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Prática de ensino de matemática I José Ricardo Gomes da Silva Júnior Produtos Notáveis e Fatoração

Produtos Notáveis e Fatoração

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Page 1: Produtos Notáveis e Fatoração

Prática de ensino de matemática I

José Ricardo Gomes da Silva Júnior

Produtos Notáveis e Fatoração

Page 2: Produtos Notáveis e Fatoração

No cálculo algébrico, alguns produtos aparecem com muita frequência. Como por exemplo:(x + y) . (x – y)(x + y) . (x + y) ou (x + y)²(x – y) . (x – y) ou (x – y)²Pela importância que representam no cálculo algébrico, esses produtos são chamados produto notáveis.

Produto Notáveis

Page 3: Produtos Notáveis e Fatoração

Vejamos, a seguir, uma experiência que podemos fazer trabalhando com esses produtos quando consideramos, por exemplo, a expressão (10 + 3)², cujo valor podemos determinar.

(10 + 3)² = (13)² = 13.13 = 169Consideremos as seguintes figuras

unidade 10 unidades = dezena 10 dezenas = centena

Page 4: Produtos Notáveis e Fatoração

Tomando essas figuras, vamos representar o número 169, lembrando que169 = 100 + 60 +9 = 1 centena + 6 dezenas + 9 unidade.

Assim, teremos:

100 + 60 + 9Reunindo essas figuras, podemos obter um quadrado da seguinte maneira:

Page 5: Produtos Notáveis e Fatoração

(10 +3)

100(10²)

9 = 3²

(10 +3)10

10

3

10.3

10.3

Observando que cada lado desse quadrado mede (10 + 3) unidades, podemos escrever:

(10 +3)² = 10² +10.3+10.3 + 3²Ou ainda:

(10 +3)² = 10² +2.(10.3) + 3²

Page 6: Produtos Notáveis e Fatoração

Vamos considerar a expressão (x + y).(x + y) ou (x+y)²:

(x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + xy + yx + y² = x² +2xy + y²

Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade.

Quadrado da soma de dois termos

Page 7: Produtos Notáveis e Fatoração

Sua área poderá ser expressa pela soma das áreas das figuras que formam o quadrado.

(x + y)² ou x² + 2xy + y²Portanto:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

xy

xy

x

x

y

y

Page 8: Produtos Notáveis e Fatoração

Tanto algebricamente como geometricamente fica demonstrado que:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

quadrado da soma de 2 termos

quadrado do 1º termo

duas vezes o produto do 1º pelo 2º

quadrado do 2º termo

Page 9: Produtos Notáveis e Fatoração

Vamos representar geometricamente a expressão (x + 3)²

3

3

x

x

Observe que:x² representa a área do quadrado de lado x3² representa a área do quadrado de lado 33x representa a área do retângulo de lado 3 e x(x + 3)² representa a área do quadrado de lado (x+3)

(x +3)² = x² + 2.(3x) + 3²

Page 10: Produtos Notáveis e Fatoração

Represente geometricamente:

1. (x + 2)²

2. (x + 2).(x + 3)

Page 11: Produtos Notáveis e Fatoração

Vamos considerar a expressão (x – y). (x – y) ou(x – y)²:

(x – y)² = (x – y).(x – y) = x² - xy – xy +y² = x² - 2xy + y²Daí, temos a seguinte igualdade:

Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade.

Quadrado da diferença de dois termos

(x – y)² = x² - 2xy + y²

Page 12: Produtos Notáveis e Fatoração

Dados dois segmentos, de medidas x e y, com x > y. usando os dois segmentos, podemos construir um quadrado.

O quadrado de lado (x – y) tem sua área expressa por (x – y)² oux² - y(x – y) – y(x – y) – y² = x² - xy +y² - xy +y² - y² = x² - 2xy + y²

Portanto:(x – y)² = x² - 2xy + y²

y(x – y)

y²y(x – y)

(x – y)²

y

x

(x – y)

Page 13: Produtos Notáveis e Fatoração

Tanto algebricamente como geometricamente fica demonstrado que:

(x - y)² = x² - 2xy + y²

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

quadrado da diferença de 2 termos

quadrado do 1º termo

duas vezes o produto do 1º pelo 2º

quadrado do 2º termo

Page 14: Produtos Notáveis e Fatoração

Considere a expressão (x + y).(x – y):

(x + y).(x – y) = x² -xy +xy – y² = x² - y²

Daí, temos a seguinte igualdade:

(x + y).(x – y) = x² - y²

Geometricamente, podemos obter a mesma igualdade.

Produto da soma pela diferença de dois termos

Page 15: Produtos Notáveis e Fatoração

Dado dois segmentos de medidas x e y, façamos um retângulo de lados (x +y) e (x – y).

(x – y).(x+y)

(x + y)

(x - y)

x y

(x + y).(x – y) = x² - y²

Como as áreas de ambas as figuras são iguais, podemos escrever a igualdade como:

(x² - y²)

y

y

x -y

x - y

x

Page 16: Produtos Notáveis e Fatoração

Tanto algebricamente como geometricamente fica demonstrado que:

(x + y) . (x - y) = x² - y²

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Soma dos termos

quadrado do 1º termo

Diferença dos termos

quadrado do 2º termo

Page 17: Produtos Notáveis e Fatoração

Resolva:

1. (x – 5)²

2. (x – 3)²

3. (x – 2).(x + 2)

4. João tinha um terreno de área x² metros², um certo dia houve uma redução de 4 metros no tanto no lado direito quanto na parte inferior do terreno, fazendo com que a área do terreno passasse a ser 144 m². determine o valor da área do terreno antes da redução.

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Considere o número 90. utilizando a multiplicação, podemos escrever esse número de varias maneiras.

90 = 2.45 = 3.30 = 5.18 = 6.15 = 9.10 = 2.3³.5

Tomando como base esses conhecimentos vamos considerar a figura abaixo:

Fatoração

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais fatores

1 2

ba

c

ac + bc = c.(a + b)

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Fatorar um polinômio, quando possível, significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de

dois ou mais polinômios.

Page 20: Produtos Notáveis e Fatoração

área do quadrado ABCD + área do retângulo CEFD = área do retângulo ABEF

ou seja, x² + x.y = x.(x + y)Notamos que x é um fator que aparece em todos os termos do polinômio e foi colocado, como fator comum, em evidência.

Fatoração pela colocação de um fator em evidência

A D F

ECB

x

x y

Page 21: Produtos Notáveis e Fatoração

Quando todos os termos de um polinômio têm um fator em comum, podemos colocá-lo em evidência. A

forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividido cada termo do

polinômio dado pelo fator comum.

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Observe as três figuras seguintes:

Como as três figuras têm a mesma área , podemos escrever: ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) = (a + b).(x + y)

Fatoração por agrupamento

x.( a+b)

y. (a+b)ay

bx

by

ax

y

x

a b

y

x

a + b a + b

x+ y

Polinômio Forma fatorada do polinômio

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Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio ax + bx + ay + by na forma fatorada.

ax + bx + ay + by agrupamos os termos que possuem termos semelhantes.

x.(a + b) + y.( a + b) em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência.

(x + y).(a + b) colocamos, novamente, em evidência o fator comum

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