Problemas isoperimétricos: uma abordagem no ensino médio

Problemas isoperimétricos: uma abordagem noensino médio

Fernando Herrero Lomas

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________


Problemas isoperimétricos: uma abordagem no ensinomédio

Dissertação apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre – Programa de Mestrado Profissional emMatemática. VERSÃO REVISADA

Área de Concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Rempel Ebert

USP – São CarlosJulho de 2016

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Lomas, Fernando HerreroL634p Problemas isoperimétricos: uma abordagem no

ensino médio / Fernando Herrero Lomas; orientadorMarcelo Rempel Ebert. – São Carlos – SP, 2016.

51 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-graduaçãoem Mestrado Profissional em Matemática em RedeNacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação, Universidade de São Paulo, 2016.

1. problema isoprimétrico. 2. desigualdadeisoperimétrica. 3. área.. I. Ebert, Marcelo Rempel,orient. II. Título.


Isoperimetric problems: an approach in high school

Master dissertation submitted to the Instituto deCiências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP,in partial fulfillment of the requirements for the degreeof the Master – Program in Mathematics ProfessionalMaster. FINAL VERSION

Concentration Area: Mathematics

Advisor: Prof. Dr. Marcelo Rempel Ebert

USP – São CarlosJuly 2016

Este trabalho é dedicado a minha esposa, aos meus pais, aos meus irmãos, aos meus afilhados e

aos meus amigos professores, que sabem o quanto é difícil conciliar o tempo entre trabalho e

estudo.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço a Deus por estar realizando mais este sonho. Só Ele sabeo quanto foi difícil superar todas as dificuldades para ingressar e conseguir terminar mais estaetapa. Foi Ele, que me fez acreditar na minha capacidade, quando eu já estava perdendo asesperanças.

Agradeço a minha esposa Eloisa Pimenta Lomas, pelo todo tempo de apoio, cobrança eincentivo para que eu concluísse esse trabalho. Pela paciência de por muito tempo ver todos ossábados durante dois anos dedicados ao PROFMAT.

Agradeço aos meus pais Eloisia e Benedito pelo empenho em incentivar a formaçãocomo ser humano e professor.

Agradeço aos meus irmãos Ana Paula e Hugo por sempre me incentivar.

Agradeço aos professores do PROFMAT que abdicaram de ficar em suas casas aossábados para contribuir com nossa formação, uma vez que nós professores encontramos inumerosobstáculos para frenquentar curso durante a semana.

Agradeço aos meus amigos de PROFMAT que mesmo a distância sempre se fizerampresentes através de mensagens.

Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Marcelo Rempel Ebert que sempre foi importante,não só para apoiar durante a dissertação, mas também por sempre se mostrar presente nos váriosmomentos do PROFMAT.

“A Matemática não mente. Mente quem faz mau uso dela”

Albert Einstein.

RESUMO

LOMAS, F. H.. Problemas isoperimétricos: uma abordagem no ensino médio. 2016. 51f. Dissertação (Mestrado – Programa de Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto deCiências Matemáticas e de Computação (ICMC/USP), São Carlos – SP.

Nesta dissertação foram discutidas abordagens do problema isoperimétrico que podem seraplicadas no ensino médio e para alunos de Licenciatura plena em Matemática. Foi realizadainicialmente uma abordagem histórica e posteriormente a discussão de casos particulares e geraisde desigualdade isoperimétrica tanto no plano como no espaço. A abordagem principal destetexto é no plano, no qual foram analisadas as áreas dos triângulos, quadriláteros e polígonosregulares dado um perímetro fixo.

Palavras-chave: problema isoprimétrico, desigualdade isoperimétrica, área..

ABSTRACT

LOMAS, F. H.. Isoperimetric problems: an approach in high school. 2016. 51 f. Dissertação (Mestrado – Programa de Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC/USP), São Carlos – SP.

In this dissertation isoperimetric problem approaches were discussed that can be applied in high school and full degree students in mathematics. It was initially performed a historical approach and then the discussion of individual and general cases of isoperimetric inequality both in the plane and in space . The main approach of this text is in the plan, in which the areas of the triangles were analyzed , quadrilaterals and regular polygons given a fixed perimeter.

Key-words: isoperimetric problem, isoperimetric inequality, area..

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Livro Coleção Matemática - Edição de 1589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 2 – Cidade de Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 3 – Cidade de Braga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 4 – Cidade Colônia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 5 – Elipse com Focos F1 e F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 6 – Triângulo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 7 – Triângulo qualquer com altura relativa a BC . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 8 – Triângulos com base no eixo maior da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Figura 9 – Paralelepípedo reto retângulo com lados a, b e c . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 10 – Perímetro fixado p = 20, polígono com n = 4 lados e circunferência com

mesmo perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 11 – Perímetro fixado p = 20, polígono com n = 5 lados e circunferência com






mesmo perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 17 – Triângulo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 ABORDAGEM HISTÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 ASSUNTOS PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1 A Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Calculando a área de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Quadriláteros inscrítiveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Desigualdades das Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1 A Desigualdade Isoperimétrica no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.1 A Desigualdade Isoperimétrica para triângulos . . . . . . . . . . . . . 314.1.2 A Desigualdade Isoperimétrica para Quadriláteros . . . . . . . . . . . 334.1.3 A desigualdade isoperimétrica para polígonos . . . . . . . . . . . . . 354.2 A Desigualdade Isoperimétrica no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

APÊNDICE A ROTEIRO DE AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.1 Roteiro de aulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.1.1 Aula 01 - Aspecto Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.1.2 Aula 02 - Relembrando alguns resultados da Geometria Plana . . . 42A.1.3 Aula 03 - O problema isoperimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.1.4 Aula 04 - Usando o Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.2 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

APÊNDICE B ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO DO GEOGEBRA . . . 47

APÊNDICE C DEMONSTRAÇÕES ADICIONAIS . . . . . . . . . . . 49

19

CAPÍTULO

1INTRODUÇÃO

O problema isoperimétrico, um problema clássico da Matemática, é um assunto interes-sante a ser discutido com alunos dos Ensino Médio, pois o mesmo mostra claramente o quantoa Matemática se faz presente na vida das pessoas. Explorando esse assunto em sala de aulao professor poderá estimular seus alunos discutirem e pensar nas várias situações possíveispara obter a maior área dado o perímetro fixo. Ressalta-se ainda que através da experimentaçãoem um laboratório de Matemática o aluno poderá perceber a importância de vários resultadosmatemáticos.

Este trabalho poderá servir como um manual ao professor da Educação Básica paraaplicação em sala de aula, para que tal objetivo seja alcançado essa dissertação apresenta umadivisão em 4 partes principais e os anexos:

∙ Abordagem histórica - Um pouco de história e curiosidades.

∙ Assuntos preliminares - Itens de Matemática básica que servirão de apoio para melhorcompreensão das demonstrações utilizadas.

∙ Desigualdes isoperimétricas no R2 - Casos particulares e o teorema que motivou essetrabalho de pesquisa.

∙ Desigualdes isoperimétricas no R3 - Caso particular.

∙ Anexo A, B e C que contemplam respectivamente um roteiro de aula, um roteiro deconstrução no Geogebrar e demonstrações adicionais.

21

CAPÍTULO

2ABORDAGEM HISTÓRICA

O problema isoperimétrico já são encontrados em textos gregos de Papus (Pappus)ou Papo de Alexandria 1. Segundo (EVES, 2004) um dos maiores trabalhos de Papus foiColeção Matemática. Esta coleção é uma combinação de guia de geometria da época, com váriasproposições originais, extensões e notas históricas. Infelizmente dos oito livros que compõemessa obra perdeu-se o primeiro e parte do segundo livro.

Destacamos o livro V, que aborda amplamente à Isoperimetria, ou seja, comparaçãode áreas de figuras limitadas por perímetros iguais e também de volumes de sólidos que sãolimitados por áreas iguais. Nesta obra é abordado também de maneira interessante sobre os favosde mel das abelhas e propriedades de máximos e mínimos.

Figura 1 – Livro Coleção Matemática - Edição de 1589

Apesar das abordagens do problema isoperimétrico já no séc. IV, não há indícios de1 Pappus ou Papo de Alexandria foi um egípcio helenizado nascido em Alexandria, Egito, e um dos mais

importantes matemáticos helenísticos da antiguidade.

22 Capítulo 2. Abordagem histórica

uma prova formal para o problema, dentro deste período. Entretanto o problema isoperimétricosempre despertou interesse de outros matemáticos, por exemplo, o interesse de Jakob Bernoulli2

que no século XVII também propõe discussões sobre o problema de figuras isoperimétricas e poresse motivo este foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar no cálculo de variações, segundo(EVES, 2004).

Apesar de não existirem provas formais, o fato de conhecer o resultado "provável"doproblema, pode ter influenciado na organização de cidades durante a idade média. As cidadesneste período histórico normalmente eram cercadas de muros e muitas vezes limitadas por riosou montanhas para proteção.

Analisarmos alguns mapas da época, fica claro a disposição circular ou semicircular.Inclusive observa-se que de maneira inteligente verifica-se de fato a utilização de construção demuros semicirculares e rios como delimitações da fronteira. Pode-se citar como exemplos ascidades de Paris (França), Braga (Portugal) e Colônia (Alemanhã).

Figura 2 – Cidade de Paris

Outra curiosidade é a referência a solução do problema isoperimétrico no épico Eneidado poeta romano Virgílio. Obra dividida em doze cantos, escrita em versos por Virgílio emseu retiro na Campânia durante os últimos 12 anos de sua vida (30-19 a.C.). A referência doproblema isoperimétrico é feita na história da Rainha Dido, canto VI da obra de Virgilio, porisso encontramos versões desta história como "A Lenda de Dido". Após o assassinado do maridoDido negocia com o Rei Jarbas a compra de terras. Neste acordo ficou acertado que ela poderiacomprar a terra em que ela pudesse cercar com a pele de um touro. Após cortar o couro emtiras bem finas e emendá-las foi realizada a escolha do lugar, escolhido um lugar a beira mar eladecidiu por fazer um semicírculo com essa longa tira de couro.2 Jakob Bernoulli foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por

Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.

23

Figura 3 – Cidade de Braga

Figura 4 – Cidade Colônia

Dados os períodos históricos da Coleção de Pappus e a obra de Virgilio podemos concluirque já havia estudos anteriores sobre o assunto, mas tais registros devem ter se perdido.

Entretanto apenas em 1870, com Weierstrass 3surgiu uma prova rigorosa amplamenteaceita. Segundo (LIMBERGER, 2012), essa prova aparece como corolário nos estudos da teoriade "Cálculo das Variações". Posteriormente apareceram novas provas no séc. XX pelos alemãesErhard Schmidt e Adolf Hurwitz, porém a demonstração deste último faz uso das Séries deFourier. Tipo de demonstração que não será abordada neste trabalho uma vez que este tem comoobjetivo a aplicação no Ensino Médio.

3 Karl Weierstrass, foi um matemático alemão, professor na Universidade de Berlim no séc. XIX.

25

CAPÍTULO

3ASSUNTOS PRELIMINARES

Neste capítulo trataremos de assuntos que representam os pré-requisitos para o en-tendimento dos resultados matemáticos que serão utilizados para demonstrar e apresentar oassunto.

3.1 A Elipse

Nesta seção vamos apenas apresentar o conceito de Elipse, pois a definição de Elipseserá utilizada para demonstrar a desigualdade isoperimétrica para triângulos.

Dados dois pontos fixados F1 e F2, pertencentes a um plano α , seja 2c a distância entreeles.

Definição 1. Uma elipse é o conjunto dos pontos P de α , cuja a soma das distâncias a F1 e F2 éa constante 2a (2a > 2c).

Elipse = {P ∈ α|PF1 +PF2 = 2a}

Figura 5 – Elipse com Focos F1 e F2

26 Capítulo 3. Assuntos preliminares

Denominamos A1A2 como eixo maior e B1B2 como eixo menor.

3.2 Calculando a área de triângulosPara calcular a área de triângulos nas próximas demonstrações serão utilizados dois

resultados em especial que são:

Figura 6 – Triângulo qualquer

Modo 1 - (Conhecido dois lados e um ângulo entre eles): Podemos utilizar a fórmulamatemática que utiliza a trigonometria como recurso,

S =ac · sen(α)

2. (3.1)

Demonstração. Dado um △ABC, pode-se tomar BC como base e traçar a altura relativa a BC

como mostra a figura 7. Conhecendo o ângulo α , calcula-se a altura h:

Figura 7 – Triângulo qualquer com altura relativa a BC

sen(α) =hc,

h = c · sen(α).

Seja S a área do △ABC, então:

S =a ·h

2,

S =a · c · sen(α)

2,

S =ac · sen(α)

2.

Modo 2 - (Conhecido os três lados do triângulo): Podemos utilizar a famosa fórmulade Heron 1:

A =√

p(p−a)(p−b)(p− c), p =a+b+ c

2. (3.2)

3.3 Quadriláteros inscrítiveis

Nesta seção será discutido um pouco sobre os quadriláteros inscritíveis, para tal de-monstraremos a seguinte proposição, que pode ser encontrada no livro (BARBOSA; PLANA,).

Proposição 1. Um quadrilátero pode ser inscrito em um círculo se e somente se possui um parde ângulos opostos suplementares.

Demonstração. Supondo que o quadrilátero possa ser inscrito em um circulo. Desta forma cadaum dos ângulos é um ângulo inscrito no circulo. Seja ABCD esse quadrilátero. Considerando osângulos A e C. Esses ângulos juntos com os pontos B e D determinam os dois arcos. Como essesarcos somam 360o e sabemos que todo ângulo inscrito em um círculo tem a metade da medidado arco correspondente, a soma dos ângulos A e C será 180o, portanto suplementares. Seja agoraum quadrilado ABCD com um par de ângulos opostos suplementares. Como a soma dos ângulosinternos dos quadriláteros é 360o, então, o outro par de ângulos opostos também é suplementar.Observe as figuras abaixo:

B

A

C

D

B1

A1

C1

D1

E

É sempre possível estabelecer 3 pontos sobre o círculo, mas quando vamos colocar oquarto ponto, temos três possibilidades para esse ponto: Ponto sobre o círculo, dentro ou forado círculo. Vamos supor que o ponto esteja fora, desta forma observe o segmento B1D1 e o E,ponto sobre o círculo. O Quadrilátero A1B1C1E é um quadrilátero inscrito no círculo e, portantoseus ângulos são suplementares.

A1B1C1 +A1EC1 = 180o.

Por hipótese também temos1 Demonstração no Anexo C

28 Capítulo 3. Assuntos preliminares

A1B1C1 +A1D1C1 = 180o.

Dessas duas igualdades, concluímos que A1D1C1 = A1EC1. Observe ainda que:

A1EB1 > A1D1B e B1EC1 > B1D1C1 (ângulos externos). Desta forma:

A1EC1 = A1EB1 +B1EC1 > A1D1B1 +B1D1C1 = A1D1C1.

Esta contradição mostra que D não pode estar fora do círculo. A prova que o D não estádentro do círculo é análoga.

3.4 Desigualdades das Médias

Nesta seção serão apresentadas todas as médias, porém faremos apenas a demonstraçãodas desigualdade entre a média aritmética e geométrica, pois será utilizada na demonstraçãodesigualdade isoperimétrica entre quadriláteros.

Definição 2. Sejam a1,a2, ...,an−1,an números reais positivos. Os valores

mh(a1,a2, ...,an) =n

1a1+ 1

a2+ ...+ 1

an

, (3.3)

mg(a1,a2, ...,an) = n√

a1 ·a2 · ... ·an , (3.4)

ma(a1,a2, ...,an) =a1 +a2 + ...+an

n(3.5)

e

mq(a1,a2, ...,an) =

√a2

1 +a22 + ...+a2

n

n, (3.6)

são chamados, respectivamente, de média harmônica, média geométrica, média aritmética emédia quadrática dos números ai, no qual i ∈ {1,2,3, ...,n}.

Proposição 2. Dados a1,a2, ...,an números reais positivos tem-se mg(a1,a2, · · · ,an)≤ma(a1,a2, · · · ,an)

e a igualdade vale se, e somente se, a1 = a2 = ...= an.

Demonstração. Dividiremos a demonstração em duas etapas:

Etapa 1: A desigualdade vale para n = 2m.

Provaremos por indução. Para n = 2 a desigualdade vale. De fato,

(√

a1 −√

a2)2 = a1 +a2 −2

√a1a2 ≥ 0.

3.4. Desigualdades das Médias 29

Assim, a1 +a2 ≥ 2√

a1a2 e consequentemente a1+a22 ≥√

a1a2.

Agora queremos provar que se a desigualdade vale para n = k = 2m, então também valepara n = 2k = 2m+1.

a1 +a2 + ...+a2k

2k=

a1+a2+...+akk +

ak+1+ak+2+...+a2kk

2

≥*k√

a1a2...ak + k√

ak+1ak+2...a2k

2

≥**√

k√

a1a2...ak k√

ak+1ak+2...a2k

= 2k√

a1a2...a2k,

onde em (*) e (**) usamos a validade da desigualdade para n = k e para n = 2, respectivamente.Provado para n=2, é claro que vale para n = 4,8, · · ·2m, · · · , como já era esperado.

Etapa 2: Dado m inteiro positivo, então a desigualdade vale para todo n < 2m. Para queisso seja verificado, definimos o número L = n

√a1...an, e como a desigualdade vale para n = 2m,

temos então que

a1 + ...+an +L+ ...+L︸︷︷︸(2m−n)vezes

2m ≥ 2m√a1 · ... ·an ·L2m−n

=2m√

Ln ·L2m−n = L.

Portanto,a1 + ...+an +(2m −n)L

2m ≥ L,

logoa1 + ...+an ≥ 2mL− (2m −n))L = nL,

obtendo desta maneiraa1 + ...+an ≥ nL = n n

√a1...an,

ou seja, a desigualdade desejada. O caso em que a1 = a2 = a3 = ...= an é imediato.

31

CAPÍTULO

4DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA

Este capítulo está dedicado a desigualdade isoperimétrica no plano e um exemplo noespaço. Será observado a desigualdade no triângulo, no quadrilátero e nos polígonos regulares.Posteriormente serão realizadas algumas observações acerca do problema sobre uma superfícienão plana e um caso particular no R3.

4.1 A Desigualdade Isoperimétrica no R2

Apresentaremos alguns casos de desigualdade isoperimétrica no plano.

4.1.1 A Desigualdade Isoperimétrica para triângulos

Vamos discutir como determinar entre triângulos com mesmo perímetro qual terá maiorárea. Seja então uma família de triângulos cujo os vértices da base sejam fixados e que sejadeterminado um perímetro fixo.

Pela definição da Elipse, podemos sem perda de generalização determinar que se fixarmoso lado de um triângulo (chamaremos de base) e fixarmos o perímetro o terceiro vértice destetriângulo estará sobre uma elipse cujos focos são vértices da base previamente fixada. De fatopodemos afirmar que o terceiro vértice estará sobre uma elipse, pois a soma das distâncias doterceiro vértice aos outros dois lados é constante.

Sendo assim dada essa família de triângulos com o mesmo perímetro, precisamosdeterminar qual triângulo terá a maior área.

Dado que a base foi fixada, tem-se que a maior área será a do triângulo que apresentarmaior altura, ou seja, o triângulo cujo o terceiro vértice coincidir com o vértice superior ouinferior da elipse. Sendo assim entre todos os triângulos ABC de base AB fixa e perímetro dado,temos que o de maior área será o triângulo isósceles.

32 Capítulo 4. Desigualdade isoperimétrica

Figura 8 – Triângulos com base no eixo maior da elipse

Proposição 3. Dentre todos os triângulo ABC de base AB com medida fixa e perímetro dado, ode maior área é o isósceles

Demonstração. Tomando um triângulo de lados a, b e c pela fórmula de Heron temos que

A =√

p(p−a)(p−b)(p− c), p = a+b+c2 .

Fixando a, para maximizar a área basta que o produto M = (p−b)(p− c) seja máximo.Tomando p = a+b+c

2 , ou seja,

2p = a+b+ c, (4.1)

isolando b e substituindo em M, obtemos

M = (p− (2p−a− c))(p− c) =−p2 +(a+2c)p+(ac+ c2). (4.2)

Como temos uma função quadrática na variável p, com discriminante ∆ = a2 > 0, o valormáximo de M é assumido no vértice da parábola, ou seja, na abcissa

p =a+2c

2. (4.3)

Comparando (4.1) e (4.3) temos que a+b+ c = a+2c. Desta forma o produto M será máximoquando b = c, ou seja, quando o triângulo for isósceles.

Precisamos considerar também as situações em que não se tem nenhum lado fixado.Sendo assim podemos tratar um caso mais geral.

Proposição 4. Entre todos os triângulos apenas com um perímetro P fixado o de maior área é otriângulo equilátero.

Demonstração. Tomando um triângulo de lados a, b e c pela fórmula de Heron temos que:

A =√

p(p−a)(p−b)(p− c), p = a+b+c2 .

4.1. A Desigualdade Isoperimétrica no R2 33

Admitindo a média geométrica e aritmética por definição respectivamente como

mg(a1,a2, ...,an) = n√

a1a2...an (4.4)

e

ma(a1,a2, ...,an) =a1 +a2 + ...+an

n(4.5)

e ainda conhecendo a desigualdade mg ≤ ma podemos escrever que

A ≤√

p(

p−a+p−b+p−c3

)3= p2

3√

3.

Logo a maior área que pode ser atingida é p2

3√

3. Considerando que na desigualdade

mg ≤ ma só ocorre a igualdade quando a1 = a2 = ...= an, temos que p−a = p−b = p− c ⇔a = b = c , ou seja, quando o triângulo é equilátero. Sendo assim a área p2

3√

3= a2

√3

4 .

Concluímos o estudo da desigualdade isoperimétrica de um triângulo chegando noresultado que dado um perímetro P a maior área é encontrada quando a medida do lado ` destetriângulo for igual a 1

3P.

4.1.2 A Desigualdade Isoperimétrica para Quadriláteros

Esta seção tem o objetivos de analisar os problemas isoperimétricos nos quadriláteros.

Proposição 5. Dentre todos os quadriláteros com comprimentos de lados fixados aquele demaior área é o inscritível.

Demonstração. Conhecida a fórmula de Bretschneider 1 para a área S de um quadriláteroconvexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c =CD e d = DA e ângulos A, B, C e D:

S =

√( p2 −a

)( p2 −b

)( p2 − c

)( p2 −d

)− 1

2abcd[1+ cos(

A+C)], na qual p = a+b+ c+d.

Para que o valor S seja maximizado é suficiente minimizar 1+cos(A+C). Isso aconteceráquando o valor do cosseno for assumir o valor −1, ou seja, A + C = π . Sabendo que umquadrilátero é inscritível, se e somente se, possui um par de ângulos opostos suplementares.

Proposição 6. Entre todos os quadriláteros inscritíveis o de maior área é quadrado.

1 Demonstração no Anexo C


Demonstração.

A

B

C

D

a

b

c

d

α

β

e

Dado um quadrilátero qualquer ABCD, podemos calcular a área em duas etapas. Calcu-lando a área do triângulo ABD e a área do triangulo BCD, assim temos:

A1 =ad · sen(α)

2. (4.6)

A2 =cb · sen(β )

2. (4.7)

A =ad · sen(α)

2+

cb · sen(β )2

. (4.8)

Para que (4.8) seja máxima é preciso que (4.6) e (4.7) tenham o maior valor possível.Para tal é necessário que sen(α) e sen(β ) sejam máximos, ou seja, α = β = π

2 .

Isso já garante que o quadrilátero seja um retângulo e assim com um par de ângulossuplementares, sendo assim inscritível.

Para concluir a prova temos que demonstrar que dado um perímetro fixo a área doquadrado é maior que de um retângulo. Então que seja um retângulo ABCD com lados demedidas x e y. Assim a área e perímetro deste retângulo é determinada respectivamente por

A = x · y (4.9)

e

p = 2x+2y. (4.10)

Isolando y encontra-se y = p−2x2 , agora substituindo em (4.9) temos

A =xp−2x2

2. (4.11)

Desta função quadrática podemos determinar que o máximo valor será atingido quando x= y= p4 ,

ou seja, quando esse retângulo for um quadrado.


4.1.3 A desigualdade isoperimétrica para polígonos

A demonstração da desigualdade isoperimétrica para polígonos regulares é inapropriadapara ser aplicada no Ensino Médio. Desta forma torna-se mais adequado a apresentação deuma atividade interativa utilizando um software livre, tal como Geogebra (software gratuitode matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos váriosníveis de ensino), para que os alunos intuitivamente percebam que ao fixar um perímetro P opolígono regular terá sua área aumentada a cada aumento no número de lados, tal atividade estádisponível no Anexo A.

A seguir apresentamos uma prova simples, utilizando cálculo diferencial. Sabe-se quea mesma não pode ser aplicada no Ensino Médio, mas trata-se de uma demonstração de fácilentendimento para estudantes de Licenciatura e por esse motivo é apresentada.

Proposição 7. Se i < j, i e j inteiros positivos, então a área de um polígono regular de i lados émenor do que a área de um polígono regular de j lados de mesmo perímetro. Além disso, a áreado círculo é maior do que a área de qualquer polígono regular de mesmo perímetro.

Demonstração. Seja p o perímetro de um polígono regular de n lados. Desta maneira, pode-seafirmar que esse polígono possui lados com medida l = p

n . Dividindo esse polígono regularem n triângulos isósceles de base l e altura a, a = l

2 ·1

tan π

n. A área S deste polígono pode ser

determinada por S = p2

4n ·1

tan π

n, multiplicando o numerador e denominador da fração por π

n ,

pode-se rescrever S como S = p2

4π·

π

ntan π

n.

Para ver como S varia, trocamos π

n por x, assim estudaremos a função f (x) = xtanx para

x ∈ (0, π

2 ). Tomar n grande implica em calcular o limite.

limx→0

f (x) = limx→0

( xtanx

)= lim

x→0(cos(x)) · lim

x→0

(x

sen(x)

). (4.12)

Usando a regra do produto e o limite fundamental, temos:

1. limx→0(cos(x)) = 1,

2. limx→0

(x

sen(x)

)= 1 (Limite fundamental).

Então, limx→0 f (x) = 1.

Além disso f é continua em (0, π

2 ) e calculando a 1a derivada de f (x) obtemos:

f (x) = x · cos(x)sen(x)

→ f ′(x) = 1 · cos(x)sen(x)

+ x · (−sen(x) · sen(x)− cos(x) · cos(x))sen(x)2 (4.13)


f ′(x) =cos(x)sen(x)

+ x(· −1sen(x)2

)=

cos(x)sen(x)

− xsen(x)2 .

Conclui-se que f ′(x)< 0 e a área de S é estritamente crescente, quando n cresce. Portantose i < j a área do polígono regular de i lados será maior que a área de um polígono regular dej lados. E ainda, como limx→0 f (x) = 1, temos que a área S de um polígono regular de n ladossatisfaz S < p2

4π.

Agora se tomarmos um círculo de perímetro p, neste caso o raio será r = p2π

, e logosua área será S = p2

4π. Portanto, temos que a área do círculo é maior do que a área de qualquer

polígono regular de mesmo perímetro.

De maneira mais geral como pode ser visto em ((LIMBERGER, 2012)), temos:

Teorema 1. (Desigualdade isoperimétrica) Toda curva fechada de comprimento p englobauma área menor ou igual a p2

4π. Além disso, esse valor só é alcançado para círculo de raio p

2π.

Obs. Sendo mais rigorosos, podemos assumir que a superfície da Terra é aproximada-mente esférica e que um problema isoperimétrico real pode ser resolvido sobre essa superfícieesférica. E a solução neste caso é a mesma, ou seja, a maior área dado um perímetro fixo serádeterminada por um círculo. A desigualdade isoperimétrica para curvas fechadas sobre umaesfera foi resolvida em 1905 por (BERNSTEIN, 1905).

4.2 A Desigualdade Isoperimétrica no R3

A seguir um exemplo de desigualdade isoperimétrica no R3. A proposta desta seção éprovar que entre todos os paralelepípedos com área S fixada o maior volume é encontrado nocubo, ou seja, um paralelepípedo regular.

Figura 9 – Paralelepípedo reto retângulo com lados a, b e c


Demonstração. A área da superfície é S = 2(ab+bc+ac) e o volume deste sólido é V = abc,usando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica mg(a1,a2,a3)≤ ma(a1,a2,a3)

temos que

v2 = ab ·ac ·bc ≤(

ab+ac+bc3

)3

=

(S6

)3

. (4.14)

Para que o volume máximo seja atingido, ou seja, para que V =

√(S6

)3atinja o seu maior valor

possível é necessário que ab = ac = bc, logo a = b = c.

39

REFERÊNCIAS

BARBOSA, J. L. M.; PLANA, G. E. Coleçao do Professor de Matemática. Rio de Janeiro:SBM, Rio de Janeiro.

BERNSTEIN, F. Über die isoperimetrische eigenschaft des kreises auf der kugeloberfläche undin der ebene. Mathematische Annalen, Springer, v. 60, n. 1, p. 117–136, 1905.

EVES, H. Introdução à história da Matemática. Campinas, São Paulo: UNICAMP, 2004.

LIMBERGER, R. Abordagens do problema isoperimétrico, Dissertação de Mestrado. Dis-sertação (Mestrado) — UNICAMP, Campinas, 2012.

41

APÊNDICE

AROTEIRO DE AULA

Público Alvo: Alunos da 2a ou 3a série do Ensino Médio, mas pode ser aplicado empartes para os anos finais do Ensino Fundamental II ou para a 1a série do Ensino Médio, desdede que seja adaptado. Veja depoimentos das aplicações no site http://www.gegribeiraopreto.com/- GEG Ribeirão Preto-SP e obtenha o Geogebra https://www.geogebra.org .

Recursos Pedagógicos:

∙ Material impresso;

∙ Giz e lousa (sala convencional);

∙ Laboratório de Informática;

∙ Sala de recursos multimídia.

Objetivo Geral: Mostrar a utilização de conceitos geométricos que foram importantesem decisões durante a história e através disso motivar o estudo de Matemática.

Objetivos Específicos:

∙ Utilizar o software livre Geogebra para modelar situações;

∙ Incentivar a solução de problemas em grupo;

∙ Mostrar a importância da Matemática para sociedade.

Conteúdos:

∙ Geometria Plana;

∙ Problema Isoperimétrico Clássico.

42 APÊNDICE A. Roteiro de aula

A.1 Roteiro de aulas

A.1.1 Aula 01 - Aspecto Histórico

(Sala com Recursos Multimídia)

Essa aula pode ser ilustrada com um vídeo "Problema isoperimétrico e Área má-xima"disponível no youtube - https://www.youtube.com/watch?v=FffRJ9LKjgc .

Após o vídeo aproveitar o tempo para interagir com a turma e recolher as curiosidadesque podem ter sido encontradas neste vídeo.

A.1.2 Aula 02 - Relembrando alguns resultados da Geometria Plana

(Sala comum)

Referência é o Capítulo[2].

∙ Definição de Elipse;

∙ Área de triângulos;

∙ Ângulo inscrito na circunferência;

∙ Polígonos inscritíveis;

∙ Desigualdade das médias aritmética e geométrica.

A.1.3 Aula 03 - O problema isoperimétrico

(Sala com Recursos Multimídia)

Apresentar o problema clássico. Capítulo [3].

A.1.4 Aula 04 - Usando o Geogebra

(Sala de informática)

Acesse o roteiro e o arquivo do resultado a ser obtido no Geogebra - https://goo.gl/5x97PR- Pasta de arquivos. O arquivo poligonos.ggb deve ser aberto com o Geogebra.

Os alunos podem ser organizados em trios para essa atividade. Deve ser entregue impressoo roteiro com as instruções de construção dos polígonos no Geogebra.

O ideal é contar com um monitor assistente para ajudar aos alunos nesta atividade, poismuitos encontram dificuldades em localizar os comandos inicialmente.

Seguindo as instruções do roteiro os alunos devem chegar nas figuras abaixo, lembrandoque número máximo de lados testado para o polígono foi de 30 lados, mas pode-se utilizar um

A.1. Roteiro de aulas 43

Figura 10 – Perímetro fixado p = 20, polígono com n = 4 lados e circunferência com mesmo perímetro


número maior de lados, caso se queira, mas nesta quantidade e comparando com o círculo já setem a ideia ituitiva do objetivo desta aula que é compreender a o problema isoperimétrico noplano.




A.1. Roteiro de aulas 45





A.2 ConsideraçõesEspera-se que este roteiro ajude ao professor a realizar as atividades para que seus

alunos entendam de maneira clara e que se interessem pela Matemática como uma ciênciade experimentação, pois precisamos urgentemente de novos talentos que queiram ingressarnos cursos de graduação em Matemática ou Ciências Exatas. Não existe pessoa melhor que oprofessor em sala de aula para inspirar futuros estudiosos da área. O incentivo a utilização de"laboratório"de Matemática pode ser a melhor maneira de incentivar os alunos a gostarem deMatemática.

47

APÊNDICE

BROTEIRO DE CONSTRUÇÃO DO

GEOGEBRA

Usando recursos para analisar o que acontece ao fixar um perímetro de um polígono e varia

o número de lados

Aluno1: ____________________________ Aluno2: ____________________________

Aluno3: ____________________________

Passo1: Criar um controle deslizante n que representará o número de lados do polígono.

Clicando neste botão e posteriormente no espaço de trabalho escolha o nome n o período de 3 a 30

com incremento de 1.

Passo2: Criar um controle deslizante p que representará o perímetro do polígono.

Clicando neste botão e posteriormente no espaço de trabalho, logo abaixo do controle deslizante n,

escolha o nome p o período de 10 a 50 com incremento de 10.

Passo3: Criar uma variável c, digitando na caixa de entrada => c=p/n

Passo4: Criar um ponto fixo A e na sequencia criar um segmento de valor fixo, sendo o valor escolhido a

medida c.

Os botões utilizados serão respectivamente: e , quando for solicitado o tamanho digite c. Esse

passo é importante, pois definirá a medida do lado do polígono.

Passo5: Criar um polígono regular com tamanho do segmento criado no passo anterior e com número

de lados n.

Passo6: Use para determinar o perímetro e para determinar a área do polígono criado.

Arraste o controle deslizante para alterar o número de lados do polígono e ver o que acontece com a área.

Passo7: Utilize o passo 3 para criar a variável d: d=p/(2*pi), este será o raio do círculo com comprimento p.

Utilize agora o passo 4 para criar um segmento de tamanho fixo com medida d. Usando a ferramenta

compasso e o segmento criado determinaremos um círculo de raio d e perímetro p. Repita o passo

6 para esse círculo e agora faça suas comparações e cheque a suas conclusões.

Bom trabalho! Prof. Fernando H Lomas

49

APÊNDICE

CDEMONSTRAÇÕES ADICIONAIS

Fórmula de Heron

S =√

p(p−a)(p−b)(p− c), p =a+b+ c

2.

Demonstração. Inicialmente calculamos o valor de cos(a). Para tal precisamos do valor de AH.Por Pitágoras determina-se que AH =

√c2 −h2 e cos(a) =

√c2−h2

c . Aplicando a lei do Cossenosrelativa ao ângulo a encontramos: a2 = b2 + c2 −2bc · cos(a).

Substituindo o valor de cos(a):

a2 = b2 + c2 −2bc√

c2 −h2.

Figura 17 – Triângulo qualquer

50 APÊNDICE C. Demonstrações adicionais

Agora isolando o valor de h2,

h2 = c2 −(

b2 + c2 −a2

2b

). (C.1)

Conhecida a fórmula básica de cálculo de área do triângulo S= b·h2 . Elevando ao quadrado

ambos lados, obtém-se:

S2 = b2·h2

4 . Substituindo o valor de (C.1) chega-se em:

S2 =

b2 ·[

c2 −(

b2+c2−a2

2b

)2]

4,

S2 =(2bc)2 − (b2 + c2 −a2)2

16.

Fatorando pela diferença entre quadrados por duas vezes reduzimos S2 a:

S2 = a−b+c2 · a+b−c

2 · b+c−a2 · b+c+a

2 . Sendo p = a+b+c2 , conclui-se que:

S =√

p(p−a)(p−b)(p− c), p = a+b+c2 .

Fórmula Bretschneider

Para determinar área S de um quadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c =

CD e d =DA e ângulos A, B, C e D: S=√

(p−a)(p−b)(p− c)(p−d)− 12abcd

[1+ cos

(A+C

)],

na qual p = a+b+c+d2 .

Demonstração. Inicialmente dividiremos o quadrilátero em dois triângulos, a partir da diagonalBD. Portanto a área S será S = ad·sen(A)

2 + cb·sen(C)2 . Podemos reescrever fazendo S2:

4S2 = a2d2 · sen2(A)+b2c2 · sen2(C)+2abcd · sen(A) · sen(C). (C.2)

Pela lei dos Cossenos para o cálculo da diagonal BD, verifica-se que BD = a2 +d2 −2ad · cos(A) = b2 + c2 −2bc · cos(C). Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado, temos:

(a2 +d2 −b2 − c2)2

4= a2d2 · cos2(A)+b2c2 · cos2(C)−2abcd · cos(A) · cos(C). (C.3)

Somando os dois lados das equações (C.2) e (C.3):

4S2 +(a2 +d2 −b2 − c2)2

4= a2d2 +b2c2 −2abcd · cos(A+C). (C.4)

51

Isolando S, fatorando e substituindo p podemos escrever:

S =

√(p−a)(p−b)(p− c)(p−d)− 1

2abcd[1+ cos

(A+C

)], na qual p = a+b+c+d

2 .

Documents

Problemas isoperimétricos: uma abordagem no ensino médio