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Probabilidade I Departamento de Estat´ ıstica Universidade Federal da Para´ ıba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35

Probabilidade I - UFPBtarciana/Probabilidade/Aula1.pdf · E9:Avaliac¸ao do desempenho dos alunos de Probabilidade I.˜ A media final´ e anotada.´ E10:Em um estudo sobre obesidade

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Probabilidade I

Departamento de Estatıstica

Universidade Federal da Paraıba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 1 / 35

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Introducao

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Introducao

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Introducao

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Conceitos Fundamentais

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Historia da Estatıstica no mundo

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Introducao

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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).

Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.

Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei

de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do

vacuo (Lei da Gravitacao: t =√

2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer

(IMC = peso/altura2).

Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.

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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).

Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.

Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei

de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do

vacuo (Lei da Gravitacao: t =√

2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer

(IMC = peso/altura2).

Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.

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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).

Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.

Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei

de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do

vacuo (Lei da Gravitacao: t =√

2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer

(IMC = peso/altura2).

Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.

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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).

Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.

Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei

de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do

vacuo (Lei da Gravitacao: t =√

2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer

(IMC = peso/altura2).

Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.

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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).

Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.

Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei

de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do

vacuo (Lei da Gravitacao: t =√

2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer

(IMC = peso/altura2).

Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.

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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).

Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.

Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei

de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do

vacuo (Lei da Gravitacao: t =√

2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer

(IMC = peso/altura2).

Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 04/14 19 / 35

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IntroducaoExistem outros fenomenos cuja observacao, repetida sob condicoesespecificadas, nao conduz sempre ao mesmo resultado.

Exemplos:1 Lancamento de uma moeda.2 Jogo de futebol: SPORT x Nautico.3

Pode parecer impossıvel fazer qualquer afirmacao valida sob taisfenomenos, contudo a experiencia mostra que muitos fenomenosaleatorios exibem uma regularidade estatıstica que os torna passıveisde estudo.

Para tais fenomenos, modelos que estipulam que as condicoesdo experimento determinam apenas o comportamentoprobabilıstico do resultado observavel sao apropriados.

Tais modelos sao chamados modelos probabilısticos.

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IntroducaoExistem outros fenomenos cuja observacao, repetida sob condicoesespecificadas, nao conduz sempre ao mesmo resultado.

Exemplos:1 Lancamento de uma moeda.2 Jogo de futebol: SPORT x Nautico.3

Pode parecer impossıvel fazer qualquer afirmacao valida sob taisfenomenos, contudo a experiencia mostra que muitos fenomenosaleatorios exibem uma regularidade estatıstica que os torna passıveisde estudo.

Para tais fenomenos, modelos que estipulam que as condicoesdo experimento determinam apenas o comportamentoprobabilıstico do resultado observavel sao apropriados.

Tais modelos sao chamados modelos probabilısticos.

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IntroducaoA teoria da probabilidade oferece metodos de quantificacao daschances ou possibilidades de ocorrencia associadas aos diversosresultados de um experimento aleatorio.

Experimento Aleatorio: E qualquer acao ou processo cujo resultadoesta sujeito a incerteza. Isto e, um experimento aleatorio podefornecer diferentes resultados, embora seja repetido da mesmamaneira.

Pergunta: O que os experimentos aleatorios tem em comum?

Resposta:I Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob

condicoes essencialmente inalteradas.

I Embora nao possamos afirmar que resultado particular ocorrera,nos podemos descrever o conjunto de todos os resultadospossıveis do experimento.

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Introducao

Quando o experimento e executado repetidamente, sob asmesmas condicoes, os resultados individuais parecerao ocorrerde uma forma casual (acidental). No entanto, a medida que onumero de repeticoes aumenta, surgem certos padroes nafrequencia de ocorrencia dos resultados.

E esta regularidade (padrao) que torna possıvel construir um modelomatematico para analisar o experimento.

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Introducao

Definicao 1.1: (Espaco Amostral)

E o conjunto de todos os resultados possıveis do experimento.

Observacao 1.1: O espaco amostral e representado aqui por Ω.

Observacao 1.2: O espaco amostral pode ser enumeravel finito ouinfinito, se pode ser colocado em correspondencia bi-unıvoca com osnumeros naturais. Caso contrario, sera nao enumeravel, como a retareal.

Observacao 1.3: Cada resultado possıvel e denominado elemento deΩ e denotado por ω.

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Introducao

Exemplos de experimentos aleatorios:

E1: Jogue um dado e observe a face superior.

E2: Jogue uma moeda tres vezes e observe a sequencia decaras e coroas.

E3: Jogue uma moeda tres vezes e observe ao numero decaras obtidos.

E4: Jogue uma moeda ate obter a primeira cara e observe asequencia obtida.

E5: Jogue uma moeda ate obter a primeira cara e observe onumero de lancametos necessarios.

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IntroducaoExemplos de experimentos aleatorios:

E6: Um lote de 10 pecas contem 3 defeituosas. As pecas saoretiradas uma a uma (sem reposicao) ate que a ultimapeca defeituosa seja encontrada. O numero total depecas retiradas do lote e contado.

E7: Avaliacao de uma nova maquina na Ambev. O tempodecorrido (em horas) ate a falha e registrado.

E8: Avaliacao de perdas na Energisa. O numero de casascom ligacoes clandestinas em uma comunidade eanotado.

E9: Avaliacao do desempenho dos alunos de Probabilidade I.A media final e anotada.

E10: Em um estudo sobre obesidade infantil, escolhe-se dezcriancas cujos pesos sao anotados.

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Introducao

Exercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos anteriormente.

Espacos amostrais:

E1: Ω =.

E2: Ω =, em que k = cara e c = coroa.

E3: Ω =.

E4: Ω =, em que k = cara e c = coroa.

E5: Ω =.

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Introducao

Exercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos anteriormente.

Espacos amostrais:

E6: Ω =

E7: Ω =

E8: Ω =

E9: Ω =

E10: Ω =

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ExercıciosExercıcio 1: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos abaixo.

(a) Uma moeda e lancada duas vezes e observam-se asfaces obtidas.

(b) Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia de facepar ou ımpar e observada.

(c) Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas comdimensoes rigorosamente iguais. Tres bolas saoselecionadas ao acaso com reposicao e as cores saoanotadas.

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Exercıcios(d) Dois dados sao lancados simultaneamente e estamos

interessados na soma das faces observadas.

(e) Em uma cidade, famılias com 3 criancas saoselecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cadauma.

(f) Uma maquina produz 20 medicamentos por hora,escolhe-se um instante qualquer e observa-se o numerode defeituosas na proxima hora.

(g) Uma moeda e lancada consecutivamente ate oaparecimento da primeira cara. As faces observadas saoanotadas.

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Introducao

Definicao 1.2: (Evento)

E qualquer subconjunto de resultados contidos no espaco amostral.

Observacao 1.4: Como regra geral, uma letra maiuscula sera usadapara denotar um evento.Observacao 1.5: Quando um experimento e realizado, diz-se queocorre o evento A se o resultado do experimento estiver contido em A.Observacao 1.6: O espaco amostral Ω e o evento certo e o conjuntovazio e o evento impossıvel.Observacao 1.7: Para um espaco amostral finito, o conjunto de todosos eventos possıveis e dado por 2n.

IMPORTANTE: Escrevemos ω ∈ Ω para indicar que o elemento ωesta em Ω. Escrevemos A ⊂ Ω para indicar que A e umsubconjunto do espaco amostral.

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IntroducaoExercıcio: Descreva o evento associado a cada experimento.

Eventos:

(E1) A =Um numero ımpar ocorre.A =

(E2) =Obtencao de faces iguais.B =

(E7) C =A maquina falha em menos de um dia.C =

(E8) D =Pelo menos quatro casas apresentam ligacoesclandestinas.D =

(E9) E =O Aluno passa na disciplina.E =

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ExercıciosExercıcio 2: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos abaixo.

(a) Uma moeda e lancada duas vezes e observam-se asfaces obtidas.

(b) Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia de facepar ou ımpar e observada.

(c) Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas comdimensoes rigorosamente iguais. Tres bolas saoselecionadas ao acaso com reposicao e as cores saoanotadas.

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Exercıcios(d) Dois dados sao lancados simultaneamente e estamos

interessados na soma das faces observadas.

(e) Em uma cidade, famılias com 3 criancas saoselecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cadauma.

(f) Uma maquina produz 20 pecas por hora, escolhe-se uminstante qualquer e observa-se o numero de defeituosasna proxima hora.

(g) Uma moeda e lancada consecutivamente ate oaparecimento da primeira cara.

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Exercıcio 3

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Exercıcio 4

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