cujo

comportamento interessa analisar.

A população é estudada em termos de observações de características nos

indivíduos (animados ou inanimados) que sejam relevantes para o estudo, e não

em termos de pessoas ou objetos em si. O objetivo é tirar conclusões sobre o

fenômeno em estudo, a partir dos dados observados.

Como em qualquer estudo estatístico temos em mente estudar uma ou mais

características dos elementos de uma população, é importante definir bem

essas características de interesse para que seja delimitado os elementos que

pertencem à população e quais os que não pertencem.

50


Exemplos:

1. Estudar os filhos tidos, tipo de moradia, condições de trabalho, tipo de

sanitário. Números de quartos para dormir, estado civil, uso da terra, tempo

de trabalho, local de nascimento, tipo de cultivo, etc., dos agricultores do

Estado do Amazonas.

População: Todos os agricultores (proprietários de terra ou não) plantadores

das culturas existentes no Estado do Amazonas.

2. Estudar a precipitação pluviométrica anual (em mm) na cidade de Manaus.

População: Conjunto das informações coletadas pela Estação Pluviométrica,

durante o ano.

4. As alturas dos cidadãos do Amazonas constituem uma população ou a

população dos pesos desses cidadãos.

EEssttaattííssttiiccaa IInnffeerreenncciiaall ((PPrroobbaabbiilliiddaaddee))

EEssttaattííssttiiccaa DDeessccrriittiivvaa

AAmmoossttrraaggeemm

Dados População

Divisão Da População

- População Finita: apresenta um número limitado de elementos. É possível

enumerar todos os elementos componentes.

Exemplos:

1. Idade dos universitários do Estado do Pará.

População: Todos os universitários do Estado do Pará.

- População Infinita: apresenta um número ilimitado de elementos. Não é

possível enumerar todos os elementos componentes.

Entretanto, tal definição existe apenas no campo teórico, uma vez que,

na prática, nunca encontraremos populações com infinitos elementos, mas sim,

51


populações com grande número de componentes; e nessas circunstâncias, tais

populações são tratadas como se fossem infinitas.

Exemplos:

1. Tipos de bactérias no corpo humano

População: Todas as bactérias existentes no corpo humano.

2. Comportamento das formigas de certa área

População: Todas as formigas da área em estudo.

4.4 AMOSTRAGEM

É a coleta das informações de parte da população, chamada

amostra (representada por pela letra “n”), mediante métodos adequados de

seleção destas unidades.

4.5 AMOSTRA

É uma parte (um subconjunto finito) representativa de uma

população selecionada segundo métodos adequados.

O objetivo é fazer inferências, tirar conclusões sobre populações

com base nos resultados da amostra, para isso é necessário garantir que

amostra seja representativa, ou seja, a amostra deve conter as mesmas

características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que

desejamos pesquisar.

O termo indução é um processo de raciocínio em que, partindo-se do

conhecimento de uma parte, procura-se tirar conclusões sobre a realidade no

todo.

Ao induzir estamos sujeitos a erros. Entretanto, a Estatística

Indutiva, que obtém resultados sobre populações a partir das amostras, diz

qual a precisão dos resultados e com que probabilidade se pode confiar nas

conclusões obtidas.

4.6 CENSO

É o exame completo de toda população.

Quanto maior a amostra, mais precisas e confiáveis deverão ser as

induções feitas sobre a população. Logo, os resultados mais perfeitos são

obtidos pelo Censo. Na prática, esta conclusão muitas vezes não acontece: o

emprego de amostras, com certo rigor técnico, pode levar a resultados mais

52


confiáveis ou até mesmo melhores do que os que seriam obtidos através de um

Censo.

As razões de se recorrer a amostras são: menor custo e tempo para

levantar dados; melhor investigação dos elementos observados.

4.7 TIPOS DE VARIÁVEIS

Variável Qualitativa

Quando seus valores são expressos por atributos ou qualidade.

Exemplos:

1) População: Estudantes universitários do Estado do Pará.

Variáveis: sexo, profissão, escolaridade, religião, meio onde vivem (rural,

urbano).

2) População: População dos bairros periféricos do município de Belém.

Variáveis: tipo de casa, existência de água encanada (sim, não), bairro de

origem.

Variáveis qualitativas que não são ordenáveis recebem o nome de nominais.

Exemplo: religião, sexo, raça, cor.

Raça do AM - 2005

Raça Freqüência

Branca Negra Parda Outra Total

F onte: Fictícia

Variáveis qualitativas que são ordenáveis recebem o nome de ordinais.

Exemplo: nível de instrução, classe social.

Classe social do AM - 2005 Classe social Freqüência

Classe A Classe B Classe C Classe D Total

Fonte: Fictícia

53


Variável Quantitativa

Quando seus valores são expressos por números. Esses números podem ser

obtidos por um processo de contagem ou medição.

Exemplos:

1) População: Todos os agricultores do Estado do Pará.

Variáveis: número de filhos tidos, extensão da área plantada, altura, idade.

2) População: População dos bairros periféricos do município de Belém

Variáveis: número de quartos, área da casa em m2, número de moradores.

A VARIÁVEL QUANTITATIVA DIVIDE-SE EM:

a. Variável Discreta: são aquelas que podem assumir apenas valores inteiros

em pontos da reta real. É possível enumerar todos os possíveis valores da

variável.

Exemplos:

. População: Universitários do Estado do Pará.

Variáveis: número de filhos, número de quartos da casa, número de moradores,

número de irmãos.

b. Variável Contínua: são aquelas que podem assumir qualquer valor num certo

intervalo (contínuo) da reta real. Não é possível enumerar todos os possíveis

valores.

. População: Todos os agricultores do Estado do Pará.

Variáveis: idade, renda familiar; extensão da área plantada (em m2 ) , peso e

altura das crianças agricultoras.

4.8 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA

A primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou

formulação correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza

dos dados. Além de considerar detidamente o problema objeto de estudo o

54


analista deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e

análogos, uma vez que parte da informação de que necessita pode, muitas

vezes, ser encontrada nesses últimos. Saber exatamente aquilo que pretende

pesquisar é o mesmo que definir de maneira correta o problema.

Por exemplo:

- os preços dos produtos agrícolas produzidos no Estado do Pará são menores

do que àqueles originados de outros Estados?

- qual a natureza e o grau de relação que existe entre a distribuição da

pluviosidade e a colheita do produto x?

- estudar uma população por sexo: dividi-se os dois grupos em masculino e

feminino;

- estudar a idade dos universitários, por grupos de idade: distribui-se o

total de casos conhecidos pelos diversos grupos etários pré-estabelecidos;

- Analisar a capacidade de germinação de certo tipo de cereal:

• Calcular a média, a mediana e a moda do número de sementes germinadas, ou

seja, descrever com alguns valores resultados obtidos.

• Representar graficamente os resultados.

• Calcular a proporção de vasos com mais de três sementes germinadas.

4.9 DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS (GERAL E ESPECÍFICO)

É definir com exatidão o que será pesquisado.

É recomendável ter em vista um objetivo para o estudo, em lugar de

coletar o material e definí-lo no decorrer do trabalho ou só no fim deste.

Objetivos mais comuns em uma pesquisa:

. Dados pessoais: grau de instrução, religião, nacionalidade, dados

profissionais, familiares, econômicos, etc.

. Dados sobre comportamento: como se comportam segundo certas circunstâncias.

Ex: possível remanejamento da área habitada.

. Opiniões, expectativas, níveis de informação, angústias, esperanças,

aspirações sobre certos assuntos.

. Dados sobre as condições habitacionais e de saneamento que avalie as

condições em que vivem e a qualidade de vida de certo grupo.

55


4.10 PLANEJAMENTO

Resultados / Conclusões

Metodologia de

estudo

Metodologia

Estatística

Análise e interpretação dos dados

Apresentação dos dados

Coleta e crítica e apuração dos dados

Planejamento da pesquisa

Definição do Problema / Objetivos

O problema está definido. Como resolvê-lo? Se através de amostra, esta

deve ser significativa para que represente a população.

O planejamento consiste em se determinar o procedimento necessário para

resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto

objeto de estudo. Que dados deverão ser coletados? Como se deve obtê-los? É

preciso planejar o trabalho a ser realizado tendo em vista o objetivo que se

pretende atingir.

É nesta fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado,

que podem ser:

a) levantamento censitário, quando a contagem for completa, abrangendo todo o

universo;

b) levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial.

Outros elementos importantes que devem ser tratados nessa fase são o

cronograma das atividades, através do qual são fixados os prazos para as

várias fases, os custos envolvidos, o exame das informações disponíveis, o

delineamento da amostra, a forma como serão coletados os dados, os setores ou

áreas de investigação, o grau de precisão exigido e outros.

4.11 COLETA DOS DADOS

Refere-se a obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com o

objetivo determinado.

56


A escolha da fonte de obtenção dos dados está diretamente relacionada

ao tipo do problema, objetivos do trabalho, escala de atuação e

disponibilidade de tempo e recursos.

a) Fontes primárias: é o levantamento direto no campo através de mensurações

diretas ou de entrevistas ou questionários aplicados a sujeitos de interesse

para a pesquisa.

Vantagens: grau de detalhamento com respeito ao interesse dos quesitos

levantados; maior precisão das informações obtidas.

b) Fontes secundárias: quando são publicados ou registrados por outra

organização.

A coleta de dados secundários se realiza através de documentos

cartográficos (mapas, cartas, imagens e fotografias obtidas por sensor remoto

ou por fotogrametria e imagens de radar). Estas fontes de informação são de

extrema importância.

Das fotografias aéreas em escalas reduzidas ou mais detalhadas, das

imagens de radares ou satélite e de cartas obtêm-se informações quanto ao uso

do solo, drenagem, estruturas viárias e urbanas, povoamento rural, recursos

florísticos, minerais e pedológicos, estrutura fundiária e de serviços, dados

altimétricos, etc.

Vantagens: inclui um processo de redução e agregação de informações.

A coleta dos dados pode ser feita de forma direta ou indireta.

4.12 CRÍTICA DOS DADOS

A crítica dos dados deve ser feita com cuidado através de um trabalho

de revisão e correção, ao qual chamamos de crítica (consistência), a fim de

não de incorrer em erros que possam afetar de maneira sensível os resultados.

As perguntas dos questionários uniformemente mal compreendidas, os

enganos evidentes, tais como somas erradas, omissões, trocas de respostas e

etc, são fáceis de corrigir. É necessário, entretanto, que o crítico não faça

a correção por simples suposição sua, mas sim que tenha chegado a conclusão

absoluta do engano.

Quelet dividiu a crítica em: externa e interna.

A crítica externa refere-se as imperfeições porventura existentes na

coleta dos dados, por deficiência do observador, por imperfeição do

instrumento de trabalho, por erro de registro nas fichas, imprecisão nas

respostas aos quesitos propostos e outros fatores de erro que justificam um

57


verificação minuciosa dos dados coletados antes de iniciar a elaboração do

trabalho de análise.

A crítica interna diz respeito a verificação da exatidão das

informações obtidas. É mister examinar as respostas dadas, sanando

imperfeições e omissões, de forma que os dados respondam com precisão aos

quesitos formulados.

As informações relativas a profissão não devem ser vagas como, por

exemplo: operário, mas sim, oleiro, pedreiro, carpinteiro, etc., conforme o

caso.

O estado civil será declarado: solteiro, casado, viúvo ou desquitado.

Em resumo, os dados devem sofrer uma crítica criteriosa com o objetivo

de afastar os erros tão comuns nessa natureza de trabalho. As informações

inexatas ou omissas devem ser corrigidas. Os questionários devem voltar a

fonte de origem sempre que se fizerem necessário sua correção ou

complementação.

4.13 APURAÇÃO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS

É um processo de apuração ou sumarização que consiste em resumir os

dados através de sua contagem ou agrupamento. É um trabalho de condensação e

de tabulação dos dados, que chegam ao analista de forma desorganizada.

Através da apuração, se tem a oportunidade de condensar os dados de

modo a obter um conjunto compacto de números, o qual possibilita distinguir

melhor o comportamento do fenômeno na sua totalidade.

Os dados de fenômenos geográficos podem ser organizados em mapas,

tabelas, matrizes, disquetes ou fitas.

4.14 EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS

Há duas formas de apresentação que não se excluem mutuamente:

Apresentação Tabular

É uma apresentação numérica dos dados. Consiste em dispor os dados em

linhas e colunas distribuídos de modo ordenado, segundo algumas regras

práticas adotadas pelo Conselho Nacional de Estatística. As tabelas têm a

vantagem de conseguir expor, sistematicamente em um só local, os resultados

58


sobre determinado assunto, de modo a se obter uma visão global mais rápida

daquilo que se pretende analisar.

Apresentação Gráfica

Constitui uma apresentação geométrica dos dados. Permite ao analista

obter uma visão rápida e clara do fenômeno e sua variação.

4.15 ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS

Nessa etapa, o interesse maior consiste em tirar conclusões que

auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A análise dos dados

estatísticos está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja

finalidade principal é descrever o fenômeno. Assim, o conjunto de dados a ser

analisado pode ser expresso por número-resumo, as estatísticas, que

evidenciam características particulares desse conjunto.

4.16 REGRAS DE ARREDONDAMENTO

De acordo com as Normas de Apresentação Tabular - 3ª edição/1993 - da

Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira:

1. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 0, 1, 2, 3 ou 4 ele

deve ficar inalterado.

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 6,197 Inteiro 6 12,489 Inteiro 12 20,733 Décimos 20,7 35,992 Centésimos 35,99

2. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 5, 6, 7, 8 ou 9 ele

deve ser acrescido de uma unidade.

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 15,504 Inteiro 16 21,671 Inteiro 22 16,571 Décimos 16,6 17,578 Centésimos 17,58 215,500 Inteiros 216 216,500 inteiros 217 216,750 décimos 216,8 216,705 centésimos 216,71

59


OBS: Não faça arredondamento sucessivos

Ex.: 17,3452 passa a 17,3 e não para 17,35 , para 17,4.

Se houver necessidade de um novo arredondamento, voltar aos dados originais.

Tabela 3.1: Produção de Café

Brasil - 1978-1983

Anos Quantidade (1000 ton)

1978 (1) 2535 1979 2666 1980 2122 1981 3760 1982 2007 1983 2500

Fonte: Fictícia Nota: Produção destinada para o consumo interno. (1) Parte exportada para a Argentina.

Denomina-se SÉRIE ESTATÍSTICA toda tabela que apresenta a distribuição

de um conjunto de dados estatísticos em função da ÉPOCA, do LOCAL, ou da

ESPÉCIE (fenômeno).

Numa série estatística observa-se a existência de três elementos ou

fatores: o TEMPO, o ESPAÇO e a ESPÉCIE.

Conforme varie um desses elementos, a série estatística classifica-se

em TEMPORAL, GEOGRÁFICA e ESPECÍFICA.

4.17 SÉRIE TEMPORAL, HISTÓRICA OU CRONOLÓGICA

É a série cujos dados estão em correspondência com o tempo, ou seja,

variam com o tempo.

Tabela 3.2: Produção Brasileira de Trigo 1988-1993


1988 (1) 2345 1989 2451 1990 2501 1991 2204 1992 2306 1993 2560

Fonte: IBGE Nota: Produção voltada para o consumo interno.

(1) Parte da produção exportada.

. Elemento variável: tempo (fator cronológico)

. Elemento fixo: local (fator geográfico) e o fenômeno (espécie)

60


4.18 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

A Estatística Descritiva pode descrever os dados através de gráficos.

A apresentação gráfica é um complemento importante da apresentação

tabular. A vantagem de um gráfico sobre a tabela está em possibilitar uma

rápida impressão visual da distribuição dos valores ou das freqüências

observadas. Os gráficos propiciam uma idéia inicial mais satisfatória da

concentração e dispersão dos valores, uma vez que através deles os dados

estatísticos se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretáveis.

REQUISITOS FUNDAMENTAIS EM UM GRÁFICO:

a. Simplicidade: possibilitar a análise rápida do fenômeno observado. Deve

conter apenas o essencial.

b. Clareza: possibilitar a leitura e interpretações correta dos valores do

fenômeno.

c. Veracidade: deve expressar a verdade sobre o fenômeno observado.

TIPOS DE GRÁFICOS QUANTO A FORMA:

a. Diagramas: gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São mais

usados na representação de séries estatísticas.

b. Cartogramas: é a representação sobre uma carta geográfica, sendo muito

usado na Geografia, História e Demografia.

c. Estereogramas: representam volumes e são apresentados em três dimensões.

d. Pictogramas: a representação gráfica consta de figuras representativas do

fenômeno. Desperta logo a atenção do público.

CLASSIFICAÇÃO DOS GRÁFICOS QUANTO AO OBJETIVO

Gráficos de informação

O objetivo é proporcionar uma visualização rápida e clara da

intensidade das categorias ou dos valores relativos ao fenômeno. São gráficos

tipicamente expositivos, devendo ser o mais completo possível, dispensando

comentários explicativos.

61


Características:

- deve conter título em letra de forma;

- as legendas podem ser omitidas, desde que as informações presentes

possibilitem a interpretação do gráfico.

Gráficos de análise

Estes gráficos fornecem informações importantes na fase de análise dos

dados, sendo também informativos.

Os gráficos de análise, geralmente, vêm acompanhado de uma tabela e um

texto onde se destacam os pontos principais revelados pelo gráfico ou pela

tabela.

4.19 PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS

4.19.1 GRÁFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS

São usados para representar séries temporais, principalmente quando a

série cobrir um grande número de períodos de tempo.

Considere a série temporal:

Tabela 4.1 Produção de Arroz do Município X - 1984-1994


1984 816 1985 904 1986 1.203 1987 1.147 1988 1.239 1989 1.565 1990 1.620 1991 1.833 1992 1.910 1993 1.890 1994 1.903

Fonte: Fictícia

62


Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994

0

500

1000

1500

2000

2500

84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

(1000 ton)

4.19.2 GRÁFICOS EM COLUNAS

É a representação de uma série estatística através de retângulos,

dispostos em colunas (na vertical) ou em retângulos (na horizontal). Este

tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística.

As regras para a construção são as mesmas do gráfico em curvas.

As bases das colunas são iguais e as alturas são proporcionais aos

respectivos dados.

Exemplo: Tabela 4.2 Produção de Soja do Município X - 1991-1995

Anos Quantidade (ton.)

1991 117.579 1992 148.550 1993 175.384 1994 220.272 1995 265.626

Fonte: Secretaria Municipal de Agricultura

Para cada ano é construída uma coluna, variando a altura (proporcional

a cada quantidade). As colunas são separadas uma das outras.

Observação: O espaço entre as colunas pode variar de 1/3 a 2/3 do tamanho da

base da coluna.

63


0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

Tone

lada

s

1991 1992 1993 1994 1995

Gráfico 4.2. Produção de Soja do Município X - 1991-1995

Uso do gráfico em colunas para representar outras séries estatísticas

Tabela 4.3 Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966

Regiões Fisiográficas Área (Km2)

Norte 3.581.180 Nordeste 965.652 Sudeste 1.260.057 Sul 825.621 Centro-oeste 1.879.965

Brasil 8.511.965 Fonte: IBGE.

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

3.000.000

3.500.000

4.000.000Km2

Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste

Grafico 4.3. Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966.

Obs: Na tabela as regiões são apresentadas em ordem geográficas. No gráfico

as colunas são ordenadas pela altura, da maior para a menor, da esquerda para

a direita.

64


4.19.7 GRÁFICOS EM BARRAS

As alturas dos retângulos são iguais e arbitrárias e os comprimentos

são proporcionais aos respectivos dados.

As barras devem ser separadas uma das outras pelo mesmo espaço de forma

que as inscrições identifiquem as diferentes barras. O espaço entre as barras

pode ser a metade (½) ou dois terços(2/3) de suas larguras.

As barras devem ser colocadas em ordem de grandeza de forma decrescente

para facilitar a comparação dos valores. A categoria “outros” (quando

existir) são representadas na barra inferior, mesmo que o seu comprimento

exceda o de alguma outra.

Outra representação gráfica da Tabela 4.3:

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

3.000.000

3.500.000

4.000.000

Km2

Norte

Centro-Oeste

Sudeste

Nordeste

Sul

Grafico 4.4. Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966.

Tabela 4.4 Matrícula no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino -Brasil - 1995 Ramos de ensino Matrículas

Filosofia, Ciências e Letras 44.802 Direito 36.363

Engenharia 26.603 Administração e Economia 24.027

Medicina 17.152 Odontologia 6.794 Agricultura 4.852

Serviço Social 3.121 Arquitetura e Urbanismo 2.774

Farmácia 2.619 Demais ramos 11.002

Total 180.109

65


05000

1000015000

2000025000

3000035000

4000045000

Matrículas

Filosofia, Ciências e Letras

Direito

Engenharia

Administração e Econômia

Medicina

Odontologia

Agricultura

Serviço Social

Arquitetura e Urbanismo

Farmácia

Demais ramos

Grafico 4.5. Matrícula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino - Brasil - 1999.

OBS: Quando a variável em estudo for qualitativa e os nomes das categorias

for extenso ou as séries forem geográficas ou específicas é preferível o

gráfico em barras, devido a dificuldade em se escrever a legenda em baixo da

coluna.

4.19.8 GRÁFICO EM COLUNAS MÚLTIPLAS (AGRUPADAS)

É um tipo de gráfico útil para estabelecer comparações entre as

grandezas de cada categoria dos fenômenos estudados.

A modalidade de apresentação das colunas é chamado de Gráfico de

Colunas Remontadas. Ele proporciona economia de espaços sendo mais indicado

quando a série apresenta um número significativo de categorias.

Exemplo: Tabela 4.5 Entrada de migrantes em três Estados do Brasil - 1992-1994

Número de migrantes

Anos Total Estados

Amapá São Paulo Paraná 1992 4.526 2.291 1.626 609 1993 4.633 2.456 1.585 592 1994 4.450 2.353 1.389 708

Fonte: Fictícia

66


0

500

1000

1500

2000

2500

Qua

ntid

ade

1992 1993 1994

Gráfico 4.6. Entrada de migrantes em três Estados do Brasil1992-1994.

Amapá São Paulo Paraná

4.19.9 GRÁFICO EM BARRAS MÚLTIPLAS (AGRUPADAS)

Útil quando a variável for qualitativa ou os dizeres das categorias a

serem escritos são extensos.

Exemplo:

Tabela 4.6

Importação de vinho e champanhe (BR) proveniente de várias origens - 1994 Países

Importação (1.000 dólares)

Vinho Champanhe Portugal 220 15 Itália 175 25 França 230 90 Argentina 50 5 Chile 75 20 Espanha 110 16

0 50 100 150 200 250

1000 dólares

França

Portugal

Itália

Espanha

Chile

Argentina

Gráfico 4.7. Importação Brasileira de vinho e champanhe proveniente de várias origens - 1994.

Vinho Champanhe

67


4.19.10 GRÁFICO EM SETORES

É a representação gráfica de uma série estatística em um círculo de

raio qualquer, por meio de setores com ângulos centrais proporcionais às

ocorrências.

É utilizado quando se pretende comparar cada valor da série com o

total.

O total da série corresponde a 360° (total de graus de um arco de

circunferência).

O gráfico em setores representam valores absolutos ou porcentagens

complementares.

As séries geográficas, específicas e as categorias em nível nominal são

mais representadas em gráficos de setores, desde que não apresentem muitas

parcelas (no máximo sete).

Cada parcela componente do total será expressa em graus, calculada

através de uma regra de três:

Total - 360° Parte - x°

Exemplo: Tabela 4.7 Produção Agrícola do Estado A - 1995

Produtos Quantidade (t) Café 400.000 Açúcar 200.000 Milho 100.000 Feijão 20.000 Total 720.000

Fonte: Fictícia

Gráfico 4.8. Produção Agrícola do Estado A - 1995.

Café55%Açucar

28%

Milho14%

Feijão3%

Outras maneiras de representar graficamente a Tabela 4.7:

68


050.000

100.000150.000200.000250.000300.000350.000400.000

Quantidade (t)

Café Açucar Milho Feijão


050.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

350.000

400.000Quantidade (t)

Café

Açucar

Milho

Feijão


4.20 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

As tabelas estatísticas, geralmente, condensam informações de fenômenos

que necessitam da coleta de grande quantidade de dados numéricos. No caso das

distribuições de freqüências que é um tipo de série estatística, os dados

referentes ao fenômeno objeto de estudo se repetem na maioria das vezes

sugerindo a apresentação em tabela onde apareçam valores distintos um dos

outros.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA PARA DADOS AGRUPADOS

É a série estatística que condensa um conjunto de dados conforme as

freqüências ou repetições de seus valores. Os dados encontram-se dispostos em

classes ou categorias junto com as freqüências correspondentes. Os elementos

69


época, local e fenômeno são fixos. O fenômeno apresenta-se através de

gradações, ou seja, os dados estão agrupados de acordo com a intensidade ou

variação quantitativa gradual do fenômeno.

REPRESENTAÇÃO DOS DADOS AMOSTRAIS OU POPULACIONAIS

a. Dados brutos: são aqueles que não foram numericamente organizados, ou

seja, estão na forma com que foram coletados.

Tabela 4.1 - Número de filhos de um grupo de 50 casais 2 3 0 2 1 1 1 3 2 5 6 1 1 4 0 5 6 0 2 1 4 1 3 1 7 6 2 0 1 3 1 3 5 7 1 3 1 1 0 3 0 4 1 2 2 1 2 3 2

1

b. Rol: é a organização dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente. Tabela 4.2 - Número de filhos de um grupo de 50 casais 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7

A simples observação dos dados brutos apresentados na Tabela 4.1 não

nos permite explicar o comportamento das variáveis em estudo.

Um primeiro passo a ser dado, na obtenção de informações mais resumidas

e precisas a respeito do comportamento das variáveis, é a construção de

tabelas de freqüência.

Para cada variável estudada, contamos o número de vezes que ocorre cada

uma das suas realizações (ou valores). O número obtido é chamado freqüência

absoluta e indicado por ni (cada realização de uma variável apresenta um

valor para n).

Considerando as realizações da variável “número de filhos”, temos os

seguintes valores de ni (conforme Tabela 4.2):

O filhos: 6 4 filhos: 3

1 filho: 16 5 filhos: 3

2 filhos: 9 6 filhos: 3

3 filhos: 8 7 filhos: 2

70


c. Distribuição de freqüências: é a disposição dos valores com as respectivas

freqüências. O número de observações ou repetições de um valor, em um

levantamento qualquer, é chamado freqüência desse valor. Uma tabela de

freqüências é aquela onde se procura fazer corresponder os valores observados

da variável em estudo e as respectivas freqüências.

Freqüência absoluta (Fi): a freqüência absoluta não é uma medida muito

eficiente para a análise dos dados, especialmente nos caso em que se deseja

comparar a distribuição de uma mesma variável ao longo de populações

diferentes (poderíamos estar interessados em comparar o número de filhos em

vários países africanos). Assim, precisamos definir uma medida que leve em,

consideração o número total de observações colhidas.

Freqüência relativa (fi): Para isso, definimos a freqüência relativa (fi)

como a razão entre a freqüência absoluta (Fi) e o número total de observações

n, isto é:

fi = nFi

Como Fi ≤ n, segue que 0 f≤ i 1. Por esse motivo, é comum

expressar f

≤i em porcentagem.

Para expressar o resultado em termos percentuais, multiplica-se o

quociente obtido por 100.

Em % = fi = nFi

. 100

Obs 1: a soma das freqüências relativas de uma tabela de freqüência é sempre

igual a 1,00 : ∑fi = 1,00.

Obs 2: a soma das freqüências relativas percentuais de uma tabela de

freqüência é sempre igual a 100%.

c.1. Distribuição de freqüências para variável discreta

Os dados não são agrupados em classes:

Tabela 4.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais

71


Variável N° filhos (xi)

Freqüência absoluta: Numero de casais (Fi)

Freqüência relativa (fi) Porcentagem

0 6 6/50 = 0,12 12% 1 16 16/50 = 0,32 32% 2 9 9/50 = 0,18 18% 3 8 8/50 = 0,16 16% 4 3 3/50 = 0,06 6% 5 3 3/50 = 0,06 6% 6 3 3/50 = 0,06 6% 7 2 2/50 = 0,04 4%

Total (∑) 50 1,00 100%

Obs:

1. X: representa a variável Número de filhos.

2. xi: representa os valores que a variável assume.

3. Fi: é o número de vezes que cada valor aparece no conjunto de dados

(freqüência absoluta).

4. fi: representa a freqüência relativa

5. ∑ni = n = 50 : tamanho da amostra (ou nº de elementos observados).

c.2. Distribuição de freqüências para variável contínua

Os dados da variável são agrupados em classe (grupo de valores).

1. Dados brutos

Tabela 4.5 - Taxas municipais de urbanização (em %) no Estado de AL - 2000 8 24 46 13 38 54 44 20 17 14 18 15 30 24 20 8 24 18 9 10 38 79 15 62 23 13 62 18 8 22 11 17 9 35 23 22 37 36 8 13 10 6 92 16 15 23 37 36 8 13 44 17 9 30 26 18 37 43 14 9 28 41 42 35 35 42 71 50 52 17 19 7 28 23 29 29 58 77 72 34 12 40 25 7 32 34 22 7 44 15 9 16 31 30 2. Rol Tabela 4.6 - Rol das taxas municipais de urbanização, em AL (em %) - 2000. 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 11 12 13 13 13 13 14 14 14 15 15 15 15 16 16 17 17 17 17 18 18 18 18 19 20 20 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 25 26 28 28 29 29 30 30 30 31 32 34 34 34 35 35 35 36 37 37 38 38 40 41 42 42 43 44 44 44 46 50 52 54 58 62 62 71 72 77 79 92

72


3. Distribuição de freqüências para dados agrupados em classes Tabela 4.7 - Taxas municipais de urbanização, no Estado de AL (em %) - 2000.

Taxas (em %)

Freqüência absoluta: Número de municípios(Fi)

6 --- 16 29 16 --- 26 24 26 --- 36 16 36 --- 46 13 46 --- 56 4 56 --- 66 3 66 --- 76 2 76 --- 86 2 86 --- 96 1 Total (∑) 94

Obs: recomenda-se agrupar os valores observados em classes, tanto para

variáveis contínuas quanto para discretas. Assim, evita-se grande extensão da

tabela e a não interpretação dos valores de fenômeno.

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

a. Amplitude total (AT): é a diferença entre o maior e o menor valor

observado no experimento.

No exemplo, tabela 4.6, AT = 92 - 6 = 86

b. Amplitude da classe (Ac): é a diferença entre o maior e o menor valor da

classe.

No exemplo, tabela 4.7, Ac = 16 - 6 = 10 ou 36 – 26 = 10.

Devemos procurar construir classes de mesma amplitude para que não haja

comprometimento na análise.

c. Classe: é cada um dos grupos de valores do conjunto de valores observados,

ou seja, são os intervalos de variação da variável.

Identifica-se uma classe pelos seus extremos ou pela ordem em que se

encontra na tabela.

6 --- 16 (1ª classe); 86 --- 96 (7ª classe)

Formas de expressar os limites das classes

20 -- 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, inclusive os extremos.

20 ---- 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo o 23.

20 ---- 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo o 20.

20 ----- 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo os extremos.

73


4.21 DISTRIBUIÇÕES CUMULATIVAS

Freqüência absoluta acumulada (Fac)

É a soma das freqüências de valores inferiores ou iguais ao valor dado.

Exemplo:

xi Fi Fac

0 5 5

1 7 12

2 2 14

∑ 14

Se quisermos incluir a freqüência relativa (fi= nFi

) nesta tabela:

xi Fi Fac fi

0 5 5 5/14

1 7 12 7/14 = 1/2

2 2 14 2/14 = 1/7

∑ 14 1

Pontos médios das classes

È a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe.

Assim, se a classe for 10-12, teremos:

Xi = 2

1210 + = 11

Histograma É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos. Polígono de freqüência É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de um polígono.

74


Fi Exemplo:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Idade Fi

2-4 3

4-6 5

6-8 10

8-10 6

10-12 2

∑ 26

limite das classes 4.22 MEDIDAS DE POSIÇAO (ou DE TENDÊNCIA CENTRAL)

As distribuições de freqüências para variáveis discretas e contínuas

descrevem os grupos que uma variável pode assumir. É possível visualizar a

concentração de valores de uma distribuição de freqüências. Se se localizam

no início, no meio ou no final, ou se distribuem de forma igual.

As medidas de posição são chamadas de medidas de tendência central,

devido à tendência dos dados observados se concentrarem em torno desses

valores centrais que se localizam em torno do centro de uma distribuição.

As medidas (número-resumo) mais usadas para representar um conjunto de

dados são a média, a moda e a mediana.

75


4.22.1 Média Aritmética

Histograma

X ־1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

.3 .2 .1 .0

1ª 2ª Obs. Obs 1 2 3 4

1 1,0 1,5 2,0 2,5 2 1,5 2,0 2,5 3,0 3 2,0 2,5 3,0 3,5 4 2,5 3,0 3,5 4,0

1166 MMééddiiaass aammoossttrraaiiss DDiissttrriibbuuiiççããoo aammoossttrraall

Média aritmética – para dados não-agrupados (ou dados simples)

Seja X uma variável que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A média

aritmética simples de X, representada por x, é definida por:

∑ ++++=

n xn ... x3 x2 x1xi =

n

xin

i∑=1

ou simplesmente X = n

x∑

xi : são os valores que a variável X assume n: número de elementos da amostra observada Exemplo: A produção leiteira diária da vaca V, durante uma semana, foi de 10, 15, 14, 13, 16, 19, e 18 litros. Determinar a produção média da semana (a média aritmética).

∑ ++++=

n xn ... x3 x2 x1xi =

718 19 16 13 14 15 10 ++++++

= 15 litros

Média aritmética – para dados agrupados

Se os valores da variável forem agrupados em uma distribuição de

freqüências será usada a média aritmética dos valores x1, x2, x3 ,..., xn

ponderadas pelas respectivas freqüências absolutas: F1, F2, F3 ,..., Fn.

76


X = n

xiN

I∑

=1Fi

ou

X =n

∑ iixF

A fórmula acima será usada para as distribuições de freqüências sem classes e

com classes.

Média aritmética para dados agrupados sem classes (Média aritmética

ponderada)

Tabela 4.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais Número de filhos (xi)

Numero de casais

(Fi)

Fi . xi

0 6 1 16 2 9 3 8 4 3 5 3 6 3 7 2

Total (∑) 50

X = n

∑ iixF =

50117

= 2,34

X = 2,3 filhos

Os 50 casais possuem, em média 2,3 filhos.

Média aritmética para dados agrupados com classes intervalares (Dados com classes): Determinar a média aritmética da Tabela 4.7 Tabela 4.7 - Taxas municipais de urbanização, no Estado AL (em %) 1970.

Taxas (em %)

Número de Municípios

(Fi)

xi

xi . Fi

6 --- 16 29 16 --- 26 24 26 --- 36 16 36 --- 46 13 46 --- 56 4 56 --- 66 3 66 --- 76 2 76 --- 86 2 86 --- 96 1 Total (∑) 94

X = n

∑ iixF = __________ → X =

77


Propriedades da média aritmética 1ª propriedade A soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula). ∑ di = ∑ (xi - x) = 0 ; onde: di são as distâncias ou afastamentos da média. Em uma distribuição simétrica, a soma algébrica dos desvios em relação à

média será igual a zero; e tenderá a zero se a distribuição for assimétrica.

Idades (xi) di = xi - x

2 d1 = 2 – 6 = -4 4 d2 = 4 – 6 = -2 6 d3 = 6 – 6 = 0 8 d4 = 8 – 6 = +2 10 d = 10 – 6 = +4 5

∑ 0

X = 5

10 8 6 4 2 ++++ = 6

2ª propriedade

Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma

variável, a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante.

Somar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média

Idades (xi) xi + 2 2 2 + 2 = 4 4 4 + 2 = 6 6 6 + 2 = 8 8 8 + 2 = 10 10 10 + 2 = 12

∑ 40

A nova média será: X = 540

= 8.

N o caso, a média aritmética anterior ficou aumentada de 2.

3ª propriedade

Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por

uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa

constante:

Multiplicar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média

Idades (xi) xi x 2

2 2 x 2 = 4 4 4 x 2 = 8 6 6 x 2 = 12 8 8 x 2 = 16 10 10 x 2 = 20

∑ 60

78


A nova média é: X = 560

= 12. A média aritmética ficou multiplicada por 2.

4.22.2 Esperança matemática E sperança Matemática ou Média de uma variável aleatória discreta é definida:

E[X] = µ x = = P(xµ ∑ix i)

Exemplo: E = lançamento de um dado

X = ponto obtido: 1, 2, 3, 4, 5, 6

P(X) = 6 ,

161 ,

61 ,

61 ,

61 ,

61

E(X) = 1 . 61 + 2 .

61 + 3 .

61 4 .

61 + 5 .

61 + 6 .

61 = 3,5

4.22.3 Moda (Mo)

Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico.

Define-se a moda como o valor que ocorre com maior freqüência em

conjunto de dados.

Exemplo: Se o salário modal dos empregados de uma empresa é igual a mil

reais, este é o salário recebido pela maioria dos empregados dessa empresa.

A moda é utilizada quando os dados estão na escala nominal.

Exemplo: Sexo dos alunos – Turma A – Escola Z

Sexo Freqüência Masculino 40 Feminino 60 Total 100

A moda é sexo feminino porque tem maior freqüência. Moda – para dados não agrupados Primeiramente os dados devem ser ordenados para , em seguida,

observar o valor que tem maior freqüência.

Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:

79


1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) → Mo = 6 (o valor mais freqüente)

Esse conjunto é unimodal, pois apresenta apenas uma moda. 2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) → Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqüentes) Esse conjunto é bimodal, pois apresenta duas modas. 3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) → Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores

mais freqüentes)

Esse conjunto é plurimodal, pois apresenta mais de duas modas.

4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6) → Esse conjunto é amodal porque não apresenta um

valor predominante.

Moda – para dados agrupados sem classes

Basta observar, na tabela, o valor que apresenta maior freqüência.

1º) Cálculo da moda pelo ROL

Na Tabela 4.2, o resultado 1 aparece mais vezes → Mo =1.


0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 3 3 3 3 3 3 3 4

4 4 5 5 5 6 6 6 7 7

2º) Cálculo da moda pela distribuição de freqüências sem classes Tabela 4.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais Número de filhos (xi)

Numero de casais (fi)

0 6 1 16 2 9 3 8 4 3 5 3 6 3 7 2

Total (∑) 50

O valor 1 apresenta a maior freqüência. Mo = 1 Esse resultado indica que casais com um filho foi o resultado mais observado.

80


Moda – para dados agrupados com classes Tabela 4.7 – Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970. Taxas(%) Número de

Municípios (fi)

6 --- 16 16 --- 26 26 --- 36 36 --- 46 46 --- 56 56 --- 66 66 --- 76 76 --- 86 86 --- 96

29 24 16 13 4 3 2 2 1

Total (∑) 94

1º passo: Identifica-se a classe de maior freqüência:

A maior freqüência é 29 (1ª classe): 6 --- 16

2º passo: Aplica-se a fórmula: Mo = 2

LsLi +

Li: limite inferior da classe modal = 6 Ls: limite superior da classe modal = 16

Mo = 2

166 + = 11

4.22.4 Mediana (Md) É uma medida de posição cujo número divide um conjunto de dados em duas

partes iguais. Por esse motivo, a mediana é considerada uma medida

separatriz. Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de

números ordenados segundo uma ordem de grandeza.

Mediana - para dados não agrupados a) O número de valores observados é impar Exemplo: Considere o conjunto de dados: X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1) 1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente: X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10) 2º) Determinar a ordem ou posição (P) da Mediana por P =

21n + ,

P = 2

17 + = 4 ==> 4ª posição.

4ª posição é o número 4. Md = 4

b) O número de valores observados é par Exemplo: Considere o conjunto de dados: X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6) 1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente: X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10) 2º) Determinar a ordem ou posição (P) da

Mediana: P = 2n e P =

2n + 1 ,

P = 28 = 4ª posição e P =

28 + 1 = 5ª

posição Os números são 6 (4ª posição) e 7 (5ª posição). Tira-se a média aritmética entre os dois números.

Md = 2

76 + = 6,5

81


4.22.5 Medidas de dispersão (Medidas de variabilidade)

São medidas utilizadas para medir o grau de variabilidade, ou dispersão

dos valores observados em torno da média aritmética. Servem para medir a

representatividade da média e proporcionam conhecer o nível de homogeneidade

ou heterogeneidade dentro de cada grupo analisado.

Considere a seguinte situação:

Um empresário deseja comparar a performance de dois empregados, com

base na produção diária de determinada peça, durante cinco dias:

Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 → x = 70

Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 → x = 71

A performance média do empregado A é de 70 peças produzidas

diariamente, enquanto que a do empregado B é de 71 peças. Com base na média

aritmética, verifica-se que a performance de B é melhor do que a de A. Porém,

observando bem os dados, percebe-se que a produção de A varia apenas de 69 a

71 peças, ao passo que a de B varia de 60 a 83 peças, o que revela que a

performance de A é bem mais uniforme do que de B.

Qual o melhor empregado?

Amplitude total (AT)

É é a diferença entre o maior e o menor valor observado.

AT = xmax − xmin

Empregado A = 71 − 69 = 2 Empregado B = 83 − 60 = 23

Desvio médio (DM) Analisa todos os desvios ou distâncias em relação a média aritmética. O cálculo dos desvios feito por:

di = (xi − X ) xi = valores observados

X = média aritmética

A soma de todos os desvios em relação a média aritmética é igual a zero:

∑ di = ∑ (xi – X ) = 0

82


Cálculo dos di: Para eliminar a soma zero, coloca-se os

desvios em módulo: Empregado A d1 = 70 – 70 = 0 d2 = 71 – 70 = +1 d3 = 69 – 70 = − 1 d4 = 70 – 70 = 0 d5 = 70 – 70 = 0 ∑ di = 0

Empregado B d1 = 60 – 71 = − 11 d2 = 80 – 71 = +9 d3 = 70 – 71 = − 1 d4 = 62 – 71 = − 9 d5 = 83 – 71 = +12 ∑ di = 0

Empregado A

d1 = | 0 | = 0 d2 = |+1| = 1 d3 = |−1|= 1 d4 = | 0 | = 0 d5 = | 0 | = 0

Empregado B

d1 = |–11| = 11 d2 = |+9 | = 9 d3 = |–1 | = 1 d4 = |–9 | = 9 d5 = |+12 | = 12

∑ | di | = 2 ∑ | di | = 42

D essa forma, é possível calcular a média dos desvios por:

DM = ndi∑ ||

= nXxi∑ − ||

Empregado A

DM = 52 = 0,4

Empregado B

DM = 542

= 8,4

Com freqüência absoluta (Fi):

DM = nFidi∑ .||

= n

Fi.|Xxi|∑ −

4.22.6 Variância

Considera-se o quadrado de cada desvio, (xi – X )2, evitando que Σ di = 0.

Assim, a definição da variância populacional é dada por:

σ2= nFi∑ .(di)2

= ..)-(xi 2

nFiX∑

Trata-se da média aritmética dos quadrados

dos desvios. 2σ indica a variância populacional e lê-se sigma ao quadrado.

X indica a média da população.

Empregado A d1 = (0)2 = 0 d2 = (+1)2 = 1 d3 = (−1)2 = 1 d4 = (0)2 = 0 d5 = (0)2 = 0

∑ (di)2 = 2

Empregado B d1 = (–11)2 = 121 d2 = (+9)2 = 81 d3 = (−1)2 = 1 d4 = (–9)2 = 81 d5 = (+12)2 = 144

∑ (di)2 = 428

Empregado A

σ2 = 52 = 0,4

Empregado B

σ2 = 5

428 = 85,6

83


Para o caso do cálculo da variância amostral, é conveniente o uso da

seguinte fórmula:

S2 = .1n

Fi.)X-(xi 2

−∑

As diferenças entre as fórmulas são: para o caso da variância

populacional ( ), utiliza-se a média populacional (2σ X ) tendo como

denominador o tamanho da população (n). Para o cálculo da variância amostral

(S2), utiliza-se a média amostral ( X ), tendo como denominador o tamanho da

mostra menos um (n-1). Assim, podemos usar as fórmulas práticas para os

cálculos das variâncias:

2σ = ( )

− ∑∑ n

)xiFi(Fix

n1 2

2i S2 =

( )

−

−∑∑ n

)xiFi(Fix

1n1

22

i

que foram obtidas por transformação nas respectivas fórmulas originais.

4.22.7 Desvio-padrão

É a raiz quadrada da variância.

Na fórmula original para o cálculo da variância, observa-se que é uma soma

de quadrados. Por exemplo, se a unidade original for metro (m) o resultado

será metro ao quadrado (m2). Para retornar a unidade de medida original,

extrai-se a raiz quadrada da variância, passando a chamar-se de desvio-

padrão.

Desvio-padrão populacional

σ =

Desvio-padrão amostral

s = 2 Exemplo 1: Calcular o desvio-médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral:

xi 5 7 8 9 11 Fi 2 3 5 4 2

sσ2

1°) Cálculo do desvio médio:

DM = nFi.|Xxi|∑ −

ou nFidi∑ .||

84


Primeiramente, precisa-se do valor da média:

xi Fi xi . Fi 5 2 10 7 3 21 8 5 40 9 4 36 11 2 22 ∑ 16 129

X = n

∑ iixF =

16129

= 8,06

Para o cálculo do DM , são abertas novas colunas, assim:

xi Fi xi . Fi | Xxi| − |di| Fi

5 2 10 | 5 - 8,06 | 6,12 7 3 21 | 7 - 8,06 | 3,18 8 5 40 | 8 - 8,06 | 0,30 9 4 36 | 9 - 8,06 | 3,76 11 2 22 | 11 - 8,06 | 5,88

∑ 16 129 19,24

Portanto, DM = nFidi∑ .||

= 16

24,19 = 1,20

2°) Cálculo da variância amostral:

S2 = ( )

−

−∑∑ n

)xiFi(Fix

1n1

22

i

Observe que o cálculo será facilitado, pois n = 16 e ∑ xi Fi = 129. Falta encontrar ∑ xi2 Fi. Para isso, uma nova coluna é considerada na tabela.

xi Fi xi . Fi xi2 Fi 5 2 10 10 7 3 21 147 8 5 40 320 9 4 36 324 11 2 22 242 ∑ 16 129 1.083

Logo: S2 = ( )

−

− 161291083

1161 2

= 2,86

Então, a variância amostral é S2 = 2,86.

85


3°) Cálculo do desvio padrão amostral:

Como S = 2S S = 86,2 = 1,69.

Resumindo: a distribuição possui uma média 8,06. Isto é, seus valores estão

em torno de 8,06 a seu grau de concentração é de 1,2, medido pelo Desvio

Médio, e de 1,69, medido pelo Desvio-Padrão.

Exemplo 2: Dada a distribuição amostral abaixo, calcular a média, o desvio

médio e o desvio padrão.

Classes

2 ---- 4

4 ---- 6

6 ---- 8

8 ---- 10

10 ---- 12

Fi 2 4 7 4 3

A construção da tabela auxiliar para os cálculos deve ser construída à

medida que você for necessitando dos resultados parciais; a ordem das colunas

não é importante. Eis a tabela auxiliar:

Classes xi Fi xi . Fi | Xxi| − |di| Fi X2 Fi

2 ---- 4

5

2

6

|3 - 7,2|= 4,2

8,4 18

4 ---- 6

7

4

20

|7 - 7,2|= 2,2

8,8

100

6 ---- 8

8

7

49

|8 - 7,2|= 0,2

1,4

343

8 ---- 10

9

4

36

|9 - 7,2|= 1,8

7,2

324

10 ---- 12

11

3

33

|11 - 7,2|= 3,8

11,4

363

∑ ∑ 16 129 37,2 1.148

X = 20

144 = 7,2 DM =

202,37 = 1,86

Logo: S2 = ( )

−

− 201441148

1201 2

= 5,86

σ = 5,86 = 2,42

86


Exemplo 3: Cálculo da variância populacional. Determinar a variância para a série:

xi 2 3 5 6 7

Fi 1 4 5 3 2

Solução: A fórmula prática para calcular a variância popu8lacional é:

2σ = ( )

− ∑∑ n

)xiFi(Fix

n1 2

2i

Será conveniente construir a seguinte tabela:

xi Fi xi . Fi X2 Fi

2

1

2

4

3

4

12

36

5

5

25

125

6

3

18

108

7

2

14

98

∑ 15 71 371

2σ = ( )

−

15713711 2

15 = 2,33

Desvio-padrão populacional:

σ = 2,33 = 1,53

Exemplo 4: Cálculo da variância e do desvio-padrão para a Tabela 4.4


N° filhos (xi)

N° casais (Fi)

xi . Fi

xi2

xi2. Fi

0 6 1 16 2 9 3 8 4 3 5 3 6 3 7 2 ∑ 50 117

Variância amostral:

S2 = ( )

−

−∑∑ n

)xiFi(Fix

1n1

22

i

Desvio-padrão:

s = s2

87


4.23 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE 4.23.1 DISTRIBUIÇÃO DE “BERNOULLI”

Suponhamos a realização de um experimento E, cujo resultado pode ser um

sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso (o evento

não se realiza).

Seja x a variável aleatória: sucesso ou fracasso. X x1 = 1 (sucesso) ou x2 = 0 (fracasso) P(X) p (x1) = p p (x2) = 1 – p = q Diz-se que esta variável, assim definida, tem uma distribuição de

“Bernoulli”. Suas principais características são:

Média: µ (X) = ∑ x1

0i P(Xi) = 0 . p + 1 . p = p

Variância: σ = E[(X2)(X 1 - )µ 2] = E(X i ) - 2 µ 2

)(X

E[X i ] = x P(X2 ∑1

0

2i i) = 02 q + 12 p = p

σ = p – p2)(X

2 = p(1-p) = pq

4.23.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que

apresentam apenas dois resultados (sucesso ou fracasso). Esse modelo

fundamenta-se nas seguintes hipóteses:

H1: n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas.

H2: cada prova admite dois resultados – sucesso ou fracasso.

H3: a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso 1-p = q

Define-se a variável Y como o número de sucessos das n provas.

Logo, Y pode tomar os valores 0, 1, 2, 3, ..., n.

Fazendo sucesso corresponder a 1 e fracasso a 0, ou seja, provas de

Bernoulli, tem-se:

Para Y = 0, uma seqüência de n zeros: 0000 ... 0. Logo:

P (Y=0) = q . q . q . q ... q = qn

Para Y = 1, uma seqüência do tipo: 1000 ... 0; 0100 ... 0; 001000 ... 0;

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Serão n seqüências, cada uma com um único sucesso e n-1 fracassos:

P (Y-1) = n . p . qn-1

Para Y = y, tem-se y sucessos e (n-y) fracassos, correspondendo às seqüências

com y algarismos 1 e n – y zeros. Cada seqüência terá probabilidade pyqn-y e

como há seqüências distintas, tem-se: P (Y=y) = p

yn

yn

yqn-y

Que é a expressão geral da distribuição Binomial. Para Y = n, tem-se uma seqüência de n uns: 1111 ... 1, logo: P(Y=n) = pn

O nome Binomial é porque p

yn

yqn-y nada mais é que o termo de grau y em p no

desenvolvimento do Binômio de Newton (p + q)n. Média: De acordo com as hipóteses, vê-se que y é a soma de n variáveis do tipo “Bernoulli”, daí: µ = nµ (X) = n . p ou seja µ (Y) = np Variância: Baseado no que foi feito acima, temos:

σ = n σ = n . p . p ou seja σ = npq 2)(Y

2)(X

2)(Y

Exemplo: Uma moeda não viciada é lançada oito vezes. Encontre a

probabilidade:

a) dar cinco caras

b) pelo menos uma cara

c) no máximo duas caras.

d) Calcular a média e a variância da distribuição.

Solução: Sabe-se que: n = 8, p = 21 e q =

21; Y número de caras

(sucessos).

a) P(Y=5) =

58 5

21

58

21 −

=

327

= 0,22 = 22%

b) P(Y≥ 1) = 1 – P(Y=0) = 1 -

8

21

=

256255

= 0,996 = 99,6%

89


c) P(Y≤ 2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) =

8

21

+ 8

21 7

21

+

28 2

21

6

21

=

2561

+ 2568

+ 25628

+ 25637

= 0,14 = 14%

A média será: 9(Y) = n . p = 8 .21 = 4

A variância será: σ ( = n . p . q = 8 . 2)Y 2

1 .

21 = 2

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BIBLIOGRAFIA FONSECA, Jairo Simon; MARTINS, G. A. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1996. MARTINS, G. A. DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 1990. TOLEDO, G. L; OVALLE, I(. I. Estatística básica. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1995. IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D. M; PÉRIGO, R. Matemática volume único. São Paulo: Atual Editora, 1999.

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