1

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, modelo binomial, modelo de Poisson

2

Probabilidade

Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos.

Base teórica para a análise inferencial.

3

Exemplo de um experimento aleatório

Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher.

Resultados possíveis:

homem, mulher

Espaço amostral = {homem, mulher}

4

Probabilidade de um resultado

Qual a probabilidade de homem e de mulher?

P(homem) = 0,5

P(mulher) = 0,5

A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.

50% homens

50% mulheres

5

Evento

Evento = conjunto de resultados possíveis

Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6

Eventos: A = número par,

B = núm. menor que 3

A = {2, 4, 6} B = {1, 2}

P(A) = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3

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Operações com eventos

A

A

)(1)( APAP

não A

7

Operações com eventos

A

B

A B

)()()()( BAPBPAPBAP

Eventos Mutuamente Exclusivos: SEM intersecção

AB = P() = 0

8

Probabilidade condicional

Tipo do leite

Condição do peso B (B) C (C) UHT (U) Total

dentro das especificações (D) 500 4500 1500 6500

fora das especificações (F) 30 270 50 350

Total 530 4770 1550 6850

051,06850

350)( FP 032,0

1550

50)|( UFP

)(

)(

68501550

685050

1550

50)|(

UP

UFPUFP

9

Probabilidade condicional

5

3

8/5

8/3

)(

)()|(

CalabresaP

CalabresaChampignonPCalabresaChampignonP

Qual é a probabilidade

de selecionar um pedaço

com champignon supondo

que houvesse calabresa

nele?

Qual é a probabilidade

de selecionar um pedaço

com calabresa supondo

que houvesse champignon

nele?

4

3

8/4

8/3

)(

)()|(

ChampignonP

CalabresaChampignonPChampignonCalabresaP

10

Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade

de selecionar um pedaço

com champignon supondo

que houvesse calabresa nele?

4

2

8/4

8/2

)(

)()|(

CalabresaP

CalabresaChampignonPCalabresaChampignonP

Qual é a probabilidade

de selecionar um pedaço com

calabresa supondo que

houvesse champignon nele?

4

2

8/4

8/2

)(

)()|(

ChampignonP

CalabresaChampignonPChampignonCalabresaP

11

Probabilidades de eventos

) ( 1 ) ( A P A P

1) Evento complementar:

) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P

2) Propriedade da soma:

) ( ) ( ) ( B P A P B A P

3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:

) / ( ) ( ) ( A B P A P B A P ×

4) Propriedade do produto:

) ( ) ( ) ( B P A P B A P ×

5) Propriedade do produto para eventos independentes

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Variável aleatória

“Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.” Associa números aos eventos do espaço amostral.

X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

= {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}

X:

0 1 2x

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Exemplos de variáveis aleatórias

Vida útil (em horas) de um televisor.

Número de peças com defeito em um lote produzido.

Número de acidentes registrados durante um mês na BR.101.

Na internet, o tempo (em segundos) para que uma determinada mensagem chega ao seu destino.

Se uma mensagem chega (X = 1), ou não (X = 0), ao seu destino

14

Variáveis aleatórias

variável aleatória

discreta

os possíveis resultados

estão contidos em um

conjunto finito ou

enumerável

contínua

os possíveis resultados

abrangem todo um intervalo

de números reais

0 1 2 3 4 ... 0 número de defeitos em ... tempo de resposta de ...

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Construção de distribuições de probabilidades

Sortear 2 bolas

com reposição

X = número de bolas pretas na amostra

16

3/5

2/5

3/5

2/5

3/5 2/5

Sortear 2 bolas

com reposição

X = número de bolas

pretas na amostra

x p(x)

0 9/25 (0,36)

1 12/25 (0,48)

2 4/25 (0,16)

(10) (20)

17

3/5

2/5

2/4

2/4

3/4 1/4

Sortear 2 bolas

sem reposição

X = número de bolas

pretas na amostra

x p(x)

0 6/20 (0,30)

1 12/20 (0,60)

2 2/20 (0,10)

(10) (20)

18

Sortear 2 bolas

X = número de bolas

pretas na amostra

x p(x)

0 0,30

1 0,60

2 0,10

Distrib. de X

sem reposição

Distrib. de X

com reposição

x p(x)

0 0,36

1 0,48

2 0,16 independência

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Exemplo 1

Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha.

Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias. (Suponha independência.)

20

Exemplo 1

x

0

1

1

1

2

2

2

3

Possibilidades

BBB

BBR

BRB

RBB

BRR

RBR

RRB

RRR

Probabilidade

0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064

0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096

0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096

0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096

0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144

0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144

0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144

0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

21

Exemplo 1

x p(x)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1 0,064

0 1 2 3

0,216

0,432

0,288

número de dias com falhas na rede

Distribuição de probabilidade de X:

22

Valor esperado e variância

x p(x)

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

Total 1

ii pxXE

ii

pxXV22

23

Propriedades do valor esperado e variância

a)E(c) = c

b)E(X + c) = E(X) + c

c) E(cX) = cE(X)

d)E(X + Y) = E(X) + E(Y)

e) E(X – Y) = E(X) – E(Y)

a)V(c) = 0

b)V(X + c) = V(X)

c) V(cX) = c2V(X)

d)DP(cX) = |c|DP(X)

24

X = número de dias com falhas na rede.

ii pxXE

E(X) = 0(0,064) + 1(0,288) + 2(0,432) + 3(0,216) = 1,8

Exemplo 1

x p(x)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

25

X = número de dias com falha na rede.

x p(x)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

V(X) = (0 – 1,8)2(0,064) + (1 – 1,8)2(0,288) +(2 –

1,8)2(0,432) + (3 – 1,8)2(0,216) = 0,72

Exemplo 1

ii

pxXV22

26

Experimento binomial

consiste de n ensaios;

cada ensaio tem somente dois resultados:

“sucesso” / “fracasso”;

os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p

(0 < p < 1 constante ao longo dos ensaios);

====> X = número de sucesso nos n ensaios

27

Exemplos de experimentos binomiais

Número de caras em 10 lançamentos de uma moeda;

Número de itens defeituosos numa amostra de 20 itens (supondo amostragem aleatória e com reposição);

Número de eleitores favoráveis a um determinado projeto de lei em uma amostra de 200 entrevistados (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande).

28

Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais

X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com P(cara) = p;

P(X = 1) = ?

X = 1 C K K

K C K

K K C

P(CKK) = p (1 - p)2

P(X = 1) = 3 p (1 - p)2

x

n

29

O modelo binomial

xnx ppx

nxXP

1)(

Para um particular

x = 0, 1, ..., n:

)!(!

!,

xnx

n

x

nC xn

pnXE )(

)1()( ppnXV

30

Exemplo 1 (de novo)

Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha.

Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias. (Suponha independência.)

31

Exemplo 1 (de novo)

X = número de dias com falhas

binomial com

n = 3 p = 0,6 1 – p = 0,4

xx

xxXP

34,06,0

3)(

32

Exemplo 1 (de novo)

n = 3 p = 0,6

P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 3

x

1

( ) 3

0 P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064

= ( ) 3

0

3!

0! (3-0)! = 1

33

Exemplo 1 (de novo)

n = 3 p = 0,6

( ) 3

1 P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288

= ( ) 3

1

3!

1! (3-1)! = 3

P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 3

x

34

Exemplo 1 (de novo)

n = 3 p = 0,6

( ) 3

2 P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432

= ( ) 3

2

3!

2! (3-2)! = 3

P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 3

x

35

Exemplo 1 (de novo)

n = 3 p = 0,6

( ) 3

3 P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216

= ( ) 3

3

3!

3! (3-3)! = 1 1

P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 3

x

36

Distribuição da variável X

0,064

0 1 2 3

0,216

0,432

0,288

x p(x)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

8,16,03)( pnXE

72,04,06,03)1()( ppnXV

37

Distribuição de Poisson

Número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço): distribuição de Poisson. Exemplos:

chamadas telefônicas por minuto,

mensagens que chegam a um servidor por segundo

acidentes por dia,

defeitos por m2, etc..

38

Distribuição de Poisson Pressupostos

Os números de ocorrências em quaisquer intervalos são independentes.

A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é zero.

O número médio de ocorrências () é constante em todo o intervalo considerado.

39

Distrib. de Poisson: uma justificativa

X = núm. de ocorrências em [t, t+1]

t t+1 n intervalos de amplitude 1/n, com n

p = probab. de ocorrência em cada intervalo

xnx ppx

nxXP

)1()(

n

p 0

n p > 0

!)(

x

etxXP

tx

(x =0, 1, 2, ...)

40

As probabilidades de uma distribuição de Poisson são dadas por:

P(X=x) = e-t . tx

x!

t - número médio de ocorrências no intervalo

(tempo ou espaço) considerado.

Distribuição de Poisson Equação

41

Valor Esperado e Variância

O valor esperado (média) e a variância de uma

distribuição de Poisson são iguais a.

E(X) = t Var(X) = t

42

Exemplo 2

Em um processo produtivo têxtil, o número

médio de defeitos por m2 de tecido é 0,4,

variando segundo uma distribuição de Poisson.

Qual é a probabilidade de que, em 1 m2 de tecido

fabricado:

a) não haja defeito?

43

Exemplo 2 - item a

= 0,4 t =1 t = 0,4

P(X=0) = e-0,4 . 0

0! = 0,6703 ou 67,03%

P(X=x) = e-0,4 . x

x!

44

Exemplo 2

Em um processo produtivo têxtil, o número

médio de defeitos por m2 de tecido é 0,4, variando

segundo uma distribuição de Poisson. Qual é a

probabilidade de que, em 1 m2 de tecido

fabricado:

a) não haja defeito?

b) haja no máximo 1 defeito?

45

Exemplo 2 - item b

P(X=1) = e-0,4 . 1

1! = 0,2681 ou 26,81%

P(X=x) = e-0,4 . x

x!

P(X=0) + P(X=1) = 0,6703 + 0,2681 = 0,9384

ou 93,84%

)( 1XP