Produto vetorialAnliy N. N. Sargeant

José Antônio A. AndradeMariane Urias da SilvaSolange G. F. Martins

Produto vetorial

e sendo vetores,v

u

é um número real u v

é um vetoru v

• Se , então por definição: //u v

0u v

Exemplo 1: De acordo com a definição acima temos:

2 0,u u

pois // 2u u

2 4 2u v u v

2 2 2u v u v

pois 2 // 2 2u v u v

0 0u

e , uma vez que0 0u

0 // .u

0,

Para definir o produto vetorial , com e não-paralelas, será preciso conhecer a área do paralelogramo formado por e .

u v

v

u

uv

u

v h

D C

BA

u h

? I

E

AB h

Do triângulo retângulo , temos que:AED

hsen

AD

hsen

v

h v sen

Substituindo em , temos que:h I

Área do paralelogramo = u v sen

• Se e não são paralelos, o produto vetorial de e é um vetor com as seguintes características: uv

uv

u v

(a) é a área de um paralelogramo determinado por

e :

u v

uv

u v u v sen

(c) O sentido de é dado pela Regra da Mão Direita.u v

(b) é ortogonal a e a . (direção)u v

uv

u

v

v u

v

u

u v

Teorema I: Sejam e vetores e um escalar, são válidas as seguintes propriedades:

v

u

(a) ,v w w v

(b) 0 //v w v w

(c) v w v w v w

isto é, o produto vetorial é anti-comutativo

Vetores canônicos

, e ˆ 0,0,1k ˆ 0,1,0j ˆ 1,0,0i

são vetores unitários (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados.

eixo ˆ //i x

eixoˆ //j y

eixo ˆ //k z

Um vetor pode ser escrito em termos de uma soma:

1 2 3, ,v v v v

1 2 3, ,v v v v

1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1v v v

1 2 3

ˆˆ ˆv i v j v k

1 2 3,0,0 0, ,0 0,0,v v v

z

y

x

k

ji

z

y

x

1ˆv i

2ˆv j

3ˆv k

1 2 3ˆˆ ˆv v i v j v k

Relações entre os vetores canônicos

ˆ ˆi i 0

ˆ ˆi j kˆ ˆj i k

ˆ ˆj j 0

ˆj k i

i

ˆ ˆk k 0

ˆ ˆk i jˆ ˆk j ˆi k j

1 2 3 1 2 3Sejam , , e , , vetores no espaço.

Entao, o produto e dado por:

u u u u v v v v

u v

u v

1 1 1 2 1 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆu v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆu v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆu v k i u v k j u v k k

1 2 3 1 2 3, , , ,u u u v v v

1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu i u j u k v i v j v k

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v k u v j u v k u v i u v j u v i

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v i u v i u v j u v j u v k u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1ˆˆ ˆu v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

ˆˆ ˆdet det detu u u u u u

i j kv v v v v v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

ˆˆ ˆdet det detu u u u u u

i j kv v v v v v

Logo,

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

det , det ,detu u u u u u

u vv v v v v v

Para obter as componentes de :u v

1º) Escreva as componentes de e , como segue: uv

1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

terceira componente, elimine a terceira coluna da matriz Φ e calcule

2 3

2 3

detu u

v v

1 3

1 3

detu u

v v

1 2

1 2

detu u

v v

2º) Para calcular a:

primeira componente, elimine a primeira coluna da matriz Φ e calcule o

segunda componente, elimine a segunda coluna da matriz Φ e calcule

Exemplo 2: Sejam e Determine o produto vetorial

ˆˆ ˆ2 2u i j k 3 .v i k

.u v

Exemplo 2 (novamente):

Usando os vetores , e o produto vetorial pode ser escrito como:

i j k ,u v

u v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

ˆˆ ˆdet det detu u u u u u

i j kv v v v v v

1 2 3

1 2 3

ˆˆ ˆ

det

i j k

u u u

v v v

22

Q

4

3

x y

z

1

2R

P

Exemplo 3: Calcule a área do triângulo determinado pelos pontos 2,2,0 , 0,4,3 e 1,0,2 .P Q R