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Análise do Lugar das Raízes6.1. Introdução6.2. Gráfico do Lugar das Raízes6.3. Regras Gerais para a Construção do Lugar das Raízes

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Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

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Introdução (1)

Característica básica da resposta Característica básica da resposta transitória de um sistema de malha transitória de um sistema de malha fechada: LOCALIZAÇÃO DOS PÓLOS de fechada: LOCALIZAÇÃO DOS PÓLOS de malha fechadamalha fechada

Se o ganho for variável, os pólos Se o ganho for variável, os pólos dependerá do ganho escolhidodependerá do ganho escolhido

O projetista deve saber como os pólos de O projetista deve saber como os pólos de malha fechada se movem no plano s na malha fechada se movem no plano s na medida que o ganho de malha variamedida que o ganho de malha varia

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Introdução (2)

Os pólos de malha fechada são as raízes Os pólos de malha fechada são as raízes da equação característica.da equação característica.

A determinação das raízes de uma A determinação das raízes de uma equação de grau superior a 3 pode ser equação de grau superior a 3 pode ser trabalhosa e pode não resolver, pois a trabalhosa e pode não resolver, pois a medida que o ganho varia, as raízes medida que o ganho varia, as raízes mudam e os cálculos devem ser refeitos.mudam e os cálculos devem ser refeitos.

Se somente o ajuste do ganho não for Se somente o ajuste do ganho não for suficiente, será necessário a introdução suficiente, será necessário a introdução de um compensador (Controle II).de um compensador (Controle II).

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Introdução (3)

Método do Lugar das raízes (ou root locus) Método do Lugar das raízes (ou root locus) permite que as raízes da equação característica permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos sejam representadas graficamente para todos os valores de um parâmetro do sistemaos valores de um parâmetro do sistema

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Gráfico do Lugar das RaízesCondições de Ângulo e de Módulo

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Um lugar dos pontos no plano complexo Um lugar dos pontos no plano complexo que satisfaz somente a condição angular que satisfaz somente a condição angular é o lugar das raízes.é o lugar das raízes.

As raízes da equação característica que As raízes da equação característica que correspondem a um dado valor de ganho correspondem a um dado valor de ganho podem ser determinadas pela condição podem ser determinadas pela condição de módulo.de módulo.

Em muitos casos G(s)H(s) envolve um Em muitos casos G(s)H(s) envolve um parâmetro de ganho K e a equação parâmetro de ganho K e a equação característica pode ser escrita como:característica pode ser escrita como:

O LUGAR DAS RAÍZES É O LUGAR DOS PÓLOS DE MALHA FECHADA QUANDO O

GANHO K VARIA DE ZERO A INFINITO.

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Pelo fato dos pólos e zeros complexos Pelo fato dos pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta, caso conjugados de malha aberta, caso existam, situarem-se sempre existam, situarem-se sempre simetricamente em relação ao eixo real, simetricamente em relação ao eixo real, o lugar das raízes será sempre também o lugar das raízes será sempre também simétrico ao eixo real.simétrico ao eixo real.

Portanto, será necessário apenas Portanto, será necessário apenas construir a metade superior do lugar das construir a metade superior do lugar das raízes e desenha a imagem espelhada raízes e desenha a imagem espelhada da metade superior na metade inferior da metade superior na metade inferior do plano s.do plano s.

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Exemplo 6.1. (0)

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Exemplo 6.1. (1)

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Exemplo 6.1. (2)

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Exemplo 6.1. (3)

Os pólos de malha aberta deste sistema são: s = 0, s = -1, s = -2

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Exemplo 6.1. (4)

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4O LUGAR DAS RAÍZES EXISTIRÁ SOBRE O

EIXO REAL NEGATIVO ENTRE 0 E -1 E ENTRE -2 E -∞.

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Exemplo 6.1. (5)

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Exemplo 6.1. (6)

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Exemplo 6.1. (7)

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Exemplo 6.1. (8)

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Exemplo 6.1. (9)

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Exemplo 6.1. (10)

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Exemplo 6.1. (11)

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Exemplo 6.1. (12)

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Exemplo 6.1. (13)

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Exemplo 6.1. (14)

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Exemplo 6.1. (15)

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Exemplo 6.1. (16)

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Exemplo 6.1. (17)

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Exemplo 6.1. (17)

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Exemplo 6.2. (1)

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Exemplo 6.2. (2)

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Exemplo 6.2. (3)

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Exemplo 6.2. (3)

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Exemplo 6.2. (4)

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Exemplo 6.4. (5)

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Exemplo 6.4. (6)

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Resumo das Regras Gerais Para a Construção do Lugar das Raízes

Obter a equação característica:Obter a equação característica:

Modificar a equação de modo que o parâmetro Modificar a equação de modo que o parâmetro de interesse apareça como fator de de interesse apareça como fator de multiplicação (No caso de realimentação multiplicação (No caso de realimentação positiva, a condição de ângulo deve ser positiva, a condição de ângulo deve ser modificada)modificada)

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Resumo de Regras (1)

Os ramos do lugar das raízes se iniciam nos Os ramos do lugar das raízes se iniciam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros pólos de malha aberta e terminam nos zeros (zeros finitos ou infinitos).(zeros finitos ou infinitos).

O lugar das raízes são simétricos em relação ao O lugar das raízes são simétricos em relação ao eixo realeixo real

Possui tantos ramos quantas forem as raízes da Possui tantos ramos quantas forem as raízes da equação característica. O número de ramos é equação característica. O número de ramos é igual ao número de pólos.igual ao número de pólos.

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Os trechos do lugar das raízes no eixo real são Os trechos do lugar das raízes no eixo real são determinados pelos pólos e zeros que se determinados pelos pólos e zeros que se encontram sobre ele.encontram sobre ele.

Os pólos e zeros complexos conjugados de malha Os pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta não têm nenhum efeito.aberta não têm nenhum efeito.

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Uso do critério de estabilidade de RouthUso do critério de estabilidade de Routh

fazendo s=jfazendo s=jωω na equação característica na equação característica e igualando a zero tanto a parte e igualando a zero tanto a parte imaginária quanto a parte real. Resolver imaginária quanto a parte real. Resolver para para ωω e K. e K.

o valor de o valor de ωω corresponde as freqüências corresponde as freqüências que cruzam o eixo imaginário e os que cruzam o eixo imaginário e os valores de K determinam o respectivo valores de K determinam o respectivo ganho no ponto de cruzamento.ganho no ponto de cruzamento.

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Determinar os lugares das raízes Determinar os lugares das raízes numa ampla região nas numa ampla região nas proximidades do eixo jproximidades do eixo jωω e da e da origem.origem.

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Um ponto particular sobre cada um dos Um ponto particular sobre cada um dos ramos do lugar das raízes será um pólo ramos do lugar das raízes será um pólo de malha fechada, se o valor de K nesse de malha fechada, se o valor de K nesse ponto satisfizer a condição de módulo.ponto satisfizer a condição de módulo.

Se necessário, o lugar das raízes pode Se necessário, o lugar das raízes pode ser graduado em função de K.ser graduado em função de K.

O valor de K correspondente a um ponto O valor de K correspondente a um ponto s no lugar das raízes pode ser obtido s no lugar das raízes pode ser obtido como (condição de módulo):como (condição de módulo):

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Configurações Típicas de Pólos e Zeros e o Lugar das Raízes Correspondente (1)

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Configurações Típicas de Pólos e Zeros e o Lugar das Raízes Correspondente (2)

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