Problemas Omegaleph 2013

IME-ITA-IIT-MIT e Olimpadas - Questoes

selecionadas de Matematica e Fsica resolvidas

Fabiano Ferreira e Rodrigo Carlos Silva de Lima

Problemas Omegaleph

[email protected], [email protected]

6 de agosto de 2013

Sumario

1 Questoes 5

1.1 Questao 1- IIT-JEE-2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Questao 2 - Omegaleph 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Questao 3 - MIT-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Questao 4 - Omegaleph-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Questao 5 - IMO-2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Questao 6 - IIT-JEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Questao 7- Omegaleph - 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6


1.9 Questao 9 - Olimpada Russa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.10 Questao 10 - Polinomios Simetricos (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.11 Questao 11 - [FIS] Oscilacoes - Lucas Lugao Guimaraes . . . . . . . . . . . 7

1.12 Questao 12 - IME - Trigonometria - 1974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.13 Questao 13 - (Russia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.14 Questao 14 - Omegaleph 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.15 Questao 15 - Omegaleph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9



1.18 Questao 18 - Olimpada Canadense de Matematica . . . . . . . . . . . . . 9

1.19 Questao 19 - Trigonometria Andreescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.20 Questao 20 - IME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.21 Questao 21 - Mandelbrot - EUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10


1.23 Questao 23 - Rodrigo Lima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2

SUMARIO 3



1.26 Questao 26 - Omegaleph - (M. Steiner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.27 Questao 27 - [MAT] Baltic Way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.28 Questao 28 -[FIS] (Halliday-Temperatura) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.29 Questao 29 -[MAT] (Omegaleph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12



1.32 Questao 32 -[MAT] (IME-1964) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13




1.36 Questao 36 -[FIS] (IPhO - Olimpada Internacional de Fsica) . . . . . . . 14

1.37 Questao 37 (Omegaleph 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.38 Questao 38 - [ITA-1969] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Solucoes 17

2.1 Questao 1- IIT-JEE-2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Questao 2 - Omegaleph 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Questao 3 - MIT-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Questao 4 - Omegaleph-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Questao 5 - IMO-2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Questao 6 - IIT-JEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23



2.9 Questao 9 - Olimpada Russa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


2.11 Questao 11 - [FIS] Oscilacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.12 Questao 12 - IME - 1974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.13 Questao 13 - (Russia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.14 Questao 14 - Omegaleph 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43




SUMARIO 4

2.18 Questao 18 - Olimpada Canadense de Matematica . . . . . . . . . . . . . 48

2.19 Questao 19 - Trigonometria Andreescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.20 Questao 20 - IME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.21 Questao 21 - Mandelbrot - EUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


2.23 Questao 23 - Rodrigo Lima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55




2.27 Questao 27 - [MAT] Baltic Way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.28 Questao 28 -[FIS] (Halliday-Temperatura) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67




2.32 Questao 32 -[MAT] (IME-1964) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74




2.36 Questao 36 -[FIS] (IPhO - Olimpada Internacional de Fsica) . . . . . . . 85

2.37 Questao 37 (Omegaleph 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.38 Questao 38 - [ITA-1969] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Captulo 1

Questoes

1.1 Questao 1- IIT-JEE-2011

Sejam r1 e r2 razes de x2 6x 2 = 0, com r1 > r2. Se xn = rn1 rn2 . Calcule

m =x10 2x8

2x9.

1.2 Questao 2 - Omegaleph 2011

Sinthaya Gupta e um estudante com uma inteligencia brilhante. Aos 11 anos ele ja

sonha em entrar no IIT de Delhi. Seu professor de matematica, Kumar Ghandiji, certo dia

brincou com ele propondo-lhe 3 questoes a fim de testar sua argucia, visto que ele estava

deixando todos professores adimirados pela velocidade com que resolvia os problemas

propostos dentro do seu nvel e ate acima dele. Sem o uso de calculadora, Sinthaya levou

exatamente 5 segundos para resolver a), 7) segundos para resolver b) e 9 segundos para

resolver c). Sabendo que ele acertou todos resultados, quais foram eles? Foram estas as

questoes: Calcule:

a) 132 72.

b) 1032 972.

c) 1000032 999972.

5

CAPITULO 1. QUESTOES 6

1.3 Questao 3 - MIT-2006

Calcular o produtorio2006k=2

k2

k2 1 .

1.4 Questao 4 - Omegaleph-2013

Prove que

tan2(1) + tan2(3) + tan2(5) + + tan2(89) = 4005.

1.5 Questao 5 - IMO-2012

Seja n um numero inteiro maior que 3. Sejam a2, a3, ..., an numeros reais positivos tais

que seu produto seja 1.

Prove que:

nk=2

(1 + ak)k > nn

1.6 Questao 6 - IIT-JEE

Para n > 0, calcule:

2pi0

xsen2nx

sen2nx+ cos2nxdx

1.7 Questao 7- Omegaleph - 2012

Seja

S =1

1 3 5 +1

7 9 11 + +1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) + Mostre que

S =1

16ln3



Prove que:

tan

(3pi

11

)+ 4. sin

(2pi

11

)=

11

1.9 Questao 9 - Olimpada Russa

Prove que se2n 2n

e um inteiro, entao22

n1 22n 1 tambem e inteiro.

1.10 Questao 10 - Polinomios Simetricos (3)

Considere x, y, z numeros reais tais que x + y + z = 5 e yz + zx + xy = 3. Verifique

que

1 6 z 6 133

1.11 Questao 11 - [FIS] Oscilacoes - Lucas Lugao Gui-

maraes

A imagem ilustra uma estrutura triangular que e constituda por hastes rgidas for-

mando um triangulo isosceles de base L e altura H. Duas contas de massa m cada sao

colocadas nos lados congruentes da estrutura de modo a poderem deslizar sem atrito pe-

las hastes. As contas sao ligadas por uma mola ideal de constante k e massa desprezvel.

Considerando que a gravidade no local e vertical e dirigida para baixo e que a reta que

passa pelas contas sempre se mantem na horizontal, calcule o perodo das oscilacoes do

sistema quando ele e perturbado.


1.12 Questao 12 - IME - Trigonometria - 1974

Mostrar que o conjunto de igualdadesa+ b = pi (c+ d)sen asen b

=sen c

sen d

Acarreta a igualdade:

cotg a cotg b = cotg c cotg d

1.13 Questao 13 - (Russia)

Prove que, se x+1

x= 2 cos, entao,

xn +1

xn= 2 cosn

.



Sejam f0(x) =1

1 x e fn(x) = f0(fn1(x)), n = 1, 2, 3, . Calcule f2012(2012).

1.15 Questao 15 - Omegaleph

Qual o valor de x na equacao?

x a bc

+x b c

a+x a c

b= 3


Calcule o valor real positivo de:

8

2 12 1

2 12 12


Se , e sao razes da equacao x3 + 3x2 7x + 1 = 0, determine o valor de3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4.

1.18 Questao 18 - Olimpada Canadense de Matematica

Simplifique:

P =1

2

1 +

2+

1

3

2 + 2

3+ + 1

100

99 + 99

100.

1.19 Questao 19 - Trigonometria Andreescu

Seja fk(x) =1

k(senkx+ coskx), para k = 1, 2, 3, .

Prove que f4(x) f6(x) = 112

para todo real x.


1.20 Questao 20 - IME

Considere o determinante de uma matriz de ordem n definido por:

n =

1 1 1 1 1 11 3 0 0 0 00 1 3 0 0 00 0 1 3 0 0 0 0 0 0 3 00 0 0 0 1 3

Sabendo que 1 = 1, calcule o valor de 10.

1.21 Questao 21 - Mandelbrot - EUA

Encontre11k=1

c2k, onde cn = n+1

2n+ 12n+

.


Encontre a soma de A e B nos mais simples termos, se A =

6 + 2

5

6 2

5

e B = A 1A 1

A.

1.23 Questao 23 - Rodrigo Lima

a) Calcule o valor para o qual converge a serie, sabendo que os denominadores da soma

estao em P.A. de ordem 2.

1

10+

1

18+

1

28+

b) Podem

2,

3 e

5 ser termos de uma mesma progressao aritmetica?



Respeitando a condicao de existencia dos logartimos, prove que os logartimos dos

termos de uma PG formam uma PA.


Prove que em qualquer PG vale: S2n+S22n = Sn (S2n + S3n), onde Sk representa a soma

dos k primeiros termos.

1.26 Questao 26 - Omegaleph - (M. Steiner)

Seja Dn o determinante da matriz n n de entradas aij =| i j |.Mostre que Dn = (1)n.(1 n).2n2.

1.27 Questao 27 - [MAT] Baltic Way

Sejam a, b, c, d reais positivos. Prove que

a+ c

a+ b+b+ d

b+ c+c+ a

c+ d+d+ b

d+ a 4

1.28 Questao 28 -[FIS] (Halliday-Temperatura)

Um termometro de gas especial consiste de dois bulbos que contem gas, cada um

colocado em um reservatorio de agua, como mostra a figura abaixo. A diferenca de pressao

entre os dois bulbos e medida por um manometro de mercurio, tambem representado na

figura. Reservatorios apropriados nao mostrados na figura mantem constante o volume

de gas nos bulbos. Quando os dois reservatorios estao no ponto trplice da agua, nao ha

diferenca de pressao. Quando um reservatorio esta no ponto trplice da agua e o outro esta

no ponto de ebulicao da agua, a diferenca de pressao e de 120 torr. Finalmente, quando um

reservatorio esta no ponto trplice da agua e o outro numa temperatura desconhecida que

desejamos medir, a diferenca de pressao e de 90 torr. Qual a temperatura desconhecida?


1.29 Questao 29 -[MAT] (Omegaleph)

Prove o Paradoxo de Galileu: Qualquer conjunto enumeravel tem uma bijecao sobre

um subconjunto proprio de si mesmo.


Prove que 2

2

2

2

2

2

2...

e um numero natural.


Prove que nn

n

n

n

nn...,

com n N, e natural.


1.32 Questao 32 -[MAT] (IME-1964)

Calcule:

limx2

xx

x

x

x

xx....

Obs.: Saiba que limxL

x = L.


Entenda a perplexidade de Galileu ao constatar os seguintes resultados paradoxais.

a) Ha tantos numeros inteiros positivos quantos sao os quadrados dos numeros inteiros.

Assim, designando por d o cardinal dos numeros inteiros positivos, prove que ]NQ = ]N =d, com NQ = {1, 4, 9, 16, 25, ...} e N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.

b) Prove que ha tantos inteiros positivos quantos sao os numeros triangulares. Lembre-

se que os triangulares sao os numeros 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., ou seja, sao os

obtidos pela relacao de recorrencia:

Tn =n(n+ 1)

2.


Calcule:

a) (x, y) =

xy

x

yxy...

b) (x, y, z) =

x

y

z

x

yz...

c) = 27 (1, 1) + 43 (1, 1, 1)



a) Calcule

= (x1, x2, x3, x4) =

x1x2

x3

x4

x1

x2

x3x4...

b) Prove quex1x2

x3...

xn

x1

x2

x3...xn... =

nk=1

(xk)

2nk 12n1

para todo xk N.

1.36 Questao 36 -[FIS] (IPhO - Olimpada Internaci-

onal de Fsica)

Uma pequena bola com massa M = 0, 2kg repousa sobre uma coluna vertical com h =

5m. Uma bala de revolver com m = 0, 01kg, movendo-se com velocidade v0 = 500m/s,

passa horizontalmente atraves do centro da bala, como mostra a figura abaixo. A bola

atinge o solo a uma distancia s = 20m.

a) Onde a bala atinge o solo?

b) Qual parte (percentual) da energia cinetica da bala foi convertida em calor quando

a bala passou pela bola?

Desconsidere a resistencia do ar. Assuma que g = 10m/s2.


1.37 Questao 37 (Omegaleph 2012)

Tragedia no Oceano Pacfico

(Revisitando um velho problema)

Navio afunda e apenas quatro marinheiros e um macaco se salvam

(Reuters) Depois do terrvel naufragio do seu navio, os tripulantes, quatro marinhei-

ros e um macaco, salvaram-se milagrosamente e vao parar numa numa ilha deserta. Nao

sabendo quanto tempo teriam de ficar na ilha, passaram o primeiro dia apanhando cocos,

pois parecia ser o unico alimento aproveitavel naquele lugar meio inospito. Ao longo dia

foram trazendo os cocos para o monte de cocos comum e depois de anoitecer foram dormir.

Quando estavam todos dormindo, um deles acordou e, suspeitando que no dia seguinte

iria haver briga durante a partilha dos cocos, decidiu retirar logo a sua parte. Comecou

dividindo o monte de cocos em quatro montes iguais. No entanto, sobrou um coco e ele,

generosamente, o deu ao macaco. Depois, retirou a sua parte e a escondeu. Em seguida,


juntou os tres montes de cocos num so, para os seus companheiros nao desconfiarem.

Apos isto, aconteceu que um segundo marinheiro acordou, teve a mesma ideia e decidiu

retirar logo a sua parte. Ele foi ao monte de cocos, dividiu-o em quatro montes iguais

e, curiosamente, tambem sobrou um coco. Como seu predecessor, ele pegou o coco que

sobrou e o deu ao macaco. Depois, retirou a sua parte e a escondeu. Para despistar, ele

tambem juntou os tres montes de cocos num so, a fim de que os seus companheiros nao

desconfiassem.

Noite singular aquela. Ocorreu a mesma ideia sucessivamente ao terceiro e ao quarto

marinheiros. Impressionante foi o fato de o mesmo fenomeno de sobrar um coco acontecer

em cada uma das duas divisoes restantes, sendo que o macaco, por intuicao, ja ficava na

espera e, como nos outros casos, levou a sobra de cada divisao.

Ao amanhecer, todos eles foram a` pilha restante, so que desta vez eles a dividiram em

quatro partes iguais e nao houve sobra, a divisao foi exata. Cada um retirou a sua quarta

parte dos cocos da pilha e, nesse processo, o macaco, que presenciou tudo, ficou sem nada

e de boca fechada, mantendo seus cocos bem escondidos. Lei da sobrevivencia, meu caro!

a) Pois bem, qual o menor numero de cocos que a pilha original podia conter e, neste

caso, no final, quantos cocos cada marinheiro levou?

b) Ao propor este problema para Sinthaya Gupta, o professor Kumar Gandhiji o

desafiou assim: Suponha que n marinheiros subrevivessem ao naufragio e que, do mesmo

modo, durante a noite, um apos o outro, foram a` pilha de cocos e fizeram a divisao do

que encontraram em n partes iguais e verificaram que, em cada divisao, sobrou um coco,

que foi dado ao macaco, com excecao da ultima vez quando dividiram os cocos juntos, ao

amanhecer, e nao sobrou nada. Esta seria uma generalizacao deste problema. Determine,

Sinthaya, em funcao de n, a menor quantidade de cocos que a pilha original poderia

conter.

1.38 Questao 38 - [ITA-1969]

Calcular o somatorionk=0

k

(n

k

).

Captulo 2

Solucoes

2.1 Questao 1- IIT-JEE-2011

Questao 1 (IIT-JEE-2011). Sejam r1 e r2 razes de x2 6x 2 = 0, com r1 > r2. Se

xn = rn1 rn2 . Calcule

m =x10 2x8

2x9.

Solucao 1 de Fabiano Ferreira

Vejamos uma solucao elementar direta.

m =x10 2x8

2x9=r101 2r81 (r102 2r82)

2(r91 r92)=r81(r

21 2) r82(r22 2)

2(r91 r92)Levando r1 e r2 em x

2 6x 2 = 0, obtemos r21 2 = 6r1 e r22 2 = 6r2. Substituindona expressao acima, teremos:

m =r81(6r1) r82(6r2)

2(r91 r92)=

6r91 6r922(r91 r92)

=6(r91 r92)2(r91 r92)

=6

2= 3.

Solucao 2 de Rodigo Lima

Podemos resolver de outra maneira usando teoria de recorrencias, como e feito abaixo.

Sabemos que1 xn = rn1 rn2 satisfaz a` recorrencia xn+2 6xn+1 2xn = 0, pois r1 e r2

sao solucoes distintas de x2 6x 2 = 0. De fato, poderia neste ponto surgir a seguinte1Para mais detalhes sobre a teoria veja o nosso texto de recorrencias: Anotacoes sobre Equacoes de

Diferencas-Recorrencias.

17

CAPITULO 2. SOLUCOES 18

pergunta: Como se chegou a esta recorrencia? A resposta e simples e vamos reponder

mostrando o procedimento passo a passo, a fim de que o leitor seja introduzido calmamente

a este fascinante tema matematico que servira como procedimento metodologico em outros

casos, alem de prepara-lo para ler o texto Diferencas-Recorrencias.

Primeiro, considerando que r1 e r2 sao solucoes distintas de x2 6x 2 = 0, podemos

escrever que r21 6r1 2 = 0 e r22 6r2 2 = 0.Segundo, multiplicando, respectivamente, essas relacoes por rn1 e r

n2 e subtraindo as

duas novas relacoes obtidas, teremos:

{rn1 (r

21 6r1 2) = 0

rn2 (r22 6r2 2) = 0

Entao:

rn1 (r21 6r1 2) rn2 (r22 6r2 2) =

(rn1 r21 6rn1 r1 2rn1 ) (rn2 r22 6rn2 r2 2rn2 ) =

(rn+21 6rn+11 2rn1 ) (rn+22 6rn+12 2rn2 ) = 0

Agrupando os termos semelhantes:

rn+21 rn+22 6(rn+11 rn+12 ) 2(rn1 rn2 ) =

rn+21 rn+22 xn+2

6 (rn+11 rn+12 ) xn+1

2 (rn1 rn2 ) xn

= 0

Assim, chegamos a xn+2 6xn+1 2xn = 0, que e a recorrencia que desejavamosencontrar. Deste modo, fazendo-se n = 8 nesta recorrencia, obtemos x10 6x9 2x8 = 0,o que nos leva a x10 2x8 = 6x9.

Substituindo x10 2x8 = 6x9 na expressao de m encontramos:

m =x10 2x8

2x9=

6x92x9 m = 3



Questao 2. Sinthaya Gupta e um estudante com uma inteligencia brilhante. Aos 11 anos

ele ja sonha em entrar no IIT de Delhi. Seu professor de matematica, Kumar Ghandiji,

certo dia brincou com ele propondo-lhe 3 questoes a fim de testar sua argucia, visto

que ele estava deixando todos professores adimirados pela velocidade com que resolvia

os problemas propostos dentro do seu nvel e ate acima dele. Sem o uso de calculadora,

Sinthaya levou exatamente 5 segundos para resolver a), 7) segundos para resolver b) e 9

segundos para resolver c). Sabendo que ele acertou todos resultados, quais foram eles?

Foram estas as questoes: Calcule:

a) 132 72.

b) 1032 972.

c) 1000032 999972.

Solucao 1 de Rodrigo Lima

Neste problema, usaremos a fatoracao x2 y2 = (x y)(x + y). Aplicando aosproblemas, temos:

a) 132 72 = (13 + 7)(13 7) = 20.6 = 120.

b) 1032 972 = (103 + 97)(103 97) = 200.6 = 1200.

c) 1000032 999972 = (100003 + 99997)(100003 99997) = 200 000.6 = 1200000.

Solucao 2 de Rodrigo Lima

Podemos perceber um padrao em comum em todas essas questoes e generalizar. Todas

as expressoes apresentadas sao da forma:

(10n + 3)2 (10n 3)2

Aplicando o produto notavel tem-se:

(10n + 3)2 (10n 3)2 = (10n + 3 + 10n 3)(10n + 3 10n + 3) = 2.10n.6 = 12.10n

No problema a), b) e c) temos respectivamente n = 1, 2, 5.


2.3 Questao 3 - MIT-2006

Questao 3. Calcular o produtorio

2006k=2

k2

k2 1 .

Solucao de Rodrigo Lima

Vamos resolver o caso geralnk=2

k2

k2 1 .

nk=2

k2

k2 1 =(nk=2

k)2

nk=2

(k 1)nk=2

(k + 1)=

(n!)2

(n 1)! (n+1)!2

=2(n)!(n)!

(n 1)!(n)!(n+ 1) =2n

n+ 1.

Como exemplo2006k=2

k2

k2 1 =4012

2007.

2.4 Questao 4 - Omegaleph-2013

Questao 4 (Omegaleph). Prove que

tan2(1) + tan2(3) + tan2(5) + + tan2(89) = 4005.

Solucao de Fabiano Ferreira

Depois de verificar a resposta no Wolfram e de resolver o problema generico, vi que,

para todo n 1,nk=1

tan2(pi(2k 1)

4n

)= n(2n 1)

Assim, usando a formula fechada () e fazendo nela n = 45, que e exatamente onumero de termos dessa soma, um calculo direto nos fornece

45k=1

tan2(

(2k 1)pi180

)= 45(90 1) = 45 89 = 4005.


Prova de (*)

Resta, pois, ir a` prova de ().Facamos ak = tan

2

((2k 1)pi

4n

), k = 1, 2, 3, . . . , n. Observe que

zk =1 + i

ak

1 iak = ei(2k1)pi/2n

e

z2nk = 1entao (

1 + iak

1 iak

)2n= 1, k = 1, 2, . . . , n.

Assim, a1, a2, . . . , an sao as n razes de(1 + i

1 i)2n

= 1

.

Desenvolvendo esta equacao, obtemos

n n(2n 1)n1 + + (1)n = 0.

Pelas Relacoes de Girard para a soma das razes de uma equacao polinomial, teremos

que o coeficiente de n1, multiplicado por (1), e a resposta buscada:nk=1

ak =nk=1

tan2(

(2k 1)pi4n

)= n(2n 1)

Como queramos demonstrar. Trabalhosa, mas muito bonita.

Q.E.D.

2.5 Questao 5 - IMO-2012

Questao 5 (IMO-2012). Seja n um numero inteiro maior que 3. Sejam a2, a3, ..., an

numeros reais positivos tais que seu produto seja 1.

Prove que:

nk=2

(1 + ak)k > nn



Comecemos aplicando a desigualdade MA-MG. Teremos:

(ak + 1) = (ak +1

k 1 +1

k 1 + .....+1

k 1) kk

ak

(k 1)k1

(ak + 1)k =

(ak +

1

k 1 +1

k 1 + +1

k 1)k kk ak 1

(k 1)k1

=kk

(k 1)k1 ak

nk=2

(ak + 1)k

nk=2

kk

(k 1)k1 ak

Aplicando o produto telescopico e considerando n > 3:

(a2 + 1)2 (a3 + 1)3 (an + n)n

>22

11 3

3

22 4

4

33 n

n

(n 1)n1 nn

a2 a3 an 1

= nn

Usando a notacao de produtorio, podemos escrever:

nk=2

(ak + 1)k >

nk=2

kk

(k 1)k1 ak = nn

nk=2

ak

Do enunciado:

a2 a3 a4 an = 1

nk=2

ak = 1

Conclundo:

nk=2

(ak + 1)k > nn


2.6 Questao 6 - IIT-JEE

Questao 6 (IIT-JEE). Para n > 0, calcule:

2pi0

xsen2nx

sen2nx+ cos2nxdx


=

2pi0

xsen2nx

sen2nx+ cos2nxdx (1)

Usemos a propriedade:

a0

f(x)dx =

a0

f(a x)dx

=

2pi0

(2pi x)sen2n(2pi x)sen2n(2pi x) + cos2n(2pi x)dx

= 2pi

0

(2pi x)sen2n(x)sen2n(x) + cos2n(x)

dx (2)

Somando (1) e (2):

2 =

2pi0

2pisen2nx

sen2nx+ cos2nxdx

= pi 2pi

0

sen2nx

sen2nx+ cos2nxdx

= 2pi pi

0

sen2nx

sen2nx+ cos2nxdx

Usando

2a0

f(x)dx = 2

a0

f(x)dx,

se f(2a x) = f(x), teremos:

= 4pi pi

2

0

sen2nx

sen2nx+ cos2nxdx (3)


= 4pi pi

2

0

cos2nx

cos2nx+ sen2nxdx (4)

Somando (3) e (4):

2 = 4pi

pi2

0

1 dx = 4pi(pi

2 0)

= 2pi2

Portanto:

=

2pi0

xsen2nx

sen2nx+ cos2nxdx = pi2


Questao 7 (Omegaleph). Seja

S =1

1 3 5 +1

7 9 11 + +1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) + Mostre que

S =1

16ln3

Solucao de Vctor Domene

Por fracoes parciais:

1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) =1

8(6k 5) +1

8(6k 1) 1

4(6k 3)Escrevendo em funcao de integrais:

1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) =1

8

10

x6k6dx+1

8

10

x6k2dx 14

10

x6k4dx

8k=1

1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) =k=1

10

x6k6 + 1

0

x6k2 2 1

0

x6k4

8k=1

1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) = 1

0

(1 + x4 2x2)k=1

x6k6

8k=1

1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) = 1

0

(x2 1)2 11 x6


8k=1

1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) = 1

0

1 x21 + x2 + x4

Resolvendo esta integral, teremos:

A =

10

1 x21 + x2 + x4

dx

Por fracoes parciais:

A =

10

1 2x2(x2 x+ 1) +

2x+ 1

2(x2 + x+ 1)

2A =

10

1 2xx2 x+ 1 +

10

2x+ 1

x2 + x+ 1

t = x2 x+ 1 dx = dt2x 1

s = x2 + x+ 1 dx = ds2x+ 1

2A =

10

1 2xt

dt

2x 1 + 1

0

2x+ 1

s

ds

2x+ 1

2A = 1

0

t

dt+

10

s

ds

2A = ln(s/t)

A =1

2ln

(x2 + x+ 1

x2 x+ 1)

Calculando A de 0 a 1:

A =1

2ln(3) 1

2ln(1) =

ln(3)

2Portanto:

8k=1

1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) =ln(3)

2

k=1

1

(6k 5)(6k 3)(6k 1) =ln(3)

16



Questao 8 (Omegaleph). Prove que:

tan

(3pi

11

)+ 4. sin

(2pi

11

)=

11

Solucao de Vctor Domene

tan

(3pi

11

)+ 4. sin

(2pi

11

)= x

Tirando o MMC:

sin

(3pi

11

)+ 4. sin

(2pi

11

). cos

(3pi

11

)= x. cos

(3pi

11

)Elevando ao quadrado:

sin2(

3pi

11

)+ 4. sin

(2pi

11

). sin

(6pi

11

)+

sin2(

2pi

11

). cos2

(3pi

11

)= x2. cos2

(3pi

11

)Fazendo algumas manipulacoes, como sin2 x

[1 cos (2x)]2

e a prostaferese ao contrario:[1 cos (6pi

11

)]2

+ 2. cos

(4pi

11

) 2. cos

(8pi

11

)+

[4. sin

(2pi

11

). cos

(3pi

11

)]2= x2. cos2

(3pi

11

)

=

[1 cos (6pi

11

)]2

+ 2. cos

(4pi

11

) 2. cos

(8pi

11

)+

[2. sin

(5pi

11

) 2. sin

( pi11

)]2=

=

[1 cos (6pi

11

)]2

+ 2. cos

(4pi

11

) 2. cos

(8pi

11

)+


4. sin2(

5pi

11

) 8 sin

(5pi

11

). sin

( pi11

)+ 4. sin2

( pi11

)=

=

[1 cos (6pi

11

)]2

+ 2. cos

(4pi

11

) 2. cos

(8pi

11

)+ 2 2. cos

(10pi

11

)

4

[cos

(4pi

11

) cos

(6pi

11

)]+ 2 2. cos

(2pi

11

)=

=

[1 cos (6pi

11

)]2

2.[cos

(2pi

11

)+ cos

(4pi

11

)+ cos

(6pi

11

)+ cos

(8pi

11

)+ cos

(10pi

11

)]+

6. cos

(6pi

11

)+ 4

Chamando:

S = cos

(2pi

11

)+ cos

(4pi

11

)+ cos

(6pi

11

)+ cos

(8pi

11

)+ cos

(10pi

11

)Multiplicando por 2. sin (r(P.A.)/2) e ja abrindo a prostraferese:

2.S. sin( pi

11

)= sin

( pi11

)

S = 12

Entao substituindo, temos:[1 cos (6pi

11

)]2

+ 6. cos

(6pi

11

)+ 5 = x2. cos2

(3pi

11

)[1 cos

(6pi

11

)]+ 12. cos

(6pi

11

)+ 10 = 2.x2. cos2

(3pi

11

)So que sin2 x =

[1 + cos (2x)]

2:

11.

[1 + cos

(6pi

11

)]= x2.

[1 + cos

(6pi

11

)]

x =

11


Como3pi

11e

2pi

11pertencem ao primeiro quadrante,

tan

(3pi

11

)+ 4. sin

(2pi

11

)e sempre positivo, logo:

tan

(3pi

11

)+ 4. sin

(2pi

11

)=

11

Solucao de Frank Wan:

tan

(3pi

11

)+ 4. sin

(2pi

11

)=

11

Faca e(2pi11 ) = x,

Logo:

2

[2.i sin

(2pi

11

)]= 2

(x x10) (i)

i. tan

(3pi

11

)=x3 1x3 + 1

=x3 x33x3 + 1

(ii)

Somando a expressao (i) com a (ii), obtemos:

S0 = x10 + x9 + x5 + x4 + x3

S1

(x8 + x7 + x6 + x2 + x) S2

Temos:

i. tan

(3pi

11

)+ i.4. sin

(2pi

11

)= S1 S2

1 + S1 + S2 =x11 1x 1 = 0, S1 + S2 = 1S1.S2 = 5 + 2 (S1 + S2) = 3

S1 e S2 sao razes1 i11

2de 2 + + 3 = 0

S1 S2 = i

11

Como tan e o sin sao positivos,

tan

(3pi

11

)+ 4 sin

(2pi

11

)=

11


2.9 Questao 9 - Olimpada Russa

Questao 9 (Olimpada Russa). Prove que se2n 2n


n1 22n 1

tambem e inteiro.


Temos quexn 1x 1 = x

n1 + xn2 + + x+ 1.

Se chamarmos2n 2n

de p, teremos p =2n 2n

.

Assim, podemos escrever:

22n1 22n 1 =

2(22n2 1)

2n 1Isto, por sua vez, lembrando que np = 2n 2, podera ser escrito:

2(22n2 1)

2n 1 =2(2np 1)

2n 1 = 2(2n(p1) + 2n(p2) + + 2n + 1)

que e inteiro.

Como se fizessemos x = 2n na divisao de polinomios que inicia nossa solucao.

Portanto, se2n 2n


n1 22n 1 tambem e inteiro.


Questao 10 (Omegaleph 2011). Considere x, y, z numeros reais tais que x+ y + z = 5 e

yz + zx+ xy = 3. Verifique que

1 6 z 6 133

1a. Solucao de Fabiano Ferreira

Em busca de uma solucao generica mais longa. Este e o tipo de problema aparente-

mente ingenuo, mas que exige uma percepcao um pouco acima da media para resolve-lo,

quando se toma o caminho que tomei. Entretanto, e como ir do Rio a Manaus fazendo

escala em Curitiba. Dei uma volta enorme, mas ha um caminho bem mais rapido, como


a solucao seguinte do Hun Sen. Registro minha solucao de como resolver o problema de

um modo mais geral.

1a. Parte:

Vamos primeiramente verificar dois resultados importantes para a resolucao do pro-

blema que fazem parte dos conceitos teoricos dos polinomios simetricos estudados.

I) Considere o polinomio cubico p(w) = w3 + w2 + w + e verifiquemos que:

a) xy = z2 + z +

b) (x y)2 = [3z2 + 2z (2 4)] = (2 3) p(z).Verificacao 1:

a) Temos que:

i) p(z) = 3w2 + 2w +

Se fizermos z = 0, xy = haja vista que:

2 = xy + xz + yz =0

= xy =

Reescrevendo,

p(w) = w3 1w2 + 2w 3 = 0

ii) Se z 6= 0, temos:

w3 + w2 + w + = 0

w3 + w2 + w = = 3 = xyz

z3 + z2 + z = = 3 = xyz

Logo, como z 6= 0, podemos dividir os dois lados da igualdade por z:

z2 + z + = xy

Portanto,

xy = z2 + z +

.


b) (x y)2 = [3z2 + 2z (2 4)] = (2 3) p(z) se estabelece da seguinteforma.

(x y)2 = x2 + y2 2xy =

= x2 + 2xy + y2 4xy

(x y)2 = (x+ y)2 4xy

1 = x+ y + z =

x+ y = z

Como xy = z2 + z + ,

entao, (x y)2 = ( z)2 4 (z2 + z + ) =

= 2 + 2z + z2 4z2 4z 4 =

= [3z2 + 2z (2 4)]

Portanto,

(x y)2 = [3z2 + 2z (2 4)].

Por outro lado,

(x y)2 = (2 3) p(z) =

= (2 3) (3z2 + 2z + ) =

= [3z2 + 2z (2 4)].

II) Verificacao 2:

Agora, (x y) > 0 3z2 + 2z (2 4) < 0.


Quer dizer, o trinomio do segundo grau (z) = 3z2+2z(24), pelo estudo previode seu sinal, deve ser negativo e possuir razes reais m e n (sem perda de generalidade,

m 6 n) tais que m 6 z 6 n. Isto, obviamente, significa que o discriminante 16(2 3)deve ser positivo.

Sendo assim, podemos estabelecer a condicao geral de que:

m = 22 3

3

n = + 22 3

3

Observe que: p(m) = p(n) = 2 3.2. Parte: Do enunciado:

= x+ y + z = 5

= yz + xz + xy = 3

Aplicando ao nosso problema especfico, teremos que:

(z) = 3z2 + 2(z) (2 4)

(z) = 3z2 + 2.(5)z (52 4.3) =

= 3z2 10z 13 6 0

= 102 4.3.13 = 256 > 0

Logo:

m = 1

e

n =13

3


Portanto,

1 6 z 6 133

Deste modo, considerando x, y, z numeros reais tais que x+y+z = 5 e yz+zx+xy = 3,

verificamos que 1 6 z 6 133

.

De modo geral, esta questao propunha que provassemos que, se x, y, z, sao razes reais

do polinomio cubico p(w) = w3 + w2 + w + , entao 2 > 3 e que z (e igualmente xe y, por conta da simetria) devem situar-se no intervalo fechado [m,n], onde:

m = 22 3

3

n = + 22 3

3

Observe que nossa solucao independe de , como poderamos supor. Entretanto,

nao era nada obvio o caminho que tomamos para resolver o problema, como afirmamos

a princpio. Espero que esta resolucao tenha contribudo para que voce entenda como

enunciados aparentemente ingenuos podem embutir conceitos que deveriam ter sido vistos

anteriormente, mas que, de certa forma, resultam apenas dos conceitos de que ja estavamos

inteirados.

2a. Solucao de Hun Sen

x+ y + z = 5 x+ y = 5 z

xy + xz + yz = 3

xy = 3 z(x+ y)

xy = 3 z(5 z) = z2 5z + 3


Porem, pela desigualdade das medias, e sabido que a media aritmetica e maior ou

igual a` media geometrica. Podemos escrever:

a+ b+ c+ ...+ z

n> nabc z

Assim:

x+ y

2> xy 5 z > 2xy z2 10z + 25 > 4xy

z2 10z + 25 > 4(z2 5z + 3)

3z2 10z 13 6 0

Resolvendo a inequacao quadratica:

1 6 z 6 133

Simplesmente uma solucao genial que nem passou pela minha cabeca!

Fui pelo caminho mais longo e o Hun Sen em apenas tres passos matou o problema.

Brilhante!

2.11 Questao 11 - [FIS] Oscilacoes

Questao 11 (Fsica - Oscilacoes - Lucas Lugao Guimaraes). A imagem ilustra uma

estrutura triangular que e constituda por hastes rgidas formando um triangulo isosceles

de base L e altura H. Duas contas de massa m cada sao colocadas nos lados congruentes

da estrutura de modo a poderem deslizar sem atrito pelas hastes. As contas sao ligadas

por uma mola ideal de constante k e massa desprezvel. Considerando que a gravidade no

local e vertical e dirigida para baixo e que a reta que passa pelas contas sempre se mantem

na horizontal, calcule o perodo das oscilacoes do sistema quando ele e perturbado.


1a. Solucao de Lucas Lugao Guimaraes

Segue a resolucao usando a equacao de Euler-Lagrange para obter a equacao do mo-

vimento e o metodo das perturbacoes para encontrar o perodo:

Escrevendo a energia potencial do sistema:

V =k

2(l l0)2 2mgh

E tambem a energia cinetica:

T = m

(h2 +

l2

4

)Pela definicao da Lagrangiana, temos que L = T V .Assim,

L = m

(h2 +

l2

4

)+ 2mgh k

2(l l20)

Por semelhanca de triangulos se extrai a relacao de vnculo:

h = lH

L


L = ml2(L2 + 4H2

4L2

)

+2mglH

L k

2(l l0)2

L = ml2(L2 + 4H2

4L2

)+ 2mgl

H

L kl

2

2 kl

20

2+ kll0

A equacao de Euler-Lagrange e:

d

dt

(L

l

)=L

l

d

dt

(2ml

(L2 + 4H2

4L2

))= 2mg

H

L+ k(l0 l)

2ml

(L2 + 4H2

4L2

)= 2mg

H

L+ k(l0 l)

Pelo metodo das perturbacoes:

2mgH

L+ k(l0 le) = 0

Fazendo l = le + , teremos

2m

(L2 + 4H2

4L2

)= 2mg

H

L+ k(l0 le )

2m

(L2 + 4H2

4L2

)= 2mg

H

L+ k(l0 le) k

2m

(L2 + 4H2

4L2

)= k

+k

2m

(4L2

L2 + 4H2

) = 0

Logo:

T = 2pi

m

2k

(L2 + 4H2

L2

)


2a. Solucao de Vctor Domene

A forca elastica, na direcao das hastes, em cada conta, e dada por:

F = kxcos()Sendo o angulo da base do triangulo isosceles:

cos() =L

4H2 + L2

sen() =2H

4H2 + L2

sen(2) =4HL

4H2 + L2

Note que o angulo oposto a` base vale 180 2 e portanto:

cos(180 2) = cos(2) = 2cos2() + 1Somamos as forcas em cada massa, que nos dara, pela lei de cossenos:

F 2eR = 2k2x2cos2() + 2k2x2cos2()cos(2)

F 2eR = 4k2x2cos2() 4k2x2cos4()

F 2eR = 4k2x2cos2()(1 cos2())

F 2eR = 4k2x2cos2()sen2()

FeR = 2kxcos()sen()

FeR = kxsen(2)

Entao, podemos escrever, levando em conta que, pela semelhanca no triangulo isosceles:

x =hL

H


2mg khLsen(2)H

= 2mh

Em que h e a aceleracao do sistema, na vertical.

Dividindo dos dois lados por 2m:

g khLsen(2)2mH

= h

Reescrevendo:

A =kLsen(2)

2mH

B = g

Tem-se:

h + AhB = 0

Resolvendo-se a parte homogenea:

h + Ah = 0

Sendo

h = ept h = p2ept

Temos:

p2 + A = 0 p = Ai

Entao as solucoes sao:

hc = c1eAit + c2e

Ait

Que tambem pode ser reescrito como:

hc = C cos(At)

Resolvendo-se a parte nao homogenea:


h = c h = 0

h + AhB = 0 h = c = BA

Portanto:

h = C cos(At) +

B

A

Que tem como perodo:

T =2piA

= 2pi

2mH

kLsen(2)

T = 2pi

m

2k

(4H2 + L2

L2

)

2.12 Questao 12 - IME - 1974

Questao 12 (IME - Trigonometria 1974). Mostrar que o conjunto de igualdades

a+ b = pi (c+ d)sen a

sen b=sen c

sen d

Acarreta a igualdade:

cotg a cotg b = cotg c cotg d

Metodologia de solucao proposta por Fabiano Ferreira

Primeiramente, vamos filosofar para relaxar um pouco.

Quando voce se deparar com uma questao deste tipo, a` semelhanca do que eu disse

na proposta de redacao, o autor da questao se baseia no fato de que, enquanto leitor,

seu conhecimento previo de mundo e partilhado nesta area permita o dialogo entre autor

e leitor. E sempre assim, pois o seu conhecimento previo de mundo, enquanto leitor,


pressupoe que voce tenha a capacidade de entender a mensagem do autor. A linguagem

matematica e, antes de tudo, uma linguagem e precisa de interpretacao. O mesmo se

pode dizer acerca de todos os tipos de linguagem, seja na Fsica, na Qumica, etc.

Agora, quanto a` questao do conhecimento previo partilhado, o autor pressupoe que,

em certa area especfica, voce detenha o conhecimento especfico para decodificar o que ele

esta dizendo especificamente. Aqui esta o cerne da metodologia de resolucao de problemas

em matematica ou outra area qualquer. Autor e leitor precisam estar lendo a mesma

pagina da cartilha. Aqui nos EUA e corriqueira a expressao idiomatica READ THE

SAME PAGE.

Ao olhar a questao acima, voce sabe que e uma questao de matematica de nvel medio.

Estreitando mais um pouquinho, sabe que e de Trigonometria. Isto vai fazendo com que

voce selecione em sua memoria as ferramentas necessarias para atacar o problema. Este

e o procedimento metodologico natural, a epistemologia (ciencia que estuda os meios de

saber e aprender) nos assegura que assim acontece.

Portanto, chegando ao grau de estreitamento que o problema exixige, e imprescindvel

que voce saiba, neste caso especfico desta questao, as formulas de PROSTAFERESE

decorrentes das Formulas de Werner. Pronto, este e o nvel de especificidade exigido para

que voce consiga dialogar com o autor e faca o que ele pede que seja feito.

Solucao Propriamente Dita

1) Enumeremos as igualdades dadas nas premissas do problema.

Chamemos

PREMISSAS:

a+ b = pi (c+ d) (1)

e

sen a

sen b=sen c

sen d (2)

CONCLUSAO:

cotg a cotg b = cotg c cotg d (3)


2) Evocando os meandros sombrios de minha memoria, eu me lembro da seguinte

Formula de Prostaferese ou de transformacao em produto. Esta formula decorre do fato

de eu substituir nas tradicionais formulas de Werner as igualdades a+b=p e a - b=q, e

depois usar o conceito de cotangente:

cotg p+ cotg q =sen (p+ q)

sen p . sen q (4)

3) Portanto, minha primeira intuicao, apos comparar a Formula (4) com os dados

do problema, recomenda-me reescrever a igualdade (3) que o autor diz que acarreta das

outras igualdades previas (1) e (2).

REESCREVENDO O PROBLEMA: Demonstrar que:

(1) (2) = (3)Entao, levando em conta (4) posso reescrever (3):


cotg a+ cotg d = cotg b+ cotg c (5)4) Aplicando a Formula de Prostaferese, vem:

cotg a+ cotg d =sen (a+ d)

sen a . sen d (6)

cotg b+ cotg c =sen (b+ c)

sen b . sen c (7)

De (5), (6) e (7):

sen (a+ d)

sen a . sen d=

sen (b+ c)

sen b . sen c (8)

5) Das primeiras duas igualdades (1) e (2), as premissas do problema, tiramos que

(reescrevendo-as):

a+ b = pi (c+ d) a+ d = pi (b+ c)sen a . sen d = sen b.sen cPor sua vez,


a+ d = pi (b+ c) (9)

sen (a+ d) = sen (b+ c) (10)

6) Por fim, esta ultima igualdade (10) e a segunda igualdade (2) dada como premissa

do problema permitem-me escrever:

sen (a+ d)

sen (b+ c)=sen a . sen d

sen b . sen c (11)

sen (a+ d)sen a . sen d

=sen (b+ c)

sen b . sen c (8)

cotg a+ cotg d = cotg b+ cotg c (5)


Deste modo, conclumos a prova.

2.13 Questao 13 - (Russia)

Questao 13. Prove que, se x+1

x= 2 cos, entao,

xn +1

xn= 2 cosn

.


HIPOTESE:

H: x+1

x= 2 cos

Da Hipotese, inferimos que:

x2 2x cos() + 1 = 0


x = 2 cos()

4 cos2 42

=

= cos()

cos2 1 =

= cos()1 (1 cos2 )

sin2

=

= cos() i. sin()

x = cos() i. sin()

Por De Moivre:

xn = cos(n) i sin(n)

1

xn=

1

cos(n) i sin(n) = cos(n) i sin(n)

Adicionando:

xn +1

xn= cos(n) i sin(n) + cos(n) i sin(n) = 2 cosn

TESE:

T: xn +1

xn= 2 cosn

Q.E.D.


Questao 14. (Omegaleph) Sejam f0(x) =1

1 x e fn(x) = f0(fn1(x)), n = 1, 2, 3, .Calcule f2012(2012).



f0(x) =1

1 xUsando a recorrencia fn(x) = f0(fn1(x)), n = 1, 2, 3, ...:

f1(x) = f0(f0(x)) =1

1 11x

=1 xx =

x 1x

f2 = f0(f1(x)) =1

1 x1x

=1

xx+1x

= x

f3(x) = f0(f2(x)) = f0(x) =1

1 x

f4(x) = f1(x)

f5(x) = f2(x)

f6(x) = f0(x)

.....................................................

Deste modo, podemos concluir indutivamente que:

f3k(x) = f0(x), k = 0, 1, 2, 3,

f3k+1(x) = f1(x), k = 0, 1, 2, 3,

f3k+2(x) = f2(x), k = 0, 1, 2, 3, Como 2012 2(mod 3), entao,

f2012(x) = f3k+2(x) = f2(x) = x

f2012(2012) = f2(2012) = 2012


Logo:

f2012(2012) = 2012


Questao 15. Qual o valor de x na equacao?

x a bc

+x b c

a+x a c

b= 3


x a bc

+x b c

a+x a c

b= 3

x a bc

+x b c

a+x a c

b 3 = 0

x a bc

1 + x b ca

1 + x a cb

1 = 0

x (a+ b+ c)c

+x (a+ b+ c)

a+x (a+ b+ c)

b= 0

[x (a+ b+ c)](1a

+1

b+

1

c) = 0

[x (a+ b+ c)(bc+ ac+ ab

abc

)= 0

[x (a+ b+ c) (bc+ ac+ ab) = 0

[x (a+ b+ c)] =0

(bc+ ac+ ab) 6=0

= 0

x (a+ b+ c) = 0


x = a+ b+ c


Questao 16. Calcule o valor real positivo de:

8

2 12 1

2 12 12

Solucao

Seja = 8

2 12 1

2 12 12

Expressando a sua resposta na forma de:

a+ bb

d

Com a, b, c, d inteiros positivos

Usando uma incognita m e manipulando:

m = 8

2 12 1

2 12 12

m8 = 2 12 1

2 12 12

m8 = 2 1m8

m16 = 2.m8 1

m16 2m8 + 1 = 0

(m8 1)2 = 0


m8 = 1

m = 1

x = 2 12 1

2 12 12

assim, note que x = 2 1x

x = 2x 1x

x2 2x+ 1 = 0 (x 1)2 = 0 x = 1

como queremos o valor de 8x 8x = 8

1 = 1

= 1


Questao 17. Se , e sao razes da equacao x3 + 3x2 7x+ 1 = 0, determine o valorde 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4.

Solucao

Sejam as razes , e .

Usando as relacoes de Girard, temos:

+ + = 3

+ + = 7

e

= 1


Usando a definicao de potencias de razes, teremos:

S3 = 31 312 + 33 =

= (3)3 3.(3).(7) + 3.(1) = 93

S4 = 41 4212 + 413 + 222

S4 = (3)4 4.(3)2.(7) + 4.(3).(1) + 2.(7)2 = 443

S3 + S4 = 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 =

= 93 + 443 = 350

S3 + S4 = 350

Portanto:

3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 = 350

2.18 Questao 18 - Olimpada Canadense de Matematica

Questao 18. Simplifique:

P =1

2

1 +

2+

1

3

2 + 2

3+ + 1

100

99 + 99

100.


Desenvolvamos a proposicao mediante um tratamento generico.

Seja P =1

2

1 +

2+

1

3

2 + 2

3+ + 1

100

99 + 99

100

Representando a soma de modo generico teremos:


99k=1

1

(k + 1)k + k

k + 1

=

=99k=1

1k + 1

k + 1

k +kkk + 1

=

=99k=1

1

(kk + 1)(

k + 1 +

k)

=

=99k=1

1

(kk + 1)(

k + 1 +

k)

(k + 1k)

(k + 1k) =

=99k=1

(k + 1k)

(kk + 1)(k + 1 k) =

=99k=1

(k + 1k)

(kk + 1)

=99k=1

( k + 1

kk + 1

k

kk + 1)

)Portanto,

P =99k=1

(1k 1

k + 1

)=

99k=1

(1k + 1

1k

)Aplicando o conceito de Soma Telescopica:

O operador aplicado a f(k) nos fornece

f(k) = f(k + 1) f(k)

Vale que:

bk=a

f(k) = f(b+ 1) f(a)

Assim, teremos, com f(k) =1k

:

P = 99k=1

f(k) = (f(100) f(1)) = f(1) f(100)

P = 99k=1

f(k) (1k + 1

1k

)=


=

(11 1

100

)= 1 1

10=

9

10

Simplificando

P =1

2

1 +

2+

1

3

2 + 2

3+ + 1

100

99 + 99

100.

Teremos:

P =9

10

2.19 Questao 19 - Trigonometria Andreescu

Questao 19. Seja fk(x) =1

k(senkx+ coskx), para k = 1, 2, 3, .

Prove que f4(x) f6(x) = 112

para todo real x.


i) Do enunciado podemos tirar que:

f4(x) =1

4(sen4x+ cos4x)

Contudo, sabemos que:

sen4x+ cos4x = (sen2x+ cos2x)2 =1

2sen2xcos2x

= 1 2sen2xcos2x

Portanto,

f4(x) =1

4(1 2sen2xcos2x)

.

ii) Do enunciado tambem podemos tirar que:

f6(x) =1

6(sen6x+ cos6x)

Contudo,


sen6x+ cos6x = (sen2x+ cos2x)3 =1

3(sen2x)2cos2x 3sen2x(cos2x)2 =

1 3sen2xcos2x (sen2x+ cos2x) =1

Portanto,

f6(x) =1

6(1 3sen2cos2x)

.

iii) Desta forma teremos:

f4(x) f6(x) = 1 2sen2xcos2x

4 1 3sen

2xcos2x

6=

=3 6sen2xcos2x 2 + 6sen2xcos2x

12=

1

12

iv) Conclundo:

Se fk(x) =1

k(senkx+ coskx), para k = 1, 2, 3, , entao,

para todo x real, temos que:

f4(x) f6(x) = 112

2.20 Questao 20 - IME

Questao 20. Considere o determinante de uma matriz de ordem n definido por:


n =

1 1 1 1 1 11 3 0 0 0 00 1 3 0 0 00 0 1 3 0 0 0 0 0 0 3 00 0 0 0 1 3

Sabendo que 1 = 1, calcule o valor de 10.

Solucao de Alcemyr Celebrim

1 Passo: Aplicar Laplace na coluna 1:

n = 1 (1)1+1

3 0 0 0 01 3 0 0 00 1 3 0 0 0 0 0 3 00 0 0 1 3

(n1)

Matriz Triangular Inferior

+

(1) (1)1+2

1 1 1 1 11 3 0 0 00 1 3 0 0 0 0 0 3 00 0 0 1 3

(n1)

n1

2 Passo: Resolver, lembrando que o determinante de uma matriz triangular e o pro-

duto dos elementos da diagonal principal.

n = 1 1 3n1 + (1) (1)n1 = 3n1 + n1


3 Passo: Substituir npor 10:

10 = 3101 + 101 10 = 39 + 9

38+ 7 37+ 6

...

10 = 39 + 38 + 37 + 36 + 35 + 34 + 33 + 32 + 31 + 1

1

4 Passo: Igualar a soma a k:

39 + 38 + 37 + 36 + 35 + 34 + 33 + 32 + 31 + 1 = k

5 Passo: Multiplicar ambos os lados por 3:

310 + 39 + 38 + 37 + 36 + 35 + 34 + 33 + 32 + 3 = 3k

6 Passo: Subtrair k de 3k:

3k k = 310 + 39 + 38 + ... + 32 + 31 ( 39 + 38 + ... + 32 + 3 + 1 )

7 Passo: Isolar o k:

k(3 1) = 310 1 k = 310 1

(3 1) =310 1

2= 29.524

Portanto, 10 = 29.524 .

2.21 Questao 21 - Mandelbrot - EUA

Questao 21. Encontre11k=1

c2k, onde cn = n+1

2n+ 12n+

.

Solucao de Lucas Sobrinho

cn + n = 2n+1

2n+ 12n+...


cn + n = 2n+ 1cn + n

(cn + n)2 = 2n(cn + n) + 1

c2n + 2cnn+ n2 = 2ncn + 2n2 + 1

c2n = n2 + 1

Assim,

11k=1

c2k =11k=1

k2 +11k=1

1.

Pela formula de soma dos primeiros quadrados:

(11)(11 + 1)(2.11 + 1)

6+ 11 = 517


Questao 22. Encontre a soma de A e B nos mais simples termos, se A =

6 + 2

5

6 2

5 e B = A 1A 1

A.

Solucao

6 + 2

5 = 1 + 2

5 + 5 = (1 +

5)2

6 2

5 = 1 2

5 + 5 = (

5 1)2

Assim, A = (1 +

5) (

5 1) = 2Logo, B = 2 1

B

B2 2B + 1 = 0


B =2 +

4 42

= 1

Portanto,

A+B = 3

2.23 Questao 23 - Rodrigo Lima

Questao 23. a) Calcule o valor para o qual converge a serie, sabendo que os denomina-

dores da soma estao em P.A. de ordem 2.

1

10+

1

18+

1

28+

b) Podem

2,

3 e

5 ser termos de uma mesma progressao aritmetica?

Solucao

a) Primeiro, na PA de segunda ordem (10,18,28...) facamos as diferencas:

a2 a1 = 8

a3 a2 = 10

an an1 = 2(n+ 2)Somando todas:

an a1 = 8 + 10 + ...+ 2(n+ 2)

an a1 = (n 1)(2n+ 12)2

an a1 = (n 1)(n+ 6)


an = n2 + 5n 6 + a1

an = n2 + 5n+ 4

an = (n+ 4)(n+ 1)

cada termo da serie e dado por:

1

an

com n de 0 ate infinito. Seja bk o k-esimo termo dessa serie:

bk =1

(k + 4)(k + 1)

Facamos:

1

(k + 4)(k + 1)=

A

k + 4+

B

k + 1

1 = k(A+B) + A+ 4B

Como isso deve ser verdadeiro para qualquer k, devemos zerar seu coeficiente. Assim,

resolvendo um pequeno sistema, obtemos

A = 13, B =

1

3

bk = 13

(1

k + 1 1k + 4

)Agora, temos condicoes de calcular o resultado final. Note que todos os valores

que 1k + 4

assumir,1

k + 1tambem assumira, em algum momento, uma vez que k va-

ria de 0 ate infinito, sem restricoes. As unicas fracoes que nao serao canceladas serao1

1 + 1,

1

1 + 2,

1

1 + 3.

Uma vez que1

k + 4nao pode assumir tais valores.

Assim:


k=1

bk =1

3

(1

2+

1

3+

1

4

)=

13

36

.

b) 1a. Solucao:

Suponhamos que estejam realmente em PA.

Fazendo uma interpolacao aritmetica de x termos entre

2 e

3 e y termos entre

3

e

5 formaremos PAs de razoes respectivamente iguais a A e B.

Trabalhando na primeira PA:

A quantidade de termos e x+2, pois temos que contar com raiz de 2 e raiz de 3.

Usando o termo geral:

3 =

2 + (x+ 2 1).A

A =

32

(x+ 1)

Fazendo o mesmo na segunda PA obteremos:

B =

53

(y + 1)

Como supomos que estao na mesma PA, entao A = B.

32

(x+ 1)=

53

(y + 1)

(y + 1)

(x+ 1)=

5332

x; y N (y + 1)(x+ 1)

QContudo:

5332 I

Isso e um absurdo! No lado direito temos um numero irracional e no lado esquerdo

um numero racional!

Portando, esses numeros nao podem estar em PA.

2a. Solucao:

Seja uma PA qualquer de elementos a1, a2, ..., ak, ..., am, ..., an, ..., az e razao r.


Teremos:

am = ak + r(m k) r = am akm k

an = ak + r(n k) r = an akn k

Igualando as duas, obtemos:

am akm k =

an akn k

Seja ak =

2, am =

3, an =

5.

Temos:

32m k =

52n k

n km k =

5232

n km k = 2

6 +

10 +

15

Como k,m, n N, isso nao e possvel.Logo, nao podem estar na mesma PA.


Questao 24. Respeitando a condicao de existencia dos logartimos, prove que os lo-

gartimos dos termos de uma PG formam uma PA.

Solucao

Seja a PG:

a, a2, a3, ..., an

.

Os logaritmos dos termos dessa PG, em mesma ordem, em uma base generica b, sao:


logb(a), logb(a2), logb(a

3), ..., logb(an)

.

Ou seja, = logb(a), 2.logb(a), 3.logb(a), ..., n.logb(a).

Estes termos da ultima sequencia, logicamente, formam uma PA de razao logb(a).


Questao 25. Prove que em qualquer PG vale: S2n + S22n = Sn (S2n + S3n), onde Sk

representa a soma dos k primeiros termos.

Solucao

Sn2 + S2n

2 = Sn(S2n + S3n)

Sn2 + S2n

2 =

[a1(q

n 1)q 1

]2+

[a1(q

2n 1)q 1

]2=

a1(qn 1)

q 1[a1(q

n 1)q 1 +

a1(qn + 1)(q2n 1)q 1

]=

a1(qn 1)

q 1[a1(q

n 1)q 1 +

a1(q3n qn + q2n 1)

q 1]

=

a1(qn 1)

q 1[a1[(q

n 1) + (q3n qn + q2n 1)]q 1

]=

a1(qn 1)

q 1[a1[(q

2n 1) + (q3n 1)]q 1

]=

a1(qn 1)

q 1 Sn

a1(q2n 1)q 1 S2n

+a1(q

3n 1)q 1 S3n

= Sn(S2n + S3n)


Portanto:

Sn2 + S2n

2 = Sn(S2n + S3n)


Questao 26. (M. Steiner)

Seja Dn o determinante da matriz n n de entradas aij =| i j |.Mostre que Dn = (1)n.(1 n).2n2.

Solucao de M. Steiner:

Tentemos visualizar o determinante, que sera do tipo:

Dn =

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n...

......

. . ....

an1 an2 an3 ann

=

0 1 2 3 n 11 0 1 2 n 22 1 0 1 n 33 2 1 0 n 4...

......

.... . .

...

n 1 n 2 n 3 n 4 0

1 passo - Some a n-esima coluna na primeira coluna do determinante (o Teorema de

Jacobi nos garante que o determinante nao e alterado com essa operacao).


Dn =

n 1 1 2 3 n 1n 1 0 1 2 n 2n 1 1 0 1 n 3n 1 2 1 0 n 4

......

......

. . ....

n 1 n 2 n 3 n 4 0

2 passo - Destaque o fator (n-1) do determinante.

Dn = (n 1)

1 1 2 3 n 11 0 1 2 n 21 1 0 1 n 31 2 1 0 n 4...

......

.... . .

...

1 n 2 n 3 n 4 0

3 passo - Utilize a regra de Chio, obtendo:

Dn = (n 1)

1 1 1 1 10 2 2 2 21 1 3 3 31 2 1 0 4...

......

.... . .

...

n 3 n 5 n 7 n 9 (n 1)

(n1)(n1)

4 passo - Destaque o fator (-1) da primeira linha do determinante:

Dn = (1 n)

1 1 1 1 10 2 2 2 21 1 3 3 31 2 1 0 4...

......

.... . .

...

n 3 n 5 n 7 n 9 (n 1)

(n1)(n1)

5 passo - Utilize a regra de Chio novamente, obtendo:


Dn = (1 n)

2 2 2 2 22 4 4 4 42 4 6 6 62 4 6 8 8...

......

.... . .

...

2 4 6 8 2(n 2)

(n2)(n2)

6 passo - Destaque de cada linha o fator (+2) do determinante de ordem (n-2):

Dn = (1 n)2n2

1 1 1 1 11 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 4...

......

.... . .

...

1 2 3 4 (n 2)

(n2)(n2)

7 passo - Destaque de cada linha o fator (-1) do determinante de ordem (n-2):

Dn = (1 n)2n2.(1)n2

1 1 1 1 11 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 4...

......

.... . .

...

1 2 3 4 (n 2)

(n2)(n2)

Perceba que se provarmos que esse determinante e igual a 1 (n >2), nosso problema

estara resolvido.

Antes de prosseguirmos, vamos estudar o caso geral desse determinante:

Kn =

1 1 1 1 11 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 4...

......

.... . .

...

1 2 3 4 n

nn


Adendo: Vamos proceder a uma generalizacao necessaria para depois voltamos ao

problema.

Seja

Kn =

1 1 1 1 11 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 4...

......

.... . .

...

1 2 3 4 n

nn

Calcule Kn.

Solucao:

1 passo - Multiplique a segunda linha por (-1/2) e some na primeira.

Kn =

1/2 0 0 0 01 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 4...

......

.... . .

...

1 2 3 4 n

nn

2 passo - Multiplique a terceira linha por (-2/3) e some na segunda.

Kn =

1/2 0 0 0 01/3 2/3 0 0 01 2 3 3 31 2 3 4 4...

......

.... . .

...

1 2 3 4 n

nn

3 passo - Multiplique a quarta linha por (-3/4) e some na terceira.


Kn =

1/2 0 0 0 01/3 2/3 0 0 01/4 1/2 3/4 0 01 2 3 4 4...

......

.... . .

...

1 2 3 4 n

nn

4 passo - Repita esse processo ate a n-esima linha. Ou seja, multiplique a n-esima

linha por (n-1)/n e some na linha anterior.

Kn =

1/2 0 0 0 01/3 2/3 0 0 01/4 1/2 3/4 0 01/5 2/5 3/5 4/5 0

......

......

. . ....

1 2 3 4 n

nn

Matriz Triangular Inferior

Portanto:

Kn = (1/2).(2/3).(3/4).(4/5)...[(n 1)/n].n

Kn = 1

Logo, esta provado que esse determinante e sempre 1 para qualquer n natural.

Voltando ao problema original:

Dn = (1 n).2n2.(1)n2.

1 1 1 1 11 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 4...

......

.... . .

...

1 2 3 4 (n 2)

(n2)(n2)


Dn = (1 n).2n2.(1)n2.Kn2

Dn = (1 n).2n2.(1)n2.1

Dn = (1 n).2n2.(1)n2.(1)2

Dn = (1)n.(1 n).2n2

2.27 Questao 27 - [MAT] Baltic Way

Questao 27. Sejam a, b, c, d reais positivos. Prove que

a+ c

a+ b+b+ d

b+ c+c+ a

c+ d+d+ b

d+ a 4

Solucao de Fabiano Ferreira:

Vejamos aqui uma solucao na qual parto de manipulacao da primeira parte da desi-

gualdade, uso MA MH e concluo a prova.1) Vamos partir de:

a+ c

a+ b+b+ d

b+ c+c+ a

c+ d+d+ b

d+ a=

(a+ c)

(1

a+ b+

1

c+ d

)+ (b+ d)

(1

b+ c+

1

d+ a

)(I)

2) Pela desigualdade MA MHnk=1

akn nn

k=1

1ak

(II)

3) Na forma extensa:

a1 + a2 + a3 + + ann

n1a1

+ 1a2

+ 1a3

+ + 1an

(III)


4) Aplicando (III) aos dois termos de

(1

a+ b+

1

c+ d

):

1a+b

+ 1c+d

2 21

1a+b

+ 11c+d

1

a+ b+

1

c+ d 4a+ b+ c+ d

(IV )

5) Aplicando (III) aos dois termos de

(1

b+ c+

1

d+ a

):

1b+c

+ 1d+a

2 21

1b+c

+ 11d+a

1

b+ c+

1

d+ a 4a+ b+ c+ d

(V )

6) Assim, reescrevemos a segunda parte de (I) a` luz de (IV) e (V):

(a+ c)

(1

a+ b+

1

c+ d

)+ (b+ d)

(1

b+ c+

1

d+ a

)

4(a+ c)

a+ b+ c+ d+

4(b+ d)

a+ b+ c+ d=

4(a+ b+ c+ d)

a+ b+ c+ d= 4

7) Portanto:

a+ c

a+ b+b+ d

b+ c+c+ a

c+ d+d+ b

d+ a 4

Q.E.D.

Generalizacao:

Aproveitando o ensejo, motivado por minha resolucao, o Rodrigo Lima (Renji Rodrigo)

apresenta uma tentativa de generalizacao que procura ver mais de cima e, de quebra,

contem a desigualdade de Nesbitt:

nk=1

xkn nn

k=1

1xk

(nk=1

xk)(nk=1

1

xk) n2

Tomamos agora xk = ak + ak+1 com an+1 = a1.


(nk=1

ak + ak+1)(nk=1

1

ak + ak+1) n2

(nk=1

ak +nk=2

ak + an+1=a1

)(nk=1

1

ak + ak+1) n2

(2nk=1

ak)(nt=1

1

at + at+1) n2

(nt=1

nk=1

ak

at + at+1) n

2

2

(nt=1

(nk=1

ak) atat+1at + at+1

+ 1) n2

2

(nt=1

(nk=1

ak) atat+1at + at+1

) n2

2 n = n(n 2)

2

Logo, conclumos que:

nt=1

(nk=1

ak) atat+1at + at+1

) n(n 2)2

.

2.28 Questao 28 -[FIS] (Halliday-Temperatura)

Questao 28. Um termometro de gas especial consiste de dois bulbos que contem gas,

cada um colocado em um reservatorio de agua, como mostra a figura abaixo. A diferenca

de pressao entre os dois bulbos e medida por um manometro de mercurio, tambem repre-

sentado na figura. Reservatorios apropriados nao mostrados na figura mantem constante

o volume de gas nos bulbos. Quando os dois reservatorios estao no ponto trplice da agua,

nao ha diferenca de pressao. Quando um reservatorio esta no ponto trplice da agua e o

outro esta no ponto de ebulicao da agua, a diferenca de pressao e de 120 torr. Finalmente,


quando um reservatorio esta no ponto trplice da agua e o outro numa temperatura des-

conhecida que desejamos medir, a diferenca de pressao e de 90 torr. Qual a temperatura

desconhecida?


Procuremos trabalhar com as temperaturas e pressoes convencionadas, por exemplo,

TE e PE, para o termometro da esquerda e TD e PD, para o da direita, respectivamente.

No ponto trplice da agua, seja Ptr a pressao. Do enunciado, podemos dar o primeiro

passo e obter as eq. 22-4-10, seguindo a numeracao de formulas do livro (estou usando o

meu em ingles), para cada um dos termometros.

1) Sendo assim:

TE = (273, 16K).PEPtr

e

TD = (273, 16K).PDPtr

2) Subtraindo TE de TD obtemos:

TE TD = (273, 16K) PE PDPtr

3) Do problema, podemos tomar TE = 373, 125K (ponto de ebulicao da agua) e

TD = 273, 16K (ponto trplice da agua). Levando em nossa equacao, considerando que

PE PD = 120 torr, obtemos Ptr = 328 torr.


4) Em seguida, fazendo TE = 273, 16 (ponto trplice da agua) e uma TD desconhecida,

considerando PE PD = 90 torr, obteremos:

273, 16K TD = (273, 16K). 90328

5) Assim,

TD = 348K


Questao 29. Prove o Paradoxo de Galileu: Qualquer conjunto enumeravel tem uma

bijecao sobre um subconjunto proprio de si mesmo.


Historico:

Por que o termo Paradoxo?

A simples definicao de Paradoxo e que ele consiste de uma afirmacao aparentemente

contraditoria, mas que e, no entanto, verdadeira. O Paradoxo de Galileu prova que ha

tantos numeros naturais quantos sao os numeros mpares, pares, triangulares, ..., o que

parece um contrasenso. Da o termo paradoxo.

O numero cardinal transfinito 0 foi designado pelo matematico alemao Georg Cantor,o criador da Teoria dos Conjuntos, para designar o menor numero cardinal. Cantor nasceu

em 1845 e faleceu em 1918. Em seguida, temos o cardinal dos numeros reais 1, queidentifica o numero transfinito dos numeros reais, ou da reta real.

Cantor viveu dias conturbados porque suas descobertas revolucionaram o conceito de

numero na sua epoca e ele chegou a resultados realmente paradoxais, pois a Aritmetica

Transfinita, tema de minha dissertacao de mestrado, realmente apresenta resultados sur-

preendentes que ate o proprio Cantor perguntava a Dedekind se ele estava correto em

suas conclusoes. Alguns resultados da teoria dos conjuntos de pontos realmente eram tao

paradoxais, que Cantor mesmo, em certa ocasiao, em 1877, escreveu para Dedekind: Eu

vejo, mas eu nao acredito!; e pediu a seu amigo para examinar as provas.


Nessa epoca foi que, pela primeira vez, chegou-se a uma definicao rigorosamente ma-

tematica de infinito, pois ninguem havia realmente definido o que era um conjunto infinito.

Tambem se descobriu que ha diferencas entre infinito e infinito. Em sntese:

Diz-se que um sistema S e infinito quando ele e semelhante a uma parte propria de

si mesmo. Caso contrario, dir-se-a que S e um sistema finito. Um conjunto S e infinito

se e somente se existe uma bijecao de S com um subconjunto proprio de S.

Provemos, entao, o teorema que ficou conhecido como o Paradoxo de Galileu, do qual

veremos varios exemplos paradoxais.

Demonstracao:

Consideremos um conjunto A1 cujos elementos satisfacam a condicao do teorema de

ser um conjunto enumeravel. Sendo assim, poderemos escrever que:

A1 = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...}

.

Agora, construamos o conjunto que satisfaca a`s condicoes do enunciado. Para sim-

plificar podemos tomar A2 = A1 {a1} = {a2, a3, a4, a5, a6, ...}. Observe que os inteirospositivos sao os ndices dos elementos de A1 e de A2, de modo que se visualize de forma

clara a enumerabilidade como tambem o fato deA2 ser um subconjunto proprio de A1,

estando, portanto, inteiramente contido em A1.

E facil ver que podemos construir uma bijecao do tipo:

a1 a2,

a2 a3,

a3 a4, ...

ai ai+1, ..., com ai A1 ai+1 A2.

Tal bijecao e, como se ve, injetiva entre o conjunto A1 e o conjunto A2 pela simples

eliminacao de a1. Assim, para cada elemento de A1 podemos fazer corresponder um unico

elemento de A2, pela bijecao ad infinitum dada por ai ai+1, com ai A1 ai+1 A2.


Ou seja, todos os elementos de A1 podem ser colocados em correspondencia biunvoca com

os elementos de A2, ai ai+1. Sendo assim, podemos dizer que o cardinal do conjuntoA2 e igual ao cardinal do conjunto A1 que, por sua vez, e igual ao cardinal do conjunto

N.Simbolicamente, escrevemos

] (A1) = ] (A2) = ] (N) = 0 = d .

Por conseguinte, qualquer conjunto enumeravel tem uma bijecao sobre um subconjunto

proprio de si mesmo.


Questao 30. Prove que 2

2

2

2

2

2

2...

e um numero natural.


Facamos o seguinte: 2

2

2

2

2

2

2 =

.

Em seguida, eleve os dois lados da igualdade ao quadrado e perceba que, usando o

Paradoxo de Galileu, voce podera escrever que:

2

2

2

2

2

2

2

2...)

= 2

Por fim, pelo paradoxo de Galileu, podemos dizer que ainda teremos:


2

2

2

2

2

2

2

2...

= 2

Sendo assim, teremos:

2. = 2

2 2. = 0

( 2) = 0

Entao, temos que = 0 ou = 2. Porem, como 6= 0,

= 2 .

Conclumos que 2

2

2

2

2

2

2 = 2

Portanto, e um numero natural.


Questao 31. Prove que nn

n

n

n

nn...,

com n N, e natural.



Facamos, como na questao anterior, o seguinte:nn

n

n

n

nn =

.

Em seguida, eleve os dois lados da igualdade ao quadrado e perceba que, usando o

Paradoxo de Galileu, voce podera escrever que:

n

n

n

n

n

n

nn...

= 2Por fim, pelo paradoxo de Galileu, podemos dizer que ainda teremos:

n

n

n

n

n

n

nn...

= 2Sendo assim, teremos:

n. = 2

2 n. = 0

( n) = 0

Entao, temos que = 0 ou = n. Porem, como 6= 0,

= n .

Conclumos que


nn

n

n

n

nn = n,

Portanto, com n N, e um numero natural.

2.32 Questao 32 -[MAT] (IME-1964)

Questao 32. Calcule:

limx2

xx

x

x

x

xx....

Obs.: Saiba que limxL

x = L.


Nos problemas das razes de razes de razes ..., agora envolvendo x, facamos o mesmo

que foi feito nos problemas anteriores:xx

x

x

x

xx... = .

Em seguida, eleve os dois lados da igualdade ao quadrado e perceba que:

x

x

x

x

x

x

xx...

= 2Por fim, pelo Paradoxo de Galileu, podemos dizer que teremos:


x

x

x

x

x

x

xx...

= 2Sendo assim, vem:

x = 2 = xDeste modo, se lim

xLx = L, entao:

limx2

xx

x

x

x

xx... = lim

x2x = 2

.


Questao 33. Entenda a perplexidade de Galileu ao constatar os seguintes resultados

paradoxais.

a) Ha tantos numeros inteiros positivos quantos sao os quadrados dos numeros inteiros.

Assim, designando por d o cardinal dos numeros inteiros positivos, prove que ]NQ = ]N =

d, com NQ = {1, 4, 9, 16, 25, ...} e N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.b) Prove que ha tantos inteiros positivos quantos sao os numeros triangulares. Lembre-

se que os triangulares sao os numeros 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., ou seja, sao os

obtidos pela relacao de recorrencia:

Tn =n(n+ 1)

2.


a) Segundo o Paradoxo de Galileu, qualquer conjunto enumeravel tem uma bijecao

sobre um subconjunto proprio de si mesmo. Sendo assim, podemos tomar os conjuntos

dados, o dos numeros inteiros positivos e o dos quadrados e, atraves da relacao f(n) = n2,


podemos fazer cada elemento de N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} associar-se biunivocamente a cadaelemento de NQ = {1, 4, 9, 16, 25, ...} e reciprocamente. Ou seja:

N f(n) n2 NQ1 f(1) 1

2 f(2) 4

3 f(3) 9

4 f(4) 16...

......

k f(k) k2

......

...

Portanto, o conjunto N e infinito pois existe uma bijecao dele com um subconjuntoproprio NQ de si mesmo, pois todos os elementos do primeiro estao em correspondencia

biunvoca com o segundo. Da dizermos que estes dois conjuntos infinitos possuem o

mesmo cardinal transfinito, quer dizer, possuem o mesmo numero de elementos. Logo,

]N = ]NQ = d. Este resultado e realmente paradoxal.b) Analogamente, podemos tomar os conjuntos dados, o dos numeros inteiros positivos

e o dos numeros triangulares e, atraves da relacao Tn =n(n+ 1)

2, podemos fazer cada

elemento de N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} associar-se biunivocamente a cada elemento de T ={1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...} e reciprocamente. Ou seja:

N f(n) n(n+ 1)2

T

1 f(1) 1

2 f(2) 3

3 f(3) 6

4 f(4) 10...

......

k f(k)k(k + 1)

2...

......

Portanto, o conjunto N e infinito pois existe uma bijecao dele com um subconjuntoproprio T de si mesmo, pois todos os elementos do primeiro estao em correspondencia

biunvoca com o segundo e vice-versa. Da dizermos que estes dois conjuntos infinitos


possuem tambem o mesmo cardinal transfinito, quer dizer, possuem o mesmo numero de

elementos. Logo, ]N = ]T = d. Este resultado, da mesma forma, e realmente paradoxal.


Questao 34. Calcule:

a) (x, y) =

xy

x

yxy...

b) (x, y, z) =

x

y

z

x

yz...

c) = 27 (1, 1) + 43 (1, 1, 1)


a)

(x, y) =

xy

x

yxy...

Neste caso, sigamos os mesmos procedimentos que foram feitos nos problemas anteri-

ores.

Facamos: xy

x

yxy... =

Elevando os dois membros a 4:

x2.y x

yxy... = 4

Note que, de acordo com o Paradoxo de Galileu, o que esta dentro do parentese vale

(do enunciado)

x2.y xyxy...

= 4


Ou seja, o Princpio de Galileu nos permite asseverar que:

x2.y

x

y

x

yxy...

= 4Sendo assim:

x2.y. = 4

logo

x2.y = 3 = 3x2.y

Portanto,

(x, y) = 3x2.y

Com os resultados da letra a, podemos dizer que:

(1, 1) =3

12.1 = 1

27 (1, 1) = 2.17 = 2

b) Resolvendo, teremos, em analogia com os procedimentos anteriores:

(x, y, z) =

x

y

z

x

yz...

Neste caso, sigamos tambem os mesmos procedimentos que foram feitos nos problemas

anteriores: x

y

z

x

yz... =



x4.y2.z

x

y

z

x

yz... = 8

Note que, de acordo com o Paradoxo de Galileu, o que esta dentro do parentese vale

(do enunciado)

x4.y2.z

x

y

z

x

yz...

= 8Ou seja, o Princpio de Galileu nos permite asseverar que:

x4.y2.z

x

y

z

x

yz...

= 8Sendo assim:

x4.y2.z. = 8

logo

x4.y2.z = 7 = 7x4.y2.z

Portanto,

(x, y, z) = 7x4.y2.z

Deste modo, com os resultados da letra b, podemos dizer que:

(1, 1, 1) =7

14.12.1 = 1

e

47 (1, 1, 1) = 4.17 = 4

Por fim,

c) Calculando :


= 27 (1, 1) + 43 (1, 1, 1) = 2 + 4 = 6

Logo,

= 6


Questao 35. a) Calcule

= (x1, x2, x3, x4) =

x1x2

x3

x4

x1

x2

x3x4...

b) Prove quex1x2

x3...

xn

x1

x2

x3...xn... =

nk=1

(xk)

2nk 12n1

para todo xk N.


a) Fazendo: x1x2

x3

x4

x1

x2

x3x4... =


(x1)8.(x2)

4.(x3)2.(x4)

x1x2

x3

x4

x1

x2

x3x4 =

16


De acordo com o paradoxo de Galileu:

(x1)8.(x2)

4.(x3)2.(x4)

x1x2

x3

x4

x1

x2

x3x4...

= 16

Logo:

(x1)8.(x2)

4.(x3)2.(.x4). =

16

Entao:

(x1)8.(x2)

4.(x3)2.(x4) =

15 = 15x81.x

42.x

23.x4

Ou seja:

(x1, x2, x3, x4) =15

x81.x

42.x

23.x4

Solucao 1 da letra b da questao 6, de Alcemyr Celebrim:

x1x2

x3...

xn

x1

x2

x3...xn... =

Fenomenologicamente falando, a cada vez que elevamos a igualdade ao quadrado, um

dos x saira da raiz. Sendo assim:

(x1)2n1 .(x2)

2n2 .(x3)2n3 ...(xn) =

2n1

Elevando os dois lados da igualdade a` 1/2n1 tem-se que:

(x1)n.(x2)

n1.(x3)n2....(xn)1 = n1

((x1)n.(x2)n1.(x3)n2....(xn)1)1/2

n1=

Logo:


=

nk=1

(xk)

2nk 12n1

Portanto:x1x2

x3...

xn

x1

x2

x3...xn... =

nk=1

(xk)

2nk 12n1

para todo xk N

Solucao 2 da letra b da questao 6, de Alcemyr Celebrim:

Fazendo: x1x2

x3...

xn

x1

x2

x3...xn... =

Podemos escrever como:

= (x1)12 .(x2)

14 .(x3)

18 ...(xn)

12n .(x1)

12n+1 .(x2)

12n+2 .(x3)

12n+3 ...(xn)

12n+n

Elevando ambos os lados a 2n:

((x1)

12 .(x2)

14 .(x3)

18 ...(xn)

12n .(x1)

12n+1 .(x2)

12n+2 .(x3)

12n+3 ...(xn)

12n+n

)2n= 2

n

Ou seja:

((x1)

12 .(x2)

14 .(x3)

18 ...(xn)

12n .(x1)

12n+1 .(x2)

12n+2 .(x3)

12n+3 ...(xn)

12n+n

)2n

= (x1)2n

2 .(x2)2n

4 .(x3)2n

8 ...(xn)2n

2n .(x1)2n

2n+1 .(x2)2n

2n+2 .(x3)2n

2n+3 ...(xn)2n

2n+n

Simplificando:

(x1)2n

2 .(x2)2n

4 .(x3)2n

8 ...(xn)2n

2n .(x1)2n

2n+1 .(x2)2n

2n+2 .(x3)2n

2n+3 ...(xn)2n

2n+n


= (x1)2n1 .(x2)

2n2 .(x3)2n3 ...(xn)

2nn (x1) 12 .(x2) 14 .(x3) 18 ...(xn) 12n

= 2nOu seja:

(x1)2n1 .(x2)

2n2 .(x3)2n3 ...(xn)

2nn = 2n (x1)2n1 .(x2)2n2 .(x3)2n3 ...(xn)2nn = 2n1

Colocando na forma de Produtorio:

(x1)2n1 .(x2)

2n2 .(x3)2n3 ...(xn)

2nn =

nk=1

(xk)

2nk = 2n1

Isolando o temos:

nk=1

(xk)

2nk = 2n1 = 2n1

[ nk=1

(xk)

2nk]=

nk=1

(xk)

2nk 12n1

Entao: x1x2

x3...

xn

x1

x2

x3...xn... =

nk=1

(xk)

2nk 12n1

Solucao 3 da letra b da questao 6, de Fabiano Ferreira:

Como de costume, facamos:x1x2

x3...

xn

x1

x2

x3...xn... =


Em seguida, elevemos ambos os lados da igualdade a 2n, seguindo procedimento

analogo ao dos problemas anteriores.

(x1)2n1 .(x2)

2n2 .(x3)2n3 ...xn

x1x2x3...xn... = 2n

De acordo com o Paradoxo de Galileu:

(x1)2n1 .(x2)

2n2 .(x3)2n3 ...xn

x1

x2

x3...xn...

= 2n[(x1)

2n1 .(x2)2n2 .(x3)

2n3 ...xn

] = 2n

(x1)2n1 .(x2)

2n2 .(x3)2n3 ...xn =

2n1

Observe que podemos escrever, usando a notacao de produtorio, que:

(x1)2n1 .(x2)

2n2 .(x3)2n3 ...xn =

nk=1

(xk)

2nk

=

nk=1

(xk)

2nk 12n1

Concluindo:x1x2

x3...

xn

x1

x2

x3...xn... =

nk=1

(xk)

2nk 12n1 ,

para todo xk N.

Verifique que os outros casos de uma, duas, tres e quatro variaveis que resolvemos sao

aplicacoes deste caso geral para n=1, 2, 3 e 4.


2.36 Questao 36 -[FIS] (IPhO - Olimpada Internaci-

onal de Fsica)

Questao 36. Uma pequena bola com massa M = 0, 2kg repousa sobre uma coluna

vertical com h = 5m. Uma bala de revolver com m = 0, 01kg, movendo-se com velocidade

v0 = 500m/s, passa horizontalmente atraves do centro da bala, como mostra a figura

abaixo. A bola atinge o solo a uma distancia s = 20m.

a) Onde a bala atinge o solo?

b) Qual parte (percentual) da energia cinetica da bala foi convertida em calor quando

a bala passou pela bola?

Desconsidere a resistencia do ar. Assuma que g = 10m/s2.



a) Calculo de d :

1) Observe que, na figura acima, convencionamos chamar d a distancia percorrida pela

bala. Isto facilita mantermos em mente o que temos como dados e o que procuramos

como pedidos na resolucao da questao. De certa forma, Fig. 2 nos guiara o raciocnio a

fim de nao nos perdermos no percurso.

Pois bem, do ponto de vista conceitual, cumpre-nos responder a princpio a seguinte

pergunta: Qual a relacao entre a componente horizontal do momento deste sistema ()

bola + bala antes e depois da colisao? Percebendo que nenhuma forca horizontal age

sobre (), respondemos que a componente horizontal do momento deste sistema () deve

ser a mesma antes e depois da colisao.

Portanto, esta constatacao permite-nos equacionar estas primeiras conclusoes do se-

guinte modo:


mv 0 = mv + MV .(1)

Sendo assim, podemos escrever:

v = v0 Mm

V (2)

2) Em seguida, as tres perguntas que devemos fazer, que admitem uma unica resposta

correta derivada diretamente do enunciado do problema, seriam as seguintes? i) As velo-

cidades v e V sao iguais? ii) Ou v e maior do que V ? iii) Ou v e menor do que V ? Como

o enunciado do problema deixa claro, podemos afirmar com certeza que:

v > V (3)

Voce seria capaz de dizer por que?

3) Por conseguinte, apos a colisao, tanto a bola quanto a bala continuam um movi-

mento livre no campo gravitacional com as velocidades iniciais v e V , respectivamente,

como convencionamos. Isto nos permitira concluir que o movimento da bola e o da

bala sao continuados pelo mesmo tempo que pode ser calculado a partir da relacao

h = f(t, g), h t, lembrando que g e constante, dada pela expressao:

h =gt2

2(4),

que nos leva ao tempo de queda livre a partir da altura h:

t =

2h

g.(5)

4) As distancias percorridas pela bola e pela bala durante o tempo t, serao, respec-

tivamente:

s = Vt(6) e d = vt(7).

Entao, (5) e (6) nos fornecem:

V = s

g

2h.(8)

Portanto, levando (8) em (2), ou seja, em v = v0 Mm

V , teremos:

v = v0 Mm

s

g

2h(9).


Por fim, como queremos determinar d, obtemos de (7), (9) e (5):

d = v0

2h

g M

ms(10).

Assim, chegamos a` determinacao de d com base nos dados do enunciado:

d = 500

2.5

10 0,2

0,01 20

d = 100m.

Na busca do valor de d, trabalhamos as expressoes matematicas dos conceitos fsicos de

modo a conseguir uma expressao de d em funcao dos dados do problema. Mantendo sempre

em mente o que tnhamos como dados e onde queramos chegar, fomos desenvolvendo

nosso raciocnio e aplicacao de conceitos passo a passo ate conseguir determinar d =

f(v0, h,M,m, s, g).

b) Calculo de p:

Partimos do princpio de que a energia cinetica total do sistema era igual a` energia

cinetica inicial da bala (por que?). Logo, podemos escrever que:

E0 =mv 20

2(11)

.

Imediatamente apos a colisao, a energia cinetica total do sistema e igual a` soma da

energia cinetica da bala e a da bola, permitindo-nos equacionar Em + EM , onde:

Em =mV 2

2(12),

e

EM =MV 2

2(13).

Segu

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Problemas Omegaleph 2013