André Luis Lapolli

Álgebra Linear e Vetores Produto Vetorial e Produto Misto

Produto Vetorial e Produto misto

• Introdução a Matrizes e Determinantes

• Produto Vetorial

• Definição • Propriedades

• Interpretação Geométrica

• Produto Misto

André Luis Lapolli

Álgebra Linear e Vetores Produto Vetorial e Produto Misto

• Introdução a Matrizes e Determinantes • Matrizes Matriz é um arranjo numérico formado por linhas e colunas. Representação: Amxn = [aij]mxn

m: número de linhas n: Número de colunas aij: é o elemento da i-ésima lina e j-ésima coluna

Amxn= a22 a21 a23 .......a24

a12 a11 a13 .......a14

am2 am1 am3 .......amn

.

. . .

.

. . .

=[aij]mxn

•A: Denota a matriz A ou Amxn para definir numero de linhas e colunas

•Os elementos de uma matriz podem ser reais ou complexos.

•As matrizes são utilizadas para resolução de diversos porblemas que envolvem sistemas lineares.

•Matematicamente definir-se-á determinante e a regra de Sarrus para sua determinação e utilização em produto vetorial

André Luis Lapolli

Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar

• Determinantes

O estudo sistemático teve início no sec. XIX pelo tratado de A.L. Cauchy (1789-1857) em 1812. Posteriormente foram desenvolvidos nos trabalhos de Jacobi (1804-1851)

• Definição

É um número associado a uma Matriz Quadrada

Amxm= a22 a21 a23 .......a24

a12 a11 a13 .......a14

am2 am1 am3 .......amm

.

. . .

.

. . .

=[aij]mxm

Escreve-se det A ou |A| ou det [aij]

det [a] = a - determinante de uma matriz 1x1

21122211

2221

1211det aaaa

aa

aa

André Luis Lapolli

Álgebra Linear e Vetores Produto Vetorial e Produto Misto

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

Utiliza-se a regra de Sarrus

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

+ + +

332211 aaa 312312 aaa 322113 aaa332112 aaa 322311 aaa 312213 aaa

- - -

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Álgebra Linear e Vetores Produto Vetorial e Produto Misto

Exemplo: Calcule

68120002

4.2.12).3.(21.1.0)3.(2.00.4.22.1.1

220

413

021

• Produto Vetorial

kji ˆ,ˆ,ˆDefinição: Considerando-se a base ortonormal positiva, dados os vetores:

kzjyixv

kzjyixu

ˆˆˆ

ˆˆˆ

222

111

vu

ou vu

Símbolo do produto vetorial

É definido como

Lê-se u vetor v. )(ˆ

ˆˆˆ

1221

222

111 zyzyi

zyx

zyx

kji

vu

)(ˆ

)(ˆ

1221

2112

yxyxk

zxzxj

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Álgebra Linear e Vetores Produto Vetorial e Produto Misto

Obs1: O resultado do produto vetorial é um vetor. Exemplo: Determine o produto vetorial uxv e vxu.

)1,3,1()1,1,2( vu

kjikji

kji

vu ˆ5ˆˆ2)16(ˆ)21(ˆ)31(ˆ

131

112

ˆˆˆ

kjikji

kji

uv ˆ5ˆˆ2)61(ˆ)12(ˆ)13(ˆ

112

131

ˆˆˆ

Obs2: uxv=-vxu

Exemplo: Determine:

u . uxv e v . uxv . 0532)5,1,2()1,3,1(

0514)5,1,2()1,1,2(

vuv

vuu

Obs3: O vetor resultante do produto vetorial entre dois vetores é perpendicular ao plano dos vetores originais.

André Luis Lapolli

Álgebra Linear e Vetores Produto Vetorial e Produto Misto

Determinação do sentido do vetor pela regra da mão direita. Dados dois vetores quaisquer no espaço, com um ângulo q≠ 0, o sentido do vetor resultante pode ser definido pela regra da mão direita.

Considera a mão direita. Coloca-se a mão com todos os dedos apontados no sentido do primeiro vetor e a palma voltada para o ângulo entre os vetores. Faz-se uma varredura desta mão até o segundo vetor e levanta-se o polegar. O sentido do vetor é o mesmo do polegar.

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Álgebra Linear e Vetores Produto Vetorial e Produto Misto

x

y

z

uv

Exemplo: Determine e represente graficamente o produto vetorial entre u e v.

)0,2,1()0,1,2( vu

kuvkk

kji

vu ˆ5ˆ5)14(ˆ

021

012

ˆˆˆ

u

v

q

vu

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Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar

• Propriedades

1. Anticomutativa

2.

3.

uvvu

,ˆ,vu

)()()( vuvuvu

,ˆ,vu

wuvuwvu

)(

wvu

,ˆ,

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Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar

• Interpretação Geométrica

O produto vetorial é também chamado de produto externo e o seu módulo está relacionado com a área do paralelogramo formado pelos vetores que o originaram.

u

v

q

qcosv

qvsen

Usando a identidade de Lagrange: 2222)( vuvuvu

qq 22 1cos sencomo

2

).cos(.2).cos(

qqqq

vsenvvsenvuA

qqqqq cos..cos.... 22 senvsenvsenvuA

qsenvuA ..

q222222cosvuvuvu

qq 22222222222222)1( senvuvuvuvusenvuvuvu

q2222senvuvu

qsenvuvu ..

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Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar

• Produto Misto

Definição: Dados três vetores:

),,(

),,(

),,(

333

222

111

zyxw

zyxv

zyxu

Em relação a uma base ortonormal (i,j,k)

O produto misto é:

333

222

111

],,[

zyx

zyx

zyx

wvuwvu

)ˆˆˆ( 333

222

111 kzjyix

zyx

zyx

kji

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Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar

• Propriedades

1. 0],,[ wvu é linearmente dependente

(ld) ou seja, os vetores são coplanares.

2. Propriedade cíclica:

],,[],,[],,[

],,[],,[],,[

uvwvwuwuv

vuwuwvwvu

u

w

v

3. ],,'[],,[],,'[ wvuwvuwvuu

´)´,´,(' 311 zyxu

onde É um vetor dado.

4. ],,[],,[],,[],,[ wvuwvuwvuwvu

wvu

,, e

wvu

,,

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Álgebra Linear e Vetores Produto Escalar

• Interpretação Geométrica

Sejam os vetores u,v,w. O Produto misto [v,w,u]=u.(v x w) é definido por:

qcos],,[ wvuuwv

Da mesma forma, observando-se a figura verifica-se que o volume do tetraedro Vt formado por estes vetores é:

hwvVp

6

p

t

VV

Onde q é o ângulo entre u e (v x w).

wv

qcosuh

O cálculo do volume do paralelepípedo da figura à direita é dada pelo produto da área da base vezes a altura. A área da base é: A altura é: Portanto o volume do paralelepípedo Vp é dado por:

corresponde ao produto misto entre os vetores. qcosuwv