Probabilidade II - DE/UFPBtarciana/Probabilidade2/Aula10.pdf · Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Bidimensionais 11/13 1 / 1. Variáveis Bidimensionais Até

Probabilidade II

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Bidimensionais 11/13 1 / 1

Variáveis Bidimensionais

Até o momento, consideramos apenas o caso de variáveis aleatóriasunidimensionais.

Em muitas situações, no entanto, estamos interessados em observar duas oumais características simultaneamente.

É muito comum estarmos interessados no comportamento conjunto de váriasvariáveis.

Inicialmente vamos tratar de duas variáveis.



Estudar peso e altura de um grupo de pessoas.

Avaliar a relação entre a nota do vestibular e o número de reprovações emalunos do curso de estatística.

Estudar o tamanho do tumor e o tipo de tratamento em pacientes comCâncer.

Um dado é lançado e simultaneamente é girada a roda de uma roleta.Estamos interessado no resultado do lançamento do dado e no númeroobservado na roleta.






Normal Bivariada


Variáveis Bidimensionais Discretas

Definição 10.1 (X ,Y ) será uma variável discreta bidimensional se os valorespossíveis de (X ,Y ) forem finitos ou infinitos enumeráveis.

Isto é, os valores possíveis de (X ,Y ) possam ser representados por (xi ,yj),i = 1,2, . . . ,n, . . .; j = 1,2, . . . ,m, . . ..

Definição 10.2 (Função de probabilidade conjunta) Seja (X ,Y ) uma variávelaleatória discreta bidimensional. A cada resultado possível (xi ,yj) associaremosum número p(xi ,yj) representando P(X = xi ,Y = yj) e satisfazendo ás seguintescondições:

i) p(xi ,yj ≥ 0)

ii)∑∞

j=1

∑∞i=1 p(xi ,yj)= 1

Definição 10.3 A distribuição de probabilidade da variável aleatória (X ,Y ) é umatabela que associa a cada valor dessa variável sua correspondente probabilidade.Ela é denominada também distribuição conjunta de X ,Y .


Variáveis Bidimensionais DiscretasExemplo 1 Foi perguntado aos alunos de Probabilidade II se eles estão em umrelacionamento sério (namoro, casamento,...), variável representada por X , e areligião, variável representada por Y . Construa a distribuição de probabilidadeconjunta de (X ,Y ).


Variáveis Bidimensionais DiscretasExemplo 1


Variáveis Bidimensionais DiscretasPodemos associar a cada variável aleatória bidimensional (X ,Y ) duas variáveisaleatórias unidimensionais, X e Y individualmente.

Isto é, podemos estar interessados na distribuição de probabilidade de X e/ou Yseparadamente.

A distribuição de probabilidade de X , denominada distribuição de probabilidademarginal de X é obtida calculando-se:

p(xi)= P(X = xi)=∞∑

j=1

P(X = xi ,Y = yj)

A distribuição de probabilidade de Y , denominada distribuição de probabilidademarginal de Y é obtida calculando-se:

p(yi)= P(Y = yj)=∞∑

i=1

P(X = xi ,Y = yj)


Variáveis Bidimensionais DiscretasExemplo 2 Obtenha as distribuições marginais de X e Y para o Exemplo 1.




Variáveis Bidimensionais DiscretasExemplo 3: Uma empresa atende encomendas de supermercados dividindo ospedidos em duas partes de modo a serem atendidos, de forma independente,pelas suas duas fábricas. Pode haver atraso no cronograma de entrega dafábrica I com probabilidade 0.1 e na fábrica II com probabilidade 0.2. Suponhaque para um certo pedido, a indústria recebe R$200,00 pela encomenda totalentregue, mas paga uma multa de R$20,00 para cada fábrica que atrasar suaparte. Considere que o supermercado que fez a encomenda, criou um índicerelacionado à pontualidade da entrega. Este índice, atribui 10 pontos para cadaparte da encomenda entregue dentro do cronograma previsto. Vamos denotar porX o valor recebido pelo pedido e Y o índice obtido. Encontre a distribuiçãoconjunta de (X ,Y ) e as distribuições marginais.






Variáveis Bidimensionais Contínuas

Definição 10.4 (X ,Y ) será uma variável contínua bidimensional se (X ,Y ) pudertomar todos os valores em algum conjunto não-enumerável do plano euclidiano.

Por exemplo, se (X ,Y ) puder tomar todos os valores no retângulo{(x ,y)|a≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d}.

Definição 10.5 (Função densidade de probabilidade conjunta) Seja (X ,Y ) umavariável aleatória contínua bidimensional tomando todos os valores em algumaregião R do plano euclidiano. A função densidade de probabilidade conjunta f éuma função que satisfaz às seguintes condições:

i) f (x ,y)≥ 0

ii)∫ ∫

Rf (x ,y)dxdy = 1

Dessa forma, P(a< X < b,c < Y < d)=∫ b

a

∫ d

cf (x ,y)dxdy .


Variáveis Bidimensionais Contínuas


Variáveis Bidimensionais ContínuasExemplo 4 Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional cuja densidade deprobabilidade é dada por: f (x ,y)= c(x2 + xy) para 0≤ x ≤ 2 e 0≤ y ≤ 4 sendozero no complementar desse retângulo. Calcule a probabilidade P(X +Y ≤ 3)


Variáveis Bidimensionais ContínuasExemplo 4


Variáveis Bidimensionais ContínuasDada a densidade conjunta das variáveis X e Y , podemos determinar asdensidades de X e Y separadamente.

Essas densidades são denominadas densidades marginais de X e de Y edenotadas por fX (x) e fY (y).

fX (x)=

∫ ∞

−∞f (x ,y)dy

fY (y)=

∫ ∞

−∞f (x ,y)dx

Quando não houver menção explícita ao conjunto de valores ondef (x ,y)> 0,suporemos que esse conjunto é o plano(R2 = {(x ,y) :−∞< x <∞,−∞< y <∞}).

Note que fX (x) e fY (y) são de fato densidades de probabilidade, pois sãonão-negativas e sua integral na reta é igual a um (

∫ ∫

Rf (x ,y)dxdy = 1).


Variáveis Bidimensionais ContínuasExemplo 5 Seja (X ,Y ) uma par de variáveis aleatórias cuja densidade conjuntaé dada por: f (x ,y)= 8xy para 0< x < y < 1 sendo zero no complementar.Determine as densidades marginais de probabilidade de X e de Y e calcule aprobabilidade P(0< X < 0.5,0< Y < 0.5).




Exemplo 6Dois característicos do desempenho do motor de um foguete são X e Y . Suponhaque (X ,Y ) seja uma variável aleatória contínua bidimensional com fdp conjunta:f (x ,y)= 2(x + y −2xy) para 0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 1 sendo zero no complementar.Determine as densidades marginais de probabilidade de X e de Y .




Função de distribuição acumuladaDefinição 10.6 A função de distribuição de uma variável aleatória bidimensional(X ,Y ) é dada por:

F(x ,y)= P(X ≤ x ,Y ≤ y), −∞< x <∞ e −∞< y <∞

Para o caso discreto:

F(x ,y)= P(X ≤ x ,Y ≤ y)=∑

i:xi≤x

∑

j:yj≤y

P(X = xi ,Y = yj)

Para o caso contínuo:

F(x ,y)= P(X ≤ x ,Y ≤ y)=

∫ x

−∞

∫ y

−∞f (u,v)dudv

Se F é a função de distribuição de uma V.A. bidimensional com f.d.p f , então

f (x ,y)= ∂ 2F(x ,y)∂ x∂ y .


Função de distribuição acumuladaPara o caso discreto:

P(X ≤ x)=x∑

i=1

∞∑

j=1

P(X = xi ,Y = yj)

P(Y ≤ y)=∞∑

i=1

y∑

j=1

P(X = xi ,Y = yj)

Para o caso contínuo:

P(X ≤ x)=

∫ x

−∞

∫ ∞

−∞f (u,v)dudv

.

P(Y ≤ y)=

∫ ∞

−∞

∫ y

−∞f (u,v)dudv

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Função de distribuição acumuladaPropriedades:

i) limx→−∞,y→−∞F(x ,y)= 0 e limx→∞,y→∞F(x ,y)= 1

ii) F(x ,y) é contínua à direita em cada uma das variáveis x e y .

iii) F(x ,y) é não-decrescente em cada uma das variáveis.

Estas propriedades são extensões naturais para o caso bidimensional daspropriedades da função de distribuição de uma variável aleatória unidimensionalX.

O intervalo (−∞,x] é substituído pelo retângulo (−∞,x]× (−∞,y].

Quando fazemos x→−∞, este retângulo tende ao conjunto vazio no plano e suaimagem inversa tende ao conjunto vazio no espaço amostral que temprobabilidade zero.

Quando x→∞ e y→∞, o retângulo em questão tende para o plano todo, cujaimagem inversa é o espaço amostral que tem probabilidade 1.


Função de distribuição acumuladaPara uma variável aleatória unidimensional X verificamos que:P(a< X ≤ b)= F(b)−F(a).

No caso bidimensional vimos que o análogo a um intervalo da forma (a,b] é umretângulo da forma {(x ,y) : a1 < x ≤ b1,a2 < y ≤ b2}.

A probabilidade dos valores de X e de Y pertencerem a esse retângulo é dadapor:

P(a1 < X ≤ b1,a2 < Y ≤ b2)= F(b1,b2)−F(a1,b2)−F(a2,b1)+F(a1,a2)

DEMONSTRAÇÃO


Exemplo 7Determine a função de distribuição da variável aleatória do exemplo 4.




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