Problemas de Mecânica e Ondas – MOAer 2015

Série 2

P 2.1.

Determine a função de Lagrange de um pêndulo duplo oscilante num plano com massas m1 e m2 (ver figura) e comprimentos, respectivamente, 1 e 2.

Solução:

ℒ =𝑚! +𝑚!

2ℓ𝓁!!𝜃!! +

𝑚!

2ℓ𝓁!!𝜃!! +𝑚!ℓ𝓁!ℓ𝓁!𝜃!𝜃! cos 𝜃! − 𝜃!

+ 𝑚! +𝑚!  gℓ𝓁! cos 𝜃! +𝑚!gℓ𝓁! cos 𝜃!

P 2.2.

Determine a função de Lagrange do um pêndulo plano de massa m2 cujo ponto de suspensão de massa m1 pode deslocar-se sobre uma recta horizontal (ver figura).

Solução:

ℒ =𝑚! +𝑚!

2𝑥! +

𝑚!

2ℓ𝓁!𝜃! + 2ℓ𝓁𝑥𝜃 cos 𝜃 +𝑚!𝑔ℓ𝓁 cos 𝜃

P 2.3

A “máquina de Atwood” é composta por duas massas diferentes, suspensas nas extremidades de um fio inextensível, nos dois lados de uma roldana de massa desprezável. A roldana pode girar livremente, de forma que a massa de valor mais elevado (m1) desce e a massa de valor mais baixo (m2) sobe devido à respectiva diferença de pesos.

a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Escreva a função de Lagrange do sistema considerando que as duas massas iniciam o seu movimento colocadas à mesma altura.

b) Deduza a equação diferencial que descreve o movimento das massas partindo da equação de Lagrange.

Solução: a) 1 grau de liberdade (x). ℒ = 𝑇 − 𝑈 = !

!𝑚!𝑥! +

!!𝑚!𝑥! − 𝑚!𝑔𝑥 −𝑚!𝑔𝑥 = !!!!!

!𝑥! + 𝑚! −𝑚! 𝑔𝑥

b) !ℒ!"− !

!"!ℒ!!

= 0⟹ 𝑚! −𝑚!  𝑔 − 𝑚! +𝑚!  𝑥 = 0⟹ 𝑎 = 𝑥 = !!!!!!!!!!

𝑔

P 2.4 (“Física para Engenheiros” M. Rogalski, A. Ferraz, Escolar Editora, 2011)

Considere a máquina de Atwood, descrita no problema anterior, pendurada num dos braços da balança representada na figura. Se bloquear a roldana o sistema pendurado na balança é equilibrado por uma massa 𝑀 = 𝑚! +𝑚!. Determine o sentido de inclinação da balança no caso em que a roldana é desbloqueada.

Solução: No caso em que a roldana está bloqueada, a força aplicada no lado esquerdo da roldana é dada por 𝐹! = 𝐹! +𝐹! = 𝑚!𝑔 +𝑚!𝑔 = 𝑀𝑔. A balança está equilibrada. Quando a roldana é desbloqueada, a tensão no fio 𝐹! altera-se sendo o respectivo módulo dado por 𝑚!𝑔 −  𝐹! = 𝑚!𝑥 ou 𝐹! −𝑚!𝑔 = 𝑚!𝑥 (podemos utilizar o resultado de 𝑥 no problema anterior ou resolver o sistema de equações, obtendo simultaneamente 𝑥 e 𝐹!). De acordo com a figura, a diferença de forças entre o braço esquerdo e o braço direito da balança será dada por:

𝑀𝑔 − 2𝐹! =!!!!!

!

!!!!!𝑔 > 0

Logo a balança desiquilibra-se para o lado direito.

P 2.5. (“Física para Engenheiros” M. Rogalski, A. Ferraz, Escolar Editora, 2011”)

Uma esfera de massa M e raio R rola sem deslizar ao longo de um plano de inclinação α.

a) Determine a energia cinética e a energia potencial do sistema (despreze as forças de atrito). (Momento de inércia da esfera 𝐼 = 2 5 𝑀𝑅!)

b) Escreva a função de Lagrange do sistema e determine a aceleração do movimento da esfera.

c) Mostre que a aceleração diminui no caso de existir no interior da esfera uma cavidade esférica concêntrica de raio 𝑅/2.

Solução:

a) 𝑇 = !!𝑀𝑥! + !

!𝐼 !

!

!; 𝑈 = −𝑀𝑔𝑥 sin𝛼    

b) ℒ = 𝑇 − 𝑈 = !!𝑀𝑥! + !

!𝐼 !

!

!+  𝑀𝑔𝑥 sin𝛼 ; !ℒ

!"− !

!"!ℒ!!

= 0⟹ 𝑀𝑔 sin𝛼 = 𝑀 + !!!

𝑥  

𝑎 = 𝑥 =𝑔 sin𝛼

1 + 𝐼𝑀𝑅!

=57𝑔 sin𝛼  

c) 𝑀! = !!𝑀;    𝐼! = !

!𝑀𝑅! − !

!!!

!!

!= !"

!"𝑀𝑅!; 𝑎! = ! !"#!

1+ 𝐼′𝑀′𝑅2

= !"!"!

𝑔 sin 𝛼 = !"!"!

𝑎

P 2.6. (“Física para Engenheiros” M. Rogalski, A. Ferraz, Escolar Editora, 2011)

Considere duas massas m1 e m2 suspensas nas extremidades de um fio inextensível, de massa desprezável que passa por uma roldana de massa M e raio R (momento de inércia da roldana 𝐼 = 1 2 𝑀𝑅!). Escreva a função de Lagrange do sistema e determine a aceleração do movimento. Solução: (arbitrando como zero da energia potencial o ponto em que as duas massas se encontram à mesma altura)

ℒ = 𝑇 − 𝑈 = !!𝑚! +𝑚!  𝑥! +

!!𝐼 !

!

!+ 𝑚! −𝑚! 𝑔𝑥  

ℒ = 𝑇 − 𝑈 =142𝑚! + 2𝑚! +𝑀  𝑥! + 𝑚! −𝑚! 𝑔𝑥  

𝜕ℒ𝜕𝑥

−𝑑𝑑𝑡

𝜕ℒ𝜕𝑥

= 0  ⟹ 𝑚! −𝑚! 𝑔 =122𝑚! + 2𝑚! +𝑀 𝑥⟹ 𝑥 =

2 𝑚! −𝑚!

2𝑚! + 2𝑚! +𝑀𝑔

P 2.7. (“Física para Engenheiros” M. Rogalski, A. Ferraz, Escolar Editora, 2011)

Um cilindro homogéneo de massa M e raio R pode rolar sem deslizar ao longo duma cunha fixa de inclinação a. Um fio inextensível com uma extremidade fixa no topo da cunha (ponto A), enrolado em torno do cilindro passa por uma roldana de massa desprezável e tem um corpo de massa m pendurado na outra extremidade.

a) Escreva a função de Lagrange do sistema utilizando a coordenada x representada na figura (sugestão: repare que, nas condições do problema, quando a massa m se desloca de uma altura x, a massa M desloca-se de um comprimento x/2 ao longo do plano inclinado).

b) Escreva a equação do movimento do corpo m e determine a sua solução. c) Calcule o ângulo α necessário para que o sistema permaneça em equilíbrio.

Solução:

a) ℒ = 𝑇 − 𝑈 = !!  𝑚𝑥! + !

!𝑀 𝑥 2 ! + !

!𝐼 ! !

!

!− 𝑚𝑔𝑥 +𝑀𝑔 ℎ − !

!sin 𝑎 =

ℒ =12𝑚 +

38𝑀  𝑥! −  𝑀𝑔ℎ − 𝑚𝑔 −

12𝑀𝑔 sin𝛼 𝑥

b) !ℒ!"− !

!"!ℒ!!

= 0  ⟹ !!𝑀𝑔 sin𝛼 −𝑚𝑔 = 𝑚 + !

!𝑀 𝑥

𝑥 𝑡 = !!" !"#!!!!"  !!!!!

𝑡! + 𝐴𝑡 + 𝐵; A e B são determinados pelas condições iniciais do problema.

c) Condição de equilíbrio: 𝑥 = 0   corresponde a

!!𝑀𝑔 sin𝛼 −𝑚𝑔 = 0⟹ 𝛼 = arcsin !!

!

O equilíbrio é possível apenas na condição 𝑀 ≥ 2𝑚

Note que esta condição de equilíbrio corresponde a !"!"= 0 (mínimo da energia

potencial).

P 2.8. Um cabo inextensível de massa desprezável encontra-se enrolado a um disco (tipo ioiô) de massa M = 0,5 kg, raio R = 0,05 m e momento de inércia ICM = 1/2MR2, como se vê na figura. O disco é libertado sem velocidade inicial e ao fim de algum tempo o seu centro de massa percorreu uma altura h.

a) Determine o momento de inércia do disco em relação ao ponto O (ponto de aplicação da tensão do cabo no disco em cada instante).

b) Calcule a aceleração angular do disco em torno de O?

c) Qual é a aceleração do centro de massa do disco durante a queda? Justifique. Como varia a aceleração do centro de massa do disco se a sua massa duplicar? E se o raio se reduzir a metade?

d) Qual é a tensão no cabo durante a queda? e) Calcule a velocidade do centro de massa do disco após ter percorrido em

queda uma altura h. Qual é a velocidade linear do disco no ponto O nesse instante? E no ponto que se encontra no local diametralmente oposto do disco?

Solução: Escolhendo um sistema de eixos em que x aponta para a direita, y para baixo, z para dentro do plano da folha, e os ângulos aumenta, no sentido dos ponteiros do relógio, temos:

a) 𝐼! = 𝐼!" +𝑀𝑅! =!!𝑀𝑅! +𝑀𝑅! = 0,001875  𝑘𝑔  𝑚!

b) 𝑁 = 𝐼!𝛼⟹ 𝑅 𝑒!× 𝑀𝑔 𝑒! = 𝑀𝑔𝑅𝑒! = 𝐼!𝛼⟹ 𝛼 = !"#!! !!!

= !!!!= 130,67  𝑟𝑎𝑑/𝑠!

c) As equações do movimento de translação e de rotação escrevem-se, respectivamente:

∑𝐹 = 𝑚𝑎 :    − 𝑇 +𝑀𝑔 = 𝑀𝑎    

∑𝑁 = 𝐼𝛼:     −𝑅 𝑒!× −𝑇 𝑒! = 𝑅𝑇𝑒! = 𝐼𝛼 ⇒ 𝑅𝑇 = 𝐼𝛼 = 𝐼𝑎𝑅

Resolvendo as duas equações chega-se ao resultado

𝑎 =𝑔

1 + 𝐼𝑀𝑅!

=23𝑔 = 6,53  𝑚/𝑠!

d) Das equações obtém-se o outro resultado,

𝑇 =𝐼𝑅!𝑎 =

12𝑀 ×

23𝑔 = 1,63  𝑁

e) Usando

𝑣 𝑡 = 𝑣! + 𝑎𝑡⟹ 𝑣 𝑡! =23𝑔𝑡!

𝑦 𝑡 = 𝑦! + 𝑣!𝑡 +12𝑎𝑡! ⟹ 𝑦 𝑡! ≡ ℎ = 0 +

13𝑔𝑡!!

𝑡! = 3ℎ/𝑔⟹ 𝑣 𝑡! = 2𝑔3ℎ ≅ 3,615 ℎ

Para os outros dois pontos vem 𝑣! = 0, 𝑣!! = 4 !!ℎ ≅ 7,23 ℎ