Produto Escalar

Produto Escalar

• Chama-se produto escalar (ou produto interno) de dois vetores u e v o número real representado por u.v ou < u,v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.

Se u = (x1, y1) e v = ( x2, y2 ) então

u.v = x1.x2 + y1.y2 .

Se u = (x1, y1 , z1) e v = ( x2, y2 , z2) então

u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.

1) Determinar u.v, sabendo que u = (1,-2) e v = (4,2).

2) Sejam os vetores u = (3,2,1) e v = (-1, -4, -1). Calcular:

a) 2u

b) (u + v).(2u – v)

c) <u,u>

d) 0.v

3) Dados os vetores u = 3i -5j + 8k e v = 4i -2j – k, calcular u.v.

4) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular

BCAB

Propriedades

Propriedades do Produto Escalar

a) u.v = v.u

b) u.(v + w) = u.v + u.w

c) α(u.v) = (αu).v = u.(α v), com α |R.

d) se u = 0, u.u = 0

e) se u ≠ 0, u.u > 0

f) u.u = |u|2

5) Sendo |u| = 4 e |v| = 2 e u.v = 3, calcular

(3u – 2v).(-u + 4v).

Obs.: |u + v|2

Definição geométrica:

Se u e v são vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então

u.v = |u|.|v|.cos θ.

6) Sendo |u| = 2, |v| = 3 e 60º o ângulo entre u e v, calcular:

a) u.v

b) |u + v|2 c) |u – v|2

• Obs.: Qual o ângulo entre os vetores

u = (-1,2,1) e v = (2,1,1)?

Condição de ortogonalidade

Se u e v são vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então

u.v = |u|.|v|.cos θ.

Se θ = 90º, cos θ =0.

Dessa forma:

u.v = 0

Projeções Ortogonais

Sejam os vetores e u v não nulos e o ângulo ente eles.

Pretendemos decompor um dos vetores, digamos v , tal que:

1 2v v v

Sendo 1 2/ / e v u v u .

O vetor 1v é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é indicado por:

1u

v proj v

Observe que o vetor 1v é paralelo ao vetor u .

Desta forma podemos determinar a projeção como:

uuu

uvvprojv u

1

7) Dados os vetores (1,3, 5)v e (4, 2,8)u ,

decomponha v como 1 2v v v sendo 1 2/ / e v u v u .

8) Um triângulo no espaço tridimensional é formado

pelos vértices 1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C .

Determine a medida da altura desse triângulo em relação à base AB.

Resumão – Produto Escalar

• Representação

• Como se calcula

• Resultado

• Definição geométrica

• Aplicações:

– Cálculo de ângulo entre vetores

– Condição de ortogonalidade

– Projeção Ortogonal

Capítulo 2:

Produto

Escalar

- Págs.: 66 a 70 ( 1 a 30, 36, 40 a 49)

Amanhã – Trazer os livros