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Produtos Notveis 8 ANO Prof.: Sergio Wagner

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Os produtos Produtos notveis so assim chamados por serem tipos fixos, facilmente reconhecidos, de produtos. Temos abaixo alguns dos mais freqentes: Podemos simplificar dois dos produtos para um quadrado:

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Trabalhando os produtos O primeiro caso a ser estudado o quadrado da soma. Que dado por: Podemos ver isto como de fato um quadrado, feito da soma de dois seguimentos quaisquer: Resolvendo as reas neste quadrado, temos:

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No resultado anterior, podemos ver que os retngulos laranja, ab e ba so iguais, ento agrupamos o resultado da rea;

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O quadrado da diferena O segundo caso a ser estudado anlogo ao primeiro; temos novamente um quadrado formado por dois seguimentos, mas agora o segundo seguimento retirado do primeiro: Para obter o quadrado (a -- b) do quadrado a, devemos retirar algumas partes: Retiramos: Recolocamos o quadrado menor.

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No resultado anterior, tivemos que adicionar o quadrado b por t-lo retirado duas vezes. Agrupamos tambm os dois retngulos ab. Como explicitamos a seguir.

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Produto da soma pela diferena Somamos ainda: Agora retiramos O ltimo caso a ser estudado o do produto da soma pela diferena, dado por ( a + b ). ( a b ). Obtemos do quadrado o retngulo do produto:

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Podemos simplificar o resultado, lembrando que o retngulo ab adicionado e o retngulo ab retirado so iguais. Temos ento somente a diferena do quadrado a e do quadrado b . Simplificando os retngulos ab obtemos:

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Fatorao Os produtos notveis tm pouco valor de clculo, mas so imprescindveis na lgebra, na forma da fatorao. Facilmente identificados, os produtos notveis, podem simplificar e resolver situaes que seriam complexas ou at impossiveis sem o seu uso.

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Fator comum em evidncia O fator comum em evidncia a fatorao inversa da propriedade distributiva da multiplicao. Como temos a seguir; Como toda equao independe do sentido apresentado, podemos escrever a equao acima como;

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Podemos visualizar a fatorao tambm de forma geomtrica. Montando um retngulo com outros retngulos. No caso do fator comum em evidncia, temos:

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Trinmio do quadrado perfeito O trinmio do quadrado perfeito dado pelo primeiro caso de produto notvel que estudamos, o quadrado da soma: Outro exemplo do trinmio do quadrado perfeito vem do segundo caso estudado, o quadrado da diferena:

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Visualizando o trinmio do quadrado perfeito, caso soma:

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Visualizando o trinmio do quadrado perfeito, caso subtrao:

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A diferena de quadrados A diferena de quadrados advm do ltimo caso de produto notvel estudado, o produto da soma pela diferena: Inmeros outros casos de produtos notveis e suas fatoraes podem ser feitas de acordo com a necessidade da prova ou trabalho que o matemtico (ou qualquer pessoa) esteje tentando produzir.

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Visualizando a diferena de quadrados:

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Outros importantes produtos notveis e casos de fatorao Polinmio do segundo grau: O polinmio do segundo grau de grande importncia para o estudo das equaes e funes do segundo grau. Pois relaciona os coeficientes e as razes de tal equao. O cubo da soma: O cubo da diferena: Os polinmios do cubo perfeito:

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Outro importante caso de fatorao conhecido como a soma de cubos. Dado pela equao: Outros casos de fatorao O ltimo caso que vamos mostrar relativo ao de cima. A diferena de cubos. Dado pela equao:

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Completando o Quadrado Completar o quadrado produzir um quadrado perfeito de um polinmio que no quadrado perfeito. Muito til na resoluo de equaes. Um exemplo desta poderosa tcnica: A princpio uma equao complexa, mas se somarmos 16 a ambos os membros da equao teremos:

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Podemos generalizar a tcnica de completar o quadrado. Para tanto usamos uma equao genrica: Podemos ver que nem sempre esta tcnica ser til.