Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema I (6 val.) Página I.1 Considere o problema da determinação da deformada de uma viga, encastrada nas duas extremidades, e sujeita ao carregamento esquematizado na figura:

L/3 L/3 L/3

qP P

L/3 L/3 L/3

qP P

As equações diferenciais que governam a flexão desta viga elástica são dadas por:

2 2

2 2

( )( ) , , 0d M d w M xq x x Ldx dx EI

= = < <

em que q(x) é o carregamento uniforme, w(x) a deformada da viga, M(x) o momento flector, E o módulo de Young e I o momento de inércia. 1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando as classes de funções teste e

tentativa admissíveis (2.5 val.). 2. Diga, justificando, se para este problema há vantagem em recorrer a transformações de

coordenadas para o cálculo das componentes da matriz dos coeficientes e do vector dos termos independentes (2 val.).

3. Considere a resolução de um problema semelhante, com a viga apoiada nas duas

extremidades, através de um programa comercial. Suponha que na resolução do problema se utilizaram duas malhas uniformes, uma com n elementos e outra com 2n elementos, conduzindo a valores da norma quadrática media do erro da rotação de 2x10-3 e 0.5x10-3 respectivamente. Diga, justificando, qual o tipo de elementos utilizados (1.5 val.).

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema II (7 val.) Página II.1 Considere a estrutura de espessura t = 1 cm, em tensão plana, modelada com dois elementos de 8 nós e com uma força distribuída P=3KNcm-2 como indica a figura,

1 2 3 4 5

6 7 8

9 10 11 12 13

4 cm 4 cm

2 cm P = 3 KNcm-2

1. Indique quais as condições de fronteira essenciais do problema (1 val).

2. Determine o vector de forças do problema. Indique todos os cálculos necessário à sua determinação (2 val).

3. Determine o padrão de esparsidade da matriz de rigidez, indicando com X os elementos não nulos. Calcule a semi-largura de banda da matriz (2 val).

4. Renumere os nós de modo a minimizar a largura de banda. Calcule a nova semi-largura de banda (2 val).

Problema III (7 val.) Página III.1 Considere a seguinte equação diferencial:

. 600u ut

∂= ∇∇ +

∂

com a condição de fronteira: u=0 em δΩ1 e a condição inicial: u=0 para t=0. Pretende-se resolver este problema com o método dos elementos finitos numa malha com 4 elementos triangulares.

1

2

3

4

5

1

2

3

4 2

21

2

3

4

5

1

2

3

4 2

2

1- Construa a matriz da conectividade do problema definindo claramente o elemento de referência que utilizou. (1.5 val)

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

2- Determine a matriz da condutividade, kij, e o vector de fontes, fi para o elemento de referência. (2 val)

3- Determine o valor máximo que u pode atingir no domínio e o local em que se verifica. (1.5 val)

4- Utilizando o método explícito e um único passo no tempo determine o tempo que u leva a atingir metade do valor máximo. (2 val)

2 1 1

1 1 2 124

1 1 2

eijC

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

para o elemento 1

Nota: se não resolveu a alínea 3 admita que umax=60 Problema I (5 val.) Página I.1 Uma parede de espessura 0.1m e de condutibilidade 1250k Wm K−= , separa dois meios a temperaturas 1 100oT C∞ = e 2 50oT C∞ = (ver figura). Os coeficientes de convecção são

2 11 2000h Wm K− −= e 2 1

2 5000h Wm K− −= , respectivamente. A distribuição de temperaturas na parede, em regime estacionário, pode ser obtida pela resolução do seguinte problema unidimensional.

( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

2

2

1 1

2 2

0 0 0.1

00 0

0.10.1 0.1

dT xk x

dxdT

k h T T em xdx

dTk h T T em x

dx

∞

∞

⎧− = < <⎪⎪⎪⎪− + − =⎨⎪⎪

+ − =⎪⎪⎩

a) Obtenha a formulação fraca para este problema. (2.5 val) b) Determine a distribuição de temperaturas utilizando 2 elementos finitos lineares de igual

comprimento. (2.5 val)

h1=2000 T∞=100

h2=5000 T∞=50

Parede k=250

0.1

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema II (5 val.) Página II.1 Considere o problema de determinação da deformada de uma viga pelo método dos elementos finitos. Admita que a viga é encastrada numa extremidade, apoiada na outra e sujeita ao carregamento esquematizado na figura.

P q

L/3L/3L/3

P q

L/3L/3L/3

a. Estabeleça a formulação fraca do problema. (2 val)

b. Indique, justificando, qual o número mínimo de elementos que é necessário utilizar na malha de elementos finitos. (1 val)

c. Determine o vector de cargas da cada elemento e o vector de cargas global da viga considerando a malha com o menor numero de elementos admissível. (2 val)

Problema III (5 val.) Página III.1 Seja Ω̂ o elemento de referência isoparamétrico e eΩ o seu transformado, tal como se indica na figura. Designem-se as coordenadas do nó 5 por (a,b) e admita-se que as coordenadas dos restantes nós são (xi,yi) = (ξi,ηi).

Ω̂

1 4 2

3

56

ξ

η

1 4 2

3

5

6

X

Y

eΩΩ̂

1 4 2

3

56

ξ

η

Ω̂

1 4 2

3

56

ξ

η

1 4 2

3

5

6

X

Y

eΩ

1 4 2

3

5

6

X

Y

eΩ

a. Deduza as expressões para a transformação de coordenadas. (2 val.).

b. Determine a expressão do jacobiano (1 val.)

c. Quais as posições aceitáveis do nó 5 de eΩ (2 val.).

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema IV (5 val.) Página IV.1 a. Pretende-se resolver pelo método dos elementos finitos a equação de Poisson, i.é.,

2 1 em0 para

uu δ∇ = Ω= Ω

Sendo Ω o domínio representado na figura e δΩ a fronteira desse domínio. Diga se a malha apresentada é ou não admissível. (2 val)

Considere agora a malha de elementos finitos que se apresenta na figura que se segue. Admita que o problema que se pretende resolver é descrito pela equação de Laplace.

b. apresente o padrão de esparsidade da matriz de conductividade (1 val.)

c. Renumere a malha de forma a minimizar a largura da banda da matriz e represente o novo padrão de esparsidade (2 val.).

1

2

3

45

6

78

9

10

1

2

3

45

6

78

9

10

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

1 10 100 1000

-1

-3

-4

-5

-6

-6

-7

-8

-9

-2

Numero de elementos

Log 1

0 ||E

|| 0

31

1 10 100 1000

-1

-3

-4

-5

-6

-6

-7

-8

-9

-2

Numero de elementos

Log 1

0 ||E

|| 0

31

Problema I (7 val.) Página I.1 1. Considere a equação diferencial:

( ) ( ) ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)u x u x x x xδ δ δ′′ + = − + − + − 0 4x≤ ≤

E as condições de fronteira u(0) = 2, u′(4)=1. a) Estabeleça a formulação fraca, especificando as classes de funções teste e tentativa

admissíveis. (2val) b) Sabendo que a matriz de rigidez global, correspondente à discretização por 4

elementos lineares, é dada por:

2 /3 7 / 6 0 0 07 / 6 4 / 3 7 / 6 0 0

0 7 / 6 4 / 3 7 / 6 00 0 7 / 6 4 / 3 7 / 60 0 0 7 / 6 2 / 3

K

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Obtenha o sistema final de equações a resolver. (2 val) 2. A solução pelo método dos elementos finitos de uma equação diferencial ordinária linear,

de 2ª ordem, num domínio de comprimento unitário, foi efectuado usando diversas malhas uniformes com o mesmo tipo de elementos. Obteve-se o gráfico da figura, que mostra a evolução da norma quadrática média do erro da solução em função do numero de elementos utilizado. Suponha que a solução exacta é uma função infinitamente diferenciável.

a) Qual o tipo de elementos que foram utilizados? Justifique.

(1 val) b) Se a curva representasse a norma da energia em vez da

norma quadrática média, a resposta à alínea anterior seria a mesma? Justifique. (1 val)

c) Qual a ordem de grandeza expectável para a norma quadrática média do erro do fluxo, para uma malha com 1000 elementos? Justifique. (1 val).

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Página I.2 Problema II (6 val.) Página II.1 A estrutura reticulada apresentada na figura é constituída por barras articuladas cuja secção transversal é A= 10-4 m2 e o módulo de elasticidade E = 1010 Nm-2. Admita ainda que as dimensões representadas na figura correspondem a L = 5 m e as cargas são P=103 N. Na solução do problema aplique o método dos elementos finitos para:

P

2L2L

P

LP

2L2L

P

L

a) Proponha a malha mais simples com que possa resolver o problema de calcular a

deformada da estrutura. (1 val) b) Determine a matriz de rigidez de cada elemento finito da malha escolhida. (1 val) c) Determine o vector de cargas de cada elemento da malha. (1 val) d) Construa a matriz de rigidez global e o vector de cargas global para a estrutura. (2 val) e) Apresente o sistema de equações de equilíbrio da estrutura que lhe permite calcular a

deformada da estrutura (não calcule os deslocamentos). (1 val) Problema III (7 val.) Página III.1 Considere o problema de condução de calar num placa bidimensional definido pela equação

( ), 2u x y−Δ = , resolvido com malha de elementos finitos indicada na figura a. Considere h=1 e as seguintes condições de fronteira:

142u y em= − Γ , 564u em= Γ e

12 25 34 630 , , ,u emn∂

= Γ Γ Γ Γ∂

.

figura a figura b a) Determine nas coordenadas (x,y) as funções de forma de um elemento característico

representado na figura b. (1 val) b) Calcule as componentes 22 12 23,e e eK K e K , da matriz dos coeficientes (rigidez) local do

elemento da figura b.(1 val) c) Calcule o vector de cargas ef (forças) do elemento. (1 val)

1 2

3 4

5

6

x

y

(0,0) (h,0)

(h,h) (0,h)

x

y

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

d) Obtenha o sistema de equações a resolver, incluindo as condições de fronteira, e calcule a solução do problema. Independentemente do resultado das alíneas anteriores considere que a matriz dos coeficientes e o vector de cargas locais são dados por, (2 val)

4 1 2 11 4 1 212 1 4 161 2 1 4

eK

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

e 2

11121

e hf

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

e) Independentemente do resultado das alíneas anteriores, admita, que a solução de elementos finitos nos nós é a seguinte: 1 0u = ; 2 3u = , 3 1u = , 4 2u = − , 5 4u = , 6 4u = .

(i) Trace a isolinha 0hu = (1 val) (ii) Estime as componentes do fluxo no ponto de coordenadas ( )0.5 ; 0.5x y= = . (1 val)

Problema I (6.5 val.) Página I.1 Considere o seguinte problema de valores de fronteira,

1( ) 2 0 12

(0) 0(1) 0

u x x x

uu

δ⎧ ⎛ ⎞′′− = − < <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩

1. Obtenha a formulação fraca do problema. (1.5 val)

2. Qual o número mínimo de elementos finitos necessário a resolver o problema. Justifique. (1.5 val)

3. Obtenha a solução aproximada utilizando dois elementos finitos lineares. (1.5 val)

4. Obtenha a solução no caso da condição de fronteira em x=1 ser (1) (1) 2u u′ + = . (2 val) Problema II (7 val.) Página II.1 Considere o elemento de 4 nós com as seguintes coordenadas :

Nó x y 1 0 0 2 1 0 3 1 1 4 x4 2-2x4

d. Determine a transformação de coordenadas do elemento dado para o elemento de referência bi-linear. (2 val)

e. Determine os valores de x4 para os quais a transformação é invertível. (2 val)

f. Para x4=-1, determine a área do elemento. (1.5 val)

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

g. Para x4=-1, determine as coordenadas do centróide do elemento utilizando uma regra de Gauss com um ponto de integração. O valor que obteve é exacto ? Justifique. (1.5 val)

Problema III (6.5 val.) Página III.1

Considere a equação ( ) ( ) ( )2

2

( , )( ) , ,u x tx k x u x t f x tt x x

ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ no domínio 0≤x≤1,

0≤t<T, as condições de fronteira u(0,t) = u(1,t) = 0 e as condições iniciais u(x,0) = û(x), ů(x,0) = v̂ (x), sendo û(x) e v̂ (x) funções conhecidas.

1. Mostre que a semi-discretização da equação conduz a M ü(t) + K u(t) = f (t) (2.5 val.).

2. Efectue a discretização temporal usando o método de Newmark (2.5 val.)

3. Diga, justificando, se o esquema de discretização temporal de Newmark conduz a um método implícito ou explícito (1.5 val.).

Problema I (6 val.) Página I.1 Considere o problema da determinação da deformada de uma viga, encastrada nas duas extremidades, e sujeita ao carregamento esquematizado na figura:

L/3 L/3 L/3

qP P

L/3 L/3 L/3

qP P

As equações diferenciais que governam a flexão desta viga elástica são dadas por:

2 2

2 2

( )( ) , , 0d M d w M xq x x Ldx dx EI

= = < <

em que q(x) é o carregamento uniforme, w(x) a deformada da viga, M(x) o momento flector, E o módulo de Young e I o momento de inércia. 1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando as classes de funções teste e

tentativa admissíveis (2.5 val.). 2. Diga, justificando, se para este problema há vantagem em recorrer a transformações de

coordenadas para o cálculo das componentes da matriz dos coeficientes e do vector dos termos independentes (2 val.).

3. Considere a resolução de um problema semelhante, com a viga apoiada nas duas

extremidades, através de um programa comercial. Suponha que na resolução do problema se utilizaram duas malhas uniformes, uma com n elementos e outra com 2n elementos, conduzindo a valores da norma quadrática media do erro da rotação de 2x10-3 e 0.5x10-3 respectivamente. Diga, justificando, qual o tipo de elementos utilizados (1.5 val.).

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Página I.2 Problema II (7 val.) Página II.1 Considere a estrutura de espessura t = 1 cm, em tensão plana, modelada com dois elementos de 8 nós e com uma força distribuída P=3KNcm-2 como indica a figura,

1 2 3 4 5

6 7 8

9 10 11 12 13

4 cm 4 cm

2 cm P = 3 KNcm-2

1. Indique quais as condições de fronteira essenciais do problema (1 val).

2. Determine o vector de forças do problema. Indique todos os cálculos necessário à sua determinação (2 val).

3. Determine o padrão de esparsidade da matriz de rigidez, indicando com X os elementos não nulos. Calcule a semi-largura de banda da matriz (2 val).

4. Renumere os nós de modo a minimizar a largura de banda. Calcule a nova semi-largura de banda (2 val).

Problema III (7 val.) Página III.1 Considere a seguinte equação diferencial:

. 600u ut

∂= ∇∇ +

∂

com a condição de fronteira: u=0 em δΩ1 e a condição inicial: u=0 para t=0. Pretende-se resolver este problema com o método dos elementos finitos numa malha com 4 elementos triangulares.

1

2

3

4

5

1

2

3

4 2

21

2

3

4

5

1

2

3

4 2

2

5- Construa a matriz da conectividade do problema definindo claramente o elemento de referência que utilizou. (1.5 val)

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

X

Y

1

2

3

4

Ωe

X

Y

1

2

3

4

Ωe

6- Determine a matriz da condutividade, kij, e o vector de fontes, fi para o elemento de referência. (2 val)

7- Determine o valor máximo que u pode atingir no domínio e o local em que se verifica. (1.5 val)

8- Utilizando o método explícito e um único passo no tempo determine o tempo que u leva a atingir metade do valor máximo. (2 val)

2 1 1

1 1 2 124

1 1 2

eijC

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

para o elemento 1

Nota: se não resolveu a alínea 3 admita que umax=60 Problema I (10 Val.) Pretende-se resolver pelo método dos elementos finitos a equação diferencial u″(x)+ u(x) = 0 no domínio -h≤x≤h, com condições de fronteira u′(-h) = sen (h) e u(h) = cos(h).

1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando os espaços de funções teste e tentativa admissíveis (1.5 val.)

2. Considere uma malha constituída por dois elementos lineares de igual comprimento. a) Sabendo que 11 1 3ek h h= − + determine todas as outras componentes da matriz de

rigidez local para o elemento Ω1 (-h≤x≤0) (1.5 val). b) Determine a matriz de rigidez e o vector de carga globais (2 val.). c) Determine o sistema final de equações a resolver (2 val.).

3. Considere a malha usada na questão 2 e tome h = 3 a) Determine a solução aproximada do problema (1 val.). b) Determine o fluxo em x = - 3 a partir da solução aproximada calculada em a).

Comente o resultado (1 val.). c) Determine, por dois processos diferentes, o valor aproximado do fluxo em x = 3 (1

val.). Problema II (4 val.) Considere o elemento bilinear quadrangular Ωε e esquematizado na figura. As coordenadas dos nós 1, 2, 3 e 4 são (-1,0), (0,-1), (a,0) e (0,1), respectivamente.

1. Diga, justificando, se a função teste veh(x,y)=a1+a2x+a3y+ a4xy

é admissível (2 val.).

2. Verifique que o elemento representado na figura é admissível para valores de a positivos (2 val.).

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema III (6 val.) Pretende-se resolver um problema pelo método dos elementos finitos usando a malha representada na figura:

1. Comente as seguintes afirmações:

a) A numeração dos elementos influencia a largura da banda e o padrão de esparsidade (localização dos elementos nulos e não nulos) da matriz de rigidez global (1 val.).

b) A numeração dos nós influencia a largura da banda e o padrão de esparsidade da matriz de rigidez global (1 val).

c) A taxa de convergência para os elementos quadrangulares bilineares é maior do que para os elementos triangulares (1 val).

2. Numere os nós da malha de modo a minimizar a largura da banda da matriz de rigidez. Qual é a largura da banda para essa numeração? (1.5 val.).

3. Qual é o numero de graus de liberdade para um problema de: a) Condução de calor em regime estacionário? (0.5 val.). b) Condução de calor em regime transiente? (0.5 val.). c) Elasticidade linear, assumindo tensão plana? (0.5 val.).

Problema I (7 val.) Página I.1 Pretende-se resolver pelo método dos elementos finitos a equação diferencial u″(x)+ u(x) = 0 no domínio -h≤x≤h, com condições de fronteira u′(-h) = sen (h) e u(h) = cos(h).

1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando os espaços de funções teste e tentativa admissíveis (1.5 val.)

2. Considere uma malha constituída por dois elementos lineares de igual comprimento. a) Sabendo que 11 1 3ek h h= − + determine todas as outras componentes da matriz de

rigidez local para o elemento Ω1 (-h≤x≤0) (1.5 val). b) Determine a matriz de rigidez e o vector de carga globais (2 val.). c) Determine o sistema final de equações a resolver (2 val.).

3. Considere a malha usada na questão 2 e tome h = 3 a) Determine a solução aproximada do problema (1 val.). b) Determine o fluxo em x = - 3 a partir da solução aproximada calculada em a).

Comente o resultado (1 val.). c) Determine, por dois processos diferentes, o valor aproximado do fluxo em x = 3

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema II (6 val.) Página II.1 Considere o elemento plano de quatro nós, apresentado na figura, para um problema de deformação plana: (a) Estabeleça as funções de base para este elemento. (b) Escreva a matriz de rigidez [K] em função do módulo de Young E. Considere o material

homogéneo, com coeficiente de Poisson ν=0 e espessura unitária. Não é necessário calcular os integrais, sendo suficiente a indicação detalhada da integranda e dos limites de integração.

(c) Determine os deslocamentos nodais para as condições indicadas na figura. (Sugestão: Admita que os elementos da diagonal da matriz de rigidez valem E/2 e os elementos fora da diagonal E/8)

(d) Determine o campo de tensão no elemento. Problema III (7 val.) Página III.1 Considere a seguinte equação diferencial :

. 0u em∇∇ = Ω com as seguinte condições de fronteira :

1

2

0

0

u emu emn

= ∂Ω∂

= ∂Ω∂

Pretende-se resolver este problema utilizando o método dos elementos finitos com uma malha de elementos triangulares de 3 nós ilustrada na figura 1.

a) Construa a matriz da conectividade do problema definindo claramente o elemento

de referência que utilizou.

x

y

2 1

1

1

1

4 P

3 30o

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

1 10 100 1000

-1

-3

-4

-5

-6

-6

-7

-8

-9

-2

Numero de elementos

Log 1

0 ||E

|| 0

31

1 10 100 1000

-1

-3

-4

-5

-6

-6

-7

-8

-9

-2

Numero de elementos

Log 1

0 ||E

|| 0

31

b) Determine a matriz de rigidez, kij, e o vector de carga, fi, do elemento de referência.

c) Determine a solução aproximada do problema. d) A malha proposta é uma boa escolha. Justifique ?

Problema I (7 val.) Página I.1 2. Considere a equação diferencial: ( ) ( ) ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)u x u x x x xδ δ δ′′ + = − + − + − 0 4x≤ ≤

E as condições de fronteira u(0) = 2, u′(4)=1. c) Estabeleça a formulação fraca, especificando as classes de funções teste e tentativa

admissíveis. (2val) d) Sabendo que a matriz de rigidez global, correspondente à discretização por 4

elementos lineares, é dada por:

2 /3 7 / 6 0 0 07 / 6 4 / 3 7 / 6 0 0

0 7 / 6 4 / 3 7 / 6 00 0 7 / 6 4 / 3 7 / 60 0 0 7 / 6 2 / 3

K

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Obtenha o sistema final de equações a resolver. (2 val) 3. A solução pelo método dos elementos finitos de uma equação diferencial ordinária linear,

de 2ª ordem, num domínio de comprimento unitário, foi efectuado usando diversas malhas uniformes com o mesmo tipo de elementos. Obteve-se o gráfico da figura, que mostra a evolução da norma quadrática média do erro da solução em função do numero de elementos utilizado. Suponha que a solução exacta é uma função infinitamente diferenciável.

d) Qual o tipo de elementos que foram utilizados? Justifique.

(1 val) e) Se a curva representasse a norma da energia em vez da

norma quadrática média, a resposta à alínea anterior seria a mesma? Justifique. (1 val)

f) Qual a ordem de grandeza expectável para a norma quadrática média do erro do fluxo, para uma malha com 1000 elementos? Justifique. (1 val).

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema II (6 val.) Página II.1 A estrutura reticulada apresentada na figura é constituída por barras articuladas cuja secção transversal é A= 10-4 m2 e o módulo de elasticidade E = 1010 Nm-2. Admita ainda que as dimensões representadas na figura correspondem a L = 5 m e as cargas são P=103 N. Na solução do problema aplique o método dos elementos finitos para:

P

2L2L

P

LP

2L2L

P

L

f) Proponha a malha mais simples com que possa resolver o problema de calcular a

deformada da estrutura. (1 val) g) Determine a matriz de rigidez de cada elemento finito da malha escolhida. (1 val) h) Determine o vector de cargas de cada elemento da malha. (1 val) i) Construa a matriz de rigidez global e o vector de cargas global para a estrutura. (2 val) j) Apresente o sistema de equações de equilíbrio da estrutura que lhe permite calcular a

deformada da estrutura (não calcule os deslocamentos). (1 val) Problema III (7 val.) Página III.1 Considere o problema de condução de calar num placa bidimensional definido pela equação

( ), 2u x y−Δ = , resolvido com malha de elementos finitos indicada na figura a. Considere h=1 e as seguintes condições de fronteira:

142u y em= − Γ , 564u em= Γ e

12 25 34 630 , , ,u emn∂

= Γ Γ Γ Γ∂

.

figura a figura b f) Determine nas coordenadas (x,y) as funções de forma de um elemento característico

representado na figura b. (1 val) g) Calcule as componentes 22 12 23,e e eK K e K , da matriz dos coeficientes (rigidez) local do

elemento da figura b.(1 val) h) Calcule o vector de cargas ef (forças) do elemento. (1 val)

1 2

3 4

5

6

x

y

(0,0) (h,0)

(h,h) (0,h)

x

y

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

i) Obtenha o sistema de equações a resolver, incluindo as condições de fronteira, e calcule a solução do problema. Independentemente do resultado das alíneas anteriores considere que a matriz dos coeficientes e o vector de cargas locais são dados por, (2 val)

4 1 2 11 4 1 212 1 4 161 2 1 4

eK

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

e 2

11121

e hf

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

j) Independentemente do resultado das alíneas anteriores, admita, que a solução de elementos finitos nos nós é a seguinte: 1 0u = ; 2 3u = , 3 1u = , 4 2u = − , 5 4u = , 6 4u = .

(i) Trace a isolinha 0hu = (1 val) (ii) Estime as componentes do fluxo no ponto de coordenadas ( )0.5 ; 0.5x y= = . (1 val)

Problema I (7 val.) Página I.1 Pretende-se resolver pelo método dos elementos finitos a equação diferencial u″(x)+ u(x) = 0 no domínio -h≤x≤h, com condições de fronteira u′(-h) = sen (h) e u(h) = cos(h).

1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando os espaços de funções teste e tentativa admissíveis (1.5 val.)

2. Considere uma malha constituída por dois elementos lineares de igual comprimento. a) Sabendo que 11 1 3ek h h= − + determine todas as outras componentes da matriz de

rigidez local para o elemento Ω1 (-h≤x≤0) (1.5 val). b) Determine a matriz de rigidez e o vector de carga globais (2 val.). c) Determine o sistema final de equações a resolver (2 val.).

3. Considere a malha usada na questão 2 e tome h = 3 a) Determine a solução aproximada do problema (1 val.). b) Determine o fluxo em x = - 3 a partir da solução aproximada calculada em a).

Comente o resultado (1 val.). c) Determine, por 2 processos diferentes, o valor aproximado do fluxo em x= 3 (1 val).

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema II (6 val.) Página II.1 A estrutura apresentada na figura é constituída por vigas cuja secção transversal é A= 10-3 m2 o momento de inércia é I= 50x10-8 m4 e o módulo de elasticidade E = 1010 Nm-2. Admita ainda que as dimensões representadas na figura correspondem a L = 5 m e as cargas são P=103 N. Na solução do problema aplique o método dos elementos finitos para:

P

L

L

45ºP

L

L

45º

k) Proponha a malha mais simples com que possa resolver o problema de calcular a deformada da estrutura. (1 val)

l) Determine a matriz de rigidez de cada elemento finito da malha escolhida. (1 val) m) Determine o vector de cargas de cada elemento da malha. (1 val) n) Construa a matriz de rigidez global e o vector de cargas global para a estrutura. (2 val) o) Apresente o sistema de equações de equilíbrio da estrutura que lhe permite calcular a

deformada da estrutura (não calcule os deslocamentos). (1 val) Problema III (7 val.) Página III.1 Considere a seguinte equação diferencial:

. 600u ut

∂= ∇∇ +

∂

com a condição de fronteira: u=0 em δΩ1 e a condição inicial: u=0 para t=0. Pretende-se resolver este problema com o método dos elementos finitos numa malha com 4 elementos triangulares.

1

2

3

4

5

1

2

3

4 2

21

2

3

4

5

1

2

3

4 2

2

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

9- Construa a matriz da conectividade do problema definindo claramente o elemento de referência que utilizou. (1.5 val)

10- Determine a matriz da condutividade, kij, e o vector de fontes, fi para o elemento de referência. (2 val)

11- Determine o valor máximo que u atinge no domínio e o local em que se verifica. (1.5 val)

12- Utilizando o método explícito e um único passo no tempo determine o tempo que u leva a atingir metade do valor máximo. (2 val)

2 1 1

1 1 2 124

1 1 2

eijC

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

para o elemento 1

Nota: se não resolveu a alínea 3 admita que umax=60 Problema I (6.5 val.) Página I.1 Considere o seguinte problema de valores de fronteira,

1( ) 2 0 12

(0) 0(1) 0

u x x x

uu

δ⎧ ⎛ ⎞′′− = − < <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩

5. Obtenha a formulação fraca do problema. (1.5 val)

6. Qual o número mínimo de elementos finitos necessário a resolver o problema. Justifique. (1.5 val)

7. Obtenha a solução aproximada utilizando dois elementos finitos lineares. (1.5 val)

8. Obtenha a solução no caso da condição de fronteira em x=1 ser (1) (1) 2u u′ + = . (2 val)

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

Problema II (7 val.) Página II.1 Considere o elemento de 4 nós com as seguintes coordenadas :

Nó x y 1 0 0 2 1 0 3 1 1 4 x4 2-2x4

h. Determine a transformação de coordenadas do elemento dado para o elemento de referência bi-linear. (2 val)

i. Determine os valores de x4 para os quais a transformação é invertível. (2 val)

j. Para x4=-1, determine a área do elemento. (1.5 val)

k. Para x4=-1, determine as coordenadas do centróide do elemento utilizando uma regra de Gauss com um ponto de integração. O valor que obteve é exacto ? Justifique. (1.5 val)

Problema III (6.5 val.) Página III.1

Considere a equação ( ) ( ) ( )2

2

( , )( ) , ,u x tx k x u x t f x tt x x

ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ no domínio 0≤x≤1,

0≤t<T, as condições de fronteira u(0,t) = u(1,t) = 0 e as condições iniciais u(x,0) = û(x), ů(x,0) = v̂ (x), sendo û(x) e v̂ (x) funções conhecidas.

1. Mostre que a semi-discretização da equação conduz a M ü(t) + K u(t) = f (t) (2.5 val.).

2. Efectue a discretização temporal usando o método de Newmark (2.5 val.)

3. Diga, justificando, se o esquema de discretização temporal de Newmark conduz a um método implícito ou explícito (1.5 val.).

Problema I (7 val.) Página I.1 Considere o seguinte problema de valores de fronteira,

1( ) ( ) 2 0 13

(0) 0(1) 0

u x u x x x

uu

δ⎧ ⎛ ⎞′′− + = − < <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩

9. Obtenha a formulação fraca do problema. (1.5 val)

10. Qual o número mínimo de elementos finitos necessário a resolver o problema. Justifique. (1.5 val)

11. Obtenha a solução aproximada utilizando dois elementos finitos lineares. (2 val)

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

12. Obtenha a solução no caso da condição de fronteira em x=1 ser (1) (1) 2u u′ + = (em vez de u(1)=0). (2 val)

Problema II (6 val.) Página II.1 A estrutura apresentada na figura é constituída por vigas cuja secção transversal é A= 10-3 m2 o momento de inércia é I= 50x10-8 m4 e o módulo de elasticidade E = 1010 Nm-2. Admita ainda que as dimensões representadas na figura correspondem a L = 5 m e as cargas são P=103 N. Na solução do problema aplique o método dos elementos finitos para:

p) Proponha a malha mais simples com que possa resolver o problema de calcular a deformada da estrutura. (1 val)

q) Determine a matriz de rigidez de cada elemento finito da malha escolhida. (1 val) r) Determine o vector de cargas de cada elemento da malha. (1 val) s) Construa a matriz de rigidez global e o vector de cargas global para a estrutura. (2 val) t) Apresente o sistema de equações de equilíbrio da estrutura que lhe permite calcular a

deformada da estrutura (não calcule os deslocamentos). (1 val) Problema III (7 val.) Página III.1 Considere o elemento de 4 nós com as seguintes coordenadas :

Nó x y 1 0 0 2 2 0 3 2 2 4 x4 2-2x4

l. Determine a transformação de coordenadas do elemento dado para o elemento de referência bi-linear. (2 val)

m. Determine os valores de x4 para os quais a transformação é invertível. (2 val)

n. Para x4=-1, determine a área do elemento. (1.5 val)

PL

L

45º

k

PL

L

45º

PL

L

45º

kk

Nome: ___________________________________________________ Numero:__________

o. Para x4=-1, determine as coordenadas do centróide do elemento utilizando uma regra de Gauss com um ponto de integração. O valor que obteve é exacto ? Justifique. (1.5 val)