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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Departamento de Estruturas
TEORIA DAS DEFORMAÇÕES
PROF DR. NILSON TADEU MASCIA
CAMPINAS, 2006 (REVISÃO 2021)
2
Nota do autor
Esta apostila tem por objetivo dar ao aluno que frequenta o curso de Mecânica dos
Sólidos um material complementar, que o auxilie no acompanhamento das aulas regulares.
Não tem por objetivo substituir livros de Mecânica dos Sólidos nem quaisquer outros
materiais didáticos.
Sumário 1. Introdução ........................................................................................................................... 3 2. Significado físico de deformação ....................................................................................... 3 3. Definição matemática de deformação ................................................................................ 5 4. Deformação elástica ........................................................................................................... 8
4.1 Lei de Hooke ................................................................................................................. 8 4.2 Cisalhamento puro....................................................................................................... 11 4.3 Lei de Hooke generalizada .......................................................................................... 13 4.4 Análise do coeficiente de Poisson ............................................................................... 14 4.5 Dilatação e módulo volumétrico ................................................................................. 16
5. Deformação no estado plano de tensão ............................................................................ 18 5.1 Equações para a transformação de deformação plana ................................................. 19 5.2 Círculo de Mohr para deformação .............................................................................. 23
6. Exercícios ......................................................................................................................... 25 6.1 Exercício nº1 ............................................................................................................... 25 6.2 Exercício nº2 ............................................................................................................... 26 6.3 Exercício nº3 ............................................................................................................... 28
7. Medidas de deformação - Rosetas .................................................................................... 31 8. Bibliografia ....................................................................................................................... 33
3
TEORIA DAS DEFORMAÇÕES
1. Introdução
A análise das deformações de um corpo sólido iguala-se em importância à análise de
tensões e se constituirá de no objeto de estudo nesta segunda parte dos tópicos dos cursos de
Mecânica dos Sólidos sobre a teoria das tensões e deformações.
Para isso será necessária a definição precisa de deformação em primeiro lugar, e das
relações entre tensão e deformação na forma da lei de Hoje generalizada, a seguir.
2. Significado físico de deformação
Um corpo sólido se deforma quando sujeito a ação de uma carga externa ou
mudanças de temperatura entre outras causas. Por exemplo, num ensaio de corpo de prova
de aço, como mostrado na Fig. 1, ocorre mudança no seu comprimento, entre dois pontos A
e B. A carga aplicada é crescente e os pontos A e B são genéricos.
Fig. 1 – Corpo de prova sob ensaio de tração
4
Nesse ensaio determina-se a variação do comprimento compreendido entre A e B
como se segue. Se l0 é o comprimento inicial e l é aquele observado sob tensão de tração, o
alongamento da barra vale:
∆l=l-l0
O alongamento por unidade de comprimento vale:
ε= ∫dl
l0=
l
l0
l-l0
l0
Esse alongamento por unidade de comprimento é chamado de deformação linear ou
específica, sendo uma quantidade adimensional, mas usualmente se pode referir a mesma por
cm/cm ou mm/mm. Algumas vezes é dada em porcentagem. A quantidade ε é numericamente
bastante pequena. Se considerar a variação do comprimento da peça, a expressão anterior
ficaria:
ε= ∫dl
l0=
l
l0
ln l]l0l =ln
l
l0
Além da deformação linear descrita acima, um corpo em geral pode se deformar
linearmente em outras duas direções. Analiticamente as direções são ortogonais entre si e
podem ser relacionadas nos eixos x, y, z. Assim, um corpo pode se deformar como mostrado
na Fig.2.
Fig. 2 - Deformações tangenciais
Tais deformações causam uma mudança nos ângulos inicialmente retos, entre linhas
imaginárias do corpo e essa alteração angular é definida por deformação cisalhante ou
deformação tangencial (γyz, γxz e γxy).
5
3. Definição matemática de deformação
As deformações variam de ponto a ponto num elemento estrutural infinitesimal
(continuidade do material). Para esclarecimento das deformações, via definição matemática,
toma-se um elemento infinitesimal (AB), como mostra a Fig. 3:
Fig. 3 - Deslocamento e deformação
Os pontos A e B passam para A’ e B’ respectivamente. Durante a deformação, o ponto
A sofre um deslocamento u. O deslocamento do ponto B é u+∆u, pois, além de u, comum a
todo elemento ∆x, ocorre o alongamento ∆u no elemento. Assim, a definição de deformação
linear é:
ε= lim∆x→0
u+(u+∆u)
∆x= lim
∆x→0
∆u
∆x=
du
dx
A Fig. 4 apresenta um corpo que sofre deformações ortogonais, para o caso
bidimensional.
Fig. 4 - Deslocamento e deformação: caso plano
6
As deformações decorrentes podem ser indicadas por meio de índices. Pela mesma
razão, é necessário mudarem-se as derivadas ordinárias para parciais. Dessa forma, se em um
ponto de um corpo os componentes de deslocamento nas direções x e y (caso bidimensional)
forem u e v, as deformações lineares são:
εx= u+
∂u∂x
dx-u
dx=
∂u
∂x
εy=
v+∂v∂y
dy-v
dy=
∂v
∂y
No caso tridimensional acrescenta-se:
εz= ∂w
∂z
Onde w representa o deslocamento na direção z.
O sinal positivo se aplica aos alongamentos e o negativo aos encurtamentos.
Além da deformação linear, um elemento pode sofrer uma deformação angular
(transversal), como mostrado na figura abaixo, em relação ao plano x-y:
Fig. 5 - Deformações tangenciais: caso plano
Essas deformações inclinam os lados do elemento deformado em relação aos eixos x
e y. Como v é o deslocamento na direção y, na direção x tem-se que a inclinação do lado PQ
inicialmente horizontal é ∂v ∂x⁄ .1
1 Num elemento do quadrado PRSQ
7
Para a visualização das deformações tangenciais do elemento do quadrado deformado
PRSQ toma-se um elemento triangular PQT da Fig.6:
Fig. 6 - Deformações tangenciais: análise de
Daí com esse elemento deformado pode-se determinar as deformações tangenciais.
Fig. 7 - Deformações tangenciais: análise de
Nesse sentido, com γxy
muito pequeno, vem:
cos (π
2+γ
xy) =-senγ
xy≅-γ
xy=γ
1+γ
2
Analogamente, o lado vertical gira de um ângulo ∂u ∂x⁄ , como consequência o ângulo
reto PRQ reduz de:
∂v
∂x+
∂u
∂y=γ
1+γ
2=γ
xy
dx=ds cos θ
dy=ds sen θ
8
Valendo essas considerações para pequenas variações dos ângulos γ1 𝑒 γ
2 de onde se
pode ter:
tg γ1≅sen γ
1≅γ
1, valendo também para γ
2.
O sinal positivo para a deformação angular se aplica quando é deformado segundo a
figura desenhada anteriormente, e pode-se relacionar com os τxy positivos na convenção de
sinais adotada anteriormente no estudo das tensões.
Para os planos xz e yz as definições são semelhantes, portanto:
∂w
∂x+
∂u
∂z=γ
zx= γ
xy
∂w
∂y+
∂v
∂z=γ
yz=γ
zy
Observação:
Uma importante observação sobre as relações deslocamento/deformação é que as
deformações, em número de seis, dependem de três deslocamentos. Assim as equações não
são independentes, necessitando de equações de compatibilidade para solução do problema.
a) Caso Tridimensional
Deformação: εx, εy, εz, γxy
,γxz
,γyz
Deslocamentos: u, v, w
b) Caso Plano
Caso Plano de Tensões
Deformação: εx, εy, εz,γxy
Deslocamentos: u, v, w
Caso Plano de Deformações
Deformação: εx, εy, εz, γxy
Deslocamentos: u, v
4. Deformação elástica
4.1 Lei de Hooke
Suponha-se que um corpo ou sólido em análise siga a lei de Hooke e seja constituído
de material isótropo. Define-se isotropia a propriedade de um material ter o mesmo
comportamento elástico em qualquer direção considerada.
A lei de Hooke é aplicada com as seguintes considerações:
9
a) Em todos os pontos de um sólido atua a mesma tensão , de direção constante,
sendo o comprimento l na direção de , o sólido sofre um alongamento:
∆l=σ×l
E
b) Na direção perpendicular à tensão no comprimento t, ocorre um encurtamento:
∆t=-ν×t×σ
E
Esquematicamente:
Fig.8 - Alongamento e contração na tração
Fazendo-se: ∆l
l=
σ
E
-∆t
ν×t=
σ
E
Igualando-se as expressões tem-se:
∆l
l=-
∆t
ν×t
Como: ∆l
l=εy
10
∆t
t=εx
Tem-se:
εy=-εx
ν → ν=-
εx
εy
Sendo ν chamado de coeficiente de Poisson e genericamente representado por:
νij=-εi
εj
=deformação lateral (-)
deformação axial (+)
Com ν variando entre 0 e 0,5, como será visto mais tarde.
É interessante notar que há, até agora, duas constantes de isotropia, E e ν, válidas para
x, y e z.
Considerando-se agora um elemento tridimensional solicitado segundo as direções
principais:
a) Aplicando-se apenas a tensão σ1:
∆l1'=l1×σ1
E ; ∆l2'=-
ν×l2×σ1
E ; ∆l3'=-
ν×l3×σ1
E
Fig. 9 - Lei de Hooke: caso tridimensional
b) Aplicando-se apenas a tensão σ2:
∆l1''=-ν×l1×σ2
E ; ∆l2''=
l2×σ2
E ; ∆l3''=-
ν×l3×σ2
E
c) Aplicando-se apenas a tensão σ3:
11
∆l1'''=-ν×l1×σ3
E ; ∆l2'''=-
ν×l2×σ3
E ; ∆l3''=
l3×σ3
E
Fazendo a superposição de efeitos juntando-se ∆l1 para os três casos tem-se:
∆l1'+∆l1''+∆l1'''=l1×σ1
E-ν×l1×σ2
E-ν×l1×σ3
E
∆l1'
l1+
∆l1''
l1+
∆l1'''
l1=
1
E[σ1-ν(σ2+σ3)]
∴ε1=1
E[σ1-ν(σ2+σ3)]
Analogamente para ∆l2 e ∆l3 tem-se:
ε2=1
E[σ2-ν(σ1+σ3)]
ε3=1
E[σ3-ν(σ1+σ2)]
4.2 Cisalhamento puro
Considerando-se o cisalhamento puro caracterizado pelo estado de tensão:
{σ1= -σ3=σ
σ2=0
A Fig.10 mostra uma chapa sob esse estado de tensão, as tensões tangenciais
associadas e o respectivo semicírculo de Mohr:
Fig. 10 - Cisalhamento puro
O alongamento específico na direção da tração seria:
12
ε =1
E[σ1-νσ2]
e:
ε =1+ν
Eσ
Tomando-se agora um elemento quadrático 1-2-3-4 cujas faces formam um ângulo
de 45º com as direções principais (tração e compressão), tem-se que a tensão normal nessas
faces é nula, atuando apenas uma tensão cisalhante , cujo valor é , como mostra o círculo
de Mohr. A diagonal l, horizontal, sofrerá um alongamento tal que:
∆l=l×ε=l1+ν
Eσ , pois ε=
1+ν
Eσ
Fig. 11 - Distorção do elemento
A diagonal vertical encurtará do mesmo valor e deste modo, o quadrado 1-2-3-4
torna-se um losango. Na figura a seguir os desenhos do quadro e do losango são repetidos,
mas com os pontos 1 e 2 fixos.
13
Fig. 12 - Distorção do elemento.
Assim, é verificado que a deformação se resume numa variação do ângulo reto, ou
seja, a distorção (variação do ângulo reto) vale, para pequenas deformações2:
γ≅tg γ≅∆l√2
∆l
√2
=2∆l
l=2ε
γ=21+ν
Eσ
Isolando-se o elemento 1-2-3-4̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ pode-se concluir que as tensões , iguais em módulo
às tensões principais , causaram a variação do ângulo reto. Vale portanto a relação (como
visto em torção):
γ=τ
G → γ=
σ
G
G=E
2(1+ν)
Esta relação vincula os três parâmetros elásticos para materiais isotrópicos: E, G, ν;
sendo, dos três, apenas dois independentes.
4.3 Lei de Hooke generalizada
Pode-se chegar, agora, ao nível de se indicar a lei de Hooke para um elemento
solicitado pelas tensões:
x, y, z, xy, xz e yz
2 Esta demonstração baseia-se no fato de ∆𝑙 ser “bastante” pequeno em relação a l e também E ser “bastante”
grande, como ocorre, aliás, nos materiais usuais.
14
Portanto, considerando-se o caráter linear das relações entre tensão e deformação, que
permite uma superposição de efeitos, tem-se a lei de Hooke generalizada:
εx=1
E[σx-ν(σy+σz)] ; γ
xy=
τxy
G
εy=1
E[σy-ν(σx+σz)] ; γ
xz=
τxz
G
εz=1
E[σz-ν(σx+σy)] ; γ
yz=
τyz
G
Os componentes de deformação (εx, εy, εz, γxy, γxz e γyz) definem o estado de
deformação, similar ao estado de tensão (este tridimensional).
4.4 Análise do coeficiente de Poisson
É interessante de se notar a análise do coeficiente de Poisson no sentido de quantificá-
lo numericamente e com isso também quantificar o valor de G função de E e , ou tendo G e
, determinar E, sendo a primeira situação a mais prática.
Imaginando-se para este fim um corpo cilíndrico de material isótropo carregado nas
bases com pressão P e lateralmente com P1, como mostra a figura:
Estado de tensão
σ1=-P
σ2=σ3=-P1
Fig. 13 - Pressão num sólido
15
Neste caso, tem-se o seguinte estado de tensão:
σ1=-P
σ2=σ3=-P1
A direção longitudinal é uma das principais e qualquer uma das direções transversais
pode ser também principal (a forma da seção transversal não influi). Escolhe-se agora a
relação entre P1 e P de tal modo que a deformação elástica consista apenas numa variação
dos comprimentos longitudinais sem variação da área da seção. Tem-se um estado linear de
deformação3 caracterizada por:
ε1≠0, ε2=ε3
Assim, com 1 = -P, 2 = 3 = P1, tem-se:
ε2=-1
E[P1-ν(P1+P)]=0→P1=
ν
1-νP
E, para 3 = 0, chegar-se-ia à mesma relação de pressões.
Fazendo-se:
ε1=∆l
l=
1
E[σ1-ν(σ2+σ3)]
Daí:
ε1= -P
E(1-2ν
ν
1-ν)
ε1=-P
E
2(0,5-ν)(1+ν)
1-ν
O encurtamento específico 1 exprime a “variação” de volume, porque a seção não
varia. Desta equação resulta < 0,5, pois, caso contrário, as pressões P e P1 produziriam
aumento de volume, o que não é possível.
Da equação
P1=ν
1-νP
Conclui-se que:
0
3 No estado linear de tensão tem-se 1 0, 2 = 3 = 0
16
Pois se < 0 significaria que a tendência da pressão longitudinal P de aumentar a
área deve ser combatida por uma tração transversal, que é compatível com a hipótese do
problema em estudo.
Há, portanto, os limites teóricos para o coeficiente de Poisson:
0 < < 0,5
Como exemplo numérico para o aço ≈ 0,3. Vale ressaltar que essas deduções
servem apenas para materiais isótropos.
Pode-se então analisar a relação:
G=E
2(1+ν)
Se = 0,3:
G=E
2(1+0,5)→G=
E
3
Conclusão:
G < E
Para o Aço como exemplo:
G 8.000 KN/cm2 e E = 21.000 KN/cm2
4.5 Dilatação e módulo volumétrico
Considera-se os lados de um elemento infinitesimal dx, dy, dz. Após a deformação os
lados ficam:
(1+εx)dx
(1+εy)dy
(1+εz)dz
Tomando-se agora o volume antes da deformação e depois da deformação tem-se:
dV=dxdydz
dV+∆dV=(1+εx)dx(1+εy)dy(1+εz)dz
Fazendo-se:
dV+∆dV-dV=(1+εx)dx(1+εy)dy(1+εz)dz-dxdydz
∆dV≅(εx+εy+εz) dxdydz
17
Nesse caso foram desprezados os produtos de deformação εxεy, εxεz, εyεz, εxεyεz, pois
são muito pequenos.
A variação de volume é frequentemente denominada de dilatação, e pode ser escrita
por:
e=εx+εy+εz=ε1+ε2+ε3
Sendo e um invariante de deformação.
No caso plano:
e=εx+εy=ε1+ε2
Observa-se, neste momento, que as deformações angulares () não causam variação
de volume.
Com base na lei de Hooke generalizada, a dilatação pode ser expressa em termos das
tensões e das constantes do material.
Assim:
e=εx+εy+εz
e=1
E[σx-ν(σy+σz)]+
1
E[σy-ν(σx+σz)]+
1
E[σz-ν(σx+σy)]
e=1-2ν
E(σx+σy+σz)
Daí tira-se que e é proporcional a (σx+σy+σz), que é também invariante (de tensões).
Portanto:
e=1-2ν
EΘ
Sendo:
Θ=(σx+σy+σz)
No caso de um corpo elástico submetido a uma pressão hidrostática de intensidade p,
tem-se:
σx=σy=σz=-p
Daí:
Θ=-3p
e=-31-2ν
Ep
Fazendo-se:
K=-p
e
Tem-se que:
18
K=E
3(1-2ν)
A quantidade K é chamada de módulo de compressão ou módulo volumétrico, e
representa a relação entre compressão hidrostática e a variação de volume.
5. Deformação no estado plano de tensão
Considerando um estado plano de tensões definido por:
{σx,σy,τxy≠0
σz,τxz,τyz=0
e esquematicamente definido por:
Fig. 14 - Estado de tensão
As expressões da lei de Hooke ficam:
εx=1
E(σx-νσy)
εy=1
E(σy-νσx)
εz=-ν
E(σx+σy)
εx,εy,εz,γxy
≠0
19
γxy
=τxy
G com G=
E
2(1+ν)
No caso plano de deformação tem-se:
εx,εy,γ
xy≠0
εz,γxz
,γyz
=0
E as expressões da lei de Hooke ficam4:
εx=1
E[σx-ν(σy+σz)]
εy=1
E[σy-ν(σx+σz)]
εz=1
E[σz-ν(σx+σy)] → σz=ν(σx+σy)
γxy
=τxy
G com G=
E
2(1+ν)
5.1 Equações para a transformação de deformação plana
As equações para a transformação de coordenadas para a deformação plana têm
desenvolvimento análogo ao de tensão.
Então, sendo conhecidas as tensões x, y e xy, deseja-se conhecer as deformações
x, y e xy. Assim:
εx=1
E(σx-νσy)→σz=0
εy=1
E(σy-νσx)→σz=0
εz=-ν
E(σx+σy)→σz=0
γxy
=τxy
G
4 Observação importante: no caso plano de deformação existe uma tensão z 0 o que implica um estado de
tensão triaxial
20
Fig. 15 - Estado de tensão
Deseja-se, também, conhecer as deformações em um plano girado d (anti-horário).
Para rotações de tensões tem-se:
σ�̅� =σx cos2θ+σy sen2θ+τxy sen2θ
σ�̅�=σx sen2θ+σy cos2θ-τxy sen2θ
τ𝑥𝑦̅̅̅̅ =σy-σx
2sen2θ +τxy cos2θ
Tomando-se um elemento dx, dy as deformações ficam como mostradas na figura:
Fig. 16 - Deformação no elemento
Para as direções x e y tem-se:
21
Fig. 17 - Deformação no elemento
E as deformações ficam:
εx̅=1
E(σx̅-νσy̅)
εy̅=1
E(σy̅-νσx̅)
εz̅=-ν
E(σx̅+σy̅)
γxy̅̅ ̅
=τxy̅̅ ̅
G
Substituindo-se na equação de εx̅ os termos de σx̅ e σy̅ vem:
εx̅=1
E[σx cos2θ+σy sen2θ+2τxysenθcosθ-ν(σx sen2θ+σy cos2θ-τxy senθcosθ)]
εx̅=1
E[cos2θ(σx-νσy)+sen2θ(σy-νσx)+2senθcosθ(τxy-ντxy)]
Daí:
εx̅= {cos2θ [1
E(σx-νσy)]} + {sen2θ [
1
E(σy-νσx)]} + {
2senθcosθ
E[Gγ
xy+νGγ
xy]}
Sendo:
γxy
G=γxy
E
2(1+ν)
22
Gγxy
+νGγxy
=E
2(1+ν)γ
xy+ν
E
2(1+ν)γ
xy=γ
xy
E
2[1+ν
1+ν] =γ
xy
E
2
Assim:
εx̅ = εx cos2θ+εy sen2θ+2senθcosθ
Eγ
xy
E
2
∴ εx̅ = εx cos2θ+εy sen2θ+γ
xy
2sen2θ
Ou, em arco duplo:
εx̅ = (εx+εy
2) + (
εx-εy
2) cos 2θ +
γxy
2sen2θ
Análogamente:
εy̅ = (εx+εy
2) + (
εy-εx
2) cos 2θ -
γxy
2sen2θ
γxy̅̅ ̅
= (εy-εx) sen 2θ - γxy
cos2θ
εz̅ = -ν
E(σx̅+σy̅)=-
ν
E(σx+σy)=-
ν
E(σ1+σ2)
Sendo o invariante:
σx̅+σy̅=σx+σy=σ1+σ2
Supondo-se agora dois casos particulares.
1. Os eixos x e y são principais:
σx=σ1, σy=σ2 e τxy=0→εx=ε1, εy=ε2 e γxy
=0
Ficando as expressões de εx̅, εy̅ e γxy̅̅ ̅
:
εx̅ = (ε1+ε2
2) + (
ε1-ε2
2) cos 2θ
εy̅ = (ε1+ε2
2) + (
ε2-ε1
2) cos 2θ
γxy̅̅ ̅
=(ε2-ε1) sen 2θ
2. Os eixos x̅ e y̅ são eixos principais
23
a. γxy̅̅ ̅
=0
0= (εy-εx) sen 2θ - γxy
cos2θ
tg2θ1=γ
xy
εx-εy
b. dεx̅
dθ=0 (máximo de uma função)
c.
εx̅ = (εx+εy
2) + (
εx-εy
2) cos 2θ +
γxy
2sen2θ
dεx̅
dθ = -2 (
εx-εy
2) cos 2θ +
γxy
22cos2θ=0
∴(εy-εx) sen 2θ +γxy
cos2θ=0=γxy̅̅ ̅
Logo dεx̅
dθ é extremo de uma função.
E as deformações principais podem ser escritas:
ε1
ε2
=εx+εy
2± √(
εx-εy
2)
2
+ (γ
xy
2)
2
As deformações tangenciais nestes planos são nulas.
A deformação máxima de cisalhamento ocorre nos planos a 45º com os planos
principais e vale:
1
2γ
max=√(
εx-εy
2)
2
+ (γ
xy
2)
2
5.2 Círculo de Mohr para deformação
Analogamente ao estado de tensão obtém-se:
24
R=√(εx-εy
2)
2
+ (γ
xy
2)
2
Fig. 18 - Círculo de Mohr
E como observações tem-se:
a) A deformação linear máxima é 1 e mínima é 2. Essas são as deformações
principais e nenhuma deformação angular () está associada a elas. As direções
das deformações principais coincidem com as das tensões principais.
b) A maior deformação angular é max e vale o raio do círculo de Mohr. Assim:
R=γmax
=ε1-ε2
2
c) A soma das deformações lineares em quaisquer duas direções mutuamente
perpendiculares é invariante:
εx+εy=ε1+ε2=constante
d) Nos planos em que as deformações angulares (cisalhantes) são máximas, as
deformações normais (lineares) são:
ε1+ε2
2
25
e) O ponto P do círculo funciona como polo e o círculo de Mohr é traçado
analogamente ao das tensões. E, finalmente, pode-se fazer a seguinte analogia
entre tensão e deformação:
Tensões Deformações
σx ε𝑥
σy εy
τxy 1
2γ
xy
σx̅ εx̅
σy̅ εy̅
τxy̅̅ ̅ 1
2γ
xy̅̅ ̅
6. Exercícios
6.1 Exercício nº1
Um elemento de um sólido se contrai de 5x10-4mm/mm, ao longo do eixo x, se alonga
de 3x10-4 na direção de y e se distorce de um ângulo de 6x10-2 rad, como mostra a figura.
Determinar as deformações principais e as direções nas quais elas atuam. Utilizar o Círculo
de Mohr para a solução do problema.
Solução:
Elemento deformado Analogia com tensão
Fig. 19 - Estado de deformação e de tensão associado
26
Fig. 20 - Círculo de Mohr
6.2 Exercício nº2
Sendo εa = 200 x 10-6 e b = 300 x 10-6 deformações nas direções a e b
respectivamente d um certo ponto numa chapa. Sabendo-se que a é a deformação e vale 2,
determine as tensões e as deformações para o ponto indicado. Dados: E = 20.000 KN/cm2,
= 0,3.
Fig. 21 - Estado de tensão
Solução:
27
Fig. 22 - Estado de tensão
εb=εy=300×10-6
εa=ε2=εx̅=200×10-6
O cálculo de x, y, e xy deverá ser feito pela lei de Hooke. Assim:
εb=εy=300×10-6
=1
20.000(σy-0,3σx)
σy-0,3σx=6 (I)
εa=εx̅=200×10-6
=(εx+300×10-6)
2+
(εx-300×10-6)
2cos(2×60°) +
γxy
2sen(2×60°)
εx+1,732γxy
=-100×10-6
(A)
Como a direção principal é obtida por rotação de 60º do eixo x-x tem-se:
tg(2×60°)=γ
xy
εx-300×10-6
=-1,732
-εx-0,577γxy
=-300×10-6
(B)
De (A) e (B) obtém-se:
εx=500×10-6
γxy
=-346×10-6
Com isto:
τxy=γxy
G=γxy
E
2(1+ν)=(-346×10
-6)20.000
2(1+0,3)
28
τxy=-2,7 kN/cm2
E:
εx=1
E(σx-νσy)=
1
20.000(σx-0,3σy)=500×10
-6
σx-0,3σy=10 (II)
De (I) e (II):
σx=13,0 kN/cm2
σy=9,9 kN/cm2
E o estado de tensão:5
Fig. 23 - Estado de tensão
6.3 Exercício nº3
Para a viga formada por um tubo de parede fina são dados:
εaa=-1,40×10-4
εbb=4,80×10-4
E=21.000kN/cm2
ν=0,3
5 Pode-se resolver este problema por rotação de eixo. Assim se:
εx̅=1
E(σx̅-νσy̅)
σx̅=…
σy̅=…
Obtêm-se condições básicas para solução.
29
Fig. 24 - Tubo de parede fina
Determinar F e T.
Solução:
Fig. 25 – Estado de tensão
a) Cálculo das tensões e deformações
O tubo segundo sua vinculação estará sujeito pelos esforços T e F e em qualquer
um dos seus pontos de uma seção transversal está relacionado ao estado de tensão da
Fig. 25.
Assim:
{
εaa=εy=-1,40×10-4
εbb=εx̅=4,8×10-4
30
Sendo y e z nulos pode-se obter por meio da expressão de y o valor de x.
εy=-1,40×10-4
=1
21.000[0-0,3(σx+0)]
σx=9,8 kN/cm2
Daí:
εy=1
Eσx
εx=1
21.000×9,8=4,67×10
-4
E:
εbb=εx̅=4,80×10-4
=4,67×10
-4-1,40×10
-4
2+
4,67×10-4
+1,40×10-4
2cos(2×45°) +
γxy
2sen(2×45°)
γxy
=6,33×10-4
E:
τxy=γxy
G=γxy
E
2(1+ν)=(6,33×10
-4)21.000
2(1+0,3)
τxy=5,1 kN/cm2
b) Cálculo dos esforços T e F
i. Momento torçor T
Em tubos de parede final tem-se:
τxy=2T
π×dm2×t
∴T=τxy×π×dm
2×t
2=
5,1×π×102×0,2
2
T=160 kN.cm
ii. Espaço normal F
σx=F
A→F=σx×A
F=σx×π×d×t=9,8×π×0,10×0,2
31
F=61,6kN
c) Sentido dos esforços:
Sendo σx e γxy
positivos tem-se:
Fig. 26 - Tubo de parede fina – esforços
7. Medidas de deformação - Rosetas
Extensômetros elétricos de resistência são pequenos instrumentos de uso comum
em laboratórios de análise experimental quando se deseja medir deformações. Fazendo-se
composições com os extensômetros pode-se chegar a um conjunto chamado roseta.
Na Fig. 27 são apresentados dois tipos de rosetas. Uma denominada de retangular e a
outra de delta.
Arranjos de sensors Roseta retangular Roseta delta
Fig. 27 - Composições com os extensômetros.
Se conhecidos θ1, θ2 e θ3 e εθ1, εθ2 e εθ3, podem-se obter εx, εy e γxy
pelas expressões:
εθ1= εx cos2θ1+εy sen2θ1+ γxy
cosθ1sen θ1
εθ2= εx cos2θ2+εy sen2θ2+ γxy
cosθ1sen θ2
32
εθ3= εx cos2θ3+εy sen2θ3+ γxy
cosθ1sen θ3
Se θ1=0º, θ2=45º e θ3=90º, tem-se o caso da roseta retangular:
εx=ε0°
εy=ε90°
ε45°=εx
2+
εy
2+
γxy
2
∴γxy
=2ε45°-(ε90°+ε0°)
Se θ1=0º, θ2=60º e θ3=120º, tem-se o caso da roseta delta:
εx=ε0°
εy=(2ε60°+2ε120°-ε0°)
3
γxy
= (2
√3) (ε60°-ε120°)
A aplicação da técnica das rosetas em problemas experimentais de análise de tensão
é bastante rotineira.
Exemplo:
Se εa = 15010-6, b = 30010-6 e c = 15010-6 são deformações em x, y e a distorção
xy .
Fig. 28 - Exemplo - Extensômetros
Solução:
Aplicando-se a expressão da roseta retangular obtém-se:
33
εx=ε0°=εa=150×10-6
εy=ε90°=εc=150×10-6
ε45°=εb=εx
2+
εy
2+
γxy
2
γxy
=0
Ou:
γxy
=2ε45°-(ε0°-ε90°)
γxy
=0.
8. Bibliografia
FEODOSIEV, V.I. Resistencia de Materiales. Moscou: Editora Mir, 1980, 583p.
POPOV, E.G. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Editora Edgard Blucher
Ltda, 1978. 534p.
SCHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. São Paulo: Harpet & Row do
Brasil, 1984. 395p.
