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PROF. 3 o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. II

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PROF. 3o ANOMATEMÁTICAPADRÃO VOL. II

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Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia: Filosofia:Física:Geografia: História: Leitura e Produção:

Língua Espanhola: Língua Inglesa: Língua Portuguesa:

Literatura:

Matemática: Química:Sociologia:

Biologia: Geografia:História:Língua Espanhola:Química:

Autores:

Atualizações:

Leandro MaiaGustavo BertocheWilmington CollyerDuarte VieiraMontgomery Miranda / Bernardo PadulaLeila Noronha / Marcelo BeauclairMizael Souza Jaqueline HalackLeila Noronha / Marcelo BeauclairLeila Noronha / Marcelo BeauclairJoão Luiz / Gláucio PitangaWendel MedeirosAnne Nunes

Cid Medeiros Thiago Azeredo Guilherme BragaKarina PaimRenata Galdino

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Apresentação:Olá, querido aluno.O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com

uma proposta de educação exigente e plural.Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes

hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos

de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

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No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Para finalizar, que tal encontrar um conteúdo ideal para aquelas revisões na véspera de provas e concursos? Essa é a proposta da seção Resumindo, na última página de cada capítulo. Aqui, você en-contrará uma síntese com as principais informações do capítulo, como as fórmulas mais importantes, que você não pode esquecer.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender

“A Educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo.”

(Nelson Mandela)

Fabio BenitesDiretor-geral

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

3º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1o BIMESTRE

EM3MAT01: Estatística: trabalhando conjuntos e estruturando o processo estatístico• Reconheceranecessidadedeorganizarinformaçõesemconjuntos;• Assimilartécnicas,notaçõeseoperaçõesdeconjuntos;• Representareinterpretardadosagrupadosemtabelasegráficos;• Compreenderosconceitosbásicosdaformaçãodoprocessoestatístico;• Calcularmedidasestatísticasdetendênciacentraledispersão.

EM3MAT02: Matemática Financeira: conceitos e aplicações• Compreenderosignificadodarepresentaçãodeumaporcentagem;• Calcularporcentagenseaprenderautilizarfatoresdeatualização;• Diferenciarporcentagensemrelaçãoabasesdiferentesdevalores;• Aprenderosconceitosediferençasentrejurossimplesecompostos;• Identificarecalcularovalordodinheironotempoatravésdosjuros.

EM3MAT03: Funções: conceitos e funções do 1o grau• Estabeleceroconceitodeprodutocartesiano,easdefiniçõesdedomínio,contradomínioeimagem;• Representarprodutoscartesianosnoplanocartesiano;• Identificarrelaçõesefunçõesapartirdeprodutoscartesianos;• Conceituareresolverfunçõescompostaseinversas;• Reconhecereaplicarfunçõesde1ograu,algébricaegraficamente.

2o BIMESTRE

EM3MAT04: Funções: funções do 2o grau e suas aplicações• Identificarumafunçãodo2ograu,compreendendosuaimportânciaeaplicações;• Calculareanalisarseusprincipaisparâmetroseinterseçõescomoseixoscartesianos;• Determinarraízeserealizarestudosdesinal;• Resolverproblemasdemaximizaçãoeminimizaçãodefunçõesquadráticas;• Determinarconjuntos-soluçãodeinequaçõesprodutoequociente.

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EM3MAT05: Funções: exponenciais e logarítmicas• Revisarconceitosdepotenciação;• Entenderarepresentaçãoalgébricaegráficadeumafunçãoexponencial;• Compreenderaformaçãodologaritmoesuarelaçãocomapotenciação;• Perceberoprocessodeestruturaçãodeumafunçãologarítmica,baseadanaexponencial;• Representareresolverequações,inequaçõesefunçõesexponenciaiselogarítmicas.

EM3MAT06: Análise Combinatória: calculando possibilidades• Assimilaraimportânciadoprocessodetomadadedecisõeseprincípiosmultiplicativos;• Apresentaraoperaçãofatorialeoseufuncionamento;• IntroduziroPrincípioFundamentaldaContagemcomobaseparaaAnáliseCombinatória;• Estabelecerosconceitosdepermutação,arranjoecombinação,bemcomosuasrestrições;• Aplicarasferramentasdesenvolvidasemproblemascontextualizadoseatuais.

3o BIMESTRE

EM3MAT07: Probabilidades: cálculos e interpretações• EstruturarasnoçõesdeEspaçoAmostral,EventoeProbabilidade;• Resolverproblemasiniciaisdeprobabilidade;• Reconheceradependênciaouindependênciadeeventos;• Percebercomoelasafetamocálculodeprobabilidadescondicionais;• Utilizarconectivos“e”e“ou”paratratardeprobabilidadescommaisdeumevento.

EM3MAT08: Sequências: progressões aritméticas e geométricas• Reconhecerpadrõesnaformaçãodesequênciasnuméricas;• Definirconceitos,propriedadeserelaçõesdeumaProgressãoAritmética;• Definirconceitos,propriedadeserelaçõesdeumaProgressãoGeométrica;• AssimilarasrecorrentesformasdediferenciarumaPAdeumaPG;• Resolverproblemasdesequênciasnuméricasaplicandotaisconceitos.

4o BIMESTRE

EM3MAT09: Matrizes: organizando números e dados em matrizes• Compreenderosignificadodeumamatriz;• Assimilarasdiversaspropriedadesassociadasàsmatrizes;• Realizaroperaçõesenvolvendomatrizes;• Calculardeterminantesdematrizesquadradas;• Utilizarconceitosdematrizesparadeterminarconjuntos-soluçãodesistemaslineares.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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EM3MAT10: Lógica e problemas de raciocínio• Elaborarummodeloqueestrutureoraciocíniodeformalógica,atravésdeproposições;• Utilizarconectivosparaencadearproposições;• Estabeleceratabela-verdadeparaanalisaralógicamatemática;• Conhecereaplicarconceitosdenegação,equivalênciaeaestruturacondicional;• Resolverproblemasdelógicamatemáticaequestõesderaciocíniomatemáticosimples.

MATEMÁTICA II

1o BIMESTRE

EM3MAT11: Razões e proporções: proporcionalidade, grandezas e medidas• Reconheceranecessidadedeorganizarinformaçõesemconjuntos;• Assimilartécnicas,notaçõeseoperaçõesdeconjuntos;• Representareinterpretardadosagrupadosemtabelasegráficos;• Compreenderosconceitosbásicosdaformaçãodoprocessoestatístico;• Calcularmedidasestatísticasdetendênciacentraledispersão.

EM3MAT12: Geometria Plana: polígonos, triângulos e quadriláteros• Definirelementosepropriedadesbásicasdageometriaplana;• Conceituarpolígono,seusprincipaisexemploserelações;• Estabelecerasprincipaisclassificaçõesepropriedadesdostriângulos;• Apresentareidentificarosprincipaissegmentosepontosnotáveisdeumtriângulo;• Estabelecerasprincipaisclassificaçõesepropriedadesdosquadriláteros.

2o BIMESTRE

EM3MAT13: Geometria Plana: semelhanças, relações métricas no triângulo e circunferências

• Relacionarsegmentosproporcionaiseestabelecercritériosparasemelhançadetriângulos;• Construirrelaçõesmétricasentreosprincipaissegmentosdeumtriânguloretângulo;• UtilizaroTeoremadePitágorasemaplicaçõesdiretasdageometria;• Deduzirasleisdosenoedocosseno,válidasparaqualquertriângulo;• Compreender o significado geométrico de uma circunferência, seus elementos e propriedades

métricaseangulares.

EM3MAT14: Geometria Plana: áreas e relações entre circunferências e polígonos• Determinarmecanismosparaocálculodasáreasdosprincipaispolígonos;• Calcularáreadocírculoesuaspossíveisdivisões;• Corresponderáreasdefigurasgeométricassemelhantes,apartirdaproporçãoentresuasmedidas;• Compreenderoconceitodeapótemadeumpolígonoregular;• Relacionarladoseapótemasdepolígonosregularescomcircunferênciasinscritasecircunscritas.

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3o BIMESTRE

EM3MAT15: Geometria Espacial: poliedros, prismas e cilindros• Introduzir os conceitos de geometria espacial a partir da utilização de uma superfície poliédrica

convexa;• Relacionar os principais elementosde um poliedro, bem como o conjunto de poliedros regulares

notáveis;• Definir o que é um prisma, mostrando seus principais elementos, planificações, e deduzindo os

cálculosdeáreasevolume;• Definiroqueéumcilindro,apresentandoseusprincipaiselementos,planificações,eoscálculosde

áreasevolume;• Construircilindrosapartirdarevoluçãodefigurasplanas.

EM3MAT16: Geometria Espacial: pirâmides, cones e esferas• Apresentarosconceitosbásicosdepirâmides,coneseesferas,comsuasreferidasplanificações;• Relacionarseusprincipaiselementos,expandindoapercepçãogeométricadossólidos;• Estabelecerfórmulasdeáreasevolumesparaessessólidos,bemcomorelacionarsólidossemelhantes;• Construirconeseesferasapartirdarotaçãodefigurasgeométricasplanas;• Realizarcortesempirâmideseconeseapresentarasprincipaisnoçõesdetroncos.

4o BIMESTRE

EM3MAT17: Trigonometria: conceitos, círculo trigonométrico e funções• Estabelecerdiferentesmedidasdeângulos,earelaçãoentreelas;• Compreenderosconceitosiniciaisdetrigonometriaapartirdetriângulosretângulos;• Conhecerocírculotrigonométricoesuasprincipaispropriedades;• Utilizarocírculotrigonométricoparadeduzirvalorestrigonométricosparadiversosgruposdeângulos

notáveiserelaçõestrigonométricasfundamentais;• Analisaralgébricaegraficamenteequações,inequaçõesefunçõestrigonométricas.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO MÉDIO 2017/2018

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2017/2018 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico de vanguarda, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a aprendizagem. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas com foco artístico e acadêmico.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso dialoga com sites e aplicativos, e vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01:Apresentar um conteúdo com ementa e nível de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento.

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs e conteúdo programático do exame nacional do Ensino Médio (ENEM). Existem duas linhas de material. O pacote Otimizado aborda todo o conteúdo dividido em três anos, enquanto o Padrão encerra todo o conteúdo nos dois primeiros anos, e o terceiro ano funciona como um pré-vestibular abordando toda a ementa do ENEM e dos principais vestibulares do Brasil.

Fundamento 02:Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Logo na capa do caderno, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria lecionada e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Hidrostática, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar, para compreensão dos alunos, compreender os conceitos de pressão, massa específica e densidade de um corpo, assim como o teorema de Stevin, de Arquimedes e o princípio de Pascal.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, a partir do diálogo entre este e outros saberes, não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Médio é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Economia, Noções de Nutrição, Geopolítica e Meio Ambiente são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto 4newsmagazine.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto pela bandeira interdisciplinar 4NEWS MAGAZINE. Esta é uma revista de atualidades que possui uma linguagem própria da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Com isso, terão a oportunidade de ler, entender e debater temas importantes do Brasil e do mundo de uma forma mais interessante para a faixa etária que se encontram. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento com as quais alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os discentes a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a notícia sobre a influência da igreja católica na geopolítica mundial foi utilizada para dialogar com o caderno de História do 3º ano “Formação do Brasil colonial”, enriquecendo ainda mais o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04:Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na segunda página de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) propõe uma reflexão sobre o porquê alguns corpos flutuam e outros não. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende explicar o conceito de hidrostática, ou seja, ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma imagem para criticar a concentração fundiária no Brasil.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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Fundamento 05:Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno, na primeira impressão, para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do educando, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão, e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos têm dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06:Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando (somente na versão Padrão) são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07:Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links para sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também atividades não ortodoxas. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajudá-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade. Para o terceiro ano, não há a sugestão da atividade Pesquisando, mas uma seção denominada Competências e Habilidades onde são informadas e trabalhadas as cento e vinte habilidades da matriz de referência do ENEM.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.

A seção Competências e Habilidades, presente no material do terceiro ano, informa qual(is) habilidade(s) está(ão) relacionada(s) àquele conteúdo, qualificando o educando nesse conteúdo.

Fundamento 08:Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentada uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICOENSINO MÉDIO 2017

3º anoMATEMÁTICA I

2o bimestre:

Aula 10Tópico: Funções: funções do 2o grau e suas aplicaçõesObjetivos: Identificar uma função polinomial do 2o grau, compreendendo sua importância e aplicações; Calcular e analisar seus principais parâmetros e interseções com os eixos cartesianos; Determinar raízes e realizar estudos de sinal;Subtópicos: Função Polinomial do 2o GrauExercícios: Praticando 1 ao 6Para casa: Praticando 7 ao 13

Aula: 11Tópico: Funções: funções do 2o grau e suas aplicaçõesObjetivos: Resolver problemas de maximização e minimização de funções quadráticas; Determinar conjuntos-solução de inequações produto e quocienteSubtópicos: Problemas de máximo e mínimo; InequaçõesExercícios: Praticando 14 ao 24Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula 12Tópico: Funções: funções do 2o grau e suas aplicaçõesObjetivos: x Subtópicos: ExercíciosExercícios: AprofundandoPara casa: Desafiando

Aula 13Tópico: Funções: exponenciais e logarítmicasObjetivos: Revisar conceitos de potenciação; Entender a representação algébrica e gráfica de uma função exponencial; Subtópicos: Equação exponencial; Função exponencial; Inequações exponenciais; Função Logarítmica; A função inversa da função logarítmicaExercícios: Praticando 1 ao 5Para casa: Praticando 6 ao 22

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Aula 14Tópico: Funções: exponenciais e logarítmicasObjetivos: Compreender a formação do logaritmo e sua rela- ção com a potenciação; Perceber o processo de estruturação de uma função logarítmica, baseada na exponencial; Representar e resolver equações, inequações e fun- ções exponenciais e logarítmicas Subtópicos: Logaritmo; Sistemas de logaritmos; Propriedades dos logaritmos; Equações logarítmicasExercícios: Praticando 32 ao 47Para casa: Aprofundando

Aula 15Tópico: Funções: exponenciais e logarítmicasObjetivos: x Subtópicos: ExercíciosExercícios: AprofundandoPara casa: Desafiando

Aula 16Tópico: Análise Combinatória: calculando possibilidadesObjetivos: Reconhecer a importância do processo de digestão, os órgãos do sistema digestório e as glândulas anexas, compreendendo os processos digestivos que ocorrem em cada local;Subtópicos: Princípios básicos; PermutaçõesExercícios: Praticando 1 ao 7Para casa: Praticando 8 ao 14

Aula 17Tópico: Análise Combinatória: calculando possibilidadesObjetivos: Reconhecer os órgãos envolvidos na respiração e perceber o caminho percorrido pelo gás oxigênio no processo respiratório, compreendendo o mecanismo de hematose e como a hemácia participa do processo; Entender como os gases são transportados pelo sangue, diferenciando oxiemoglobina, carboxiemoglobina e carboemoglobina; Verificar a importância do diafragma e dos músculos intercostais na respiração, diferenciando inspiração e expiração; Compreender como ocorre o controle da frequência respiratóriaSubtópicos: Arranjos; CombinaçõesExercícios: Praticando 15 ao 22Para casa: Aprofundando

Aula 18Tópico: Análise Combinatória: calculando possibilidadesObjetivos: x Subtópicos: ExercíciosExercícios: AprofundandoPara casa: Desafiando

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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MATEMÁTICA II

2o bimestre:

Aula 10Tópico: Geometria Plana: semelhanças, relações métricas no triângulo e circunferênciasObjetivos: Relacionar segmentos proporcionais e estabelecer critérios para semelhança de triângulos; Construir relações métricas entre os principais segmentos de um triângulo retângulo; Utilizar o Teorema de Pitágoras em aplicações diretas da geometria;Subtópicos: Teorema de tales; Teorema da Bissetriz Interna; Semelhança; Teorema de Pitágoras;Exercícios: Praticando 1 ao 8Para casa: Praticando 9 ao 14

Aula 11Tópico: Geometria Plana: semelhanças, relações métricas no triângulo e circunferênciasObjetivos: Deduziras leis do seno e do cosseno, válidas para qualquer triângulo;Subtópicos: Relações Métricas num Triângulo Retângulo; Relações Métricas em um triângulo qualquer;Exercícios: Praticando 15 ao 17Para casa: Praticando 18 ao 22

Aula 12Tópico: Geometria Plana: semelhanças, relações métricas no triângulo e circunferênciasObjetivos: Compreender o significado geométrico de uma circunferência, seus elementos e propriedades métricas e angularesSubtópicos: Ângulos na circunferencia; Relações métricas na circunferenciaExercícios: Praticando 23 ao 33Para casa: Aprofundando

Aula 13Tópico: Geometria Plana: semelhanças, relações métricas no triângulo e circunferênciasObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: AprofundandoPara casa: Desafiando

Aula 14Tópico: Geometria Plana: áreas e relações entre circunferências e polígonosObjetivos: Determinar mecanismos para o cálculo das áreas dos principais polígonosSubtópicos: Áreas de PolígonosExercícios: Praticando 1 ao 4Para casa: Praticando 5 ao 7

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12

Aula 15Tópico: Geometria Plana: áreas e relações entre circunferências e polígonosObjetivos: Calcular área do círculo e suas possíveis divisões; Corresponder áreas de figuras geométricas semelhantes, a partir da proporção entre suas medidasSubtópicos: Áreas circulares e suas partesExercícios: xPara casa: Praticando 8 ao 14

Aula 16Tópico: Geometria Plana: áreas e relações entre circunferências e polígonosObjetivos: Compreender o conceito de apótema de um polígono regular; Relacionar lados e apótemas de polígonos regulares com circunferências inscritas e circunscritasSubtópicos: Polígonos regularesExercícios: Praticando 15 ao 18Para casa: Aprofundando

Aula 17Tópico: Geometria Plana: áreas e relações entre circunferências e polígonosObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: AprofundandoPara casa: Desafiando

Aula 18Tópico: Revisão bimestralObjetivos: x Subtópicos: RevisãoExercícios: RevisãoPara casa: Revisão

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

1

Praticando 1)a) S = (-b)/a=(-(-10))/1=10b) P=c/a=24/1=24c) m+n=10 m.n=24Método da substituição:n=10-mm(10-m)=2410m –m2=24-m2+10m-24=0m2-10m+24=0x=(-b± (b2-4ac))/2ax=(-(-10)± (-10)2-4.1.(24))/(2(1))x=(10± (100-96))/2x=(10± 4)/2x=(10±2)/2X1=12/2=6X2=8/2=4As raízes são 4 e 6.

2) 10 pessoas

3) 39=(-t2)/4+400 -1444=-t2(-1)39 – 400=(-t2)/4 1444=t2

-361=(-t2)/4 T= 1444-361 x 4 = -t2 T= 1444 T=38Letra D

4)f(x) = 3x2 –5x –10 f(-2) = 3.4+10 –10f(-2) = 3(-2)2–5(-2) –10 f(-2) = 12

5) V(t) = –2t2 – 8t + 120V(3) = –2(3)2 – 8(3) + 120V(3) = –2.9 – 24 + 120V(3) = –18 – 24 + 120V(3) = –2.9 – 24 + 120V(3) = 78Letra D

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Funções Polinomiais do 2o Grau e suas Aplicações

Conteúdo:• Função Polinomial do 2o Grau;• Vértice da Parábola;• Inequação do 1o Grau;• Inequação do 2o Grau;• Inequação Produto;• Inequação Quociente

Objetivos de aprendizagem:• Identificar uma função polinomial do 2o grau, compreendendo sua importância e

aplicações;• Calcular e analisar seus principais parâmetros e interseções com os eixos cartesianos;• Determinar raízes e realizar estudos de sinal;• Resolver problemas de maximização e minimização de funções quadráticas;• Determinar conjuntos-solução de inequações produto e quociente.

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

2

6)F(x)= ax2+bx+cP(0, 2) – logo, c=2Q(1, 2) -> 2= a+b+2R(–3, 0) -> 0= 9a-3b+2Sistema:2= a+b+2A+b=0A=-bSubstituindo A=-b em:0= 9a-3b+2-9b-3b=-2-12b=-2B=1/6, logo como A=-b, então: a=(-1)/6Portanto, F(x)= (-1)/6x2+1/6x+2Letra A.

7) f(x)= x2 –10x + 16a) (0,16)

b) x=(-b± b2-4ac)/2ax=(-(-10)± (-10)2-4.1.(16))/2.1x=(10± 100-64)/2x=(10±6)/2X1=16/2=8 -> (8,0)X2=4/2=2 -> (2,0)

c) Xv = (-b)/2a=(-(-10))/2.1=10/2.1=5Yv=(-∆)/4a=(-36)/4.1=-95,-9)

d)

e) Im=[-9,+∞)

8) y = x2 – 9Interseção com o eixo y: (0,-9)Interseção com o eixo x: x=( -4.1.(-9))/2.1x=(± 36)/2=±3 -> (-3,0) e (3,0)

Perceba que a união dos pontos forma um triângulo, logo, para calcular a área do triân-gulo, devemos fazer a multiplicação de base e altura e dividir por 2: 6.9/2=3.9=27 u.a.

9) h = 10 + 5t – t2

Para sabermos qual o intervalo de tempo em que o foguete emite luz útil, precisamos igualar a altura a 14 metros. 10 + 5t – t2=1410 + 5t – t2-14=0– t2+ 5t – 4=0t=(-5± 52-4(-1)(-4))/(2(-1))t=(-5± 25-16)/(-2)t=(-5± 9)/(-2)t=(-5±3)/(-2)t=(-5+3)/(-2)=(-2)/(-2)=1t=(-5-3)/(-2)=(-8)/(-2)=4Portanto, emite luz útil entre 1 segundo e 4 segundos, logo o intervalo de tempo é ∆=4-1=3 s.Letra A.

10) Vamos usar a forma fatorada: f(x) = a(x – x1 )(x – x2)As interseções com o eixo x são: (-2,0) e (1,0)f(x) = a(x – [-2] )(x – 1)f(x) = a(x +2)(x – 1)f(x) = a(x2-x+2x-2)f(x) = a(x2+x-2)f(x) = ax2+ax-2aPara descobrirmos qual o valor do a, pode-mos descobrir através do valor do coeficien-te c, que é -4.Perceba que o coeficiente c na forma fatora-da é -2a, então: -2a=-4, a=(-4)/(-2)=2.Logo, a expressão da função quadrática: f(x) = 2x2+2x-4.

11) Percebemos que as interseções com o eixo x são: (0,0) e (10,0)Logo, a forma fatorada é h(t) = a(t – t1 )(t – t2).h(h) = a(t – 0 )(t – 10)h(t) = a(t)(t – 10)h(t) = a(t2 – 10t)fht) = at2 – 10at

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

3

Para descobrirmos o valor do a, substituímos o ponto (1,18) na forma fatorada:h(t) = at2 – 10at 18/(-9)=a18 = a – 10a A=-218=-9a

Logo, a forma fatorada é h(t) = -2t2 +20t.Para descobrir a altura do projétil, basta substituir em t=2.h(2) = -2.22 +20.2 h(2)=32h(2)=-8+40 A altura é 32 metros.

12) y=-x2/36+cComo podemos perceber no gráfico, o ponto de interseção com o eixo y é (0,9), logo c=9. Assim: y=-x2/36+9Para descobrirmos quando a bola toca no chão, fazemos:0=-x2/36+9-x2/36=-9-x2=-324x2=324x= 324x=18 mA bola tocaria o chão atrás do gol, então te-mos que testar qual altura estará quando es-tiver na posição de 16 metros na horizontal. Ou seja, devemos colocar x=16y=-162/36+9 y=-7,11+9y=-256/36+9 y=1,89 m

Como a altura de 1,89m é menor do que a al-tura interna do gol, portanto a bola foi parar dentro do gol.Letra C.

13) y = x2 – 1a) Percebemos que um dos pontos de inter-seção é a primeira raiz da parábola e o se-gundo ponto é (2,y).Para calcular as raízes:x2 – 1=0x2 = 1x= 1x=±1, logo (-1,0) e (1,0), portanto a primeira interseção é (-1,0).O segundo ponto é (2,y):y = 22 – 1 y=3y=4-1 O ponto é (2,3).

Por fim, os pontos são (-1,0) e (2,3).

b) Para encontrar a equação da reta, calcula-mos o coeficiente a utilizando os dois pontos (-1,0) e (2,3):a=(y1-y2)/(x1-x2)=(3-0)/(2-(-1))=3/3=1 Logo: y=ax+by=1x+bPara encontrar o coeficiente b, escolhemos um dos pontos, no caso (-1,0), e substituir:0=1.(-1)+b0=-1+b1=bA equação da reta é y=1x+1.

14) a) y – 5 = x .x – 10 . xy – 5 = x2 – 10xy= x2 – 10x+5Na verdade, devemos calcular Xv= (-b)/2a=(-(-10))/2.1=10/2=5.O valor x=5 torna o y mínimo.

b) Devemos calcularYv=-∆= -[(-10)²-4.1.5]=-[100-20]=-80=-20. 4a 4 4.1 4 O valor mínimo de y é -20.

c) Isso já foi calculado na letra a e b, retirar essa opção.Vértice = (5,-20).

15) V(n) = –4n² + 120n + 10C(x) = – 2n² + 20n+100Lembre-se que lucro= venda – custoL(x)= –4n² + 120n + 10 – [– 2n² + 20n+100]L(x)= –4n² + 120n + 10 +2n² - 20n-100L(x)=–2n² + 100n -90Veja que é pedida a quantidade de unidades, e a unidade faz o papel de x, logo, calcula-se o Xv.Xv= (-b)/2a=(-(100))/(2.(-2))=(-100)/(-4)=25Letra A.

16) O volume é a multiplicação entre x, 20 – x e 2.V(x)=x.(20-x).2V(x)=2x(20-x)V(x)=40x-2x2Como queremos saber o volume e o volu-me é o Yv=(-∆)/4a=(-[(40)²-4.(-2).0])/(4.(-2))= (-[1600])/(-8)=(-1600)/(-8)=200.Letra C.

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

4

17)R(x) = k.x. (P – x)R(x) = kxP – kx²Perceba que a equação é de uma função do segundo grau, então só podemos considerar as opções C e E. Como o coeficiente a é nega-tivo (-k), então só pode ser a opção E.Letra E.

18) R(x) = 44.000kx – kx²O número de pessoas responsáveis pela má-xima rapidez de propagação faz papel de x, então calcula-seXv= (-b)/2a=(-(44.000k))/(2.(-k))=(-44.000k)/(-2k)=22.000Letra B.

19)

Perceba que para o perímetro será 2x + y=20 e a área é A=xy2x + y=20A=xySistema – método da substituição:y=20-2xA(x)=(20-2x)xA(x)=20x-2x2Como se quer saber as dimensões, devemos calcular o Xv=(-b)/2a=(-(20))/(2.(-2))=(-20)/(-4)=5y=20-2.5y=20-10y=10As dimensões são 10 metros de comprimen-to e 5 metros de largura.

20)L = –2q2 + 800q – 60000Para não ter prejuízo, basta que L≥0.–2q2 + 800q – 60000≥0q=(-b± b²-4ac)/2aq=(-800± 800²-4(-2)(-60000))/(2(-2))q=(-800± 640000-480000)/(-4)q=(-800± 160000)/(-4)q=(-800±400)/(-4)q=(-800+400)/(-4)=(-400)/(-4)=100q=(-800-400)/(-4)=(-1200)/(-4)=300

A quantidade de litros para não ter prejuízo é entre 100 e 300 litros, inclusive os extremos.

21) (2 –x)(3x – 18)(x² –16)<0L = 2 – x

Raiz: x=(-b)/a=(-2)/(-1)=2M = 3x – 18Raiz: x=(-b)/a=(-(-18))/3=18/3=6

N = x² –16Raiz: x2-16=0x²=16x²= 16x=±4

Como queremos os valores negativos, então o conjunto de dados éX={x Є IR/-4<x<2 ou 4<x<6}

22) A=x –4 Raiz: x=(-b)/a=(-(-4))/1=4/1=4

B=x² –25Raiz: x²-25=0x²=25x= 25x=±5

C=–x2 + 5x –4, lembre-se que o denominador deve ser diferente de zero.x=(-b± b²-4ac)/2ax=(-5± 5²-4(-1)(-4))/(2.(-1))x=(-5± 25-16)/(-2)x=(-5± 9)/(-2)x=(-5±3)/(-2)x=(-5+3)/(-2)=(-2)/(-2)=1x=(-5-3)/(-2)=(-8)/(-2)=4

Logo, X={x Є IR/x≤-5 ou 1<x<4 ou 4<x≤5}

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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23) Essa é uma inequação com apenas fun-ções do primeiro grau, aconselho retirar.(2x + 3)/(x-1) ≥ 1(2x + 3)/(x-1) -1/1 ≥ 0Tirando o MMC (x-1, 1)=x-1(2x + 3-(x-1))/(x-1)≥ 0(2x + 3-x+1)/(x-1)≥ 0(x + 4)/(x-1)≥ 0A=x+4

Raiz: x=(-b)/a=(-(4))/1=(-4)/1=-4

B=x-1, lembre-se que o denominador deve ser diferente de zero.Raiz: x=(-b)/a=(-(-1))/1=1/1=1

Logo, X={x Є IR/x≤-4 ou x>1}

24) Lembre-se que uma raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.x/1-900/x≥0Tirando o MMC (x, 1)=x(x²-900)/x≥0A=x²-900x²-900=0x²=900X= 900X=±30

B=x, lembre-se que o denominador deve ser diferente de zero.

Logo, D={x Є IR/-30≤x<0 ou x>30}

Aprofundando25) x2 – x – 12 = 0a) S = (-b)/a=(-(-1))/1=1b) P=c/a=(-12)/1=-12c) m+n=1 m.n=-12Método da substituição:n=1-mm(1-m)=-121m –m²=-12-m²+1m+12=0m²-1m-12=0x=(-b± b²-4ac)/2ax=(-(-1)± (-1)²-4.1.(-12)/(2(1))x=(1± 1+48)/2x=(1± 49)/2x=(1±7)/2X1=8/2=4X2=(-6)/2=-3As raízes são 4 e -3.

26) Cuidado, nesse exemplo o coeficiente a=1, b=a e c=b P=b/1, P=bS = (-a)/1, S = -a S/P=(-a)/b=(-a)/bLetra C.

27) Letra D

28)Como o erro é no termo constante, no caso o c, então ele erra no produto das raízes:P=c/a=c/1=4x6=24, c=24Mas a soma das raízes está correta, então descobrimos o b:S = (-b)/a=(-b)/1=4+6=10, b=-10O outro aluno comete o erro no termo do primeiro grau, então o erro é no b, então ele erra na soma das raízes:S = (-b)/a=(-b)/1=-2+(-5)=-7, b=7Mas o produto das raízes está correto, então descobrimos o c:P=c/a=c/1=(-2)x(-5)=10, c=10Logo, a equação é x²-10x+10=0Letra B.

29)x² + 57 x – 228 = 01/x1 +1/x2 =

Devemos tirar o MMC (x_(1,x_2 ))= x_(1.x_2 )x2+x1 = Soma das raízes = -57/1 = -57 . 1 = 1 x1.x2 Produto das raízes -228/1 1 -228 4Letra B.

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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30)Valor da parcela: 120/n, sendo n o número de pessoas.Novo valor do jogo: 140/(n-5)Novo valor = valor antigo +4120/(n-5)=120/n+4120n=120(n-5)+4n(n-5)120n=120n – 600 +4n²-20n4n2-20n-600=0n=(-b± b²-4ac)/2an=(-(-20)± (-20)²-4(4)(-600))/(2(4))n=(20± 400+9600)/8n=(20± 10.000)/8n=(20±100)/8n=120/8=15n=(-80)/8=-10 (não pode considerar, pois é negativo!)15 pessoas. Logo, 10 amigo efetivamente compraram o jogo.

31)a) Valor do serviço recebido por pessoa: 10800/n, sendo n o número de pessoas.Novo valor do serviço: 10800/(n-3)Novo valor = valor antigo +60010800/(n-3)=10800/n+60010800n=10800(n-3)+600n(n-3)10800n=10800n – 32400 +600n²-1800n (:100)108n=108n – 324 +6n²-18n6n²-18n-324=0n=(-b± b²-4ac)/2an=(-(-18)± (-18)²-4(6)(-324))/(2(6))n=(18± 324+7776)/12n=(18± 8100)/12n=(18±90)/12n=108/12=9n=(-72)/12=-6 (não pode considerar, pois é negativo!)9 pessoas, como 3 desistiram, então foram 6 pessoas que fizeram o serviço.b) Novo valor do serviço: 10800/(9-3)=10800/6=R$1800,00

32)O ideal seria colocar no Praticando, no iní-cio do capítuloH=(-t²)/160+t/2Como t=40, entãoH=(-40²)/160+40/2H=(-1600)/160+20h=-10+20h=10 metros.

33)s(t)=(100t²)/(1+4t)a)s(1)=(100.1²)/(1+4.1)=100/5=20 spamsb) 144=(100t²)/(1+4t)144(1+4t)=100t²144+576t=100t²100t²-576t-144=0 (:5)25t²-144t-36=0t=(-b± b²-4ac)/2at=(-(-144)± (-144)²-4.25.(-36))/2.25t=(144± 20736+3600)/50t=(144± 24336)/50t=(144±156)/50t=(144+156)/50=6t=(144±156)/50 (não precisa fazer, pois dará um número negativo)6 minutos.

34)Letra D

35) a) y = 2x² – 16x + 14Interseção com o eixo x:x=(-(-16)± (-16)²-4.2.14)/2.2x=(16± 256-112)/4 x=(16± 144)/4x=(16±12)/4x=(16+12)/4=28/4=7 – (7,0)x=(16-12)/4=4/4=1 – (1,0)Interseção com o eixo y(0,14)Vértice: (4,-18)Xv = (-b)/2a=(-(-16))/2.2=16/4=4Yv=(-∆)/4a=(-144)/4.2=(-144)/8=-18Conjunto imagem: Im=[-18,+∞[

b) y= –2x² + 8x – 6; Interseção com o eixo x:x=(-b± b²-4ac)/2a x=(-8± 8²-4(-2).(-6))/(2(-2))x=(-8± 64-48)/(-4)x=(-8± 16)/(-4)x=(-8±4)/(-4)x=(-8+4)/(-4)=(-4)/(-4)=1 – (1,0)x=(-8-4)/(-4)=(-12)/(-4)=3 – (3,0)Interseção com o eixo y(0,-6)Vértice: (2,2)Xv = (-b)/2a=(-8)/(2.(-2))=(-8)/(-4)=2Yv=(-∆)/4a=(-16)/(4.(-2))=(-16)/(-8)=2

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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Conjunto imagem: Im=[-∞,2[

c) y=–3x2 + 6x; Interseção com o eixo x:–3x² + 6x= 3x(-x+6)=03x=0X=0 – (0,0)-x+6=0-x=-6X=6 (6,0) Interseção com o eixo y: (0,0)Vértice: (1,3)Xv = (-b)/2a=6/(2.(-3))=(-6)/(-6)=1Yv=(-∆)/4a=(-(b²-4ac))/(4.(-3))==(-(6²-4(-3)0))/(-12)=(-(36))/(-12)=3Conjunto imagem: Im=[-∞,3[

d) y= –x² + 5; Interseção com o eixo x:–x² + 5=0–x² =-5x² = 5x=± 5(- 5,0)( 5,0)Interseção com o eixo y: (0,5)Vértice: (0,5)Xv = (-b)/2a=0/(2.(-1))=0Yv=(-∆)/4a=(-(b²-4ac))/(4.(-1))=(-(0-4(-1)5))/(-4)=(-(20))/(-4)=5Conjunto imagem: Im=]-∞,5]

e) y= x2 –x + 1. Interseção com o eixo x:x=(-b± b²-4ac)/2ax=(-(-1)± (-1)²-4.1.1)/2.1x=(1± 1-4)/2x=(1± -3)/2= Não terá raízes reaisInterseção com o eixo y: (0,1)Vértice: (1/2,3/4)Xv = (-b)/2a=(-(-1))/(2.(1))=1/2Yv=(-∆)/4a=(-(-3))/(4.(1))=3/4Conjunto imagem: Im=[3/4,+-∞[

36) a) Para tornar o lucro zero, devemos en-contrar as raízes. Uma delas é vista no gráfi-co que é 100.

A outra raiz é encontrada através do Xv=(x1+x2)/2300=(100+x2)/2600=100+x2X2=600-100X2=500

b) Quando x<100 ou x>500 tornam o lucro negativo.

c) Precisamos encontrar a função quadrática:Interseções com o eixo x: (100,0) e (500,0)Pela forma fatorada: f(x) = a(x -100)(x – 500)Para descobrir o a, devemos aplicar o ponto (300, 800) na formaf(x) = a(x -100)(x – 500)800 = a(300 -100)(300– 500)800 = a(200)(–200)A=800/(-40000)A=(-1)/50Logo a função quadrática é f(x) = (-1)/50 (x -100)(x – 500)Como ele quer saber quantas peças vendi-das para um lucro de 350 reais, f(x)=350350 = (-1)/50 (x -100)(x – 500)350/((-1)/50) = (x -100)(x – 500)350.(-50)/1=(x -100)(x – 500)-17500=(x -100)(x – 500)-17500= (x² – 500x -100x +50000)-17500= x² – 600x +50000x² – 600x +50000+17500=0x² – 600x +67500=0x= (-(-600)± (-600)²-4(1)67500)/2.1x= (600± 360000-270000)/2x= (600± 90000)/2x= (600±300)/2x= (600+300)/2=450x= (600-300)/2=150

Caso sejam vendidas 150 ou 450 peças, o lu-cro será de 350 reais.

37) L(x) = −x² + 12x – 20Percebe-se que o lucro faz o papel de y, como queremos saber quantos bonés terão em cada pacote, devemos calcular o Xv:Xv = (-b)/2a=(-(12))/(2.(-1))=(-12)/(-2)=6Letra B.

39) Letra A.

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

8

40) Perceba que o coeficiente a é positivo, logo ficamos entre as opções A, C e E.Como o coeficiente c é negativo, só pode ser a opção A.Letra A.

41) y = 2x² – 5x + cÉ fácil descobrir o valor de c, ele é a coorde-nada y da interseção com o eixo y, logo c=2y = 2x2 – 5x + 2Xv = (-b)/2a=(-(-5))/(2.(2))=5/4Yv=(-∆)/4a=(-(b²-4ac))/(4.(2))(-((-5)²-4(2).2))/8=(-(25-16))/8=(-9)/8Letra A.

42) y= (-1)/7x²+8/7x+2Como é dado que a cesta está a 3 metros do chão, então o ponto da cesta é (x,3)3= (-1)/7x²+8/7x+2(-1)/7x²+8/7x+2-3=0(-1)/7x²+8/7x+-1=0MMC(7,1)=7-x²+8x-7=0x= (-8± 8²-4(-1).(-7))/(2(-1))x= (-8± 64-28)/(-2)x= (-8± 36)/(-2)x= (-8±6)/(-2)x= (-8+6)/(-2)=(-2)/(-2)=1x= (-8-6)/(-2)=(-14)/(-2)=7 Perceba que temos duas respostas, mas a que utilizaremos é 7 metros, pois a Ditância de 1 metro é quando a bola está subindo.

43) Percebemos que as interseções com o eixo x são A(-4,0) e C(4,0).Ao utilizara forma fatorada:f(x) = a(x +4)(x – 4)O ponto C(0;5,6) é aplicado na forma fatora-da5,6 = a(0 +4)(0 – 4)5,6=-16a56/10.(-1)/16=a(-7)/20=aLogo a forma fatorada é f(x) = (-7)/20 (x +4)(x – 4)Para descobrirmos a distância do ponto P ao eixo Oy:2,45 = (-7)/20 (x +4)(x – 4)245/100 = (-7)/20 (x +4)(x – 4)245/5 = -7(x +4)(x – 4)49=-7(x +4)(x – 4)

49: (-7)=(x +4)(x – 4)-7=(x +4)(x – 4)-7=x²-16x²-16+7=0x²-9=0x²=9x= 9x=+3 ou x=-3Ou seja, a distância é de 3 metros.

44) Percebemos que a interseção com o eixo x é O(0,0)Ao utilizar a forma fatorada:f(x) = a(x -0)(x – 0)f(x)=ax²Percebemos os seguintes pontos: (-500, 200) e (500,200)Para descobrir o a:200=a.500²200=250000a2=2500aA=2/2500A=1/1250A equação da parábola é f(x)=1/1250x²b) O ponto E(x,72)72=1/1250x²72: 1/1250=x²90.000=x²x=√90.000x=300 (pois está no lado positivo)Como OC é 500 e FO é 300, FC=500-300=200m.

45) f (x) = – x² + ax + bComo tem uma raiz nula, logof (0) = – 0² + a0 + b0 = – 0² + a0 + bB=0Quando é dito que o máximo é x=3, então Xv=3Xv = (-a)/(2(-1))=(-a)/(-2)=3(-a)/(-2)=3a/2=3A=6.

46)Equação da reta: y=ax+bVeja que b=2Para encontrar o a devemos pegar os pon-tos: (0,2) e (1,4)

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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A=(y1-y2)/(x1-x2)=(4-2)/(1-0)=2/1=2Equação da reta: y=2x+2Parábola: f(x)=a(x-x1)(x-x2)Como a interseção com o eixo x é (3,0), entãof(x)=a(x-3)(x-3)Para descobrir a devemos pegar um ponto (1,4)f(x)=a(x-3)(x-3)4=a(1-3)(1-3)4=a(-2)(-2)4=4aA=1Parábola: f(x)= 1(x-3)(x-3)

Como as duas funções se cortam, então: y=2x+2f(x)= 1 (x-3)(x-3)2x+2= 1(x-3)(x-3)2x+2=(x-3)(x-3)2x+2=x²-3x-3x+92x+2=x²-6x+9x²-6x+9-2x-2=0x²-8x+7=0x= (-(-8)± (-8)²-4(1).(7)/(2(1))x= (8± 64-28)/2x= (8± 36)/2x= (8±6)/2x= (8+6)/2=14/2=7x= (8-6)/2=2/2=1 Para sabermos o ponto B, devemos substi-tuir x=7 em uma das equações (da reta ou da parábola), pois x=1 é do ponto (1,4)y=2.7+2y=14+2y=16B(7,16)

47) y = x + b y = x² + 2x x + b=x² + 2xx² + 2x – x – b=0x² + x –b=0∆=b²-4ac∆=1²-4.1.(-b)∆=1+4b

a) Tangente – um único ponto de corte1+4b=04b=-1B=(-1)/4

b) Secante – dois pontos de corte1+4b>04b>-1B>(-1)/4

48) y = 4x2 + x + 1Para calcular o valor máximo de y, devemos calcular Yv:Yv=(-∆)/4a=(-(1^2-4(4)(1))/(4.(4))=(-(1-16))/16=(-(-15))/16=15/16

49) y + 20 x – 1 = 2x²y = 2x²- 20 x + 1Para calcular o valor de x que torna máximo y, devemos calcular Xv:Xv = (-b)/2a=(-(-20))/(2.(2))=20/4=5

50)h(t) = 3t – 3t²a) Para retornar ao solo, h(t)=03t – 3t²=03t(1-t)=03t=0T=01-t=0 (sai do solo)-t=-1T=1 (instante 1 segundo)

b)Para achar o tempo para atingir a altura máxima, bata calcular o Xy, pois o tempo está no lugar do x:Xv = (-b)/2a=(-(3))/(2.(-3))=(-3)/(-6)=1/2 (meio segundo)

c)Para achar a altura máxima, bata calcular o Yy, pois a altura está no lugar do y:Yv=(-∆)/4a=(-(3²-4(-3)(0))/(4.(-3))=(-(9))/(-12)=3/4= 0,75 metros

51) C(x) = mx² + nx + pI) Com essa afirmação, sabemos que p=80, C(x) = mx² + nx + 80

II) é o ponto (30,50)50 = 30²m + 30n + 8050=900m+30n+80900m+30n+80-50=0900m+30n+30=0 (:30)30m+n+1=0

III) é o ponto (50,130)130 = 50²m + 50n + 80130 = 2500m + 50n + 80

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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2500m + 50n + 80 – 130=02500m+50n-50=0 (:50)50m+n-1=0Sistema30m+n+1=0 ---- 30m+n=-1 ----- n=-1-30m50m+n-1=0---- 50m+n=1Método da substituição:50m+n=150m-1-30m=120m=2M=1/10n=-1-30.1/10n=-1-3n=-4LogoC(x) = 1/10x² -4x + 80

a)Devemos achar o Xv, pois queremos saber quantas peças para o custo ser mínimoXv = (-b)/2a=(-(-4))/(2.(1/10))=4/(2/10)=4.10/2=20 peças!

b)Devemos achar o Yv, pois queremos saber o custo mínimo:Yv=(-∆)/4a=(-((-4)²-4(1/10)(80))/(4.(1/10))=(-(16-32))/(4/10)=(-(-16))/(2/5)= 16/(2/5)=16.5/2=40 reais

52) Área do quadrado =a²Sistemaa²=b²+c²b + c = 10--- b=10-cMétodo da substituição:a²=(10-c)²+c²a²=100-20c+c²+c²a²=100-20c+2c²Como queremos saber a, b e c para a área ser mínima, vamos calcular o Xv, pois c está no lugar do x:Xv = (-b)/2a=(-(-20))/(2.(2))=20/4=5Logo c=5 cm, b=10-c, b=10-5, b=5 cma²=5²+5²a²=25+25a²=50A= 50A=5 2 cm

53) 5x² – 2x + 1 < 4x² + 4x – 7.5x² –4x² - 2x -4x + 1 +7< 0x²-6x+8<0x= (-(-6)± (-6)²-4(1).(8))/(2(1))

x= (6± 36-32)/2x= (6± 4)/2x= (6±2)/2x= (6+2)/2=4 – (4,0)x= (6-2)/2=2 – (2,0)X={x Є IR/2<x<4}

54) ((x – 4)(x² – 25) )/(–x² + 5x –4)≥ 0Lembre-se que o denominador deve ser di-ferente de zeroa) x-4=0 x=4

b) x² – 25=0x²= 25X= 25X=±5

c) –x² + 5x –4=0x= (-(5)± (5)²-4(-1).(-4))/(2(-1))x= (-5± 25-16)/(-2)x= (-5± 9)/(-2)x= (-5±3)/(-2)x= (-5+3)/(-2)=(-2)/(-2)=1x= (-5-3)/(-2)=(-8)/(-2)=4Lembre-se que o denominador deve ser di-ferente de zeroX={x Є IR/x≤-5 ou 1<x<4 ou 4<x≤5 }

55) C = 5 + 10nV = –5n² + 100n – 320L= V- CL= –5n² + 100n – 320 – (5 + 10n)L= –5n² + 100n – 320 – 5 - 10nL= –5n² + 90n – 325 (:5)L= –n² + 18n – 65 n= (-(18)± (18)²-4(-1).(-65))/(2(-1))n= (-18± 324-260)/(-2)n= (-18± 64)/(-2)n= (-18±8)/(-2)n= (-18+8)/(-2)=(-10)/(-2)=5n= (-18-8)/(-2)=(-26)/(-2)=13Para ter lucro, n deve estar 5<n<13.

b)L= –n² + 18n – 65 Para calcular o valor de n para ter lucro máximo, devemos calcular Xv, pois n está no lugar do x

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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Xv = (-b)/2a=(-(18))/(2.(-1))=(-18)/(-2)=9N=9Para calcular o lucro máximo, devemos fazer Yv, pois o lucro está no lugar do yLucro máximo = 80 reais

56) j(x)=(g(x)h(x) )/(f(x))≥0f(x) = x² – 2x + 1x= (-(-2)± (-2)²-4(1).(1))/(2(1))x= (2± 4-4)/2 x= (2± 0)/2x= 2/2=1

g(x) = 5 – x -x=-5X=5

h(x) = x² – 4x + 3x= (-(-4)± ((-4)²-4(1).(3))/(2(1))x= (4± 16-12)/2x= (4± 4)/2x= (4±2)/2x= (4+2)/2=3x= (4-2)/2=1Lembre-se que o denominador deve ser di-ferente de zeroX={x Є IR/x<1ou 3≤x≤5 }. Letra B.

57) x/(X+3)-1/(x-1)<1x/(X+3)-1/(x-1) - 1/1<0MMC(x+3,x-1,1)=(x-3)(x-1)(x(x-1))/((x+3)(x-1))–1(x+3)/((x+3)(x-1)) - (1(x+3)(x-1))/((x+3)(x-1))<0(x²-x-x-3-(x²-x+3x-3))/((x+3)(x-1))<0(x²-2x-3-x²+x-3x+3)/((x+3)(x-1))<0 (-4x)/((x+3)(x-1))<0

a)-4x=0X=0

b)x+3=0x=-3

c) X-1=0X=1Lembre-se que o denominador deve ser di-ferente de zeroX={x Є IR/-3<x<0 ou x>1}Letra B.

58) 2/n² <(-2)/(9-6n)2/n² -(-2)/(9-6n)<0MMC(n², 9-6n)=n² (9-6n)(2(9-6n)-(-2n²))/(n² (9-6n))<0(18-12n+2n²)/(n² (9-6n))<0

a)18-12n+2n²=0x= (-(-12)± (-12)²-4(2).(18))/(2(2))x= (12± 144-144)/4x= (12± 0)/4x= 12/4=3

b)n²=0N=0

c) 9-6n=0-6n=-9N=3/2Lembre-se que o denominador deve ser di-ferente de zeroLembre-se que o conjunto dado como domí-nio é IN+, logo qualquer número acima de 1 dará a função negativa, pois 3/2 não é um número naturalLetra A.

59)a) Não podemos multiplicar o 5 por x-1, pois não sabemos se x-1 é positivo ou negativo.b) (2x+3)/(x-1)>5(2x+3)/(x-1)-5>0(2x+3-5(x-1))/(x-1)>0(2x+3-5x+5)/(x-1)>0(-3x+8)/(x-1)>0

-3x+8=0-3x=-8X=8/3

x-1=0x=1

S={x Є IR/1<x<8/3}.

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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60) Lembre-se que o denominador deve ser diferente de zeroX={x Є IR/x≤1 ou 2<x≤3}Letra A.

Desafiando61)

Os triângulos OAB e CPB são semelhantesOA/OB=CP/PB

OA/3=q/(3-p)

3q=OA(3-p)

Sendo OA=d

Como o produto de p x q é mencionado, então P x q e q=d/3 (3-p)

P x d/3 (3-p)

P x d/3 (3-p)

Pd - d/3p²

Perceba que temos uma função do segundo grau, pois p é variável e d fixo.Y=Pd - d/3p²

O máximo dessa função é 4,5. Yv=(-∆)/4a=4,5(-(d²-4.d/3.0))/(4 d/3)=4,5

(-(d²-0))/(4 d/3)=4,5

(-(d²-0))/(4 d/3)=9/2

4 d/3.9=-2d²4.d.3=-2d²12d=2d² (:2d)6=d

O triângulo OAB é retângulo

AB²=OA²+OB²AB²=d²+3²AB²=6²+3²AB²=36+9AB²=45AB= 45AB=3 5Letra C.

62)

a) Perímetro da semicircunfe-rência: πxPerímetro da área retangular: 2x+2y

Assim πx+2x+2y=4Colocando em função de x:Y=(4-πx-2x)/2

Área da semicircunferência:(πx²)/2 Área do retângulo: 2xyÁrea total: (πx²)/2 +2xySubstituindo y na área total(πx²)/2 +2x(4-πx-2x)/2=AT(πx²)/2 +x(4-πx-2x)=AT(πx²2)/2 +4x-πx²-2x²=AT-(πx²)/2 +4x-2x²=AT(-π/2-2)x² +4x=AT-(π/2+2)x² +4x=AT

b)Temos uma equação do segundo grau e, portanto, o valor de x quando a área for má-xima é o XvXv = (-b)/2a=(-(4))/(2.-(π/2+2))=(-4)/(-2(π/2+2))=2/((π/2+2))=2/(((π+4)/2))=2.2/(π+4)=4/(π+4)

63)y = –x²+ 6x – 1Xv = (-b)/2a=(-6)/(2.(-1))=(-6)/(-2)=3Yv=(-∆)/4a=(-(6²-4(-1)(-1))/(4.(-1))=(-(36-4))/(-4)=(-(32))/(-4)=8

A função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo com duas raízes positivas

Antes do vértice a função pode ter 7 valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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Depois do vértice: 7 valoresNo vértice: 1 valor

15 valores!

64)S1= a1 t² + b1t, veja que o coeficiente c=0Colocando na forma fatorada, pois as inter-seções com o eixo x são: (0,0) e (t1,0)S1=a1(t-0)(t-t1)S1=a1(t)(t-t1)

S2 = a2t² + b2t, veja que o coeficiente c=0Colocando na forma fatorada, pois as inter-seções com o eixo x são: (0,0) e (2t1,0)S2=a2(t-0)(t-2t1)S2=a2(t)(t-2t1)

Perceba que o Yv é igual para os dois, ou seja:S1(t1/2)=S2(t1)=h

a1(t1/2)(t1/2-t1)=a2(t1)(t1-2t1)a1/a2=((t1)(t1-2t1))/((t1/2)(t1/2-t1))a1/a2=((t1)(-t1))/((t1/2)(-t1/2))a1/a2=(-1(t1)(t1))/(-1(t1/2)(t1/2))a1/a2=((t1)(t1))/((t1/2)(t1/2))a1/a2=t1²/(t1/2)² a1/a2=t1²/(t1²/4)a1/a2=t1².4/t1² a1/a2=4Letra C

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2o GRAU E SUAS APLICAÇÕES

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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Praticando 1) 2)3x-1= 16)2x-1

2(3x-1)/2=(24)(2x-1)/3

(3x-1)/2=4.(2x-1)/3(3x-1)/2.4= (2x-1)/3(3x-1)/8= (2x-1)/38(2x-1)=3(3x-1)16x-8=9x-316x-9x=-3+87x=5X=5/7

b) 3x.32-3x/31 =26Substituindo 3x=y32.y - y/3=26

9/1.y - y/3=26/1Tirando o MMC(3,1)=33.9y – y = 26.327y – y = 26.326y= 26.3Y=3Logo, como 3x=y, então3x=33x=31

X=1

2) F(4)=2.34=2.81=162

3) f(8)=2t+2+75F(8)=28+2+75F(8)=210+75F(8)=1024 +75 =1099

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Funções: exponenciais e logarítmicas

Conteúdo:• Equação Exponencial;• Função Exponencial;• Inequação Exponencial;• Definição de Logaritmos;• Sistema de Logaritmo decimale neperiano;• Propriedades dos Logaritmos;• Mudança de base;• Equação Logarítmica;• Função Logarítmica;• Inequação Logarítmica.

Objetivos de aprendizagem:• Revisar conceitos de potenciação;• Entender a representação algébrica e gráfica de uma função exponencial;• Compreender a formação do logaritmo e sua relação com a potenciação;

• Perceber o processo de estruturação de uma função logarítmica, baseada na exponencial;• Representar e resolver equações, inequações e funções exponenciais e logarítmicas.

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AT05

FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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4) Vamos considerar 1992 o ano zero, então:P(t)=112.000 x 2t

R(t)=7.000 x 4t

112.000 x 2t=7.000 x 4t

112 x 2t=7 x 22t

112/7=22t/2t 16=22t-t

16=2t

24=2t

T=41992 – ano zero1993 – ano 11994 – ano 21995 – ano 3Resposta: 1996 – ano 4

5) “A cada dia o número de caramujos é igual a 3/2 do número de caramujos do dia ante-rior.”Ao montar a função, nós temos:P(t)=1000(3/2)t

Como a base é maior do que 1, temos uma função exponencial crescenteLetra A.

6) Perceba que se passou 1,5h, então como o período de meia-vida é de 1h, então precisa-mos saber qual é o ponto de 1,5 meias-vidas.Basta olhar no gráfico quando se passar 1,5 número de meias-vidas, que é o percentual de 35%Letra D.

7) Corrigir a função: F(x)= k ax

a) Perceba que o gráfico é de uma função crescente:F(x)= k ax

Basta substituir os pontos na função:(1,3)3= k a1

3=ka(2,9/2)9/2= k a2

9/2= k a.aSubstituir ka=39/2=3.a9/2 : 3 =a9/2 x 1/3=a3/2=aLogo k seráka=3k3/2=3k=3 : 3/2k=3 x 2/3k=2

b) F(x)= 2 (3/2)x

F(0)= 2 (3/2)0

F(0)= 2 x 1F(0)= 2

8) Y=363e0,03x

X=0 - ano 2000 – população de 363 milhões de habitantesX=1 - ano 2001 X=? – ano 20302030 – 2001 +1 = 30, logo x=30Y=363e0,03.30

Y=363e(3/100.30)

Y=363e(3/10.3)

Y=363e0,3.3

Y=363(e0,3)3

Y=363(1,35)3

Y=363 x 2,46 Y=892,98Y=893Letra E.

9)F(d)=100 - 100e-0,2d

87=100 - 100e-0,2d

87-100= - 100e-0,2d

-13 = - 100e-0,2d(-1)13 = 100e-0,2d

13/100 = e-0,2d

0,13 = e-0,2d

0,13 = e-2/10 d

Perceba que conseguimos ver no gráfico o valor de 0,13 está associado a -2, logo temos e-2=0,13.

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

17

Portanto, e-2= e-2/10 d

-2 = -2/10 d(-1)2 = 2/10 d2 : 2/10=d2 x 10/2=dD=10Letra B.

10) (26)(5x-1)≥ 3 (25)x

(26)(5x-1)≥ 3 25x

(26)(5x-1)≥ 25x/3

(2)6(5x-1)≥ 25x/3

Como a base é a>1, então mantemos o sinal da desigualdade6(5x-1)≥5x/330x – 6 ≥5x/33(30x – 6) ≥5x90x – 18 ≥5x90x – 5x ≥1885x ≥18x≥18/85S={x ЄIR/x≥18/85}

11)log71=0log 2 2=1log0,50,0625=log5/10625/1000=log5/105

4/104 =log5/10(5/10)4 =4 log5/105/10=4.1=4log2 8=log2 23=log22

3/2=3/2.1=3/2log 328=log 2523 =log25/2 23 =3/(5/2) log2 2=3/(5/2) .1=3.2/5=6/5S = 0 + 1 + 4 + 3/2 + 6/5=5/1+3/2 + 6/5MMC(1,2,5)=105/(1/10)+3/(2/5) + 6/(5/2)=(5.10+3.5+6.2)/10=(50+15+12)/10=77/10=7,7S=7,7

12) log28=log223=3log22=3.1

log10=1eln5 =eloge5 =5log28+ log10+ eln5 =3+1+5=9

13) log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4

a) log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3 = 0,3 + 0,4 = 0,7

b) log 14,4 = log 144/10= log 144 – log 10 = log 122 – 1= 2 log12 -1 = 2 log (22.3) – 1=2[log 22 + log 3] – 1 = 2[2log 2 + log 3] – 1 =2[2log 2 + log 3] – 1 =2[2.0,3 + 0,4] – 1 = 2[0,6+0,4]-1=2[1]-1=2-1=1

c) log 150Devemos fatorar 150 = 2 x 3 x 52

Log (2 x 3 x 52) = log 2 + log 3 + log 52=0,3 + 0,4 + 2 log 5Lembre-se que log 5 = log 10/2, então0,3 + 0,4 + 2 log 5=0,7 + 2 log 10/2=0,7 + 2[log 10 – log 2]= 0,7 + 2[1-0,3]=0,7 + 2[0,7]=0,7+1,4=2,1

14)X=1, logo log31=0X=3, logo log33=1X=4, logo log34=log32

2 =2log32=2 x 0,631 = 1,262X=5, logo log35=log310/2=log310- log32= 2,096 – 0,631=1,465X=6, logo log36=log3(2.3)=log32 + log33=0,631 + 1 = 1,631Soma = 0 + 1 + 1,262 + 1,465 + 1,631 = 5,358Letra C.

15)30 gigabytes = p x 230 bytes30 x 109 = p x 230

Aplicando logaritmo na base dez, pois é o que temos na tabela:Log 30 x 109= log p x 230

Log 30 + log 109= log p + log 230

Log (3 x 10) + 9log 10 = log p + 30 log 2Log 3 + log 10 + 9log 10 = log p + 30 log 2Log 3 + log 10 + 9log 10 = log p + 30 log 2

Olhando a tabela:0,477 + 1 + 9 x 1 = log p + 30 x 0,3011,477 + 9 = log p + 30 x 0,30110,477 = log p + 9,03Log p = 10,477 - 9,03Log p = 1,447 = 1 + 0,477 = log 10 + log 3 = log 10 x 3 = log 30Log p = log 30P=30

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

18

16)a) log2(x + 1) + log2(x – 1) = 4 log2(x + 1)(x – 1) = 424=(x + 1)(x – 1)24=x2 – 116+1=x2

x2=17x=± 17Lembre-se da condição de existênciax+1>0x>-1x-1>0x>1Portanto só usaremos + 17.

b) log² x – 3 .log x = – 2log x = yAssim,Y2-3y=-2Y2-3y+2=0y=(-(-3)± (-3)2-4.1.2)/2.1=(3± 9-8)/2=(3± 1)/2Y1=(3+1)/2=2Y2=(3-1)/2=1Lembre-se que log x = ylog x = 2, onde 102=x, x=100log x = 1, onde 101=x, x=10Lembre-se da condição de existência, onde x>0, portanto as duas respostas servem: 10 e 100.

17) — Qual é o número, maior que a uni-dade, cujo logaritmo decimal da sua raiz quadrada é igual à raiz quadrada do seu logaritmo decimal?log x= logxLog x1/2 = (logx)1/2

1/2 logx=(logx)1/2

Log x = y1/2 y=(y)1/2

y/2=(y)1/2

Vou elevar ao quadrado dos dois ladosy/2)2=(y)1/2)2

y2/4=yY2=4yY2-4y=0Y(y-4)=0Y=0 ou y-4=0, y=4Como Log x = yLog x = 0, onde 100=x, x=1Log x = 4, 104=x, x=10000Lembre-se da condição de existência, onde x>0, portanto as duas respostas servem: 1 e 10000.

18)Lembre-se que ele fala que a taxa é para cada 2 anos, por isso quando usarmos o tempo, colocaremos t/2.

Rendimento = 5000(1+0,28)t/2

Desvalorização = 40000(1-0,19)t/2

Para comprar o carro, o rendimento deve ser igual a desvalorização:5000(1+0,28)t/2=40000(1-0,19)t/2 (:100)5(1+0,28)t/2=40(1-0,19)t/2 (:5)(1+0,28)t/2=8(1-0,19)t/2

(1,28)t/2=8(0,81)t/2

(1,28)t/2/(0,81)t/2 =81,28/0,81)t/2=8Aplicando logaritmo na base dez, pois é a mesma base dos valores dados.log(1,28/0,81)t/2= log 8t/2 log 1,28/0,81 = log 8t/2 log (128/100)/(81/100) = log 8t/2 log(128/100 x 100/81)= log 8t/2 log(128/81)= log 8Vamos fatorar 128 = 27, 81=34 e 8=23t/2 log(27/34)= log 23

t/2 (log27-log34)= 3log 2t/2 (7 log2-4 log 3)=3log 2t/2 (7 x 0,3-4 x 0,48)= 3 x 0,3t/2 (2,1-1,92)= 0,9t/2 (0,18)= 0,9t/2= 0,90/0,18t/2= 10/2T=10 anos

19) h(i) = log(100,7 . i)h(10) = log(100,7 . 10)h(10) = log(107/10.101/2)Lembre-se da propriedade das potências!h(10) = log(107/10+1/2)7/(10/1)+1/(2/5)=(7+5)/10=12/10h(10) = log(1012/10)h(10) = 12/10log 10h(10) = 12/10 x 1h(10) = 12/10 =1,2Letra D.

20)Como é dito que “o nível de toxidez To, cor-respondente a dez vezes o nível inicial”, en-tão devemos fazer com que t(x)=To/10T(x) = To . (0,5)0,1x

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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To/10 = To . (0,5)0,1x

1/10 = (0,5)0,1x

Aplicando logaritmo na base dez porque é a mesma base do logaritmo dado:log 1/10 = log (0,5)0,1x

log 1/10 =0,1x log (0,5)Log 1 – log 10 = 0,1x log (5/10)0 – 1 = 0,1x log (1/2)– 1 = 0,1x (log 1 – log 2)– 1 = 0,1x (0 – 0,3)– 1 = 0,1x (– 0,3) x (-1)1 = 0,1x (0,3)1 = 0,03x 1/(0,03)=x1/(3/100)=x1/1 x 100/3=xX=33,3 diasLetra C.

21)Como queremos saber o log M em função de log L, aplicamos logaritmo:logM = log (a x L³)logM = log a + log L³logM = log a + 3log LAo obter essa expressão, percebemos que quando é dito que log M em função de log L, vemos que:Log M faz papel de yLog L faz papel de xLog a = constante, ou seja, um número. Logo faz o papel do B na função do primeiro grau:logM = log a + 3log Ly = b + 3xTemos uma função do primeiro grau, por isso ficamos em dúvida em as opções III e IV.Como o coeficiente a é positivo, no caso, a=3, então a função afim é crescente, logo:Letra C.

22)y = log xx = 2 –– y = log 2x = 3 –– y = log 3Primeiro retânguloBase=3 - 2 = 1 e altura=log 2Área=1 .log 2Segundo retânguloBase=4 - 3 = 1 e altura=log 3.Área=1 .log 3Soma das áreas:

AT = (1 .log 2) + (1 . log 3) = log 2 + log 3AT = log 2 + log 3

AT = log 2 + log 3 = log (2 . 3) = log 6 Letra E.

23)a)25)x=27

Como as bases são iguais:5x = 7 X=7/5

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Quando é dito que “os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente” significa que para vola-tizar m=0 Devemos ter bases iguais, por isso, consulta-

mos a tabela e vemos 10=e2,3

a) Substituir os pontos (1,15) e (2,45) na funçã

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

30

Dos gráficos, o que corresponde a função ex-ponencial com base maior do que zero é

Perceba que conseguimos visualizar o ponto (2,3), que é a interseção entre as funções.

56)

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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FUNÇÕES: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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ESTABELECENDO POSSIBILIDADES ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

33

Praticando 1)Cetáceos = 2Primatas = 20Roedores = 33Princípio multiplicativo = 2 x 20 x 33 = 1320Letra A.

2) Primeira opção: a – b – cPrincípio multiplicativo4 x 3 = 12Segunda opção: a – d – cPrincípio multiplicativo5 x 2 = 10Princípio Aditivo: 12 + 10 = 22.

3)Aconselho colocar no enunciado que o últi-mo dígito é múltiplo de 5, por exemplo:“Juca esqueceu a sua senha, mas lembra que seu último dígito é um múltiplo de 5.”

Começar pelo quarto dígito, que é uma restrição:

1 dígito 2 dígito 3 dígito 4 dígito

10 opções 10 opções 10 opções 2 opções: 0 ou 5

Princípio multiplicativo: 10 x 10 x 10 x 2 = 2000Letra D.

4) Cores azul, branco e preto

3 opções2 opções, pois não podemos escolher a

cor escolhida na listra superior2 opções, pois não podemos escolher a

cor escolhida na listra superior2 opções, pois não podemos escolher a

cor escolhida na listra superior2 opções, pois não podemos escolher a

cor escolhida na listra superior

Princípio multiplicativo: 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 48

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Estabelecendo Possibilidades Através da Análise Combinatória

Conteúdo:• Ângulos;• Paralelas cortadas por uma Transversal;• Polígonos;• Triângulos;• Cevianas e Pontos Notáveis do triângulo;• Quadriláteros.

Objetivos de aprendizagem:• Assimilar a importância do processo de tomada de decisões e princípios multiplicativos;• Apresentar a operação fatorial e o seu funcionamento;• Introduzir o Princípio Fundamental da Contagem como base para a Análise Combinatória;• Estabelecer os conceitos de permutação, arranjo e combinação, bem como suas restrições;• Aplicar as ferramentas desenvolvidas em problemas contextualizados e atuais.

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ESTABELECENDO POSSIBILIDADES ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

34

5)Devemos fazer na sequência: barra 1, barra 5, barra 2, barra 4 e barra 3:

1 barra 2 barra 3 barra 4 barra 5 barra

2 op-ções: P

ou B

2 op-ções: P

ou B

2 op-ções: P

ou B

1 opção: deve ser

igual a barra 2

1 opção: deve ser

igual a barra 1

Princípio multiplicativo: 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 8Devemos desconsiderar todas as barras cla-ras ou todas as escuras, ou seja, devemos tirar 2 dos resultado encontrado:8 – 2 = 6Letra D.

6) Fundo: cores azul ou cinzaCasa: cores azul, verde ou amarelaPalmeira: cores cinza ou verde Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, logo:Primeira maneira

Fundo 1 opção: azul

Casa 2 opções: verde ou amarela

Palmeira 2 opções: cinza ou verde

Princípio multiplicativo: 1 x 2 x 2 = 4Segunda maneira

Fundo 1 opção: cinza

Casa 3 opções: azul, ver-de ou amarela

Palmeira 1 opção: verde

Princípio multiplicativo: 1 x 3 x 1 = 3Princípio aditivo: 4 + 3 = 7Letra B.

7) a) 3! + 4.3! = 3! (1 + 4) = 3.2.1.5 = 30ou

3.2.1 +4.3.2.1 = 6 + 24 = 30b) 3.2.1.4.3.2.1=6.4.6=24.6=144c)5.4.3!/3!=5.4=20d)11.10.9.8!/8!=11.10.9=11.90=990

8) MARTELOa)7 letras = 7! = 7.6.5.4.3.2.1=5040b) 120c) 720

9) Letra B.

10) MISSISSIPI10!/(4!4!)(10.9.8.7.6.5.4!)/(4!4!)(10.9.8.7.6.5)/4!(10.9.8.7.6.5)/(4.3.2.1)(10.9.8.7.5)/(4.1)(10.9.2.7.5)/110.18.35 = 10 x 630 = 6300

11) 2 picolés de baunilha, 2 picolés de mo-rango e 2 de picolés de chocolateVamos considerar como uma palavra com letras repetidas: BBMMCC6!/(2!2!2!)(6.5.4.3.2!)/(2!2!2!)(6.5.4.3)/(2!2!)(6.5.4.3)/(2.12.1)(6.5.3)/16 x 5 x 3 = 30 x 3 = 90Letra B

12) A origem é (0,0).Da origem até A (3,1), ele precisa dar 3 pas-sos para leste e 1 para norte: LLLNConsideramos uma palavra com 4 letras e 3 repetidas4!/3!(4.3!)/3!4 caminhosDe A (3,1) até o ponto B (5,4), ele precisa dar 2 passos para leste (5-3) e 3 passos para norte (4-1): LLNNNConsideramos uma palavra com 5 letras e 3 repetidas e as outras 2 também repetidas5!/(3!2!)5.4.3!/(3!2!)(5.4)/2!(5.4)/(2.1)(5.2)/1

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ESTABELECENDO POSSIBILIDADES ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

35

10 caminhosPrincípio multiplicativo: 4 caminhos x 10 caminhos = 40 caminhos

13) Como Gustavo e Fábio não devem ficar juntos, então faremos a permutação circular sem a restrição e retiramos a permutação em que os dois ficam juntos, obtendo quan-tas permutações eles não ficam juntos.Permutação circular sem a restrição(6-1)! = 5! = 120Permutação circular em que os dois ficam juntosConsideraremos Gustavo e Fábio como uma única pessoa, logo teremos apenas 5 pesso-as para permutar circularmente: (5-1)! = 4! = 24Agora permutamos Gustavo e Fábio, pois eles podem ficar Gustavo e Fábio ou Fábio e Gustavo: 2!Logo, o resultado solicitado é 120 – (24 x 2!) = 120 – 48 = 72.

14)4 op-ções: 2, 4, 5

e 6

3 op-ções

2 op-ções

1 op-ção

Termi-na em 0000

4 3 2 1

Princípio multiplicativo: 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 24 Letra B.

15) Devemos fazer a combinação dos 7 em grupos de 4, pois a ordem não importa:Cn,p=7!/(4!3!)=(7.6.5.4!)/(4!3!)=(7.6.5)/3!=(7.6.5)/(3.2.1)=7.5 =35Letra B.

16)8 membros: síndico, subsíndico e um conse-lho consultivo composto de seis pessoasSíndico = 10 opçõesSubsíndico = 9 opçõesConselho consultivo = C8,6=8!/(6!2!)=(8.7.6!)/(6!2!)=(8.7)/2!=(8.7)/2=4.7=28Logo para formar essa comissão, temos: 10 x 9 x 28 = 90 x 28 = 2520

17)• um dentre os tipos de pão: calabresa, oré-gano e queijo; • um dentre os tamanhos: pequeno e gran-de; • de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. Pão: 3 opçõesTamanho: 2 opçõesRecheios: C5,1ou C5,2 ou C5,3 ou C5,4 ou C5,5

Lembre-se que C5,1= C5,4 e C5,2 = C5,3

C5,1= 5!/(1!4!)=(5.4!)/(1!4!)=5C5,3=5!/(3!2!)=(5.4.3!)/(3!2!)=(5.4)/2=5.2=10C5,5=1Logo C5,1ou C5,2 ou C5,3 ou C5,4 ou C5,5 = 5 + 10 + 10 + 5 +1 = 31Pão: 3 opçõesTamanho: 2 opçõesRecheios: 31 opções

3 x 2 x 31 = 186 opções

b)Ele não gosta de orégano, só come sandu-íches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.• Pão: calabresa e queijo = 2 opções• Tamanho: pequeno = 1 opção• Dois tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame = C5,2=5!/(2!3!)=(5.4.3!)/(2!3!)=(5.4)/2=5.2=10

2 x 1 x 10 = 20 opções

18) 30 triângulos

19) CR6,4=C4+6-1,4=(6+4-1)!/4!(9-4)!=9!/(4!5!)=(9.8.7.6.5.4!)/(4!5!)=(9.8.7.6.5)/(5.4.3.2.1)=(9.8.7.6)/(4.3.2.1)=(9.8.7)/(4.1)=9.2.7=126

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AT06

ESTABELECENDO POSSIBILIDADES ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

36

Aprofundando:20)

Centenas Dezenas Unidades4 opções 3 opções 2 opções

Princípio multiplicativo: 4 x 3 x 2 = 24Letra D.

21)

Centenas Dezenas Unidades4 opções 4 opções 4 opções

Princípio multiplicativo: 4 x 4 x 4 = 64Letra E.

22) Motorista = 2 opçõesCarona (outro banco da frente) = 4 (já esco-lhemos o motorista, logo 5 -1)Banco de trás = 3 x 2 x 1 Princípio multiplicativo: 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2 x 24 = 48Letra B.

23) Devemos calcular quantas combinações po-demos fazer: 5 x 6 x 9 = 30 x 9 =270Como são 280 alunos, logo é a letra A.

24) Para escolher a carta que determinará a qua-dra temos 13 opções (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A).Depois temos as outras três cartas que for-marão a quadra.Por fim, para escolher a última carta, faze-mos 52 – 4 (cartas da quadra) = 48Princípio multiplicativo: 13 x 48 = 624Letra A.

25)Senha antiga: seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9Número de senhas antigas: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106

Senha nova: uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considera-da distinta de sua versão minúscula.Devemos considerar o dobro de letras, pois maiúscula é diferente de minúscula: 26 x 2 = 52Além disso, temos 10 opções de números, logo 52 +10 = 62Número de senhas novas: 62 x 62 x 62 x 62 x 62 x 62 = 626

Coeficiente de melhora= 626/106 Letra A.

26)ABCDEFA

Início Fim1 opção 5 4 3 2 1 1 opção

Princípio multiplicativo: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120Devemos descartar as simetrias: 120 : 2 = 60Como gasta 1,5 min, então o tempo será 60 x 1,5 = 90Letra B.

27)Vamos retirar os números que começam com 9:

1 opção: 9

4 opções

3 opções

2 opções

1 opção

1 4 3 2 1Princípio multiplicativo: 4 x 3 x 2 x 1 =24120 – 24 = 96Números que começam com 79:

1 opção: 7

1 opção: 9

3 opções

2 opções

1 opção

1 1 3 2 1

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AT06

ESTABELECENDO POSSIBILIDADES ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

37

Princípio multiplicativo: 3 x 2 x 1 =6Tiramos mais 6 = 96 – 6 = 90Números que começam com 75:

1 opção: 7

1 opção: 5

3 opções

2 opções

1 opção

1 1 3 2 1Princípio multiplicativo: 3 x 2 x 1 =6São eles: 75.139– posição 8475.193– posição 8575.319– posição 8675.391 – posição 8775.913 – posição8975.931 – posição90Letra E.

28)Cada traço horizontal chamaremos de H e cada traço vertical de V, logo o menor cami-nho teremos 4H e 2V, logo podemos consi-derar uma “palavra” com 6 letras, sendo 4H e 2 V6!/(4!2!)(6.5.4!)/(4!2)(6.5)/2 =15Letra B.

29) três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadasVamos considerar uma “palavra” de 8 letras, com 3 letras V (vermelho), 2 D (verde), 1 A (amarelo) e 2 P (apagado):

8!/(3!2!2!)(8.7.6.5.4.3!)/(3!2!2!)(8.7.6.5.4)/(2!2!)8.7.6.5 =56 x 30 = 1680.

30) Como João e Maria devem ficar juntos, vamos considerá-los como uma pessoas, en-tão são 6 pessoas para brincarem de roda.Vamos usar a permutação circular: (6-1)! = 5! = 120Agora faremos a permutação entre João e Maria: 2!Logo, serão 120 x 2 = 240 modos

31)

Colocando um menino no ponto vermelho, podemos colocar 3 meninas no ponto verde, 2 meninos ponto azul, 2 meninas no ponto roxo, 1 menino no próximo ponto e 1 meni-na fechando a roda.Logo, teremos 1 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 12Letra D.

32)1

pessoa2

pessoa3

pessoa4

pessoa5

pessoa6

pessoa7

pessoa9

opções8

opções7

opções6

opções5

opções4

opções3

opções

Princípio multiplicativo: 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 Perceba isso é o mesmo que dizer que 9!/2!=(9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 !)/2!=9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3Letra A.

33)Sorteio dos 12 times para compor o grupo A: C12,4, pois a ordem não importaSorteio dos 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio: A4,2, pois a ordem im-portaLetra A

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AT06

ESTABELECENDO POSSIBILIDADES ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

38

34)C8,2=8!/2!6!=8.7.6!/2!6!=8.7/2!=56/2=28Letra A.

35)C6,3=6!/(3!3!)=(6.5.4.3!)/(3!3!)=(6.5.4)/3!=(6.5.4)/(3.2.1)=5.4=20Letra B

36) 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do paísMuseus nacionais: C4,3=4!/(3!1!)=(4.3!)/(3!1!)=4Museus internacionais: C4,2=4!/(2!2!)=(4.3.2!)/(2!2!)=(4.3)/2!=2.3=6Princípio multiplicativo: 4 x 6 = 24Letra D.

37) Placas do país X:Vamos considerar uma “palavra” de 6 letras com LLLNNN, onde L representa letra e N número, temos uma permutação com repe-tição:6!/(3!3!)=(6.5.4.3!)/(3!3!)=(6.5.4)/3!=(6.5.4)/(3.2.1)=5.4=20Para facilitar, usaremos essa “palavra”: LLLNNN = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 263 x 103

Logo, teremos n = 20 x 263 x 103

Placas do país Y = p = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 x 104

n/p=(20 x 263 x103)/(263 x104)=(20x103)/104 =20/10=2Letra B.

38)Esta faltando alguma coisa em: “A partir des-se conjunto, podem-se formar ?grupos”

Grupo com 1 menina e 1 menino: C4,1 e C4,1

C4,1= 4!/(3!1!)=(4.3!)/(3!1!)=4Logo, teremos 4 x 4 = 16Grupo com 2 meninas e 2 meninos: C4,2 e C4,2

C4,2=4!/(2!2!)=(4.3.2!)/(2!2!)=(4.3)/2!=2.3=6Logo, teremos 6 x 6 = 36Grupo com 3 meninas e 3 meninos: C4,3 e C4,3

C4,1=C4,3 = 4Logo, teremos 4 x 4 = 16Grupo com 4 meninas e 4 meninos: C4,4 e C4,4

C4,4=1Logo, teremos 1 x 1 = 1Por fim, através do princípio aditivo:16 + 36 + 16 + 1 = 69Letra C

39)Esta faltando alguma coisa em: !O tempo mí-nimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a ? mi-nutos e ? segundos, sendo (corrigir, tirando a letra maiúscula) Os valores respectivos de ? e ?são”Podemos considerar a permutação com re-petição, considerando duas situações:Primeira: uma “palavra” com 6B (luzes não acesas), 2V (luz vermelha) e 1A (luz azul) 9!/(6!2!)(9.8.7.6!)/(6!2!)(9.8.7)/29.4.7=252

Segunda: uma “palavra” com 6B (luzes não acesas), 1V (luz vermelha) e 2A (luz azul) Perceba que aqui também encontraremos 9!/(6!2!)=252Logo, pelo princípio aditivo: 2 x 252 = 504 maneiras

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AT06

ESTABELECENDO POSSIBILIDADES ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

39

Como são 504 segundos, basta dividir por 60 para saber quantos segundos são:504/60=8 e resto 24, logo são 8 minutos e 24 segundosLetra B

40)Para escolher 4 de 9 sábados:C9,4=9!/(4!5!)=(9.8..7.6.5!)/(4!5!)=(9.8.7.6.5!)/(4!5!)=(9.8.7.6)/4!=(9.8.7.6)/(4.3.2.1)=(9.8.7)/(4.1)=9.2.7=126Devemos retirar os sábados consecutivos, que podem ser:1s, 2s, 3s, 4s2s, 3s, 4s, 5s3s, 4s, 5s, 6s4s, 5s, 6s, 7s5s, 6s, 7s, 8s6s, 7s, 8s, 9sLogo teremos: 126 – 6 = 120Letra C

41)Arthur: 250 possibilidades de ganhar, pois cada cartela com 6 números marcados ele tem apenas uma chance de ganhar (é preci-so acertar os 6 números)Bruno: cartelas com 7 números marcados representam 7 possibilidades de ganhar (C7,6=7!/(6!1!)=7) e cada cartela com 6 núme-ros marcados ele tem apenas uma chance de ganhar (é preciso acertar os 6 números)Logo, teremos 41 x 7 + 4 x 1 = 287 + 4 = 291 possibilidades de ganharCaio: cartelas com 8 números marcados representam 28 possibilidades de ganhar (C8,6=8!/(6!2!)=(8.7.6!)/(6!2!)=(8.7)/2!=28) e cada cartela com 6 números marcados ele tem apenas uma chance de ganhar (é preciso acertar os 6 números)

Logo, teremos 28 x 12 + 10 x 1 = 336 + 10 = 346 possibilidades de ganharDouglas:cartelas com 9 números marcados representam 84 possibilidades de ganhar (C9,6=9!/(6!3!)=(9.8.7.6!)/(6!3!)=(9.8.7)/(3.2=3.8.7)/2=3.4.7=84)Logo, teremos 84 x 4 = 336possibilidades de ganharEduardo: cartelas com 10 números marca-dos representam 210 possibilidades de ga-nhar (C10,6=10!/(6!4!)=(10.9.8.7.6!)/(6!4!)=(10.9.8.7)/(4.3.2.1)=(10.3.7)=210Logo, teremos 2 x 210 = 420 possibilidades de ganharCaio e Eduardo tem mais chances de ganhar.Letra A

42)Questão para o DesafiandoCR10,7=C10+7-1,10=(10+7-1)!/(10!(16-10)!)=16!/(10!6!)=(16.15.14.13.12.11.10!)/(10!6!)=(16.15.14.13.12.11)/6!=(16.15.14.13.12.11)/(6.5!)=(16.15.14.13.12.11)/(6.120)=(16.15.14.13.11)/)6.10)=(16.3.14.13.11)/(6.2)=(16.14.13.11)/(2.2=4.14.13.11)=8008

Desafiando43) Vamos colocar os livros “Combinatória é fácil” assim:_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_ _ são os espaços que podemos colocar os livros “Combinatória não é difícil”.

Temos 12 possibilidades para colocar os li-vros, mas são apenas 5 livros, então desses 12 devemos escolher 5 espaços:C12,5=12!/(5!7!)=(12.11.10.9.8.7!)/(5!7!)=(12.11.10.9.8)/5!=(12.11.10.9.8)/120=(12.11.10.9.8)/(12.10)=11.9.8=792

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AT06

ESTABELECENDO POSSIBILIDADES ATRAVÉS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

40

44)1050

45)a)Colocando os números 1, 2 e 3 sempre nessa ordem, isso pode ser feito assim:

12_3_ _ 1_23_ _ _Ou seja, precisamos escolher dos 6 lugares, apenas 3: C6,3=6!/(3!3!)=(6.5.4.3!)/(3!3!)=(6.5.4)/(3.2.1)=5.4=20Perceba que após colocar os números 1, 2 e 3 sempre sobram 3 lugares vazios, podendo ser permutados os números 4, 5, e 6 utilizan-do a permutação simples: 3!=3.2.1=6Logo, pelo princípio multiplicativo: 20 x 6 = 120.

46)Três cores: vermelhas, azuis e verdes.1 alternativa: os vértices A e C terão cores iguais, assim como os vértices B e DA = 3 opçõesC= 1 opçãoB = 2 opçõesD= 1 opçãoPrincípio multiplicativo: 3 x 2 = 62 alternativa: usaremos as 3 cores, mas lem-brando ao rotacionar a joia, ela será a mes-ma, veja:

A = 3 opçõesB = 2 opçõesC= 1 opçãoD= 1 opçãoPrincípio multiplicativo: 3 x 2 = 6, mas devemos dividir por 2 por causa da rotação: 6 : 2 = 33 alternativa: usaremos as 3 cores, mas lem-brando ao rotacionar a joia, ela será a mes-ma, veja:

Princípio multiplicativo: 3 x 2 = 6, mas devemos dividir por 2 por causa da rotação: 6 : 2 = 3Total: 6 + 3 + 3 = 12Letra B.

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AT13

GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA, RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO E CIRCUNFERÊNCIAS

41

Praticando 1) 24

2) 60 m, 45 m, 30 m

3) 120 m

4) 9 cm

5) C

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Geometria Plana: Semelhança, Relações Métricas do Triângulo e Circunferências

Conteúdo:• Teorema de Tales; • Teorema da Bissetriz Interna; • Semelhança de Triângulos;• Relações métricas no triângulo retângulo;• Lei dos Senos; • Lei dos Cossenos• Elementos da Circunferência; • Posição entre reta e circunferência; • Ângulos na circunferência; • Relações métricas na circunferência;• Comprimento da circunferência.

Objetivos de aprendizagem:• Definir elementos e propriedades básicas da geometria plana;• Conceituar polígono, seus principais exemplos e relações;• Estabelecer as principais classificações e propriedades dos triângulos;• Apresentar e identificar os principais segmentos e pontos notáveis de um triângulo;• Estabelecer as principais classificações e propriedades dos quadriláteros.

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AT13

GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA, RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO E CIRCUNFERÊNCIAS

42

6) 18 cm

7) 4

8) D

9) 13 cm

10) D

11) 8√2 m

12) 1 m

13) ( 6 – 2 ) cm

14) 75

15) a) 4 cm b) 2 6 m

16) E

17) B

18) B

19) 7

20) B

21) E

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AT13

GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA, RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO E CIRCUNFERÊNCIAS

43

22)

23) B

24) B

25) D

26) 20°

27) C

28) C

29) 0,16 m

30) A

31) 20(π+3) cm

32) 4π3

rad

33) 40°

Aprofundando:34) X = 2 e y = 9

35) E

36) 70 m, 56 m e 42 m.

37) x = 12 m e y = 18 m

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AT13

GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA, RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO E CIRCUNFERÊNCIAS

44

38) D

39) 8 cm e 12 cm

40) 16 cm

41) D

42) D

43) D

44) A

45) D

46) A

47) 0,8 m

48) A

49) D

50) 6 7

51) D

52) 4 6 M

53) A

54) 3 2 m

55) 2 cm

56) B

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AT13

GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA, RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO E CIRCUNFERÊNCIAS

45

57) a) alinha do horizonte é tangente à circunferência no ponto Ld2 + R2 = (R + h)²d2 + R2 = R2 + 2Rh + h²d2 = 2Rh + h²d2 = (2R + h) . h

Substituindo como sugerido no enunciado, 2R + h = 2R, segue que: d2 = 2R . hd = 2Rh.b) 21 km

58) C

59) a) 6 cm b) 9 cm

60) E

61) 29 metros

62) 10

63) C

64) D

65) 3 7 /8

66) A

67) E

68) 157,5°

69) a) 7 b) 24

70) 12 m

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AT13

GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA, RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO E CIRCUNFERÊNCIAS

46

71) B

72) E

73) 32

74) 6,55 m

75) A

76) C

77) D

78) B

Desafiando:79) C

80)

81) C

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AT14

47

Praticando 1) D

2) 3a²/8

3) B

4) D

5) B

6) 16 34

cm

7) B

8) 4(π – 2)

9) 3(π – (3 3 )/4) cm²

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Áreas e relações entre circunferências e polígonos regulares

Conteúdo:• Áreas dos Principais polígonos;• Área do Círculo e suas partes;• Semelhança entre áreas;• Polígonos regulares.

Objetivos de aprendizagem:• Determinar mecanismos para o cálculo das áreas dos principais polígonos;• Calcular área do círculo e suas possíveis divisões;• Corresponder áreas de figuras geométricas semelhantes, a partir da proporção entre

suas medidas;• Compreender o conceito de apótema de um polígono regular;• Relacionar lados e apótemas de polígonos regulares com circunferências inscritas e

circunscritas.

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AT14

48

10) π – 2

11) a) 2√3 cm b)(24 3 – 32π/3) cm²

12) B

13) C

14) C

15) A

16) E

17) B

18) B

Aprofundando:19) B

20) E

21) B

22) B

23) A

24) 8/7

25) B

26) E

27) C

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AT14

49

28) C

29) 25,5

30) C

31) A

32) C

33) B

34) 12 cm

35) a) 2 (π-2) b) 2 (4-π) .36) a) A sugestão de Raquel permite que elas comam mais. b) De três outras formas diferentes: uma grande e sete pequenas; duas grandes e quatro pequenas ou três grandes e uma pequena.

37) B

38) D

39) A

40) 1

41) a) x = 3 cm y = 2 3 cm b) R = L 3 cm 42) .2 3 cm

43) C

44) 100(π – 2 2 ) cm²

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AT14

50

45) A

46) E

47) 1

48) D

49) A

50) (420 + 4π) cm²

Desafiando:51) D