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Prof. Dr. Alcebíades Negrão Macêdo
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL FEC/ITEC/UFPa
GRUPO DE ANÁLISE EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS E MATERIAIS
DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS: FLEXÃO COMPOSTA
Solicitação comum situações estruturais como, por exemplo, pilares
submetidos à compressão e à ação do vento atuando perpendicularmente ao
seu eixo, a pilares com cargas excêntricas e a vigas submetidas à ação
combinada de compressão/tração axial e carregamentos de flexão.
1 Estados Limites Últimos
a) Flexo-tração
• Nas barras submetidas à flexo-tração oblíqua, a segurança deve ser
verificada por meio de duas condições de resistência aplicadas ao ponto
mais solicitado da borda mais tracionada:- Nt,d é a tensão normal de cálculo à tração.
- ft0,d é a resistência de cálculo à tração paralela.
- Mx,d e My,d são as tensões máximas de flexão
atuantes segundo as direções principais.
- kM é o fator de forma da seção.
1f
kff
dt0,
M
dt0,
d,Mx
dt0,
dNt, dMy,σσ
1ff
kf
dt0,
d,My
dt0,
d,Mx
Mdt0,
dNt,
σ
b) Flexo-compressão
Para os elementos estruturais de madeira solicitados a flexo-compressão
devem ser verificadas as condições de resistência e as condições de
estabilidade.
b.1) Condições de resistência
• A segurança dos elementos estruturais submetidos à flexo-compressão
oblíqua é garantida pelo atendimento de duas condições de resistências,
aplicadas ao ponto mais solicitado da borda mais comprimida:
1f
kff
dc0,
d,My
M
dc0,
d,Mx
2
dc0,
d,Nc
1ff
kf
dc0,
d,My
dc0,
d,Mx
M
2
dc0,
d,Nc
- Nc,d é a tensão normal de cálculo à
compressao
- ft0,d é a resistência de cálculo à tração paralela.
- Mx,d e My,d são as tensões máximas de flexão
atuantes segundo as direções principais.
- kM é o fator de forma da seção.
b.2) Condições de estabilidade
• Além das condições de resistências estabelecidas acima, as barras
submetidas à flexão composta oblíqua devem atender duas condições de
estabilidade:
1f
kff
dco,
dMy,M
dc0,
dMx,
dc0,
dNc,
1ff
kf
dc0,
dMy,
dc0,
dMx,M
dc0,
dNc,
- Com Mx,d e My,d amplificadas pelo efeitos de 2a
ordem correspondentes as peças esbeltas e semi-
esbeltas (compressão).
e1 = ei + ea (para peças semi-esbeltas)
e1,ef = ei + ea + ec (para peças esbeltas)
300L
e ;NM
e f
a
sd
sd
i
Nota: apenas a parcela não minorada
pelo fator kM deve ser amplificada pelo
efeito de 2a ordem.
1
NNN
NNexp)ee(e
qk21gkE
qk21gk
aigc
gd
gd
ig N
Me
2) Estados Limites de Utilização
- Resume-se nas limitações de deslocamentos, tal como visto no capítulo de
flexão.
Ex.1) Dimensione as barras do pórtico da figura considerando :
• Dicotiledônea C60, classe 4, de 2a categoria;
• Seção retangular de madeira serrada com h = 4b;
• G = 2 kN =permanente de grande variabilidade;
• Q = 4 kN = sobrecarga;
• Comprimento de contenção lateral Lb = 4m.
G,Q
H
Q
V
4Q
d
A
V
d
Qd
d4Q
4Qd
Qd
dQ
A
C
dQ
4,8)42(4,1Q4,1G4,1Qd
00,4V0,4QCd
Solução:
HA = Qd
VA = VC VC = Qd => VA = Qd
G,Q
H
Q
V
4Q
d
A
V
d
Qd
d4Q
4Qd
Qd
dQ
A
C
dQ
Nsd=Qd=8,4 kN Msd=4Qd=4x8,4=33,60 kN.m Vsd=Qd=8,4 kN
MPa 2,194,1
60448,0
4,1
fkf k,0c
modd,0t
Ec0,ef = kmod.Eco,m = 0,448.24500 = 10976 MPa
kmod = kmod1.kmod2
.kmod3=0,7.0,8.0,8 = 0,448
- Resistência e rigidez de cálculo.
cm8 50
400
50
Lbb50L
f
M
6
b)(4b
f
M
6
bh
f
MWf
W
M
dt0,
sd
2
dt0,
sd
2
dt0,
sd
d,0c
sd
d,M
cm 8,691,92833603
f8M3
b 33
dt0,
sd
Seção adotada : 10x40
4010
400
b
Lb
b
Ec0,ef = kmod.Eco,m = 0,448.24500 = 10976 MPa
h/b=4 => 15,9M
35,9519,215,9
10976
f
E
dc0,M
c0.ef
0
MPa 17,254015,9
10976Ef
bM
efc0,*
dc0,
0b
*
dc0,22
sd
d,Mf MPa12,6
cm
kN1,26
4010
63360
W
M
- Estabilidade Lateral
cm 5 b cm 1,051,9248,4
f4N
b fN
AfAN
min
dt0,
sd
dt0,
sd
wd,0t
w
sd
d,c
- Pré-dimensionamento.
Condição de resistência na flexo-tração:
1ff
dt0,
dM,
dt0,
dN,
MPa 0,21cmkN
0,0214008,4
AN
2
w
sd
dN,
Ok! 1 0,6719,212,6
19,20,21
1ff
kf
1f
kff
dt0,
dMy,
dt0,
dMx,
M
dt0,
dN,
dt0,
dMy,
M
dt0,
dMx,
dt0,
dN,
0
0
d,MxdM,
2) Verificar se o pilar de Madeira Laminada Colada de Conífera, Classe C30, seção retangular, bi-articulado e submetido aos esforços conforme representado na figura atende os requisitos da NBR7190/97, considerando:- A estrutura está abrigada do intemperismo;- A excentricidade dos esforços normais eix = 7,0cm e eiy = 4cm;- Lfx e Lfy = 550cm;-NG1 = 3.200daN (ação permanente da estrutura de cobertura);-NG2 = 12.000daN (ação permanente das telhas);-Nv = 3.500daN (ação do veno);-NS = 3.000daN (sobrecarga);-QV = 180daN/m (vento).
QV
QV
cm99,12900
875.151A
Ir
cm77,5900
000.30AI
r
cm750.66/4520W
cm000.36/2045W
cm875.15112/4520I
cm000.3012/2045I
cm9002045A
y
y
x
x
42
y
42
x
43
y
43
x
2
- Solução
- Resistência e rigidez de cálculo
2m,0cmodef,0c
2
wc
k,0c
modd,0cd,0t
cm
daN101.500MPa 150.10500.147,0EkE
cm
daN150MPa 15
4,1
307,0
fkff
kmod = kmod1.kmod2
.kmod3=0,7.1,0.1,0 = 0,7
- Propriedades da seção
QV
cm.daN5,062.688
5508,1
8
LQM
cm.daN000.217000.3eNM
cm.daN000.124000.3eNM
cm.daN500.247500.3eNM
cm.daN000.144500.3eNM
cm.daN000.847000.12eNM
cm.daN000.484000.12eNM
cm.daN400.227200.3eNM
cm.daN800.124200.3eNM
22
V
Qv,y
ixSNs,y
iySNs,x
ixVNv,y
iyVNv,x
ix2G2G,y
iy2G2G,x
ix1G1G,y
iy1G1G,x
x-x
- Esforçoes de cálculo
m
2jj,Qj,01,QQ
n
1ii,GGd
FFFF
cm.daN540.106)000.124,0000.1475,0(4,1)000.48800.12(4,1M
)MM75,0()MM(M
d,x
Ns,xs,0Nv,xQ2G,x1G,xGd,x
cm.daN720.111)000.145,0000.12(4,1)000.48800.12(4,1M
)MM()MM(M
d,x
Nv,xv,0Ns,xQ2G,x1G,xGd,x
daN635.26)000.34,0500.375,0(4,1)000.12200.3(4,1N
)NN75,0()NN(N
sd
Ss,0VQ2G1GGsd
daN930.27)500.35,0000.3(4,1)000.12200.3(4,1N
)NN()NN(N
sd
Vv,0SQ2G1GGsd
QV
cm.daN5,062.688
5508,1
8
LQM
cm.daN000.217000.3eNM
cm.daN000.124000.3eNM
cm.daN500.247500.3eNM
cm.daN000.144500.3eNM
cm.daN000.847000.12eNM
cm.daN000.484000.12eNM
cm.daN400.227200.3eNM
cm.daN800.124200.3eNM
22
V
Qv,y
ixSNs,y
iySNs,x
ixVNv,y
iyVNv,x
ix2G2G,y
iy2G2G,x
ix1G1G,y
iy1G1G,x
y-y
- Esforçoes de cálculo
m
2jj,Qj,01,QQ
n
1ii,GGd
FFFF
cm.daN63,910.257M
]000.214,0)5,062.68500.24(75,0[4,1)000.84400.22(4,1M
)]M)MM(75,0[)MM(M
d,y
d,y
Ns,ys,0Qv,yNv,yQ2G,y1G,yGd,y
cm.daN75,153.243M
)]5,062.68500.24(5,0000.21[4,1)000.84400.22(4,1M
)]MM(M[)MM(M
d,y
d,y
Qv,yNv,yv,0Ns,yQ2G,y1G,yGd,y
1ff
kf
1f
kff
dc0,
dMy,
dc0,
dMx,
M
2
dc0,
dN,
dc0,
dMy,
M
dc0,
dMx,
2
dc0,
dN,
- Condição de resistência
2
y
d,y
d,My
2
x
d,x
d,Mx
2
sd
d,N
cmdaN
21,38750.6
63,910.257w
M
cmdaN
24,37000.3720.111
w
McmdaN
03,31900
930.27A
N
1422,0150
21,38150
24,375,0
15003,31
1418,0150
21,385,0
15024,37
15003,31
2
2
OK!
1ff
kf
1f
kff
dc0,
dMy,
dc0,
dMx,
M
dc0,
dN,
dc0,
dMy,
M
dc0,
dMx,
dc0,
dN,
- Condição de estabilidade
Eixo x, majorando Mx,d p/ o efeito de 2a ordem
Eixo y, majorando My,d p/ o efeito de 2a ordem
1f
kff
dc0,
dMy,
M
dc0,
dMx,
dc0,
dN,
x-x
2
y
d,y
d,My
2
sd
d,N
cmdaN
21,38750.6
63,910.257w
McmdaN
03,31900
930.27A
N
500.6000.3500.3NNN
200.15000.12200.3NNN
.)sob(5,02,03,0 )vento(2,002,0 8,0
)](NN[N
)](NN[ )1()ee(e
cm0,4)000.12200.3(4,1)000.48800.12(4,1
)NN(
)MM(
N
Me
cm833,1300
550
300
Le cm0,4
930.27
720.111
N
Me eeee
daN6,348.99550
000.30500.101L
IEN
Esbelta)- 80 ( 26,9577,5
550
r
L
SVqk
2G1Ggk
2121
21qkgkEx
21qkgk
ayigycy
2G1GG
2G,x1G,xG
gd
x,gd
igy
fx
ay
sd
dx,
iycyayiyefy,1
2
2
2
fx
xef,0c
2
Ex
min
fx
x
e
194,0150
21,385,0
150
4,90
150
03,31 1
fk
ff
cm
daN4,90
000.3
3,200.271
W
M
cm.daN3,200.27171,9930.27eNM
cm71,9930.2758,348.99
58,348.99983,6
NN
Nee
cm983,615,1833,14eeee
cm15,1)1()4833,1()1()ee(e
18,0)]5,0.(500.6200.15[58,348.99
)]5,0.(500.6200.15[8,0
)](NN[N
)](NN[
dc0,
dMy,
M
dc0,
dMx,
dc0,
dN,
2
x
d,x
d,Mx
dsdd,x
sdEx
Ex
ef,1d
cyayiyefy,1
18,0
ayigycy
21qkgkEx
21qkgk
ee
OK!
1ff
kf
dc0,
dMy,
dc0,
dMx,
M
dc0,
dN,
y-y
2
x
d,x
d,Mx
2
sd
d,N
cm
daN24,37
000.3
720.111
w
Mcm
daN03,31
900
930.27
A
N
165,0150
45,48
150
24,375,0
150
03,31 1
ffk
f
cm
daN45,48
6750
3,060.327
W
M
cm.daN3,060.32771,11930.27eNM
cm71,11930.272,952.502
2,952.502063,11
NN
Nee
cm063,11833,123,9e
cm833,1300
550
300
Le ;cm23,9
930.27
63,910.257
N
Me ;eee
daN2,952.502550
875.151500.101
L
IEN
esbelta)-Semi- 80 (40 33,4299,12
550
r
L
dc0,
dMy,
dc0,
dMx,
M
dc0,
dN,
2
y
d,y
d,My
dsdd,y
sdEy
Ey
x1dx
x1
fy
ax
sd
dy,
ixaxixx1
2
2
2
fy
yef,0c
2
Ey
y
fy
y
OK!
Exercícios propostos 1. Dimensionar um pilar de madeira, seção quadrada, bi-articulado e submetido aos esforços conforme representado nas Figuras para que o mesmo seja classificado como uma peça medianamente esbelta (max = 80). Considere:- As condições de vinculação são as mesmas nas direções x e y Lf = 420 cm.- Classe de umidade 1, madeira é classificada visual e mecanicamente;- Dicotiledônea Classe C60;- Excentricidade do esforço normal eix=2,5cm - NG = 5.000daN, Nv = 2.500daN, Qvx = Qvy = Qv = 60 daN/m. - Adotar para a valores a múltiplos de 5cm.
a
a
x
y
ixevxQ
vyQ
Lf
NG e NV
QV = 60 daN/m