UNIVERSIDADE DE VORA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL HIDRULICA GERAL PROBLEMAS RESOLVIDOS E EXPLICADOS ENGENHARIA AGRCOLA ENGENHARIA BIOFSICA ENGENHARIA DOS RECURSOS GEOLGICOS Lus Leopoldo Silva Maria Madalena V. Moreira vora, 2003 1NDICE Pg. 1. Propriedades dos fluidos...3 2. Hidrosttica...7 3. Equao da Continuidade e Teorema de Bernoulli....23 4. Teorema da Quantidade de Movimento ..27 5. Leis de Resistncia e Escoamentos Permanentes sob Presso ... 39 6. Escoamentos em Superfcie Livre .. 55 7. Orifcios e Descarregadores.. 65 Bibliografia . 73 2 3Captulo 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS Problema 1.1 Um lquido tem viscosidade igual a 0,039345 kg m-1s-1 e massa volmica igual a 915 kgm-3, calcule: a)o seu peso volmico (ao nvel mdio da gua do mar); b)a sua densidade; c)a sua viscosidade cinemtica. Resoluo: a)O peso volmico est relacionado com a massa volmica atravs da acelerao da gravidade: g! ! = Aplicando a equao anterior, para o valor da acelerao da gravidade ao nvel mdio da gua do mar igual a 9,8 ms-2, obtm-se: -3m N8967 9,8 915 = = b)Aplicando a definio de densidade de um fluido, vem: 915 , 01000915dO H2= == c)Ovalordeviscosidadeapresentadoaviscosidadedinmica(),tendoemcontaasunidades apresentadas.Aplicandoarelaoentreviscosidadecinemtica(),viscosidadedinmicaemassa volmica, obtm-se: 1 2s m 6 E 43915039345 , 0 = == Problema 1.2 Sejamduasplacashorizontais,distnciade0,02m,umafixaeoutramvelcom velocidadede0,10ms-1.Sabendoquea distribuio de velocidades do leo que preenche o espao entre as placas linear, qual a velocidade e a tenso tangencial, junto da placa mvel e distncia de 0,01 m. Dados relativos ao leo:9 , 0 de s m 101 2 -4= = Nota: o leo um fluido Newtoniano 4 Resoluo: Avelocidadedoleoquesedeslocaentreasduasplacasvaria,segundoadirecozz, linearmente, ver figura seguinte. Para determinar a equao da recta (v = a z + b) que representa a variao da velocidade segundo a direco zz so necessrios dois pontos: !"#==!"#==1 - 1 -s m 0,1 vm 0,02 ze s m 0 vm 0 z as constantes a e b, da equao da recta, podem ser determinadas atravs da resoluo do sistema de equaes: !"#==!"#+ =+ =5 a0 b b 0,02 a 0,1b 0 a 0 A equao da variao da velocidade na direco zz : v = 5 z . A velocidade do leo junto placa mvel, para z = 0,02 m, igual velocidade da placa, ou seja 0,1 ms-1 e para um valor de z igual a 0,01 m a velocidade 1ms 05 , 0 01 , 0 5 v= = .A tenso tangencial, no caso de Fluidos Newtonianos, directamente proporcional variao da velocidade segundo a direco normal ao escoamento, ou seja a direco z: dzdv = Neste caso, a variao da velocidade segundo a direco zz constante. 1s 5dzdve 5z v= = Os valores da massa volmica e da viscosidade dinmica do leo so: 1 - 1 - 4leo leo leo-3O H leos m kg 0,09 900 10m kg 900 1000 9 , 0 d2= = = = = = Para qualquer valor da coordenada z a tenso tangencial toma o valor de: 2Nm 45 , 0 5 09 , 0= = 5Problema 1.3 Sabendoqueomdulodeelasticidadevolumtricodagua19,6E8Nm-2,determinea reduo de volume de 1 litro de gua para um aumento de presso no valor de 196 Ncm-2. Resoluo: Tendoemcontaadefiniodemdulo de elasticidade volumtrico e que p =196 Ncm-2 =196 E4 Nm-2, obtm-se: " -0,001 18 E 6 , 194 E 196VpVVVp= = = $ = A diminuio de volume de 1 litro de gua sujeito a um aumento de presso de 196 Ncm-2 igual a 1" m . Este resultado permite verificar a pequena compressibilidade da gua. Problema 1.4 A que presso pode esperar a ocorrncia de cavitao (fenmeno associado presena de bolsas de vapor do liquido) numa bomba que eleva gua temperatura de 20C ? Resoluo: Consultando o quadro abaixo, conclui-se que a gua, temperatura de 20C, passa ao estado de vapor para a presso absoluta de 2330 Nm-2. Quadro 1. Tenso de saturao do vapor da gua a diferentes temperaturas (extrado de Quintela, 1981) Temperatura (C)41020305080100 Tenso de saturao do vapor da gua(N/m2)813 1225 2330 4240 1230047300101200 6 7Captulo 2 HIDROSTTICA Problema 2.1 AfiguraseguintemostraumacomportaplanaequilibradaporumahasteDEque suportadaporummbolocomumareade500cm2.Ombolosustentadoporumfluido comumadensidaded=11queseelevanotubopiezomtricoABdemodoaqueosistema esteja em equilbrio. a) Represente esquematicamente a distribuio de presses sobre a comporta; b)SabendoqueacotaatingidapeloleonotubopiezomtricoAB,acimadocentrodo mbolo, de 4,2 m determine o peso da comporta considerado uniformemente distribudo; c)Mantendoosistemaemequilbriocomovariariaacotadasuperfcielivrenomanmetro simples, se a rea do mbolo fosse o dobro. Nota: A comporta articulada no eixo que passa por C A largura da comporta, perpendicular folha, de 2 m.

Resoluo: a)Acomportaumasuperfcieplanaqueestsujeitaaforasdepressopelafaceesquerdaepela face direita. Deste modo necessrio representar o diagrama de presses nas duas faces. Nasuperfcielivreapressonula(pressorelativapressoatmosfricalocal).EmC,as presses esquerda e direita so: 2O HesqCNm 29400 0 , 3 9800 h p2= = =2O HdirCNm 19600 0 , 2 9800 h p2= = = em que, o peso volmico da gua 3O HNm 98002= . Entre a superfcie livre e o eixo C a variao de presso linear por o peso volmico do lquido ser constante.A presso uma fora por unidade de rea que actua sempre na perpendicular superfcie e com o sentido de compresso. A representao dos diagramas de presses ser assim: 8 b)Para a comporta estar em equilbrio relativamente ao seu eixo de rotao (eixo C) necessrio que o somatrio dos momentos das foras, aplicadas na comporta, relativamente ao eixo C seja nulo. ! = 0 MC As foras aplicadas na comporta so: -a impulso sobre a face esquerda da comporta, 1! -a impulso sobre a face direita da comporta, 2! -a fora segundo a direco DE,F! -o peso prprio da comporta,G! A equao de equilbrio dos momentos, tomando o sentido do movimento dos ponteiros do relgio como positivo, representa-se por: 0 b F b G b bF G 2 12 1= + + + ! ! ! ! 0 b F b G b bF G 2 12 1= + em que, os factores b so os braos das foras relativamente ao eixo em C. Determinadas as restantes grandezas, possvel calcular o peso prprio da comporta. Determinao da impulso sobre a face esquerda da comporta e respectivo brao, 1! e 1b: 1 G O H 1 1 G 1A h A p1 2 = = 9sendo, 1Gp a presso do lquido no centro de gravidade da superfcie premida; A1 a rea da superfcie premidae 1Gh aprofundidadedorespectivocentrodegravidade.Comoareadacomportaem contactocomagua,A1temaformarectangular,oseucentrodegravidadeestarameiaalturada superfcie premida.

N 107672 255 sen332198001="#$%&' "#$%&' = Sabendoquealinhadeacodaimpulsopassapelocentrodegravidadedodiagramade presses: m 22 , 155 sen331b1= = Nota: em alternativa, o brao da impulso pode ser determinado com base na definio de abcissa do centrodeimpulso,considerandooeixodosxxcoincidentecomocortedoplanodacomportana folha de papel. 1 1ciX -55 sen3b = m 44 , 2 61 , 0 83 , 1255 sen355 sen32112255 sen355 sen321A XIX X31 GGG'G ci11 1= + ="#$%&' "#$%&'"#$%&'+ = + =m 1,22 2,44 -55 sen3b2= = Determinao da impulso sobre a face direita da comporta e respectivo brao ,2! e 2b: 2 G O H 2 2 G 2A h A p2 2 = = sendo, 2Gp a presso do lquido no centro de gravidade da superfcie premida; A2 a rea da superfcie premidae 2Gh aprofundidadedorespectivocentrodegravidade.Comoareadacomportaem 10 contactocomagua,A2temaformarectangular,oseucentrodegravidadeestarameiaalturada superfcie premida. N 47854 255 sen222198002="#$%&' "#$%&' = . Sabendoquealinhadeacodaimpulsopassapelocentrodegravidadedodiagramade presses: m 81 , 055 sen231b2= = Nota: em alternativa, o brao da impulso pode ser determinado com base na definio de abcissa do centro de impulso: 2 2ciX -55 sen2b = m 63 , 1 41 , 0 22 , 1255 sen255 sen22112255 sen255 sen221A XIX X32 GGG'G ci22 2= + ="#$%&' "#$%&'"#$%&'+ = + = m 0,81 1,63 -55 sen2b2= = Determinao da fora no mbolo e respectivo brao,Fe Fb : Se o lquido com d = 11 sobe no tubo 4,2 m, a presso em B : pB = pA+ hAB pA = 0 N/m2 ( )2B311 dNm 452760 2 , 4 107800 pNm 107800 9800 11== == = 11A presso no centro de gravidade do mbolo (ponto E) igual presso no ponto B: 2ENm 452760 p= AforanahasteDEigualimpulsohidrostticasobreo mboloeodiagramadepressesnomboloorepresentadona figura ao lado. Qualquer que seja a forma geomtrica do mbolo, a impulso sobre o mbolo igual ao produto entre a presso no centro de gravidade (em E) e a rea do mbolo: mbolo E mboloA p = N 22638 05 , 0 452760mbolo= = N 22638 Fmbolo = = O brao da foraF! igual a: m 5 , 4 bF = Determinao do brao do peso prprio Gb : Obraodopesoprprioda comporta determinado por: m 1,29 55 cos25 , 4bG= = Asubstituiodosvalores calculados, na equao de equilbrio dos momentos permite obter: 0 b F b G b bF G 2 12 1= + 0 5 , 4 22638 1,29 G 81 , 0 47854 1,22 07672 1 = + N 7188 G = O peso da comporta 7188 N. c) Mantendo o sistema em equilbrio, e no tendo ocorrido variao da altura da gua esquerda e direita da comporta, a fora na haste DE mantm-se. Como esta fora igual ao produto da presso no centro de gravidade do mbolo pela rea do mbolo, para uma rea dupla necessrio que a presso nocentrodegravidadedombolo(emE)sejaigualametadedapressocalculadaanteriormente. Como a presso em E igual ao produto do peso volmico pela altura do lquido dentro do manmetro simples, para um valor da presso reduzido a metade vem uma altura da coluna lquida no manmetro igual a metade de 4,2 m, ou seja, 2,1 m. 12 Problema 2.2 ConsidereacomportadeformaquadradaearticuladanoeixorepresentadoporA, conforme a figura seguinte. a) Represente o diagrama de presses sobre a comporta AB. b) Determine a foraF! necessria para manter a comporta fechada. Resoluo: a) A comporta da figura est sujeita a uma fora de presso na sua face esquerda devida ao contacto com o lquido. Na face direita est em contacto com a presso atmosfrica local, cuja presso relativa nula. Assim sendo, apenas se representa o diagrama de presses na face esquerda da comporta. Representaododiagramadepressessobrea comporta AB: 2A 85 , 0 d sup ANm 16660 2 9800 85 , 0 0 h p p== + = + = 2B gua A BNm 36260 2 9800 16660 h p p= + = + = b)Aimpulsodaguasobreacomportaprovocaarotaodacomportanosentidocontrrioao movimento dos ponteiros do relgio. Para a manter fechada necessrio aplicar a fora F. Neste caso, o somatrio dos momentos das foras aplicadas sobre a comporta, relativamente ao eixo de rotao, A, tem que ser nulo. ! = 0 MA As foras aplicadas na comporta so: -a impulso sobre a face esquerda da comporta,! -a fora aplicada em B,F! A equao de equilbrio dos momentos, tomando o sentido do movimento dos ponteiros do relgio como positivo, representa-se por: 0 b F bF = + ! ! 0 b F bF = + 13Xci possvel determinar a foraF!, necessria para manter a comporta fechada, se forem conhecidas as restantes grandezas. Determinao da impulso hidrosttica sobre a comporta e respectivo brao, b e! : Trata-sedeumasuperfcieplana,premidaporumnicolquidoaolongodasuaextenso.A equao geral para determinar o mdulo da impulso : A pG = em que, pG a presso no centro de gravidade da comporta: 2O H 85 , 0 d GNm 26460 1 9800 2 9800 85 , 0 2212 p2== + ="#$%&' + = ( ) N 105840 2 2 26460 A pG= = = Paradeterminarobraodaimpulso,b, necessrioconheceralocalizaodopontode aplicao da impulso hidrosttica, ou seja, o centro de impulso. Ocentrodeimpulsopodeserdeterminadoa partir do diagrama de presses ou atravs da equao geral: A XIX XG GGG ci+ = . Noentanto,aequaoanteriorfoideduzidaparaumnicolquidoecomasuperfcielivredo lquido sujeita presso atmosfrica local.Nestecasoexistemdoislquidos,sendonecessriotransformaraalturadeleo(2m)emaltura equivalente de gua (x m) de modo a que a presso seja a mesma no plano de interface entre os dois lquidos. ()*= ()*= +(+)* = == = =m 7 , 1 x 16660 x 9800 x 9800 x pNm 16660 2 9800 85 , 0 2 pO H erface int2leo erface int2 Relativamente ao sistema de foras aplicado sobre a comporta, so equivalentes as duas situaes:

14 Utilizando a equao geral para determinao da abcissa do centro de impulso: A XIX XG GGG ci+ = em que, o momento de inrcia da rea da comporta relativamente ao eixo GG que passa no centro de gravidade (IGG), ser o de uma superfcie rectangular com largura 2 m e altura 2 m, obter-se-: ( )m 82 , 24 7 , 2122 27 , 2a b X12a bX X3G3G ci=+ = + = . O brao da impulso relativamente ao eixo de rotao, representado por A, : 7 , 1 X bci = m 12 , 1 7 , 1 82 , 2 b = = Determinao do brao da fora,F! : m 0 , 2 bF = Asubstituiodosvalorescalculados,naequaodeequilbriodosmomentospermiteobtero mdulo da foraF!, necessria para manter a comporta fechada: 0 b F bF = + 0 2 F 12 , 1 105840 = + N 59270 F = necessrioaplicarumaforaF!,comummdulode59,3kN,direcohorizontal,sentidoda direita para a esquerda e ponto de aplicao em B, de modo a manter a comporta fechada. Problema 2.3 Umorifciorectangular,comumalargurade2m,existentenaparedeinclinadadeum reservatriocheiodegua,obturadoporumacomportacilndricacomumraiode0,8m, conforme a figura. Calculeafora(mdulo,direco,sentidoelinhadeaco)exercidapelaguasobrea comporta. Nota: despreze o peso prprio da comporta. 15 Resoluo: Acomportasofreforasdepresso,porpartedagua,emtodaasuasuperfcie.Pretende-se determinar a impulso hidrosttica ou seja a resultante das foras exercida pela gua sobre a comporta. O modo mais fcil de calcular a impulso da gua sobre a superfcie curva da comporta atravs das suas componentes horizontal e vertical. Com base no diagrama de presses sobre a comporta verifica-se que: -existem componentes verticais das foras de presso com o sentido de cima para baixo,1ve componentes verticais das foras de presso com o sentido de baixo para cima, 2v ; -existemcomponenteshorizontaisdasforasdepressocomosentidodaesquerdaparaa direita, 1h ecomponenteshorizontais das forasdepressocomosentidodadireitaparaa esquerda, 2h . Determinao da componente horizontal da impulso, h : A impulso horizontal sobre a superfcie curva dada por: 2 1h h h + = ! ! !ou 2 1h h h = e igual impulso hidrosttica sobre a superfcie plana, projeco da superfcie curva sobre um plano vertical: 1 G hA p1 1 = e 2 G hA p2 2 = AsreasA1eA2correspondemsreasdasprojecesortogonaisdecadaumdosladosda comporta em contacto com a gua, que tm uma forma rectangular: 2 , 3 2 6 , 1 A1= =m2 16 6 , 1 2 8 , 0 A2= =m2 As presses 1Gp e 2Gp correspondem aos valores da presso no centro de gravidade de cada uma das reas projectadas. N 94080 2 , 3 3 9800 A p1 G h1 1= = = N 40768 6 , 1 ) 4 , 0 3 ( 9800 A p2 G h2 2= = = N 53312 40768 940802 1h h h= = = Determinao da componente vertical da impulso, v : A impulso vertical sobre a superfcie curva dada por: 2 1v v v + = ! ! ! ou2 1v v v = eigualaopesodovolumedolquidolimitadopelasuperfciepremida,asuperfcielivreeas projectantes verticais que passam pelo contorno da superfcie premida, conforme desenho seguinte.

N 74376 228 , 02 3 6 , 1 9800 Vol2v1=""#$%%&' = = N 56892 248 , 02 3 8 , 0 9800 Vol2v2=""#$%%&' + = = 17N 17484 56892 743762 1v v v= = = O mdulo da impulso total da gua sobre a comporta ser a soma vectorial das duas componentes j calculadas: N 56106 53312 174842 2 2h2v= + = + = Adirecodaimpulsohidrostticafazumngulocoma direco horizontal: 328 , 05331217484tghv= == = arctg 0,328 = 18,2 O sentido ser da esquerda para a direita, de cima para baixo. Comotodasasforaselementaresdepressosonormaissuperfciecilndrica,asualinhade acopassapeloeixodocilindro.Alinhadeacodaimpulso,comoresultantedeumsistemade foras concorrentes, tambm passa pelo eixo do cilindro. Problema 2.4 A figura seguinte mostra uma comporta de sector, instalada num canal rectangular com 2 metros de largura.a)Represente o diagrama de presses sobre a comporta; b)Determineaimpulsodagua(mdulo,direco,sentidoepontodeaplicao)sobrea comporta quando ela est assente no fundo do canal. Resoluo: a) A comporta da figura est sujeita presso da gua sobre a sua superfcie curva, representada pelo correspondente diagrama de presses. Apressosuperfciedolquido(pontoA) igualpressoatmosfricalocal,sendoporisso nula: 2ANm 0 p= A presso no fundo do canal (ponto B) : 18 2O H BNm 16974 60 sen 2 9800 h p2= = = b)Aimpulsosobreasuperfciecurvadacomportapodeserdecompostanassuascomponentes horizontal e vertical. Acomponentehorizontaldaimpulsodetermina-se calculandoaimpulsosobreasuperfcieplana, projeco ortogonal da superfcie curva. A h A pG G h = = ( ) N 29400 2 60 sen 22 60 sen 29800h= = Acomponenteverticaldaimpulso,forade baixoparacima,correspondeaopesodovolumede lquidodelimitadopelasuperfciepremida,a superfcielivreeas projectantesverticaisquepassam pelocontornodasuperfciepremida,conformea figura ao lado. A determinao do volume referido pode fazer-se com base na representao da figura abaixo. Acomportatemaformacilndrica, comongulointernode60.Area do sector circular com ngulo interno de60correspondea1/6dareado crculo. N 24076 22 60 cos 2 60 sen 22629800 Vol2v=""#$%%&' = = O mdulo da impulso total determina-se pela soma vectorial das suas componentes horizontal e vertical. N 38000 29400 240762 2 2h2v= + = + = Adirecodaimpulsohidrostticafazumngulo com a direco horizontal: 819 , 02940024076tghv= == = arctg 0,819 = 39,3 19O sentido ser da esquerda para a direita, de baixo para cima. A linha de aco da impulso passa pelo eixo do cilindro.

Problema 2.5 Umcilindrohomogneocom1metroderaioobturaumorifciorectangularcom3,2m2 de rea (2 m . 1,6 m) impedindo a sada dagua do depsito da figura. Sabendo que a carga sobre o orifcio de 2 mc.a., determine o peso volmico do cilindro. Resoluo: Nas condies do problema, verifica-se que o cilindro pode sofrer um deslocamento de translao vertical,provocadopelaalturadeguanoreservatrio.Acondiodeequilbriodocilindro representa-se pois, pelo equilbrio de foras segundo o eixo dos zz. ! = 0 F! ! As foras aplicadas no cilindro so: -impulso sobre a superfcie inferior do cilindro,! -peso prprio do cilindro,G! 0 G! ! != + Aequaodeequilbriodeforasresolve-seatravsdassuascomponentes,considerandocomo positivos os sentidos, segundo as direces ox e oz, representados na figura seguinte. Componente segundo ox: Opesoprprionotemcomponente segundooxeasimpulseshidrostticas horizontaissobreasduassuperfciescilndricas representadas na figura anulam-se: 2.0 R = 1.0H2O 20 0h = Componente segundo oz: O peso prprio do cilindro e a impulso do lquido sobre o cilindro tm direco vertical, pelo que se obtm: 0 G -v = + O peso prprio do cilindro determinado pelo produto do peso volmico pelo seu volume: N 2 2 0 , 1 l R Vol Gcilindro2cilindro2cilindro cilindro cilindro = = = = Aimpulsohidrosttica, coincidindo comacomponentevertical, igualaopesodovolumedolquido limitadopelasuperfciepremida,a superfcielivrepressoatmosfrica localeasprojectantesverticaisque passamnocontornodasuperfcie premida. A superfcie do lquido no lado esquerdodoreservatrionoest pressoatmosfricalocal,massim pressode2mc.a.,peloque necessriodeterminaraposiofictcia da superfcie livre em que a presso nula. Deste modo a impulso hidrosttica obtm-se por: O H O H2 2Vol = em que, o volume pode ser determinado com o apoio da figura ao lado: ) 2 ' A 2 2 6 , 1 ( VolO H2 + = Pode-sedefinirumsectordocrculo,comumngulo!,eumareaA!,quecontmareaA, conforme a figura seguinte. Ongulo 2pode-sedeterminarpor 18 , 0. hipoposto . cat2sen = =, sendo 26 , 10618 , 0arcsen 2 = = . 21A rea do sector circular com um ngulo interno de 106,6 , A!, corresponde a uma parte da rea do crculo, que tem um ngulo interno de 360, podendo ser determinada por: 2 2m 927 , 0 R360A = =. Deacordocomafiguraanterior,areaAcorrespondediferenaentreareaA!eareado tringulo com uma altura de 0,6 m: 2m 447 , 026 , 0 6 , 1927 , 0 ' A = =. Pelo que, o volume de gua ser igual a: 3O Hm 294 , 7 ) 2 447 , 0 2 2 6 , 1 ( Vol2= + = . Substituindoestesvaloresnacomponenteverticaldaequaovectorialdoequilbriodeforas, 0 G -v = + , obtm-se: 0 Vol Vol -O H O H cilindro cilindro2 2= + cilindroO H O HcilindroVolVol 2 2= ( )32cilindroNm 113772 1294 , 7 9800 = = Para o cilindro estar em equilbrio ter de ter um peso volmico igual ou superior a 11377 Nm-3 . 22 23Captulo 3 EQUAO DA CONTINUIDADE E TEOREMA DE BERNOULLI Problema 3.1 Considere o circuito hidrulico da figura, assim como os dados nela indicados. Todos os reservatriossodegrandesdimenseseligadosentresiporcondutasdeferrofundido. Determine: a)O comprimento da conduta AB; b)O caudal do troo CB;c)A cota da superfcie livre da gua no reservatrio R2. Nota: Despreze as perdas de carga localizadas Resoluo: a)ConhecidoosentidodoescoamentonotrooBDpossveldeterminaracarganabifurcaoB (constante na singularidade por desprezarmos as perdas de carga localizadas), atravs da aplicao do Teorema de Bernoulli entre a bifurcao em B e o reservatrio R3. Em reservatrios de grandes dimenses, considera-se que dentro do reservatrio o lquido est em repouso (v = 0 m/s), podendo aplicar-se a Lei Hidrosttica de Presses. A carga total no reservatrio ser assim igual cota piezomtrica, que constante. Se a superfcie livre do lquido est em contacto comaatmosfera,apressosuperfcienula(p=0Nm-2),sendoacotapiezomtricaigualcota topografiadasuperfcielivre.Nestecaso,acargatotalnoreservatrioigualcotatopogrficada superfcie livre. BD BD R BL J H H3 = mc.a. 5 , 77 500 005 , 0 75 HB= + = 24 Comparando a carga no reservatrio R1 com a carga na bifurcao B possvel definir o sentido de escoamento no troo AB:como H H1R B! < sentido de escoamento de R1 para B. A aplicao do Teorema de Bernoulli entre o reservatrio R1 e a bifurcao B permite determinar o comprimento entre A e B: AB AB B RL J H H1 = ! = L 006 , 0 5 , 77 100ABm 3750006 , 05 , 77 100LAB== O comprimento da conduta AB de 3750 m. b)ConhecidosossentidosdeescoamentoseovalordoscaudaisnostroosABeBD,possvel determinarosentidodeescoamento,eocaudal,notrooCB,atravsdaaplicaodaequaoda continuidade na bifurcao em B: 0 Q Q Q 0 QCB BD AB31 ii= + ! " == (admitiu-se positivo o caudal que entra na bifurcao em B) 1 3CB CBs m 02 , 0 Q 0 Q 05 , 0 03 , 0= ! = + O caudal na conduta CB 0,02 m3s-1 com o sentido de C para B. Neste caso os reservatrios R1 e R2 abastecem o reservatrio R3. c)ComoR2umreservatriodegrandesdimenses,considera-sequexigualcargano reservatrio R2 e pode ser determinada aplicando o Teorema de Bernoulli entre o reservatrio R2 e a bifurcao em B: CB CB B RL J H H2 = m 80,2 x 600 0045 , 0 5 , 77 x = ! = A cota da superfcie livre no reservatrio R2 80,2 m. Problema 3.2 Considere o circuito hidrulico da figura, constitudo por trs reservatrios ligados entre si por condutas de ferro fundido novo. Os reservatrios R1 e R3 so de grandes dimenses e o reservatrio R2 de pequenas dimenses. garantido o nvel constante no reservatrio R2 e admite-se a velocidade nula dentro do reservatrio. O escoamento permanente e, o caudal de 100 l/s. AguabombadadoreservatrioR1paraoreservatrioR2(rendimentodogrupo electro-bombaigual75%).PorsuavezoreservatrioR2alimentaumacondutaondeest instalada uma turbina com 52 kW de potncia e um rendimento de 90 %. 25Desprezandoasperdasdecargalocalizadasnosacessrioseconsiderandoosdados fornecidos na figura determine: a)A cota da superfcie livre do reservatrio R2; b)A potncia da bomba instalada sada do reservatrio R1; c)O traado da linha de energia e da linha piezomtrica ao longo do circuito hidrulico. Resoluo: O escoamento permanente pelo que o caudal constante no tempo e igual a 100 l/s = 0,1m3/s. No reservatrio R2, o caudal que entra igual ao caudal que sai, sendo constante ao longo do tempo o nvel da superfcie livre. Se a velocidade no reservatrio R2 nula a carga no reservatrio constante e igual cota topogrfica da superfcie livre. a)AdeterminaodacotatopogrficadasuperfcielivrenoreservatrioR2,faz-seatravsda aplicao do Teorema de Bernoulli entre os reservatrios R2 e R3: Hu H H H2 R 3 R = em que, H so as perdas de carga contnuas ao longo da conduta entre os reservatrios R2 e R3 e Hu a queda til na turbina. A queda til da turbina pode determinar-se atravs do valor da sua potncia: Hu Q PotT T = . a . mc 96 , 581 , 0 9800 90 , 052000Hu = = Substituindo na expresso do T. Bernoulli: 96 , 58 10 46 , 6 ) 1990 10 ( H 032 R + = HR2 = 71,88mc.a. Como HR2 = z , a cota da superfcie livre do reservatrio R2 de 71,88 m. 26 b) A potncia da bomba pode-se determinar pela expresso: =Ht QPotB Ovalordaalturatotaldeelevaodabomba,Htcalcula-seaplicandooTeoremadeBernoulli entre R1 e R2: Ht H H H1 R 2 R+ = 71,88 = 50 (5 + 995) . 1,57 . 10-3+ Ht Ht = 23,45 mc.a. kW 6 , 30 W 3064175 , 045 , 23 1 , 0 9800 Ht QPotB= = = = c) A linha de energia (LE) representa os valores da carga (H) ou energia mecnica total por unidade de peso do fluido ao longo do circuito hidrulico. Alinhapiezomtrica(LP)representaosvaloresdacotapiezomtrica ##$%&&'(+zpaolongodo circuito hidrulico. As cotas apresentadas na figura correspondem linha de energia. As cotas da linha piezomtrica podem ser calculadas subtraindo cota da linha de energia o valor da respectiva altura cintica: g 2H zP2U =##$%&&'(+ . Como no so conhecidos os dimetros dos troos da conduta no possvel calcular o valor da altura cintica. 27Captulo 4 TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO Problema 4.1 Determineaforaqueaguaexercesobreasparedesdeum reservatrio considerado de grandes dimenses, sabendo que existe um jacto de gua que sai de um orifcio aberto numa das suas paredes. Dados: - o volume de gua dentro do reservatrio, no instante inicial, igual a 3 m3; -a velocidade mdia na seco contrada do jacto de 6 ms-1; -a rea do orifcio de 3,5 cm2 e a rea da seco contrada do jacto igual a 0,6 da rea do orifcio. Resoluo: Aresultantedasforasqueaguaexercesobreasparedesdo reservatriodeterminadaatravsdaaplicaodoTeoremadaQuantidade de Movimento, ou Teorema de Euler, a um determinado volume de controlo. Esse volume de controlo deve ser definido de tal modo que no seu limite seja considerada a fronteira slida sobre a qual se pretende determinar a resultante das foras. A delimitao do volume de controlo deve ser feita considerando: 1asuperfciedecontrolocoincidentecomasuperfciedofluidoqueestemcontactocoma fronteira slida (a cinzento claro); 2-asuperfcielivredaguanoreservatrio,fcildecaracterizarpor estar em contacto com a atmosfera (presso nula) e por a velocidade ser nula (reservatrio de grandes dimenses); 3-asecocontradadojactoemqueaslinhasdecorrenteso rectilneas e paralelas entre si fazendo com que a distribuio de presses nessa seco seja hidrosttica; 4 - a superfcie lateral do jacto at seco contrada. Conhecidaasuperfciedecontrolopossveldefinir automaticamente o volume de controlo: Deseguida,representadoosistemadeeixostomadocomo referncia.Tratando-sedeumescoamentopermanente(porserum reservatriodegrandesdimenses)oTeoremadaQuantidadede Movimento representado pela seguinte expresso: 0 M M Gs e! ! ! ! != + + Relativamente s foras de contacto ou de superfcie verifica-se que: -nasuperfcielivredagua,aimpulsoeaforatangencialsonulasporestaremcontactocoma atmosfera (p = 0 Nm-2 )e se considerar que as partculas esto em repouso, respectivamente. -nasuperfciedecontrolorelativasecocontradadojactoaimpulsonulaporqueolimiteda secocontrada(umacircunferncia)estemcontactocomaatmosfera;aforatangencialzero porque o escoamento principal tem uma velocidade com a direco da normal seco. 28 - a superfcie lateral do jacto est em contacto com a atmosfera e desprezando o atrito gua - ar a fora de contacto nula. A nica fora de contacto que existe entre as paredes do reservatrio e a gua, R!. Relativamentesquantidadesdemovimento,s existetransportedofluidoatravsdasecode sada do jacto, visto que se considera que a velocidade desprezvel dentro do reservatrio de grandes dimenses ( 0 Me =!).

Neste caso particular, a equao do Teorema de Euler reduz-se a: 0 M G1 R! ! ! != + A incgnita a resultante das foras da gua sobre a parede do reservatrio que simtrica fora decontactoexercidapelasparedesdoreservatriosobreolquido,ousejaasforasdeimpulsoe foras tangenciais das paredes laterais e fundo do reservatrio, R- R =! !. G M0 M G1 R 1 R! ! ! ! ! ! ! = ! = + Decompondoaequaodeduzida,segundoosistemadeeixosortogonaisoxyz,obtm-seas componentes da fora R! e verifica-se o sentido arbitrado para R!: - componente segundo o eixo dos zz: N 29400 3 9800 Vol Gz R= = = = - componente segundo o eixo dos xx, considerando = 1,05: N 8 ) 10 5 , 3 6 , 0 ( 6 1000 05 , 1 A U ' M4 2 21 x R= = = = - componente segundo o eixo dos yy: N 0Ry = A fora de contacto exercida pelas paredes do reservatrio sobre o lquido : k29400 j0 i8R+ + = ! mdulo:N 29400 R R R R2z2y2x= + + =A resultante da fora exercidapela gua sobre o reservatrio :direco: 98 , 89 )RR( arctgxz= = k29400 j0 i8 R =! sentido: representado na figura 29Problema 4.2 Determineaforaresultantequeaguaexercesobreuma curvacomreduo,localizadanumplanovertical,em escoamentopermanente.Considereasecodemontante designada por seco 1 e a seco de jusante por seco 2 e tenha em conta os seguintes dados: - grandezas geomtricas: m 0 , 3 ZZ m; 2 , 1 D m; 8 , 1 D1 2 2 1= = =- o caudal 8,5 m3s-1; -opesodovolumedegualocalizadadentrodacurvaiguala 82 N; - a presso no centro de gravidade da seco 1 : -21cm N28 p = ; - a perda de carga localizada na curva : 2gU0,5 H22= Resoluo: Aresultantedasforasqueaguaexercesobreacurvacomreduodeterminadaatravsda aplicao do Teorema da Quantidade de Movimento a um determinado volume de controlo. A delimitao do volume de controlo deve ser feita considerando: 1asuperfciedofluidoqueestemcontactocomafronteiraslida(a cinzento claro); 2-assecestransversaisdoescoamento,coincidentescomasecode entrada na curva e a seco de sada da mesma. Nestas seces considera-seaslinhasdecorrenterectilneaseparalelasentresisendoporissoa distribuio de presses hidrosttica. Conhecidaasuperfciedecontrolopossveldefinir automaticamente o volume de controlo (figura ao lado). Osistemadeeixos,tomadocomoreferncia,representadode seguida. Apenas sero consideradas as direces segundo o eixo dos xx e zzporascomponentesdetodasasforasenvolvidasnoterem componente segundo o eixo dos yy. Tratando-sedeumescoamentopermanenteoTeoremadaQuantidadedeMovimentotomaa seguinte forma: 0 M M Gs e! ! ! ! != + + 30 para este caso particular, a equao reduz-se a: 0 M M G2 1 L 2 1! ! ! ! ! ! != + + + + Asforasdaequaoanteriorestorepresentadasnafigura ao lado. A incgnita a resultante das foras da gua sobre a parede dacurvaquesimtricaforadecontactoexercidapelas paredes da curva sobre o lquido, ou seja as foras de impulso e foras tangenciais das paredes laterais da curva,L- R =! ! Nasuperfciedecontrololateralnoexistequantidadedemovimentoporunidadedetempopor no haver transporte de massa fluida atravs das paredes da curva. Na equao que representa o Teorema de Euler pode optar-se por substituir a fora de contacto da parede da curva sobre o volume de fluido pela fora simtrica relativa incgnita (fora da gua sobre as paredes da curva): M M G R0 M M R G2 1 2 1 2 1 2 1! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + + + = ! = + + + Determinao das grandezas necessrias ao clculo das foras envolvidas: -asvelocidadesmdiasnasduassecespodemserdeterminadasaplicandoaequaoda continuidade: 2 2 1 1A U A U Q = = 1 -222ms 52 , 742 , 15 , 8AQU = = =e 1 -211ms 34 , 348 , 15 , 8AQU = = = -a presso na seco 2 determinada atravs da aplicao do Teorema de Bernoulli entre as seces 1 e 2 (conhecida a presso na seco 1), e considerando = 1,15: -2 4 -21Nm 10 28 Ncm 28 p = = H H H2 1 = g 2U0,5g 2U pzg 2U pz2222 2221 11=""#$%%&' ++ ""#$%%&' ++ ( ) 0g 2U0,5g 2Ug 2U p pz z222221 2 12 1=""#$%%&' +""#$%%&'+ 3108 , 9 27,5265 , 18 , 9 23,3415 , 19800p980010 2832 224=+ + -22Nm 210360 p = DecomposiodaequaodoTeoremadaQuantidadedeMovimento,segundooseixos cartesianos, considerando =1,05: - componente segundo o eixo dos zz: 30 cos M 30 cos ! - G - R -2 2 z = N 264277 30 cos41,27,52 1000 05 , 1 30 cos41,2210360 82 30 cos A U ' 30 cos A p G R222222 2 2 z= + + == + + = - componente segundo o eixo dos xx: 60 cos M M 60 cos R2 1 2 1 x + = N 58978760 cos42 , 17,52 1000 1,05 -48 , 134 , 3 1000 05 , 1 60 cos42 , 121036048 , 1280000 60 cos A U ' A U ' 60 cos A p A p R22222 2222 121 2 2 1 1 x== + == + = mdulo:N 646290 R R R2z2x= + =A resultante da fora exercidapela gua sobre a curva : direco: k264277 j0 i589787 R + =! sentido:representadonafigura Problema 4.3 No estreitamento da figura seguinte, representado pelas seces S1 e S2 de dimetros 1,2 m e 1,0 m respectivamente, escoa-se um caudal de 1 m3/s. Sabendo que a altura piezomtrica no estreitamento constante e igual a 50 m c.a. e que o volume delimitado pelo estreitamento de0,76m3,determinearesultantedasforasqueactuamsobreasingularidade (estreitamento). 1 , 24 )RR( arctgxz= = 32 Resoluo: O primeiro passo a definio do volume de controlo para aplicao do Teorema da Quantidade de Movimento. Nestecasoovolumedecontrolo (zonacinzenta)temcomosuperfcie fronteira as seces transversais S1 e S2 eaparedelateral,quedefinema singularidade. Namesmafigurarepresentadoo sistemadeeixoscartesianos,tomado comoreferncia.Parafacilitaros clculosescolhe-seoeixodosxx coincidentecomoeixodosistemade condutas. Tratando-sedeumescoamentopermanenteo TeoremadaQuantidade de Movimento,aplicadoa este volume, toma a seguinte forma: 0 M M Gs e! ! ! ! != + + 0 M M G2 1 L 2 1! ! ! ! ! ! != + + + + Na figura ao lado esto representadas as foras envolvidas na equao anterior. A incgnita do problema a resultante das foras da gua sobre o estreitamento, que simtrica foradecontactoexercidapelasparedesdoestreitamentosobreolquido,ousejaasforasde impulso e foras tangenciais do estreitamento,L- R =! !. Pode ento escrever-se a equao anterior como: 0 M M R G2 1 2 1! ! ! ! ! ! != + + +! 2 1 2 1M M G R! ! ! ! ! ! + + + = 33 24 , 2 )RR( arctgxz= = DecomposiodaequaodoTeoremadaQuantidadedeMovimento,segundooseixos coordenados: - componente segundo o eixo dos zz: 30 cos G Rz = . Clculo do peso prprio:N 7448 76 , 0 9800 Vol G = = = N 6450 30 cos 7448 Rz= = - componente segundo o eixo dos xx, considerando = 1,05: 2 1 2 1 xM M 30 sen G R + + = 2 1 2 2 1 1 xU Q ' U Q ' A p A p 30 sen G R + + = Clculo da presso nas seces transversais:

. a . mc 50p p2 1== !p1 = p2 = 490000Nm-2 Clculo das velocidades mdias do escoamento nas seces transversais: 1211s m 88 , 06 , 01AQU= = =e 1222s m 27 , 15 , 01AQU= = = 27 , 1 1 1000 05 , 1 88 , 0 1 1000 05 , 1 5 , 0 490000 6 , 0 490000 30 sen 7448 R2 2x + + = N 165198 Rx = A resultante das foras exercidasmdulo:N 165324 R R R2z2x= + =pela gua sobre o estreitamento :direco: sentido:representado na figura

k6450 j0 i165198 R + + =! 34 Problema 4.4 Ojactodeguaquesaideumacondutacomocaudalde40l/sincidesobreumaplaca quadrada com 50 cm de lado, que faz 60 com o eixo do jacto, dividindo-se verticalmente em duas partes. Determine a fora do jacto sobre a placa e a distribuio de caudais. Nota: Despreze o atrito gua - ar e o atrito gua - placa. Resoluo: O primeiro passo a definio do volume de controlo:1olimitedovolumedecontroloemcontactocoma fronteira slida; 2 - as seces 1, 2 e 3 que delimitam o volume de gua que est em contacto com a fronteira slida; 3 - as superfcies em contacto com a atmosfera e que ficam entre as seces 1, 2 e 3. Namesmafigurarepresentadoosistemadeeixos tomado como referncia. Sedesprezadooatritogua-placa,entoaforadecontactoousuperfciedaplacasobreo volume lquido s tem componente normal placa (no existem tenses tangenciais, s presso). Para facilitarosclculosescolhe-seumsistemadeeixosdefinidosegundoadirecodaplacaeasua perpendicular. Tratando-sedeumescoamentopermanenteoTeoremadaQuantidadedeMovimentotomaa seguinte forma, para este caso particular: 0 M M Gs e! ! ! ! != + + Dadoopequenovolumedojactodegua, despreza-seoseupeso,0 G !,peloquea equao anterior se reduz a: 0 M M M3 2 1 L 3 2 1! ! ! ! ! ! ! != + + + + A incgnita a resultante das foras da gua sobre a placa que simtrica fora de contacto normalexercidapelaplacasobreolquido,ou seja as foras de impulso da placa,L- R =! !. 35Pode, ento, escrever-se a equao anterior como: 0 M M M R3 2 1 3 2 1! ! ! ! ! ! ! != + + + ! 3 2 1 3 2 1M M M R! ! ! ! ! ! ! + + + = DecomposiodaequaodoTeoremadaQuantidadedeMovimento,segundooseixos coordenados xx e zz, considerando o sistema de eixos arbitrado: - componente segundo o eixo dos zz: Deacordocomosistemadeeixosescolhido,aforadecontactoexercidapelaplacasobreo lquido, L!, apenas tem componente segundo o eixo xx. Como a resultante das foras da gua sobre a placa simtrica a esta ltima, isso significa que no existe componente deR!segundo o eixo zz, ou seja,0 Rz = . - componente segundo o eixo dos xx, considerando = 1,05: 60 sen M 60 sen R1 1 x+ = 60 sen U Q ' 60 sen A p R1 1 1 1 x + = Sendoodimetrodojactomuitopequenopodeconsiderar-sequeavariaodepressoda periferiadasecoparaoseucentrodesprezvele,comoapressonaperiferiaapresso atmosfrica local, isso significa que p1 = 0 Nm-2. A velocidade U1 ser: 12 21 3111s m 09 , 5m 05 , 0s m 04 , 0AQU= = = N 185 60 sen 09 , 5 04 , 0 1000 05 , 1 Rx= = mdulo:N 85 1 R =A resultante das foras exercidaspela gua sobre a placa : direco: segundo o eixo xx sentido:positivo Determinao da relao de caudais: AcomponentesegundooeixodoszzdaequaodoTeoremadeEulerouQuantidadede Movimento permite determinar a relao entre caudais na seco 2 e 3. Componente segundo eixo dos zz da equao do Teorema de Euler: A presso nas seces 2 e 3 igual presso atmosfrica local ( p2 = p3 = 0 Nm-2 ). k0 j0 i185 R + + =! 36 3 2 1 zM M 60 cos M R + = 3 3 2 2 1 1 zU Q ' U Q ' 60 cos U Q R + = Como0 Rz = , logo: 3 3 2 2 1 1U Q ' U Q ' 60 cos U Q ' 0 + = Adeterminaodasvelocidadesnasseces2e3podefazer-sepelaaplicaodoTeoremade Bernoulli. Aplicao do T. Bernoulli entre as seces 1 e 2: H H H2 1 = Desprezandooatritoar-guaeguaplaca(H1-2=0)e considerando = 1,15: 0g 2U pzg 2U pz22 2221 11=""#$%%&' ++ ""#$%%&' ++ , e como, p1 = p2 = 0 Nm-2, g 2Ug 2Uz z21222 1 = 8 , 9 209 , 515 , 18 , 9 2U15 , 1 60 sen 5 , 0 60 sen 25 , 02 22= ! 12s m 71 , 4 U= Aplicao do T. Bernoulli entre as seces 1 e 3: H H H3 1 = Desprezando o atrito ar - gua e gua placa : H1-3 = 0 0g 2U pzg 2U pz23 3321 11=""#$%%&' ++ ""#$%%&' ++ e,como p1 = p3 = 0 Nm-2, g 2Ug 2Uz z21233 1 = 8 , 9 209 , 515 , 18 , 9 2U15 , 1 0 60 sen 25 , 02 23= ! 13s m 44 , 5 U= 37Substituindo as velocidades, obtm-se: 44 , 5 Q 1000 05 , 1 71 , 4 Q 1000 05 , 1 60 cos 09 , 5 04 , 0 1000 05 , 1 03 2 + = ou seja, uma equao com duas incgnitas, Q2 e Q3. Aintroduodaequaodacontinuidade: 3 2 1Q Q Q + = permiteobterumsistemadeduas equaes com duas incgnitas. Determinao dos caudais: 3 2Q Q 04 , 0 + = 44 , 5 Q 1000 05 , 1 71 , 4 Q 1000 05 , 1 60 cos 09 , 5 04 , 0 1000 05 , 1 03 2 + = Q2 = 0,012 m3s-1 Q3 = 0,028 m3s-1 38 39Captulo 5 LEIS DE RESISTNCIA E ESCOAMENTOS PERMANENTES SOB PRESSO Problema 5.1 UmabombaGrundfosLP100-160dotadadeumaroda168mm,estinstaladanuma conduta que liga dois reservatrios com superfcie livre s cotas 90 e 110, respectivamente a montanteejusante,comosepodeobservarnafiguraseguinte.Sabendoqueosreservatrios so de grandes dimenses e o material das condutas ferro fundido novo, determine: a) O caudal bombado e a potncia da bomba (verifique as condies de funcionamento); b)A energia consumida anualmente, sabendo que o volume a elevar diariamente ao longo do ano de 1300 m3 e que o rendimento do motor 90%; c)Ocomprimentomximodotubodeaspiraodabombademodoanoexistirem problemas de cavitao; d) Trace a linha de energia e a linha piezomtrica do circuito hidrulico. Nota:Despreze as perdas de carga localizadas. Resoluo: a) As caractersticas de funcionamento da bomba, designadas por ponto de funcionamento da bomba, so calculadas a partir da intercepo entre a curva caracterstica da bomba (fornecida pelo fabricante) e a curva caracterstica da instalao hidrulica.A curva caracterstica da bomba representa a relao entre: - o caudal bombado; -aalturatotaldeelevaonabomba,ousejaoganhodecargapossvelnabombaquando eleva esse caudal. A curva caracterstica da instalao representa a relao entre: - o caudal escoado no circuito hidrulico; 40 - a altura total de elevao, ou seja o ganho de carga na bomba necessrio para transportar esse caudal atravs do circuito hidrulico. Clculo da curva caracterstica da instalao: Para determinar o ganho de carga na bomba para os diferentes caudais, aplica-se o T. de Bernoulli entre o reservatrio de montante e o reservatrio de jusante do circuito hidrulico. Ht H H HC A A C+ = Tratando-se de reservatrios de grandes dimenses e desprezando as perdas de carga localizadas emAeemC,acargaemAcoincidecomacotatopogrficadasuperfcielivrenoreservatriode montanteeacargaemCcoincidentecomacotatopogrficadasuperfcielivrenoreservatriode jusante. Ht H 90 110C A+ = C AH 90 110 Ht + = HA-C representa o valor total das perdas de carga contnuas ao longo do circuito hidrulico, tendo em contaquesedesprezamasperdasdecargalocalizadas.Aperdadecargaunitriaigualnostroos AB e BC, j que o caudal, o dimetro e a natureza do tubo se mantm. AC AC ACL J H = LAC = 20 + 80 + 5000 = 5100 m Aperdadecargaunitria,JAC,calculadautilizandoafrmulamonmiaespecficadoferro fundido novo, apresentada por Scimemi. Tubos de ferro fundido novo: 535 , 0 625 , 2J D 35 Q =, Q (m3/s), D (m), J (mc.a. /m) 535 , 0 1625 , 2ACD 35QJ!"#$%&= 51002 , 0 35Q90 110 Ht535 , 0 1625 , 2!!"#$$%&+ = Q (m3/h) Ht (mc.a.) Aequaoanteriorcorrespondecurva caracterstica da instalao, que pode ser traada atravsdosparesdevalores(Q,Ht),ouseja, arbitrando valores para o caudal e determinando a altura total de elevao correspondente. Nota:naequaoanteriorocaudalentraem m3/s. 0 20 40 60 80 100 120 20 21,09 23,96 28,46 34,48 41,98 50,90 41Clculo do ponto de funcionamento da bomba: A sobreposio da curva caracterstica da instalao com a curva caracterstica da bomba permite determinaropontodefuncionamentodabomba.Nesteponto,oganhodecargaqueocircuito hidrulicoprecisaparaelevarocaudaligualalturatotaldeelevaoqueabombaconsegue disponibilizar quando transporta o mesmo caudal. O ponto de funcionamento caracterizado pelos seguintes parmetros: Ht = 36,2 mc.a. Q = 86 m3/hB = 77,5%NPSHexigido = 1 mc.a. Determinao da potncia da bomba: A potncia da bomba determinada pela expresso: BBHt QPot = Watts 10940775 , 02 , 36 0239 , 0 9800PotB= == 10,94 kW Verificao das condies de funcionamento: Depois de determinado o ponto de funcionamento da bomba resta verificar as suas condies de funcionamento, ou seja, verificar que nestas condies de funcionamento no existe cavitao dentro dabomba.Paratal,comparam-seosvaloresdoparmetroNPSHexigidopelabombaeoNPSH disponvel na instalao. Caso o segundo seja maior ou igual que o primeiro ento o sistema estar a funcionar em boas condies, sem problemas de cavitao. curva caractersticada instalao 42 NPSHexigido = 1 mc.a. (valor lido no catlogo da bomba) + =vaspiraoatdisponvelt) H hs (pNPSH em que,pat = 1,012 . 105 Nm-2(presso absoluta) tv a 20 C = 2330Nm-2 (presso absoluta) = 9800 Nm-3. hs a altura de aspirao da bomba e determinada pela diferena de cotas topogrficas entre o eixo da bomba e a superfcie livre no reservatrio de montante. hs = 97 - 90 = 7 m . a . mc 325 , 0 1002 , 0 350239 , 0L J H535 , 0 1625 , 2AB AB aspirao= !!"#$$%&= = . a . mc 76 , 298002330) 325 , 0 7 (980010 012 , 1NPSH5disponvel= + = Como NPSHdisponvel = 2,76> NPSHexigido = 1, no h problemas de cavitao dentro do corpo da bomba. b)Aenergiaconsumidadependedapotnciadomotorassociadobombaedoseutempode funcionamento. t Pot Em = A potncia do motor determinada pela expresso: m B mBmHt Q PotPot == Watts 1215690 , 0 775 , 02 , 36 0239 , 0 9800Potm= == 12,16 kW tempo de funcionamento dirio: h 12 , 15861300QVolt = = = kWh 9 , 183 12 , 15 16 , 12 t Pot Em= = =- valor da energia consumida diariamente. kWh 67109 365 9 , 183 Eanual= = - valor da energia consumida anualmente 43c)ParanoexistiremproblemasdecavitaoNPSHdisponvelNPSHexigido.Observandoafrmulaque permite o clculo do valor do NPSHdisponvel , + =v atdisponvelt) L J hs (PNPSH verifica-sequequantomaiorforocomprimentodotubodeaspiraodabomba,maioraperdade cargaamontantedabombaemenorovalordoNPSHdisponvelnabomba.Assim,paraevitar problemas de cavitao, o comprimento mximo do tubo de aspirao ser aquele que permite obter o valor de NPSHdisponvel = NPSH exigido. + = = =vaspiraoatdisponvel exigidot) H hs (PNPSH 1 NPSH 98002330) L 10 25 , 3 7 (980010 012 , 11AB35 + =LAB = 643 m Paranoexistiremproblemasdecavitao,o tuboamontantedabombanodeveultrapassar o comprimento de 643 m. d) O traado da linha de energia e da linha piezomtrica ao longo do circuito o seguinte: Os valores numricos apresentados na figura correspondem s cotas da linha de energia. As cotas dalinhapiezomtricapodemsercalculadassubtraindo,acadaumdosvaloresanteriores,ovalorda altura cintica: g 2H zP2U =!!"#$$%&+.44 O valor da altura cintica 0,03 mc.a., com velocidade de 0,76 m/s e coeficiente de Coriolis igual a1,porsetratarde umregimeturbulento (no casodoescoamentodegua,lquidocomviscosidade muito baixa, o regime normalmente turbulento). Problema 5.2 Considereainstalaohidrulicadafiguraconstitudaporumacondutaelevatriacom rugosidadeabsolutaequivalentede0,2mm,naqualcirculaocaudalcorrespondenteao nmero de Reynolds igual a 510 2 , e uma bomba DNP 65-200/210.Admitindo os reservatrios de grandes dimenses, determine: a) A altura total de elevao da bomba; b) A cota da superfcie livre a montante ( x ); c) Verifique as condies de funcionamento da bomba relativamente cavitao; NOTA: = 1,01 x 10-6 m2/s;Despreze as perdas de carga localizadas. Resoluo: a)NocircuitohidrulicoocaudaltransportadocorrespondeaovalordeReynoldsdeRe=2E5.A aplicao da definio de n de Reynolds permite calcular o caudal bombeado. Introduzindo esse valor na curva caracterstica da bomba (fornecida pelo fabricante) possvel ler a altura total de elevao e o rendimento da bomba, correspondente. Determinao do caudal na bomba: U A Q = 2 2 2m 1 , 0 r A = = A velocidade pode ser determinada atravs do nmero de Reynolds, Re:=D URe = 1,01 . 10-6 m2/s(para T = 20 C). 456510 01 , 12 , 0 U10 2= U = 1,01 m/s h / m 114 s / m 0317 , 0 01 , 1 1 , 0 U A Q3 3 2= = = = Determinao da altura total de elevaoedorendimentoda bomba: Introduzindoovalordo caudal na curva caracterstica da bomba,obtm-seaalturatotal deelevao,Hteorendimento da bomba B. Paraumcaudalde114 m3/habombaDNP65-200/210 permiteumaalturatotalde elevao,Htde56,5mc.a.com um rendimento de 79 %. b) Para determinar a cota da superfcie livre a montante, em A, aplica-se o Teorema de Bernoulli entre o reservatrio de montante e o reservatrio de jusante: Ht H H HC A A C+ =. Comoosdoisreservatriossodegrandesdimensesacargatotaligualaovalordacota topogrfica superfcie livre, pelo que: 5 , 56 L J z 100AC AC A+ = Aperdadecargaunitria(JAC)podecalcular-seatravsdaaplicaodaequaouniversalde perda de carga, que relaciona o coeficiente de resistncia com a perda de carga unitria: g 2UDfJ2AC = o factor de resistncia determinado em funo do nmero de Reynolds (Re), da rugosidade relativa (k/D) pela aplicao da equao de Colebrook-White ou do baco de Moody. Clculo de JACaplicando a frmula de Colebrook-White:

!!"#$$%&+ =f Re51 , 2D 7 , 3klog 2f1

46 k = 0,2 mm =0,2 E-3 m D = 0,2 m Re = 2 . 105 !!"#$$%&+ =f Re51 , 2D 7 , 3klog 2f1'2f Re51 , 2D 7 , 3klog 4f1(()*++,-!!"#$$%&+ = ' ' 2f Re51 , 2D 7 , 3klog41f(()*++,-!!"#$$%&+ = '!!"#$$%&+ =f Re51 , 2D 7 , 3klog41f2 AequaodeColebrook-White,implcitaemf,resolvidaatravsdaaplicaodoMtodode Substituies Sucessivas, com a seguinte equao de recorrncia: !!"#$$%&+ =+n21 nf Re51 , 2D 7 , 3klog41f . Arbitra-se um valor para fn,e determina-se fn+1, substitui-se fn por fn+1 sucessivamente. O clculo termina quando fn+1= fn para um dado nmero de algarismos significativos. !!"#$$%& +=+n5321 nf 10 251 , 22 , 0 7 , 310 2 , 0log41f Substituindo na equao universal da perda de carga: m / . a . mc 10 47 , 58 , 9 201 , 12 , 0021 , 0g 2UDfJ32 2AC = = = Clculo de JACaplicando o baco de Moody: Em alternativa, o valor da perda de carga unitria pode ser calculado pela aplicao do baco de Moody, que permite determinar graficamente o valor de f. Para tal so necessrios os valores do n de Reynolds, Re, e da rugosidade relativa, k/D. Re = 2 . 105 001 , 02 , 010 2 , 0Dk3== EntrandocomestesvaloresnobacodeMoody(figuraseguinte)l-seovalordef correspondente. Neste caso, f = 0,0215; e, substituindo na equao universal da perda de carga: fnfn+1 0,010 0,022 0,021 0,022 0,021 0,021 47m / . a . mc 10 59 , 58 , 9 201 , 12 , 00215 , 0g 2UDfJ32 2AC = = = Adiferenaentreosvaloresobtidosparaofactorderesistncia,f,deve-seaoerrogrfico introduzido pela utilizao do baco de Moody. Nos clculos seguintes ser aplicado o resultado da frmula de Colebrook-White.

Substituindo o valor de JAC, na equao do Teorema de Bernoulli: 5 , 56 600 10 47 , 5 z 1003A+ ='zA = 46,8 m c)Paranoexistiremproblemasdecavitaonabombanecessrioqueseverifiqueaseguinte relao: NPSHdisponvel NPSHexigido.OvalordoNPSHexigido um valor apresentado pelo fabricante que pode ser lido no catlogo dabomba(curvade NPSH). Neste caso NPSHexigido = 4 mc.a. + =vaspiraoatdisponvelt) H hs (PNPSH . a . mc 3 , 698002330) 100 10 47 , 5 8 , 46 50 (980010 012 , 1NPSH35disponvel= + = ComoNPSHdisponvel=6,3>NPSHexigido=4,verificam-seasboascondies defuncionamento (no se prev que existam problemas de cavitao dentro do corpo da bomba). * representao do baco de Moody retirado de Quintela (1981) 48 Problema 5.3 Considereainstalaohidrulicaesquematizadanafigura,querepresentao abastecimento a uma fonte em circuito fechado, ou seja a gua que sai na fonte recolhida e bombeadaparaoreservatriodealimentaodafonte.Omaterialdascondutas fibrocimento.Considerandoqueoescoamentopermanenteequeosreservatriossodepequenas dimensesenvelconstante(comportando-se,noentanto,comoreservatriosdegrandes dimenses), determine: a)A cota da superfcie livre do reservatrio de abastecimento fonte (Z); b)Aenergiaconsumidadiariamentepelabombasabendoqueascaractersticasdabomba utilizada (Tecnidrulica-Rutschi 100-200/199) so as apresentadas em anexo e que a fonte funciona 10 horas por dia. Considere o rendimento do motor igual a 88 %; c)Trace a linha de energia e a linha piezomtrica do troo AC. Nota: Despreze o atrito gua ar. Resoluo: a)Oreservatriodeabastecimentofuncionacomoumreservatriodegrandesdimensesecomoa superfcielivredaguaestemcontactocomapressoatmosfricalocal,acargatotalnesse reservatrioigualcotatopogrficadasuperfcielivredolquido,z.Assim,podedeterminar-seo seuvaloratravsdaaplicaodoTeoremadeBernoullientreessereservatrioeumasecodo circuitocujacargasejapossveldeterminar.Aplica-seassimoTeoremadeBernoullientreo reservatrio de abastecimento e a seco de sada do jacto, seco C: AC C cot A C AH H H H H H + + + = em que C cot AH , H , H so as perdas de carga localizadas na seco A, no cotovelo e na seco C, respectivamente. z HA = , a varivel cujo valor se pretende calcular. 49A carga em C, HC , igual soma da cota topogrfica (3 m) com a altura cintica, tendo em conta que,estasecodesada,estsujeitapressoatmosfricalocal(0Nm-2).Podecalcular-seoseu valor aplicando o Teorema de Bernoulli entre a base (seco C) e o topo do jacto de gua (seco D).Nojactodeguad-seatransfernciadaenergiacinticanasecoCemenergiapotencialde posio na seco D. D C D CH H H = As perdas de carga entre as seces C e D so provocadas pelo atrito gua-ar pelo que, de acordo com o enunciado do problema, podem ser desprezadas, HC-D = 0, logo: 0 H HD C= ' D CH H = A carga em C igual carga em D. Na seco D, a presso da gua nula, uma vez que est em contacto com a presso atmosfrica local; a velocidade da gua tambm ser nula, pois, sendo a cota mais elevada do jacto, corresponde seco em que se anula a velocidade. . a . mc 4 , 4 0 4 , 4 0g 2UzPH2DDDD= + + = + += . a . mc 4 , 4 HC= Conhecida a carga em C possvel determinar a velocidade na mesma seco. Foi considerado o coeficiente de Coriolis por se tratar de uma velocidade elevada: . a . mc 4 , 48 , 9 2U15 , 1 0 , 3 0g 2UzPH2C2CCCC=+ + = + +=' s / m 88 , 4 UC = Determinao das perdas de carga singulares: As perdas de carga localizadas ou singulares calculam-se atravs da expresso: g 2UK H2 = Pela equao da continuidade, o caudal mantm-se constante ao longo do circuito hidrulico, e igual ao caudal na seco C: s / m 0138 , 0 88 , 4 03 , 0 U A Q3 2C C= = = A perda de carga localizada na seco A dada por: K = 0,50 - passagem, em aresta viva, de um reservatrio para uma conduta s / m 78 , 0075 , 00138 , 0AQU2AA= = = . a . mc 016 , 08 , 9 278 , 050 , 0 H2A= = 50 Perda de carga localizada no cotovelo existente a montante da seco C: s / m 78 , 0075 , 00138 , 0AQU2cotcot= = = K = 1,1(cotovelo c/ um ngulo de 90) . a . mc 034 , 08 , 9 278 , 01 , 1 H2cot= =

Perda de carga localizada na seco C: OvalordeKnoestreitamentotronco-cnicodependedarazoentreodimetromaioreo dimetro menor e do ngulo que a parede lateral faz com um plano vertical, conforme a figura abaixo. 5 , 260150DD12= = 225 , 02 , 0045 , 0tg = = ' = 12,7 com 1 , 2 5 , 2DD12 = e = 12,7 , atravs da figura ao lado obtm-se o valor de K. Neste caso, K = 0,05.

Fonte: Quintela (1981) Substituindo na equao da perda de carga localizada: g 2U05 , 0 H21C = A velocidade U1 a da seco menor:UC = 4,88 m/s, pelo que: Fonte: Quintela (1981) 51. a . mc 061 , 08 , 9 288 , 405 , 0 H2C= = Determinao da perda de carga contnua: AC AC ACL J H = Tubos de fibrocimento: 56 , 0 68 , 2J D 3 , 48 Q =, Q (m3/s), D (m), J (mc.a./m) m / . a . mc 0041 , 015 , 0 3 , 480138 , 0J56 , 0 168 , 2AC=!!"#$$%&= . a . mc 05 , 2 500 0041 , 0 HAC= = Voltando equao do Teorema de Bernoulli aplicado entre o reservatrio de abastecimento e a seco C, obtm-se: AC C cot A AH H H H 4 , 4 z + + + = 05 , 2 061 , 0 034 , 0 016 , 0 4 , 4 zA+ + + = zA = 6,56 m ' valor da cota da superfcie livre no reservatrio de abastecimento da fonte. b) E = Potm . t t = 10 h/dia B mm.Ht QPot = O valor da Ht pode ser lido na curva caracterstica da bomba: Q = 13,8 l/s 'Ht = 10 mc.a. b = 68 % = 0,68 motor = 88 % = 0,88 W 226068 , 0 88 , 010 0138 , 0 9800Potm= = = 2,26 kW 52 E = 2260 W . 10 h = 22600 W h=22,6 kWh 'valor da energia consumida diariamente. c) O traado da linha de energia e da linha piezomtrica ao longo do troo AC o seguinte: Os valores numricos apresentados na figura correspondem s cotas da linha de energia. As cotas da linha piezomtrica podem ser calculadas subtraindo das cotas da linha de energia o valor da altura cintica: g 2H zP2U =!!"#$$%&+= H-0,036 mc.a. Problema 5.4 Osistemaderegaporaspersorepresentadonafigura,constitudoporumsistemade bombagem que conduz a gua, desde uma charca at um aspersor, atravs de uma conduta de PVC enterrada, com 37,2 mm de dimetro interno. O aspersor (seco C) encontra-se a 1,5 m do solo e debita um caudal de 3,5 m3/h. Considerando que as perdas de carga localizadas so 10 % das perdas de carga contnuas na conduta adutora e que a carga sada da bomba de 145 mc.a., determine: a)a presso da gua entrada do aspersor; 53b)aenergiagastaemcadarega,sabendoqueaduraodaregade4heorendimentodo sistema de bombagem de 70 %; c)a cota a que o nvel de gua da charca pode descer, sem provocar problemas de cavitao no sistema, sabendo que o valor de NPSH exigido pela bomba de 5 mc.a. Resoluo: a)Acargahidrulica entradadoaspersorpodecalcular-sepela aplicaodo TeoremadeBernoulli entre a seco sada da bomba, JBH , e a seco C entrada do aspersor. C B B CH H HJ = Loc BC C BH H H + = ) L J 1 , 0 L J ( 145 HBC BC BC BC C + = A perda de carga unitria JBC pode calcular-se atravs da frmula monmia especfica do material para tubos de PVC: 56 , 0 68 , 2J D 5 , 50 Q =, Q (m3/s), D (m), J (mc.a./m) m / . a . mc 0262 , 00372 , 0 5 , 5010 7 , 9J56 , 0 / 168 , 24BC=!!"#$$%&= . a . mc 35 , 136 ) 300 0262 , 0 1 , 0 300 0262 , 0 ( 145 HC= + = Aplicando a definio da carga total, vem: g 2UzpH2CCCC + += s / m 89 , 00186 , 010 7 , 9AQU24CC= = = admitindo = 1, fica: 8 , 9 289 , 0) 5 , 1 108 (9800p35 , 1362C+ + + =' pC = 265674Nm-2 O valor da presso da gua entrada do aspersor de 265,7 kNm-2. b)Paradeterminaraenergiaconsumidapelabombanecessriocalcularaalturatotaldeelevao, Ht. Aplicando o Teorema de Bernoulli entre as seces A e C (seco de entrada do aspersor), obtm-se: 54 Ht H H HC A A C+ = . a . mc 99 , 8 312 0262 , 0 1 , 0 312 0262 , 0 H H HLoc AC C A= + = + = Ht 99 , 8 100 35 , 136 + = Ht = 45,34 mc.a. W 7 , 61570 , 034 , 45 10 7 , 9 9800 Ht QPot4B mm= = = tempo de funcionamento = 4 h/dia E = Potm . t = 615,7 . 4 = 2,46 kWh 'valor da energia consumida diariamente. d)Para no existirem problemas de cavitao o valor do NPSHdisponvel tem que ser no mnimo igual ao valor do NPSHexigido = 5 mc.a. + = =vaspiraoatdisponvelt) H hs (P5 NPSH pat = 1,012 . 105 Nm-2 (presso absoluta) tv a 20 C = 2330Nm-2 (presso absoluta) = 9800 Nm-3 [ ]98002330) 12 0262 , 0 1 , 0 12 0262 , 0 ( hs980010 012 , 155 + + =' hs = 4,74 m O nvel de gua na charca pode estar 4,74 m abaixo da cota topogrfica do eixo da bomba, antes do sistema comear a ter problemas de cavitao, o que corresponde a uma cota mnima da superfcie livre na charca de: 102 4,74 = 97,26 m. 55Captulo 6 ESCOAMENTOS EM SUPERFCIE LIVRE Problema 6.1 Num canal revestido com reboco ordinrio (Ks = 80 m1/3 s-1), seco rectangular com 2 m de largura, escoa-se o caudal de 2,5 m3/s de gua. Determine: a) O declive do canal para uma altura uniforme de 0,50 m; b) A altura uniforme para um declive de 0,001 m/m; c) A variao de caudal se forem revestidas as paredes do canal com cimento alisado, no caso da alnea b) Resoluo: a) No caso de um escoamento em superfcie livre permanente e uniforme a linha de energia paralela ao perfil longitudinal do leito do canal. Para declives muito pequenos, a perda de carga unitria pode ser considerada igual ao declive do canal. Substituindonaleideresistncia(EquaodeManning-Strickler)aperdadecargaunitriapelo declive, vem: 2 1 3 2J Rh A Ks Q = ( )2 13 2i5 , 0 2 25 , 0 25 , 0 2 80 5 , 2 !"#$%& + = 0042 , 0 i =m/m. b)AaplicaodaequaodeManning-Stricklernadeterminaodaalturauniformeconhecidoo caudal, a geometria da seco e o declive transforma-se num problema de resoluo de uma equao implcita: ( )2 13 2uuu001 , 0h 2 2h 2h 2 80 5 , 2 !!"#$$%& + = . Explicitando em ordem a hu, obtm-se a equao de recorrncia seguinte, que se resolve atravs do Mtodo de Substituies Sucessivas:

( )2h 2 2001 , 0 805 , 2h5 2u5 32 1un1 n +!!"#$$%&=+ nuh0,6000,7910,8270,834 0,8351 nuh+ 0,7910,8270,8340,835 0,835' uh = 0,835 m 56 c) Se forem revestidas as paredes do canal com cimento alisado (Ks = 85 m1/3 s-1), mantendo o fundo docanalrevestidocomrebocoordinrio,obtm-seumasecomista.OcoeficientedeManning-Strickler da seco mista determinado pela aplicao da Frmula de Einstein: 1 3 13 22 3 2 33 22 3jjs m 18 , 8285835 , 0 2802835 , 0 2 2KsPPKs=!!!!"#$$$$%&+ +=!!!!!"#$$$$$%&(= O caudal transportado no canal de seco mista em regime uniforme, altura uniforme hu = 0,835 m e declive i = 0,001 m/m : ( )2 13 2001 , 0835 , 0 2 2835 , 0 2835 , 0 2 19 , 82 Q !"#$%& + = 1 3s m 57 , 2 Q= Tendosidodiminudaarugosidadedasparedesdocanal,aumentaocoeficientedeManning-Strickler e aumenta o caudal de 2,5 m3s-1 para 2,57 m3s-1. Problema 6.2 Umcanalrectangular,comumalargura de 3 m, revestido com reboco ordinrio(Ks=80m1/3s-1),apresentaumescoamentoemregimeuniformecrticocomumaalturade gua de 90 cm. Determine: a)o caudal no canal para as condies apresentadas; b)o declive do canal; c)omenorvalordeenergiaespecficacomquesepodedaroescoamentodessecaudal neste canal. Resoluo: a)Paracanaisde seco rectangularocaudal,a larguradocanalea alturacrticaestorelacionados pela equao: 322cb gQh = e o caudal vem: 1 3 2 3 2 3cs m 02 , 8 3 8 , 9 9 , 0 b g h Q= = = 57b) Como o escoamento em regime uniforme, para as condies apresentadas, verifica a equao de Manning-Strickler com J = i. 2 1 3 2J Rh A Ks Q = ( )2 13 2i9 , 0 2 39 , 0 39 , 0 3 80 02 , 8 !"#$%& + = m / m 003 , 0 i = c)AenergiaespecficamnimadoescoamentodocaudalQ=8,02m3s-1numcanaldeseco rectangular com largura de 3m, corresponde situao de regime crtico: g 2Uh E2cc c + =, sendoc ch g U = ,e considerando = 1, vem: . a . mc 35 , 1 9 , 023h232hhg 2h gh Eccccc c= = = + =+ = Problema 6.3 necessrio abrir uma vala de drenagem em terra (Ks = 60 m1/3s-1) paratransportarumcaudalde500l/s.Sabendoqueobaldedamquinautilizadaparaoefeito,apresentaa geometriatransversalindicadanafigura,eque,emfunodascondiestopogrficas,se podenomximo,dispordeumdeclivede2%o(doispormil),determineaprofundidadea dar vala, de forma a deixar uma folga de 0,20 m. Resoluo: Supondooescoamentonavalaemregimeuniforme,necessriocalcularaalturauniformedo escoamento.Demodoadiminuiraprofundidadedavalaaproveitadoodeclivemximo,poisem regimeuniformequandoaumentaodeclivediminuiaalturadegua,paraigualdadedosrestantes parmetros. 58 Aplicando a equao de Manning-Strickler para a perda de carga unitria igual ao declive, obtm-se: 2 1 3 2J Rh A Ks Q = com: h h) m (B A + = , h m 1 2 B P2 + + =,e, PARh = 364 , 0 70 tg1m = = . Substituindo na equao de Manning-Strickler, fica: ( ) [ ]( )2 13 2u2u uu u002 , 0h 364 , 0 1 2 1h h 364 , 0 1h h 364 , 0 1 60 5 , 0 ))*+,,-. + + + + = . Pararesolveraequaoanterior,emfunodaalturauniforme,aplicadooMtodode Substituies Sucessivas com a equao de recorrncia: ( )( )nn1 nu5 2u25 32 1uh 364 , 0 1h 364 , 0 1 2 1002 , 0 605 , 0h + + +!!"#$$%&=+ nuh0,4000,408 1 nuh+ 0,4080,408 A altura uniforme hu = 0,41 m. A vala deve ser aberta com a profundidade de h = hu + 0,20 = 0,61 m. Problema 6.4 Umcanalrevestidocombetoliso(Ks=75m1/3/s),comsecoeperfillongitudinal indicadosnafigura,abastecidoapartirdeumoutrocanalatravsdeumdescarregador triangular representado na figura.a)Determine o caudal no canal; b)Determine o declive crtico e classifique o regime uniforme de escoamento em cada troo; c)Tracequalitativamenteoperfildasuperfcielivredagua,identificandoascurvasde regolfo existentes. 59Nota:ostroossosuficientementecompridosparaquenelesseestabeleaoregime uniforme. Resoluo: a)Osdescarregadoressomedidoresdecaudal.Assim,conhecidaageometriadodescarregadorea carga possvel calcular o caudal (matria tratada no captulo seguinte) que passa pelo descarregador e que escoar pelo o canal em estudo. Aplicando a lei de vazo do descarregador triangular, vem: 2 5H2tg g 2 C158Q =, com, = 100 eH = 1,0 m 1 3 2 5s m 745 , 1 0 , 12 100tg 8 , 9 2 62 , 0158Q= = . b) O declive crtico corresponde a um escoamento uniforme crtico, ou seja em que a altura uniforme correspondealturacrtica.PodeserdeterminadoatravsdaaplicaodaequaodeManning-Strickler, com J = ie hu = hc. A altura crtica , para canais de seco trapezoidal, determinada pela equao implcita a resolver pelo Mtodo das Substituies Sucessivas: ( )n c3 / 1n c3 / 12ch m Bh m 2 BgQh1 n + +!!"#$$%&=+ sendo m = 2 ( )n c3 / 1n c3 / 121 n ch 2 0 , 2h 2 2 0 , 28 , 9745 , 1h + +!!"#$$%&=+ nch0,3000,384 0,3730,374 1 nch+ 0,3840,373 0,3740,374 1 2 A B C 60 A altura crtica no canal hc = 0,374 m. Aplicando a Equao de Manning-Strickler, para J = i possvel determinar o valor do declive correspondente ao transporte do caudal Q = 1,745 m3s-1 naquele canal, em regime uniforme e com a altura da veia lquida igual a hu = 0,374 m. 2 1 3 2J Rh A Ks Q = ( ) [ ]( )2 1c3 22i374 , 0 2 1 2 0 , 2374 , 0 374 , 0 2 0 , 2374 , 0 374 , 0 2 0 , 2 75 745 , 1 ))*+,,-. + + + + = ic = 0,0028 m/m

Paraclassificaroregimeuniformedeescoamentoemcadatroosocomparadososvaloresdo declive do troo e o declive crtico: Se i>ic , trata-se de um canal com declive forte e o regime uniforme rpido. Se i