FOLHAS DE PROBLEMAS Disciplina de ELECTROMAGNETISMO (2 Ano da
L.E.E.C. Ano Lectivo de 2001 / 2002) Maria Ins Barbosa de Carvalho
Departamento de Engenharia Electrotcnica e de Computadores
(D.E.E.C.) Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
(F.E.U.P.) ANLISE VECTORIAL PROBLEMAS RESOLVIDOS 1.Considere o
campo vectorialAr expresso em coordenadas cilndricas por zu z u u A
sin + + = r a)Calcule a divergncia do campo.
b)Calculeofluxodocampoqueatravessaasuperfcie
lateralcilndricaderaioR ealtura,comoeixo
coincidentecomoeixodoszz,talcomomostraa figura. L R x y z Lc)Repita
a alnea anterior utilizando o teorema dadivergncia (teorema de
Green-Ostrogradsky). Resoluo: a)Em coordenadas cilndricas ( z , , )
a divergncia de um campo vectorial dada pela expresso ( )zAAA A A
divz++= = 1 1r r Neste caso tem-se z AAAz=== sine, ento, ( ) ( ) (
) cos 3 sin1 12+ =++= zzAr b)O fluxo atravs da superfcie lateral do
cilindro dado por 2lSds n A r
ondeSlasuperfcielateraldocilindro,deraioRealturaL,dsumelementode
superfcie pertencente a Sl, en o versor normal a essa superfcie.
Nas condies do problema, dz d ds ds = = ,R = e u n = , o que
significa que L R dz d R ds n ALSl202022 = = r
c)Deacordocomoteoremadadivergncia,ofluxodeArparaforadasuperfcie
cilndrica fechada pode ser calculado atravs do integral de volume
da divergncia de Ar, integral esse estendido ao volume do cilindro:
= V Sds n A dv A r r Em coordenadas cilndricas,dv dz d d = , e ento
( ) L R dz d d dv A ds n AVL RS = + = = 020203 cos 3 r r Alm disso,
importante no esquecer que ( ) ( ) ( ) + + = base topo lateral Sds
n A ds n A ds n A ds n A r r r r onde ( ) ( )( )( )L R d d L ds u A
ds n A ds n ARtopoz ztopotopo topotopo220 0 = = = = r r r pois,
para a superfcie do topo,L z = . De forma semelhante, tem-se ( ) (
)( )( )0 0 20 0= = = = Rbasez zbasebase basebaseds u A ds n A ds n
Ar r r pois neste caso0 = z . Note que para esta superfcie zu n =(o
versor aponta para fora da superfcie fechada). Utilizando estes
resultados, obtm-se ( )L R L R L R ds n Alateral2 2 22 3 = = r como
seria de esperar. 2.Considere o campo vectorialEr expresso em
coordenadas cilndricas por 3zu B u A E + =r a)Mostre que em
coordenadas cartesianas o campoEr tem como expresso z y xu B uy
xAyu 2 2+++y xAxE2 2+=rII IV I ba b a III x y z b)Calcule a
circulao do campo ao longo do rectngulo da figura, atendendo ao
sentido indicado. c)VerifiqueoteoremadeStokesparaocampodadoe para a
geometria indicada. Resoluo: a)Oversoru
dosistemadecoordenadascilndricaspodeserescritonaforma(ver apndice)
y x y x y xuy xyuy xxuyuxu u u sin cos 2 2 2 2+++= + = + = e,
portanto, z y x zu B uy xAyuy xAxu B u A E 2 2 2 2++++= + =r b)A
circulao do campo vectorialEr ao longo do rectngulo da figura dada
por ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = IV III II I Ll d E l d E l d E l d E l
d Er r r r r r r r r r ondeLocontornodorectnguloel
drovectordeslocamentoinfinitesimal
tangenteemcadapontoaopercursoconsideradoecomosentidoindicadonafigura.
Como o percurso est assente no plano xy, podemos escrever y xu dy u
dx l d + =r, o que significa que 2 2 2 2y xAydyy xAxdxl d E+++= r r
Lado I 4b x = edxe, ento,0 =2 2y bAydyl d E+= r r ( )( ) b b a Ay
bdy y Al d EaI + =+= 2 202 2r r Lado II a y = edye, ento,0 =2 2x
aAxdxl d E+= r r ( )( )2 202 2b a a Ax adx x Al d Eb II+ =+= r r
Ateno ao sentido de integrao, indicado neste caso pelos limites de
integrao.
importantereferirqueosentidodacirculaopodeserindicadodeduasformas
diferentes:ouatravsdoslimitesdeintegrao,ouatravsdosentidoatribudoao
vector.erradoindicarosentidosimultaneamentedestasduasformas.Aquifoi
escolhido indicar o sentido atravs dos limites de integrao, logo, o
vectordapenas indica uma direco (e no o sentido da circulao). l
drlr Lado III 0 = x edxe, ento,0 = dy AyAydyl d E = = 2r r ( )Aa dy
A l d Ea III = = 0r r Lado IV 0 = y edye, ento,0 = dx AxAxdxl d E =
= 2r r ( )Ab dx A l d EbIV= = 0r r Utilizando estes resultados pode
finalmente calcular-se ( ) 02 2 2 2= + + + + = b a b a a b b a A l
d ELr r 5 c)O teorema de Stokes afirma que o fluxo do rotacional de
um campo vectorial atravs de uma dada superfcie aberta igual
circulao desse campo vectorial ao longo da linha que limita a
superfcie. Ento, devemos ter ( ) = S Ll d E ds n Er r
rondeSumasuperfcielimitadapelorectngulo.Obviamentedeverescolher-sea
superfcierectangularassentenoplanoxy,eentotemosdy dx ds = e(sentido
de est relacionado com o sentido da circulao pela regra da
mo-direita). Por outro lado, o rotacional deste campo vectorial
dado por zu n =n0 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2=||.|
\|||.|
\|+||.|
\|++||.|
\|||.|
\|++||.|
\|||.|
\|+=+ += z yxz y xuy xAxyy xAyxuy xAxz xBuy xAyz yBBy xAyy xAxz
y xu u uEr e, ento, tendo em ateno o resultado da alnea anterior,
mostra-se que efectivamente ( ) = = S Ll d E ds n E 0 r r r
PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Considereoraiovectordeposio r
deumpontogenrico.Calcule
nos seguintes sistemas de coordenadas: rrr a)cartesianas;
b)cilndricas; c)esfricas. 2.Considere o campo vectorial
r v = R2 u R + Rsen u . a)Calcule
.r v 6b)Determineofluxode
rv atravsdeumasuperfcieesfricaderaioa centradana origem.
c)Utilizandooresultadodaalneaanterior,demonstreavalidadedoteoremada
divergncia. 3.Considere o seguinte campo vectorial expresso em
coordenadas cartesianas:
r V = y i + x j x +1 ( )2z2 ka)Calcule
em coordenadas cartesianas.r V b)Mostre que o resultado obtido
na alnea anterior, expresso nas variveis do sistema de coordenadas
cilndricas (r, , z), toma a forma: r cos +1z3 c)Determine o fluxo
de
atravs da superfcie do cilindro de raio unitrio, centrado no
eixo dos, que tem as suas bases assentes nos planos r V zz z = 1
e2.z = 4.Considere a existncia de um campo potencial elctricoVdado
porV .= x2 zy 1a)Mostrequeocampoelctrico r E
correspondenteaoreferidocampopotencial (
) tem a seguinte expresso: r E = V
r E = 2x u x + z u y + y u z b)Calcule a circulao do campo
elctrico r Edo ponto P1 (1,0,1) ao ponto P2 (0,1,1) pelo segmento
de recta que os une. c)Determine o fluxo de
atravs da superfcie lateral do cilindro de raio r Er , centrado
no eixo dos, que tem as suas bases assentes nos planoszz z = 0 e.z
= h 5.Considere o campo vectorial
. r F = xy i+ 2 j 1, 0 ( )0,1 ( )xya)Determine
r F . b)Dadoopercursotriangularrepresentadonafigura, demonstre a
validade do teorema de Stokes. 6.Demonstre as seguintes igualdades:
U ( ) = 07 r V ( )= 0( ) ( ) A A Ar r r2 = SOLUES 1.3 2.a) cotg sen
4 + R ;b)4a4 3.a)x +1 ( ) z3;c)3 84.b)2;c)h r22 5.a)x k8LEI DE
COULOMB E PRINCPIO DA SOBREPOSIO PROBLEMA RESOLVIDO
1.Considereumfiofinitodecomprimento,centradonaorigemdascoordenadase
com densidade linear de carga A 2 . P (0,y) y x
a)MostrequenopontoPde coordenadas (0,y) o campo elctrico dado
poryuy A yAE 22 20+=r 2A 2 - y x b)Determineocampoelctriconocentro
doquadradodelado2 mostradona figura. A 2A Resoluo:
a)DeacordocomaleideCoulomb,ocampoelctricocriadoporumalinhacomuma
densidade linear de carga dado por =Lrr dlE3041rr onderr o vector
que aponta do elemento dl (pertencente linha) para o ponto onde se
est a calcular o campo. Considerando o elemento representado na
figura seguinte, temos 9 dlrrxy P (0,y)2Ay x ry xu y u x + =r dl dx
=( )2 32 2 3y x + = r Substituindo estes valores na expresso da lei
de Coulomb, vem ( )( )( ) ( )yAAAAy xAAy xuy A yAy xdxu yy xdx xuy
xu y u x dxE20 4 412 202 32 22 32 202 32 20++ ==||.|
\|+++ ==++ = r b)Oprincpiodasobreposioafirmaque 4 3 2 1E E E E
Er r r r r+ + + = ,ondeEr1,Er2,Er3,e Er4 so os campos criados por
cada um dos lados do quadrado. Alm disso, neste caso
verifica-sequeopontoconsideradoestmesmadistnciadosquatrolados,sendo
.Atendendocargaqueexisteemcadaladodoquadrado,podemosento escrever A
= y( )( )x yx y x yu uAuAuAuAuAE 242424242 24200 0 0 0+ == + = r
PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Calcule o campo elctrico criado por um anel
de raio R, com densidade linear de carga uniforme, num ponto do seu
eixo a uma distnciaado centro.
102.Utilizandooresultadodoproblemaanterioreoprincpiodasobreposio,calculeo
campo elctrico num ponto do eixo de um disco de raio R, com
densidade superficial de carga uniforme , a uma distnciaado seu
centro.
3.Utilizandonovamenteoprincpiodasobreposio,calculeocampoelctriconum
ponto a uma distnciaado centro de uma esfera com densidade
volumtrica de carga uniforme V e raio R. 4.Duas cargas
pontuaisQeQesto colocadas simetricamente no eixo dos 1 2xx , a uma
distnciadda origem. a)Determine os campos
para qualquer ponto no eixo dos.V e r Eyyb)SabendoqueQ
,determineamassamqueumapartculadecargaq ,
(sujeitaacodocampogravtico)deveterparaquepossaestaremequilbrio
sobre o eixo dos, a uma distnciahda origem. 1 = 2Q2yy
5.Umfiocomcargalinearuniforme formaumarcocircularderaioRqueest
centradonoeixodos,talcomomostraafigura.Mostrequeomdulodocampo
elctricocriadopelofionaorigem yyE = 2sen ( ) 40R ( ),onde ongulo
medido a partir do eixo dos at cada uma das extremidades do
fio.yyyxR 6.Duascargaspontuais,Q ,estolocalizadasem(1,2,0)e(2,0,0),
respectivamente.QuerelaodeveexistirentreQ paraqueaforatotalsobre
uma carga de teste que se encontra em (-1, 1, 0) no tenha 1 e Q21e
Q2a)componente segundo o eixo dosxx ; b)componente segundo o eixo
dos.yy 117.Um tringulo equiltero constitudo por trs linhas de
comprimento. A densidade
lineardecarganastrslinhasuniforme,tendoosvalores L1, 2 e
3.Admitindo que1 = 22 =
23,determineaintensidadedocampoelctriconocentrodo tringulo. 8.Duas
partculas de massam e cargaqesto suspensas do mesmo ponto por dois
fios de comprimentol . Mostre que, em equilbrio, os fios fazem um
ngulo em relao vertical dado por 160sen3mgl2 = q2cos. SOLUES 1.( )
( ) | |zu R a Ra 22 32 20+ 2.( )( )zu R a a 1 22 20+ 3.interior:(R
Vu a 30) ;exterior:( )R Vu a 3203 R 4.a)( ) ( ) | | ( ) | |2 32 20
2 1 2 14 y d j Q Q y i Q Q d E + + + = r ( ) ( )2 20 2 14 y d Q Q +
+ = Vb) ( )2 32 2018 h d gh qQ+=m6.a)8 2 32 1 = Q Q ;b)4 22 1= Q
Q7.( ) j L4 30 1 12LEI DE GAUSS PROBLEMA RESOLVIDO 1. a)Mostre que
o campo elctrico criado por um fio infinito com densidade linear de
carga num ponto P a uma distnciado fio dado por u E 20=r onde ru o
versor normal ao fio.b)SuponhaumacalhainfinitaderaioR
comsecosemicircular.Acalhaest carregada com uma densidade de carga
superficialuniforme .Utilizeo resultadodaalneaanterioreo princpio
da sobreposio para calcular ocampoelctriconumpontodoeixo da calha.
R x y z Resoluo:
a)Quandoumproblematemsimetriaplana,cilndricaouesfrica,amaneiramais
simplesdecalcularocampoelctricousandoaleideGauss.Apesardeestaleiser
semprevlida,sdeveserusadaquandoumdadoproblemaexibeumdostiposde
simetriareferidos.AleideGaussnovazioafirmaqueofluxodovectorcampo
elctricoparaforadeumadadasuperfciefechadaigualcargatotalnointerior
dessa superfcie a dividir pela permitividade do vazio: = SQds n
E0intr
13AsuperfciefechadaS(tambmchamadasuperfciegaussiana)eosistemade
coordenadasaserutilizadodevemserescolhidosdemodoaaproveitarasimetria
exibidapeloproblema.Nestecaso,oproblemaexibesimetriacilndrica,e
consequentementedeveserutilizadoosistemadecoordenadascilndricas( z
, , ), com o eixo dos zz orientado segundo o fio infinito.
Comoacargasedistribuiaolongodeumfiorectilneoinfinito,espera-sequeo
mdulodocampoelctriconodependadeznemde ,masapenasde .Alm disso,
atendendo a que o vector campo elctrico sempre perpendicular
superfcie de
umcondutoremequilbrio,podemosafirmarqueocampoelctricocriadoporesta
distribuio de carga obedece a( ) u E E =r, isto , o seu mdulo
depende apenas da
distnciaaofioeasuadirecoperpendicularaofio.Escolhendoparasuperfcie
gaussiana uma superfcie cilndrica (fechada) de raioe comprimento l,
com o eixo coincidente com o eixo dos zz, temos = + + = SbSb tSt
lSlQds n E ds n E ds n E ds n Eb t l0int r r r r onden , ul =z b tu
n n = = ,dz d ds dsl = = e d d ds ds dsz b t= = = .Alm disso,Q l
=int, o que leva a 0 0202 0 0 lE l dz d E ds ds ds ElbStSlSb t l= =
= + + importantereferirquenointegralduploacima, e E
sotratadoscomoconstantes (porqueasvariveisdeintegraosoz e
),podendopassarparaforadosinalde integrao. Da equao anterior pode
facilmente concluir-se que u u E E 20= =r
b)Comoobjectivodeestudarocampoelctricocriadopelacalha,podeconsiderar-se
queestaconstitudaporumconjuntoinfinitodefiosinfinitos,colocados
paralelamente uns aos outros e mesma distncia de um determinado
eixo. Sabendo o
campocriadoporumdessesfios,podefacilmentecalcular-seocampocriadopela
calhautilizandooprincipiodasobreposio:ocampototaligualsomavectorial
dos campos criados pelos diferentes fios. 14A carga existente num
comprimento l de cada um desses fios l . Por outro lado,
seadmitirmosquecadafiotemumalargura d R ,acargaexistentenum
comprimento l seria dada porl d R . Como as cargas devem ter o
mesmo valor
independentementedeconsiderarmosalarguradofioouno,podemos
imediatamenteconcluirque d R = .Esteresultadopermite-nosaproveitara
expressoobtidanaalneaanteriorparacalcularocampocriadoporumdosfios
que constitui a calha: uduRd RE d 220 0 = =r
(atenoaosinalnegativo!).Comoestaexpressovlidaparaqualquerfio
pertencente calha, o campo criado pela calha y y xu d u d u udE d E
sin cos 220 0 0 0 0 0 =||.|
\|+ =||.|
\| = = r v ondeseteveematenoqueuy xu u sin cos + =
variacomavarivelde integrao . PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Uma coroa
esfrica limitada por duas superfcies de raiosR2 eR3 est carregada
com umadensidadevolumtricadecargauniformeetempermitividade ,talcomo
mostraafigura.Dentrodestacoroaexisteumasuperfcieesfricaconcntricaderaio
R1edensidadesuperficialdecarga+ .Osistemaencontra-senummeiode
permitividade . a)Sabendoqueocampoelctriconoexteriordosistema (zona
4) nulo, determine a relao entre e . R1R2R3+1234b)Determine
nas restantes regies. r E c)AdmitindoqueopotencialelctricoV
nulona superfcie de raioR2, esboce o grfico de variao deVpara as
zonas 1 e 2. 152.Ummaterialdielctricocomaformadeumaesferaderaioa
,tempermitividade r ( )= kr , ondek uma constante er a distncia ao
centro da esfera, e est rodeado
porumacascaesfricacondutora(depermitividade0)comraiointeriora eraio
exterior.Sabendoquenomeiodielctricoembebidaumacarga(livre)devalorbtotalQ,
a qual se distribui uniformemente pelo volume do dielctrico,
determine a)os campos elctricos
e
em todo o espao; r Er D 0bab)a distribuio de carga na casca
condutora; c)opotencialelctricoemtodooespao,admitindo que o seu
valor no infinito nulo. V 3.Naregio0 R aR
a,humadistribuioesfricadecargadedensidade = 01 ( )2|
|.Estadistribuiodecargaestrodeadaporumacascaesfrica
condutora,concntrica,deraiointeriorb (a < b)eraioexteriorc
.Determine
em todo o espao. r E
4.Asdensidadessuperficiaisdecargaemduassuperfciescilndricascoaxiaisde
comprimentoinfinitoeraiosr = aer = b b > a) (
)souniformesetmosvalores aeb, respectivamente. a)Determine
em todo o espao. r E b)Que relao deve existir entrea eb para que
r E =0 emr > b? 5.Uma esfera de raioR, representada em corte na
figura, possui uma cavidade tambm esfrica de raioRc, cujo centro
est a uma distnciad( R > d + Rc) do centro da esfera. Admitindo
que a esfera se encontra carregada com uma densidade volumtrica de
carga , uniforme, determine RdRc a)a carga total no interior da
esfera; b)o campo elctrico no interior da cavidade. 166.Suponha que
o vector campo elctrico num dado ponto dado por r E = kr3u r, ondek
umaconstanteer adistnciaorigemnosistemadecoordenadasesfricas.
Determine a)a densidade de carga,; b)a carga total contida numa
esfera de raioR centrada na origem. SOLUES 1.a)( ) ( )2132333R R R
= ;b) r E 1 = 0( )ru R R E 2 21 2 =r( ) ( )ru R R R E 32 3 33 3 =r
2.( )( ) ( )2 2020 00303 34 44 4 /4 01444b Q b r a Q a rr Q V u r Q
D E b rb Q V D E b r akar abQV uaQrD ukaQE a rrr r = = = == = =
>= = = <
Acargaqueseencontranointeriordeumasuperfciegaussianacomumraio
sertodaacargaarmazenadanocondensador,ouseja, c R >( ) 0int= + +
= Q Q Q ,oque permiteimediatamenteconcluirquenestaregio0 =
Er.Porsuavez,esteresultado leva tambm concluso que aqui V=0. Regio
2:b R c >
Ocampoelctriconointeriordeumcondutoremequilbrioelectrostticosempre
igualazero!.Poressarazo,podemosconcluirquequandoconsideramosuma
superfcie gaussiana com o raio considerado, o valor da carga total
que se encontra no
seuinteriortemquesertambmigualazero.Comonaesferaestdepositadauma
cargadevalor+Q,istopermite-nosconcluirqueacargadepositadanacoroase
encontra armazenada na sua superfcie interior. Atendendo aos
resultados obtidos na regio anterior e a que o campo elctrico nulo
aqui, podemos afirmar que o potencial tambm ser igual a zero. 19
Regio 3:a R b >
Nestecaso,acarganointeriordasuperfciegaussianaapenasacargaqueest
depositada na esfera, de valor +Q. Isso leva a que o campo elctrico
nesta regio seja igual a RuRQE 420+ =r O potencial pode ser agora
obtido utilizando a expresso V . Neste caso, o vector deslocamento
infinitesimal escrito no sistema de coordenadas esfricas ( ) =Pl d
E Pr rl drl d u d R u d R u dRR sin + + =r,oquesignificaquedR E l d
E = r r.Atendendo
aosresultadosobtidosparaocampoelctriconasdiferentesregies,podeafirmar-se
que o potencial nesta regio dado por |.|
\| = = = b RQRdR QdR E VRbRb1 14 4020 NOTA:( ) V .0 = b Regio
4:0 > R aEsta regio, tal como a regio 2, corresponde ao interior
de um condutor em equilbrio
electrosttico.Poressarazopodeimediatamenteafirmar-sequeocampoelctrico
nestaregioigualazero!Porsuavez,istopermite-nosconcluirqueacarga+Q
depositada nesta esfera se encontra localizada na sua superfcie. O
potencial ser dado por |.|
\| ==||.|
\|+ = b aQdR dR E VRaab1 1400 NOTA: O potencial constante na
esfera, como seria de esperar. b)Por definio, a capacidade de um
condensador dada por VQC=ondeQ o valor absoluto da carga depositada
numa das armaduras do condensador, e a diferena de potencial entre
a armadura onde est depositada a carga positiva eV
20aarmaduraondeestdepositadaacarganegativa.Nestecaso,acargapositivaest
depositada na superfcie da esfera e a negativa na coroa, logo
|.|
\| = |.|
\| = b aQb aQV1 1401 140 0 donde se conclui que a bb aVQC==04
PROBLEMAS PROPOSTOS 1.Suponha um condensador cilndrico em que as
superfcies condutoras tm raios R1 e R2 (R1< R2), e comprimento L
(L>> R1, R2). O espao entre as superfcies condutoras est
preenchido por dois dielctricos, tendo a superfcie de separao entre
eles raio R (R1< R< R2). O dielctrico mais prximo da placa
interior tem permitividade 1 e admite um campo mximo EM1, e o
outro, respectivamente, 2 e EM2. a)Determine a capacidade do
condensador assim formado.
b)Qualadiferenadepotencialmximaquesepodeaplicarssuperfcies
condutoras? Qual dos dois dielctricos limita essa diferena de
potencial? R1R2R2L1
2.Umcondensadordeplacasparalelasconstitudoporduassuperfciescondutoras
planas, paralelas, de dimenses( )2 1b b a + , separadas por uma
distncia d (d b. b)Docondutorreferidoremovidoumcilindrode
dimetro/2ecomprimentoinfinito.Oeixo
destevazioparaleloaoeixodocondutor(eixo dos),eintersectaoplano bzz
noponto x = y b/ 4 0, = ( ).Determine r B numponto qualquer da
cavidade. xybb / 2xyNOTA: Use o princpio da sobreposio.
2.Umasuperfcieplanainfinitacondutoraassentenoplanoxypercorridaporuma
correnteelctricaestacionriadedensidadesuperficialuniformedevalorK
segundoadirecodoeixodosxx.Determineocampodeinduomagnticaem qualquer
ponto do espao. SOLUES 1.b)20I 15b ( ) i 332.z>0: yu K B 20 =rzb
,l >>a
,).Oscilindrosestocurto-circuitadosnumaextremidadeeoespaoentreelesestpreenchidopormaterial
magnticodepermeabilidade.Sabendoqueocabocoaxialtransportaumacorrente
elctrica estacionria de intensidade I, determine o seu coeficiente
de auto-induo ba)usando o mtodo dos fluxos de ligao; b)usando a
energia magntica. bal 3.Umcabocoaxialdecomprimentol
,muitolongo,constitudoporumcondutor interior slido de raioa( e
permeabilidade0 ) e uma superfcie condutora exterior de raio(b eb
> a l >> b a,
).Oespaoentreosdoiscondutoresestpreenchidopor
materialmagnticodepermeabilidade .Adistribuiodecorrentenocondutor
interiornouniformeeadensidadedecorrentepodeseraproximadaporJ = kr2,
onde uma constante ek r a distncia ao eixo do cabo. A corrente
elctrica total, de intensidadeI , retorna atravs do condutor
exterior. a)Determinekem funo deIea . b)Determine
r Bem todo o espao. c)Determine a energia magntica armazenada
neste sistema. d)Utilizando o resultado da alnea anterior, obtenha
uma expresso para o coeficiente de auto-induo do cabo coaxial. zab
44 SOLUES 1.a)( ) | |02 y R NIS + ; b)( ) | |022 y R S N + ; c)( )
| |02 24 y R S I N +2.( ) ( ) 2 ln b a l3.a)( )42 a I = k ;b)( ) u
a Ir a r 2 :4 30< ;( ) u r I b r a 2 : < b : 0 ;c)( ) | | ( )
4 ln 802a b l I + ;d)( ) | | ( ) 2 ln 80a b l + 45LEI DE INDUO DE
FARADAY PROBLEMA RESOLVIDO
1.UmaespiracondutoracircularderaioRestassentenoplanoxy,numaregiodo
espao onde existe um campo de induo magnticaBr varivel no tempo e
no espao, ,ondee( ) ( )zu t y x B B sin2 20 + =r0B so constantes.
Determine R y z x Br a)o fluxo magntico que atravessa a espira; b)a
fora electromotrizinduzida na espira;
c)osentidodecirculaodacorrenteinduzida no instante( ) 4 = t .
Resoluo: a)Por definio, o fluxo magntico que atravessa uma
superfcie S dado por = Sds n B r onde o versor perpendicular
superfcie considerada e tem o sentido que aponta segundo o campo de
induo magntica. Neste caso, a superfcie S a superfcie plana
limitadapelaespira,n e nzu = d d ds dsz= = (osistemadecoordenadas
cilndricas deve ser escolhido por se adaptar perfeitamente
geometria do problema). Substituindo estas expresses na definio
acima, temos ( )( )2sinsin04 20 030t B Rd d t BR = = Na obteno
deste resultado, usou-se (ver apndice). 2 2 2 = + y x
46b)DeacordocomaleideinduodeFaraday,semprequeofluxomagnticoque
atravessaumdadocircuitonoestacionrio,surgenessecircuitoumafora
electromotrizinduzida a qual dada por dtd = Utilizando o resultado
obtido na alnea anterior, chega-se a ( )2cos04t B R =
c)AleideLenzafirmaqueacorrenteassociadacomaforaelectromotrizinduzida
(corrente induzida) tende a opor-se variao de fluxo que lhe deu
origem. Assim, se
ofluxoestiveraaumentar,acorrenteinduzidaoriginarumcampodeinduo
magntica induzido com o sentido contrrio ao que lhe deu origem. Se,
pelo contrrio,
ofluxomagnticoestiveradiminuir,acorrenteinduzidairoriginarumcampode
induo magntica com o mesmo sentido do que lhe deu origem.
Observando a expresso do fluxo magntico que atravessa a espira,
verifica-se que ele varia sinusoidalmente, o que significa que
durante certos intervalos de tempo o fluxo
aumenta,enquantoqueparaoutrosintervalosdiminui.Assim,osentidodacorrente
induzida no ser constante, variando tambm sinusoidalmente medida
que o tempo
passa.Naverdade,serepresentararesistnciadaespira,podemosafirmarquea
intensidade da corrente induzida ( ) ( ) = = 2 cos04t B R Iind .
Noinstanteconsiderado,( ) 0 4 2 2 4 cos0404> = = B R B R dt d
,oque
significaqueofluxoestaaumentar.Poressarazo,ofluxoinduzido(criadopela
correnteinduzida)deverapontarnosentidocontrrioaodeBr,ouseja,dever
apontar segundo zu . Pela regra da mo-direita, a corrente que d
origem a esse fluxo magntico tem o sentido de: u zuIind 47
NOTA:Osentidodacorrenteinduzidapodeserdeterminadoutilizandoaseguinte
regra prtica: ndtdIind Iind Iind Iind - + PROBLEMAS PROPOSTOS
1.Umaespiraquadradadeladoa estcolocadanomesmoplanodeumfiocondutor
infinitoquepercorridoporumacorrenteelctricaestacionriadeintensidadeI.
Sabendoqueaespira,inicialmenteaumadistnciab
dofioinfinito,seafastadeste com uma velocidadev , determine
za)ofluxomagnticoqueatravessaaespira(num instante de tempot ); X t
(= 0)Xv a axb =b)a fora electromotriz induzida na espira;
c)osentidodecirculaodacorrenteinduzidana espira. 2.Uma espira
quadrada de ladoae resistnciaR roda em torno do eixo dos (que est
nomesmoplanodaespiraepassapeloseucentro)comumavelocidadeangular
zz48constante no sentido indicado na figura. A espira est colocada
numa regio onde o campodeinduomagnticadadopor r B = B0 u
y,ondeB0umaconstante. Sabendo que no instante inicial a espira se
encontra no planoyz = 0 ( ), determine L xyza)o fluxo magntico que
atravessa a espira em funo de ; b)a expresso da corrente que
atravessa a espira. 3.Um espira quadrada de lado desloca-se a
velocidade constantev mesmoemfrente
deumabobinedesecoquadradadeladopercorridaporumacorrenteelctrica
estacionria.Ocampomagnticocriadopelabobinepodeserconsideradouniforme,
comvalorabsoluto LBesentidoedirecoindicadosnafigura,emtodosospontos
sadadabobineenuloemqualqueroutroponto.Afiguraseguintemostraattulode
exemplo algumas posies da espira no seu movimento.
a)Determineaexpressodaforaelectromotrizinduzidanaespiraeesboceum
grfico da variao dessa fora electromotriz com o tempo.
b)MostrequealeideLenztambmaquivlida,istoqueaforaelectromotriz
induzidatendeacriarumacorrentequeinteractuacomocampomagnticode
forma a contrariar o movimento da espira.
494.Umabarracondutoradeslizasematritosobredoissobreocircuitorepresentadona
figura.Sabendoqueocampodeinduomagnticanaregiovariadeacordocom
(mT)equeaposiodabarradadapor r B = 5cos t ( )u zx = 0.35 1 cos t (
) | |(m), determine a correnteique atravessa o circuito. r B O y xm
.7 0 m0.2 i= 0. R 2 SOLUES 1.a)( ) | | ( ) 2 1 ln0vt b a Ia + +
;b)( )( ) | | vt b a vt b v Ia + + + 220; c)sentido horrio
2.a)B0a2sen ;b) B0a2cos R 3.a) tt1femBLvBLvL v L v 4.( ) mA t t
sencos 2 1 75 . 1 ( ) +50APNDICE SISTEMAS DE COORDENADAS
Coordenadas cartesianas (x, y, z) y z P (x, y, z) xuyuzurr x z y xu
z u y u x r + + =r z y xu dz u dy u dx l d + + =r dydz dsx=-
elemento de superfcie perpendicular auxdxdz dsy=dxdy dsz= dxdydz dv
= z y xuzVuyVuxVV V grad ++= = zAyAxAA A divzyx++= =r r 51 zxyyz
xxyzz y xz y xuyAxAuxAzAuzAyAA A Az y xu u uA A rot ||.|
\|+ |.|
\|+||.|
\|== =r r Coordenadas cilndricas ( z , , ) y z P ( z , , )uurrzu
x zu z u r + =r cos = x sin = y y xu u u sin cos + =y xu u u cos
sin + = zu dz u d u d l d + + = r dz d ds =dz d ds =52 d d dsz= dz
d d dv = zuzVuVuVV V grad 1++= = ( )zAAA A A divz++= = 1 1r r ( )zz
zzzuAA uAzAuzAAA A Azu u uA A rot1 1 1||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|=== = r r NOTA: 2 0 Coordenadas esfricas ( , , R ) uy z sin
RrrRuuP ( , , R ) x Ru R r =r 53 cos sin R x = sin sin R y = cos R
z = z y x Ru u u u cos sin sin cos sin + + =z y xu u u u sin sin
cos cos cos + =y xu u u cos sin + = u d R u d R u dR l dR sin + +
=r d d R dsRsin2= d dR R ds sin =d dR R ds = d d dR R dv sin2=
uVRuVRuRVV V gradRsin11++= = ( ) ( ) ++= =ARARA RR RA A
divRsin1sinsin1 122r r ( )( ) ( ) uAA RR Ru A RRARuAARA R A R ARu R
u R uRA A rotR RRRR1sin1 1 sinsin1sin sin sin12|.|
\|+||.|
\|++||.|
\|== =r r NOTA: 054 2 0 TEOREMAS IMPORTANTES Teorema da
divergncia O integral de volume da divergncia de um campo vectorial
estendido a um dado volume igual ao fluxo do campo vectorial para
fora da superfcie que limita esse volume. = V Sds n A dv A r r onde
Ar-campo vectorial -volume em causaV-elemento de volumedv-superfcie
(fechada) que limita o volume V S-elemento de superfcie pertencente
ads S-versor normal a, que aponta para fora de V(normal exterior)n
S Teorema de Stokes
Ofluxodorotacionaldeumcampovectorialatravsdeumadadasuperfcieaberta
igual circulao desse campo vectorial ao longo da linha que limita a
superfcie. ( ) = S Cl d A ds n Ar r r onde Ar-campo vectorial
-superfcie aberta consideradaS-elemento de superfcie pertencente
ads S-versor normal an S55-linha que limita a superfcie abertaC
S-vector infinitesimal tangente em cada ponto al drS Importante:
-sentidoden esentidodecirculao(ouseja,sentidode l
dr)relacionadospela regra da mo-direita: l drl dr n n 56
