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blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: TURMA: Bibliografia: Curso de Matemática – Volume Único Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD Contexto&Aplicações – Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática

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ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI

UNITAU

APOSTILA

DETERMINANTES

PROF. CARLINHOS

NOME DO ALUNO: Nº TURMA:

Bibliografia:

Curso de Matemática – Volume Único

Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna

Matemática Fundamental - Volume Único

Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD

Contexto&Aplicações – Volume Único

Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática

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DETERMINANTES

Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada.

Regras Práticas

Para o cálculo de determinantes de ordem n (n 3), procede-se da seguinte forma:

Determinante de ordem 1

Para a matriz A = [a11] o determinante é o próprio elemento a11. Det A = a11

Exemplo: A = [ -4 ], logo det A = -4

Determinante de ordem 2

Para a matriz

Para a matriz o determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

det A = a11a22 - a12a21

Exemplos

1) A = �4 �32 1 �, logo det A = 4.1 – 2.(-3) = 4+6 = 10

2) Resolva a equação: 3 2

01 5

x

x

+=

5(x+3)-2(x-1) = 0 ↔ 5x + 15 – 2x + 2 = 0 ↔ 3x = -17 ↔ x = -17/3

S = { -17/3 }

Determinante de ordem 3

Para a matriz de 3ª ordem

define-se:

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det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33

Regra de Sarrus

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3:

Repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.

Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do determinante.

EXEMPLO: A =

124

012

321

, logo:

det A = ( ) ( ) ( ) ( )

340121201

122201)413(223402)111(det

24124

12012

21321

124

012

321

−=−−−++=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⇔= A= 1+0+12-12-0-4 = -3

Menor Complementar

O menor complementar ijD do elemento ija da matriz quadrada A, é o

determinante que se obtém de A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”, ou seja, eliminando a linha e a coluna que contém o elemento ija considerado.

Exemplo:

Dada a matriz

125

410

312

−=A , calcular D11, D12, D13, D21, e D32.

Resolução:

98112

4111 =+=

−=D 20

15

4012 −==D 5

25

1013 −=

−=D

56112

3121 =+−=

−−

=D 840

3232 ==D

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Cofator

Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

.

Chama-se Cofator do elemento ija da matriz quadrada o número real que se

obtém multiplicando-se ( ) ji+−1 pelo menor complementar de ija e que é

representado por ( ) ijji

ij DA .1 +−= .

Exemplo: Dada a matriz

−=

873

204

213

A , calcular:

a) A11 b) A13 c) A32

( ) ( ) 1414187

201 11

11 −=−⋅=⋅−= +A

( ) ( ) 2828173

041 31

13 =⋅=⋅−= +A

( ) ( ) 1486124

231 23

32 −=+⋅−=−

⋅−= +A

Teorema de Laplace

O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem 2≥n é o número que se

obtém pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna)

qualquer pelos respectivos cofatores. Exemplo:

EXEMPLO 1) Sendo

−=

341

025

132

A uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A

a partir de determinantes de ordem 2 e da definição de Laplace. Escolhendo os

elementos da primeira linha temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1518451218115362

41

2511

31

0513

34

0212

det

312111

131312121111

=−+−=⋅−+−⋅−+−⋅=

=⋅−⋅−+−

⋅−⋅+−

⋅−⋅=

=⋅+⋅+⋅=

+++

AaAaAaA

Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver

o maior número de zeros.

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EXEMPLO 2) Seja a matriz quadrada de ordem 4 A =

−−−

6230

1251

3124

0132

, vamos calcular o

determinante de A. Para tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a

um determinante de 3ª ordem, e depois empregaremos a regra de Sarrus. Assim,

desenvolvendo o determinante acima, segundo os elementos da 1ª linha, temos:

)(AaAaAaAaAdet 11414131312121111 +++=

34172

623

125

312

12 111111 =⋅=

−−−

⋅−⋅= +)(Aa

132443

620

121

314

13 211212 −=⋅−=

−⋅−⋅= +)(Aa

1111111

630

151

324

11 311313 =−⋅−=−

−⋅−⋅−= +)(Aa

0

230

251

124

10 411414 =

−−−

⋅−⋅= +)(Aa

Substituindo em (1) temos: 1311113234 =+−=Adet

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

1) Determinante igual a zero

determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui:

a) uma fila nula;

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b) duas filas paralelas iguais;

c) duas filas paralelas proporcionais;

d) uma fila que é combinação linear (C.L.) das outras filas paralelas.

Observe que C3 = 3C1 + 2C2, isto é, C3 é C.L. de C1e C2

2) Determinante não se altera

O determinante de uma matriz quadrada não se altera se:

a) Trocarmos ordenadamente linhas por colunas. det A = det At

b) Somarmos a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas (TEOREMA DE JACOBI)

3) Alterações no Determinante

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n altera-se:

a) Trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam de posição entre si.

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b) Ficando multiplicado por K, quando os elementos de uma fila são multiplicados por K.

c) Ficando multiplicado por Kn quando a matriz é multiplicada por K.

Se A é matriz n x n , então:

Portanto: det (K . A) = kn.det A

3) Teorema de Binet

Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto,

então BdetAdetABdet ⋅=

Exemplo:

( ) ( )61378423663

146

41030

8660

643

2013103

15

23

−⋅−==+=

−=

−−++

=

−=

=−=−−=

−=

ABdetAB

BdetBAdetA

4) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da

diagonal principal.

Exemplo: 40425

413

021

005

=⋅⋅=

−= AdetA

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM

1) Calcule:

a) 42

36

− resp: -30 b)

xx

xx

sen2cos2

cossen

− resp: 2

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c)

341

202

513

−−− resp: 72 d)

3214

1120

0312

3142

− resp: 20

e)

1035

4202

3150

4203

−−

resp:-552 f)

322/120

0121

0094

0002

−−

resp:54

2) Resolva as equações:

a) 31

25

+− xx= -1 resp: S = {-6} b)

32

10

232

x

x =2 resp: S= {1; 2}

3)Dadas a matrizes A=(aij)3x4, com aij=

≥−<+

jiseji

jiseji

,

,, e B=(bij)4x3 com

bij=

=+−≠+

4,1

4,1

jise

jise, Calcule o det (A.B) resp: -752

4) Resolva a inequação

101

00

10

x

x

< 0 resp: S = { x∈ℜ/ 0 < x < 1 }

5) Se det A = 5, calcule: a) det (At). resp: 5 b) det (A-1) resp: 1/5

6) Se dc

ba=10, Calcule: a)

cd

abresp: -10 b)

dc

ba 44 resp: 40

7) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que det A = m. Calcule o det (2 A) resp: 8m

8) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A = 6 e det B = 4,

calcule det (A .B). resp: 24

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9) (UFOP-MG) O determinante da matriz

27logcos2

3sen

42log1log

sen2

sen2cos

3

2

ππ

ππππ

tg é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.d a resp: c

10) (ITA-SP) Sendo A,B e C matrizes reais n x n, considere seguintes afirmações:

1. A.(B.C) = ( A. B). C 2. A. B = B. A 3. A+B = B+A 4. det(A.B) = det A . det B 5. det(A+B)= det A + det B

Então podemos afirmar que:

a) 1 e 2 são corretas

b) 2 e 3 são corretas

c) 3 e 4 são corretas

d) 4 e 5 são corretas

e) 5 e 1 são corretas resp: c

11) (Unitau) Sendo B = (bij)2x2, onde,

><

==

j i se 3j,

j i se 2ij,-

j i se 1,

ijb

Calcule o det B :

a) 13 b) – 25 c) 2 d) 20 e) - 10 resp: a

12) (Puccamp) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A ≠0 e det B ≠ 0, então é correto afirmar que

a) B = A-1 ë det B = det A

b) B = A ë det B = det A

c) det A2 = det B2 së det A = det B

d) det (A+B) = det A + det B

e) det (3A) = 3.det A resp: b

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13. (Uel) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b

b) se e somente se a = b

c) se e somente se a = - b

d) se e somente se a = 0

e) se e somente se a = b = 1 resp: a

14) (Ufsc) Considere as matrizes A e B a seguir e n = det(AB).

Calcule 7n.

resp: 1

15. (Mackenzie) Na função real definida por:

f (0,001) vale:

a) 0,02 b) 1000-1 c) 10-2 d) 500-1 e) 0,5 resp: d

Bibliografia:

Curso de Matemática – Volume Único

Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna

Matemática Fundamental - Volume Único

Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD

Contexto&Aplicações – Volume Único

Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática