Problem a Rio Algebra 2014

I N T R O D U C C I N

El nuevo modelo educativo de la Universidad Autnoma de Nuevo Len (UANL) est centrado en La educacin basada en competencias y La educacin centrada en el aprendizaje. Entendiendo por Competencias al conjunto de habilidades, destrezas, conocimientos y actitudes que logren la formacin integral de los estudiantes, en donde, ahora el estudiante es el principal actor en el proceso educativo y el docente toma el rol de facilitador o guiador dentro del mismo. En cuanto a la educacin centrada en el aprendizaje se ve desde un modelo Constructivista en donde el aprendizaje se construye, no se transfiere. Para este logro es necesario implementar actividades que logren despertar el inters de los estudiantes y desarrollar verdaderos aprendizajes significativos, mostrando el uso que se le va a dar al conocimiento. En la Facultad de Ingeniera Mecnica y Elctrica (FIME) de la UANL a travs de la Subdireccin Acadmica se disearon los programas analticos para cada unidad de aprendizaje bajo este nuevo modelo, en donde se determinan las competencias generales, especficas y particulares a desarrollar en los estudiantes. El Manual de Algebra para Ingeniera basado en competencias se articula principalmente con los ejes estructuradores del Modelo Educativo de la UANL, mismos que promueven el aprendizaje autnomo para la construccin de competencias y el impulso de nuevos esquemas de pensamiento que facilitan aprender a aprender. El presente manual contiene una serie de actividades y ejercicios que permiten la adquisicin de aprendizajes sobre Algebra para Ingeniera dentro de un marco que promueve el desarrollo de las competencias generales, especficas y particulares que establece el nuevo modelo educativo, dentro de cada uno de los programas analticos de las unidades de aprendizaje. Los ejercicios propuestos cuentan con su solucin correspondiente para que de alguna manera los estudiantes puedan autoregularse y corregir los errores a tiempo. Adems, este manual contiene diferentes tipos de actividades que conllevan a cumplir con cada una de las fases del enfoque pedaggico-didctico por competencias, que son: Primera fase: Modelo de dominio

Activacin de conocimientos previos o introductorios al tema, lo cual

permite a los estudiantes hacer una Reflexin sobre la accin, es decir,

lo que se debe de saber para comprender el nuevo contenido.

Segunda fase: Modelo de interaccin

Desarrollo de habilidades mediante una prctica guiada, lo cual le

permite a los estudiantes hacer una Reflexin en la accin, es decir,

aplicar actividades de autorregulacin, para saber si avanza o se

regresa.

Tercera fase: Modelo de usuario

Integrar los conocimientos hacia el uso, ya sea cotidiano o profesional,

que se le va a dar al conocimiento obtenido, de manera que el

estudiante pueda Reflexionar para la accin, es decir, crear diferentes

situaciones para uso autnomo ms all del aula.

Es de suma importancia, que al evaluar las actividades, en algunas, tratemos de involucrar a los estudiantes, ya que, de esta manera ellos se dan cuenta de los errores que cometen y es posible que a partir de esto tambin aprendan, adems, de que reduce un poco el trabajo del docente.

Algunos tipos de evaluacin son:

Heteroevaluacin: es la evaluacin hecha solamente por el docente.

Coevaluacin: es la evaluacin hecha entre estudiantes del grupo.

Autoevaluacin: Es la evaluacin hecha por el propio estudiante.

Estamos seguros que este manual redundar en la formacin de un estudiante analtico, crtico, reflexivo y creativo, y le ayudar a desempearse exitosamente en su vida profesional, social y laboral.

INDICE

Pagina

Unidad temtica 1: Nmeros complejos 1

Actividad No. 1.1 Lluvia de ideas 2

Introduccin 3

Operaciones con nmeros complejos en la forma rectangular o cannica.

4

Adicin y sustraccin de nmeros complejos 5

Producto de nmeros complejos 5

Divisin de nmeros complejos 5

Potencia de un nmero complejo 6

Actividad No. 1.2 Te lleg la hora. 7

Ejercicios 1.1 Operaciones con nmeros complejos en la forma rectangular o cannica.

8

Operaciones con nmeros complejos en la forma polar 10

Representacin rectangular 10

Representacin polar 10

Multiplicacin de nmeros complejos en su forma polar 17

Divisin de nmeros complejos en su forma polar 18

Potencia de nmeros complejos en forma polar 19

Races de los nmeros complejos en su forma polar 20

Actividad No. 1.3 Mini casos 23

Ejercicios 1.2 Operaciones con nmeros complejos en la forma polar

24

Actividad No. 1.4 Integradora 27


Unidad temtica 2: Funciones polinomiales 31

Actividad No. 2.1 Tienes residuos? 32

Funciones polinomiales 33

TOREMA DEL RESIDUO 33

TEOREMA DEL FACTOR 33

Divisin sinttica 34

Graficas de funciones polinomiales 38

Recorrido de una funcin polinomial 38

TEOREMA DE COTAS 38

Actividad No. 2.2 Sopa de letras 43

Ejercicio 2.1 45

Cero de funciones polinomiales 47

TEOREMA DE LOS COMPLEJOS E IRRACIONALES CONJUGADOS

47

Ejercicio 2.2 53

Regla de los signos de Descartes 55

Ceros racionales 57


Ejercicio 2.3 69

Unidad temtica 3: Matrices y Determinantes 71

Actividad No. 3.1 Tu sistema es compatible? 72

Definicin de Matriz 73

Igualdad de matrices 73

Matriz transpuesta 74

Matriz Identidad 75

Matriz nula 75

Suma y Resta de Matrices 75

Multiplicacin de una matriz por un escalar 77

Multiplicacin de matrices 78

Actividad No. 3.2 Jugando con las matrices 83

Ejercicios 3.1 84

Determinantes 87

Determinantes de orden dos ( ). 87

Determinantes de orden 88

Propiedades de los determinantes 89

Menor de un elemento del determinante 90

Cofactor de un elemento del determinante 91

Valor de un determinante utilizando cofactores 92

Aplicacin del mtodo Montante en determinantes 100

Matriz inversa 103

Inversa de una matriz por el mtodo Gauss-Jordan 103

Inversa de una matriz por el mtodo de la Adjunta 106

Inversa de una matriz por el mtodo Montante 107

Actividad No. 3.3 Dos tros 111

EJERCICIO 3.2 112

Sistemas de Ecuaciones Lineales 114

Regla de Cramer 114

Mtodo para resolver un sistema de n ecuaciones con n incgnitas empleando la inversa de una matriz cuadrada.

117

Mtodo para resolver sistemas de ecuaciones lineales por 120

eliminacin gaussiana

Mtodo para resolver sistemas de ecuaciones lineales por Montante

121

Sistemas de Ecuaciones Lineales Homogneas 126

Sistema de Ecuaciones Defectuosos 131

Sistema de Ecuaciones Redundantes 132


Ejercicio 3.3 135

Unidad temtica 4: Algebra Vectorial 137

Actividad No. 4.1 Actvate de plano 138

Introduccin 139

Sistema Coordenado Cartesiano en el Plano 139

Sistema Coordenado Cartesiano en el Espacio 139

Planos coordenados 140

Localizacin de puntos en el espacio 140

Distancia entre dos puntos en el espacio 141

Ecuacin estndar de la esfera de radio y centro ( ).

142

Vectores 144

Vector nulo, vector unitario 144

Vectores paralelos, vector opuesto o negativo 145

Suma o resultante de dos vectores, ley del paralelogramo 146

Diferencia de dos vectores y 146

Vectores trirrectangulares 148

El mdulo o magnitud de un vector 150

Actividad No. 4.2 Trabajo integrador 154

Ejercicio 4.1 155

Producto escalar, punto o interno 157

Coseno del ngulo entre dos vectores 157

Componentes y proyecciones de un vector 160

Producto vectorial, cruz o exterior 163

rea del paralelogramo 163

Triple producto escalar o producto caja 168

Actividad No. 4.3 El Desafo 170

Ejercicio 4.2 171

Rectas y planos en el espacio 172

Distancia de un punto a una recta en el espacio 173

Ecuacin de un plano 174

Recta de interseccin de dos planos 175

Distancia de un punto a un plano 176

Angulo entre planos 178

Actividad No. 4.4 Proyctate 179

Ejercicio 4.3 180

1

Unidad temtica 1: Nmeros complejos

Competencia particular: Analizar un nmero complejo aprovechando la informacin obtenida para:

Interpretar su definicin,

Su representacin grfica,

Sus transformaciones de forma rectangular a polar o viceversa,

Efectuar operaciones en cualquiera de sus formas de manera que pueda ampliar la solucin de algunas ecuaciones.

Subtema:Operaciones con nmeros complejos en la forma rectangular o cannica.

Elemento de competencia: Definir un nmero complejo mediante un cuestionario para extender el campo de los nmeros reales.

Conocimiento previo: Nmero imaginario, nmero complejo, conjugado y negativo de un nmero complejo, igualdad, suma, resta y multiplicacin de nmeros complejos.

2

Actividad No. 1.1 Lluvia de ideas Individual-extra aula

Propsito: Activar conocimiento previo

Criterio de evaluacin: Evaluacin segn rbrica

Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos.

Descripcin de la actividad:

I. Elaborar un reporte con las siguientes preguntas.

1. Defina la unidad imaginaria?

2. A qu llamamos nmero complejo?

3. Cmo se representa el conjugado de nmero complejo y su negativo?

4. De qu manera se comprueba que dos nmeros complejos son iguales?

5. Cul es la metodologa para sumar y restar dos nmeros complejos en la

forma ?

6. Qu procedimiento se utiliza para multiplicar dos nmeros complejos en la

forma ?

7. Qu sistema coordenado se utiliza para representar grficamente un

nmero complejo en la forma ?

II. Retroalimentacin.

III En caso de que exista una duda, el maestro la aclarar al grupo.

3

Introduccin

Debido a que la operacin de la raz cuadrada de un nmero negativo no

est definida para nmeros reales, se establece que la cantidad , se representa con la letra llamndose a esta la unidad imaginaria.

Es la forma rectangular o cannica de un nmero complejo dnde y son nmeros reales as como es la unidad imaginaria, llamndose a nmero imaginario puro.

El nmero complejo tiene como conjugado y viceversa, es decir, solamente cambian de signo las partes imaginarias. Por ejemplo y son conjugados.

El nmero complejo tiene como negativo y recprocamente, es decir, cambian de signos tanto las partes reales como imaginarias. Por ejemplo

tiene como negativo .

Dos nmeros complejos son iguales si y slo si sus partes reales son iguales, as

como sus partes imaginarias. si y solo si y

Ejemplos

Hallar los valores reales de y que cumplan con la relacin dada.

1)

Solucin

Igualando las partes reales as como las imaginarias tenemos:

y

2) ( )

Solucin

Igualando las partes reales as como las imaginarias obtenemos dos ecuaciones.

4

1. 2.

Multiplicando la ecuacin 1 por tres y la ecuacin 2 por dos y sumando las ecuaciones obtenemos.

Sustituyendo el valor de en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos el valor de .

1. ( )

Operaciones con nmeros complejos en la forma rectangular o cannica

Siendo

En base de este conjunto de equivalentes de en donde es entero y positivo podemos obtener las potencias equivalentes de efectuando la divisin de entre 4 en donde el residuo representara el exponente de haciendo notar que los ciclos de repeticin es cada cuatro.

Ejemplos

Expresar en funcin de .

En los siguientes ejercicios se sustituye y las potencias de y se simplifica.

1)

=3

5

2) ( ) ( )

3)

4)

( ) ( )

5)

( )

( )

( )

6) ( )( )

7)

Adicin y sustraccin de nmeros complejos

Para sumar y restar nmeros complejos se suman o restan por separado las partes reales as como las imaginarias.

Ejemplos

8) ( ) ( ) ( ) ( )

9) ( ) ( ) ( ) ( )

10) ( ) ( ) ( ) ( )

11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+2i

Producto de nmeros complejos

En el producto de dos nmeros complejos se multiplica trmino a trmino como si

se tratase del producto de dos binomios y sustituyendo la por -1.

6

Ejemplos

) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

) ( )( )( ) ( )( )

( ( ))( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

Divisin de nmeros complejos

Para dividir nmeros complejos utilizaremos un proceso muy parecido a la racionalizacin, multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de

este ltimo y se sustituye la por -1 esto ayudar a eliminar los imaginarios del denominador para convertirlos en reales.

Ejemplo

14)

Potencia de un nmero complejo

Para elevar un nmero complejo a un exponente entero y positivo se efecta como si se tratara de productos de binomios y se sustituyen los valores de las potencias

de .

Ejemplo 15) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

7

Actividad No. 1.2 Te lleg la hora. Individual- aula

Propsito: Facilitar la comprensin del tema, alentando la participacin individual y estimulando la confrontacin entre los estudiantes.




a) Diferentes estudiantes resolvern en el pizarrn los siguientes ejercicios.

1)

2) ( ) ( )

3) ( )( )

4)

5) ( )

b) El grupo califica la actuacin de cada estudiante.

c) El estudiante defiende su posicin en la solucin del ejercicio que

resolvi.

d) Todos los estudiantes elaboran un reporte individual que muestre la metodologa para resolver cada ejercicio.

8

Ejercicios 1.1 Operaciones con nmeros complejos en la forma

Expresar en funcin de .

Ejercicio Solucin

1) 644 i32

2) 8

14 i2

3) 323722 i224

4) 288126

1 i222

5) 254363814 i1820

Calcular los valores reales de y que cumplan con la igualdad dada.

Ejercicio Solucin

6) iyix 58 8x 5y

7) iyyixix 9337 2

3x 2

7y

rectangular o cannica

9

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar.

Ejercicio Solucin

8) ii 2352 i75

9)

ii

2

1

3

1

2

1

3

2 i1

10) 32283 i261

11) 22 ii 2

12) 42i 16

13) ii 22 5

14) 2)43( i i247

15) i22

1

i

4

1

4

1

16) i

i

3223

3223

i6

5

2

5

1

17) i

iiii

1

432

0

10

Operaciones con nmeros complejos en la forma polar

Representacin rectangular

El nmero complejo se representa grficamente como un punto ( ) en un sistema coordenado rectangular, llamndose al eje eje de los nmeros reales y al eje , eje de los nmeros imaginarios por ejemplo, en la figura 1se representa grficamente .

Figura 1

Representacin polar

Usando el sistema coordenado rectangular en el que se traz el punto ( ) el cual representa al nmero complejo se une el origen O con el punto , obteniendo un segmento de longitud . Despus se traza una perpendicular desde el punto al eje . El segmento formado desde O hasta el pie de dicha perpendicular tendr una longitud y del pie de la perpendicular al punto una longitud y, siendo el ngulo formado por el segmento O y la parte positiva del eje , como se ilustra en la figura 2.

Figura 2

Se tiene que y que

Por lo que

( )

-2

3

( )

11

Por lo anterior, ( ) se llama la forma polar de un nmero complejo, ya que ste representa al punto ( ) en un sistema coordenado polar en donde recibe el nombre de mdulo y el de argumento siendo y 0 .

Para transformar el nmero complejo a su forma polar se requiere obtener y , en la figura 2 se observa que con el punto se forma un tringulo rectngulo, por lo que:

0,360

12

Figura 3c

En la figura 4a se muestran los ngulos notables mltiplos de 45 utilizando el cuadrado. Posteriormente en la figura 4b se colocan los tringulos rectngulos en los cuadrantes respectivos.

Mltiplos de 45

Cuadrado

Figura 4a

Figura 4b

ngulos de cuadrante

60 =

60 =

ta 60 =

45

1

1

1 1

2

2

60 60 1

-1

2

2

1

-1

1

-1

45

-1

13

En el caso de que una parte del nmero complejo, ya sea real o imaginaria, sea igual a 0, entonces el argumento del nmero complejo dado coincidir con un semieje. De sta forma el argumento resultante ser un ngulo cuadrantal (ver figura 5).

Crculo unitario

Figura 5

1

1 -1

-1

1

90

270

180 0

Los cosenos nicamente tienen valores

diferentes de 0 en el eje

Los senos nicamente tienen valores

diferentes de 0 en el eje

14

Ejemplos

Transformar a la forma polar los nmeros complejos dados.

18)

Solucin

Para transformar el nmero complejo a su forma polar se requiere obtener los valores de y .

19)

Solucin

240sen240cos231

sen cos :polar Forma

240

) 7 (figura obtiene se cuadrante III elen 2r

60y 30 de tringuloel ando Us4

31

1

3 tan 31

0,n ta

22

22

ii

ir

r

r

r

xx

yyxr

3

315sen 315cos222

)sen (cos :polar Forma

6 figura

la muestra lo como 315

obtiene se cuadrante IV elen 2r

45 de tringuloel Usando 4

1

1 tan 2 2r

ndosimplifica 2

2 tan 22

0, tan

22

22

ii

ir

r

r

xx

yyxr

-1

0

60

=240

-45

-1

1

315

Figura 6

Figura 7

15

20) i333

Solucin

)150sen 150 6(cos333-

)isen r(cos:polar Forma

150

8) (figura obtiene se cuadrante II elen 6r

60y 30 de tringuloel ilizando Ut36

3

1 tan 9)3(9

ndosimplifica 33-

3 tan 23

233

0, tan 22

ii

r

r

r

xx

yyxr

21)

Solucin

expresado en su forma cannica es

)270sen 270 (cos 22i-0

)sen (cos :polar Forma

9) (figura 0 quemenor es imaginaria parte la porque 2

270 caso esteen 0, a igual es real parte la 2)2(2)0(

que ya semieje,un con coincide argumento El 22

i

ir

r

r

yxr

( )

30 = 150

-1

Figura 8

Figura 9

16

Obtener la forma rectangular de los siguientes nmeros complejos.

22) ( ) Solucin

Utilizando el tringlo de 30 y 60 en el primer cuadrante se obtiene (figura 10).

2

330 cos

2

130sen

2( )

i

2

1

2

3

23) ( )

Solucin

Utilizando el tringlo de 45 en el segundo cuadrante se obtiene (figura 11)

2

2

4

2

2

2

2

1

2

1- 135 Cos

2

2

4

2

2

2

2

1

2

1 135Sen

5( 135 + 135 ) = 5

i

2

2

2

2

30

60

x

2 +1

y

2

-45

45

a a a a +1

-1

= 135

Figura 10

Figura 11

17

24) ( )

Solucin

Utilizando el tringlo de 30 y 60 en el tercer cuadrante se obtiene (figura 12)

2

1-240 cos

2

3- 240sen

( )

i

2

3

2

1

25) 6( 315 + 315 )

Solucin

Utilizando el tringlo de 45 en el cuarto cuadrante se obtiene la figura 13

2

2

4

2

2

2

2

1

2

1 315 cos

2

2

4

2

2

2

2

1

2

1- 315sen

6( 315 + 315 ) = 6

i

2

2

2

2

60

= 240

-1

30 2

1

-1

-45

45

= 315

Figura 12

Figura 13

18

26) 8( 330 + 330 )

Solucin

Utilizando el tringlo de 30 y 60 en el cuarto cuadrante se obtiene la figura 14

2

3 330 cos

2

1- 330sen

8( + 330 ) = 8

i

2

1

2

3

Nota: Si el ngulo resultante no es notable, entonces se obtienen sus valores para seno y coseno en decimales.

Multiplicacin de nmeros complejos en su forma polar

( ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

Cuando se tiene la multiplicacin de nmeros complejos en su forma polar, se multiplican los mdulos y se suman los argumentos.

Ejemplo

Efectuar la operacin indicada y expresar el resultado en la forma rectangular.

27) [ ( )] [ ( )]

-1 -30

60 = 330 2

Figura 14

19

Solucin

Usando la frmula [ ( ) ( )]

se obtiene [ ( ) ( )]

Forma polar

6 = Forma rectangular

Divisin de nmeros complejos en su forma polar

)sen()cos()sen(cos

)sen(cos2121

2

1

222

111

i

r

r

ir

ir

Cuando se tiene una divisin de nmeros complejos en forma polar se divide el mdulo del dividendo entre el del divisor y se resta el argumento del divisor al del dividendo.

Ejemplos

Efectuar la operacin indicada y expresar el resultado en la forma rectangular.

)23sen23(cos5

)83sen83(cos20 )28

i

i

Solucin

Usando la frmula

[ ( ) ( )]

se obtiene ( )

( )

[ ( ) ( )]

( ) Forma polar

(

)

Forma rectangular

[ ]

20

)325sen325(cos2

)85sen 85(cos32 )29

i

i

Solucin

Aplicando la misma frmula del ejemplo anterior y al restar los ngulos se obtiene un ngulo negativo que hay que convertirlo en positivo como se muestra en la figura 15

( )

( )

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

[ ]

(

)

Potencia de nmeros complejos en forma polar

Se utiliza el teorema de DE MOIVRE para calcular la potencia de un nmero complejo en forma polar.

[ ( )] [ ( ) ( )]

es un nmero entero y positivo

Calcular la potencia indicada utilizando el teorema de DE MOIVRE y expresar el resultado en la forma rectangular.

60

-1

120

0

2

Figura 15

21

Ejemplo

30) ( )

Solucin

Para usar el teorema de DE MOIVRE el nmero complejo debe estar en forma polar.

( ) ( ) ( )

Nota: Este problema en forma rectangular tambin se puede resolver por el teorema del binomio, pero usando el teorema de De MOIVRE se simplifica su clculo.

( )

( )

Usando la frmula [ ( ) ( )] se obtiene

( ) [ ( )] [ ( )( ) ( )( )]

( ) ( )

(

)

( )

) [ ( )]

Solucin

Usando la frmula [ ( ) ( )] se obtiene

[ ( )] [ ( )( ) ( )( )]

( ) [

]

[ ( )]

22

Races de los nmeros complejos en su forma polar

Para calcular las races ensimas de un nmero complejo en la forma polar utilizaremos el teorema de DE MOIVRE:

[ ( )]

[ (

) (

)]

Las races de un nmero complejo representan grficamente los vrtices de un polgono regular de lados inscritos en una circunferencia con centro en el

origen y de radio .

Ejemplos Hallar las races de los siguientes nmeros complejos.

32) Las tres races cbicas de

Solucin

Lo anterior se puede expresar como

( )

Por lo que para aplicar el teorema anterior debemos transformar el nmero complejo dado a su forma polar

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=[ ( )]

( ) ( )

=[ ( )]

En donde toma valores enteros no negativos desde K= 0,1,2( .)

23

Usando la frmula

[ ( )]

[ (

) (

)]

se obtiene

[ ( )]

[ (

( )

) (

( )

)]

[ ( ( )) ( ( ))]

[ ( ) ( )] ( )

[

]

[ ( ) ( )] [ ]

( )

[ ( ) ( )] [ ]

( )

Nota: debido a que el ngulo de 165 y 285 no son notable, se utiliz la calculadora para obtener los valores del seno y coseno redondeando estas cifras a dos dgitos despus del punto decimal.

33) ( )

Solucin

Usando la frmula

[ ( )]

[ (

) (

)]

se obtiene

( )

( ) [ (

( )

) (

( )

)]

[ ( ( ) ( ))]

[ ( ) ( )] [

]

24

[ ( ) ( )] [ ]

[

]

[ ( ) ( )] [ ]

[

]

[ ( ) ( )] [ ]

[

]

Estos puntos representan los vrtices de un polgono regular de lados inscritos

en una circunferencia con centro en el origen y de radio igual graficando este

ejercicio se tiene:

yi

x

K =2

K = 0 K =1

K=3

R= 3

Figura 17

25

Actividad No. 1.3 Mini casos Equipo- aula

Propsito: Ayudar a los estudiantes a consolidar el aprendizaje




1. Formar equipos de cuatro estudiantes como mximo para plantear el problema. Instrucciones: Describa la metodologa para determinar todas las races de

la ecuacin, , utilizando el teorema de DE-MOIVRE.

2. Los equipos deben llegar a un consenso sobre su decisin

3. El maestro coordina un debate con las decisiones tomadas de cada equipo.

4. Se hacen conclusiones entre el maestro y los estudiantes. NOTA: Permitir que los equipos trabajen sin interferencia del maestro.

5. Reporte que muestre la metodologa para resolver el problema

26

Ejercicios 1.2 Operaciones con nmeros complejos en la forma polar

Transformar a la forma polar los nmeros complejos dados.

Ejercicio Solucin

1) ( )

2) ( )

3) ( )

4) ( )

5) ( )

Transformar los nmeros complejos siguientes a la forma rectangular.

Ejercicio Solucin

6) ( )

7) ( )

8) ( )

9) ( )

10) ( )

11) ( )

27

Efectuar las operaciones indicadas, expresando los resultados en forma rectangular.

Ejercicio Solucin

12) ( ) ( )

13) ( ) ( )

14) ( )

( )

15) ( )

( )

Utilizar el Teorema de DE-MOIVRE para hallar las potencias indicadas de los nmeros complejos siguientes y expresar los resultados en forma rectangular.

Ejercicio Solucin

16) [ ( )]

17) [ ( )]

18) ( )

19) (

)

28

Hallar todas las races indicadas.

Ejercicio Solucin

20) ( )

21) ( )

( )

( )

( )

22)

Utilizar el Teorema de DE-MOIVRE para hallar todas las races indicadas.

Ejercicio Solucin

23)

24)

29

Actividad No. 1.4 Integradora Individual o Equipo Aula o Extra-Aula

Propsito: Aplicar los conocimientos adquiridos en esta unidad temtica a la solucin de un problema de ingeniera.




1) Identificar el tipo de operaciones involucradas en la solucin de un problema del mundo real resuelto. 2) Analizar el procedimiento, tomando en cuenta el cambio de la simbologa utilizada en dichas operaciones. 3) Hacer los clculos involucrados para comprobar el resultado.

4) Reporte del problema resuelto con el cambio de simbologa.

Problema:

En mquinas elctricas de corriente alterna, se realizan problemas del clculo de algunas variables, la impedancia del motor entre otras. Lo anterior implica el uso de nmeros complejos y sus operaciones tanto en la forma polar como en la rectangular respectivamente.

Los motores de corriente alterna se utilizan en la industria por su versatilidad, bajo costo y poco mantenimiento. Para el clculo de la impedancia del motor (Zm) se tiene:

( )

Dnde representa la corriente del motor en Ampers (A) y el voltaje del motor en Volts (V).

Considerar que 1 HP = 746 Watts y siendo

(HP Unidad de potencia, caballos de fuerza)

( )

Calcula la impedancia de un motor de 10HP que est conectado a un

generador que lo alimenta con un voltaje de 220 0 volts, con una frecuencia f=60Hz, y un factor de potencia f.p=0.9.

30

Representar la impedancia en la forma rectangular y polar.

Solucin:

Para el clculo de la impedancia se requiere calcular la corriente del motor y para sta se debe calcular la potencia del motor en watts

Por lo que

( )

( )( )

( ) Y la impedancia

( )

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

( )

31

Unidad temtica 2: Funciones polinomiales

Competencia particular: Determinar con precisin los ceros de funciones polinomiales y analizar el comportamiento grfico, tanto algebraicamente como con ayuda de software.

Subtema: Divisin sinttica.

Elemento de competencia: Clculo de ceros o races de la ecuacin polinomial.

Conocimiento previo: Divisin de polinomios

32

Actividad No. 2.1 Tienes residuos? Individual-extra aula

Propsito: Activar conocimiento previo



Descripcin de la actividad: I Efectuar las siguientes divisiones.

a)

b)

II Especifique el cociente y el residuo de cada inciso. III Si alguno de ellos su residuo es cero, expresa el polinomio del dividendo como el producto del cociente por el divisor. IV Reporte de la actividad desarrollada correctamente.

33

Funciones polinomiales En este captulo determinaremos los ceros de funciones polinomiales de la forma:

( )

En donde es un nmero entero positivo, los coeficientes y son constantes con llamado coeficiente principal y trmino independiente. La funcin ( ), es llamada tambin funcin entera racional de grado en .

Nota: se llama cero de una funcin polinomial ( ) a aquel valor de que hace que ( ) sea cero.

Una ecuacin polinomial o entera es de la forma ( ) siendo ( ) una funcin polinomial de grado . A los valores de que satisfacen dicha ecuacin se les denomina races.

Una ecuacin polinomial ( ) de grado tiene races ya sean reales o complejas.

Si la ecuacin se llama lineal o de primer grado representando grficamente una lnea recta encontrando su raz por despeje.

Para la ecuacin recibe el nombre de cuadrtica o segundo grado representando grficamente una parbola vertical determinando sus races ya sea por el mtodo de factorizacin o frmula general.

Para determinar las races de una ecuacin polinomial de grado se proponen los siguientes teoremas:

TEOREMA DEL RESIDUO: Si una funcin polinomial ( ) se divide entre , siendo una constante, el residuo ( ) es igual a ( ).

TEOREMA DEL FACTOR: Si en la divisin de la funcin polinomial ( ) entre el residuo es igual a cero entonces es un factor de ( ) siendo un cero de la misma. Ejemplo

1) Calcular el cociente ( ) y el residuo al dividir algebraicamente ( ) entre

34

+4 -4 0

Coeficiente ( ) Residuo La divisin anterior tambin se puede efectuar por medio de la divisin sinttica para obtener el cociente y el residuo. Para dividir la funcin polinomial ( )

entre se siguen los siguientes pasos:

1. Expresar la funcin polinomial en potencias descendientes de .

2. Se escriben en el primer rengln, los coeficientes de potencias descendientes

de , si alguna de estas potencias no existe se sustituye por cero. A la izquierda de este rengln se escribe el valor de este valor se obtiene del divisor .

3. Se baja el primer coeficiente al tercer rengln y se multiplica por , escribiendo el producto en la segunda lnea debajo de . Se suma y ( ) y se escribe esta suma en la tercera lnea. Se multiplica esta suma por , se escribe el producto en la segunda lnea debajo de y se suma con este, escribindose en la tercera lnea. Se contina este proceso de multiplicar y sumar hasta que se usa el sumando

escribindose en la tercera lnea. Tomando el ejemplo anterior de ( ) entre

-1 +5 +8 -1 0 +4

-5 -3 +4 -4

+5 +3 -4 +4 0

35

4. El tercer rengln se interpreta de la siguiente manera:

a) El ltimo nmero es el residuo. b) Los nmeros restantes de izquierda a derecha son los coeficientes del

cociente cuyo grado es inferior en 1 a la funcin polinomial dada.

Cociente ( ) Residuo ( )

Ejemplos Utilice la divisin sinttica para calcular el cociente ( ) y el residuo de las divisiones siguientes:

2) ( ) ( )

Solucin Se escriben en el primer rengln, los coeficientes de potencias descendientes de

. A la izquierda de este rengln se escribe el valor de que se obtiene del divisor . por lo tanto

2 1 -3 4 -5

2 -2 4

1 -1 2 -1

3) ( ) (

)

Solucin

por lo tanto

1 - 2 1 0 3

1

Cociente () Residuo

Cociente () 7

6

6

7

Residuo

36

4) ( ) ( )

Solucin

por lo tanto -3 +1 +2 0 +1

-3 +3 -9

+1 -1 +3 -8

Utilizar el teorema del residuo y la divisin sinttica para demostrar si el binomio dado es o no factor de la funcin polinomial dada.

5) ( )

Solucin

En el Teorema del Residuo el residuo ( ) es igual a ( ). por lo tanto Teorema del Residuo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; como ( ) por lo tanto no es factor de ( ).

Divisin Sinttica

+1 +5 +8 -1 0 +4

+5 +13 +12 +12

+1 +13 +12 +12 +16

Como el residuo es por lo tanto no es factor del polinomio ( ).

6) ( )

Solucin

por lo tanto

Cociente () Residuo

37

Teorema del Residuo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; como ( ) por lo tanto es factor de ( ). Divisin Sinttica Cuando se divide sintticamente entre nmeros complejos o imaginarios se deja ms espacio entre los coeficientes ya que en la segunda y tercera lnea se tienen nmeros complejos.

0

Como el residuo por lo tanto es factor de ( ).

7) Comprobar que es una raz de la ecuacin y factorizar la ecuacin. Solucin

Utilizando la divisin sinttica para comprobar que es una raz de ( )

0

Como el residuo es cero entonces es raiz de ( )

Del cociente se obtiene que las races restantes son complejas

( ) por lo que la factorizacin de la ecuacin en el campo de los nmeros racionales se expresa como:

( )( ) ( )( )

38

Graficas de funciones polinomiales Una funcin polinomial con coeficientes reales tiene como dominio todos los nmeros reales y su grfica es continua.

Si en la funcin polinomial ( ) existe un factor ( ) donde es entero y positivo y es un nmero real, entonces el comportamiento de la grfica en es el siguiente:

Si la grfica corta el eje x en y no es tangente a l en ese punto

Si es impar, la grfica es tangente al eje x en y corta el eje x en ese punto.

Si es par, la grfica es tangente al eje x en pero no corta al eje x en ese punto.

Recorrido de una funcin polinomial

En la funcin polinomial el polinomio

( )

Con coeficientes reales, si es par y el recorrido es el intervalo [ ),

donde es el valor mnimo de la funcin ( ).

Si es par y , el recorrido es el intervalo( ], donde es el valor

mximo de la funcin ( ).

Si es impar y , el recorrido es el conjunto de los nmeros reales ( ).

Si es impar y , el recorrido es el conjunto de los nmeros reales ( ).

TEOREMA DE COTAS: Si ( ) es una funcin polinomial de grado con coeficientes reales en donde el coeficiente principal es positivo. Al utilizar la

divisin sinttica para dividir ( ) entre se observa en el tercer rengln que los nmeros aparecen de la siguiente manera:

a) Si todos son positivos o ceros y , entonces es una cota superior de los ceros reales de ( ).

39

b) Si tienen signos alternados y , entonces es una cota inferior de los ceros reales de ( ).

Nota: Al nmero cero se le puede anteponer un signo ms o menos segn se requiera para la alternancia de los signos.

Si y son dos nmeros reales consecutivos, tal que ( ) y ( ) tienen signos opuestos, entonces la grfica de ( ) corta al eje x por lo menos una vez entre y . Donde la ecuacin polinomial ( ) tiene por lo menos una raz entre y La elaboracin de grficas de funciones polinomiales se simplifica cuando se usa la informacin anterior. Ejemplos

8) Trace la grfica de: ( ) Solucin Se utiliza ( ) y la divisin sinttica para obtener los valores de ( ) que corresponden al residuo ( ).

40

Un cero es ya que ( ) , los ceros restantes se localizan entre y ya que el valor de ( ) y ( ) tienen signos opuestos al igual que ( ) y ( ) La grfica de la figura 19 muestra esta funcin polinomial que tiene una cota superior en , ya que en la tercer lnea de la divisin sinttica todos los nmeros son positivos y una cota inferior en , debido a que en la tercer lnea de la divisin sinttica los signos se encuentran alternados

( )

Figura 19

9) Trace la grfica de: ( ) ( )( ) Solucin La interseccin en el eje x de ( ) es solamente en ya que los ceros de son imaginarios (figura 20).

7

7

Los ceros imaginarios no aparecen en sistema coordenado cartesiano. Los intervalos son ( ) y ( )

41

Intervalo Valor

de valor de

( ) posicin de la grfica

( ) 0 (+) ( ) Debajo del eje x

( ) 3 (+) ( ) Arriba del eje x

( ) ( )( )

Figura 20

10) Trace la grfica de: ( ) ( ) ( ) ( )

Solucin

El anlisis de los ceros de ( ) o las races de ( ) son

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

es un cero de multiplicidad 2.



6 7

x 0 2 4 6

f(x) -625 -9 9 225

42

Con los datos obtenidos se puede realizar la grfica como se muestra en la figura 21.

( ) ( ) ( ) ( )

Figura 21

Cero de

multiplicidad

par

Cero de

multiplicidad

impar

43

Actividad No. 2.2 Sopa de letras Individual-extra aula

Propsito: Relacionar conceptos con el trazado de la grfica de una funcin polinomial




1. Responder a cada una de las preguntas del cuestionario.

2. Buscar la respuesta en la sopa de letras.

3. Reporte de la sopa de letras.

CUESTIONARIO

1) Cmo se les llama a los valores que hacen que la funcin

polinomial ( ) sea cero? 2) Cmo debe de ser el grado de toda funcin polinomial adems de

ser un nmero positivo? 3) En la funcin polinomial quin nos indica el nmero de ceros?

4) Cmo se les llama a los valores de que satisfacen a la ecuacin polinomial ( ) ?

5) Teorema que se utiliza para saber si es un cero de la funcin polinomial ( )

6) Si el residuo es igual a cero al dividir ( ) ( ), qu representa en la funcin polinomial ( )?

7) Operacin que se puede usar para encontrar los ceros de una funcin polinomial

8) En el tercer rengln de la divisin sinttica, los nmeros que aparecen antes del residuo de izquierda a derecha, representan los coeficientes de quin?

9) Cundo un cero se repite se dice que el cero tiene?

10) Si la grfica es tangente al eje x en y no corta , entonces es un cero de multiplicidad?

11) Qu teorema es el que se usa para saber hasta qu valor de

dividir por divisin sinttica para trazar la grfica completa de una

funcin polinomial?

12) En la divisin sinttica si y todos los nmeros en el tercer rengln alternan en signo entonces , qu tipo de cota es de los ceros reales de ( )?

44

SOPA DE LETRAS

K P A I M A E N T E R O M S H F D B M

W B Z Y L O R D E I D A N M G J T Y Q Z

A T C B P Z S W F E N C I O N R G M N

Z E L G R A D O K U L P R T C B X G F E

M D R A E O A W L C A V K M R J C H U

U R P Q S P D V X Z O Y K T S D U O B L

L P E O I C X M C S C O A L G P U J Q

T C H Q D L C Z T Y I J T V U R W N B G

I F I N U I R R A C E O N A L E S F E C

P X H O O E F Q K D C M P L A F Z A G E

L A F I S J L X O E T G O Q I Y C U R

I N H C U B S D E L C O C I E N T E O

C U D A W H L A A C A R U E J A K O Q S

I E Q R C K M Q E S O E S D I T R H R

D G R E L E Q G Y I B J Z F Q K W B Z X

A P E P R L R F R W V O H G N X A V O J

D L P O T V E R A I C E S A L E S G Y

H A E Z B S F L B M U L T I P L I C A R

B T O J M N C P O L J I K E Y O O T D T

V D I V I S I O N S I N T E T I C A S

45

Ejercicio 2.1

Calcule ( ) de las funciones polinomiales y valores de dados; utilice el teorema del residuo.

Ejercicio Solucin

1) ( ) ( ) ( )

2) ( ) (

) ( )

, 31

Calcule el cociente y residuo al dividir la funcin polinomial dada entre el binomio que le sigue: Ejercicio Solucin

3) ( )

4) ( )

Demuestre si el binomio cx es un factor de la funcin polinomial dada. Utilice el

teorema del factor. Ejercicio Solucin

5) no es factor

6)

si es factor

Demuestre que es una raz de la ecuacin. Ejercicio Solucin

7) ( )( )( ) s es raz

8) s es raz

46

Trace las grficas de las siguientes funciones polinomiales y localice los ceros reales, utilice un software especificndolo.

9) ( ) ( )( )( )

10) ( ) ( )( )( )

11) ( )

12) ( ) ( )( ) ( )

13) ( )

14) ( ) ( ) ( ) ( )

15) ( )

47

Cero de funciones polinomiales La funcin polinomial

( )

puede expresarse de la forma:

( ) ( )( )( ) ( ) donde son los ceros de la funcin ( ).

En la funcin polinomial al nmero se le llama cero de la funcin. En la ecuacin ( ) se llama raz o solucin de la ecuacin.

Por el teorema del factor sabemos que es un factor del polinomio ( ) por lo tanto para cada factor del polinomio, existe un cero o raz de ( ). En el factor ( ) se dice que es un cero de multiplicidad y el grado de la funcin polinomial ( ) nos determina cuntos ceros contiene sta o cuantas races tiene la ecuacin polinomial ( ) .

TEOREMA: Si el nmero complejo ; es un cero de la funcin polinomial ( ) con coeficientes reales, entonces el conjugado tambin es un cero de ( ) .

TEOREMA: Si el nmero real y no es un cuadrado perfecto, es un cero de la funcin ( ) con coeficientes racionales, entonces tambin es un cero de ( ). Ejemplos

En la funcin polinomial dada diga cul es el grado, halle los ceros y diga cul es su multiplicidad

11) ( ) ( ) ( ) ( )

Solucin El grado de la funcin es la suma de los exponentes de los factores

grado= . Igualando a cero cada factor encontraremos los ceros de la funcin y el exponente de cada factor nos indica la multiplicidad. De donde: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )

48

12) ( ) ( ) ( )

Solucin

El grado de la funcin es la suma de los exponentes de los factores

grado = Igualando a cero cada factor encontraremos los ceros de la funcin y el exponente de cada factor nos indica la multiplicidad. De donde:

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )

-

Usar la divisin sinttica para comprobar que los valores de dados son ceros de la funcin polinomial ( ) y hallar los ceros restantes.

13) ( ) es un cero

Solucin

+1 +1 -2 -19 +20

+1 -1 -20

+1 -1 -20 0

Como entonces es un cero de ( ), siendo ( ) .

49

Como ( ) es una funcin cuadrtica podemos factorizar e igualar a cero para obtener as el resto de los ceros de ( )

.

( )( ) Los ceros son:

14) ( ) ; es un cero de multiplicidad 2 Solucin

+2 +1 -1 -6 +4 +8

+2 +2 -8 -8

+2 +1 +1 -4 -4 0

+2 +6 +4

+1 +3 +2 0

Como entonces es un cero de multiplicidad 2 de ( ), siendo ( ) . Como ( ) es una funcin cuadrtica podemos factorizar e igualar a cero para obtener as el resto de los ceros de f(x).

( )( )

Los ceros son:

15) ( ) es un cero Solucin

Por el teorema de los complejos conjugados tambin es un cero. Este problema lo podemos resolver de dos formas, una es multiplicar los dos factores que se obtienen de los ceros generando la cuadrtica y por medio de la divisin se encuentra el cero restante y la otra es utilizando la divisin sinttica.

50

( )( ) Por divisin

. Por divisin sinttica

0

El cociente es por lo tanto es el cero restante.

Los ceros son:

16) Determine una funcin polinomial del menor grado posible con los ceros

. Y con ( ) .

Solucin La funcin polinomial es de la forma

( ) ( )( )( ) ( ) Sustituyendo los ceros tenemos

( ) [ ( )]( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )(

)

( ) ( )

Sustituyendo ( ) y despejando [( )

( ) ( )]

51

( ) Sustituyendo este valor en la funcin

( ) ( )

( )

Determine una ecuacin polinomial del menor grado posible con coeficientes racionales que tenga las races indicadas.

17) Races:

Solucin

Tenemos las races

y cada una de ellas es un cero de ( )

y por el teorema del factor expresamos ( ) ( )( ) (

) y la

ecuacin es ( ) .

( )( ) (

)

( ) (

)

Multiplicamos por 4 ambos lados de la ecuacin obteniendo:

18) Races:

Solucin

Tenemos las races por el teorema de los complejos conjugados tambin es raz por lo que cada una de ellas es un cero de ( ) y por el teorema del factor expresamos

52

( ) ( )[ ( )][ ( )] y la ecuacin es ( ) .

( )[ ( )][ ( )] ( )( )( ) ( )( )

19) Races: Solucin

Tenemos las races por el teorema de los irracionales

conjugados es raz de ( ) y por el teorema del factor ( ) ( )[ ( )][ ( )] y la ecuacin es ( ) .

( )[ ( )][ ( )]

( )( )( )

( )( )

20) Races: de multiplicidad 2 Solucin

Tenemos las races la cual se repite dos veces y cada una de ellas es un cero de la funcin ( ) por el teorema del factor ( ) ( )( ) y la ecuacin es ( ) .

( )( ) ( )( )

53

Ejercicio 2.2

En la funcin polinomial dada, determine el grado, los ceros y la multiplicidad. Ejercicio Solucin

1) ( ) ( ) ( ) ( )

2) ( ) ( ) ( )

Dados algunos ceros de la funcin polinomial calcule los ceros restantes. Ejercicio Solucin

3) ( )

4) ( )

Determine una ecuacin polinomial del menor grado posible con coeficientes racionales que tenga las races indicadas. Ejercicio Solucin

5)

6)

7)

8)

54

Determine una funcin polinomial del menor grado posible con los ceros

Ejercicio Solucin

9) . Y con ( ) . ( )

55

Regla de los signos de Descartes Si en la ecuacin polinomial ( ) no existe el trmino independiente de , es decir , entonces se dice que tiene por lo menos una raz nula. Ejemplos Averiguar si la ecuacin dada tiene o no races nulas

21)

Solucin

Como no existe el trmino independiente de ( ), la ecuacin tiene races nulas las cuales se obtienen de la forma siguiente:

Sacaremos como factor comn la potencia menor de igualando a cero cada factor nos indica el nmero de races nulas que tiene y la ecuacin reducida que contenga las races restantes

( )

de aqu se determina que la ecuacin tiene la raz nula repetida dos veces y

es la ecuacin reducida que contiene las tres races restantes.

22) Solucin Como existe el termino independiente de ( ), la ecuacin no tiene races nulas.

Teorema (regla de los signos de Descartes)

Sea

una ecuacin polinomial con coeficientes reales y

1) El nmero de races positivas de la ecuacin ( ) es igual al nmero de variaciones de signo de ( ) , o es menor que ste en una cantidad par.

2) El nmero de races negativas de la ecuacin ( ) es igual al nmero de variaciones de signo de ( ), o es menor que ste en una cantidad par.

56

Ejemplos Hallar toda la informacin posible acerca de la naturaleza de las races de la ecuacin dada utilizando la regla de los signos de Descartes.

23) 6

Solucin

Como el trmino independiente entonces la ecuacin tiene races nulas, las cuales hay que separarlas para analizar la naturaleza de las races restantes en la ecuacin reducida.

( )

Al igualar a cero cada factor tenemos lo cual nos indica que la ecuacin tiene dos races nulas y es la ecuacin reducida que contiene las cuatro races restantes, en la cual se analiza la naturaleza de las mismas por la regla de los signos de Descartes.

( ) , entre el primer trmino y el segundo hay una variacin de signo, entre el segundo y el tercer trmino existe otra variacin, y entre el cuarto y el quinto trmino hay otra ms, por lo que tiene tres variaciones de signo. Por lo tanto la ecuacin puede tener tres races positivas o una raz positiva.

Para generar ( ) sustituiremos por en ( ) lo cual afectara solamente a los trminos de grado impar cambindoles su signo.

( ) entre el tercero y cuarto termino hay una variacin de signo por lo que tiene una variacin de signo. Por lo tanto la ecuacin tiene una raz negativa.

T N + C 6 2 3 1 0

6 2 1 1 2

T= total de races de la ecuacin N= races nulas

+= races positivas

= races negativas C= races complejas

Nota: una de estas dos opciones es la correcta, lo cual se determinar posteriormente.

57

24)

Solucin

Como el trmino independiente la ecuacin no tiene races nulas y por lo tanto aplicamos directamente la regla de los signos de Descartes.

( )

Existen dos variaciones de signo en ( ) , uno es entre el segundo y tercer trmino y el otro entre el tercero y cuarto trmino. Por lo tanto la ecuacin puede tener dos o cero races positivas.

Para obtener ( ) utilizamos la estrategia del ejemplo anterior.

( ) Entre el primero y el segundo trmino hay una variacin de signo y otra entre el cuarto y quinto trmino, por lo que tiene dos variaciones de signo. Por lo tanto la ecuacin puede tener dos o cero races negativas.

T N + C 4 0 2 2 0

4 0 0 2 2

4 0 2 0 2

4 0 0 0 4

Nota: una de estas cuatro opciones es la correcta, lo cual se determinar posteriormente.

Ceros racionales

TEOREMA: Si la fraccin

reducida a su mnima expresin es una raz racional

de la ecuacin polinomial

con coeficientes enteros o nulos pero con y entonces es un divisor exacto de y es un divisor exacto de . En la solucin de ecuaciones, aplicando el teorema de races racionales se usa como gua la regla de los signos de Descartes ya que proporciona informacin de

Las posibles races positivas, negativas, complejas y nulas.

La identificacin de las posibles races racionales. Las cuales se prueban con la divisin sinttica y cada vez que se encuentre una raz separarla y continuar con la ecuacin reducida, la ltima ecuacin reducida,

58

si existe y en base a la regla de Descartes se deduce que contiene solamente races irracionales y/o complejas. Si sta ecuacin es cuadrtica o de forma cuadrtica, se resuelve y se obtiene la totalidad de las races. Tambin apoyarse en el teorema de cotas cada vez que se pruebe una raz en la divisin sinttica, todo esto simplificar la solucin de las ecuaciones. Ejemplos Encuentre todas las races de la ecuacin dada.

25) Solucin

, por lo tanto la ecuacin no tiene races nulas. Aplicacin de la Regla de los signos de Descartes

( ) , tiene dos variaciones de signo por lo que se tiene dos o cero races positivas.

( ) , tiene dos variaciones de signo por lo que se tiene dos o cero races negativas. Posible naturaleza de las races.

T N C 4 0 2 2 0

4 0 0 2 2

4 0 2 0 2

4 0 0 0 4

Aplicacin del Teorema de ceros racionales

es un divisor exacto de , por lo tanto , mientras que es un divisor exacto de , por lo que .

Realizando las posibles combinaciones de dividir cada valor de entre los de , se obtienen las siguientes posibles races racionales.

59

Se ordenan las posibles races partiendo de las ms prximas al cero.

Empleando la informacin obtenida de la regla de los signos de Descartes se inicia probando la primer posible raz positiva ya que las posibilidades son las mismas con la negativa hacindolo despus alternadamente.

Como el residuo es cero, entonces

es una raz de la ecuacin polinomial. Se

utilizar el cociente obtenido para encontrar las tres races restantes, probando de

nuevo ya que la regla de los signos de Descartes nos indica que la ecuacin

tiene otra positiva y considerando tambin la multiplicidad de la raz encontrada como una posibilidad.

es otra raz de la ecuacin y es el cociente, del cual se obtendrn las dos races que faltan

60

Dividiendo ambos miembros de la ecuacin entre cuatro Factorizando el trinomio ( )( ) Igualando a cero cada factor Despejando de cada ecuacin Races faltantes

Las races de la ecuacin son:

26) Solucin

, por lo tanto la ecuacin tiene races nulas las cuales se separan factorizando la ecuacin e igualando a cero cada factor y la potencia nos indicar la multiplicidad de la raz cero.

( ) factor comn a la menor potencia de la ecuacin la potencia de x nos indicar la multiplicidad de la raz nula, por lo que la ecuacin tiene una raz nula.

la ecuacin reducida que contiene las races restantes. Aplicamos la regla de los signos de Descartes a la ecuacin reducida resultante

( ) tiene una variacin de signo entre el segundo y tercer trmino por lo que la ecuacin tiene una raz positiva.

( ) tiene dos variaciones de signo, uno entre el primer trmino y el segundo y otro entre el tercero y cuarto trmino por lo que la ecuacin puede tener dos o cero races negativas Posible naturaleza de las races.

T N + - C

4 1 1 2 0

4 1 1 0 2

Aplicacin del teorema de races racionales


61

Realizando las posibles combinaciones de dividir cada valor de entre los de , se obtienen las siguientes posibles races racionales:

Las posibles races ya estn ordenadas partiendo de las ms prximas al cero. Utilizando la informacin obtenida de la regla de los signos de Descartes se inicia probando la primera posible raz positiva ya que para cualquier posible naturaleza de las races, existe una raz positiva lo que quiere decir que la ecuacin tiene una raz positiva. Como la ecuacin puede tener races negativas se eligi el criterio de probarlas alternadamente.

Al observar los residuos de la divisin entre y cambian de signo lo que quiere decir que la grfica corta el eje por lo menos una vez entre esos dos nmeros racionales los cuales se encuentran dentro de la lista de posibles races racionales

por lo que se puede concluir que la raz que se encuentra entre , es una raz irracional. As entonces la raz que se encuentra es una raz irracional

es una raz racional de la ecuacin, es la ecuacin reducida, de donde se obtienen las dos races que faltan, esta cuadrtica la podemos resolver por factorizacin o por despeje. Factorizacin

factorizando

( )( ) Igualando cada factor a cero

Despejando los valores de

stas son las dos races que faltaban y son las irracionales que observamos en la divisin sinttica.

62

Despeje

despejando aplicando raz a ambos lados


27)

6

Solucin Primero se multiplica la ecuacin por tres para que los coeficientes sean enteros

, por lo tanto la ecuacin no tiene races nulas

( ) tiene tres variaciones de signo por lo que la ecuacin tiene tres races positivas o tiene una raz positiva

( ) Tiene una variacin de signo por lo que la ecuacin tiene una raz negativa Posible naturaleza de las races

T N C 4 0 3 1 0

4 0 1 1 2


Realizando las posibles combinaciones de dividir cada valor de entre los de , se obtiene siguientes posibles races racionales:

6

63

Se ordenan las posibles races partiendo de las ms prximas al cero

6

Utilizando la informacin obtenida de la regla de los signos de Descartes se inicia probando la primer posible raz positiva ya que se tiene una raz negativa y por lo menos una raz positiva. Se eligi el criterio de probarlas alternadamente.

Como el residuo es cero entonces

es una raz racional de la ecuacin, se

sigue con la ecuacin reducida para buscar las tres races restantes intentando

otra vez con positivo porque la regla de los signos de Descartes nos dice que

hay ms posibilidades de obtener races positivas y en la divisin sinttica en la tercera lnea no todos son positivos, se busca primero multiplicidad.

64

Al dividir entre se tienen los signos positivos en la tercer lnea, lo que nos indica que la naturaleza de las races de la ecuacin son

es otra raz racional de la ecuacin y es la ecuacin reducida de la cual se obtendrn las dos races que faltan

Dividiendo la ecuacin entre tres

Utilizando frmula general

Races faltantes


Encontrar todas las races racionales

28) Solucin

, por lo tanto la ecuacin no tiene races nulas ( ) no tiene variaciones de signo por lo que la ecuacin no tiene races positivas

( ) tiene cinco variaciones de signo por lo que la ecuacin tiene cinco, tres o una races negativas Regla de los signos de Descartes

T N C 5 0 0 5 0

5 0 0 3 2

5 0 0 1 4

4 0 1 1 2

65


Realizando las posibles combinaciones de dividir cada valor de entre los de , se obtienen las siguientes posibles races racionales y eliminando las positivas ya que la ecuacin no tiene races positivas.

Las posibles races se ordenan de manera ms prxima al cero. Tomando como base la informacin obtenida en la regla de los signos de Descartes, se inicia tomando la primera posible raz negativa.

0

Como el residuo es cero entonces es una raz de la ecuacin, se contina probando el resto de las posibles races racionales con el cociente reducido y se

considera probar multiplicidad para .

66

Los signos alternados en la tercer lnea al dividir , indica que la ecuacin no tiene races negativas menores que 10, al encontrar slo una raz racional negativa , la regla de Descartes muestra que las races restantes que tiene la ecuacin son cuatro races complejas. Problema de Aplicacin 29) El campo magntico se encuentra delimitado por una regin en forma de una

caja rectangular con dimensiones de 6, 8 y 12 m respectivamente. Si cada una de estas dimensiones disminuye en la misma cantidad, el volumen de la

regin que delimita el campo magntico disminuye en 441 , calcular esta cantidad.

Solucin

( )( )( )

( )( )( )

( )

3 o 1 races +

( )

0 races negativas

Por Descartes:

T N + - C

3 0 3 0 0

3 0 1 0 2

67

Con -23 -147=0 los valores restantes de resultan nmeros complejos. Por Descartes se cumple:

T N + - C

3 0 1 0 2

La cantidad a disminuir es de 3m. Si se usa algn programa computacional como el DERIVE para resolver la

ecuacin -26 +216 -441=0, se introduce en el rengln de edicin -26 +216 -441=0, se selecciona el icono que si se coloca el cursor sobre l indica resolver o despejar, se selecciona, surge una ventana y se elige, resolver, se muestra la solucin sombreada, en seguida

selecciona el icono (aproximar), resultando:

,

Se deduce que la cantidad a disminuir es de 3m.

=3

68

Actividad No. 2.3 Integradora Individual-extra aula

Propsito: Resolver problemas de ingeniera aplicando funciones polinomiales.




1. Un fabricante produce cajas abiertas con un volumen de 64m3 con piezas

metlicas de 12 por 8 metros de lado, cortando un cuadrado de por en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Cul es la longitud del lado de cada uno de los cuadrados que corta en las esquinas?

2. Reporte de la actividad resuelta correctamente

x

12

8

x

69

Ejercicio 2.3 Encuentre todas las races de la ecuacin dada.

Ejercicio Solucin

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) 8) Hallar las races racionales de la ecuacin dada. Ejercicio Solucin

9) 03432234 xxxx No tiene races racionales

10)

11) No tiene races racionales

12) Resolver los problemas siguientes utilizando:

a) los conceptos del captulo b) un programa computacional como el DERIVE

13) Un campo magntico est delimitado por una regin en forma de una caja

rectangular con dimensiones de 3, 5 y 7m respectivamente. Si cada una de estas dimensiones se aumenta en la misma cantidad, el volumen de la regin que delimita el campo magntico se triplica, calcular esta cantidad.

Solucin: Cantidad que se aumenta 14) En un circuito se conectan tres resistencias en paralelo. La segunda

resistencia es 2 mayor que la primera y la tercera es 1 mayor que la

primera. La resistencia total de la combinacin es 1.5. Para hallar la primer resistencia R se debe resolver.

Hallar los valores de las resistencias.

Solucin:

70

Solucin

SOPA DE LETRAS

K P A I M A E N T E R O M S H F D B M

W B Z Y L O R D E I D A N M G J T Y Q Z

A T C B P Z S W F E N C I O N R G M N

Z E L G R A D O K U L P R T C B X G F E

M D R A E O A W L C A V K M R J C H U

U R P Q S P D V X Z O Y K T S D U O B L

L P E O I C X M C S C O A L G P U J Q

T C H Q D L C Z T Y I J T V U R W N B G

I F I N U I R R A C E O N A L E S F E C

P X H O O E F Q K D C M P L A F Z A G E

L A F I S J L X O E T G O Q I Y C U R

I N H C U B S D E L C O C I E N T E O

C U D A W H L A A C A R U E J A K O Q S

I E Q R C K M Q E S O E S D I T R H R

D G R E L E Q G Y I B J Z F Q K W B Z X

A P E P R L R F R W V O H G N X A V O J

D L P O T V E R A I C E S A L E S G Y

H A E Z B S F L B M U L T I P L I C A R

B T O J M N C P O L J I K E Y O O T D T

V D I V I S I O N S I N T E T I C A S

71

Unidad temtica 3: Matrices y Determinantes

Competencia particular: Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de matrices y determinantes para aplicarlos en la solucin de problemas de ingeniera y justificar el mtodo seleccionado.

Subtema: Tipos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Elemento de competencia: Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Conocimiento previo: Resolucin de sistemas lineales por suma y resta.

72

Actividad No. 3.1 Tu sistema es compatible?

Individual-extra aula

Propsito: Identificar si los sistemas de ecuaciones lineales tienen o no solucin.




1. Resolver el sistema dado:

2. Resolver el sistema dado:

3. Reporte de los sistemas resueltos correctamente.

73

En esta unidad temtica resolveremos sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes y matrices, as como el lgebra matricial y la matriz inversa. Definicin de Matriz: Es un arreglo rectangular de ) nmeros llamados elementos ordenados en filas (renglones) y columnas los cuales representaremos agrupndolos en corchetes.

[

]

Nota: El orden o tamao de una matriz se le denota como .

Ejemplo 1) Determine cul es el orden de la siguiente matriz.

[

]

Solucin La matriz tiene dos filas y tres columnas por lo tanto el de la matriz es

Igualdad de matrices Para que dos matrices sean iguales el orden de ellas debe ser igual as como cada elemento de una de ellas es igual al elemento correspondiente de la otra.

Ejemplos

2) Dadas las matrices [

]

y [

]

demostrar

que son iguales. Solucin

El orden de las dos matrices son iguales de y comparando cada elemento correspondiente de la matriz con los de la matriz tenemos:

74

Todos los elementos correspondientes son iguales por lo tanto la dos matrices son iguales.

3) Dada la igualdad de las siguientes matrices, determinar los valores de

.

[

]

[

]

Solucin El orden de las matrices son iguales y sus elementos correspondientes tambin deben ser iguales por lo que tenemos:

Matriz transpuesta

La matriz que se obtiene al intercambiar filas por columnas correspondientes (o columnas por filas) de una matriz dada se le llama matriz transpuesta y se representa colocndole el exponente T mayscula a la literal que denotamos a

la matriz dada, tal que si es una matriz de orden entonces su transpuesta

cambia de orden ( .

Ejemplo Determinar la matriz transpuesta de la matriz dada.

4) [

]

Solucin

Intercambiando las filas de la matriz dada por sus columnas correspondientes

(o viceversa) se obtiene la matriz transpuesta

[

]

75

Matriz Identidad

Es una matriz cuadrada de orden cuyos elementos de la diagonal principal son unos y el resto son ceros, denotndose con la literal .

[

] [

]

Matriz nula

Es una matriz cuyos elementos son ceros.

[

]

Suma y Resta de Matrices

Para sumar o restar matrices el orden de cada una ellas debe de ser igual obtenindose otra matriz del mismo orden cuyos elementos estn formados por la suma o la resta de los elementos correspondientes de las matrices a sumar o restar, tal que si:

[

] [

]

[

]

Para obtener,

[

] [

]

[

]

[

]

Para obtener,

[

] [

] [

]

[

]

76

Ejemplos

5) Sumar las matrices dadas

[

]

[

]

Solucin Aplicando la metodologa para sumar matrices se tiene:

[

]

[

]

[

]

[

]

6) Restar las matrices dadas

[

] [

]

Solucin Aplicando la metodologa para restar matrices se tiene:

[

]

[

]

[

]

[

]

77

7) Sumar la matriz y Solucin Aplicando la metodologa para sumar matrices se tiene:

[

]

[

] [

]

Nota: La suma o resta de una matriz con su correspondiente matriz nula es igual a la matriz dada. Multiplicacin de una matriz por un escalar

El producto de un nmero llamado escalar por una matriz es la matriz del mismo orden que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz por el

escalar. Si [

]

entonces la matriz que se obtiene al

multiplicar por es:

[

]

Ejemplo

8) Multiplicar la matriz dada por el escalar .

[

]

Solucin

Se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar .

[

] [

]

[

]

78

Si es una matriz y al multiplicar , se multiplica cada elemento de la matriz por , lo que da como resultado el negativo de la matriz , . Multiplicacin de matrices

Para efectuar la multiplicacin de dos matrices es necesario que el nmero de columnas de la primera matriz sea igual al nmero de filas de la segunda matriz , en donde la matriz resultante tiene el nmero de filas de la primera matriz y el nmero de columnas de la segunda matriz . Por lo que si la matriz es de orden y de entonces la matriz resulta del orden .

La metodologa para efectuar la multiplicacin consiste en que el elemento (fila i y columna j) de la matriz resultante es igual a

la suma de los productos de los elementos correspondientes de la fila de la matriz por la columna de la matriz .

Si [

] y [

]

entonces su producto es:

[

] [

]

[

]

[

]

En donde los elementos de la matriz resultante son:

Nota: De la situacin anterior si se conmutan las matrices como resultar de este producto una matriz distinta de orden , comprobando que el producto de dos matrices no es conmutativo.

79

Ejemplos Dadas las matrices

[ ] [

]

[

]

9) Efectuar el producto . Solucin

Como el nmero de columnas de la matriz es igual al nmero de filas de la matriz , se puede efectuar el producto, obteniendo una matriz resultante con el nmero de filas de y columnas de

La matriz resultante se obtiene como sigue

[ ] [

]

[ ]

Para obtener se multiplica cada elemento de la primer fila de por los elementos correspondientes de la primer columna de , sumando estos productos, se genera as el elemento de la primer fila y primer columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la primer fila de por los elementos correspondientes de la segunda columna de , sumando estos productos, se genera as el elemento de la primer fila y segunda columna de la matriz resultante.

Con lo anterior se obtiene la matriz resultante:

[ ]

80

10) Efectuar el producto Solucin

Como el nmero de columnas de la matriz es igual al nmero de filas de la matriz se puede efectuar el producto, una matriz resultante con el numero de filas de y columnas de .

La matriz resultante se obtiene como sigue

[

]

[

] [

]

Para obtener se multiplica cada elemento de la primer fila de por los elementos correspondientes de la primer columna de , sumando estos productos, se genera as el elemento de la primer fila y primer columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la primer fila de por los elementos correspondientes de la segunda columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la primer fila y segunda columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la primer fila de por los elementos correspondientes de la tercer columna de , sumando estos productos, se genera as el elemento de la primer fila y tercer columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la segunda fila de por los elementos correspondientes de la primer columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la segunda fila y primer columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la segunda fila de por los elementos correspondientes de la segunda columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la segunda fila y segunda columna de la matriz resultante.

81

Para obtener se multiplican los elementos de la segunda fila de por los elementos correspondientes de la tercer columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la segunda fila y tercer columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la tercer fila de por los elementos correspondientes de la primer columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la tercer fila y primer columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la tercer fila de por los elementos correspondientes de la segunda columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la tercer fila y segunda columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la tercer fila de por los elementos correspondientes de la tercer columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la tercer fila y tercer columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la cuarta fila de por los elementos correspondientes de la primer columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la cuarta fila y primer columna de la matriz resultante.

Para obtener se multiplican los elementos de la cuarta fila de por los elementos correspondientes de la segunda columna de B, sumando estos productos, se genera as el elemento de la cuarta

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Problem a Rio Algebra 2014