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william-santos
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produto vetorial
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Produto Vetorial
Diferente do Produto Escalar, o Produto Vetorial de dois vetores
resulta em um vetor ortogonal aos outros dois e
s definido no espao tridimensional.
Definio:
Se 1, 2, 3 1, 2, 3 e vu u u u v v v forem vetores no espao tridimensional
ento o produto vetorial u v o vetor definido por:
1 2 3
1 2 3
i j k
u v u u u
v v v
Propriedades algbricas do Produto Vetorial
Sejam u, v e w vetores em 3 e a um escalar:
a) u v v u
b) u v w u v u w
c) u v w u w v w
d) a u v au v u av
e) 0 0 0u u
f) 0u u
Obs.: Para os vetores unitrios, temos algumas relaes importantes:
a) ____i j
b) ____j i
c) ____j k
d) ____k j
e) ____k i
f) ____i k Esquema
i j
k
Propriedades geomtricas do Produto Vetorial
Sejam u e v vetores em 3 , ento:
a) 0)( vuu
)( vu
ortogonal a u
.
b) 0)( vuv
)( vu
ortogonal a v
.
Ou seja )( vu
simultaneamente ortogonal a u
e v
.
rea do paralelogramo
Sejam u e v vetores no-nulos de 3 , e seja o ngulo entre esses vetores
quando estiverem posicionados de tal forma que os seus pontos iniciais
coincidam.
A rea A do paralelogramo que tem
u e v como lados adjacentes :
|| vuA
Alm disso,
senvuvu .||.||||
1) Calcule e u v v u sendo 5 4 3 u i j k e v i k .
2) Por que para qualquer vetor v de 3 o produto vetorial com ele
mesmo o vetor nulo?
3) Mostre que u v ortogonal a u e a v
sendo 5 4 3u i j k e v i k .
4) Dados os vetores 1, 1,1u e (2, 3,4)v , calcule:
a) a rea do paralelogramo determinado por e u v .
b) a altura do paralelogramo relativo base definida pelo vetor u .
5) Seja um tringulo eqiltero ABC de lado 10cm. Calcule AB AC .
6) Dados os vetores 2,1, 1u e (1, 1, )v a , calcular
o valor de a para que a rea do paralelogramo determinado
por u e v seja igual a 62 .
7) Sejam os vetores 1, 1, 4u e (3,2, 2)v .
Determinar um vetor que seja:
a) ortogonal a u e v.
b) ortogonal a u e v e unitrio.
c) ortogonal a u e v e tenha mdulo 4.
Resumo
Representao
Como se calcula
Resultado
Vetor ortogonal
Definio Geomtrica
Aplicaes
rea do paralelogramo