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blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
DETERMINANTES
PROF. CARLINHOS
NOME DO ALUNO: Nº TURMA:
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
blog.portalpositivo.com.br/capitcar 2
DETERMINANTES
Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada.
Regras Práticas
Para o cálculo de determinantes de ordem n (n 3), procede-se da seguinte forma:
Determinante de ordem 1
Para a matriz A = [a11] o determinante é o próprio elemento a11. Det A = a11
Exemplo: A = [ -4 ], logo det A = -4
Determinante de ordem 2
Para a matriz
Para a matriz o determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
det A = a11a22 - a12a21
Exemplos
1) A = �4 �32 1 �, logo det A = 4.1 – 2.(-3) = 4+6 = 10
2) Resolva a equação: 3 2
01 5
x
x
+=
−
5(x+3)-2(x-1) = 0 ↔ 5x + 15 – 2x + 2 = 0 ↔ 3x = -17 ↔ x = -17/3
S = { -17/3 }
Determinante de ordem 3
Para a matriz de 3ª ordem
define-se:
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det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33
Regra de Sarrus
Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3:
Repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.
Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do determinante.
EXEMPLO: A =
124
012
321
, logo:
det A = ( ) ( ) ( ) ( )
340121201
122201)413(223402)111(det
24124
12012
21321
124
012
321
−=−−−++=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⇔= A= 1+0+12-12-0-4 = -3
Menor Complementar
O menor complementar ijD do elemento ija da matriz quadrada A, é o
determinante que se obtém de A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”, ou seja, eliminando a linha e a coluna que contém o elemento ija considerado.
Exemplo:
Dada a matriz
125
410
312
−
−=A , calcular D11, D12, D13, D21, e D32.
Resolução:
98112
4111 =+=
−=D 20
15
4012 −==D 5
25
1013 −=
−=D
56112
3121 =+−=
−−
=D 840
3232 ==D
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Cofator
Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
Chama-se Cofator do elemento ija da matriz quadrada o número real que se
obtém multiplicando-se ( ) ji+−1 pelo menor complementar de ija e que é
representado por ( ) ijji
ij DA .1 +−= .
Exemplo: Dada a matriz
−=
873
204
213
A , calcular:
a) A11 b) A13 c) A32
( ) ( ) 1414187
201 11
11 −=−⋅=⋅−= +A
( ) ( ) 2828173
041 31
13 =⋅=⋅−= +A
( ) ( ) 1486124
231 23
32 −=+⋅−=−
⋅−= +A
Teorema de Laplace
O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem 2≥n é o número que se
obtém pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna)
qualquer pelos respectivos cofatores. Exemplo:
EXEMPLO 1) Sendo
−
−=
341
025
132
A uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A
a partir de determinantes de ordem 2 e da definição de Laplace. Escolhendo os
elementos da primeira linha temos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1518451218115362
41
2511
31
0513
34
0212
det
312111
131312121111
=−+−=⋅−+−⋅−+−⋅=
=⋅−⋅−+−
⋅−⋅+−
⋅−⋅=
=⋅+⋅+⋅=
+++
AaAaAaA
Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver
o maior número de zeros.
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EXEMPLO 2) Seja a matriz quadrada de ordem 4 A =
−−−
−
6230
1251
3124
0132
, vamos calcular o
determinante de A. Para tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a
um determinante de 3ª ordem, e depois empregaremos a regra de Sarrus. Assim,
desenvolvendo o determinante acima, segundo os elementos da 1ª linha, temos:
)(AaAaAaAaAdet 11414131312121111 +++=
34172
623
125
312
12 111111 =⋅=
−−−
⋅−⋅= +)(Aa
132443
620
121
314
13 211212 −=⋅−=
−⋅−⋅= +)(Aa
1111111
630
151
324
11 311313 =−⋅−=−
−⋅−⋅−= +)(Aa
0
230
251
124
10 411414 =
−−−
⋅−⋅= +)(Aa
Substituindo em (1) temos: 1311113234 =+−=Adet
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1) Determinante igual a zero
determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui:
a) uma fila nula;
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b) duas filas paralelas iguais;
c) duas filas paralelas proporcionais;
d) uma fila que é combinação linear (C.L.) das outras filas paralelas.
Observe que C3 = 3C1 + 2C2, isto é, C3 é C.L. de C1e C2
2) Determinante não se altera
O determinante de uma matriz quadrada não se altera se:
a) Trocarmos ordenadamente linhas por colunas. det A = det At
b) Somarmos a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas (TEOREMA DE JACOBI)
3) Alterações no Determinante
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n altera-se:
a) Trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam de posição entre si.
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b) Ficando multiplicado por K, quando os elementos de uma fila são multiplicados por K.
c) Ficando multiplicado por Kn quando a matriz é multiplicada por K.
Se A é matriz n x n , então:
Portanto: det (K . A) = kn.det A
3) Teorema de Binet
Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto,
então BdetAdetABdet ⋅=
Exemplo:
( ) ( )61378423663
146
41030
8660
643
2013103
15
23
−⋅−==+=
−=
−−++
=
−=
=−=−−=
−=
ABdetAB
BdetBAdetA
4) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal.
Exemplo: 40425
413
021
005
=⋅⋅=
−= AdetA
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Calcule:
a) 42
36
− resp: -30 b)
xx
xx
sen2cos2
cossen
− resp: 2
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c)
341
202
513
−−− resp: 72 d)
3214
1120
0312
3142
− resp: 20
e)
1035
4202
3150
4203
−
−−
resp:-552 f)
322/120
0121
0094
0002
−−
resp:54
2) Resolva as equações:
a) 31
25
+− xx= -1 resp: S = {-6} b)
32
10
232
−
−
x
x =2 resp: S= {1; 2}
3)Dadas a matrizes A=(aij)3x4, com aij=
≥−<+
jiseji
jiseji
,
,, e B=(bij)4x3 com
bij=
=+−≠+
4,1
4,1
jise
jise, Calcule o det (A.B) resp: -752
4) Resolva a inequação
101
00
10
x
x
< 0 resp: S = { x∈ℜ/ 0 < x < 1 }
5) Se det A = 5, calcule: a) det (At). resp: 5 b) det (A-1) resp: 1/5
6) Se dc
ba=10, Calcule: a)
cd
abresp: -10 b)
dc
ba 44 resp: 40
7) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que det A = m. Calcule o det (2 A) resp: 8m
8) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A = 6 e det B = 4,
calcule det (A .B). resp: 24
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9) (UFOP-MG) O determinante da matriz
27logcos2
3sen
42log1log
sen2
sen2cos
3
2
ππ
ππππ
tg é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.d a resp: c
10) (ITA-SP) Sendo A,B e C matrizes reais n x n, considere seguintes afirmações:
1. A.(B.C) = ( A. B). C 2. A. B = B. A 3. A+B = B+A 4. det(A.B) = det A . det B 5. det(A+B)= det A + det B
Então podemos afirmar que:
a) 1 e 2 são corretas
b) 2 e 3 são corretas
c) 3 e 4 são corretas
d) 4 e 5 são corretas
e) 5 e 1 são corretas resp: c
11) (Unitau) Sendo B = (bij)2x2, onde,
><
==
j i se 3j,
j i se 2ij,-
j i se 1,
ijb
Calcule o det B :
a) 13 b) – 25 c) 2 d) 20 e) - 10 resp: a
12) (Puccamp) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A ≠0 e det B ≠ 0, então é correto afirmar que
a) B = A-1 ë det B = det A
b) B = A ë det B = det A
c) det A2 = det B2 së det A = det B
d) det (A+B) = det A + det B
e) det (3A) = 3.det A resp: b
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13. (Uel) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b
b) se e somente se a = b
c) se e somente se a = - b
d) se e somente se a = 0
e) se e somente se a = b = 1 resp: a
14) (Ufsc) Considere as matrizes A e B a seguir e n = det(AB).
Calcule 7n.
resp: 1
15. (Mackenzie) Na função real definida por:
f (0,001) vale:
a) 0,02 b) 1000-1 c) 10-2 d) 500-1 e) 0,5 resp: d
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
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Matemática Fundamental - Volume Único
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