Produto Interno - Departamento de Matemática …mcabral/livros/livro-alglin/alglin...Deﬁnição de Produto Interno Deﬁnição (produto interno) Espaço com PI é um espaço vetorial

Produto Interno

Motivação:introduzir noção de comprimento;introduzir noção de ângulo(em particular, ortogonalidade);complemento ortogonal;projeções;mínimos quadrados.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 1

Produto Interno



Produto Interno



Produto Interno



Produto Interno



Produto Interno



Produto Interno



Norma em R2 ou R3

Norma (comprimento) de v = (x , y) ∈ R2:

‖v‖ =√

x2 + y2.

Norma (comprimento) de v = (x , y , z) ∈ R3:

‖v‖ =√

x2 + y2 + z2.


Norma em R2 ou R3

Norma (comprimento) de v = (x , y) ∈ R2:

‖v‖ =√

x2 + y2.

Norma (comprimento) de v = (x , y , z) ∈ R3:

‖v‖ =√

x2 + y2 + z2.


(Cosseno de) Ângulo em R2 ou R3

Lei dos Cossenos:

‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.

‖u− v‖2 =∑n

i=1(ui − vi)2

=∑n

i=1 u2i − 2

∑ni=1 uivi +

∑ni=1 v2

i

= ‖u‖2 − 2∑n

i=1 uivi + ‖v‖2

cos θ =

∑ni=1 uivi

‖u‖‖v‖



Lei dos Cossenos:

‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.

‖u− v‖2 =∑n

i=1(ui − vi)2

=∑n

i=1 u2i − 2

∑ni=1 uivi +

∑ni=1 v2

i

= ‖u‖2 − 2∑n

i=1 uivi + ‖v‖2

cos θ =

∑ni=1 uivi

‖u‖‖v‖



Lei dos Cossenos:

‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.

‖u− v‖2 =∑n

i=1(ui − vi)2

=∑n

i=1 u2i − 2

∑ni=1 uivi +

∑ni=1 v2

i

= ‖u‖2 − 2∑n

i=1 uivi + ‖v‖2

cos θ =

∑ni=1 uivi

‖u‖‖v‖



Lei dos Cossenos:

‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.

‖u− v‖2 =∑n

i=1(ui − vi)2

=∑n

i=1 u2i − 2

∑ni=1 uivi +

∑ni=1 v2

i

= ‖u‖2 − 2∑n

i=1 uivi + ‖v‖2

cos θ =

∑ni=1 uivi

‖u‖‖v‖



Lei dos Cossenos:

‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.

‖u− v‖2 =∑n

i=1(ui − vi)2

=∑n

i=1 u2i − 2

∑ni=1 uivi +

∑ni=1 v2

i

= ‖u‖2 − 2∑n

i=1 uivi + ‖v‖2

cos θ =

∑ni=1 uivi

‖u‖‖v‖


Produto Interno (Canônico) em R2 ou R3

Definição (produto interno em R2 ou R3)

Prod. interno (ou escalar) em R2 ou R3: 〈u, v〉 =n∑

i=1

uivi .

〈u, v〉 = u · v = uT v

‖u‖ =√〈u, u〉

cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖





i=1

uivi .

〈u, v〉 = u · v = uT v

‖u‖ =√〈u, u〉






i=1

uivi .

〈u, v〉 = u · v = uT v

‖u‖ =√〈u, u〉






i=1

uivi .

〈u, v〉 = u · v = uT v

‖u‖ =√〈u, u〉



Propriedades do PI Canônico em R2 ou R3

simetria

〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ R2 ou R3

bilinearidade

〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉∀α ∈ R, ∀u1, u2, v ∈ R2 ou R3

〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉∀α ∈ R, ∀u, v1, v2 ∈ R2 ou R3

positividade

〈u, u〉 > 0 ∀0 6= u ∈ R2 ou R3



simetria

〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ R2 ou R3

bilinearidade



positividade

〈u, u〉 > 0 ∀0 6= u ∈ R2 ou R3



simetria

〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ R2 ou R3

bilinearidade



positividade

〈u, u〉 > 0 ∀0 6= u ∈ R2 ou R3


Definição de Produto Interno

Definição (produto interno)

Espaço com PI é um espaço vetorial V munido de umafunção 〈·, ·〉 : V × V → R que satisfaz às propriedades:

simetria〈u, v〉 = 〈v, u〉

bilinearidade

〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉

〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉

positividade〈u, u〉 > 0






bilinearidade

〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉

〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉







bilinearidade

〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉

〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉







bilinearidade

〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉

〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉



Exemplos

Produto interno canônico de Rn

〈u, v〉 =n∑

i=1

uivi

Outro produto interno em R2

〈u, v〉 = uT[

7 22 7

]v

Bilinear, simétrico.

〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2

2

2ab ≥ −a2 − b2

}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2

1 + 5u22 > 0


Exemplos


〈u, v〉 =n∑

i=1

uivi


〈u, v〉 = uT[

7 22 7

]v


〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2

2

2ab ≥ −a2 − b2

}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2

1 + 5u22 > 0


Exemplos


〈u, v〉 =n∑

i=1

uivi


〈u, v〉 = uT[

7 22 7

]v


〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2

2

2ab ≥ −a2 − b2

}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2

1 + 5u22 > 0


Exemplos


〈u, v〉 =n∑

i=1

uivi


〈u, v〉 = uT[

7 22 7

]v


〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2

2

2ab ≥ −a2 − b2

}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2

1 + 5u22 > 0


Exemplos


〈u, v〉 =n∑

i=1

uivi


〈u, v〉 = uT[

7 22 7

]v


〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2

2

2ab ≥ −a2 − b2

}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2

1 + 5u22 > 0


Mais Exemplos

Produto interno em um espaço de funções

〈u, v〉 =

∫ 1

−1u(t)v(t)dt


Norma de um Espaço com PI

Definição (norma)

Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno, define-se, parav ∈ V,

‖v‖ =√〈v, v〉.

Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno e ‖ · ‖ é definidacomo acima, vale a desigualdade

〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖ ∀u, v ∈ V .


Norma de um Espaço com PI

Definição (norma)

Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno, define-se, parav ∈ V,

‖v‖ =√〈v, v〉.

Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno e ‖ · ‖ é definidacomo acima, vale a desigualdade

〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖ ∀u, v ∈ V .


Prova de Cauchy-Schwarz

0 ≤ ‖u + tv‖2 = 〈u + tv, u + tv〉= 〈u, u〉+ 2t 〈u, v〉+ t2 〈v, v〉= ‖u‖2 + 2t 〈u, v〉+ t2‖v‖2 ∀t ∈ R.

Temos at2 + bt + c ≥ 0 ∀t . Minimizando, obtemos

−b2 − 4ac4a

≥ 0.

Como a > 0, temos b2 ≤ 4ac, i.e., (2 〈u, v〉)2 ≤ 4‖u‖2‖v‖2.

Portanto, 〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖.





−b2 − 4ac4a

≥ 0.







−b2 − 4ac4a

≥ 0.







−b2 − 4ac4a

≥ 0.







−b2 − 4ac4a

≥ 0.







−b2 − 4ac4a

≥ 0.




Propriedades da Norma

Propriedades da norma:‖0‖ = 0

‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V

‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V(Desigualdade Triangular)

De fato,

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.




‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V

‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V


De fato,

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.




‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V

‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V


De fato,

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.




‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V

‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V


De fato,

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.




‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V

‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V


De fato,

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.




‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V

‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V


De fato,

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.


Ortogonalidade

Cauchy-Schwarz ⇒∣∣∣∣ 〈u, v〉‖u‖‖v‖

∣∣∣∣ ≤ 1

Definição (ângulo entre vetores)


Definição (vetores ortogonais)

Diz-se que u e v são ortogonais se 〈u, v〉 = 0.

Observação

0 é ortogonal a qualquer vetor.


Ortogonalidade


∣∣∣∣ ≤ 1





Observação



Ortogonalidade


∣∣∣∣ ≤ 1





Observação



Ortogonalidade


∣∣∣∣ ≤ 1





Observação



Conjunto Ortonormal

Definição (vetor unitário)

v é dito unitário se ‖v‖ = 1.

Observação (normalização)

Se v é não-nulo, v = 1‖v‖v é unitário.

Definição (conjunto ortogonal)

{v1, . . . , vp} é ortogonal se⟨vi , vj

⟩= 0 ∀i 6= j .

Definição (conjunto ortonormal)

Um conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal devetores unitários.


Conjunto Ortonormal







⟩= 0 ∀i 6= j .




Conjunto Ortonormal







⟩= 0 ∀i 6= j .




Conjunto Ortonormal







⟩= 0 ∀i 6= j .




Conjunto Ortonormal

Observação (conjunto ortonormal)

{v1, . . . , vp} é ortonormal s.s.s.⟨vi , vj

⟩= δij ∀i , j .

Teorema

Um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre LI.

Corolário

Um conjunto ortonormal é sempre LI.


Conjunto Ortonormal



⟩= δij ∀i , j .

Teorema


Corolário



Conjunto Ortonormal



⟩= δij ∀i , j .

Teorema


Corolário



Conjunto Ortonormal

Prova (do teorema)

{v1, . . . , vp} ortogonal. Então

p∑i=1

αivi = 0 ⇒

⟨ p∑i=1

αivi , vj

⟩=

⟨0, vj

⟩⇒

p∑i=1

αi⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j

⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)


Conjunto Ortonormal

Prova (do teorema)


p∑i=1

αivi = 0 ⇒

⟨ p∑i=1

αivi , vj

⟩=

⟨0, vj

⟩⇒

p∑i=1

αi⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j

⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)


Conjunto Ortonormal

Prova (do teorema)


p∑i=1

αivi = 0 ⇒

⟨ p∑i=1

αivi , vj

⟩=

⟨0, vj

⟩⇒

p∑i=1

αi⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j

⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)


Conjunto Ortonormal

Prova (do teorema)


p∑i=1

αivi = 0 ⇒

⟨ p∑i=1

αivi , vj

⟩=

⟨0, vj

⟩⇒

p∑i=1

αi⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j

⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)


Conjunto Ortonormal

Prova (do teorema)


p∑i=1

αivi = 0 ⇒

⟨ p∑i=1

αivi , vj

⟩=

⟨0, vj

⟩⇒

p∑i=1

αi⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j

⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)


Conjunto Ortonormal

Prova (do teorema)


p∑i=1

αivi = 0 ⇒

⟨ p∑i=1

αivi , vj

⟩=

⟨0, vj

⟩⇒

p∑i=1

αi⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j

⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)


Coordenadas em Base Ortogonal

β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.

u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=

⟨∑ni=1 αivi , vj

⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.




u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=


⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.




u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=


⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.




u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=


⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.




u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=


⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.




u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=


⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.




u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=


⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.




u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=


⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.




u =∑n

i=1 αivi .⟨u, vj

⟩=


⟩=

∑ni=1 αi

⟨vi , vj

⟩= αj‖vj‖2.

αj =

⟨u, vj

⟩‖vj‖2 ∀j .

u =∑n

i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =

〈u, v1〉‖v1‖2

...〈u, vn〉‖vn‖2

.


Coordenadas em Base Ortonormal

β = {v1, . . . , vn} base ortonormal, u qualquer.

Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,

u =∑n

i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =

〈u, v1〉...

〈u, vn〉

.




Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,

u =∑n

i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =

〈u, v1〉...

〈u, vn〉

.




Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,

u =∑n

i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =

〈u, v1〉...

〈u, vn〉

.




Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,

u =∑n

i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =

〈u, v1〉...

〈u, vn〉

.




Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,

u =∑n

i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =

〈u, v1〉...

〈u, vn〉

.


Processo de Gram-Schmidt

A partir de uma base qualquer {v1, . . . , vp} de umsubespaço H, queremos construir uma base ortogonal{u1, . . . , up} para este subspaço.

Podemos exigir que:

u1 = v1

u2 = v2 + αv1

u3 = v3 + βv1 + γv2... =

...up = vp + . . . .

Desta forma, 〈u1, . . . , uk 〉 = 〈v1, . . . , vk 〉 ∀k .




Podemos exigir que:

u1 = v1

u2 = v2 + αv1

u3 = v3 + βv1 + γv2... =

...up = vp + . . . .





Podemos exigir que:

u1 = v1

u2 = v2 + αv1

u3 = v3 + βv1 + γv2... =

...up = vp + . . . .




Como 〈u1, . . . , uk 〉 = 〈v1, . . . , vk 〉, podemos reescrever:

u1 = v1

u2 = v2 + αu1

u3 = v3 + βu1 + γu2... =

...up = vp + . . . .

Como calcular α, β, γ, . . . ? Ortogonalidade!




u1 = v1

u2 = v2 + αu1

u3 = v3 + βu1 + γu2... =

...up = vp + . . . .





u1 = v1

u2 = v2 + αu1

u3 = v3 + βu1 + γu2... =

...up = vp + . . . .




u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0

}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0

⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0

⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0

⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0

⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0

⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉



Assim,

u1 = v1

u2 = v2 −〈v2, u1〉〈u1, u1〉

u1

u3 = v3 −〈v3, u1〉〈u1, u1〉

u1 −〈v3, u2〉〈u2, u2〉

u2

... =...

up = vp −〈vp, u1〉〈u1, u1〉

u1 −〈vp, u2〉〈u2, u2〉

u2 . . .−⟨vp, up−1

⟩⟨up−1, up−1

⟩up−1


Complemento Ortogonal

Definição (complemento ortogonal)

H ⊂ V subespaço vetorial. O complemento ortogonal de H,denotado H⊥, é o conjunto dos vetores de V ortogonais atodos os vetores de H,

H⊥ = {v ∈ V | 〈v, u〉 = 0 ∀u ∈ H}.

Observação

H⊥ é subespaço.Se {u1, . . . , up} é base de H, então

H⊥ = {v ∈ V | 〈v, ui〉 = 0 i = 1, . . . , p}.





H⊥ = {v ∈ V | 〈v, u〉 = 0 ∀u ∈ H}.

Observação


H⊥ = {v ∈ V | 〈v, ui〉 = 0 i = 1, . . . , p}.





H⊥ = {v ∈ V | 〈v, u〉 = 0 ∀u ∈ H}.

Observação


H⊥ = {v ∈ V | 〈v, ui〉 = 0 i = 1, . . . , p}.



Lema

Sejam βH = {u1, . . . , up} base ortogonal de H eβ = {u1, . . . , up, up+1, . . . , un} uma extensão de βH a umabase ortogonal de V . Então βH⊥ = {up+1, . . . , un} é basede H⊥.

Corolário

Se H ⊂ V com dim(V ) = n e dim(H) = p, entãodim(H⊥) = n − p.

Corolário

(H⊥)⊥ = H



Lema


Corolário


Corolário

(H⊥)⊥ = H



Lema


Corolário


Corolário

(H⊥)⊥ = H



Lema


Corolário


Corolário

(H⊥)⊥ = H


Relação entre Nuc(A) e Im(AT )

Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).

Então

〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.

Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.




Então






Então






Então






Então






Então






Então






Então






Então






Então






Então






Então






Então






Então




Base para H⊥

Seja H = 〈v1, . . . , vm〉. Queremos base para H⊥.

v ∈ H⊥ ⇐⇒ 〈v, vi〉 = vT vi = vTi v = 0, i = 1, . . . , m

⇐⇒

vT

1

vT2...

vTm

v =

00...0

⇐⇒ AT v = 0

H⊥ = Nuc(AT ), onde A =[

v1 · · · vm

]


Base para H⊥



⇐⇒

vT

1

vT2...

vTm

v =

00...0

⇐⇒ AT v = 0


v1 · · · vm

]


Base para H⊥



⇐⇒

vT

1

vT2...

vTm

v =

00...0

⇐⇒ AT v = 0


v1 · · · vm

]


Base para H⊥



⇐⇒

vT

1

vT2...

vTm

v =

00...0

⇐⇒ AT v = 0


v1 · · · vm

]


Base para H⊥



⇐⇒

vT

1

vT2...

vTm

v =

00...0

⇐⇒ AT v = 0


v1 · · · vm

]


Base para H⊥



⇐⇒

vT

1

vT2...

vTm

v =

00...0

⇐⇒ AT v = 0


v1 · · · vm

]


Notação

V espaço vetorial, dim(V ) = n

H ⊂ V subespaço vetorial, dim(H) = p

γ = {u1, . . . , up} base ortogonal de H

β ={

u1, . . . , up, up+1, . . . , un}

base ortogonal de V

Observação

δ ={

up+1, . . . , un}

é base ortogonal de H⊥.


Notação




β ={

u1, . . . , up, up+1, . . . , un}

base ortogonal de V

Observação

δ ={

up+1, . . . , un}



Notação




β ={

u1, . . . , up, up+1, . . . , un}

base ortogonal de V

Observação

δ ={

up+1, . . . , un}



Notação




β ={

u1, . . . , up, up+1, . . . , un}

base ortogonal de V

Observação

δ ={

up+1, . . . , un}



Notação




β ={

u1, . . . , up, up+1, . . . , un}

base ortogonal de V

Observação

δ ={

up+1, . . . , un}



Teorema de Pitágoras

Teorema (de Pitágoras)

Sejam vH ∈ H e vH⊥ ∈ H⊥. Então

‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.

Prova

‖vH + vH⊥‖2

= 〈vH + vH⊥ , vH + vH⊥〉= 〈vH , vH〉+ 〈vH , vH⊥〉︸︷︷︸

=0

+ 〈vH⊥ , vH〉︸︷︷︸=0

+ 〈vH⊥ , vH⊥〉

= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2





‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.

Prova

‖vH + vH⊥‖2


=0

+ 〈vH⊥ , vH〉︸︷︷︸=0

+ 〈vH⊥ , vH⊥〉

= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2





‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.

Prova

‖vH + vH⊥‖2


=0

+ 〈vH⊥ , vH〉︸︷︷︸=0

+ 〈vH⊥ , vH⊥〉

= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2





‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.

Prova

‖vH + vH⊥‖2


=0

+ 〈vH⊥ , vH〉︸︷︷︸=0

+ 〈vH⊥ , vH⊥〉

= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2





‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.

Prova

‖vH + vH⊥‖2


=0

+ 〈vH⊥ , vH〉︸︷︷︸=0

+ 〈vH⊥ , vH⊥〉

= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2





‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.

Prova

‖vH + vH⊥‖2


=0

+ 〈vH⊥ , vH〉︸︷︷︸=0

+ 〈vH⊥ , vH⊥〉

= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2





‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.

Prova

‖vH + vH⊥‖2


=0

+ 〈vH⊥ , vH〉︸︷︷︸=0

+ 〈vH⊥ , vH⊥〉

= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2


Decomposição Ortogonal

Teorema

Dado v ∈ V, existe uma única decomposição v = vH + vH⊥ .

Prova

Existência: v =n∑

i=1

αiui =

p∑i=1

αiui︸︷︷︸∈ H

+n∑

i=p+1

αiui︸︷︷︸∈ H⊥

Unicidade: Suponha v = vH + vH⊥ = wH + wH⊥ . Então

vH −wH︸︷︷︸∈H

= wH⊥ − vH⊥︸︷︷︸∈H⊥

∈ H ∩ H⊥ = {0}.



Teorema


Prova


i=1

αiui =

p∑i=1


+n∑

i=p+1




= wH⊥ − vH⊥︸︷︷︸∈H⊥

∈ H ∩ H⊥ = {0}.



Teorema


Prova


i=1

αiui =

p∑i=1


+n∑

i=p+1




= wH⊥ − vH⊥︸︷︷︸∈H⊥

∈ H ∩ H⊥ = {0}.



Teorema


Prova


i=1

αiui =

p∑i=1


+n∑

i=p+1




= wH⊥ − vH⊥︸︷︷︸∈H⊥

∈ H ∩ H⊥ = {0}.



Teorema


Prova


i=1

αiui =

p∑i=1


+n∑

i=p+1




= wH⊥ − vH⊥︸︷︷︸∈H⊥

∈ H ∩ H⊥ = {0}.



Teorema


Prova


i=1

αiui =

p∑i=1


+n∑

i=p+1




= wH⊥ − vH⊥︸︷︷︸∈H⊥

∈ H ∩ H⊥ = {0}.



Teorema


Prova


i=1

αiui =

p∑i=1


+n∑

i=p+1




= wH⊥ − vH⊥︸︷︷︸∈H⊥

∈ H ∩ H⊥ = {0}.


Projeção Ortogonal

Definição (projeção ortogonal)

Projeção ortogonal sobre H:

PH : V → Hv 7→ vH tal que v = vH + vH⊥

Observação

Fica claro da definição que v = PHv + PH⊥v ∀v ∈ V.Portanto, PH + PH⊥ = I e

PH⊥ = I − PH .






Observação


PH⊥ = I − PH .






Observação


PH⊥ = I − PH .






Observação


PH⊥ = I − PH .






Observação


PH⊥ = I − PH .


Propriedades da Projeção Ortogonal

PH é linear

PHv = 0 ⇔ v ∈ H⊥, ou seja, N(PH) = H⊥

PHv = v ⇔ v ∈ H

A imagem de PH é Im(PH) = H

P2H = PH

PTH = PH



PH é linear


PHv = v ⇔ v ∈ H


P2H = PH

PTH = PH



PH é linear


PHv = v ⇔ v ∈ H


P2H = PH

PTH = PH



PH é linear


PHv = v ⇔ v ∈ H


P2H = PH

PTH = PH



PH é linear


PHv = v ⇔ v ∈ H


P2H = PH

PTH = PH



PH é linear


PHv = v ⇔ v ∈ H


P2H = PH

PTH = PH


Cálculo da Projeção Ortogonal

v =n∑

i=1

〈v, ui〉〈ui , ui〉

ui

=

p∑i=1


ui︸︷︷︸∈H

+n∑

i=p+1


ui︸︷︷︸∈H⊥

PHv =

p∑i=1


ui



v =n∑

i=1


ui

=

p∑i=1


ui︸︷︷︸∈H

+n∑

i=p+1


ui︸︷︷︸∈H⊥

PHv =

p∑i=1


ui



v =n∑

i=1


ui

=

p∑i=1


ui︸︷︷︸∈H

+n∑

i=p+1


ui︸︷︷︸∈H⊥

PHv =

p∑i=1


ui



PHv =

p∑i=1

〈v, ui〉 ui =[

u1 · · · up

] 〈v, u1〉...

〈v, up〉

=[

u1 · · · up

] uT1 v...

uTp v

=[

u1 · · · up

] uT1...

uTp

v



PHv =

p∑i=1

〈v, ui〉 ui =[

u1 · · · up

] 〈v, u1〉...

〈v, up〉

=[

u1 · · · up

] uT1 v...

uTp v

=[

u1 · · · up

] uT1...

uTp

v



PHv =

p∑i=1

〈v, ui〉 ui =[

u1 · · · up

] 〈v, u1〉...

〈v, up〉

=[

u1 · · · up

] uT1 v...

uTp v

=[

u1 · · · up

] uT1...

uTp

v



PHv =

p∑i=1

〈v, ui〉 ui =[

u1 · · · up

] 〈v, u1〉...

〈v, up〉

=[

u1 · · · up

] uT1 v...

uTp v

=[

u1 · · · up

] uT1...

uTp

v



Lema

Seja H = 〈u1, . . . , up〉, onde {u1, . . . , up} é ortonormal.Defina Q =

[u1 · · · up

]. Então

PH = QQT .

Definição (matriz ortogonal)

Uma matriz é ortogonal se suas colunas são ortonormais.

Observação

Qm×n é ortogonal s.s.s. QT Q = In×n.



Lema


[u1 · · · up

]. Então

PH = QQT .



Observação




Lema


[u1 · · · up

]. Então

PH = QQT .



Observação




Lema


[u1 · · · up

]. Então

PH = QQT .



Observação




Lema


[u1 · · · up

]. Então

PH = QQT .



Observação



Exemplo 1

H =

⟨ 123

⟩e v =

200

. Calcule PHv e PH⊥v.

PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉

u1 =

⟨ 200

,

123

⟩⟨ 1

23

,

123

⟩ 1

23

=214

123

=

1/72/73/7

.


Exemplo 1

H =

⟨ 123

⟩e v =

200


PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉

u1 =

⟨ 200

,

123

⟩⟨ 1

23

,

123

⟩ 1

23

=214

123

=

1/72/73/7

.


Exemplo 1

H =

⟨ 123

⟩e v =

200


PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉

u1 =

⟨ 200

,

123

⟩⟨ 1

23

,

123

⟩ 1

23

=214

123

=

1/72/73/7

.


Exemplo 1

H =

⟨ 123

⟩e v =

200


PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉

u1 =

⟨ 200

,

123

⟩⟨ 1

23

,

123

⟩ 1

23

=214

123

=

1/72/73/7

.


Exemplo 1

H =

⟨ 123

⟩e v =

200


PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉

u1 =

⟨ 200

,

123

⟩⟨ 1

23

,

123

⟩ 1

23

=214

123

=

1/72/73/7

.


Exemplo 1 - cont.

PH⊥v = (I − PH)v =

200

− 1/7

2/73/7

=

13/7−2/7−3/7

.


Exemplo 1 - cont.

PH⊥v = (I − PH)v =

200

− 1/7

2/73/7

=

13/7−2/7−3/7

.


Exemplo 1 - cont.

PH⊥v = (I − PH)v =

200

− 1/7

2/73/7

=

13/7−2/7−3/7

.


Problema da Dieta

Kcal/g gord. (%)arroz 2.5 3carne 3.1 21

peso total: 150 gcal. total: 450 Kcalgordura total: 25 g

arroz + carne = 150

2.50 arroz + 3.10 carne = 4500.03 arroz + 0.21 carne = 25

1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25

∼

1 1 1500 0.60 750 0 −2

Não tem solução!


Problema da Dieta



arroz + carne = 150


1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25

∼

1 1 1500 0.60 750 0 −2

Não tem solução!


Problema da Dieta



arroz + carne = 150


1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25

∼

1 1 1500 0.60 750 0 −2

Não tem solução!


Problema da Dieta



arroz + carne = 150


1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25

∼

1 1 1500 0.60 750 0 −2

Não tem solução!


Problema da Dieta



arroz + carne = 150


1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25

∼

1 1 1500 0.60 750 0 −2

Não tem solução!


Problema da Dieta



arroz + carne = 150


1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25

∼

1 1 1500 0.60 750 0 −2

Não tem solução!


Problema da Dieta

No entanto, tomando-se 38 g de arroz e 113 g de carne, 1 12.50 3.100.03 0.21

[38

113

]=

151445.324.87

≈

150450

25

.

Existe uma boa solução para um problema sem solução!

DESENHO


Problema da Dieta


[38

113

]=

151445.324.87

≈

150450

25

.


DESENHO


Problema da Dieta


[38

113

]=

151445.324.87

≈

150450

25

.


DESENHO


Problema da Dieta


[38

113

]=

151445.324.87

≈

150450

25

.


DESENHO


Mínimos Quadrados

Ax = b (ou, equiv., b− Ax = 0) pode não ter solução,

mas sempre é possível

minimizar ‖b− Ax‖ (ou, equiv., ‖b− Ax‖2).

Definição (mínimos quadrados)

A solução no sentido de mínimos quadrados do sistemaAx = b é aquela que minimiza (o quadrado d)o resíduoassociado a x, onde o resíduo é dado por r = b− Ax.Note que ‖r‖2 =

∑i r2

i , donde segue o nome mínimosquadrados.


Mínimos Quadrados






∑i r2



Mínimos Quadrados






∑i r2



Um Problema Correlato

Dado b 6∈ H, encontrar vH ∈ H mais próximo de b.

Podemos decompor b = bH + bH⊥ , de forma que

‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸︷︷︸∈H

−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.

O mínimo é atingido quando vH = bH = PHb.





‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸︷︷︸∈H

−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.






‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸︷︷︸∈H

−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.






‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸︷︷︸∈H

−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.






‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸︷︷︸∈H

−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.






‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸︷︷︸∈H

−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.



De Volta aos Mínimos Quadrados

minx∈Rn

‖b− Ax‖ = miny∈Im(A)

‖b− y‖

Ax = y = PIm(A)b

Mínimos Quadrados

x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de Ax = PIm(A)b.



minx∈Rn


‖b− y‖

Ax = y = PIm(A)b

Mínimos Quadrados




minx∈Rn


‖b− y‖

Ax = y = PIm(A)b

Mínimos Quadrados




minx∈Rn


‖b− y‖

Ax = y = PIm(A)b

Mínimos Quadrados




minx∈Rn


‖b− y‖

Ax = y = PIm(A)b

Mínimos Quadrados



Mínimos Quadrados

r = b− Ax = b− PIm(A)b

= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b

= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).

0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax

Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b

Vale também a volta!


Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b






Mínimos Quadrados


= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b



Ax = PIm(A)b ⇔ AT Ax = AT b



Mínimos Quadrados

Mínimos Quadrados

x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de AT Ax = AT b.

Observação

Ax = PIm(A)b ⇔ AT Ax = AT bSe Ax = b tem solução no sentido clássico, a soluçãono sentido dos mínimos quadrados coincide com elaA solução no sentido dos mínimos quadrados é únicas.s.s. Nuc(A) é trivial. Neste caso,PIm(A) = A(AT A)−1AT .


Mínimos Quadrados

Mínimos Quadrados


Observação



Mínimos Quadrados

Mínimos Quadrados


Observação



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Produto Interno - Departamento de Matemática …mcabral/livros/livro-alglin/alglin...Deﬁnição de Produto Interno Deﬁnição (produto interno) Espaço com PI é um espaço vetorial