Problema 1

Um bloco com 35 kg está apoiado pelo conjunto de molas tal como

visualizado na figura ao lado. O bloco é deslocado verticalmente para

baixo e em seguida libertado. Sabendo que a amplitude do movimento

resultante é de 45 mm,

a) Calcule o período e a frequência (cíclica) do movimento;

b) Calcule a velocidade e a aceleração máxima do bloco;

c) Esboce o andamento do deslocamento, velocidade e

aceleração em função do tempo.

Considere k1 = 16 kN/m, k2 = k3 = 8 kN/m.

Solução: a) 0,21sT , 4,81Hzf ; b) max 1,36m/sv , 2

max 41,14m/sa

Problema 2

Sabe-se da resistência de materiais que quando uma carga

estática P é aplicada na extremidade B de uma viga

encastrada (consola) com secção transversal uniforme,

provoca um deslocamento u = PL3/(3EI), em que L é o

comprimento da viga, E o módulo de elasticidade do material

e I o momento de inércia da secção transversal. Sabendo que

L = 3.05 m, E = 200 GPa e I = 4.84 × 10-6 m4, determine:

a) a constante de rigidez equivalente da viga;

b) a frequência das vibrações verticais de um bloco com 2313 N ligado à extremidade B da

mesma viga. Despreze a massa da viga e considere que o bloco permanece em contacto

com a viga. Use g=9,81m/s2.

Solução: a) 102,35kN/meqk , b) 3,32Hzf

Problema 3

Um cursor com 5 kg repousa sobre uma mola, não estando ligado a ela. Observa-se que, se

o cursor for empurrado para baixo 180 mm ou mais, perde o contacto com a mola depois de

libertado. Determine:

a) a constante de rigidez da mola;

b) a posição, a velocidade e a aceleração do cursor, 0.16 s após ter sido empurrado para

baixo 180 mm e, depois, libertado. Use g=9,81m/s2.

Solução: a) 272,5N/mk ; b) 0,068mu , 1,23m/su , 23,73m/su

Problema 4

Considere a estrutura composta por duas

barras indeformáveis com uma massa por

unidade de comprimento ρ, um amortecedor e

duas molas.

a) Para pequenas oscilações, escreva a

equação do movimento. b) Qual valor do coeficiente de amortecimento,

c, que assegura amortecimento crítico do

sistema?

Solução: a) 3 3 0Lu cu ku

b) 6crc c kL

L

L3

2

L

L3

1

c

k

2 k

Problema 5

O cursor de massa m e dimensões desprezáveis, está ligado a barra

de massa m e comprimento L assim como se mostra na figura.

Determine:

a) a distância b para a qual a frequência das pequenas oscilações do

sistema é máxima;

b) o valor desta frequência circular máxima.

Solução: 0,264b L , 1,377n

g

L

Problema 6 Admitindo que não há escorregamento entre o fio inextensível e o disco

de massa M, determine a frequência circular das pequenas vibrações do

sistema representado. Use as equações de movimento e confirme o

resultado pela conservação da energia mecânica.

Solução: 2

3 8n

k

M m

Problema 7

O cilindro de massa m e raio r rola sem escorregar numa superfície de

raio R. Determine a frequência circular das pequenas oscilações do

sistema. Use as equações de movimento e confirme o resultado pela

conservação da energia mecânica.

Solução:

2

3n

g

R r

Problema 8

Um cilindro de massa m e raio r está suspenso por um laço de corda,

conforme mostrado. Uma extremidade da corda está presa directamente a

um suporte rígido, enquanto a outra extremidade está presa a uma mola

de constante k. Determine a frequência circular natural das vibrações do

cilindro.

Solução: 8

3n

k

m

Problema 9

Para a figura ao lado, considerando que a barra tem

uma massa uniformemente distribuída de m=6kg, a

massa concentrada é mD=4kg, e a rigidez das molas

é k=10N/m, determine a equação canónica do

movimento para a vibração pequena rotacional e

linear em função do deslocamento u. Considere que

a estrutura está em equilíbrio na posição apresentada

Solução: 3,84 10 0 ; 6 15,625 0u u

0.8m

U

0.8m

U

0,6m 0, 2m

Problema 10

Considere o sistema mecânico representado na

figura, composto por uma massa concentrada

M=5kg e uma barra rígida de comprimento L=5m

e de massa total m. A rigidez das molas é

k1=500N/m e k2=250N/m, respectivamente.

a) Determine a massa da barra, m, de modo a que a

frequência circular própria da estrutura seja de

10rad/s

b) Impondo num determinado instante um

deslocamento horizontal, u0 no topo da barra para a

direita (e velocidade inicial nula), qual o

deslocamento na outra extremidade da barra após

1s.

Solução:

a) m=0,548kg

b) 00,28u

Problema 11

O sistema representado na figura consiste numa barra rígida,

apoiada num ponto fixo em D, ligada a molas em B e C e a

um amortecedor em A. A massa total da barra é 5kg e está

uniformemente distribuída no seu comprimento. A massa no

ponto E vale 10kg e tem o raio desprezável. Os outros

valores são: c=20Ns/m, k1=800N/m, k2=500N/m,

k3=700N/m.

a) Determine a equação de movimento do sistema para

pequenas oscilações;

b) Calcule a frequência circular das vibrações não-

amortecidas e amortecidas.

Use g=9,81m/s2.

Solução: a) 0,867 7,2 157,01 0 ;

b) 13,46rad/sn , 12,80rad/sa

Problema 12

Considere as estruturas da figura ao lado composta por duas

barras a vibrar com pequenas oscilações. Cada barra tem a massa

m e comprimento L. Sabe-se que a posição das barras na

horizontal corresponde à posição de equilíbrio estático. Calcule a

frequência natural de vibração.

Solução: 3

2n

k

m (acima);

3

4n

k

m (abaixo);

A

B

E

D

C1k2k

3k

c

1k2

2

2

2

dm

k1

k2

3L/4

L/4

M

Problema 13

Os discos A e B, cada um com massa m=800g

e raio R=60mm, estão ligados à extremidade

de uma barra de massa desprezável. A barra

está ligada ainda a uma mola de rigidez

k=200N/m e a um amortecedor de constante

de amortecimento c=20N.s/m e está dobrada

como se mostra na figura. O sistema pode

oscilar em torno do pino O sem atrito.

Sabendo que a posição representada é a

posição de equilíbrio estático do sistema e

admitindo que o centro de massa do disco A é

deslocado para baixo u0=0.02m e em seguida

libertado, determine:

a) a posição inicial sem massas;

b) o período das pequenas oscilações do sistema, não-amortecido e amortecido;

c) o factor de amortecimento do sistema;

d) o deslocamento horizontal do centro de massa do bloco B, t=0.5s após o início do

movimento (valor e sentido).

e) condição que assegura o equilíbrio estável;

Considere L1=0.3m, L2=0.8m, L3=0.5m, L4=0.3m.

Use g=9,81m/s2

Solução:

a) 0,067 3,86ºest rad (horário)

b) 0,69nT s , 0,71aT s

c) 18,61%

d) 2,76Bu mm

e) 2

, 2 3 4 0eqk kL mg L L

Problema 14

A barra uniforme AB com 8 kg está articulada em C e

ligada em A a uma mola de constante de rigidez k =

500 N/m. Determine:

a) a posição de um amortecedor de coeficiente de

amortecimento c=60N.s/m para obter a vibração com o

amortecimento crítico;

b) admitindo que a barra foi libertada na posição de

ângulo de 8º no sentido horário, calcule o ângulo em

t=0.2s.

Considere L = 250 mm e d = 40 mm.

Use g=9,81m/s2

Solução:

a) 0,159m (medido a partir de C para cima)

b) 13,870,140 1,936 tt t e , 0,2 0,0329 1,885ºt rad (horário)

Problema 15

O sistema representado na figura consiste numa barra rígida, apoiada num ponto fixo em O,

ligada a uma mola e a um amortecedor. A massa total mB = 2kg do troço OB está

uniformemente distribuída no seu comprimento. Os troços AO e BC não possuem massa

estando uma placa circular de massa mC = 1kg ligada rigidamente ao ponto C. Sabendo que

L = 3m, k = 800N/m e c = 200Ns/m, determine:

a) O deslocamento estático da mola;

b) A equação de movimento do sistema

para pequenas oscilações. Adopte o

ângulo θ de rotação da barra em torno do

ponto O como coordenada generalizada;

c) A frequência circular das vibrações

amortecidas ωa e o factor de

amortecimento do sistema ζ.

Use g=10m/s2

Solução: a) 1

m=3,33cm30

estu ,

b) 15,63 450 4042,5 0 ,

c) 16,08rad/sn , 0,9

Problema 16

Para a estrutura ao lado escreva a equação canónica de

vibração livre em função do deslocamento horizontal.

(Considere o efeito do peso, use g=9,81m/s2)

Solução: 15 200 877,375 0u u u

Problema 17

Considere a estrutura da figura ao lado. Admita

que apenas a barra inclinada tem a massa não

desprezável. Escreva a equação canónica de

vibração livre. Qual é a condição necessária?

Dados: 3kNmk , 0,2kNs/mc ,

10kg/m , use 210m/sg

Solução:

1588 5000 657 0

com a condição que

3 0k mg

,m L

c

k

5m 5m

Problema 18

Considere a estrutura na figura ao lado.

Assuma que a massa da barra é 5 kg/m e

que o disco tem a massa mD=2kg e raio

desprezável. Assuma que a posição horizontal

é a posição do equilíbrio estático e determine a

equação canónica de vibração rotacional.

Assuma ainda que a vibração inicia-se pelo

ângulo inicial 10º no sentido horário e a

velocidade angular nula. Determine a função

t para os seguintes valores de coeficiente

de amortecimento:

a) c=5Ns/m

b) c=42,4264Ns/m

c) c=50Ns/m

Solução:

10,125 225 0eqt c t t , 4,71rad/sn , 95,46Nsmcrc

a) 11,25Nsmeqc , 0,11785 , amortecimento subcrítico:

0,55560,0207sin 4,6812 0,1745cos 4,6812 tt t t e ou

0,55560,1758 sin 4,6812 1,4527tt e t (verde)

b) 95,46eqc Nsm , 1 , amortecimento crítico: 4,71400,1745 0,8228 tt t e

(vermelho)

c) 112,5eqc Nsm , 1,1785 , amortecimento supercrítico:

8,4953 2,61580,0777 0,2522t tt e e (violeto)

)c

)b

)a

A

100 /k N m

1,5L m

c

Problema 19

Considere a estrutura a seguir representada. Assuma

que a massa da barra AE é 2kg/m, os troços CF e EG

têm a massa desprezável, as massas concentradas

têm o raio desprezável e valores mF =4kg e mG =8kg

e a mola tem constante k=5kN/m. Assuma que a

posição horizontal é a posição do equilíbrio estático,

use g=9,81m/s2 e calcule:

a) a força elástica da mola correspondente a esta

posição.

Assumindo pequenos deslocamentos, calcule ainda:

b) a frequência natural circular;

Deslocando a extremidade A para baixo pelos 2mm e libertando, calcule ainda:

c) a amplitude de vibração livre;

d) a fase de vibração livre.

Deixando as condições iniciais definidas acima, assuma ainda em A aplicação de uma força

harmónica de forma 100sin(20t) (N), que actua no sentido para baixo. Resolva a vibração

subsequente.

Solução:

a) N82,215Fe , b) s/rad89,12n , c) rad001,0A , d) 2/

e) 310t20sin78,1t89,12sin76,2t89,12cost (anti-horário)

Verde - vibração livre, alíneas c) e d)

Restantes curvas pertencem à alínea e):

Azul – solução particular

Castanha – solução homogénea

Vermelha – solução total

A B EDC

k

F G

m2 m2 m2 m2

m5,1

Problema 20

Um pequeno reboque e o barco possuem a massa total de 250 kg. O reboque está apoiado

em duas molas, cada uma com 10 kN/m e desloca-se ao longo de uma estrada cuja

superfície se pode aproximar a uma curva sinusoidal com uma amplitude de 40 mm e um

comprimento de onda de 5 m. Determine:

a) a velocidade para a qual ocorre a

ressonância;

b) a amplitude da vibração do reboque à

velocidade de 50 km/h (parte natural e

parte forçada, na sua versão total).

c) admita o amortecimento de 5%, calcule a amplitude e a faze da vibração estacionária

Solução: a) vres=25,62km/h;

b) 0,0142mUtA , 0,0278mHtA ; c) 0,0145mUtA , 165ºUt

b) gráficos (comprimento fictício das molas 0.1)

bu

bu

Ptu

Htu

Pu

Hu

c) gráfico (comprimento fictício das molas 0.1)

Problema 21

Um motor com 180 kg está fixo a uma viga horizontal de massa desprezável. O

desequilíbrio do rotor é equivalente a uma massa de 28 g situada a uma distância de 150

mm do eixo de rotação, e a deformação estática da viga devida ao peso do motor é igual a

12 mm. A amplitude de vibração devida ao desequilíbrio pode ser atenuada através da

adição de uma placa à base do motor. Se a amplitude de vibração em regime estacionário

tiver que ser menor que 60 μm para velocidades do motor acima de 300 rpm, determine a

massa necessária da placa.

Solução: mp=39,01kg

bu

tuu

bu

Ptu

Problema 22

Escreva na forma canónica a equação de

movimento que rege as pequenas oscilações da

estrutura na figura ao lado com um grau de

liberdade. Use o ângulo da rotação no lugar da

variável. Admita que a posição representada

corresponde à situação de equilíbrio estático e

que as barras têm uma massa de 3kg/m.

Use g=10m/s2

Solução: 294 800 15400 0

Problema 23

Considere a estrutura na figura ao lado.

Assuma que a massa da barra é ρ kg/m e que o

disco tem a massa mD e raio rD e a mola tem

constante de rigidez k. Assuma que a posição

horizontal é a posição do equilíbrio estático e

determine a equação canónica de vibração

pequena rotacional.

Solução: 2 210

2A DI kL m gH gH

, quando 2 21

02

DkL m gH gH

onde 2

3 3 2 2 2 22 1 1

3 12 4 2A D D D

HI L H H L m r m L H

Problema 24

O sistema representado na figura consiste

de uma barra rígida, apoiada num ponto

fixo em B, ligada a um conjunto de molas e

a um amortecedor (c=200Ns/m,

k1=800N/m, k2=500N/m, k3=700N/m).

O troço DE não possui massa estando uma placa circular de massa mE ligada rigidamente

ao ponto E. A viga AD tem massa de 0,5kg/m. Os troços AB, BC, CD e DE têm

comprimentos de 0,2m, 0,8m, 0,2m e 0,3m, respectivamente.

Considere g=9,81m/s2 e determine:

a) a massa E para a frequência natural não-amortecida do sistema seja 2Hz;

b) a equação de movimento do sistema para pequenas oscilações;

c) a deformação estática do conjunto das molas que corresponde à posição de equilíbrio;

d) a frequência das vibrações amortecidas;

e) a posição do ponto D em 0,5 segundos, assumindo que o início do movimento foi dado

pelo deslocamento do ponto E de 2cm para baixo e depois libertado.

Solução: a) 1,66kgEm ; b) 1,98 8 312,1 0 ; c) 0,049mestu ; d) 12,4rad/sa ;

e) 7,15mmDu

A B

E

DC

1k

2k 3k

c

A

k

L L

,D Dr m

H

Problema 25

Considere um sistema mecânico com uma rigidez de 160N/m, uma massa de 10kg e um

coeficiente de amortecimento de 25%. Este sistema encontra-se a vibrar com pequenas

oscilações devido à acção de uma força: 0,4sin(3 )P t t (unidade das forças em N).

Sabendo que no instante inicial (t=0s) o corpo encontrava-se na posição de equilíbrio

estático e em repouso:

a) Escreva a solução da equação do movimento deste problema.

b) Determine a aceleração do sistema para o instante inicial.

c) Altere a massa da estrutura de maneira a que o sistema entre em ressonância.

Solução: a) 31,82sin 3,87 2,82cos 3,87 3,29sin 3 2,82cos(3 ) 10tu t e t t t t

b) 0 0u , c) 17,78kgm

Problema 26

A barra AC de peso 5,56 N possui duas massas nas suas

extremidades, a massa A de peso 3,9 N e a massa C de peso 2,78 N.

Determine, através do princípio da conservação da energia mecânica,

o período de vibração do conjunto.

Use g=9,81m/s2

Solução: Tn=1.84s

Problema 27

Duas barras uniformes, cada de peso 5.34 N e comprimento 203 mm,

estão soldadas entre si de modo a formar o conjunto mostrado. Sabendo

que a mola tem rigidez k igual a 105 N/m e que a extremidade A sofre

um pequeno deslocamento e é depois libertada, determine a frequência

(cíclica) do movimento oscilatório através do princípio da conservação

da energia mecânica. Use g=9,81m/s2

Solução: fn=2,1Hz

Problema 28

Partindo da rigidez elementar das molas, determine a rigidez equivalente das mesmas agora

combinadas e escreva a equação do movimento do sistema mola-massa mostrados nas três

situações abaixo.

Solução: 1) 1 2mu k k u P t ; 2) 1 2

1 2

k kmu u P t

k k

; 3)

3 1 2

1 2 3

k k kmu u P t

k k k

Problema 29

O sistema seguinte consiste numa barra rígida de massa total, m1, (distribuída

uniformemente ao longo do seu comprimento), apoiada num ponto fixo e numa mola de

constante k. Numa das extremidades encontra-se uma massa de raio desprezável, m2.

Calcule a frequência de vibração do sistema para pequenas oscilações. Escreva a equação

que rege a vibração em função do ângulo θ. Assuma, que a posição tracejada (horizontal)

corresponde à posição do equilíbrio estático.

Solução:

2

2 2

1 2

1 30

3 4m l m l k l

Problema 30

Determine a frequência circular de vibração

(admitindo pequenos deslocamentos) do sistema

da figura abaixo, constituído por duas massas

ligadas por uma barra rígida de massa

desprezável. Na situação de equilíbrio estático a

barra encontra-se na horizontal.

Solução: 2 2

1 1 2 2

n

k

m l m l

Problema 31

O sistema representado consiste numa chapa

rígida, rectangular, com densidade ρ e espessura

constante e, apoiada num ponto fixo e suportada

por uma mola de constante k. Calcule a

frequência circular de vibração do sistema para

pequenos deslocamentos. Assuma, que a posição

tracejada corresponde à posição do equilíbrio

estático.

Solução:

2

2 2

3 2

2n

kb mgh

m a b

, onde m abe

1l2l

Problema 32

O sistema seguinte consiste numa massa, m, suportada por uma

barra rígida (de massa desprezável) ligada a um apoio por

intermédio de uma mola de rotação de constante kθ. Determine a

frequência circular de vibração do sistema admitindo pequenos

deslocamentos. Assuma, que a mola indeformada assegura a

barra (sem a massa colocada) na posição vertical. No entanto a

posição de equilíbrio estático com a massa colocada já não é

vertical. Certifique que neste caso é preciso de considerar o peso

da massa. Calcule com o pressuposto que o ângulo que

corresponde ao equilíbrio estático não se pode considerar

pequeno.

Solução: 2

cos estn

k mgl

ml

Problema 33

Considere a estrutura abaixo indicada, actuada no grau de liberdade q por uma força

excitadora harmónica F. Determine a força máxima na mola no regime estacionário.

Calcule também o tempo necessário para se poder a resposta total considerar estacionária.

Considere que a resposta natural considera-se desprezável quando a sua amplitude não

ultrapasse 5% da amplitude da resposta estacionária.

F(t) = 25×sin(20t)

[kN]

ζ = 0.05

kmola = 50 kN/m

EI = 2500 kNm2

M = 10 ton

Nota: 3

max48

PLu

EI é deslocamento no meio da viga simplesmente apoiada provocado pela

força P aplicada no mesmo lugar.

Solução: ,max 326,3NeF , t=22,2s