UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Departamento de Estruturas

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

PROF DR. NILSON TADEU MASCIA

CAMPINAS, JUNHO DE 2006 (REVISÃO 2020)

2

Sumário

1.Introdução

2.Critérios de Resistência Utilizados

2.1 Critérios Obsoletos de Resistência

2.1.1 Critério da maior Tensão Normal (Material Frágil)

2.1.2 Critério de Tresca

2.1.3 Critério de Saint Venant

2.2 Critérios Usuais de Resistência

2.2.1 Representação Gráfica de Mohr (1835-1918) ou Critério de Mohr

2.2.2 Critério de Coulomb (1736 - 1806)

2.2.2.1 Critério de resistência para material sem coesão (τc = 0)

2.2.2.2 Critério de resistência para material coesivo (τc ≠ 0)

2.2.3 Critério de Energia de Distorção

2.2.4 Esquema de Comparação entre as Teorias/Outros Critérios

2.2.5 Critério de Nadai

3.Exemplos

4.Bibliografia

3

Nota do autor

Esta apostila visa dar ao aluno que frequenta o curso de Mecânica dos Sólidos um

material complementar, que o auxilie no acompanhamento das aulas regulares. Não tem por

objetivo substituir livros de Mecânica dos Sólidos nem quaisquer outros materiais didáticos.

1. Introdução

De um modo geral, uma estrutura deve ter a sua segurança verificada contra diferentes

estados limites, nos quais a mesma deixa cumprir suas finalidades existenciais.

De acordo com o CEB (Comité Européen du Béton), os estados limites são

classificados da seguinte maneira: estados limites últimos, que são aqueles correspondentes

ao valor máximo da capacidade de suporte da estrutura, e, estados limites de serviço, que

decorrem de critérios de utilização normal ou de durabilidade.

Exemplos de estados limites últimos:

Perda de estabilidade de uma parte ou do conjunto da estrutura assimilada a um corpo

rígido;

Ruptura de seções críticas da estrutura;

Transformação de uma estrutura em um mecanismo;

Sensibilidade da estrutura aos efeitos de repetições das ações (fadiga).

Exemplos de estados limites de serviço:

Deformação excessiva para uma utilização normal da estrutura;

Deslocamento excessivo sem perda do equilíbrio;

Vibrações excessivas.

Essa classificação considera de uma maneira ampla os estados limites que podem ser

atingidos pelas estruturas, ou por suas partes, como decorrência das ações que atuam sobre

as mesmas. Ação é definida como qualquer influência ou conjunto de influências capazes de

produzir Estados de Tensão na Estrutura.

Um estado limite último ocorre quando a estrutura esgota a sua capacidade de suporte,

deixando de apresentar as características exigíveis para sua utilização. Nesse caso, surge uma

deficiência estrutural, caracterizada pelo aparecimento de danos estruturais.

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Um estado limite de serviço existe quando ficar comprometida a durabilidade da

estrutura ou quando ficar prejudicada a utilização funcional da construção. Não há nesse caso

danos estruturais que de imediato comprometam a integridade da estrutura ou para utilização

normal da construção.

Neste tópico sobre critérios de resistência, constitui-se de interessa aquilo que se

estabelece para se precaver de um estado limite último, focando-se mais em termos de ruptura

das seções críticas ou por decorrência de estrutura em si.

Salienta-se agora que eventuais ações conduzem a estrutura à ruptura, para que se

sejam adotados critérios de segurança para as estruturas adequados. Contudo, pergunta-se:

que tipos de ações interessam ou são de interesse prático. Ou ainda: que tipo de ações

solicitam a estrutura levando-a a um estado limite último por ruptura do material.

Por exemplo: a segurança contra a ruptura de uma barra tracionada é julgada pela

comparação com ensaios de tração em corpos de prova feitos de material da barra. Para uma

caldeira sujeita a tração em duas direções ou eixo de máquina sujeito a flexão e torção, seria

incômodo identificar para cada combinação o respectivo ensaio.

Dessa maneira, um critério de resistência pretende interpretar tais casos (solicitações

complexas), partindo apenas de um ensaio simples (tração), ou pelo menos de um número

restrito de parâmetros do material.

Cada critério de resistência é uma hipótese de julgamento: primeiro discrimina-se de

maneira arbitrária mais plausível, o fenômeno responsável pela ruptura, depois tiram-se

conclusões a respeito das combinações possíveis de solicitação e finalmente verifica-se a

veracidade do critério pela comparação entre o comportamento real do material em tais casos

de ações combinadas e a hipótese básica.

A variedade dos materiais utilizados na construção não permite adotar um único

critério. Da vasta gama de critérios para interpretar a ruptura, serão descritos aqui só aqueles

mais usuais e recomendados pelo uso prático.

Observa-se que certos materiais como o concreto armado (material não homogêneo),

a madeira (material não isótropo), não se enquadram em nenhum dos critérios conhecidos.

Julga-se a resistência de uma peça com base em uma série de valores empíricos estabelecidos

por ensaios e codificados por normas técnicas através de algum método de verificação de

segurança.

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Diante desse quadro pode-se definir como finalidade dos critérios de resistência a

substituição das normas de cálculo por uma hipótese uniforme de trabalho. O

desenvolvimento moderno parece tomar rumo no sentido oposto, substituindo-se os critérios

por prescrições detalhadas de cálculo, até nos materiais que são caracterizados como

homogêneos e isótopos (aço por exemplo).

2. Critérios de Resistência Utilizados

Ao longo da investigação científica em Resistência dos Materiais, encontram-se

vários critérios de resistências. Descreve-se a seguir alguns mais antigos e posteriormente

dar-se-á ênfase nos critérios mais utilizados atualmente.

2.1 Critérios Antigos de Resistência

2.1.1 Critério da maior Tensão Normal (Material Frágil)

A teoria da maior tensão normal ou máxima tensão normal (creditada a W. J. M.

Rankine, 1820-72) estabelece que a ruptura (resistência) de um material ocorre quando a

máxima tensão normal em um ponto atinge um valor crítico.

O valor crítico da tensão σlim é usualmente determinado por ensaio de tração. A

evidência experimental indica que essa teoria é adequada aos materiais frágeis em todas as

faixas de tensão, contanto que exista uma tensão principal de tração. Este mecanismo falha

drasticamente para materiais dúcteis, que é acompanhada de grandes deformações, devido

aos deslizamentos ao longo dos planos de máxima tensão de cisalhamento.

A teoria da máxima tensão pode ser interpretada em gráfico, mostrado na Figura 1.

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Figura 1 - Envoltória de resistência segundo Rankine.

Na Figura 1 a tensão normal máxima corresponde a tensão de ruptura (𝜎𝑟𝑢𝑝) e as

tensões normais atuantes máximas ou principais (𝜎1, 𝜎2). A relação entre tais tensões em seu

limite deve ser a unidade e tais relações definem uma região que engloba a sua parte interna

e é denominada de envoltória de resistência, que indica se a estrutura tem segurança segundo

esse critério.

2.1.2 Critério de Tresca

O critério da maior tensão de cisalhamento, ou máxima tensão de cisalhamento (ou

Tresca, 1868) interpretou melhor, na época, o comportamento de materiais dúcteis até surgir

o critério da energia de distorção.

Esse critério resultou da observação de que num material dúctil, durante o escoamento

ao longo dos planos criticamente orientados, ocorre um deslizamento entre as superfícies.

Isso sugere que a tensão de cisalhamento máxima executa um importante papel e admite-se

que o escoamento do material dependa apenas da máxima tensão de cisalhamento alcançada

no interior do elemento.

Dessa maneira sempre que um valor crítico cr é atingido inicia-se o escoamento do

material.

Para um dado material, esse valor é usualmente feito igual à tensão de cisalhamento

no escoamento em tração simples ou compressão (fy). Assim:

σmax=√(σx-σy)2

2+τxy

2

7

Se x = 1 0, y = xy = 0 (caso linear)

τmax=τcr= |±σ1

2| =

σesc

2=

fy

2

Esse valor significa que, por exemplo, num ensaio de tração se σesc é encontrado no

ponto de escoamento, a tensão máxima de cisalhamento é metade daquele valor. Observa-se

que o Círculo de Mohr pode mostrar tal situação.

Se:

σx=σ1;σy=σ2 e τxy=0

Analisar-se-á dois casos:

a) σ1 e 2 > 0 e 3 = 0

Mostrando-se no círculo de Mohr tem-se

Figura 2 - Círculo de Mohr para o caso a.

Na Figura 3 estão indicados os planos de deslizamento.

8

Figura 3 - Planos de deslizamento.

b) 1 > 0 e 2 < 0 e 3 = 0

Figura 4 - Círculo de Mohr para o caso b.

Na figura 5 está indicado os planos de deslizamento

9

Figura 5 - Planos de deslizamento.

Aplicando-se estas considerações a um gráfico tem-se a Envoltória de Resistência

segundo Tresca. Nesse caso tensão normal máxima corresponde a tensão de escoamento

(𝜎𝑒𝑠𝑐) e as tensões normais atuantes máximas ou principais (𝜎1,𝜎2):

Figura 6 - Envoltória de resistência segundo Tresca.

2.1.3 Critério de Saint Venant

O terceiro critério analisado é o critério da máxima deformação, ou do maior

alongamento possível, proposto por Saint Venant (1797 - 1886), baseado na hipótese, porém

não confirmada por ensaio, de que o valor da máxima deformação εmax é responsável pela

ruptura do material. Admitindo-se que a maior tensão seja:

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σ1>0

Tem-se pela Lei de Hooke que:

εmax=ε1=1

E[σ1-ν(σ2+σ3)]

Igualando-se esse valor ao caso ideal de tração simples: ε1 = 𝜎𝑖/E e impondo um

limite para a tensão normal de:

σ𝑖=σ1-ν(σ2+σ3)≤ �̅�

onde σ̅ é a tensão admissível do material, podendo ser a tensão de escomento ou de

ruptura.

No caso particular de:

σx=σ;σy=0;τxy=τ e σ3=0

resulta em:

σi=[σ1-νσ2]

com:

{σ1

σ2=

σx+σy

2±√(

σx-σy

2)

2

+τxy2→ {

σ1

σ2=

σ

2±

1

2√σ2+4τ2

∴σ𝑖=1-ν

2σ +

1+ν

2√σ2+4τ2

Graficamente a envoltória de resistência é definida por:

Figura 7 - Critério de resistência segundo Saint Venant.

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2.2 Critérios Usuais de Resistência

2.2.1 Representação Gráfica de Mohr (1835-1918) ou Critério de Mohr

A envoltória de Mohr foi construída conforme o seguinte procedimento: vários corpos

de prova de um mesmo material são submetidos a vários tipos de solicitação, crescentes até

a ruptura.

As tensões principais encontradas no momento da ruptura são representadas no

gráfico de Mohr desenhando-se os respectivos círculos com diâmetro “σ1-σ3”, seguindo a

convenção (σ1≥σ2≥σ3), como mostra a figura.

Figura 8 - Envoltória de resistência segundo Mohr.

A envoltória de todos os círculos representantes de solicitação de ruptura define uma

região sem ruptura, ou seja, uma região de segurança, para os círculos de Mohr, que

representarem as tensões principais atuantes numa estrutura.

A segurança da estrutura mediante a uma envoltória obtida experimentalmente é a

base do critério de resistência de Mohr (1835-1918).

Para certos materiais, a envoltória pode ser dividida em três trechos,

aproximadamente lineares:

1. Tangente 1 vertical ao círculo correspondente à tração simples que indica a ruptura

por separação de partes do material;

2. Parte 2 inclinada, tangente aos círculos de ruptura com escoamento;

3. Parte horizontal tangente aos círculos que representam escoamento plástico sem

ruptura.

Obs.: Nos materiais frágeis, não há o trecho 3.

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Algumas observações podem ser feitas sobre o critério de Mohr:

A interpretação gráfica é apenas qualitativa sem pretensão de exatidão.

A ruptura fica confinada ao maior diâmetro dos três círculos, ou seja, σ1-σ2 e σ2-

σ3 estão no interior de σ1-σ3. Isto implica que σ2 não influi no processo de ruptura,

o que é fisicamente absurdo.

O critério de Mohr é aplicado na teoria de ruptura do concreto, onde σ2 não é maior

que as incertezas do estudo da qualidade do material. Esse critério é geralmente

utilizado em materiais de característica tal que fc>ft, ou seja, areia, solo coesivo

(mecânica dos solos), ferro fundido, concreto e metais não dúcteis (ferro fundido).

Para materiais dúcteis, teorias mais precisas devem ser utilizadas.

2.2.2 Critério de Coulomb

O critério de Coulomb (1736-1806) interpreta a resistência à ruptura como uma

espécie de atrito interno do material. O material fica caracterizado por dois parâmetros:

1. A resistência ao cisalhamento na ausência de tensões normais chamada de

“coesão” τc.

2. O ângulo de atrito interno φ.

Considera-se dois casos:

2.2.2.1 Critério de resistência para material sem coesão (τc = 0)

A ruptura se dá, conforme Coulomb, quando o vetor de tensão de compressão forma

com o plano de ruptura um ângulo maior que o ângulo de atrito interno. A areia é um exemplo

de material que segue esse critério.

Figura 9 - Ângulo máximo do vetor tensão e região sem ruptura.

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σ1<0 e σ3<0

Calculando-se o maior ângulo possível do vetor de tensão t para o estado de tensão

σ1 e σ3 tem-se:

sen α=(σ1-σ3)/2

−(σ1+σ3)/2

sen α=σ3-σ1

σ3+σ1

Com:

tg α= |τ

σ|max

Enquanto α<φ não haverá ruptura. Com isto tem-se uma região de segurança formada

pelas retas que fazem um ângulo y com o eixo σ. Para qualquer estado de tensão em que os

círculos de Mohr recaiam no interior desta região não haverá ruptura.

Formulando-se algebricamente o critério tem-se:

σ3-σ1

σ3+σ1

≤sen φ ∴ σ1

σ3

≥1-sen φ

1+sen φ=tg2 (45°-

φ

2)

2.2.2.2 Critério de resistência para material coesivo (τc ≠ 0)

Tem-se agora um material coesivo com τc ≠ 0, sendo a argila um exemplo desse tipo

de material. O critério expressa que essa tensão cisalhante τc é absorvida pelo material e que

a ruptura se dá quando o ângulo do vetor restante com a superfície de ruptura de tensão t for

maior que o ângulo φ, conforme mostra a figura:

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Figura 10 - Ângulo do vetor de tensão.

Na próxima figura está indicada a envoltória de resistência deste critério, bem como

a relação entre os parâmetros envolvidos.

Figura 11 - Envoltória de resistência e relação entre os parâmetros.

Os dois parâmetros que caracterizam o material são: φ e τc

Com base na Figura 11, podem-se relacionar estes parâmetros.

𝜎𝑡=𝑓𝑡 e σc = 𝑓𝑐

Portanto, se conhece τc e φ tem-se:

sen φ=

ft

2τc

tg φ-

ft

2

15

ft=2τccosφ

1+sen φ

sen φ=|fc|

τc

tg φ+

fc

2

∴|fc| =2τccosφ

1-sen φ

Inversamente se conhece fc e ft tem-se:

τc=1+sen φ

2cosφft=

1-sen φ

2cosφ|fc|

∴sen φ=|fc|-ft

|fc|+ft

Como a maioria dos estados de tensão na prática são considerados planos, é

conveniente utilizar outra representação do Critério de Coulomb que é mais perfeita que a

representação de Mohr, pois não tem o defeito conceitual do esquecimento do efeito da tensão

média 2.

No caso do estado de tensão definido por σ3=0 com σ1 e σ2 podendo assumir valores

qualquer, a convenção σ1 σ2 σ3 é abandonada.

Pode-se então representar um estado plano de tensão por um ponto P (σ1 e σ2) num

sistema de coordenadas x = σ1 e y = σ2. Busca-se a região de segurança destes pontos “P”

conforme o critério de Coulomb.

Obs.: Este caso é utilizado para materiais com coesão τc = 0, o que implica na nulidade

das tensões existentes, devido à nulidade de uma das tensões principais, senão ocorreria

ruptura do material.

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Figura 12 - Exemplo do Critério de Coulomb para a areia.

Assim, para a areia, casos planos são impossíveis.

Seja a figura:

Figura 13 - Campo de variação para os círculos de Mohr.

que repete a representação de Mohr e P (σ1 e σ2) pode assumir nos círculos T e C. Assim para

σ1 e σ2 positivos vale o círculo T porque σ3 = 0 e não permite que este círculo avance para a

direita.

Para construção da nova representação gráfica tem-se, neste caso, parte da construção.

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Figura 14 - Nova representação para o Critério de Coulomb.

Quando 2 assume um valor negativo, 2 = - b, da figura, 1 tem que diminuir com

a, de acordo com:

σ1=σ2

1-sen φ

1+sen φ↔a=b

1-sen φ

2cosφ↔a=k.b

k=constante para φ=φ0

Esta proporcionalidade determina a fase dois:

Figura 15 - Envoltória de resistência para o Critério de Coulomb.

O contorno C1-C2-C3 fica determinado pelo círculo C da figura 13.

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Assim:

a+c=σt=ft

b+c2

-ft

2b+c

2-c+

ft

2

=sen φ=b+c-ft

b-c+ft

=b-a

b+a=sen φ

Exemplo de aplicação

a=b(1-sen φ)

(1+sen φ)

Seja uma viga de ferro fundido com as seguintes tensões normais admissíveis de

tração e de compressão: σadm,t=4 kN/cm2 e σadm,c = -8kN/cm2, valores obtidos através de

ensaios de laboratório.

Considerando-se o seguinte estado de tensão num determinado ponto da estrutura:

σ1 = - 7 kN/cm2, σ2 = -6 kN/cm2. Pergunta-se: este estado de tensão é admissível? Ainda num

outro ponto, para o estado de tensão: σ1 = 3 kN/cm2, σ2 = -4 kN/cm2 (σ3 = 0), verificar se o

mesmo é admissível.

Solução:

Construindo-se o diagrama de (σ1 e σ2) conforme a segunda representação do critério

de Coulomb, Figura 16, tem-se:

Figura 16 - Verificação gráfica dos estados de tensão (em kN/cm2).

Para os estados de tensão plota-se no gráfico da Figura 16 os pontos correspondentes, ou

seja:

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P1 {σ1<σadm,c

σ2<σadm,c P2 {

σ1<σadm,t

σ2<σadm,c

Resultando em:

-Ponto P1 (-7,-6) (kN/cm2) 3º quadrante dentro da região admissível: estado de

tensão possível.

-Ponto P2 (3,-4) (kN/cm2) 4º quadrante fora do quadrante admissível: estado de

tensão não possível.

2.2.3 Critério de Energia de Distorção (Critério de von Mises)

Este critério teve historicamente diversos autores: E. Beltrami (1885); Mt. Iluber

(1904), R. von Mises (1913), H. Hencky (1925). É conhecido por esse fato por Critério de

von Mises.

Esse critério tem grande aceitação para materiais dúcteis e isotrópicos. Exemplo: Aço

doce. Uma particularidade dos materiais dúcteis está nos valores próximos (encontrados em

ensaios de laboratórios) da resistência à compressão e a resistência à tração simples: fc = ft.

Neste método, a energia elástica total é dividida em duas partes: uma associada com

as mudanças volumétricas do material, e outra causando distorções (forma) de cisalhamento.

Igualando a energia de distorção (de cisalhamento) no ponto de escoamento à tração simples,

com aquela sob tensão combinada, fica estabelecido o critério de escoamento para tensão

combinada.

A seguir é feita a dedução da expressão para a compressão para a condição de

escoamento com tensão combinada.

Primeiramente deve ser empregado o procedimento do estado geral de tensão. Esse

se baseia no conceito da superposição de efeitos. Considerando-se um estado da tensão: σ1,

σ2, σ3, tensões principais:

σij= [

σ11 0 0

0 σ22 0

0 0 σ33

]

A tensão média vale:

σm=σ11+σ22+σ33

3=

σ1+σ2+σ3

3

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com: {

σ11=σ1

σ22=σ2

σ33=σ3

A tensão σij pode ser considerada como superposição de dois estados de tensão, ou

matricialmente como:

[σij] = [σm] + [σij]d

Ou:

[

σ11 0 0

0 σ22 0

0 0 σ33

] = [

σm 0 0

0 σm 0

0 0 σm

] +

[

σ11-σm 0 0

0 σ22-σm 0

0 0 σ33-σm

]

Sendo [σij]d chamado de “tensor” tensão desviatória de distorção. Assim, tem-se de

forma indicial:

σij=(σij)d+σmδij

Sendo δij chamado de delta de Kronecker e vale:

δij= [1 0 0

0 1 0

0 0 1

] δij=1↔i=j

δij=0↔i≠j

Pode-se mostrar essa solução através da seguinte figura:

Figura 17 - Superposição dos estados de tensão.

Uma associação com tração simples pode ser feita com a esquematização:

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Figura 18 - Superposição dos estados de tensão.

Nota-se que na Figura 18 há dois estados de tensão com tração e compressão simples

em planos mutualmente perpendiculares, que é equivalente ao estado de cisalhamento puro.

Esse estado de tensão não produz variações volumétricas, mas apenas variações de forma ou

distorções.

Feita a base de cálculo para solução ou decomposição do estado de tensão em

componentes de dilatação e distorção, pode-se achar a parcela da energia de deformação

devido à distorção.

Colocando-se a expressão da energia de deformação num sistema de eixos x, y, z,

tem-se:

Utotal =1

2E(σx

2+σy2+σz

2)-ν

E(σxσy+σyσz+σzσx)+

1

2G(τxy

2+τyz2+τzx

2)

onde: E é o módulo de elasticidade, G o módulo de elasticidade transversal e ν o

coeficiente de Poisson.

Essa energia total pode ser escrita como a soma de duas parcelas, denominadas de

energia de dilatação e energia de distorção, ou:

Utotal = Udil + Udist

Para tensões principais, tem-se:

τxy = τyz = τzx = 0

Assim, a expressão anterior fica:

Utotal=1

2E(σ1

2+σ22+σ3

2)-ν

E(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)

Fazendo-se:

σ1=σ2=σ3=p

22

E:

σ1+σ2+σ3

3=p

Tem-se a energia de dilatação:

Udil=1

2E(3p2)-

ν

E(3p2)=

3

2E(1-2ν)p2

Udil=(1-2ν)

6E(σ1+σ2+σ3)

2

Fazendo-se Utotal - Udil = Udist, e sabendo-se que G=E

2(1+ν) tem-se:

Udist =

1

12G[(σ1-σ2)

2+(σ2-σ3)

2+(σ3-σ1)

2] (A)

Da hipótese de que a energia de distorção geral deve ser igual à máxima energia de

distorção na tração simples, sendo que essa condição ocorre com:

σ1=σesc ,σ2=σ3=0

e a energia de distorção vale:

Udist=

2σ2esc

12G (B)

Fazendo-se A = B tem-se:

(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)

2+(σ3-σ1)

2=2σesc2

que representa a equação de um cilindro.

Para o estado plano de tensão σ3 = 0 tem-se:

(σ1

σesc

)2

- (σ1

σesc

×σ2

σesc

) +(σ2

σesc

)2

=1

Esta é uma equação de uma elipse, que representa a envoltória de resistência desse

critério e é mostrada na Figura 19:

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Figura 19 - Região de segurança para o critério de von Mises.

Nesse critério é definida tensão denominada de tensão ideal:

σi=√1

2[(σ1-σ2)

2+(σ2-σ3)

2+(σ3-σ1)2]

Observações:

(i) É importante observar que a teoria da Energia de Distorção não provoca alteração

se adicionarmos tração ou compressão hidrostática (1 = 2 = 3 = c). Isso se deve ao fato

de apenas as diferenças de tensões (1 - 2), (2 - 3), (3 - 1), estão envolvidas nas

expressões regentes desse critério. Num círculo de Mohr o estado hidrostático representa

apenas um ponto, enquanto o estado das diferenças entre as tensões principais círculos.

(ii) Se as tensões principais começarem a variar há perigo do material sair da zona de

segurança, pois ao estado hidrostático somou-se um estado desviatório de tensão. Obs.:

Algebricamente está se somando uma constante a cada uma das tensões existentes, o que não

altera o valor crítico de escoamento.

Como visto, na equação com (1, 2, 3) no espaço tridimensional, a superfície de

escoamento é um cilindro cujo eixo n⃗ tem os cossenos, diretores iguais a 1 √3⁄ . Assim,

considerando-se {e1,e2,e3} uma base de um espaço vetorial de vetores unitários, o vetor total

de tensões: t (1, 2, 3) pode ser escrito por:

t =σ1e1⃗⃗ ⃗+σ2e2⃗⃗ ⃗+σ3e3⃗⃗ ⃗

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Figura 20 - Representação gráfica dos vetores de tensão.

Na Figura 20 tem-se h⃗ o vetor da parcela hidrostática e d⃗ o vetor afastamento do

vetor total e:

d⃗ =t ⃗- h⃗⃗

(ii) A próxima figura mostra a representação tridimensional do Critério de von Mises.

Outro fato importante é que o critério de Tresca o plano σ1-σ2 está contido na elipse de

escoamento do critério da energia da distorção.

Figura 21 - Representação tridimensional do Critério de von Mises.

(iv) Caso prático

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Da condição:

(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)

2+(σ3-σ1)

2≤2σesc2 (C)

Para um caso plano, com 3 = 0, correspondente, por exemplo, a um ponto de uma

viga, tem-se o seguinte estado de tensão:

σx=σ; σy=0; τxy=τ

As tensões principais valem:

σ1

σ2=

σ

2±√

σ2

4+τ2

Fazendo-se em (C) σi ≤σesc ou para certos casos σi ≤ σadm , sendo σi a tensão ideal

que é comparada com a tensão de escoamento na tração simples ou com a tensão admissível,

tem-se:

σi=√σ2+3τ2

2.2.4 Esquema de Comparação entre as Teorias/Outros Critérios

Para um ensaio padrão de um cilindro de parede fina, solicitado por pressão interna e

tração, composto de ferro fundido, aço e alumínio, tem-se a representação gráfica dos

critérios apresentada na figura a seguir:

Figura 22 - Representação gráfica de todos os critérios apresentados.

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Nota-se que existe uma adequação dos materiais não dúcteis (ferro fundido) e dúcteis

(aço e alumínio) as teorias analisadas.

Outros materiais como concreto há outras como a Teoria de Griffith e para a madeira

pode-se citar o critério de Norris, que não serão aqui analisadas.

2.2.5 Critério de Nadai

Foi proposto por Nadai (1925) uma extensão do critério da Energia de Distorção para

materiais que tenham ft fc. Introduzindo-se a relação 𝜌 =𝑓𝑡

|𝑓𝑐 |, a tensão ideal i a ser

comparada com a resistência à tração fica:

1/2[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)

2+(σ3-σ1)

2]+(ρ-1)(σ1+σ2+σ3)σi≤ ρσi2

3. Exemplos

Exemplo 1 - Um determinado material segue o critério da energia de distorção (critério de

von Mises) e tem os seguintes valores para as constantes elásticas: E = 2.000 kN/cm2 e ν =

0,4 e apresenta uma segurança para 3. Uma carga axial de 1000 kN atua sobre um corpo de

prova cilíndrico desse material de 20 cm de diâmetro, estando o corpo de prova dentro de um

cilindro, rígido, vazado, com diâmetro interno de (20 + ) cm. Pergunta-se: qual é o máximo

valor de que se pode admitir?

Solução:

Inicialmente o CP recebe 1000 kN sem estar envolvido pelo cilindro rígido de forma

que só atuam tensões axiais (segundo o eixo x).

27

Figura 23 - Corpo de prova: dimensões e carregamento.

A=πD2

4=

π202

4=315cm2

σx=-1000

315=-3,2 kN/cm2

Como só atua x então:

σ1=σ2=0 e σ3=σx= -3,2 kN/cm2

Aplicando-se nessas condições a expressão de i tem-se:

∴σi√1

2[σ3-0]2=σ3

√2

2=3,2

√2

2≅2,3 kN/cm2

Com =3, após colocação do C.P. no cilindro, a tensão ideal de ruptura, nessa nova

situação deverá ser:

σi (ruptura)=3×2,3≅6,9 kN/cm2

28

Para isso, o C.P., axialmente comprimido e encostado nas paredes internas do

cilindro, deverá deslocar-se de , sofrendo deformações εy e z iguais. As tensões, no contato

entre o corpo e o cilindro, por uma vez, serão também iguais. Desta forma:

εz=εy=1

E[σz-ν(σx+σy)]=

∆

20

Com:

σx=3,2 kN/cm2 , E=2000 kN/cm2 e ν=0,4

∴∆100=[σz-0,4(-3,2+σz)]

∴σz=100∆-1,28

0,6=166,7∆-2,13

Portanto:

σ1=σ2=166,7∆-2,13

√1

2[(0)

2+2×(166,7∆-2,13+3,2)]≤σi=6,9

∆≤0,035 cm

Observa-se que para qualquer maior que o valor acima fará a tensão ideal do C.P.

supere a segurança ultrapassando a tensão ideal de ruptura.

Exemplo 2 - Verificar a segurança na seção do engastamento nos pontos 1 e 2. O material

segue o critério da energia de distorção com adm = 1,4 kN/cm2.

Figura 24- Viga e seção transversal (é mostrada a metade da seção).

29

Solução:

Diagramas de cortante e momento fletor:

Figura 25 - Diagramas de V e M.

Verificações:

Ponto 1

τ=VS

bI=0

σx=σ=M

Iy=

560

508012,7=1,40 kN/cm2

σi 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎

σi=√σ2+3τ2=√1,402=1,40 kN/cm2 = σadm

Portanto, o ponto 1 é admissível, ou seja, em segurança segundo esse critério.

Ponto 2

S=(11,62+0,54)×(1,08×11,8)=154,96 cm3

τ=14×154,96

0,79×5080=0,54 kN/cm2

σx=σ=560

508011,62=1,28 kN/cm2

σi=√1,282+3×0,542=1,54 kN/cm2>σadm

Portanto no ponto 2 há ruptura!

Observação: Calcula-se agora o valor da carga F para que não ocorra ruptura.

V=F e M=40F

30

σx=σ=40F

508011,62=0,0915 kN/cm2

τ=P×154,96

0,79×5080=0,0386F kN/cm2

σi=√(0,0915F)2+3×(0,0386F)

2=1,40

F=12,4kN

Exemplo 3 - Os parâmetros que definem a região sem ruptura de um material que segue o

critério de Coulomb são:

Coesão: c = 5 kN/cm2

Ângulo de atrito interno: φ= 20

As seguintes tensões de compressão atuam na peça da Figura 26:

p1=14 kN/cm2 e p

2=80 kN/cm2

Verificar se o estado de tensão tem segurança ou não?

Figura 26 - Dados do problema.

Solução:

O estado de tensão terá segurança se o círculo de Mohr de maior diâmetro na pior das

hipóteses tangenciar a envoltória de Coulomb. Caso o círculo saia desta região não estará em

31

segurança. Portanto, deve-se verificar o encontro do círculo com a envoltória, se é tangente

ou secante. O maior círculo de Mohr será σ1-σ3 de diâmetro. Para o estado de tensão dado

tem-se:

σ1=-14 kN/cm2

σ2=σ3=-80 kN/cm2

Figura 27 - Representação da reta da envoltória e da circunferência. Tensões em kN/cm2.

Outra forma de resolução é por meio da equação da reta da envoltória e da

circunferência.

Equação da reta da envoltória

τ=aσ+b

Para se encontrar o termo “b” considera-se:

σ=0→τ=τc=5→b=5

E o termo “a”:

tg 20°=5

d∴d=

5

tg 20°=13,74

a=-tg20°=-0,37

Assim, a equação da reta fica:

32

τ=-0,364σ+5 (1)

Equação da circunferência

(σ-σ0)2+(τ-τ0)

2=R2

As coordenadas do centro do círculo são (σ0 , τ0):

σ0=R+σ1 = c

R=80-14

2=33

τ0=0

c=-(14+33)=-47

(σ+47)2+τ2=332 (2)

Substituindo-se (1) em (2), tem-se:

1,13σ2+90,4σ+1145=0

Verifica-se agora se esse polinômio tem raízes reais ou não. Isto se faz pelo valor de

∆=b2-4ac.

Se < 0 não tem raízes reais, as curvas não se interceptam e conclui-se que o

estado de tensão é admissível;

Se = 0 tem apenas uma raiz real e implica que as curvas se tangenciam e o

estado de tensão está na eminência de provocar ruptura;

Se > 0 tem duas raízes reais, as curvas se interceptam e o estado de tensão não é

admissível.

Nesse caso:

∆=2980>0

Conclusão: Esse estado de tensão atuante romperá o material.

Exemplo 4 - Qual o valor de i para o tubo de parede fina?

33

Figura 28 - Tubo de parede fina com pressão.

Dados:

p = pressão interna.

t < < R (1:10)→ Tubo de parede fina.

Solução:

A tensão ideal é dada por:

σi=√1

2[(σ1-σ2)

2+(σ2-σ3)

2+(σ3-σ1)

2]

Necessitando-se determinar as tensões principais para a solução do problema.

Assim é analisado o equilíbrio de forças no tubo para se determinar tais tensões:

Figura 29 - Representação gráfica do equilíbrio de forças e tensões em x e y.

A parcela de força dN ao longo do comprimento l do tubo no eixo x vale:

dN=pdA

dA=Rdαl} →dN=pRldα

34

Projeção em y:

dNy=dNsenα

∴dNy=pRlsenα

Ny= ∫ dNy

π

0

=∫ pRlsenα dα

π

0

∴Ny=prl[-cosπ+cos0]→Ny=2pRl

Fazendo uso da tensão em y y denominada tensão circunferencial tem-se:

σytl=Ny

2=

2pRl

2

Obtém-se:

∴σy=pR

t

Analogamente tem-se:

Nx=pA=pπR2

Figura 30 - Tensões na direção X.

∫ σx(tRdα)=2πRtσx

2π

0

∴σx=pR

2t

Sendo x denominada tensão longitudinal.

∴σy>σx

35

Figura 31 - Estado duplo de tensão num ponto do tubo.

Tensões Principais:

σ1

2=

σx+σy

2± √(

σx-σy

2)

2

+τxy2

Neste caso:

σ1=σy

σ2=σx

Análise 1 - Estado Plano de Tensões

σ1=σy=pR

t; σ2=σx=

pR

2t e σ3=0

σi=√1

2[(σ1-σ2)

2+σ1

2+σ22]

σi=√1

2[2σ1

2-2σ1σ2+2σ22]

σi=√1

2[2p2R2

t2-2pR

t×

pR

2t+

2p2R2

4t2]

36

∴σi=√1

2[p2R2

t2(2-1+

1

2)] =√

1

2[3

2

p2R2

t2]

∴σi=pR

2t√3→σi=0,86

pR

t

Análise 2 - Estado Triplo de Tensões

σ1=σy; σ2=σx; σ3=σz=-p

Figura 32 - Estado triplo de tensão num ponto do tubo.

σi=√1

2[(σ1-σ2)

2+(σ2-σ3)

2+(σ3-σ1)

2]

∴σi=√1

2[(

pR

t-

pR

2t)

2

+ (pR

2t+p)

2

+(-p-pR

t)

2

]

∴σi=√1

2[(

p2R2

2t2+

p2R2

t2)+2p2+

3p2R

t2]

∴σi=√1

2[3

2

p2R2

t2+p2 (2 +

3R

t)]

37

A parcela que diferencia o estado triplo é:

F=p2 (2+3R

t)

Se:

R=10t→F=p2 (2+3.10t

t) =32p2

Portanto:

∴σi=√1

2[300

2p2+32p2] =√91p2=9,54p

Substituindo-se em na tensão ideal do estado duplo tem-se:

σi=8,65p

Conclusão:

σi,2

σi,3

=8,65p

9,54p≅0,90 ou seja, ≅10%

Estado Triplo Estado Duplo

σ1*=p

R

t=10p

σ1=10p

σ2*=p

R

t=5p

σ2=5p

σ3*=-p σ3=0

No círculo de Mohr mostrado na Figura 33 pode-se notar a diferença entre as duas

situações e observando-se que a tensões máximas de cisalhamento também apresentam

diferenças de 0,5 p.

38

Figura 33 - Representação gráfica das tensões pelo círculo de Mohr.

Finalmente admitindo-se, por exemplo, uma tensão admissível de:

σ̅=120 MPa

Tem-se:

σi,2=8,65p2≤σ̅=120→p

2=13,88 MPa.

σi,3=9,54p3≤σ̅=120→p

3=12,58 MPa.

4. Bibliografia

NICOLAS, E. A. Critérios de Resistência de Materiais Anisotrópicos Aplicados à Madeira.

Tese (Doutorado), Faculdade de Engenharia Civil, UNICAMP, Campinas, 2006.

POPOV, E. G. - Introdução à Mecânica dos Sólidos. São: Editora Edgar Blumer Ltda, 1978.

SHIEL, F. - Introdução à Resistência dos Materiais. São Paulo: Harpetc & Row do Brasil,

1984.

UGURAL, A. C. e Fenster, S.K. - Advanced Strength and Applied Elasticity. New York:

Ensevier Science Publishing Co., 1987.

ZAGOTTIS, D. de - Pontes e Grandes Estruturas: IV - Introdução da Segurança no Projeto

Estrutural. São Paulo, Escola Politécnica - USP, 1978.