Universidade do Algarve

Area Departamental de Fısica

Problemasde Termodinamica

Orlando Camargo Rodrıguez

Faro, 19 de Fevereiro de 2003

Capa:

Reptielen

(Repteis)

por:

M.C. Escher

§1. Temperatura

Problema 1. Um termometro de gas a volume constante e calibrado em gelo seco (dioxidode carbono no estado solido, temperatura de -80C) e em alcool etılico em ebulicao (tem-peratura de 78C). Os valores das duas pressoes sao 0,9 atm e 1,635 atm, respectivamente.Determine:(a) o valor do zero absoluto fornecido pela calibracao; (b) o valor da pressao no ponto decongelacao da agua; (c) o valor da pressao no ponto de ebulicao da agua.

Problema 2. No termometro de resistencia a propriedade usada para medir a tem-peratura e a resistencia electrica de um condutor. As temperaturas medidas por estetermometro (em graus Kelvin ou em graus Celsius) podem ser directamente relacionadascom a resistencia R, medida em ohms. Um certo termometro de resistencia possui umaresistencia R = 90,35 Ω quando o seu bulbo e colocado em agua, a temperatura do pontotriplo (273,16 K). Determine a temperatura indicada pelo termometro quando o seu bulbofor colocado num meio tal que a sua resistencia seja igual a (a) 105 Ω, (b) 96,28 Ω.

Problema 3. Os objectos quentes e frios arrefecem ou aquecem, respectivamente, ateatingir a temperatura do meio que os rodeia. Se nao for grande a diferenca de temperatura∆T entre um objecto e a sua vizinhanca, a taxa de arrefecimento ou de aquecimento edirectamente proporcional a diferenca de temperatura entre o objecto e a vizinhanca:

d∆T

dt= −k∆T ,

sendo k uma constante. O sinal negativo e devido ao facto de ∆T diminuir com o tempose ∆T for positivo e vice-versa. Esta relacao e conhecida como lei do arrefecimento deNewton. (a) Quais sao os factores de que depende k? quais sao as suas dimensoes? (b)sendo ∆T0 a diferenca de temperatura num certo instante, demonstre que

∆T = ∆T0e−kt ,

apos o intervalo de tempo t.

Problema 4. Um gas ideal esta a pressao p0 e a uma temperatura T0 (em graus Kelvin).O gas e mantido no interior dum recipiente rıgido e indeformavel. Em virtude do aque-cimento do recipiente, a pressao do gas cresce isocoricamente (a volume constante) ateatingir um valor p. Obtenha a expressao da temperatura T do gas, em graus Kelvin paraesta pressao.

Problema 5. A pressao do gas dum termometro de gas a volume constante e de 380mmHg, quando o seu reservatorio e colocado num padrao de ponto triplo. Qual serao valor da temperatura registada pelo termometro se estiver num ambiente tal que adiferenca de alturas entre as colunas esquerda e direita do manometro de mercurio e de76 mm?

Problema 6. A temperatura na superfıcie do Sol e aproximadamente igual a 6000 K.Expresse esta temperatura em C e em F.

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Problema 7. (a) Exprima a temperatura media do corpo humano (36C) em K e emF; (b) exprima a temperatura normal do ponto de ebulicao do oxigenio (-183C) em F.

Problema 8. Converta para C as seguintes temperaturas: (a) 223 K; (b) -20F; (c) 523 K;(d) 235F.

Problema 9. Converta para graus Kelvin as seguintes temperaturas: (a) 27C; (b) -23C;(c) -200C; (d) 20F; (e) 120F; (f) -200F.

Problema 10. A que temperatura os seguintes pares de escalas fornecem a mesmaleitura? (a) Fahrenheit e Celsius. (b) Fahrenheit e Kelvin. (c) Celsius e Kelvin.

Problema 11. No intervalo de 0 a 660C usa-se, para interpolar temperaturas na EscalaInternacional Pratica, um termometro de resistencia de platina, de caracterısticas especi-ficadas. A temperatura T e calculada atraves de uma equacao que exprime a variacao daresistencia em funcao da temperatura,

R = R0

(1 + AT +BT 2

),

em que R0, A e B sao constantes determinadas nos pontos de congelacao e de ebulicaoda agua e de fusao do enxofre (T3 = 115C).(a) Se R = 10000 Ω, no ponto de congelacao, R = 13946 Ω no ponto de ebulicao e R =24817 Ω no ponto de fusao do enxofre, determine R0, A e B. (b) Represente graficamenteR em funcao de T , entre 0 e 660C.

§2. Calorimetria

Problema 12. Qual e a quantidade de calor que e necessario fornecer a um cubo de gelode 1 g a temperatura de -30C para obter vapor de agua a 128C? Dados: cg = 2090J/(kgC), λf = 333 kJ/kg, ca = 4186 J/(kgC), λe = 2260 kJ/kg, cv = 2010 J/(kgC).

Problema 13. Nas maquinas de cafe expresso utiliza-se vapor de agua para aquecer ocafe. Qual a massa de vapor de agua a temperatura de 130C necessaria para aqueceruma chavena de cafe (mc = 100 g) de Ti = 20C ate Tf = 50C? considere que ca = cc.

Problema 14. Por vezes, utiliza-se um aparelho constituido por uma resistencia elec-trica em forma de serpentina para aquecer agua. Se o aparelho tiver uma potencia de 10W, quanto tempo e necessario esperar para que 1 kg de agua a temperatura de 100C seevapore completamente?

Problema 15. No topo das cataratas do Niagara a temperatura da agua e 5C. Sabendoque a altura da catarata e 50 m e assumindo que toda a energia potencial e utilizada parao aquecimento da agua, calcule a temperatura da agua na base das cataratas.

Problema 16. 10 g de leite a 10C sao adicionados a 160 g de cafe a 90C. Determine atemperatura final de equilıbrio da mistura. Considere que cl = cc = ca.

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Problema 17. Um recipiente metalico de 4,0 kg contem 14,0 kg de agua e ambos estaoa 15C. Um bloco de 2,0 kg feito do mesmo metal, que estava inicialmente a 160C, emergulhado na agua. Apos o equilıbrio termico, o sistema total encontra-se a temperaturade 18C. Determine o calor especıfico do metal.

Problema 18. Dois cubos de gelo de 40 g sao colocados num copo com 150 g de agua.A temperatura inicial da agua era de 20C e a temperatura inicial dos cubos de gelo erade -10C. Calcule a temperatura final de equilıbrio (cg = 0,50 cal/gC e λf = 80 cal/g).

Problema 19. Um termometro de massa 0,055 kg e calor especıfico 0,20 kcal/kgC marca15C. O termometro e mergulhado em 0,3 kg de agua e, apos atingirem o equilıbriotermico, vai marcar 44,4C. Calcule a temperatura inicial da agua, isto e, antes da imersaodo termometro, desprezando outras perdas possıveis de calor.

Problema 20. A temperatura do ar nas regioes costeiras e influenciada pelo elevadovalor do calor especıfico da agua (4,186 kJ/(kgC)). Uma das razoes esta relacionada como facto de que o calor libertado por 1 m3 de agua quando arrefece 1C, aumenta em1C a temperatura dum grande volume de ar. Calcule este volume, sabendo que o calorespecıfico do ar e 1 kJ/kgC e a densidade do ar e 1,3 kg/m3.

Problema 21. O calor fornecido a um corpo desde uma temperatura inicial Ti ate umatemperatura final T e dado por

Q = A (T − Ti)2 ,

onde A = 20 cal/K2.(a) Determine a expressao da capacidade calorıfica em funcao de T . (b) Sabendo que Ti

= 200 K, calcule a capacidade calorıfica para T = 300 K.

Problema 22. Considere que o calor especıfico de um corpo varia com a temperaturade acordo com a relacao

c = c0 + c1T2 ,

em que c0 e c1 sao constantes e T e a temperatura, medida em graus Celsius. Compare ocalor especıfico medio do corpo no intervalo [0, T0] com o calor especıfico do mesmo corpoa temperatura T0/2.

Problema 23. Um bloco de gelo cuja massa inicial e de 50 kg a 0C, desliza sobre umasuperfıcie horizontal. A sua velocidade inicial e de 5,38 m/s e ele para apos percorrer28,3 m. (a) Calcule a massa de gelo fundida como consequencia do atrito entre o gelo e obloco. (b) Resolva o problema considerando que a temperatura inicial do bloco era -1C.(c) Determine a variacao da temperatura do bloco nas condicoes da alınea anterior.

Problema 24. Um projectil de chumbo de 2 g de massa move-se com velocidade de200 m/s quando penetra num bloco de madeira dum pendulo balıstico de 2 kg de massa.Calcule a variacao da temperatura do projectil, supondo que todo o calor libertado devidoao atrito foi gasto para aquece-lo (cPb = 128 C).

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Problema 25. Numa experiencia de Joule, um corpo de massa 6 kg cai duma altura de50 m e faz rodar um conjunto de pas que agitam 0,6 kg de agua. Calcule:(a) a variacao da temperatura da agua; (b) a temperatura final da agua, sabendo que amesma tinha uma temperatura inicial de 15C.

Problema 26. Em torno de uma cratera formada por um meteorito, 75 kg de rochafundiram devido ao impacto. A temperatura do solo antes do impacto era de 0C. Supondoque o meteorito atingiu o solo enquanto se movia a uma velocidade de 600 m/s, determinea massa inicial do meteorito considerando que durante o impacto nao houve perdas decalor para a rocha circundante, nem para a atmosfera. Considere crocha = 0,8 kcal/(kgC),Tf = 500C, λf = 48 kcal/kg.

Problema 27. Num calorımetro misturaram-se 100 g de alumınio a temperatura de100C com 50 g de agua a temperatura de 20C. Determine a temperatura final do con-junto. Considere cAl = 0,251 cal/(gK).

Problema 28. Num recipiente isolado, 250 g de gelo a 0C sao adicionados a 600 g deagua a 18C. (a) Determine a temperatura final do sistema; (b) determine a quantidadede gelo que permanece no sistema quando este atinge o estado de equilıbrio.

Problema 29. Um atleta dissipa toda a energia da sua dieta, que e de 4000 kcal/dia.Compare este valor, supondo que ele fosse dissipado a uma taxa constante, com a producaode energia duma lampada de 100 W.

Problema 30. Um sistema recebe 2 kcal de calor e realiza um trabalho igual a 3,35 kJ.O correspondente aumento de energia interna do sistema e igual a 5030 J. Determine oequivalente mecanico do calor.

§3. Expansao termica

Problema 31. Partindo da relacao ∆l = αl∆T , obtenha uma expressao para o coefi-ciente de dilatacao linear em funcao da taxa de variacao do comprimento com a tempe-ratura, dl/dT .

Problema 32. Mostre que se α for considerado funcao da temperatura entao,

l = l0 exp

T∫T0

α(T )dT

,

em que l0 e o comprimento a temperatura de referencia T0.

Problema 33. A densidade, ρ, e definida como sendo o quociente entre a massa e ovolume de um corpo. Como o volume depende da temperatura, o mesmo acontece com adensidade. Prove que a variacao da densidade, ∆ρ, quando a temperatura varia de ∆T ,e expressa por

∆ρ = −βρ2∆T ,

em que β e o coeficiente de dilatacao volumetrica.

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Problema 34. O espelho telescopico do observatorio da Serra da Piedade, em MinasGerais, tem um diametro de 60 cm e o seu coeficiente de dilatacao linear e, aproxi-madamente, de 3×10−6C−1. A temperatura na Serra da Piedade varia entre 3 e 30C.Determine a variacao maxima do diametro do espelho.

Problema 35. Num balao de vidro sao introduzidos 100 g de mercurio, atraves de umpequeno orifıcio. O balao e o mercurio encontram-se inicialmente a temperatura de 0C.Quando a temperatura do conjunto aumenta para 20C, verifica-se que 0,3 g de mercuriotransbordam. Sabendo que o coeficiente de dilatacao volumetrica do mercurio e β =1,8×10−4 K−1, determine o coeficiente de expansao linear do vidro.

Problema 36. Um relogio de pendulo adianta-se 5 segundos por dia quando a tem-peratura e igual a 15C e atrasa-se 10 segundos por dia se a temperatura for de 30C.Determine o coeficiente de expansao linear do pendulo, sabendo que o perıodo de oscilacaodum pendulo e dado por

T = 2π

√l

g,

onde l e o comprimento do pendulo e g representa a aceleracao da gravidade.

Problema 37. A densidade do mercurio a 0C e 13600 kg/m3. Calcule a densidade domercurio a 50C, sabendo que o seu coeficiente de dilatacao linear vale α= 1,82×10−4C−1.

Problema 38. Se tentarmos determinar o coeficiente de expansao volumetrica, β, dumlıquido contido num vaso, o valor obtido vai depender do coeficiente de dilatacao domaterial do vaso. Na Figura No.1 esta representado um aparelho que permite calcular ovalor do coeficiente de dilatacao volumetrica do lıquido, sem necessidade de conhecer ovalor do β do vaso. Calcule o valor do β do lıquido sabendo que ht - h0 = 1 cm, h0 = 100cm e T = 20C. A mistura de agua-gelo encontra-se a temperatura de 0C.

Figura No.1

Problema 39. Um termometro de mercurio e constituido por um reservatorio esfericoe um tubo capilar. O tubo capilar e o reservatorio tem diametros 0,004 cm e 0,25 cm,respectivamente. Determine a altura a que o mercurio sobe no tubo capilar para um

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aumento de temperatura de 30C sabendo que a temperatura inicial o mercurio preencheapenas todo o reservatorio esferico. Considere αHg = 6,07×10−5K−1; despreze a expansaotermica do vidro.

Problema 40. As placas de cimento de uma certa autoestrada tem um comprimento de25 m a temperatura de 10C. Qual deve ser o espacamento mınimo entre as placas se ocimento puder atingir uma temperatura de 50C? (considere αcimento = 1,2×10−5K−1).

Problema 41. O gradiente de temperatura, dT/dx, atraves duma barra e dado pelaexpressao

dT

dx= a+ bx ,

onde a = 200 K/m e b = 100 K/m2. Suponha que a temperatura da barra no ponto x =0 seja igual a 280 K. Calcule a temperatura da barra no ponto x = 0,4 m.

Problema 42. Suponha que a condutividade termica do cobre e duas vezes a do alumınioe quatro vezes a do latao. Tres barras metalicas, feitas de cobre, alumınio e latao, respec-tivamente, tem 15,0 cm de comprimento e 2,5 cm de diametro cada uma. As barras saocolocadas em fila, de modo a que a de alumınio fique entre as outras duas. Os extremoslivres das barras de cobre e latao sao mantidos a 100C e a 0C, respectivamente. Deter-mine as temperaturas de equilıbrio nas superfıcies de separacao das barras de cobre e dealumınio e nas de alumınio e de latao.

Problema 43. Duas barras de metal quadradas, identicas, sao soldadas ponta com pontacomo ilustra a Figura No.2(a). Suponha que 10 cal de calor fluem atraves das barras em 2minutos. Quanto tempo levaria para que 10 cal fluissem, se as barras estivessem soldadascomo mostra a Figura No.2(b)?.

(c)Figura No.2

Problema 44. Numa regiao de inverno rigoroso, e deixado um tanque ao ar livre ateque se forme sobre a superfıcie da agua uma camada de gelo com espessura igual a 5,0cm, conforme a ilustrado na Figura No.2(c). O ar acima do gelo esta a -10C. Calcule

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a taxa de formacao de gelo, em cm/h, sob a superfıcie inferior do gelo. Considere acondutividade termica, a densidade e o calor de fusao do gelo como sendo iguais a 0,004cal/s.cm.C, 0,92 g/cm3 e 80 cal/g, respectivamente. Considere que nenhuma quantidadede calor atravessa a agua atraves das paredes do tanque.

§4. Gases ideais; primeiro princıpio da Termodinamica;

ciclos

Problema 45. Um cilindro provido de um embolo movel contem gas no seu interior eacha-se imerso numa mistura de gelo e agua, como esta ilustrado na Figura No.3. Ogas e comprimido rapidamente, levando-se o embolo da posicao (1) a posicao (2), onde emantido ate que atinja a temperatura de 0C. Em seguida e levado muito lentamente atea posicao (1). Se se fundirem 100 g de gelo durante um ciclo, qual o trabalho realizadosobre o gas? (λf = 333 kJ/kg).

Figura No.3

Problema 46. Um sistema termodinamico e levado do estado inicial A ate ao estado B etrazido de volta a A atraves do estado C, conforme o diagrama p− V da Figura No.4(a).(a) Complete a tabela da Figura No.4(b), atribuindo os sinais + ou − as grandezastermodinamicas associadas a cada processo.(b) Calcule o trabalho realizado pelo sistema para o ciclo completo A−B − C − A.

Figura No.4

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Problema 47. Considere a Figura No.5. Suponha que a variacao de energia interna dosistema seja igual a 230 J para o percurso iaf . Calcule a variacao de energia interna paraos percursos (a) if ; (b) ibf e (c) fi.

Figura No.5

Problema 48. Considere a mesma figura do problema anterior. Quando um sistema elevado do estado i para o estado f , ao longo do caminho iaf , Q = 50 cal e W = 20cal. Ao longo do caminho ibf , verifica-se que Q = 36 cal. (a) Qual o valor de W para opercurso ibf?. (b) Se W = -13 cal para o caminho fi, qual o valor de Q?. (c) Se Ui =10 cal, quanto vale Uf?. (d) Se Ub = 22 cal, quanto vale Q, para o processo ib? e para oprocesso bf?

Problema 49. Deixa-se cair uma bola de ferro de uma altura de 10 m, sobre um chaode cimento. Apos o primeiro choque, a bola sobe ate altura de 0,5 m. Supondo que todaa energia mecanica macroscopica perdida pela bola, apos o primeiro choque com o chao,tenha sido absorvida pela propria bola, pergunta-se: (a) foi fornecido calor a bola? (b) foirealizado trabalho sobre a bola? (c) a sua energia interna mudou? Em caso afirmativo,de quanto? (d) qual foi a variacao de temperatura da bola apos a primeira colisao? (CFe

= 0,12 cal/gC).

Problema 50. O melhor vacuo que se consegue obter em laboratorio corresponde apressao de aproximadamente 10−14 atm (cerca de 10−10 mmHg). Quantas moleculas porcentımetro cubico existem neste vacuo, a temperatura ambiente?

Problema 51. Um gas ideal encontra-se num recipiente a pressao p1 e temperatura T1.Outro gas ideal encontra-se noutro recipiente de volume V2 (diferente de V1) e pressaop2 (diferente de p1). A temperatura T e a mesma nos dois recipientes. Obtenha umaexpressao para a determinacao da pressao de equilıbrio quando os dois recipientes foremligados.

Problema 52. Um recipiente de 20 litros, mantido a temperatura de 127C, contem 3,2g de oxigenio, 2,8 g de de azoto e 0,2 g de hidrogenio. As massas moleculares valem 32para o oxigenio, 28 para o azoto e 2 para o hidrogenio. Determine a pressao parcial: (a)do oxigenio; (b) do azoto; (c) do hidrogenio.

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Problema 53. A massa da molecula de hidrogenio (H2) e 3,32×10−24 g. Se 1023 moleculasde hidrogenio chocarem, durante um segundo, contra 2,0 cm2 de uma parede inclinadade 45 em relacao a direccao da velocidade, que vale 105 cm/s, qual a pressao que elasexercem sobre a parede?

Problema 54. A 273F e 1,0×10−2 atm a densidade de um gas e 1,24×10−5 g/cm3. (a)Determine a velocidade quadratica media das moleculas do gas. (b) Determine a massamolecular do gas e identifique-o.

Problema 55. (a) Calcule a velocidade quadratica media de um atomo de argon a tem-peratura ambiente (20C). (b) A que temperatura a velocidade quadratica media do atomosera reduzida a metade desse valor? E a que temperatura ela valera o dobro?

Problema 56. Responda as seguintes perguntas: (a) a energia interna de um gas idealdepende do volume?; (b) a energia interna de um gas ideal depende da sua pressao? (c)calcule a energia interna de uma mole de um gas ideal monoatomico a 273 K.

Problema 57. A massa da molecula de um gas pode ser calculada a partir do calorespecıfico a volume constante. Considere cv = 0,075 kcal/(kgK) para o argon. Calcule:(a) a massa de um atomo de argon; (b) o peso atomico do argon.

Problema 58. Obtenha uma expressao para a velocidade de propagacao do som numgas ideal, em funcao de γ, de R, de T e da massa molecular, M .

Problema 59. Obtenha a equacao que relaciona a temperatura com o volume de um gasideal que sofre uma transformacao adiabatica reversıvel. Suponha que o calor especıficomolar a volume constante do gas, cv, e constante.

Problema 60. Uma mole de oxigenio e aquecido a pressao constante, a partir de 0C.Qual e a quantidade de calor que deve ser adicionada ao gas para que o seu volumeaumente para o dobro?

Problema 61. Numa maquina termica reversıvel, uma mole de um gas ideal monoato-mico sofre uma transformacao cıclica representada no diagrama da Figura No.6. O pro-cesso 1–2 e isocorico, o processo 2–3 e adiabatico e o processo 3–1 isobarico. (a) Calcule ocalor Q, a variacao de energia interna U e o trabalho W para cada um dos tres processose para o ciclo completo. (b) Se a pressao no ponto 1 for igual a 1,0 atm, qual sera apressao e o volume nos pontos 2 e 3?

Problema 62. Dez gramas de oxigenio sao aquecidos desde 27C ate 127C a pressaoatmosferica, considerada constante. (a) Qual a quantidade de calor transmitida parao oxigenio?. (b) Que fraccao desse calor e usada para aumentar a energia interna dooxigenio?

Problema 63. (a) Um gas ideal monoatomico, inicialmente a 27C, e comprimido brus-camente ate um decimo do seu volume inicial. Qual sera a sua temperatura apos acompressao?; (b) faca o mesmo calculo para um gas diatomico.

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Figura No.6

§5. Segundo princıpio da Termodinamica; ciclos de

Carnot

Problema 64. Uma maquina de Carnot utiliza um gas ideal como substancia de tra-balho e funciona entre as temperaturas 227C e 127C. Ela absorve 6,0×104 calorias atemperatura mais elevada. (a) Qual e o trabalho realizado pela maquina em cada ciclo?(b) determine o rendimento da maquina.

Problema 65. Num ciclo de Carnot, a expansao isotermica do gas ocorre a 500 K eacompressao isotermica ocorre a 300 K. Durante a expansao sao transferidas 700 caloriasde energia termica para o gas. Determine: (a) o trabalho realizado pelo gas durante aexpansao isotermica; (b) o calor cedido pelo gas durante a compressao isotermica; (c) otrabalho realizado sobre o gas durante a compressao isotermica.

Problema 66. Invertendo o ciclo de Carnot obtem-se um frigorıfico ideal. Ele absorveuma quantidade de calor Q2 a temperatura T2 e cede uma quantidade de calor Q1 atemperatura superior T1. Sabendo que a diferenca entre o calor recebido e o cedido otrabalho W que deve ser fornecido para que o frigorıfico funcione, mostre que

W = Q2T1 − T2

T2

.

Problema 67. Num frigorıfico, a camara de baixa temperatura encontra-se a -15C e ogas no compressor esta a uma temperatura de 37C. (a) Calcule o rendimento deste ciclo.(b) Se a quantidade de calor fornecida ao frigorıfico for igual a 30 J, qual sera o trabalhofornecido ao mesmo?

Problema 68. Uma maquina de Carnot funciona entre um reservatorio quente a tem-peratura de 320 K e um reservatorio frio a 260 K. (a) Se ela absorver 500 J de calordo reservatorio quente, que trabalho ira produzir esta maquina num ciclo? (b) Se elafuncionar ao contrario, como um frigorıfico, que trabalho deve ser fornecido a maquinapara extrair 1000 J de calor do reservatorio frio?

Problema 69. O motor de um frigorıfico tem uma potencia de 200 W. Suponha quea temperatura dentro do frigorıfico e 270 K e a temperatura exterior 300 K. Qual aquantidade maxima de calor que pode ser retirada do frigorıfico em 10 minutos?

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Problema 70. O perpetuum mobile de primeira especie (ou motor contınuo de primeiraespecie) e um dispositivo que viola o Primeiro Princıpio da Termodinamica. O per-petuum mobile de segunda especie e um dispositivo que viola o Segundo Princıpio daTermodinamica. Um engenheiro diz que inventou uma maquina termica tal que, operandopor ciclos, consome uma quantidade de calor igual a 1,06×108 J de uma fonte a 480 Ke fornece uma quantidade de calor igual a 4,2×107 J a uma fonte a 240 K. Ele diz queesta maquina produz um trabalho de 16 kWh. Verifique se esta maquina viola: (a) o 1o.princıpio da termodinamica; (b) o segundo princıpio da termodinamica.

Problema 71. Uma maquina termica de dois estagios, no primeiro estagio absorve umaquantidade de calor Q1 a temperatura T1, realiza o trabalho W1 e cede a quantidade decalor Q2 a temperatura T2. No segundo estagio absorve o calor cedido no primeiro, realizao trabalho W2 e cede a quantidade de calor Q3 a temperatura mais baixa T3. Prove queo rendimento do conjunto e

η =T1 − T3

T1

.

Problema 72. Uma turbina usa como substancia de trabalho, mercurio e vapor de agua.A turbina absorve vapor saturado de mercurio de uma caldeira a temperatura de 470Ce descarrega-o para uma caldeira que produz vapor de agua a temperatura de 238C. Aturbina recebe este vapor e lanca-o para um condensador que esta a temperatura de 38C.Qual o rendimento maximo da combinacao?

Problema 73. Um motor de combustao interna a gasolina pode ser aproximado pelociclo Otto mostrado na Figura No.7. O processo 1 − 2 representa a explosao (faısca), osprocessos 2–3 e 4–1 representam a expansao e compressao respectivamente e o processo3–4 representa a admissao da mistura inicial (a expansao seguida do escape). Nesteproblema considere um gas ideal. Considere ainda uma razao de compressao V4/V1 = 4 esuponha que p2 = 3p1. (a) Calcule a temperatura em cada um dos vertices do diagramap−V , em funcao de p1, T1 e da razao γ = cp/cv. (b) Calcule o rendimento deste ciclo. (c)Concretize a alınea anterior, considerando um gas ideal diatomico, p1 = 1,013×105 Pa eT1 = 293 K e compare o resultado obtido com o rendimento de uma maquina de Carnotque funciona entre as temperaturas T2 e T4 do ciclo analisado.

Problema 74. O ciclo Diesel e o ciclo ideal das maquinas de combustao interna nasquais, em vez da explosao ser provocada por uma faısca, e provocada por uma com-pressao adiabatica. Em relacao as duas transformacoes adiabaticas (uma compressao euma expansao) o ciclo Diesel e o ciclo Otto sao analogos. Alem disso, em ambos ocorreigualmente um arrefecimento isocorico. Entretanto, no ciclo diesel, em vez do aquecimentoisocorico que ocorre no ciclo Otto, verifica-se um aquecimento isobarico. (a) Represente ociclo Diesel num diagrama p−−V . (b) Determine o rendimento do ciclo Diesel em funcaoda razao de compressao e em funcao da razao entre os calores especıficos, considerandoum gas ideal.

Problema 75. Uma mole de um gas ideal monoatomico passa do estado inicial, compressao pi e volume Vi, para o estado final, de pressao 2pi e volume 2Vi. O gas atingeo estado final atraves de dois processos diferentes: I) expansao isotermica seguida deum aumento de pressao isocorico, ate atingir o estado final; II) compressao isotermica eexpansao isobarica ate atingir o estado final. (a) Desenhe o caminho de cada processonum diagrama p− V . (b) Para cada processo calcule a variacao de entropia do gas.

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Figura No.7

Problema 76. Num calorımetro misturam-se 100 g de alumınio (cp = 0,215 cal/gK) atemperatura de 100C com 50 g de agua a 20C. Calcule a diferenca de entropia entre oestado final e o estado inicial da mistura (ca = 1 cal/(g·C).

Problema 77. Um cubo de gelo de 8 g a temperatura de -10C e lancado numa garrafatermica que contem 100 cm3 de agua a temperatura de 20C. Qual e a variacao de entropiado sistema quando se atinge o estado final de equilıbrio? (cg = 0,52 cal/(g·K), λf = 333kJ/kg).

Problema 78. Um cubo de gelo de 10 g, a temperatura de -10C, e colocado num lagocuja temperatura e de 15C. Calcule a variacao de entropia do sistema quando o cubo degelo atinge o equilıbrio termico no lago.

§6. Gas de Van der Waals

Problema 79. A constante a da equacao de Van der Waals e 0,37 Nm4/mol2 para o CO2

e 0,025 Nm4/mol2 para o H. Calcule a pressao interna desses gases (ou seja, a razao a/V 2)para valores de V/V0 iguais a 1, 0,01, 0,001 e V0 = 22,4 l/mol.

Problema 80. A constante b da equacao de Van der Waals e 43 cm3/mol. Usando ovalor de a do problema anterior calcule a pressao a 0C para o volume especıfico de 0,55l/mol. Qual seria o valor da pressao usando a equacao de estado?

Problema 81. Supondo que o Helio seja um gas de Van der Waals, calcule a pressao domesmo para T = 353 K e V = 0,5 l/mol. Considere a = 3,44 Jm3/Kmol2 e b = 0,0234m3/Kmol.

Problema 82. Calcule o trabalho realizado por uma mole de um gas de Van der Waals,cujo volume muda de V1 para V2.

Problema 83. Mostre que, para um gas de Van der Waals, e valido que:(∂cv∂V

)T

= 0 ,

12

(s2 − s1)T = R ln

(V2 − b

V1 − b

), e

cp − cv =R

1− 2a (V − b)2 / (RTV 3).

Problema 84. Demonstre que, para um gas de Van der Waals, e valido que:

a) Num processo adiabatico:T (V − b)γ−1 = constante ;

b) numa expansao livre (∆U = 0,∆V = V2 − V1 > 0):∆T =a

cv

V1 − V2

V1V2

.

Problema 85. Determine o trabalho realizado numa expansao isotermica por um gas deBeattie-Bridgeman (1928), para o qual e valida a seguinte equacao de estado:

p =nRT

V+n2β

V 2+n3γ

V 3+n4δ

V 4.

Problema 86. Determine o trabalho realizado numa expansao isotermica por um gas deRedlich-Kwong (1949), para o qual e valida a seguinte equacao de estado:

p =nRT

V − nb− a

V (V + nb)√T.

§7. Livre percurso medio

Problema 87. O livre percurso medio das moleculas de azoto a 0C e a pressao p = 1atm e 0,8×10−7m. Nestas condicoes ha 2,7×1019 moleculas por cm3. Calcule o diametrode uma molecula.

Problema 88. A 2500 km de altitude, acima do nıvel do mar, a densidade do ar e deaproximadamente 1 molecula por cm3. Qual e o livre percurso medio de uma molecula?considere d = 2×10−8 cm.

Problema 89. Uma molecula de hidrogenio (diametro d =10−10 m) sai de um forno(T = 400 K) com uma dada velocidade media quadratica (vqm). Em seguida entra numa

cavidade cheia de atomos de Argon frio (de diametro molecular 3×10−10 m) cuja densidadee 4×1019 moleculas/cm3. (a) Determine o valor de vqm; (b) qual e a distancia mınima

entre os centros da molecula de hidrogenio e um atomo de Argon?; (c) qual e o numeroinicial de colisoes entre a molecula de hidrogenio e os atomos de Argon?.

Problema 90. Calcule o livre percurso medio e a frequencia de colisao para moleculasde ar a pressao de 1 atm. Considere d = 2×10−8 cm.

13

§8. O sistema SI de unidades

Unidades basicasQuantidade Unidade Sımbolo

Comprimento metro mMassa quilograma kgTempo segundo sTemperatura kelvin KCorrente electrica ampere AIntensidade luminosa candela cdQuantidade de substancia mol mol

Unidades adicionais

Angulo plano radiano rad

Angulo solido esteradiano sr

Unidades derivadas com nome proprioQuantidade Unidade Sımbolo Derivacao

Frequencia hertz Hz s−1

Forca newton N kg×m×s−2

Pressao pascal Pa N×m−2

Energia joule J N×mPotencia watt W J×s−1

Carga coulomb C A×sPotencial electrico volt V W×A−1

Capacidade electrica farad F C×V−1

Resistencia ohm Ω V×A−1

Conductancia electrica siemens S A×V−1

Fluxo magnetico weber Wb V×sDensidade do fluxo magnetico tesla T Wb×m−2

Inductancia henry H Wb×A−1

Fluxo luminoso lumen lm cd×srIluminancia lux lx lm×m−2

Actividade becquerel Bq s−1

Dose absorbida gray Gy J×kg−1

Dose equivalente sievert Sv J×kg−1

§9. Prefixos

yotta Y 1024 giga G 109 deci d 10−1 pico p 10−12

zetta Z 1021 mega M 106 centi c 10−2 femto f 10−15

exa E 1018 quilo k 103 milli m 10−3 ato a 10−18

peta P 1015 hecto h 102 micro µ 10−6 zepto z 10−21

tera T 1012 deca da 10 nano n 10−9 yocto y 10−24

14

§10. Constantes fısicas

Aceleracao da gravidade g 9,80665 m/s2

Const. gravıtica G, γ 6, 67259× 10−11 m3kg−1s−2

Velocidade da luz no vacuo c 2, 99792458× 108 m/s (def)Carga elementar e 1, 6021892× 10−19 CConstante de Coulomb K 9× 109 Nm2/C2

Constante electrica ε0 8, 85418782× 10−12 F/mConstante magnetica µ0 4π × 10−7 =

µ0 = 12, 5663706144× 10−7 H/m(4πε0)

−1 8, 9876× 109 Nm2C−2

Const. da estructura fina α = e2/2hcε0 ≈ 1/137

Const. de Planck h 6, 6260755× 10−34 JsConst. de Dirac h = h/2π 1, 0545727× 10−34 JsMagnetao de Bohr µB = eh/2me 9, 2741× 10−24 Am2

Raio de Bohr a0 0, 52918 AConst. de Rydberg Ry 13,595 eVMagnetao nuclear µN 5, 0508× 10−27 J/TMomento magn. do electrao µe 9, 2847701× 10−24 A·m2

Momento magn. do protao µp 1, 41060761× 10−26 A·m2

c.d.o de Compton λCe = h/ (mec) 2, 2463× 10−12 mc.d.o de Compton λCp = h/ (mpc) 1, 3214× 10−15 mpara o protaoc.d.o de Compton λCn = h/ (mnc) 1, 3195909× 10−15 mpara o neutrao

Const. de σ 5, 67032× 10−8 Wm2K−4

Stefan-BoltzmannConst. de Wien kW 2, 8978× 10−3 mKConst. universal R 8,314472 J/moldos gasesConst. de Avogadro NA 6, 02214199× 1023 mol−1

Const. de Boltzmann k = R/NA 1, 3806503× 10−23 J/KVolume dum gas em Vm 22, 41383× 10−3 m3/molcondicoes normais

Raio do electrao re 2, 817938× 10−15 mMassa do electrao me 9, 109534× 10−31 kgMassa do protao mp 1, 6726485× 10−27 kgMassa do neutrao mn 1, 674954× 10−27 kgUnid. elementar de massa mu = 1

12m(12

6C) 1, 6605656× 10−27 kg(ou unid. de massaatomica, u.m.a.)

15

Diametro do Sol D 1392× 106 mMassa do Sol M 1, 989× 1030 kgPerıodo rot. do Sol T 25,38 diasRaio da Terra RA 6, 378× 106 mMassa da Terra MA 5, 976× 1024 kgPerıodo rot. da Terra TA 23,96 horasPerıodo orb. da Terra Ano tropical 365,24219879 dias

31556926 sUnidade astronomica AU 1, 4959787066× 1011 mAno-luz lj 9, 4605× 1015 mParsec pc 3, 0857× 1016 mUnidade Astronomica AU 149597870000 mConst. de Hubble H ≈ (75± 25) km×s−1×Mpc−1

c.d.o = comprimento de onda

§11. Escalas de temperaturas

K = C + 273,15,C = K - 273,15,C = 5/9(F - 32),F = 9/5 C + 32.

16

§12. Relacoes uteis

Unidades angulares57,29577951308232 = 1 rad1 = 0,01745329251 rad1′ = 2,90888208666×10−4 rad1′′ = 4,8481368111×10−6 rad1 gradiano = 0,01570796326795 rad(angulo recto/100)

Unidades de comprimento1 amstrong = 1×10−10 m1 polegada = 0,0254 m1 pe = 0,3048 m1 pe (USA) = 1200/3937 m1 jarda = 0,9144 m1 jarda (USA) = 3600/3937 m1 milha nautica = 1852 m1 milha terrestre = 1609,344 m1 milha terrestre = 6336000/3937 m(USA)

Unidades de area1 acre = 4046,8564224 m2

1 are = 1×102 m2

1 hectare = 1×104 m2

Unidades de volume1 litro = 1×10−3 m3

1 barril de petroleo = 0,15898729492 m3

1 galao (USA) = 3,785411784×10−3 m3

1 galao (UK) = 4,54609929488×10−3 m3

17

Unidades de massa1 libra = 0,45359237 kg1 onca = 0,02834952312 kg1 slug = 14,5939029372 kg

Unidades de velocidade1 no = 1852/3600 m/s1 milha por hora = 0,44704 m/s

Unidades de pressao1 atm = 101325 Pa1 atmosfera tecnica = 98066,5 Pa1 metro de agua = 9806,65 Pa1 milimetro de mercurio = 101325/760 Pa1 torr = 101325/760 Pa1 pe de agua = 2989,06692 Pa1 polegada de agua = 249,08891 Pa1 polegada de mercurio = 3386,38815789 Pa1 libra por polegada quadrada = 6894,75729317 Pa

Unidades de forca1 dine = 1×10−5 N1 quilograma-forca = 9,80665 N1 libra-forca = 4,44822161526 N

Unidades de potencia1 cavalo-forca metrico = 735,49875 W1 BTU por hora = 0,29307107017 W

Unidades de energia1 cal = 4,186 J1 eV = 1,602×10−19 J1 pe libra-forca = 1,35581794833 J1 cavalo-forca = 745,699871582 J1 BTU = 1055,05585262 J(British thermal unit)

18

§13. Propriedades fısicas de algumas substancias

§13.1 Densidade

ρSubstancia kg/m3 kg/dm3 ou g/cm3

Agua∗ 1 ×103 1

Agua de mar∗ 1,02×103 1,02Gelo 9,2 ×102 0,92

Alumınio 2,71×103 2,71Ar 1,29 1,29×10−3

Betao 2,2 ×103 2,2Bronze 8,8 ×103 8,8Cobre 8,92×103 8,92

Duralumınio 2,79×103 2,79Glicerina∗ 1,26×103 1,26Granito 2,8 ×103 2,8Eter∗ 7,1×102 0,71Ferro 7,8×103 7,8Invar 8,7×103 8,7Irıdio 2,24×104 22,4Latao 8,4×103 8,4

Mercurio∗ 1,36×104 13,6

Oleo 9,2 ×102 0,92Ouro 1,93×104 19,3

Petroleo 8,5 ×102 0,85Prata 1,05×104 10,5

Volframio 1,91×104 19,1Zinco 7,14×103 7,14

∗A 20 C/293 K.

19

§13.2 Calor especıfico

cSubstancia J/(kg·C) cal/(g·C)

Agua 4186 1Gelo 2090 0,5

Vapor de agua 2010 0,4802Alumınio 880 0,210

Ar 1000 0,24

Argon 314 0,075Chumbo 129 0,031Cobre 385 0,091

Estanho 250 0,06Ferro 461 0,11

Mercurio 125 0,03Vidro 840 0,2

§13.3 Calor latente

Calor latente de fusao λf :

λf

Substancia J/kg cal/g

Agua 333×103 80

Calor latente de evaporacao λe:

λe

Substancia J/kg cal/g

Agua 2260×103 539

20

§13.4 Condutividade termica

kSubstancia W/(m·K) cal/(s·cm·C)

Agua 0,596 0,1424Gelo 0,017 0,004

Neve seca 0,11 0,026Alumınio 209,0 50,0

Ar a temperatura ambiente 0,03 0,0072

Ar a 0C 0,024 0,0057Asbesto 0,17 0,04Chumbo 35,0 8,3Cobre 400,0 95,56

Concreto 8,4 2,0Cortica 0,046 0,011Ferro 68,0 16,3

Fibra de vidro 0,063 0,015Helio a 0C 0,13 0,03

Hidrogenio a 0C 0,17 0,04La 0,042 0,01

Lexan 0,19-0,22 0,0454-0,0525Madeira (Carvalho) 0,17 0,04

Prata 423 101,0Vidro 0,84 0,25

21

§14. Nocoes relevantes de Matematica

§14.1 Alfabeto grego

A α alfa N ν niuB β beta Ξ ξ csiΓ γ gama O o omicron∆ δ delta Π π, $ piE ε, ε epsilon P ρ, % roZ ζ zeta Σ σ, ς sigmaH η eta T τ tauΘ θ, ϑ teta Υ υ upsilonI ι iota Φ φ, ϕ fiK κ kapa X χ quiΛ λ lambda Ψ ψ, ϕ fiM µ miu Ω ω omega

§14.2 Constantes matematicas

Nome Sımbolo Valor

Constante de Arquimedes π 3,14159265358979323846...Constante de Napier e 2,718281828459...

Constante de Euler γ = limn→∞

(n∑

k=1

1/k − ln(n)

)= 0,5772156649...

Constante de Catalan G =∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)2 = 0,915965594...

22

§14.3 Figuras no plano

Figura Perımetro Area

Triangulo

b

ac

ha+ b+ c b× h/2

Quadrado

a

a 4a a2

Rectangulo

b

a 2a+ 2b a× b

Cırculo

r 2πr πr2

23

Perımetro dum polıgono regular de n ladosinscrito no cırculo

Triangulo Quadrado(n = 3) (n = 4)

r

2π/3

r

π/2

P3 = 6r sin (π/3) P4 = 8r sin (π/4)

Polıgono de n lados:

Pn = 2nr sin (π/n) (1)

24

§14.4 Solidos no espaco

Solido Area Volume

Cubo de lado a

a

aa

6a2 a3

Cilindro de altura he raio da base r

r

h

r

rr

2πr × h+ 2πr2 h× πr2

Cone de altura he raio da base r

r

h

r

πr × g ondeg = h/ cosα etanα = r/h

h× πr2/3

Esfera de raio r

rr

r4πr2 (4/3)πr3

25

§14.5 Trigonometria

b

ah

α

Para o triangulo rectangulo da figura ter-se-ia que

sinα = a/h , (2)

cosα = b/h , (3)

tanα = a/b . (4)

§14.5.1 Relacoes fundamentais

sin (−α) = − sinα , cos (−α) = cosα , sin2 α+ cos2 α = 1 , (5)

sin (π − α) = sinα , cos π − α = − cosα , (6)

sin (π/2− α) = cosα , cos (π/2− α) = sinα , (7)

tanα =sinα

cosα, tan (−α) = − tanα , (8)

cotα =cosα

sinα, secα =

1

cosα, cscα =

1

sinα, (9)

tan2 α = sec2 α− 1 , cot2 α = csc2 α− 1 , (10)

sin x = sinα ⇒ x = α± 2kπ ou x = (π − α)± 2kπ, k ∈ N , (11)

cosx = cosα ⇒ x = α± 2kπ ou x = −α± 2kπ , (12)

tan x = tanα ⇒ x = α± kπ e x 6= π

2± kπ . (13)

§14.5.2 Relacoes entre senos

sin (α+ β) = sinα cos β + sin β cosα , (14)

sin (α− β) = sinα cos β − sin β cosα , (15)

sin (2α) = 2 sinα cosα , (16)

sinα− sin β = 2 sin

(α− β

2

)cos

(α+ β

2

), (17)

sin2 α =1− cos (2α)

2, (18)

sin(α

2

)= ±

√1− cosα

2, (19)

26

sinα+ sin β = 2 sin

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

), (20)

sinα− sin β = 2 cos

(α+ β

2

)sin

(α− β

2

). (21)

(22)

§14.5.3 Relacoes entre co-senos

cos (α+ β) = cosα cos β − sin β sinα , (23)

cos (α− β) = cosα cos β + sin β sinα , (24)

cos (2α) = cos2 α− sin2 α , (25)

cosα+ cos β = 2 cos

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

), (26)

cosα− cos β = −2 sin

(α+ β

2

)sin

(α− β

2

), (27)

cos2 α =1 + cos (2α)

2, (28)

cos(α

2

)= ±

√1 + cosα

2. (29)

§14.5.4 Relacoes entre tangentes

tan (α+ β) =tanα+ tan β

1− tanα tan β, (30)

tan (α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β, (31)

tan (2α) =2 tanα

1− tan2 α, (32)

tan(α

2

)= ±

√1− cosα

1 + cosα. (33)

§14.5.5 Relacoes entre funcoes inversas

arctanα = arcsin

(α√α2 + 1

)= arccos

(1√

α2 + 1

), (34)

sin (arccosα) =√

1− α2 . (35)

27

§14.6 Numeros complexos

i =√−1 , (36)

ρcisθ = ρ cos θ + iρ sin θ , (37)

(ρ1cisθ1) . (ρ2cisθ2) = ρ1ρ2cis (θ1 + θ2) , (38)

ρ1cisθ1

ρ2cisθ2

=ρ1

ρ2

cis (θ1 − θ2) , (39)

(ρcisθ)n = ρncis (nθ) , (40)

n

√ρcisθ = n

√ρcis

(θ + 2kπ

n

), k ∈ 0, . . . , n− 1 . (41)

28

§14.7 Logaritmos

• lnx corresponde ao logaritmo de x em base e.

• log x corresponde ao logaritmo de x em base 10.

• loga x corresponde ao logaritmo de x em base a (a > 1).

§14.8 Propriedades

ln (x1x2) = lnx1 + lnx2 ; (42)

ln (xn) = n lnx; (43)

ln(

n√x)

= ln x/n; (44)

ln (x1/x2) = lnx1 − lnx2 ; (45)

ln (1) = 0 ; (46)

ln (e) = 1 ; (47)

loga (1) = 0 ; (48)

loga (a) = 1 ; (49)

loga (x) = logb (x) / logb (a) ; (50)

loga (ax) = x ; (51)

aloga(x) = x . (52)

29

§14.9 Limites Notaveis:

limx→0

sin x

x= 1 , (53)

limx→0

tan x

x= 1 , (54)

limx→0

ex − 1

x= 1 , (55)

limx→0

ax − 1

x= ln a , (56)

limx→0

(x+ 1)1/x = e , (57)

limx→0

ln (x+ 1)

x= 1 , (58)

limx→0

(x+ 1)m − 1

x= m , (59)

limx→∞

ex

xp= ∞ (p ∈ IR) , (60)

limx→∞

xp

loga x= ∞ (p > 0 e a > 1) .

(61)

30

§14.10 Propriedades das derivadas

(C)′ = 0 , (Cf)′ = Cf ′ ,(f ± g)′ = f ′ ± g′ , (fg)′ = f ′g + g′f ,(f

g

)′=

f ′g − g′f

g2, (f(g))′ = fgg

′ .

§14.11 Tabela de derivadas

x′ = 1 , (xm)′ = mxm−1 ,

(ex)′ = ex , (lnx)′ =1

x,

(ax)′ = ax ln a ,(sinx)′ = cosx , (cosx)′ = − sin x ,

(tan x)′ =1

cos2 x, (cotx)′ =

−1

sin2 x,

(arcsinx)′ =1√

1− x2, (arccos x)′ =

−1√1− x2

.

31

§14.12 Propriedades dos integrais indefinidos

(∫f(x)dx

)′= f(x) , d

(∫f(x)dx

)= f(x)dx ,∫

dP (f) = P (f) + C ,∫Cf(x)dx = C

∫f(x)dx ,∫

(f ± g)dx =∫fdx±

∫gdx ,

∫fdg = fg −

∫gdf .

§14.13 Tabela de integrais indefinidos

∫dx = x +C ,

∫xmdx =

xm+1

m+ 1+C ,∫ dx

x= ln |x| +C ,

∫exdx = ex +C ,∫

sin xdx = − cosx +C ,∫

cosxdx = sinx +C ,∫ dx

sin2 x= tan x +C ,

∫ dx

cos2 x= − cotx +C ,∫ dx√

1− x2= arcsinx +C ,

∫ dx

1 + x2= arctanx +C ,∫ dx√

x2 + λ= ln

∣∣∣x+√x2 + 1

∣∣∣ +C .

32

§14.14 Mudancas de Sistemas de Coordenadas

1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilındricas (ρ, φ, ζ):

ρ =√x2 + y2 , tanφ = y/x , ζ = z .

2. De coordenadas cilındricas (ρ, φ, ζ) para coordenadas cartesianas (x, y, z):

x = ρ cosφ , y = ρ sinφ , z = ζ .

3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esfericas (φ, θ, ρ):

tanφ = y/x , tan θ = z/√x2 + y2 , ρ =

√x2 + y2 + z2 .

4. De coordenadas esfericas (φ, θ, ρ) para coordenadas cartesianas (x, y, z):

x = ρ cosφ sin θ , y = ρ sinφ sin θ , z = ρ cos θ .

33

Sistemas de coordenadas

Y

z

(x,y,z)

°

x

y

X

Z

Coordenadas cartesianas(x, y, z)

Y

ζ

(ρ,φ,ζ)

°

φ

X

ρ

Z

Y

(φ,θ,ρ)

°

φ

X

ρ

θ

Z

Coordenadas cilindrıcas Coordenadas esfericas(ρ, φ, ζ) (φ, θ, ρ)

34

Respostas

1. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: T1 = -80C,T2 = 78C,P (T1) = P1 = 0,9 atm,P (T2) = P2 = 1,635 atm.

Incognitas: (a) zero absoluto (segundo a escala);(b) P (Tc) onde Tc → T de congelacao do H2O;(c) P (Te) onde Tc → T de ebulicao do H2O.

(a) Tal como discutido nas aulas teoricas a relacao que permite medir a temperaturacorresponde a

T2

T1

=P2

P1

,

relacao esta que e valida desde que T1 e T2 correspondem a valores absolutos de tem-peratura. Como as temperaturas do enunciado vem dados na escala Celsius vemo-nosobrigados a re-escrever a relacao anterior na forma:

T0 + T2

T0 + T1

=P2

P1

,

onde T0 corresponde ao valor do zero absoluto que pode ser extrapolado com ajudadas pressoes e temperaturas de referencia indicados no enunciado. Resolvendo a ultimaequacao em ordem a T0 obtem-se que:

T0 =T2 − T1 (P2/P1)

(P2/P1)− 1;

substituindo pelos dados do enunciado obtem-se que

T0 =78 + 80 (1, 635/0, 9)

(1, 635/0, 9)− 1= 273, 4694 K .

(b) Substituindo pelos dados do enunciado obtem-se que

P (Tc) = P1Tc

T1

= 0, 90 + 273, 5

−80 + 273, 5= 1, 2722 atm .

(c) Substituindo pelos dados do enunciado obtem-se que

P (Te) = P1Te

T1

= 0, 9100 + 273, 5

−80 + 273, 5= 1, 7373 atm .

2. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: R1 = 90,35 Ω,T1 = 273,16 K.

Incognitas: (a) T2 quando R2 = 105 Ω;(b) T2 quando R2 = 96,28 Ω.

35

Em cada um dos casos e evidente que

R2

R1

=T2

T1

⇒ T2 = T1R2

R1

.

(a) Substituindo pelos dados do enunciado obtem-se que

T2 = T1R2

R1

= 273, 16105

90, 35= 317, 4521 K .

(b) Substituindo pelos dados do enunciado obtem-se que

T2 = T1R2

R1

= 273, 16105

90, 35= 291, 0885 K .

3. A equacao diferencial pode ser re-escrita na forma:

d∆T

∆T= −kdt ,

que pode ser integrada como∫ d∆T

∆T= −

∫kdt⇔ ln

(∆T

∆T0

)= −kt⇒

(∆T

∆T0

)= e−kt ⇒

⇒ ∆T = ∆T0e−kt .

4. Neste caso a relacao entre pressao e temperatura corresponde a

p

p0

=T

T0

,

logo

T = T0p

p0

.

5. 551 K.

6. Para o valor de temperatura em C:

TC = TK − 273, 15 = 6000− 273, 15 = 5726, 85C ;

para o valor de temperatura em F:

TF =9

5TC + 32 = 10.340, 33F .

7. (a) Tem-se que

TK = TC + 273, 15 = 36 + 273, 15 = 309, 15 K ;

TF =9

5TC + 32 =

9

5(36) + 32 = 96, 8F ;

(b) tem-se que

TF =9

5TC + 32 =

9

5(−183) + 32 = −297, 4F .

36

8.

(a) T = 223− 273, 15 = −50, 15C ;

(b) T =5

9(−20− 32) = −28, 9C ;

(c) T = 523− 273, 15 = 249, 85C ;

(d) T =5

9(235− 32) = 112, 8C .

9. (a) 300,15 K; (b) 250,15 K; (c) 73,15 K; (d) 266,5 K; (e) 322 K; (f) 144,3 K.

10. (a) Resolvendo a equacao T = (5/9)(T − 32) nao e difıcil concluir que T = -40C,F;(b) resolvendo a equacao T −273, 15 = (5/9)(T −32) nao e difıcil concluir que T = 574,25K,F; (c) a equacao T − 273, 15 = T nao tem solucao!.

11. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: T1 = 0C,R1 = 10000 Ω,T2 = 100C,R2 = 13946 Ω,T3 = 115C,R3 = 24817 Ω.

Incognitas: (a) R0, A e B;(b) R(T ) entre 0 e 660C.

(a) De acordo com o enunciado R(T1) = R1 10000 Ω. Mas de acordo com a formula:

R(T1) = R0

(1 + A× 0 +B × 02

)= R0 ,

o que permite concluir imediatamente que R0 = R1 = 10000 Ω.Em relacao as temperaturas T2 e T3 nao e difıcil ver que:

R2

R0

= 1 + AT2 +BT 22

eR3

R0

= 1 + AT3 +BT 23 .

Estas equacoes formam um sistema de duas equacoes com duas incognitas: A e B. Re-solvendo o sistema em ordem a essas incognitas nao e difıcil concluir que:

B =1

T2T3

[1− T3R2 − T2R3

R0 (T3 − T2)

]=

=1

100× 115

[1− 115× 13946− 100× 24817

10000× (115− 100)

]= 5, 95× 10−4 C−2 ,

logo

A =(R2

R0

− 1)

1

T2

−BT2 = −5, 5× 10−2 C−1 .

(b) O grafico da resistencia como funcao da temperatura corresponde a

37

0 100 200 300 400 500 600 700−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

6

T (graus Celsius)

R (

ohm

ios)

12. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: mg = 1×10−3 kg,cg = 2090 J/(kgC),ca = 4186 J/(kgC),cv = 2010 J/(kgC),λf = 333 ×103J/kg,λe = 2260 ×103J/kg.

Incognitas: Q.

Lendo com atencao a informacao do enunciado podemos construir a seguinte sequenciade calorimetria:

Bloco de gelo-30C

Q1→ Bloco de gelo0C

Q2→ Agua0C

Q3→ Agua100C

Agua100C

Q4→ Vapor100C

Q5→ Vapor128C.

De acordo com os comentarios anteriores sobre calorimetria nao e difıcil ver que:

1. Q1 = cgmg (0− (−30)) = 30cgmg = 30× 2090× 1× 10−3 = 62,7 J;

2. Q2 = λfmg = 333× 103 × 1× 10−3 = 333 J;

3. Q3 = camg (100− 0) = 100cgmg = 100× 4186× 1× 10−3 = 418,6 J;

4. Q4 = λemg = 2260× 103 × 1× 10−3 = 2260 J;

5. Q5 = cvmg (128− 100) = 28cvmg = 28× 2010× 1× 10−3 = 56,3 J.

Desta maneira o calor fornecido ao cubo de gelo corresponde a

38

Q = Q1 +Q2 +Q3 +Q4 +Q5 = 3,13 kJ.

13. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: mc = 0,1 kg,cc = ca = 4186 J/(kgC),cv = 2010 J/(kgC),λe = 2260 ×103J/kg,Ti = 20C,Tf = 50C.

Incognitas: mv.

De acordo com a informacao do enunciado podemos construir as seguintes sequencias decalorimetria:

Vapor de agua130C

Q−1→ Vapor de agua

100C

Q−2→ Agua

100C

Q−3→ Agua

50C,

Cafe20C

Q+

→ Cafe50C

,

onde o sinal positivo em Q indica calor absorvido enquanto que o sinal negativo indicacalor cedido. Nao e difıcil ver que o calor total cedido pelo vapor de agua corresponde a

Q− = Q−1 +Q−

2 +Q−3 =

= mvcv (130− 100) + λemv +mvca (100− 50) = 30mvcv + λemv + 50mvca ,

enquanto que o calor absorvido pelo cafe correspondera a

Q+ = mccc (50− 20) = 30mcca ;

na ausencia de perdas de calor ter-se-a que Q− = Q+, ou seja:

30mvcv + λemv + 50mvca = 30mcca ;

resolvendo em ordem a mv nao e difıcil concluir que

mv =30mcca

30cv + λe + 50ca=

30× 0, 1× 4186

30× 2010 + 2260× 103 + 50× 4186= 4, 96× 10−3 kg .

14. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: ma = 1 kg,λe = 2260 ×103J/kg,P = 10 W.

Incognitas: t.

Com base na informacao do enunciado podemos construir a seguinte sequencia de calorime-tria:

39

Agua100C

Q→ Vapor de agua100C

.

Nao e difıcil ver que o calor absorvido pela agua para transformar-se em vapor correspondea

Q = maλe ;

por outro lado a serpentina tera fornecido uma quantidade de energia E = Pt a massa deagua; na ausencia de perdas de calor ter-se-ia que

Q = E ⇒ maλe = Pt⇒ t =maλe

P=

1× 2260× 103

10= 226080s = 62, 8h .

15. Na ausencia de perdas de calor podemos afirmar que a energia potencial da massa deagua e transformada inteiramente em calor, ou seja:

mgh = mca∆T = mca (Tf − Ti) ;

a equacao anterior corresponde a uma equacao com uma incognita, ∆, simples de resolver.Uma vez calculado ∆T nao e difıcil concluir que Tf = 5,12C.

16. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: m1 = 0,01 kg,m2 = 0,16 kg,T1 = 10C,T2 = 90C,cl = cc = ca = 4186 J/(kgC).

Incognitas: Tf .

Com base na informacao do enunciado nao e difıcil ver que o cafe arrefece, enquanto queo leite aquece. Assim, o calor absorvido pelo leite corresponde a

Q+ = m1cl (Tf − T1) = m1ca (Tf − T1) ;

analogamente o calor cedido pelo cafe correspondera a

Q− = m2cc (T2 − Tf ) = m2ca (T2 − Tf ) .

Na ausencia de perdas de calor ter-se-a que Q+ = Q−, o que permite obter uma equacaoem ordem a Tf . Resolvendo essa equacao e facil concluir que Tf = 82,5C.

17. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: m1 = 4 kg,m2 = 14 kg,m3 = 2 kg,T1 = 15C,T2 = 160C,Tf = 18C,ca = 4186 J/(kgC).

Incognitas: c1.

40

De acordo com a informacao do enunciado a agua e o recipiente aquecem, enquanto que obloco arrefece. Nao e difıcil ver que o calor absorvido pela agua e o recipiente correspondea

Q+ = m1c1 (Tf − T1) +m2ca (Tf − T1) ,

enquanto que o calor cedido pelo bloco sera dado pela expressao

Q− = m3c1 (T2 − Tf ) ;

na ausencia de perdas de calor Q+ = Q−, o que permite obter uma equacao com umaincognita, c1. Resolvendo a equacao nao e difıcil concluir que c1 = 0,154 cal/gC.

18. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: m1 = 80 g,m2 = 150 g,T1 = 20C,T2 = -10C,cg = 0,50 cal/(gC),ca = 1 cal/(gC),λf = 80 cal/g.

Incognitas: Tf .

De acordo com a informacao do enunciado a agua do copo arrefece, enquanto que os cubosde gelo aquecem. Em princıpio nao se sabe com certeza se o gelo derrete ou nao, o quedificulta a resolucao do problema. Para simplificar esta situacao considere-se que Tf > 0o que implica automaticamente que o gelo absorve calor, aquece, transforma-se em agua,e a agua resultante aquece novamente ate alcancar a temperatura Tf . Desta maneira, ocalor absorvido pelos dois cubos de gelo corresponde a

Q+ = m1cg (0− (−10)) + λfm1 +m1ca (Tf − 0) = 10m1cg + λfm1 + Tfm1ca ;

Por outro lado a agua do copo cede calor, pelo que o calor cedido por ela cedido correspondea

Q− = m2ca (T1 − Tf ) .

Na ausencia de perdas de calor Q+ = Q−, ou seja

m2ca (T1 − Tf ) = 10m1cg + λfm1 + Tfm1ca ;

resolvendo esta equacao em ordem a Tf obterm-se que

Tf =m2caT1 − 10m1cg − λfm1

ca (m1 +m2);

substituindo pelos dados do enunciado nao e difıcil concluir que Tf = -16,5C, o quecontradiz a suposicao original de que Tf > 0. Desta maneira a unica suposicao razoavelconsiste em supor que o gelo aquece ate alcancar a temperatura de 0C, a agua do copoarrefece ate alcancar a temperatura de 0C e entra em equilıbrio termico com o gelo.

19. 45,5C.

41

20. O calor cedido pelo metro cubico de agua corresponde a

Q− = maca∆T = ρaV ca∆T ,

onde V = 1 m3 e ∆T = 1C; analogamente, o calor absorvido pelo ar corresponde a

Q+ = marcar∆T = ρarVarcar∆T ;

na ausencia de perdas de calor Q− = Q+, o que permite obter uma equacao com umaincognita, Var. Resolvendo a equacao e possıvel concluir que Var = 3220 m3.

21. 4 kcal/K.

23. (a) 2,17 g. Dica: Considerar que o trabalho da forca de atrito foi transformadocompletamente em calor para derreter o gelo, ou seja:

Q+ = λfmg = |Wa| =1

2mv2 ,

e resolver em ordem a mg. No caso de alınea (b) o calor devera ser calculado comoQ+ = mgcg∆T + λfmg.

24. 156,25C.

25. (a) 1,17C; (b) 16,17C. Dica: Resolver a equacao

m1gh = m2ca (Tf − Ti)

em ordem a Tf .

26. 781,4 kg.

27. 319,89 K.

28. (a) 0C; (b) 115 g.

29. 1,9 vezes.

34. 5×10−3 cm.

35. 10−5 K−1.

36. 2,3×10−5 K−1.

37. 13238,6 kg/m3.

38. 5×10−4K−1.

39. 3,55 cm.

40. 1,2 cm.

42

41. 368 K.

42. 86C (Cu-Al) e 57C (Al-latao).

44. 0,39 cm/h.

45. 8000 cal.

49. (a) nao; (b) sim; (c) sim, 93 J/kg; (d) 0,20C.

50. 2,7×105.

51. As equacoes de estado dum gas ideal escritas separadamente para os dois gases antesda mistura permitem afirmar que

p1V1 = n1RTp2V2 = n2RT

⇒ n1 = (p1V1) /RTn2 = (p2V2) /RT

.

Analogamente a equacao de estado para a mistura dos dois gases corresponderia a

p (V1 + V2) = (n1 + n2)RT .

Substituindo as expressoes para n1 e n2 na expressao anterior nao e difıcil concluir que:

p =p1V1 + p2V2

V1 + V2

.

52. (a) 0,163 atm; (b) 0,163 atm; (c) 0,163 atm.

53. 2,3×103 Pa.

54. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: T = 273F = 406,9 K,p = 1×10−2 atm = 1013,25 Pa,ρ = 1,24×10−5 g/cm3 = 1,24×10−2 kg/m3.

Incognitas: (a) vqm,(b) m.

(a) Nas aulas teoricas foi mostrado que

vqm =

√3p

ρ;

Substituindo pelos dados do enunciado ter-se-ia que

vqm =

√3× 1013, 25

1, 24× 10−2= 495

m

s.

(b) Igualmente ter-se-a mostrado que

1

2m1v

2qm =

3

2kT (1) ,

43

onde m1 representa a massa duma molecula do gas e k corresponde a constante de Boltz-man. Resolvendo a Eq.(1) em ordem a m1 e substituindo pelos dados do enunciadoobter-se-ia que

m1 =3kT

v2qm

=3× 1, 38× 10−23 × 406, 9

4952= 6, 875× 10−26 kg .

Para obtermos a massa molecular m (ou seja, a massa duma mole da substancia emquestao) multiplica-se a massa duma molecula pela constante de Avogadro:

m = NA ×m1 = 6, 023× 1023 × 6, 875× 10−26 = 0, 0414 kg,

o que de acordo com a tabela periodica dos elementos corresponde ao Argon.

55. Dica: use a Eq.(1) do problema anterior. (a) 430 m/s; (b) 73 K; 1172 K.

56. (a) nao; (b) nao; (c) 3403 J.

57. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: ckgv = 0,075×103 cal/(kg·K) = 314 J/(kg·K).

Incognitas: (a) m1,(b) peso atomico.

O Argon e um gas monoatomico. Para os gases monoatomicos e valido que cmolarv =

3R/2 = 3 × 8, 314/2, onde R = 8, 314 J/(mol·K) representa a constante universal dosgases. Entao:

q =cmolarv

ckgv

=3× 8, 314/2

314= 0, 04

kg

mole,

ou seja que uma mole de Argon → 0,04 kg; mas uma molde de Argon contem 6,023×1023

atomos dde Argon e entao a massa de uma molecula de Argon, m1, podera ser calculadapela expressao:

m1 =0, 04

6, 023× 1023= 6, 6× 10−26 kg .

O peso atomico de qualquer elemento coincide com a massa molar mas transformando ovalor da massa em kg para g e substituindo estes ultimos por “u.m.a.”s (“unidades demassa atomica”); assim o peso atomico do Argon corresponde a 40 u.m.a..

58. v = (γRT/M).

59. TcvV R = constante.

60. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: n = 1 mole,Ti = 0C = 273,15 K,p = constante, Vf = 2Vi,considerar o oxigenio como O2.

Incognitas: Q.

44

Para um gas ideal, e tendo em conta que p = constante, ter-se-ia que

pVi = nRTi

pVf = nRTf;

nao e difıcil concluir com base nestas duas equacoes que Tf = 2Ti = 546,3 K. Por outrolado, de acordo com o enunciado, o oxigenio e um gas diatomico, logo

cv =5

2R =

5

28, 314 = 20, 785

J

mol·K.

Pelo primeiro princıpio da termodinamica Q = ∆U +W , onde

∆U = ncv (Tf − Ti) = 1× 20, 875× (546, 3− 273, 15) = 5677 J ;

para alem disso a transformacao e isobarica e entao

W = p (Vf − Vi) = pVf − pVi = nRTf − nRTi = nR (Tf − Ti) == 1× 8, 314× (546, 3− 273, 15) = 2271 J .

Desta maneira Q = ∆U +W = 5677 + 2271 = 8040 J.

61. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: n = 1 mole,gas ideal monoatomico, Figura No.6.

Incognitas: (a) ∆U , W e Q em cada uma das transformacoes,∑W ,

∑Q;

(b) p1 = 1 atm, p2, p3, V2 e V3.

O gas pode ser considerado como monoatomico, por conseguinte cv = (3/2)R. Com basena Figura No.6 podemos ver que a transformacao 1 → 2 e isocorica; desta maneira

W12 = 0 ,∆U12 = ncv (T2 − T1) =

= 1× (3/2) 8, 314× (600− 300) == 3741 J ;

Q12 = ∆U12 +W12 = 3741 J .

Continuando, a transformacao 2 → 3 e adiabatica, consequentemente Q23 = 0; por outrolado

∆U23 = ncv (T3 − T2) =

= 1× (3/2) 8, 314× (455− 600) = −1808 J ,

e portanto W23 = 1808 J.Finalmente, a transformacao 3 → 1 e isocorica, consequentemente:

W31 = p (V1 − V3) = pV1 − pV3 == nRT1 − nRT3 = nR (T1 − T3) == 1× 8, 314× (300− 455) == −1288 J ,

∆U31 = ncv (T1 − T3) == 1× (3/2) 8, 314× (300− 455) == −1933 J ;

Q31 = ∆U31 +W31 = −1933 J .

45

Com base nos calculos anteriores podemos ver que∑W = W12 +W23 +W31 = 2452 J ,

e ∑Q = Q12 +Q23 +Q31 = 519 J .

(b) Dica: aplicar equacao de estado do gas ideal.

62. (a) 920 J; (b) 71C.

64. (a) 1,2×104 cal; (b) 20C.

68. (a) 94 J; (b) 230 J.

69. (a) 1,1×106 J.

70. (a) nao; (b) sim.

72. 58C.

73. (a) T2 =3T1, T3 = 3×4γ−1T1, T4 = 4γ−1T1; (b) η = 1− 41−γ; (c) ηC = 43%.

75. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: n = 1 mole,p1 = pi, p2 = 2pi, V1 = Vi, V2 = 2Vi,gas ideal monoatomico (cv = 3R/2).

Incognitas: ∆S13 para os processos I e II.

Para o processo I, e tal como indicado no enunciado, podemos construir o seguinte dia-grama p− V :

V

p

Vi

2Vi

pi

2pi

1

2

3

onde o estado inicial corresponde ao estado 1 e o estado final corresponde ao estado 3.Evidentemente que T1 = T2; para alem disso ter-se-ia que

T3 =p3V3

nR=

(2pi) (2Vi)

nR= 4

piVi

nR= 4T2 = 4T1 .

A transformacao 1 → 2 corresponde a expansao isotermica (T1 = T2). Com base nadefinicao de entropia e no primeiro princıpio da termodinamica ter-se-ia que

dS =δQ

T=dU + δW

T=ncvdT + pdV

T;

46

tal como indicado no enunciado na transformacao 1 → 2 a temperatura permanece cons-tante (T = constante), logo dT = 0 e

dS =p

TdV =

nRT/V

TdV = n

R

VdV ;

desta maneira

∆S12 =

2Vi∫Vi

nR

VdV = nR

2Vi∫Vi

ndV

V=

= nR ln(

2Vi

Vi

)= nR ln 2 .

Continuando, a transformacao 2 → 3 e isocorica (V = constante), logo dV = 0 e

dS =ncvT

,

e entao

∆S23 =

T3∫T2

ncvdT

T= ncv

T3∫T2

dT

T=

= ncv ln(T3

T2

)= ncv ln 4 = 2ncv ln 2 .

Desta maneira:

∆S13 = ∆S12 + ∆S23 = nR ln 2 + 2ncv ln 2 = n (R + 2cv) ln 2 .

Para o processo II, e tal como indicado no enunciado, podemos construir o seguintediagrama p− V :

V

p

Vi

2Vi

pi

2pi

1

2 3

onde T1 = T2. Reparemos que

piVi = nRT1 e 2piV2 = nRT1 ,

logo

V2 =nRT1

2pi

=Vi

2.

Continuando:

∆S12 =

Vi/2∫Vi

nR

VdV = nR

Vi/2∫Vi

ndV

V=

47

nR ln

(Vi/2

Vi

)= −nR ln 2 ;

continuando:

∆S23 =

T3∫T2

ncvdT

T+

V3∫V2

p

TdV = ncv

T3∫T2

dT

T+ nR

V3∫V2

dV

V=

= ncv ln(T3

T2

)+ nR ln

(V3

V2

)= ncv ln 4 + nR ln 4 = 2n (cv +R) ln 2 ;

desta maneira:

∆S13 = ∆S12 + ∆S23 = −nR ln 2 + 2ncv ln 2 + 2nR ln 2 = n (R + 2cv) ln 2 .

76. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: c1 = 0,215 cal/(g·K),c2 = 1 cal/(g·K),m1 = 100 g,m2 = 50 g,T1 = 100 C = 373 K,T2 = 20 C = 293 K.

Incognitas: ∆ST .

Calculemos a temperatura de equilıbrio:

m1c1 (T1 − Te) = m2c2 (Te − T2) ⇒

⇒ Te =m1c1T1 +m2c2T2

m1c1 +m2c2=

=100× 0, 215× 373 + 50× 1× 293

100× 0, 215 + 50× 1= 317, 1 K = 44, 1C .

Calculemos agora a variacao de entropia do alumınio:

∆S1 =

Te∫T1

m1c1dT

T= m1c1 ln

(Te

T1

)=

= 100× 0, 215× ln(

317, 1

373

)= −3, 5

cal

K.

Para a agua:

∆S2 =

Te∫T2

m2c2dT

T= m2c2 ln

(Te

T2

)=

= 50× 0, 215× ln(

317, 1

293

)= 3, 95

cal

K.

Assim:

∆ST = ∆S1 + ∆S2 = −3, 5 + 3, 95 = 0, 45cal

K.

48

77. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: m1 = 8 g,m2 = 100cm3 ×1g/cm3 = 100 g,cg = 0,52 cal/(g·K),c2 = 1 cal/(g·K),λf = 333×103 J/kg = 79,67 cal/g,T0 = 0C = 273 K,T1 = -10C = 263 K,T2 = 20C = 293 K.

Incognitas: ∆ST .

Comecemos por calcular a temperatura de equilıbrio:

m2c2 (T2 − Te) = m1c2 (Te − T0) +m1λf +m1cg (T0 − T1) ⇒

⇒ Te =m2c2T2 +m1c2T0 −m1λf −m1cg (T0 − T1)

c2 (m1 +m2)=

=100× 1× 293 + 8× 1× 273− 8× 79, 67− 8× 0, 52× 10

1× (8 + 100)= 285, 2 K = 12, 2C .

Para a agua da garrafa:

∆S1 =

Te∫T2

m2c2dT

T= m2c2 ln

(Te

T2

)=

= 100× 1× ln(

285

293

)= −2, 77

cal

K.

Analogamente, para o gelo:

∆S2 =

T0∫T1

m1cgdT

T+∫ δQ

T+

Te∫T0

m1c1dT

T=

= m1

(cg ln

(T0

T1

)+λf

T0

+ c2 ln(Te

T0

))=

= 8×(0, 52× ln

(273

263

)+

79, 67

273+ 1× ln

(285, 2

273

))= 2, 83

cal

K.

Desta maneira:

∆ST = ∆S1 + ∆S2 = −2, 77 + 2, 83 = 0, 06cal

K.

78. Organizemos a informacao do enunciado:

Dados: m1 = 10 g,cg = 0,52 cal/(g·K),c2 = 1 cal/(g·K),λf = 333×103 J/kg = 79,67 cal/g,T0 = 0C = 273 K,T1 = -10C = 263 K,T2 = 15C = 288 K.

Incognitas: ∆ST .

49

E evidente que Te = T2; desta maneira:

Q1 = m1c2 (Te − T0) + λfm1 +m1cg (T0 − T1) =

= 10× 1× 15 + 79, 67× 10 + 10× 10× 0, 52 = 1000 cal .

Entao, para o lago:

∆S1 = −Q1

T2

=1000

288= −3, 47

cal

K,

enquanto que para o gelo:

∆S2 = m1

(cg ln

(T0

T1

)+λf

T0

+ c2 ln(Te

T0

))=

= 10×(0, 52× ln

(273

263

)+

79, 67

273+ 1× ln

(288

273

))= 3, 65

cal

K.

Consequentemente:

∆ST = ∆S1 + ∆S2 = −3, 47 + 3, 65 = 0, 18cal

K.

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