Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula6.pdf · (II)Diretamente, pela consideração da probabilidade de A em ... Estatísticas dos últimos anos do departamento

Probabilidade I

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 1 / 56

Introdução

É provável que você ganhe um aumento.

.............. Se atingir todas as metas, claro!!!


Probabilidade Condicional


EXEMPLO 1: Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos e20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. SejamA= 1o artigo defeituoso e B = 2o artigo defeituoso. Calcule P(A) eP(B): (a) com reposição e (b) sem reposição.

(a) Se extrairmos com reposição, cada vez que estivermos extraindodo lote, existirão 20 peças defeituosas em um total de 100.Assim, P(A) = P(B) = 20/100= 1/5.

(b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade queP(A) = 1/5. Mas e sobre P(B)? É evidente que paracalcularmos P(B) é necessário conhecer a composição do loteno momento de se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saberse A ocorreu ou não.


Probabilidade CondicionalEm muitas situações, informações preliminares podem alterar as probabilidadesde eventos.

EXEMPLO 2: A probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferentese tivermos informações adicionais, tal como a situação climática no diaanterior.

EXEMPLO 3: Seja A= uma mulher está grávida. Seja B = exame de farmácianegativo. Sabendo da ocorrência de B, a probabilidade de A (ela estar grávida)será alterada.

EXEMPLO 4: A probabilidade de um indivíduo ter cirrose pode ser afetada pelofato dele ser ou não alcoólatra.

Iremos estudar agora como a informação de que um evento B ocorreu afeta aprobabilidade de ocorrência de um evento A.

Usaremos a notação P(A|B) para representar a probabilidade condicional de Adado que ocorreu o evento B.



Sempre que calcularmos P(A|B), estaremos essencialmente calculando P(A)em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de considerar o espaçoamostral original Ω.

EXEMPLO 5: Diagrama de Venn


Exemplo 6

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles

gostavam de um novo produto. Os resultados estão a seguir.

João Pessoa Recife Campina Grande Total

Sim 100 150 150 400

Não 125 130 95 350

Não sabe 75 170 5 250

Exemplo

1. P(sim)

2. P(Recife)

3. P(Campina Grande)

4. P(Não | Campina Grande)

Não sabe 75 170 5 250

Total 300 450 250 1.000

Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:



100 150 150

125 130 95 350

75 170 5 250

João Pessoa Recife Campina Grande Total

Sim

Não

Não sabe

Total 300 450 250

400

1.000

Soluções

1. P(sim)

2. P(Recife)

3. P(Campina Grande)

4. P(Não|Campina Grande) = 95/250 = 0,38

= 250/1.000 = 0,25

= 450/1.000 = 0,45

= 400/1.000 = 0,4



Avaliando os exemplos anteriores podemos concluir que:

Quando calcularmos P(A) estaremos nos perguntando quão provável seráestarmos em A, sabendo que devemos estar em Ω.

Quando calcularmos P(A|B) estaremos nos perguntando quão provávelserá estarmos em A, sabendo que devemos estar em B.

Dado que B ocorreu, o espaço amostral relevante não é mais Ω, masconsiste em resultados contidos em B.

A única forma de A ocorrer, dado que B ocorreu, é se um dos resultadosda interseção (A∩B) ocorrer.


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 7: Dois dados são lançados. Considere os eventos: A=a soma dosresultados é igual a 10 e B =o primeiro número é maior ou igual ao segundo.Calcule P(A), P(B), P(B|A) e P(A|B).



Definição 6.1: (Probabilidade Condicional)

Seja (Ω,P) um espaço mensurável. Se B ∈Ω e P(B > 0), a probabilidadecondicional de A dado B, é definida por

P(A|B) =P(A∩B)

P(B)



Observação 6.1: Se P(B) = 0, P(A|B) pode ser arbitrariamente definida.Alguns livros consideram P(A|B) = 0, nesse caso. Contudo, é mais plausívelconsiderar P(A|B) = P(A).

Importante: Se A e B são desenhados de modo que as áreas de A, B e A∩Bsejam proporcionais às suas probabilidades, então P(A|B), é a proporção doevento B ocupada pelo evento A.

PERGUNTA: P(A|B), A ∈A , é realmente uma probabilidade em A?

RESPOSTA: Precisamos verificar os axiomas.



DEMONSTRAÇÃO:

(1) Para todo A ∈Ω segue que P(A|B)≥ 0.É verdade pois como P(A∩B)≥ 0 e P(B)> 0, temos que

P(A|B) = P(A∩B)P(B) ≥ 0.

(2) P(Ω|B) = 1

É verdade pois P(Ω|B) = P(Ω∩B)P(B) =

P(B)P(B) .

(3) Seja (A1,A2, . . . ∈Ω) tal que Ai ∩Aj =∅ para i 6= j então,P(⋃∞

i=1 Ai |B) =∑∞

i=1 P(Ai |B)

É verdade pois P(⋃∞

i=1 Ai |B) =P((⋃∞

i=1 Ai)∩B)P(B) =

P(⋃∞

i=1(Ai∩B))P(B) =

∑∞i=1 P(Ai∩B)

P(B) =∑∞

i=1P(Ai∩B)

P(B) =∑∞

i=1 P(Ai |B).



IMPORTANTE: Como valem os axiomas, as propriedades de probabilidade sãomantidas (Ex: P(Ac |B) = 1−P(A|B)).

IMPORTANTE: Temos então duas maneiras de calcular a probabilidadecondicional P(A|B):

(I) Empregando a definição anterior, em que P(A∩B) e P(B) sãocalculadas em relação ao espaço amostral original Ω.

(II) Diretamente, pela consideração da probabilidade de A emrelação ao espaço amostral reduzido B.

Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça serdefeituosa (P(B))?

P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extraçãorestarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modosimilar, temos que P(B|Ac) = 20/99.


Exemplo 8


Exemplo 8


Exemplo 9


Exemplo 10Exemplo: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradassão apresentadas na tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindovítimas fatais e as condições do principal motorista envolvido, sóbrio oualcoolizado. Você diria que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interferena ocorrência de vítimas fatais?

Motorista/vítimas Fatais Não SimSóbrio 1228 275

Alcoolizado 2393 762


Probabilidade CondicionalExemplo 11: Uma turma de estatística teve a seguinte distribuição das notasfinais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexomasculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessaturma, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se oaluno foi aprovado. Calcule

(a) P(A∪Mc)

(b) P(Ac ∩Mc)

(c) P(A|M)

(d) P(Mc |A)(e) P(M |A)



Exemplo 11:



Exemplo 12: Verifique se são válidas as afirmações:

(a) Se P(A) = 1/3 e P(B|A) = 3/5 então A e B não podem serdisjuntos.

(b) Se P(A) = 1/2, P(B|A) = 1 e P(A|B) = 1/2 então A não podeestar contido em B.


Risco Reltivo


Exemplo 13


Exemplo 13


Exemplo 13


Exemplo 13



A mais importante consequência da definição de probabilidade condicional, éobtida ao se escrever:

P(A∩B) = P(A|B)P(B)

P(A∩B) = P(B|A)P(A)

Teorema 6.1: (Regra do Produto)Seja A1,A2, . . . ,An ∈Ω, com P(∩n

i=1Ai)> 0, então

P(A1∩A2∩ . . .∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) . . .P(An|A1∩A2∩ . . .∩An−1)



Demonstração: Faremos por indução. Para n = 2, pela definição de

probabilidade condicional, temos que P(A1 ∩A2) = P(A1)P(A2|A1).

Suponha que o resultado é válido para n = k , ou sejaP(A1 ∩A2 ∩ . . .∩Ak) = P(A1)P(A2|A1) . . .P(An|A1 ∩A2 ∩ . . .∩Ak−1). Assim,para n = k +1 temos que

P(A1 ∩A2 ∩ . . .∩Ak ∩Ak+1) = P[(A1 ∩A2 ∩ . . .∩Ak)∩Ak+1] = P(A1 ∩A2 ∩ . . .∩Ak)P(Ak+1|A1 ∩A2 ∩ . . .∩Ak) = P(A1)P(A2|A1) . . .P(Ak+1| ∩k

i=1 Ai)





Observação 6.2: Podemos aplicar esse teorema para calcular a probabilidadeda ocorrência conjunta dos eventos.

Voltando ao exemplo inicial das peças defeituosas. Qual a probabilidade de queambas as peças sejam defeituosas?


Probabilidade CondicionalExemplo 14: Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, aprobabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%,enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%.

(a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter umdistúrbio hormonal e ser solteira?

(b) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qualé a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio?



Exemplo 15: Sabe-se que 80% dos pênaltis marcados a favor do Brasil sãocobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti serconvertido é de 40% se o cobrador for do Flamengo e de 70% em casocontrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado. Qual aprobabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e serconvertido?


Probabilidade CondicionalDefinição 6.2: Dizemos que os eventos B1,B2, . . . ,Bk formam uma partição doespaço amostral Ω quando: (i)Bi ∩Bj =∅, para todo i 6= j ; (ii)∪k

i=1Bi =Ω e(iii)P(Bi)> 0 para todo i .

Explicando: Quando o experimento é realizado, um e somente um, doseventos Bi ocorre.

Seja A um evento qualquer referente a Ω e B1,B2, . . . ,Bk uma partição de Ω,podemos escrever então: A= (A∩B1)∪ (A∩B2)∪ . . .∪ (A∩Bk)



Teorema 6.2: (Teorema da Probabilidade Total)

Seja B1,B2, . . . ,Bn uma partição de Ω com P(Bi)> 0, para todo i = 1, . . . ,n.Então, para todo A ∈A , tem-se que

P(A) =n∑

i=1

P(Bi)P(A|Bi)



Demonstração: Pela regra do produto, temos que P(Bi)P(A|Bi) = P(A∩Bi).

Como para i = 1, . . . ,n os eventos A∩Bi são disjuntos, temos que

∑ni=1 P(Bi)P(A|Bi) =

∑ni=1 P(A∩Bi) = P[

⋃ni=1(A∩Bi)] = P[A∩ (

⋃ni=1 Bi)] =

P(A).

Importante: Esse resultado representa uma relação extremamente útil, porquefrequentemente, P(A) pode ser difícil de ser calculada diretamente. No entanto,com a informação adicional de que Bi tenha ocorrido, seremos capazes decalcular P(A|Bi) e, em seguida empregar o teorema acima.


Ilustração


Ilustração


Probabilidade CondicionalVoltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça serdefeituosa (P(B)) se as retiradas são sem reposição?


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 16: No exemplo da Clínica, qal a probabilidade de uma pacienteescolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal?


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 17: Um determinado produto é produzido por três fábricas 1, 2 e 3.Sabe-se que 1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produzem o mesmonúmero de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2são defeituosas, enquanto que 4% daquelas produzidas por 3 são defeituosas.Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito, e depois uma peçaé extraída ao acaso. Qual a probabilidade de que uma peça seja defeituosa?



Teorema 1.3: (Teorema de Bayes)

Seja B1,B2, . . . ,Bn uma partição de Ω com P(Bi)> 0, para todo i = 1, . . . ,n.Então, para todo A ∈A , com P(A)> 0 e para todo j = 1,2, . . . ,n, tem-se que

P(Bj |A) =P(A|Bj)P(Bj)∑n

i=1 P(A|Bi)P(Bi).



Demonstração:

Na expressão do lado direito, o numerador é P(A∩Bj) pela regra do produto. Odenominador é P(A) pelo teorema da probabilidade total. Portanto, peladefinição de probabilidade condicional o teorema está demonstrado.

Importante: Este resultado é útil quando conhecemos as probabilidades dos Bi

e as probabilidades condicionais de A dado Bi , mas não conhecemosdiretamente a probabilidade de A.

Observação 6.3: A fórmula de Bayes é, às vezes, chamada de fórmula deprobabilidades posteriores. As probabilidades P(Bi) podem ser chamadasprobabilidades a priori e as P(Bi |A), probabilidades a posteriori.


EXEMPLO 18


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 19: Considere que no exemplo 1 um produto é escolhido e éverificado ser defeituoso. Qual a probabilidade dele ter vindo da fábrica 3?


EXEMPLO 20


EXEMPLO 20


EXEMPLO 20


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 21: Marina entrega a João Mariano uma carta, destinada ao seunamorado, para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode esquecer comprobabilidade 0.1. Se não se esquecer, a probabilidade de que o correioextravie a carta é de 0.1. Finalmente, se foi enviada pelo correio a probabilidadede que o namorado não a receba é de 0.1.

(a) Se o namorado de Marina não recebeu a carta, qual aprobabilidade de João Mariano ter esquecido de colocá-la nocorreio?

(b) Avalie as possibilidades desse namoro continuar, se acomunicação depender das cartas enviadas.


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 22: Em um exame há três respostas para cada pergunta e apenasuma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade1/3 de escolher a resposta certa se ela estar advinhando e 1 se sabe aresposta. Um estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele deu aresposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que aadivinhou?



Já consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjuntamente(A∩B =∅). Tais eventos são denominados mutuamente excludentes.

Se A e B forem mutuamente excludentes, então P(A|B) = 0, porque aocorrência de B impede a ocorrência de A.

Em muitas situações saber que B já ocorreu nos dá alguma informaçãobastante definida referente à probabilidade de ocorrência de A.

Existem, porém, muitas situações nas quais saber que algum evento Bocorreu não tem qualquer interesse quanto á ocorrência ou não ocorrênciade A.

EXEMPLO 23: Um dado equilibrado é jogado duas vezes. Seja A=o primeirodado mostra um número par e B =o segundo dado mostra 5 ou 6.

Os eventos A e B são inteiramente não relacionados. Saber que B ocorreu nãofornece qualquer informação sobre a ocorrência de A.




Probabilidade CondicionalDefinição 6.3: (Independência de dois eventos)Sejam A e B eventos em (Ω,A ,P). A e B são eventos independentes seP(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B).

A condição de independência pode também ser expressa na seguinte formaalternativa e equivalente:

P(A∩B) = P(A)P(B)

Importante: Diremos que os eventos A e C são condicionalmenteindependentes dado B se P(A∩C|B) = P(A|B)P(C|B).

Definição 6.4: (Independência de vários eventos)Os eventos A1,A2, . . . ,An em (Ω,A ,P) são independentes se, para todacoleção de índices 1≤ i1 < i2 < . . .< ik ≤ n e 2≤ k ≤ n, tivermos

P(Ai1 ∩Ai2 ∩ . . .∩Aik) = P(Ai1)P(Ai2) . . .P(Aik)





Proposição 6.1: Se A e B são independentes, então A e Bc também sãoindependentes (e também Ac e B, e ainda Ac e Bc).

Demonstração:

P(A∩Bc) = P(A)−P(A∩B). Como A e B são independentes, entãoP(A∩B) = P(A)P(B). Substituindo, temos queP(A∩Bc) = P(A)−P(A)P(B) = P(A)(1−P(B)) = P(A)P(Bc).



EXEMPLO 24: Se P(A∪B) = 0.8; P(A) = 0.5 e P(B) = x , determine o valorde x no caso de:

(a) A e B serem mutuamente exclusivos.

(b) A e B serem independentes.


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 25: Em uma certa população, a probabilidade de gostar de teatro éde 1/3, enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidadede gostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos:

(a) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos.(b) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes.(c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema.(d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é de 1/8.(e) Dentre os que não gostam de cinema, a probabilidade de não

gostar de teatro é 3/4.


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 26: Uma caixa contém 5 bolas brancas e três bolas pretas. Duasbolas são retiradas simultaneamente ao acaso e substituídas por três bolasazuis. Em seguida duas novas bolas são retiradas da caixa. Calcule aprobabilidade de que essas duas últimas bolas sejam da mesma cor.


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