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Processamento Digital de Imagens Quantização de Imagens Eduardo A. B. da Silva Programa de Engenharia Elétrica - COPPE/UFRJ Laboratório de Sinais, Multimídia e Telecomunicações [email protected] Sergio L. Netto Programa de Engenharia Elétrica - COPPE/UFRJ Laboratório de Sinais, Multimídia e Telecomunicações [email protected] Abril de 2017 (SMT – COPPE/UFRJ) UFRJ Abril de 2017 1 / 39

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Processamento Digital de Imagens

Quantização de ImagensEduardo A. B. da Silva

Programa de Engenharia Elétrica - COPPE/UFRJLaboratório de Sinais, Multimídia e Telecomunicações

[email protected]

Sergio L. NettoPrograma de Engenharia Elétrica - COPPE/UFRJ

Laboratório de Sinais, Multimídia e Telecomunicaçõ[email protected]

Abril de 2017

(SMT – COPPE/UFRJ) UFRJ Abril de 2017 1 / 39

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Sumário

Sumário

1 Quantização de ImagensQuantizaçãoCompandorsEntropia da Saída Vs. DistorçãoQuantização Visual

(SMT – COPPE/UFRJ) UFRJ Abril de 2017 2 / 39

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Quantização de Imagens Quantização

Quantização

• Representação num computador ⇒ valores discretos.

• Quantização: mapeia u → u· u· toma valores em {r1, · · · , rL}

• u ∈ [tk , tk+1)→ u· = rk

Em geral: processo irreversível.

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Quantização de Imagens Quantização

Exemplo: Quantizador uniforme entre 0.0 e 10.0, 256 níveis:

tk = 10(k − 1)256

rk = tk + 5256

⇒ q , tk − tk−1 = rk − rk−1 : intervalo ou passo de quantização.

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Quantização de Imagens Quantização

Quantizador Ótimo de Lloyd-Max

ε = E [(u−u·)2] =∫ tL+1

t1

(u−u·)2pu(u)du =L∑

i=1

∫ ti+1

ti

(u−ri)2pu(u)du

εmínimo → dεdtk

= 0⇒ (tk − rk−1)2pu(tk)− (tk − rk)2pu(tk) = 0 (1)

dεdrk

= 0⇒ ddrk

∫ tk+1

tk

(u − rk)2pu(u)du = 0 (2)

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Quantização de Imagens Quantização

(1)⇒ (tk − rk−1)2 = (tk − rk)2 ⇒ Se t1 < t2 < · · · tL+1

⇒ tk = rk−1 + rk2

(2)⇒∫ tk+1

tk

upu(u)du = rk

∫ tk+1

tk

pu(u)du

⇒ rk =

∫ tk+1

tk

upu(u)du∫ tk+1

tk

pu(u)du= E [u|u ∈ Ik ]

(SMT – COPPE/UFRJ) UFRJ Abril de 2017 6 / 39

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Quantização de Imagens Quantização

Soluções:

1) a. Inicializar r (1)k , k = 1, · · · , L tal que r (1)

1 < r (1)2 < · · · r (1)

L , r (1)L+1 dependendo do problema.

b. Para cada i , i = 1, · · · ,Nmax:

� Para cada k, k = 1, · · · , L + 1 :

t(i)k =

r (i)k−1 + r (i)

k

2

r (i+1)k =

∫ t(i)k+1

t(i)k

upu(u)du

∫ t(i)k+1

t(i)k

pu(u)du

• A seguir são apresentadas tabelas para os quantizadores ótimos de números de níveis entre 2e 36, 64 e 128, para uma densidade gaussiana de média zero e variância unitária.

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Quantização de Imagens Quantização

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Quantização de Imagens Quantização

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Quantização de Imagens Quantização

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Quantização de Imagens Quantização

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Quantização de Imagens Quantização

2) Número de níveis de quantização é grande:

� ⇒ pu(u) “constante” por partes (constante dentro do intervalo)

� ⇒ pu(u) = pu(t̂j), t̂j = tj +tj+12 , tj ≤ u < tj+1

� ⇒ tk+1 =A∫ zk +t1

t1

[pu(u)]−13 du∫ tL+1

t1

[pu(u)]−13 du

+ t1

� ⇒ ε = 112L2

(∫ tL+1

t1

[pu(u)]13 du)3

⇒ distorção

� A = tL+1 − t1, zk =( k

L

)A, k = 1, · · · , L.

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Quantização de Imagens Quantização

Quantizador Ótimo para Densidades Uniformes

pu(u) ={

1tL+1−t1

, t1 ≤ u < tL+1

0, n.d .p.

rk =t2k+1 − t2

k2(tk+1 − tk) = tk+1 + tk

2 , tk = rk + rk−12

tk = tk+1 + tk + tk + tk−14 ⇒ tk = tk+1 + tk−1

2⇒ tk − tk−1 = tk+1 − tk = constante = q

⇒ q = tL+1 − t1L , tk = tk−1 + q, rk = tk + q

2⇒ uniformemente

espaçado!

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Quantização de Imagens Quantização

e = u − u· ⇒ uniformemente distribuído em (− q2 ,

q2 )

ε = 1q

∫ q2

− q2

u2du = q2

12

σ2u = A2

12 = (tL+1 − t1)2

12 ⇒ SNR = σ2uε

= A2

q2 =(

Aq

)2

B bits ⇒ A = 2Bq ⇒ SNR = 22B ⇒ SNRdB = 6BdB

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Quantização de Imagens Quantização

Propriedades do Quantizador Ótimo

1 E [u·] = E [u]⇒ u· é “unbiased estimate” de u.

2 E [(u − u·)u·] = 0⇒ erro é ortogonal à saída do quantizador.

3 σ2u· = [1− f (B)]σ2

u

4 Basta projetar quantizadores para distribuições com média zero e variância unitária.

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Quantização de Imagens Quantização

Provas

1. Se pk =∫ tk+1

tk

pu(u)du = P[r = rk ]

E [u·] = E [E [u|u ∈ Ik ]] =L∑

k=1

∫ tk+1

tk

upu(u)du∫ tk+1

tk

pu(u)du

pk

=L∑

k=1

∫ tk+1

tk

upu(u)du =∫ tL+1

t1

pu(u)du = E [u]

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Quantização de Imagens Quantização

2. E [uu·] =∫ tL+1

t1

uu·pu(u)du =L∑

k=1

∫ tk+1

tk

uu·pu(u)du =L∑

k=1

∫ tk+1

tk

urkpu(u)du

=L∑

k=1rk

∫ tk+1

tk

upu(u)du =L∑

k=1rk rkpk =

L∑k=1

pk r2k = E [u·

2]

⇒ E [uu·−u·2] = 0⇒ E [(u−u·)u·] = 0

⇒ se η = u − u· ⇒ u = u· + η, η e u· são descorrelatados.

σ2η = E [(u − u·)2] = E [u2]− 2E [uu·] + E [u·2

] = E [u2]− E [u·2]

⇒ σ2η = σ2

u − σ2u·

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Quantização de Imagens Quantização

3. Como σ2η ≤ σ2

u ⇒ σ2η = σ2

uf (B), f (B) ≤ 1 ⇒ σ2u· = σ2

u(1− f (B)).

também: E [uη] = E [u(u − u·)] = E [u2]− E [uu·] = E [u2]− E [u·2] = σ2

η

⇒ Isto implica que a quantização equivale a “subtrair” um ruído (potência diminui).� Notar a diferença do caso usual, quando somamos um ruído (potência aumenta).

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Quantização de Imagens Compandors

Compandors

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Quantização de Imagens Compandors

Compressor:

pu(x)

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Quantização de Imagens Compandors

f (x) =2a∫ x

t1

[pu(u)] 13 du∫ tL+1

t1

[pu(u)] 13 du

− a, g(x) = f −1(x)

⇒ [−a, a] é a faixa dinâmica do quantizador.

pu(u) par:

f (x) =a∫ x

0[pu(u)] 1

3 du∫ tL+1

0[pu(u)] 1

3 du, x ≥ 0

f (x) = −f (−x), x < 0

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Quantização de Imagens Compandors

Observações:1 A variável w(f (x)) não fica uniformemente distribuída.

2 ε = 112L2

(∫ tL+1

t1

[pu(u)] 13 du)3

3 t1 e tL+1 não precisam ser finitos.

4 Implementação usa dispositivos analógicos não-lineares e conversores A/D.

5 Equivalente a um quantizador uniforme com níveis:{tk = g(kq), t−k = −tk , k = 0, · · · , L

2rk = g((k − 1

2 )q), r−k = −rk , k = 1, · · · , L2

pu(u) par.

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Quantização de Imagens Compandors

Quantizador Uniforme Ótimo para Densidades Não UniformesL níveis, passo q.

Seja pu(u) par, 2a = Lq.

ε =∫ −a+q

−∞(u−r1)2pu(u)du+

L−1∑j=2

∫ tj+1

tj

(u−rj)2pu(u)du+∫ ∞

a−q(u−rL)2pu(u)du

=L−1∑j=2

∫ tj+1

tj

(u−rj)2pu(u)du+2∫ ∞

a−q(u−rL)2pu(u)du

como tj = −L2 + (j − 1)q = −a + (j − 1)q. Então:

ε = 2L2−1∑j=1

∫ jq

(j−1)q

(u − (2j − 1)q

2

)2pu(u)du+2

∫ ∞( L

2−1)q

(u − (L− 1)q

2

)2pu(u)du

Projeto o quantizador fazendo dεdq = 0

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Quantização de Imagens Compandors

Comparações:

• Gaussiana: Bs = 12 log2

σ2

D , ou D = σ22−2Bs (Shannon Lower Bound)

� Bloco infinito quantizado conjuntamente (Shannon Quantizer).

� Limite superior na distorção obtido com o Shannon Quantizer.

• Quantizadores com memória zero (1D): Em geral, não conseguem distorção abaixo doShannon Upper Bound.

• Quantizador uniforme ótimo para densidades uniformes: Possui distorção igual à do ShannonUpper Bound.

• A taxa do Shannon quantizer é, na prática, a menor taxa obtenível com um quantizador dememória zero para qualquer densidade de probabilidade• A seguir é apresentada uma tabela com os quantizadores uniformes ótimos de números de

níveis entre 2 e 36, 64, 128, 256 e 512, para densidades gaussiana e laplaciana de médiazero e variância unitária.

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Quantização de Imagens Compandors

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Quantização de Imagens Compandors

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Quantização de Imagens Entropia da Saída Vs. Distorção

Entropia da Saída Vs. Distorção

• Quantizador Otimo do ponto de vista de taxa × distorção: Quantizador que minimizaa distorção dada uma entropia.

• Quantizador Uniforme Ótimo com entropy coding: melhor que quantizador nãouniforme ótimo sem entropy coding.

• Quantizador Uniforme: Bem próximo do ótimo segundo o critério Entropia X MSE (desdeque o “stepsize” seja otimizado de acordo com este critério).

⇒ Na prática: Projeto de quantizadores uniformes consiste em achar L (número de níveis) e A(faixa dinâmica).

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Quantização de Imagens Entropia da Saída Vs. Distorção

Modelos Analíticos para Quantizadores Práticos

D = σ2f (B), f (B) = a2−bB

Exemplo: Shannon D1 = 2−2B1

Mean Square,Gaussian,B grande,Zero Memory

⇒ D2 = 2.26(2−1.963B2)

⇒ D1 = D2 ⇒ B2 = B1 + 0.5

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Quantização de Imagens Entropia da Saída Vs. Distorção

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Quantização de Imagens Entropia da Saída Vs. Distorção

Quantização de Variáveis Aleatórias Gaussianas Complexas

z = x + jy , x , y iid v.a. Gaussianas

⇒ não é ótimo quantizar x e y independentemente.

z = Aejθ A =√

x2 + y2 θ = arctg(y

x

),

A : Rayleigh pA(A) =

Aσ2 e−

A22σ2 , A > 0

0, A < 0

θ : uniforme

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Quantização de Imagens Entropia da Saída Vs. Distorção

Quantizando A independente de θ:A: vk níveis de decisão θ : L1 níveis

wk níveis de reconstrução A : L2 níveisQuantizando A e θ conjuntamente:A: tk = vk para L2 grande, são iguais

rk = wksinc(1L

)(sinc

(1L

)→ 1)

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Quantização de Imagens Quantização Visual

Quantização Visual

• Abaixo de 5 a 6 bits/pixel, nota-se falsos contornos, bastante incomodativos à visão.

• 8 bits: indistinguível pelo olho humano (256 níveis são suficientes)

• Necessidade de um sistema de quantização visual que mantenha os contornos abaixo dolimite de visibilidade.

1. Quantizar o Contraste

c = α ln(1 + βu) 0 ≤ u ≤ 1c = αuβ

⇒ Mudança de 2% no contrante é “just noticeable” ⇒ 50 níveis de contraste (6 bits)

⇒ Com quantizador ótimo, 4 a 5 bits seriam suficientes.

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Quantização de Imagens Quantização Visual

2. Quantização com Ruído Pseudo-Aleatório (Dithering)

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Quantização de Imagens Quantização Visual

⇒ O ruído “quebra” os contornos.

⇒ Sem contornos com ≈ 3 bits/pixel.

⇒ Posso não remover o ruído.

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Quantização de Imagens Quantização Visual

“Halftoning”

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Quantização de Imagens Quantização Visual

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Quantização de Imagens Quantização Visual

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Quantização de Imagens Quantização Visual

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Quantização de Imagens Quantização Visual

• O olho humano vê tons de cinza porque faz filtragem passa baixa.

• Ruído Aleatório × Padrões Periódicos (na prática)

• Padrões de Moiré ocorrem se a imagem e o padrão possuem periodicidades próximas.

Quantização de Cores

• Ideal: Quantização vetorial no espaço de cores.

• Na prática: transformação para espaço de cores mais uniforme perceptualmente.

(SMT – COPPE/UFRJ) UFRJ Abril de 2017 39 / 39